เครื่องหมายลบให้เครื่องหมายลบ ลบการกระทำ

"ศัตรูของศัตรูคือมิตรของฉัน"

ลบและบวกเป็นสัญญาณของจำนวนลบและบวกในคณิตศาสตร์ พวกเขาโต้ตอบกับตัวเองในรูปแบบที่แตกต่างกันดังนั้นเมื่อดำเนินการใด ๆ กับตัวเลขตัวอย่างเช่นการหารการคูณการลบการบวก ฯลฯ คุณต้องคำนึงถึง กฎของสัญญาณ... หากไม่มีกฎเหล่านี้คุณจะไม่สามารถแก้ปัญหาพีชคณิตหรือเรขาคณิตที่ง่ายที่สุดได้เลย หากไม่ทราบกฎเหล่านี้คุณจะไม่สามารถเรียนคณิตศาสตร์ได้เท่านั้น แต่ยังรวมถึงฟิสิกส์เคมีชีววิทยาและแม้แต่ภูมิศาสตร์ด้วย

มาดูกฎพื้นฐานของสัญญาณกันดีกว่า

แผนก.

ถ้าเราหาร "บวก" ด้วย "ลบ" เราจะได้ "ลบ" เสมอ ถ้าเราหาร "ลบ" ด้วย "บวก" เราก็จะได้ "ลบ" เช่นกัน ถ้าเราหารบวกด้วยบวกเราจะได้บวก ถ้าเราหาร "ลบ" ด้วย "ลบ" เราก็จะได้ "บวก" ด้วย

การคูณ

ถ้าเราคูณลบด้วยบวกเราจะได้ลบเสมอ ถ้าเราคูณ "บวก" ด้วย "ลบ" เราก็จะได้ "ลบ" เช่นกัน ถ้าเราคูณ "บวก" ด้วย "บวก" เราจะได้จำนวนบวกนั่นคือ "บวก" เช่นเดียวกันกับจำนวนลบสองตัว ถ้าเราคูณลบด้วยลบเราจะได้บวก

การลบและการบวก

พวกเขาตั้งอยู่บนหลักการอื่น ๆ อยู่แล้ว หากจำนวนลบมีค่าสัมบูรณ์มากกว่าค่าบวกของเราผลลัพธ์จะเป็นลบแน่นอน แน่นอนคุณสงสัยว่าโมดูลคืออะไรและทำไมจึงอยู่ที่นี่ ทุกอย่างง่ายมาก โมดูลัสคือค่าของตัวเลข แต่ไม่ได้ลงนาม ตัวอย่างเช่น -7 และ 3 Modulo -7 จะเป็นเพียง 7 และ 3 จะยังคงอยู่ 3 ด้วยเหตุนี้เราจึงเห็นว่า 7 มีค่ามากกว่านั่นคือปรากฎว่าจำนวนลบของเรามากกว่า มันจะออกมา -7 + 3 \u003d -4 สามารถทำได้ง่ายยิ่งขึ้น เพียงแค่ใส่จำนวนบวกไว้ก่อนแล้วมันจะออกมาเป็น 3-7 \u003d -4 บางทีอาจจะเข้าใจได้มากกว่าสำหรับใครบางคน การลบทำงานบนหลักการเดียวกันอย่างสมบูรณ์

เชิงลบสองประการทำให้เกิดการยืนยัน- นี่เป็นกฎที่เราเรียนรู้ที่โรงเรียนและนำมาใช้ตลอดชีวิต ใครในพวกเราสงสัยว่าทำไม? แน่นอนว่ามันง่ายกว่าที่จะจำคำพูดนี้โดยไม่มีคำถามที่ไม่จำเป็นและไม่ต้องเจาะลึกลงไปในสาระสำคัญของปัญหา ตอนนี้และหากไม่มีข้อมูลนั้นก็มีข้อมูลเพียงพอที่จะต้อง "แยกย่อย" แต่สำหรับผู้ที่ยังคงสนใจคำถามนี้เราจะพยายามให้คำอธิบายเกี่ยวกับปรากฏการณ์ทางคณิตศาสตร์นี้

ตั้งแต่สมัยโบราณผู้คนใช้ตัวเลขธรรมชาติที่เป็นบวก: 1, 2, 3, 4, 5, ... ตัวเลขนี้ใช้ในการนับปศุสัตว์พืชผลศัตรู ฯลฯ เมื่อบวกและคูณจำนวนบวกสองจำนวนจะได้จำนวนบวกเสมอเมื่อหารค่าบางค่าด้วยค่าอื่น ๆ จะไม่ได้จำนวนธรรมชาติเสมอไป - นี่คือลักษณะที่ตัวเลขเศษส่วนปรากฏขึ้น แล้วการลบล่ะ? ตั้งแต่วัยเด็กเรารู้ว่าจะดีกว่าที่จะเพิ่มน้อยลงไปใหญ่และลบส่วนที่เล็กออกจากค่าที่ใหญ่กว่าในขณะที่อีกครั้งเราไม่ใช้จำนวนลบ ปรากฎว่าถ้าฉันมีแอปเปิ้ล 10 ลูกฉันให้คนที่ไม่ถึง 10 หรือ 10 เท่านั้นฉันไม่สามารถให้ 13 แอปเปิ้ลได้เพราะฉันไม่มี ไม่จำเป็นต้องมีตัวเลขติดลบมาเป็นเวลานานแล้ว

ตั้งแต่ศตวรรษที่ 7 เท่านั้น จำนวนลบถูกใช้ในระบบการนับบางระบบเป็นค่าเสริมที่ช่วยให้คุณได้จำนวนบวกในคำตอบ

ลองพิจารณาตัวอย่าง, 6x - 30 \u003d 3x - 9 ในการค้นหาคำตอบจำเป็นต้องปล่อยให้คำศัพท์ที่ไม่รู้จักอยู่ทางด้านซ้ายและส่วนที่เหลือ - ทางด้านขวา: 6x - 3x \u003d 30 - 9, 3x \u003d 21, x \u003d 7. เมื่อแก้สมการนี้เราไม่พบตัวเลขติดลบเลย เราสามารถย้ายคำศัพท์ที่ไม่รู้จักไปทางด้านขวาและไม่รู้จัก - ไปทางซ้าย: 9 - 30 \u003d 3x - 6x, (-21) \u003d (-3x) เมื่อหารจำนวนลบด้วยจำนวนลบเราจะได้คำตอบที่เป็นบวก: x \u003d 7

เราเห็นอะไร?

การกระทำโดยใช้จำนวนลบควรนำเราไปสู่คำตอบเดียวกับการกระทำที่ใช้ตัวเลขบวกเท่านั้น เราไม่สามารถคิดถึงความไร้ประโยชน์ในทางปฏิบัติและความหมายของการกระทำได้อีกต่อไปมันช่วยให้เราแก้ปัญหาได้เร็วขึ้นมากโดยไม่ต้องลดสมการให้อยู่ในรูปแบบที่มีตัวเลขบวกเพียงอย่างเดียว ในตัวอย่างของเราเราไม่ได้ใช้การคำนวณที่ซับซ้อน แต่มีคำศัพท์จำนวนมากการคำนวณด้วยจำนวนลบสามารถทำให้งานของเราง่ายขึ้น

เมื่อเวลาผ่านไปหลังจากการทดลองและการคำนวณในระยะยาวมันเป็นไปได้ที่จะระบุกฎที่เป็นไปตามตัวเลขและการกระทำทั้งหมดที่มีต่อพวกเขา (ในทางคณิตศาสตร์เรียกว่าสัจพจน์) จากที่นี่มา สัจพจน์ที่ระบุว่าเมื่อคูณจำนวนลบสองจำนวนเราจะได้ค่าบวก

www.site ด้วยการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วนจำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

เมื่อฟังครูสอนคณิตศาสตร์นักเรียนส่วนใหญ่ใช้เนื้อหาเป็นสัจพจน์ ในขณะเดียวกันก็มีคนเพียงไม่กี่คนที่พยายามไปที่ด้านล่างของมันและหาสาเหตุว่าทำไม "ลบ" โดย "บวก" จึงให้เครื่องหมาย "ลบ" และเมื่อคูณจำนวนลบสองจำนวนก็จะกลายเป็นบวก

กฎหมายคณิตศาสตร์

ผู้ใหญ่ส่วนใหญ่ไม่สามารถอธิบายให้ตนเองหรือบุตรหลานเข้าใจได้ว่าเหตุใดจึงเป็นเช่นนั้น พวกเขาเรียนรู้เนื้อหานี้อย่างแน่นหนาในโรงเรียน แต่ไม่ได้พยายามที่จะคิดว่ากฎเหล่านี้มาจากไหน แต่เปล่าประโยชน์. บ่อยครั้งที่เด็กสมัยใหม่ไม่ค่อยไว้วางใจพวกเขาจำเป็นต้องทำความเข้าใจกับประเด็นนี้ว่าทำไม“ บวก” สำหรับ“ ลบ” จึงให้“ ลบ” และบางครั้งทอมบอยก็ถามคำถามที่ยุ่งยากโดยเฉพาะเพื่อที่จะสนุกกับช่วงเวลาที่ผู้ใหญ่ไม่สามารถให้คำตอบที่เข้าใจได้ และมันเป็นหายนะจริงๆถ้าครูสาวต้องตกที่นั่งลำบาก ...

อย่างไรก็ตามควรสังเกตว่ากฎข้างต้นใช้ได้ทั้งการคูณและการหาร ผลคูณของจำนวนลบและจำนวนบวกจะให้ "ลบ" เท่านั้น หากเรากำลังพูดถึงตัวเลขสองหลักที่มีเครื่องหมาย "-" ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนบวก เช่นเดียวกับการแบ่ง หากตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งเป็นลบผลหารจะมีเครื่องหมาย "-" ด้วย

เพื่ออธิบายความถูกต้องของกฎคณิตศาสตร์นี้จำเป็นต้องกำหนดสัจพจน์ของวงแหวน แต่ก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจว่ามันคืออะไร ในทางคณิตศาสตร์โดยปกติแหวนจะเรียกว่าเซตที่มีการดำเนินการสองอย่างที่มีองค์ประกอบสองอย่างเกี่ยวข้องกัน แต่จะดีกว่าถ้าจะจัดการกับสิ่งนี้ด้วยตัวอย่าง

แหวนสัจพจน์

มีกฎหมายทางคณิตศาสตร์หลายประการ

• คนแรกไม่สามารถถูกแทนที่ได้ตามที่เขากล่าว C + V \u003d V + C
• อย่างที่สองเรียกว่าการรวมกัน (V + C) + D \u003d V + (C + D)

นอกจากนี้ยังอาจมีการคูณ (V x C) x D \u003d V x (C x D)

ไม่มีใครยกเลิกกฎที่วงเล็บเปิด (V + C) x D \u003d V x D + C x D ก็จริงเช่นกันที่ C x (V + D) \u003d C x V + C x D

นอกจากนี้ยังเป็นที่ยอมรับว่าสามารถนำองค์ประกอบพิเศษที่เป็นกลางเพิ่มเติมเข้ามาในวงแหวนได้โดยใช้สิ่งต่อไปนี้เป็นจริง: C + 0 \u003d C นอกจากนี้สำหรับ C แต่ละตัวยังมีองค์ประกอบที่ตรงกันข้ามซึ่งสามารถ แสดงเป็น (-C) ในกรณีนี้ C + (-C) \u003d 0

ที่มาของสัจพจน์สำหรับจำนวนลบ

เมื่อยอมรับข้อความข้างต้นแล้วเราสามารถตอบคำถาม: "เครื่องหมาย" บวก "สำหรับ" ลบ "คืออะไร? เมื่อทราบความจริงเกี่ยวกับการคูณจำนวนลบจำเป็นต้องยืนยันว่าแท้จริง (-C) x V \u003d - (C x V) และด้วยว่าความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง: (- (- C)) \u003d C

ในการทำเช่นนี้ก่อนอื่นคุณจะต้องพิสูจน์ว่าแต่ละองค์ประกอบมี "พี่ชาย" ที่อยู่ตรงข้ามกันเพียงตัวเดียว พิจารณาตัวอย่างการพิสูจน์ต่อไปนี้ ลองจินตนาการว่าสำหรับ C สองจำนวนนั้นตรงกันข้าม - V และ D ตามด้วย C + V \u003d 0 และ C + D \u003d 0 นั่นคือ C + V \u003d 0 \u003d C + D การจำกฎการกระจัดและเกี่ยวกับ คุณสมบัติของเลข 0 เราสามารถพิจารณาผลรวมของตัวเลขทั้งสามได้: C, V และ D ลองหาค่าของ V มันเป็นตรรกะที่ V \u003d V + 0 \u003d V + (C + D) \u003d V + C + D เนื่องจากค่าของ C + D ตามที่ยอมรับข้างต้นเท่ากับ 0 ดังนั้น V \u003d V + C + D

ค่าของ D จะแสดงในลักษณะเดียวกัน: D \u003d V + C + D \u003d (V + C) + D \u003d 0 + D \u003d D จากสิ่งนี้จะเห็นได้ชัดว่า V \u003d D

เพื่อให้เข้าใจว่าเหตุใด "บวก" สำหรับ "ลบ" จะให้ "ลบ" จึงจำเป็นต้องเข้าใจสิ่งต่อไปนี้ ดังนั้นสำหรับองค์ประกอบ (-C), C และ (- (- C)) จะตรงข้ามกันนั่นคือพวกมันมีค่าเท่ากัน

จากนั้นจะเห็นได้ชัดว่า 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V ซึ่งหมายความว่า C x V ตรงข้ามกับ (-) C x V ดังนั้น (- C) x V \u003d - (C x V)

เพื่อความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์ที่สมบูรณ์จำเป็นต้องยืนยันด้วยว่า 0 x V \u003d 0 สำหรับองค์ประกอบใด ๆ หากคุณทำตามตรรกะแล้ว 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V ซึ่งหมายความว่าการเพิ่มผลิตภัณฑ์ 0 x V จะไม่ทำให้จำนวนที่ตั้งไว้เปลี่ยนแปลง แต่อย่างใด ท้ายที่สุดผลิตภัณฑ์นี้เป็นศูนย์

เมื่อรู้สัจพจน์เหล่านี้เราสามารถอนุมานได้ไม่เพียงว่า "บวก" บน "ลบ" จะให้จำนวนเท่าใด แต่ยังรวมถึงสิ่งที่ได้จากการคูณจำนวนลบด้วย

การคูณและการหารจำนวนสองจำนวนด้วยเครื่องหมาย "-"

หากคุณไม่เจาะลึกถึงความแตกต่างทางคณิตศาสตร์คุณสามารถลองใช้วิธีที่ง่ายกว่านี้ในการอธิบายกฎของการกระทำด้วยตัวเลขเชิงลบ

สมมติว่า C - (-V) \u003d D ตามนี้ C \u003d D + (-V) นั่นคือ C \u003d D - V เราถ่ายโอน V และเราได้ C + V \u003d D นั่นคือ C + V \u003d C - (-V) ตัวอย่างนี้อธิบายว่าเหตุใดในนิพจน์ที่มี "minuses" สองตัวติดกันสัญญาณที่กล่าวถึงควรเปลี่ยนเป็น "plus" ตอนนี้เรามาจัดการกับการคูณกัน

(-C) x (-V) \u003d D คุณสามารถเพิ่มและลบผลิตภัณฑ์ที่เหมือนกันสองชิ้นลงในนิพจน์ซึ่งจะไม่เปลี่ยนค่าของมัน: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d ง.

จำกฎสำหรับการทำงานกับวงเล็บเราได้รับ:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V \u003d D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V \u003d D;

3) (-C) x 0 + C x V \u003d D;

ตามมาจากสิ่งนี้ว่า C x V \u003d (-C) x (-V)

ในทำนองเดียวกันคุณสามารถพิสูจน์ได้ว่าการหารจำนวนลบสองจำนวนจะทำให้ได้จำนวนบวก

กฎคณิตศาสตร์ทั่วไป

แน่นอนว่าคำอธิบายดังกล่าวใช้ไม่ได้กับนักเรียนระดับประถมศึกษาที่เพิ่งเริ่มเรียนรู้ตัวเลขเชิงลบเชิงนามธรรม มันจะดีกว่าสำหรับพวกเขาที่จะอธิบายเกี่ยวกับวัตถุที่มองเห็นได้โดยปรับเปลี่ยนคำที่คุ้นเคยผ่านกระจกมอง ตัวอย่างเช่นของเล่นที่ประดิษฐ์ขึ้น แต่ไม่มีอยู่แล้ววางอยู่ที่นั่น สามารถแสดงด้วยเครื่องหมาย "-" การคูณของวัตถุคล้ายกระจกสองชิ้นจะโอนวัตถุเหล่านั้นไปยังอีกโลกหนึ่งซึ่งมีค่าเท่ากับปัจจุบันนั่นคือเราจึงมีจำนวนบวก แต่การคูณจำนวนลบเชิงนามธรรมด้วยจำนวนบวกจะให้ผลลัพธ์ที่ทุกคนคุ้นเคยเท่านั้น หลังจากทั้งหมด "บวก" คูณด้วย "ลบ" จะให้ "ลบ" จริงอยู่ที่เด็ก ๆ ไม่พยายามอย่างหนักเกินไปที่จะเข้าใจความแตกต่างทางคณิตศาสตร์ทั้งหมด

แม้ว่าหากคุณเผชิญกับความจริงสำหรับหลาย ๆ คนแม้จะมีการศึกษาที่สูงขึ้น แต่กฎหลายข้อก็ยังคงเป็นปริศนา ทุกคนยอมรับในสิ่งที่ครูสอนพวกเขาโดยไม่ลังเลที่จะเจาะลึกความยากลำบากทั้งหมดที่คณิตศาสตร์เต็มไปด้วย "ลบ" สำหรับ "ลบ" จะให้ "บวก" - ทุกคนรู้ดีโดยไม่มีข้อยกเว้น นี่เป็นจริงสำหรับทั้งจำนวนเต็มและเศษส่วน

เมื่อฟังครูสอนคณิตศาสตร์นักเรียนส่วนใหญ่ใช้เนื้อหาเป็นสัจพจน์ ในขณะเดียวกันก็มีคนเพียงไม่กี่คนที่พยายามไปที่ด้านล่างของมันและหาสาเหตุว่าทำไม "ลบ" โดย "บวก" จึงให้เครื่องหมาย "ลบ" และเมื่อคูณจำนวนลบสองจำนวนก็จะกลายเป็นบวก

กฎหมายคณิตศาสตร์

ผู้ใหญ่ส่วนใหญ่ไม่สามารถอธิบายให้ตนเองหรือบุตรหลานเข้าใจได้ว่าเหตุใดจึงเป็นเช่นนั้น พวกเขาเรียนรู้เนื้อหานี้อย่างแน่นหนาในโรงเรียน แต่ไม่ได้พยายามที่จะคิดว่ากฎเหล่านี้มาจากไหน แต่เปล่าประโยชน์. บ่อยครั้งที่เด็กสมัยใหม่ไม่ค่อยไว้วางใจพวกเขาจำเป็นต้องทำความเข้าใจกับประเด็นนี้ว่าทำไม“ บวก” สำหรับ“ ลบ” จึงให้“ ลบ” และบางครั้งทอมบอยก็ถามคำถามที่ยุ่งยากโดยเฉพาะเพื่อที่จะสนุกกับช่วงเวลาที่ผู้ใหญ่ไม่สามารถให้คำตอบที่เข้าใจได้ และมันเป็นหายนะจริงๆถ้าครูสาวต้องตกที่นั่งลำบาก ...

อย่างไรก็ตามควรสังเกตว่ากฎข้างต้นใช้ได้ทั้งการคูณและการหาร ผลคูณของจำนวนลบและจำนวนบวกจะให้ "ลบ" เท่านั้น หากเรากำลังพูดถึงตัวเลขสองหลักที่มีเครื่องหมาย "-" ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนบวก เช่นเดียวกับการแบ่ง หากตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งเป็นลบผลหารจะมีเครื่องหมาย "-" ด้วย

เพื่ออธิบายความถูกต้องของกฎคณิตศาสตร์นี้จำเป็นต้องกำหนดสัจพจน์ของวงแหวน แต่ก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจว่ามันคืออะไร ในทางคณิตศาสตร์โดยปกติแหวนจะเรียกว่าเซตที่มีการดำเนินการสองอย่างที่มีองค์ประกอบสองอย่างเกี่ยวข้องกัน แต่จะดีกว่าถ้าจะจัดการกับสิ่งนี้ด้วยตัวอย่าง

แหวนสัจพจน์

มีกฎหมายทางคณิตศาสตร์หลายประการ

• คนแรกไม่สามารถถูกแทนที่ได้ตามที่เขากล่าว C + V \u003d V + C
• อย่างที่สองเรียกว่าการรวมกัน (V + C) + D \u003d V + (C + D)

นอกจากนี้ยังอาจมีการคูณ (V x C) x D \u003d V x (C x D)

ไม่มีใครยกเลิกกฎที่วงเล็บเปิด (V + C) x D \u003d V x D + C x D ก็จริงเช่นกันที่ C x (V + D) \u003d C x V + C x D

นอกจากนี้ยังเป็นที่ยอมรับว่าสามารถนำองค์ประกอบพิเศษที่เป็นกลางเพิ่มเติมเข้ามาในวงแหวนได้โดยใช้สิ่งต่อไปนี้เป็นจริง: C + 0 \u003d C นอกจากนี้สำหรับ C แต่ละตัวยังมีองค์ประกอบที่ตรงกันข้ามซึ่งสามารถ แสดงเป็น (-C) ในกรณีนี้ C + (-C) \u003d 0

ที่มาของสัจพจน์สำหรับจำนวนลบ

เมื่อยอมรับข้อความข้างต้นแล้วเราสามารถตอบคำถาม: "เครื่องหมาย" บวก "สำหรับ" ลบ "คืออะไร? เมื่อทราบความจริงเกี่ยวกับการคูณจำนวนลบจำเป็นต้องยืนยันว่าแท้จริง (-C) x V \u003d - (C x V) และด้วยว่าความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง: (- (- C)) \u003d C

ในการทำเช่นนี้ก่อนอื่นคุณจะต้องพิสูจน์ว่าแต่ละองค์ประกอบมี "พี่ชาย" ที่อยู่ตรงข้ามกันเพียงตัวเดียว พิจารณาตัวอย่างการพิสูจน์ต่อไปนี้ ลองจินตนาการว่าสำหรับ C สองจำนวนนั้นตรงกันข้าม - V และ D ตามด้วย C + V \u003d 0 และ C + D \u003d 0 นั่นคือ C + V \u003d 0 \u003d C + D การจำกฎการกระจัดและเกี่ยวกับ คุณสมบัติของเลข 0 เราสามารถพิจารณาผลรวมของตัวเลขทั้งสามได้: C, V และ D ลองหาค่าของ V มันเป็นตรรกะที่ V \u003d V + 0 \u003d V + (C + D) \u003d V + C + D เนื่องจากค่าของ C + D ตามที่ยอมรับข้างต้นเท่ากับ 0 ดังนั้น V \u003d V + C + D

ค่าของ D จะแสดงในลักษณะเดียวกัน: D \u003d V + C + D \u003d (V + C) + D \u003d 0 + D \u003d D จากสิ่งนี้จะเห็นได้ชัดว่า V \u003d D

เพื่อให้เข้าใจว่าเหตุใด "บวก" สำหรับ "ลบ" จะให้ "ลบ" จึงจำเป็นต้องเข้าใจสิ่งต่อไปนี้ ดังนั้นสำหรับองค์ประกอบ (-C), C และ (- (- C)) จะตรงข้ามกันนั่นคือพวกมันมีค่าเท่ากัน

จากนั้นจะเห็นได้ชัดว่า 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V ซึ่งหมายความว่า C x V ตรงข้ามกับ (-) C x V ดังนั้น (- C) x V \u003d - (C x V)

เพื่อความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์ที่สมบูรณ์จำเป็นต้องยืนยันด้วยว่า 0 x V \u003d 0 สำหรับองค์ประกอบใด ๆ หากคุณทำตามตรรกะแล้ว 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V ซึ่งหมายความว่าการเพิ่มผลิตภัณฑ์ 0 x V จะไม่ทำให้จำนวนที่ตั้งไว้เปลี่ยนแปลง แต่อย่างใด ท้ายที่สุดผลิตภัณฑ์นี้เป็นศูนย์

เมื่อรู้สัจพจน์เหล่านี้เราสามารถอนุมานได้ไม่เพียงว่า "บวก" บน "ลบ" จะให้จำนวนเท่าใด แต่ยังรวมถึงสิ่งที่ได้จากการคูณจำนวนลบด้วย

การคูณและการหารจำนวนสองจำนวนด้วยเครื่องหมาย "-"

หากคุณไม่เจาะลึกถึงความแตกต่างทางคณิตศาสตร์คุณสามารถลองใช้วิธีที่ง่ายกว่านี้ในการอธิบายกฎของการกระทำด้วยตัวเลขเชิงลบ

สมมติว่า C - (-V) \u003d D ตามนี้ C \u003d D + (-V) นั่นคือ C \u003d D - V เราถ่ายโอน V และเราได้ C + V \u003d D นั่นคือ C + V \u003d C - (-V) ตัวอย่างนี้อธิบายว่าเหตุใดในนิพจน์ที่มี "minuses" สองตัวติดกันสัญญาณที่กล่าวถึงควรเปลี่ยนเป็น "plus" ตอนนี้เรามาจัดการกับการคูณกัน

(-C) x (-V) \u003d D คุณสามารถเพิ่มและลบผลิตภัณฑ์ที่เหมือนกันสองชิ้นลงในนิพจน์ซึ่งจะไม่เปลี่ยนค่าของมัน: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d ง.

จำกฎสำหรับการทำงานกับวงเล็บเราได้รับ:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V \u003d D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V \u003d D;

3) (-C) x 0 + C x V \u003d D;

ตามมาจากสิ่งนี้ว่า C x V \u003d (-C) x (-V)

ในทำนองเดียวกันคุณสามารถพิสูจน์ได้ว่าการหารจำนวนลบสองจำนวนจะทำให้ได้จำนวนบวก

กฎคณิตศาสตร์ทั่วไป

แน่นอนว่าคำอธิบายดังกล่าวใช้ไม่ได้กับนักเรียนระดับประถมศึกษาที่เพิ่งเริ่มเรียนรู้ตัวเลขเชิงลบเชิงนามธรรม มันจะดีกว่าสำหรับพวกเขาที่จะอธิบายเกี่ยวกับวัตถุที่มองเห็นได้โดยปรับเปลี่ยนคำที่คุ้นเคยผ่านกระจกมอง ตัวอย่างเช่นของเล่นที่ประดิษฐ์ขึ้น แต่ไม่มีอยู่แล้ววางอยู่ที่นั่น สามารถแสดงด้วยเครื่องหมาย "-" การคูณของวัตถุที่เป็นแก้วสองใบจะถ่ายโอนพวกมันไปยังโลกอื่นซึ่งเท่ากับปัจจุบันนั่นคือเราจึงมีจำนวนบวก แต่การคูณจำนวนลบเชิงนามธรรมด้วยจำนวนบวกจะให้ผลลัพธ์ที่ทุกคนคุ้นเคยเท่านั้น หลังจากทั้งหมด "บวก" คูณด้วย "ลบ" จะให้ "ลบ" จริงอยู่ที่เด็ก ๆ ไม่พยายามอย่างหนักเกินไปที่จะเข้าใจความแตกต่างทางคณิตศาสตร์ทั้งหมด

แม้ว่าหากคุณเผชิญกับความจริงสำหรับหลาย ๆ คนแม้จะมีการศึกษาที่สูงขึ้น แต่กฎหลายข้อก็ยังคงเป็นปริศนา ทุกคนยอมรับในสิ่งที่ครูสอนพวกเขาโดยไม่ลังเลที่จะเจาะลึกความยากลำบากทั้งหมดที่คณิตศาสตร์เต็มไปด้วย "ลบ" สำหรับ "ลบ" จะให้ "บวก" - ทุกคนรู้ดีโดยไม่มีข้อยกเว้น นี่เป็นจริงสำหรับทั้งจำนวนเต็มและเศษส่วน

เราเข้าใจการคูณถูกต้องหรือไม่?

"- A และ B นั่งอยู่บนท่อ A ล้มลง B หายไปมีอะไรเหลืออยู่ในท่อ"
- จดหมายของคุณฉันยังคงอยู่ "

(จากภาพยนตร์เรื่อง Teens in the Universe)

เหตุใดจึงเป็นศูนย์เมื่อคูณจำนวนด้วยศูนย์

7 * 0 = 0

ทำไมถึงเป็นบวกเมื่อคูณจำนวนลบสองจำนวน?

7 * (-3) = + 21

สิ่งที่ครูไม่คิดขึ้นมาเพื่อให้คำตอบสำหรับสองคำถามนี้

แต่ไม่มีใครกล้าที่จะยอมรับว่ามีข้อผิดพลาดทางความหมายสามประการในการคำนวณการคูณ!

มีข้อผิดพลาดในการคำนวณทางคณิตศาสตร์พื้นฐานหรือไม่? ท้ายที่สุดคณิตศาสตร์วางตำแหน่งตัวเองเป็นวิทยาศาสตร์ที่แน่นอน ...

หนังสือเรียนคณิตศาสตร์ของโรงเรียนไม่ได้ให้คำตอบสำหรับคำถามเหล่านี้โดยแทนที่คำอธิบายด้วยกฎที่ต้องจำ บางทีพวกเขาอาจพบว่าหัวข้อนี้ยากที่จะอธิบายในโรงเรียนมัธยม? มาลองทำความเข้าใจกับปัญหาเหล่านี้

7 - คูณได้ 3 เป็นปัจจัย 21- งาน

ตามข้อความอย่างเป็นทางการ:

• การคูณจำนวนด้วยตัวเลขอื่นหมายถึงการเพิ่มตัวคูณให้มากที่สุดเท่าที่ตัวคูณกำหนด

ตามสูตรที่ยอมรับปัจจัย 3 บอกเราว่าควรมีสามเจ็ดทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

แต่สูตรคูณนี้ไม่สามารถอธิบายคำถามข้างต้นได้

แก้ไขถ้อยคำของการคูณ

โดยปกติแล้วในทางคณิตศาสตร์มีความหมายมาก แต่ไม่ได้พูดถึงหรือจดบันทึกไว้

นี่หมายถึงเครื่องหมายบวกหน้าเจ็ดตัวแรกทางด้านขวาของการเท่ากัน ลองเขียนบวกนี้

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

แต่ที่เจ็ดแรกจะถูกเพิ่มเข้ามา ซึ่งหมายความว่าเป็นศูนย์แน่นอน ลองเขียนลงไปและ 0

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราคูณด้วยสามลบเจ็ด?

7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = - 21

เรากำลังเขียนการเพิ่มของตัวคูณ -7 อันที่จริงเรากำลังทำการลบหลาย ๆ ตัวจากศูนย์ มาขยายวงเล็บ

7 * 3 = 0 - 7 - 7 - 7 = - 21

ตอนนี้เราสามารถกำหนดสูตรการคูณได้อย่างแม่นยำมากขึ้น

• การคูณคือการบวกหลาย ๆ ศูนย์ (หรือการลบจากศูนย์) ของตัวคูณ (-7) หลาย ๆ ครั้งตามที่ตัวคูณระบุ ตัวประกอบ (3) และเครื่องหมาย (+ หรือ -) ระบุจำนวนการบวกเป็นศูนย์หรือการลบจากศูนย์

สูตรการคูณที่ได้รับการปรับปรุงและปรับเปลี่ยนไปบ้างแล้วอธิบาย "กฎของสัญญาณ" ในการคูณได้อย่างง่ายดายเมื่อตัวคูณเป็นลบ

7 * (-3) - ต้องมีเครื่องหมายลบสามตัวหลังศูนย์ \u003d 0 - (+7) - (+7) - (+7) \u003d - 21

7 * (-3) - อีกครั้งควรมีเครื่องหมายลบสามตัวหลังจากศูนย์ \u003d

0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

การคูณด้วยศูนย์

7 * 0 \u003d 0 + ... ไม่มีการดำเนินการเพิ่มเป็นศูนย์

หากการคูณเพิ่มเป็นศูนย์และตัวคูณระบุจำนวนการดำเนินการที่จะเพิ่มเป็นศูนย์ดังนั้นตัวคูณจะแสดงว่าไม่มีอะไรถูกเพิ่มเข้าไปในศูนย์ ดังนั้นศูนย์ยังคงอยู่

ดังนั้นในสูตรการคูณที่มีอยู่เราพบข้อผิดพลาดเชิงความหมายสามประการที่ขัดขวางความเข้าใจของ "กฎของสัญญาณ" สองข้อ (เมื่อตัวประกอบเป็นลบ) และการคูณจำนวนด้วยศูนย์

1. คุณไม่จำเป็นต้องเพิ่มตัวคูณ แต่เพิ่มเป็นศูนย์
2. การคูณไม่เพียง แต่เพิ่มเป็นศูนย์เท่านั้น แต่ยังลบออกจากศูนย์ด้วย
3. ตัวประกอบและเครื่องหมายของมันไม่ได้แสดงจำนวนพจน์ แต่เป็นจำนวนเครื่องหมายบวกหรือลบในการขยายการคูณเป็นพจน์ (หรือลบ)

เมื่ออธิบายการกำหนดได้ค่อนข้างชัดเจนเราสามารถอธิบายกฎของสัญญาณสำหรับการคูณและการคูณจำนวนด้วยศูนย์โดยไม่ต้องใช้กฎการกระจัดของการคูณโดยไม่มีกฎการแจกแจงโดยไม่ต้องวาดการเปรียบเทียบด้วยเส้นจำนวนโดยไม่มีสมการ โดยไม่มีการพิสูจน์จากฝั่งตรงข้าม ฯลฯ

กฎเครื่องหมายสำหรับสูตรการคูณที่ละเอียดอ่อนนั้นง่ายมากที่จะได้มา

7 * (+3) = 0 + (+7) + (+7) + (+7) = +21 (++ = +)

7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (- + = -)

7 * (-3) = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (+ - = -)

7 * (-3) = 0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- - = +)

ตัวคูณและเครื่องหมาย (+3 หรือ -3) แสดงจำนวนเครื่องหมาย "+" หรือ "-" ทางด้านขวาของค่าความเท่าเทียมกัน

สูตรการคูณที่ปรับเปลี่ยนแล้วสอดคล้องกับการดำเนินการเพิ่มจำนวนให้เป็นเลขยกกำลัง

2^3 = 1*2*2*2 = 8

2 ^ 0 \u003d 1 (1 ไม่คูณหรือหารด้วยสิ่งใด ๆ ดังนั้นจึงยังคงเป็น 1)

2^-1 = 1: 2 = 1/2

2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4

2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8

นักคณิตศาสตร์ยอมรับว่าการเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังบวกคือการคูณหนึ่งซ้ำแล้วซ้ำเล่า และการเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังลบคือการหารหลาย ๆ ตัว

การดำเนินการคูณควรคล้ายกับการดำเนินการเลขชี้กำลัง

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*2 = 0 + 2 + 2 = 4

2 * 0 \u003d 0 (ไม่มีอะไรถูกเพิ่มเป็นศูนย์และไม่มีอะไรหักออกจากศูนย์)

2*-1 = 0 - 2 = -2

2*-2 = 0 - 2 - 2 = -4

2*-3 = 0 - 2 - 2 - 2 = -6

สูตรการคูณที่ปรับเปลี่ยนแล้วไม่ได้เปลี่ยนแปลงอะไรในคณิตศาสตร์ แต่ส่งกลับความหมายดั้งเดิมของการดำเนินการคูณอธิบาย "กฎของสัญญาณ" การคูณจำนวนด้วยศูนย์การคูณด้วยเลขชี้กำลัง

ลองตรวจสอบว่าสูตรการคูณของเราสอดคล้องกับการดำเนินการหารหรือไม่

15: 5 \u003d 3 (การคูณผกผัน 5 * 3 \u003d 15)

ผลหาร (3) สอดคล้องกับจำนวนของการดำเนินการบวกกับศูนย์ (+3) ในการคูณ

การหาร 15 ด้วย 5 หมายถึงการหาจำนวนครั้งที่คุณต้องลบ 5 ออกจาก 15 สิ่งนี้ทำได้โดยการลบต่อเนื่องจนกว่าจะได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์

ในการหาผลลัพธ์ของการหารคุณต้องนับจำนวนเครื่องหมายลบ มีสามคน

15: 5 \u003d 3 การดำเนินการลบห้าจาก 15 เพื่อให้ได้ศูนย์

15 - 5 - 5 - 5 \u003d 0 (หาร 15: 5)

0 + 5 + 5 + 5 \u003d 15 (การคูณ 5 * 3)

หารด้วยเศษเหลือ

17 - 5 - 5 - 5 - 2 = 0

17: 5 \u003d 3 และ 2 ส่วนที่เหลือ

ถ้ามีการหารด้วยเศษเหลือทำไมไม่คูณด้วยรยางค์?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

ดูความแตกต่างของการใช้ถ้อยคำบนเครื่องคิดเลข

สูตรการคูณที่มีอยู่ (สามเทอม)

10 + 10 + 10 = 30

แก้ไขถ้อยคำของการคูณ (การดำเนินการสามครั้งในการบวกเป็นศูนย์)

0 + 10 = = = 30

(กด "เท่ากับ" สามครั้ง)

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

ตัวคูณ 3 แสดงว่าต้องเพิ่มตัวคูณ 10 เป็นศูนย์สามครั้ง

ลองคูณ (-10) * (-3) โดยเพิ่มเทอม (-10) ลบสามครั้ง!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 - 10 - 10 = -30 ?

เครื่องหมายลบหมายถึงอะไรสำหรับสาม? อาจจะเป็นเช่นนั้น?

(-10) * (-3) = (-10) - (-10) - (-10) = - 10 + 10 + 10 = 10?

โอป ... ฉันไม่สามารถแยกย่อยผลิตภัณฑ์ให้เป็นผลรวม (หรือผลต่าง) ของข้อกำหนด (-10)

ด้วยการแก้ไขถ้อยคำนี้จะทำได้อย่างถูกต้อง

0 - (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 - (-10) - (-10) - (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

ตัวคูณ (-3) ระบุว่าตัวคูณ (-10) ต้องถูกลบออกจากศูนย์สามครั้ง

ลงนามในกฎการบวกและการลบ

ด้านบนแสดงให้เห็นวิธีง่ายๆในการได้มาซึ่งกฎของเครื่องหมายในการคูณโดยการเปลี่ยนความหมายของสูตรการคูณ

แต่สำหรับการหามาเราใช้กฎของเครื่องหมายสำหรับการบวกและการลบ เกือบจะเหมือนกับการคูณ มาสร้างภาพของกฎของสัญญาณสำหรับการบวกและการลบเพื่อให้ผู้ไล่ระดับคนแรกสามารถเข้าใจได้

"ลบ" "ลบ" คืออะไร?

ไม่มีอะไรเป็นลบในธรรมชาติ ไม่มีอุณหภูมิติดลบไม่มีทิศทางลบไม่มีมวลลบไม่มีประจุลบ ... แม้แต่ไซน์โดยธรรมชาติของมันก็เป็นบวกได้เท่านั้น

แต่นักคณิตศาสตร์คิดเลขติดลบ เพื่ออะไร? "ลบ" หมายถึงอะไร?

ลบหมายถึงทิศทางตรงกันข้าม ซ้ายขวา. ด้านบนด้านล่าง ตามเข็มนาฬิกา - ทวนเข็มนาฬิกา ไปมา. เย็นร้อน. หนักเบา ช้า - เร็ว. หากคุณคิดเกี่ยวกับเรื่องนี้มีตัวอย่างอื่น ๆ อีกมากมายที่ใช้ค่าลบได้สะดวก

ในโลกที่เรารู้จักอินฟินิตี้เริ่มต้นจากศูนย์และไปที่บวกอินฟินิตี้

"มินัสอินฟินิตี้" ไม่มีอยู่จริงในโลกแห่งความเป็นจริง นี่คือหลักการทางคณิตศาสตร์แบบเดียวกับแนวคิดของ "ลบ"

ดังนั้น "ลบ" จึงหมายถึงทิศทางตรงกันข้าม: การเคลื่อนที่การหมุนกระบวนการการคูณการบวก ลองวิเคราะห์ทิศทางต่างๆเมื่อบวกและลบตัวเลขบวกและลบ (เพิ่มขึ้นในทิศทางอื่น)

ความซับซ้อนในการทำความเข้าใจกฎของเครื่องหมายสำหรับการบวกและการลบเกิดจากการที่พวกเขาพยายามอธิบายกฎเหล่านี้บนเส้นจำนวน ในบรรทัดตัวเลขจะมีการผสมส่วนประกอบที่แตกต่างกันสามส่วนซึ่งได้มาจากกฎ และเนื่องจากการผสมผสานเนื่องจากการรวมแนวคิดที่แตกต่างกันเข้าด้วยกันทำให้เกิดความยากลำบากในการทำความเข้าใจ

เพื่อให้เข้าใจกฎเราต้องแยก:

• เทอมแรกและผลรวม (จะอยู่บนแกนนอน)
• เทอมที่สอง (จะอยู่บนแกนแนวตั้ง);
• ทิศทางของการบวกและการลบ

การแบ่งนี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนในรูป ลองนึกภาพว่าแกนแนวตั้งสามารถหมุนซ้อนทับกับแกนนอนได้

การดำเนินการเพิ่มเติมจะดำเนินการโดยการหมุนแกนแนวตั้งตามเข็มนาฬิกาเสมอ (เครื่องหมายบวก) การลบจะดำเนินการโดยการหมุนแกนแนวตั้งทวนเข็มนาฬิกาเสมอ (เครื่องหมายลบ)

ตัวอย่าง. แผนภาพที่มุมล่างขวา

จะเห็นได้ว่าเครื่องหมายลบสองตัวที่อยู่ติดกัน (เครื่องหมายของการลบและเครื่องหมายของหมายเลข 3) มีความหมายที่แตกต่างกัน เครื่องหมายลบแรกระบุทิศทางของการลบ เครื่องหมายลบที่สองคือเครื่องหมายของตัวเลขบนแกนแนวตั้ง

ค้นหาเทอมแรก (-2) บนแกนนอน ค้นหาเทอมที่สอง (-3) บนแกนแนวตั้ง หมุนแกนแนวตั้งทวนเข็มนาฬิกาจนชิด (-3) กับตัวเลข (+1) บนแกนแนวนอน ตัวเลข (+1) เป็นผลมาจากการบวก

การลบ

ให้ผลลัพธ์เช่นเดียวกับการดำเนินการเพิ่มเติมในแผนภาพที่มุมขวาบน

ดังนั้นเครื่องหมายลบสองตัวที่อยู่ติดกันสามารถแทนที่ได้ด้วยเครื่องหมายบวกหนึ่งตัว

เราทุกคนเคยชินกับการใช้กฎสำเร็จรูปของเลขคณิตโดยไม่คิดถึงความหมาย ดังนั้นเราจึงมักไม่สังเกตด้วยซ้ำว่ากฎของเครื่องหมายสำหรับการบวก (การลบ) แตกต่างจากกฎของเครื่องหมายสำหรับการคูณ (การหาร) อย่างไร พวกเขาดูเหมือนกันหรือไม่? เกือบ ... ความแตกต่างเล็กน้อยสามารถดูได้จากภาพประกอบต่อไปนี้

ตอนนี้เรามีทุกสิ่งที่จำเป็นในการอนุมานกฎเครื่องหมายสำหรับการคูณ ลำดับผลลัพธ์เป็นดังนี้

1. เราแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่ากฎของเครื่องหมายสำหรับการบวกและการลบได้มาอย่างไร
2. เราทำการเปลี่ยนแปลงเชิงความหมายกับสูตรการคูณที่มีอยู่
3. จากสูตรการคูณที่ปรับเปลี่ยนและกฎของสัญญาณการบวกเราได้กฎของสัญญาณสำหรับการคูณ

บันทึก.

ด้านล่างเขียน n ลงนามในกฎการบวกและการลบได้จากการสร้างภาพ และสีแดงสำหรับการเปรียบเทียบกฎสัญญาณเดียวกันจากหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ เครื่องหมายบวกสีเทาในวงเล็บคือเครื่องหมายบวกที่มองไม่เห็นซึ่งไม่ได้เขียนไว้สำหรับจำนวนบวก

มีสองสัญญาณระหว่างเงื่อนไขเสมอ: เครื่องหมายของการดำเนินการและเครื่องหมายของตัวเลข (เราไม่ได้เขียนบวก แต่เราหมายถึง) กฎการลงนามกำหนดให้เปลี่ยนสัญญาณคู่หนึ่งสำหรับคู่อื่นโดยไม่เปลี่ยนผลลัพธ์ของการบวก (การลบ) ในความเป็นจริงมีเพียงสองกฎ

กฎ 1 และ 3 (โดยการแสดงภาพ) - กฎที่ซ้ำกัน 4 และ 2 .. กฎข้อที่ 1 และ 3 ในการตีความของโรงเรียนไม่ตรงกับโครงร่างภาพดังนั้นจึงไม่ใช้กับกฎของสัญญาณเมื่อเพิ่ม นี่คือกฎอื่น ๆ ...

1. +(+) = -- ......... + (+) = + ???

2. +- = -(+).......... + - \u003d - (+) โอเค

3. -(+) = +- ......... - (+) = - ???

4. -- = +(+) ......... - - \u003d + (+) ตกลง

กฎของโรงเรียน 1 (สีแดง) อนุญาตให้แทนที่สองบวกในแถวด้วยหนึ่งบวก กฎนี้ใช้ไม่ได้กับการแทนที่เครื่องหมายในการบวกและการลบ

กฎของโรงเรียนข้อ 3 (สีแดง) อนุญาตให้ไม่เขียนเครื่องหมายบวกบนจำนวนบวกหลังการลบ กฎนี้ใช้ไม่ได้กับการแทนที่เครื่องหมายในการบวกและการลบ

ความหมายของกฎของสัญญาณในระหว่างการเพิ่มคือการแทนที่หนึ่งคู่ของสัญญาณด้วยอีกคู่ของสัญญาณโดยไม่เปลี่ยนผลลัพธ์ของการบวก

ระเบียบวิธีของโรงเรียนได้ผสมสองกฎในกฎเดียว:

กฎของสัญญาณสองข้อเมื่อบวกและลบจำนวนบวกและลบ (แทนที่คู่ของอักขระหนึ่งคู่ด้วยอักขระอีกคู่หนึ่ง)

กฎสองข้อที่คุณไม่สามารถเขียนเครื่องหมายบวกสำหรับจำนวนบวกได้

กฎที่แตกต่างกันสองกฎผสมกันเป็นเหมือนกฎสำหรับเครื่องหมายในการคูณโดยที่สองสัญญาณตามด้วยหนึ่งในสาม คล้ายกับหนึ่งต่อหนึ่ง

งงมาก! สิ่งเดียวกันอีกครั้งเพื่อการคลี่คลายที่ดีขึ้น มาเน้นสัญญาณการทำงานด้วยสีแดงเพื่อแยกความแตกต่างจากสัญลักษณ์ของตัวเลข

1. การบวกและการลบ สองกฎของสัญญาณตามคู่ของสัญญาณระหว่างคำที่มีการเปลี่ยนแปลง เครื่องหมายการทำงานและเครื่องหมายหมายเลข

+ + = - - |||||||||| 2 + (+2) = 2 - (-2)

+ - = - + |||||||||| 2 + (-2) = 2 - (+2)

2. กฎสองข้อที่ไม่อนุญาตให้เขียนเครื่องหมายบวกสำหรับจำนวนบวก นี่คือกฎของแบบฟอร์มการเข้าร่วม ไม่สามารถใช้การเพิ่มได้ สำหรับจำนวนบวกจะบันทึกเฉพาะเครื่องหมายของการดำเนินการเท่านั้น

- + = - |||||||||| - (+2) = - 2

+ + = + |||||||||| + (+2) = + 2

3. สี่กฎของสัญญาณสำหรับการคูณ เมื่อสัญญาณที่สามของผลิตภัณฑ์ตามมาจากสัญญาณตัวคูณสองตัว ในกฎของสัญญาณสำหรับการคูณสัญญาณของตัวเลขเท่านั้น

+ * + = + |||||||||| 2 * 2 = 2

+ * - = - |||||||||| 2 * (-2) = -2

- * + = - |||||||||| -2 * 2 = - 2

- * - = + |||||||||| -2 * -2 = 2

ตอนนี้เราได้แยกกฎสัญกรณ์ออกไปแล้วมันควรจะชัดเจนว่ากฎเครื่องหมายสำหรับการบวกและการลบนั้นไม่เหมือนกับกฎเครื่องหมายสำหรับการคูณ

V.Kozarenko

แท้จริงแล้วทำไม? คำตอบที่ง่ายที่สุดคือ "เพราะนี่คือกฎในการจัดการกับจำนวนลบ" กฎที่เราสอนที่โรงเรียนและนำไปใช้ตลอดชีวิตของเรา อย่างไรก็ตามตำราไม่ได้อธิบายว่าทำไมกฎจึงเป็นเช่นนี้ เราจำได้ว่านี่เป็นวิธีที่เราไม่ถามตัวเองอีกต่อไป

ลองถามตัวเราเอง ...

เมื่อนานมาแล้วผู้คนเท่านั้นที่รู้จักตัวเลขตามธรรมชาติ: 1, 2, 3, ... พวกมันถูกใช้เพื่อนับช้อนส้อมเหยื่อศัตรู ฯลฯ แต่ตัวเลขด้วยตัวมันเองนั้นค่อนข้างไร้ประโยชน์ - คุณต้องรู้วิธีจัดการ พวกเขา การบวกนั้นชัดเจนและเข้าใจได้นอกจากนี้ผลรวมของจำนวนธรรมชาติสองจำนวนยังเป็นจำนวนธรรมชาติอีกด้วย (นักคณิตศาสตร์จะบอกว่าเซตของจำนวนธรรมชาติปิดตามการดำเนินการบวก) การคูณเป็นหลักนอกจากนี้หากเรากำลังพูดถึงจำนวนธรรมชาติ ในชีวิตเรามักจะดำเนินการที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการทั้งสองนี้ (ตัวอย่างเช่นเมื่อซื้อของเราเพิ่มและคูณ) และเป็นเรื่องแปลกที่คิดว่าบรรพบุรุษของเราพบสิ่งเหล่านี้น้อยลง - การบวกและการคูณเป็นสิ่งที่มนุษย์ควบคุมมาช้านาน ที่ผ่านมา. บ่อยครั้งที่จำเป็นต้องแบ่งปริมาณบางส่วนด้วยผู้อื่น แต่ที่นี่ผลลัพธ์ไม่ได้แสดงเป็นจำนวนธรรมชาติเสมอไปนี่คือลักษณะที่ตัวเลขเศษส่วนปรากฏ

แน่นอนว่าการลบก็เป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้เช่นกัน แต่ในทางปฏิบัติเรามักจะลบจำนวนที่น้อยกว่าออกจากจำนวนที่มากกว่าและไม่จำเป็นต้องใช้จำนวนลบ (ถ้าฉันมีลูกอม 5 เม็ดและให้น้องสาว 3 ลูกฉันจะมีลูกกวาด 5 - 3 \u003d 2 ลูก แต่ฉันไม่สามารถให้ลูกอม 7 เม็ดกับเธอได้ด้วยความปรารถนาทั้งหมดของฉัน) สิ่งนี้สามารถอธิบายได้ว่าทำไมคนไม่ใช้ตัวเลขติดลบสำหรับ เวลานาน.


ในเอกสารของอินเดียตัวเลขติดลบปรากฏตั้งแต่คริสต์ศตวรรษที่ 7; เห็นได้ชัดว่าชาวจีนเริ่มใช้ก่อนหน้านี้เล็กน้อย พวกเขาใช้สำหรับการบัญชีสำหรับหนี้หรือในการคำนวณระดับกลางเพื่อลดความซับซ้อนของการแก้สมการ - เป็นเพียงเครื่องมือในการได้รับคำตอบที่เป็นบวกเท่านั้น ความจริงที่ว่าตัวเลขเชิงลบซึ่งแตกต่างจากค่าบวกไม่ได้แสดงถึงการมีอยู่ของหน่วยงานใด ๆ ทำให้เกิดความไม่ไว้วางใจ ผู้คนในความหมายตามตัวอักษรของคำนั้นหลีกเลี่ยงตัวเลขที่เป็นลบ: หากปัญหาได้รับคำตอบเชิงลบพวกเขาเชื่อว่าไม่มีคำตอบเลย ความไม่ไว้วางใจนี้ยังคงมีอยู่เป็นเวลานานและแม้แต่เดส์การ์ตส์ซึ่งเป็นหนึ่งใน "ผู้ก่อตั้ง" คณิตศาสตร์สมัยใหม่ก็เรียกสิ่งเหล่านี้ว่า "เท็จ" (ในศตวรรษที่ 17!)

ตัวอย่างเช่นพิจารณาสมการ 7x - 17 \u003d 2x - 2 ซึ่งสามารถแก้ไขได้ดังนี้: ย้ายคำศัพท์ที่ไม่รู้จักไปทางด้านซ้ายและส่วนที่เหลือไปทางขวาคุณจะได้ 7x - 2x \u003d 17 - 2, 5x \u003d 15, x \u003d 3 ด้วยวิธีนี้เราไม่พบตัวเลขติดลบด้วยซ้ำ

แต่มันเป็นไปได้ที่จะทำมันต่างออกไปโดยไม่ตั้งใจ: โอนคำศัพท์ที่ไม่รู้จักไปทางด้านขวาและรับ 2 - 17 \u003d 2x - 7x, (-15) \u003d (-5) x ในการหาค่าที่ไม่รู้จักคุณต้องหารจำนวนลบหนึ่งตัวด้วยอีกตัวหนึ่ง: x \u003d (-15) / (- 5) แต่ทราบคำตอบที่ถูกต้องและยังคงสรุปได้ว่า (-15) / (- 5) \u003d 3

ตัวอย่างง่ายๆนี้แสดงให้เห็นอะไร? ประการแรกมันชัดเจนว่าตรรกะที่กำหนดกฎสำหรับการกระทำที่มีจำนวนลบ: ผลลัพธ์ของการกระทำเหล่านี้จะต้องตรงกับคำตอบที่ได้รับในลักษณะที่แตกต่างกันโดยไม่มีจำนวนลบ ประการที่สองโดยอนุญาตให้ใช้จำนวนลบเราจะกำจัดสิ่งที่น่าเบื่อออกไป (หากสมการกลายเป็นเรื่องที่ซับซ้อนมากขึ้นโดยมีคำศัพท์จำนวนมาก) ค้นหาเส้นทางการแก้ปัญหาซึ่งการกระทำทั้งหมดจะดำเนินการเฉพาะกับจำนวนธรรมชาติเท่านั้น ยิ่งไปกว่านั้นเราไม่สามารถคิดถึงความหมายของค่าที่แปลงแล้วได้อีกต่อไปและนี่เป็นขั้นตอนหนึ่งของการเปลี่ยนแปลงคณิตศาสตร์ให้เป็นวิทยาศาสตร์นามธรรม

กฎสำหรับการดำเนินการกับจำนวนลบไม่ได้ถูกสร้างขึ้นในทันที แต่กลายเป็นลักษณะทั่วไปของตัวอย่างมากมายที่เกิดขึ้นเมื่อแก้ปัญหาที่ใช้ โดยทั่วไปการพัฒนาคณิตศาสตร์สามารถแบ่งออกเป็นขั้นตอนตามเงื่อนไข: แต่ละขั้นตอนต่อไปจะแตกต่างจากขั้นก่อนหน้าโดยระดับนามธรรมใหม่ในการศึกษาวัตถุ ดังนั้นในศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์ตระหนักว่าจำนวนเต็มและพหุนามสำหรับความแตกต่างภายนอกทั้งหมดมีหลายอย่างที่เหมือนกัน: ทั้งสองอย่างสามารถบวกลบและคูณได้ การดำเนินการเหล่านี้เป็นไปตามกฎหมายเดียวกันทั้งในกรณีของตัวเลขและในกรณีของพหุนาม แต่การหารจำนวนเต็มด้วยกันเพื่อให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเต็มอีกครั้งอาจจะไม่เสมอไป มันเหมือนกันกับพหุนาม

จากนั้นก็ค้นพบชุดของวัตถุทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ ซึ่งสามารถดำเนินการดังกล่าวได้: อนุกรมกำลังที่เป็นทางการฟังก์ชันต่อเนื่อง ... ในที่สุดก็เป็นที่ชัดเจนว่าถ้าเราศึกษาคุณสมบัติของการดำเนินการด้วยตัวเองผลลัพธ์ก็สามารถนำไปใช้กับ ชุดของวัตถุเหล่านี้ทั้งหมด (แนวทางนี้เป็นเรื่องปกติสำหรับคณิตศาสตร์สมัยใหม่ทั้งหมด)

เป็นผลให้แนวคิดใหม่ปรากฏขึ้น: แหวน นี่เป็นเพียงชุดขององค์ประกอบและการดำเนินการที่สามารถทำได้ พื้นฐานในที่นี้เป็นเพียงกฎ (เรียกว่าสัจพจน์) ซึ่งเป็นไปตามการกระทำไม่ใช่ลักษณะขององค์ประกอบของเซต (นี่คือระดับนามธรรมใหม่!) ต้องการเน้นว่ามันเป็นโครงสร้างที่เกิดขึ้นหลังจากการนำสัจพจน์เป็นสิ่งสำคัญนักคณิตศาสตร์กล่าวว่า: วงแหวนของจำนวนเต็ม, วงแหวนของพหุนาม ฯลฯ เริ่มจากสัจพจน์เราสามารถอนุมานคุณสมบัติอื่น ๆ ของวงแหวนได้

เราจะกำหนดสัจพจน์ของวงแหวน (ซึ่งแน่นอนว่าคล้ายกับกฎสำหรับการจัดการกับจำนวนเต็ม) จากนั้นเราจะพิสูจน์ว่าในวงแหวนใด ๆ การคูณลบด้วยผลลัพธ์ลบในการบวก

แหวนคือชุดที่มีการดำเนินการไบนารีสองรายการ (กล่าวคือแต่ละการดำเนินการเกี่ยวข้องกับสององค์ประกอบของวงแหวน) ซึ่งตามประเพณีเรียกว่าการบวกและการคูณและสัจพจน์ต่อไปนี้:

การเพิ่มองค์ประกอบของวงแหวนเป็นไปตามการกระจัด (A + B \u003d B + A สำหรับองค์ประกอบใด ๆ A และ B) และกฎการรวมกัน (A + (B + C) \u003d (A + B) + C) วงแหวนมีองค์ประกอบพิเศษ 0 (องค์ประกอบที่เป็นกลางสำหรับการบวก) เช่น A + 0 \u003d A และสำหรับองค์ประกอบใด ๆ A มีองค์ประกอบที่ตรงกันข้าม (แสดงโดย (-A)) เช่น A + (-A) \u003d 0 ;
- การคูณเป็นไปตามกฎการผสม: A · (B · C) \u003d (A · B) · C;
การบวกและการคูณเกี่ยวข้องกันโดยกฎการขยายวงเล็บต่อไปนี้: (A + B) C \u003d A C + B C และ A (B + C) \u003d A B + A C

โปรดทราบว่าในโครงสร้างทั่วไปส่วนใหญ่ไม่ต้องการความสามารถในการเปลี่ยนทิศทางของการคูณหรือความสามารถในการย้อนกลับ (เช่นไม่สามารถหารได้เสมอไป) หรือการมีอยู่ของหน่วยซึ่งเป็นองค์ประกอบที่เป็นกลางในการคูณ ถ้าเราแนะนำสัจพจน์เหล่านี้เราจะได้โครงสร้างพีชคณิตอื่น ๆ แต่ในนั้นทฤษฎีทั้งหมดที่พิสูจน์แล้วสำหรับวงแหวนจะเป็นจริง

ตอนนี้ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับองค์ประกอบใด ๆ A และ B ของวงแหวนโดยพลการอันดับแรก (-A) B \u003d - (A B) และประการที่สอง (- (- A)) \u003d A สิ่งนี้แสดงถึงข้อความเกี่ยวกับหน่วยได้อย่างง่ายดาย: ( -1) 1 \u003d - (1 1) \u003d -1 และ (-1) (-1) \u003d - ((- 1) 1) \u003d - (- 1) \u003d 1.

สำหรับสิ่งนี้เราจำเป็นต้องสร้างข้อเท็จจริงบางอย่าง ขั้นแรกให้เราพิสูจน์ว่าแต่ละองค์ประกอบสามารถมีเพียงหนึ่งที่ตรงข้ามกัน อันที่จริงให้องค์ประกอบ A มีสองสิ่งที่ตรงกันข้ามกัน: B และ C นั่นคือ A + B \u003d 0 \u003d A + C พิจารณาผลรวม A + B + C โดยใช้กฎการรวมกันและการขนย้ายและคุณสมบัติศูนย์เราได้ ในแง่หนึ่งผลรวมจะเท่ากับ B: B \u003d B + 0 \u003d B + (A + C) \u003d A + B + C และในทางกลับกันจะเท่ากับ C: A + B + C \u003d (A + B) + C \u003d 0 + C \u003d C ดังนั้น B \u003d C

โปรดสังเกตว่าทั้ง A และ (- (- A)) อยู่ตรงข้ามกับองค์ประกอบเดียวกัน (-A) ดังนั้นจึงต้องเท่ากัน

ความจริงข้อแรกปรากฎดังนี้: 0 \u003d 0 B \u003d (A + (-A)) B \u003d A B + (-A) B นั่นคือ (-A) B ตรงข้ามกับ A B ดังนั้นจึงเท่ากับ - (AB).

เพื่อความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์ให้เราอธิบายว่าทำไม 0 · B \u003d 0 สำหรับองค์ประกอบใด ๆ B อันที่จริง 0 · B \u003d (0 + 0) B \u003d 0 · B + 0 · B นั่นคือการเพิ่ม 0 · B จะไม่ทำให้จำนวนเงินเปลี่ยนไป ดังนั้นผลิตภัณฑ์นี้จึงมีค่าเท่ากับศูนย์

และความจริงที่ว่ามีศูนย์หนึ่งศูนย์ในวงแหวน (ท้ายที่สุดสัจพจน์บอกว่าองค์ประกอบดังกล่าวมีอยู่จริง แต่ไม่มีอะไรพูดถึงเอกลักษณ์ของมัน!) เราฝากให้ผู้อ่านเป็นแบบฝึกหัดง่ายๆ

Evgeny Epifanov