โรงเรียนมัธยมในชนบท Kopyevskaya

10 วิธีแก้สมการกำลังสอง

หัวหน้า: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

ครูคณิตศาสตร์

s.Kopyevo, 2007

1. ประวัติความเป็นมาของการพัฒนาสมการกำลังสอง

1.1 สมการกำลังสองในบาบิโลนโบราณ

1.2 วิธี Diophantus รวบรวมและแก้สมการกำลังสอง

1.3 สมการกำลังสองในอินเดีย

1.4 สมการกำลังสองในอัลคอวาริซมี

1.5 สมการกำลังสองในยุโรป XIII - XVII ศตวรรษ

1.6 เกี่ยวกับทฤษฎีบทของเวียตา

2. วิธีการแก้สมการกำลังสอง

บทสรุป

วรรณกรรม

1. ประวัติความเป็นมาของการพัฒนาสมการกำลังสอง

1.1 สมการกำลังสองในบาบิโลนโบราณ

ความจำเป็นในการแก้สมการไม่เพียงแต่ครั้งแรกเท่านั้น แต่ยังรวมถึงระดับที่สองในสมัยโบราณด้วย เกิดจากความจำเป็นในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการค้นหาพื้นที่ของที่ดินและดินที่มีลักษณะทางทหารตลอดจนการพัฒนาด้านดาราศาสตร์และ คณิตศาสตร์นั่นเอง สมการกำลังสองสามารถแก้ได้ประมาณ 2000 ปีก่อนคริสตกาล อี ชาวบาบิโลน.

ด้วยการใช้สัญกรณ์พีชคณิตสมัยใหม่ เราสามารถพูดได้ว่าในข้อความรูปแบบของพวกเขา นอกเหนือจากที่ไม่สมบูรณ์ ยังมีเช่น สมการกำลังสองสมบูรณ์:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

กฎสำหรับการแก้สมการเหล่านี้ ซึ่งระบุไว้ในตำราของชาวบาบิโลน เกิดขึ้นพร้อมกันกับสมการสมัยใหม่ แต่ไม่ทราบว่าชาวบาบิโลนมีกฎนี้ขึ้นมาได้อย่างไร ตำราคิวนิฟอร์มเกือบทั้งหมดที่พบจนถึงตอนนี้ ให้เฉพาะปัญหากับวิธีแก้ไขที่ระบุไว้ในรูปของสูตร โดยไม่ได้ระบุว่าพบได้อย่างไร

แม้จะมีการพัฒนาพีชคณิตในระดับสูงในบาบิโลน แต่ตำรารูปลิ่มยังขาดแนวคิดเรื่องจำนวนลบและวิธีการทั่วไปในการแก้สมการกำลังสอง

1.2 วิธีที่ไดโอแฟนตัสรวบรวมและแก้สมการกำลังสอง

เลขคณิตของไดโอแฟนตัสไม่มีการแสดงพีชคณิตอย่างเป็นระบบ แต่ประกอบด้วยชุดปัญหาที่เป็นระบบ พร้อมด้วยคำอธิบายและแก้ไขด้วยการกำหนดสมการองศาต่างๆ

เมื่อรวบรวมสมการ ไดโอแฟนทัสเลือกสิ่งที่ไม่รู้จักอย่างชำนาญเพื่อทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้น

ตัวอย่างเช่น นี่เป็นหนึ่งในงานของเขา

ภารกิจที่ 11"ค้นหาตัวเลขสองตัวที่รู้ว่าผลรวมของมันคือ 20 และผลิตภัณฑ์ของมันคือ 96"

Diophantus ให้เหตุผลดังนี้: จากเงื่อนไขของปัญหาที่จำนวนที่ต้องการไม่เท่ากันเนื่องจากถ้าเท่ากันแล้วผลคูณของพวกเขาจะไม่เท่ากับ 96 แต่ถึง 100 ดังนั้นหนึ่งในนั้นจะมากกว่า ครึ่งหนึ่งของผลรวม กล่าวคือ 10+xอีกอันมีขนาดเล็กกว่าเช่น 10's. ความแตกต่างระหว่างพวกเขา 2x .

ดังนั้นสมการ:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

จากที่นี่ x = 2. หนึ่งในตัวเลขที่ต้องการคือ 12 , อื่น ๆ 8 . สารละลาย x = -2สำหรับไดโอแฟนตัสไม่มีอยู่จริง เนื่องจากคณิตศาสตร์กรีกรู้เฉพาะตัวเลขที่เป็นบวก

หากเราแก้ปัญหานี้โดยเลือกตัวเลขที่ต้องการตัวใดตัวหนึ่งเป็นค่าไม่ทราบ เราก็จะมาแก้สมการ

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

เป็นที่ชัดเจนว่า Diophantus ช่วยลดความซับซ้อนของการแก้ปัญหาโดยเลือกความแตกต่างครึ่งหนึ่งของตัวเลขที่ต้องการเป็นค่าที่ไม่รู้จัก เขาจัดการเพื่อลดปัญหาเพื่อแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ (1)

1.3 สมการกำลังสองในอินเดีย

ปัญหาสำหรับสมการกำลังสองมีอยู่แล้วในทางเดินดาราศาสตร์ "Aryabhattam" ซึ่งรวบรวมในปี 499 โดยนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวอินเดีย Aryabhatta นักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดียอีกคนหนึ่งคือ Brahmagupta (ศตวรรษที่ 7) ได้สรุปกฎทั่วไปสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่ลดรูปให้อยู่ในรูปแบบบัญญัติเดียว:

อา 2+ ข x = c, a > 0. (1)

ในสมการ (1) สัมประสิทธิ์ ยกเว้น แต่ยังสามารถเป็นค่าลบได้ กฎของพรหมคุปต์สอดคล้องกับกฎของเรา

ในอินเดียโบราณ การแข่งขันสาธารณะในการแก้ปัญหายากๆ เป็นเรื่องปกติ ในหนังสือเก่าของอินเดียเล่มหนึ่ง มีการกล่าวเกี่ยวกับการแข่งขันดังกล่าวว่า “ในขณะที่ดวงอาทิตย์ส่องดวงดาวด้วยความสุกใส บุคคลที่เรียนรู้จะส่องรัศมีของผู้อื่นในการประชุมสาธารณะ เสนอและแก้ปัญหาเกี่ยวกับพีชคณิต” งานมักจะแต่งในรูปแบบบทกวี

นี่เป็นหนึ่งในปัญหาของนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียที่มีชื่อเสียงในศตวรรษที่สิบสอง ภัสกร.

ภารกิจที่ 13

“ฝูงลิงขี้เล่น และเถาองุ่นสิบสองเถา ...

กินอิ่มก็สนุก พวกเขาเริ่มกระโดดแขวน ...

ส่วนที่แปดในสี่เหลี่ยมจัตุรัส มีลิงอยู่กี่ตัว

สนุกสนานในทุ่งนา. คุณบอกฉันในฝูงนี้?

คำตอบของ Bhaskara ระบุว่าเขารู้เกี่ยวกับค่าสองค่าของรากของสมการกำลังสอง (รูปที่ 3)

สมการที่สอดคล้องกับปัญหาที่ 13 คือ:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara เขียนภายใต้หน้ากากของ:

x 2 - 64x = -768

และในการเติมด้านซ้ายของสมการนี้ให้เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส เขาก็บวกทั้งสองข้าง 32 2 , ได้รับแล้ว:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48

1.4 สมการกำลังสองใน al-Khorezmi

บทความเกี่ยวกับพีชคณิตของ Al-Khorezmi ให้การจำแนกประเภทสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสอง ผู้เขียนแสดงรายการสมการ 6 ประเภท แสดงได้ดังนี้

1) "สี่เหลี่ยมเท่ากับราก" เช่น ขวาน 2 + c = ข เอ็กซ์

2) "กำลังสองเท่ากับตัวเลข" เช่น ขวาน 2 = ส.

3) "รากมีค่าเท่ากับตัวเลข" เช่น อา = ส

4) "กำลังสองและตัวเลขเท่ากับราก" เช่น ขวาน 2 + c = ข เอ็กซ์

5) "กำลังสองและรากเท่ากับตัวเลข" เช่น อา 2+ bx = ส.

6) "รากและตัวเลขเท่ากับกำลังสอง" เช่น bx + c \u003d ขวาน 2

สำหรับอัลคอวาริซมีที่หลีกเลี่ยงการใช้ตัวเลขติดลบ พจน์ของสมการแต่ละสมการเหล่านี้เป็นการบวก ไม่ใช่การลบ ในกรณีนี้ สมการที่ไม่มีคำตอบที่เป็นบวกจะไม่ถูกนำมาพิจารณาอย่างชัดเจน ผู้เขียนสรุปวิธีการแก้สมการเหล่านี้ โดยใช้วิธีการของ al-jabr และ al-muqabala แน่นอนว่าการตัดสินใจของเขาไม่ตรงกับการตัดสินใจของเราเลย ไม่ต้องพูดถึงความจริงที่ว่ามันเป็นวาทศิลป์ล้วน ๆ ควรสังเกตเช่นเมื่อแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของประเภทแรก

al-Khorezmi ก็เหมือนกับนักคณิตศาสตร์ทุกคนก่อนศตวรรษที่ 17 ที่ไม่คำนึงถึงคำตอบที่เป็นศูนย์ อาจเป็นเพราะมันไม่สำคัญในปัญหาเชิงปฏิบัติที่เฉพาะเจาะจง เมื่อแก้สมการกำลังสองทั้งหมด al-Khorezmi จะกำหนดกฎสำหรับการแก้ จากนั้นจึงทำการพิสูจน์ทางเรขาคณิต โดยใช้ตัวอย่างที่เป็นตัวเลขโดยเฉพาะ

งาน 14.“กำลังสองและจำนวน 21 มีค่าเท่ากับ 10 รูต หาต้นตอ" (สมมติว่ารากของสมการ x 2 + 21 = 10x)

คำตอบของผู้เขียนมีลักษณะดังนี้: หารจำนวนรูทครึ่งหนึ่ง ได้ 5 คูณ 5 ด้วยตัวเอง ลบ 21 ออกจากผลคูณ 4 เหลือ หารากของ 4 ได้ 2 ลบ 2 จาก 5 คุณ รับ 3 นี่จะเป็นรูทที่ต้องการ หรือบวก 2 ถึง 5 ซึ่งจะให้ 7 นี่ก็เป็นรูทเช่นกัน

บทความ al - Khorezmi เป็นหนังสือเล่มแรกที่มาถึงเราซึ่งมีการจำแนกประเภทของสมการกำลังสองอย่างเป็นระบบและให้สูตรสำหรับการแก้ปัญหา

1.5 สมการกำลังสองในยุโรป สิบสาม - XVII ศตวรรษ

สูตรสำหรับการแก้สมการกำลังสองในรูปแบบของอัล - โคเรซมีในยุโรปถูกกำหนดไว้ใน "หนังสือลูกคิด" ซึ่งเขียนในปี 1202 โดยเลโอนาร์โด ฟีโบนักชี นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี งานที่มากมายมหาศาลนี้สะท้อนให้เห็นถึงอิทธิพลของคณิตศาสตร์ ทั้งในประเทศอิสลามและกรีกโบราณ โดดเด่นด้วยความครบถ้วนสมบูรณ์และความชัดเจนในการนำเสนอ ผู้เขียนได้พัฒนาตัวอย่างเชิงพีชคณิตแบบใหม่ของการแก้ปัญหาอย่างอิสระและเป็นคนแรกในยุโรปที่เข้าใกล้การนำตัวเลขติดลบมาใช้ หนังสือของเขามีส่วนในการเผยแพร่ความรู้เกี่ยวกับพีชคณิตไม่เพียงแต่ในอิตาลี แต่ยังรวมถึงในเยอรมนี ฝรั่งเศส และประเทศอื่นๆ ในยุโรปด้วย งานหลายอย่างจาก "Book of the Abacus" ผ่านเข้าไปในตำราเรียนยุโรปเกือบทั้งหมดของศตวรรษที่ 16 - 17 และบางส่วน XVIII

กฎทั่วไปสำหรับการแก้สมการกำลังสองลดลงเป็นรูปแบบบัญญัติเดียว:

x 2+ bx = ด้วย,

สำหรับการรวมกันที่เป็นไปได้ของสัญญาณของสัมประสิทธิ์ ข , จากถูกคิดค้นขึ้นในยุโรปเฉพาะในปี ค.ศ. 1544 โดย M. Stiefel

Vieta มีที่มาทั่วไปของสูตรสำหรับการแก้สมการกำลังสอง แต่ Vieta จำเฉพาะรากที่เป็นบวกเท่านั้น นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี Tartaglia, Cardano, Bombelli เป็นหนึ่งในกลุ่มแรกในศตวรรษที่ 16 คำนึงถึงนอกเหนือไปจากรากบวกและลบ เฉพาะในศตวรรษที่ XVII ต้องขอบคุณงานของ Girard, Descartes, Newton และนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ ที่ทำให้วิธีการแก้สมการกำลังสองมีรูปลักษณ์ที่ทันสมัย

1.6 เกี่ยวกับทฤษฎีบทของเวียตา

ทฤษฎีบทที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสองกับรากของมันซึ่งมีชื่อเรียกว่าเวียตา ได้รับการคิดค้นขึ้นโดยเขาเป็นครั้งแรกในปี ค.ศ. 1591 ดังนี้ “ถ้า บี + ดีคูณด้วย อา - อา 2 เท่ากับ BD, แล้ว อาเท่ากับ ในและเท่าเทียมกัน ดี ».

เพื่อให้เข้าใจเวียตตา เราต้องจำไว้ว่า แต่เช่นเดียวกับสระใด ๆ ที่มีความหมายสำหรับเขาที่ไม่รู้จัก (ของเรา X) สระ ใน, ดี- ค่าสัมประสิทธิ์สำหรับไม่ทราบ ในภาษาของพีชคณิตสมัยใหม่ สูตรของ Vieta ด้านบนหมายถึง: if

(+ ข )x - x 2 = อะบี ,

x 2 - (a + ข )x + a ข = 0,

x 1 = ก, x 2 = ข .

การแสดงความสัมพันธ์ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของสมการโดยสูตรทั่วไปที่เขียนโดยใช้สัญลักษณ์ Viet ได้สร้างความสม่ำเสมอในวิธีการแก้สมการ อย่างไรก็ตาม สัญลักษณ์ของ Vieta ยังห่างไกลจากรูปแบบที่ทันสมัย เขาไม่รู้จักจำนวนลบ ดังนั้น เมื่อแก้สมการ เขาพิจารณาเฉพาะกรณีที่รากทั้งหมดเป็นบวก

2. วิธีการแก้สมการกำลังสอง

สมการกำลังสองเป็นรากฐานของโครงสร้างอันสง่างามของพีชคณิต สมการกำลังสองมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้สมการตรีโกณมิติ, เลขชี้กำลัง, ลอการิทึม, อตรรกยะและเหนือธรรมชาติและอสมการ เราทุกคนรู้วิธีแก้สมการกำลังสองตั้งแต่โรงเรียน (เกรด 8) จนถึงสำเร็จการศึกษา

ในสังคมสมัยใหม่ ความสามารถในการทำงานกับสมการที่มีตัวแปรกำลังสองนั้นมีประโยชน์ในหลาย ๆ ด้านของกิจกรรม และมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการพัฒนาทางวิทยาศาสตร์และทางเทคนิค สิ่งนี้สามารถพิสูจน์ได้จากการออกแบบเรือเดินทะเลและแม่น้ำ เครื่องบิน และขีปนาวุธ ด้วยความช่วยเหลือของการคำนวณดังกล่าวจะกำหนดวิถีการเคลื่อนที่ของวัตถุต่าง ๆ รวมถึงวัตถุอวกาศ ตัวอย่างที่มีการแก้สมการกำลังสองไม่เพียงแต่ใช้ในการพยากรณ์ทางเศรษฐกิจเท่านั้น ในการออกแบบและการก่อสร้างอาคารเท่านั้น แต่ยังใช้ในสถานการณ์ประจำวันที่ธรรมดาที่สุดด้วย อาจจำเป็นสำหรับการเดินทางไปแคมป์ปิ้ง ที่งานกีฬา ในร้านค้าเมื่อซื้อของ และในสถานการณ์ทั่วไปอื่นๆ

แบ่งนิพจน์ออกเป็นปัจจัยส่วนประกอบ

ระดับของสมการถูกกำหนดโดยค่าสูงสุดของระดับของตัวแปรที่มีอยู่ในนิพจน์ที่กำหนด หากมีค่าเท่ากับ 2 สมการดังกล่าวจะเรียกว่าสมการกำลังสอง

หากเราพูดในภาษาของสูตร นิพจน์เหล่านี้ไม่ว่าจะมีลักษณะอย่างไร ก็สามารถนำมาสู่แบบฟอร์มได้เสมอเมื่อด้านซ้ายของนิพจน์ประกอบด้วยคำศัพท์สามคำ ในหมู่พวกเขา: ax 2 (นั่นคือตัวแปรยกกำลังสองด้วยสัมประสิทธิ์), bx (ไม่ทราบโดยไม่มีกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์) และ c (องค์ประกอบอิสระนั่นคือตัวเลขธรรมดา) ทั้งหมดนี้ทางด้านขวาเท่ากับ 0 ในกรณีที่พหุนามดังกล่าวไม่มีพจน์ที่เป็นส่วนประกอบ ยกเว้น ax 2 จะเรียกว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ตัวอย่างการแก้ปัญหาดังกล่าวซึ่งหาค่าของตัวแปรได้ไม่ยากควรพิจารณาก่อน

หากนิพจน์มีลักษณะในลักษณะที่มีคำศัพท์สองคำทางด้านขวาของนิพจน์ ให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือ ax 2 และ bx จะเป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการค้นหา x โดยการใส่ตัวแปรในวงเล็บ ตอนนี้สมการของเราจะมีลักษณะดังนี้: x(ax+b) นอกจากนี้ จะเห็นได้ชัดว่า x=0 หรือปัญหาลดลงจนพบตัวแปรจากนิพจน์ต่อไปนี้: ax+b=0 สิ่งนี้ถูกกำหนดโดยคุณสมบัติอย่างหนึ่งของการคูณ กฎบอกว่าผลคูณของสองปัจจัยส่งผลให้เป็น 0 ต่อเมื่อตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์

ตัวอย่าง

x=0 หรือ 8x - 3 = 0

เป็นผลให้เราได้รากของสมการสองราก: 0 และ 0.375

สมการประเภทนี้สามารถอธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุภายใต้การกระทำของแรงโน้มถ่วง ซึ่งเริ่มเคลื่อนจากจุดหนึ่งซึ่งถือเป็นจุดกำเนิด สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์อยู่ในรูปแบบต่อไปนี้: y = v 0 t + gt 2 /2 โดยการแทนที่ค่าที่จำเป็น ให้เท่ากันทางด้านขวาเป็น 0 และค้นหาค่าที่ไม่ทราบค่าที่เป็นไปได้ คุณสามารถค้นหาเวลาที่ผ่านไปตั้งแต่ช่วงเวลาที่ร่างกายเพิ่มขึ้นจนถึงช่วงเวลาที่มันตกลงมา ตลอดจนปริมาณอื่นๆ อีกมากมาย แต่เราจะพูดถึงเรื่องนี้ในภายหลัง

การแยกตัวประกอบนิพจน์

กฎที่อธิบายไว้ข้างต้นทำให้สามารถแก้ไขปัญหาเหล่านี้ได้ในกรณีที่ซับซ้อนมากขึ้น พิจารณาตัวอย่างด้วยการแก้สมการกำลังสองประเภทนี้

X2 - 33x + 200 = 0

ไตรโนเมียลกำลังสองนี้เสร็จสมบูรณ์แล้ว อันดับแรก เราแปลงนิพจน์และแยกออกเป็นปัจจัย มีสองตัว: (x-8) และ (x-25) = 0 เป็นผลให้เรามีรากที่สอง 8 และ 25

ตัวอย่างที่มีการแก้สมการกำลังสองในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ช่วยให้วิธีนี้สามารถค้นหาตัวแปรในนิพจน์ได้ ไม่เพียงแต่ในนิพจน์ที่สองเท่านั้น แต่ยังรวมถึงลำดับที่สามและสี่ด้วย

ตัวอย่างเช่น: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0 เมื่อแยกตัวประกอบทางด้านขวาเป็นตัวประกอบด้วยตัวแปร จะมีสามตัว นั่นคือ (x + 1), (x-3) และ (x + 3).

เป็นผลให้เห็นได้ชัดว่าสมการนี้มีสามราก: -3; -หนึ่ง; 3.

การแยกรากที่สอง

อีกกรณีหนึ่งของสมการอันดับสองที่ไม่สมบูรณ์คือนิพจน์ที่เขียนด้วยภาษาของตัวอักษรในลักษณะที่ด้านขวาถูกสร้างขึ้นจากส่วนประกอบ ax 2 และ c ในที่นี้ เพื่อให้ได้ค่าของตัวแปร เทอมอิสระจะถูกโอนไปทางด้านขวา และหลังจากนั้น สแควร์รูทจะถูกดึงออกมาจากทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกัน ควรสังเกตว่าในกรณีนี้มักจะมีรากของสมการอยู่สองราก ข้อยกเว้นเพียงอย่างเดียวคือความเท่าเทียมกันที่ไม่มีคำว่า c โดยที่ตัวแปรมีค่าเท่ากับศูนย์ เช่นเดียวกับตัวแปรของนิพจน์เมื่อด้านขวากลายเป็นค่าลบ ในกรณีหลังนี้ไม่มีวิธีแก้ปัญหาเลย เนื่องจากการกระทำข้างต้นไม่สามารถทำได้ด้วยรูท ควรพิจารณาตัวอย่างการแก้สมการกำลังสองประเภทนี้

ในกรณีนี้ รากของสมการจะเป็นตัวเลข -4 และ 4

การคำนวณพื้นที่ที่ดิน

ความจำเป็นในการคำนวณประเภทนี้ปรากฏขึ้นในสมัยโบราณ เนื่องจากการพัฒนาทางคณิตศาสตร์ในยุคที่ห่างไกลนั้นส่วนใหญ่มาจากความจำเป็นในการกำหนดพื้นที่และปริมณฑลของแปลงที่ดินด้วยความแม่นยำสูงสุด

เราควรพิจารณาตัวอย่างด้วยการแก้สมการกำลังสองที่รวบรวมจากปัญหาประเภทนี้

สมมุติว่ามีที่ดินผืนหนึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ยาวกว่าความกว้าง 16 เมตร คุณควรหาความยาว ความกว้าง และปริมณฑลของไซต์ ถ้าทราบว่ามีพื้นที่ 612 ม. 2

เริ่มต้นธุรกิจในตอนแรกเราจะสร้างสมการที่จำเป็น กำหนดความกว้างของส่วนเป็น x แล้วความยาวของมันจะเป็น (x + 16) จากที่เขียนว่าพื้นที่ถูกกำหนดโดยนิพจน์ x (x + 16) ซึ่งตามเงื่อนไขของปัญหาของเราคือ 612 ซึ่งหมายความว่า x (x + 16) \u003d 612

คำตอบของสมการกำลังสองสมบูรณ์ และพจน์นี้ก็คือว่า ไม่สามารถทำได้ในลักษณะเดียวกัน ทำไม? แม้ว่าด้านซ้ายของมันยังประกอบด้วยสองปัจจัย แต่ผลคูณของพวกมันไม่เท่ากับ 0 เลย ดังนั้นจึงใช้วิธีการอื่นที่นี่

เลือกปฏิบัติ

ก่อนอื่น เราจะทำการแปลงที่จำเป็น จากนั้นรูปลักษณ์ของนิพจน์นี้จะมีลักษณะดังนี้: x 2 + 16x - 612 = 0 ซึ่งหมายความว่าเราได้รับนิพจน์ในรูปแบบที่สอดคล้องกับมาตรฐานที่ระบุก่อนหน้านี้โดยที่ a=1, b=16, c= -612.

นี้สามารถเป็นตัวอย่างของการแก้สมการกำลังสองผ่านการเลือกปฏิบัติ นี่คือการคำนวณที่จำเป็นตามรูปแบบ: D = b 2 - 4ac ค่าเสริมนี้ไม่เพียงแต่ทำให้สามารถค้นหาค่าที่ต้องการในสมการอันดับสองเท่านั้น แต่ยังเป็นตัวกำหนดจำนวนของตัวเลือกที่เป็นไปได้ ในกรณี D>0 มีสองตัว; สำหรับ D=0 มีหนึ่งรูท ในกรณีที่D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

เกี่ยวกับรากและสูตรของมัน

ในกรณีของเรา การเลือกปฏิบัติคือ: 256 - 4(-612) = 2704 ซึ่งบ่งชี้ว่าปัญหาของเรามีคำตอบ หากคุณทราบถึงการแก้สมการกำลังสองจะต้องดำเนินการต่อโดยใช้สูตรด้านล่าง ช่วยให้คุณสามารถคำนวณราก

ซึ่งหมายความว่าในกรณีที่นำเสนอ: x 1 =18, x 2 =-34 ตัวเลือกที่สองในภาวะที่กลืนไม่เข้าคายไม่ออกนี้ไม่สามารถแก้ปัญหาได้ เนื่องจากขนาดของที่ดินไม่สามารถวัดเป็นค่าลบได้ ซึ่งหมายความว่า x (นั่นคือ ความกว้างของแปลง) คือ 18 ม. จากที่นี่ เราจะคำนวณความยาว: 18+16=34 และปริมณฑล 2(34+ 18) = 104 (m 2)

ตัวอย่างและงาน

เราศึกษาสมการกำลังสองต่อไป ตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดของหลายรายการจะได้รับด้านล่าง

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

ลองย้ายทุกอย่างไปทางซ้ายของความเสมอภาคกัน ทำการแปลง นั่นคือ เราได้รูปแบบของสมการ ซึ่งปกติเรียกว่าสมการมาตรฐาน และให้เท่ากับศูนย์

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

เมื่อเพิ่มสิ่งที่คล้ายคลึงกันแล้วเราจะพิจารณาการเลือกปฏิบัติ: D \u003d 49 - 48 \u003d 1 ดังนั้นสมการของเราจะมีสองราก เราคำนวณตามสูตรข้างต้น ซึ่งหมายความว่าอันแรกจะเท่ากับ 4/3 และอันที่สองคือ 1

2) ตอนนี้เราจะเปิดเผยปริศนาประเภทอื่น

มาดูกันว่ามี root x 2 - 4x + 5 = 1 ไหม? เพื่อให้ได้คำตอบที่ละเอียดถี่ถ้วน เรานำพหุนามมาอยู่ในรูปแบบที่คุ้นเคยและคำนวณตัวแบ่งแยก ในตัวอย่างนี้ ไม่จำเป็นต้องแก้สมการกำลังสอง เพราะสาระสำคัญของปัญหาไม่มีอยู่ในนี้ ในกรณีนี้ D \u003d 16 - 20 \u003d -4 ซึ่งหมายความว่าไม่มีรากจริงๆ

ทฤษฎีบทของเวียตา

สะดวกในการแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตรข้างต้นและตัวจำแนกประเภท เมื่อรากที่สองถูกแยกจากค่าของตัวหลัง แต่สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้นเสมอไป อย่างไรก็ตาม มีหลายวิธีในการรับค่าของตัวแปรในกรณีนี้ ตัวอย่าง: การแก้สมการกำลังสองโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตา ได้รับการตั้งชื่อตามชายคนหนึ่งที่อาศัยอยู่ในฝรั่งเศสในศตวรรษที่ 16 และมีอาชีพที่ยอดเยี่ยมด้วยความสามารถทางคณิตศาสตร์และความสัมพันธ์ที่ศาล ภาพเหมือนของเขาสามารถเห็นได้ในบทความ

รูปแบบที่ชาวฝรั่งเศสผู้โด่งดังสังเกตเห็นมีดังนี้ เขาพิสูจน์ว่าผลรวมของรากของสมการเท่ากับ -p=b/a และผลิตภัณฑ์ของสมการนั้นสอดคล้องกับ q=c/a

ทีนี้มาดูงานเฉพาะกันบ้าง

3x2 + 21x - 54 = 0

เพื่อความง่าย ให้แปลงนิพจน์:

x 2 + 7x - 18 = 0

เมื่อใช้ทฤษฎีบทเวียตา จะได้ผลดังนี้ ผลรวมของรากคือ -7 และผลคูณของรากคือ -18 จากที่นี่เราได้ว่ารากของสมการคือตัวเลข -9 และ 2 เมื่อทำการตรวจสอบแล้ว เราจะตรวจสอบให้แน่ใจว่าค่าของตัวแปรเหล่านี้พอดีกับนิพจน์จริงๆ

กราฟและสมการพาราโบลา

แนวคิดของฟังก์ชันกำลังสองและสมการกำลังสองมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด ตัวอย่างนี้ได้รับไปแล้วก่อนหน้านี้ ตอนนี้เรามาดูปริศนาทางคณิตศาสตร์ในรายละเอียดเพิ่มเติมกันเล็กน้อย สมการใด ๆ ของประเภทที่อธิบายไว้สามารถแสดงได้ด้วยสายตา การพึ่งพาอาศัยกันซึ่งวาดในรูปของกราฟเรียกว่าพาราโบลา ประเภทต่างๆ ดังรูปด้านล่าง

พาราโบลาใด ๆ มีจุดยอดนั่นคือจุดที่กิ่งก้านของมันออกมา ถ้า a>0 พวกมันขึ้นไปถึงอนันต์ และเมื่อ a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

การแสดงฟังก์ชันแบบเห็นภาพช่วยในการแก้สมการใดๆ รวมทั้งสมการกำลังสอง วิธีนี้เรียกว่ากราฟิก และค่าของตัวแปร x คือพิกัด abscissa ที่จุดที่เส้นกราฟตัดกับ 0x พิกัดของจุดยอดสามารถพบได้โดยสูตรที่ให้ x 0 = -b / 2a และการแทนที่ค่าผลลัพธ์ลงในสมการดั้งเดิมของฟังก์ชัน คุณจะพบว่า y 0 นั่นคือพิกัดที่สองของพาราโบลาจุดยอดที่เป็นของแกน y

จุดตัดของกิ่งก้านของพาราโบลากับแกน abscissa

มีตัวอย่างมากมายเกี่ยวกับการแก้สมการกำลังสอง แต่ก็มีรูปแบบทั่วไปเช่นกัน ลองพิจารณาพวกเขา เป็นที่ชัดเจนว่าจุดตัดของกราฟที่มีแกน 0x สำหรับ a>0 เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ y 0 รับค่าลบ และสำหรับ<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. มิฉะนั้น D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

จากกราฟของพาราโบลา คุณยังสามารถกำหนดรากได้อีกด้วย สิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน กล่าวคือ หากไม่ง่ายที่จะได้การแสดงฟังก์ชันกำลังสองเป็นภาพ คุณสามารถทำให้ด้านขวาของนิพจน์เท่ากับ 0 และแก้สมการผลลัพธ์ได้ และเมื่อรู้จุดตัดกับแกน 0x ก็จะพล็อตได้ง่ายขึ้น

จากประวัติศาสตร์

ด้วยความช่วยเหลือของสมการที่มีตัวแปรกำลังสองในสมัยก่อนไม่เพียง แต่ทำการคำนวณทางคณิตศาสตร์และกำหนดพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตเท่านั้น คนโบราณต้องการการคำนวณเช่นนี้เพื่อการค้นพบที่ยิ่งใหญ่ในด้านฟิสิกส์และดาราศาสตร์ เช่นเดียวกับการพยากรณ์ทางโหราศาสตร์

ตามที่นักวิทยาศาสตร์สมัยใหม่แนะนำ ชาวบาบิโลนเป็นกลุ่มแรกที่แก้สมการกำลังสอง มันเกิดขึ้นสี่ศตวรรษก่อนการมาถึงของยุคของเรา แน่นอนว่าการคำนวณของพวกเขานั้นแตกต่างจากที่ยอมรับในปัจจุบันและกลายเป็นแบบดั้งเดิมมากขึ้น ตัวอย่างเช่น นักคณิตศาสตร์เมโสโปเตเมียไม่มีความคิดเกี่ยวกับการมีอยู่ของจำนวนลบ พวกเขาไม่คุ้นเคยกับรายละเอียดปลีกย่อยอื่น ๆ ของผู้ที่รู้จักนักเรียนในสมัยของเรา

บางทีอาจจะเร็วกว่านักวิทยาศาสตร์ของบาบิโลน ปราชญ์จากอินเดีย บาธยามะ ได้ใช้คำตอบของสมการกำลังสอง สิ่งนี้เกิดขึ้นประมาณแปดศตวรรษก่อนการมาถึงของยุคของพระคริสต์ จริงอยู่ สมการอันดับสอง ซึ่งเป็นวิธีการแก้ที่เขาให้นั้นง่ายที่สุด นอกจากเขาแล้ว นักคณิตศาสตร์ชาวจีนยังสนใจคำถามที่คล้ายกันในสมัยก่อนอีกด้วย ในยุโรป สมการกำลังสองเริ่มถูกแก้เมื่อต้นศตวรรษที่ 13 เท่านั้น แต่ต่อมานักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่อย่างนิวตัน เดส์การตส์ และคนอื่นๆ อีกหลายคนก็ใช้สมการนี้ในงานของพวกเขา

สมการกำลังสอง - แก้ง่าย! *เพิ่มเติมในข้อความ "KU".เพื่อน ๆ ดูเหมือนว่าในทางคณิตศาสตร์จะง่ายกว่าการแก้สมการดังกล่าว แต่มีบางอย่างบอกฉันว่าหลายคนมีปัญหากับเขา ฉันตัดสินใจดูจำนวนการแสดงผลที่ยานเดกซ์ให้ต่อคำขอต่อเดือน นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น ลองดูสิ:

มันหมายความว่าอะไร? ซึ่งหมายความว่าประมาณ 70,000 คนต่อเดือนกำลังมองหาข้อมูลนี้ และนี่คือช่วงฤดูร้อน และสิ่งที่จะเกิดขึ้นระหว่างปีการศึกษา - จะมีการร้องขอมากเป็นสองเท่า ไม่น่าแปลกใจเลย เพราะทั้งชายและหญิงที่จบการศึกษาจากโรงเรียนมานานและกำลังเตรียมตัวสอบกำลังมองหาข้อมูลนี้ และเด็กนักเรียนก็พยายามฟื้นฟูความทรงจำเช่นกัน

แม้ว่าจะมีไซต์มากมายที่บอกวิธีแก้สมการนี้ แต่ฉันตัดสินใจร่วมให้ข้อมูลและเผยแพร่เนื้อหาด้วย ประการแรก ฉันต้องการให้ผู้เยี่ยมชมมาที่ไซต์ของฉันตามคำขอนี้ ประการที่สองในบทความอื่น ๆ เมื่อคำพูด "KU" ปรากฏขึ้นฉันจะให้ลิงก์ไปยังบทความนี้ ประการที่สาม ฉันจะบอกคุณเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาของเขามากกว่าที่มักจะระบุไว้ในเว็บไซต์อื่นๆ มาเริ่มกันเลย!เนื้อหาของบทความ:

สมการกำลังสองคือสมการของรูปแบบ:

โดยที่สัมประสิทธิ์ a,ขและด้วยตัวเลขตามอำเภอใจด้วย a≠0

ในหลักสูตรของโรงเรียนเนื้อหาจะได้รับในรูปแบบต่อไปนี้ - การแบ่งสมการออกเป็นสามชั้นเรียนทำแบบมีเงื่อนไข:

1. มีสองราก

2. * มีรากเดียวเท่านั้น

3. ไม่มีราก เป็นที่น่าสังเกตว่าพวกเขาไม่มีรากที่แท้จริง

รากคำนวณอย่างไร? แค่!

เราคำนวณการเลือกปฏิบัติ ภายใต้คำที่ "แย่มาก" นี้มีสูตรง่ายๆ อยู่:

สูตรรากมีดังนี้:

*สูตรนี้ต้องรู้ใจ

คุณสามารถจดและตัดสินใจได้ทันที:

ตัวอย่าง:

1. ถ้า D > 0 แสดงว่าสมการมีสองราก

2. ถ้า D = 0 สมการจะมีหนึ่งรูท

3. ถ้า D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

ลองดูสมการ:

ในโอกาสนี้ เมื่อผู้เลือกปฏิบัติเป็นศูนย์ หลักสูตรของโรงเรียนบอกว่าได้รากหนึ่งมาแล้ว ที่นี่จะเท่ากับเก้า ถูกต้อง มันคือ แต่...

การแสดงนี้ค่อนข้างไม่ถูกต้อง อันที่จริงมีสองราก ใช่ใช่ไม่ต้องแปลกใจมันกลับกลายเป็นสองรากที่เท่ากันและเพื่อให้ถูกต้องทางคณิตศาสตร์จากนั้นควรเขียนสองรากในคำตอบ:

x 1 = 3 x 2 = 3

แต่นี่เป็นเช่นนั้น - การพูดนอกเรื่องเล็กน้อย ที่โรงเรียนคุณสามารถเขียนและบอกว่ามีเพียงรูทเดียวเท่านั้น

ตอนนี้ตัวอย่างต่อไปนี้:

ดังที่เราทราบ รากของจำนวนลบจะไม่ถูกแยกออกมา ดังนั้นจึงไม่มีวิธีแก้ปัญหาในกรณีนี้

นั่นคือกระบวนการตัดสินใจทั้งหมด

ฟังก์ชันกำลังสอง

นี่คือวิธีที่โซลูชันมีลักษณะทางเรขาคณิต นี่เป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งที่จะต้องเข้าใจ (ในอนาคตในบทความใดบทความหนึ่ง เราจะวิเคราะห์โดยละเอียดถึงวิธีแก้ปัญหาของอสมการกำลังสอง)

นี่คือฟังก์ชันของแบบฟอร์ม:

โดยที่ x และ y เป็นตัวแปร

a, b, c เป็นตัวเลข โดยที่ a ≠ 0

กราฟเป็นพาราโบลา:

นั่นคือ ปรากฎว่าโดยการแก้สมการกำลังสองด้วย "y" เท่ากับศูนย์ เราจะพบจุดตัดของพาราโบลากับแกน x อาจมีสองจุดเหล่านี้ (การเลือกปฏิบัติเป็นค่าบวก) หนึ่งจุด (การเลือกปฏิบัติเป็นศูนย์) หรือไม่มีเลย (การเลือกปฏิบัติเป็นค่าลบ) ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับฟังก์ชันกำลังสอง คุณสามารถดูบทความโดย อินนา เฟลด์แมน

พิจารณาตัวอย่าง:

ตัวอย่างที่ 1: ตัดสินใจ 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = ข 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

คำตอบ: x 1 = 8 x 2 = -12

* คุณสามารถหารด้านซ้ายและด้านขวาของสมการด้วย 2 ได้ทันที นั่นคือ ลดความซับซ้อนของสมการ การคำนวณจะง่ายขึ้น

ตัวอย่างที่ 2: แก้ปัญหา x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

เราได้ x 1 \u003d 11 และ x 2 \u003d 11

ในคำตอบ อนุญาตให้เขียน x = 11

คำตอบ: x = 11

ตัวอย่างที่ 3: แก้ปัญหา x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

ดิสคริมิแนนต์เป็นค่าลบ ไม่มีคำตอบในจำนวนจริง

คำตอบ: ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

การเลือกปฏิบัติเป็นลบ มีทางแก้!

ที่นี่เราจะพูดถึงการแก้สมการในกรณีที่ได้รับการเลือกปฏิบัติเชิงลบ คุณรู้อะไรเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนหรือไม่? ฉันจะไม่ลงรายละเอียดที่นี่เกี่ยวกับสาเหตุและที่มาและบทบาทเฉพาะและความจำเป็นในวิชาคณิตศาสตร์ นี่คือหัวข้อสำหรับบทความแยกขนาดใหญ่

แนวคิดของจำนวนเชิงซ้อน

ทฤษฎีเล็กน้อย

จำนวนเชิงซ้อน z คือจำนวนของรูปแบบ

z = a + bi

โดยที่ a และ b เป็นจำนวนจริง i คือหน่วยจินตภาพที่เรียกว่า

a+bi เป็นเลขตัวเดียว ไม่ใช่ส่วนเสริม

หน่วยจินตภาพเท่ากับรูทของลบหนึ่ง:

ตอนนี้ให้พิจารณาสมการ:

รับสองคอนจูเกตรูต

สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์

พิจารณากรณีพิเศษ นี่คือเมื่อสัมประสิทธิ์ "b" หรือ "c" เท่ากับศูนย์ (หรือทั้งสองมีค่าเท่ากับศูนย์) พวกเขาจะแก้ไขได้อย่างง่ายดายโดยไม่ต้องเลือกปฏิบัติ

กรณีที่ 1 สัมประสิทธิ์ b = 0

สมการจะอยู่ในรูปแบบ:

มาแปลงร่างกันเถอะ:

ตัวอย่าง:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

กรณีที่ 2 สัมประสิทธิ์ c = 0

สมการจะอยู่ในรูปแบบ:

แปลงร่างแยกตัวประกอบ:

*ผลคูณเท่ากับศูนย์เมื่อตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับศูนย์

ตัวอย่าง:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 หรือ x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

กรณีที่ 3 สัมประสิทธิ์ b = 0 และ c = 0

เป็นที่ชัดเจนว่าคำตอบของสมการจะเป็น x = 0 เสมอ

คุณสมบัติที่เป็นประโยชน์และรูปแบบของสัมประสิทธิ์

มีคุณสมบัติที่ช่วยให้แก้สมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์สูงได้

แต่x 2 + bx+ ค=0 ความเท่าเทียมกัน

เอ + ข+ ค = 0,แล้ว

— ถ้าสำหรับสัมประสิทธิ์ของสมการ แต่x 2 + bx+ ค=0 ความเท่าเทียมกัน

เอ+ กับ =ข, แล้ว

คุณสมบัติเหล่านี้ช่วยแก้สมการบางประเภทได้

ตัวอย่างที่ 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

ผลรวมของสัมประสิทธิ์คือ 5001+( – 4995)+(– 6) = 0 ดังนั้น

ตัวอย่างที่ 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

ความเท่าเทียมกัน เอ+ กับ =ข, วิธี

ความสม่ำเสมอของสัมประสิทธิ์

1. หากในสมการ ax 2 + bx + c \u003d 0 สัมประสิทธิ์ "b" คือ (a 2 +1) และสัมประสิทธิ์ "c" เป็นตัวเลขเท่ากับสัมประสิทธิ์ "a" แสดงว่ารากของมันคือ

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a

ตัวอย่าง. พิจารณาสมการ 6x 2 +37x+6 = 0

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6

2. ถ้าในสมการขวาน 2 - bx + c \u003d 0 สัมประสิทธิ์ "b" คือ (a 2 +1) และสัมประสิทธิ์ "c" เท่ากับตัวเลขของสัมประสิทธิ์ "a" แล้วรากของมันคือ

ขวาน 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a

ตัวอย่าง. พิจารณาสมการ 15x 2 –226x +15 = 0

x 1 = 15 x 2 = 1/15

3. ถ้าอยู่ในสมการขวาน 2 + bx - c = 0 สัมประสิทธิ์ "b" เท่ากับ (a2 – 1) และสัมประสิทธิ์ “c” ตัวเลขเท่ากับสัมประสิทธิ์ "a", แล้วรากของมันก็เท่ากัน

ขวาน 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a

ตัวอย่าง. พิจารณาสมการ 17x 2 + 288x - 17 = 0

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. หากในสมการขวาน 2 - bx - c \u003d 0 สัมประสิทธิ์ "b" เท่ากับ (a 2 - 1) และสัมประสิทธิ์ c เท่ากับตัวเลขเท่ากับสัมประสิทธิ์ "a" แสดงว่ารากของมันคือ

ขวาน 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a

ตัวอย่าง. พิจารณาสมการ 10x2 - 99x -10 = 0

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

ทฤษฎีบทของเวียตา

ทฤษฎีบทของ Vieta ตั้งชื่อตาม Francois Vieta นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสที่มีชื่อเสียง การใช้ทฤษฎีบทของ Vieta เราสามารถแสดงผลรวมและผลิตภัณฑ์ของรากของ KU โดยพลการในแง่ของสัมประสิทธิ์

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

โดยสรุปแล้ว ตัวเลข 14 ให้เพียง 5 และ 9 เท่านั้น นี่คือรากเหง้า ด้วยทักษะบางอย่าง โดยใช้ทฤษฎีบทที่นำเสนอ คุณสามารถแก้สมการกำลังสองจำนวนมากได้ทันที

ทฤษฎีบทของเวียตา ยิ่งกว่านั้น สะดวกเพราะหลังจากแก้สมการกำลังสองตามปกติ (ผ่าน discriminant) สามารถตรวจสอบรากผลลัพธ์ได้ ฉันแนะนำให้ทำเช่นนี้ตลอดเวลา

วิธีการโอน

ด้วยวิธีนี้สัมประสิทธิ์ "a" จะถูกคูณด้วยพจน์อิสระราวกับว่า "โอน" ไปที่มันซึ่งเป็นสาเหตุที่เรียกว่า วิธีการโอนวิธีนี้ใช้เมื่อหารากของสมการได้ง่ายโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตา และที่สำคัญที่สุดคือเมื่อ discriminant เป็นกำลังสองที่แน่นอน

ถ้า แต่± b+c≠ 0 จากนั้นจึงใช้เทคนิคการถ่ายโอนเช่น:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

ตามทฤษฎีบทเวียตาในสมการ (2) มันง่ายที่จะตัดสินว่า x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

รากของสมการที่ได้จะต้องหารด้วย 2 (เนื่องจากทั้งสองถูก "โยน" จาก x 2) เราจึงได้

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5

เหตุผลคืออะไร? ดูว่าเกิดอะไรขึ้น

การเลือกปฏิบัติของสมการ (1) และ (2) คือ:

หากคุณดูที่รากของสมการ ก็จะได้ตัวส่วนต่างกันเท่านั้น และผลลัพธ์จะขึ้นอยู่กับสัมประสิทธิ์ที่ x 2:

รากที่สอง (แก้ไข) มีขนาดใหญ่กว่า 2 เท่า

ดังนั้นเราจึงหารผลลัพธ์ด้วย 2

*ถ้าเราทอยสามแบบ เราก็หารผลลัพธ์ด้วย 3 ไปเรื่อยๆ

คำตอบ: x 1 = 5 x 2 = 0.5

ตร. ur-ie และการสอบ

ฉันจะพูดสั้น ๆ เกี่ยวกับความสำคัญของมัน - คุณควรจะสามารถตัดสินใจได้อย่างรวดเร็วและไม่ต้องคิด คุณต้องรู้สูตรของรากและการแบ่งแยกด้วยใจ งานจำนวนมากที่เป็นส่วนหนึ่งของงาน USE มาจากการแก้สมการกำลังสอง (รวมถึงงานเรขาคณิต)

สิ่งที่ควรค่าแก่การสังเกต!

1. รูปแบบของสมการสามารถเป็น "โดยปริยาย" ได้ ตัวอย่างเช่น รายการต่อไปนี้เป็นไปได้:

15+ 9x 2 - 45x = 0 หรือ 15x+42+9x 2 - 45x=0 หรือ 15 -5x+10x 2 = 0

คุณต้องนำไปไว้ในรูปแบบมาตรฐาน (เพื่อไม่ให้สับสนเมื่อแก้ไข)

2. จำไว้ว่า x เป็นค่าที่ไม่รู้จักและสามารถเขียนแทนด้วยตัวอักษรอื่น ๆ - t, q, p, h และอื่น ๆ

” นั่นคือสมการของดีกรีแรก ในบทเรียนนี้ เราจะมาสำรวจ สมการกำลังสองคืออะไรและวิธีแก้ปัญหา

สมการกำลังสองคืออะไร

สิ่งสำคัญ!

ระดับของสมการถูกกำหนดโดยระดับสูงสุดที่ไม่ทราบค่า

หากระดับสูงสุดที่ไม่ทราบแทนค่าเป็น “2” แสดงว่าคุณมีสมการกำลังสอง

ตัวอย่างของสมการกำลังสอง

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0.25x = 0
• x 2 − 8 = 0

สิ่งสำคัญ! รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสองมีลักษณะดังนี้:

A x 2 + b x + c = 0

• "a" - ค่าสัมประสิทธิ์แรกหรืออาวุโส
• "b" - ค่าสัมประสิทธิ์ที่สอง;
• "c" เป็นสมาชิกฟรี

ในการหา "a", "b" และ "c" คุณต้องเปรียบเทียบสมการของคุณกับรูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสอง "ax 2 + bx + c \u003d 0"

มาฝึกการกำหนดสัมประสิทธิ์ "a", "b" และ "c" ในสมการกำลังสองกัน

• ก = -1
• ข = 1
• ค =

  1

  3

• a = 1
• ข = 0.25
• ค = 0

• a = 1
• ข = 0
• ค = −8

วิธีแก้สมการกำลังสอง

สมการพิเศษใช้ในการแก้สมการกำลังสองต่างจากสมการเชิงเส้น สูตรการหาราก.

จดจำ!

ในการแก้สมการกำลังสองคุณต้อง:

• นำสมการกำลังสองมาอยู่ในรูปแบบทั่วไป "ax 2 + bx + c \u003d 0" นั่นคือควรเหลือเพียง "0" ทางด้านขวา
• ใช้สูตรสำหรับราก:

ลองใช้ตัวอย่างเพื่อหาวิธีการใช้สูตรเพื่อหารากของสมการกำลังสอง ลองแก้สมการกำลังสองกัน

X 2 - 3x - 4 = 0

สมการ "x 2 - 3x - 4 = 0" ได้ลดขนาดลงเป็นรูปแบบทั่วไปแล้ว "ax 2 + bx + c = 0" และไม่ต้องการการอธิบายเพิ่มเติม แก้ได้ต้องสมัครเท่านั้น สูตรการหารากของสมการกำลังสอง.

ลองกำหนดสัมประสิทธิ์ "a", "b" และ "c" สำหรับสมการนี้

ด้วยความช่วยเหลือของมัน สมการกำลังสองใดๆ ก็สามารถแก้ได้

ในสูตร "x 1; 2 \u003d" นิพจน์รากมักจะถูกแทนที่
"b 2 − 4ac" กับตัวอักษร "D" และเรียกว่า discriminant แนวคิดเกี่ยวกับการเลือกปฏิบัติถูกกล่าวถึงในรายละเอียดเพิ่มเติมในบทเรียน "อะไรคือการเลือกปฏิบัติ"

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่งของสมการกำลังสอง

x 2 + 9 + x = 7x

ในรูปแบบนี้ ค่อนข้างยากที่จะกำหนดสัมประสิทธิ์ "a", "b" และ "c" ขั้นแรกให้นำสมการมาอยู่ในรูปแบบทั่วไป "ax 2 + bx + c \u003d 0"

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

ตอนนี้คุณสามารถใช้สูตรสำหรับราก

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

มีบางครั้งที่ไม่มีรากในสมการกำลังสอง สถานการณ์นี้เกิดขึ้นเมื่อจำนวนลบปรากฏในสูตรภายใต้รูท

ด้วยโปรแกรมคณิตศาสตร์นี้ คุณสามารถ แก้สมการกำลังสอง.

โปรแกรมไม่เพียงแต่ให้คำตอบสำหรับปัญหาเท่านั้น แต่ยังแสดงขั้นตอนการแก้ปัญหาด้วยสองวิธี:
- ใช้การเลือกปฏิบัติ
- ใช้ทฤษฎีบทเวียตา (ถ้าเป็นไปได้)

ยิ่งกว่านั้น คำตอบจะแสดงอย่างตรงไปตรงมา ไม่ใช่โดยประมาณ
ตัวอย่างเช่น สำหรับสมการ \(81x^2-16x-1=0\) คำตอบจะแสดงในรูปแบบนี้:

โปรแกรมนี้มีประโยชน์สำหรับนักเรียนมัธยมปลายในการเตรียมตัวสำหรับการทดสอบและการสอบ เมื่อทำการทดสอบความรู้ก่อนการสอบ Unified State สำหรับผู้ปกครองในการควบคุมการแก้ปัญหามากมายในวิชาคณิตศาสตร์และพีชคณิต หรืออาจจะแพงเกินไปสำหรับคุณที่จะจ้างติวเตอร์หรือซื้อหนังสือเรียนเล่มใหม่? หรือคุณแค่ต้องการทำการบ้านคณิตศาสตร์หรือพีชคณิตให้เสร็จโดยเร็วที่สุด? ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้โปรแกรมของเราพร้อมวิธีแก้ไขปัญหาโดยละเอียดได้

ด้วยวิธีนี้ คุณสามารถดำเนินการฝึกอบรมและ/หรือฝึกอบรมน้องชายหรือน้องสาวของคุณได้เอง ในขณะที่ระดับการศึกษาในด้านงานที่ต้องแก้ไขจะเพิ่มขึ้น

หากคุณไม่คุ้นเคยกับกฎการป้อนพหุนามกำลังสอง เราขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับกฎเหล่านี้

กฎการป้อนพหุนามกำลังสอง

อักษรละตินใดๆ สามารถทำหน้าที่เป็นตัวแปรได้
ตัวอย่างเช่น: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) เป็นต้น

สามารถป้อนตัวเลขทั้งหมดหรือเศษส่วนได้
ยิ่งไปกว่านั้น ตัวเลขที่เป็นเศษส่วนสามารถป้อนได้ไม่เพียงแต่ในรูปของทศนิยม แต่ยังอยู่ในรูปของเศษส่วนธรรมดาด้วย

กฎสำหรับการป้อนเศษส่วนทศนิยม
ในเศษส่วนทศนิยม ส่วนที่เป็นเศษส่วนสามารถแยกจากจำนวนเต็มโดยใช้จุดหรือลูกน้ำก็ได้
ตัวอย่างเช่น คุณสามารถป้อนทศนิยมดังนี้: 2.5x - 3.5x^2

กฎการป้อนเศษส่วนธรรมดา
เฉพาะจำนวนเต็มเท่านั้นที่สามารถทำหน้าที่เป็นตัวเศษ ตัวส่วน และจำนวนเต็มของเศษส่วน

ตัวส่วนไม่สามารถเป็นลบได้

เมื่อป้อนเศษส่วนตัวเลข ตัวเศษจะถูกแยกจากตัวส่วนด้วยเครื่องหมายหาร: /
ส่วนจำนวนเต็มแยกจากเศษส่วนด้วยเครื่องหมาย: &
อินพุต: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
ผลลัพธ์: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

เมื่อป้อนนิพจน์ คุณสามารถใช้วงเล็บ. ในกรณีนี้ เมื่อแก้สมการกำลังสอง นิพจน์ที่แนะนำจะถูกทำให้ง่ายขึ้นก่อน
ตัวอย่างเช่น: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

พบว่าไม่ได้โหลดสคริปต์บางตัวที่จำเป็นในการแก้ปัญหานี้ และโปรแกรมอาจไม่ทำงาน
คุณอาจเปิดใช้งาน AdBlock
ในกรณีนี้ ให้ปิดการใช้งานและรีเฟรชหน้า

เพราะ มีคนจำนวนมากที่ต้องการแก้ปัญหา คำขอของคุณอยู่ในคิว
หลังจากนั้นไม่กี่วินาที วิธีแก้ปัญหาจะปรากฏขึ้นด้านล่าง
โปรดรอ วินาที...

ถ้าคุณ สังเกตเห็นข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหาจากนั้นคุณสามารถเขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ในแบบฟอร์มคำติชม
อย่าลืม ระบุว่างานใดคุณตัดสินใจอะไร เข้าทุ่ง.

เกม, ปริศนา, อีมูเลเตอร์ของเรา:

ทฤษฎีเล็กน้อย

สมการกำลังสองและรากของมัน สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์

สมการแต่ละตัว
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
มีรูปแบบ
\(ax^2+bx+c=0, \)
โดยที่ x เป็นตัวแปร a, b และ c คือตัวเลข
ในสมการแรก a = -1, b = 6 และ c = 1.4, ในสมการที่สอง a = 8, b = -7 และ c = 0 ในสมการที่สาม a = 1, b = 0 และ c = 4/9 สมการดังกล่าวเรียกว่า สมการกำลังสอง.

คำนิยาม.
สมการกำลังสองสมการของรูปแบบ ax 2 +bx+c=0 ถูกเรียก โดยที่ x เป็นตัวแปร a, b และ c คือตัวเลขบางตัว และ \(a \neq 0 \)

ตัวเลข a, b และ c คือสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง หมายเลข a เรียกว่าสัมประสิทธิ์แรก หมายเลข b คือสัมประสิทธิ์ที่สอง และหมายเลข c คือการสกัดกั้น

ในแต่ละสมการของรูปแบบ ax 2 +bx+c=0, โดยที่ \(a \neq 0 \) กำลังที่ใหญ่ที่สุดของตัวแปร x คือกำลังสอง ดังนั้นชื่อ: สมการกำลังสอง

โปรดทราบว่าสมการกำลังสองเรียกอีกอย่างว่าสมการของดีกรีที่สอง เนื่องจากด้านซ้ายของมันคือพหุนามของดีกรีที่สอง

สมการกำลังสองซึ่งสัมประสิทธิ์ที่ x 2 คือ 1 เรียกว่า สมการกำลังสองลดลง. ตัวอย่างเช่น สมการกำลังสองที่ให้มาคือสมการ
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

หากในสมการกำลังสอง ax 2 +bx+c=0 อย่างน้อยหนึ่งสัมประสิทธิ์ b หรือ c เท่ากับศูนย์ สมการดังกล่าวจะเรียกว่า สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์. ดังนั้น สมการ -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 จึงเป็นสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ในครั้งแรกของพวกเขา b=0 ในวินาที c=0 ในที่สาม b=0 และ c=0

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์มีสามประเภท:
1) ขวาน 2 +c=0, โดยที่ \(c \neq 0 \);
2) ขวาน 2 +bx=0, โดยที่ \(b \neq 0 \);
3) ขวาน2=0.

พิจารณาการแก้สมการของแต่ละประเภทเหล่านี้

ในการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ ax 2 +c=0 สำหรับ \(c \neq 0 \) พจน์ว่างของมันจะถูกโอนไปทางด้านขวา และทั้งสองส่วนของสมการจะถูกหารด้วย a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \ลูกศรขวา x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

ตั้งแต่ \(c \neq 0 \), ดังนั้น \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

ถ้า \(-\frac(c)(a)>0 \) สมการจะมีรากที่สอง

ถ้า \(-\frac(c)(a) ในการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ ax 2 +bx=0 สำหรับ \(b \neq 0 \) แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายแล้วได้สมการ
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

ดังนั้น สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ ax 2 +bx=0 สำหรับ \(b \neq 0 \) จะมีสองรากเสมอ

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ axe 2 \u003d 0 เทียบเท่ากับสมการ x 2 \u003d 0 ดังนั้นจึงมีรากเดียว 0

สูตรหารากของสมการกำลังสอง

ให้เราพิจารณาว่าสมการกำลังสองได้รับการแก้ไขอย่างไรโดยที่สัมประสิทธิ์ของนิรนามและเทอมอิสระไม่เป็นศูนย์

เราแก้สมการกำลังสองในรูปแบบทั่วไปและเป็นผลให้เราได้สูตรของราก จากนั้นสามารถใช้สูตรนี้เพื่อแก้สมการกำลังสองได้

แก้สมการกำลังสอง ax 2 +bx+c=0

หารทั้งสองส่วนด้วย a เราจะได้สมการกำลังสองที่ลดลงเท่ากัน
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

เราแปลงสมการนี้โดยเน้นกำลังสองของทวินาม:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \ลูกศรขวา \)

นิพจน์รากเรียกว่า จำแนกสมการกำลังสองขวาน 2 +bx+c=0 (“discriminant” ในภาษาละติน - ตัวแยกความแตกต่าง) มันเขียนแทนด้วยตัวอักษร D เช่น
\(D = b^2-4ac\)

ตอนนี้ โดยใช้สัญกรณ์ของ discriminant เราเขียนสูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองใหม่:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \) โดยที่ \(D= b^2-4ac \)

เห็นได้ชัดว่า:
1) ถ้า D>0 แสดงว่าสมการกำลังสองมีสองราก
2) ถ้า D=0 สมการกำลังสองมีหนึ่งราก \(x=-\frac(b)(2a)\)
3) ถ้า D ดังนั้น ขึ้นอยู่กับค่าของ discriminant สมการกำลังสองสามารถมีได้ 2 ราก (สำหรับ D > 0) หนึ่งรูท (สำหรับ D = 0) หรือไม่มีรูท (สำหรับ D เมื่อแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตรนี้ ขอแนะนำให้ทำดังนี้
1) คำนวณการเลือกปฏิบัติและเปรียบเทียบกับศูนย์
2) ถ้า discriminant เป็นค่าบวกหรือเท่ากับศูนย์ ให้ใช้สูตรราก ถ้า discriminant เป็นค่าลบ ให้จดไว้ว่าไม่มีราก

ทฤษฎีบทของเวียตา

สมการกำลังสองที่กำหนด ax 2 -7x+10=0 มีราก 2 และ 5 ผลรวมของรากคือ 7 และผลิตภัณฑ์คือ 10 เราจะเห็นว่าผลรวมของรากเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สอง เครื่องหมายตรงข้าม, และผลคูณของรากเท่ากับพจน์ว่าง. สมการกำลังสองที่ลดลงซึ่งมีรากมีคุณสมบัตินี้

ผลรวมของรากของสมการกำลังสองที่ให้มานั้นเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สอง หารด้วยเครื่องหมายตรงข้าม และผลิตภัณฑ์ของรากจะเท่ากับเทอมว่าง

เหล่านั้น. ทฤษฎีบทของ Vieta ระบุว่าราก x 1 และ x 2 ของสมการกำลังสองลดลง x 2 +px+q=0 มีคุณสมบัติ:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)