1 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

คำนิยาม.ให้ฟังก์ชัน \(y = f(x) \) ถูกกำหนดในช่วงเวลาที่มีจุด \(x_0 \) อยู่ภายใน เรามาเพิ่ม \(\Delta x \) ให้กับอาร์กิวเมนต์เพื่อไม่ให้ออกจากช่วงเวลานี้ ค้นหาการเพิ่มขึ้นที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน \(\Delta y \) (เมื่อผ่านจากจุด \(x_0 \) ไปยังจุด \(x_0 + \Delta x \)) และเขียนความสัมพันธ์ \(\frac(\Delta y )(\เดลต้า x) \). หากมีข้อ จำกัด ของความสัมพันธ์นี้ที่ \(\Delta x \rightarrow 0 \) ขีด จำกัด ที่ระบุจะถูกเรียก ฟังก์ชันอนุพันธ์\(y=f(x) \) ที่จุด \(x_0 \) และแสดงว่า \(f"(x_0) \)

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

สัญลักษณ์ y มักใช้เพื่อแสดงถึงอนุพันธ์ โปรดทราบว่า y" = f(x) เป็นฟังก์ชันใหม่แต่มีความเกี่ยวข้องตามธรรมชาติกับฟังก์ชัน y = f(x) ซึ่งกำหนดไว้ที่จุด x ทุกจุดซึ่งมีขีดจำกัดข้างต้น ฟังก์ชันนี้เรียกว่าดังนี้: อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y \u003d f (x).

ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ประกอบด้วยสิ่งต่อไปนี้ หากแทนเจนต์ที่ไม่ขนานกับแกน y สามารถวาดไปยังกราฟของฟังก์ชัน y \u003d f (x) ที่จุดที่มี abscissa x \u003d a แล้ว f (a) แสดงความชันของแทนเจนต์:
\(k = ฉ"(ก)\)

เนื่องจาก \(k = tg(a) \) ความเท่าเทียมกัน \(f"(a) = tg(a) \) จึงเป็นจริง

และตอนนี้เราตีความนิยามของอนุพันธ์ในแง่ของความเท่าเทียมกันโดยประมาณ ให้ฟังก์ชัน \(y = f(x) \) มีอนุพันธ์ ณ จุดใดจุดหนึ่ง \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
ซึ่งหมายความว่าใกล้จุด x ความเท่าเทียมกันโดยประมาณ \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \ประมาณ f"(x) \), เช่น \(\Delta y \ประมาณ f"(x) \cdot \Deltax\). ความหมายที่มีความหมายของความเท่าเทียมกันโดยประมาณที่ได้รับมีดังนี้ การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน "เกือบเป็นสัดส่วน" กับการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ และค่าสัมประสิทธิ์ของสัดส่วนคือค่าของอนุพันธ์ ณ จุดที่กำหนด x ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชัน \(y = x^2 \) ความเท่าเทียมกันโดยประมาณ \(\Delta y \ประมาณ 2x \cdot \Delta x \) เป็นจริง หากเราวิเคราะห์คำจำกัดความของอนุพันธ์อย่างถี่ถ้วน เราจะพบว่ามีอัลกอริธึมในการค้นหา

มากำหนดสูตรกัน

จะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y \u003d f (x) ได้อย่างไร

1. แก้ไขค่า \(x \), ค้นหา \(f(x) \)
2. เพิ่ม \(x \) อาร์กิวเมนต์ \(\Delta x \) ย้ายไปยังจุดใหม่ \(x+ \Delta x \) ค้นหา \(f(x+ \Delta x) \)
3. ค้นหาการเพิ่มฟังก์ชัน: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. เขียนความสัมพันธ์ \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. คำนวณ $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
ลิมิตนี้เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ x

ถ้าฟังก์ชัน y = f(x) มีอนุพันธ์ที่จุด x ก็จะเรียกว่าอนุพันธ์ที่จุด x ขั้นตอนการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y \u003d f (x) เรียกว่า ความแตกต่างฟังก์ชัน y = f(x)

ให้เราพิจารณาคำถามต่อไปนี้: ความต่อเนื่องและความแตกต่างของฟังก์ชัน ณ จุดนั้นสัมพันธ์กันอย่างไร?

ให้ฟังก์ชัน y = f(x) หาอนุพันธ์ได้ที่จุด x จากนั้นสามารถวาดแทนเจนต์ไปยังกราฟของฟังก์ชันที่จุด M (x; f (x)) และเมื่อนึกขึ้นได้ ความชันของเส้นสัมผัสจะเท่ากับ f "(x) กราฟดังกล่าวไม่สามารถ "แตก" ได้ที่ จุด M นั่นคือฟังก์ชันต้องต่อเนื่องที่ x

มันเป็นการให้เหตุผล "ที่นิ้ว" ให้เรานำเสนอข้อโต้แย้งที่เข้มงวดยิ่งขึ้น หากฟังก์ชัน y = f(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x ดังนั้นค่าความเท่าเทียมกันโดยประมาณ \(\Delta y \ประมาณ f"(x) \cdot \Delta x \) จะมีค่าเป็นศูนย์ ดังนั้น \(\Delta y \ ) ก็จะมีแนวโน้มเป็นศูนย์เช่นกัน และนี่คือเงื่อนไขสำหรับความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง

ดังนั้น, ถ้าฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x มันก็ต่อเนื่องที่จุดนั้นด้วย.

การสนทนาไม่เป็นความจริง ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน y = |x| ต่อเนื่องทุกที่ โดยเฉพาะที่จุด x = 0 แต่ไม่มีแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันที่ "จุดร่วม" (0; 0) หาก ณ จุดหนึ่ง เป็นไปไม่ได้ที่จะวาดแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชัน แสดงว่าไม่มีอนุพันธ์ ณ จุดนี้

อีกหนึ่งตัวอย่าง ฟังก์ชัน \(y=\sqrt(x) \) ต่อเนื่องกันบนเส้นจำนวนทั้งหมด รวมทั้งที่จุด x = 0 และแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันที่จุดใดๆ รวมทั้งที่จุด x = 0 . แต่เมื่อถึงจุดนี้แทนเจนต์เกิดขึ้นพร้อมกับแกน y นั่นคือตั้งฉากกับแกน abscissa สมการของมันมีรูปแบบ x \u003d 0 ไม่มีความชันสำหรับเส้นตรงดังกล่าวซึ่งหมายความว่า \ ( f "(0) \) ไม่มีอยู่เช่นกัน

ดังนั้นเราจึงทำความคุ้นเคยกับคุณสมบัติใหม่ของฟังก์ชัน - ความแตกต่าง คุณจะทราบได้อย่างไรว่าฟังก์ชันนั้นแตกต่างจากกราฟของฟังก์ชันหรือไม่

คำตอบได้รับจริงข้างต้น หากในบางจุดสามารถวาดแทนเจนต์ไปยังกราฟของฟังก์ชันที่ไม่ตั้งฉากกับแกน x ได้ เมื่อถึงจุดนี้ ฟังก์ชันก็จะหาอนุพันธ์ได้ ถ้า ณ จุดหนึ่ง แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันไม่มีอยู่หรือตั้งฉากกับแกน x เมื่อถึงจุดนี้ ฟังก์ชันจะไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้

กฎการสร้างความแตกต่าง

การดำเนินการหาอนุพันธ์เรียกว่า ความแตกต่าง. เมื่อดำเนินการนี้ คุณมักจะต้องทำงานกับผลหาร ผลรวม ผลคูณของฟังก์ชัน เช่นเดียวกับ "ฟังก์ชันของฟังก์ชัน" นั่นคือ ฟังก์ชันที่ซับซ้อน จากคำจำกัดความของอนุพันธ์ เราสามารถหากฎการสร้างความแตกต่างที่เอื้อต่องานนี้ได้ ถ้า C เป็นจำนวนคงที่และ f=f(x) g=g(x) เป็นฟังก์ชันอนุพันธ์บางอย่าง ดังนั้นสิ่งต่อไปนี้จะเป็นจริง กฎความแตกต่าง:

ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันบางอย่าง

ในการแก้ปัญหาต่าง ๆ ของเรขาคณิต กลศาสตร์ ฟิสิกส์ และสาขาความรู้อื่น ๆ จำเป็นต้องใช้กระบวนการวิเคราะห์เดียวกันจากฟังก์ชันที่กำหนด y=f(x)รับฟังก์ชั่นใหม่ที่เรียกว่า ฟังก์ชันอนุพันธ์(หรือง่ายๆ อนุพันธ์) ของฟังก์ชันนี้ f(x)และเป็นสัญลักษณ์

กระบวนการโดยฟังก์ชันที่กำหนด เอฟ(x)รับฟังก์ชั่นใหม่ ฉ"(x), เรียกว่า ความแตกต่างและประกอบด้วยสามขั้นตอนต่อไปนี้: 1) เราให้อาร์กิวเมนต์ xเพิ่มขึ้น  xและกำหนดการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่สอดคล้องกัน  y = ฉ(x+ x)-f(x); 2) ประกอบความสัมพันธ์

3) การนับ xถาวรและ  x0 เราพบว่า
ซึ่งแสดงโดย ฉ"(x)ราวกับว่าเน้นว่าฟังก์ชันผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับค่าเท่านั้น xที่ซึ่งเราก้าวข้ามขีดจำกัด คำนิยาม: อนุพันธ์ y "=f" (x) ฟังก์ชันที่กำหนด y=f(x) ให้ xเรียกว่าขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ โดยมีเงื่อนไขว่าการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเป็นศูนย์ หากแน่นอน ขีดจำกัดนี้มีอยู่ กล่าวคือ จำกัด ดังนั้น,
, หรือ

โปรดทราบว่าถ้าสำหรับค่าบางอย่าง xเช่น เมื่อ x=a, ความสัมพันธ์
ที่  x0 มักจะไม่มีขีดจำกัด ดังนั้นในกรณีนี้ เราบอกว่าฟังก์ชัน เอฟ(x)ที่ x=a(หรือตรงจุด x=a) ไม่มีอนุพันธ์หรือไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดใดจุดหนึ่ง x=a.

2. ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์

พิจารณากราฟของฟังก์ชัน y \u003d f (x) ซึ่งหาอนุพันธ์ได้ในบริเวณใกล้เคียงกับจุด x 0

เอฟ(x)

พิจารณาเส้นใดเส้นหนึ่งที่ลากผ่านจุดของกราฟของฟังก์ชัน - จุด A (x 0, f (x 0)) และตัดกันที่จุด B (x; f (x)) เส้นตรง (AB) ดังกล่าวเรียกว่าซีแคนต์ จาก ∆ABC: ​​​​AC = ∆x; BC \u003d ∆y; tgβ=∆y/∆x

ตั้งแต่ AC || Ox จากนั้น ALO = BAC = β (ตามแบบคู่ขนาน) แต่ ALO คือมุมเอียงของซีแคนต์ AB กับทิศทางบวกของแกน Ox ดังนั้น tgβ = k คือความชันของเส้นตรง AB

ตอนนี้เราจะลด ∆x นั่นคือ ∆x→ 0. ในกรณีนี้ จุด B จะเข้าใกล้จุด A ตามกราฟ และจุดตัด AB จะหมุน ตำแหน่งจำกัดของซีแคนต์ AB ที่ ∆x → 0 จะเป็นเส้นตรง (a) เรียกว่าแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน y \u003d f (x) ที่จุด A

หากเราผ่านถึงขีด จำกัด เป็น ∆х → 0 ในความเท่าเทียมกัน tgβ =∆y/∆x เราก็จะได้
หรือ tg \u003d f "(x 0) เนื่องจาก
-มุมเอียงของเส้นสัมผัสไปยังทิศทางบวกของแกนวัว
โดยนิยามของอนุพันธ์ แต่ tg \u003d k คือความชันของแทนเจนต์ซึ่งหมายความว่า k \u003d tg \u003d f "(x 0)

ดังนั้น ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์จึงเป็นดังนี้:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด x 0 เท่ากับความชันของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่วาด ณ จุดที่มี abscissa x 0 .

3. ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์

พิจารณาการเคลื่อนที่ของจุดตามแนวเส้นตรง ให้พิกัดจุดเมื่อใดก็ได้ x(t) ถูกกำหนด เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว (จากวิชาฟิสิกส์) ว่าความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลาหนึ่งเท่ากับอัตราส่วนของระยะทางที่เดินทางในช่วงเวลานี้ต่อเวลา กล่าวคือ

Vav = ∆x/∆t. ให้เราส่งผ่านไปยังขีด จำกัด ในความเท่าเทียมกันสุดท้ายเป็น ∆t → 0

lim Vav (t) = (t 0) - ความเร็วทันทีที่เวลา t 0, ∆t → 0

และ lim = ∆x/∆t = x "(t 0) (ตามคำจำกัดความของอนุพันธ์)

ดังนั้น (t) = x"(t)

ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์มีดังนี้: อนุพันธ์ของฟังก์ชันy = ฉ(x) ณ จุดนั้นx 0 คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันฉ(x) ณ จุดนั้นx 0

อนุพันธ์ถูกใช้ในฟิสิกส์เพื่อค้นหาความเร็วจากฟังก์ชันที่ทราบของพิกัดจากเวลา ความเร่งจากฟังก์ชันที่ทราบของความเร็วจากเวลา

 (t) \u003d x "(t) - ความเร็ว

a(f) = "(t) - ความเร่งหรือ

หากรู้กฎการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ชี้ไปตามวงกลม ก็เป็นไปได้ที่จะหาความเร็วเชิงมุมและความเร่งเชิงมุมระหว่างการเคลื่อนที่แบบหมุนได้:

φ = φ(t) - เปลี่ยนมุมตามเวลา

ω \u003d φ "(t) - ความเร็วเชิงมุม

ε = φ"(t) - ความเร่งเชิงมุมหรือ ε = φ"(t)

หากทราบกฎการกระจายสำหรับมวลของแท่งที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน ก็จะสามารถหาความหนาแน่นเชิงเส้นของแท่งที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันได้:

m \u003d m (x) - มวล

x  , ล. - ความยาวก้าน,

p \u003d m "(x) - ความหนาแน่นเชิงเส้น

ด้วยความช่วยเหลือของอนุพันธ์ ปัญหาจากทฤษฎีความยืดหยุ่นและการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกจะได้รับการแก้ไข ใช่ ตามกฎของฮุก

F = -kx, x – พิกัดตัวแปร, k – สัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นของสปริง วาง ω 2 \u003d k / m เราจะได้สมการเชิงอนุพันธ์ของลูกตุ้มสปริง x "(t) + ω 2 x (t) \u003d 0

โดยที่ ω = √k/√m คือความถี่การสั่น (l/c) k คืออัตราสปริง (H/m)

สมการของรูปแบบ y "+ ω 2 y \u003d 0 เรียกว่าสมการของการแกว่งของฮาร์มอนิก (เครื่องกล, ไฟฟ้า, แม่เหล็กไฟฟ้า) คำตอบของสมการดังกล่าวคือฟังก์ชัน

y = อาซิน(ωt + φ 0) หรือ y = Acos(ωt + φ 0) โดยที่

A - แอมพลิจูดการสั่น, ω - ความถี่วัฏจักร,

φ 0 - เฟสเริ่มต้น

เป็นไปไม่ได้อย่างยิ่งที่จะแก้ปัญหาทางกายภาพหรือตัวอย่างในวิชาคณิตศาสตร์โดยปราศจากความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์และวิธีการคำนวณ อนุพันธ์เป็นหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เราตัดสินใจที่จะอุทิศบทความของวันนี้ให้กับหัวข้อพื้นฐานนี้ อนุพันธ์คืออะไร ความหมายทางกายภาพและเรขาคณิตของมันคืออะไร วิธีคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน คำถามเหล่านี้สามารถรวมกันเป็นหนึ่งเดียว: จะเข้าใจอนุพันธ์ได้อย่างไร?

ความหมายทางเรขาคณิตและทางกายภาพของอนุพันธ์

ให้มีฟังก์ชั่น เอฟ(x) กำหนดไว้เป็นช่วงๆ (ก,ข) . คะแนน x และ x0 เป็นของช่วงเวลานี้ เมื่อ x เปลี่ยนไป ฟังก์ชันจะเปลี่ยนเอง การเปลี่ยนแปลงอาร์กิวเมนต์ - ความแตกต่างของค่าของมัน x-x0 . ความแตกต่างนี้เขียนเป็น เดลต้า x และเรียกว่าอาร์กิวเมนต์ที่เพิ่มขึ้น การเปลี่ยนแปลงหรือการเพิ่มของฟังก์ชันคือความแตกต่างระหว่างค่าของฟังก์ชันที่จุดสองจุด คำนิยามอนุพันธ์:

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนดต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์เมื่อส่วนหลังมีแนวโน้มเป็นศูนย์

อย่างอื่นเขียนได้ดังนี้

อะไรคือประเด็นในการหาขีด จำกัด ดังกล่าว? แต่อันไหน:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมระหว่างแกน OX และแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด

ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์: อนุพันธ์เวลาของเส้นทางเท่ากับความเร็วของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง

อันที่จริงตั้งแต่สมัยเรียน ทุกคนรู้ดีว่าความเร็วเป็นเส้นทางส่วนตัว x=f(t) และเวลา t . ความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลาหนึ่ง:

เพื่อหาความเร็วของการเคลื่อนที่ในแต่ละครั้ง t0 คุณต้องคำนวณขีด จำกัด :

กฎข้อที่หนึ่ง: นำค่าคงที่ออก

ค่าคงที่สามารถลบออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้ ยิ่งกว่านั้นก็ต้องทำ เมื่อแก้ตัวอย่างในวิชาคณิตศาสตร์ให้ใช้เป็นกฎ - ถ้าคุณลดรูปนิพจน์ได้ ก็ต้องลดความซับซ้อน .

ตัวอย่าง. มาคำนวณอนุพันธ์กัน:

กฎข้อที่สอง: อนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชัน

อนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชันทั้งสองมีค่าเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ เช่นเดียวกับอนุพันธ์ของผลต่างของฟังก์ชันก็เช่นเดียวกัน

เราจะไม่ให้การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ แต่ให้พิจารณาตัวอย่างที่ใช้งานได้จริง

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

กฎข้อที่สาม: อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชัน

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันอนุพันธ์สองตัวคำนวณโดยสูตร:

ตัวอย่าง: ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

การตัดสินใจ:

นี่เป็นสิ่งสำคัญที่จะพูดเกี่ยวกับการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เทียบกับอาร์กิวเมนต์ระดับกลางโดยอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ระดับกลางเทียบกับตัวแปรอิสระ

ในตัวอย่างข้างต้น เราพบนิพจน์:

ในกรณีนี้ อาร์กิวเมนต์ระดับกลางคือ 8x ยกกำลังห้า ในการคำนวณอนุพันธ์ของนิพจน์ดังกล่าว ก่อนอื่นเราจะพิจารณาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกที่สัมพันธ์กับอาร์กิวเมนต์ระดับกลาง แล้วคูณด้วยอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ระดับกลางด้วยความเคารพต่อตัวแปรอิสระ

กฎข้อที่สี่: อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน

สูตรสำหรับหาอนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน:

เราพยายามพูดถึงอนุพันธ์ของหุ่นจำลองตั้งแต่ต้น หัวข้อนี้ไม่ง่ายอย่างที่คิด ดังนั้นโปรดระวัง: มักจะมีข้อผิดพลาดในตัวอย่าง ดังนั้นควรระมัดระวังในการคำนวณอนุพันธ์

หากมีคำถามเกี่ยวกับเรื่องนี้และหัวข้ออื่น ๆ คุณสามารถติดต่อฝ่ายบริการนักเรียนได้ ในช่วงเวลาสั้นๆ เราจะช่วยคุณแก้ปัญหาการควบคุมที่ยากที่สุดและจัดการกับงานต่างๆ แม้ว่าคุณจะไม่เคยจัดการกับการคำนวณอนุพันธ์มาก่อนก็ตาม

เมื่อบุคคลได้ดำเนินการตามขั้นตอนอิสระขั้นแรกในการศึกษาการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และเริ่มถามคำถามที่ไม่สบายใจ ไม่ใช่เรื่องง่ายอีกต่อไปที่จะกำจัดวลีที่ว่า "พบแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ในกะหล่ำปลี" ดังนั้นจึงเป็นเวลาที่จะกำหนดและไขปริศนาการกำเนิดของ ตารางอนุพันธ์และกฎการสร้างความแตกต่าง. เริ่มในบทความ เกี่ยวกับความหมายของอนุพันธ์ซึ่งฉันแนะนำเป็นอย่างยิ่งสำหรับการศึกษา เพราะที่นั่นเราเพิ่งพิจารณาแนวคิดของอนุพันธ์และเริ่มคลิกงานในหัวข้อนั้น บทเรียนเดียวกันนี้มีแนวปฏิบัติที่เด่นชัด ยิ่งกว่านั้น

โดยหลักการแล้วตัวอย่างที่พิจารณาด้านล่างสามารถเข้าใจได้อย่างเป็นทางการอย่างหมดจด (เช่น เมื่อไม่มีเวลา / ความปรารถนาที่จะเจาะลึกถึงแก่นแท้ของอนุพันธ์) นอกจากนี้ยังเป็นที่ต้องการอย่างมาก (แต่ไม่จำเป็นอีกครั้ง) เพื่อให้สามารถค้นหาอนุพันธ์โดยใช้วิธี "ปกติ" - อย่างน้อยก็ที่ระดับของคลาสพื้นฐานสองคลาส:จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไร และ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

แต่ไม่มีสิ่งใดซึ่งตอนนี้ขาดไม่ได้อย่างแน่นอนก็คือไม่มี ขีด จำกัด ของฟังก์ชัน. คุณต้องเข้าใจว่าขีด จำกัด คืออะไรและสามารถแก้ไขได้อย่างน้อยก็ในระดับกลาง และทั้งหมดเป็นเพราะอนุพันธ์

ฟังก์ชั่นที่จุดถูกกำหนดโดยสูตร:

ฉันเตือนคุณถึงการกำหนดและข้อกำหนด: พวกเขาเรียกว่า อาร์กิวเมนต์ที่เพิ่มขึ้น;

– การเพิ่มฟังก์ชัน;

- เหล่านี้เป็นสัญลักษณ์เดี่ยว ("เดลต้า" ไม่สามารถ "ฉีกขาด" จาก "X" หรือ "Y")

เห็นได้ชัดว่าเป็นตัวแปร "ไดนามิก" เป็นค่าคงที่และเป็นผลจากการคำนวณลิมิต - ตัวเลข (บางครั้ง - "บวก" หรือ "ลบ" อนันต์).

โดยสรุป คุณสามารถพิจารณามูลค่าใดๆ ที่เป็นของ โดเมนฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์

หมายเหตุ: ข้อ "ซึ่งมีอนุพันธ์อยู่" - โดยทั่วไปมีนัยสำคัญ! ตัวอย่างเช่น จุดแม้ว่าจะเข้าสู่โดเมนของฟังก์ชัน แต่อนุพันธ์

ไม่มีอยู่ที่นั่น ดังนั้นสูตร

ใช้ไม่ได้ ณ จุดนั้น

และการใช้ถ้อยคำที่สั้นลงโดยไม่มีการจองจะไม่ถูกต้อง ข้อเท็จจริงที่คล้ายคลึงกันยังใช้ได้กับฟังก์ชันอื่นๆ ที่มี "การแตกหัก" ในกราฟ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับอาร์กไซน์และอาร์คโคไซน์

ดังนั้นหลังจากแทนที่ เราได้สูตรการทำงานที่สอง:

ให้ความสนใจกับสถานการณ์ที่ร้ายกาจที่อาจทำให้กาน้ำชาสับสน: ในขีดจำกัดนี้ "x" ซึ่งเป็นตัวแปรอิสระมีบทบาทพิเศษ และ "ไดนามิก" จะถูกกำหนดอีกครั้งด้วยการเพิ่มขึ้น ผลการคำนวณขีดจำกัด

คือฟังก์ชันอนุพันธ์

จากที่กล่าวมา เราได้กำหนดเงื่อนไขของปัญหาทั่วไปสองประการ:

- การค้นหา อนุพันธ์ ณ จุดหนึ่งโดยใช้คำจำกัดความของอนุพันธ์

- การค้นหา ฟังก์ชันอนุพันธ์โดยใช้คำจำกัดความของอนุพันธ์ เวอร์ชันนี้ตามการสังเกตของฉัน เกิดขึ้นบ่อยกว่ามากและจะได้รับความสนใจหลัก

ความแตกต่างพื้นฐานระหว่างงานคือในกรณีแรกจำเป็นต้องค้นหาตัวเลข (ตัวเลือกอินฟินิตี้)และในวินาที

การทำงาน . นอกจากนี้อนุพันธ์อาจไม่มีอยู่เลย

ยังไง ?

สร้างอัตราส่วนและคำนวณขีดจำกัด

ที่ไหนตารางอนุพันธ์และกฎการสร้างความแตกต่าง ? ด้วยขีดจำกัดเดียว

ดูเหมือนเวทมนตร์ แต่

ความเป็นจริง - คล่องแคล่วและไม่มีการฉ้อโกง ในบทเรียน อนุพันธ์คืออะไร?ฉันเริ่มพิจารณาตัวอย่างเฉพาะ โดยที่ฉันใช้คำจำกัดความนี้ ฉันพบอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงเส้นและสมการกำลังสอง เพื่อจุดประสงค์ในการอุ่นเครื่องทางปัญญา เราจะยังคงรบกวนต่อไป ตารางอนุพันธ์การปรับปรุงอัลกอริทึมและการแก้ปัญหาทางเทคนิค:

อันที่จริง จำเป็นต้องพิสูจน์กรณีพิเศษของอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง ซึ่งมักจะปรากฏในตาราง:

โซลูชันนี้ถูกทำให้เป็นทางการในทางเทคนิคในสองวิธี เริ่มจากวิธีแรกที่คุ้นเคยกันดีอยู่แล้ว: แลดเดอร์เริ่มต้นด้วยแพลงก์ และฟังก์ชันอนุพันธ์เริ่มต้นด้วยอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่ง

พิจารณาบางจุด (คอนกรีต) ที่เป็นของ โดเมนฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ ตั้งค่าการเพิ่มขึ้น ณ จุดนี้ (แน่นอนไม่เกิน o / o - z) และเขียนฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นที่สอดคล้องกัน:

ลองคำนวณขีด จำกัด :

ความไม่แน่นอน 0:0 ถูกขจัดออกไปโดยเทคนิคมาตรฐานที่พิจารณาย้อนหลังไปถึงศตวรรษแรกก่อนคริสต์ศักราช คูณ

ตัวเศษและตัวส่วนต่อนิพจน์ที่อยู่ติดกัน :

เทคนิคในการแก้ปัญหาขีดจำกัดดังกล่าวได้อธิบายไว้โดยละเอียดในบทเรียนเบื้องต้น เกี่ยวกับขีดจำกัดของฟังก์ชัน.

เนื่องจากจุดใด ๆ ของช่วงเวลาสามารถเลือกเป็น

จากนั้นโดยการแทนที่เราได้รับ:

มาชื่นชมยินดีกับลอการิทึมอีกครั้ง:

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้คำจำกัดความของอนุพันธ์

วิธีแก้ปัญหา: ลองพิจารณาแนวทางที่แตกต่างออกไปในการปั่นงานเดียวกัน มันเหมือนกันทุกประการ แต่มีเหตุผลมากกว่าในแง่ของการออกแบบ ความคิดคือการกำจัด

ตัวห้อยและใช้ตัวอักษรแทนตัวอักษร

พิจารณาประเด็นโดยพลการที่เป็นของ โดเมนฟังก์ชั่น (ช่วงเวลา) และตั้งค่าการเพิ่มขึ้นในนั้น และที่นี่ ในกรณีส่วนใหญ่ คุณสามารถทำได้โดยไม่ต้องจองใดๆ เนื่องจากฟังก์ชันลอการิทึมสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดใดก็ได้ในโดเมนของคำจำกัดความ

จากนั้นการเพิ่มฟังก์ชันที่สอดคล้องกันคือ:

มาหาอนุพันธ์กันเถอะ:

ความเรียบง่ายของการออกแบบสมดุลด้วยความสับสนซึ่งสามารถ

เกิดขึ้นในผู้เริ่มต้น (และไม่เพียงเท่านั้น) ท้ายที่สุดเราเคยชินกับความจริงที่ว่าตัวอักษร "X" เปลี่ยนไปในขีด จำกัด ! แต่ทุกอย่างแตกต่างกันที่นี่: - รูปปั้นโบราณ และ - ผู้มาเยี่ยมที่ยังมีชีวิตอยู่ เดินไปตามทางเดินในพิพิธภัณฑ์อย่างกระฉับกระเฉง นั่นคือ "x" คือ "เหมือนค่าคงที่"

ฉันจะแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับการขจัดความไม่แน่นอนทีละขั้นตอน:

(1) การใช้คุณสมบัติของลอการิทึม.

(2) หารตัวเศษด้วยตัวส่วนในวงเล็บ

(3) ในตัวส่วน เราคูณเทียมและหารด้วย "x" ดังนั้น

ใช้ประโยชน์จากความอัศจรรย์ ในขณะที่เป็น น้อยนิดดำเนินการ

คำตอบ: ตามคำจำกัดความของอนุพันธ์:

หรือโดยย่อ:

ฉันเสนอให้สร้างสูตรตารางเพิ่มเติมสองสูตรอย่างอิสระ:

ค้นหาอนุพันธ์ตามคำจำกัดความ

ในกรณีนี้ การเพิ่มขึ้นที่คอมไพล์แล้วจะสะดวกทันทีที่จะลดให้เหลือตัวส่วนร่วม ตัวอย่างโดยประมาณของงานเมื่อสิ้นสุดบทเรียน (วิธีแรก)

ค้นหาอนุพันธ์ตามคำจำกัดความ

และที่นี่ทุกอย่างจะต้องถูกลดทอนให้เหลือน้อยที่สุด การแก้ปัญหาถูกวางกรอบในลักษณะที่สอง

ในทำนองเดียวกันอีกจำนวนหนึ่ง อนุพันธ์แบบตาราง. รายชื่อทั้งหมดสามารถพบได้ในหนังสือเรียนของโรงเรียนหรือตัวอย่างเช่นหนังสือเล่มที่ 1 ของ Fichtenholtz ฉันไม่เห็นประเด็นมากนักในการเขียนใหม่จากหนังสือและการพิสูจน์กฎแห่งความแตกต่าง - พวกเขาถูกสร้างขึ้นด้วย

สูตร.

ไปที่งานในชีวิตจริง: ตัวอย่างที่ 5

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน , โดยใช้คำจำกัดความของอนุพันธ์

วิธีแก้ไข: ใช้รูปแบบแรก ลองพิจารณาบางประเด็นที่เป็นของ และตั้งค่าการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ในนั้น จากนั้นการเพิ่มฟังก์ชันที่สอดคล้องกันคือ:

บางทีผู้อ่านบางคนยังไม่เข้าใจหลักการที่ควรเพิ่มขึ้นอย่างถ่องแท้ เราใช้จุด (ตัวเลข) และค้นหาค่าของฟังก์ชันในนั้น: , นั่นคือ, เข้าสู่ฟังก์ชัน

แทนที่จะใช้ "x" แทน ตอนนี้เราเอา

การเพิ่มฟังก์ชันประกอบ มันเป็นประโยชน์ในการทำให้ง่ายขึ้นทันที. เพื่ออะไร? อำนวยความสะดวกและย่นระยะเวลาการแก้ปัญหาของขีดจำกัดเพิ่มเติม

เราใช้สูตร เปิดวงเล็บ และลดทุกอย่างที่สามารถลดได้:

ไก่งวงถูกเสียใจมาก ไม่มีปัญหากับการย่าง:

ในท้ายที่สุด:

เนื่องจากจำนวนจริงใดๆ สามารถเลือกเป็นคุณภาพได้ เราจึงทำการแทนที่และรับ .

ตอบ : เอ-ไพรเออรี่

เพื่อวัตถุประสงค์ในการตรวจสอบ เราจะหาอนุพันธ์โดยใช้กฎ

ความแตกต่างและตาราง:

การรู้คำตอบที่ถูกต้องล่วงหน้านั้นมีประโยชน์และน่ายินดีเสมอ ดังนั้นจึงเป็นการดีกว่าที่จะแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่นำเสนอในรูปแบบ "รวดเร็ว" ทางจิตใจหรือร่างในตอนต้นของการแก้ปัญหา

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนิยามอนุพันธ์

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง ผลลัพธ์อยู่บนพื้นผิว:

กลับสู่รูปแบบ #2: ตัวอย่าง 7

มาหาคำตอบกันทันทีว่าจะเกิดอะไรขึ้น โดย กฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:

การตัดสิน: พิจารณาประเด็นที่เป็นของโดยพลการ, ตั้งค่าการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ในนั้นและทำการเพิ่มขึ้น

มาหาอนุพันธ์กันเถอะ:

(1) เราใช้สูตรตรีโกณมิติ

(2) ภายใต้ไซน์เราเปิดวงเล็บภายใต้โคไซน์เราให้เงื่อนไขที่คล้ายกัน

(3) ภายใต้ไซน์ เราลดเทอม ภายใต้โคไซน์ เราหารตัวเศษด้วยเทอมตัวส่วนตามเทอม

(4) เนื่องจากความแปลกของไซน์ เราจึงนำ "ลบ" ออก ภายใต้โคไซน์

แสดงว่าระยะ

(5) เราทำการคูณตัวหารเพื่อใช้ ขีด จำกัด แรกที่ยอดเยี่ยม. ดังนั้นความไม่แน่นอนจึงถูกขจัดออกไป เรารวมผลลัพธ์เข้าด้วยกัน

คำตอบ: ตามคำจำกัดความ อย่างที่คุณเห็น ปัญหาหลักของปัญหาที่กำลังพิจารณาอยู่ที่

ความซับซ้อนของขีด จำกัด นั้น + ความคิดริเริ่มเล็กน้อยของบรรจุภัณฑ์ ในทางปฏิบัติ พบวิธีการออกแบบทั้งสองวิธี ดังนั้นฉันจึงอธิบายทั้งสองวิธีอย่างละเอียดที่สุด พวกมันเทียบเท่ากัน แต่ในความประทับใจส่วนตัวของฉัน มันเหมาะกว่าสำหรับหุ่นที่จะยึดติดกับตัวเลือกที่ 1 ด้วย "X ศูนย์"

ใช้คำจำกัดความ หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

นี่เป็นงานสำหรับการตัดสินใจอย่างอิสระ ตัวอย่างถูกจัดรูปแบบในลักษณะเดียวกับตัวอย่างก่อนหน้านี้

มาวิเคราะห์ปัญหารุ่นที่หายากกว่านี้กัน:

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งโดยใช้คำจำกัดความของอนุพันธ์

อย่างแรก อะไรควรเป็นบรรทัดล่างสุด? Number คำนวณคำตอบด้วยวิธีมาตรฐาน:

คำตัดสิน: จากมุมมองของความชัดเจน งานนี้ง่ายกว่ามาก เนื่องจากอยู่ในสูตรแทน

ถือเป็นค่าเฉพาะ

เราตั้งค่าส่วนเพิ่มที่จุดและเขียนส่วนเพิ่มที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน:

คำนวณอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่ง:

เราใช้สูตรที่หายากมากสำหรับความแตกต่างของแทนเจนต์ และนับครั้งไม่ถ้วนที่เราลดวิธีแก้ปัญหาให้เหลือครั้งแรก

ขีด จำกัด ที่น่าทึ่ง:

ตอบ โดยนิยามอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่ง

งานไม่ยากที่จะแก้ไขและ "โดยทั่วไป" - เพียงพอที่จะเปลี่ยนเล็บหรือเพียงแค่ขึ้นอยู่กับวิธีการออกแบบ ในกรณีนี้ แน่นอน คุณไม่ได้ตัวเลขแต่ได้ฟังก์ชันอนุพันธ์

ตัวอย่างที่ 10 ใช้คำจำกัดความ หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดนั้น

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง

งานโบนัสขั้นสุดท้ายมีไว้สำหรับนักเรียนที่มีการศึกษาเชิงลึกเกี่ยวกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เป็นหลัก แต่จะไม่กระทบกระเทือนคนอื่นเช่นกัน:

ฟังก์ชันจะมีความแตกต่างกันหรือไม่ ที่จุด?

วิธีแก้ไข: เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชันที่กำหนดเป็นชิ้นๆ นั้นต่อเนื่องกัน ณ จุดหนึ่ง แต่จะมีความแตกต่างกันที่นั่นหรือไม่

อัลกอริธึมของโซลูชัน ไม่เพียงแต่สำหรับฟังก์ชันทีละส่วนเท่านั้น มีดังต่อไปนี้:

1) ค้นหาอนุพันธ์ทางซ้ายมือ ณ จุดที่กำหนด:

2) ค้นหาอนุพันธ์ทางขวามือ ณ จุดที่กำหนด:

3) หากอนุพันธ์ด้านเดียวมีขอบเขตและตรงกัน:

, จากนั้นฟังก์ชันจะหาอนุพันธ์ได้ที่จุดและ

ในเชิงเรขาคณิต มีแทนเจนต์ร่วมที่นี่ (ดูส่วนทฤษฎีของบทเรียน ความหมายและความหมายของอนุพันธ์).

หากได้รับค่าที่แตกต่างกันสองค่า: (หนึ่งในนั้นอาจจะเป็นอนันต์)ดังนั้นฟังก์ชันนี้จะไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดใดจุดหนึ่ง

ถ้าอนุพันธ์ด้านเดียวทั้งสองมีค่าเท่ากับอนันต์

(แม้ว่าจะมีสัญญาณต่างกัน) ฟังก์ชันก็ไม่

หาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่ง แต่มีอนุพันธ์อนันต์และแทนเจนต์แนวตั้งร่วมของกราฟ (ดูตัวอย่างที่ 5 ของบทเรียนสมการปกติ) .

ในบทนี้ เราจะเรียนรู้วิธีใช้สูตรและกฎการสร้างความแตกต่าง

ตัวอย่าง. หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9 การใช้กฎ ฉัน, สูตร 4, 2 และ 1. เราได้รับ:

y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1

2. y=3x6 -2x+5. เราก็แก้เหมือนกันโดยใช้สูตรและสูตรเดียวกัน 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

การใช้กฎ ฉัน, สูตร 3, 5 และ 6 และ 1.

การใช้กฎ IV, สูตร 5 และ 1 .

ในตัวอย่างที่ห้า ตามกฎ ฉันอนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ และเราเพิ่งพบอนุพันธ์ของเทอมที่ 1 (ตัวอย่าง 4 ) ดังนั้น เราจะหาอนุพันธ์ ครั้งที่ 2และ ครั้งที่ 3เงื่อนไขและ สำหรับ 1stเราสามารถเขียนผลได้ทันที

สร้างความแตกต่าง ครั้งที่ 2และ ครั้งที่ 3เงื่อนไขตามสูตร 4 . ในการทำเช่นนี้ เราแปลงรากของดีกรีที่สามและสี่ในตัวส่วนเป็นยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังติดลบ จากนั้น 4 สูตรเราหาอนุพันธ์ของกำลัง

ดูตัวอย่างนี้และผลลัพธ์ คุณจับรูปแบบหรือไม่? ดี. ซึ่งหมายความว่าเรามีสูตรใหม่และสามารถเพิ่มลงในตารางอนุพันธ์ได้

มาแก้ตัวอย่างที่หกและหาอีกสูตรหนึ่งกัน

เราใช้กฎ IVและสูตร 4 . เราลดเศษส่วนผลลัพธ์

เราดูที่ฟังก์ชันนี้และอนุพันธ์ของมัน แน่นอน คุณเข้าใจรูปแบบและพร้อมที่จะตั้งชื่อสูตร:

เรียนรู้สูตรใหม่!

ตัวอย่าง.

1. ค้นหาการเพิ่มอาร์กิวเมนต์และเพิ่มฟังก์ชัน y= x2ถ้าค่าเริ่มต้นของอาร์กิวเมนต์คือ 4 และใหม่ 4,01 .

การตัดสินใจ.

ค่าอาร์กิวเมนต์ใหม่ x \u003d x 0 + Δx. แทนที่ข้อมูล: 4.01=4+Δx ดังนั้นการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ Δх=4.01-4=0.01. การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันตามคำจำกัดความจะเท่ากับความแตกต่างระหว่างค่าใหม่และค่าก่อนหน้าของฟังก์ชันเช่น Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0) เนื่องจากเรามีฟังก์ชั่น y=x2, แล้ว Δу\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

ตอบ: อาร์กิวเมนต์ที่เพิ่มขึ้น Δх=0.01; ฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้น Δу=0,0801.

เป็นไปได้ที่จะค้นหาการเพิ่มฟังก์ชันด้วยวิธีอื่น: Δy\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4.01) -y (4) \u003d 4.01 2 -4 2 \u003d 16.0801-16 \u003d 0.0801

2. หามุมเอียงของแทนเจนต์กับกราฟฟังก์ชัน y=f(x)ณ จุดนั้น x 0, ถ้า f "(x 0) \u003d 1.

การตัดสินใจ.

มูลค่าของอนุพันธ์ ณ จุดสัมผัส x 0และเป็นค่าแทนเจนต์ของความชันของแทนเจนต์ (ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์) เรามี: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °เช่น tg45°=1.

ตอบ: แทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันนี้สร้างมุมที่มีทิศทางบวกของแกน Ox เท่ากับ 45 °.

3. หาสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=xn.

ความแตกต่างคือการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

เมื่อค้นหาอนุพันธ์ จะใช้สูตรที่ได้มาจากคำจำกัดความของอนุพันธ์ ในลักษณะเดียวกับที่เราได้รับสูตรสำหรับดีกรีอนุพันธ์: (x n)" = nx n-1.

นี่คือสูตร

ตารางอนุพันธ์มันจะง่ายต่อการจดจำโดยการออกเสียงสูตรด้วยวาจา:

1. อนุพันธ์ของค่าคงที่คือศูนย์

2. จังหวะ X เท่ากับหนึ่ง

3. ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้

4. อนุพันธ์ของดีกรีเท่ากับผลคูณของเลขชี้กำลังของดีกรีนี้โดยดีกรีที่มีฐานเท่ากัน แต่เลขชี้กำลังมีค่าน้อยกว่าหนึ่ง

5. อนุพันธ์ของรูทเท่ากับหนึ่งหารด้วยสองรูตเดียวกัน

6. อนุพันธ์ของเอกภาพหารด้วย x คือ ลบหนึ่งหารด้วย x กำลังสอง

7. อนุพันธ์ของไซน์เท่ากับโคไซน์

8. อนุพันธ์ของโคไซน์เท่ากับลบไซน์

9. อนุพันธ์ของแทนเจนต์เท่ากับหนึ่งหารด้วยกำลังสองของโคไซน์

10. อนุพันธ์ของโคแทนเจนต์คือลบหนึ่งหารด้วยกำลังสองของไซน์

เราสอน กฎความแตกต่าง.

1. อนุพันธ์ของผลรวมเชิงพีชคณิตเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของเงื่อนไขอนุพันธ์

2. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของปัจจัยที่หนึ่งโดยตัวที่สองบวกผลคูณของปัจจัยที่หนึ่งด้วยอนุพันธ์ของตัวที่สอง

3. อนุพันธ์ของ "y" หารด้วย "ve" เท่ากับเศษส่วนในตัวเศษซึ่ง "y เป็นจังหวะคูณด้วย "ve" ลบ "y คูณด้วยจังหวะ" และในตัวหาร - "ve กำลังสอง" ”

4. กรณีพิเศษของสูตร 3.

มาเรียนรู้ไปด้วยกัน!

หน้า 1 ของ 1 1