ไซน์มีค่าเท่ากับอัตราส่วน ไซน์โคไซน์แทนเจนต์โคแทนเจนต์ของมุมแหลม

บรรยาย: ไซน์โคไซน์แทนเจนต์โคแทนเจนต์ของมุมโดยพลการ

ไซน์โคไซน์ของมุมโดยพลการ

เพื่อให้เข้าใจว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติคืออะไรลองหันไปที่วงกลมที่มีรัศมีหน่วย วงกลมนี้มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดบนระนาบพิกัด ในการกำหนดฟังก์ชันที่กำหนดเราจะใช้เวกเตอร์รัศมี หรือซึ่งเริ่มต้นที่ศูนย์กลางของวงกลมและจุด ร คือจุดของวงกลม เวกเตอร์รัศมีนี้สร้างมุมอัลฟากับแกน โอ้... เนื่องจากวงกลมมีรัศมีเท่ากับหนึ่งดังนั้น OP \u003d R \u003d 1.

ถ้าจากจุด ร ลดแนวตั้งฉากกับแกน โอ้แล้วเราจะได้สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับหนึ่ง

ถ้าเวกเตอร์รัศมีเคลื่อนที่ตามเข็มนาฬิกาจะเรียกทิศทางนี้ เชิงลบถ้ามันเคลื่อนที่ทวนเข็มนาฬิกา - บวก.

มุมไซน์ หรือคือการกำหนดจุด ร เวกเตอร์บนวงกลม

นั่นคือเพื่อให้ได้ค่าไซน์ของแอลฟามุมที่กำหนดจำเป็นต้องกำหนดพิกัด มี บนพื้นผิว

ค่านี้ได้มาอย่างไร? เนื่องจากเรารู้ว่าไซน์ของมุมโดยพลการในสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉากเราจึงได้สิ่งนั้น

และตั้งแต่นั้นมา R \u003d 1แล้ว บาป (α) \u003d y 0 .

ในวงกลมหน่วยค่าของการกำหนดต้องไม่น้อยกว่า -1 และมากกว่า 1 ซึ่งหมายความว่า

ไซน์เป็นค่าบวกในไตรมาสแรกและไตรมาสที่สองของวงกลมหน่วยและลบในไตรมาสที่สามและสี่

มุมโคไซน์ วงกลมที่กำหนดโดยเวกเตอร์รัศมี หรือคือ abscissa ของประเด็น ร เวกเตอร์บนวงกลม

นั่นคือเพื่อให้ได้ค่าโคไซน์ของแอลฟามุมที่กำหนดจำเป็นต้องกำหนดพิกัด X บนพื้นผิว

โคไซน์ของมุมโดยพลการในสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันกับด้านตรงข้ามมุมฉากเราได้สิ่งนั้น

และตั้งแต่นั้นมา R \u003d 1แล้ว cos (α) \u003d x 0 .

ในวงกลมหน่วยค่าของ abscissa ต้องไม่น้อยกว่า -1 และมากกว่า 1 ซึ่งหมายความว่า

โคไซน์เป็นบวกในไตรมาสที่หนึ่งและสี่ของวงกลมหน่วยและลบในไตรมาสที่สองและสาม

สัมผัส มุมโดยพลการ อัตราส่วนของไซน์ต่อโคไซน์ถือเป็น

ถ้าเราพิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากนี่คืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับขาที่อยู่ติดกัน ถ้าเรากำลังพูดถึงวงกลมหน่วยนี่คืออัตราส่วนของการกำหนดกับ abscissa

เมื่อพิจารณาจากความสัมพันธ์เหล่านี้สามารถเข้าใจได้ว่าแทนเจนต์ไม่สามารถมีอยู่ได้หากค่าของ abscissa เท่ากับศูนย์นั่นคือที่มุม 90 องศา แทนเจนต์สามารถรับค่าอื่น ๆ ได้ทั้งหมด

แทนเจนต์เป็นบวกในไตรมาสที่หนึ่งและสามของวงกลมหน่วยและลบในไตรมาสที่สองและสี่

ตรีโกณมิติเป็นวิทยาศาสตร์ที่มีต้นกำเนิดในตะวันออกโบราณ อัตราส่วนตรีโกณมิติแรกได้มาจากนักดาราศาสตร์เพื่อสร้างปฏิทินและการวางแนวดาวที่แม่นยำ การคำนวณเหล่านี้เกี่ยวข้องกับตรีโกณมิติทรงกลมขณะที่อยู่ในหลักสูตรของโรงเรียนพวกเขาศึกษาอัตราส่วนภาพและมุมของสามเหลี่ยมแบน

ตรีโกณมิติเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติและความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยม

ในช่วงยุครุ่งเรืองของวัฒนธรรมและวิทยาศาสตร์ของคริสต์ศักราชที่ 1 ความรู้แพร่กระจายจากตะวันออกโบราณไปยังกรีก แต่การค้นพบหลักของตรีโกณมิติเป็นผลดีของคนอาหรับหัวหน้าศาสนาอิสลาม โดยเฉพาะอย่างยิ่งอัล - มาราซวีนักวิทยาศาสตร์ชาวเติร์กเมนได้แนะนำฟังก์ชันต่างๆเช่นแทนเจนต์และโคแทนเจนต์โดยรวบรวมตารางค่าแรกของไซน์แทนเจนต์และโคแทนเกนต์ แนวคิดของไซน์และโคไซน์ได้รับการแนะนำโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดีย ความสนใจจำนวนมากทุ่มเทให้กับตรีโกณมิติในผลงานของบุคคลสำคัญในสมัยโบราณเช่น Euclid, Archimedes และ Eratosthenes

ปริมาณพื้นฐานของตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานของอาร์กิวเมนต์ตัวเลข ได้แก่ ไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ แต่ละอันมีกราฟของตัวเอง: ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์

สูตรคำนวณค่าของปริมาณเหล่านี้เป็นไปตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส เด็กนักเรียนรู้จักคำนี้ดีกว่า: "กางเกงในพีทาโกรัสเท่ากันทุกทิศทาง" เนื่องจากได้รับการพิสูจน์จากตัวอย่างของสามเหลี่ยมหน้าจั่วมุมฉาก

ไซน์โคไซน์และการอ้างอิงอื่น ๆ สร้างความสัมพันธ์ระหว่างมุมแหลมกับด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ ให้สูตรคำนวณค่าเหล่านี้สำหรับมุม A และติดตามความสัมพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

อย่างที่คุณเห็น tg และ ctg เป็นฟังก์ชันผกผัน ถ้าเราแทนขา a เป็นผลคูณของบาป A และด้านตรงข้ามมุมฉาก c และขา b เป็น cos A * c เราจะได้สูตรต่อไปนี้สำหรับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์:

วงกลมตรีโกณมิติ

ในทางกราฟิกอัตราส่วนของปริมาณเหล่านี้สามารถแสดงได้ดังนี้:

วงกลมในกรณีนี้แสดงถึงค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของมุมα - ตั้งแต่ 0 °ถึง 360 ° ดังที่คุณเห็นจากรูปแต่ละฟังก์ชันรับค่าลบหรือบวกขึ้นอยู่กับมุม ตัวอย่างเช่น sin αจะมีเครื่องหมาย "+" ถ้าαอยู่ในไตรมาส I และ II ของวงกลมนั่นคืออยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 °ถึง 180 ° เมื่อαอยู่ระหว่าง 180 °ถึง 360 ° (III และ IV ควอร์เตอร์) sin αจะเป็นลบเท่านั้น

มาลองสร้างตารางตรีโกณมิติสำหรับมุมเฉพาะและหาค่าของปริมาณ

ค่าของαเท่ากับ 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 180 °และอื่น ๆ เรียกว่ากรณีพิเศษ ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับพวกเขาจะถูกคำนวณและนำเสนอในรูปแบบของตารางพิเศษ

มุมเหล่านี้ไม่ได้ถูกเลือกโดยบังเอิญ การกำหนดπในตารางย่อมาจากเรเดียน Rad คือมุมที่ความยาวของส่วนโค้งวงกลมตรงกับรัศมี ค่านี้ถูกนำมาใช้เพื่อสร้างการพึ่งพาสากลเมื่อคำนวณเป็นเรเดียนความยาวจริงของรัศมีในหน่วยซม. ไม่สำคัญ

มุมในตารางสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติสอดคล้องกับค่าของเรเดียน:

ดังนั้นจึงเดาได้ไม่ยากว่า2πเป็นวงกลมเต็มหรือ 360 °

สมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ: ไซน์และโคไซน์

ในการพิจารณาและเปรียบเทียบคุณสมบัติหลักของไซน์และโคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์จำเป็นต้องวาดฟังก์ชัน สามารถทำได้ในรูปแบบของเส้นโค้งที่อยู่ในระบบพิกัดสองมิติ

พิจารณาตารางเปรียบเทียบคุณสมบัติของคลื่นไซน์และคลื่นโคไซน์:

การพิจารณาว่าฟังก์ชันเป็นแบบสม่ำเสมอหรือไม่นั้นง่ายมาก ก็เพียงพอแล้วที่จะจินตนาการถึงวงกลมตรีโกณมิติที่มีสัญลักษณ์ของปริมาณตรีโกณมิติและ "บวก" กราฟเกี่ยวกับแกน OX หากสัญญาณตรงกันฟังก์ชันจะเป็นเลขคู่หรือเป็นเลขคี่

การนำเรเดียนและการแจกแจงคุณสมบัติหลักของไซน์และโคไซน์ช่วยให้เราสามารถระบุรูปแบบต่อไปนี้:

มันง่ายมากที่จะตรวจสอบให้แน่ใจว่าสูตรนั้นถูกต้อง ตัวอย่างเช่นสำหรับ x \u003d π / 2 ไซน์คือ 1 เช่นเดียวกับโคไซน์ x \u003d 0 การตรวจสอบสามารถทำได้โดยอ้างอิงตารางหรือโดยการติดตามเส้นโค้งของฟังก์ชันสำหรับค่าที่กำหนด

Tangentoid และ Cotangentoid Properties

พล็อตของฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์แตกต่างจากไซน์และโคไซน์อย่างมาก ค่า tg และ ctg จะผกผันซึ่งกันและกัน

1. Y \u003d tg x
2. แทนเกนซอยด์มีแนวโน้มที่ค่า y ที่ x \u003d π / 2 + πk แต่จะไม่ถึงค่านั้น
3. คาบบวกที่เล็กที่สุดของแทนเจนต์คือπ
4. Tg (- x) \u003d - tg x นั่นคือฟังก์ชันเป็นเลขคี่
5. Tg x \u003d 0 สำหรับ x \u003d πk
6. ฟังก์ชั่นก็เพิ่มขึ้น
7. Tg x› 0 สำหรับ x ϵ (πk, π / 2 + πk)
8. Tg x ‹0 สำหรับ x ϵ (- π / 2 + πk, πk)
9. อนุพันธ์ (tg x) ’\u003d 1 / cos 2 \u2061x

พิจารณาการแสดงภาพกราฟิกของ cotangentoid ด้านล่างในข้อความ

คุณสมบัติหลักของ cotangensoid:

1. Y \u003d ctg x
2. ต่างจากฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ในแทนเจนต์ Y สามารถรับค่าของเซตของจำนวนจริงทั้งหมดได้
3. cotangensoid มีแนวโน้มที่ค่า y ที่ x \u003d πk แต่จะไม่ถึงค่านั้น
4. ช่วงเวลาบวกที่น้อยที่สุดของ cotangensoid คือπ
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x นั่นคือฟังก์ชันเป็นเลขคี่
6. Ctg x \u003d 0 สำหรับ x \u003d π / 2 + πk
7. ฟังก์ชันกำลังลดลง
8. Ctg x› 0 สำหรับ x ϵ (πk, π / 2 + πk)
9. Ctg x ‹0 สำหรับ x ϵ (π / 2 + πk, πk)
10. อนุพันธ์ (ctg x) ’\u003d - 1 / sin 2 \u2061xถูกต้อง

จะหาไซน์ได้อย่างไร?

การเรียนเรขาคณิตช่วยพัฒนาการคิด วิชานี้จำเป็นต้องรวมอยู่ในการฝึกอบรมของโรงเรียน ในชีวิตความรู้ในเรื่องนี้มีประโยชน์เช่นเมื่อวางแผนอพาร์ทเมนต์

จากประวัติ

นอกจากนี้ยังมีการศึกษาตรีโกณมิติซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของรายวิชาเรขาคณิตซึ่งตรวจสอบฟังก์ชันตรีโกณมิติ ในตรีโกณมิติเราศึกษาไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนท์ของมุม

แต่สำหรับตอนนี้เรามาเริ่มจากสิ่งที่ง่ายที่สุดนั่นคือไซน์ มาดูแนวคิดแรกกันอย่างใกล้ชิดนั่นคือไซน์ของมุมในรูปทรงเรขาคณิต ไซน์คืออะไรและคุณพบได้อย่างไร?

แนวคิดของ "มุมไซน์" และไซน์

ไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของค่าของขาตรงข้ามและด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก นี่คือฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยตรงซึ่งในการเขียนแสดงเป็น "sin (x)" โดยที่ (x) คือมุมของสามเหลี่ยม

บนกราฟไซน์ของมุมจะแสดงด้วยรูปไซน์ที่มีลักษณะเฉพาะของมันเอง ไซน์ไซน์มีลักษณะเป็นเส้นหยักที่ต่อเนื่องกันซึ่งอยู่ภายในข้อ จำกัด บางประการบนระนาบพิกัด ฟังก์ชันเป็นเลขคี่ดังนั้นจึงสมมาตรเมื่อเทียบกับ 0 บนระนาบพิกัด (ออกจากจุดกำเนิดของพิกัด)

ขอบเขตของฟังก์ชันนี้อยู่ในช่วง -1 ถึง +1 ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน คาบของฟังก์ชันมุมไซน์คือ 2 Pi ซึ่งหมายความว่าทุกๆ 2 pi จะมีการทำซ้ำรูปแบบและไซน์จะผ่านครบวงจร

สมการไซนัส

• บาป x \u003d a / c
• โดยที่ a คือขาตรงข้ามกับมุมของสามเหลี่ยม
• c - ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก

คุณสมบัติมุมไซน์

1. บาป (x) \u003d - บาป (x) คุณลักษณะนี้แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันนั้นสมมาตรและหากตั้งค่า x และ (-x) ไว้ทั้งสองทิศทางบนระบบพิกัดตำแหน่งของจุดเหล่านี้จะตรงข้ามกัน พวกเขาจะอยู่ห่างจากกันเท่า ๆ กัน
2. คุณสมบัติอีกประการหนึ่งของฟังก์ชันนี้คือกราฟของฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลา [- P / 2 + 2 Pn]; [П / 2 + 2Пn] โดยที่ n คือจำนวนเต็มใด ๆ การลดลงของกราฟของไซน์ของมุมจะสังเกตเห็นในส่วน: [P / 2 + 2 Pn]; [3P / 2 + 2Pn]
3. บาป (x)\u003e 0 เมื่อ x อยู่ในช่วง (2Пn, П + 2Пn)
4. (x)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

ค่าของรูจมูกของมุมถูกกำหนดตามตารางพิเศษ ตารางดังกล่าวถูกสร้างขึ้นเพื่ออำนวยความสะดวกในกระบวนการคำนวณสูตรและสมการที่ซับซ้อน ใช้งานง่ายและมีค่าของฟังก์ชัน sin (x) ไม่เพียงเท่านั้น แต่ยังรวมถึงค่าของฟังก์ชันอื่น ๆ ด้วย

ยิ่งไปกว่านั้นตารางค่ามาตรฐานของฟังก์ชันเหล่านี้ยังรวมอยู่ในการศึกษาหน่วยความจำภาคบังคับโดยเป็นตารางการคูณ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับชั้นเรียนที่มีอคติทางกายภาพและทางคณิตศาสตร์ ในตารางคุณจะเห็นค่าของมุมหลักที่ใช้ในตรีโกณมิติ: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 และ 360 องศา

นอกจากนี้ยังมีตารางที่กำหนดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมที่ไม่ได้มาตรฐาน การใช้ตารางที่แตกต่างกันคุณสามารถคำนวณไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของบางมุมได้อย่างง่ายดาย

สมการประกอบด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ มันง่ายมากที่จะแก้สมการเหล่านี้ถ้าคุณรู้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติอย่างง่ายและการแปลงฟังก์ชันเช่น sin (P / 2 + x) \u003d cos (x) และอื่น ๆ นอกจากนี้ยังมีการรวบรวมตารางแยกสำหรับนักแสดงดังกล่าว

วิธีหาไซน์ของมุม

เมื่องานคือการค้นหาไซน์ของมุมและโดยเงื่อนไขเรามีเพียงโคไซน์แทนเจนต์หรือโคแทนเจนต์ของมุมเราสามารถคำนวณสิ่งที่เราต้องการได้อย่างง่ายดายโดยใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติ

• บาป 2 x + cos 2 x \u003d 1

จากสมการนี้เราสามารถหาทั้งไซน์และโคไซน์ได้ขึ้นอยู่กับว่าค่าใดไม่ทราบ เราได้สมการตรีโกณมิติโดยไม่ทราบสมการ:

• บาป 2 x \u003d 1 - cos 2 x
• บาป x \u003d ±√ 1 - cos 2 x
• ctg 2 x + 1 \u003d 1 / บาป 2 x

จากสมการนี้คุณสามารถหาค่าของไซน์ได้โดยรู้ค่าโคแทนเจนต์ของมุม เพื่อความง่ายให้แทนที่ sin 2 x \u003d y จากนั้นคุณจะมีสมการง่ายๆ ตัวอย่างเช่นค่าโคแทนเจนต์คือ 1 จากนั้น:

• 1 + 1 \u003d 1 / ปี
• 2 \u003d 1 / ปี
• 2y \u003d 1
• y \u003d 1/2

ตอนนี้เราทำการเปลี่ยนเกมย้อนกลับ:

• บาป 2 x \u003d ½
• บาป x \u003d 1 / √2

เนื่องจากเราใช้ค่าโคแทนเจนต์สำหรับมุมมาตรฐาน (45 0) จึงสามารถตรวจสอบค่าที่ได้รับกับตารางได้

หากคุณได้รับค่าของแทนเจนต์ แต่คุณต้องหาไซน์เอกลักษณ์ตรีโกณมิติอื่นจะช่วยได้:

• tg x * ctg x \u003d 1

เป็นไปตามนั้น:

• ctg x \u003d 1 / tg x

ในการค้นหาไซน์ของมุมที่ไม่ได้มาตรฐานตัวอย่างเช่น 240 0 คุณต้องใช้สูตรการลดมุม เรารู้ว่าπสอดคล้องกับ 180 0 ดังนั้นเราจะแสดงความเท่าเทียมกันในแง่ของมุมมาตรฐานโดยการขยาย

• 240 0 = 180 0 + 60 0

เราต้องหาสิ่งต่อไปนี้: บาป (180 0 + 60 0) ตรีโกณมิติมีสูตรการลดที่มีประโยชน์ในกรณีนี้ นี่คือสูตร:

• บาป (π + x) \u003d - บาป (x)

ดังนั้นไซน์ของมุม 240 องศาคือ:

• บาป (180 0 + 60 0) \u003d - บาป (60 0) \u003d - √3 / 2

ในกรณีของเรา x \u003d 60 และ P ตามลำดับ 180 องศา เราพบค่า (-√3 / 2) จากตารางค่าของฟังก์ชันของมุมมาตรฐาน

ด้วยวิธีนี้สามารถขยายมุมที่ไม่ได้มาตรฐานได้เช่น 210 \u003d 180 + 30

ไซนัส มุมแหลมαของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วน ตรงข้าม ขาไปยังด้านตรงข้ามมุมฉาก
ถูกกำหนดให้เป็น: sin α

โคไซน์ มุมแหลมαของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันกับด้านตรงข้ามมุมฉาก
ถูกกำหนดให้เป็น: cos α

สัมผัส มุมแหลมαคืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับขาที่อยู่ติดกัน
ถูกกำหนดดังนี้: tg α

โคแทนเจนต์ มุมแหลมαคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันกับขาตรงข้าม
มีการกำหนดดังนี้: ctg α

ไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมขึ้นอยู่กับขนาดของมุมเท่านั้น

กฎ:

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก:

(α - มุมแหลมตรงข้ามกับขา ข และติดกับขา ก ... ด้านข้าง จาก - ด้านตรงข้ามมุมฉาก β เป็นมุมแหลมที่สอง).

ด้วยมุมแหลมที่เพิ่มขึ้นsin αและtg αเพิ่มขึ้นและcos αลดลง

สำหรับมุมแหลมใด ๆ α:

บาป (90 ° - α) \u003d cos α

cos (90 ° - α) \u003d บาปα

ตัวอย่างคำชี้แจง:

ให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
AB \u003d 6,
BC \u003d 3,
มุม A \u003d 30º

หาค่าไซน์ของมุม A และโคไซน์ของมุม B

การตัดสินใจ.

1) อันดับแรกเราหาค่าของมุม B ทุกอย่างง่ายมาก: เนื่องจากในสามเหลี่ยมมุมฉากผลรวมของมุมแหลมคือ 90 °จากนั้นมุม B \u003d 60 °:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º

2) คำนวณบาป A. เรารู้ว่าไซน์เท่ากับอัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก สำหรับมุม A ขาตรงข้ามคือด้าน BC ดังนั้น:

พ.ศ. 3 1
บาป A \u003d - \u003d - \u003d -
AB 6 2

3) ตอนนี้เราคำนวณ cos B เรารู้แล้วว่าโคไซน์เท่ากับอัตราส่วนของขาข้างเคียงกับด้านตรงข้ามมุมฉาก สำหรับมุม B ขาที่อยู่ติดกันคือด้านเดียวกัน BC ซึ่งหมายความว่าเราต้องหาร BC ด้วย AB อีกครั้งนั่นคือดำเนินการเช่นเดียวกับเมื่อคำนวณไซน์ของมุม A:

พ.ศ. 3 1
คอส B \u003d - \u003d - \u003d -
AB 6 2

ผลลัพธ์คือ:
บาป A \u003d cos B \u003d 1/2

บาป30º \u003d cos 60º \u003d 1/2.

จากนี้ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไซน์ของมุมแหลมหนึ่งจะเท่ากับโคไซน์ของมุมแหลมอีกมุมหนึ่ง - และในทางกลับกัน นี่คือความหมายทั้งสองสูตรของเรา:
บาป (90 ° - α) \u003d cos α
cos (90 ° - α) \u003d บาปα

ตรวจสอบให้แน่ใจอีกครั้ง:

1) ให้α \u003d 60º การแทนที่ค่าของαเป็นสูตรไซน์เราจะได้รับ:
บาป (90º - 60º) \u003d cos 60º
บาป30º \u003d cos 60º

2) ให้α \u003d 30º การแทนที่ค่าของαเป็นสูตรโคไซน์เราจะได้:
cos (90 ° - 30 °) \u003d บาป 30 °
cos 60 ° \u003d บาป 30 °

(สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับตรีโกณมิติโปรดดูส่วนพีชคณิต)

เราจะเริ่มการศึกษาเรื่องตรีโกณมิติด้วยสามเหลี่ยมมุมฉาก ลองนิยามว่าไซน์และโคไซน์คืออะไรรวมทั้งแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมแหลม นี่คือพื้นฐานของตรีโกณมิติ

จำได้ว่า มุมฉาก คือมุม 90 องศา กล่าวอีกนัยหนึ่งคือครึ่งหนึ่งของมุมที่แบนราบ

มุมที่คมชัด - น้อยกว่า 90 องศา

มุมป้าน - มากกว่า 90 องศา เมื่อนำไปใช้กับมุมดังกล่าว "ใบ้" ไม่ใช่การดูถูก แต่เป็นคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ :-)

มาวาดสามเหลี่ยมมุมฉากกัน มักจะระบุมุมฉาก โปรดทราบว่าด้านตรงข้ามมุมจะแสดงด้วยตัวอักษรเดียวกันโดยมีขนาดเล็กเท่านั้น ดังนั้นด้านตรงข้ามมุม A จะแสดง

มุมจะแสดงด้วยตัวอักษรกรีกที่สอดคล้องกัน

Hypotenuse สามเหลี่ยมมุมฉากคือด้านตรงข้ามกับมุมฉาก

ขา- ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมที่แหลมคม

ขาตรงข้ามมุมเรียก ตรงข้าม (สัมพันธ์กับมุม) ขาอีกข้างหนึ่งซึ่งอยู่ที่มุมด้านหนึ่งเรียกว่า ที่อยู่ติดกัน.

ไซนัส มุมแหลมในสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก:

โคไซน์ มุมแหลมในสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันกับด้านตรงข้ามมุมฉาก:

สัมผัส มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับขาที่อยู่ติดกัน:

นิยามอื่น (เทียบเท่า): แทนเจนต์ของมุมแหลมคืออัตราส่วนของไซน์ของมุมกับโคไซน์:

โคแทนเจนต์ มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันกับขาตรงข้าม (หรือซึ่งก็คืออัตราส่วนของโคไซน์ต่อไซน์ที่เท่ากัน):

สังเกตความสัมพันธ์พื้นฐานของไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ด้านล่าง พวกเขาจะเป็นประโยชน์กับเราเมื่อแก้ปัญหา

มาพิสูจน์กัน

เอาล่ะเราได้กำหนดและเขียนสูตรแล้ว ไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์มีไว้เพื่ออะไร?

เรารู้ว่า ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมใด ๆ คือ.

เรารู้ความสัมพันธ์ระหว่าง ปาร์ตี้ สามเหลี่ยมมุมฉาก. นี่คือทฤษฎีบทพีทาโกรัส:.

ปรากฎว่ารู้สองมุมในสามเหลี่ยมคุณจะพบมุมที่สาม เมื่อรู้ทั้งสองด้านในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคุณจะพบด้านที่สาม ซึ่งหมายความว่าสำหรับมุม - อัตราส่วนของตัวมันเองสำหรับด้านข้าง - ของมันเอง แต่ถ้ารู้มุมหนึ่งในสามเหลี่ยมมุมฉาก (ยกเว้นด้านขวา) และด้านหนึ่ง แต่คุณต้องหาด้านอื่น ๆ ?

ผู้คนต้องเผชิญกับสิ่งนี้ในอดีตการสร้างแผนที่ของพื้นที่และท้องฟ้าที่เต็มไปด้วยดวงดาว อย่างไรก็ตามเป็นไปไม่ได้ที่จะวัดด้านทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมโดยตรงเสมอไป

ไซน์โคไซน์และแทนเจนต์ - เรียกอีกอย่างว่า ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม - ให้ความสัมพันธ์ระหว่าง ปาร์ตี้ และ มุม สามเหลี่ยม. เมื่อรู้มุมคุณสามารถค้นหาฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดได้โดยใช้ตารางพิเศษ เมื่อทราบไซน์โคไซน์และแทนเจนต์ของมุมของสามเหลี่ยมและด้านใดด้านหนึ่งแล้วคุณจะพบส่วนที่เหลือ

เราจะวาดตารางของค่าไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์สำหรับมุม "ดี" จากถึง

สังเกตสองขีดสีแดงในตาราง ไม่มีแทนเจนต์และโคแทนเจนต์สำหรับมุมที่ตรงกัน

มาวิเคราะห์งานตรีโกณมิติหลายอย่างจาก FIPI Task Bank

1. ในรูปสามเหลี่ยมมุมคือ หา.

ปัญหาจะได้รับการแก้ไขในสี่วินาที

ตราบเท่าที่ , .

2. ในรูปสามเหลี่ยมมุมคือ ,,. หา.

ค้นหาตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

สามเหลี่ยมที่มีมุมและหรือมีมุมและมักพบในปัญหา จดจำอัตราส่วนพื้นฐานสำหรับพวกเขา!

สำหรับสามเหลี่ยมที่มีมุมและขาตรงข้ามกับมุม b จะเท่ากับ ครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก.

สามเหลี่ยมที่มีมุมและหน้าจั่ว ในนั้นด้านตรงข้ามมุมฉากมีขนาดใหญ่กว่าขาหลายเท่า

เราตรวจสอบปัญหาในการแก้ปัญหาสามเหลี่ยมมุมฉากนั่นคือการหาด้านหรือมุมที่ไม่รู้จัก แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด! ในเวอร์ชันของการสอบวิชาคณิตศาสตร์มีปัญหามากมายที่ไซน์โคไซน์แทนเจนต์หรือโคแทนเจนต์ของมุมด้านนอกของสามเหลี่ยมปรากฏขึ้น เพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ในบทความถัดไป