Y - เวกเตอร์ของตัวแปรเอาต์พุต Y= t,

Z - เวกเตอร์ของอิทธิพลภายนอก Z= t,

t - พิกัดเวลา

อาคาร แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ประกอบด้วยการกำหนดความเชื่อมโยงระหว่างกระบวนการและปรากฏการณ์บางอย่าง การสร้างเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ช่วยให้สามารถแสดงความสัมพันธ์ระหว่างกระบวนการและปรากฏการณ์บางอย่างในเชิงปริมาณและเชิงคุณภาพ ระหว่างปริมาณความสนใจทางกายภาพต่อผู้เชี่ยวชาญ และปัจจัยที่ส่งผลต่อผลลัพธ์สุดท้าย

โดยปกติจะมีจำนวนมากจนไม่สามารถแนะนำทั้งชุดในแบบจำลองได้ เมื่อสร้าง แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ก่อนการศึกษา งานเกิดขึ้นเพื่อระบุและแยกปัจจัยการพิจารณาที่ไม่ส่งผลกระทบอย่างมีนัยสำคัญต่อผลลัพธ์สุดท้าย ( แบบจำลองทางคณิตศาสตร์มักจะมีปัจจัยจำนวนน้อยกว่าในความเป็นจริง) จากข้อมูลการทดลอง มีการเสนอสมมติฐานเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณที่แสดงผลลัพธ์สุดท้ายกับปัจจัยที่แนะนำใน แบบจำลองทางคณิตศาสตร์. ความสัมพันธ์ดังกล่าวมักแสดงออกมาโดยระบบดิฟเฟอเรนเชียล สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย(เช่น ปัญหาทางกลศาสตร์ของวัตถุที่เป็นของแข็ง ของเหลวและก๊าซ ทฤษฎีการกรอง การนำความร้อน ทฤษฎีสนามไฟฟ้าสถิตและสนามไฟฟ้าไดนามิก)

เป้าหมายสูงสุดของขั้นตอนนี้คือการกำหนดปัญหาทางคณิตศาสตร์ ซึ่งการแก้ปัญหาด้วยความแม่นยำที่จำเป็นได้แสดงผลลัพธ์ที่เป็นที่สนใจของผู้เชี่ยวชาญ

รูปแบบและหลักการนำเสนอ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ขึ้นอยู่กับหลายปัจจัย

ตามหลักการก่อสร้าง แบบจำลองทางคณิตศาสตร์แบ่งออกเป็น:

1. วิเคราะห์;
2. การเลียนแบบ.

ในแบบจำลองเชิงวิเคราะห์ กระบวนการทำงานของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบจริงจะเขียนในรูปแบบที่ชัดเจน การพึ่งพาการทำงาน.

แบบจำลองการวิเคราะห์แบ่งออกเป็นประเภทตามปัญหาทางคณิตศาสตร์:

1. สมการ (พีชคณิต, เหนือธรรมชาติ, ดิฟเฟอเรนเชียล, อินทิกรัล),
2. ปัญหาการประมาณค่า (การประมาณค่า, การคาดคะเน, การรวมตัวเลขและ ความแตกต่าง),
3. ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพ
4. ปัญหาสุ่ม

อย่างไรก็ตาม เนื่องจากวัตถุสร้างแบบจำลองมีความซับซ้อนมากขึ้น การสร้างแบบจำลองเชิงวิเคราะห์จึงกลายเป็นปัญหาที่ยากจะแก้ไข จากนั้นผู้วิจัยจึงถูกบังคับให้ใช้ แบบจำลองการจำลอง.

ที่ แบบจำลองการจำลองการทำงานของอ็อบเจกต์ กระบวนการ หรือระบบ อธิบายโดยชุดของอัลกอริธึม อัลกอริธึมเลียนแบบปรากฏการณ์พื้นฐานจริงที่ประกอบขึ้นเป็นกระบวนการหรือระบบโดยที่ยังคงรักษา โครงสร้างตรรกะและเรียงตามลำดับเวลา การจำลองช่วยให้คุณได้รับข้อมูลเกี่ยวกับแหล่งข้อมูล สถานะกระบวนการหรือระบบในบางช่วงเวลา อย่างไรก็ตาม การทำนายพฤติกรรมของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบ เป็นเรื่องยากที่นี่ เรียกได้ว่า โมเดลจำลอง- เหล่านี้เป็นคอมพิวเตอร์ที่ใช้ การทดลองทางคอมพิวเตอร์กับ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เลียนแบบพฤติกรรมของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบจริง

ขึ้นอยู่กับธรรมชาติของกระบวนการและระบบจริงที่ศึกษา แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นไปได้:

1. กำหนด,
2. สุ่ม

ในแบบจำลองเชิงกำหนด ถือว่าไม่มีอิทธิพลแบบสุ่ม องค์ประกอบของแบบจำลอง (ตัวแปร ความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์) ได้รับการจัดตั้งขึ้นอย่างถูกต้องแม่นยำ และสามารถกำหนดพฤติกรรมของระบบได้อย่างแม่นยำ เมื่อสร้างแบบจำลองดีเทอร์มินิสติก มักใช้สมการพีชคณิต สมการปริพันธ์ พีชคณิตเมทริกซ์

แบบจำลองสุ่มคำนึงถึงลักษณะสุ่มของกระบวนการในวัตถุและระบบภายใต้การศึกษา ซึ่งอธิบายโดยวิธีทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์

ตามประเภทของข้อมูลที่ป้อน แบบจำลองแบ่งออกเป็น:

1. ต่อเนื่อง
2. ไม่ต่อเนื่อง

หากข้อมูลและพารามิเตอร์มีความต่อเนื่อง และความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์คงที่ โมเดลก็จะต่อเนื่อง และในทางกลับกัน หากข้อมูลและพารามิเตอร์ไม่ต่อเนื่องกัน และการเชื่อมต่อไม่เสถียร ดังนั้น แบบจำลองทางคณิตศาสตร์- ไม่ต่อเนื่อง

ตามพฤติกรรมของตัวแบบในเวลา แบ่งออกเป็น:

1. คงที่,
2. พลวัต.

แบบจำลองคงที่อธิบายพฤติกรรมของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบ ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง โมเดลไดนามิกสะท้อนถึงพฤติกรรมของอ็อบเจ็กต์ กระบวนการ หรือระบบในช่วงเวลาหนึ่ง

ตามระดับของการติดต่อระหว่าง

ตามตำราของ Sovetov และ Yakovlev: “แบบจำลอง (โมดูลัสละติน - การวัด) เป็นการแทนที่วัตถุของวัตถุดั้งเดิมโดยให้การศึกษาคุณสมบัติบางอย่างของต้นฉบับ” (หน้า 6) “การแทนที่วัตถุหนึ่งด้วยวัตถุอื่นเพื่อให้ได้ข้อมูลเกี่ยวกับคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของวัตถุดั้งเดิมโดยใช้วัตถุแบบจำลองเรียกว่าการสร้างแบบจำลอง” (หน้า 6) “ภายใต้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ เราจะเข้าใจกระบวนการสร้างสัมพันธ์กับวัตถุจริงที่กำหนดของวัตถุทางคณิตศาสตร์บางอย่างที่เรียกว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ และการศึกษาแบบจำลองนี้ ซึ่งทำให้ได้ลักษณะของวัตถุจริงที่อยู่ในการพิจารณา . ประเภทของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ขึ้นอยู่กับทั้งธรรมชาติของวัตถุจริงและงานของการศึกษาวัตถุและความน่าเชื่อถือและความถูกต้องที่จำเป็นในการแก้ปัญหานี้

สุดท้าย คำจำกัดความที่กระชับที่สุดของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์: “สมการแสดงความคิด"

การจำแนกแบบจำลอง

การจำแนกแบบจำลองอย่างเป็นทางการ

การจำแนกแบบจำลองอย่างเป็นทางการขึ้นอยู่กับการจำแนกประเภทของเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ มักสร้างขึ้นในรูปแบบของการแบ่งขั้ว ตัวอย่างเช่น ชุดไดโคโทมียอดนิยมชุดหนึ่งคือ:

ฯลฯ แบบจำลองที่สร้างขึ้นแต่ละแบบเป็นแบบเชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น กำหนดหรือสุ่ม ... โดยธรรมชาติแล้ว แบบผสมก็เป็นไปได้เช่นกัน: เน้นในลักษณะหนึ่ง (ในแง่ของพารามิเตอร์) แบบจำลองแบบกระจายในอีกรูปแบบหนึ่ง เป็นต้น

การจำแนกตามวิธีการแสดงวัตถุ

นอกจากการจำแนกประเภทที่เป็นทางการแล้ว แบบจำลองต่างๆ จะแตกต่างกันไปตามวิธีการเป็นตัวแทนของวัตถุ:

• แบบจำลองโครงสร้างหรือการใช้งาน

แบบจำลองโครงสร้างเป็นตัวแทนของวัตถุในฐานะระบบที่มีอุปกรณ์และกลไกการทำงานของตัวเอง แบบจำลองการทำงานไม่ได้ใช้การแสดงแทนดังกล่าวและสะท้อนให้เห็นเฉพาะพฤติกรรมที่รับรู้จากภายนอก (การทำงาน) ของวัตถุ ในการแสดงออกที่รุนแรง พวกเขาจะเรียกว่าโมเดล "กล่องดำ" นอกจากนี้ยังสามารถรวมประเภทของโมเดลซึ่งบางครั้งเรียกว่าโมเดล "กล่องสีเทา"

เนื้อหาและรูปแบบที่เป็นทางการ

ผู้เขียนเกือบทั้งหมดที่อธิบายกระบวนการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ระบุว่าในขั้นแรก การก่อสร้างในอุดมคติแบบพิเศษได้ถูกสร้างขึ้น โมเดลเนื้อหา. ไม่มีศัพท์เฉพาะในที่นี้ และผู้เขียนคนอื่นๆ เรียกสิ่งนี้ว่า วัตถุในอุดมคติ รูปแบบความคิด , แบบจำลองเก็งกำไรหรือ พรีโมเดล. ในกรณีนี้ จะเรียกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ขั้นสุดท้ายว่า แบบเป็นทางการหรือเพียงแค่แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ได้รับจากการจัดรูปแบบเนื้อหานี้ให้เป็นแบบแผน (รุ่นก่อนแบบจำลอง) การสร้างแบบจำลองที่มีความหมายสามารถทำได้โดยใช้ชุดของอุดมคติสำเร็จรูป เช่นในกลไก ซึ่งสปริงในอุดมคติ ตัวเครื่องที่แข็งแรง ลูกตุ้มในอุดมคติ สื่อยืดหยุ่น ฯลฯ จัดเตรียมองค์ประกอบโครงสร้างสำเร็จรูปสำหรับการสร้างแบบจำลองที่มีความหมาย อย่างไรก็ตาม ในด้านความรู้ที่ไม่มีทฤษฎีที่เป็นทางการที่สมบูรณ์ (ความล้ำหน้าของฟิสิกส์ ชีววิทยา เศรษฐศาสตร์ สังคมวิทยา จิตวิทยา และสาขาอื่น ๆ ส่วนใหญ่) การสร้างแบบจำลองที่มีความหมายนั้นซับซ้อนกว่ามาก

การจำแนกแบบจำลองที่มีความหมาย

ไม่มีสมมติฐานทางวิทยาศาสตร์ใดที่สามารถพิสูจน์ได้ในคราวเดียว Richard Feynman กล่าวไว้อย่างชัดเจนว่า:

“เรามีความสามารถในการพิสูจน์หักล้างทฤษฎีได้เสมอ แต่โปรดทราบว่าเราไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าทฤษฎีนั้นถูกต้อง สมมติว่าคุณเสนอสมมติฐานที่ประสบความสำเร็จ คำนวณว่ามันจะนำไปสู่ที่ใด และพบว่าผลที่ตามมาทั้งหมดได้รับการยืนยันจากการทดลอง นี่หมายความว่าทฤษฎีของคุณถูกต้องหรือไม่? ไม่ มันหมายความว่าคุณล้มเหลวในการหักล้างมัน

หากมีการสร้างแบบจำลองประเภทแรกขึ้น แสดงว่าแบบจำลองนั้นรับรู้ชั่วคราวว่าเป็นความจริงและสามารถมุ่งความสนใจไปที่ปัญหาอื่นๆ ได้ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่สามารถเป็นจุดในการวิจัยได้ แต่เป็นการหยุดชั่วคราว: สถานะของแบบจำลองประเภทแรกสามารถอยู่ได้เพียงชั่วคราวเท่านั้น

ประเภทที่ 2: แบบจำลองปรากฏการณ์ (ทำตัวเหมือน…)

แบบจำลองปรากฏการณ์วิทยามีกลไกในการอธิบายปรากฏการณ์ อย่างไรก็ตาม กลไกนี้ไม่น่าเชื่อถือเพียงพอ ไม่สามารถยืนยันเพียงพอโดยข้อมูลที่มีอยู่ หรือไม่เห็นด้วยดีกับทฤษฎีที่มีอยู่และความรู้ที่สะสมเกี่ยวกับวัตถุ ดังนั้น แบบจำลองปรากฏการณ์วิทยาจึงมีสถานะของการแก้ปัญหาชั่วคราว เชื่อว่ายังไม่ทราบคำตอบและจำเป็นต้องค้นหา "กลไกที่แท้จริง" ต่อไป ตัวอย่างเช่น Peierls อ้างถึงแบบจำลองแคลอรี่และแบบจำลองควาร์กของอนุภาคมูลฐานเป็นประเภทที่สอง

บทบาทของตัวแบบในการวิจัยอาจเปลี่ยนแปลงได้เมื่อเวลาผ่านไป ข้อมูลและทฤษฎีใหม่ๆ อาจเกิดขึ้นได้เพื่อยืนยันแบบจำลองทางปรากฏการณ์วิทยาและได้รับการเลื่อนตำแหน่งให้เป็นสมมติฐาน ในทำนองเดียวกัน ความรู้ใหม่อาจค่อยๆ ขัดแย้งกับแบบจำลอง - สมมติฐานประเภทแรก และอาจถูกถ่ายโอนไปยังความรู้ที่สอง ดังนั้น แบบจำลองควาร์กจึงค่อยๆ เคลื่อนเข้าสู่หมวดหมู่ของสมมติฐาน อะตอมในฟิสิกส์เกิดขึ้นเป็นวิธีแก้ปัญหาชั่วคราว แต่ด้วยประวัติศาสตร์ก็ผ่านเข้าสู่ประเภทแรก แต่โมเดลอีเธอร์ได้เปลี่ยนจากประเภทที่ 1 เป็นประเภทที่ 2 และตอนนี้โมเดลเหล่านี้อยู่นอกเหนือวิทยาศาสตร์

แนวคิดเรื่องการทำให้เข้าใจง่ายเป็นที่นิยมอย่างมากเมื่อสร้างแบบจำลอง แต่การทำให้เข้าใจง่ายแตกต่างกัน Peierls แยกแยะความแตกต่างของการทำให้เข้าใจง่ายสามประเภทในการสร้างแบบจำลอง

ประเภท 3: ค่าประมาณ (บางอย่างถือว่าใหญ่มากหรือเล็กมาก)

หากสามารถสร้างสมการที่อธิบายระบบที่กำลังศึกษาอยู่ ไม่ได้หมายความว่าจะแก้ได้แม้จะใช้คอมพิวเตอร์ช่วย เทคนิคทั่วไปในกรณีนี้คือการใช้การประมาณ (แบบจำลองประเภท 3) ในหมู่พวกเขา แบบจำลองการตอบสนองเชิงเส้น. สมการจะถูกแทนที่ด้วยสมการเชิงเส้น ตัวอย่างมาตรฐานคือกฎของโอห์ม

และนี่คือประเภทที่ 8 ซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบทางชีววิทยา

ประเภทที่ 8: การสาธิตความเป็นไปได้ (สิ่งสำคัญคือการแสดงความสอดคล้องภายในของความเป็นไปได้)

สิ่งเหล่านี้ยังเป็นการทดลองทางความคิดกับสิ่งที่อยู่ในจินตภาพอีกด้วย ซึ่งแสดงให้เห็นว่า ปรากฏการณ์ที่ควรจะเป็นสอดคล้องกับหลักการพื้นฐานและความสอดคล้องภายใน นี่คือข้อแตกต่างหลักจากรุ่น 7 ที่เผยให้เห็นความขัดแย้งที่ซ่อนอยู่

หนึ่งในการทดลองที่มีชื่อเสียงที่สุดคือเรขาคณิตของ Lobachevsky (Lobachevsky เรียกมันว่า "เรขาคณิตจินตภาพ") อีกตัวอย่างหนึ่งคือการผลิตจำนวนมากของแบบจำลองจลนศาสตร์อย่างเป็นทางการของการแกว่งทางเคมีและชีวภาพ คลื่นอัตโนมัติ ฯลฯ ความขัดแย้งของ Einstein-Podolsky-Rosen ถูกมองว่าเป็นแบบจำลองประเภท 7 เพื่อแสดงให้เห็นถึงความไม่สอดคล้องกันของกลศาสตร์ควอนตัม ในทางที่ไม่ได้วางแผนไว้อย่างสมบูรณ์ ในที่สุดก็กลายเป็นแบบจำลองประเภท 8 ซึ่งเป็นการสาธิตความเป็นไปได้ของการเคลื่อนย้ายข้อมูลด้วยควอนตัม

ตัวอย่าง

พิจารณาระบบกลไกที่ประกอบด้วยสปริงจับจ้องอยู่ที่ปลายด้านหนึ่งและรับน้ำหนัก มติดกับปลายสปริงอิสระ เราจะถือว่าโหลดสามารถเคลื่อนที่ได้เฉพาะในทิศทางของแกนสปริง (เช่น การเคลื่อนที่เกิดขึ้นตามแนวแกน) ให้เราสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบนี้ เราจะอธิบายสถานะของระบบตามระยะทาง xจากศูนย์กลางของโหลดไปยังตำแหน่งสมดุล ให้เราอธิบายการโต้ตอบของสปริงและโหลดโดยใช้ กฎของฮุก (F = − kx ) หลังจากนั้นเราใช้กฎข้อที่สองของนิวตันเพื่อแสดงในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์:

โดยที่หมายถึงอนุพันธ์อันดับสองของ xตามเวลา: .

สมการที่ได้จะอธิบายแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบทางกายภาพที่พิจารณา รูปแบบนี้เรียกว่า "ฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์"

ตามการจัดประเภทที่เป็นทางการ โมเดลนี้เป็นเชิงเส้น กำหนด ไดนามิก เข้มข้น ต่อเนื่อง ในกระบวนการสร้าง เราได้ตั้งสมมติฐานหลายอย่าง (เกี่ยวกับการไม่มีแรงภายนอก การไม่มีแรงเสียดทาน ความเบี่ยงเบนเล็กน้อย ฯลฯ) ซึ่งในความเป็นจริงอาจไม่สำเร็จ

ตามความเป็นจริงแล้ว โมเดลนี้มักจะเป็นแบบที่ 4 การทำให้เข้าใจง่าย(“เราละรายละเอียดบางอย่างเพื่อความชัดเจน”) เนื่องจากคุณสมบัติสากลที่จำเป็นบางอย่าง (เช่น การกระจายตัว) ถูกละไว้ ในการประมาณค่าบางอย่าง (เช่น ตราบใดที่ความเบี่ยงเบนของโหลดจากสมดุลยังน้อย มีแรงเสียดทานน้อย ไม่นานเกินไปและอยู่ภายใต้เงื่อนไขอื่นๆ บางอย่าง) โมเดลดังกล่าวอธิบายระบบกลไกที่แท้จริงได้ค่อนข้างดี เนื่องจาก ปัจจัยที่ถูกละทิ้งมีผลกระทบเล็กน้อยต่อพฤติกรรมของมัน อย่างไรก็ตาม โมเดลนี้สามารถปรับแต่งได้โดยคำนึงถึงปัจจัยเหล่านี้บางส่วน สิ่งนี้จะนำไปสู่โมเดลใหม่ที่มีขอบเขตที่กว้างขึ้น (แต่ก็ถูกจำกัดอีกครั้ง)

อย่างไรก็ตาม เมื่อแบบจำลองได้รับการขัดเกลา ความซับซ้อนของการศึกษาทางคณิตศาสตร์ของมันสามารถเพิ่มขึ้นอย่างมากและทำให้แบบจำลองแทบไร้ประโยชน์ บ่อยครั้ง โมเดลที่เรียบง่ายช่วยให้คุณสำรวจระบบจริงได้ดียิ่งขึ้นและลึกซึ้งยิ่งขึ้น มากกว่าแบบจำลองที่ซับซ้อนกว่า (และเป็นทางการ "ถูกต้องกว่า")

หากเราใช้แบบจำลองฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์กับวัตถุที่อยู่ไกลจากฟิสิกส์ สถานะที่มีความหมายอาจแตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น เมื่อใช้แบบจำลองนี้กับประชากรทางชีววิทยา น่าจะมาจากประเภท 6 ความคล้ายคลึง(“มาพิจารณาคุณสมบัติบางอย่างเท่านั้น”)

รุ่นแข็งและอ่อน

ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกเป็นตัวอย่างของรูปแบบที่เรียกว่า "ฮาร์ด" ได้มาจากการสร้างอุดมคติที่แข็งแกร่งของระบบทางกายภาพที่แท้จริง ในการแก้ไขปัญหาการบังคับใช้จำเป็นต้องเข้าใจว่าปัจจัยที่เราละเลยไปมีความสำคัญเพียงใด กล่าวอีกนัยหนึ่ง จำเป็นต้องตรวจสอบโมเดล "อ่อน" ซึ่งได้มาจากการรบกวนเล็กน้อยของโมเดล "แข็ง" สามารถให้ได้ตัวอย่างเช่นโดยสมการต่อไปนี้:

ที่นี่ - ฟังก์ชั่นบางอย่างซึ่งสามารถคำนึงถึงแรงเสียดทานหรือการพึ่งพาค่าสัมประสิทธิ์ความแข็งของสปริงกับระดับการยืด - พารามิเตอร์เล็ก ๆ บางอย่าง รูปแบบที่ชัดเจนของฟังก์ชัน ฉเราไม่สนใจในขณะนี้ หากเราพิสูจน์ว่าพฤติกรรมของแบบจำลองที่อ่อนนุ่มนั้นไม่ได้มีความแตกต่างโดยพื้นฐานจากพฤติกรรมของแบบจำลองที่แข็ง (โดยไม่คำนึงถึงรูปแบบที่ชัดเจนของปัจจัยที่ก่อกวน หากมีขนาดเล็กเพียงพอ) ปัญหาจะลดลงเหลือเพียงการศึกษาแบบจำลองที่ยาก มิฉะนั้น การประยุกต์ใช้ผลลัพธ์ที่ได้จากการศึกษาแบบจำลองที่เข้มงวดจะต้องมีการวิจัยเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น คำตอบของสมการของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์คือฟังก์ชันของรูปแบบ นั่นคือ การแกว่งที่มีแอมพลิจูดคงที่ จากนี้ไปออสซิลเลเตอร์จริงจะแกว่งไปเรื่อย ๆ ด้วยแอมพลิจูดคงที่หรือไม่? ไม่ เนื่องจากการพิจารณาระบบที่มีการเสียดสีเล็กน้อยตามอำเภอใจ (มักอยู่ในระบบจริงเสมอ) เราจึงเกิดการสั่นสะท้าน พฤติกรรมของระบบมีการเปลี่ยนแปลงในเชิงคุณภาพ

หากระบบยังคงพฤติกรรมเชิงคุณภาพภายใต้การรบกวนเล็กน้อย ถือว่ามีเสถียรภาพทางโครงสร้าง ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกเป็นตัวอย่างของระบบโครงสร้างที่ไม่เสถียร (ไม่หยาบ) อย่างไรก็ตาม โมเดลนี้สามารถใช้เพื่อศึกษากระบวนการในช่วงเวลาจำกัด

ความเป็นสากลของรุ่น

ตัวแบบทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุดมักจะมีคุณสมบัติที่สำคัญ ความเป็นสากล: ปรากฏการณ์จริงที่แตกต่างกันโดยพื้นฐานสามารถอธิบายได้ด้วยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เดียวกัน ตัวอย่างเช่น ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกไม่ได้อธิบายเฉพาะพฤติกรรมของโหลดบนสปริงเท่านั้น แต่ยังรวมถึงกระบวนการออสซิลเลเตอร์อื่นๆ ซึ่งมักจะมีลักษณะที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง: การสั่นเล็กน้อยของลูกตุ้ม การผันผวนของระดับของเหลวใน ยู- รูปภาชนะหรือการเปลี่ยนแปลงความแรงของกระแสในวงจรออสซิลเลเตอร์ ดังนั้น จากการศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์หนึ่งแบบจำลอง เราจึงศึกษาปรากฏการณ์ทั้งชั้นที่อธิบายโดยแบบจำลองนั้นในคราวเดียว ความผิดเพี้ยนของกฎที่แสดงโดยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในส่วนต่างๆ ของความรู้ทางวิทยาศาสตร์ที่ทำให้ Ludwig von Bertalanffy สร้าง "ทฤษฎีระบบทั่วไป"

ปัญหาทางตรงและทางผกผันของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

มีปัญหามากมายที่เกี่ยวข้องกับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ประการแรก จำเป็นต้องสร้างโครงร่างพื้นฐานของวัตถุที่กำลังสร้างแบบจำลอง เพื่อทำซ้ำภายในกรอบของการทำให้เป็นอุดมคติของวิทยาศาสตร์นี้ ดังนั้น รถยนต์รถไฟจึงกลายเป็นระบบของเพลตและวัตถุที่ซับซ้อนมากขึ้นที่ทำจากวัสดุที่แตกต่างกัน วัสดุแต่ละชนิดถูกกำหนดให้เป็นอุดมคติทางกลมาตรฐาน (ความหนาแน่น โมดูลียืดหยุ่น ลักษณะความแข็งแรงมาตรฐาน) หลังจากนั้นจะวาดสมการขึ้นตลอดทาง รายละเอียดบางอย่างถูกยกเลิกเนื่องจากไม่มีนัยสำคัญ มีการคำนวณ เปรียบเทียบกับการวัด แบบจำลองได้รับการขัดเกลา และอื่นๆ อย่างไรก็ตาม สำหรับการพัฒนาเทคโนโลยีการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ จะเป็นประโยชน์ในการแยกกระบวนการนี้ออกเป็นองค์ประกอบหลัก

ตามเนื้อผ้า มีปัญหาหลักสองประเภทที่เกี่ยวข้องกับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์: ตรงและผกผัน

ปัญหาโดยตรง: พิจารณาโครงสร้างของแบบจำลองและพารามิเตอร์ทั้งหมด หน้าที่หลักคือการศึกษาแบบจำลองเพื่อดึงความรู้ที่เป็นประโยชน์เกี่ยวกับวัตถุ สะพานสามารถทนต่อภาระสถิตใดได้บ้าง? มันจะตอบสนองต่อโหลดแบบไดนามิกอย่างไร (เช่นในการเดินขบวนของกองทหารหรือทางเดินของรถไฟด้วยความเร็วที่แตกต่างกัน) เครื่องบินจะเอาชนะอุปสรรคเสียงได้อย่างไรไม่ว่าจะกระพือปีกหรือไม่ - นี่เป็นตัวอย่างทั่วไปของงานโดยตรง การกำหนดปัญหาโดยตรงที่ถูกต้อง (การถามคำถามที่ถูกต้อง) ต้องใช้ทักษะพิเศษ หากไม่ถามคำถามที่ถูกต้อง สะพานอาจพังได้ แม้ว่าจะมีการสร้างแบบจำลองที่ดีสำหรับพฤติกรรมของสะพานก็ตาม ดังนั้นในปี พ.ศ. 2422 ในอังกฤษ สะพานโลหะข้ามแม่น้ำเทย์จึงถล่มลงมา ผู้ออกแบบได้สร้างแบบจำลองของสะพานขึ้น โดยคำนวณจากระยะขอบ 20 เท่าของความปลอดภัยสำหรับน้ำหนักบรรทุก แต่ลืมไปว่าลมที่พัดตลอดเวลานั้น สถานที่. และหลังจากนั้นหนึ่งปีครึ่งมันก็พังทลายลง

ในกรณีที่ง่ายที่สุด (เช่น สมการออสซิลเลเตอร์หนึ่งสมการ) ปัญหาโดยตรงจะง่ายมากและลดลงเป็นคำตอบที่ชัดเจนของสมการนี้

ปัญหาผกผัน: รู้จักโมเดลที่เป็นไปได้มากมาย จำเป็นต้องเลือกโมเดลเฉพาะตามข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับออบเจ็กต์ ส่วนใหญ่มักจะรู้จักโครงสร้างของแบบจำลองและจำเป็นต้องกำหนดพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักบางตัว ข้อมูลเพิ่มเติมอาจประกอบด้วยข้อมูลเชิงประจักษ์เพิ่มเติม หรือในข้อกำหนดสำหรับวัตถุ ( งานออกแบบ). ข้อมูลเพิ่มเติมสามารถมาได้โดยไม่คำนึงถึงกระบวนการแก้ปัญหาผกผัน ( การสังเกตแบบพาสซีฟ) หรือเป็นผลจากการทดลองที่วางแผนไว้เป็นพิเศษในระหว่างการแก้ ( การเฝ้าระวังเชิงรุก).

ตัวอย่างแรกๆ ของวิธีแก้ปัญหาอัจฉริยะของปัญหาผกผันที่มีการใช้ข้อมูลที่มีอยู่อย่างเต็มที่มากที่สุดคือวิธีการที่สร้างขึ้นโดย I. Newton สำหรับการสร้างแรงเสียดทานใหม่จากการสั่นของแดมเปอร์ที่สังเกตได้

ตัวอย่างเพิ่มเติม

ที่ไหน x ส- ขนาดประชากร "สมดุล" ซึ่งอัตราการเกิดได้รับการชดเชยอย่างแน่นอนด้วยอัตราการเสียชีวิต ขนาดประชากรในแบบจำลองดังกล่าวมีแนวโน้มที่ค่าดุลยภาพ x สและพฤติกรรมนี้มีความเสถียรทางโครงสร้าง

ระบบนี้มีสภาวะสมดุลซึ่งจำนวนกระต่ายและจิ้งจอกจะคงที่ การเบี่ยงเบนจากสถานะนี้นำไปสู่ความผันผวนของจำนวนกระต่ายและสุนัขจิ้งจอก คล้ายกับความผันผวนของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ ในกรณีของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ พฤติกรรมนี้ไม่มีความเสถียรทางโครงสร้าง: การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในแบบจำลอง (เช่น การพิจารณาทรัพยากรที่จำกัดที่กระต่ายต้องการ) อาจนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงเชิงคุณภาพในพฤติกรรม ตัวอย่างเช่น สภาวะสมดุลสามารถมีเสถียรภาพ และความผันผวนของประชากรจะลดลง สถานการณ์ตรงกันข้ามก็เป็นไปได้เช่นกัน เมื่อการเบี่ยงเบนเล็กน้อยจากตำแหน่งสมดุลจะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ร้ายแรง จนถึงการสูญพันธุ์โดยสมบูรณ์ของหนึ่งในสายพันธุ์ สำหรับคำถามที่ว่าสถานการณ์ใดเกิดขึ้นจริง โมเดล Volterra-Lotka ไม่ได้ให้คำตอบ: จำเป็นต้องมีการวิจัยเพิ่มเติมที่นี่

หมายเหตุ

1. "การแทนค่าทางคณิตศาสตร์ของความเป็นจริง" (Encyclopaedia Britanica)
2. โนวิก ไอ.บี., เกี่ยวกับคำถามเชิงปรัชญาของการสร้างแบบจำลองไซเบอร์เนติกส์ ม., ความรู้, 2507.
3. Sovetov B. Ya. , Yakovlev S. A., การสร้างแบบจำลองระบบ: Proc. สำหรับมหาวิทยาลัย - ครั้งที่ 3, ปรับปรุง. และเพิ่มเติม - ม.: สูงกว่า. โรงเรียน 2544. - 343 น. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A. A. , Mikhailov A. P.แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ไอเดีย. วิธีการ ตัวอย่าง. . - 2nd ed., Rev. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. มิชกิส เอ.ดี., องค์ประกอบของทฤษฎีแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ - ครั้งที่ 3 รายได้ - M.: KomKniga, 2007. - 192 with ISBN 978-5-484-00953-4
6. วิกิพจนานุกรม: แบบจำลองทางคณิตศาสตร์
7. คลิฟส์โน้ต
8. การลดแบบจำลองและแนวทางการเกรนหยาบสำหรับปรากฏการณ์หลายขนาด, สปริงเกอร์, ซีรีส์ความซับซ้อน, เบอร์ลิน-ไฮเดลเบิร์ก-นิวยอร์ก, 2549. XII+562 pp. ไอเอสบีเอ็น 3-540-35885-4
9. “ทฤษฎีที่ถือว่าเป็นเชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น ขึ้นอยู่กับว่า - เครื่องมือเชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น - เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ อะไร - เชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น - แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ ...โดยไม่ปฏิเสธอย่างหลัง นักฟิสิกส์สมัยใหม่ ถ้าเขาบังเอิญกำหนดเอนทิตีที่สำคัญเช่น non-linearity ใหม่ มักจะทำหน้าที่แตกต่างออกไป และเลือกที่จะให้ความไม่เป็นเชิงเส้นว่ามีความสำคัญมากกว่าและเป็นเรื่องธรรมดาของสองสิ่งที่ตรงกันข้าม จะนิยามความเป็นเส้นตรงว่า "ไม่ใช่-ไม่ใช่- ความเป็นเส้นตรง” Danilov Yu. A., การบรรยายเกี่ยวกับพลวัตไม่เชิงเส้น. เบื้องต้นเบื้องต้น. Synergetics จากอดีตสู่อนาคต เอ็ด.2. - M.: URSS, 2549. - 208 p. ISBN 5-484-00183-8
10. “ระบบไดนามิกที่สร้างแบบจำลองโดยสมการเชิงอนุพันธ์สามัญจำนวนจำกัดเรียกว่าระบบก้อนหรือระบบจุด มีการอธิบายโดยใช้พื้นที่เฟสที่มีขอบเขตจำกัด และมีลักษณะเป็นองศาอิสระจำนวนจำกัด ระบบเดียวและระบบเดียวกันภายใต้เงื่อนไขที่แตกต่างกันสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นระบบเข้มข้นหรือแบบกระจาย ตัวแบบทางคณิตศาสตร์ของระบบแบบกระจายคือสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย สมการปริพันธ์ หรือสมการหน่วงเวลาธรรมดา จำนวนระดับความเป็นอิสระของระบบแบบกระจายนั้นไม่มีที่สิ้นสุด และจำเป็นต้องมีข้อมูลจำนวนไม่สิ้นสุดเพื่อกำหนดสถานะของระบบ Anishchenko V.S., Dynamic Systems, Soros Educational Journal, 1997, ฉบับที่ 11, p. 77-84.
11. “ขึ้นอยู่กับธรรมชาติของกระบวนการที่ศึกษาในระบบ S การสร้างแบบจำลองทุกประเภทสามารถแบ่งออกเป็นแบบกำหนดและสุ่ม แบบคงที่และแบบไดนามิก แบบไม่ต่อเนื่อง แบบต่อเนื่อง และแบบไม่ต่อเนื่องแบบต่อเนื่อง แบบจำลองเชิงกำหนดจะแสดงกระบวนการที่กำหนดขึ้นเอง กล่าวคือ กระบวนการที่ถือว่าไม่มีอิทธิพลแบบสุ่มใดๆ เกิดขึ้น แบบจำลองสุ่มแสดงกระบวนการและเหตุการณ์ที่น่าจะเป็น … แบบจำลองคงที่ใช้เพื่ออธิบายพฤติกรรมของวัตถุ ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง ในขณะที่การสร้างแบบจำลองแบบไดนามิกจะสะท้อนพฤติกรรมของวัตถุในช่วงเวลาหนึ่ง การสร้างแบบจำลองแบบไม่ต่อเนื่องใช้เพื่ออธิบายกระบวนการที่ถือว่าไม่ต่อเนื่องตามลำดับ การสร้างแบบจำลองต่อเนื่องช่วยให้คุณสะท้อนถึงกระบวนการที่ต่อเนื่องในระบบ และการสร้างแบบจำลองต่อเนื่องแบบไม่ต่อเนื่องจะใช้สำหรับกรณีที่คุณต้องการเน้นการมีอยู่ของกระบวนการที่ไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่อง Sovetov B. Ya. , Yakovlev S. A., การสร้างแบบจำลองระบบ: Proc. สำหรับมหาวิทยาลัย - ครั้งที่ 3, ปรับปรุง. และเพิ่มเติม - ม.: สูงกว่า. โรงเรียน 2544. - 343 น. ISBN 5-06-003860-2
12. โดยปกติ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์จะสะท้อนโครงสร้าง (การจัดเรียง) ของวัตถุที่กำลังสร้างแบบจำลอง คุณสมบัติและการเชื่อมต่อระหว่างกันของส่วนประกอบต่างๆ ของวัตถุนี้ซึ่งจำเป็นสำหรับวัตถุประสงค์ของการศึกษา แบบจำลองดังกล่าวเรียกว่าโครงสร้าง หากแบบจำลองสะท้อนถึงวิธีการทำงานของออบเจกต์เท่านั้น ตัวอย่างเช่น ปฏิกิริยาตอบสนองต่ออิทธิพลภายนอก จะเรียกว่ากล่องดำที่ใช้งานได้จริงหรือในเชิงเปรียบเทียบ โมเดลรวมก็เป็นไปได้เช่นกัน มิชกิส เอ.ดี., องค์ประกอบของทฤษฎีแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ - ครั้งที่ 3 รายได้ - M.: KomKniga, 2007. - 192 with ISBN 978-5-484-00953-4
13. “ชัดเจน แต่ขั้นตอนเริ่มต้นที่สำคัญที่สุดในการสร้างหรือเลือกแบบจำลองทางคณิตศาสตร์คือการได้แนวคิดที่ชัดเจนที่สุดเกี่ยวกับวัตถุที่กำลังสร้างแบบจำลองและปรับแต่งโมเดลเนื้อหาตามการสนทนาที่ไม่เป็นทางการ ไม่ควรสละเวลาและความพยายามในขั้นตอนนี้ ความสำเร็จของการศึกษาทั้งหมดส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับมัน เกิดขึ้นมากกว่าหนึ่งครั้งที่งานจำนวนมากที่ใช้ไปในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์กลับกลายเป็นว่าไม่ได้ผลหรือสูญเปล่าไปเพราะขาดความสนใจในด้านนี้ของเรื่อง มิชกิส เอ.ดี., องค์ประกอบของทฤษฎีแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ - ครั้งที่ 3 รายได้ - M.: KomKniga, 2007. - 192 with ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
14. « คำอธิบายของรูปแบบแนวคิดของระบบในขั้นตอนย่อยของการสร้างแบบจำลองระบบ: ก) แบบจำลองแนวคิด M ถูกอธิบายในศัพท์และแนวคิดที่เป็นนามธรรม b) คำอธิบายของแบบจำลองได้รับโดยใช้รูปแบบทางคณิตศาสตร์ทั่วไป ค) สมมติฐานและสมมติฐานเป็นที่ยอมรับในที่สุด d) การเลือกขั้นตอนสำหรับการประมาณกระบวนการจริงเมื่อสร้างแบบจำลองได้รับการพิสูจน์แล้ว Sovetov B. Ya. , Yakovlev S. A., การสร้างแบบจำลองระบบ: Proc. สำหรับมหาวิทยาลัย - ครั้งที่ 3, ปรับปรุง. และเพิ่มเติม - ม.: สูงกว่า. โรงเรียน 2544. - 343 น. ISBN 5-06-003860-2, หน้า 93.

แนวคิดของแบบจำลองและการจำลอง

แบบจำลองในความหมายกว้าง- นี่คือภาพใดๆ ที่คล้ายคลึงกันของภาพในจิตใจหรือภาพที่สร้างขึ้น คำอธิบาย แผนภาพ ภาพวาด แผนที่ ฯลฯ ของปริมาตร กระบวนการหรือปรากฏการณ์ใดๆ ที่ใช้แทนหรือเป็นตัวแทน วัตถุ กระบวนการ หรือปรากฏการณ์นั้นเรียกว่าต้นแบบของโมเดลนี้

การสร้างแบบจำลอง - เป็นการศึกษาวัตถุหรือระบบของวัตถุใด ๆ โดยการสร้างและศึกษาแบบจำลองของมัน นี่คือการใช้แบบจำลองเพื่อกำหนดหรือปรับแต่งคุณลักษณะและหาเหตุผลเข้าข้างตนเองของวิธีการสร้างวัตถุที่สร้างขึ้นใหม่

วิธีการวิจัยทางวิทยาศาสตร์ใด ๆ ขึ้นอยู่กับแนวคิดของการสร้างแบบจำลองในเวลาเดียวกันเครื่องหมายประเภทต่างๆแบบจำลองนามธรรมถูกนำมาใช้ในวิธีการทางทฤษฎีและแบบจำลองหัวเรื่องที่ใช้ในการทดลอง

ในการศึกษานี้ ปรากฏการณ์จริงที่ซับซ้อนถูกแทนที่ด้วยสำเนาหรือโครงร่างที่ง่ายขึ้น บางครั้งสำเนาดังกล่าวมีไว้เพื่อจดจำและรับรู้ปรากฏการณ์ที่ต้องการในการประชุมครั้งต่อไปเท่านั้น บางครั้งรูปแบบที่สร้างขึ้นสะท้อนถึงคุณสมบัติที่สำคัญบางอย่างช่วยให้คุณเข้าใจกลไกของปรากฏการณ์ทำให้สามารถทำนายการเปลี่ยนแปลงได้ โมเดลที่แตกต่างกันสามารถสอดคล้องกับปรากฏการณ์เดียวกันได้

หน้าที่ของผู้วิจัยคือการทำนายธรรมชาติของปรากฏการณ์และกระบวนการ

บางครั้ง วัตถุมีอยู่จริง แต่การทดลองกับวัตถุนั้นมีราคาแพงหรือนำไปสู่ผลกระทบด้านสิ่งแวดล้อมที่ร้ายแรง ความรู้เกี่ยวกับกระบวนการดังกล่าวได้มาจากความช่วยเหลือของแบบจำลอง

จุดสำคัญคือธรรมชาติของวิทยาศาสตร์ไม่ได้เกี่ยวข้องกับการศึกษาปรากฏการณ์เฉพาะอย่างใดอย่างหนึ่ง แต่เป็นปรากฏการณ์ที่เกี่ยวข้องกันในวงกว้าง มันแสดงถึงความจำเป็นในการกำหนดข้อความหมวดหมู่ทั่วไปซึ่งเรียกว่ากฎหมาย โดยธรรมชาติแล้ว ด้วยสูตรดังกล่าว รายละเอียดมากมายจึงถูกละเลย เพื่อที่จะระบุรูปแบบได้ชัดเจนยิ่งขึ้น พวกเขาจงใจใช้ความหยาบ การทำให้เป็นอุดมคติ แผนผัง กล่าวคือ พวกเขาไม่ได้ศึกษาปรากฏการณ์นั้นเอง แต่เป็นสำเนาหรือแบบจำลองที่แน่นอนไม่มากก็น้อย กฎหมายทั้งหมดเป็นกฎหมายเกี่ยวกับแบบจำลอง ดังนั้นจึงไม่น่าแปลกใจที่เมื่อเวลาผ่านไป จะพบว่าทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์บางอย่างใช้ไม่ได้ สิ่งนี้ไม่ได้นำไปสู่การล่มสลายของวิทยาศาสตร์ เนื่องจากแบบจำลองหนึ่งถูกแทนที่ด้วยแบบจำลองอื่น ทันสมัยขึ้น.

บทบาทพิเศษทางวิทยาศาสตร์เล่นโดยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ วัสดุก่อสร้างและเครื่องมือของแบบจำลองเหล่านี้ - แนวคิดทางคณิตศาสตร์ ได้สะสมและปรับปรุงมาเป็นเวลาหลายพันปี คณิตศาสตร์สมัยใหม่เป็นวิธีการวิจัยที่มีประสิทธิภาพและเป็นสากล เกือบทุกแนวคิดในวิชาคณิตศาสตร์ ทุกวัตถุทางคณิตศาสตร์ เริ่มจากแนวคิดของตัวเลข เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ เมื่อสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของวัตถุหรือปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษาอยู่ คุณลักษณะ คุณลักษณะ และรายละเอียดของวัตถุนั้นจะถูกแยกออกมา ซึ่งในอีกด้านหนึ่ง มีข้อมูลที่ครบถ้วนสมบูรณ์เกี่ยวกับวัตถุนั้นไม่มากก็น้อย และในทางกลับกัน ก็อนุญาตให้ การทำให้เป็นทางการทางคณิตศาสตร์ การจัดรูปแบบทางคณิตศาสตร์หมายความว่าคุณลักษณะและรายละเอียดของวัตถุสามารถเชื่อมโยงกับแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่เหมาะสมเพียงพอ: ตัวเลข ฟังก์ชัน เมทริกซ์ และอื่นๆ จากนั้น การเชื่อมต่อและความสัมพันธ์ที่พบและสันนิษฐานในวัตถุภายใต้การศึกษาระหว่างแต่ละส่วนและส่วนประกอบสามารถเขียนได้โดยใช้ความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ ได้แก่ ความเท่าเทียมกัน ความไม่เท่าเทียมกัน สมการ ผลที่ได้คือคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการหรือปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษา กล่าวคือ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์

การศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์มักเกี่ยวข้องกับกฎการดำเนินการบางอย่างกับวัตถุที่กำลังศึกษา กฎเหล่านี้สะท้อนถึงความสัมพันธ์ระหว่างเหตุและผล

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นขั้นตอนสำคัญในการศึกษาหรือออกแบบระบบใดๆ การวิเคราะห์วัตถุในภายหลังทั้งหมดขึ้นอยู่กับคุณภาพของแบบจำลอง การสร้างแบบจำลองไม่ใช่ขั้นตอนที่เป็นทางการ ขึ้นอยู่กับผู้วิจัยอย่างมาก ประสบการณ์และรสนิยมของเขา ขึ้นอยู่กับวัสดุทดลองบางอย่างเสมอ แบบจำลองควรมีความถูกต้องเพียงพอ เพียงพอ และสะดวกต่อการใช้งาน

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์

การจำแนกแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์สามารถเป็นมุ่งมั่น และ สุ่ม .

กำหนดขึ้น แบบอย่าง และ - เหล่านี้เป็นแบบจำลองที่มีการกำหนดความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างตัวแปรที่อธิบายวัตถุหรือปรากฏการณ์

วิธีนี้ขึ้นอยู่กับความรู้เกี่ยวกับกลไกการทำงานของวัตถุ วัตถุที่กำลังสร้างแบบจำลองมักจะซับซ้อน และการถอดรหัสกลไกของวัตถุนั้นอาจใช้เวลานานและใช้เวลานาน ในกรณีนี้ พวกเขาดำเนินการดังนี้: การทดลองดำเนินการกับต้นฉบับ ผลลัพธ์จะถูกประมวลผล และโดยไม่ต้องเจาะลึกกลไกและทฤษฎีของวัตถุแบบจำลอง โดยใช้วิธีการของสถิติทางคณิตศาสตร์และทฤษฎีความน่าจะเป็น พวกเขาสร้างความสัมพันธ์ระหว่าง ตัวแปรที่อธิบายวัตถุ ในกรณีนี้ รับสุ่ม แบบอย่าง . ที่ สุ่ม แบบจำลอง ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรเป็นแบบสุ่ม บางครั้งก็เกิดขึ้นโดยพื้นฐาน ผลกระทบของปัจจัยจำนวนมาก การรวมกันของปัจจัยเหล่านี้นำไปสู่ชุดตัวแปรสุ่มที่อธิบายวัตถุหรือปรากฏการณ์ โดยธรรมชาติของโหมด ตัวแบบคือสถิติ และ พลวัต.

สถิติแบบอย่างรวมคำอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรหลักของวัตถุจำลองในสถานะคงตัวโดยไม่คำนึงถึงการเปลี่ยนแปลงของพารามิเตอร์เมื่อเวลาผ่านไป

ที่ พลวัตรุ่นอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรหลักของวัตถุจำลองในการเปลี่ยนจากโหมดหนึ่งไปอีกโหมดหนึ่ง

โมเดลคือ ไม่ต่อเนื่องและ ต่อเนื่อง, เช่นเดียวกับ ผสม พิมพ์. ที่ ต่อเนื่อง ตัวแปรรับค่าจากช่วงเวลาหนึ่งในไม่ต่อเนื่องตัวแปรรับค่าที่แยกออกมา

โมเดลเชิงเส้น- ฟังก์ชันและความสัมพันธ์ทั้งหมดที่อธิบายแบบจำลองนั้นขึ้นอยู่กับตัวแปรเชิงเส้นและไม่เชิงเส้นมิฉะนั้น.

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์

ความต้องการ , นำเสนอ ให้กับนางแบบ

1. ความเก่งกาจ- กำหนดลักษณะความสมบูรณ์ของการแสดงผลตามแบบจำลองคุณสมบัติที่ศึกษาของวัตถุจริง

1. ความเพียงพอ - ความสามารถในการสะท้อนคุณสมบัติที่ต้องการของวัตถุโดยมีข้อผิดพลาดไม่สูงกว่าที่ระบุ
2. ความแม่นยำ - ประมาณโดยระดับของความบังเอิญของค่าลักษณะของวัตถุจริงและค่าของลักษณะเหล่านี้ที่ได้รับโดยใช้แบบจำลอง
3. เศรษฐกิจ - กำหนดโดยต้นทุนของทรัพยากรหน่วยความจำคอมพิวเตอร์และเวลาสำหรับการใช้งานและการดำเนินงาน

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์

ขั้นตอนหลักของการสร้างแบบจำลอง

1. คำชี้แจงของปัญหา

การกำหนดวัตถุประสงค์ของการวิเคราะห์และวิธีการเพื่อให้บรรลุและพัฒนาแนวทางร่วมกันสำหรับปัญหาภายใต้การศึกษา ในขั้นตอนนี้ จำเป็นต้องมีความเข้าใจอย่างลึกซึ้งในสาระสำคัญของงาน บางครั้ง การกำหนดงานให้ถูกต้องนั้นไม่ยากน้อยกว่าการแก้ปัญหา การแสดงละครไม่ใช่กระบวนการที่เป็นทางการ ไม่มีกฎเกณฑ์ทั่วไป

2. การศึกษาฐานรากทางทฤษฎีและการรวบรวมข้อมูลเกี่ยวกับวัตถุประสงค์ของต้นฉบับ

ในขั้นตอนนี้ มีการเลือกหรือพัฒนาทฤษฎีที่เหมาะสม หากไม่มีอยู่ จะมีการสร้างความสัมพันธ์เชิงสาเหตุระหว่างตัวแปรที่อธิบายอ็อบเจ็กต์ ข้อมูลอินพุตและเอาต์พุตถูกกำหนดโดยทำให้สมมติฐานง่ายขึ้น

3. การทำให้เป็นทางการ

ประกอบด้วยการเลือกระบบสัญลักษณ์และใช้เพื่อเขียนความสัมพันธ์ระหว่างส่วนประกอบของวัตถุในรูปแบบของนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ มีการสร้างคลาสของงานซึ่งสามารถนำมาประกอบกับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เป็นผลลัพธ์ของวัตถุได้ อาจยังไม่ได้ระบุค่าของพารามิเตอร์บางตัวในขั้นตอนนี้

4. การเลือกวิธีการแก้ปัญหา

ในขั้นตอนนี้ มีการตั้งค่าพารามิเตอร์สุดท้ายของแบบจำลองโดยคำนึงถึงเงื่อนไขสำหรับการทำงานของวัตถุ สำหรับปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ได้รับ จะเลือกวิธีแก้ไขหรือพัฒนาวิธีพิเศษ เมื่อเลือกวิธีการ ความรู้ของผู้ใช้ ความชอบของเขา และความชอบของนักพัฒนาจะถูกนำมาพิจารณาด้วย

5. การดำเนินการตามแบบจำลอง

หลังจากพัฒนาอัลกอริธึมแล้ว โปรแกรมจะถูกเขียนขึ้นซึ่งถูกดีบั๊ก ทดสอบ และได้วิธีแก้ไขปัญหาที่ต้องการ

6. การวิเคราะห์ข้อมูลที่ได้รับ

มีการเปรียบเทียบโซลูชันที่ได้รับและที่คาดไว้ ข้อผิดพลาดของแบบจำลองถูกควบคุม

7. ตรวจสอบความเพียงพอของวัตถุจริง

ผลลัพธ์ที่ได้จากแบบจำลองจะถูกเปรียบเทียบไม่ว่าจะด้วยข้อมูลที่มีอยู่เกี่ยวกับวัตถุหรือทำการทดลองและเปรียบเทียบผลลัพธ์กับสิ่งที่คำนวณได้

กระบวนการสร้างแบบจำลองเป็นแบบวนซ้ำ กรณีที่ผลงานไม่เป็นที่น่าพอใจ 6. หรือ 7. กลับไปสู่ระยะแรกซึ่งอาจนำไปสู่การพัฒนาแบบจำลองที่ไม่ประสบความสำเร็จ ขั้นตอนนี้และขั้นตอนที่ตามมาทั้งหมดได้รับการขัดเกลา และการปรับแต่งแบบจำลองดังกล่าวจะเกิดขึ้นจนกว่าจะได้ผลลัพธ์ที่ยอมรับได้

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นคำอธิบายโดยประมาณของปรากฏการณ์หรือวัตถุในโลกแห่งความเป็นจริงในภาษาคณิตศาสตร์ วัตถุประสงค์หลักของการสร้างแบบจำลองคือการสำรวจวัตถุเหล่านี้และทำนายผลการสังเกตในอนาคต อย่างไรก็ตาม การสร้างแบบจำลองยังเป็นวิธีการรับรู้ของโลกรอบข้าง ซึ่งทำให้สามารถควบคุมได้

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์และการทดลองทางคอมพิวเตอร์ที่เกี่ยวข้องเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้ในกรณีที่การทดลองเต็มรูปแบบเป็นไปไม่ได้หรือยากด้วยเหตุผลใดก็ตาม ตัวอย่างเช่น เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างการทดลองเต็มรูปแบบในประวัติศาสตร์เพื่อตรวจสอบ "จะเกิดอะไรขึ้นถ้า..." เป็นไปไม่ได้ที่จะตรวจสอบความถูกต้องของทฤษฎีจักรวาลวิทยานี้หรือทฤษฎีนั้น โดยหลักการแล้ว เป็นไปได้ แต่แทบจะไม่สมเหตุสมผลเลยที่จะทดลองการแพร่กระจายของโรคบางอย่าง เช่น โรคระบาด หรือเพื่อดำเนินการระเบิดนิวเคลียร์เพื่อศึกษาผลที่ตามมา อย่างไรก็ตาม ทั้งหมดนี้สามารถทำได้บนคอมพิวเตอร์ โดยก่อนหน้านี้ได้สร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษาอยู่

1.1.2 2. ขั้นตอนหลักของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

1) การสร้างแบบจำลอง. ในขั้นตอนนี้ มีการระบุวัตถุที่ "ไม่ใช่ทางคณิตศาสตร์" บางอย่าง เช่น ปรากฏการณ์ทางธรรมชาติ การก่อสร้าง แผนเศรษฐกิจ กระบวนการผลิต ฯลฯ ในกรณีนี้ คำอธิบายสถานการณ์ที่ชัดเจนเป็นเรื่องยากขั้นแรกให้ระบุคุณสมบัติหลักของปรากฏการณ์และความสัมพันธ์ระหว่างพวกเขาในระดับคุณภาพ จากนั้นการพึ่งพาเชิงคุณภาพที่พบจะถูกกำหนดขึ้นในภาษาของคณิตศาสตร์ กล่าวคือ มีการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ขึ้น นี่เป็นส่วนที่ยากที่สุดของการสร้างแบบจำลอง

2) การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ตัวแบบนำไปสู่. ในขั้นตอนนี้ให้ความสำคัญกับการพัฒนาอัลกอริธึมและวิธีการเชิงตัวเลขในการแก้ปัญหาบนคอมพิวเตอร์ด้วยความช่วยเหลือซึ่งผลลัพธ์จะพบได้อย่างแม่นยำและภายในเวลาที่อนุญาต

3) การตีความผลที่ตามมาจากแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ผลที่ตามมาจากแบบจำลองในภาษาของคณิตศาสตร์จะถูกตีความในภาษาที่ยอมรับในสาขานี้

4) การตรวจสอบความเพียงพอของแบบจำลองในขั้นตอนนี้ จะพบว่าผลลัพธ์ของการทดลองสอดคล้องกับผลทางทฤษฎีจากแบบจำลองภายในความแม่นยำที่แน่นอนหรือไม่

5) การปรับเปลี่ยนโมเดลในขั้นตอนนี้ แบบจำลองจะซับซ้อนมากขึ้นเพื่อให้มีความเพียงพอต่อความเป็นจริง หรือทำให้ง่ายขึ้นเพื่อให้ได้วิธีแก้ปัญหาที่ยอมรับได้ในทางปฏิบัติ

1.1.3 3. การจำแนกแบบจำลอง

โมเดลสามารถจำแนกได้ตามเกณฑ์ต่างๆ ตัวอย่างเช่น ตามลักษณะของปัญหาที่กำลังแก้ไข แบบจำลองสามารถแบ่งออกเป็นแบบที่ใช้งานได้และแบบโครงสร้าง ในกรณีแรก ปริมาณทั้งหมดที่แสดงถึงปรากฏการณ์หรือวัตถุจะแสดงเป็นปริมาณ ในขณะเดียวกัน ตัวแปรบางตัวถือเป็นตัวแปรอิสระ ในขณะที่บางตัวถือเป็นฟังก์ชันของปริมาณเหล่านี้ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์มักจะเป็นระบบสมการประเภทต่างๆ (ดิฟเฟอเรนเชียล พีชคณิต ฯลฯ) ที่สร้างความสัมพันธ์เชิงปริมาณระหว่างปริมาณที่พิจารณา ในกรณีที่สอง แบบจำลองกำหนดลักษณะของโครงสร้างของวัตถุที่ซับซ้อน ซึ่งประกอบด้วยส่วนต่าง ๆ ที่แยกจากกัน ซึ่งมีการเชื่อมต่อบางอย่าง โดยทั่วไปแล้ว ความสัมพันธ์เหล่านี้ไม่สามารถวัดปริมาณได้ ในการสร้างแบบจำลองดังกล่าว สะดวกในการใช้ทฤษฎีกราฟ กราฟเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเป็นชุดของจุด (จุดยอด) บนระนาบหรือในอวกาศ ซึ่งบางส่วนเชื่อมต่อกันด้วยเส้น (ขอบ)

ตามลักษณะของข้อมูลเบื้องต้นและผลการทำนาย ตัวแบบสามารถแบ่งออกเป็นค่ากำหนดและสถิติความน่าจะเป็น แบบจำลองประเภทแรกให้การคาดการณ์ที่ชัดเจนและชัดเจน แบบจำลองประเภทที่สองนั้นอิงตามข้อมูลทางสถิติ และการคาดคะเนที่ได้รับจากความช่วยเหลือนั้นมีความน่าจะเป็น

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์และการคำนวณทั่วไปหรือแบบจำลองการจำลอง

ตอนนี้เมื่อระบบคอมพิวเตอร์เกือบเป็นสากลเกิดขึ้นในประเทศเราสามารถได้ยินคำพูดจากผู้เชี่ยวชาญจากหลากหลายอาชีพ: "มาแนะนำคอมพิวเตอร์ในประเทศของเรากันเถอะงานทั้งหมดจะได้รับการแก้ไขทันที" มุมมองนี้ผิดอย่างสิ้นเชิง คอมพิวเตอร์เองไม่สามารถทำอะไรได้หากไม่มีแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการบางอย่าง และใครๆ ก็ฝันถึงการใช้คอมพิวเตอร์แบบสากลเท่านั้น

เพื่อสนับสนุนสิ่งที่กล่าวมา เราจะพยายามปรับความจำเป็นในการสร้างแบบจำลอง รวมถึงการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ เปิดเผยข้อดีในความรู้และการเปลี่ยนแปลงของโลกภายนอกโดยบุคคล ระบุข้อบกพร่องที่มีอยู่ และไปที่ ... การจำลองแบบจำลอง เช่น การสร้างแบบจำลองโดยใช้คอมพิวเตอร์ แต่ทุกอย่างเป็นระเบียบ

ก่อนอื่น มาตอบคำถามกันก่อนว่า Model คืออะไร?

แบบจำลองคือวัสดุหรือวัตถุที่แสดงออกทางจิตใจซึ่งในกระบวนการรับรู้ (การศึกษา) แทนที่ของเดิม โดยคงคุณสมบัติทั่วไปบางอย่างที่มีความสำคัญสำหรับการศึกษานี้ไว้

โมเดลที่สร้างขึ้นมาอย่างดีนั้นสามารถเข้าถึงได้สำหรับการวิจัยมากกว่าวัตถุจริง ตัวอย่างเช่น การทดลองกับเศรษฐกิจของประเทศเพื่อวัตถุประสงค์ทางการศึกษานั้นเป็นสิ่งที่ยอมรับไม่ได้ ซึ่งเราไม่สามารถทำได้หากไม่มีแบบจำลอง

เมื่อสรุปสิ่งที่พูดไปแล้ว เราสามารถตอบคำถามว่า โมเดลมีไว้เพื่ออะไร? เพื่อที่จะ

• เข้าใจว่าวัตถุทำงานอย่างไร (โครงสร้าง คุณสมบัติ กฎการพัฒนา ปฏิสัมพันธ์กับโลกภายนอก)
• เรียนรู้ที่จะจัดการวัตถุ (กระบวนการ) และกำหนดกลยุทธ์ที่ดีที่สุด
• ทำนายผลที่ตามมาของผลกระทบต่อวัตถุ

อะไรคือค่าบวกในทุกรูปแบบ? ช่วยให้คุณได้รับความรู้ใหม่เกี่ยวกับวัตถุ แต่น่าเสียดายที่มันไม่ครบถ้วนในระดับหนึ่งหรืออย่างอื่น

แบบอย่างสูตรในภาษาของคณิตศาสตร์โดยใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์เรียกว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

จุดเริ่มต้นของการก่อสร้างมักจะเป็นงานบางอย่าง เช่น งานที่เกี่ยวกับเศรษฐกิจ ทางคณิตศาสตร์ที่แพร่หลายทั้งเชิงพรรณนาและการปรับให้เหมาะสม จำแนกลักษณะต่างๆ กระบวนการทางเศรษฐกิจและเหตุการณ์เช่น:

• การจัดสรรทรัพยากร
• การตัดอย่างมีเหตุผล
• การขนส่ง
• การรวมกิจการ
• การวางแผนเครือข่าย

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์สร้างขึ้นได้อย่างไร?

• ขั้นแรกให้กำหนดวัตถุประสงค์และหัวข้อของการศึกษา
• ประการที่สอง มีการเน้นคุณลักษณะที่สำคัญที่สุดที่สอดคล้องกับเป้าหมายนี้
• ประการที่สาม อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างองค์ประกอบของแบบจำลองด้วยวาจา
• นอกจากนี้ ความสัมพันธ์ยังเป็นแบบแผน
• และการคำนวณจะดำเนินการตามแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และการวิเคราะห์โซลูชันที่ได้รับ

เมื่อใช้อัลกอริทึมนี้ คุณจะแก้ปัญหาการปรับให้เหมาะสมได้ รวมถึงปัญหาหลายเกณฑ์ เช่น ซึ่งไม่ใช่เป้าหมายเดียว แต่หลายเป้าหมาย รวมทั้งเป้าหมายที่ขัดแย้งด้วย

ลองมาดูตัวอย่างกัน ทฤษฎีการจัดคิว - ปัญหาการเข้าคิว คุณต้องสร้างสมดุลระหว่างสองปัจจัย - ค่าใช้จ่ายในการบำรุงรักษาอุปกรณ์บริการและค่าใช้จ่ายในการอยู่ในสายการผลิต หลังจากสร้างคำอธิบายอย่างเป็นทางการของแบบจำลองแล้ว การคำนวณจะทำโดยใช้วิธีการวิเคราะห์และการคำนวณ หากแบบจำลองดี คำตอบที่พบด้วยความช่วยเหลือก็เพียงพอสำหรับระบบการสร้างแบบจำลอง หากไม่ดีก็จะต้องปรับปรุงและเปลี่ยน เกณฑ์ความเพียงพอคือการปฏิบัติ

โมเดลการปรับให้เหมาะสมรวมถึงแบบหลายเกณฑ์มีคุณสมบัติร่วมกัน - เป้าหมาย (หรือหลายเป้าหมาย) เป็นที่รู้จักกันเพื่อให้บรรลุซึ่งมักจะต้องจัดการกับระบบที่ซับซ้อนซึ่งไม่ได้เกี่ยวกับการแก้ปัญหาการปรับให้เหมาะสมมากนัก แต่เกี่ยวกับการวิจัยและคาดการณ์สถานะ ขึ้นอยู่กับกลยุทธ์การควบคุมที่เลือก และที่นี่เรากำลังประสบปัญหาในการดำเนินการตามแผนก่อนหน้านี้ พวกเขามีดังนี้:

• ระบบที่ซับซ้อนประกอบด้วยการเชื่อมต่อระหว่างองค์ประกอบต่างๆ มากมาย
• ระบบจริงได้รับอิทธิพลจากปัจจัยสุ่ม เป็นไปไม่ได้ที่จะนำมาพิจารณาในเชิงวิเคราะห์
• ความเป็นไปได้ของการเปรียบเทียบต้นฉบับกับแบบจำลองนั้นมีเฉพาะตอนเริ่มต้นและหลังการใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์เพราะ ผลลัพธ์ขั้นกลางอาจไม่มีแอนะล็อกในระบบจริง

ในการเชื่อมต่อกับปัญหาที่ระบุไว้ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อศึกษาระบบที่ซับซ้อน การฝึกต้องใช้วิธีการที่ยืดหยุ่นกว่าและปรากฏว่า - แบบจำลองการจำลอง " การสร้างแบบจำลอง Simujation".

โดยปกติ โมเดลจำลองจะเข้าใจว่าเป็นชุดของโปรแกรมคอมพิวเตอร์ที่อธิบายการทำงานของแต่ละกลุ่มของระบบและกฎของการโต้ตอบระหว่างกัน การใช้ตัวแปรสุ่มทำให้จำเป็นต้องทำการทดลองซ้ำๆ ด้วยระบบจำลอง (บนคอมพิวเตอร์) และการวิเคราะห์ทางสถิติที่ตามมาของผลลัพธ์ที่ได้ ตัวอย่างทั่วไปของการใช้แบบจำลองการจำลองคือการแก้ปัญหาการเข้าคิวโดยวิธี MONTE CARLO

ดังนั้น การทำงานกับระบบจำลองจึงเป็นการทดลองบนคอมพิวเตอร์ มีประโยชน์อย่างไร?

– ความใกล้ชิดกับระบบจริงมากกว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

– หลักการบล็อกทำให้สามารถตรวจสอบแต่ละบล็อกได้ก่อนที่จะรวมไว้ในระบบโดยรวม

– การใช้การพึ่งพาในลักษณะที่ซับซ้อนมากขึ้น ไม่ได้อธิบายโดยความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์อย่างง่าย

ข้อดีที่ระบุไว้กำหนดข้อเสีย

– การสร้างแบบจำลองนั้นยาวกว่า ยากกว่า และมีราคาแพงกว่า

– การทำงานกับระบบจำลองต้องมีคอมพิวเตอร์ที่เหมาะกับการเรียน

– ปฏิสัมพันธ์ระหว่างผู้ใช้กับแบบจำลอง (อินเทอร์เฟซ) ไม่ควรซับซ้อนเกินไป สะดวกและเป็นที่รู้จักกันดี

- การสร้างแบบจำลองการจำลองต้องมีการศึกษากระบวนการจริงที่ลึกซึ้งกว่าการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

คำถามเกิดขึ้น: การจำลองแบบจำลองสามารถแทนที่วิธีการเพิ่มประสิทธิภาพได้หรือไม่? ไม่ แต่สะดวกเสริมพวกเขา โมเดลจำลองคือโปรแกรมที่ใช้อัลกอริธึมบางอย่างเพื่อเพิ่มประสิทธิภาพการควบคุมซึ่งปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพจะได้รับการแก้ไขก่อน

ดังนั้น คอมพิวเตอร์หรือแบบจำลองทางคณิตศาสตร์หรืออัลกอริทึมสำหรับการศึกษาแยกกันไม่สามารถแก้ปัญหาที่ค่อนข้างซับซ้อนได้ แต่ร่วมกันเป็นตัวแทนของพลังที่ช่วยให้คุณรู้จักโลกรอบตัวคุณจัดการเพื่อผลประโยชน์ของมนุษย์

1.2 การจำแนกแบบจำลอง

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์คืออะไร?

แนวคิดของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นแนวคิดที่ง่ายมาก และสำคัญมาก เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เชื่อมโยงคณิตศาสตร์กับชีวิตจริง

ในแง่ง่ายๆ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์คือคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของสถานการณ์ใดๆและนั่นแหล่ะ แบบจำลองสามารถเป็นแบบดั้งเดิม มันสามารถซับซ้อนมาก สถานการณ์อะไร รุ่นอะไร)

ในใด ๆ (ฉันขอย้ำ - ในใด ๆ !) ธุรกิจที่คุณต้องคำนวณบางอย่างและคำนวณ - เรามีส่วนร่วมในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ถึงแม้เราจะไม่รู้ก็ตาม)

P \u003d 2 CB + 3 CB

บันทึกนี้จะเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของค่าใช้จ่ายสำหรับการซื้อของเรา โมเดลไม่คำนึงถึงสีของบรรจุภัณฑ์ วันหมดอายุ ความสุภาพของพนักงานเก็บเงิน ฯลฯ นั่นเป็นเหตุผลที่เธอ แบบอย่าง,ไม่ใช่การซื้อจริง แต่ค่าใช้จ่ายคือ สิ่งที่เราต้องการ- เราจะรู้อย่างแน่นอน ถ้าตรงรุ่นแน่นอน

เป็นประโยชน์ที่จะจินตนาการว่าตัวแบบทางคณิตศาสตร์คืออะไร แต่นี่ยังไม่พอ สิ่งสำคัญที่สุดคือต้องสามารถสร้างแบบจำลองเหล่านี้ได้

การรวบรวม (การสร้าง) ของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหา

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์หมายถึงการแปลงเงื่อนไขของปัญหาให้อยู่ในรูปแบบทางคณิตศาสตร์ เหล่านั้น. เปลี่ยนคำให้เป็นสมการ สูตร ความไม่เท่าเทียมกัน ฯลฯ ยิ่งกว่านั้น ให้เปิดเพื่อให้คณิตศาสตร์นี้สอดคล้องกับข้อความต้นฉบับอย่างเคร่งครัด มิฉะนั้น เราจะลงเอยด้วยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาอื่นที่เราไม่รู้จัก)

โดยเฉพาะอย่างยิ่งคุณต้องการ

มีงานมากมายในโลกนี้ ดังนั้น เพื่อเสนอคำแนะนำทีละขั้นตอนที่ชัดเจนสำหรับการรวบรวมแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ใดๆงานเป็นไปไม่ได้

แต่มีสามประเด็นหลักที่คุณต้องใส่ใจ

1. ในงานใด ๆ มีข้อความแปลกพอสมควร) ข้อความนี้ตามกฎมี ข้อมูลที่ชัดเจนและเปิดเผยตัวเลข ค่า ฯลฯ

2. ในงานใด ๆ ก็มี ข้อมูลที่ซ่อนอยู่นี่คือข้อความที่ถือว่ามีความรู้เพิ่มเติมอยู่ในหัว ไม่มีพวกเขา - ไม่มีอะไร นอกจากนี้ ข้อมูลทางคณิตศาสตร์มักจะถูกซ่อนอยู่หลังคำง่ายๆ และ ... ละเลยความสนใจในอดีต

3. ในงานใด ๆ จะต้องได้รับ การสื่อสารระหว่างข้อมูลการเชื่อมต่อนี้สามารถแสดงเป็นข้อความที่ชัดเจน (บางสิ่งที่เท่ากับบางสิ่ง) หรือสามารถซ่อนไว้หลังคำง่ายๆ แต่ข้อเท็จจริงที่เรียบง่ายและชัดเจนมักถูกมองข้าม และตัวแบบไม่ได้เรียบเรียงแต่อย่างใด

ฉันต้องบอกทันทีว่าเพื่อที่จะใช้สามจุดนี้ ต้องอ่านปัญหา (และอย่างระมัดระวัง!) หลาย ๆ ครั้ง เรื่องปกติ.

และตอนนี้ - ตัวอย่าง

เริ่มจากปัญหาง่ายๆ ก่อน:

เปโตรวิชกลับมาจากการตกปลาและนำเสนอปลาที่จับได้ให้ครอบครัวอย่างภาคภูมิใจ จากการตรวจสอบอย่างใกล้ชิด ปรากฏว่าปลา 8 ตัวมาจากทะเลทางเหนือ 20% ของปลาทั้งหมดมาจากทะเลทางใต้ และไม่ใช่ปลาตัวเดียวจากแม่น้ำในท้องถิ่นที่เปโตรวิชจับปลา Petrovich ซื้อปลาในร้านซีฟู้ดกี่ตัว

คำเหล่านี้ทั้งหมดจะต้องกลายเป็นสมการบางประเภท การทำเช่นนี้ฉันทำซ้ำ สร้างความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ระหว่างข้อมูลทั้งหมดของปัญหา

จะเริ่มต้นที่ไหน อันดับแรก เราจะดึงข้อมูลทั้งหมดออกจากงาน เริ่มกันเลย:

มาเน้นที่จุดแรกกัน

อะไรที่นี่ ชัดเจนข้อมูลทางคณิตศาสตร์? 8 ปลาและ 20% ไม่มาก แต่เราไม่ต้องการมาก)

มาสนใจประเด็นที่สองกัน

กำลังมองหา แอบแฝงข้อมูล. เธออยู่นี่. นี่คือคำเหล่านี้: " 20% ของปลาทั้งหมด" ที่นี่คุณต้องเข้าใจว่าเปอร์เซ็นต์คืออะไรและคำนวณอย่างไร ไม่เช่นนั้นงานไม่สามารถแก้ไขได้ นี่คือข้อมูลเพิ่มเติมที่ควรอยู่ในหัว

ที่นี่ก็มี คณิตศาสตร์ข้อมูลที่มองไม่เห็นอย่างสมบูรณ์ นี่คือ คำถามงาน: "ซื้อปลามากี่ตัว...ยังเป็นตัวเลข และหากไม่มีมัน ก็จะไม่มีการคอมไพล์โมเดล ดังนั้นให้เราแสดงตัวเลขนี้ด้วยตัวอักษร "เอ็กซ์"เรายังไม่รู้ว่า x เท่ากับอะไร แต่การกำหนดดังกล่าวจะมีประโยชน์มากสำหรับเรา สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับสิ่งที่ต้องใช้สำหรับ x และวิธีจัดการกับมัน โปรดดูบทเรียน วิธีแก้ปัญหาคณิตศาสตร์? มาเขียนทันที:

x ชิ้น - จำนวนปลาทั้งหมด

ในปัญหาของเรา ให้ปลาใต้เป็นเปอร์เซ็นต์ เราต้องแปลเป็นชิ้นๆ เพื่ออะไร? แล้วมีอะไรอยู่ใน ใดๆหน้าที่ของโมเดลควรจะเป็น ในปริมาณที่เท่ากันชิ้น - ทุกอย่างเป็นชิ้น ๆ หากได้รับ สมมติว่าชั่วโมงและนาที เราจะแปลทุกอย่างเป็นชิ้นเดียว ไม่ว่าจะเป็นชั่วโมงหรือนาที มันไม่สำคัญอะไร มันสำคัญที่จะ ค่าทั้งหมดเหมือนกัน

กลับไปสู่การเปิดเผย ใครก็ตามที่ไม่ทราบว่าเปอร์เซ็นต์คืออะไรจะไม่เปิดเผยใช่ ... และใครจะไปรู้ เขาจะพูดทันทีว่าให้เปอร์เซ็นต์ที่นี่ของจำนวนปลาทั้งหมด เราไม่รู้เบอร์นี้ มันจะไม่มีอะไรเกิดขึ้น!

จำนวนปลาทั้งหมด (เป็นชิ้น!) ไม่ไร้ประโยชน์กับตัวอักษร "เอ็กซ์"กำหนด จะไม่นับปลาภาคใต้เป็นชิ้น ๆ แต่เราจะจดไว้ได้ไหม? แบบนี้:

0.2 x ชิ้น - จำนวนปลาจากทะเลใต้

ตอนนี้เราได้ดาวน์โหลดข้อมูลทั้งหมดจากงานแล้ว ทั้งชัดเจนและซ่อนเร้น

มาสนใจประเด็นที่สามกัน

กำลังมองหา การเชื่อมต่อทางคณิตศาสตร์ระหว่างข้อมูลงาน การเชื่อมต่อนี้ง่ายจนหลายคนไม่สังเกต... สิ่งนี้มักเกิดขึ้น ในที่นี้มีประโยชน์เพียงแค่จดข้อมูลที่รวบรวมไว้เป็นกลุ่มๆ และดูว่าอะไรคืออะไร

เรามีอะไร? มี 8 ชิ้นปลาทางเหนือ, 0.2 x ชิ้น- ปลาใต้และ x ปลา- ทั้งหมด. เป็นไปได้ไหมที่จะเชื่อมโยงข้อมูลนี้เข้าด้วยกัน? ใช่ง่าย! จำนวนปลาทั้งหมด เท่ากับรวมภาคใต้และภาคเหนือ! ใครจะคิด ... ) ดังนั้นเราจึงเขียน:

x = 8 + 0.2x

นี่จะเป็นสมการ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาของเรา

โปรดทราบว่าในปัญหานี้ เราไม่ได้ขอให้พับอะไร!เป็นเราเองที่นึกขึ้นได้ว่าผลรวมของปลาทางใต้และทางเหนือจะทำให้เรามีจำนวนทั้งหมด สิ่งนี้ชัดเจนมากจนมองข้ามความสนใจไป แต่หากไม่มีหลักฐานนี้ ก็ไม่สามารถรวบรวมแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ได้ แบบนี้.

ตอนนี้คุณสามารถใช้พลังทั้งหมดของคณิตศาสตร์เพื่อแก้สมการนี้ได้) นี่คือสิ่งที่โมเดลทางคณิตศาสตร์ได้รับการออกแบบมา เราแก้สมการเชิงเส้นนี้แล้วได้คำตอบ

ตอบ: x=10

มาสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาอื่นกัน:

Petrovich ถูกถาม: "คุณมีเงินเท่าไหร่" Petrovich ร้องไห้และตอบว่า:“ ใช่นิดหน่อย ถ้าฉันใช้จ่ายเงินครึ่งหนึ่งและอีกครึ่งหนึ่งที่เหลือฉันจะมีเงินเหลือเพียงถุงเดียว ... ” Petrovich มีเงินเท่าไหร่

อีกครั้งเราทำงานทีละจุด

1. เรากำลังมองหาข้อมูลที่ชัดเจน คุณจะไม่พบมันทันที! ข้อมูลที่ชัดเจนคือ หนึ่งถุงเงิน. มีอีกครึ่งหนึ่ง ... เราจะวิเคราะห์สิ่งนี้ในย่อหน้าที่สอง

2. เรากำลังมองหาข้อมูลที่ซ่อนอยู่ เหล่านี้เป็นครึ่งหนึ่ง อะไร ไม่ค่อยชัด. กำลังมองหาเพิ่มเติม มีอีกประเด็นคือ “ Petrovich มีเงินเท่าไหร่”ให้ระบุจำนวนเงินด้วยตัวอักษร "เอ็กซ์":

X- เงินทั้งหมด

และอ่านปัญหาอีกครั้ง รู้แล้วว่าเปโตรวิช Xของเงิน. นี่คือส่วนที่แบ่งเท่า ๆ กัน! เราเขียนลงไป:

0.5 x- ครึ่งหนึ่งของเงินทั้งหมด

ส่วนที่เหลือจะเป็นครึ่งหนึ่งเช่น 0.5x.และครึ่งหนึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้:

0.5 0.5 x = 0.25x- ครึ่งหนึ่งของส่วนที่เหลือ

ตอนนี้ข้อมูลที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดจะถูกเปิดเผยและบันทึก

3. เรากำลังมองหาการเชื่อมต่อระหว่างข้อมูลที่บันทึกไว้ ที่นี่คุณสามารถอ่านความทุกข์ของ Petrovich และเขียนทางคณิตศาสตร์ได้):

ถ้าฉันใช้เงินไปครึ่งหนึ่ง...

มาเขียนกระบวนการนี้กัน เงินทั้งหมด - เอ็กซ์ครึ่ง - 0.5 x. การใช้จ่ายคือการเอาไป วลีกลายเป็น:

x - 0.5 x

และอีกครึ่งหนึ่งที่เหลือ...

ลบอีกครึ่งหนึ่งของส่วนที่เหลือ:

x - 0.5 x - 0.25 x

แล้วเงินหนึ่งถุงจะยังคงอยู่กับฉัน ...

และมีความเท่าเทียมกัน! หลังจากการลบทั้งหมด เงินหนึ่งถุงยังคงอยู่:

x - 0.5 x - 0.25x \u003d 1

นี่คือแบบจำลองทางคณิตศาสตร์! นี่คือสมการเชิงเส้นอีกครั้ง เราแก้ได้ เราจะได้:

คำถามเพื่อประกอบการพิจารณา โฟร์เป็นอะไร? รูเบิล ดอลลาร์ หยวน? และในหน่วยใดที่เรามีเงินในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์? ในกระเป๋า!สี่ กระเป๋าเงินของเปโตรวิช ดีด้วย)

แน่นอนว่างานนี้เป็นงานระดับประถมศึกษา นี่เป็นการจับภาพสาระสำคัญของการวาดแบบจำลองทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะ ในบางงาน อาจมีข้อมูลอีกมากมายที่ทำให้สับสนได้ง่าย ซึ่งมักจะเกิดขึ้นในสิ่งที่เรียกว่า งานความสามารถ วิธีดึงเนื้อหาทางคณิตศาสตร์ออกจากกองคำและตัวเลขพร้อมตัวอย่าง

ข้อสังเกตอีกอย่างหนึ่ง ในปัญหาของโรงเรียนแบบคลาสสิก (ท่อเติมสระ, เรือกำลังแล่นอยู่ที่ไหนสักแห่ง ฯลฯ ) ข้อมูลทั้งหมดจะถูกเลือกอย่างระมัดระวัง มีกฎสองข้อ:
- มีข้อมูลเพียงพอในปัญหาที่จะแก้ไข
- ไม่มีข้อมูลเพิ่มเติมในงาน

นี่คือคำใบ้ หากมีค่าที่ไม่ได้ใช้ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ให้คิดว่ามีข้อผิดพลาดหรือไม่ หากมีข้อมูลไม่เพียงพอ เป็นไปได้มากว่าข้อมูลที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดไม่ได้รับการเปิดเผยและบันทึกข้อมูล

ในความสามารถและภารกิจชีวิตอื่น ๆ กฎเหล่านี้ไม่ได้ปฏิบัติตามอย่างเคร่งครัด ฉันไม่มีเงื่อนงำ แต่ปัญหาดังกล่าวสามารถแก้ไขได้ เว้นแต่จะฝึกแบบคลาสสิก)

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที การเรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

1. การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์คืออะไร?

ตั้งแต่กลางศตวรรษที่ XX ในด้านต่าง ๆ ของกิจกรรมของมนุษย์ วิธีการทางคณิตศาสตร์และคอมพิวเตอร์เริ่มมีการใช้กันอย่างแพร่หลาย สาขาวิชาใหม่ เช่น "เศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์" "เคมีคณิตศาสตร์" "ภาษาศาสตร์คณิตศาสตร์" เป็นต้น ได้เกิดขึ้นที่ศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของวัตถุและปรากฏการณ์ที่เกี่ยวข้องตลอดจนวิธีการศึกษาแบบจำลองเหล่านี้

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นคำอธิบายโดยประมาณของปรากฏการณ์หรือวัตถุในโลกแห่งความเป็นจริงในภาษาคณิตศาสตร์ วัตถุประสงค์หลักของการสร้างแบบจำลองคือการสำรวจวัตถุเหล่านี้และทำนายผลการสังเกตในอนาคต อย่างไรก็ตาม การสร้างแบบจำลองยังเป็นวิธีการรับรู้ของโลกรอบข้าง ซึ่งทำให้สามารถควบคุมได้

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์และการทดลองทางคอมพิวเตอร์ที่เกี่ยวข้องเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้ในกรณีที่การทดลองเต็มรูปแบบเป็นไปไม่ได้หรือยากด้วยเหตุผลใดก็ตาม ตัวอย่างเช่น เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างการทดลองเต็มรูปแบบในประวัติศาสตร์เพื่อตรวจสอบ "จะเกิดอะไรขึ้นถ้า..." เป็นไปไม่ได้ที่จะตรวจสอบความถูกต้องของทฤษฎีจักรวาลวิทยานี้หรือทฤษฎีนั้น โดยหลักการแล้ว เป็นไปได้ แต่แทบจะไม่สมเหตุสมผลเลยที่จะทดลองการแพร่กระจายของโรคบางอย่าง เช่น โรคระบาด หรือเพื่อดำเนินการระเบิดนิวเคลียร์เพื่อศึกษาผลที่ตามมา อย่างไรก็ตาม ทั้งหมดนี้สามารถทำได้บนคอมพิวเตอร์ โดยก่อนหน้านี้ได้สร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษาอยู่

2. ขั้นตอนหลักของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

1) การสร้างแบบจำลอง. ในขั้นตอนนี้ มีการระบุวัตถุที่ "ไม่ใช่ทางคณิตศาสตร์" บางอย่าง เช่น ปรากฏการณ์ทางธรรมชาติ การก่อสร้าง แผนเศรษฐกิจ กระบวนการผลิต ฯลฯ ในกรณีนี้ คำอธิบายสถานการณ์ที่ชัดเจนเป็นเรื่องยาก ขั้นแรกให้ระบุคุณสมบัติหลักของปรากฏการณ์และความสัมพันธ์ระหว่างพวกเขาในระดับคุณภาพ จากนั้นการพึ่งพาเชิงคุณภาพที่พบจะถูกกำหนดขึ้นในภาษาของคณิตศาสตร์ กล่าวคือ มีการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ขึ้น นี่เป็นส่วนที่ยากที่สุดของการสร้างแบบจำลอง

2) การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ตัวแบบนำไปสู่. ในขั้นตอนนี้ให้ความสำคัญกับการพัฒนาอัลกอริธึมและวิธีการเชิงตัวเลขในการแก้ปัญหาบนคอมพิวเตอร์ด้วยความช่วยเหลือซึ่งผลลัพธ์จะพบได้อย่างแม่นยำและภายในเวลาที่อนุญาต

3) การตีความผลที่ตามมาจากแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ผลที่ตามมาจากแบบจำลองในภาษาของคณิตศาสตร์จะถูกตีความในภาษาที่ยอมรับในสาขานี้

4) การตรวจสอบความเพียงพอของแบบจำลองในขั้นตอนนี้ จะพบว่าผลลัพธ์ของการทดลองสอดคล้องกับผลทางทฤษฎีจากแบบจำลองภายในความแม่นยำที่แน่นอนหรือไม่

5) การปรับเปลี่ยนโมเดลในขั้นตอนนี้ แบบจำลองจะซับซ้อนมากขึ้นเพื่อให้มีความเพียงพอต่อความเป็นจริง หรือทำให้ง่ายขึ้นเพื่อให้ได้วิธีแก้ปัญหาที่ยอมรับได้ในทางปฏิบัติ

3. การจำแนกรุ่น

โมเดลสามารถจำแนกได้ตามเกณฑ์ต่างๆ ตัวอย่างเช่น ตามลักษณะของปัญหาที่กำลังแก้ไข แบบจำลองสามารถแบ่งออกเป็นแบบที่ใช้งานได้และแบบโครงสร้าง ในกรณีแรก ปริมาณทั้งหมดที่แสดงถึงปรากฏการณ์หรือวัตถุจะแสดงเป็นปริมาณ ในขณะเดียวกัน ตัวแปรบางตัวถือเป็นตัวแปรอิสระ ในขณะที่บางตัวถือเป็นฟังก์ชันของปริมาณเหล่านี้ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์มักจะเป็นระบบสมการประเภทต่างๆ (ดิฟเฟอเรนเชียล พีชคณิต ฯลฯ) ที่สร้างความสัมพันธ์เชิงปริมาณระหว่างปริมาณที่พิจารณา ในกรณีที่สอง แบบจำลองกำหนดลักษณะของโครงสร้างของวัตถุที่ซับซ้อน ซึ่งประกอบด้วยส่วนต่าง ๆ ที่แยกจากกัน ซึ่งมีการเชื่อมต่อบางอย่าง โดยทั่วไปแล้ว ความสัมพันธ์เหล่านี้ไม่สามารถวัดปริมาณได้ ในการสร้างแบบจำลองดังกล่าว สะดวกในการใช้ทฤษฎีกราฟ กราฟเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเป็นชุดของจุด (จุดยอด) บนระนาบหรือในอวกาศ ซึ่งบางส่วนเชื่อมต่อกันด้วยเส้น (ขอบ)

ตามลักษณะของข้อมูลเบื้องต้นและผลการทำนาย ตัวแบบสามารถแบ่งออกเป็นค่ากำหนดและสถิติความน่าจะเป็น แบบจำลองประเภทแรกให้การคาดการณ์ที่ชัดเจนและชัดเจน แบบจำลองประเภทที่สองนั้นอิงตามข้อมูลทางสถิติ และการคาดคะเนที่ได้รับจากความช่วยเหลือนั้นมีความน่าจะเป็น

4. ตัวอย่างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

1) ปัญหาเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของกระสุนปืน

พิจารณาปัญหาต่อไปนี้ในกลศาสตร์

กระสุนปืนถูกปล่อยออกจากพื้นโลกด้วยความเร็วเริ่มต้น v 0 = 30 m/s ที่มุม a = 45° กับพื้นผิวของมัน จำเป็นต้องค้นหาวิถีการเคลื่อนที่และระยะทาง S ระหว่างจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของวิถีนี้

จากนั้นดังที่ทราบจากหลักสูตรฟิสิกส์ของโรงเรียน การเคลื่อนที่ของโพรเจกไทล์ถูกอธิบายโดยสูตร:

โดยที่ เสื้อ - เวลา g = 10 m / s 2 - การเร่งความเร็วการตกอย่างอิสระ สูตรเหล่านี้ให้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของงาน แสดงค่า t ในรูปของ x จากสมการแรกและแทนค่าลงในสมการที่สอง เราได้สมการสำหรับวิถีโคจรของโพรเจกไทล์:

เส้นโค้งนี้ (พาราโบลา) ตัดกับแกน x สองจุด: x 1 \u003d 0 (จุดเริ่มต้นของวิถีโคจร) และ (สถานที่ที่กระสุนปืนตกลงมา) แทนที่ค่าที่กำหนด v0 และ a ลงในสูตรที่เราได้รับ

คำตอบ: y \u003d x - 90x 2, S \u003d 90 ม.

โปรดทราบว่ามีการใช้สมมติฐานจำนวนหนึ่งในการสร้างแบบจำลองนี้ ตัวอย่างเช่น สันนิษฐานว่าโลกแบน อากาศและการหมุนของโลกไม่ส่งผลต่อการเคลื่อนที่ของกระสุนปืน

2) ปัญหาของถังที่มีพื้นที่ผิวน้อยที่สุด

จำเป็นต้องหาความสูง h 0 และรัศมี r 0 ของถังดีบุกที่มีปริมาตร V = 30 ม. 3 ซึ่งมีรูปร่างเป็นทรงกระบอกทรงกลมปิด โดยที่พื้นที่ผิว S น้อยที่สุด (ในกรณีนี้ เล็กที่สุด จะใช้ปริมาณดีบุกในการผลิต)

เราเขียนสูตรต่อไปนี้สำหรับปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกระบอกที่มีความสูง h และรัศมี r:

V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).

แสดง h ในรูปของ r และ V จากสูตรแรกและแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์เป็นค่าที่สอง เราจะได้:

ดังนั้น จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ปัญหาจะลดลงจนถึงการกำหนดค่าของ r ที่ฟังก์ชัน S(r) ถึงค่าต่ำสุด ให้เราหาค่าเหล่านั้นของ r 0 ซึ่งอนุพันธ์

ไปที่ศูนย์: คุณสามารถตรวจสอบว่าอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน S(r) เปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวกเมื่ออาร์กิวเมนต์ r ผ่านจุด r 0 ดังนั้น ฟังก์ชัน S(r) จึงมีค่าต่ำสุดที่จุด r0 ค่าที่สอดคล้องกัน ชั่วโมง 0 = 2r 0 . แทนที่ค่าที่กำหนด V ในนิพจน์สำหรับ r 0 และ h 0 เราจะได้รัศมีที่ต้องการ และส่วนสูง

3) งานขนส่ง

มีโกดังแป้งสองแห่งและร้านเบเกอรี่สองแห่งในเมือง ทุกวันมีการส่งออกแป้ง 50 ตันจากโกดังแรก และ 70 ตันจากโกดังที่สองไปยังโรงงาน โดย 40 ตันไปยังโกดังแรกและ 80 ตันเป็นครั้งที่สอง

แสดงโดย เอ ij คือ ค่าขนส่งแป้ง 1 ตันจากโกดังที่ i ไปยังโรงงานที่ j (i, j = 1.2) ปล่อยให้เป็น

เอ 11 \u003d 1.2 หน้า, เอ 12 \u003d 1.6 หน้า, เอ 21 \u003d 0.8 หน้า, เอ 22 = 1 น.

ควรมีการวางแผนการขนส่งอย่างไรให้มีค่าใช้จ่ายน้อยที่สุด?

ให้โจทย์เป็นสูตรทางคณิตศาสตร์ ให้เราแสดงด้วย x 1 และ x 2 ปริมาณแป้งที่จะขนส่งจากโกดังแรกไปยังโรงงานแรกและโรงงานแห่งที่สอง และ x 3 และ x 4 - จากโกดังที่สองไปยังโรงงานที่หนึ่งและที่สองตามลำดับ แล้ว:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80 (1)

ค่าขนส่งทั้งหมดกำหนดโดยสูตร

ฉ = 1.2x1 + 1.6x2 + 0.8x3 + x4

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ภารกิจคือการหาตัวเลขสี่ตัว x 1 , x 2 , x 3 และ x 4 ที่ตรงตามเงื่อนไขที่กำหนดทั้งหมดและให้ฟังก์ชัน f น้อยที่สุด ให้เราแก้ระบบสมการ (1) เทียบกับ xi (i = 1, 2, 3, 4) โดยวิธีกำจัดสิ่งแปลกปลอม เราได้รับสิ่งนั้น

x 1 \u003d x 4 - 30, x 2 \u003d 80 - x 4, x 3 \u003d 70 - x 4, (2)

และ x 4 ไม่สามารถกำหนดได้อย่างเฉพาะเจาะจง เนื่องจาก x ฉัน ฉัน 0 (i = 1, 2, 3, 4) มันตามมาจากสมการ (2) ที่ 30J x 4 J 70 การแทนที่นิพจน์สำหรับ x 1 , x 2 , x 3 ลงในสูตรสำหรับ f เราได้รับ

ฉ \u003d 148 - 0.2x 4

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าค่าต่ำสุดของฟังก์ชันนี้ทำได้ที่ค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ x 4 นั่นคือที่ x 4 = 70 ค่าที่สอดคล้องกันของค่าไม่ทราบอื่น ๆ ถูกกำหนดโดยสูตร (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) ปัญหาการสลายตัวของกัมมันตภาพรังสี

ให้ N(0) เป็นจำนวนอะตอมเริ่มต้นของสารกัมมันตภาพรังสี และ N(t) เป็นจำนวนอะตอมที่ยังไม่สลายตัว ณ เวลา t ได้มีการทดลองแล้วว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของจำนวนอะตอมเหล่านี้ N "(t) เป็นสัดส่วนกับ N (t) นั่นคือ N" (t) \u003d –l N (t), l > 0 คือ ค่าคงที่กัมมันตภาพรังสีของสารที่กำหนด ในหลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของโรงเรียน แสดงให้เห็นว่าคำตอบของสมการอนุพันธ์นี้มีรูปแบบ N(t) = N(0)e –l t เวลา T ในระหว่างที่จำนวนอะตอมเริ่มต้นลดลงครึ่งหนึ่งเรียกว่าครึ่งชีวิต และเป็นลักษณะสำคัญของกัมมันตภาพรังสีของสาร ในการหาค่า T จำเป็นต้องใส่สูตร แล้ว ตัวอย่างเช่น สำหรับเรดอน l = 2.084 10–6 และด้วยเหตุนี้ T = 3.15 วัน

5) ปัญหาพนักงานขายเดินทาง

พนักงานขายที่เดินทางซึ่งอาศัยอยู่ในเมือง A 1 จะต้องไปเยือนเมือง A 2 , A 3 และ A 4 แต่ละเมืองเพียงครั้งเดียวเท่านั้น จากนั้นจึงกลับไปที่ A 1 เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าทุกเมืองเชื่อมต่อกันเป็นคู่ด้วยถนน และความยาวของถนน b ij ระหว่างเมือง A i และ A j (i, j = 1, 2, 3, 4) มีดังนี้:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60

จำเป็นต้องกำหนดลำดับของการเยี่ยมชมเมืองซึ่งความยาวของเส้นทางที่เกี่ยวข้องนั้นน้อยที่สุด

ลองวาดแต่ละเมืองเป็นจุดบนเครื่องบินและทำเครื่องหมายด้วยป้ายกำกับที่เกี่ยวข้อง Ai (i = 1, 2, 3, 4) มาเชื่อมโยงจุดเหล่านี้กับส่วนของเส้นตรงกัน โดยจะแสดงภาพถนนระหว่างเมืองต่างๆ สำหรับแต่ละ "ถนน" เราระบุความยาวเป็นกิโลเมตร (รูปที่ 2) ผลลัพธ์คือกราฟ - วัตถุทางคณิตศาสตร์ที่ประกอบด้วยชุดของจุดบนระนาบ (เรียกว่า จุดยอด) และชุดของเส้นที่เชื่อมระหว่างจุดเหล่านี้ (เรียกว่า ขอบ) นอกจากนี้ กราฟนี้ยังมีป้ายกำกับ เนื่องจากบางป้ายถูกกำหนดให้กับจุดยอดและขอบ - ตัวเลข (ขอบ) หรือสัญลักษณ์ (จุดยอด) วัฏจักรบนกราฟคือลำดับของจุดยอด V 1 , V 2 , ... , V k , V 1 ทำให้จุดยอด V 1 , ..., V k ต่างกัน และจุดยอดคู่ใดๆ V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) และคู่ V 1 , V k เชื่อมต่อกันด้วยขอบ ดังนั้น ปัญหาที่อยู่ระหว่างการพิจารณาคือการหาวงจรดังกล่าวบนกราฟที่ผ่านจุดยอดทั้งสี่ซึ่งผลรวมของน้ำหนักขอบทั้งหมดนั้นน้อยที่สุด เรามาค้นหาวงจรที่แตกต่างกันทั้งหมดที่ผ่านจุดยอดทั้งสี่และเริ่มต้นที่ A 1:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1 , A 3 , A 4 , A 2 , A 1 .

ทีนี้ลองหาความยาวของรอบเหล่านี้ (เป็นกม.): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200 ดังนั้น เส้นทางที่มีความยาวน้อยที่สุดคืออันแรก

โปรดทราบว่าหากมีจุดยอด n จุดในกราฟและจุดยอดทั้งหมดเชื่อมต่อกันด้วยขอบ (กราฟดังกล่าวเรียกว่าสมบูรณ์) จำนวนรอบที่ผ่านจุดยอดทั้งหมดจะเท่ากัน ดังนั้น ในกรณีของเรามีสามรอบพอดี .

6) ปัญหาการหาความเชื่อมโยงระหว่างโครงสร้างและคุณสมบัติของสาร

พิจารณาสารประกอบทางเคมีหลายชนิดที่เรียกว่าอัลเคนปกติ ประกอบด้วยอะตอมของคาร์บอน n อะตอมและอะตอมไฮโดรเจน n + 2 อะตอม (n = 1, 2 ... ) ซึ่งเชื่อมต่อกันดังแสดงในรูปที่ 3 สำหรับ n = 3 ให้ค่าการทดลองของจุดเดือดของสารประกอบเหล่านี้เป็นที่รู้จัก:

y e (3) = - 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°

จำเป็นต้องหาความสัมพันธ์โดยประมาณระหว่างจุดเดือดกับจำนวน n สำหรับสารประกอบเหล่านี้ เราคิดว่าการพึ่งพาอาศัยกันนี้มีรูปแบบ

ญ » เอ n+b

ที่ไหน เอ, b - ค่าคงที่ที่จะถูกกำหนด สำหรับการค้นหา เอและ b เราแทนที่สูตรนี้ตามลำดับ n = 3, 4, 5, 6 และค่าที่สอดคล้องกันของจุดเดือด เรามี:

– 42 » 3 เอ+ b, 0 » 4 เอ+ ข 28 » 5 เอ+ b, 69 » 6 เอ+ข.

เพื่อกำหนดสิ่งที่ดีที่สุด เอและ b มีหลายวิธี ลองใช้วิธีที่ง่ายที่สุดของพวกเขา เราแสดง b ในแง่ของ เอจากสมการเหล่านี้:

ข" - 42 - 3 เอ, ข » – 4 เอ, b » 28 – 5 เอ, b » 69 – 6 เอ.

ให้เราหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าเหล่านี้ b ที่ต้องการ นั่นคือเราใส่ b » 16 - 4.5 เอ. ให้เราแทนที่ค่า b นี้ลงในระบบสมการดั้งเดิมแล้วคำนวณ เอ, เราได้รับสำหรับ เอค่าต่อไปนี้: เอ» 37, เอ» 28, เอ» 28, เอ» 36 เอค่าเฉลี่ยของตัวเลขเหล่านี้ กล่าวคือ เราใส่ เอ» 34. ดังนั้นสมการที่ต้องการจึงมีรูปแบบ

y » 34n – 139.

ตรวจสอบความถูกต้องของแบบจำลองของสารประกอบสี่ตัวแรกที่เราคำนวณจุดเดือดโดยใช้สูตรที่ได้รับ:

y r (3) = – 37°, y r (4) = – 3°, y r (5) = 31°, y r (6) = 65°

ดังนั้น ข้อผิดพลาดในการคำนวณของคุณสมบัตินี้สำหรับสารประกอบเหล่านี้ไม่เกิน 5° เราใช้สมการที่เป็นผลลัพธ์ในการคำนวณจุดเดือดของสารประกอบที่มี n = 7 ซึ่งไม่รวมอยู่ในเซตเริ่มต้น ซึ่งเราจะแทนที่ n = 7 ลงในสมการนี้: y р (7) = 99° ผลลัพธ์ค่อนข้างแม่นยำ: เป็นที่ทราบกันว่าค่าทดลองของจุดเดือด y e (7) = 98°

7) ปัญหาในการพิจารณาความเชื่อถือได้ของวงจรไฟฟ้า

ในที่นี้เราพิจารณาตัวอย่างแบบจำลองความน่าจะเป็น อันดับแรก ให้เราให้ข้อมูลบางส่วนจากทฤษฎีความน่าจะเป็น ซึ่งเป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ศึกษารูปแบบของปรากฏการณ์สุ่มที่สังเกตได้ในระหว่างการทำซ้ำการทดลองซ้ำ เรียกเหตุการณ์สุ่ม A ว่าผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของประสบการณ์บางอย่าง เหตุการณ์ A 1 , ..., A k สร้างกลุ่มที่สมบูรณ์ หากหนึ่งในนั้นจำเป็นต้องเกิดขึ้นอันเป็นผลมาจากการทดลอง เหตุการณ์จะเรียกว่าเข้ากันไม่ได้หากไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันในประสบการณ์เดียวกันได้ ปล่อยให้เหตุการณ์ A เกิดขึ้น m ครั้งในระหว่างการทำซ้ำ n-fold ของการทดสอบ ความถี่ของเหตุการณ์ A คือตัวเลข W = เห็นได้ชัดว่า ค่าของ W ไม่สามารถทำนายได้อย่างแม่นยำจนกว่าจะมีการทดลอง n ชุด อย่างไรก็ตาม ธรรมชาติของเหตุการณ์สุ่มนั้นในทางปฏิบัติ บางครั้งจะสังเกตเห็นผลกระทบต่อไปนี้: ด้วยจำนวนการทดลองที่เพิ่มขึ้น ค่าที่เป็นจริงจะหยุดสุ่มและคงที่รอบหมายเลข P(A) ที่ไม่ใช่แบบสุ่มซึ่งเรียกว่า ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A สำหรับเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ (ซึ่งไม่เคยเกิดขึ้นในการทดสอบ) P(A)=0 และสำหรับเหตุการณ์บางอย่าง (ซึ่งมักจะเกิดขึ้นในการทดสอบเสมอ) P(A)=1 ถ้าเหตุการณ์ A 1 , ..., A k เป็นกลุ่มที่สมบูรณ์ของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ ดังนั้น P(A 1)+...+P(A k)=1

ตัวอย่างเช่น ประสบการณ์ประกอบด้วยการโยนลูกเต๋าและสังเกตจำนวนคะแนนที่หล่น X จากนั้นเราสามารถแนะนำเหตุการณ์สุ่มต่อไปนี้ A i =(X = i), i = 1, ..., 6 พวกมันก่อตัวขึ้น กลุ่มที่สมบูรณ์ของเหตุการณ์ที่น่าจะเท่าเทียมกันซึ่งเข้ากันไม่ได้ ดังนั้น P(A i) = (i = 1, ..., 6)

ผลรวมของเหตุการณ์ A และ B คือเหตุการณ์ A + B ซึ่งประกอบด้วยเหตุการณ์อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดสอบ ผลคูณของเหตุการณ์ A และ B คือเหตุการณ์ AB ซึ่งประกอบด้วยเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกัน สำหรับเหตุการณ์อิสระ A และ B สูตรเป็นจริง

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B)

8) พิจารณาตอนนี้สิ่งต่อไปนี้ งาน. สมมติว่าสามองค์ประกอบเชื่อมต่อกันเป็นอนุกรมในวงจรไฟฟ้าซึ่งทำงานเป็นอิสระจากกัน ความน่าจะเป็นของความล้มเหลวขององค์ประกอบที่ 1, 2 และ 3 ตามลำดับ P 1 = 0.1, P 2 = 0.15, P 3 = 0.2 เราจะพิจารณาวงจรที่เชื่อถือได้หากความน่าจะเป็นที่จะไม่มีกระแสในวงจรไม่เกิน 0.4 จำเป็นต้องตรวจสอบว่าห่วงโซ่ที่กำหนดเชื่อถือได้หรือไม่

เนื่องจากองค์ประกอบต่างๆ เชื่อมต่อกันเป็นอนุกรม จะไม่มีกระแสไฟฟ้าอยู่ในวงจร (เหตุการณ์ A) หากมีอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบที่ล้มเหลว ให้ A i เป็นเหตุการณ์ที่องค์ประกอบ i-th ทำงาน (i = 1, 2, 3) จากนั้น P(A1) = 0.9, P(A2) = 0.85, P(A3) = 0.8 แน่นอน A 1 A 2 A 3 เป็นเหตุการณ์ที่องค์ประกอบทั้งสามทำงานพร้อมกันและ

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0.612

จากนั้น P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1 ดังนั้น P(A) = 0.388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

โดยสรุป เราสังเกตว่าตัวอย่างข้างต้นของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ (ซึ่งมีทั้งเชิงฟังก์ชันและโครงสร้าง กำหนดขึ้นเอง และความน่าจะเป็น) เป็นตัวอย่างที่ชัดเจน และแน่นอนว่า ไม่ได้ทำให้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่หลากหลายทั้งหมดที่เกิดขึ้นในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและวิทยาศาสตร์ของมนุษย์หมดไป