หมายเลข Modulo ตัวเลขนี้เรียกว่าถ้าไม่ใช่ลบหรือเป็นตัวเลขเดียวกันที่มีเครื่องหมายตรงข้ามถ้าเป็นลบ

ตัวอย่างเช่นโมดูลัสของเลข 6 คือ 6 โมดูลัสของเลข -6 ก็เป็น 6 เช่นกัน

นั่นคือค่าสัมบูรณ์ของตัวเลขจะถูกเข้าใจว่าเป็นค่าสัมบูรณ์ซึ่งเป็นค่าสัมบูรณ์ของจำนวนนี้โดยไม่คำนึงถึงสัญลักษณ์ของมัน

มีการกำหนดดังนี้ | 6 |, | x|, |และ| เป็นต้น

(สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมโปรดดูส่วน "โมดูลตัวเลข")

สมการที่มีโมดูลัส

ตัวอย่าง 1 ... แก้สมการ|10 x - 5| = 15.

การตัดสินใจ.

ตามกฎสมการเทียบเท่ากับการรวมกันของสองสมการ:

10x - 5 = 15
10x - 5 = -15

เราตัดสินใจ:

10x = 15 + 5 = 20
10x = -15 + 5 = -10

x = 20: 10
x = -10: 10

x = 2
x = -1

ตอบ: x 1 = 2, x 2 = -1.

ตัวอย่างที่ 2 ... แก้สมการ|2 x + 1| = x + 2.

การตัดสินใจ.

เนื่องจากโมดูลัสเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบดังนั้น x + 2 ≥ 0 ดังนั้น:

x ≥ -2.

เราเขียนสองสมการ:

2x + 1 = x + 2
2x + 1 = -(x + 2)

เราตัดสินใจ:

2x + 1 = x + 2
2x + 1 = -x - 2

2x - x = 2 - 1
2x + x = -2 - 1

x = 1
x = -1

ตัวเลขทั้งสองมีค่ามากกว่า -2 ดังนั้นทั้งสองจึงเป็นรากของสมการ

ตอบ: x 1 = -1, x 2 = 1.

ตัวอย่างที่ 3 ... แก้สมการ

|x + 3| - 1
————— = 4
x - 1

การตัดสินใจ.

สมการมีเหตุผลถ้าตัวส่วนไม่ใช่ศูนย์ - หมายความว่าถ้า x ≠ 1. มาพิจารณาเงื่อนไขนี้กัน การกระทำแรกของเรานั้นง่ายมาก - เราไม่เพียงกำจัดเศษส่วน แต่เปลี่ยนมันเพื่อให้เราได้โมดูลในรูปแบบที่บริสุทธิ์:

|x + 3 | - 1 \u003d 4 ( x - 1),

|x + 3| - 1 = 4x - 4,

|x + 3| = 4x - 4 + 1,

|x + 3| = 4x - 3.

ตอนนี้เรามีเพียงนิพจน์ด้านล่างโมดูลทางด้านซ้ายของสมการ ก้าวต่อไป.
โมดูลัสของตัวเลขเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบนั่นคือต้องมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ ดังนั้นเราจึงแก้อสมการ:

4x - 3 ≥ 0

4x ≥ 3

x ≥ 3/4

ดังนั้นเราจึงมีเงื่อนไขที่สอง: รากของสมการต้องมีค่าอย่างน้อย 3/4

ตามกฎเราสร้างชุดของสองสมการและแก้สมการ:

x + 3 = 4x - 3
x + 3 = -(4x - 3)

x + 3 = 4x - 3
x + 3 = -4x + 3

x - 4x = -3 - 3
x + 4x = 3 - 3

x = 2
x = 0

เราได้รับคำตอบสองครั้ง ลองตรวจสอบว่าเป็นรากของสมการดั้งเดิมหรือไม่

เรามีสองเงื่อนไข: รากของสมการต้องไม่เท่ากับ 1 และต้องมีค่าอย่างน้อย 3/4 นั่นคือ x ≠ 1, x ≥ 3/4 คำตอบที่ได้รับมีเพียงหนึ่งในสองข้อเท่านั้นที่ตรงตามเงื่อนไขทั้งสองนี้ - จำนวน 2 ซึ่งหมายความว่ามีเพียงคำตอบเดียวเท่านั้นที่เป็นรากของสมการดั้งเดิม

ตอบ: x = 2.

อสมการกับโมดูล

ตัวอย่าง 1 ... แก้อสมการ| x - 3| < 4

การตัดสินใจ.

กฎของโมดูลกล่าวว่า:

|และ| = และถ้าก และ ≥ 0.

|และ| = -และถ้าก และ < 0.

โมดูลสามารถมีได้ทั้งตัวเลขที่ไม่เป็นลบและลบ ดังนั้นเราต้องพิจารณาทั้งสองกรณี: x - 3 ≥ 0 และ x - 3 < 0.

1) เมื่อ x - 3 ≥ 0 อสมการดั้งเดิมของเรายังคงเหมือนเดิมโดยไม่มีเครื่องหมายโมดูลัส:
x - 3 < 4.

2) เมื่อ x - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(x - 3) < 4.

ขยายวงเล็บเราได้รับ:

-x + 3 < 4.

ดังนั้นจากสองเงื่อนไขนี้เราจึงมาถึงการรวมกันของความไม่เท่าเทียมกันสองระบบ:

x - 3 ≥ 0
x - 3 < 4

x - 3 < 0
-x + 3 < 4

มาแก้กัน:

x ≥ 3
x < 7

x < 3
x > -1

ดังนั้นเราจึงมีคำตอบของการรวมกันของสองชุด:

3 ≤ x < 7 U -1 < x < 3.

กำหนดค่าที่น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุด เหล่านี้คือ -1 และ 7 ในเวลาเดียวกัน x มากกว่า -1 แต่น้อยกว่า 7
นอกจากนี้ x ≥ 3 ดังนั้นวิธีแก้อสมการคือชุดตัวเลขทั้งหมดตั้งแต่ -1 ถึง 7 โดยไม่รวมจำนวนมากเหล่านี้

ตอบ: -1 < x < 7.

หรือ: x ∈ (-1; 7).

ส่วนเสริม.

1) มีวิธีที่ง่ายกว่าและสั้นกว่าในการแก้อสมการของเรานั่นคือแบบกราฟิก ในการทำสิ่งนี้คุณต้องวาดแกนนอน (รูปที่ 1)

นิพจน์ | x - 3| < 4 означает, что расстояние от точки x ถึงจุด 3 น้อยกว่าสี่หน่วย เราทำเครื่องหมายหมายเลข 3 บนแกนและนับ 4 ดิวิชั่นทางซ้ายและทางขวาของมัน ทางด้านซ้ายเราจะมาที่จุด -1 ทางด้านขวา - ไปยังจุดที่ 7 ดังนั้นจุด x เราเพิ่งเห็นโดยไม่ต้องคำนวณ

ยิ่งไปกว่านั้นตามเงื่อนไขอสมการ -1 และ 7 จะไม่รวมอยู่ในชุดของการแก้ปัญหา ดังนั้นเราจึงได้รับคำตอบ:

1 < x < 7.

2) แต่มีอีกวิธีหนึ่งที่ง่ายกว่าแม้กระทั่งในรูปแบบกราฟิก ในการทำสิ่งนี้ความไม่เท่าเทียมกันของเราจะต้องแสดงในรูปแบบต่อไปนี้:

4 < x - 3 < 4.

ท้ายที่สุดนี่เป็นวิธีที่เป็นไปตามกฎของโมดูล จำนวนที่ไม่เป็นลบ 4 และจำนวนลบที่คล้ายกัน -4 เป็นขอบเขตสำหรับการแก้อสมการ

4 + 3 < x < 4 + 3

1 < x < 7.

ตัวอย่างที่ 2 ... แก้อสมการ| x - 2| ≥ 5

การตัดสินใจ.

ตัวอย่างนี้แตกต่างจากก่อนหน้านี้อย่างมาก ด้านซ้ายมีค่ามากกว่า 5 หรือเท่ากับ 5 จากมุมมองทางเรขาคณิตการแก้ปัญหาอสมการคือตัวเลขทั้งหมดที่มีระยะห่างตั้งแต่ 5 หน่วยขึ้นไปจากจุดที่ 2 (รูปที่ 2) กราฟแสดงให้เห็นว่าตัวเลขเหล่านี้เป็นตัวเลขที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ -3 และมากกว่าหรือเท่ากับ 7 ดังนั้นเราจึงได้รับคำตอบแล้ว

ตอบ: -3 ≥ x ≥ 7.

ระหว่างทางเราแก้อสมการเดียวกันโดยการกำหนดระยะอิสระทางซ้ายและทางขวาด้วยเครื่องหมายตรงข้าม:

5 ≥ x - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ x ≥ 5 + 2

คำตอบเหมือนกัน: -3 ≥ x ≥ 7.

หรือ: x ∈ [-3; 7]

แก้ไขตัวอย่างแล้ว

ตัวอย่างที่ 3 ... แก้อสมการ6 x 2 - | x| - 2 ≤ 0

การตัดสินใจ.

จำนวน x อาจเป็นบวกลบหรือศูนย์ ดังนั้นเราจำเป็นต้องคำนึงถึงสถานการณ์ทั้งสาม ดังที่คุณทราบพวกเขาถูกนำมาพิจารณาในความไม่เท่าเทียมกันสองประการ: x ≥ 0 และ x < 0. При x ≥ 0 เราแค่เขียนอสมการเดิมของเราใหม่ตามที่เป็นอยู่โดยไม่มีเครื่องหมายโมดูลัส:

6x 2 - x - 2 ≤ 0.

ตอนนี้เกี่ยวกับกรณีที่สอง: if x < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6x 2 - (-x) - 2 ≤ 0.

ขยายวงเล็บ:

6x 2 + x - 2 ≤ 0.

ดังนั้นเราจึงมีระบบสมการสองระบบ:

6x 2 - x - 2 ≤ 0
x ≥ 0

6x 2 + x - 2 ≤ 0
x < 0

จำเป็นต้องแก้อสมการในระบบ - ซึ่งหมายความว่าจำเป็นต้องหารากของสมการกำลังสองสองสมการ ในการทำเช่นนี้เราจึงถือว่าด้านซ้ายมือของอสมการเป็นศูนย์

เริ่มกันที่อันแรก:

6x 2 - x - 2 = 0.

วิธีแก้สมการกำลังสอง - ดูหัวข้อ "สมการกำลังสอง" เราจะตั้งชื่อคำตอบทันที:

x 1 \u003d -1/2, x 2 \u003d 2/3.

จากระบบแรกของอสมการเราพบว่าวิธีแก้อสมการดั้งเดิมคือชุดตัวเลขทั้งหมดตั้งแต่ -1/2 ถึง 2/3 เราเขียนการรวมกันของการแก้ปัญหาสำหรับ x ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

ทีนี้มาแก้สมการกำลังสองที่สอง:

6x 2 + x - 2 = 0.

รากของมัน:

x 1 = -2/3, x 2 = 1/2.

สรุป: ที่ x < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

ลองรวมคำตอบสองคำตอบและหาคำตอบสุดท้าย: คำตอบคือชุดตัวเลขทั้งหมดตั้งแต่ -2/3 ถึง 2/3 รวมทั้งจำนวนมากเหล่านี้

ตอบ: -2/3 ≤ x ≤ 2/3.

หรือ: x ∈ [-2/3; 2/3].

วิธีการ (กฎ) สำหรับการเปิดเผยความไม่เท่าเทียมกับโมดูลประกอบด้วยการเปิดเผยโมดูลตามลำดับในขณะที่ใช้ช่วงเวลาของความคงที่ของสัญญาณของฟังก์ชันใต้โมดูล ในเวอร์ชันสุดท้ายจะได้รับความไม่เท่าเทียมกันหลายประการจากช่วงเวลาหรือช่วงเวลาที่พบว่าเป็นไปตามเงื่อนไขของปัญหา

มาดูการแก้ตัวอย่างทั่วไปในทางปฏิบัติกันดีกว่า

อสมการเชิงเส้นกับโมดูลิ

โดยเส้นตรงเราหมายถึงสมการที่ตัวแปรเข้าสู่สมการเชิงเส้น

ตัวอย่าง 1. หาวิธีแก้อสมการ

การตัดสินใจ:
ตามมาจากคำสั่งปัญหาที่โมดูลเปลี่ยนเป็นศูนย์ที่ x \u003d -1 และ x \u003d -2 จุดเหล่านี้แบ่งแกนตัวเลขออกเป็นช่วง ๆ

ในแต่ละช่วงเวลาเหล่านี้เราจะแก้อสมการที่กำหนด ในการทำสิ่งนี้ก่อนอื่นเราวาดภาพวาดกราฟิกของพื้นที่ความคงที่ของฟังก์ชันใต้โมดูล โดยจะแสดงเป็นพื้นที่ที่มีสัญลักษณ์สำหรับแต่ละฟังก์ชัน

หรือช่วงเวลาที่มีสัญญาณของฟังก์ชันทั้งหมด

ในช่วงแรกเราเปิดโมดูล

เราคูณทั้งสองข้างด้วยลบหนึ่งและเครื่องหมายในอสมการจะเปลี่ยนเป็นตรงกันข้าม หากคุณพบว่ายากที่จะคุ้นเคยกับกฎนี้คุณสามารถย้ายแต่ละส่วนโดยใช้เครื่องหมายเพื่อกำจัดเครื่องหมายลบ ในเวอร์ชันสุดท้ายคุณจะได้รับ

จุดตัดของเซต x\u003e -3 กับพื้นที่ที่แก้สมการจะเป็นช่วงเวลา (-3; -2) สำหรับผู้ที่มองหาวิธีแก้ปัญหาได้ง่ายขึ้นคุณสามารถวาดจุดตัดของพื้นที่เหล่านี้แบบกราฟิกได้

จุดตัดร่วมกันของพื้นที่จะเป็นทางออก ด้วยความไม่สม่ำเสมอที่เข้มงวดจะไม่รวมขอบ หากไม่เข้มงวดให้ตรวจสอบโดยการเปลี่ยนตัว

ในช่วงที่สองเราจะได้รับ

ส่วนจะเป็นช่วงเวลา (-2; -5/3) ในทางกราฟิกโซลูชันจะมีลักษณะดังนี้

ในช่วงที่สามเราจะได้รับ

เงื่อนไขนี้ไม่ได้ให้การแก้ปัญหาในพื้นที่ที่ต้องการ

เนื่องจากพบคำตอบทั้งสอง (-3; -2) และ (-2; -5/3) ขีดเส้นขอบจุด x \u003d -2 เราจึงตรวจสอบด้วย

จุด x \u003d -2 คือคำตอบ เมื่อพิจารณาถึงสิ่งนี้วิธีแก้ปัญหาทั่วไปจะมีลักษณะดังนี้ (-3; 5/3)

ตัวอย่างที่ 2. หาวิธีแก้อสมการ
| x-2 | - | x-3 |\u003e \u003d | x-4 |

การตัดสินใจ:
จุด x \u003d 2, x \u003d 3, x \u003d 4 คือศูนย์ของฟังก์ชัน subodular สำหรับอาร์กิวเมนต์ที่น้อยกว่าจุดเหล่านี้ฟังก์ชันโมดูลย่อยจะเป็นลบและสำหรับอาร์กิวเมนต์ขนาดใหญ่จะเป็นค่าบวก

จุดแบ่งแกนจริงออกเป็นสี่ช่วง เราขยายโมดูลตามช่วงเวลาของความคงที่และแก้อสมการ

1) ในช่วงแรกฟังก์ชันโมดูลย่อยทั้งหมดจะเป็นลบดังนั้นเมื่อขยายโมดูลเราจึงเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นตรงกันข้าม

จุดตัดของค่าที่พบของ x กับช่วงเวลาที่พิจารณาจะเป็นชุดของจุด

2) ในช่วงเวลาระหว่างจุด x \u003d 2 และ x \u003d 3 ฟังก์ชัน subodular แรกเป็นบวกส่วนที่สองและสามเป็นค่าลบ เราได้รับการขยายโมดูล

อสมการที่จุดตัดกับช่วงเวลาที่เราแก้ปัญหาให้หนึ่งคำตอบ - x \u003d 3

3) ในช่วงเวลาระหว่างจุด x \u003d 3 และ x \u003d 4 ฟังก์ชัน subodular ที่หนึ่งและที่สองเป็นค่าบวกและที่สามเป็นค่าลบ จากสิ่งนี้เราจะได้รับ

เงื่อนไขนี้แสดงให้เห็นว่าช่วงเวลาทั้งหมดจะตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันของโมดูลัส

4) สำหรับ x\u003e 4 ฟังก์ชันทั้งหมดจะเป็นค่าบวก เมื่อขยายโมดูลเราจะไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย

เงื่อนไขที่พบที่จุดตัดที่มีช่วงเวลาให้ชุดคำตอบต่อไปนี้

เนื่องจากอสมการได้รับการแก้ไขในทุกช่วงเวลาจึงยังคงหาค่าร่วมของค่า x ที่พบทั้งหมด การแก้ปัญหาจะเป็นสองช่วงเวลา

ตัวอย่างนี้แก้ไขได้

ตัวอย่างที่ 3. หาวิธีแก้อสมการ
|| x-1 | -5 |\u003e 3-2x

การตัดสินใจ:
เรามีอสมการกับโมดูลัสของโมดูลัส ความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าวจะปรากฏขึ้นเมื่อโมดูลต่างๆซ้อนกันโดยเริ่มจากความไม่เท่าเทียมกันที่อยู่ลึกลงไป

ฟังก์ชันโมดูลย่อย x-1 แปลงเป็นศูนย์ที่จุด x \u003d 1 สำหรับค่าที่น้อยกว่าสำหรับ 1 จะเป็นลบและบวกสำหรับ x\u003e 1 จากสิ่งนี้เราจึงเปิดโมดูลภายในและพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันของแต่ละช่วงเวลา

ขั้นแรกให้พิจารณาช่วงเวลาจากลบอินฟินิตี้ถึงหนึ่ง

ฟังก์ชัน subodular เท่ากับศูนย์ที่จุด x \u003d -4 ค่าที่ต่ำกว่าจะเป็นค่าบวกค่าที่สูงกว่าจะเป็นค่าลบ ขยายโมดูลสำหรับ x<-4:

เมื่อตัดกับโดเมนที่เรากำลังพิจารณาเราจะได้ชุดของโซลูชัน

ขั้นตอนต่อไปคือการเปิดโมดูลในช่วงเวลา (-4; 1)

โดยคำนึงถึงส่วนของการเปิดเผยโมดูลเราได้รับช่วงเวลาการแก้ปัญหา

โปรดจำไว้ว่า: หากคุณมีสองช่วงเวลาที่มีพรมแดนติดกับจุดร่วมในความผิดปกติดังกล่าวกับโมดูลตามกฎแล้วมันก็เป็นวิธีแก้ปัญหาเช่นกัน

ในการดำเนินการนี้คุณต้องตรวจสอบ

ในกรณีนี้ให้แทนที่จุด x \u003d -4

ดังนั้น x \u003d -4 คือคำตอบ
มาเปิดโมดูลภายในสำหรับ x\u003e 1

ฟังก์ชันโมดูลย่อยลบสำหรับ x<6.
ขยายโมดูลเราได้รับ

เงื่อนไขนี้ในส่วนที่มีช่วงเวลา (1; 6) ให้ชุดโซลูชันที่ว่างเปล่า

สำหรับ x\u003e 6 เราได้ค่าอสมการ

นอกจากนี้การแก้ยังมีเซตว่าง
เมื่อพิจารณาจากทั้งหมดข้างต้นวิธีเดียวที่จะแก้อสมการด้วยโมดูลิคือช่วงเวลาต่อไปนี้

อสมการกับโมดูลที่มีสมการกำลังสอง

ตัวอย่างที่ 4. หาวิธีแก้อสมการ
| x ^ 2 + 3x |\u003e \u003d 2-x ^ 2

การตัดสินใจ:
ฟังก์ชันโมดูลย่อยหายไปที่จุด x \u003d 0, x \u003d -3 การแทนที่อย่างง่ายสำหรับการลบ

เรากำหนดว่ามันน้อยกว่าศูนย์ในช่วงเวลา (-3; 0) และบวกนอกมัน
ขยายโมดูลในพื้นที่ที่ฟังก์ชัน subodular เป็นค่าบวก

มันยังคงอยู่เพื่อกำหนดพื้นที่ที่ฟังก์ชันกำลังสองเป็นบวก ในการทำเช่นนี้เรากำหนดรากของสมการกำลังสอง

เพื่อความสะดวกเราแทนที่จุด x \u003d 0 ซึ่งเป็นของช่วงเวลา (-2; 1/2) ฟังก์ชันเป็นลบในช่วงเวลานี้ซึ่งหมายความว่าชุดต่อไปนี้ x

ที่นี่วงเล็บระบุขอบของพื้นที่พร้อมโซลูชันซึ่งทำโดยเจตนาโดยคำนึงถึงกฎต่อไปนี้

ข้อควรจำ: หากอสมการกับโมดูลหรืออสมการธรรมดานั้นเข้มงวดขอบของพื้นที่ที่พบจะไม่ใช่คำตอบหากอสมการไม่เข้มงวด () ขอบจะเป็นคำตอบ (แสดงโดยวงเล็บเหลี่ยม)

กฎนี้ถูกใช้โดยครูหลายคน: หากระบุอสมการที่เข้มงวดและในระหว่างการคำนวณคุณเขียนวงเล็บเหลี่ยม ([,]) ลงในคำตอบพวกเขาจะนับเป็นคำตอบที่ไม่ถูกต้องโดยอัตโนมัติ นอกจากนี้เมื่อทำการทดสอบหากมีการระบุอสมการที่ไม่เข้มงวดกับโมดูลจากนั้นให้มองหาพื้นที่ที่มีวงเล็บเหลี่ยม

ในช่วงเวลา (-3; 0) เมื่อเปิดโมดูลเราเปลี่ยนสัญลักษณ์ของฟังก์ชันเป็นตรงกันข้าม

คำนึงถึงพื้นที่ของการเปิดเผยความไม่เท่าเทียมกันการแก้ปัญหาจะมีรูปแบบ

เมื่อรวมกับพื้นที่ก่อนหน้านี้จะให้สองช่วงครึ่ง

ตัวอย่าง 5. หาวิธีแก้อสมการ
9x ^ 2- | x-3 |\u003e \u003d 9x-2

การตัดสินใจ:
มีการกำหนดอสมการหลวม ๆ ซึ่งฟังก์ชัน subodular ซึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์ที่จุด x \u003d 3 ที่ค่าต่ำกว่าเป็นลบที่ค่าสูงกว่าจะเป็นบวก ขยายโมดูลในช่วงเวลา x<3.

ค้นหาการแยกแยะของสมการ

และราก

การแทนที่จุดศูนย์เราพบว่าในช่วงเวลา [-1/9; 1] ฟังก์ชันกำลังสองเป็นลบดังนั้นช่วงเวลาจึงเป็นคำตอบ จากนั้นขยายโมดูลสำหรับ x\u003e 3

เครื่องคำนวณคณิตศาสตร์ออนไลน์นี้จะช่วยคุณได้ แก้สมการหรืออสมการด้วยโมดูลิ... โปรแกรมสำหรับ การแก้สมการและอสมการด้วยโมดูลิ ไม่เพียงแค่ให้คำตอบสำหรับปัญหาเท่านั้น แต่ยังให้ วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดพร้อมคำอธิบายเช่น แสดงขั้นตอนการรับผลลัพธ์

โปรแกรมนี้มีประโยชน์สำหรับนักเรียนระดับมัธยมศึกษาในการเตรียมตัวสำหรับการทดสอบและการสอบเมื่อตรวจสอบความรู้ก่อนการสอบสำหรับผู้ปกครองในการควบคุมการแก้ปัญหาต่างๆในคณิตศาสตร์และพีชคณิต หรืออาจจะแพงเกินไปที่คุณจะจ้างครูสอนพิเศษหรือซื้อหนังสือเรียนใหม่? หรือคุณแค่ต้องการทำการบ้านคณิตศาสตร์หรือพีชคณิตให้เสร็จโดยเร็วที่สุด? ในกรณีนี้คุณสามารถใช้โปรแกรมของเรากับโซลูชันโดยละเอียดได้

ด้วยวิธีนี้คุณสามารถดำเนินการสอนและ / หรือสอนน้องชายของคุณเองได้ในขณะที่ระดับการศึกษาในสาขาปัญหาที่กำลังแก้ไขจะเพิ่มขึ้น

ป้อนสมการหรืออสมการด้วยโมดูล

พบว่าสคริปต์บางตัวที่จำเป็นในการแก้ปัญหานี้ไม่ได้โหลดไว้และโปรแกรมอาจไม่ทำงาน
บางทีคุณอาจเปิดใช้งาน AdBlock
ในกรณีนี้ให้ปิดใช้งานและรีเฟรชหน้า

เพราะ มีคนจำนวนมากที่ต้องการแก้ปัญหาคำขอของคุณอยู่ในคิว
หลังจากนั้นไม่กี่วินาทีโซลูชันจะปรากฏด้านล่าง
กรุณารอ วินาที ...

ถ้าคุณ สังเกตเห็นข้อผิดพลาดในการตัดสินใจจากนั้นคุณสามารถเขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ในแบบฟอร์มคำติชม
อย่าลืม ระบุว่างานใด คุณตัดสินใจและอะไร ป้อนในฟิลด์.

เกมปริศนาอีมูเลเตอร์ของเรา:

ทฤษฎีเล็กน้อย

สมการและอสมการด้วยโมดูล

ในหลักสูตรพีชคณิตในโรงเรียนขั้นพื้นฐานคุณอาจพบกับสมการและอสมการที่ง่ายที่สุดในโมดูล ในการแก้ปัญหาคุณสามารถใช้วิธีทางเรขาคณิตตามข้อเท็จจริงที่ว่า \\ (| xa | \\) คือระยะห่างของเส้นจำนวนระหว่างจุด x และ a: \\ (| xa | \u003d \\ rho (x; \\; a ) \\). ตัวอย่างเช่นในการแก้สมการ \\ (| x-3 | \u003d 2 \\) คุณต้องหาจุดบนเส้นจำนวนที่มีระยะห่าง 2 จากจุด 3 มีสองจุดดังกล่าว: \\ (x_1 \u003d 1 \\) และ \\ (x_2 \u003d 5 \\) ...

การแก้อสมการ \\ (| 2x + 7 |

แต่วิธีหลักในการแก้สมการและอสมการกับโมดูลนั้นเกี่ยวข้องกับสิ่งที่เรียกว่า "การขยายโมดูลตามคำจำกัดความ":
ถ้า \\ (a \\ geq 0 \\) แล้ว \\ (| a | \u003d a \\);
ถ้า \\ (a ตามกฎแล้วสมการ (อสมการ) ที่มีโมดูลีจะลดลงเป็นชุดของสมการ (อสมการ) ที่ไม่มีเครื่องหมายโมดูลัส

นอกจากคำจำกัดความนี้แล้วยังมีการใช้คำสั่งต่อไปนี้:
1) ถ้า \\ (c\u003e 0 \\) ดังนั้นสมการ \\ (| f (x) | \u003d c \\) จะเทียบเท่ากับชุดของสมการ: \\ (\\ left [\\ begin (array) (l) f (x ) \u003d c \\\\ f (x) \u003d - c \\ end (อาร์เรย์) \\ right. \\)
2) ถ้า \\ (c\u003e 0 \\) ดังนั้นอสมการ \\ (| f (x) | 3) ถ้า \\ (c \\ geq 0 \\) ดังนั้นอสมการ \\ (| f (x) |\u003e c \\) คือ เทียบเท่ากับชุดของอสมการ: \\ (\\ left [\\ begin (array) (l) f (x) c \\ end (array) \\ right. \\)
4) ถ้าทั้งสองด้านของอสมการ \\ (f (x) ตัวอย่าง 1. แก้สมการ \\ (x ^ 2 +2 | x-1 | -6 \u003d 0 \\)

ถ้า \\ (x-1 \\ geq 0 \\) แล้ว \\ (| x-1 | \u003d x-1 \\) และสมการที่กำหนดจะอยู่ในรูปแบบ
\\ (x ^ 2 +2 (x-1) -6 \u003d 0 \\ Rightarrow x ^ 2 + 2x -8 \u003d 0 \\)
ถ้า \\ (x-1 \\ (x ^ 2-2 (x-1) -6 \u003d 0 \\ Rightarrow x ^ 2 -2x -4 \u003d 0 \\)
ดังนั้นจึงควรพิจารณาสมการที่กำหนดแยกกันในแต่ละกรณีที่ระบุ
1) ให้ \\ (x-1 \\ geq 0 \\) เช่น \\ (x \\ geq 1 \\) จากสมการ \\ (x ^ 2 + 2x -8 \u003d 0 \\) เราพบ \\ (x_1 \u003d 2, \\; x_2 \u003d -4 \\) เงื่อนไข \\ (x \\ geq 1 \\) เป็นไปตามค่า \\ (x_1 \u003d 2 \\) เท่านั้น
2) ให้ \\ (x-1 ตอบ: \\ (2; \\; \\; 1- \\ sqrt (5) \\)

ตัวอย่าง 2. แก้สมการ \\ (| x ^ 2-6x + 7 | \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\)

วิธีแรก (การขยายโมดูลตามความหมาย)
ในตัวอย่างที่ 1 เราได้ข้อสรุปว่าสมการที่กำหนดจะต้องพิจารณาแยกกันหากตรงตามเงื่อนไข 2 ข้อ: \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\) หรือ \\ (x ^ 2-6x + 7

1) ถ้า \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\) ดังนั้น \\ (| x ^ 2-6x + 7 | \u003d x ^ 2-6x + 7 \\) และสมการที่กำหนดจะอยู่ในรูปแบบ \\ (x ^ 2 -6x + 7 \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\ Rightarrow 3x ^ 2-23x + 30 \u003d 0 \\) เมื่อแก้สมการกำลังสองนี้แล้วเราจะได้: \\ (x_1 \u003d 6, \\; x_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\)
ให้เราตรวจสอบว่าค่า \\ (x_1 \u003d 6 \\) ตรงตามเงื่อนไข \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\) หรือไม่ ในการทำเช่นนี้เราแทนที่ค่าที่ระบุลงในอสมการกำลังสอง เราได้รับ: \\ (6 ^ 2-6 \\ cdot 6 + 7 \\ geq 0 \\) เช่น \\ (7 \\ geq 0 \\) คืออสมการที่แท้จริง ดังนั้น \\ (x_1 \u003d 6 \\) คือรากของสมการที่กำหนด
ให้เราตรวจสอบว่าค่า \\ (x_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\) ตรงตามเงื่อนไข \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\) หรือไม่ ในการทำเช่นนี้เราแทนที่ค่าที่ระบุลงในอสมการกำลังสอง เราได้รับ: \\ (\\ left (\\ frac (5) (3) \\ right) ^ 2 - \\ frac (5) (3) \\ cdot 6 + 7 \\ geq 0 \\) เช่น \\ (\\ frac (25) (9) -3 \\ geq 0 \\) - อสมการไม่ถูกต้อง ดังนั้น \\ (x_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\) ไม่ใช่รากของสมการที่กำหนด

2) ถ้า \\ (x ^ 2-6x + 7 Value \\ (x_3 \u003d 3 \\) ตรงตามเงื่อนไข \\ (x ^ 2-6x + 7 ค่า \\ (x_4 \u003d \\ frac (4) (3) \\) ไม่เป็นไปตาม เงื่อนไข \\ (x ^ 2-6x + 7 ดังนั้นสมการที่กำหนดจึงมีสองราก: \\ (x \u003d 6, \\; x \u003d 3 \\)

วิธีที่สอง ถ้าให้สมการ \\ (| f (x) | \u003d h (x) \\) ดังนั้นสำหรับ \\ (h (x) \\ (\\ left [\\ begin (array) (l) x ^ 2-6x + 7 \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\\\ x ^ 2-6x + 7 \u003d - \\ frac (5x-9) (3) \\ end (อาร์เรย์) \\ right. \\)
สมการทั้งสองนี้ได้รับการแก้ไขแล้วข้างต้น (ในวิธีแรกในการแก้สมการที่กำหนด) รากของมันมีดังนี้: \\ (6, \\; \\ frac (5) (3), \\; 3, \\; \\ frac (4 ) (3) \\). เงื่อนไข \\ (\\ frac (5x-9) (3) \\ geq 0 \\) ของค่าทั้งสี่นี้เป็นที่พอใจโดยสอง: 6 และ 3 เท่านั้นดังนั้นสมการที่กำหนดจึงมีสองราก: \\ (x \u003d 6, \\; x \u003d 3 \\)

วิธีที่สาม (กราฟิก).
1) มาพล็อตฟังก์ชัน \\ (y \u003d | x ^ 2-6x + 7 | \\) ขั้นแรกสร้างพาราโบลา \\ (y \u003d x ^ 2-6x + 7 \\) เรามี \\ (x ^ 2-6x + 7 \u003d (x-3) ^ 2-2 \\) กราฟของฟังก์ชัน \\ (y \u003d (x-3) ^ 2-2 \\) สามารถหาได้จากกราฟของฟังก์ชัน \\ (y \u003d x ^ 2 \\) โดยเลื่อนไปทางขวา 3 หน่วยสเกล (ตาม แกน x) และลดขนาดลง 2 หน่วย (บนแกน y) เส้นตรง x \u003d 3 คือแกนของพาราโบลาที่เราสนใจ สะดวกในการใช้จุด (3; -2) - จุดยอดของพาราโบลาจุด (0; 7) และจุด (6; 7) ที่สมมาตรเมื่อเทียบกับแกนพาราโบลาเป็นจุดควบคุมสำหรับการพล็อตที่แม่นยำยิ่งขึ้นของ กราฟ
ในการพล็อตกราฟของฟังก์ชัน \\ (y \u003d | x ^ 2-6x + 7 | \\) คุณต้องปล่อยให้ส่วนต่างๆของพาราโบลาที่สร้างขึ้นโดยไม่เปลี่ยนแปลงซึ่งไม่ได้อยู่ใต้แกน x และสะท้อนส่วนของ พาราโบลาที่อยู่ด้านล่างแกน x เกี่ยวกับแกน x
2) มาสร้างกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น \\ (y \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\) สะดวกในการใช้คะแนน (0; –3) และ (3; 2) เป็นจุดควบคุม

จำเป็นอย่างยิ่งที่จุด x \u003d 1,8 ของจุดตัดของเส้นตรงกับแกน abscissa จะอยู่ทางขวาของจุดตัดด้านซ้ายของพาราโบลากับแกน abscissa - นี่คือจุด \\ (x \u003d 3 - \\ sqrt (2) \\) (ตั้งแต่ \\ (3- \\ sqrt (2) 3) ตัดสินโดยรูปวาดกราฟจะตัดกันที่จุดสองจุด - A (3; 2) และ B (6; 7) การแทนที่ตัวย่อของ จุดเหล่านี้ x \u003d 3 และ x \u003d 6 ในสมการที่กำหนดเราตรวจสอบให้แน่ใจว่าสำหรับทั้งสองค่าอื่นให้ความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่ถูกต้องซึ่งหมายความว่าสมมติฐานของเราได้รับการยืนยันแล้ว - สมการมีสองราก: x \u003d 3 และ x \u003d 6 คำตอบ: 3; 6.

แสดงความคิดเห็น... วิธีการแบบกราฟิกสำหรับความสง่างามทั้งหมดนั้นไม่น่าเชื่อถือมากนัก ในตัวอย่างที่พิจารณาแล้วมันทำงานได้เพราะรากของสมการเป็นจำนวนเต็มเท่านั้น

ตัวอย่าง 3. แก้สมการ \\ (| 2x-4 | + | x + 3 | \u003d 8 \\)

วิธีแรก
นิพจน์ 2x - 4 จะกลายเป็น 0 ที่จุด x \u003d 2 และนิพจน์ x + 3 ที่จุด x \u003d –3 จุดสองจุดนี้แบ่งเส้นจำนวนออกเป็นสามช่วง: \\ (x

พิจารณาช่วงแรก: \\ ((- \\ infty; \\; -3) \\)
ถ้า x พิจารณาช่วงเวลาที่สอง: \\ ([- 3; \\; 2) \\)
ถ้า \\ (- 3 \\ leq x พิจารณาช่วงเวลาที่สาม: \\ (U

ตัวอย่าง 2.

แก้อสมการ || x + 2 | - 3 | ≤ 2.

การตัดสินใจ.

อสมการนี้เทียบเท่ากับระบบต่อไปนี้

(| x + 2 | - 3 ≥ -2
(| x + 2 | - 3 ≤ 2,
(| x + 2 | ≥ 1
(| x + 2 | ≤ 5.

ให้เราแก้อสมการแรกของระบบแยกกัน เทียบเท่ากับผลรวมต่อไปนี้:

ยู [-1; 3].

2) การแก้อสมการโดยใช้นิยามของโมดูลัส

ขอเตือนไว้ก่อน นิยามโมดูล

| ก | \u003d a ถ้า a ≥ 0 และ | a | \u003d -a ถ้า< 0.

ตัวอย่างเช่น | 34 | \u003d 34, | -21 | \u003d - (- 21) \u003d 21.

ตัวอย่าง 1.

แก้อสมการ 3 | x - 1 | ≤ x + 3

การตัดสินใจ.

การใช้คำจำกัดความของโมดูลเราได้สองระบบ:

(x - 1 ≥ 0
(3 (x - 1) ≤ x + 3

(x - 1< 0
(-3 (x - 1) ≤ x + 3

การแก้ระบบวินาทีแรกแยกกันเราจะได้รับ:

(x ≥ 1
(x ≤ 3,

(x< 1
(x ≥ 0.

การแก้ปัญหาอสมการดั้งเดิมจะเป็นการแก้ปัญหาทั้งหมดของระบบแรกและการแก้ปัญหาทั้งหมดของระบบที่สอง

คำตอบ: x €.

3) การแก้อสมการโดยการยกกำลังสอง

ตัวอย่าง 1.

แก้อสมการ | x 2 - 1 |< | x 2 – x + 1|.

การตัดสินใจ.

ให้เรายกกำลังสองด้านของอสมการ โปรดทราบว่าคุณสามารถยกกำลังสองทั้งสองด้านของอสมการได้ก็ต่อเมื่อทั้งสองเป็นค่าบวกเท่านั้น ในกรณีนี้เรามีโมดูลทั้งด้านซ้ายและด้านขวาดังนั้นเราจึงสามารถทำได้

(| x 2 - 1 |) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

ตอนนี้เราจะใช้คุณสมบัติต่อไปนี้ของโมดูล: (| x |) 2 \u003d x 2

(x 2 - 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 - 1) 2 - (x 2 - x + 1) 2< 0.

(x 2 - 1 - x 2 + x - 1) (x 2 - 1 + x 2 - x + 1)< 0,

(x - 2) (2x 2 - x)< 0,

x (x - 2) (2x - 1)< 0.

เราแก้โดยวิธีการเว้นช่วง

คำตอบ: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)

4) การแก้อสมการโดยการเปลี่ยนแปลงตัวแปร

ตัวอย่าง.

แก้อสมการ (2x + 3) 2 - | 2x + 3 | ≤ 30.

การตัดสินใจ.

สังเกตว่า (2x + 3) 2 \u003d (| 2x + 3 |) 2. จากนั้นเราจะได้อสมการ

(| 2x + 3 |) 2 - | 2x + 3 | ≤ 30

มาทำการเปลี่ยนแปลงกันเถอะ y \u003d | 2x + 3 |.

ให้เราเขียนความไม่เท่าเทียมกันใหม่โดยคำนึงถึงการแทนที่

ปี 2 - y ≤ 30

ปี 2 - y - 30 ≤ 0

ให้เราแยกตัวประกอบของไตรโนเมียลกำลังสองทางซ้าย

y1 \u003d (1 + 11) / 2,

y2 \u003d (1 - 11) / 2,

(y - 6) (y + 5) ≤ 0

มาแก้โดยวิธีการช่วงเวลาและรับ:

กลับไปที่การเปลี่ยน:

5 ≤ | 2x + 3 | ≤ 6.

อสมการสองเท่านี้เทียบเท่ากับระบบอสมการ:

(| 2x + 3 | ≤ 6
(| 2x + 3 | ≥ -5.

มาแก้อสมการแต่ละข้อแยกกัน

ครั้งแรกเทียบเท่ากับระบบ

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.

มาแก้กันเถอะ

(x ≤ 1.5
(x ≥ -4.5.

เห็นได้ชัดว่าอสมการที่สองถือสำหรับ x ทั้งหมดเนื่องจากโมดูลัสเป็นบวกตามนิยาม เนื่องจากวิธีแก้ปัญหาของระบบคือ x ทั้งหมดที่ตอบสนองทั้งอสมการแรกและที่สองของระบบพร้อมกันการแก้ปัญหาของระบบดั้งเดิมจะเป็นการแก้ปัญหาอสมการคู่แรก (หลังจากทั้งหมดตัวที่สองเป็นจริงสำหรับ x ทั้งหมด)

ตอบ: x € [-4.5; 1.5]

บล็อกไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วนจำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา