ในวิดีโอสอนครั้งที่แล้ว เราได้เรียนรู้ว่าดีกรีของฐานคือนิพจน์ที่เป็นผลคูณของฐานและตัวมันเอง ซึ่งถ่ายในปริมาณที่เท่ากับเลขชี้กำลัง ให้เราศึกษาคุณสมบัติและการทำงานของอำนาจที่สำคัญที่สุดบางส่วน

ตัวอย่างเช่น ลองคูณสองพลังที่แตกต่างกันด้วยฐานเดียวกัน:

ลองดูที่งานชิ้นนี้อย่างครบถ้วน:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

เมื่อคำนวณค่าของนิพจน์นี้แล้ว เราจะได้ตัวเลข 32 ในทางกลับกัน ดังที่เห็นได้จากตัวอย่างเดียวกัน 32 สามารถแสดงเป็นผลคูณของฐานเดียวกัน (สอง) ได้ 5 ครั้ง และแน่นอนถ้าคุณนับแล้ว:

ดังนั้นจึงสรุปได้อย่างปลอดภัยว่า:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

กฎนี้ใช้ได้กับตัวบ่งชี้และเหตุใด ๆ คุณสมบัติของการคูณดีกรีนี้เป็นไปตามกฎการรักษาความหมายของนิพจน์ระหว่างการแปลงในผลิตภัณฑ์ สำหรับฐาน a ใดๆ ผลคูณของสองนิพจน์ (a) x และ (a) y เท่ากับ a (x + y) กล่าวอีกนัยหนึ่ง เมื่อสร้างนิพจน์ใดๆ ที่มีฐานเดียวกัน โมโนเมียลสุดท้ายจะมีดีกรีรวมที่เกิดขึ้นจากการเพิ่มดีกรีของนิพจน์ที่หนึ่งและที่สอง

กฎที่นำเสนอยังใช้งานได้ดีเมื่อคูณหลายนิพจน์ เงื่อนไขหลักคือฐานทั้งหมดจะเหมือนกัน ตัวอย่างเช่น:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

เป็นไปไม่ได้ที่จะเพิ่มองศา และโดยทั่วไปแล้วจะดำเนินการร่วมกันกำลังกับสององค์ประกอบของนิพจน์ หากฐานของพวกมันต่างกัน
ตามที่วิดีโอของเราแสดงให้เห็น เนื่องจากความคล้ายคลึงกันของกระบวนการคูณและการหาร กฎสำหรับการเพิ่มพลังระหว่างผลิตภัณฑ์จะถูกโอนไปยังขั้นตอนการหารอย่างสมบูรณ์ พิจารณาตัวอย่างนี้:

มาทำการแปลงนิพจน์แบบเทอมต่อเทอมให้อยู่ในรูปแบบเต็มและลดองค์ประกอบเดียวกันในตัวหารและตัวหาร:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

ผลลัพธ์สุดท้ายของตัวอย่างนี้ไม่น่าสนใจนัก เพราะในระหว่างการแก้ปัญหา เป็นที่ชัดเจนว่าค่าของนิพจน์เท่ากับกำลังสองของกำลังสอง และมันคือผีสางที่ได้มาจากการลบดีกรีของนิพจน์ที่สองออกจากดีกรีของนิพจน์แรก

ในการกำหนดระดับของผลหาร จำเป็นต้องลบระดับของตัวหารออกจากระดับของเงินปันผล กฎทำงานบนพื้นฐานเดียวกันสำหรับค่านิยมทั้งหมดและสำหรับพลังธรรมชาติทั้งหมด ในรูปแบบนามธรรม เรามี:

(a) x / (a) y = (a) x - y

คำจำกัดความของระดับศูนย์นั้นเป็นไปตามกฎสำหรับการแบ่งฐานที่เหมือนกันด้วยกำลัง เห็นได้ชัดว่านิพจน์ต่อไปนี้คือ:

(ก) x / (ก) x \u003d (ก) (x - x) \u003d (ก) 0

ในทางกลับกัน หากเราแบ่งในลักษณะที่มองเห็นได้ชัดเจนยิ่งขึ้น เราจะได้:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

เมื่อลดองค์ประกอบที่มองเห็นได้ทั้งหมดของเศษส่วน นิพจน์ 1/1 จะได้รับเสมอ นั่นคือ หนึ่ง ดังนั้นจึงเป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปว่าฐานใดๆ ที่ยกกำลังศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง:

โดยไม่คำนึงถึงค่าของ ก.

อย่างไรก็ตาม มันจะไร้สาระถ้า 0 (ซึ่งยังคงให้ 0 สำหรับการคูณใด ๆ ) เท่ากับหนึ่ง ดังนั้นนิพจน์เช่น (0) 0 (ศูนย์ถึงระดับศูนย์) ก็ไม่สมเหตุสมผล และสูตร (a) 0 = 1 เพิ่มเงื่อนไข: "ถ้า a ไม่เท่ากับ 0"

มาออกกำลังกายกันเถอะ มาหาค่าของนิพจน์กัน:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

เนื่องจากฐานจะเหมือนกันทุกที่และเท่ากับ 34 ค่าสุดท้ายจะมีฐานเดียวกันกับดีกรี (ตามกฎข้างต้น):

กล่าวอีกนัยหนึ่ง:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

คำตอบ: นิพจน์มีค่าเท่ากับหนึ่ง

บทเรียนในหัวข้อ: "กฎสำหรับการคูณและหารกำลังที่มีเลขชี้กำลังเท่ากันและต่างกัน ตัวอย่าง"

วัสดุเพิ่มเติม
ผู้ใช้ที่รักอย่าลืมแสดงความคิดเห็นข้อเสนอแนะข้อเสนอแนะ วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

เครื่องช่วยสอนและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ "Integral" สำหรับเกรด7
คู่มือหนังสือเรียน Yu.N. คู่มือ Makarycheva สำหรับตำราเรียน A.G. มอร์ดโควิช

จุดประสงค์ของบทเรียน: เรียนรู้วิธีดำเนินการโดยใช้กำลังของตัวเลข

เรามาเริ่มกันที่แนวคิดเรื่อง "พลังของตัวเลข" กันก่อน นิพจน์เช่น $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ สามารถแสดงเป็น $a^n$

สิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

ความเท่าเทียมกันนี้เรียกว่า "การบันทึกดีกรีเป็นผลิตภัณฑ์" มันจะช่วยเรากำหนดวิธีการคูณและหารอำนาจ
จดจำ:
เอ- ฐานของปริญญา
น- เลขชี้กำลัง
ถ้า n=1ซึ่งหมายถึงตัวเลข เอถ่ายครั้งเดียวและตามลำดับ: $a^n= 1$
ถ้า n=0จากนั้น $a^0= 1$

เหตุใดจึงเกิดขึ้น เราสามารถทราบได้เมื่อเราทำความคุ้นเคยกับกฎการคูณและหารอำนาจ

กฎการคูณ

ตัวอย่าง.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

คุณสมบัตินี้สะดวกต่อการใช้งานเพื่อลดความซับซ้อนของงานเมื่อเพิ่มจำนวนเป็นกำลังมาก
ตัวอย่าง.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) หากกำลังคูณด้วยเลขฐานอื่น แต่มีเลขชี้กำลังเท่ากัน
สำหรับ $a^n * b^n$ เราเขียนยกกำลังเป็นผลิตภัณฑ์: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (ม )$.
หากเราสลับตัวประกอบและนับคู่ผลลัพธ์ เราจะได้: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$

ดังนั้น $a^n * b^n= (a * b)^n$

ตัวอย่าง.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

กฎการแบ่งส่วน

ดังนั้นจึงจำเป็น $\frac(a^n)(a^m)$, ที่ไหน n>m.

เราเขียนองศาเป็นเศษส่วน:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

ทีนี้ลองลดเศษส่วนกัน

ปรากฎว่า: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
วิธี, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

คุณสมบัตินี้จะช่วยอธิบายสถานการณ์ด้วยการยกกำลังเป็นศูนย์ สมมุติว่า n=mจากนั้น $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$

ตัวอย่าง.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) ฐานของระดับต่างกัน ตัวชี้วัดเหมือนกัน
สมมติว่าคุณต้องการ $\frac(a^n)( b^n)$ เราเขียนยกกำลังของตัวเลขเป็นเศษส่วน:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

ตัวอย่าง.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

การบวกและการลบกำลัง

แน่นอน เลขยกกำลังก็บวกได้เหมือนปริมาณอื่นๆ โดยเพิ่มทีละตัวพร้อมเครื่องหมาย.

ดังนั้น ผลรวมของ a 3 และ b 2 คือ a 3 + b 2
ผลรวมของ a 3 - b n และ h 5 -d 4 คือ a 3 - b n + h 5 - d 4

อัตราต่อรอง พลังของตัวแปรเดียวกันสามารถเพิ่มหรือลบได้

ดังนั้น ผลรวมของ 2a 2 และ 3a 2 คือ 5a 2

เป็นที่แน่ชัดเช่นกันว่าถ้าเราเอาสองสี่เหลี่ยม a, หรือ สามสี่เหลี่ยม a, หรือ ห้าสี่เหลี่ยม a

แต่องศา ตัวแปรต่างๆและ องศาต่างๆ ตัวแปรที่เหมือนกันจะต้องเพิ่มโดยเพิ่มลงในสัญญาณของพวกเขา

ดังนั้น ผลรวมของ 2 และ 3 คือผลรวมของ 2 + a 3

เห็นได้ชัดว่ากำลังสองของ a และลูกบาศก์ของ a ไม่ใช่สองเท่าของกำลังสองของ a แต่เป็นสองเท่าของลูกบาศก์ของ a

ผลรวมของ a 3 b n และ 3a 5 b 6 คือ 3 b n + 3a 5 b 6

การลบอำนาจจะดำเนินการในลักษณะเดียวกับการเพิ่ม ยกเว้นว่าสัญญาณของ subtrahend จะต้องเปลี่ยนตามนั้น

หรือ:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

การคูณกำลัง

ตัวเลขที่ยกกำลังสามารถคูณได้เหมือนกับจำนวนอื่นๆ โดยเขียนทีละตัว โดยมีหรือไม่มีเครื่องหมายคูณระหว่างกัน

ดังนั้น ผลลัพธ์ของการคูณ a 3 กับ b 2 จึงเป็น 3 b 2 หรือ aaabb

หรือ:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

ผลลัพธ์ในตัวอย่างสุดท้ายสามารถเรียงลำดับได้โดยการเพิ่มตัวแปรเดียวกัน
นิพจน์จะอยู่ในรูปแบบ: a 5 b 5 y 3 .

โดยการเปรียบเทียบตัวเลขหลายตัว (ตัวแปร) กับเลขยกกำลัง เราจะเห็นได้ว่าถ้าตัวใดสองตัวคูณกัน ผลลัพธ์จะเป็นตัวเลข (ตัวแปร) ที่มีค่ากำลังเท่ากับ ผลรวมองศาของเงื่อนไข

ดังนั้น a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5

5 คือพลังของผลลัพธ์ของการคูณ เท่ากับ 2 + 3 ซึ่งเป็นผลรวมของยกกำลังของเทอม

ดังนั้น n .a m = a m+n

สำหรับ n ให้ a เป็นตัวประกอบหลายเท่าของกำลังของ n

และ m ถูกนำมาเป็นตัวประกอบหลายครั้งที่องศา m เท่ากับ;

ดังนั้น, เลขยกกำลังที่มีฐานเท่ากันสามารถคูณด้วยเลขชี้กำลัง

ดังนั้น a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 และ x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

หรือ:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

คูณ (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y)
คำตอบ: x 4 - y 4
คูณ (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1)

กฎนี้เป็นจริงสำหรับตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง − เชิงลบ.

1. ดังนั้น a -2 .a -3 = a -5 สามารถเขียนได้เป็น (1/aa).(1/aaa) = 1/aaa

2. y-n .y-m = y-n-m

3. a -n .a m = a m-n .

ถ้า a + b คูณด้วย a - b ผลลัพธ์จะเป็น a 2 - b 2: นั่นคือ

ผลลัพธ์ของการคูณผลรวมหรือผลต่างของตัวเลขสองตัวนั้นเท่ากับผลรวมหรือผลต่างของกำลังสอง

หากผลรวมและส่วนต่างของตัวเลขสองตัวยกขึ้นเป็น สี่เหลี่ยมผลลัพธ์จะเท่ากับผลรวมหรือส่วนต่างของตัวเลขเหล่านี้ใน ที่สี่ระดับ.

ดังนั้น (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

กองอำนาจ

ตัวเลขที่ยกกำลังสามารถแบ่งได้เหมือนกับตัวเลขอื่นๆ โดยการลบออกจากตัวหาร หรือโดยการวางในรูปเศษส่วน

ดังนั้น a 3 b 2 หารด้วย b 2 จึงเป็น 3

เขียน 5 หารด้วย 3 เหมือน $\frac $. แต่นี่เท่ากับ 2 ในชุดตัวเลข
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4
ตัวเลขใดๆ ก็สามารถหารด้วยอีกจำนวนหนึ่งได้ และเลขชี้กำลังจะเท่ากับ ความแตกต่างตัวบ่งชี้ของตัวเลขที่หารได้

เมื่อหารยกกำลังด้วยเลขฐานเดียวกัน เลขชี้กำลังจะถูกหักออก.

ดังนั้น y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . นั่นคือ $\frac = y$

และ n+1:a = a n+1-1 = a n นั่นคือ $\frac = a^n$

หรือ:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

กฎนี้ใช้ได้กับตัวเลขด้วย เชิงลบค่าดีกรี
ผลลัพธ์ของการหาร -5 ด้วย -3 คือ -2
นอกจากนี้ $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $

ชั่วโมง 2:ชั่วโมง -1 = ชั่วโมง 2+1 = ชั่วโมง 3 หรือ $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

จำเป็นต้องเชี่ยวชาญการคูณและการแบ่งกำลังเป็นอย่างดี เนื่องจากการดำเนินการดังกล่าวใช้กันอย่างแพร่หลายในพีชคณิต

ตัวอย่างการแก้ตัวอย่างเศษส่วนที่มีตัวเลขยกกำลัง

1. ลดเลขชี้กำลังใน $\frac $ คำตอบ: $\frac $

2. ลดเลขชี้กำลังใน $\frac$ คำตอบ: $\frac $ หรือ 2x

3. ลดเลขชี้กำลัง a 2 / a 3 และ -3 / a -4 และนำมาเป็นตัวส่วนร่วม
a 2 .a -4 คือ -2 ตัวเศษแรก
3 .a -3 คือ 0 = 1 ตัวเศษที่สอง
3 .a -4 คือ -1 ซึ่งเป็นตัวเศษร่วม
หลังจากการทำให้เข้าใจง่าย: a -2 /a -1 และ 1/a -1

4. ลดเลขชี้กำลัง 2a 4 /5a 3 และ 2 /a 4 และนำมาเป็นตัวส่วนร่วม
คำตอบ: 2a 3 / 5a 7 และ 5a 5 / 5a 7 หรือ 2a 3 / 5a 2 และ 5/5a 2

5. คูณ (a 3 + b)/b 4 ด้วย (a - b)/3

6. คูณ (a 5 + 1)/x 2 ด้วย (b 2 - 1)/(x + a)

7. คูณ b 4 /a -2 ด้วย h -3 /x และ a n /y -3 .

8. หาร 4 /y 3 ด้วย 3 /y 2 . ตอบ ก./ป.

คุณสมบัติระดับ

เราเตือนคุณว่าในบทเรียนนี้เราเข้าใจ คุณสมบัติระดับด้วยตัวชี้วัดธรรมชาติและศูนย์ องศาที่มีตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผลและคุณสมบัติของพวกเขาจะกล่าวถึงในบทเรียนสำหรับเกรด 8

เลขชี้กำลังที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติมีคุณสมบัติที่สำคัญหลายประการที่ช่วยให้คุณลดความซับซ้อนในการคำนวณในตัวอย่างเลขชี้กำลัง

อสังหาริมทรัพย์ #1
ผลิตภัณฑ์แห่งอำนาจ

เมื่อคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน ฐานจะไม่เปลี่ยนแปลงและเลขชี้กำลังจะถูกเพิ่ม

a m a n \u003d a m + n โดยที่ "a" เป็นตัวเลขใดๆ และ "m", "n" เป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ

คุณสมบัติของพลังนี้ยังส่งผลต่อผลิตภัณฑ์ของพลังสามอย่างหรือมากกว่า

• ลดความซับซ้อนของนิพจน์
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• นำเสนอเป็นปริญญา
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• นำเสนอเป็นปริญญา
  (0.8) 3 (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

โปรดทราบว่าในคุณสมบัติที่ระบุ เป็นเพียงเกี่ยวกับการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน. ใช้ไม่ได้กับการบวกของพวกเขา

คุณไม่สามารถแทนที่ผลรวม (3 3 + 3 2) ด้วย 3 5 สิ่งนี้เข้าใจได้ถ้า
คำนวณ (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 และ 3 5 = 243

อสังหาริมทรัพย์ #2
องศาเอกชน

เมื่อหารกำลังด้วยเลขฐานเดียวกัน ฐานจะไม่เปลี่ยนแปลง และเลขชี้กำลังของตัวหารจะถูกลบออกจากเลขชี้กำลังของเงินปันผล

• เขียนผลหารเป็นกำลัง
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• คำนวณ.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
ตัวอย่าง. แก้สมการ. เราใช้คุณสมบัติขององศาบางส่วน
3 8: เสื้อ = 3 4

คำตอบ: t = 3 4 = 81

การใช้คุณสมบัติหมายเลข 1 และหมายเลข 2 ช่วยให้คุณลดความซับซ้อนของนิพจน์และคำนวณได้อย่างง่ายดาย

ตัวอย่าง. ลดความซับซ้อนของนิพจน์
4 5 ม. + 6 4 ม. + 2: 4 4 ม. + 3 = 4 5 ม. + 6 + ม. + 2: 4 4 ม. + 3 = 4 6 ม. + 8 − 4 ม. − 3 = 4 2 ม. + 5

ตัวอย่าง. ค้นหาค่าของนิพจน์โดยใช้คุณสมบัติระดับ

2 11 − 5 = 2 6 = 64

โปรดทราบว่าทรัพย์สิน 2 เกี่ยวข้องกับการแบ่งอำนาจที่มีฐานเดียวกันเท่านั้น

คุณไม่สามารถแทนที่ความแตกต่าง (4 3 −4 2) ด้วย 4 1 สิ่งนี้เข้าใจได้หากคุณคำนวณ (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 และ 4 1 = 4

ทรัพย์สิน #3
การยกกำลัง

เมื่อเพิ่มกำลังเป็นกำลัง ฐานของกำลังจะไม่เปลี่ยนแปลง และเลขชี้กำลังจะถูกคูณ

(a n) m \u003d a n m โดยที่ "a" เป็นตัวเลขใดๆ และ "m", "n" เป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ

เราเตือนคุณว่าผลหารสามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ ดังนั้นเราจะมาพูดถึงเรื่องการเพิ่มเศษส่วนให้เป็นกำลังในรายละเอียดในหน้าถัดไป

วิธีการคูณอำนาจ

จะทวีคูณพลังได้อย่างไร? พลังใดสามารถคูณได้และพลังใดไม่สามารถ? คุณคูณตัวเลขด้วยกำลังได้อย่างไร?

ในพีชคณิต คุณสามารถหาผลคูณของกำลังได้สองกรณี:

1) ถ้าองศามีพื้นฐานเท่ากัน

2) ถ้าองศามีตัวบ่งชี้เหมือนกัน

เมื่อคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน ฐานจะต้องเหมือนเดิม และต้องบวกเลขชี้กำลัง:

เมื่อคูณองศาด้วยตัวบ่งชี้เดียวกัน ตัวบ่งชี้ทั้งหมดสามารถนำออกจากวงเล็บได้:

พิจารณาวิธีการคูณอำนาจด้วยตัวอย่างเฉพาะ

หน่วยในเลขชี้กำลังไม่ได้เขียน แต่เมื่อคูณองศาจะพิจารณา:

เมื่อคูณ จำนวนองศาสามารถเป็นเท่าใดก็ได้ ควรจำไว้ว่าคุณไม่สามารถเขียนเครื่องหมายคูณก่อนตัวอักษร:

ในนิพจน์ การยกกำลังจะดำเนินการก่อน

หากคุณต้องการคูณตัวเลขด้วยยกกำลัง คุณต้องทำการยกกำลังก่อน แล้วจึงคูณเท่านั้น:

พลังคูณด้วยฐานเดียวกัน

วิดีโอสอนนี้พร้อมใช้งานโดยการสมัครรับข้อมูล

คุณมีการสมัครรับข้อมูลอยู่แล้ว? ที่จะเข้ามา

ในบทนี้ เราจะเรียนรู้วิธีคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน อันดับแรก เราจำคำจำกัดความของระดับและกำหนดทฤษฎีบทเกี่ยวกับความถูกต้องของความเท่าเทียมกัน . จากนั้นเราจะยกตัวอย่างการประยุกต์ใช้กับตัวเลขเฉพาะและพิสูจน์มัน เราจะใช้ทฤษฎีบทเพื่อแก้ปัญหาต่างๆ

หัวข้อ: องศาที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติและคุณสมบัติของมัน

บทเรียน: การคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน (สูตร)

1. คำจำกัดความพื้นฐาน

คำจำกัดความพื้นฐาน:

น- เลขชี้กำลัง

— น-กำลังของตัวเลข

2. คำชี้แจงของทฤษฎีบท 1

ทฤษฎีบทที่ 1สำหรับหมายเลขใด ๆ เอและธรรมชาติใดๆ นและ kความเท่าเทียมกันเป็นจริง:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง: if เอ- จำนวนใด ๆ นและ kตัวเลขธรรมชาติ จากนั้น:

ดังนั้นกฎข้อที่ 1:

3. อธิบายงาน

บทสรุป:กรณีพิเศษยืนยันความถูกต้องของทฤษฎีบทที่ 1 ให้เราพิสูจน์ในกรณีทั่วไป นั่นคือ สำหรับใดๆ เอและธรรมชาติใดๆ นและ เค

4. หลักฐานของทฤษฎีบท 1

ให้หมายเลข เอ- ใดๆ; ตัวเลข นและ เค-เป็นธรรมชาติ. พิสูจน์:

การพิสูจน์ขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของระดับ

5. การแก้ตัวอย่างโดยใช้ทฤษฎีบท 1

ตัวอย่างที่ 1:นำเสนอเป็นปริญญา

ในการแก้ตัวอย่างต่อไปนี้ เราใช้ทฤษฎีบท 1

กรัม)

6. ลักษณะทั่วไปของทฤษฎีบท 1

นี่คือลักษณะทั่วไป:

7. คำตอบของตัวอย่างโดยใช้ลักษณะทั่วไปของทฤษฎีบท 1

8. การแก้ปัญหาต่าง ๆ โดยใช้ทฤษฎีบท 1

ตัวอย่างที่ 2:คำนวณ (คุณสามารถใช้ตารางองศาพื้นฐาน)

ก) (ตามตาราง)

ข)

ตัวอย่างที่ 3:เขียนเป็นกำลังที่มีฐาน 2

ก)

ตัวอย่างที่ 4:กำหนดเครื่องหมายของตัวเลข:

, ก -ลบเพราะเลขชี้กำลังที่ -13 เป็นเลขคี่

ตัวอย่างที่ 5:แทนที่ ( ) ด้วยกำลังด้วยฐาน ร:

เรามี นั่นคือ

9. สรุป

1. Dorofeev G.V. , Suvorova S.B. , Bunimovich E.A. et al. พีชคณิต 7. รุ่นที่ 6 ม.: การตรัสรู้. 2010

1. ผู้ช่วยโรงเรียน (ที่มา)

1. แสดงเป็นปริญญา:

เอ บี ซี ดี อี)

3. เขียนเป็นกำลังด้วยฐาน 2:

4. กำหนดเครื่องหมายของตัวเลข:

ก)

5. แทนที่ ( ) ด้วยกำลังของตัวเลขด้วยฐาน ร:

ก) r 4 ( ) = r 15 ; b) ( ) r 5 = r 6

การคูณและการแบ่งกำลังที่มีเลขชี้กำลังเท่ากัน

ในบทนี้ เราจะศึกษาการคูณกำลังด้วยเลขชี้กำลังเดียวกัน อันดับแรก ให้นึกถึงคำจำกัดความและทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับการคูณและหารกำลังด้วยเลขฐานเดียวกันและเพิ่มกำลังเป็นยกกำลัง จากนั้นเราจึงกำหนดและพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการคูณและหารกำลังด้วยเลขชี้กำลังเดียวกัน จากนั้นเราจะแก้ปัญหาทั่วไปหลายประการด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา

คำเตือนของคำจำกัดความพื้นฐานและทฤษฎีบท

ที่นี่ เอ- ฐานปริญญา

— น-กำลังของตัวเลข

ทฤษฎีบทที่ 1สำหรับหมายเลขใด ๆ เอและธรรมชาติใดๆ นและ kความเท่าเทียมกันเป็นจริง:

เมื่อคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน เลขชี้กำลังจะถูกเพิ่ม ฐานจะไม่เปลี่ยนแปลง

ทฤษฎีบท 2สำหรับหมายเลขใด ๆ เอและธรรมชาติใดๆ นและ เค,ดังนั้น น > kความเท่าเทียมกันเป็นจริง:

เมื่อแบ่งกำลังด้วยเลขฐานเดียวกัน เลขชี้กำลังจะถูกลบ และฐานจะไม่เปลี่ยนแปลง

ทฤษฎีบทที่ 3สำหรับหมายเลขใด ๆ เอและธรรมชาติใดๆ นและ kความเท่าเทียมกันเป็นจริง:

ทฤษฎีบทข้างต้นทั้งหมดเกี่ยวกับอำนาจเหมือนกัน บริเวณ, บทเรียนนี้จะพิจารณาองศาด้วยเหมือนกัน ตัวชี้วัด.

ตัวอย่างการคูณยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเท่ากัน

พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้:

ลองเขียนนิพจน์เพื่อกำหนดระดับ

บทสรุป:จากตัวอย่างจะเห็นได้ว่า แต่สิ่งนี้ยังต้องได้รับการพิสูจน์ เรากำหนดทฤษฎีบทและพิสูจน์ในกรณีทั่วไป นั่นคือ สำหรับใดๆ เอและ ขและธรรมชาติใดๆ น.

คำชี้แจงและการพิสูจน์ทฤษฎีบท4

สำหรับตัวเลขใด ๆ เอและ ขและธรรมชาติใดๆ นความเท่าเทียมกันเป็นจริง:

การพิสูจน์ทฤษฎีบท 4 .

ตามคำจำกัดความของระดับ:

เราจึงได้พิสูจน์แล้วว่า .

ในการคูณยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังเดียวกัน ก็เพียงพอที่จะคูณฐานและปล่อยให้เลขชี้กำลังไม่เปลี่ยนแปลง

คำชี้แจงและการพิสูจน์ทฤษฎีบท 5

เราสร้างทฤษฎีบทสำหรับการหารยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังเดียวกัน

สำหรับหมายเลขใด ๆ เอและ ข() และธรรมชาติใดๆ นความเท่าเทียมกันเป็นจริง:

การพิสูจน์ทฤษฎีบท 5 .

ลองเขียนและตามคำจำกัดความของดีกรี:

คำชี้แจงของทฤษฎีบทในคำ

เราจึงได้พิสูจน์แล้วว่า

ในการหารองศาที่มีเลขชี้กำลังเท่ากันก็เพียงพอแล้วที่จะหารฐานหนึ่งด้วยฐานอื่นและปล่อยให้เลขชี้กำลังไม่เปลี่ยนแปลง

การแก้ปัญหาทั่วไปโดยใช้ทฤษฎีบท 4

ตัวอย่างที่ 1:แสดงเป็นผลผลิตของพลัง

เพื่อแก้ตัวอย่างต่อไปนี้ เราใช้ทฤษฎีบท 4

ในการแก้ตัวอย่างต่อไปนี้ ให้จำสูตร:

ลักษณะทั่วไปของทฤษฎีบท4

ลักษณะทั่วไปของทฤษฎีบท 4:

การแก้ตัวอย่างโดยใช้ทฤษฎีบททั่วไป 4

ดำเนินการแก้ปัญหาทั่วไปต่อไป

ตัวอย่างที่ 2:เขียนเป็นระดับของผลิตภัณฑ์

ตัวอย่างที่ 3:เขียนเป็นกำลังที่มีเลขชี้กำลัง 2

ตัวอย่างการคำนวณ

ตัวอย่างที่ 4:คำนวณอย่างมีเหตุผลที่สุด

2. Merzlyak A.G. , Polonsky V.B. , Yakir M.S. พีชคณิต 7. M .: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M. , Tkacheva M.V. , Fedorova N.E. และอื่น ๆ พีชคณิต 7 .M.: การศึกษา ปี 2549

2. ผู้ช่วยโรงเรียน (ที่มา)

1. นำเสนอเป็นผลิตภัณฑ์แห่งอำนาจ:

ก) ; ข) ; ใน) ; ช) ;

2. เขียนเป็นระดับของผลิตภัณฑ์:

3. เขียนในรูปของปริญญาที่มีตัวบ่งชี้ 2:

4. คำนวณอย่างมีเหตุผลที่สุด

บทเรียนคณิตศาสตร์ในหัวข้อ "การคูณและการแบ่งกำลัง"

ส่วน:คณิตศาสตร์

เป้าหมายการสอน:

งาน:

หน่วยกิจกรรมของหลักคำสอน:การกำหนดระดับด้วยตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ ส่วนประกอบองศา คำจำกัดความของเอกชน กฎสัมพันธ์ของการคูณ

I. การจัดสาธิตการเรียนรู้ความรู้ที่มีอยู่โดยนักเรียน (ขั้นตอนที่ 1)

ก) การอัปเดตความรู้:

2) กำหนดคำจำกัดความของระดับด้วยตัวบ่งชี้ที่เป็นธรรมชาติ

a n \u003d a a a ... a (n ครั้ง)

b k \u003d b b b b a ... b (k ครั้ง) ให้เหตุผลคำตอบของคุณ

ครั้งที่สอง องค์กรการประเมินตนเองของผู้ฝึกงานตามระดับการครอบครองประสบการณ์ที่เกี่ยวข้อง (ขั้นตอนที่ 2)

แบบทดสอบตรวจสอบตนเอง: (งานเดี่ยวในสองเวอร์ชัน)

A1) แสดงผลิตภัณฑ์ 7 7 7 7 x x x เป็นกำลัง:

A2) แสดงเป็นผลิตภัณฑ์ ดีกรี (-3) 3 x 2

A3) คำนวณ: -2 3 2 + 4 5 3

ฉันเลือกจำนวนงานในการทดสอบตามการเตรียมระดับชั้นเรียน

สำหรับการทดสอบ ฉันให้กุญแจสำหรับการทดสอบตัวเอง เกณฑ์: pass-fail.

สาม. งานศึกษาและปฏิบัติ (ขั้นตอนที่ 3) + ขั้นตอนที่ 4 (นักเรียนจะเป็นผู้กำหนดคุณสมบัติเอง)

ในการแก้ปัญหา 1) และ 2) นักเรียนเสนอวิธีแก้ปัญหา และในฐานะครู ฉันจัดชั้นเรียนเพื่อหาวิธีลดทอนพลังเมื่อคูณด้วยฐานเดียวกัน

ครู: คิดหาวิธีลดกำลังเมื่อคูณด้วยฐานเดียวกัน

รายการปรากฏบนคลัสเตอร์:

รูปแบบของบทเรียนถูกกำหนดขึ้น การคูณของอำนาจ

ครู: คิดกฎการหารองศาด้วยฐานเดียวกัน

การให้เหตุผล: การดำเนินการใดตรวจสอบแผนก a 5: a 3 = ? ว่า a 2 a 3 = a 5

ฉันกลับไปที่โครงร่าง - คลัสเตอร์และเสริมรายการ - ..เมื่อแบ่งลบและเพิ่มหัวข้อของบทเรียน ...และการแบ่งเกรด

IV. การสื่อสารกับนักเรียนถึงขีด จำกัด ของความรู้ (ขั้นต่ำและสูงสุด)

ครู: ภารกิจขั้นต่ำสำหรับบทเรียนวันนี้คือการเรียนรู้วิธีการใช้คุณสมบัติของการคูณและการแบ่งอำนาจที่มีฐานเดียวกันและสูงสุด: เพื่อประยุกต์ใช้การคูณและการหารร่วมกัน

เขียนบนกระดาน : a m a n = a m + n ; a m: a n = a m-n

V. องค์กรของการศึกษาวัสดุใหม่ (ขั้นตอนที่ 5)

ก) ตามตำรา: ลำดับที่ 403 (a, c, e) งานที่มีถ้อยคำต่างกัน

หมายเลข 404 (a, e, f) งานอิสระจากนั้นฉันจัดการตรวจสอบร่วมกันฉันให้กุญแจ

b) ความเท่าเทียมกันมีค่าเท่ากับ m? 16 น. \u003d a 32; x ส x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

ภารกิจ: คิดตัวอย่างที่คล้ายกันสำหรับการแบ่ง

ค) หมายเลข 417(ก), หมายเลข 418 (ก) กับดักสำหรับนักเรียน: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; 16: a 8 \u003d a 2

หก. สรุปสิ่งที่ได้เรียนรู้ ดำเนินการวินิจฉัย (ซึ่งสนับสนุนให้นักเรียน ไม่ใช่ครู ให้ศึกษาหัวข้อนี้) (ขั้นตอนที่ 6)

งานวินิจฉัย

ทดสอบ(วางกุญแจไว้ด้านหลังการทดสอบ)

ตัวเลือกงาน: แสดงเป็นระดับความฉลาด x 15: x 3; แสดงเป็นพลังงานของผลิตภัณฑ์ (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; โดยที่ m คือความเท่าเทียมกัน a 16 a m = 32 จริง; ค้นหาค่าของนิพจน์ h 0: h 2 กับ h = 0.2; คำนวณค่าของนิพจน์ (5 2 5 0) : 5 2

สรุปบทเรียน การสะท้อนกลับ.ฉันแบ่งชั้นเรียนออกเป็นสองกลุ่ม

ค้นหาข้อโต้แย้งของกลุ่ม I: เพื่อสนับสนุนความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของระดับและกลุ่ม II - อาร์กิวเมนต์ที่จะบอกว่าคุณสามารถทำได้โดยไม่มีคุณสมบัติ เรารับฟังทุกคำตอบ หาข้อสรุป ในบทเรียนต่อๆ ไป คุณสามารถนำเสนอข้อมูลทางสถิติและตั้งชื่อรูบริกว่า "ไม่เหมาะกับความคิดของฉัน!"

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว การบ้าน.

ประวัติอ้างอิง หมายเลขใดเรียกว่าหมายเลขแฟร์มาต์

หน้า 19. #403, #408, #417

หนังสือมือสอง:

คุณสมบัติขององศา สูตร การพิสูจน์ ตัวอย่าง

หลังจากกำหนดระดับของตัวเลขแล้ว ก็มีเหตุผลที่จะพูดถึง คุณสมบัติระดับ. ในบทความนี้ เราจะให้คุณสมบัติพื้นฐานของดีกรีของตัวเลข โดยแตะเลขชี้กำลังที่เป็นไปได้ทั้งหมด ที่นี่เราจะให้การพิสูจน์คุณสมบัติทั้งหมดของระดับ และยังแสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติเหล่านี้ถูกนำมาใช้เมื่อแก้ตัวอย่างอย่างไร

การนำทางหน้า

คุณสมบัติขององศาพร้อมตัวบ่งชี้ธรรมชาติ

ตามนิยามของยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ ยกกำลังของ n คือผลคูณของปัจจัย n ซึ่งแต่ละตัวมีค่าเท่ากับ a ตามคำจำกัดความนี้และการใช้ คุณสมบัติการคูณจำนวนจริงเราสามารถขอรับและพิสูจน์สิ่งต่อไปนี้ได้ คุณสมบัติของดีกรีกับเลขชี้กำลังธรรมชาติ:

แนวคิดของปริญญาทางคณิตศาสตร์ถูกนำมาใช้ตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ในบทเรียนพีชคณิต และในอนาคตตลอดหลักสูตรของการเรียนคณิตศาสตร์ แนวคิดนี้จะถูกนำมาใช้อย่างแข็งขันในรูปแบบต่างๆ องศาเป็นหัวข้อที่ค่อนข้างยาก ซึ่งต้องอาศัยการท่องจำค่านิยมและความสามารถในการนับอย่างถูกต้องและรวดเร็ว เพื่อให้ได้ปริญญาคณิตศาสตร์ที่เร็วและดีขึ้น พวกเขาได้นำเสนอคุณสมบัติของปริญญา ช่วยลดการคำนวณขนาดใหญ่ แปลงตัวอย่างขนาดใหญ่เป็นตัวเลขเดียวในระดับหนึ่ง มีคุณสมบัติไม่มากนักและทั้งหมดนั้นง่ายต่อการจดจำและนำไปใช้ในทางปฏิบัติ ดังนั้นบทความนี้จะกล่าวถึงคุณสมบัติหลักของปริญญารวมถึงตำแหน่งที่นำไปใช้

คุณสมบัติระดับ

เราจะพิจารณาคุณสมบัติของดีกรี 12 ประการ รวมถึงคุณสมบัติของพลังที่มีฐานเดียวกัน และยกตัวอย่างสำหรับแต่ละคุณสมบัติ คุณสมบัติแต่ละอย่างเหล่านี้จะช่วยคุณแก้ปัญหาเกี่ยวกับองศาได้เร็วยิ่งขึ้น รวมทั้งช่วยคุณประหยัดจากข้อผิดพลาดในการคำนวณจำนวนมาก

ทรัพย์สินที่ 1

หลายคนมักจะลืมเกี่ยวกับคุณสมบัตินี้ ทำผิดพลาด โดยแทนตัวเลขถึงศูนย์องศาเป็นศูนย์

ทรัพย์สินที่ 2

ทรัพย์สินที่ 3

ต้องจำไว้ว่าคุณสมบัตินี้ใช้ได้เฉพาะเมื่อคูณตัวเลขเท่านั้น ไม่สามารถใช้กับผลรวมได้! และเราต้องไม่ลืมว่าคุณสมบัตินี้และคุณสมบัติต่อไปนี้ใช้กับพลังที่มีฐานเดียวกันเท่านั้น

ทรัพย์สินที่ 4

หากตัวเลขในตัวส่วนเพิ่มขึ้นเป็นกำลังลบ เมื่อทำการลบ ระดับของตัวส่วนจะถูกนำในวงเล็บเพื่อแทนที่เครื่องหมายอย่างถูกต้องในการคำนวณเพิ่มเติม

คุณสมบัติใช้งานได้เมื่อทำการหาร ไม่ใช่เมื่อทำการลบ!

ทรัพย์สินที่ 5

ทรัพย์สินที่ 6

คุณสมบัตินี้ยังสามารถนำไปใช้ในทางกลับกันได้อีกด้วย หน่วยหารด้วยตัวเลขในระดับหนึ่งคือจำนวนนั้นยกกำลังลบ

ทรัพย์สินที่ 7

คุณสมบัตินี้ไม่สามารถใช้กับผลรวมและส่วนต่างได้! เมื่อเพิ่มผลรวมหรือส่วนต่างเป็นกำลัง จะใช้สูตรคูณแบบย่อ ไม่ใช่คุณสมบัติของกำลัง

ทรัพย์สินที่ 8

ทรัพย์สินที่ 9

คุณสมบัตินี้ใช้ได้กับดีกรีเศษส่วนใดๆ ที่มีตัวเศษเท่ากับหนึ่ง สูตรจะเหมือนกัน เฉพาะดีกรีของรูทเท่านั้นที่จะเปลี่ยนขึ้นอยู่กับตัวส่วนของดีกรี

นอกจากนี้ คุณสมบัตินี้มักใช้ในลำดับที่กลับกัน รากของกำลังใดๆ ของตัวเลขสามารถแสดงเป็นตัวเลขนั้นยกกำลังหนึ่งหารด้วยกำลังของราก คุณสมบัตินี้มีประโยชน์มากในกรณีที่ไม่ได้แยกรูทของตัวเลข

ทรัพย์สินที่ 10

คุณสมบัตินี้ไม่เพียงใช้ได้กับรากที่สองและดีกรีที่สองเท่านั้น หากระดับของรากและระดับที่รากนี้ถูกยกเท่ากัน คำตอบจะเป็นนิพจน์ที่รุนแรง

ทรัพย์สินที่ 11

คุณต้องสามารถเห็นคุณสมบัตินี้ได้ทันเวลาเมื่อทำการแก้ไข เพื่อช่วยตัวเองจากการคำนวณจำนวนมาก

ทรัพย์สินที่ 12

แต่ละคุณสมบัติเหล่านี้จะตอบสนองคุณมากกว่าหนึ่งครั้งในงาน สามารถให้ในรูปแบบบริสุทธิ์ หรืออาจต้องมีการแปลงและการใช้สูตรอื่น ๆ ดังนั้นสำหรับคำตอบที่ถูกต้อง การรู้คุณสมบัติเพียงอย่างเดียวนั้นไม่เพียงพอ คุณต้องฝึกฝนและเชื่อมโยงความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่เหลือเข้าด้วยกัน

การประยุกต์ใช้องศาและคุณสมบัติ

พวกมันถูกใช้อย่างแข็งขันในพีชคณิตและเรขาคณิต องศาในวิชาคณิตศาสตร์มีสถานที่สำคัญแยกต่างหาก ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา สมการเลขชี้กำลังและความไม่เท่าเทียมกันได้รับการแก้ไข เช่นเดียวกับพลังมักจะทำให้สมการและตัวอย่างซับซ้อนขึ้นที่เกี่ยวข้องกับส่วนอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ เลขชี้กำลังช่วยหลีกเลี่ยงการคำนวณขนาดใหญ่และยาว ทำให้ลดและคำนวณเลขชี้กำลังได้ง่ายขึ้น แต่ในการทำงานกับพลังมหาศาลหรือพลังจำนวนมาก คุณจำเป็นต้องรู้ไม่เพียงแต่คุณสมบัติของระดับเท่านั้น แต่ยังต้องทำงานกับฐานอย่างมีประสิทธิภาพ สามารถย่อยสลายพวกมันเพื่อให้งานของคุณง่ายขึ้น เพื่อความสะดวก คุณควรทราบความหมายของตัวเลขยกกำลังด้วย ซึ่งจะช่วยลดเวลาในการแก้ปัญหาโดยไม่จำเป็นต้องคำนวณนาน

แนวคิดของระดับมีบทบาทพิเศษในลอการิทึม โดยพื้นฐานแล้วลอการิทึมคือพลังของตัวเลข

สูตรคูณแบบย่อเป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของการใช้กำลัง พวกเขาไม่สามารถใช้คุณสมบัติขององศาได้พวกเขาจะสลายตัวตามกฎพิเศษ แต่ในแต่ละสูตรการคูณแบบย่อจะมีองศาคงที่

องศายังใช้อย่างแข็งขันในด้านฟิสิกส์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ การแปลทั้งหมดลงในระบบ SI จะทำโดยใช้องศาและในอนาคตเมื่อแก้ปัญหาจะใช้คุณสมบัติของระดับ ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ พลังของสองถูกใช้อย่างแข็งขัน เพื่อความสะดวกในการนับและทำให้การรับรู้ของตัวเลขง่ายขึ้น การคำนวณเพิ่มเติมสำหรับการแปลงหน่วยการวัดหรือการคำนวณปัญหา เช่นเดียวกับในฟิสิกส์ เกิดขึ้นโดยใช้คุณสมบัติของดีกรี

องศายังมีประโยชน์อย่างมากในด้านดาราศาสตร์ ซึ่งคุณแทบจะไม่พบการใช้คุณสมบัติของดีกรี แต่องศาเองก็ถูกใช้อย่างแข็งขันเพื่อลดการบันทึกปริมาณและระยะทางต่างๆ

องศายังใช้ในชีวิตประจำวันเมื่อคำนวณพื้นที่ปริมาตรระยะทาง

ด้วยความช่วยเหลือขององศา ค่าขนาดใหญ่และขนาดเล็กมาก จะถูกเขียนขึ้นในทุกสาขาของวิทยาศาสตร์

สมการเลขชี้กำลังและอสมการ

คุณสมบัติองศาตรงบริเวณพิเศษในสมการเลขชี้กำลังและอสมการ งานเหล่านี้เป็นงานทั่วไปทั้งในหลักสูตรของโรงเรียนและในการสอบ ทั้งหมดได้รับการแก้ไขโดยใช้คุณสมบัติของดีกรี ความไม่รู้นั้นอยู่ในระดับเดียวกันเสมอ ดังนั้นเมื่อรู้คุณสมบัติทั้งหมดแล้ว การแก้สมการหรือความไม่เท่าเทียมกันนั้นไม่ใช่เรื่องยาก

ระดับแรก

องศาและคุณสมบัติของมัน คู่มือฉบับสมบูรณ์ (2019)

เหตุใดจึงต้องมีองศา คุณต้องการพวกเขาที่ไหน ทำไมคุณต้องใช้เวลาศึกษาพวกเขา?

หากต้องการเรียนรู้ทุกอย่างเกี่ยวกับปริญญา มีไว้ทำอะไร วิธีใช้ความรู้ในชีวิตประจำวัน อ่านบทความนี้

และแน่นอนว่า การรู้องศาจะทำให้คุณเข้าใกล้ความสำเร็จในการผ่าน OGE หรือการสอบ Unified State และเข้าสู่มหาวิทยาลัยในฝันของคุณมากขึ้น

ไปกันเถอะ... (ไปกันเถอะ!)

โน๊ตสำคัญ! หากแทนสูตรที่คุณเห็นซึ่งพูดไม่ชัด ให้ล้างแคชของคุณ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้กด CTRL+F5 (บน Windows) หรือ Cmd+R (บน Mac)

ระดับแรก

การยกกำลังเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์แบบเดียวกับการบวก การลบ การคูณหรือการหาร

ตอนนี้ฉันจะอธิบายทุกอย่างในภาษามนุษย์โดยใช้ตัวอย่างง่ายๆ ให้ความสนใจ. ตัวอย่างเป็นพื้นฐาน แต่อธิบายสิ่งที่สำคัญ

เริ่มต้นด้วยการเพิ่ม

ไม่มีอะไรจะอธิบายที่นี่ คุณรู้อยู่แล้วทุกอย่าง: มีพวกเราแปดคน แต่ละขวดมีโคล่าสองขวด โคล่าเท่าไหร่คะ? ใช่แล้ว - 16 ขวด

ตอนนี้คูณ

ตัวอย่างเดียวกันกับโคล่าสามารถเขียนได้หลายวิธี: นักคณิตศาสตร์เป็นคนเจ้าเล่ห์และขี้เกียจ พวกเขาสังเกตเห็นรูปแบบบางอย่างในครั้งแรก แล้วจึงหาวิธี "นับ" ให้เร็วขึ้น ในกรณีของเรา พวกเขาสังเกตเห็นว่าแต่ละคนในแปดคนมีโคล่าจำนวนเท่ากัน และสร้างเทคนิคที่เรียกว่าการคูณ เห็นด้วยถือว่าง่ายและเร็วกว่า

ดังนั้นเพื่อที่จะนับได้เร็วขึ้น ง่ายขึ้น และปราศจากข้อผิดพลาด คุณเพียงแค่ต้องจำไว้ ตารางสูตรคูณ. แน่นอน คุณสามารถทำทุกอย่างช้าลง หนักขึ้น และผิดพลาดได้! แต่…

นี่คือตารางสูตรคูณ ทำซ้ำ.

และอีกอันที่สวยกว่า:

และนักคณิตศาสตร์ขี้เกียจมีกลอุบายการนับอื่น ๆ อะไรอีกบ้าง? ถูกต้อง - การเพิ่มตัวเลขเป็นกำลัง.

การเพิ่มจำนวนขึ้นเป็นกำลัง

หากคุณต้องการคูณตัวเลขด้วยตัวมันเองห้าครั้ง นักคณิตศาสตร์บอกว่าคุณต้องเพิ่มจำนวนนี้เป็นยกกำลังห้า ตัวอย่างเช่น, . นักคณิตศาสตร์จำได้ว่ากำลังสองยกกำลังห้าคือ และพวกเขาแก้ปัญหาดังกล่าวในใจ - เร็วขึ้น ง่ายขึ้นและไม่มีข้อผิดพลาด

ในการทำเช่นนี้คุณเพียงแค่ต้อง จำสิ่งที่เน้นสีในตารางพลังของตัวเลข. เชื่อฉันสิ มันจะทำให้ชีวิตคุณง่ายขึ้นมาก

ว่าแต่ทำไมชั้นที่สองถึงเรียกว่า สี่เหลี่ยมตัวเลขและตัวที่สาม ลูกบาศก์? มันหมายความว่าอะไร? เป็นคำถามที่ดีมาก ตอนนี้คุณจะมีทั้งสี่เหลี่ยมและลูกบาศก์

ตัวอย่างชีวิตจริง #1

เริ่มจากกำลังสองหรือกำลังสองของตัวเลขกันก่อน

ลองนึกภาพสระสี่เหลี่ยมขนาดเมตรคูณเมตร สระว่ายน้ำอยู่ในสวนหลังบ้านของคุณ ร้อนจนอยากเล่นน้ำเลย แต่...สระไร้ก้น! มีความจำเป็นต้องปูกระเบื้องด้านล่างของสระ คุณต้องการกระเบื้องกี่แผ่น? ในการพิจารณาสิ่งนี้ คุณจำเป็นต้องรู้พื้นที่ก้นสระ

คุณสามารถนับได้โดยการใช้นิ้วจิ้มว่าก้นสระประกอบด้วยลูกบาศก์เมตรต่อเมตร ถ้ากระเบื้องของคุณเป็นเมตรคุณจะต้องมีชิ้น ง่าย... แต่เธอเห็นกระเบื้องแบบนี้ที่ไหน? กระเบื้องจะค่อนข้างสูง ซม. และจากนั้นคุณจะถูกทรมานด้วยการ "นับด้วยนิ้วของคุณ" จากนั้นคุณต้องคูณ ดังนั้น ที่ด้านหนึ่งของก้นสระ เราจะใส่แผ่นกระเบื้อง (ชิ้น) และอีกด้านหนึ่งด้วยกระเบื้อง คูณด้วยคุณจะได้ไพ่ ()

สังเกตไหมว่าเราคูณเลขเดียวกันด้วยตัวเองเพื่อหาพื้นที่ก้นสระ? มันหมายความว่าอะไร? เนื่องจากมีการคูณจำนวนเดียวกัน เราจึงสามารถใช้เทคนิคการยกกำลังได้ (แน่นอน เมื่อคุณมีเพียงสองตัวเลข คุณยังต้องคูณหรือยกกำลัง แต่ถ้าคุณมีจำนวนมาก การยกกำลังจะง่ายกว่ามาก และยังมีข้อผิดพลาดในการคำนวณน้อยลงด้วย สำหรับการสอบนี้สำคัญมาก)
ดังนั้นสามสิบถึงระดับที่สองจะเป็น () หรือคุณสามารถพูดได้ว่าสามสิบกำลังสองจะเป็น กล่าวอีกนัยหนึ่ง กำลังสองของตัวเลขสามารถแสดงเป็นกำลังสองได้เสมอ และในทางกลับกัน ถ้าคุณเห็นสี่เหลี่ยม มันจะเป็นยกกำลังสองของจำนวนหนึ่งเสมอ สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือภาพยกกำลังสองของตัวเลข

ตัวอย่างชีวิตจริง #2

นี่คืองานสำหรับคุณ นับจำนวนสี่เหลี่ยมบนกระดานหมากรุกโดยใช้กำลังสองของตัวเลข ... ที่ด้านหนึ่งของเซลล์และอีกด้านหนึ่งด้วย ในการนับจำนวนนั้น คุณต้องคูณแปดด้วยแปด หรือ ... ถ้าคุณสังเกตว่ากระดานหมากรุกเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านหนึ่ง คุณก็จะสามารถยกกำลังแปดได้ รับเซลล์. () ดังนั้น?

ตัวอย่างชีวิตจริง #3

ตอนนี้ลูกบาศก์หรือกำลังสามของตัวเลข สระเดียวกัน. แต่ตอนนี้คุณต้องค้นหาว่าจะต้องเทน้ำลงในสระนี้มากแค่ไหน คุณต้องคำนวณปริมาตร (ปริมาตรและของเหลววัดเป็นลูกบาศก์เมตร คาดไม่ถึงใช่มั้ย) วาดสระ: ด้านล่างขนาดหนึ่งเมตรและลึกหนึ่งเมตรแล้วลองคำนวณว่าลูกบาศก์เมตรต่อเมตรจะเข้าของคุณกี่ลูกบาศก์เมตร สระน้ำ.

แค่ชี้นิ้วก็นับ! หนึ่ง สอง สาม สี่…ยี่สิบสอง ยี่สิบสาม… ได้เงินมาเท่าไหร่? ไม่ได้หายไป? นับด้วยนิ้วยากไหม? ดังนั้น! ยกตัวอย่างจากนักคณิตศาสตร์ พวกเขาขี้เกียจ ดังนั้นพวกเขาจึงสังเกตว่าในการคำนวณปริมาตรของพูล คุณต้องคูณความยาว ความกว้าง และความสูงของพูลเข้าด้วยกัน ในกรณีของเราปริมาตรของพูลจะเท่ากับลูกบาศก์ ... ง่ายกว่าใช่มั้ย?

ลองนึกภาพว่านักคณิตศาสตร์ขี้เกียจและเจ้าเล่ห์จะขนาดไหนหากพวกเขาทำให้มันง่ายเกินไป ลดทุกอย่างเป็นการกระทำเดียว พวกเขาสังเกตเห็นว่าความยาวความกว้างและความสูงเท่ากันและมีการคูณด้วยตัวมันเอง ... และนี่หมายความว่าอย่างไร ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถใช้ปริญญา ดังนั้น สิ่งที่คุณเคยนับด้วยนิ้ว พวกมันทำในหนึ่งการกระทำ: สามในลูกบาศก์มีค่าเท่ากัน มันเขียนแบบนี้:

เหลือเท่านั้น จำตารางองศา. แน่นอน เว้นแต่คุณจะขี้เกียจและมีไหวพริบเหมือนนักคณิตศาสตร์ ถ้าคุณชอบทำงานหนักและทำผิดพลาด คุณสามารถใช้นิ้วนับต่อไปได้

ในที่สุด เพื่อที่จะเกลี้ยกล่อมคุณว่าองศานั้นถูกคิดค้นโดยรองเท้าไม่มีส้นและคนฉลาดแกมโกงเพื่อแก้ปัญหาชีวิตของพวกเขา และไม่สร้างปัญหาให้กับคุณ นี่คือตัวอย่างอีกสองสามตัวอย่างจากชีวิต

ตัวอย่างชีวิตจริง #4

คุณมีล้านรูเบิล ในช่วงต้นปี คุณจะมีรายได้อีกล้านต่อทุกๆ หนึ่งล้าน นั่นคือเงินล้านของคุณแต่ละล้านตอนต้นปีแต่ละปีจะเพิ่มเป็นสองเท่า คุณจะมีเงินเท่าไหร่ในปี? หากคุณกำลังนั่งและ "นับด้วยนิ้วของคุณ" แสดงว่าคุณเป็นคนขยันและ .. โง่ แต่เป็นไปได้มากว่าคุณจะให้คำตอบในไม่กี่วินาทีเพราะคุณฉลาด! ดังนั้นในปีแรก - สองครั้งสองครั้ง ... ในปีที่สอง - เกิดอะไรขึ้นอีกสองครั้งในปีที่สาม ... หยุด! คุณสังเกตว่าจำนวนนั้นคูณด้วยตัวมันเองครั้งเดียว สองยกกำลังห้าเป็นล้าน! ลองนึกภาพว่าคุณมีการแข่งขันและคนที่คำนวณเร็วกว่าจะได้ล้านนี้ ... มันคุ้มค่าไหมที่จะจำองศาของตัวเลข คุณคิดอย่างไร?

ตัวอย่างชีวิตจริง #5

คุณมีล้าน ในช่วงต้นปี คุณจะได้รับรายได้เพิ่มอีก 2 ต่อทุกๆ ล้าน มันเยี่ยมมากใช่มั้ย? ทุกล้านเป็นสามเท่า คุณจะมีเงินเท่าไหร่ในหนึ่งปี? มานับกัน ปีแรก - คูณด้วยแล้วผลอีก ... น่าเบื่อแล้วเพราะคุณเข้าใจทุกอย่างแล้ว: สามตัวคูณด้วยตัวมันเอง ดังนั้นกำลังที่สี่คือหนึ่งล้าน คุณแค่ต้องจำไว้ว่าสามยกกำลังสี่คือหรือ

ตอนนี้คุณรู้แล้วว่าการเพิ่มจำนวนเป็นกำลัง คุณจะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก ลองมาดูเพิ่มเติมว่าคุณสามารถทำอะไรกับปริญญาได้บ้าง และสิ่งที่คุณต้องรู้เกี่ยวกับปริญญาเหล่านี้

ข้อกำหนดและแนวคิด ... เพื่อไม่ให้สับสน

ก่อนอื่น มากำหนดแนวคิดกันก่อน คุณคิดอย่างไร, เลขชี้กำลังคืออะไร? ง่ายมาก - นี่คือตัวเลขที่ "อยู่ด้านบนสุด" ของกำลังของตัวเลข ไม่ใช่วิทยาศาสตร์ แต่ชัดเจนและจำง่าย ...

ในขณะเดียวกัน อะไรนะ ฐานของปริญญาดังกล่าว? ง่ายกว่านั้นคือตัวเลขที่อยู่ด้านล่าง ที่ฐาน

นี่คือภาพเพื่อให้คุณแน่ใจ

โดยทั่วไปแล้ว เพื่อที่จะสรุปและจดจำได้ดีขึ้น ... ระดับที่มีฐาน "" และตัวบ่งชี้ "" จะถูกอ่านว่า "ในระดับ" และเขียนดังนี้:

กำลังของจำนวนที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ

คุณคงเดาได้แล้วว่า: เพราะเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ ใช่ แต่มันคืออะไร ตัวเลขธรรมชาติ? ประถม! จำนวนธรรมชาติคือจำนวนที่ใช้ในการนับเมื่อแสดงรายการ: หนึ่ง สอง สาม ... เมื่อเรานับรายการ เราจะไม่พูดว่า: "ลบห้า", "ลบหก", "ลบเจ็ด" เราไม่พูดว่า "หนึ่งในสาม" หรือ "ศูนย์จุดห้าสิบ" เช่นกัน นี่ไม่ใช่ตัวเลขธรรมชาติ คุณคิดว่าตัวเลขเหล่านี้คืออะไร?

ตัวเลขเช่น "ลบห้า", "ลบหก", "ลบเจ็ด" หมายถึง จำนวนทั้งหมด.โดยทั่วไป จำนวนเต็มประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติทั้งหมด ตัวเลขตรงข้ามกับจำนวนธรรมชาติ (นั่นคือ นำด้วยเครื่องหมายลบ) และตัวเลข Zero นั้นเข้าใจง่าย - นี่คือตอนที่ไม่มีอะไรเลย และจำนวนลบ ("ลบ") หมายถึงอะไร แต่พวกเขาถูกประดิษฐ์ขึ้นเพื่อระบุหนี้เป็นหลัก: หากคุณมียอดเงินคงเหลือในโทรศัพท์ของคุณเป็นรูเบิล แสดงว่าคุณเป็นหนี้รูเบิลโอเปอเรเตอร์

เศษส่วนทั้งหมดเป็นจำนวนตรรกยะ คุณคิดว่าพวกเขาเกิดขึ้นได้อย่างไร? ง่ายมาก. หลายพันปีก่อน บรรพบุรุษของเราค้นพบว่าพวกเขาไม่มีตัวเลขธรรมชาติเพียงพอที่จะวัดความยาว น้ำหนัก พื้นที่ ฯลฯ และพวกเขามาพร้อมกับ สรุปตัวเลข… น่าสนใจใช่ไหม

นอกจากนี้ยังมีจำนวนอตรรกยะ ตัวเลขเหล่านี้คืออะไร? สรุปคือ เศษส่วนทศนิยมอนันต์ ตัวอย่างเช่น หากคุณหารเส้นรอบวงของวงกลมด้วยเส้นผ่านศูนย์กลาง คุณจะได้จำนวนอตรรกยะ

สรุป:

มานิยามแนวคิดของดีกรีกัน ซึ่งเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ (นั่นคือจำนวนเต็มและบวก)

1. จำนวนใด ๆ ยกกำลังแรกจะเท่ากับตัวมันเอง:
2. การยกกำลังสองตัวเลขคือการคูณด้วยตัวมันเอง:
3. ในการลูกบาศก์ตัวเลขคือการคูณด้วยตัวมันเองสามครั้ง:

คำนิยาม.การเพิ่มจำนวนให้เป็นกำลังธรรมชาติคือการคูณตัวเลขด้วยตัวมันเองด้วย:
.

คุณสมบัติองศา

คุณสมบัติเหล่านี้มาจากไหน? ฉันจะแสดงให้คุณเห็นตอนนี้

มาดูกันว่าคืออะไร และ ?

เอ-ไพรเออรี่:

มีตัวคูณทั้งหมดกี่ตัว?

ง่ายมาก: เราเพิ่มปัจจัยเข้ากับปัจจัย และผลลัพธ์ก็คือปัจจัย

แต่ตามคำจำกัดความ นี่คือดีกรีของจำนวนที่มีเลขชี้กำลัง นั่นคือ: ซึ่งจำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์

ตัวอย่าง: ลดความซับซ้อนของนิพจน์

การตัดสินใจ:

ตัวอย่าง:ลดความซับซ้อนของนิพจน์

การตัดสินใจ:สิ่งสำคัญคือต้องสังเกตว่าในกฎของเรา อย่างจำเป็นคงจะเป็นเหตุผลเดียวกัน!
ดังนั้นเราจึงรวมองศากับฐาน แต่ยังคงเป็นปัจจัยที่แยกจากกัน:

เฉพาะผลิตภัณฑ์แห่งอำนาจเท่านั้น!

ไม่ว่าในกรณีใดคุณควรเขียนสิ่งนั้น

2. นั่นคือ -กำลังของตัวเลข

เช่นเดียวกับคุณสมบัติก่อนหน้านี้ มาดูคำจำกัดความของดีกรีกัน:

ปรากฎว่านิพจน์คูณด้วยตัวมันเองหนึ่งครั้ง นั่นคือ ตามคำจำกัดความ นี่คือกำลังที่ th ของตัวเลข:

อันที่จริงสิ่งนี้สามารถเรียกได้ว่า "การยึดตัวบ่งชี้" แต่คุณไม่สามารถทำได้ทั้งหมด:

มาจำสูตรคูณตัวย่อกัน: เราต้องการเขียนกี่ครั้ง?

แต่นั่นไม่เป็นความจริงเลย

องศาที่มีฐานเป็นลบ

ถึงจุดนี้ เราได้พูดคุยกันแค่ว่าเลขชี้กำลังควรเป็นเท่าใด

แต่อะไรควรเป็นพื้นฐาน?

เป็นองศาจาก ตัวบ่งชี้ธรรมชาติพื้นฐานอาจจะเป็น เลขอะไรก็ได้. อันที่จริง เราสามารถคูณจำนวนใดๆ ต่อกันได้ ไม่ว่าจะเป็นบวก ลบ หรือแม้แต่คู่

ลองคิดดูว่าเครื่องหมาย (" " หรือ "") ใดจะมีองศาของจำนวนบวกและลบ

ตัวอย่างเช่น ตัวเลขจะเป็นบวกหรือลบ? แต่? ? ประการแรกทุกอย่างชัดเจน: ไม่ว่าเราจะคูณจำนวนบวกกันกี่จำนวน ผลลัพธ์จะเป็นบวก

แต่สิ่งที่เป็นลบนั้นน่าสนใจกว่าเล็กน้อย ท้ายที่สุด เราจำกฎง่ายๆ จากชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ได้: "ลบคูณลบให้บวก" นั่นคือหรือ. แต่ถ้าเราคูณด้วย มันจะออกมา

กำหนดด้วยตัวคุณเองว่านิพจน์ต่อไปนี้จะมีเครื่องหมายอะไร:

คุณจัดการหรือไม่

นี่คือคำตอบ: ในสี่ตัวอย่างแรก ฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจน? เราเพียงแค่ดูที่ฐานและเลขชี้กำลัง แล้วใช้กฎที่เหมาะสม

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

ในตัวอย่างที่ 5) ทุกอย่างไม่ได้น่ากลัวอย่างที่คิด: ไม่สำคัญว่าฐานจะเท่ากับอะไร - ระดับจะเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์จะเป็นบวกเสมอ

ยกเว้นเมื่อฐานเป็นศูนย์ ฐานไม่เหมือนกันใช่หรือไม่? ไม่แน่นอนตั้งแต่ (เพราะ)

ตัวอย่างที่ 6) ไม่ใช่เรื่องง่ายอีกต่อไป!

6 ตัวอย่างแบบฝึกหัด

การวิเคราะห์โซลูชัน 6 ตัวอย่าง

ถ้าเราไม่ใส่ใจแปดดีกรี เราเห็นอะไรที่นี่? มาดูโปรแกรม ป.7 กันครับ แล้วจำได้ไหม? นี่คือสูตรคูณแบบย่อ คือ ผลต่างของกำลังสอง! เราได้รับ:

เราพิจารณาตัวส่วนอย่างระมัดระวัง ดูเหมือนปัจจัยตัวหนึ่งมาก แต่เกิดอะไรขึ้น ลำดับเงื่อนไขไม่ถูกต้อง ถ้าสลับกันก็ใช้กฎได้

แต่จะทำอย่างไร? ปรากฎว่ามันง่ายมาก ดีกรีคู่ของตัวส่วนช่วยเราได้

เงื่อนไขมีการเปลี่ยนแปลงสถานที่อย่างน่าอัศจรรย์ "ปรากฏการณ์" นี้ใช้กับนิพจน์ใดๆ ในระดับที่เท่ากัน: เราสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายในวงเล็บได้อย่างอิสระ

แต่สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่า: สัญญาณทั้งหมดเปลี่ยนในเวลาเดียวกัน!

กลับไปที่ตัวอย่าง:

และอีกครั้งสูตร:

ทั้งหมดเราตั้งชื่อจำนวนธรรมชาติ ตรงกันข้าม (นั่นคือ ใช้กับเครื่องหมาย "") และตัวเลข

จำนวนเต็มบวกและไม่แตกต่างจากธรรมชาติแล้วทุกอย่างดูเหมือนในหัวข้อก่อนหน้า

ทีนี้มาดูเคสใหม่กัน เริ่มต้นด้วยตัวบ่งชี้ที่เท่ากับ

จำนวนใด ๆ ยกกำลังศูนย์เท่ากับหนึ่ง:

เช่นเคย เราถามตัวเองว่า ทำไมจึงเป็นเช่นนั้น

พิจารณาพลังบางอย่างที่มีฐาน ใช้ตัวอย่างเช่นและคูณด้วย:

เราคูณจำนวนนั้นด้วย, ได้เหมือนเดิม -. ต้องคูณด้วยจำนวนใดจึงจะไม่เปลี่ยนแปลง ถูกต้องแล้ว วิธี.

เราสามารถทำเช่นเดียวกันกับหมายเลขใดก็ได้:

มาทำซ้ำกฎกัน:

เลขยกกำลังศูนย์ใดๆ มีค่าเท่ากับหนึ่ง

แต่มีข้อยกเว้นสำหรับกฎหลายข้อ และนี่ก็อยู่ที่นั่นด้วย - นี่คือตัวเลข (เป็นฐาน)

ในแง่หนึ่ง มันต้องเท่ากับระดับใดๆ ไม่ว่าคุณจะคูณศูนย์ด้วยตัวมันเองเท่าไหร่ คุณก็จะได้ศูนย์ นี่ก็ชัดเจน แต่ในทางกลับกัน เช่นเดียวกับตัวเลขใดๆ ในระดับศูนย์ มันจะต้องเท่ากัน แล้วความจริงของเรื่องนี้คืออะไร? นักคณิตศาสตร์ตัดสินใจที่จะไม่มีส่วนร่วมและปฏิเสธที่จะยกกำลังศูนย์ให้เป็นศูนย์ นั่นคือตอนนี้เราไม่เพียงแต่สามารถหารด้วยศูนย์ แต่ยังเพิ่มเป็นศูนย์ด้วย

ไปกันเลยดีกว่า นอกจากจำนวนธรรมชาติและตัวเลขแล้ว จำนวนเต็มยังรวมถึงจำนวนลบด้วย เพื่อให้เข้าใจว่าดีกรีลบคืออะไร ลองทำเหมือนครั้งที่แล้ว: เราคูณจำนวนปกติด้วยดีกรีลบเหมือนกัน:

จากที่นี่เป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงความต้องการ:

ตอนนี้เราขยายกฎผลลัพธ์ไปสู่ระดับตามอำเภอใจ:

เรามาตั้งกฎกัน:

จำนวนยกกำลังลบคือการผกผันของจำนวนเดียวกันยกกำลังบวก แต่ในขณะเดียวกัน ฐานไม่สามารถเป็นโมฆะได้:(เพราะไม่สามารถแบ่งได้)

มาสรุปกัน:

I. นิพจน์ไม่ได้กำหนดไว้ในกรณี ถ้าอย่างนั้น.

ครั้งที่สอง เลขยกกำลังศูนย์ใดๆ มีค่าเท่ากับหนึ่ง: .

สาม. จำนวนที่ไม่เท่ากับศูนย์ยกกำลังลบคือการผกผันของจำนวนเดียวกันกับกำลังบวก:

งานสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตามปกติแล้ว ตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:

การวิเคราะห์งานสำหรับโซลูชันอิสระ:

รู้ รู้ ตัวเลขมันน่ากลัว แต่ตอนสอบ อะไรก็ต้องพร้อม! แก้ตัวอย่างเหล่านี้หรือวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาหากคุณแก้ไม่ได้ และคุณจะได้เรียนรู้วิธีการจัดการกับมันอย่างง่ายดายในข้อสอบ!

ลองขยายช่วงของตัวเลข "เหมาะสม" เป็นเลขชี้กำลังต่อไป

ตอนนี้พิจารณา สรุปตัวเลข.ตัวเลขใดที่เรียกว่าตรรกยะ?

คำตอบ: ทั้งหมดที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วน โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม ยิ่งกว่านั้น

ให้เข้าใจว่าคืออะไร "เศษส่วนองศา"ลองพิจารณาเศษส่วน:

ลองยกทั้งสองข้างของสมการยกกำลังกัน:

ตอนนี้จำกฎ "ระดับปริญญา":

ต้องยกกำลังอะไรถึงจะได้?

สูตรนี้เป็นคำจำกัดความของรากของดีกรีที่ th

ให้ฉันเตือนคุณ: รากของกำลัง th ของจำนวน () คือตัวเลขที่เมื่อยกกำลังแล้วจะเท่ากัน

นั่นคือ รากของดีกรี th คือการดำเนินการผกผันของการยกกำลัง:

ปรากฎว่า. เห็นได้ชัดว่ากรณีพิเศษนี้สามารถขยายได้: .

ตอนนี้เพิ่มตัวเศษ: มันคืออะไร? คำตอบนั้นง่ายมากเมื่อใช้กฎกำลังต่อกำลัง:

แต่ฐานสามารถเป็นตัวเลขใดๆ ได้หรือไม่? ท้ายที่สุดไม่สามารถแยกรูทออกจากตัวเลขทั้งหมดได้

ไม่มี!

จำกฎนี้: ตัวเลขใดๆ ที่ยกกำลังคู่เป็นจำนวนบวก นั่นคือ เป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากของดีกรีคู่ออกจากจำนวนลบ!

และนี่หมายความว่าตัวเลขดังกล่าวไม่สามารถยกกำลังเศษส่วนด้วยตัวส่วนคู่ได้ นั่นคือนิพจน์ไม่สมเหตุสมผล

แล้วการแสดงออกล่ะ?

แต่ที่นี่มีปัญหาเกิดขึ้น

ตัวเลขสามารถแสดงเป็นเศษส่วนอื่นๆ เช่น เศษส่วน หรือ

และปรากฎว่ามันมีอยู่ แต่ไม่มีอยู่จริง และนี่เป็นเพียงสองระเบียนที่แตกต่างกันในจำนวนเดียวกัน

หรืออีกตัวอย่างหนึ่ง: หนึ่งครั้ง จากนั้นคุณสามารถจดบันทึกได้ แต่ทันทีที่เราเขียนตัวบ่งชี้ด้วยวิธีที่ต่างออกไป เราก็ประสบปัญหาอีกครั้ง (นั่นคือ เราได้ผลลัพธ์ที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง!)

เพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้งดังกล่าว พิจารณา เฉพาะเลขฐานบวกที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน.

ดังนั้นถ้า:

• - จำนวนธรรมชาติ
• เป็นจำนวนเต็ม

ตัวอย่าง:

ยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะมีประโยชน์มากสำหรับการแปลงนิพจน์ที่มีราก ตัวอย่างเช่น

5 ตัวอย่างการฝึก

การวิเคราะห์ 5 ตัวอย่างสำหรับการฝึกอบรม

ตอนนี้ - ยากที่สุด ตอนนี้เราจะวิเคราะห์ องศากับเลขชี้กำลังอตรรกยะ.

กฎและคุณสมบัติทั้งหมดขององศาที่นี่เหมือนกันทุกประการกับองศาที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ยกเว้น

ตามคำจำกัดความแล้ว จำนวนอตรรกยะคือตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม (กล่าวคือ จำนวนอตรรกยะเป็นจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นจำนวนตรรกยะ)

เมื่อศึกษาองศาด้วยตัวบ่งชี้ที่เป็นธรรมชาติ จำนวนเต็ม และมีเหตุผล ทุกครั้งที่เราสร้าง "ภาพ" "การเปรียบเทียบ" หรือคำอธิบายด้วยคำที่คุ้นเคยมากขึ้น

ตัวอย่างเช่น เลขชี้กำลังธรรมชาติคือจำนวนที่คูณด้วยตัวมันเองหลายครั้ง

...ศูนย์พลังงาน- นี่คือจำนวนที่คูณด้วยตัวมันเองหนึ่งครั้งนั่นคือมันยังไม่ได้เริ่มคูณซึ่งหมายความว่าจำนวนนั้นยังไม่ปรากฏ - ดังนั้นผลลัพธ์จึงเป็นเพียง "การเตรียมของ" ตัวเลข” คือตัวเลข;

...เลขชี้กำลังจำนวนเต็มลบ- ราวกับว่ามี "กระบวนการย้อนกลับ" บางอย่างเกิดขึ้นนั่นคือตัวเลขไม่ได้คูณด้วยตัวมันเอง แต่ถูกหาร

ในทางวิทยาศาสตร์มักใช้ดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเชิงซ้อน กล่าวคือ เลขชี้กำลังไม่ใช่จำนวนจริงด้วยซ้ำ

แต่ที่โรงเรียน เราไม่คิดถึงปัญหาดังกล่าว คุณจะมีโอกาสทำความเข้าใจแนวคิดใหม่เหล่านี้ที่สถาบัน

เรามั่นใจว่าคุณจะไปที่ไหน! (ถ้าคุณเรียนรู้วิธีแก้ตัวอย่างดังกล่าว :))

ตัวอย่างเช่น:

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

การวิเคราะห์โซลูชัน:

1. มาเริ่มกันที่กฎเกณฑ์ปกติแล้วสำหรับการเพิ่มระดับปริญญา:

ทีนี้มาดูสกอร์ เขาทำให้คุณนึกถึงอะไรไหม? เราจำสูตรการคูณโดยย่อของผลต่างของกำลังสอง:

ในกรณีนี้,

ปรากฎว่า:

ตอบ: .

2. เรานำเศษส่วนที่เป็นเลขชี้กำลังมาในรูปแบบเดียวกัน: ทั้งทศนิยมหรือทั้งสองธรรมดา เราได้รับตัวอย่างเช่น:

คำตอบ: 16

3. ไม่มีอะไรพิเศษ เราใช้คุณสมบัติปกติขององศา:

ระดับสูง

ความหมายของปริญญา

ดีกรีเป็นนิพจน์ของแบบฟอร์ม: โดยที่:

• — ฐานของปริญญา;
• - เลขชี้กำลัง

องศาที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ (n = 1, 2, 3,...)

การเพิ่มจำนวนให้เป็นกำลังธรรมชาติ n หมายถึงการคูณตัวเลขด้วยตัวมันเองด้วย:

กำลังไฟฟ้าพร้อมเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม (0, ±1, ±2,...)

ถ้าเลขชี้กำลังคือ จำนวนเต็มบวกตัวเลข:

การแข็งตัวของอวัยวะเพศ สู่ศูนย์อำนาจ:

นิพจน์ไม่มีกำหนดแน่นอน เพราะในแง่หนึ่ง นี่คือระดับใด ๆ และในทางกลับกัน ตัวเลขใด ๆ ถึงดีกรี th ก็คือนี่

ถ้าเลขชี้กำลังคือ จำนวนเต็มลบตัวเลข:

(เพราะไม่สามารถแบ่งได้)

อีกครั้งเกี่ยวกับค่าว่าง: นิพจน์ไม่ได้กำหนดไว้ในกรณี ถ้าอย่างนั้น.

ตัวอย่าง:

องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ

• - จำนวนธรรมชาติ
• เป็นจำนวนเต็ม

ตัวอย่าง:

คุณสมบัติองศา

เพื่อให้ง่ายต่อการแก้ปัญหา เรามาลองทำความเข้าใจกันว่า คุณสมบัติเหล่านี้มาจากไหน? มาพิสูจน์กัน

มาดูกันว่าคืออะไรและ?

เอ-ไพรเออรี่:

ดังนั้น ทางด้านขวาของนิพจน์นี้ จะได้ผลิตภัณฑ์ต่อไปนี้:

แต่ตามนิยาม นี่คือกำลังของจำนวนที่มีเลขชี้กำลัง นั่นคือ:

คิวอีดี

ตัวอย่าง : ลดความซับซ้อนของนิพจน์

การตัดสินใจ : .

ตัวอย่าง : ลดความซับซ้อนของนิพจน์

การตัดสินใจ : สิ่งสำคัญคือต้องสังเกตว่าในกฎของเรา อย่างจำเป็นต้องมีพื้นฐานเหมือนกัน ดังนั้นเราจึงรวมองศากับฐาน แต่ยังคงเป็นปัจจัยที่แยกจากกัน:

หมายเหตุสำคัญอีกประการหนึ่ง: กฎนี้ - เฉพาะผลิตภัณฑ์แห่งอำนาจ!

ฉันไม่ควรเขียนสิ่งนั้นไม่ว่าในกรณีใด

เช่นเดียวกับคุณสมบัติก่อนหน้านี้ มาดูคำจำกัดความของดีกรีกัน:

ลองจัดเรียงใหม่ดังนี้:

ปรากฎว่านิพจน์คูณด้วยตัวมันเองหนึ่งครั้ง นั่นคือ ตามคำจำกัดความ นี่คือกำลัง -th ของตัวเลข:

อันที่จริงสิ่งนี้สามารถเรียกได้ว่า "การยึดตัวบ่งชี้" แต่คุณไม่สามารถทำเช่นนี้ได้ทั้งหมด :!

มาจำสูตรคูณตัวย่อกัน: เราต้องการเขียนกี่ครั้ง? แต่นั่นไม่เป็นความจริงเลย

พลังที่มีฐานลบ

ถึงตอนนี้เราได้คุยกันแต่สิ่งที่ควรเป็น ตัวบ่งชี้ระดับ. แต่อะไรควรเป็นพื้นฐาน? เป็นองศาจาก เป็นธรรมชาติ ตัวบ่งชี้ พื้นฐานอาจจะเป็น เลขอะไรก็ได้ .

อันที่จริง เราสามารถคูณจำนวนใดๆ ต่อกันได้ ไม่ว่าจะเป็นบวก ลบ หรือแม้แต่คู่ ลองคิดดูว่าเครื่องหมาย (" " หรือ "") ใดจะมีองศาของจำนวนบวกและลบ

ตัวอย่างเช่น ตัวเลขจะเป็นบวกหรือลบ? แต่? ?

ประการแรกทุกอย่างชัดเจน: ไม่ว่าเราจะคูณจำนวนบวกกันกี่จำนวน ผลลัพธ์จะเป็นบวก

แต่สิ่งที่เป็นลบนั้นน่าสนใจกว่าเล็กน้อย ท้ายที่สุด เราจำกฎง่ายๆ จากชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ได้: "ลบคูณลบให้บวก" นั่นคือหรือ. แต่ถ้าเราคูณด้วย () เราจะได้ -

และอื่นๆ ใน ad infinitum: ทุกครั้งที่มีการคูณ เครื่องหมายจะเปลี่ยนไป คุณสามารถกำหนดกฎง่ายๆ เหล่านี้ได้:

1. สม่ำเสมอองศา, - หมายเลข เชิงบวก.
2. ตัวเลขติดลบเพิ่มขึ้นเป็น แปลกองศา, - หมายเลข เชิงลบ.
3. จำนวนบวกยกกำลังใด ๆ เป็นจำนวนบวก
4. ศูนย์กำลังใด ๆ เท่ากับศูนย์

กำหนดด้วยตัวคุณเองว่านิพจน์ต่อไปนี้จะมีเครื่องหมายอะไร:

คุณจัดการหรือไม่ นี่คือคำตอบ:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

ในสี่ตัวอย่างแรก ฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจน? เราเพียงแค่ดูที่ฐานและเลขชี้กำลัง แล้วใช้กฎที่เหมาะสม

ในตัวอย่างที่ 5) ทุกอย่างไม่ได้น่ากลัวอย่างที่คิด: ไม่สำคัญว่าฐานจะเท่ากับอะไร - ระดับจะเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์จะเป็นบวกเสมอ ยกเว้นเมื่อฐานเป็นศูนย์ ฐานไม่เหมือนกันใช่หรือไม่? ไม่แน่นอนตั้งแต่ (เพราะ)

ตัวอย่างที่ 6) ไม่ใช่เรื่องง่ายอีกต่อไป ที่นี่คุณต้องค้นหาว่าอันไหนน้อยกว่า: หรือ? ถ้าคุณจำได้ จะเห็นได้ชัดว่าซึ่งหมายความว่าฐานน้อยกว่าศูนย์ นั่นคือเราใช้กฎข้อที่ 2: ผลลัพธ์จะเป็นค่าลบ

และอีกครั้งที่เราใช้คำจำกัดความของดีกรี:

ทุกอย่างเป็นไปตามปกติ - เราเขียนคำจำกัดความขององศาและแบ่งมันออกเป็นคู่ ๆ และรับ:

ก่อนวิเคราะห์กฎข้อสุดท้าย เรามาลองแก้ตัวอย่างกันก่อน

คำนวณค่าของนิพจน์:

โซลูชั่น :

ถ้าเราไม่ใส่ใจแปดดีกรี เราเห็นอะไรที่นี่? มาดูโปรแกรม ป.7 กันครับ แล้วจำได้ไหม? นี่คือสูตรคูณแบบย่อ คือ ผลต่างของกำลังสอง!

เราได้รับ:

เราพิจารณาตัวส่วนอย่างระมัดระวัง ดูเหมือนปัจจัยตัวหนึ่งมาก แต่เกิดอะไรขึ้น ลำดับเงื่อนไขไม่ถูกต้อง หากกลับกันก็สามารถใช้กฎข้อ 3 ได้ แต่จะทำเช่นนี้ได้อย่างไร? ปรากฎว่ามันง่ายมาก ดีกรีคู่ของตัวส่วนช่วยเราได้

ถ้าคุณคูณมันด้วย ไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงใช่ไหม แต่ตอนนี้ดูเหมือนว่านี้:

เงื่อนไขมีการเปลี่ยนแปลงสถานที่อย่างน่าอัศจรรย์ "ปรากฏการณ์" นี้ใช้กับนิพจน์ใดๆ ในระดับที่เท่ากัน: เราสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายในวงเล็บได้อย่างอิสระ แต่สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่า: สัญญาณทั้งหมดเปลี่ยนในเวลาเดียวกัน!ไม่สามารถแทนที่ด้วยการเปลี่ยนเพียงหนึ่งที่น่ารังเกียจลบให้เรา!

กลับไปที่ตัวอย่าง:

และอีกครั้งสูตร:

ดังนั้นกฎข้อสุดท้าย:

เราจะพิสูจน์ได้อย่างไร? แน่นอนตามปกติ: มาขยายแนวคิดของระดับและทำให้ง่ายขึ้น:

ทีนี้มาเปิดวงเล็บกัน จะมีกี่ตัวอักษร? คูณด้วยตัวคูณ - หน้าตาเป็นอย่างไร? นี่ไม่ใช่อะไรนอกจากคำจำกัดความของการดำเนินการ การคูณ: ทั้งหมดกลายเป็นตัวคูณ นั่นคือตามคำจำกัดความกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง:

ตัวอย่าง:

องศาที่มีเลขชี้กำลังอตรรกยะ

นอกจากข้อมูลเกี่ยวกับองศาสำหรับระดับค่าเฉลี่ยแล้ว เราจะวิเคราะห์ระดับด้วยตัวบ่งชี้ที่ไม่ลงตัว กฎและคุณสมบัติทั้งหมดขององศาที่นี่เหมือนกันทุกประการกับดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ยกเว้น - ตามคำจำกัดความแล้ว จำนวนอตรรกยะคือตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม (นั่นคือ จำนวนอตรรกยะเป็นจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นจำนวนตรรกยะ)

เมื่อศึกษาองศาด้วยตัวบ่งชี้ที่เป็นธรรมชาติ จำนวนเต็ม และมีเหตุผล ทุกครั้งที่เราสร้าง "ภาพ" "การเปรียบเทียบ" หรือคำอธิบายด้วยคำที่คุ้นเคยมากขึ้น ตัวอย่างเช่น เลขชี้กำลังธรรมชาติคือจำนวนที่คูณด้วยตัวมันเองหลายครั้ง ตัวเลขถึงศูนย์เท่ากับจำนวนที่คูณด้วยตัวมันเองครั้งเดียว นั่นคือ ยังไม่ได้เริ่มคูณ ซึ่งหมายความว่าจำนวนนั้นเองยังไม่ปรากฏ - ดังนั้น ผลลัพธ์จึงเป็นเพียง "การเตรียมตัวเลข" บางอย่างคือตัวเลข ระดับที่มีจำนวนเต็มลบ - ราวกับว่ามี "กระบวนการย้อนกลับ" นั่นคือตัวเลขไม่ได้คูณด้วยตัวมันเอง แต่ถูกหาร

เป็นการยากมากที่จะจินตนาการถึงปริญญาที่มีเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว (เช่นเดียวกับที่จินตนาการถึงพื้นที่ 4 มิติได้ยาก) ค่อนข้างจะเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ ที่นักคณิตศาสตร์สร้างขึ้นเพื่อขยายแนวคิดของระดับไปยังพื้นที่ทั้งหมดของตัวเลข

ในทางวิทยาศาสตร์มักใช้ดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเชิงซ้อน กล่าวคือ เลขชี้กำลังไม่ใช่จำนวนจริงด้วยซ้ำ แต่ที่โรงเรียน เราไม่คิดถึงปัญหาดังกล่าว คุณจะมีโอกาสทำความเข้าใจแนวคิดใหม่เหล่านี้ที่สถาบัน

แล้วเราจะทำอย่างไรถ้าเห็นเลขชี้กำลังอตรรกยะ? เรากำลังพยายามอย่างเต็มที่เพื่อกำจัดมัน! :)

ตัวอย่างเช่น:

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

คำตอบ:

1. จำความแตกต่างของสูตรกำลังสอง ตอบ: .
2. เรานำเศษส่วนมาอยู่ในรูปแบบเดียวกัน: ทศนิยมทั้งสองหรือทศนิยมทั้งสอง เราได้รับตัวอย่างเช่น: .
3. ไม่มีอะไรพิเศษ เราใช้คุณสมบัติปกติขององศา:

ส่วนสรุปและสูตรพื้นฐาน

ระดับเรียกว่านิพจน์ของแบบฟอร์ม: โดยที่:

องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม

องศา เลขชี้กำลังซึ่งเป็นจำนวนธรรมชาติ (เช่นจำนวนเต็มและบวก)

องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ

องศา ตัวบ่งชี้ที่เป็นตัวเลขติดลบและเศษส่วน

องศาที่มีเลขชี้กำลังอตรรกยะ

เลขชี้กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนหรือรากทศนิยมอนันต์

คุณสมบัติองศา

คุณสมบัติขององศา

• ตัวเลขติดลบเพิ่มขึ้นเป็น สม่ำเสมอองศา, - หมายเลข เชิงบวก.
• ตัวเลขติดลบเพิ่มขึ้นเป็น แปลกองศา, - หมายเลข เชิงลบ.
• จำนวนบวกยกกำลังใด ๆ เป็นจำนวนบวก
• ศูนย์เท่ากับพลังใด ๆ
• เลขยกกำลังศูนย์ใดๆ มีค่าเท่ากัน

ตอนนี้คุณมีคำ...

คุณชอบบทความอย่างไร? แจ้งให้เราทราบในความคิดเห็นด้านล่างหากคุณชอบหรือไม่

บอกเราเกี่ยวกับประสบการณ์ของคุณเกี่ยวกับคุณสมบัติด้านพลังงาน

บางทีคุณอาจมีคำถาม หรือข้อเสนอแนะ

เขียนในความคิดเห็น

และขอให้โชคดีกับการสอบของคุณ!