วิธีการบวกเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม การกระทำที่มีเศษส่วน

บ้าน / ความรัก

ในบทนี้ เราจะพิจารณาการบวกและการลบเศษส่วนพีชคณิตที่มีตัวส่วนต่างกัน เรารู้วิธีบวกและลบเศษส่วนร่วมที่มีตัวส่วนต่างกันอยู่แล้ว เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เศษส่วนต้องถูกลดตัวหารร่วม ปรากฎว่าเศษส่วนพีชคณิตใช้กฎเดียวกัน ในขณะเดียวกัน เราก็รู้วิธีลดเศษส่วนพีชคณิตให้เป็นตัวส่วนร่วมแล้ว การบวกและการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกันเป็นหนึ่งในหัวข้อที่สำคัญและยากที่สุดในหลักสูตรเกรด 8 นอกจากนี้ หัวข้อนี้จะพบได้ในหลายหัวข้อของหลักสูตรพีชคณิตที่คุณจะศึกษาในอนาคต ในบทเรียนนี้ เราจะศึกษากฎสำหรับการบวกและลบเศษส่วนพีชคณิตด้วยตัวส่วนต่างๆ รวมทั้งวิเคราะห์ตัวอย่างทั่วไปจำนวนหนึ่ง

พิจารณาตัวอย่างที่ง่ายที่สุดสำหรับเศษส่วนธรรมดา

ตัวอย่างที่ 1บวกเศษส่วน: .

การตัดสินใจ:

จำกฎสำหรับการบวกเศษส่วน ในการเริ่มต้น เศษส่วนต้องถูกลดจำนวนลงเป็นตัวส่วนร่วม ตัวส่วนร่วมของเศษส่วนสามัญคือ ตัวคูณร่วมน้อย(LCM) ของตัวส่วนเดิม

คำนิยาม

จำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดที่หารด้วยทั้งตัวเลขและ .

ในการหา LCM จำเป็นต้องแยกส่วนตัวส่วนเป็นตัวประกอบเฉพาะ แล้วเลือกตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดที่รวมอยู่ในการขยายตัวของตัวส่วนทั้งสอง

; . จากนั้น LCM ของตัวเลขจะต้องมี 2 2s และ 3s สองตัว:

หลังจากหาตัวส่วนร่วมแล้ว ก็จำเป็นที่เศษส่วนแต่ละตัวต้องหาตัวประกอบเพิ่มเติม (อันที่จริง ให้หารตัวส่วนร่วมด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่เกี่ยวข้องกัน)

จากนั้นเศษส่วนแต่ละส่วนจะถูกคูณด้วยปัจจัยเพิ่มเติมที่ได้ เราได้เศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน ซึ่งเราเรียนรู้ที่จะบวกและลบในบทเรียนที่แล้ว

เราได้รับ: .

ตอบ:.

พิจารณาตอนนี้การบวกเศษส่วนพีชคณิตด้วยตัวส่วนต่างกัน ขั้นแรกให้พิจารณาเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นตัวเลข

ตัวอย่าง 2บวกเศษส่วน: .

การตัดสินใจ:

อัลกอริธึมของโซลูชันคล้ายกับตัวอย่างก่อนหน้านี้อย่างยิ่ง การหาตัวส่วนร่วมของเศษส่วนเหล่านี้เป็นเรื่องง่าย: และตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับแต่ละเศษส่วน

ตอบ:.

งั้นมากำหนดกัน อัลกอริทึมสำหรับการบวกและลบเศษส่วนพีชคณิตด้วยตัวส่วนต่างกัน:

1. หาตัวส่วนร่วมที่เล็กที่สุดของเศษส่วน

2. หาตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วนแต่ละส่วน (โดยการหารตัวส่วนร่วมด้วยตัวส่วนของเศษส่วนนี้)

3. คูณตัวเศษด้วยตัวประกอบเพิ่มเติมที่เหมาะสม

4. บวกหรือลบเศษส่วนโดยใช้กฎการบวกและการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน

ลองพิจารณาตัวอย่างที่มีเศษส่วนในตัวส่วนซึ่งมีนิพจน์ตามตัวอักษร

ตัวอย่างที่ 3บวกเศษส่วน: .

การตัดสินใจ:

เนื่องจากนิพจน์ตามตัวอักษรในตัวส่วนทั้งสองเหมือนกัน คุณจึงควรหาตัวส่วนร่วมสำหรับตัวเลข ตัวส่วนร่วมสุดท้ายจะมีลักษณะดังนี้: . ดังนั้น วิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างนี้คือ:

ตอบ:.

ตัวอย่างที่ 4ลบเศษส่วน: .

การตัดสินใจ:

หากคุณไม่สามารถ "โกง" เมื่อเลือกตัวส่วนร่วมได้ (คุณไม่สามารถแยกตัวประกอบหรือใช้สูตรคูณแบบย่อได้) คุณต้องใช้ผลคูณของตัวส่วนของเศษส่วนทั้งสองเป็นตัวส่วนร่วม

ตอบ:.

โดยทั่วไป เมื่อแก้ตัวอย่างดังกล่าว งานที่ยากที่สุดคือการหาตัวส่วนร่วม

ลองดูตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านี้

ตัวอย่างที่ 5ลดความซับซ้อน: .

การตัดสินใจ:

เมื่อหาตัวส่วนร่วม ก่อนอื่นคุณต้องพยายามแยกตัวประกอบตัวหารของเศษส่วนดั้งเดิม (เพื่อทำให้ตัวส่วนร่วมง่ายขึ้น)

ในกรณีนี้โดยเฉพาะ:

จากนั้นจึงง่ายต่อการกำหนดตัวส่วนร่วม: .

เรากำหนดปัจจัยเพิ่มเติมและแก้ไขตัวอย่างนี้:

ตอบ:.

ตอนนี้เราจะแก้ไขกฎสำหรับการบวกและการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน

ตัวอย่างที่ 6ลดความซับซ้อน: .

การตัดสินใจ:

ตอบ:.

ตัวอย่าง 7ลดความซับซ้อน: .

การตัดสินใจ:

ตอบ:.

ลองพิจารณาตัวอย่างที่ไม่ได้เพิ่มสอง แต่มีเศษส่วนสามส่วน (หลังจากทั้งหมด กฎสำหรับการบวกและการลบสำหรับเศษส่วนเพิ่มเติมยังคงเหมือนเดิม)

ตัวอย่างที่ 8ลดความซับซ้อน: .

พิจารณาตัวอย่างที่ง่ายที่สุดสำหรับเศษส่วนธรรมดา

ตัวอย่างที่ 1บวกเศษส่วน: .

การตัดสินใจ:

คำนิยาม

จำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดที่หารด้วยทั้งตัวเลขและ .

; . จากนั้น LCM ของตัวเลขจะต้องมี 2 2s และ 3s สองตัว:

เราได้รับ: .

ตอบ:.

ตัวอย่าง 2บวกเศษส่วน: .

การตัดสินใจ:

ตอบ:.

1. หาตัวส่วนร่วมที่เล็กที่สุดของเศษส่วน

3. คูณตัวเศษด้วยตัวประกอบเพิ่มเติมที่เหมาะสม

4. บวกหรือลบเศษส่วนโดยใช้กฎการบวกและการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน

ลองพิจารณาตัวอย่างที่มีเศษส่วนในตัวส่วนซึ่งมีนิพจน์ตามตัวอักษร

ตัวอย่างที่ 3บวกเศษส่วน: .

การตัดสินใจ:

ตอบ:.

ตัวอย่างที่ 4ลบเศษส่วน: .

การตัดสินใจ:

ตอบ:.

ลองดูตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านี้

ตัวอย่างที่ 5ลดความซับซ้อน: .

การตัดสินใจ:

ในกรณีนี้โดยเฉพาะ:

จากนั้นจึงง่ายต่อการกำหนดตัวส่วนร่วม: .

เรากำหนดปัจจัยเพิ่มเติมและแก้ไขตัวอย่างนี้:

ตอบ:.

ตอนนี้เราจะแก้ไขกฎสำหรับการบวกและการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน

ตัวอย่างที่ 6ลดความซับซ้อน: .

การตัดสินใจ:

ตอบ:.

ตัวอย่าง 7ลดความซับซ้อน: .

การตัดสินใจ:

ตอบ:.

ตัวอย่างที่ 8ลดความซับซ้อน: .

นิพจน์เศษส่วนเป็นเรื่องยากสำหรับเด็กที่จะเข้าใจ คนส่วนใหญ่มีปัญหากับ เมื่อศึกษาหัวข้อ "การบวกเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม" เด็กตกอยู่ในอาการมึนงงพบว่าเป็นการยากที่จะแก้ปัญหา ในตัวอย่างหลายๆ ตัวอย่าง จะต้องดำเนินการคำนวณเป็นชุดก่อนจึงจะสามารถดำเนินการได้ ตัวอย่างเช่น แปลงเศษส่วนหรือแปลงเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมเป็นเศษส่วนที่เหมาะสม

อธิบายให้ลูกฟังชัดๆ เอาแอปเปิลมาสามลูก สองผลจะเป็นผลทั้งหมด และผลที่สามจะถูกผ่าเป็น 4 ส่วน แยกแอปเปิ้ลที่หั่นแล้วหนึ่งชิ้นแล้วใส่สามชิ้นที่เหลือถัดจากผลไม้ทั้งหมดสองผล เราได้ ¼ แอปเปิ้ลด้านหนึ่งและ 2 ¾ อีกด้านหนึ่ง ถ้าเรารวมพวกมันเข้าด้วยกัน เราจะได้แอปเปิ้ลทั้งหมดสามลูก เรามาลองลดแอปเปิ้ล 2 ¾ ลง ¼ กัน นั่นคือ เอาอีก 1 ชิ้น เราได้ 2 2/4 แอปเปิ้ล

มาดูการกระทำของเศษส่วนกันดีกว่า ซึ่งรวมถึงจำนวนเต็ม:

อันดับแรก ให้นึกถึงกฎการคำนวณสำหรับนิพจน์เศษส่วนที่มีตัวส่วนร่วม:

ได้อย่างรวดเร็วก่อนทุกอย่างง่ายและเรียบง่าย แต่สิ่งนี้ใช้ได้เฉพาะกับนิพจน์ที่ไม่ต้องการการแปลง

วิธีค้นหาค่าของนิพจน์ที่ตัวส่วนต่างกัน

ในบางงาน จำเป็นต้องค้นหาค่าของนิพจน์ที่ตัวส่วนต่างกัน พิจารณากรณีเฉพาะ:
3 2/7+6 1/3

ค้นหาค่าของนิพจน์นี้ สำหรับสิ่งนี้ เราจะพบตัวส่วนร่วมของเศษส่วนสองส่วน

สำหรับตัวเลข 7 และ 3 นี่คือ 21 เราปล่อยให้ส่วนจำนวนเต็มเหมือนเดิมและลดเศษส่วนเป็น 21 สำหรับสิ่งนี้เราคูณเศษส่วนแรกด้วย 3 ส่วนที่สองด้วย 7 เราจะได้:
6/21+7/21 อย่าลืมว่าชิ้นส่วนทั้งหมดไม่สามารถแปลงได้ เป็นผลให้เราได้เศษส่วนสองส่วนด้วยตัวส่วนเดียวและคำนวณผลรวม:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
จะเกิดอะไรขึ้นหากผลการบวกเป็นเศษเกินที่มีส่วนของจำนวนเต็มอยู่แล้ว:
2 1/3+3 2/3
ในกรณีนี้ เราบวกส่วนจำนวนเต็มและเศษส่วน เราจะได้:
5 3/3 อย่างที่คุณรู้ 3/3 เป็นหนึ่ง ดังนั้น 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

เมื่อหาผลรวมทุกอย่างชัดเจนแล้ว มาวิเคราะห์การลบกัน:

จากทั้งหมดที่กล่าวมา กฎการดำเนินการเกี่ยวกับจำนวนคละมีดังนี้:

หากจำเป็นต้องลบจำนวนเต็มออกจากนิพจน์เศษส่วน ไม่จำเป็นต้องแสดงตัวเลขที่สองเป็นเศษส่วน แค่ใช้เฉพาะกับส่วนจำนวนเต็มเท่านั้น

ลองคำนวณค่าของนิพจน์ด้วยตัวเอง:

มาดูตัวอย่างใต้ตัวอักษร "m" ให้ละเอียดยิ่งขึ้น:

4 5/11-2 8/11 ตัวเศษของเศษส่วนแรกน้อยกว่าวินาที เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราเอาจำนวนเต็มหนึ่งจำนวนจากเศษส่วนแรก เราได้
3 5/11+11/11=3 ทั้งหมด 16/11 ลบวินาทีจากเศษส่วนแรก:
3 16/11-2 8/11=1 ทั้งหมด 8/11

ระมัดระวังเมื่อทำงานเสร็จ อย่าลืมแปลงเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมเป็นเศษผสม โดยเน้นที่ส่วนทั้งหมด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จำเป็นต้องแบ่งค่าของตัวเศษด้วยค่าของตัวส่วน สิ่งที่เกิดขึ้น แทนที่ส่วนของจำนวนเต็ม ส่วนที่เหลือจะเป็นตัวเศษ เช่น:

19/4=4 ¾, ตรวจสอบ: 4*4+3=19, ในตัวส่วน 4 ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

สรุป:

ก่อนดำเนินการกับงานที่เกี่ยวข้องกับเศษส่วน จำเป็นต้องวิเคราะห์ว่านิพจน์นั้นเป็นนิพจน์ประเภทใด การแปลงแบบใดที่ต้องทำบนเศษส่วนเพื่อให้คำตอบถูกต้อง มองหาวิธีแก้ปัญหาที่มีเหตุผลมากขึ้น อย่าไปในทางที่ยาก วางแผนการดำเนินการทั้งหมด ตัดสินใจในเวอร์ชันร่างก่อน แล้วจึงโอนไปยังสมุดบันทึกของโรงเรียน

เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนเมื่อแก้นิพจน์เศษส่วน จำเป็นต้องทำตามกฎของลำดับ ตัดสินใจทุกอย่างอย่างรอบคอบโดยไม่รีบร้อน

วิทยาศาสตร์ที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่ง ซึ่งสามารถนำไปใช้ได้ในสาขาต่างๆ เช่น เคมี ฟิสิกส์ และแม้กระทั่งชีววิทยาคือคณิตศาสตร์ การศึกษาวิทยาศาสตร์นี้ช่วยให้คุณพัฒนาคุณสมบัติทางจิตปรับปรุงความสามารถในการมีสมาธิ หนึ่งในหัวข้อที่สมควรได้รับความสนใจเป็นพิเศษในหลักสูตร "คณิตศาสตร์" คือการบวกและการลบเศษส่วน นักเรียนหลายคนพบว่าการเรียนเป็นเรื่องยาก บางทีบทความของเราจะช่วยให้เข้าใจหัวข้อนี้ได้ดีขึ้น

วิธีลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน

เศษส่วนเป็นตัวเลขเดียวกันกับที่คุณสามารถดำเนินการต่างๆ ได้ ความแตกต่างจากจำนวนเต็มอยู่ในการมีอยู่ของตัวส่วน นั่นคือเหตุผลที่เมื่อดำเนินการกับเศษส่วน คุณต้องศึกษาคุณลักษณะและกฎบางอย่างของเศษส่วน กรณีที่ง่ายที่สุดคือการลบเศษส่วนธรรมดาซึ่งตัวส่วนจะแสดงเป็นตัวเลขเดียวกัน การดำเนินการนี้จะไม่ยากหากคุณรู้กฎง่ายๆ:

ในการลบเศษส่วนที่สองออกจากเศษส่วนหนึ่ง จำเป็นต้องลบตัวเศษของเศษส่วนที่จะลบออกจากตัวเศษของเศษส่วนที่ลดลง เราเขียนตัวเลขนี้ลงในตัวเศษของผลต่าง และปล่อยให้ตัวส่วนเหมือนกัน: k / m - b / m = (k-b) / m

ตัวอย่างการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

จากตัวเศษของเศษส่วนที่ลดลง "7" ลบตัวเศษของเศษส่วนที่ลบ "3" เราจะได้ "4" เราเขียนตัวเลขนี้ในตัวเศษของคำตอบ และใส่ตัวเลขเดียวกันกับตัวส่วนของเศษส่วนแรกและส่วนที่สอง - "19"

ภาพด้านล่างแสดงตัวอย่างอื่นๆ อีกสองสามตัวอย่าง

พิจารณาตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้นโดยลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

จากตัวเศษของเศษส่วนที่ลดลง "29" โดยการลบตัวเศษของเศษส่วนที่ตามมาทั้งหมด - "3", "8", "2", "7" เป็นผลให้เราได้รับผลลัพธ์ "9" ซึ่งเราเขียนในตัวเศษของคำตอบและในตัวส่วนเราเขียนตัวเลขที่อยู่ในตัวส่วนของเศษส่วนทั้งหมดเหล่านี้ - "47"

การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน

การบวกและการลบเศษส่วนธรรมดาดำเนินการตามหลักการเดียวกัน

ในการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน คุณต้องบวกตัวเศษ จำนวนผลลัพธ์คือตัวเศษของผลรวม และตัวส่วนยังคงเหมือนเดิม: k/m + b/m = (k + b)/m

ลองดูว่ามันเป็นอย่างไรในตัวอย่าง:

1/4 + 2/4 = 3/4.

ไปยังตัวเศษของเทอมแรกของเศษส่วน - "1" - เราเพิ่มตัวเศษของเทอมที่สองของเศษส่วน - "2" ผลลัพธ์ - "3" - เขียนในตัวเศษของจำนวนเงิน และตัวส่วนจะเหลือแบบเดียวกับที่มีอยู่ในเศษส่วน - "4"

เศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกันและการลบออก

เราได้พิจารณาการกระทำด้วยเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากันแล้ว อย่างที่คุณเห็น การรู้กฎง่ายๆ การแก้ตัวอย่างนั้นค่อนข้างง่าย แต่ถ้าคุณต้องการดำเนินการกับเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกันล่ะ นักเรียนมัธยมปลายหลายคนสับสนกับตัวอย่างดังกล่าว แต่ถึงแม้ที่นี่ ถ้าคุณรู้หลักการของการแก้ปัญหา ตัวอย่างจะไม่ใช่เรื่องยากสำหรับคุณอีกต่อไป นอกจากนี้ยังมีกฎอยู่ที่นี่โดยที่การแก้ปัญหาของเศษส่วนนั้นเป็นไปไม่ได้

ในการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน จะต้องถูกลดตัวลงเป็นตัวส่วนที่เล็กที่สุดเหมือนกัน

เราจะพูดถึงรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการทำเช่นนี้

คุณสมบัติเศษส่วน

ในการลดเศษส่วนหลาย ๆ ตัวให้เป็นตัวส่วนเดียวกัน คุณต้องใช้คุณสมบัติหลักของเศษส่วนในการแก้ปัญหา: หลังจากหารหรือคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน คุณจะได้เศษส่วนเท่ากับค่าที่กำหนด

ตัวอย่างเช่น เศษส่วน 2/3 สามารถมีตัวส่วนได้ เช่น "6", "9", "12" เป็นต้น กล่าวคือ มันสามารถดูเหมือนตัวเลขใดๆ ที่เป็นผลคูณของ "3" หลังจากที่เราคูณทั้งเศษและส่วนด้วย "2" เราจะได้เศษส่วนของ 4/6 หลังจากที่เราคูณทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนเดิมด้วย "3" เราจะได้ 6/9 และถ้าเราทำการกระทำที่คล้ายกันกับตัวเลข "4" เราจะได้ 8/12 ในสมการหนึ่ง สามารถเขียนได้ดังนี้

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

วิธีนำเศษส่วนหลายส่วนมาเป็นตัวส่วนเดียวกัน

พิจารณาวิธีลดเศษส่วนหลาย ๆ ตัวให้เป็นตัวส่วนเดียวกัน ตัวอย่างเช่น นำเศษส่วนที่แสดงในภาพด้านล่าง ก่อนอื่นคุณต้องกำหนดว่าจำนวนใดที่สามารถเป็นตัวหารสำหรับตัวเลขทั้งหมดได้ เพื่อให้ง่ายขึ้น เรามาแยกส่วนที่ใช้ได้เป็นตัวประกอบ

ตัวส่วนของเศษ 1/2 และเศษ 2/3 ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ ตัวส่วนของ 7/9 มีสองตัวประกอบ 7/9 = 7/(3 x 3) ตัวส่วนของเศษส่วน 5/6 = 5/(2 x 3) ตอนนี้ คุณต้องกำหนดว่าตัวประกอบใดจะน้อยที่สุดสำหรับเศษส่วนทั้งสี่นี้ เนื่องจากเศษส่วนแรกมีเลข "2" ในตัวส่วน หมายความว่าต้องมีอยู่ในตัวส่วนทั้งหมด ในเศษ 7/9 มีสองส่วน ซึ่งหมายความว่าจะต้องอยู่ในตัวส่วนด้วย จากข้อมูลข้างต้น เราพิจารณาว่าตัวส่วนประกอบด้วยตัวประกอบสามตัว: 3, 2, 3 และเท่ากับ 3 x 2 x 3 = 18

พิจารณาเศษส่วนแรก - 1/2 ตัวหารประกอบด้วย "2" แต่ไม่มี "3" ตัวเดียว แต่ควรมีสองตัว ในการทำเช่นนี้ เราคูณตัวส่วนด้วยสองส่วนสาม แต่ตามคุณสมบัติของเศษส่วน เราต้องคูณตัวเศษด้วยสองส่วนสาม:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18

ในทำนองเดียวกัน เราดำเนินการกับเศษส่วนที่เหลือ

2/3 - หนึ่งในสามและหนึ่งสองหายไปในตัวส่วน:
2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18
7/9 หรือ 7/(3 x 3) - ตัวส่วนหายไปสอง:
7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18
5/6 หรือ 5/(2 x 3) - ตัวส่วนไม่มีสามเท่า:
5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18

เมื่อรวมกันแล้วจะมีลักษณะดังนี้:

วิธีการลบและบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น ในการบวกหรือลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน จะต้องถูกลดตัวลงให้เป็นตัวส่วนเดียวกัน แล้วใช้กฎการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเหมือนกันซึ่งได้อธิบายไว้แล้ว

พิจารณาสิ่งนี้ด้วยตัวอย่าง: 4/18 - 3/15

การหาทวีคูณของ 18 และ 15:

เลข 18 ประกอบด้วย 3 x 2 x 3
หมายเลข 15 ประกอบด้วย 5 x 3
ตัวคูณร่วมจะประกอบด้วยปัจจัยต่อไปนี้ 5 x 3 x 3 x 2 = 90

หลังจากพบตัวส่วนแล้ว จำเป็นต้องคำนวณปัจจัยที่จะแตกต่างกันในแต่ละเศษส่วน กล่าวคือ จำนวนที่จำเป็นต้องคูณไม่เพียงแต่ตัวส่วนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงตัวเศษด้วย ในการทำเช่นนี้ เราหารจำนวนที่เราพบ (ตัวคูณร่วม) ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่ต้องพิจารณาปัจจัยเพิ่มเติม

90 หารด้วย 15 ผลลัพธ์ที่ได้คือ "6" จะเป็นตัวคูณสำหรับ 3/15
90 หารด้วย 18 ผลลัพธ์ที่ได้คือ "5" จะเป็นตัวคูณสำหรับ 4/18

ขั้นตอนต่อไปในการแก้ปัญหาของเราคือนำเศษส่วนแต่ละส่วนไปที่ตัวส่วน "90"

เราได้พูดคุยกันถึงวิธีการนี้แล้ว ลองดูว่าสิ่งนี้เขียนอย่างไรในตัวอย่าง:

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45

หากเป็นเศษส่วนที่มีจำนวนน้อย คุณสามารถกำหนดตัวส่วนร่วม ดังตัวอย่างที่แสดงในภาพด้านล่าง

ผลิตในทำนองเดียวกันและมีตัวส่วนต่างกัน

การลบและมีส่วนที่เป็นจำนวนเต็ม

การลบเศษส่วนและการบวก เราได้วิเคราะห์อย่างละเอียดแล้ว แต่จะลบอย่างไรถ้าเศษส่วนมีส่วนจำนวนเต็ม? อีกครั้ง ลองใช้กฎสองสามข้อ:

แปลงเศษส่วนทั้งหมดที่มีส่วนจำนวนเต็มเป็นส่วนที่ไม่เหมาะสม พูดง่ายๆ ก็คือ เอาทั้งส่วนออก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จำนวนของส่วนจำนวนเต็มจะถูกคูณด้วยตัวส่วนของเศษส่วน ผลลัพธ์ที่ได้จะถูกเพิ่มเข้ากับตัวเศษ จำนวนที่จะได้รับหลังจากการกระทำเหล่านี้คือตัวเศษของเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม ตัวส่วนยังคงไม่เปลี่ยนแปลง
ถ้าเศษส่วนมีตัวส่วนต่างกันก็ควรลดให้เท่ากัน
ทำการบวกหรือลบด้วยตัวส่วนเดียวกัน
เมื่อได้เศษส่วนที่ไม่เหมาะสม ให้เลือกทั้งส่วน

มีอีกวิธีหนึ่งที่คุณสามารถเพิ่มและลบเศษส่วนด้วยส่วนจำนวนเต็มได้ สำหรับสิ่งนี้ การดำเนินการจะดำเนินการแยกกันด้วยส่วนจำนวนเต็ม และแยกจากกันด้วยเศษส่วน และบันทึกผลลัพธ์ไว้ด้วยกัน

ตัวอย่างข้างต้นประกอบด้วยเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน ในกรณีที่ตัวส่วนต่างกันจะต้องลดจำนวนลงให้เท่ากันแล้วทำตามขั้นตอนดังตัวอย่าง

การลบเศษส่วนจากจำนวนเต็ม

การกระทำที่มีเศษส่วนอีกรูปแบบหนึ่งคือกรณีที่ต้องลบเศษส่วนออกจาก เมื่อมองแวบแรก ตัวอย่างดังกล่าวดูเหมือนจะแก้ได้ยาก อย่างไรก็ตาม ทุกอย่างค่อนข้างง่ายที่นี่ ในการแก้ปัญหานี้ จำเป็นต้องแปลงจำนวนเต็มให้เป็นเศษส่วน และด้วยตัวส่วนดังกล่าว ซึ่งอยู่ในเศษส่วนที่จะลบออก ต่อไป เราทำการลบที่คล้ายกับการลบด้วยตัวส่วนเดียวกัน ตัวอย่างเช่น ดูเหมือนว่านี้:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9

การลบเศษส่วนที่ให้ไว้ในบทความนี้ (เกรด 6) เป็นพื้นฐานสำหรับการแก้ตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น ซึ่งจะพิจารณาในชั้นเรียนถัดไป ความรู้ในหัวข้อนี้จะนำไปใช้ในการแก้ปัญหาฟังก์ชัน อนุพันธ์ และอื่นๆ ในภายหลัง ดังนั้นจึงเป็นสิ่งสำคัญมากที่จะต้องเข้าใจและเข้าใจการกระทำของเศษส่วนที่กล่าวถึงข้างต้น

§ 87. การบวกเศษส่วน

การบวกเศษส่วนมีความคล้ายคลึงกันมากกับการบวกจำนวนเต็ม การบวกเศษส่วนเป็นการกระทำที่ประกอบด้วยตัวเลขที่กำหนดหลายตัว (เงื่อนไข) รวมกันเป็นตัวเลขเดียว (ผลรวม) ซึ่งประกอบด้วยหน่วยและเศษส่วนของหน่วยเทอมทั้งหมด

เราจะพิจารณาสามกรณีในทางกลับกัน:

1. การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน
2. การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน
3. การบวกเลขคละกัน

1. การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน

ลองพิจารณาตัวอย่าง: 1 / 5 + 2 / 5 .

นำเซ็กเมนต์ AB (รูปที่ 17) มาเป็นหน่วยแล้วแบ่งออกเป็น 5 ส่วนเท่าๆ กัน จากนั้นส่วน AC ของเซ็กเมนต์นี้จะเท่ากับ 1/5 ของเซ็กเมนต์ AB และส่วนของซีดีเซ็กเมนต์เดียวกัน จะเท่ากับ 2/5 AB

จากรูปวาดจะเห็นได้ว่าถ้าเราเอาส่วน AD มา มันจะเท่ากับ 3/5 AB; แต่เซ็กเมนต์ AD คือผลรวมของเซ็กเมนต์ AC และ CD อย่างแม่นยำ ดังนั้น เราสามารถเขียนว่า

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

เมื่อพิจารณาเงื่อนไขเหล่านี้และจำนวนผลลัพธ์ เราจะเห็นว่าตัวเศษของผลรวมได้มาจากการเพิ่มตัวเศษของเงื่อนไข และตัวส่วนยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

จากนี้เราได้รับกฎต่อไปนี้: ในการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน คุณต้องเพิ่มตัวเศษและปล่อยให้เป็นตัวส่วนเดียวกัน

พิจารณาตัวอย่าง:

2. การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน

มาบวกเศษส่วนกัน: 3/4 + 3/8 ก่อนอื่นต้องลดตัวส่วนร่วมต่ำสุด:

ไม่สามารถเขียนลิงก์กลาง 6/8 + 3/8 ได้ เราได้เขียนไว้ที่นี่เพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น

ดังนั้น ในการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน ก่อนอื่นคุณต้องนำเศษส่วนมาหารด้วยตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด บวกตัวเศษและเซ็นชื่อตัวส่วนร่วม

พิจารณาตัวอย่าง (เราจะเขียนตัวประกอบเพิ่มเติมบนเศษส่วนที่เกี่ยวข้อง):

3. การบวกเลขคละกัน

ลองบวกตัวเลข: 2 3 / 8 + 3 5 / 6

อันดับแรก ให้เรานำเศษส่วนของตัวเลขมาเป็นตัวส่วนร่วมก่อน แล้วเขียนใหม่อีกครั้ง:

ตอนนี้เพิ่มส่วนจำนวนเต็มและเศษส่วนตามลำดับ:

§ 88. การลบเศษส่วน

การลบเศษส่วนถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับการลบจำนวนเต็ม นี่คือการกระทำโดยเมื่อพิจารณาผลรวมของสองเทอมและหนึ่งในนั้นแล้ว จะพบอีกเทอมหนึ่ง ลองพิจารณาสามกรณีในทางกลับกัน:

1. การลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน
2. การลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน
3. การลบจำนวนคละ.

1. การลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน

พิจารณาตัวอย่าง:

13 / 15 - 4 / 15

ลองใช้ส่วน AB (รูปที่ 18) กันเป็นหน่วยแล้วแบ่งออกเป็น 15 ส่วนเท่า ๆ กัน จากนั้นส่วน AC ของส่วนนี้จะเท่ากับ 1/15 ของ AB และส่วน AD ของส่วนเดียวกันจะสอดคล้องกับ 13/15 AB แยก ED อีกส่วนไว้ เท่ากับ 4/15 AB

เราต้องลบ 4/15 จาก 13/15 ในภาพวาด นี่หมายความว่าส่วน ED ต้องถูกลบออกจากส่วน AD ด้วยเหตุนี้ ส่วน AE จะยังคงอยู่ ซึ่งเท่ากับ 9/15 ของเซ็กเมนต์ AB เราจึงเขียนได้ว่า

ตัวอย่างที่เราทำแสดงให้เห็นว่าตัวเศษของผลต่างได้มาจากการลบตัวเศษและตัวส่วนยังคงเหมือนเดิม

ดังนั้น ในการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน คุณต้องลบตัวเศษของ subtrahend ออกจากตัวเศษของ minuend และปล่อยให้ตัวส่วนเดียวกัน

2. การลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน

ตัวอย่าง. 3/4 - 5/8

อันดับแรก ให้ลดเศษส่วนเหล่านี้ให้เหลือตัวส่วนร่วมที่เล็กที่สุด:

ลิงค์กลาง 6 / 8 - 5 / 8 เขียนไว้ที่นี่เพื่อความชัดเจน แต่สามารถข้ามได้ในอนาคต

ดังนั้น ในการลบเศษส่วนออกจากเศษส่วน ก่อนอื่นคุณต้องนำมันมาหารด้วยตัวส่วนร่วมที่เล็กที่สุด จากนั้นลบตัวเศษของ subtrahend ออกจากตัวเศษของ minuend และเซ็นชื่อตัวส่วนร่วมภายใต้ส่วนต่างของพวกมัน

พิจารณาตัวอย่าง:

3. การลบจำนวนคละ.

ตัวอย่าง. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .

ลองนำเศษส่วนของ minuend และ subtrahend มาที่ตัวส่วนร่วมต่ำสุดกัน:

เราลบทั้งหมดจากจำนวนเต็มและเศษส่วนจากเศษส่วน แต่มีบางกรณีที่เศษส่วนของ subtrahend มากกว่าเศษส่วนของ minuend ในกรณีเช่นนี้ คุณต้องนำหนึ่งหน่วยจากส่วนจำนวนเต็มของค่าลดหย่อน แยกเป็นส่วนที่แสดงส่วนที่เป็นเศษส่วน แล้วบวกกับส่วนที่เป็นเศษส่วนของค่าที่ลดลง จากนั้นการลบจะดำเนินการในลักษณะเดียวกับในตัวอย่างก่อนหน้า:

§ 89. การคูณเศษส่วน

เมื่อศึกษาการคูณเศษส่วน เราจะพิจารณาคำถามต่อไปนี้

1. การคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม
2. การหาเศษส่วนของตัวเลขที่กำหนด
3. การคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน
4. การคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน
5. การคูณจำนวนคละ
6. แนวคิดที่น่าสนใจ
7. การหาเปอร์เซ็นต์ของจำนวนที่กำหนด ลองพิจารณาตามลำดับ

1. การคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม

การคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็มมีความหมายเดียวกับการคูณจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็ม การคูณเศษส่วน (ตัวคูณ) ด้วยจำนวนเต็ม (ตัวคูณ) หมายถึงการรวมกันของพจน์ที่เหมือนกัน ซึ่งแต่ละพจน์มีค่าเท่ากับตัวคูณ และจำนวนพจน์จะเท่ากับตัวคูณ

ดังนั้น หากคุณต้องการคูณ 1/9 ด้วย 7 สามารถทำได้ดังนี้:

เราได้ผลลัพธ์อย่างง่ายดาย เนื่องจากการกระทำถูกลดทอนเป็นการเพิ่มเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน เพราะฉะนั้น,

การพิจารณาการกระทำนี้แสดงว่าการคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็มนั้นเทียบเท่ากับการบวกเศษส่วนนี้หลายครั้งตามที่มีหน่วยในจำนวนเต็ม และเนื่องจากการเพิ่มขึ้นของเศษส่วนทำได้โดยการเพิ่มตัวเศษ

หรือโดยการลดตัวส่วนลง จากนั้นเราสามารถคูณตัวเศษด้วยจำนวนเต็ม หรือหารตัวส่วนด้วยตัวหาร ถ้าการหารนั้นเป็นไปได้

จากที่นี่เราได้รับกฎ:

ในการคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม คุณต้องคูณตัวเศษด้วยจำนวนเต็มนี้แล้วปล่อยให้ตัวส่วนเหมือนกัน หรือ ถ้าเป็นไปได้ ให้หารตัวส่วนด้วยตัวเลขนี้ โดยปล่อยให้ตัวเศษไม่เปลี่ยนแปลง

ในการคูณ สามารถใช้ตัวย่อได้ เช่น

2. การหาเศษส่วนของตัวเลขที่กำหนดมีปัญหามากมายที่คุณต้องค้นหาหรือคำนวณส่วนหนึ่งของตัวเลขที่กำหนด ความแตกต่างระหว่างงานเหล่านี้กับงานอื่นๆ คือ งานให้จำนวนของวัตถุหรือหน่วยการวัด และคุณจำเป็นต้องค้นหาส่วนหนึ่งของตัวเลขนี้ ซึ่งระบุด้วยเศษส่วนบางส่วน เพื่อให้เข้าใจได้ง่ายขึ้น เราจะยกตัวอย่างปัญหาดังกล่าวก่อน แล้วจึงแนะนำวิธีการแก้ปัญหา

ภารกิจที่ 1ฉันมี 60 รูเบิล; 1 / 3 ของเงินจำนวนนี้ที่ฉันใช้ไปในการซื้อหนังสือ หนังสือราคาเท่าไหร่?

ภารกิจที่ 2รถไฟต้องครอบคลุมระยะทางระหว่างเมือง A และ B เท่ากับ 300 กม. เขาได้ครอบคลุม 2/3 ของระยะทางนั้นแล้ว นี่กี่กิโลคะ?

ภารกิจที่ 3ในหมู่บ้านมีบ้าน 400 หลัง อิฐ 3/4 ที่เหลือเป็นไม้ มีบ้านอิฐกี่หลัง?

ต่อไปนี้คือปัญหาบางส่วนที่เราต้องจัดการเพื่อค้นหาเศษส่วนของตัวเลขที่กำหนด มักเรียกว่าปัญหาในการหาเศษของจำนวนที่กำหนด

การแก้ปัญหาที่ 1จาก 60 รูเบิล ฉันใช้เวลา 1 / 3 ในหนังสือ ดังนั้น ในการหาค่าหนังสือ คุณต้องหารเลข 60 ด้วย 3:

การแก้ปัญหาที่ 2ความหมายของปัญหาคือคุณต้องหา 2 / 3 จาก 300 กม. คำนวณ 1/3 แรกของ 300; ทำได้โดยการหาร 300 กม. ด้วย 3:

300: 3 = 100 (นั่นคือ 1/3 ของ 300)

ในการหาสองในสามของ 300 คุณต้องเพิ่มผลหารผลลัพธ์เป็นสองเท่า นั่นคือ คูณด้วย 2:

100 x 2 = 200 (นั่นคือ 2/3 ของ 300)

การแก้ปัญหาที่ 3คุณต้องกำหนดจำนวนบ้านอิฐซึ่งเท่ากับ 3/4 ของ 400 หา 1/4 ของ 400 กันก่อน

400: 4 = 100 (นั่นคือ 1/4 ของ 400)

ในการคำนวณสามในสี่ของ 400 ผลหารที่ได้จะต้องเป็นสามเท่านั่นคือคูณด้วย 3:

100 x 3 = 300 (นั่นคือ 3/4 ของ 400)

จากการแก้ปัญหาเหล่านี้ เราสามารถได้มาซึ่งกฎต่อไปนี้:

ในการหาค่าของเศษส่วนของตัวเลขที่กำหนด คุณต้องหารตัวเลขนี้ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแล้วคูณผลหารผลลัพธ์ด้วยตัวเศษ

3. การคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน

ก่อนหน้านี้ (§ 26) เป็นที่ยอมรับแล้วว่าการคูณของจำนวนเต็มควรเข้าใจว่าเป็นการบวกเงื่อนไขที่เหมือนกัน (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20) ในย่อหน้านี้ (วรรค 1) กำหนดว่าการคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็มหมายถึงการหาผลรวมของพจน์ที่เหมือนกันเท่ากับเศษส่วนนี้

ในทั้งสองกรณี การคูณประกอบด้วยการหาผลรวมของพจน์ที่เหมือนกัน

ต่อไปเราจะทำการคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน ที่นี่เราจะพบกับเช่นการคูณ: 9 2 / 3 ค่อนข้างชัดเจนว่าคำจำกัดความก่อนหน้าของการคูณใช้ไม่ได้กับกรณีนี้ เห็นได้ชัดจากข้อเท็จจริงที่ว่าเราไม่สามารถแทนที่การคูณดังกล่าวด้วยการบวกจำนวนเท่ากัน

ด้วยเหตุนี้เราจะต้องให้คำจำกัดความใหม่ของการคูณ กล่าวคือ เพื่อตอบคำถามว่าการคูณด้วยเศษส่วนควรเข้าใจอะไร ควรทำความเข้าใจการกระทำนี้อย่างไร

ความหมายของการคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วนมีความชัดเจนจากคำจำกัดความต่อไปนี้: การคูณจำนวนเต็ม (ตัวคูณ) ด้วยเศษส่วน (ตัวคูณ) หมายถึงการหาเศษส่วนของตัวคูณนี้

กล่าวคือ การคูณ 9 ด้วย 2/3 หมายถึงการหา 2/3 ของหน่วยเก้าหน่วย ในวรรคก่อน ปัญหาดังกล่าวได้รับการแก้ไขแล้ว มันง่ายที่จะคิดออกว่าเราลงท้ายด้วย 6

แต่ตอนนี้มีคำถามที่น่าสนใจและสำคัญเกิดขึ้น: เหตุใดการกระทำที่ดูเหมือนแตกต่างกันเช่นการหาผลรวมของจำนวนเท่ากันและการหาเศษส่วนของตัวเลขจึงเรียกว่าคำเดียวกันว่า "การคูณ" ในทางคณิตศาสตร์

สิ่งนี้เกิดขึ้นเนื่องจากการกระทำก่อนหน้านี้ (การทำซ้ำตัวเลขด้วยเงื่อนไขหลาย ๆ ครั้ง) และการกระทำใหม่ (การหาเศษส่วนของตัวเลข) ให้คำตอบสำหรับคำถามที่เป็นเนื้อเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าเราดำเนินการที่นี่จากการพิจารณาว่าคำถามหรืองานที่เป็นเนื้อเดียวกันได้รับการแก้ไขด้วยการกระทำแบบเดียวกัน

เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้ ให้พิจารณาปัญหาต่อไปนี้: “ผ้า 1 ม. ราคา 50 รูเบิล ผ้าดังกล่าวจะมีราคาเท่าไร?

ปัญหานี้แก้ไขได้โดยการคูณจำนวนรูเบิล (50) ด้วยจำนวนเมตร (4) เช่น 50 x 4 = 200 (รูเบิล)

ลองใช้ปัญหาเดียวกัน แต่ปริมาณผ้าจะแสดงเป็นตัวเลขเศษส่วน: “ผ้า 1 ม. ราคา 50 รูเบิล ผ้าดังกล่าว 3/4 ม. จะมีราคาเท่าไร?

ปัญหานี้ต้องแก้ไขด้วยการคูณจำนวนรูเบิล (50) ด้วยจำนวนเมตร (3/4)

คุณยังสามารถเปลี่ยนตัวเลขในนั้นได้หลายครั้งโดยไม่เปลี่ยนความหมายของปัญหา เช่น ใช้ 9/10 ม. หรือ 2 3/10 ม. เป็นต้น

เนื่องจากปัญหาเหล่านี้มีเนื้อหาเหมือนกันและแตกต่างกันในตัวเลขเท่านั้น เราจึงเรียกการดำเนินการที่ใช้ในการแก้ปัญหาเหล่านี้ว่าคำเดียวกัน - การคูณ

จำนวนเต็มคูณด้วยเศษส่วนอย่างไร

มาดูตัวเลขที่พบในปัญหาสุดท้ายกัน:

ตามคำจำกัดความ เราต้องหา 3 / 4 ของ 50 อันดับแรก เราหา 1 / 4 ของ 50 แล้วก็ 3 / 4

1/4 ของ 50 คือ 50/4;

3/4 ของ 50 คือ .

เพราะฉะนั้น.

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง: 12 5 / 8 = ?

1/8 ของ 12 คือ 12/8,

5/8 ของจำนวน 12 คือ .

เพราะฉะนั้น,

จากที่นี่เราได้รับกฎ:

ในการคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณจำนวนเต็มด้วยตัวเศษของเศษส่วนแล้วทำให้ผลคูณนี้เป็นตัวเศษ และเซ็นตัวส่วนของเศษส่วนที่กำหนดให้เป็นตัวส่วน

เราเขียนกฎนี้โดยใช้ตัวอักษร:

เพื่อให้กฎข้อนี้ชัดเจนอย่างสมบูรณ์ ควรจำไว้ว่าเศษส่วนสามารถถือเป็นผลหารได้ ดังนั้นจึงเป็นประโยชน์ในการเปรียบเทียบกฎที่ค้นพบกับกฎสำหรับการคูณตัวเลขด้วยผลหารซึ่งกำหนดไว้ใน§ 38

ต้องจำไว้ว่าก่อนทำการคูณคุณควรทำ (ถ้าเป็นไปได้) ตัด, ตัวอย่างเช่น:

4. การคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วนการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วนมีความหมายเดียวกับการคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน นั่นคือ เมื่อคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณต้องหาเศษส่วนในตัวคูณจากเศษส่วนแรก (ตัวคูณ)

กล่าวคือ การคูณ 3/4 คูณ 1/2 (ครึ่ง) หมายถึง การหาครึ่งหนึ่งของ 3/4

คุณคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วนได้อย่างไร?

ลองมาดูตัวอย่างกัน: 3/4 คูณ 5/7 ซึ่งหมายความว่าคุณต้องค้นหา 5 / 7 จาก 3 / 4 ค้นหา 1/7 ของ 3/4 แล้วตามด้วย 5/7

1/7 ของ 3/4 จะแสดงดังนี้:

5 / 7 ตัวเลข 3 / 4 จะแสดงดังนี้:

ดังนั้น,

อีกตัวอย่างหนึ่ง: 5/8 คูณ 4/9

1/9 ของ 5/8 คือ ,

4/9 ตัวเลข 5/8 คือ .

ดังนั้น,

จากตัวอย่างเหล่านี้ กฎต่อไปนี้สามารถอนุมานได้:

ในการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณตัวเศษด้วยตัวเศษ และตัวส่วนด้วยตัวส่วน และทำให้ผลคูณแรกเป็นตัวเศษ และผลิตภัณฑ์ที่สองเป็นตัวส่วนของผลคูณ

กฎนี้สามารถเขียนได้โดยทั่วไปดังนี้:

เมื่อคูณจำเป็นต้องลด (ถ้าเป็นไปได้) พิจารณาตัวอย่าง:

5. การคูณจำนวนคละเนื่องจากจำนวนคละสามารถแทนที่ด้วยเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมได้ง่าย สถานการณ์นี้จึงมักใช้เมื่อคูณจำนวนคละ ซึ่งหมายความว่าในกรณีที่ตัวคูณหรือตัวคูณหรือตัวประกอบทั้งสองแสดงเป็นจำนวนคละจะถูกแทนที่ด้วยเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม คูณเช่นจำนวนคละ: 2 1/2 และ 3 1/5 เราเปลี่ยนแต่ละอันให้เป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม จากนั้นเราจะคูณเศษส่วนที่ได้ตามกฎของการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน:

กฎ.ในการคูณจำนวนคละนั้น ก่อนอื่นคุณต้องแปลงให้เป็นเศษส่วนที่ไม่ถูกต้อง จากนั้นคูณตามกฎของการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน

บันทึก.หากปัจจัยใดปัจจัยหนึ่งเป็นจำนวนเต็ม การคูณสามารถทำได้ตามกฎการจำหน่ายดังนี้

6. แนวคิดที่น่าสนใจในการแก้ปัญหาและเมื่อทำการคำนวณเชิงปฏิบัติต่างๆ เราใช้เศษส่วนทุกประเภท แต่ต้องจำไว้ว่าปริมาณจำนวนมากไม่ยอมรับใด ๆ แต่เป็นการแบ่งย่อยตามธรรมชาติสำหรับพวกเขา ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้หนึ่งในร้อย (1/100) ของรูเบิล มันจะเป็นเพนนี สองในร้อยคือ 2 โกเป็ก สามในร้อยคือ 3 โกเป็ก คุณสามารถใช้ 1/10 ของรูเบิล มันจะเป็น "10 kopecks หรือเล็กน้อย คุณสามารถเอาหนึ่งในสี่ของรูเบิล นั่นคือ 25 kopecks ครึ่งรูเบิล นั่นคือ 50 kopecks (ห้าสิบ kopecks) แต่พวกเขาก็ทำไม่ได้ ไม่ใช้ตัวอย่างเช่น 2/7 rubles เพราะรูเบิลไม่ได้แบ่งออกเป็นเจ็ด

หน่วยวัดน้ำหนัก เช่น กิโลกรัม อนุญาต อย่างแรกเลย ส่วนย่อยทศนิยม เช่น 1/10 กก. หรือ 100 กรัม และเศษส่วนของกิโลกรัม เช่น 1/6, 1/11, 1/ 13 เรื่องไม่ธรรมดา

โดยทั่วไป การวัด (เมตริก) ของเราเป็นทศนิยมและอนุญาตให้แบ่งย่อยทศนิยมได้

อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตว่ามีประโยชน์อย่างยิ่งและสะดวกในหลายกรณีที่จะใช้วิธีการแบ่งย่อยปริมาณด้วยวิธีเดียวกัน (สม่ำเสมอ) ประสบการณ์หลายปีได้แสดงให้เห็นว่าแผนกที่มีเหตุมีผลดีเช่นนี้คือแผนก "ที่ร้อย" มาพิจารณาตัวอย่างบางส่วนที่เกี่ยวข้องกับแนวปฏิบัติของมนุษย์ที่หลากหลายที่สุด

1. ราคาหนังสือลดลง 12/100 จากราคาเดิม

ตัวอย่าง. ราคาก่อนหน้าของหนังสือคือ 10 รูเบิล เธอลดลง 1 รูเบิล 20 ค็อป

2. ธนาคารออมสินจ่ายเงินระหว่างปีให้แก่ผู้ฝาก 2/100 ของจำนวนเงินที่ออมเข้า

ตัวอย่าง. 500 รูเบิลถูกวางลงในโต๊ะเงินสดรายได้จากจำนวนนี้สำหรับปีคือ 10 รูเบิล

3. จำนวนผู้สำเร็จการศึกษาจากโรงเรียนหนึ่งคือ 5/100 ของจำนวนนักเรียนทั้งหมด

ตัวอย่าง มีนักเรียนเพียง 1,200 คนเท่านั้นที่เรียนที่โรงเรียน โดย 60 คนจบการศึกษาจากโรงเรียน

หนึ่งในร้อยของตัวเลขเรียกว่าเปอร์เซ็นต์.

คำว่า "ร้อยละ" ยืมมาจากภาษาละตินและรากของคำว่า "ร้อยละ" หมายถึงหนึ่งร้อย พร้อมกับคำบุพบท (pro centum) คำนี้หมายถึง "สำหรับร้อย" ความหมายของนิพจน์นี้สืบเนื่องมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าในขั้นต้นในสมัยกรุงโรมโบราณมีดอกเบี้ยเป็นเงินที่ลูกหนี้จ่ายให้กับผู้ให้กู้ "ทุก ๆ ร้อย" คำว่า "ร้อยละ" ได้ยินในคำที่คุ้นเคยเช่น centner (หนึ่งร้อยกิโลกรัม), เซนติเมตร (พวกเขากล่าวว่าเซนติเมตร)

ตัวอย่างเช่น แทนที่จะบอกว่าโรงงานผลิต 1/100 ของผลิตภัณฑ์ทั้งหมดที่ผลิตโดยมันในช่วงเดือนที่ผ่านมา เราจะพูดแบบนี้: โรงงานผลิต 1 เปอร์เซ็นต์ของการคัดแยกในช่วงเดือนที่ผ่านมา แทนที่จะพูดว่า: โรงงานผลิตสินค้าได้มากกว่าแผนที่ตั้งไว้ 4/100 เราจะพูดว่า โรงงานนั้นเกินแผน 4 เปอร์เซ็นต์

ตัวอย่างข้างต้นสามารถแสดงได้แตกต่างกัน:

1. ราคาหนังสือลดลงร้อยละ 12 ของราคาเดิม

2. ธนาคารออมสินจ่ายผู้ฝาก ร้อยละ 2 ต่อปีของจำนวนเงินออมทรัพย์

3. จำนวนผู้สำเร็จการศึกษาจากโรงเรียนหนึ่งคือร้อยละ 5 ของจำนวนนักเรียนทั้งหมดในโรงเรียน

ในการย่อตัวอักษร เป็นเรื่องปกติที่จะเขียนเครื่องหมาย% แทนคำว่า "percentage"

อย่างไรก็ตาม ต้องจำไว้ว่าเครื่องหมาย % มักจะไม่ถูกเขียนในการคำนวณ มันสามารถเขียนได้ในคำสั่งปัญหาและในผลลัพธ์สุดท้าย เมื่อทำการคำนวณ คุณต้องเขียนเศษส่วนด้วยตัวส่วน 100 แทนที่จะเป็นจำนวนเต็มที่มีไอคอนนี้

คุณต้องสามารถแทนที่จำนวนเต็มด้วยไอคอนที่ระบุด้วยเศษส่วนที่มีตัวส่วน 100:

ในทางกลับกัน คุณต้องชินกับการเขียนจำนวนเต็มด้วยไอคอนที่ระบุ แทนที่จะเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 100:

7. การหาเปอร์เซ็นต์ของจำนวนที่กำหนด

ภารกิจที่ 1โรงเรียนได้รับ 200 ลูกบาศก์เมตร ม. ฟืนโดยมีฟืนเบิร์ชคิดเป็น 30% มีไม้เบิร์ชอยู่เท่าไหร่?

ความหมายของปัญหานี้คือ ฟืนเบิร์ชเป็นเพียงส่วนหนึ่งของฟืนที่ส่งให้โรงเรียน และส่วนนี้แสดงเป็นเศษส่วนของ 30 / 100 ดังนั้นเราจึงต้องเผชิญกับภารกิจในการหาเศษส่วนของตัวเลข ในการแก้โจทย์นี้ เราต้องคูณ 200 ด้วย 30/100 (งานในการหาเศษส่วนของตัวเลขจะแก้ได้โดยการคูณตัวเลขด้วยเศษส่วน)

ดังนั้น 30% ของ 200 เท่ากับ 60

เศษส่วน 30 / 100 ที่พบในปัญหานี้สามารถลดลงได้ 10 เป็นไปได้ที่จะดำเนินการลดนี้ตั้งแต่เริ่มต้น การแก้ปัญหาจะไม่เปลี่ยนแปลง

ภารกิจที่ 2ในค่ายมีเด็กวัยต่างๆ 300 คน เด็กอายุ 11 ปีเป็น 21% เด็กอายุ 12 ปีเป็น 61% และอายุ 13 ปีเป็น 18% ในค่ายมีเด็กแต่ละวัยกี่คน

ในปัญหานี้ คุณต้องทำการคำนวณสามครั้ง นั่นคือ ค้นหาจำนวนเด็กอายุ 11 ปี จากนั้นจึงอายุ 12 ปี และสุดท้ายคือ 13 ปี

ดังนั้นที่นี่จึงจำเป็นต้องค้นหาเศษส่วนของตัวเลขสามครั้ง มาทำกัน:

1) มีเด็กอายุ 11 ปีกี่คน?

2) เด็กอายุ 12 ปีมีกี่คน?

3) เด็กอายุ 13 ปีมีกี่คน?

หลังจากแก้ปัญหาแล้ว ให้บวกตัวเลขที่พบ ผลรวมของพวกเขาควรเป็น 300:

63 + 183 + 54 = 300

คุณควรใส่ใจกับความจริงที่ว่าผลรวมของเปอร์เซ็นต์ที่กำหนดในเงื่อนไขของปัญหาคือ 100:

21% + 61% + 18% = 100%

นี่แสดงให้เห็นว่าจำนวนเด็กในค่ายคิดเป็น 100%

3 ดาชา 3คนงานได้รับ 1,200 รูเบิลต่อเดือน ในจำนวนนี้ เขาใช้จ่าย 65% สำหรับค่าอาหาร, 6% ในอพาร์ทเมนต์และเครื่องทำความร้อน, 4% สำหรับค่าน้ำมัน ไฟฟ้า และวิทยุ, 10% สำหรับความต้องการด้านวัฒนธรรม และ 15% เขาช่วยไว้ได้ จำนวนเงินที่ใช้ไปกับความต้องการที่ระบุไว้ในงาน?

จะต้องหาเศษของเลข 1,200 มาหาร 5 ครั้ง เพื่อแก้ปัญหานี้

1) ใช้เงินไปกับค่าอาหารเท่าไหร่? งานบอกว่าค่าใช้จ่ายนี้คือ 65% ของรายได้ทั้งหมด นั่นคือ 65/100 ของจำนวน 1,200 มาคำนวณกัน:

2) จ่ายเงินเท่าไหร่สำหรับอพาร์ทเมนต์ที่มีเครื่องทำความร้อน? เถียงเหมือนก่อนหน้านี้เรามาถึงการคำนวณต่อไปนี้:

3) ค่าน้ำมัน ค่าไฟ วิทยุ จ่ายไปเท่าไหร่?

4) ใช้เงินไปกับความต้องการทางวัฒนธรรมเท่าไร?

5) คนงานประหยัดเงินได้เท่าไหร่?

สำหรับการตรวจสอบ ควรเพิ่มตัวเลขที่พบในคำถาม 5 ข้อนี้ จำนวนเงินควรเป็น 1,200 รูเบิล รายได้ทั้งหมดคิดเป็น 100% ซึ่งง่ายต่อการตรวจสอบโดยบวกเปอร์เซ็นต์ที่ระบุในคำชี้แจงปัญหา

เราได้แก้ไขปัญหาสามข้อ แม้ว่างานเหล่านี้จะเกี่ยวกับสิ่งต่าง ๆ (การส่งมอบฟืนสำหรับโรงเรียน จำนวนเด็กในวัยต่าง ๆ ค่าใช้จ่ายของพนักงาน) พวกเขาก็ได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกัน สิ่งนี้เกิดขึ้นเพราะในทุกงาน จำเป็นต้องค้นหาสองสามเปอร์เซ็นต์ของตัวเลขที่กำหนด

§ 90. การหารเศษส่วน

เมื่อศึกษาการหารเศษส่วน เราจะพิจารณาคำถามต่อไปนี้

1. หารจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็ม
2. การหารเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม
3. การหารจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน
4. หารเศษส่วนด้วยเศษส่วน
5. การหารจำนวนคละ.
6. การหาตัวเลขจากเศษส่วน
7. การหาตัวเลขตามเปอร์เซ็นต์

ลองพิจารณาตามลำดับ

1. หารจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็ม

ดังที่ระบุไว้ในส่วนจำนวนเต็ม การหารคือการกระทำที่ประกอบด้วยปัจจัยสองประการ (เงินปันผล) และปัจจัยเหล่านี้ (ตัวหาร) ปัจจัยหนึ่งจะพบปัจจัยอื่น

การหารจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็มที่เราพิจารณาในส่วนจำนวนเต็ม เราพบกรณีของการแบ่งสองกรณี: การหารโดยไม่มีเศษ หรือ "ทั้งหมด" (150: 10 = 15) และการหารด้วยเศษ (100: 9 = 11 และ 1 ในส่วนที่เหลือ) ดังนั้นเราจึงสามารถพูดได้ว่าในขอบเขตของจำนวนเต็ม การหารที่แน่นอนนั้นเป็นไปไม่ได้เสมอไป เพราะการจ่ายเงินปันผลไม่ใช่ผลคูณของตัวหารและจำนวนเต็มเสมอไป หลังจากการคูณด้วยเศษส่วนแล้ว เราสามารถพิจารณากรณีของการหารจำนวนเต็มเท่าที่เป็นไปได้ (ยกเว้นการหารด้วยศูนย์เท่านั้น)

ตัวอย่างเช่น การหาร 7 ด้วย 12 หมายถึงการหาจำนวนที่ผลคูณของ 12 จะเป็น 7 ตัวเลขนี้คือเศษส่วน 7/12 เพราะ 7/12 12 = 7 อีกตัวอย่างหนึ่ง: 14: 25 = 14/25 เพราะ 14/25 25 = 14

ดังนั้น ในการหารจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็ม คุณต้องสร้างเศษส่วน ตัวเศษซึ่งเท่ากับเงินปันผล และตัวส่วนเป็นตัวหาร

2. การหารเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม

หารเศษส่วน 6 / 7 ด้วย 3 ตามคำจำกัดความของการหารที่ให้ไว้ข้างต้น เราได้ผลลัพธ์ (6 / 7) และหนึ่งในปัจจัย (3) ต้องหาปัจจัยที่สองที่เมื่อคูณด้วย 3 จะได้ผลคูณที่ 6 / 7 เห็นได้ชัดว่าควรมีขนาดเล็กกว่าผลิตภัณฑ์นี้ถึงสามเท่า ซึ่งหมายความว่างานที่ตั้งไว้ก่อนหน้าเราคือการลดเศษส่วน 6 / 7 ลง 3 เท่า

เรารู้แล้วว่าการลดเศษส่วนสามารถทำได้โดยการลดตัวเศษหรือการเพิ่มตัวส่วน ดังนั้น คุณสามารถเขียน:

ในกรณีนี้ ตัวเศษ 6 หารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้นตัวเศษจึงควรลดลง 3 เท่า

ลองมาอีกตัวอย่างหนึ่ง: 5/8 หารด้วย 2 ในที่นี้ตัวเศษ 5 หารด้วย 2 ไม่ลงตัว ซึ่งหมายความว่าตัวส่วนจะต้องคูณด้วยตัวเลขนี้:

จากสิ่งนี้ เราสามารถระบุกฎ: ในการหารเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม คุณต้องหารตัวเศษของเศษส่วนด้วยจำนวนเต็มนั้น(ถ้าเป็นไปได้), ปล่อยให้ตัวส่วนเดียวกันหรือคูณตัวส่วนของเศษส่วนด้วยตัวเลขนี้ ปล่อยให้ตัวเศษเหมือนกัน

3. การหารจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน

ให้ต้องหาร 5 ด้วย 1/2 นั่นคือ หาตัวเลขที่คูณด้วย 1/2 แล้วได้ผลลัพธ์ 5. แน่นอน ตัวเลขนี้ต้องมากกว่า 5 เนื่องจาก 1 / 2 เป็นเศษส่วนที่เหมาะสม และเมื่อคูณตัวเลขด้วยเศษส่วนที่เหมาะสม ผลคูณต้องน้อยกว่าตัวคูณ เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น ให้เขียนการกระทำของเราดังนี้: 5: 1 / 2 = X , ดังนั้น x 1 / 2 \u003d 5.

เราต้องหาตัวเลขดังกล่าว X ซึ่งเมื่อคูณด้วย 1/2 จะได้ 5 เนื่องจากการคูณจำนวนหนึ่งด้วย 1/2 หมายถึงการหา 1/2 ของจำนวนนี้ ดังนั้น 1/2 ของจำนวนที่ไม่รู้จัก X คือ 5 และจำนวนเต็ม X มากเป็นสองเท่าเช่น 5 2 \u003d 10

ดังนั้น 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

มาตรวจสอบกัน:

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง ให้มันต้องหาร 6 ด้วย 2 / 3 . ก่อนอื่นให้ลองค้นหาผลลัพธ์ที่ต้องการโดยใช้ภาพวาด (รูปที่ 19)

รูปที่ 19

วาดส่วน AB เท่ากับ 6 ของบางหน่วย แล้วแบ่งแต่ละหน่วยออกเป็น 3 ส่วนเท่าๆ กัน ในแต่ละหน่วย สามในสาม (3 / 3) ในกลุ่ม AB ทั้งหมดมีขนาดใหญ่กว่า 6 เท่า กล่าวคือ จ. 18/3. เราเชื่อมต่อด้วยความช่วยเหลือของวงเล็บเล็ก ๆ 18 ส่วนที่ได้รับ 2; จะมีเพียง 9 ตอนเท่านั้น ซึ่งหมายความว่าเศษส่วน 2/3 อยู่ในหน่วย b 9 ครั้ง หรืออีกนัยหนึ่ง เศษส่วน 2/3 มีค่าน้อยกว่าหน่วยจำนวนเต็ม 6 หน่วย 9 เท่า เพราะฉะนั้น,

จะรับผลลัพธ์นี้โดยไม่ต้องวาดโดยใช้การคำนวณเพียงอย่างเดียวได้อย่างไร เราจะโต้แย้งดังนี้: จำเป็นต้องหาร 6 ด้วย 2 / 3 นั่นคือต้องตอบคำถามว่ามีจำนวนเท่าใดใน 2 / 3 ใน 6 ลองหากันก่อน: 1 / 3 ได้กี่ครั้ง บรรจุอยู่ใน 6? ในหน่วยทั้งหมด - 3 ใน 3 และใน 6 หน่วย - มากกว่า 6 เท่าเช่น 18 ใน 3 ในการหาจำนวนนี้ เราต้องคูณ 6 ด้วย 3 ดังนั้น 1/3 อยู่ในหน่วย b 18 ครั้ง และ 2/3 อยู่ในหน่วย b ไม่ใช่ 18 ครั้ง แต่ครึ่งหนึ่งของหลายเท่า นั่นคือ 18: 2 = 9 . ดังนั้น เมื่อหาร 6 ด้วย 2 / 3 เราทำดังต่อไปนี้:

จากนี้ไปเราจะได้กฎสำหรับการหารจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน ในการหารจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณจำนวนเต็มนี้ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่กำหนด และทำให้ผลิตภัณฑ์นี้เป็นตัวเศษ หารด้วยตัวเศษของเศษส่วนที่กำหนด

เราเขียนกฎโดยใช้ตัวอักษร:

เพื่อให้กฎข้อนี้ชัดเจนอย่างสมบูรณ์ ควรจำไว้ว่าเศษส่วนสามารถถือเป็นผลหารได้ ดังนั้นจึงเป็นประโยชน์ในการเปรียบเทียบกฎที่พบกับกฎสำหรับการหารตัวเลขด้วยผลหารซึ่งกำหนดไว้ใน § 38 โปรดทราบว่าได้สูตรเดียวกันที่นั่น

เมื่อแบ่งตัวย่อได้เช่น:

4. หารเศษส่วนด้วยเศษส่วน

ปล่อยให้มันจำเป็นต้องหาร 3/4 ด้วย 3/8 อะไรจะบ่งบอกถึงจำนวนที่จะได้รับจากการหาร? มันจะตอบคำถามว่าเศษ 3/8 อยู่ในเศษส่วน 3/4 กี่ครั้ง เพื่อให้เข้าใจปัญหานี้ เรามาวาดรูปกัน (รูปที่ 20)

นำเซ็กเมนต์ AB มาเป็นหน่วย แบ่งเป็น 4 ส่วนเท่าๆ กัน และทำเครื่องหมาย 3 ส่วนดังกล่าว เซ็กเมนต์ AC จะเท่ากับ 3/4 ของเซ็กเมนต์ AB ตอนนี้ให้เราแบ่งส่วนเริ่มต้นแต่ละส่วนจากสี่ส่วนครึ่ง จากนั้นส่วน AB จะแบ่งออกเป็น 8 ส่วนเท่าๆ กัน และแต่ละส่วนนั้นจะเท่ากับ 1/8 ของส่วน AB เราเชื่อมต่อ 3 ส่วนดังกล่าวกับส่วนโค้ง จากนั้นแต่ละส่วน AD และ DC จะเท่ากับ 3/8 ของส่วน AB ภาพวาดแสดงให้เห็นว่าเซ็กเมนต์เท่ากับ 3/8 มีอยู่ในเซ็กเมนต์เท่ากับ 3/4 เท่ากับ 2 ครั้ง ผลลัพธ์ของการหารสามารถเขียนได้ดังนี้:

3 / 4: 3 / 8 = 2

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง ปล่อยให้ต้องหาร 15/16 ด้วย 3/32:

เราสามารถให้เหตุผลดังนี้: เราต้องหาตัวเลขที่เมื่อคูณด้วย 3 / 32 แล้ว จะได้ผลคูณเท่ากับ 15 / 16 มาเขียนการคำนวณดังนี้:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 ไม่ทราบหมายเลข X แต่งหน้า 15 / 16

1/32 ไม่ทราบหมายเลข X เป็น ,

32 / 32 หมายเลข X แต่งหน้า .

เพราะฉะนั้น,

ดังนั้น ในการหารเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณตัวเศษของเศษส่วนแรกด้วยตัวส่วนของวินาที และคูณตัวส่วนของเศษส่วนแรกด้วยตัวเศษของวินาที และทำให้ผลคูณแรกเป็นตัวเศษและ ตัวส่วนที่สอง

มาเขียนกฎกันโดยใช้ตัวอักษร:

เมื่อแบ่งตัวย่อได้เช่น:

5. การหารจำนวนคละ.

ในการหารจำนวนคละจะต้องแปลงเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมก่อน จากนั้นจึงนำเศษส่วนที่ได้มาหารตามกฎการหารตัวเลขเศษส่วน พิจารณาตัวอย่าง:

แปลงจำนวนคละเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม:

ทีนี้มาแยกกัน:

ดังนั้น ในการหารจำนวนคละ คุณต้องแปลงให้เป็นเศษเกินแล้วหารตามกฎการหารเศษส่วน

6. การหาตัวเลขจากเศษส่วน

ในบรรดางานต่าง ๆ ของเศษส่วน บางครั้งก็มีงานที่ให้ค่าของเศษส่วนของจำนวนที่ไม่รู้จักและจำเป็นต้องหาตัวเลขนี้ ปัญหาประเภทนี้จะตรงกันข้ามกับปัญหาการหาเศษส่วนของจำนวนที่กำหนด มีตัวเลขที่ให้มาและจำเป็นต้องหาเศษส่วนของตัวเลขนี้ ส่วนนี้ให้เศษของตัวเลขและต้องหาตัวเลขนี้เอง แนวคิดนี้จะยิ่งชัดเจนขึ้นหากเราหันไปหาแนวทางแก้ไขปัญหาประเภทนี้

ภารกิจที่ 1ในวันแรกกระจกเคลือบกระจก 50 บาน ซึ่งเท่ากับ 1/3 ของหน้าต่างทั้งหมดของบ้านที่สร้าง บ้านนี้มีหน้าต่างกี่บาน?

การตัดสินใจ.ปัญหาบอกว่าหน้าต่างกระจก 50 บานคิดเป็น 1/3 ของหน้าต่างทั้งหมดในบ้าน ซึ่งหมายความว่ามีหน้าต่างทั้งหมดเพิ่มขึ้น 3 เท่า กล่าวคือ

บ้านมีหน้าต่าง 150 บาน

ภารกิจที่ 2ทางร้านจำหน่ายแป้ง 1,500 กก. คิดเป็น 3/8 ของแป้งสต๊อกทั้งหมดในร้าน การจัดหาแป้งเบื้องต้นของร้านคือเท่าใด

การตัดสินใจ.จะเห็นได้จากสภาพปัญหาที่ว่าแป้งที่ขายได้ 1,500 กิโลกรัม คิดเป็น 3/8 ของสต๊อกทั้งหมด ซึ่งหมายความว่า 1/8 ของสต็อกนี้จะลดลง 3 เท่า กล่าวคือ ในการคำนวณ คุณต้องลด 1500 ลง 3 เท่า:

1,500: 3 = 500 (นั่นคือ 1/8 ของหุ้น)

แน่นอน สต็อกทั้งหมดจะใหญ่ขึ้น 8 เท่า เพราะฉะนั้น,

500 8 \u003d 4,000 (กก.)

อุปทานเริ่มต้นของแป้งในร้านคือ 4,000 กก.

จากการพิจารณาปัญหานี้ สามารถอนุมานกฎต่อไปนี้ได้

ในการหาตัวเลขด้วยค่าของเศษส่วนที่กำหนด ก็เพียงพอที่จะหารค่านี้ด้วยตัวเศษของเศษส่วนแล้วคูณผลลัพธ์ด้วยตัวส่วนของเศษส่วน

เราแก้ปัญหาสองอย่างในการหาตัวเลขจากเศษส่วนของมัน ปัญหาดังกล่าว อย่างที่เห็นโดยเฉพาะอย่างยิ่งจากปัญหาสุดท้าย ได้รับการแก้ไขโดยการกระทำสองอย่าง: การหาร (เมื่อพบส่วนหนึ่ง) และการคูณ (เมื่อพบจำนวนเต็ม)

อย่างไรก็ตาม หลังจากที่เราศึกษาเรื่องการหารเศษส่วนแล้ว ปัญหาข้างต้นสามารถแก้ไขได้ด้วยการกระทำเดียว กล่าวคือ การหารด้วยเศษส่วน

ตัวอย่างเช่น งานสุดท้ายสามารถแก้ไขได้ในการดำเนินการเดียวดังนี้:

ในอนาคตเราจะแก้ปัญหาการหาจำนวนด้วยเศษส่วนในการดำเนินการเดียว - การหาร

7. การหาตัวเลขตามเปอร์เซ็นต์

ในงานเหล่านี้ คุณจะต้องค้นหาตัวเลข โดยรู้สองสามเปอร์เซ็นต์ของตัวเลขนี้

ภารกิจที่ 1เมื่อต้นปีนี้ ฉันได้รับ 60 rubles จากธนาคารออมสิน รายได้จากเงินออมปีที่แล้ว ฉันใส่เงินในธนาคารออมสินไปเท่าไหร่? (สำนักงานเงินสดให้ผู้ฝาก 2% ของรายได้ต่อปี)

ความหมายของปัญหาคือ ฉันมีเงินจำนวนหนึ่งใส่ธนาคารออมสินและพักอยู่ที่นั่นเป็นเวลาหนึ่งปี หนึ่งปีผ่านไป ฉันได้รับ 60 rubles จากเธอ รายได้ ซึ่งเท่ากับ 2/100 ของเงินที่ฉันใส่เข้าไป ฉันฝากเงินเท่าไหร่?

ดังนั้นเมื่อรู้ส่วนของเงินนี้ซึ่งแสดงเป็นสองวิธี (ในรูเบิลและเศษส่วน) เราต้องหาจำนวนเงินทั้งหมดที่ยังไม่ทราบ นี่เป็นปัญหาธรรมดาในการหาตัวเลขจากเศษส่วนของมัน งานต่อไปนี้แก้ไขโดยแผนก:

ดังนั้นเงิน 3,000 รูเบิลจึงถูกนำเข้าสู่ธนาคารออมสิน

ภารกิจที่ 2ในสองสัปดาห์ ชาวประมงทำแผนรายเดือนสำเร็จ 64% โดยเตรียมปลาไว้ 512 ตัน แผนของพวกเขาคืออะไร?

จากสภาพปัญหาเป็นที่ทราบกันว่าชาวประมงทำแผนเสร็จบางส่วน ส่วนนี้เท่ากับ 512 ตัน ซึ่งคิดเป็น 64% ของแผน ไม่รู้ต้องเก็บปลากี่ตันตามแผน การแก้ปัญหาจะประกอบด้วยการหาตัวเลขนี้

งานดังกล่าวได้รับการแก้ไขโดยการหาร:

ดังนั้นตามแผน คุณต้องเตรียมปลา 800 ตัน

ภารกิจที่ 3รถไฟไปจากริกาไปมอสโก เมื่อเขาผ่านกิโลเมตรที่ 276 ผู้โดยสารคนหนึ่งถามเจ้าหน้าที่ควบคุมการผ่านว่าได้เดินทางไปแล้วเท่าใด สำหรับสิ่งนี้ ผู้ควบคุมรถตอบว่า: “เราครอบคลุมการเดินทางทั้งหมด 30% แล้ว” ไกลแค่ไหนจาก ริกา ไป มอสโก?

จะเห็นได้จากสภาพของปัญหาว่า 30% ของการเดินทางจากริกาไปมอสโกคือ 276 กม. เราต้องหาระยะทางทั้งหมดระหว่างเมืองเหล่านี้ นั่นคือ ในส่วนนี้ ให้หาทั้งหมด:

§ 91. ตัวเลขซึ่งกันและกัน แทนที่การหารด้วยการคูณ

นำเศษส่วน 2/3 และจัดเรียงตัวเศษใหม่ไปยังตำแหน่งของตัวส่วน เราได้ 3/2 เราได้เศษส่วน ส่วนกลับของอันนี้

เพื่อให้ได้เศษส่วนกลับกันของจำนวนนั้น คุณต้องใส่ตัวเศษแทนตัวส่วน และตัวส่วนแทนตัวเศษ ด้วยวิธีนี้ เราจะได้เศษส่วนที่เป็นส่วนกลับของเศษส่วนใดๆ ตัวอย่างเช่น:

3 / 4 , ย้อนกลับ 4 / 3 ; 5 / 6 , ย้อนกลับ 6 / 5

เศษส่วนสองส่วนที่มีคุณสมบัติที่ตัวเศษของตัวแรกเป็นตัวส่วนของวินาทีและตัวส่วนของที่หนึ่งเป็นตัวเศษของตัวที่สองเรียกว่า ผกผันซึ่งกันและกัน

ทีนี้ลองคิดดูว่าเศษส่วนใดที่จะเป็นส่วนกลับของ 1/2 แน่นอน, มันจะเป็น 2 / 1, หรือ 2 เมื่อหาส่วนกลับ, เราได้จำนวนเต็ม. และกรณีนี้ไม่โดดเดี่ยว ในทางกลับกัน สำหรับเศษส่วนทั้งหมดที่มีตัวเศษเป็น 1 (หนึ่ง) ส่วนกลับจะเป็นจำนวนเต็ม เช่น

1 / 3, ผกผัน 3; 1 / 5 ย้อนกลับ 5

เนื่องจากเมื่อเราพบส่วนกลับ เราก็พบกับจำนวนเต็ม ในอนาคตเราจะไม่พูดถึงส่วนกลับ แต่พูดถึงส่วนกลับ

ลองหาวิธีเขียนส่วนกลับของจำนวนเต็มกัน สำหรับเศษส่วน วิธีแก้ง่ายๆ คุณต้องใส่ตัวส่วนแทนตัวเศษ ในทำนองเดียวกัน คุณจะได้ส่วนกลับของจำนวนเต็ม เนื่องจากจำนวนเต็มใดๆ สามารถมีส่วนของ 1 ได้ ดังนั้นส่วนกลับของ 7 จะเป็น 1 / 7 เพราะ 7 \u003d 7 / 1; สำหรับหมายเลข 10 กลับเป็น 1 / 10 เนื่องจาก 10 = 10 / 1

ความคิดนี้สามารถแสดงออกได้อีกทางหนึ่ง: ส่วนกลับของจำนวนที่กำหนดนั้นได้มาจากการหารหนึ่งด้วยจำนวนที่กำหนด. ข้อความนี้เป็นจริงไม่เพียงแต่สำหรับจำนวนเต็มแต่สำหรับเศษส่วนด้วย ที่จริงแล้ว หากคุณต้องการเขียนตัวเลขที่เป็นส่วนกลับของเศษส่วน 5 / 9 เราก็สามารถเอา 1 แล้วหารด้วย 5 / 9 นั่นคือ

ตอนนี้ขอชี้ให้เห็นหนึ่ง คุณสมบัติตัวเลขซึ่งกันและกันซึ่งจะเป็นประโยชน์กับเรา: ผลคูณของจำนวนส่วนกลับกันมีค่าเท่ากับหนึ่งอย่างแท้จริง:

การใช้คุณสมบัตินี้ เราสามารถหาส่วนกลับได้ด้วยวิธีต่อไปนี้ ลองหาส่วนกลับของ 8 กัน

มาแทนด้วยตัวอักษร X แล้ว 8 X = 1 ดังนั้น X = 1 / 8 . มาหาเลขอื่น ผกผันของ 7/12 แทนด้วยตัวอักษร X แล้ว 7 / 12 X = 1 ดังนั้น X = 1:7 / 12 หรือ X = 12 / 7 .

เราแนะนำแนวคิดเรื่องจำนวนส่วนกลับเพื่อเสริมข้อมูลเกี่ยวกับการหารเศษส่วนเล็กน้อย

เมื่อเราหารเลข 6 ด้วย 3 / 5 เราจะทำสิ่งต่อไปนี้:

ให้ความสนใจเป็นพิเศษกับนิพจน์และเปรียบเทียบกับนิพจน์ที่กำหนด: .

หากเราแยกนิพจน์แยกกัน โดยไม่เกี่ยวข้องกับนิพจน์ก่อนหน้า ก็เป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ปัญหาว่ามันมาจากไหน: จากการหาร 6 ด้วย 3/5 หรือจากการคูณ 6 ด้วย 5/3 ในทั้งสองกรณีผลลัพธ์จะเหมือนกัน พูดได้เลยว่า ที่หารจำนวนหนึ่งด้วยอีกจำนวนหนึ่งสามารถแทนที่ได้ด้วยการคูณเงินปันผลด้วยส่วนกลับของตัวหาร

ตัวอย่างที่เราให้ไว้ด้านล่างยืนยันข้อสรุปนี้อย่างเต็มที่

มาดูการกระทำของเศษส่วนกันดีกว่า ซึ่งรวมถึงจำนวนเต็ม:

วิธีค้นหาค่าของนิพจน์ที่ตัวส่วนต่างกัน

วิธีลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน

ตัวอย่างการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน

การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน

เศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกันและการลบออก

คุณสมบัติเศษส่วน

วิธีนำเศษส่วนหลายส่วนมาเป็นตัวส่วนเดียวกัน

วิธีการลบและบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน

การลบและมีส่วนที่เป็นจำนวนเต็ม

การลบเศษส่วนจากจำนวนเต็ม

ทางเลือกของบรรณาธิการ