มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น มุมระหว่างเส้นตรงที่ตัดกัน: นิยามตัวอย่างการหา

และ. ให้มีเส้นตรงสองเส้นเส้นตรงเหล่านี้ตามที่ระบุไว้ในบทที่ 1 สร้างมุมบวกและลบต่าง ๆ ซึ่งอาจเป็นได้ทั้งแบบเฉียบพลันและแบบป้าน เมื่อรู้มุมใดมุมหนึ่งเราสามารถค้นหามุมอื่น ๆ ได้อย่างง่ายดาย

อย่างไรก็ตามสำหรับมุมทั้งหมดนี้ค่าตัวเลขของแทนเจนต์จะเท่ากันความแตกต่างสามารถอยู่ในเครื่องหมายเท่านั้น

สมการของเส้น ตัวเลขคือเส้นโครงของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงแรกและเส้นที่สองมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้จะเท่ากับหนึ่งในมุมที่เกิดจากเส้นตรง ดังนั้นงานจึงลดลงเพื่อกำหนดมุมระหว่างเวกเตอร์เราได้รับ

เพื่อความง่ายเราสามารถตกลงมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นเพื่อหมายถึงมุมบวกเฉียบพลันได้ (ดังตัวอย่างในรูปที่ 53)

จากนั้นแทนเจนต์ของมุมนี้จะเป็นบวกเสมอ ดังนั้นหากเครื่องหมายลบปรากฏขึ้นทางด้านขวามือของสูตร (1) เราต้องทิ้งมันนั่นคือเก็บเฉพาะค่าสัมบูรณ์เท่านั้น

ตัวอย่าง. กำหนดมุมระหว่างเส้นตรง

ตามสูตร (1) เรามี

จาก. หากมีการระบุว่าด้านใดของมุมเป็นจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดดังนั้นการนับทิศทางของมุมทวนเข็มนาฬิกาเสมอเราสามารถดึงข้อมูลเพิ่มเติมจากสูตร (1) ได้ ดังที่เห็นได้ง่ายจากรูปที่ เครื่องหมายที่ 53 ที่ได้รับทางด้านขวาของสูตร (1) จะระบุว่ามุมใด - มุมแหลมหรือมุมป้านสร้างบรรทัดที่สองกับบรรทัดแรก

(จากรูปที่ 53 เราจะเห็นว่ามุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทางแรกและทิศทางที่สองมีค่าเท่ากับมุมที่ต้องการระหว่างเส้นตรงหรือแตกต่างจากมุมที่± 180 °)

ง. ถ้าเส้นตรงขนานกันแสดงว่าเวกเตอร์ทิศทางของมันขนานกันด้วยการใช้เงื่อนไขของการขนานของเวกเตอร์สองตัวเราจะได้!

นี่เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการขนานกันของเส้นตรงสองเส้น

ตัวอย่าง. โดยตรง

ขนานกันเพราะ

จ. ถ้าเส้นตรงตั้งฉากแล้วเวกเตอร์ทิศทางของมันก็ตั้งฉากด้วย การใช้เงื่อนไขของการตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัวทำให้เราได้เงื่อนไขของการตั้งฉากของสองเส้นคือ

ตัวอย่าง. โดยตรง

ตั้งฉากกันเนื่องจากความจริงที่ว่า

ในการเชื่อมต่อกับเงื่อนไขของการขนานและการตั้งฉากเราจะแก้ปัญหาสองข้อต่อไปนี้

ฉ. ลากเส้นตรงผ่านจุดที่ขนานกับเส้นตรงนี้

การแก้ปัญหาจะดำเนินการดังนี้ เนื่องจากเส้นตรงที่ต้องการนั้นขนานกับเส้นที่กำหนดดังนั้นสำหรับเวกเตอร์ทิศทางของมันเราจึงสามารถหาเส้นเดียวกับเส้นตรงที่กำหนดนั่นคือเวกเตอร์ที่มีเส้นโครง A และ B แล้วสมการของเส้นตรงที่ต้องการ จะเขียนในรูปแบบ (§ 1)

ตัวอย่าง. สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด (1; 3) ขนานกับเส้นตรง

จะเป็นอย่างไรต่อไป!

ก. ลากเส้นตรงผ่านจุดที่ตั้งฉากกับเส้นตรงนี้

ที่นี่ไม่เหมาะที่จะใช้เวกเตอร์ที่มีเส้นโครง A และเป็นเวกเตอร์ทิศทางอีกต่อไป แต่เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับมันจะต้องถูกเป่า ควรเลือกการคาดการณ์ของเวกเตอร์นี้ดังนั้นตามเงื่อนไขของการตั้งฉากของเวกเตอร์ทั้งสองเช่นตามเงื่อนไข

เงื่อนไขนี้สามารถเติมเต็มได้หลายวิธีเนื่องจากนี่คือสมการหนึ่งที่มีสองสิ่งที่ไม่รู้จัก แต่วิธีที่ง่ายที่สุดคือการไปจากนั้นสมการของเส้นตรงที่ต้องการจะถูกเขียนในรูปแบบ

ตัวอย่าง. สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด (-7; 2) ในเส้นตั้งฉาก

จะเป็นดังต่อไปนี้ (ตามสูตรที่สอง)!

ซ. ในกรณีที่เส้นตรงกำหนดโดยสมการของแบบฟอร์ม

คำแนะนำ

บันทึก

คาบของฟังก์ชันตรีโกณมิติของแทนเจนต์คือ 180 องศาซึ่งหมายความว่าความชันของเส้นตรงไม่สามารถเกินค่านี้ได้ในค่าสัมบูรณ์

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

ถ้าความลาดชันเท่ากันมุมระหว่างเส้นดังกล่าวจะเท่ากับ 0 เนื่องจากเส้นดังกล่าวตรงกันหรือขนานกัน

ในการกำหนดค่าของมุมระหว่างการข้ามเส้นตรงจำเป็นต้องย้ายเส้นตรงทั้งสองเส้น (หรือเส้นใดเส้นหนึ่ง) ไปยังตำแหน่งใหม่โดยใช้วิธีการถ่ายโอนแบบขนานก่อนที่จะข้าม หลังจากนั้นคุณควรหาค่าของมุมระหว่างเส้นตรงที่ตัดกันเป็นผลลัพธ์

คุณจะต้องการ

• ไม้บรรทัดสามเหลี่ยมมุมฉากดินสอไม้โปรแทรกเตอร์

คำแนะนำ

ดังนั้นให้เวกเตอร์ V \u003d (a, b, c) และระนาบ A x + B y + C z \u003d 0 โดยที่ A, B และ C คือพิกัดของ N ปกติจากนั้นให้โคไซน์ของมุม αระหว่างเวกเตอร์ V และ N เท่ากับ: сosα \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))

ในการคำนวณค่าของมุมในหน่วยองศาหรือเรเดียนคุณต้องคำนวณฟังก์ชันผกผันกับโคไซน์จากนิพจน์ผลลัพธ์นั่นคือ arccosine: α \u003d arccos ((a + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)))

ตัวอย่าง: ค้นหา มุม ระหว่าง เวกเตอร์ (5, -3, 8) และ เครื่องบินกำหนดโดยสมการทั่วไป 2 x - 5 y + 3 z \u003d 0 วิธีแก้ปัญหา: เขียนพิกัดของเวกเตอร์ปกติของระนาบ N \u003d (2, -5, 3) แทนค่าที่ทราบทั้งหมดลงในสูตรข้างต้น: cos α \u003d (10 + 15 + 24) / √3724≈ 0.8 →α \u003d 36.87 °

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

เส้นตรงที่มีจุดร่วมจุดเดียวกับวงกลมแทนเจนต์กับวงกลม คุณสมบัติอีกประการหนึ่งของแทนเจนต์คือมันจะตั้งฉากกับรัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัสนั่นคือแทนเจนต์และรัศมีเป็นเส้นตรง มุม... ถ้าจากจุดหนึ่งเส้นสัมผัสสองเส้นถูกลากไปยังวงกลม AB และ AC พวกมันจะเท่ากันเสมอ การกำหนดมุมระหว่างแทนเจนต์ ( มุม ABC) ผลิตโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

คำแนะนำ

ในการกำหนดมุมคุณจำเป็นต้องทราบรัศมีของวงกลม OB และ OS และระยะห่างของจุดกำเนิดของแทนเจนต์จากศูนย์กลางของวงกลม - O ดังนั้นมุมของ ABO และ ACO จึงเท่ากันรัศมี ของ OB เช่น 10 ซม. และระยะทางไปยังจุดศูนย์กลางของวงกลม AO คือ 15 ซม. กำหนดความยาวของเส้นสัมผัสตามสูตรตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส AB \u003d รากที่สองของ AO2 - OB2 หรือ 152 - 102 \u003d 225 - 100 \u003d 125;

ให้เส้นตรงสองเส้น l และ m บนระนาบในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้รับจากสมการทั่วไป: l: A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0

เวกเตอร์ของบรรทัดฐานของบรรทัดที่กำหนด: \u003d (A 1, B 1) - ถึงบรรทัด l,

\u003d (A 2, B 2) - ถึงบรรทัดม.

ให้ j เป็นมุมระหว่างเส้น l และ m

เนื่องจากมุมที่มีด้านตั้งฉากซึ่งกันและกันมีค่าเท่ากันหรือบวกได้ถึง p ดังนั้น นั่นคือ cos j \u003d

ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท. ให้ j เป็นมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นบนระนาบและปล่อยให้เส้นตรงเหล่านี้ถูกกำหนดในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนโดยสมการทั่วไป A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 และ A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 แล้ว cos j \u003d .

การออกกำลังกาย.

1) แสดงสูตรคำนวณมุมระหว่างเส้นตรงถ้า:

(1) ทั้งสองบรรทัดถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์ (2) ทั้งสองบรรทัดกำหนดโดยสมการบัญญัติ (3) เส้นตรงเส้นหนึ่งถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์อีกเส้นตรง - โดยสมการทั่วไป (4) เส้นตรงทั้งสองถูกกำหนดโดยสมการที่มีความชัน

2) ให้ j เป็นมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นบนระนาบและปล่อยให้เส้นตรงเหล่านี้กำหนดโดยระบบพิกัดคาร์ทีเซียนโดยสมการ y \u003d k 1 x + b 1 และ y \u003d k 2 x + b 2

จากนั้น tg j \u003d.

3) สำรวจตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นตรงสองเส้นซึ่งกำหนดโดยสมการทั่วไปในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนและกรอกข้อมูลในตาราง:

ระยะทางจากจุดถึงเส้นตรงบนระนาบ

ให้เส้น l บนระนาบในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนกำหนดโดยสมการทั่วไป Ax + By + C \u003d 0 จงหาระยะทางจากจุด M (x 0, y 0) ถึงเส้น l

ระยะห่างจากจุด M ถึงเส้น l คือความยาวของ HM ที่ตั้งฉาก (H Î l, HM ^ l)

เวกเตอร์และเวกเตอร์ปกติของเส้น l เป็น collinear ดังนั้น | | \u003d | | | | และ | | \u003d.

ให้พิกัดของจุด H (x, y)

เนื่องจากจุด H เป็นของบรรทัด l ดังนั้น Ax + By + C \u003d 0 (*)

พิกัดของเวกเตอร์และ: \u003d (x 0 - x, y 0 - y), \u003d (A, B)

| | = = =

(C \u003d -Ax - โดยดู (*))

ทฤษฎีบท. ให้เส้น l ถูกกำหนดในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนโดยสมการทั่วไป Ax + By + C \u003d 0 จากนั้นระยะทางจากจุด M (x 0, y 0) ถึงเส้นนี้คำนวณโดยสูตร: r (M; ล.) \u003d .

การออกกำลังกาย.

1) แสดงสูตรสำหรับคำนวณระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังเส้นตรงถ้า: (1) กำหนดเส้นตรงแบบพาราเมตริก (2) เส้นตรงกำหนดโดยสมการบัญญัติ (3) เส้นตรงกำหนดโดยสมการที่มีความชัน

2) เขียนสมการของวงกลมแทนเจนต์กับเส้นตรง 3x - y \u003d 0 ตรงกลางที่ Q (-2.4)

3) เขียนสมการของเส้นตรงหารมุมที่เกิดจากจุดตัดของเส้นตรง 2x + y - 1 \u003d 0 และ x + y + 1 \u003d 0 แบ่งครึ่ง

§ 27. นิยามเชิงวิเคราะห์ของเครื่องบินในอวกาศ

คำจำกัดความ. เวกเตอร์ปกติของเครื่องบิน เราจะเรียกเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ตัวแทนใด ๆ ที่ตั้งฉากกับระนาบที่กำหนด

แสดงความคิดเห็น. เป็นที่ชัดเจนว่าหากตัวแทนของเวกเตอร์อย่างน้อยหนึ่งตัวตั้งฉากกับระนาบตัวแทนอื่น ๆ ทั้งหมดของเวกเตอร์จะตั้งฉากกับระนาบนี้

ให้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนในอวกาศ

ให้ระนาบ a \u003d (A, B, C) เป็นเวกเตอร์ปกติของระนาบนี้จุด M (x 0, y 0, z 0) เป็นของระนาบ a

สำหรับจุดใด ๆ N (x, y, z) ของระนาบ a เวกเตอร์และเป็นมุมฉากนั่นคือผลคูณสเกลาร์ของมันมีค่าเท่ากับศูนย์: \u003d 0 เราเขียนความเท่าเทียมกันสุดท้ายในพิกัด: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) \u003d 0

ให้ -Ax 0 - โดย 0 - Cz 0 \u003d D จากนั้น Ax + By + Cz + D \u003d 0

หาจุด K (x, y) เช่น Ax + By + Cz + D \u003d 0 ตั้งแต่ D \u003d -Ax 0 - โดย 0 - Cz 0 ดังนั้น A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) \u003d 0 เนื่องจากพิกัดของส่วนกำกับ \u003d (x - x 0, y - y 0, z - z 0) ความเสมอภาคสุดท้ายจึงหมายความว่า ^ และดังนั้น K Î a

ดังนั้นเราได้พิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้:

ทฤษฎีบท. ระนาบใด ๆ ในอวกาศในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามารถระบุได้ด้วยสมการของรูปแบบ Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) โดยที่ (A, B, C) คือ พิกัดของเวกเตอร์ปกติกับระนาบนี้

คอนเวิร์สก็จริงเช่นกัน

ทฤษฎีบท. สมการใด ๆ ของรูปแบบ Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนกำหนดระนาบที่แน่นอนในขณะที่ (A, B, C) เป็นพิกัดของค่าปกติ เวกเตอร์ของเครื่องบินลำนี้

หลักฐาน.

หาจุด M (x 0, y 0, z 0) เช่น Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D \u003d 0 และเวกเตอร์ \u003d (A, B, C) (≠ q)

ระนาบผ่านจุด M ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ (และยิ่งไปกว่านั้นมีเพียงจุดเดียว) ตามทฤษฎีบทก่อนหน้านี้ระนาบนี้กำหนดโดยสมการ Ax + By + Cz + D \u003d 0

คำจำกัดความ สมการของรูปแบบ Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) เรียกว่า สมการทั่วไปของเครื่องบิน.

ตัวอย่าง.

ลองเขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุด M (0,2,4), N (1, -1,0) และ K (-1,0,5)

1. หาพิกัดของเวกเตอร์ปกติกับระนาบ (MNK) เนื่องจากผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ´ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลลิเนียร์และเวกเตอร์จึงเป็นคอลลิเนียร์´

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

´\u003d (-11, 3, -5)

ดังนั้นในฐานะเวกเตอร์ปกติเราใช้เวกเตอร์ \u003d (-11, 3, -5)

2. ตอนนี้เราใช้ผลลัพธ์ของทฤษฎีบทแรก:

สมการของระนาบที่กำหนด A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) \u003d 0 โดยที่ (A, B, C) เป็นพิกัดของเวกเตอร์ปกติ (x 0 , y 0, z 0) - พิกัดของจุดที่อยู่ในระนาบ (ตัวอย่างเช่นจุด M)

11 (x - 0) + 3 (y - 2) - 5 (z - 4) \u003d 0

11x + 3y - 5z + 14 \u003d 0

คำตอบ: -11x + 3y - 5z + 14 \u003d 0

การออกกำลังกาย.

1) เขียนสมการของระนาบ if

(1) เครื่องบินผ่านจุด M (-2,3,0) ขนานกับระนาบ 3x + y + z \u003d 0;

(2) ระนาบประกอบด้วยแกน (Ox) และตั้งฉากกับระนาบ x + 2y - 5z + 7 \u003d 0

2) เขียนสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุดสามจุดนี้

§ 28. นิยามเชิงวิเคราะห์ของช่องว่างครึ่งหนึ่ง *

แสดงความคิดเห็น *... ปล่อยให้เครื่องบินบางส่วนได้รับการแก้ไข ภายใต้ พื้นที่ครึ่งหนึ่งเราหมายถึงชุดของจุดที่อยู่ด้านหนึ่งของระนาบที่กำหนดนั่นคือจุดสองจุดอยู่ในช่องว่างครึ่งเดียวกันหากส่วนที่เชื่อมต่อกันไม่ตัดกับระนาบนี้ เครื่องบินลำนี้เรียกว่า ขอบเขตของพื้นที่ครึ่งหนึ่งนี้... จะเรียกการรวมกันของระนาบนี้กับพื้นที่ครึ่งหนึ่ง ปิดครึ่งพื้นที่.

ให้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้รับการแก้ไขในอวกาศ

ทฤษฎีบท. ให้ระนาบเป็นสมการทั่วไป Ax + By + Cz + D \u003d 0 จากนั้นหนึ่งในสองช่องว่างที่ระนาบ a หารช่องว่างจะได้รับจากอสมการ Ax + By + Cz + D\u003e 0 และช่องว่างครึ่งหลังถูกกำหนดโดยอสมการ Ax + By + Cz + D< 0.

หลักฐาน.

ให้เราแยกเวกเตอร์ปกติ \u003d (A, B, C) ไปที่ระนาบ a จากจุด M (x 0, y 0, z 0) ที่อยู่บนระนาบนี้: \u003d, M Î a, MN ^ a แบ่งระนาบออกเป็นสองช่องว่าง: b 1 และ b 2 เป็นที่ชัดเจนว่าจุด N อยู่ในช่องว่างครึ่งหนึ่งเหล่านี้ หากไม่มีการสูญเสียลักษณะทั่วไปเราจะถือว่า N Î b 1.

ให้เราพิสูจน์ว่าพื้นที่ครึ่งหนึ่ง b 1 ถูกกำหนดโดยอสมการ Ax + By + Cz + D\u003e 0

1) หาจุด K (x, y, z) ในช่องว่างครึ่งหนึ่ง b 1 มุมл NMK คือมุมระหว่างเวกเตอร์และเป็นแบบเฉียบพลันดังนั้นผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้จึงเป็นบวก:\u003e 0 เราเขียนอสมการนี้ในพิกัด: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0)\u003e 0 นั่นคือ Ax + By + Cy - Ax 0 - By 0 - C z 0\u003e 0

ตั้งแต่ M Î b 1 ตามด้วย Ax 0 + By 0 + C z 0 + D \u003d 0 ดังนั้น -Ax 0 - By 0 - C z 0 \u003d D ดังนั้นอสมการสุดท้ายสามารถเขียนได้ดังนี้: Ax + By + Cz + D\u003e 0.

2) ใช้จุด L (x, y) เช่น Ax + By + Cz + D\u003e 0

เขียนอสมการใหม่แทนที่ D ด้วย (-Ax 0 - By 0 - C z 0) (ตั้งแต่ M Î b 1 ตามด้วย Ax 0 + By 0 + C z 0 + D \u003d 0): A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0)\u003e 0.

เวกเตอร์ที่มีพิกัด (x - x 0, y - y 0, z - z 0) เป็นเวกเตอร์ดังนั้นนิพจน์ A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นผลิตภัณฑ์ดอทของเวกเตอร์และ เนื่องจากผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์และเป็นบวกมุมระหว่างทั้งสองจึงเป็นแบบเฉียบพลันและจุด L Î b 1

ในทำนองเดียวกันเราสามารถพิสูจน์ได้ว่าพื้นที่ครึ่งหนึ่ง b 2 ได้รับจากอสมการ Ax + By + Cz + D< 0.

หมายเหตุ.

1) เป็นที่ชัดเจนว่าการพิสูจน์ข้างต้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกจุด M ในระนาบก.

2) เป็นที่ชัดเจนว่าครึ่งพื้นที่เดียวกันสามารถระบุได้ด้วยอสมการที่แตกต่างกัน

คอนเวิร์สก็จริงเช่นกัน

ทฤษฎีบท. อสมการเชิงเส้นใด ๆ ของรูปแบบ Ax + By + Cz + D\u003e 0 (หรือ Ax + By + Cz + D< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

หลักฐาน.

สมการ Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) ในอวกาศกำหนดระนาบที่แน่นอน a (ดู§…) ตามที่พิสูจน์แล้วในทฤษฎีบทก่อนหน้านี้หนึ่งในสองช่องว่างที่ระนาบแบ่งช่องว่างนั้นได้รับจากอสมการ Axe Ax + By + Cz + D\u003e 0

หมายเหตุ.

1) เป็นที่ชัดเจนว่าพื้นที่ครึ่งปิดสามารถระบุได้โดยอสมการเชิงเส้นที่ไม่เข้มงวดและอสมการเชิงเส้นที่ไม่เข้มงวดใด ๆ ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนจะกำหนดพื้นที่ครึ่งปิด

2) รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนใด ๆ สามารถกำหนดให้เป็นจุดตัดของช่องว่างครึ่งวงกลมปิด (ขอบเขตซึ่งเป็นระนาบที่มีใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยม) กล่าวคือในเชิงวิเคราะห์โดยระบบอสมการเชิงเส้นที่ไม่ จำกัด

การออกกำลังกาย.

1) พิสูจน์ทั้งสองทฤษฎีบทที่นำเสนอสำหรับระบบพิกัดความสัมพันธ์โดยพลการ

2) การสนทนาเป็นความจริงหรือไม่ว่าระบบอสมการเชิงเส้นที่ไม่ จำกัด ใด ๆ กำหนดรูปหลายเหลี่ยมนูน?

1) ตรวจสอบตำแหน่งสัมพัทธ์ของระนาบทั้งสองที่กำหนดโดยสมการทั่วไปในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนและกรอกข้อมูลในตาราง

ฉันจะสั้น ๆ มุมระหว่างเส้นสองเส้นจะเท่ากับมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง ดังนั้นหากคุณสามารถหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง a \u003d (x 1; y 1; z 1) และ b \u003d (x 2; y 2; z 2) คุณจะหามุมได้ อย่างแม่นยำยิ่งขึ้นโคไซน์ของมุมตามสูตร:

มาดูกันว่าสูตรนี้ทำงานอย่างไรกับตัวอย่างเฉพาะ:

งาน. จุด E และ F ถูกทำเครื่องหมายในลูกบาศก์ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - จุดกึ่งกลางของขอบ A 1 B 1 และ B 1 C 1 ตามลำดับ หามุมระหว่างเส้น AE และ BF

เนื่องจากไม่ได้ระบุขอบของคิวบ์เราจึงตั้งค่า AB \u003d 1 แนะนำระบบพิกัดมาตรฐาน: จุดกำเนิดที่จุด A, แกน x, y, z ถูกนำไปตาม AB, AD และ AA 1 ตามลำดับ ส่วนหน่วยเท่ากับ AB \u003d 1 ตอนนี้เราหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางสำหรับเส้นของเรา

ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ AE ในการทำเช่นนี้เราต้องการคะแนน A \u003d (0; 0; 0) และ E \u003d (0.5; 0; 1) เนื่องจากจุด E เป็นจุดกึ่งกลางของส่วน A 1 B 1 พิกัดจึงเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพิกัดของจุดสิ้นสุด โปรดทราบว่าจุดกำเนิดของเวกเตอร์ AE ตรงกับจุดกำเนิดดังนั้น AE \u003d (0.5; 0; 1)

ทีนี้มาจัดการกับเวกเตอร์ BF ในทำนองเดียวกันเราแยกวิเคราะห์จุด B \u003d (1; 0; 0) และ F \u003d (1; 0.5; 1) เนื่องจาก F - จุดกึ่งกลางของส่วน B 1 C 1 เรามี:
BF \u003d (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) \u003d (0; 0.5; 1)

ดังนั้นเวกเตอร์ทิศทางพร้อมแล้ว โคไซน์ของมุมระหว่างเส้นตรงคือโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทางดังนั้นเราจึงมี:

งาน. ในปริซึมสามเหลี่ยมปกติ ABCA 1 B 1 C 1 ขอบทั้งหมดที่มีค่าเท่ากับ 1 จะมีการทำเครื่องหมายจุด D และ E - จุดกึ่งกลางของขอบ A 1 B 1 และ B 1 C 1 ตามลำดับ หามุมระหว่างบรรทัด AD และ BE

ขอแนะนำระบบพิกัดมาตรฐาน: จุดเริ่มต้นอยู่ที่จุด A แกน x ถูกนำไปตาม AB, z - ตาม AA 1 เรากำหนดทิศทางแกน y เพื่อให้ระนาบ OXY ตรงกับระนาบ ABC ส่วนหน่วยเท่ากับ AB \u003d 1 จงหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางสำหรับเส้นที่ต้องการ

ขั้นแรกให้หาพิกัดของเวกเตอร์ AD พิจารณาคะแนน: A \u003d (0; 0; 0) และ D \u003d (0.5; 0; 1) เนื่องจาก D - จุดกึ่งกลางของส่วน A 1 B 1 เนื่องจากจุดกำเนิดของเวกเตอร์ AD เกิดขึ้นพร้อมกับจุดกำเนิดเราจึงได้ AD \u003d (0.5; 0; 1)

ทีนี้มาหาพิกัดของเวกเตอร์ พ.ศ. จุด B \u003d (1; 0; 0) เป็นเรื่องง่าย ด้วยจุด E - ตรงกลางของส่วน C 1 B 1 - มันยากกว่าเล็กน้อย เรามี:

มันยังคงหาโคไซน์ของมุม:

งาน. ในปริซึมหกเหลี่ยมปกติ ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 ขอบทั้งหมดที่มีค่าเท่ากับ 1 จุด K และ L จะถูกทำเครื่องหมาย - จุดกึ่งกลางของขอบ A 1 B 1 และ B 1 C 1 ตามลำดับ หามุมระหว่างเส้น AK และ BL

ให้เราแนะนำระบบพิกัดมาตรฐานสำหรับปริซึม: วางจุดกำเนิดของพิกัดไว้ที่กึ่งกลางของฐานล่างกำหนดแกน x ตาม FC แกน y ผ่านจุดกึ่งกลางของส่วน AB และ DE และ z- แกนขึ้นในแนวตั้ง ส่วนของหน่วยเท่ากับ AB \u003d 1 อีกครั้งลองเขียนพิกัดของจุดสนใจให้เรา:

จุด K และ L คือจุดกึ่งกลางของเซ็กเมนต์ A 1 B 1 และ B 1 C 1 ตามลำดับดังนั้นพิกัดของพวกเขาจะถูกหาโดยใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต เมื่อรู้จุดเราจะพบพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง AK และ BL:

ทีนี้มาหาโคไซน์ของมุม:

งาน. ใน SABCD พีระมิดรูปสี่เหลี่ยมปกติขอบทั้งหมดที่มีค่าเท่ากับ 1 จุด E และ F จะถูกทำเครื่องหมาย - จุดกึ่งกลางของด้าน SB และ SC ตามลำดับ หามุมระหว่างเส้น AE และ BF

ขอแนะนำระบบพิกัดมาตรฐาน: จุดกำเนิดอยู่ที่จุด A แกน x และ y จะถูกนำไปตาม AB และ AD ตามลำดับและแกน z จะชี้ขึ้นในแนวตั้ง ส่วนของหน่วยเท่ากับ AB \u003d 1

จุด E และ F คือจุดกึ่งกลางของเซกเมนต์ SB และ SC ตามลำดับดังนั้นพิกัดของพวกเขาจึงถูกพบเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจุดจบ มาเขียนพิกัดจุดสนใจให้เราดู:
A \u003d (0; 0; 0); B \u003d (1; 0; 0)

เมื่อรู้จุดเราจะพบพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง AE และ BF:

พิกัดของเวกเตอร์ AE ตรงกับพิกัดของจุด E เนื่องจากจุด A เป็นจุดกำเนิด มันยังคงหาโคไซน์ของมุม:

มุมระหว่างเครื่องบิน

พิจารณาเครื่องบินสองลำα 1 และα 2 ซึ่งกำหนดโดยสมการตามลำดับ:

ภายใต้ มุม ระหว่างระนาบสองระนาบเราหมายถึงหนึ่งในมุมไดฮีดรัลที่เกิดจากระนาบเหล่านี้ เห็นได้ชัดว่ามุมระหว่างเวกเตอร์ปกติกับระนาบα 1 และα 2 เท่ากับหนึ่งในมุมไดฮิดรัลที่อยู่ติดกันที่ระบุหรือ ... ดังนั้น ... เพราะ และ แล้ว

.

ตัวอย่าง. กำหนดมุมระหว่างระนาบ x+2ย-3z+ 4 \u003d 0 และ 2 x+3ย+z+8=0.

สภาพของการขนานกันของเครื่องบินสองลำ

เครื่องบินสองลำα 1 และα 2 ขนานกันถ้าเวกเตอร์ปกติและขนานกันเท่านั้นซึ่งหมายความว่า .

ดังนั้นระนาบสองลำจะขนานกันก็ต่อเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ที่พิกัดที่สอดคล้องกันเป็นสัดส่วน:

หรือ

สภาพการตั้งฉากของระนาบ

เป็นที่ชัดเจนว่าระนาบสองระนาบตั้งฉากก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ปกติของพวกมันตั้งฉากและดังนั้นหรือ

ด้วยประการฉะนี้.

ตัวอย่าง.

ตรงไปตรงมาในอวกาศ

สมการเส้นเวกเตอร์

สมการเชิงพารามิเตอร์ของเส้น

ตำแหน่งของเส้นตรงในอวกาศถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยการระบุจุดคงที่ใด ๆ ม 1 และเวกเตอร์ขนานกับเส้นนี้

เรียกเวกเตอร์ที่ขนานกับเส้นตรง แนวทาง เวกเตอร์ของเส้นนี้

ดังนั้นให้มันตรง ล ผ่านจุด ม 1 (x 1 , ย 1 , z 1) นอนบนเส้นตรงขนานกับเวกเตอร์

พิจารณาจุดตามอำเภอใจ ม (x, y, z) บนเส้นตรง ตัวเลขแสดงให้เห็นว่า .

เวกเตอร์และเป็น collinear จึงมีจำนวนดังกล่าว tอะไรคือปัจจัย t สามารถรับค่าตัวเลขใดก็ได้ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุด ม บนเส้นตรง ปัจจัย t เรียกว่าพารามิเตอร์ แสดงถึงเวกเตอร์รัศมีของจุด ม 1 และ ม ตามลำดับผ่านและเราได้รับ สมการนี้เรียกว่า เวกเตอร์ สมการของเส้นตรง แสดงว่าสำหรับแต่ละค่าของพารามิเตอร์ t สอดคล้องกับเวกเตอร์รัศมีของบางจุด มนอนบนเส้นตรง

ลองเขียนสมการนี้ในรูปพิกัด สังเกตว่า และจากที่นี่

เรียกสมการที่เป็นผลลัพธ์ พาราเมตริก สมการของเส้นตรง

เมื่อเปลี่ยนพารามิเตอร์ t เปลี่ยนพิกัด x, ย และ z และจุด ม เคลื่อนที่เป็นเส้นตรง

สมการของคาโนนิกของไดเรค

ให้เป็น ม 1 (x 1 , ย 1 , z 1) เป็นจุดที่อยู่บนเส้นตรง ลและ เป็นเวกเตอร์ทิศทาง ใช้จุดตามอำเภอใจบนเส้นตรงอีกครั้ง ม (x, y, z) และพิจารณาเวกเตอร์

เป็นที่ชัดเจนว่าเวกเตอร์และเป็น collinear ดังนั้นพิกัดที่สอดคล้องกันจึงต้องเป็นสัดส่วนด้วยเหตุนี้

– บัญญัติ สมการเส้นตรง

หมายเหตุ 1. โปรดทราบว่าสมการมาตรฐานของเส้นตรงสามารถหาได้จากค่าพารามิเตอร์โดยการยกเว้นพารามิเตอร์ t... จากสมการพาราเมตริกที่เราได้รับ หรือ .

ตัวอย่าง. เขียนสมการของเส้นตรง ในรูปแบบพาราเมตริก

เราหมายถึง , จากที่นี่ x = 2 + 3t, ย = –1 + 2t, z = 1 –t.

หมายเหตุ 2. ให้เส้นตรงตั้งฉากกับหนึ่งในแกนพิกัดตัวอย่างเช่นแกน วัว... จากนั้นเวกเตอร์กำกับจะตั้งฉาก วัว, ดังนั้น ม\u003d 0. ดังนั้นสมการพาราเมตริกของเส้นตรงจึงอยู่ในรูปแบบ

การแยกพารามิเตอร์ออกจากสมการ tเราได้สมการของเส้นตรงในรูป

อย่างไรก็ตามในกรณีนี้เช่นกันเราตกลงที่จะเขียนสมการของเส้นตรงอย่างเป็นทางการในรูปแบบ ... ดังนั้นถ้าตัวส่วนของเศษส่วนหนึ่งเป็นศูนย์หมายความว่าเส้นตั้งฉากกับแกนพิกัดที่เกี่ยวข้อง

ในทำนองเดียวกันสมการบัญญัติ สอดคล้องกับเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกน วัว และ เอ๋ย หรือแกนขนาน ออนซ์.

ตัวอย่าง.

สมการทั่วไปของเส้นเป็นเส้นตัดกันของสองแผน

เครื่องบินจำนวนไม่ จำกัด ผ่านแต่ละเส้นตรงในอวกาศ สองคนใด ๆ ที่ตัดกันกำหนดมันในอวกาศ ดังนั้นสมการของเครื่องบินสองลำใด ๆ ที่พิจารณาร่วมกันจึงแสดงถึงสมการของเส้นตรงนี้

โดยทั่วไประนาบที่ไม่ขนานกันสองระนาบที่กำหนดโดยสมการทั่วไป

กำหนดเส้นตัดกัน สมการเหล่านี้เรียกว่า สมการทั่วไป ตรง.

ตัวอย่าง.

สร้างเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการ

ในการสร้างเส้นตรงก็เพียงพอที่จะหาจุดสองจุด วิธีที่ง่ายที่สุดคือการเลือกจุดตัดของเส้นกับระนาบพิกัด ตัวอย่างเช่นจุดตัดกับเครื่องบิน xOy เราได้จากสมการของเส้นตรงการตั้งค่า z= 0:

เมื่อแก้ไขระบบนี้แล้วเราพบจุด ม 1 (1;2;0).

ในทำนองเดียวกันการตั้งค่า ย\u003d 0 เราได้จุดตัดของเส้นตรงกับระนาบ xOz:

จากสมการทั่วไปของเส้นตรงคุณสามารถไปที่สมการมาตรฐานหรือพาราเมตริกได้ ในการทำเช่นนี้คุณต้องหาจุด ม 1 บนเส้นและเวกเตอร์ทิศทางของเส้น

จุดพิกัด ม 1 จะได้รับจากระบบสมการนี้โดยการกำหนดค่าโดยพลการให้กับหนึ่งในพิกัด ในการหาเวกเตอร์ทิศทางโปรดสังเกตว่าเวกเตอร์นี้ต้องตั้งฉากกับเวกเตอร์ปกติทั้งสอง และ ... ดังนั้นหลังเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง ล เราสามารถนำผลคูณข้ามของเวกเตอร์ปกติ:

.

ตัวอย่าง. ให้สมการทั่วไปของเส้นตรง ไปยังรูปแบบบัญญัติ

หาจุดที่อยู่บนเส้นตรง. ในการดำเนินการนี้เราเลือกพิกัดอย่างใดอย่างหนึ่งโดยพลการตัวอย่างเช่น ย\u003d 0 และแก้ระบบสมการ:

เวกเตอร์ปกติของระนาบที่กำหนดเส้นตรงมีพิกัด ดังนั้นเวกเตอร์กำกับจะเป็น

... ด้วยเหตุนี้ ล: .

มุมระหว่างตรง

มุม ระหว่างเส้นตรงในอวกาศเราจะเรียกมุมที่อยู่ติดกันซึ่งเกิดจากเส้นตรงสองเส้นที่ลากผ่านจุดโดยพลการขนานกับข้อมูล

ให้เส้นตรงสองเส้นในอวกาศ:

เห็นได้ชัดว่ามุมระหว่างเส้นตรงสามารถนำมาเป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทางและ ตั้งแต่นั้นมาตามสูตรสำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เราได้