ในการกำหนดพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม คุณสามารถใช้สูตรต่างๆ จากวิธีการทั้งหมด วิธีที่ง่ายที่สุดและใช้บ่อยที่สุดคือการคูณความสูงด้วยความยาวของฐาน แล้วหารผลลัพธ์ด้วยสอง อย่างไรก็ตาม วิธีนี้อยู่ไกลจากวิธีเดียวเท่านั้น ด้านล่างนี้ คุณสามารถอ่านวิธีค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้สูตรต่างๆ

เราจะพิจารณาวิธีการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมประเภทเฉพาะ - สี่เหลี่ยม, หน้าจั่วและด้านเท่ากันหมด เรามาพร้อมกับแต่ละสูตรพร้อมคำอธิบายสั้นๆ ที่จะช่วยให้คุณเข้าใจสาระสำคัญของสูตร

วิธีสากลในการหาพื้นที่สามเหลี่ยม

สูตรด้านล่างใช้สัญกรณ์พิเศษ เราจะถอดรหัสแต่ละรายการ:

• a, b, c คือความยาวของด้านทั้งสามของรูปที่เรากำลังพิจารณา
• r คือรัศมีของวงกลมที่สามารถจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมของเรา
• R คือรัศมีของวงกลมที่สามารถอธิบายได้รอบๆ
• α - ค่าของมุมที่เกิดจากด้าน b และ c;
• β คือมุมระหว่าง a และ c;
• γ - ค่าของมุมที่เกิดจากด้าน a และ b;
• h คือความสูงของสามเหลี่ยมของเรา ซึ่งลดลงจากมุม α ไปทางด้าน a;
• p คือผลบวกครึ่งหนึ่งของด้าน a, b และ c

มีเหตุผลที่ชัดเจนว่าทำไมคุณถึงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้วยวิธีนี้ได้ สามเหลี่ยมจะเขียนเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานอย่างง่ายดาย โดยด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมจะทำหน้าที่เป็นเส้นทแยงมุม พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานหาได้จากการคูณความยาวของด้านใดด้านหนึ่งด้วยค่าของความสูงที่ลากเข้าไป เส้นทแยงมุมแบ่งสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีเงื่อนไขนี้เป็นสามเหลี่ยมที่เหมือนกัน 2 รูป ดังนั้นจึงค่อนข้างชัดเจนว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมเดิมของเราควรเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเสริมนี้

S=½ a b บาป γ

ตามสูตรนี้ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหาได้จากการคูณความยาวของด้านทั้งสอง นั่นคือ a และ b ด้วยไซน์ของมุมที่เกิดขึ้น สูตรนี้มาจากตรรกะก่อนหน้านี้ หากเราลดความสูงจากมุม β ไปที่ด้าน b ดังนั้น ตามคุณสมบัติของสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อคูณความยาวของด้าน a ด้วยไซน์ของมุม γ เราจะได้ความสูงของสามเหลี่ยม นั่นคือ h

พื้นที่ของรูปที่พิจารณาหาได้จากการคูณรัศมีครึ่งหนึ่งของวงกลมซึ่งสามารถจารึกไว้ตามเส้นรอบวง กล่าวคือ เราพบผลคูณของเซมิปริมิเตอร์และรัศมีของวงกลมดังกล่าว

S= a b c/4R

ตามสูตรนี้ ค่าที่เราต้องการหาได้จากการหารผลคูณของด้านข้างของรูปด้วยรัศมี 4 ของวงกลมที่ล้อมรอบมัน

สูตรเหล่านี้เป็นสากล เนื่องจากทำให้สามารถกำหนดพื้นที่ของสามเหลี่ยมใดๆ (สเกล, หน้าจั่ว, ด้านเท่ากันหมด, มุมฉาก) สามารถทำได้ด้วยความช่วยเหลือของการคำนวณที่ซับซ้อนมากขึ้นซึ่งเราจะไม่อยู่ในรายละเอียด

พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีคุณสมบัติเฉพาะ

จะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากได้อย่างไร? ลักษณะเด่นของรูปนี้คือด้านทั้งสองมีความสูงพร้อมกัน ถ้า a และ b เป็นขา และ c กลายเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก จะได้พื้นที่ดังนี้

จะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วได้อย่างไร? มี 2 ​​ด้านยาว a และด้านหนึ่งยาว b ดังนั้น พื้นที่ของมันสามารถกำหนดได้โดยการหารด้วย 2 ผลคูณของกำลังสองของด้าน a ด้วยไซน์ของมุม γ

จะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าได้อย่างไร? ในนั้น ความยาวของทุกด้านคือ a และค่าของมุมทั้งหมดคือ α ความสูงของมันคือครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของด้าน คูณ สแควร์รูทของ 3 ในการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติ คุณต้องใช้กำลังสองของด้าน a คูณด้วยสแควร์รูทของ 3 แล้วหารด้วย 4

สามเหลี่ยมเป็นรูปที่รู้จักกันดี และนี่แม้จะมีรูปแบบที่หลากหลาย สี่เหลี่ยม, ด้านเท่ากันหมด, เฉียบพลัน, หน้าจั่ว, ป้าน แต่ละคนแตกต่างกันบ้าง แต่สำหรับการใด ๆ จำเป็นต้องรู้พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

สูตรทั่วไปสำหรับสามเหลี่ยมทั้งหมดที่ใช้ความยาวของด้านหรือความสูง

การกำหนดที่ใช้ในพวกเขา: ด้าน - a, b, c; ความสูงที่ด้านที่สอดคล้องกันบน a, n in, ns

1. พื้นที่ของสามเหลี่ยมคำนวณเป็นผลคูณของ½ด้านและความสูงลดลง S = ½ * a * n ก. ในทำนองเดียวกัน ควรเขียนสูตรสำหรับอีกสองด้านที่เหลือ

2. สูตรของนกกระสาซึ่งครึ่งปริมณฑลปรากฏขึ้น (เป็นเรื่องปกติที่จะแสดงด้วยตัวอักษรตัวเล็ก p ตรงกันข้ามกับปริมณฑลเต็ม) ต้องคำนวณกึ่งปริมณฑลดังนี้: บวกทุกด้านแล้วหารด้วย 2 สูตรสำหรับกึ่งปริมณฑล: p \u003d (a + b + c) / 2 จากนั้นความเท่าเทียมกันสำหรับพื้นที่ของ ​​\u200b\u200b\u200bตัวเลขมีลักษณะดังนี้: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c))

3. หากคุณไม่ต้องการใช้กึ่งปริมณฑลสูตรดังกล่าวจะมีประโยชน์ซึ่งมีเฉพาะความยาวของด้านเท่านั้น: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( b + c - a) * (a + c - c) * (a + b - c)) มันค่อนข้างยาวกว่าอันที่แล้ว แต่จะช่วยได้ถ้าคุณลืมวิธีหากึ่งปริมณฑล

สูตรทั่วไปที่มีมุมของสามเหลี่ยมปรากฏขึ้น

สัญกรณ์ที่จำเป็นสำหรับการอ่านสูตร: α, β, γ - มุม พวกเขานอนด้านตรงข้าม a, b, c ตามลำดับ

1. ตามนั้น ครึ่งหนึ่งของผลคูณของสองด้านและไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน เท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยม นั่นคือ: S = ½ a * b * sin γ สูตรสำหรับอีกสองกรณีควรเขียนในลักษณะเดียวกัน

2. พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสามารถคำนวณได้จากด้านหนึ่งและมุมที่รู้จักสามมุม S \u003d (a 2 * บาป β * บาป γ) / (2 บาป α)

3. นอกจากนี้ยังมีสูตรที่มีด้านที่รู้จักหนึ่งด้านและมีมุมสองมุมประชิดกัน ดูเหมือนว่านี้: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β))

สองสูตรสุดท้ายไม่ง่ายที่สุด มันค่อนข้างยากที่จะจำพวกเขา

สูตรทั่วไปสำหรับสถานการณ์เมื่อทราบรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกหรือล้อมรอบ

การกำหนดเพิ่มเติม: r, R — รัศมี อันแรกใช้สำหรับรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ ประการที่สองมีไว้สำหรับสิ่งที่อธิบายไว้

1. สูตรแรกที่คำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมนั้นสัมพันธ์กับกึ่งปริมณฑล S = r * ร. ในอีกทางหนึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้: S \u003d ½ r * (a + b + c)

2. ในกรณีที่สอง คุณจะต้องคูณด้านทั้งหมดของสามเหลี่ยมแล้วหารด้วยรัศมีสี่เท่าของวงกลมที่ล้อมรอบ ตามตัวอักษรดูเหมือนว่า: S \u003d (a * b * c) / (4R)

3. สถานการณ์ที่สามช่วยให้คุณทำได้โดยไม่ต้องรู้ด้าน แต่คุณต้องการค่าของทั้งสามมุม S \u003d 2 R 2 * บาป α * บาป β * บาป γ

กรณีพิเศษ: สามเหลี่ยมมุมฉาก

นี่เป็นสถานการณ์ที่ง่ายที่สุด เนื่องจากต้องใช้ความยาวของขาทั้งสองเท่านั้น พวกมันเขียนแทนด้วยตัวอักษรละติน a และ b พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่เพิ่มเข้าไป

ในทางคณิตศาสตร์ดูเหมือนว่า: S = ½ a * b เธอจำง่ายที่สุด เนื่องจากดูเหมือนสูตรพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าจึงปรากฏเพียงเศษส่วนซึ่งหมายถึงครึ่งหนึ่ง

กรณีพิเศษ: สามเหลี่ยมหน้าจั่ว

เนื่องจากทั้งสองด้านเท่ากัน สูตรบางสูตรสำหรับพื้นที่จึงดูเรียบง่ายขึ้นบ้าง ตัวอย่างเช่น สูตรของ Heron ซึ่งคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ใช้รูปแบบต่อไปนี้:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

ถ้าแปลงจะสั้นลง ในกรณีนี้ สูตรของนกกระสาสำหรับสามเหลี่ยมหน้าจั่วเขียนดังนี้:

S = ¼ นิ้ว √ (4 * a 2 - b 2)

สูตรพื้นที่จะดูง่ายกว่าสามเหลี่ยมทั่วไปถ้ารู้ด้านและมุมระหว่างพวกมัน S \u003d ½ a 2 * บาปβ

กรณีพิเศษ: สามเหลี่ยมด้านเท่า

โดยปกติในปัญหาเกี่ยวกับเขาฝ่ายหนึ่งเป็นที่รู้จักหรือสามารถรับรู้ได้ จากนั้นสูตรการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมดังกล่าวจะเป็นดังนี้:

S = (a 2 √3) / 4

ภารกิจในการค้นหาพื้นที่ถ้ารูปสามเหลี่ยมปรากฏบนกระดาษตาหมากรุก

สถานการณ์ที่ง่ายที่สุดคือเมื่อสามเหลี่ยมมุมฉากถูกวาดเพื่อให้ขาของมันตรงกับเส้นของกระดาษ จากนั้นคุณต้องนับจำนวนเซลล์ที่พอดีกับขา จากนั้นคูณและหารด้วยสอง

เมื่อสามเหลี่ยมแหลมหรือป้าน จะต้องวาดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า จากนั้นในรูปผลลัพธ์จะมี 3 สามเหลี่ยม หนึ่งคือหนึ่งที่ได้รับในงาน และอีกสองอันเป็นตัวเสริมและสี่เหลี่ยม พื้นที่ของสองส่วนสุดท้ายจะต้องกำหนดโดยวิธีการที่อธิบายไว้ข้างต้น จากนั้นคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าแล้วลบออกจากส่วนที่คำนวณสำหรับตัวเสริม พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมถูกกำหนด

ยากกว่านั้นมากคือสถานการณ์ที่ไม่มีด้านใดของสามเหลี่ยมตรงกับเส้นของกระดาษ จากนั้นจะต้องจารึกไว้ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเพื่อให้จุดยอดของร่างเดิมอยู่ด้านข้าง ในกรณีนี้ จะมีสามเหลี่ยมมุมฉากเสริมสามรูป

ตัวอย่างโจทย์สูตรนกกระสา

เงื่อนไข. สามเหลี่ยมบางอันมีด้าน พวกมันมีขนาดเท่ากับ 3, 5 และ 6 ซม. คุณต้องรู้พื้นที่ของมัน

ตอนนี้คุณสามารถคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้สูตรข้างต้น ใต้รากที่สองเป็นผลคูณของตัวเลขสี่ตัว: 7, 4, 2 และ 1 นั่นคือพื้นที่คือ √ (4 * 14) = 2 √ (14)

หากคุณไม่ต้องการความแม่นยำมากกว่านี้ คุณสามารถหาสแควร์รูทของ 14 ได้ มันคือ 3.74 จากนั้นพื้นที่จะเท่ากับ 7.48

ตอบ. S \u003d 2 √14 ซม. 2 หรือ 7.48 ซม. 2

ตัวอย่างปัญหาสามเหลี่ยมมุมฉาก

เงื่อนไข. ขาข้างหนึ่งของสามเหลี่ยมมุมฉากยาวกว่าขาที่สอง 31 ซม. ต้องหาความยาวของมันว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมนั้นเท่ากับ 180 ซม. 2
การตัดสินใจ. คุณต้องแก้ระบบสมการสองสมการ ประการแรกเกี่ยวข้องกับพื้นที่ ประการที่สองคืออัตราส่วนของขาซึ่งกำหนดไว้ในปัญหา
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d b + 31.
อันดับแรก ต้องแทนที่ค่าของ "a" ลงในสมการแรก ปรากฎว่า: 180 \u003d ½ (ใน + 31) * นิ้ว มีปริมาณที่ไม่รู้จักเพียงปริมาณเดียว ดังนั้นจึงแก้ได้ง่าย หลังจากเปิดวงเล็บจะได้สมการกำลังสอง: ใน 2 + 31 ใน - 360 \u003d 0 มันให้ค่าสองค่าสำหรับ "ใน": 9 และ - 40 ตัวเลขที่สองไม่เหมาะกับคำตอบ เนื่องจากความยาวของด้านของสามเหลี่ยมไม่สามารถเป็นค่าลบได้

มันยังคงคำนวณขาที่สอง: บวก 31 เข้ากับจำนวนผลลัพธ์ ปรากฎว่า 40 นี่คือปริมาณที่ต้องการในปัญหา

ตอบ. ขาของสามเหลี่ยมคือ 9 และ 40 ซม.

ภารกิจหาด้านผ่านพื้นที่ ด้าน และมุมของสามเหลี่ยม

เงื่อนไข. พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมบางรูปคือ 60 cm2 จำเป็นต้องคำนวณด้านใดด้านหนึ่งหากด้านที่สองคือ 15 ซม. และมุมระหว่างพวกเขาคือ30º

การตัดสินใจ. ตามการกำหนดที่ยอมรับ ด้านที่ต้องการคือ "a" หรือ "b" ที่รู้จัก มุมที่กำหนดคือ "γ" จากนั้นสูตรพื้นที่สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

60 \u003d ½ a * 15 * บาป30º ที่นี่ไซน์ของ 30 องศาคือ 0.5

หลังจากแปลงแล้ว "a" จะกลายเป็น 60 / (0.5 * 0.5 * 15) นั่นคือ 16

ตอบ. ด้านที่ต้องการคือ 16 ซม.

ปัญหาของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่จารึกไว้ในสามเหลี่ยมมุมฉาก

เงื่อนไข. จุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาว 24 ซม. เกิดขึ้นพร้อมกับมุมฉากของรูปสามเหลี่ยม อีกสองคนนอนอยู่บนขา ที่สามเป็นของด้านตรงข้ามมุมฉาก ความยาวของขาข้างหนึ่งเท่ากับ 42 ซม. พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากคือเท่าไร?

การตัดสินใจ. พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป อันแรกระบุไว้ในงาน อันที่สองอิงจากขาที่รู้จักของสามเหลี่ยมเดิม มีความคล้ายคลึงกันเพราะมีมุมร่วมและเกิดจากเส้นคู่ขนาน

จากนั้นอัตราส่วนของขาก็เท่ากัน ขาของสามเหลี่ยมเล็กคือ 24 ซม. (ด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส) และ 18 ซม. (ขาที่ระบุ 42 ซม. ลบด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส 24 ซม.) ขาที่สอดคล้องกันของรูปสามเหลี่ยมขนาดใหญ่คือ 42 ซม. และ x ซม. นี่คือ "x" ที่จำเป็นสำหรับการคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

18/42 \u003d 24 / x นั่นคือ x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (ซม.)

แล้วพื้นที่จะเท่ากับผลคูณของ 56 และ 42 หารด้วยสอง นั่นคือ 1176 ซม. 2

ตอบ. พื้นที่ที่ต้องการคือ 1176 ซม. 2

สามเหลี่ยมเป็นหนึ่งในรูปทรงเรขาคณิตทั่วไปที่เราคุ้นเคยกันดีอยู่แล้วในโรงเรียนประถม นักเรียนทุกคนต้องเผชิญกับคำถามเกี่ยวกับวิธีการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมในบทเรียนเรขาคณิต ดังนั้นคุณลักษณะของการค้นหาพื้นที่ของตัวเลขที่กำหนดคืออะไรที่สามารถแยกแยะได้? ในบทความนี้ เราจะพิจารณาสูตรพื้นฐานที่จำเป็นในการทำงานดังกล่าวให้เสร็จสิ้น และวิเคราะห์ประเภทของสามเหลี่ยมด้วย

ประเภทของสามเหลี่ยม

คุณสามารถหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมได้ด้วยวิธีที่ต่างกันโดยสิ้นเชิง เพราะในเรขาคณิต มีรูปทรงมากกว่าหนึ่งประเภทที่มีสามมุม ประเภทเหล่านี้รวมถึง:

• ป้าน.
• ด้านเท่ากันหมด (ถูกต้อง).
• สามเหลี่ยมมุมฉาก.
• หน้าจั่ว.

มาดูสามเหลี่ยมแต่ละประเภทที่มีอยู่กันดีกว่า

รูปทรงเรขาคณิตดังกล่าวถือเป็นปัญหาทางเรขาคณิตที่พบได้บ่อยที่สุด เมื่อจำเป็นต้องวาดรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจ ตัวเลือกนี้ช่วยคุณได้

ในรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม ตามที่ชื่อบอกไว้ มุมทั้งหมดเป็นมุมแหลมและรวมกันได้ 180°

สามเหลี่ยมดังกล่าวเป็นเรื่องธรรมดามาก แต่ก็พบได้น้อยกว่ารูปสามเหลี่ยมมุมแหลม ตัวอย่างเช่น เมื่อแก้สามเหลี่ยม (นั่นคือ คุณทราบหลายด้านและมุมของมัน และจำเป็นต้องค้นหาองค์ประกอบที่เหลือ) บางครั้งคุณจำเป็นต้องพิจารณาว่ามุมนั้นมีลักษณะป้านหรือไม่ โคไซน์เป็นจำนวนลบ

ในค่าของมุมใดมุมหนึ่งจะเกิน 90° ดังนั้น อีกสองมุมที่เหลือสามารถรับค่าเล็กน้อยได้ (เช่น 15° หรือ 3°)

ในการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมประเภทนี้ คุณจำเป็นต้องรู้ความแตกต่างบางประการ ซึ่งเราจะพูดถึงต่อไป

สามเหลี่ยมธรรมดาและสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

รูปหลายเหลี่ยมปกติคือรูปที่มี n มุม ซึ่งด้านและมุมทั้งหมดเท่ากัน นี่คือสามเหลี่ยมมุมฉาก เนื่องจากผลรวมของมุมทั้งหมดของสามเหลี่ยมคือ 180° แต่ละมุมทั้งสามคือ 60°

สามเหลี่ยมมุมฉากเนื่องจากคุณสมบัติของมันจึงเรียกว่ารูปด้านเท่า

นอกจากนี้ยังเป็นที่น่าสังเกตว่ามีเพียงวงกลมเดียวเท่านั้นที่สามารถจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมปกติและสามารถล้อมรอบได้เพียงวงกลมเดียวเท่านั้นและจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดเดียว

นอกจากประเภทด้านเท่าแล้ว เรายังสามารถแยกความแตกต่างของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ซึ่งแตกต่างจากรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเล็กน้อย ในสามเหลี่ยมดังกล่าว ด้านสองด้านและมุมสองมุมจะเท่ากัน และด้านที่สาม (ซึ่งมุมเท่ากันติดกัน) เป็นฐาน

รูปภาพแสดง DEF สามเหลี่ยมหน้าจั่วซึ่งมีมุม D และ F เท่ากัน และ DF เป็นฐาน

สามเหลี่ยมมุมฉาก

สามเหลี่ยมมุมฉากมีชื่อเช่นนี้เนื่องจากมุมหนึ่งของมันคือมุมฉาก นั่นคือ เท่ากับ 90° อีกสองมุมรวมกันได้ 90°

ด้านที่ใหญ่ที่สุดของสามเหลี่ยมดังกล่าว ซึ่งอยู่ตรงข้ามมุม 90 ° คือด้านตรงข้ามมุมฉาก ขณะที่อีกสองด้านคือขา สำหรับสามเหลี่ยมประเภทนี้ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถใช้ได้:

ผลรวมของกำลังสองของความยาวของขา เท่ากับกำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก

รูปแสดง BAC สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านตรงข้ามมุมฉาก AC และขา AB และ BC

ในการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีมุมฉาก คุณจำเป็นต้องรู้ค่าตัวเลขของขาของมัน

ไปที่สูตรเพื่อค้นหาพื้นที่ของตัวเลขที่กำหนด

สูตรพื้นฐานในการหาพื้นที่

ในเรขาคณิต สามารถจำแนกได้สองสูตรซึ่งเหมาะสำหรับการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเกือบทุกประเภท ได้แก่ สำหรับสามเหลี่ยมมุมแหลม มุมป้าน มุมปกติ และหน้าจั่ว มาวิเคราะห์กันทีละอย่าง

ด้านข้างและความสูง

สูตรนี้เป็นสูตรสากลในการหาพื้นที่ของรูปที่เรากำลังพิจารณา เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะทราบความยาวของด้านและความยาวของความสูงที่ลากเข้าไป สูตรเอง (ครึ่งหนึ่งของผลคูณของฐานและความสูง) มีดังนี้:

โดยที่ A คือด้านของสามเหลี่ยมที่กำหนด และ H คือความสูงของสามเหลี่ยม

ตัวอย่างเช่น ในการหาพื้นที่ของ ACB สามเหลี่ยมมุมแหลม คุณต้องคูณ AB ด้านของมันด้วยความสูง CD แล้วหารค่าผลลัพธ์ด้วยสอง

อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ไม่ง่ายเสมอไปที่จะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม ตัวอย่างเช่น ในการใช้สูตรนี้สำหรับสามเหลี่ยมมุมป้าน คุณต้องทำด้านใดด้านหนึ่งต่อจากนั้นจึงวาดความสูงลงไป

ในทางปฏิบัติ สูตรนี้ใช้บ่อยกว่าสูตรอื่น

สองด้านและมุม

สูตรนี้เหมือนกับสูตรก่อนหน้า เหมาะสำหรับรูปสามเหลี่ยมส่วนใหญ่ และในความหมายของสูตรนี้เป็นผลมาจากสูตรการหาพื้นที่ด้านข้างและความสูงของรูปสามเหลี่ยม นั่นคือสูตรที่พิจารณาสามารถอนุมานได้ง่ายจากสูตรก่อนหน้า ถ้อยคำมีลักษณะดังนี้:

S = ½*sinO*A*B,

โดยที่ A และ B คือด้านของสามเหลี่ยม และ O คือมุมระหว่างด้าน A และ B

โปรดจำไว้ว่า ไซน์ของมุมสามารถดูได้ในตารางพิเศษที่ตั้งชื่อตาม V. M. Bradis นักคณิตศาสตร์ชาวโซเวียตที่โดดเด่น

ทีนี้มาดูสูตรอื่นๆ ที่เหมาะกับสามเหลี่ยมประเภทพิเศษกันดีกว่า

พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก

นอกจากสูตรสากลซึ่งรวมถึงความจำเป็นในการวาดความสูงในรูปสามเหลี่ยมแล้วยังสามารถหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีมุมฉากได้จากขาของมัน

ดังนั้น พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีมุมฉากคือครึ่งหนึ่งของผลคูณของขาของมัน หรือ:

โดยที่ a และ b คือขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก

สามเหลี่ยมมุมฉาก

รูปทรงเรขาคณิตประเภทนี้โดดเด่นด้วยความจริงที่ว่าสามารถหาพื้นที่ได้ด้วยค่าที่ระบุด้านเดียวเท่านั้น (เนื่องจากทุกด้านของสามเหลี่ยมปกติเท่ากัน) ดังนั้น เมื่อพบกับภารกิจ "หาพื้นที่ของสามเหลี่ยมเมื่อด้านเท่ากัน" คุณต้องใช้สูตรต่อไปนี้:

S = A 2 *√3 / 4,

โดยที่ A คือด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่า

สูตรนกกระสา

ตัวเลือกสุดท้ายในการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมคือสูตรของนกกระสา เพื่อที่จะใช้ คุณจำเป็นต้องรู้ความยาวของทั้งสามด้านของรูป สูตรของนกกระสามีลักษณะดังนี้:

S = √p (p - a) (p - b) (p - c)

โดยที่ a, b และ c คือด้านของสามเหลี่ยมที่กำหนด

บางครั้งมอบหมายงาน: "พื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติคือการหาความยาวของด้านของมัน" ในกรณีนี้ คุณต้องใช้สูตรที่เรารู้จักอยู่แล้วในการค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติและหาค่าของด้าน (หรือกำลังสองของมัน):

A 2 \u003d 4S / √3

ปัญหาการสอบ

มีหลายสูตรในงานของ GIA ในวิชาคณิตศาสตร์ นอกจากนี้บ่อยครั้งจำเป็นต้องหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมบนกระดาษตาหมากรุก

ในกรณีนี้ จะสะดวกที่สุดในการวาดความสูงไปที่ด้านใดด้านหนึ่งของรูป กำหนดความยาวด้วยเซลล์ และใช้สูตรสากลในการค้นหาพื้นที่:

ดังนั้นหลังจากศึกษาสูตรที่นำเสนอในบทความแล้ว คุณจะไม่มีปัญหาในการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมแต่อย่างใด

พื้นที่สามเหลี่ยม - สูตรและตัวอย่างการแก้ปัญหา

ด้านล่างคือ สูตรการหาพื้นที่สามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งเหมาะสำหรับการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ โดยไม่คำนึงถึงคุณสมบัติ มุม หรือขนาดของมัน สูตรถูกนำเสนอในรูปแบบของรูปภาพนี่คือคำอธิบายสำหรับแอปพลิเคชันหรือเหตุผลของความถูกต้อง นอกจากนี้ ในรูปแบบที่แยกจากกัน ความสอดคล้องของสัญลักษณ์ตัวอักษรในสูตรและสัญลักษณ์กราฟิกในภาพวาดจะแสดงขึ้น

บันทึก . หากสามเหลี่ยมมีคุณสมบัติพิเศษ (หน้าจั่ว, สี่เหลี่ยม, ด้านเท่ากันหมด) คุณสามารถใช้สูตรด้านล่างได้ เช่นเดียวกับสูตรพิเศษเพิ่มเติมที่เป็นจริงสำหรับสามเหลี่ยมที่มีคุณสมบัติเหล่านี้เท่านั้น:

• "สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่า"

สูตรพื้นที่สามเหลี่ยม

คำอธิบายสำหรับสูตร:
ก, ข, ค- ความยาวของด้านของสามเหลี่ยมที่ต้องการหาพื้นที่
r- รัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม
R- รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม
ชม.- ความสูงของสามเหลี่ยมลดลงไปด้านข้าง
พี- ครึ่งวงกลมของรูปสามเหลี่ยม 1/2 ของผลรวมของด้านของมัน (ปริมณฑล)
α - มุมตรงข้ามด้าน a ของสามเหลี่ยม
β - มุมตรงข้ามด้านขของรูปสามเหลี่ยม
γ - มุมตรงข้ามกับด้าน c ของสามเหลี่ยม
ชม. เอ, ชม. ข , ชม. ค- ความสูงของสามเหลี่ยมลดลงไปทางด้าน a, b, c

โปรดทราบว่าสัญกรณ์ที่ให้มานั้นสอดคล้องกับรูปด้านบน ดังนั้นเมื่อแก้ปัญหาจริงในเรขาคณิต จะง่ายกว่าสำหรับคุณในการแทนที่ค่าที่ถูกต้องในตำแหน่งที่ถูกต้องในสูตรด้วยสายตา

• พื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ ผลคูณของความสูงของสามเหลี่ยมครึ่งหนึ่งและความยาวของด้านที่ความสูงนี้ลดลง(สูตร 1). ความถูกต้องของสูตรนี้สามารถเข้าใจได้ในเชิงตรรกะ ความสูงที่ลดลงถึงฐานจะแบ่งรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจออกเป็นสองรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า หากเราเติมแต่ละอันให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีขนาด b และ h แน่นอนว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมเหล่านี้จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (Spr = bh)
• พื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ ครึ่งหนึ่งของผลคูณของทั้งสองข้างและไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน(สูตร 2) (ดูตัวอย่างการแก้ปัญหาโดยใช้สูตรด้านล่างนี้) แม้ว่าจะดูแตกต่างจากเมื่อก่อน แต่ก็สามารถเปลี่ยนเป็นมันได้อย่างง่ายดาย ถ้าเราลดความสูงจากมุม B ไปที่ด้าน b ปรากฎว่าผลคูณของด้าน a และไซน์ของมุม γ ตามคุณสมบัติของไซน์ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับความสูงของสามเหลี่ยมที่วาดโดย เราซึ่งจะให้สูตรก่อนหน้าแก่เรา
• สามารถหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได้ ผ่าน งานรัศมีครึ่งหนึ่งของวงกลมที่จารึกไว้ด้วยผลรวมของความยาวของทุกด้าน(สูตร 3) กล่าวอีกนัยหนึ่งคุณต้องคูณครึ่งปริมณฑลของสามเหลี่ยมด้วยรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ (จำง่ายกว่าด้วยวิธีนี้)
• พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจหาได้จากการหารผลคูณของด้านทั้งหมดด้วย 4 รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบมัน (สูตร 4)
• สูตรที่ 5 คือ การหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมในแง่ของความยาวด้านและกึ่งปริมณฑล (ครึ่งหนึ่งของผลรวมของด้านทั้งหมด)
• สูตรนกกระสา(6) เป็นการแสดงสูตรเดียวกันโดยไม่ใช้แนวคิดของกึ่งปริมณฑลผ่านความยาวของด้านเท่านั้น
• พื้นที่ของสามเหลี่ยมใดๆ ก็ตาม เท่ากับผลคูณของกำลังสองของด้านของรูปสามเหลี่ยมและไซน์ของมุมที่อยู่ติดกับด้านนี้หารด้วยไซน์คู่ของมุมตรงข้ามกับด้านนี้ (สูตร 7)
• พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจสามารถหาได้จากผลคูณของสองสี่เหลี่ยมของวงกลมที่ล้อมรอบมันและค่าไซน์ของแต่ละมุมของมัน (สูตร 8)
• หากทราบความยาวของด้านใดด้านหนึ่งและขนาดของมุมสองมุมที่อยู่ประชิดกัน พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหาได้เป็นกำลังสองของด้านนี้ หารด้วยผลรวมสองเท่าของโคแทนเจนต์ของพวกนี้ มุม (สูตร 9)
• หากทราบเฉพาะความยาวของความสูงของแต่ละความสูงของรูปสามเหลี่ยม (สูตร 10) พื้นที่ของสามเหลี่ยมดังกล่าวจะเป็นสัดส่วนผกผันกับความยาวของความสูงเหล่านี้ตามสูตรของนกกระสา
• สูตร 11 ให้คุณคำนวณ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมตามพิกัดของจุดยอดซึ่งกำหนดเป็นค่า (x;y) สำหรับแต่ละจุดยอด โปรดทราบว่าจะต้องใช้ค่าผลลัพธ์แบบโมดูโลเนื่องจากพิกัดของจุดยอดแต่ละจุด (หรือทั้งหมด) สามารถอยู่ในพื้นที่ของค่าลบ

บันทึก. ต่อไปนี้คือตัวอย่างการแก้ปัญหาในเรขาคณิตเพื่อหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม หากคุณต้องการแก้ปัญหาในเรขาคณิต ที่คล้ายกับที่ไม่ได้อยู่ที่นี่ - เขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ในฟอรัม ในการแก้ปัญหา สามารถใช้ฟังก์ชัน sqrt() แทนสัญลักษณ์ "รากที่สอง" ซึ่ง sqrt เป็นสัญลักษณ์รากที่สอง และนิพจน์รากจะระบุในวงเล็บ.บางครั้งสัญลักษณ์สามารถใช้กับนิพจน์รากศัพท์ง่ายๆ ได้ √

งาน. จงหาพื้นที่ที่ให้สองด้านและมุมระหว่างพวกมัน

ด้านของสามเหลี่ยมคือ 5 และ 6 ซม. มุมระหว่างพวกเขาคือ 60 องศา หาพื้นที่สามเหลี่ยม.

การตัดสินใจ.

เพื่อแก้ปัญหานี้ เราใช้สูตรที่สองจากส่วนทฤษฎีของบทเรียน
พื้นที่ของสามเหลี่ยมสามารถหาได้จากความยาวของสองด้านและไซน์ของมุมระหว่างพวกมันและจะเท่ากับ
S=1/2 ab บาป γ

เนื่องจากเรามีข้อมูลที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหา (ตามสูตร) ​​เราจึงสามารถแทนที่ค่าจากข้อความแจ้งปัญหาลงในสูตรได้เท่านั้น:
S=1/2*5*6*บาป60

ในตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เราค้นหาและแทนที่ค่าของไซน์ 60 องศาในนิพจน์ มันจะเท่ากับรูทของสามคูณสอง
S = 15 √3 / 2

ตอบ: 7.5 √3 (ขึ้นอยู่กับความต้องการของอาจารย์อาจออก 15 √3/2)

งาน. หาพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่า

หาพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้านยาว 3 ซม.

การตัดสินใจ .

พื้นที่ของสามเหลี่ยมหาได้จากสูตรของนกกระสา:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

ตั้งแต่ a \u003d b \u003d c สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าจะอยู่ในรูปแบบ:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

ตอบ: 9 √3 / 4.

งาน. เปลี่ยนพื้นที่เมื่อเปลี่ยนความยาวของด้าน

พื้นที่ของสามเหลี่ยมจะเพิ่มขึ้นกี่ครั้งถ้าด้านเป็นสี่เท่า?

การตัดสินใจ.

เนื่องจากเราไม่ทราบขนาดของด้านของสามเหลี่ยม ดังนั้นในการแก้ปัญหา เราจะถือว่าความยาวของด้านนั้นเท่ากับตัวเลข a, b, c ตามลำดับ จากนั้นเพื่อตอบคำถามของปัญหา เราจะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้ แล้วหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีด้านใหญ่กว่าสี่เท่า อัตราส่วนของพื้นที่ของสามเหลี่ยมเหล่านี้จะให้คำตอบของปัญหา

ต่อไป เราจะให้คำอธิบายที่เป็นข้อความของการแก้ปัญหาเป็นขั้นตอน อย่างไรก็ตาม ในตอนท้าย วิธีการแก้ปัญหาเดียวกันนี้ถูกนำเสนอในรูปแบบกราฟิกที่สะดวกกว่าสำหรับการรับรู้ ผู้ที่ต้องการสามารถวางวิธีแก้ปัญหาได้ทันที

ในการแก้ปัญหา เราใช้สูตร Heron (ดูด้านบนในส่วนทฤษฎีของบทเรียน) ดูเหมือนว่านี้:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(ดูบรรทัดแรกของภาพด้านล่าง)

ความยาวของด้านของสามเหลี่ยมตามอำเภอใจนั้นมาจากตัวแปร a, b, c
หากด้านเพิ่มขึ้น 4 เท่า พื้นที่ของสามเหลี่ยมใหม่ c จะเป็น:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(ดูบรรทัดที่สองในภาพด้านล่าง)

ดังที่คุณเห็น 4 เป็นปัจจัยร่วมที่สามารถตัดวงเล็บออกจากนิพจน์ทั้งสี่ตามกฎทั่วไปของคณิตศาสตร์
แล้ว

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - ในบรรทัดที่สามของภาพ
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - สายที่สี่

จากหมายเลข 256 รากที่สองถูกแยกออกมาอย่างสมบูรณ์ ดังนั้นเราจะเอามันออกจากใต้รูท
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(ดูบรรทัดที่ห้าของรูปด้านล่าง)

เพื่อตอบคำถามในปัญหา การแบ่งพื้นที่ของสามเหลี่ยมผลลัพธ์ด้วยพื้นที่เดิมก็เพียงพอแล้ว
เรากำหนดอัตราส่วนพื้นที่โดยแบ่งนิพจน์ออกเป็นส่วนๆ และลดเศษส่วนที่เป็นผลลัพธ์