หาเส้นตรงโดยใช้ 2 จุด สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด: ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหา

สมการของเส้นตรงผ่านจุดสองจุด บทความ" " ฉันสัญญาว่าคุณจะวิเคราะห์วิธีที่สองในการแก้ปัญหาที่นำเสนอในการหาอนุพันธ์สำหรับกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดและแทนเจนต์ของกราฟนี้ เราจะวิเคราะห์วิธีนี้ใน , ไม่ควรพลาด! ทำไม ในครั้งต่อไป?

ความจริงก็คือจะใช้สูตรสมการของเส้นตรงที่นั่น แน่นอนคุณสามารถแสดงสูตรนี้และแนะนำให้คุณเรียนรู้ได้ แต่จะดีกว่าที่จะอธิบายว่ามันมาจากไหน (ได้มาอย่างไร) มันจำเป็น! หากคุณลืมให้รีบเรียกคืน จะไม่ยาก ทุกอย่างมีรายละเอียดด้านล่าง ดังนั้นเราจึงมีจุด A สองจุดบนระนาบพิกัด(x 1; y 1) และ B (x 2; y 2) เส้นตรงลากผ่านจุดที่ระบุ:

นี่คือสูตรสำหรับเส้นตรง:

* นั่นคือเมื่อแทนที่พิกัดเฉพาะของจุดเราจะได้สมการของรูปแบบ y \u003d kx + b

** หากสูตรที่ระบุเป็นเพียง "หยัก" แสดงว่ามีความเป็นไปได้สูงที่จะสับสนกับดัชนีที่ x... นอกจากนี้ดัชนีสามารถแสดงได้หลายวิธีเช่น

นั่นคือเหตุผลที่สำคัญที่จะต้องเข้าใจความหมาย

ตอนนี้ข้อสรุปของสูตรนี้ ทุกอย่างง่ายมาก!

รูปสามเหลี่ยม ABE และ ACF มีความคล้ายคลึงกันในมุมแหลม (สัญญาณแรกของความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก) จากนี้ความสัมพันธ์ขององค์ประกอบที่เกี่ยวข้องจะเท่ากันนั่นคือ:

ตอนนี้เราเพียงแค่แสดงส่วนเหล่านี้ในแง่ของความแตกต่างในพิกัดของจุด:

แน่นอนว่าจะไม่มีข้อผิดพลาดหากคุณเขียนความสัมพันธ์ขององค์ประกอบในลำดับที่แตกต่างกัน (สิ่งสำคัญคือการเก็บการโต้ตอบไว้):

ผลลัพธ์จะได้สมการเส้นตรงเหมือนกัน ได้เลย!

นั่นคือไม่ว่าจะกำหนดจุดเอง (และพิกัด) อย่างไรเมื่อเข้าใจสูตรนี้คุณจะพบสมการของเส้นตรงเสมอ

สูตรสามารถหาได้โดยใช้คุณสมบัติของเวกเตอร์ แต่หลักการของการอนุมานจะเหมือนกันเนื่องจากเราจะพูดถึงสัดส่วนของพิกัด ในกรณีนี้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะใช้งานได้เหมือนกัน ในความคิดของฉันผลลัพธ์ที่อธิบายไว้ข้างต้นนั้นชัดเจนกว่า))

ดูผลลัพธ์ผ่านพิกัดเวกเตอร์ \u003e\u003e\u003e

ให้สร้างเส้นตรงบนระนาบพิกัดผ่านสองจุดที่กำหนด A (x 1; y 1) และ B (x 2; y 2) ให้เราทำเครื่องหมายบนเส้นตรงโดยพลการจุด C พร้อมพิกัด ( x; ย). เรายังแสดงถึงเวกเตอร์สองตัว:

เป็นที่ทราบกันดีว่าสำหรับเวกเตอร์ที่อยู่บนเส้นขนาน (หรือบนเส้นตรงหนึ่งเส้น) พิกัดที่สอดคล้องกันนั้นเป็นสัดส่วนนั่นคือ:

- เราเขียนความเท่าเทียมกันของอัตราส่วนของพิกัดที่เกี่ยวข้อง:

ลองพิจารณาตัวอย่าง:

หาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดพร้อมพิกัด (2; 5) และ (7: 3)

คุณไม่จำเป็นต้องสร้างเส้นตรงเอง เราใช้สูตร:

เป็นสิ่งสำคัญที่คุณจะต้องจับใจความเมื่อร่างอัตราส่วน คุณไม่สามารถผิดพลาดได้หากคุณเขียน:

คำตอบ: y \u003d -2 / 5x + 29/5 ไป y \u003d -0.4x + 5.8

เพื่อให้แน่ใจว่าพบสมการที่ได้รับอย่างถูกต้องอย่าลืมทำการตรวจสอบ - แทนที่พิกัดของข้อมูลในเงื่อนไขของจุดลงไป คุณควรได้รับความเท่าเทียมที่เหมาะสม

นั่นคือทั้งหมด ฉันหวังว่าเนื้อหานี้จะเป็นประโยชน์สำหรับคุณ

ขอแสดงความนับถือ Alexander

ป.ล. : ฉันจะขอบคุณถ้าคุณสามารถบอกเราเกี่ยวกับไซต์บนโซเชียลเน็ตเวิร์กได้

สมการ พาราโบลา คือฟังก์ชันกำลังสอง มีหลายทางเลือกในการสร้างสมการนี้ ทุกอย่างขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ที่แสดงในคำชี้แจงปัญหา

คำแนะนำ

พาราโบลาคือเส้นโค้งที่มีรูปร่างคล้ายกับส่วนโค้งและเป็นกราฟของฟังก์ชันกำลัง โดยไม่คำนึงถึงลักษณะของพาราโบลาอันนี้จะเท่ากัน ฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่าแม้สำหรับค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์จากนิยามเมื่อสัญลักษณ์ของอาร์กิวเมนต์เปลี่ยนไปค่าจะไม่เปลี่ยนแปลง: f (-x) \u003d f (x) เริ่มต้นด้วยฟังก์ชันที่ง่ายที่สุด: y \u003d x ^ 2. จากรูปแบบเราสามารถสรุปได้ว่าเป็นทั้งค่าบวกและค่าลบของอาร์กิวเมนต์ x จุดที่ x \u003d 0 และในเวลาเดียวกัน y \u003d 0 ถือเป็นจุด

ด้านล่างนี้คือตัวเลือกหลักทั้งหมดสำหรับการสร้างฟังก์ชันนี้และมัน ตัวอย่างแรกด้านล่างเราจะพิจารณาฟังก์ชันของรูปแบบ: f (x) \u003d x ^ 2 + a โดยที่ a เป็นจำนวนเต็มในการพล็อตกราฟของฟังก์ชันนี้จำเป็นต้องเปลี่ยนกราฟของฟังก์ชัน f (x) โดยหน่วย ตัวอย่างคือฟังก์ชัน y \u003d x ^ 2 + 3 โดยที่ฟังก์ชันถูกเลื่อนโดยสองหน่วยตามแกน y หากกำหนดฟังก์ชันที่มีเครื่องหมายตรงข้ามเช่น y \u003d x ^ 2-3 กราฟของมันจะเลื่อนลงตามแกน y

ฟังก์ชันอีกประเภทหนึ่งที่สามารถกำหนดพาราโบลาได้คือ f (x) \u003d (x + a) ^ 2 ในกรณีเช่นนี้กราฟจะถูกเลื่อนไปตามแกน x (แกน x) โดยหน่วย ตัวอย่างเช่นพิจารณาฟังก์ชัน: y \u003d (x +4) ^ 2 และ y \u003d (x-4) ^ 2 ในกรณีแรกที่มีฟังก์ชันที่มีเครื่องหมายบวกกราฟจะเลื่อนตามแกน x ไปทางซ้ายและในกรณีที่สองไปทางขวา กรณีทั้งหมดนี้แสดงในรูป

ให้คะแนนสองคะแนน ม(X1 ,มี1) และ น(X2, ย2). ให้เราหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดเหล่านี้

เนื่องจากเส้นนี้ผ่านจุด มจากนั้นตามสูตร (1.13) สมการของมันมีรูปแบบ

มี – ย1 = เค(X - x1),

ที่ไหน เค - ความลาดชันที่ไม่รู้จัก

ค่าของสัมประสิทธิ์นี้กำหนดจากเงื่อนไขที่เส้นที่ต้องการผ่านจุด นดังนั้นพิกัดของมันจึงเป็นไปตามสมการ (1.13)

ย2 – ย1 = เค(X2 – X1),

จากตรงนี้คุณจะพบความชันของเส้นตรงนี้:

,

หรือหลังการแปลง

(1.14)

สูตร (1.14) กำหนด สมการของเส้นตรงผ่านจุดสองจุด ม(X1, ย1) และ น(X2, ย2).

ในกรณีพิเศษเมื่อแต้ม ม(ก, 0), น(0, ข), และ ¹ 0, ข ¹ 0 นอนบนแกนพิกัดสมการ (1.14) อยู่ในรูปแบบที่ง่ายกว่า

สมการ (1.15) เรียกว่า โดยสมการของเส้นตรงในส่วน, ที่นี่ และ และ ข หมายถึงส่วนที่ตัดด้วยเส้นตรงบนแกน (รูปที่ 1.6)

รูปที่ 1.6

ตัวอย่างที่ 1.10. หาเส้นตรงผ่านจุด ม(1, 2) และ ข(3, –1).

. ตาม (1.14) สมการของเส้นที่ต้องการมีรูปแบบ

2(ย – 2) = -3(X – 1).

โอนคำศัพท์ทั้งหมดไปทางด้านซ้ายในที่สุดเราก็ได้สมการที่ต้องการ

3X + 2ย – 7 = 0.

ตัวอย่าง 1.11. หาเส้นตรงผ่านจุด ม(2, 1) และจุดตัดของเส้น X+ Y -1 = 0, X - ย+ 2 = 0.

. เราหาพิกัดของจุดตัดของเส้นตรงโดยการแก้สมการที่กำหนดร่วมกัน

ถ้าเราบวกสมการเหล่านี้ทีละเทอมเราจะได้ 2 X + 1 \u003d 0 ไหน. การแทนที่ค่าที่พบในสมการใด ๆ เราจะพบค่าของการกำหนด มี:

ตอนนี้เราเขียนสมการของเส้นตรงผ่านจุด (2, 1) และ:

หรือ .

ดังนั้นหรือ –5 ( ย – 1) = X – 2.

สุดท้ายเราได้สมการของเส้นตรงที่ต้องการในรูปแบบ X + 5ย – 7 = 0.

ตัวอย่างที่ 1.12 หาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด ม(2,1) และ น(2,3).

ใช้สูตร (1.14) เราได้สมการ

มันไม่สมเหตุสมผลเพราะตัวส่วนที่สองเป็นศูนย์ จะเห็นได้จากโจทย์ปัญหาว่าตัวย่อของทั้งสองจุดมีค่าเท่ากัน ดังนั้นเส้นตรงที่ต้องการจึงขนานกับแกน เอ๋ย และสมการของมันคือ: x = 2.

แสดงความคิดเห็น . ถ้าเมื่อเขียนสมการของเส้นตรงตามสูตร (1.14) ตัวหารตัวใดตัวหนึ่งกลายเป็นศูนย์คุณสามารถหาสมการที่ต้องการได้โดยการหาค่าตัวเศษที่สอดคล้องกันเป็นศูนย์

พิจารณาวิธีอื่น ๆ ในการกำหนดเส้นตรงบนระนาบ

1. ให้เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด ลและจุด ม0(X0, ย0) อยู่บนเส้นตรงนี้ (รูปที่ 1.7)

รูปที่ 1.7

เราหมายถึง ม(X, ย) จุดโดยพลการบนเส้น ล... เวกเตอร์และ มุมฉาก การใช้เงื่อนไขมุมฉากสำหรับเวกเตอร์เหล่านี้เราจะได้รับอย่างใดอย่างหนึ่ง และ(X – X0) + ข(ย – ย0) = 0.

เราได้สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด ม0 ตั้งฉากกับเวกเตอร์ เวกเตอร์นี้เรียกว่า เวกเตอร์ปกติ ตรง ล... สมการผลลัพธ์สามารถเขียนใหม่เป็น

โอ้ + แอ่ว + จาก \u003d 0 โดยที่ จาก = –(และX0 + โดย0), (1.16),

ที่ไหน และ และ ใน- พิกัดของเวกเตอร์ปกติ

เราได้สมการทั่วไปของเส้นตรงในรูปแบบพาราเมตริก

2. เส้นตรงบนระนาบสามารถระบุได้ดังนี้ให้เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ขนานกับเส้นตรงที่กำหนด ล และจุด ม0(X0, ย0) อยู่บนเส้นตรงนี้ มาชี้จุดตามอำเภอใจอีกครั้ง ม(X, y) บนเส้นตรง (รูปที่ 1.8)

รูปที่ 1.8

เวกเตอร์และ collinear.

ให้เราเขียนเงื่อนไขของ collinearity ของเวกเตอร์เหล่านี้:, ที่ไหน ที - หมายเลขตามอำเภอใจเรียกว่าพารามิเตอร์ ลองเขียนความเท่าเทียมกันนี้ในพิกัด:

สมการเหล่านี้เรียกว่า สมการพาราเมตริก ตรง... เราแยกพารามิเตอร์ออกจากสมการเหล่านี้ ที:

สมการเหล่านี้สามารถเขียนในรูปแบบได้

. (1.18)

สมการผลลัพธ์เรียกว่า สมการที่เป็นที่ยอมรับของเส้น... เวกเตอร์เรียกว่า เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง .

แสดงความคิดเห็น . มันง่ายที่จะเห็นว่าถ้าเป็นเวกเตอร์ปกติของเส้น ลจากนั้นเวกเตอร์ทิศทางของมันอาจเป็นเวกเตอร์ได้เนื่องจากนั่นคือ

ตัวอย่าง 1.13. เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด ม0 (1, 1) ขนานกับเส้นตรง 3 X + 2มี– 8 = 0.

การตัดสินใจ . เวกเตอร์เป็นเวกเตอร์ปกติของเส้นตรงที่กำหนดและต้องการ ให้เราใช้สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด ม0 พร้อมเวกเตอร์ปกติที่กำหนด 3 ( X –1) + 2(มี - 1) \u003d 0 หรือ 3 X + 2 ปี - 5 \u003d 0 ได้รับสมการของเส้นตรงที่ต้องการ

เส้นตรงที่ผ่านจุด K (x 0; y 0) และขนานกับเส้นตรง y \u003d kx + a พบได้จากสูตร:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

โดยที่ k คือความชันของเส้นตรง

สูตรทางเลือก:
เส้นตรงที่ผ่านจุด M 1 (x 1; y 1) และขนานกับเส้นตรง Ax + By + C \u003d 0 แสดงโดยสมการ

A (x-x 1) + B (y-y 1) \u003d 0 (2)

ตัวอย่าง # 2. เขียนสมการของเส้นตรงขนานกับเส้นตรง 2x + 5y \u003d 0 และสร้างพร้อมกับแกนพิกัดสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่ 5
การตัดสินใจ ... เนื่องจากเส้นตรงขนานกันสมการของเส้นตรงที่ต้องการคือ 2x + 5y + C \u003d 0 พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยที่ a และ b คือขาของมัน ค้นหาจุดตัดของเส้นตรงที่ต้องการด้วยแกนพิกัด:
;
.
ดังนั้น A (-C / 2.0), B (0, -C / 5) แทนที่ด้วยสูตรสำหรับพื้นที่: ... เราได้วิธีแก้ปัญหาสองวิธี: 2x + 5y + 10 \u003d 0 และ 2x + 5y - 10 \u003d 0

ตัวอย่าง # 3. สร้างสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด (-2; 5) และขนานกับเส้นตรง 5x-7y-4 \u003d 0
การตัดสินใจ. เส้นตรงนี้สามารถแทนได้ด้วยสมการ y \u003d 5/7 x - 4/7 (ที่นี่ a \u003d 5/7) สมการของเส้นตรงที่ต้องการคือ y - 5 \u003d 5/7 (x - (-2)) เช่น 7 (y-5) \u003d 5 (x + 2) หรือ 5x-7y + 45 \u003d 0

ตัวอย่างหมายเลข 4. การแก้ตัวอย่างที่ 3 (A \u003d 5, B \u003d -7) โดยใช้สูตร (2) เราพบว่า 5 (x + 2) -7 (y-5) \u003d 0

ตัวอย่างหมายเลข 5. สร้างสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด (-2; 5) และขนานกับเส้นตรง 7x + 10 \u003d 0
การตัดสินใจ. ที่นี่ A \u003d 7, B \u003d 0 สูตร (2) ให้ 7 (x + 2) \u003d 0 เช่น x + 2 \u003d 0 สูตร (1) ใช้ไม่ได้เนื่องจากสมการนี้ไม่สามารถแก้ไขได้เมื่อเทียบกับ y (เส้นนี้ขนานกับแกนกำหนด)

สมบัติของเส้นตรงในเรขาคณิตแบบยูคลิด

คุณสามารถวาดเส้นตรงจำนวนมากผ่านจุดใดก็ได้

เส้นตรงเส้นเดียวสามารถลากผ่านจุดที่ไม่บังเอิญสองจุดใดก็ได้

เส้นตรงสองเส้นที่ไม่ตรงกันบนระนาบตัดกันที่จุดเดียวหรือเป็น

ขนาน (ตามจากก่อนหน้านี้)

ในปริภูมิสามมิติมีสามตัวเลือกสำหรับตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นตรงสองเส้น:

• เส้นตรงตัดกัน

• เส้นตรงขนานกัน

• เส้นตรงตัดกัน

ตรง ไลน์ - เส้นโค้งพีชคณิตของลำดับแรก: ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเส้นตรง

ได้รับบนระนาบโดยสมการขององศาแรก (สมการเชิงเส้น)

สมการทั่วไปของเส้นตรง

คำจำกัดความ... เส้นตรงบนระนาบสามารถกำหนดได้จากสมการลำดับที่หนึ่ง

ขวาน + Wu + C \u003d 0,

ด้วยค่าคงที่ ก, ข ไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน สมการลำดับที่หนึ่งนี้เรียกว่า เรื่องธรรมดา

สมการของเส้นตรง ขึ้นอยู่กับค่าของค่าคงที่ ก, ข และ จาก กรณีพิเศษดังต่อไปนี้เป็นไปได้:

. C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - เส้นตรงผ่านจุดกำเนิด

. A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (โดย + C \u003d 0)- เส้นตรงขนานกับแกน โอ้

. B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (ขวาน + C \u003d 0) - เส้นตรงขนานกับแกน OU

. B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - เส้นตรงตรงกับแกน OU

. A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - เส้นตรงตรงกับแกน โอ้

สมการของเส้นตรงสามารถนำเสนอในรูปแบบที่แตกต่างกันขึ้นอยู่กับสิ่งที่กำหนด

เงื่อนไขเริ่มต้น

สมการของเส้นตรงตามจุดและเวกเตอร์ปกติ

คำจำกัดความ... ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนเวกเตอร์ที่มีส่วนประกอบ (A, B)

ตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการ

ขวาน + Wu + C \u003d 0

ตัวอย่าง... หาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด ก (1, 2) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ (3, -1).

การตัดสินใจ... ที่ A \u003d 3 และ B \u003d -1 เราจะเขียนสมการของเส้นตรง: 3x - y + C \u003d 0 เพื่อหาค่าสัมประสิทธิ์ C

แทนที่ในนิพจน์ผลลัพธ์พิกัดของจุดที่กำหนด A เราได้: 3 - 2 + C \u003d 0 ดังนั้น

C \u003d -1 รวม: สมการที่ต้องการ: 3x - y - 1 \u003d 0

สมการของเส้นตรงผ่านจุดสองจุด

ให้คะแนนสองจุดในอวกาศ ม 1 (x 1, y 1, z 1)และ M2 (x 2, y 2, z 2), แล้ว สมการเส้นตรง,

ผ่านจุดเหล่านี้:

ถ้าตัวส่วนใด ๆ เป็นศูนย์ตัวเศษที่เกี่ยวข้องควรจะเท่ากับศูนย์ บน

ระนาบสมการของเส้นตรงที่เขียนไว้ด้านบนนั้นง่ายขึ้น:

ถ้าก x 1 ≠ x 2 และ x \u003d x 1 ถ้าก x 1 \u003d x 2 .

เศษส่วน \u003d k เรียกว่า ความลาดชัน ตรง.

ตัวอย่าง... หาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด A (1, 2) และ B (3, 4)

การตัดสินใจ... ใช้สูตรข้างต้นเราจะได้รับ:

สมการของเส้นตรงตามจุดและความชัน

ถ้าสมการทั่วไปของเส้นตรง ขวาน + Wu + C \u003d 0 นำไปสู่แบบฟอร์ม:

และกำหนด จากนั้นจึงเรียกสมการผลลัพธ์

สมการของเส้นตรงที่มีความชัน k

สมการของเส้นตรงตามจุดและเวกเตอร์ทิศทาง

เมื่อเปรียบเทียบกับย่อหน้าโดยพิจารณาสมการของเส้นตรงผ่านเวกเตอร์ปกติคุณสามารถเข้าสู่งานได้

เส้นตรงผ่านจุดและเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

คำจำกัดความ... เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ทุกตัว (α 1, α 2)ซึ่งส่วนประกอบตรงตามเงื่อนไข

Аα 1 + Вα 2 \u003d 0 เรียกว่า กำกับเวกเตอร์ของเส้นตรง

ขวาน + Wu + C \u003d 0

ตัวอย่าง... หาสมการของเส้นตรงด้วยเวกเตอร์ทิศทาง (1, -1) และผ่านจุด A (1, 2)

การตัดสินใจ... สมการของเส้นตรงที่ต้องการจะถูกค้นหาในรูปแบบ: ขวาน + โดย + C \u003d 0 ตามคำจำกัดความ

ค่าสัมประสิทธิ์ต้องเป็นไปตามเงื่อนไข:

1 * A + (-1) * B \u003d 0 เช่น A \u003d ข.

จากนั้นสมการของเส้นตรงมีรูปแบบ: ขวาน + Ay + C \u003d 0, หรือ x + y + C / A \u003d 0

ที่ x \u003d 1, y \u003d 2เราได้รับ C / A \u003d -3เช่น สมการที่ต้องการ:

x + y - 3 \u003d 0

สมการของเส้นตรงในเซกเมนต์

ถ้าในสมการทั่วไปของเส้นตรง Ax + Vy + C \u003d 0 C ≠ 0 ดังนั้นหารด้วย -C เราจะได้:

หรือที่ไหน

ความหมายทางเรขาคณิตของสัมประสิทธิ์คือสัมประสิทธิ์ a คือพิกัดของจุดตัด

ตรงกับแกน โอ้ และ ข - พิกัดของจุดตัดของเส้นตรงกับแกน OU.

ตัวอย่าง... สมการทั่วไปของเส้นจะได้รับ x - y + 1 \u003d 0หาสมการของเส้นตรงนี้ในส่วน

C \u003d 1, a \u003d -1, b \u003d 1

สมการปกติของเส้นตรง

ถ้าทั้งสองข้างของสมการ ขวาน + Wu + C \u003d 0 หารด้วยจำนวน ซึ่งเรียกว่า

normalizing ปัจจัยแล้วเราจะได้รับ

xcosφ + ysinφ - p \u003d 0 -สมการเส้นตรง.

ควรเลือกเครื่องหมาย±ของปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้เป็นเช่นนั้น μ * ค< 0.

ร - ความยาวของแนวตั้งฉากที่ลดลงจากจุดเริ่มต้นถึงเส้นตรง

และ φ - มุมที่เกิดจากสิ่งนี้ตั้งฉากกับทิศทางบวกของแกน โอ้.

ตัวอย่าง... มีการกำหนดสมการทั่วไปของเส้น 12x - 5y - 65 \u003d 0... จำเป็นต้องเขียนสมการประเภทต่างๆ

เส้นตรงนี้

สมการของเส้นนี้ในเซกเมนต์:

สมการของเส้นตรงนี้ด้วยความชัน: (หารด้วย 5)

สมการเส้นตรง:

cos φ \u003d 12/13; บาปφ \u003d -5/13; p \u003d 5.

ควรสังเกตว่าไม่ใช่ทุกเส้นตรงที่สามารถแสดงด้วยสมการในกลุ่มตัวอย่างเช่นเส้นตรง

ขนานกับแกนหรือผ่านจุดกำเนิด

มุมระหว่างเส้นตรงบนระนาบ

คำจำกัดความ... ถ้ากำหนดสองบรรทัด y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2 แล้วเป็นมุมแหลมระหว่างเส้นเหล่านี้

จะถูกกำหนดให้เป็น

เส้นตรงสองเส้นขนานกันถ้า k 1 \u003d k 2... เส้นตรงสองเส้นตั้งฉาก

ถ้าก k 1 \u003d -1 / k 2 .

ทฤษฎีบท.

โดยตรง ขวาน + Wu + C \u003d 0และ ก 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ขนานกันเมื่อสัมประสิทธิ์เป็นสัดส่วน

А 1 \u003d λА, В 1 \u003d λВ... ถ้ายัง С 1 \u003d λСแล้วเส้นตรงก็ตรงกัน พิกัดของจุดตัดสองเส้น

พบว่าเป็นคำตอบของระบบสมการของเส้นตรงเหล่านี้

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดซึ่งตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนด

คำจำกัดความ... เส้นผ่านจุด ม. 1 (x 1, y 1) และตั้งฉากกับเส้น y \u003d kx + b

แทนด้วยสมการ:

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปอีกบรรทัด

ทฤษฎีบท... หากมีการให้คะแนน ม (x 0, y 0), ระยะทางถึงเส้นตรง ขวาน + Wu + C \u003d 0กำหนดเป็น:

หลักฐาน... ให้ประเด็น ม. 1 (x 1, y 1) - ฐานตั้งฉากหลุดจากจุด มสำหรับที่กำหนด

เส้นตรง. จากนั้นระยะห่างระหว่างจุด มและ ม. 1:

(1)

พิกัด x 1 และ ที่ 1 สามารถพบได้ในการแก้ปัญหาระบบสมการ:

สมการที่สองของระบบคือสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนด M 0 ที่ตั้งฉากกับ

เส้นตรงที่กำหนด ถ้าเราแปลงสมการแรกของระบบเป็นรูปแบบ:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + ขวาน 0 + โดย 0 + C \u003d 0,

จากนั้นเราจะได้รับ:

การแทนที่นิพจน์เหล่านี้เป็นสมการ (1) เราพบว่า:

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว