มีอะไรแปลกเกี่ยวกับ Escher Falls Escher - ศิลปินกราฟิกชาวดัตช์

The Mathematical Art of Moritz Escher 28 กุมภาพันธ์ 2014

ต้นฉบับมาจาก imit_omsu ใน The Mathematical Art of Moritz Escher

“ นักคณิตศาสตร์เปิดประตูที่นำไปสู่อีกโลกหนึ่ง แต่พวกเขาเองก็ไม่กล้าที่จะเข้ามาในโลกนี้ พวกเขาสนใจเส้นทางที่ประตูตั้งอยู่มากกว่าในสวนด้านหลัง”
(เอ็ม. ซี. เอสเชอร์)

ภาพพิมพ์ "Hand with a Mirror Sphere" ภาพเหมือนตนเอง

Maurits Cornelius Escher เป็นศิลปินกราฟิกชาวดัตช์ที่นักคณิตศาสตร์ทุกคนรู้จัก
พล็อตผลงานของ Escher มีความเข้าใจอย่างแยบยลเกี่ยวกับความขัดแย้งทางตรรกะและพลาสติก
ก่อนอื่นเขาเป็นที่รู้จักสำหรับผลงานที่เขาใช้แนวคิดทางคณิตศาสตร์ต่างๆ - จากขีด จำกัด และแถบโมเบียสไปจนถึงรูปทรงเรขาคณิตของ Lobachevsky

Woodcut "มดแดง".

Maurits Escher ไม่ได้รับการศึกษาพิเศษทางคณิตศาสตร์ แต่ตั้งแต่เริ่มต้นอาชีพการสร้างสรรค์เขาสนใจในคุณสมบัติของอวกาศศึกษาด้านที่ไม่คาดคิดของมัน

“ สายใยแห่งความสามัคคี”.

เอสเชอร์มักจะขลุกอยู่ในการผสมผสานของโลก 2 มิติและ 3 มิติ


พิมพ์หิน "วาดมือ".

กราฟ "สัตว์เลื้อยคลาน"

การเอียง

การปูกระเบื้องคือการแบ่งระนาบเป็นตัวเลขที่เหมือนกัน ในการศึกษาพาร์ติชันประเภทนี้แนวคิดของกลุ่มสมมาตรถูกนำมาใช้แบบดั้งเดิม ลองนึกภาพเครื่องบินที่ปูกระเบื้อง เครื่องบินสามารถหมุนรอบแกนโดยพลการและเคลื่อนย้ายได้ ออฟเซ็ตถูกกำหนดโดยเวกเตอร์ออฟเซ็ตและการหมุนถูกกำหนดโดยศูนย์กลางและมุม การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวเรียกว่าการเคลื่อนไหว พวกเขาบอกว่านี่หรือการเคลื่อนไหวนั้นเป็นความสมมาตรหากหลังจากนั้นการปูกระเบื้องก็ผ่านเข้ามาในตัวเอง

ยกตัวอย่างเช่นพิจารณาระนาบแบ่งออกเป็นสี่เหลี่ยมเท่า ๆ กัน - สมุดบันทึกที่ไม่มีที่สิ้นสุดในเซลล์ในทุกทิศทาง หากเครื่องบินดังกล่าวหมุน 90 องศา (180, 270 หรือ 360 องศา) รอบ ๆ กึ่งกลางของสี่เหลี่ยมใด ๆ การปูกระเบื้องจะเปลี่ยนเป็นตัวมันเอง นอกจากนี้ยังแปลงเป็นตัวเองเมื่อเลื่อนโดยเวกเตอร์ขนานกับด้านใดด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยม ความยาวของเวกเตอร์ต้องเป็นผลคูณของด้านข้างของสี่เหลี่ยม

ในปีพ. ศ. 2467 George Polia (ก่อนที่จะย้ายไปที่ USA Gyorgy Polya) ได้ตีพิมพ์บทความเกี่ยวกับกลุ่มสมมาตรของการเอียงซึ่งเขาได้พิสูจน์ให้เห็นถึงข้อเท็จจริงที่น่าทึ่ง (แม้ว่าจะค้นพบแล้วในปีพ. ศ. 2434 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย Evgraf Fedorov และต่อมาถูกลืมอย่างปลอดภัย): มีสมมาตรเพียง 17 กลุ่มซึ่งรวมถึงการเลื่อนในทิศทางที่ต่างกันอย่างน้อยสองทิศทาง ในปีพ. ศ. 2479 เอสเชอร์สนใจเครื่องประดับของชาวมัวร์ (จากมุมมองทางเรขาคณิตรูปแบบของการปูพื้น) อ่านงานของโปเลีย แม้ว่าเขาจะไม่เข้าใจคณิตศาสตร์ทั้งหมดที่อยู่เบื้องหลังผลงานนี้ แต่เอสเชอร์ก็สามารถเข้าใจสาระสำคัญทางเรขาคณิตได้ ผลที่ตามมาจากทั้ง 17 กลุ่ม Escher จึงสร้างผลงานมากกว่า 40 ชิ้น

โมเสก.

Woodcut "กลางวันและกลางคืน".

"การปูพื้นเครื่องบิน IV".

Woodcut "ฟ้าและน้ำ".

การเอียง กลุ่มเป็นสิ่งที่เรียบง่ายเครื่องกำเนิดไฟฟ้า: การเลื่อนสมมาตรและการถ่ายโอนแบบขนาน แต่กระเบื้องปูนั้นวิเศษมาก และเมื่อใช้ร่วมกับแถบ Mobius นั่นแหล่ะ


Woodcut "Horsemen".

รูปแบบอื่นในรูปแบบของโลกแบนและสามมิติและการเอียง


ภาพพิมพ์หิน "กระจกวิเศษ".

เอสเชอร์เป็นเพื่อนกับโรเจอร์เพนโรสนักฟิสิกส์ ในเวลาว่างจากฟิสิกส์ Penrose ทำงานในการไขปริศนาทางคณิตศาสตร์ วันหนึ่งเขาเกิดความคิดต่อไปนี้: ถ้าคุณนึกภาพการปูกระเบื้องที่ประกอบด้วยตัวเลขมากกว่าหนึ่งรูปกลุ่มสมมาตรของมันจะแตกต่างจากที่ Polia อธิบายหรือไม่? เมื่อปรากฎคำตอบสำหรับคำถามนี้คือใช่ - นี่คือวิธีการเกิดโมเสคเพนโรส ในช่วงทศวรรษที่ 1980 มีการเปิดเผยว่ามีความเกี่ยวข้องกับ quasicrystals (รางวัลโนเบลสาขาเคมี 2011)

อย่างไรก็ตามเอสเชอร์ไม่มีเวลา (หรืออาจไม่ต้องการ) ใช้ภาพโมเสคนี้ในงานของเขา (แต่มีภาพโมเสค "Penrose Chickens" ของเพนโรสที่ยอดเยี่ยมไม่ใช่เอสเชอร์วาดไว้)

เครื่องบิน Lobachevsky

ข้อที่ห้าในรายการสัจพจน์ใน "หลักการ" ของยุคลิดในการสร้างใหม่ของ Heiberg คือข้อความต่อไปนี้: ถ้าเส้นตรงที่ตัดกันเส้นตรงสองเส้นก่อให้เกิดมุมด้านเดียวภายในน้อยกว่าเส้นตรงสองเส้นจากนั้นจะดำเนินต่อไปเรื่อย ๆ โดยไม่มีกำหนดทั้งสองเส้นตรง เส้นจะบรรจบกันที่ด้านที่มุมน้อยกว่าเส้นตรงสองเส้น ... ในวรรณคดีสมัยใหม่นิยมใช้สูตรที่เทียบเท่าและสง่างามกว่า: ผ่านจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงมีเส้นตรงขนานกับเส้นที่กำหนดและยิ่งไปกว่านั้นมีเพียงเส้นเดียว แต่แม้ในสูตรนี้สัจพจน์ซึ่งแตกต่างจากสมมุติฐานอื่น ๆ ของ Euclid ก็ดูยุ่งยากและสับสนนั่นคือเหตุผลว่าทำไมนักวิทยาศาสตร์จึงพยายามอนุมานคำพูดนี้จากส่วนที่เหลือเป็นเวลาสองพันปี นั่นคือในความเป็นจริงเปลี่ยนสมมุติฐานเป็นทฤษฎีบท

ในศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์ Nikolai Lobachevsky พยายามทำสิ่งนี้ด้วยความขัดแย้ง: เขาสันนิษฐานว่าสมมุติฐานไม่ถูกต้องและพยายามค้นหาความขัดแย้ง แต่ไม่พบเขา - และด้วยเหตุนี้ Lobachevsky จึงสร้างรูปทรงเรขาคณิตใหม่ ในนั้นผ่านจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงจะมีเส้นตรงที่แตกต่างกันจำนวนไม่ จำกัด ซึ่งไม่ตัดกับเส้นนี้ Lobachevsky ไม่ใช่คนแรกที่ค้นพบรูปทรงเรขาคณิตใหม่นี้ แต่เขาเป็นคนแรกที่กล้าประกาศต่อสาธารณะ - ซึ่งแน่นอนว่าเขาถูกเยาะเย้ย

การรับรู้มรณกรรมเกี่ยวกับผลงานของ Lobachevsky เกิดขึ้นเหนือสิ่งอื่นใดเนื่องจากการเกิดขึ้นของแบบจำลองของรูปทรงเรขาคณิตของเขา - ระบบของวัตถุบนระนาบแบบยูคลิดธรรมดาที่ตอบสนองสัจพจน์ของยุคลิดยกเว้นข้อที่ห้า หนึ่งในแบบจำลองเหล่านี้ได้รับการเสนอโดยนักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ Henri Poincaréในปีพ. ศ. 2425 สำหรับความต้องการในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันและเชิงซ้อน

ปล่อยให้มีวงกลมซึ่งเราจะเรียกว่าสัมบูรณ์ "จุด" ในแบบจำลองของเราจะเป็นจุดด้านในของวงกลม บทบาทของ "เส้นตรง" เล่นโดยวงกลมหรือเส้นตรงที่ตั้งฉากกับค่าสัมบูรณ์ (แม่นยำกว่าคือส่วนโค้งที่อยู่ในวงกลม) ความจริงที่ว่าสำหรับ "เส้นตรง" ดังกล่าวข้อที่ห้านั้นไม่ได้รับการตอบสนองนั้นชัดเจนในทางปฏิบัติ ความจริงที่ว่าส่วนที่เหลือของสมมุติฐานได้รับการเติมเต็มสำหรับวัตถุเหล่านี้มีความชัดเจนน้อยกว่าเล็กน้อย แต่ก็เป็นเช่นนั้น

ปรากฎว่าในแบบจำลองPoincaréสามารถกำหนดระยะห่างระหว่างจุดต่างๆได้ การคำนวณความยาวต้องใช้แนวคิดของเมตริก Riemannian คุณสมบัติของมันมีดังนี้: ยิ่งจุดคู่ของ "เส้นตรง" เข้าใกล้ค่าสัมบูรณ์ระยะห่างระหว่างพวกเขาก็จะยิ่งมากขึ้น นอกจากนี้ยังมีการกำหนดมุมระหว่าง "เส้นตรง" ซึ่งเป็นมุมระหว่างแทนเจนต์ที่จุดตัดของ "เส้นตรง"

ตอนนี้ขอกลับไปที่การเอียง พวกเขาจะดูอย่างไรว่าเราแยกออกเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติเดียวกัน (นั่นคือรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านและมุมเท่ากันทั้งหมด) เป็นโมเดลPoincaréแล้ว ตัวอย่างเช่นรูปหลายเหลี่ยมควรมีขนาดเล็กลงเมื่ออยู่ใกล้ค่าสัมบูรณ์ แนวคิดนี้นำไปใช้โดย Escher ในชุดผลงาน "Limit-circle" อย่างไรก็ตามชาวดัตช์ไม่ได้ใช้พาร์ติชันที่ถูกต้อง แต่เป็นเวอร์ชันที่สมมาตรมากกว่า กรณีที่ความสวยงามมีความสำคัญมากกว่าความแม่นยำทางคณิตศาสตร์

Woodcut "Limit - Circle II"

Woodcut "Limit - Circle III"

Woodcut "สวรรค์และนรก".

ตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้

เป็นเรื่องปกติที่จะเรียกภาพลวงตาแบบพิเศษที่เป็นไปไม่ได้ซึ่งดูเหมือนว่าจะเป็นภาพของวัตถุสามมิติบนเครื่องบิน แต่เมื่อตรวจสอบอย่างใกล้ชิดความขัดแย้งทางเรขาคณิตจะปรากฏในโครงสร้างของมัน ตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้นั้นน่าสนใจไม่เพียง แต่สำหรับนักคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังมีส่วนร่วมในนักจิตวิทยาและผู้เชี่ยวชาญด้านการออกแบบ

ปู่ทวดของตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้คือลูกบาศก์ Necker ซึ่งเป็นภาพที่คุ้นเคยของลูกบาศก์บนเครื่องบิน ได้รับการเสนอโดย Louis Necker นักผลึกศาสตร์ชาวสวีเดนในปี พ.ศ. 2375 ความไม่ชอบมาพากลของภาพนี้คือสามารถตีความได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่นมุมที่วงกลมสีแดงระบุในรูปนี้อาจอยู่ใกล้เราที่สุดจากทุกมุมของลูกบาศก์และในทางกลับกันก็คือมุมที่ไกลที่สุด

ตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้ที่แท้จริงตัวแรกนี้ถูกสร้างขึ้นโดย Oskar Ruthersward นักวิทยาศาสตร์ชาวสวีเดนอีกคนในช่วงทศวรรษที่ 1930 โดยเฉพาะอย่างยิ่งเขาเกิดความคิดที่จะประกอบสามเหลี่ยมจากลูกบาศก์ซึ่งไม่สามารถมีอยู่ในธรรมชาติได้ Roger Penrose ผู้เป็นอิสระของ Ruthersward ดังกล่าวร่วมกับ Lionel Penrose พ่อของเขาตีพิมพ์ใน British Journal of Psychology ผลงานเรื่อง Impossible Objects: A Special Type of Optical Illusion (1956) ในนั้นเพนโรสเสนอวัตถุสองชิ้นดังกล่าว - สามเหลี่ยมเพนโรส (รูปแบบที่มั่นคงของการสร้างลูกบาศก์ของ Ruthersward) และบันไดเพนโรส พวกเขาตั้งชื่อว่า Maurits Escher เป็นแรงบันดาลใจในการทำงาน

วัตถุทั้งสอง - สามเหลี่ยมและบันไดปรากฏในภาพวาดของเอสเชอร์ในเวลาต่อมา

ภาพพิมพ์ "สัมพัทธภาพ".

พิมพ์อักษร "น้ำตก".

ภาพพิมพ์ "Belvedere"

ภาพพิมพ์ "ขึ้นและลง".

งานอื่น ๆ ที่มีความหมายทางคณิตศาสตร์:

รูปหลายเหลี่ยมดาว:

Woodcut "ดาว".

พิมพ์หิน "การแบ่งลูกบาศก์ของอวกาศ"

ภาพพิมพ์หิน "พื้นผิวที่ปกคลุมไปด้วยระลอกคลื่น".

ภาพพิมพ์หิน "สามโลก"

งานศิลปะลวงตามีเสน่ห์บางอย่าง พวกเขาคือชัยชนะของงานศิลปะเหนือความเป็นจริง เหตุใดภาพลวงตาจึงน่าสนใจ เหตุใดศิลปินจำนวนมากจึงใช้สิ่งเหล่านี้ในงานศิลปะ อาจเป็นเพราะพวกเขาไม่แสดงสิ่งที่วาดจริง ทุกคนทำเครื่องหมายภาพพิมพ์หิน "น้ำตก" โดย Maurits C. Escher... น้ำไหลเวียนที่นี่อย่างไม่มีที่สิ้นสุดหลังจากการหมุนของวงล้อมันจะไหลต่อไปและกลับไปที่จุดเริ่มต้น หากสามารถสร้างโครงสร้างดังกล่าวได้ก็จะมีเครื่องจักรเคลื่อนที่ตลอดกาล! แต่เมื่อตรวจสอบภาพวาดอย่างละเอียดเราจะเห็นว่าศิลปินกำลังหลอกลวงเราและความพยายามใด ๆ ที่จะสร้างโครงสร้างนี้ก็จะล้มเหลว

ภาพวาดสามมิติ

ในการถ่ายทอดภาพลวงตาของความเป็นจริงสามมิติจะใช้ภาพวาดสองมิติ (ภาพวาดบนพื้นผิวเรียบ) โดยปกติการหลอกลวงประกอบด้วยการแสดงภาพร่างที่เป็นของแข็งซึ่งบุคคลหนึ่งพยายามที่จะแสดงเป็นวัตถุสามมิติตามประสบการณ์ส่วนตัวของเขา

มุมมองแบบคลาสสิกมีประสิทธิภาพในการเลียนแบบความเป็นจริงเป็นภาพ "ภาพถ่าย" มุมมองนี้ไม่สมบูรณ์เนื่องจากสาเหตุหลายประการ ป้องกันไม่ให้เราเห็นฉากจากมุมมองที่แตกต่างกันเข้าใกล้หรือมองวัตถุจากทุกด้าน มันไม่ได้ให้ผลของความลึกที่วัตถุจริงจะมี ผลของความลึกเกิดจากการที่ตาของเรามองไปที่วัตถุจากสองมุมมองที่แตกต่างกันและสมองของเรารวมมันเป็นภาพเดียว ภาพวาดแบนแสดงฉากจากมุมมองเฉพาะจุดเดียว ตัวอย่างของภาพวาดดังกล่าวจะเป็นภาพถ่ายที่ถ่ายด้วยกล้องตาข้างเดียวทั่วไป

เมื่อใช้คลาสของภาพลวงตาภาพวาดจะปรากฏขึ้นในแวบแรกเพื่อเป็นมุมมองของร่างกายที่มั่นคงตามปกติ แต่เมื่อตรวจสอบอย่างใกล้ชิดความขัดแย้งภายในของวัตถุดังกล่าวจะปรากฏให้เห็น และเป็นที่ชัดเจนว่าวัตถุดังกล่าวไม่สามารถดำรงอยู่ได้ในความเป็นจริง

ภาพลวงตาเพนโรส

น้ำตกเอสเชอร์มีพื้นฐานมาจากภาพลวงตาของเพนโรสซึ่งบางครั้งเรียกว่าภาพลวงตาสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้ ภาพลวงตานี้แสดงไว้ที่นี่ในรูปแบบที่เรียบง่ายที่สุด

ดูเหมือนว่าเราจะเห็นแท่งสี่เหลี่ยมสามแท่งเชื่อมต่อกันในรูปสามเหลี่ยม หากคุณบังมุมใด ๆ ของรูปทรงนี้คุณจะเห็นว่าทั้งสามแท่งเชื่อมต่อกันอย่างถูกต้อง แต่เมื่อคุณเอามือออกจากมุมปิดการหลอกลวงจะชัดเจน แถบทั้งสองที่อยู่ในมุมนี้ไม่ควรอยู่ใกล้กันด้วยซ้ำ

ภาพลวงตาเพนโรสใช้ "มุมมองที่ผิดพลาด" ยังใช้มุมมองที่ผิดพลาดในการแสดงภาพสามมิติ บางครั้งมุมมองนี้เรียกว่าภาษาจีน (หมายเหตุของผู้แปล: Reutersvard เรียกมุมมองนี้ว่าญี่ปุ่น) วิธีการวาดภาพนี้มักถูกนำมาใช้ในงานทัศนศิลป์ของจีน ด้วยวิธีการวาดภาพนี้ความลึกของภาพวาดจึงไม่ชัดเจน

ในภาพวาดสามมิติเส้นขนานทั้งหมดจะปรากฏขนานกันแม้ว่าจะเอียงตามผู้สังเกตการณ์ก็ตาม วัตถุที่เอียงออกจากมุมมองจะมีลักษณะเหมือนกับว่าวัตถุนั้นเอียงเข้าหาผู้ชมในมุมเดียวกัน รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าโค้งงอครึ่งหนึ่ง (รูปจักร) แสดงให้เห็นถึงความคลุมเครือนี้อย่างชัดเจน ตัวเลขนี้อาจดูเหมือนหนังสือเปิดสำหรับคุณราวกับว่าคุณกำลังดูหน้าหนังสือหรืออาจดูเหมือนหนังสือที่เปิดให้คุณเป็นหนังสือที่มีผลผูกพันและคุณกำลังดูที่หน้าปกของหนังสือ รูปนี้อาจดูเหมือนเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานสองอันเรียงกัน แต่มีน้อยคนนักที่จะเห็นรูปนี้เป็นรูปคู่ขนาน

ร่างของ Thiery แสดงให้เห็นถึงความเป็นคู่เดียวกัน

พิจารณาภาพลวงตาของบันได Schroeder ซึ่งเป็นตัวอย่าง "บริสุทธิ์" ของความไม่ชัดเจนเชิงลึกแบบมีมิติเท่ากัน ตัวเลขนี้อาจคิดว่าเป็นบันไดที่สามารถปีนขึ้นจากขวาไปซ้ายหรือเป็นมุมมองด้านล่างของบันได ความพยายามใด ๆ ในการจัดตำแหน่งเส้นของรูปจะทำลายภาพลวงตา

ภาพวาดธรรมดานี้มีลักษณะเป็นเส้นของลูกบาศก์แสดงจากด้านนอกและด้านใน ในทางกลับกันภาพวาดนี้คล้ายกับเส้นของลูกบาศก์ที่แสดงจากด้านบนและด้านล่าง แต่มันยากมากที่จะมองว่าภาพวาดนี้เป็นเพียงชุดของขนาน

มาทาสีพื้นที่บางส่วนด้วยสีดำ รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสีดำอาจดูเหมือนเรากำลังมองจากด้านล่างหรือด้านบน ลองถ้าทำได้เพื่อให้เห็นภาพนี้แตกต่างออกไปราวกับว่าเรากำลังดูรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหนึ่งจากด้านล่างและอีกรูปหนึ่งจากด้านบนสลับ คนส่วนใหญ่ไม่สามารถรับรู้ภาพนี้ด้วยวิธีนี้ ทำไมเราไม่สามารถรับรู้ภาพด้วยวิธีนี้? ฉันพบว่านี่เป็นภาพลวงตาธรรมดาที่ยากที่สุด

ภาพประกอบทางด้านขวาใช้ภาพลวงตาของสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้ในรูปแบบภาพสามมิติ นี่เป็นหนึ่งในรูปแบบ "ฟัก" ซอฟต์แวร์ร่าง AutoCAD (TM) ตัวอย่างนี้เรียกว่า "Escher"

การวาดภาพสามมิติของโครงสร้างลูกบาศก์ลวดแสดงให้เห็นถึงความไม่ชัดเจนของภาพสามมิติ ตัวเลขนี้บางครั้งเรียกว่าลูกบาศก์ Necker ถ้าจุดสีดำอยู่ตรงกลางด้านใดด้านหนึ่งของลูกบาศก์ด้านนั้นจะอยู่ด้านหน้าหรือด้านหลัง? คุณยังสามารถจินตนาการได้ว่าจุดนั้นอยู่ใกล้มุมขวาล่างของด้านหนึ่ง แต่คุณยังไม่สามารถบอกได้ว่าด้านนั้นอยู่ด้านหน้าหรือไม่ นอกจากนี้คุณไม่สามารถมีเหตุผลใด ๆ ที่จะสันนิษฐานได้ว่าจุดนั้นอยู่บนพื้นผิวของลูกบาศก์หรือข้างในมันสามารถอยู่ด้านหน้าของลูกบาศก์และข้างหลังได้เช่นกันเนื่องจากเราไม่มีข้อมูลเกี่ยวกับขนาดจริงของจุด

หากคุณคิดว่าขอบของลูกบาศก์เป็นแผ่นไม้คุณจะได้ผลลัพธ์ที่ไม่คาดคิด ที่นี่เราใช้การเชื่อมต่อที่ไม่ชัดเจนของแถบแนวนอนซึ่งจะกล่าวถึงด้านล่าง ฟิกเกอร์รุ่นนี้เรียกว่ากล่องที่เป็นไปไม่ได้ มันเป็นพื้นฐานสำหรับภาพลวงตาที่คล้ายคลึงกันมากมาย

กล่องที่เป็นไปไม่ได้ไม่สามารถสร้างขึ้นจากไม้ได้ แต่เรายังเห็นรูปถ่ายของกล่องไม้ที่เป็นไปไม่ได้ที่นี่ นี่เป็นเรื่องโกหก หนึ่งในแถบลิ้นชักที่ดูเหมือนจะผ่านไปด้านหลังอีกอันคือแท่งเบรกที่แยกจากกันสองอันอันหนึ่งใกล้และอีกอันที่ไกลกว่าแถบข้าม ตัวเลขดังกล่าวสามารถมองเห็นได้จากมุมมองเดียวเท่านั้น ถ้าเรามองไปที่โครงสร้างที่แท้จริงแล้วด้วยความช่วยเหลือของการมองเห็นสามมิติของเราเราจะเห็นเคล็ดลับเนื่องจากรูปนั้นเป็นไปไม่ได้ หากเราเปลี่ยนมุมมองของเราเคล็ดลับนี้ก็จะเห็นได้ชัดเจนยิ่งขึ้น นั่นคือเหตุผลที่เมื่อแสดงให้เห็นถึงตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้ในนิทรรศการและในพิพิธภัณฑ์คุณต้องมองพวกเขาผ่านรูเล็ก ๆ ด้วยตาข้างเดียว

การเชื่อมต่อที่ไม่ชัดเจน

ภาพลวงตานี้มีพื้นฐานมาจากอะไร? มันเป็นการเปลี่ยนแปลงในหนังสือของ Mach หรือไม่?

ในความเป็นจริงมันเป็นการรวมกันของภาพลวงตาของ Mach และการเชื่อมต่อที่ไม่ชัดเจนของเส้น หนังสือทั้งสองเล่มมีพื้นผิวตรงกลางที่เหมือนกัน สิ่งนี้ทำให้ความเอียงของปกหนังสือไม่ชัดเจน

ภาพลวงตาของตำแหน่ง

ภาพลวงตาของ Poggendorf หรือ "สี่เหลี่ยมไขว้" ทำให้เราเข้าใจผิดว่าเส้น A หรือ B ใดเป็นความต่อเนื่องของบรรทัด C คำตอบที่ชัดเจนสามารถให้ได้โดยการติดไม้บรรทัดเข้ากับเส้น C และติดตามว่าเส้นใดที่ตรงกับเส้นนั้น .

สร้างภาพลวงตา

ภาพลวงตาในรูปแบบมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับภาพลวงตาของตำแหน่ง แต่ที่นี่โครงสร้างของภาพวาดบังคับให้เราเปลี่ยนการตัดสินใจของเราเกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตของภาพวาด ในตัวอย่างด้านล่างเส้นเอียงสั้น ๆ ให้ภาพลวงตาว่าเส้นแนวนอนทั้งสองเส้นโค้ง อันที่จริงนี่คือเส้นขนานตรง

ภาพลวงตาเหล่านี้ใช้ความสามารถของสมองในการประมวลผลข้อมูลที่มองเห็นได้รวมถึงพื้นผิวที่เป็นสีเทา รูปแบบการฟักหนึ่งตัวสามารถโดดเด่นมากจนองค์ประกอบอื่น ๆ ของรูปแบบดูผิดเพี้ยนไป

ตัวอย่างคลาสสิกคือชุดของวงกลมศูนย์กลางที่มีสี่เหลี่ยมซ้อนทับอยู่ แม้ว่าด้านข้างของสี่เหลี่ยมจะเป็นเส้นตรง แต่ก็ดูเหมือนจะโค้ง ความจริงที่ว่าด้านข้างของสี่เหลี่ยมนั้นตรงสามารถตรวจสอบได้โดยการติดไม้บรรทัดเข้ากับพวกมัน ภาพลวงตาส่วนใหญ่มีพื้นฐานมาจากเอฟเฟกต์นี้

ตัวอย่างต่อไปนี้ทำงานบนหลักการเดียวกัน แม้ว่าวงกลมทั้งสองจะมีขนาดเท่ากัน แต่วงหนึ่งจะดูเล็กกว่าอีกวง นี่เป็นหนึ่งในภาพลวงตาหลายขนาด

คำอธิบายสำหรับผลกระทบนี้สามารถพบได้ในการรับรู้มุมมองของเราในภาพถ่ายและภาพวาด ในโลกแห่งความเป็นจริงเราเห็นว่าเส้นขนานสองเส้นมาบรรจบกันเมื่อระยะทางเพิ่มขึ้นเราจึงรับรู้ว่าวงกลมที่สัมผัสเส้นนั้นอยู่ห่างจากเรามากขึ้นดังนั้นจึงควรมีขนาดใหญ่กว่า

หากคุณวาดวงกลมด้วยสีดำวงกลมและพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นจะทำให้ภาพลวงตาอ่อนแอลง

ความกว้างของปีกหมวกและความสูงของหมวกเท่ากันแม้ว่าจะดูไม่ออกในตอนแรก ลองหมุนภาพ 90 องศา มีการเก็บรักษาเอฟเฟกต์ไว้หรือไม่? นี่คือภาพลวงตาของขนาดสัมพัทธ์ภายในภาพ

จุดไข่ปลาไม่ชัดเจน

วงกลมที่เอียงจะถูกฉายบนระนาบโดยจุดไข่ปลาและจุดไข่ปลาเหล่านี้มีความคลุมเครือเชิงลึก ถ้ารูปร่าง (ด้านบน) เป็นวงกลมที่เอียงก็จะไม่มีทางรู้ได้ว่าส่วนโค้งด้านบนอยู่ใกล้เราหรืออยู่ห่างจากเรามากกว่าส่วนโค้งด้านล่าง

การเชื่อมต่อที่ไม่ชัดเจนของเส้นเป็นองค์ประกอบสำคัญในภาพลวงตาของวงแหวนที่คลุมเครือ:

แหวนคลุมเครือ© Donald E. Simanek, 1996

หากคุณปกปิดครึ่งหนึ่งของรูปภาพส่วนที่เหลือจะคล้ายครึ่งหนึ่งของวงแหวนปกติ

เมื่อฉันสร้างรูปร่างนี้ฉันคิดว่ามันอาจจะเป็นภาพลวงตาดั้งเดิม แต่ต่อมาฉันเห็นโฆษณาที่มีโลโก้ของ Canstar ซึ่งเป็น บริษัท ไฟเบอร์ออปติก แม้ว่าสัญลักษณ์ Canstar จะเป็นของฉัน แต่ก็สามารถจัดอยู่ในคลาสลวงตาเดียวกันได้ ดังนั้นฉันและ บริษัท จึงพัฒนารูปล้อที่เป็นไปไม่ได้ซึ่งกันและกัน ฉันคิดว่าถ้าคุณเจาะลึกลงไปคุณอาจพบตัวอย่างก่อนหน้านี้ของวงล้อที่เป็นไปไม่ได้

บันไดที่ไม่มีที่สิ้นสุด

ภาพลวงตาคลาสสิกอีกอย่างของ Penrose คือบันไดที่เป็นไปไม่ได้ เธอมักถูกวาดภาพเป็นภาพวาดสามมิติ (แม้แต่ในงานของ Penrose) บันไดที่ไม่มีที่สิ้นสุดในเวอร์ชันของเรานั้นเหมือนกับรุ่นบันไดเพนโรส (ยกเว้นการตัดขวาง)

นอกจากนี้เธอยังสามารถแสดงให้เห็นในมุมมองเช่นเดียวกับที่ทำในการพิมพ์หินของ M.K. Escher

การหลอกลวงในภาพพิมพ์หิน "Ascent and Descent" สร้างขึ้นในลักษณะที่แตกต่างกันเล็กน้อย เอสเชอร์วางบันไดไว้บนหลังคาของอาคารและวาดภาพอาคารด้านล่างเพื่อถ่ายทอดความประทับใจในมุมมอง

ศิลปินวาดภาพบันไดที่ไม่มีที่สิ้นสุดพร้อมกับเงา เช่นเดียวกับการแรเงาเงาสามารถทำลายภาพลวงตาได้ แต่ศิลปินวางแหล่งกำเนิดแสงไว้ในที่ที่เงากลมกลืนกับส่วนอื่น ๆ ของภาพวาด บางทีเงาจากบันไดก็เป็นภาพลวงตาในตัวเอง

สรุป

บางคนไม่รู้สึกทึ่งกับภาพลวงตา "มันเป็นภาพที่ไม่ถูกต้อง" พวกเขากล่าว บางคนอาจไม่ถึง 1% ของประชากรที่ไม่รับรู้เพราะสมองของพวกเขาไม่สามารถเปลี่ยนภาพแบน ๆ ให้เป็นภาพสามมิติได้ คนเหล่านี้มักจะมีปัญหาในการทำความเข้าใจภาพวาดทางเทคนิคและภาพประกอบของตัวเลข 3 มิติในหนังสือ

คนอื่นอาจเห็นว่ามี "บางอย่างผิดปกติ" กับภาพวาด แต่พวกเขาไม่คิดที่จะถามว่าได้มาจากการหลอกลวงได้อย่างไร คนเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องเข้าใจว่าธรรมชาติทำงานอย่างไรพวกเขาไม่สามารถจดจ่อกับรายละเอียดได้เนื่องจากขาดความอยากรู้อยากเห็นทางปัญญาเบื้องต้น

บางทีการเข้าใจความขัดแย้งทางสายตาก็เป็นหนึ่งในจุดเด่นของความคิดสร้างสรรค์ที่นักคณิตศาสตร์นักวิทยาศาสตร์และศิลปินที่ดีที่สุดมีอยู่ ในบรรดาผลงานของ M.C. Escher (M.C. Escher) มีภาพวาด - ภาพลวงตามากมายรวมถึงภาพวาดรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อนซึ่งสามารถนำมาประกอบเป็น "เกมคณิตศาสตร์ทางปัญญา" ได้มากกว่างานศิลปะ อย่างไรก็ตามพวกเขาสร้างความประทับใจให้กับนักคณิตศาสตร์และนักวิทยาศาสตร์

ว่ากันว่าผู้คนที่อาศัยอยู่บนเกาะแปซิฟิกหรืออยู่ลึกเข้าไปในป่าอเมซอนซึ่งพวกเขาไม่เคยเห็นภาพถ่ายมาก่อนจะไม่สามารถเข้าใจได้ก่อนว่าภาพถ่ายคืออะไรเมื่อแสดง การตีความภาพประเภทนี้เป็นทักษะที่ได้รับ บางคนเรียนรู้ทักษะนี้ได้ดีกว่าคนอื่นแย่กว่า

ศิลปินเริ่มใช้มุมมองทางเรขาคณิตในงานของพวกเขามานานก่อนที่จะมีการประดิษฐ์ภาพถ่าย แต่พวกเขาไม่สามารถศึกษาได้หากปราศจากความช่วยเหลือจากวิทยาศาสตร์ โดยทั่วไปแล้วเลนส์เริ่มมีจำหน่ายเฉพาะในศตวรรษที่ 14 ในขณะนั้นใช้ในการทดลองกับกล้องที่มืด เลนส์ขนาดใหญ่ถูกวางไว้ในรูบนผนังห้องที่มืดลงเพื่อให้ภาพกลับด้านปรากฏบนผนังด้านตรงข้าม การเพิ่มกระจกทำให้สามารถส่งภาพจากพื้นไปยังเพดานของกล้องได้ ศิลปินมักใช้อุปกรณ์นี้ในการทดลองใช้รูปแบบมุมมอง "ยุโรป" แบบใหม่ในงานศิลปะ เมื่อถึงเวลานั้นคณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ที่ซับซ้อนพอที่จะให้พื้นฐานทางทฤษฎีสำหรับมุมมองและหลักการทางทฤษฎีเหล่านี้ได้รับการตีพิมพ์ในหนังสือสำหรับศิลปิน

เพียงแค่พยายามวาดภาพลวงตาด้วยตัวคุณเองเท่านั้นที่คุณสามารถชื่นชมรายละเอียดปลีกย่อยทั้งหมดที่จำเป็นในการสร้างการหลอกลวงดังกล่าว บ่อยครั้งที่ธรรมชาติของภาพลวงตากำหนดข้อ จำกัด ของตัวเองโดยใช้ "ตรรกะ" ที่มีต่อศิลปิน ด้วยเหตุนี้การสร้างภาพวาดจึงกลายเป็นการต่อสู้ของปัญญาของศิลปินกับความแปลกประหลาดของภาพลวงตาที่ไร้เหตุผล

ตอนนี้เราได้พูดถึงสาระสำคัญของภาพลวงตาบางส่วนแล้วคุณสามารถใช้มันเพื่อสร้างภาพลวงตาของคุณเองและจำแนกภาพลวงตาที่คุณพบได้ หลังจากนั้นไม่นานคุณจะมีภาพลวงตาจำนวนมากและคุณจะต้องแสดงให้เห็น ฉันออกแบบเคสกระจกสำหรับสิ่งนี้

การจัดแสดงภาพลวงตา ลิขสิทธิ์© Donald E. Simanek, 1996.

คุณสามารถตรวจสอบการบรรจบกันของเส้นในมุมมองและแง่มุมอื่น ๆ ของรูปทรงเรขาคณิตของภาพวาดนี้ ด้วยการวิเคราะห์รูปภาพดังกล่าวและพยายามวาดภาพคุณจะพบสาระสำคัญของการหลอกลวงที่ใช้ในภาพ MC Escher ใช้เทคนิคที่คล้ายกันในภาพวาด "Belvedere" ของเขา (ด้านล่าง)

Donald E. Simanek, ธันวาคม 2539. แปลจากภาษาอังกฤษ

Maurits Cornelis Escher เป็นศิลปินภาพพิมพ์ชาวดัตช์ที่ประสบความสำเร็จจากภาพพิมพ์หินภาพพิมพ์ไม้และโลหะตลอดจนภาพประกอบหนังสือแสตมป์จิตรกรรมฝาผนังและสิ่งทอ ตัวแทนที่สว่างที่สุดของ imp-art (การพรรณนาถึงตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้)

Maurits Escher เกิดที่ประเทศเนเธอร์แลนด์ในเมือง Louvander ในตระกูลวิศวกร George Arnold Escher และลูกสาวของรัฐมนตรี Sarah Adriana Gleichmann-Escher มอริตส์เป็นลูกคนสุดท้องและลูกคนที่สี่ในครอบครัว เมื่อเขาอายุ 5 ขวบทั้งครอบครัวย้ายไปที่เมืองอาร์นเฮมซึ่งเขาใช้เวลาช่วงวัยหนุ่มสาวส่วนใหญ่ ในระหว่างการเข้าเรียนในโรงเรียนมัธยมศิลปินในอนาคตประสบความสำเร็จในการสอบไม่ผ่านซึ่งเขาถูกส่งไปที่โรงเรียนสถาปัตยกรรมและมัณฑนศิลป์ในฮาร์เลม เมื่ออยู่ในโรงเรียนใหม่ Maurits Escher ยังคงพัฒนาความคิดสร้างสรรค์ของเขาไปพร้อมกับการแสดงภาพวาดและ linocuts ให้กับ Samuel Jessern ครูของเขาซึ่งเป็นแรงบันดาลใจให้เขาทำงานในประเภทการตกแต่งต่อไป ต่อจากนั้นเอสเชอร์ได้ประกาศกับพ่อของเขาว่าเขาต้องการเรียนมัณฑนศิลป์และเขาไม่สนใจสถาปัตยกรรมเลย

เมื่อสำเร็จการศึกษามอริตส์เอสเชอร์ได้เดินทางไปอิตาลีซึ่งเขาได้พบกับเกตตาวิมเคอร์ภรรยาในอนาคตของเขา ทั้งคู่ตั้งรกรากในโรมซึ่งพวกเขาอาศัยอยู่จนถึงปีพ. ศ. ในช่วงเวลานี้เอสเชอร์เดินทางไปอิตาลีเป็นประจำและทำภาพวาดและสเก็ตช์ หลายคนถูกใช้เป็นพื้นฐานในการสร้างภาพตัดไม้ในเวลาต่อมา

ในช่วงปลายทศวรรษที่ 1920 Escher ได้รับความนิยมอย่างมากในเนเธอร์แลนด์และข้อเท็จจริงนี้ได้รับอิทธิพลส่วนใหญ่มาจากพ่อแม่ของศิลปิน ในปีพ. ศ. 2472 เขาจัดนิทรรศการ 5 งานในฮอลแลนด์และสวิตเซอร์แลนด์ซึ่งได้รับคำวิจารณ์จากนักวิจารณ์ค่อนข้างมาก ในช่วงเวลานี้ภาพวาดของ Escher ถูกเรียกว่าเครื่องจักรกลและ "ตรรกะ" เป็นครั้งแรก ในปีพ. ศ. 2474 ศิลปินหันมายุติการตัดไม้ น่าเสียดายที่ความสำเร็จของศิลปินไม่ได้ทำให้เขามีเงินมากมายและเขามักจะหันไปหาพ่อเพื่อขอความช่วยเหลือทางการเงิน พ่อแม่ตลอดชีวิตของพวกเขาสนับสนุน Maurits Escher ในทุกความพยายามของเขาดังนั้นเมื่อพ่อของเขาเสียชีวิตในปี 2482 และแม่ของเขาในอีกหนึ่งปีต่อมาเอสเชอร์ก็ไม่รู้สึกดีที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้

ในปีพ. ศ. 2489 ศิลปินเริ่มให้ความสนใจในเทคโนโลยีการพิมพ์ภายในซึ่งโดดเด่นด้วยความซับซ้อนในการดำเนินการ ด้วยเหตุนี้จนถึงปีพ. ศ. 2494 Escher สร้างความประทับใจเพียงเจ็ดครั้งในลักษณะ mezzotinto และไม่ได้เริ่มทำงานในเทคนิคนี้อีกต่อไป ในปีพ. ศ. 2492 เอสเชอร์ร่วมกับศิลปินอีกสองคนได้จัดนิทรรศการขนาดใหญ่เกี่ยวกับผลงานกราฟิกของเขาในรอตเทอร์ดามหลังจากมีการตีพิมพ์จำนวนมากซึ่งเอสเชอร์กลายเป็นที่รู้จักไม่เพียง แต่ในยุโรปเท่านั้น แต่ยังรวมถึงในสหรัฐอเมริกาด้วย เขายังคงทำงานในลักษณะที่เลือกสร้างสรรค์ผลงานศิลปะใหม่ ๆ ขึ้นเรื่อย ๆ และบางครั้งก็คาดไม่ถึง

หนึ่งในผลงานที่โดดเด่นที่สุดของ Escher คือการพิมพ์หินน้ำตกที่มีพื้นฐานมาจากรูปสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้ น้ำตกมีบทบาทเป็นเครื่องเคลื่อนที่ตลอดกาลและหอคอยดูเหมือนจะมีความสูงเท่ากันแม้ว่าหนึ่งในนั้นจะมีความสูงน้อยกว่าอีกชั้นหนึ่งก็ตาม รูปแกะสลักที่เป็นไปไม่ได้ของ Escher สองชิ้นที่ตามมา - "Belvedere" และ "Going Down and Ascending" ถูกสร้างขึ้นระหว่างปีพ. ศ. ในบรรดาผลงานที่สนุกสนานมาก ๆ ยังรวมถึงภาพแกะสลัก "ขึ้นและลง" "สัมพัทธภาพ" "การเปลี่ยนแปลงที่ 1" "การเปลี่ยนแปลงครั้งที่ 2" "การเปลี่ยนแปลงที่สาม" (ผลงานที่ใหญ่ที่สุด - 48 เมตร) "ท้องฟ้าและน้ำ" หรือ "สัตว์เลื้อยคลาน" ...

ในเดือนกรกฎาคม พ.ศ. 2512 เอสเชอร์ได้สร้างภาพแกะสลักชิ้นสุดท้ายที่มีชื่อว่างู และเมื่อวันที่ 27 มีนาคม พ.ศ. 2515 ศิลปินเสียชีวิตด้วยโรคมะเร็งในลำไส้ ในช่วงชีวิตของเขา Escher ได้สร้างภาพพิมพ์หินภาพพิมพ์และภาพแกะไม้ 448 ภาพรวมถึงภาพวาดและภาพร่างที่แตกต่างกันกว่า 2,000 ภาพ คุณสมบัติที่น่าสนใจอีกประการหนึ่งคือ Escher เช่นเดียวกับรุ่นก่อน ๆ ของเขา (Michelangelo, Leonardo da Vinci, Durer และ Holben) เป็นคนถนัดซ้าย

ผลงานของเอสเชอร์นี้แสดงให้เห็นถึงความขัดแย้ง - น้ำที่ตกลงมาจากน้ำตกจะขับเคลื่อนล้อที่นำน้ำขึ้นสู่ด้านบนของน้ำตก น้ำตกมีโครงสร้างของสามเหลี่ยมเพนโรสที่ "เป็นไปไม่ได้": ภาพพิมพ์หินถูกสร้างขึ้นจากบทความในวารสารจิตวิทยาของอังกฤษ

โครงสร้างประกอบด้วยคานสามคานวางซ้อนกันเป็นมุมฉาก น้ำตกในการพิมพ์หินทำงานเหมือนเครื่องจักรที่เคลื่อนไหวตลอดเวลา ขึ้นอยู่กับการเคลื่อนไหวของการจ้องมองปรากฏขึ้นสลับกันไปว่าหอคอยทั้งสองเหมือนกันและหอคอยทางด้านขวาคือชั้นหนึ่งด้านล่างหอคอยด้านซ้าย

เขียนบทวิจารณ์ในบทความ "น้ำตก (การพิมพ์หิน)"

หมายเหตุ

ลิงค์

• เว็บไซต์อย่างเป็นทางการ: (ภาษาอังกฤษ)

ตัดตอนมาจากน้ำตก (ภาพพิมพ์หิน)