Walang katapusang mga hugis. Paradoxical mundo ng mga imposibleng bagay

pangunahing / Asawang mandaraya

Kakayahang lumikha at upang mapatakbo sa mga spatial na imahe ay naglalarawan sa antas ng pangkalahatang pag-unlad na intelektwal ng isang tao. SA pang-eksperimentong pag-aaral ang nagpatunay na sa pagitan ng pagkahilig ng isang tao na kaugnay na mga propesyon at ang antas ng pag-unlad ng mga representasyong spatial, mayroong isang maaasahang koneksyon sa istatistika. Ang malawakang paggamit ng imposibleng mga numero sa arkitektura, pagpipinta, sikolohiya, geometry at sa maraming iba pang mga larangan ng praktikal na buhay ay nagbibigay ng isang pagkakataon upang malaman ang tungkol sa iba`t ibang propesyon at magpasya ka pagpili ng isang hinaharap na propesyon.

Mga keyword: tribar, walang katapusang hagdanan, space plug, imposibleng mga kahon, tatsulok at ang hagdan ng Penrose, Escher cube, tatsulok na Reuterswaerd.

Layunin ng pag-aaral:pag-aaral ng mga katangian ng imposibleng mga numero gamit ang mga modelo ng 3-D.

Mga layunin sa pagsasaliksik:

Pag-aralan ang mga uri at gumawa ng isang pag-uuri ng mga imposibleng numero.
Isaalang-alang ang mga paraan upang makabuo ng mga imposibleng numero.
Lumikha ng mga imposibleng numero gamit ang isang computer program at 3D modeling.

Ang konsepto ng mga imposibleng numero

Walang layunin na konsepto ng "imposibleng mga numero". Mula sa isang mapagkukunan imposibleng pigura - isang uri ng ilusyon ng salamin sa mata, isang pigura na tila isang projection ng isang ordinaryong bagay na tatlong-dimensional, sa malapit na pagsusuri kung saan, nakikita ang mga magkasalungat na koneksyon ng mga elemento ng pigura. At mula sa ibang pinagmulan imposibleng mga numero ay mga geometrically contradictory na imahe ng mga bagay na hindi umiiral sa totoong three-dimensional space. Ang imposibilidad ay nagmumula sa pagkakasalungatan sa pagitan ng hindi malay na pinaghihinalaang geometry ng nakalarawan na espasyo at ng pormal na matematika na geometry.

Sinusuri ang iba't ibang mga kahulugan, napagpasyahan namin:

imposibleng pigura ay isang flat drawing na nagbibigay ng impression ng isang three-dimensional na bagay sa isang paraan na ang bagay na iminungkahi ng aming spatial perception ay hindi maaaring magkaroon, kaya ang pagtatangka na likhain ito ay humahantong sa (geometric) na mga kontradiksyon na malinaw na nakikita ng nagmamasid.

Kapag tiningnan namin ang isang imahe na nagbibigay ng impression ng isang spatial na bagay, sinusubukan ng aming system ng pang-unawa na spatial na makahanap ng spatial form, oryentasyon at istraktura, na nagsisimula sa pag-aaral ng mga indibidwal na mga fragment at pahiwatig ng lalim. Dagdag dito, ang magkakahiwalay na mga bahagi na ito ay pinagsama at pinagsama sa ilang pagkakasunud-sunod upang lumikha ng isang pangkalahatang teorya tungkol sa spatial na istraktura ng buong bagay. Karaniwan, sa kabila ng katotohanang ang isang patag na imahe ay maaaring magkaroon ng isang walang katapusang bilang ng mga spatial na interpretasyon, ang mekanismo ng aming interpretasyon ay pipili lamang ng isa - ang pinaka natural para sa amin. Ang interpretasyong ito ng imahe ang karagdagang nasubok para sa posibilidad o imposibilidad, at hindi ang pagguhit mismo. Ang isang imposibleng interpretasyon ay naging magkasalungat sa istraktura nito - ang iba't ibang mga bahagyang interpretasyon ay hindi umaangkop sa pangkalahatang pare-pareho nang buo.

Imposible ang mga pigura kung imposible ang kanilang natural na interpretasyon. Gayunpaman, hindi ito nagpapahiwatig na walang ibang interpretasyon ng parehong pigura na maaaring mayroon. Kaya, ang paghahanap ng isang pamamaraan para sa tumpak na paglalarawan ng spatial interpretasyon ng mga numero ay isa sa mga pangunahing paraan para sa karagdagang trabaho na may imposibleng mga numero at mga mekanismo ng kanilang interpretasyon. Kung nakapaglarawan ka ng iba`t ibang mga interpretasyon, pagkatapos ay maaari mong ihambing ang mga ito, maiugnay ang figure at iba't ibang interpretasyon nito (maunawaan ang mga mekanismo ng paglikha ng mga interpretasyon), suriin ang kanilang pagsulat o matukoy ang mga uri ng hindi pagkakapareho, atbp

Mga uri ng imposibleng numero

Ang mga imposibleng hugis ay nahahati sa dalawang malalaking klase: ang ilan ay may tunay na tatlong-dimensional na mga modelo, habang ang iba ay hindi maaaring malikha.

Sa kurso ng trabaho sa paksa, 4 na uri ng imposibleng mga numero ang pinag-aralan: isang tribo, isang walang katapusang hagdanan, imposibleng mga kahon at isang puwang ng tinidor. Lahat sila ay natatangi sa kanilang sariling pamamaraan.

Tribar (tatsulok na Penrose)

Ito ay isang imposibleng geometriko na pigura na ang mga elemento ay hindi maiugnay. Pagkatapos ng lahat, naging posible ang imposibleng tatsulok. Ang pinturang taga-Sweden na si Oskar Reyteswerd noong 1934 sa kauna-unahang pagkakataon ay ipinakita sa mundo ang isang imposibleng tatsulok na cube. Bilang paggalang sa kaganapang ito, isang selyo ng selyo ang ibinigay sa Sweden. Ang tribar ay maaaring gawin mula sa papel. Ang mga mahilig sa Origami ay nakakita ng isang paraan upang lumikha at hawakan sa kanilang mga kamay ang isang bagay na tila dati ay isang napakatinding pantasya ng isang siyentista. Gayunpaman, tayo ay nalinlang ng ating sariling mga mata kapag tiningnan natin ang projection ng isang tatlong-dimensional na bagay ng tatlong patayong linya. Tila sa nagmamasid na nakikita niya ang isang tatsulok, kahit na sa katunayan hindi.

Walang katapusang hagdanan.

Ang disenyo, na walang katapusan o gilid, ay naimbento ng biologist na si Leionel Penrose at ng kanyang anak na matematiko na si Roger Penrose. Ang modelo ay unang nai-publish noong 1958, matapos na ito ay nakakuha ng malaking katanyagan, naging isang klasikong imposibleng pigura, at ang pangunahing konsepto nito ay natagpuan ang aplikasyon sa pagpipinta, arkitektura, at sikolohiya. Ang modelo ng hagdan ng Penrose ay nakakuha ng pinakadakilang katanyagan sa paghahambing sa iba pang mga hindi totoong numero sa larangan ng mga laro sa computer, mga palaisipan, mga ilusyon sa salamin. "Up ang mga hakbang na humahantong pababa" - ito ay kung paano mo mailalarawan ang hagdan ng Penrose. Ang ideya ng disenyo na ito ay kapag gumagalaw pakanan, ang mga hakbang ay umaakay sa lahat ng oras pataas, at sa kabaligtaran na direksyon - pababa. Bukod dito, ang "walang hanggang hagdanan" ay binubuo lamang ng apat na flight. Nangangahulugan ito na pagkatapos ng apat na flight ng hagdan, nahahanap ng manlalakbay ang kanyang sarili sa parehong lugar mula sa kung saan siya nagsimulang lumipat.

Mga imposibleng kahon.

Ang isa pang imposibleng bagay ay lumitaw noong 1966 sa Chicago bilang isang resulta ng orihinal na mga eksperimento ng litratista na si Dr. Charles F. Cochran. Maraming mga tagahanga ng imposibleng mga numero ang nag-eksperimento sa Crazy Box. Orihinal na tinawag ito ng may-akda na isang "libreng kahon" at sinabi na ito ay "dinisenyo upang magpadala ng maraming imposibleng mga bagay." Ang "Crazy Box" ay isang frame ng kubo na nakabukas sa loob. Ang agarang hinalinhan ng "Crazy Box" ay ang "The Impossible Box" ni Escher, at ang hinalinhan nito, ay ang Necker Cube. Ito ay hindi isang imposibleng bagay, ngunit ito ay isang pigura kung saan ang lalim na parameter ay maaaring mapaghangad na hindi malinaw. Kapag tiningnan namin ang Necker cube, napansin namin na ang mukha na may punto ay nasa harapan o sa likuran, tumatalon ito mula sa isang posisyon patungo sa isa pa.

Space plug.

Kabilang sa lahat ng mga imposibleng numero, ang imposibleng trident ("space fork") ay sumasakop sa isang espesyal na lugar. Kung isara namin ang kanang bahagi ng trident gamit ang aming kamay, makikita namin ang isang tunay na larawan - tatlong bilog na ngipin. Kung isara natin ang ibabang bahagi ng trident, makikita rin namin ang isang totoong larawan - dalawang mga parihabang ngipin. Ngunit, kung isasaalang-alang natin ang buong pigura bilang isang buo, lumalabas na ang tatlong bilog na ngipin ay unti-unting nagiging dalawang hugis-parihaba.

Sa gayon, makikita mo na ang harapan at background ng pagguhit na ito ay nagkasalungatan. Iyon ay, kung ano ang una sa harapan ay bumalik, at ang background (gitnang ngipin) ay gumagapang pasulong. Bilang karagdagan sa pagbabago ng harapan at background, ang figure na ito ay may isa pang epekto - ang mga patag na gilid ng kanang bahagi ng trident ay naging bilog sa kaliwa. Ang imposibleng epekto ay nakamit dahil sa ang katunayan na ang aming utak ay pinag-aaralan ang tabas ng pigura at sinusubukan na bilangin ang bilang ng mga ngipin. Inihambing ng utak ang bilang ng mga ngipin sa pigura sa kaliwa at kanang bahagi ng larawan, na nagpapadama sa pigura na imposible. Kung ang bilang ng mga ngipin sa pigura ay higit na malaki (halimbawa, 7 o 8), kung gayon ang kabalintunaan na ito ay hindi gaanong mabibigkas.

Paggawa ng mga modelo ng mga imposibleng numero ayon sa mga guhit

Ang isang tatlong-dimensional na modelo ay isang pisikal na kinakatawan na bagay, kapag tiningnan sa kalawakan, lahat ng mga bitak at baluktot ay nakikita sa kalawakan, na sumisira sa ilusyon ng imposible, at ang modelong ito ay nawala ang "mahika" nito. Kapag ang modelong ito ay inaasahang papunta sa isang dalawang-dimensional na eroplano, isang imposibleng pigura ang nakuha. Ang imposibleng pigura na ito (taliwas sa isang tatlong-dimensional na modelo) ay lumilikha ng impresyon ng isang imposibleng bagay na maaaring mayroon lamang sa imahinasyon ng tao, ngunit hindi sa kalawakan.

Tribar

Modelong papel:

Imposibleng bar

Modelong papel:

Pagtatayo ng mga imposibleng numero saprogramaImposibleTagabuo

Ang imposibleng programa ng Tagabuo ay idinisenyo upang makabuo ng mga imahe ng imposibleng mga numero mula sa mga cube. Ang mga pangunahing kawalan ng program na ito ay ang pagiging kumplikado ng pagpili ng kinakailangang kubo (medyo mahirap hanapin ang isa sa 32 na cube na magagamit sa programa), pati na rin ang katunayan na ang lahat ng mga pagpipilian sa kubo ay hindi ibinigay. Ang iminungkahing programa ay nagbibigay ng isang kumpletong hanay ng mga cube upang pumili mula sa (64 cube), at nagbibigay din ng isang mas maginhawang paraan upang hanapin ang kinakailangang kubo gamit ang tagapagtayo ng mga cube.

Pagmomodelo ng mga imposibleng numero.

Pagpi-print 3D mga modelo ng imposibleng mga numero sa printer

Sa kurso ng trabaho, ang mga modelo ng apat na imposibleng numero ay na-print sa isang 3D printer.

Tatsulok na Penrose

Proseso ng paglikha ng Tribar:

Narito kung ano ang napunta ako sa:

Escher cube

Ang proseso ng paglikha ng isang kubo: Panghuli, isang modelo ang nakuha:

Penrose Ladder(pagkatapos ng apat na flight ng hagdan, nahahanap ng manlalakbay ang kanyang sarili sa parehong lugar mula sa kung saan siya nagsimulang lumipat):

Reutersward triangle(unang imposibleng tatsulok na siyam na cubes):

Ang proseso ng paghahanda para sa pagpi-print ay naging posible sa kasanayan upang malaman kung paano bumuo ng mga stereometric na numero sa isang eroplano, upang maisagawa ang mga pagpapakita ng mga elemento ng figure sa isang naibigay na eroplano at pag-isipan ang mga algorithm para sa pagbuo ng mga numero. Ang mga nilikha na modelo ay nakatulong upang makita ng visual at masuri ang mga katangian ng imposibleng mga numero, ihambing ang mga ito sa mga kilalang stereometric na numero.

"Kung hindi mo mababago ang sitwasyon, tingnan ito mula sa ibang anggulo."

Ang quote na ito ay direktang nauugnay sa gawaing ito. Sa katunayan, umiiral ang mga imposibleng numero kung titingnan mo ang mga ito mula sa isang tiyak na anggulo. Ang mundo ng mga imposibleng numero ay lubos na kawili-wili at magkakaiba. Nariyan sila mula sa mga sinaunang panahon hanggang sa ating panahon. Maaari silang matagpuan halos saanman: sa sining, arkitektura, kulturang masa, pagpipinta, pagpipinta ng icon, philatelicism. Ang mga imposibleng numero ay may interes sa mga psychologist, nagbibigay-malay na siyentipiko, at evolutionary biologists, na tumutulong na malaman ang higit pa tungkol sa aming paningin at spatial na pag-iisip. Ngayon, ang teknolohiya ng computer, virtual reality at projection ay nagpapalawak ng mga posibilidad upang ang mga hindi pagkakasundo na mga bagay ay maaaring matingnan na may na-bagong interes. Maraming mga propesyon na kahit papaano ay naiugnay sa imposibleng mga numero. Lahat sila ay hinihiling sa modernong mundo, at samakatuwid ang pag-aaral ng mga imposibleng numero ay nauugnay at kinakailangan.

Panitikan:

Reutersvard O. Imposibleng mga numero. - M.: Stroyizdat, 1990, 206 p.
Penrose L., Penrose R. Mga imposibleng bagay, Quantum, no. 5,1971, p. 26
Tkacheva M.V. umiikot na mga cube. - M.: Bustard, 2002 .-- 168 p.
http://www.im-possible.info/russian/articles/reut_imp/
http://www.impworld.narod.ru/.
Levitin Karl Geometric Rhapsody. - M.: Kaalaman, 1984, -176 p.
http://www.geocities.jp/ikemath/3Drireki.htm
http://im-possible.info/russian/programs/
https://www.liveinternet.ru/users/irzeis/post181085615
https://newtonew.com/science/impossible-objects
http://www.psy.msu.ru/illusion/impossible.html
http://referatwork.ru/category/iskusstvo/view/73068_nevozmozhnye_figury
http://geometry-and-art.ru/unn.html

Mga keyword: tribar, walang katapusang hagdanan, fork ng puwang, imposibleng mga kahon, tatsulok at hagdan ng Penrose, Escher cube, Reuterswärd triangle.

Annotation: Ang kakayahang lumikha at mapatakbo sa mga spatial na imahe ay naglalarawan sa antas ng pangkalahatang pag-unlad na intelektwal ng isang tao. Sa mga sikolohikal na pag-aaral, napatunayan na eksperimento na mayroong isang makabuluhang istatistika na ugnayan sa pagitan ng pagkahilig ng isang tao sa kaukulang propesyon at antas ng pag-unlad ng mga representasyong spatial. Ang malawakang paggamit ng mga imposibleng numero sa arkitektura, pagpipinta, sikolohiya, geometry at sa maraming iba pang mga lugar ng praktikal na buhay ay ginagawang posible upang malaman ang tungkol sa iba't ibang mga propesyon at magpasya sa pagpili ng hinaharap na propesyon.

Maraming naniniwala na ang imposibleng mga numero ay tunay na imposible at hindi sila maaaring malikha sa totoong mundo. Gayunpaman, alam namin mula sa kurso ng geometry ng paaralan na ang guhit na inilalarawan sa isang sheet ng papel ay isang projection ng isang three-dimensional na pigura papunta sa isang eroplano. Samakatuwid, ang anumang hugis na iginuhit sa isang piraso ng papel ay dapat na mayroon sa tatlong-dimensional na puwang. Bukod dito, ang mga three-dimensional na bagay, kapag inaasahang papunta sa isang eroplano, ay gumagawa ng isang walang katapusang hanay ng isang naibigay na flat figure. Nalalapat ang pareho sa imposibleng mga numero.

Siyempre, wala sa mga imposibleng numero ang maaaring malikha sa pamamagitan ng pagkilos sa isang tuwid na linya. Halimbawa, kung kukuha ka ng tatlong magkatulad na piraso ng kahoy, hindi mo magagawang magkasya ang mga ito upang bumuo ng isang imposibleng tatsulok. Gayunpaman, kapag nagpapalabas ng isang three-dimensional na pigura sa isang eroplano, ang ilang mga linya ay maaaring maging hindi nakikita, magkakapatong, magkakasama, atbp. Batay dito, maaari kaming kumuha ng tatlong magkakaibang mga bar at gawin ang tatsulok na ipinakita sa larawan sa ibaba (Larawan 1). Ang litratong ito ay nilikha ng sikat na popularidad ng mga akda ng M.K. Si Escher, ang may-akda ng isang malaking bilang ng mga libro ni Bruno Ernst. Sa harapan ng larawan, nakikita namin ang hugis ng isang imposibleng tatsulok. Ang isang salamin ay naka-install sa background, na sumasalamin ng parehong figure mula sa isang iba't ibang mga pananaw. At nakikita natin na, sa katunayan, ang pigura ng imposibleng tatsulok ay hindi sarado, ngunit isang bukas na pigura. At mula lamang sa puntong nagmumula sa tayahin tila ang patayong bar ng pigura ay napupunta sa likod ng pahalang na bar, bilang isang resulta kung saan imposible ang pigura. Kung binago namin ng kaunti ang anggulo sa pagtingin, makikita mo kaagad ang puwang sa pigura, at mawawala ang epekto nito ng imposibilidad. Ang katotohanan na ang isang imposibleng tayahin ay mukhang imposible mula sa isang pananaw lamang ay katangian ng lahat ng mga imposibleng numero.

Larawan: isa Imposibleng larawan ng tatsulok na kuha ni Bruno Ernst.

Tulad ng nabanggit sa itaas, ang bilang ng mga numero na tumutugma sa isang naibigay na projusyon ay walang hanggan, samakatuwid ang halimbawa sa itaas ay hindi lamang ang paraan upang bumuo ng isang imposibleng tatsulok sa katotohanan. Ang Belgian artist na si Mathieu Hamaekers ay lumikha ng iskultura na ipinakita sa Fig. 2. Ang litrato sa kaliwa ay nagpapakita ng isang pangharap na pagtingin sa pigura kung saan lumilitaw ito bilang isang imposibleng tatsulok, ipinakita sa gitna ng litrato ang parehong pigura na pinaikot ng 45 °, at ang larawan sa kanan ay nagpapakita ng figure na pinaikot 90 °.

Larawan: 2. Larawan ng pigura ng imposibleng tatsulok ni Mathieu Hemakers.

Tulad ng nakikita mo, walang mga tuwid na linya sa figure na ito sa lahat, ang lahat ng mga elemento ng pigura ay hubog sa isang tiyak na paraan. Gayunpaman, tulad ng sa dating kaso, ang epekto ng imposibilidad ay kapansin-pansin lamang sa isang anggulo ng pagtingin, kung ang lahat ng mga hubog na linya ay inaasahan sa mga tuwid na linya, at, kung hindi mo pinapansin ang ilang mga anino, ang pigura ay mukhang imposible.

Ang isa pang paraan upang lumikha ng isang imposibleng tatsulok ay iminungkahi ng Russian artist at taga-disenyo na si Vyacheslav Koleichuk at nai-publish sa journal na "Teknikal na Aesthetics" Blg. 9 (1974). Ang lahat ng mga gilid ng disenyo na ito ay tuwid na mga linya, at ang mga gilid ay hubog, kahit na ang kurbada na ito ay hindi nakikita sa pangharap na pagtingin ng pigura. Nilikha niya ang modelong ito ng isang tatsulok mula sa kahoy.

Larawan: 3. Modelo ng imposibleng tatsulok ni Vyacheslav Koleichuk.

Ang modelong ito ay kalaunan ay nilikha muli ni Gershon Elber, isang miyembro ng Computer Science Department ng Technion Institute sa Israel. Ang bersyon nito (tingnan ang Larawan 4) ay unang dinisenyo sa isang computer at pagkatapos ay muling likhain sa katotohanan gamit ang isang three-dimensional printer. Kung ililipat natin nang kaunti ang anggulo ng pagtingin ng imposibleng tatsulok, makikita natin ang isang pigura na katulad ng pangalawang larawan sa Fig. apat

Larawan: apat Isang pagkakaiba-iba ng pagbuo ng imposibleng tatsulok ni Elber Gershon.

Ito ay nagkakahalaga ng pansin na kung tinitingnan natin ngayon ang mga figure mismo, at hindi sa kanilang mga litrato, agad naming makikita na wala sa mga ipinakitang figure ang imposible, at ano ang sikreto ng bawat isa sa kanila. Hindi lamang namin makikita ang imposibleng ito, dahil mayroon kaming stereoscopic vision. Iyon ay, ang aming mga mata, na matatagpuan sa isang tiyak na distansya mula sa bawat isa, nakikita ang parehong bagay mula sa dalawang malapit, ngunit magkakaiba pa rin, ng mga pananaw, at ang aming utak, na nakatanggap ng dalawang mga imahe mula sa aming mga mata, pinagsasama ang mga ito sa isang solong larawan. Mas maaga sinabi na ang isang imposibleng bagay ay mukhang imposible lamang mula sa isang solong pananaw, at dahil naobserbahan natin ang isang bagay mula sa dalawang pananaw, nakita agad namin ang mga trick kung saan nilikha ito o ang bagay na iyon.

Nangangahulugan ba ito na sa katotohanan imposible pa ring makakita ng isang imposibleng bagay? Hindi, kaya mo. Kung isara mo ang isang mata at tumingin sa isang pigura, magiging imposible ito. Samakatuwid, sa mga museo, kapag nagpapakita ng imposibleng mga numero, pinipilit ang mga bisita na tingnan sila sa pamamagitan ng isang maliit na butas sa dingding.

May isa pang paraan kung saan maaari mong makita ang isang imposibleng pigura, at may dalawang mata nang sabay-sabay. Binubuo ito sa mga sumusunod: kinakailangan upang lumikha ng isang malaking pigura na kasing taas ng isang multi-storey na gusali, ilagay ito sa isang malawak na bukas na espasyo at tingnan ito mula sa isang napakatagal na distansya. Sa kasong ito, kahit na pagtingin sa figure na may dalawang mga mata, malalaman mo ito bilang imposible dahil sa ang katunayan na ang pareho ng iyong mga mata ay makakatanggap ng mga imahe na halos hindi makilala mula sa bawat isa. Ang nasabing isang imposibleng pigura ay nilikha sa lungsod ng Perth sa Australia.

Kung ang isang imposibleng tatsulok ay medyo madaling buuin sa totoong mundo, kung gayon hindi ganoon kadali ang lumikha ng isang imposibleng trident sa tatlong-dimensional na espasyo. Ang isang tampok ng figure na ito ay ang pagkakaroon ng isang kontradiksyon sa pagitan ng harapan at background ng figure, kapag ang mga indibidwal na elemento ng figure ay maayos na lumipat sa background kung saan matatagpuan ang figure.

Larawan: lima Ang konstruksyon ay katulad ng isang imposibleng trident.

Ang Institute of Eye Optics sa Aachen (Alemanya) ay nagawang malutas ang problemang ito sa pamamagitan ng paglikha ng isang espesyal na pag-install. Ang konstruksyon ay binubuo ng dalawang bahagi. Sa harap mayroong tatlong mga bilog na haligi at isang tagabuo. Ang bahaging ito ay naiilawan lamang sa ilalim. Sa likuran ng mga haligi ay isang kalahating natunaw na salamin na may isang sumasalamin na layer na matatagpuan sa harap, iyon ay, hindi nakikita ng manonood kung ano ang nasa likod ng salamin, ngunit nakikita lamang ang pagsasalamin ng mga haligi dito.

Larawan: 6.Ang pag-install ng diagram ay muling paggawa ng isang imposibleng trident.

D. RAKOV, Kandidato ng Agham Teknikal (A. A. Blagonravov Institute of Mechanical Engineering, RAS).

Mayroong isang malaking klase ng mga imahe tungkol sa alin ang maaaring sabihin: "Ano ang nakikita natin? Isang kakaibang bagay." Ito ang mga guhit na may isang baluktot na pananaw, at mga bagay na imposible sa aming tatlong-dimensional na mundo, at hindi maiisip na mga kumbinasyon ng ganap na totoong mga bagay. Lumilitaw sa simula ng ika-11 siglo, ang mga "kakaibang" guhit at litrato ngayon ay naging isang buong larangan ng sining, na tinatawag na imp-art.

William Hogard. "Imposibleng pananaw", kung saan hindi bababa sa labing-apat na mga pagkakamali ang sadyang ginawa sa pananaw.

Madonna at Bata. 1025 taon.

Pieter Bruegel. "Magpie on the Gallows". 1568 taon.

Oscar Rutesward. Opus 1 (# 293aa). 1934 taon.

Oscar Rutesward. "Opus 2B". 1940 taon.

Maurits Cornelius Escher. "Pag-akyat at Pagbaba".

Roger Penrose. "Imposibleng tatsulok". 1954 taon.

Ang pagtatayo ng "imposibleng tatsulok".

Sculpture na "Imposibleng Triangle", pagtingin mula sa iba't ibang panig. Ito ay binuo ng mga hubog na elemento at mukhang imposible mula sa isang punto lamang.

Fig. 1. Morphological table ng pag-uuri ng mga imposibleng bagay.

Nagsisimula ang isang tao upang siyasatin ang larawan mula sa ibabang kaliwang sulok (1), pagkatapos ay tumingin muna sa gitna (2), at pagkatapos ay ituro ang 3.

Nakasalalay sa direksyon na tinitingnan namin, nakakakita kami ng iba't ibang mga object.

Ang imposibleng alpabeto ay isang kumbinasyon ng mga posible at imposibleng hugis, bukod sa mayroong kahit isang elemento ng frame. Pagguhit ng may-akda.

Agham at Buhay // Mga Ilustrasyon

"Moscow" (scheme ng mga linya ng metro) at "Dalawang linya ng kapalaran". Mga guhit ng may-akda; pagproseso ng computer. 2003 taon. Nagpapakita ang mga numero ng mga bagong posibilidad para sa pagbuo ng mga diagram at graph.

Agham at Buhay // Mga Ilustrasyon

Cube sa isang kubo ("Tatlong mga kuhol"). Ang umiikot na imahe ay may mas mataas na antas ng "imposibilidad" kaysa sa orihinal.

"Damn fork." Maraming imposibleng mga imahe ay nilikha batay sa figure na ito.

Ano ang nakikita natin - isang piramide o isang pambungad?

Kaunting kasaysayan

Ang mga kuwadro na may isang baluktot na pananaw ay matatagpuan na sa simula ng unang milenyo. Ang isang maliit na larawan mula sa aklat ni Henry II, na nilikha bago ang 1025 at itinago sa Bavarian State Library sa Munich, ay naglalarawan ng Madonna at Child. Ang pagpipinta ay naglalarawan ng isang vault na binubuo ng tatlong mga haligi, at ang gitnang haligi, ayon sa mga batas ng pananaw, ay dapat na matatagpuan sa harap ng Madonna, ngunit nasa likuran niya, na nagbibigay sa pagpipinta ng epekto ng surealismo. Sa kasamaang palad, hindi namin malalaman kung ang diskarteng ito ay isang malay na kilos ng artist o kanyang pagkakamali.

Ang mga imahe ng mga imposibleng numero, hindi bilang isang may malay na direksyon sa pagpipinta, ngunit bilang mga diskarte na nagpapabuti sa epekto ng pang-unawa ng imahe, ay matatagpuan sa maraming mga pintor ng Middle Ages. Sa canvas ni Pieter Breughel, "The Magpie on the Gallows", nilikha noong 1568, ang bitayan ng isang imposibleng konstruksyon ay nakikita, na nagbibigay ng epekto sa buong larawan. Ang kilalang pag-ukit ng pintor ng Ingles noong ika-18 siglo na si William Hogarth na "Fake Perspective" ay nagpapakita ng kahangalan ng kamangmangan ng isang artista sa mga batas ng pananaw.

Noong unang bahagi ng ika-20 siglo, ang pinturang si Marcel Duchamp ay nagpinta ng isang pagpipinta sa advertising na "Apolinere enameled" (1916-1917), na nakalagay sa Philadelphia Museum of Art. Sa disenyo ng kama, ang mga imposibleng triangles at quadrangles ay makikita sa canvas.

Ang artista sa Sweden na si Oscar Reutersvard ay tama na tinawag na tagapagtatag ng direksyon ng imposibleng sining - imp-art, imposibleng art. Ang unang imposibleng pigura na "Opus 1" (N 293aa) ay iginuhit ng master noong 1934. Ang tatsulok ay binubuo ng siyam na cubes. Ipinagpatuloy ng artist ang kanyang mga eksperimento sa mga hindi pangkaraniwang bagay at noong 1940 nilikha ang "Opus 2B" na pigura, na kung saan ay isang nabawasang imposibleng tatsulok na binubuo lamang ng tatlong cube. Ang lahat ng mga cube ay totoo, ngunit ang kanilang pag-aayos sa tatlong-dimensional na puwang ay imposible.

Ang parehong artist ang lumikha ng prototype ng "imposibleng hagdanan" (1950). Ang pinakatanyag na klasikal na pigura na "Impossible Triangle" ay nilikha ng dalub-agbilang sa Ingles na si Roger Penrose noong 1954. Gumamit siya ng isang linear na pananaw kaysa sa isang kahanay tulad ng Ruthesward, na nagbigay ng lalim at pagpapahiwatig ng pagpipinta at, samakatuwid, isang mas mataas na antas ng imposibilidad.

Ang pinakatanyag na artista ng imp-art ay si M. C. Escher. Kabilang sa kanyang pinakatanyag na akda ay ang mga kuwadro na "Waterfall" (1961) at "Ascending and Descending". Ginamit ng pintor ang epekto ng "walang katapusang hagdanan" na natuklasan ni Ruthesward at pinahusay pa ng Penrose. Inilalarawan ng canvas ang dalawang hanay ng mga kalalakihan: kapag gumagalaw pakanan, patuloy na tumataas ang mga kalalakihan, at kapag gumagalaw pabalik, bumababa sila.

Kaunting geometry

Mayroong maraming mga paraan upang lumikha ng mga ilusyon sa mata (mula sa salitang Latin na "iliusio" - error, maling akala - hindi sapat na pang-unawa sa isang bagay at mga katangian nito). Ang isa sa pinakamabisang ay ang direksyon ng imp-art, batay sa mga imahe ng imposibleng mga numero. Ang mga imposibleng bagay ay mga guhit sa isang eroplano (dalawang-dimensional na mga imahe), naisagawa sa isang paraan na ang mga manonood ay nakakakuha ng impression na ang gayong istraktura ay hindi maaaring umiiral sa aming totoong tatlong-dimensional na mundo. Classical, tulad ng nabanggit na, at ang isa sa pinakasimpleng tulad ng mga numero ay ang imposibleng tatsulok. Ang bawat bahagi ng pigura (ang mga anggulo ng tatsulok) ay magkakahiwalay na umiiral sa ating mundo, ngunit ang kanilang pagsasama sa tatlong-dimensional na puwang ay imposible. Ang pang-unawa ng buong pigura bilang isang komposisyon ng mga hindi regular na koneksyon sa pagitan ng mga totoong bahagi ay humahantong sa mapanlinlang na epekto ng imposibleng istraktura. Ang mga tingin ay dumulas sa mga gilid ng isang imposibleng tayahin at hindi ito maramdaman bilang isang lohikal na kabuuan. Sa katotohanan, ang sulyap ay sinusubukan na ibalik ang totoong three-dimensional na istraktura (tingnan ang tayahin), ngunit nakatagpo ito ng isang pagkakaiba.

Mula sa isang geometric na pananaw, ang imposibilidad ng isang tatsulok ay ang tatlong mga beam, na konektado sa mga pares sa bawat isa, ngunit kasama ang tatlong magkakaibang mga axes ng Cartesian coordinate system, bumuo ng isang saradong pigura!

Ang proseso ng pang-unawa ng mga imposibleng bagay ay nahahati sa dalawang yugto: pagkilala sa pigura bilang isang three-dimensional na bagay at ang pagsasakatuparan ng "hindi tama" ng bagay at ang imposibleng pagkakaroon nito sa tatlong-dimensional na mundo.

Ang pagkakaroon ng mga imposibleng numero

Maraming mga tao ang naniniwala na ang mga imposibleng numero ay tunay na imposible at hindi malilikha sa totoong mundo. Ngunit dapat nating tandaan na ang anumang pagguhit sa isang sheet ng papel ay isang projection ng isang three-dimensional na pigura. Samakatuwid, ang anumang hugis na iginuhit sa isang piraso ng papel ay dapat na mayroon sa 3D space. Ang mga imposibleng bagay sa mga kuwadro ay mga pagpapakita ng mga three-dimensional na bagay, na nangangahulugang ang mga bagay ay maaaring maisakatuparan sa anyo ng mga komposisyon ng eskultura (mga three-dimensional na bagay). Maraming paraan upang likhain ang mga ito. Ang isa sa kanila ay gumagamit ng mga hubog na linya bilang mga gilid ng isang imposibleng tatsulok. Ang nilikha na iskultura ay mukhang imposible lamang mula sa isang solong punto. Mula sa puntong ito, ang mga hubog na panig ay tumingin tuwid, at ang layunin ay makakamit - isang tunay na "imposible" na bagay ang nilikha.

Tungkol sa mga pakinabang ng imp-art

Ang mga pag-uusap ni Oscar Rutesward sa librong "Omojliga figurer" (magagamit ang pagsasalin sa Russia) tungkol sa paggamit ng mga guhit na imp-art para sa psychotherapy. Isinulat niya na ang mga larawan, kasama ang kanilang kabalintunaan, ay nagdudulot ng sorpresa, pinapatalas ang pansin at ang pagnanais na maintindihan. Sa Sweden, ginagamit ang mga ito sa kasanayan sa ngipin: pagtingin sa mga larawan sa silid ng paghihintay, ang mga pasyente ay nagagambala mula sa hindi kasiya-siyang mga saloobin sa harap ng tanggapan ng dentista. Naaalala kung gaano katagal kailangang maghintay para sa isang pagtanggap sa iba't ibang burukratikong Rusya at iba pang mga institusyon, maaaring ipalagay na ang mga imposibleng pinta sa dingding ng mga silid sa pagtanggap ay maaaring magpasaya ng oras ng paghihintay, pagpapatahimik sa mga bisita at sa gayon mabawasan ang pananalakay sa lipunan. Ang isa pang pagpipilian ay ang pag-install ng mga slot machine o, halimbawa, mga dummy na may naaangkop na mga mukha bilang mga target para sa mga pana sa pagtanggap ng mga machine, ngunit, sa kasamaang palad, ang mga naturang makabagong ideya ay hindi kailanman hinimok sa Russia.

Gamit ang hindi pangkaraniwang bagay ng pang-unawa

Mayroon bang anumang paraan upang mapahusay ang epekto ng imposibilidad? Ang ilang mga bagay bang "mas imposible" kaysa sa iba? At narito ang mga tampok ng pang-unawa ng tao upang iligtas. Natuklasan ng mga psychologist na nagsisimula ang mata upang suriin ang bagay (larawan) mula sa ibabang kaliwang sulok, pagkatapos ay dumulas ang tingin sa kanan sa gitna at bumaba sa kanang kanang sulok ng larawan. Ang gayong pagdaan ay maaaring sanhi ng katotohanan na nang makilala ng ating mga ninuno ang isang kaaway, tiningnan muna nila ang pinaka-mapanganib na kanang kamay, at pagkatapos ay lumipat ang kanilang tingin sa kaliwa, sa mukha at pigura. Kaya, ang pang-artistikong pang-unawa ay makabuluhang nakasalalay sa kung paano binuo ang komposisyon ng larawan. Ang tampok na ito sa Middle Ages ay malinaw na ipinakita sa paggawa ng mga tapiserya: ang kanilang pagguhit ay isang mirror na imahe ng orihinal, at ang impression na ang mga tapiserya at orihinal ay gumawa ng iba.

Ang pag-aari na ito ay maaaring matagumpay na magamit kapag lumilikha ng mga nilikha na may imposibleng mga bagay, pagdaragdag o pagbawas ng "antas ng imposibilidad". Binubuksan din nito ang pag-asam na makakuha ng mga kagiliw-giliw na komposisyon gamit ang teknolohiya ng computer o mula sa maraming mga larawan, paikutin (marahil ay gumagamit ng iba't ibang mga uri ng mga simetriko) na may kaugnayan sa isa pa, na lumilikha ng iba't ibang impression ng bagay at isang mas malalim na pag-unawa sa kakanyahan ng konsepto para sa ang madla, o mula sa isang umiikot (patuloy o sa jerks) gamit ang isang simpleng mekanismo sa ilang mga anggulo.

Ang direksyon na ito ay maaaring tinatawag na polygonal (polygonal). Ang mga ilustrasyon ay nagpapakita ng mga larawang umiikot na may kaugnayan sa bawat isa. Ang komposisyon ay nilikha tulad ng sumusunod: isang guhit sa papel, na gawa sa tinta at lapis, na-scan, na-digitize at naproseso sa isang graphic editor. Posibleng tandaan ang isang kaayusan - ang paikot na larawan ay may mas malaking "antas ng imposibilidad" kaysa sa orihinal. Madali itong ipinaliwanag: ang artista sa proseso ng trabaho nang hindi namamalayan ay naghahanap upang lumikha ng isang "tamang" imahe.

Mga kombinasyon, kombinasyon

Mayroong isang pangkat ng mga imposibleng bagay, ang pagsasakatuparan ng iskultura kung saan imposible. Marahil ang pinakatanyag sa kanila ay ang "imposibleng trident" o "Devil's fork" (P3-1). Kung titingnan mo nang mabuti ang bagay, mapapansin mo na ang tatlong prongs ay unti-unting nagiging dalawa sa isang karaniwang batayan, na humahantong sa isang salungatan ng pang-unawa. Inihambing namin ang bilang ng mga ngipin sa itaas at sa ibaba at napagpasyahan na ang bagay ay imposible. Ang isang mahusay na pagkakaiba-iba ng mga imposibleng bagay ay nilikha sa batayan ng "tinidor", kabilang ang mga kung saan ang isang bahagi na silindro sa isang dulo ay nagiging parisukat sa kabilang panig.

Bukod sa ilusyon na ito, maraming iba pang mga uri ng mga ilusyon sa paningin ng paningin (mga ilusyon ng laki, paggalaw, kulay, atbp.). Ang ilusyon ng lalim na pang-unawa ay isa sa pinakaluma at pinakatanyag na ilusyon ng optikal. Kasama sa pangkat na ito ang Necker cube (1832), at noong 1895 na-publish ni Armand Thiery ang isang artikulo tungkol sa isang espesyal na uri ng imposibleng mga numero. Ang artikulong ito ang unang gumuhit ng isang bagay na kalaunan ay nakatanggap ng pangalang Thierry at ginamit nang hindi mabilang na beses ng mga op-art artist. Ang bagay ay binubuo ng limang magkaparehong mga rhombus na may mga gilid ng 60 at 120 degree. Sa figure, maaari mong makita ang dalawang cubes na konektado sa isang ibabaw. Kung titingnan mo mula sa ibaba pataas, malinaw mong makikita ang ibabang cube na may dalawang pader sa itaas, at kung titingnan mo mula sa itaas pababa - ang itaas na kubo na may mga dingding sa ibaba.

Ang pinakasimpleng mala-Thierry na pigura ay, maliwanag, ang ilusyon na "pagbubukas ng pyramid", na isang regular na rhombus na may linya sa gitna. Imposibleng sabihin nang eksakto kung ano ang nakikita natin - isang pyramid na nakataas sa itaas ng ibabaw, o isang pambungad (depression) dito. Ang epektong ito ay ginamit sa graphic na "Labyrinth (Pyramid Plan)" noong 2003. Ang pagpipinta ay nakatanggap ng diploma sa internasyonal na matematika pagpupulong at eksibisyon sa Budapest noong 2003 "Ars (Dis) Symmetrica" \u200b\u200b03. Gumagamit ang akda ng isang kumbinasyon ng ilusyon ng lalim na pang-unawa at imposibleng mga numero.

Bilang konklusyon, maaari nating sabihin na ang direksyon ng imp-art bilang isang mahalagang bahagi ng optical art ay aktibong pagbubuo, at sa malapit na hinaharap ay walang alinlangan na aasahan natin ang mga bagong tuklas sa lugar na ito.

LITERATURA

Rutesward O. Imposibleng mga numero. - M.: Stroyizdat, 1990.

Mga caption ng paglalarawan

Fig. 1. Ang talahanayan na itinayo ng may-akda ng artikulo ay hindi nagpapanggap na kumpleto at mahigpit, ngunit ginagawang posible upang suriin ang buong pagkakaiba-iba ng mga imposibleng numero. Naglalaman ang talahanayan ng higit sa 300 libong mga kumbinasyon ng iba't ibang mga elemento. Ang mga graphic ng may-akda ng artikulo at mga materyales mula sa site na Vlad Alekseev ay ginamit bilang mga guhit.

Panimula ……………………………………………………………………………… ..2

Pangunahing bahagi. Mga imposibleng numero ………………. ……………………… 4

2.1. Kaunting kasaysayan …………………………………………………………… .4

2.2. Mga uri ng mga imposibleng numero ……………………………………………… .6

2.3. Oscar Ruthersward - ang ama ng isang imposibleng pigura ……………………… ..11

2.4. Posible ang mga imposibleng numero! …………………………………… ..13

2.5. Paglalapat ng mga imposibleng numero ……………………………………… 14

Konklusyon ………………………………………………………………………… ..15

Listahan ng mga sanggunian………………………………………………………………16

Panimula

Sa loob ng ilang oras ngayon, interesado ako sa mga naturang pigura na sa unang tingin ay tila ordinaryong, at kung titingnan mo nang mabuti, makikita mo na may mali sa kanila. Ang pangunahing interes para sa akin ay ang tinaguriang imposibleng mga numero, na tinitingnan kung saan tila hindi sila maaaring umiral sa totoong mundo. Nais kong malaman ang tungkol sa kanila.

Ang "The World of Impossible Figures" ay isa sa mga pinaka-kagiliw-giliw na tema, na natanggap lamang ang mabilis na pag-unlad nito sa simula ng ikadalawampu siglo. Gayunpaman, mas maaga pa, maraming mga siyentipiko at pilosopo ang humarap sa isyung ito. Kahit na ang mga simpleng tatlong-dimensional na form bilang isang cube, pyramid, parallelepiped ay maaaring kinatawan bilang isang kumbinasyon ng maraming mga pigura na matatagpuan sa iba't ibang mga distansya mula sa mata ng nagmamasid. Sa parehong oras, dapat palaging may isang linya kasama kung saan ang imahe ng mga indibidwal na bahagi na pinagsasama sa isang magkakaugnay na larawan.

"Ang isang imposibleng pigura ay isang three-dimensional na bagay na ginawa sa papel na hindi maaaring umiiral sa katotohanan, ngunit kung saan, gayunpaman, ay maaaring makita bilang isang dalawang-dimensional na imahe." Ito ay isa sa mga uri mga ilusyon ng salamin sa mata , isang pigura na sa unang tingin ay tila isang pagbuga ng isang ordinaryong bagay na tatlong-dimensional, sa masusing pagsisiyasat nito, nakikita ang mga salungat na koneksyon ng mga elemento ng pigura. Ang ilusyon ng imposibilidad ng pagkakaroon ng tulad ng isang figure sa three-dimensional space ay nilikha.

Ang tanong ay lumitaw sa harap ko: "Mayroon bang mga imposibleng pigura sa totoong mundo?"

Mga layunin sa proyekto:

1. Alamin sapaano nilikhalilitaw ang mga hindi totoong numero.

2. Maghanap ng mga application imposibleng mga numero.

Mga layunin ng proyekto:

1. Upang mapag-aralan ang panitikan sa paksang "Imposibleng mga numero".

2 . Lumikha ng isang pag-uuri imposibleng mga numero.

3.Pisaalang-alang ang mga paraan upang makabuo ng mga imposibleng numero.

4 imposibleng lumikhapigura

Ang paksa ng aking trabaho ay nauugnay sapagkat ang pag-unawa sa mga kabalintunaan ay isa sa mga palatandaan ng uri ng potensyal na malikhaing taglay ng pinakamagagaling na matematiko, siyentipiko at artista. Maraming mga gawa na may mga hindi totoong bagay ay maaaring maiugnay sa "mga intelektuwal na matematika na laro". Ang nasabing mundo ay maaaring ma-modelo sa tulong lamang ng mga pormula ng matematika, ang isang tao ay hindi lamang maiisip ito. At ang mga imposibleng numero ay kapaki-pakinabang para sa pagbuo ng spatial na imahinasyon. Ang isang tao ay walang pagod na itak na lumilikha sa paligid ng kanyang sarili ng kung saan ay magiging simple at mauunawaan para sa kanya. Ni hindi niya maisip na ang ilan sa mga bagay na nakapalibot sa kanya ay maaaring "imposible". Sa katunayan, ang mundo ay iisa, ngunit maaari itong matingnan mula sa iba't ibang mga anggulo.

Imposiblemga pigura

Kaunting kasaysayan

Ang mga imposibleng numero ay madalas na matatagpuan sa mga sinaunang pag-ukit, kuwadro na gawa at icon - sa ilang mga kaso mayroon kaming halatang mga pagkakamali sa paghahatid ng pananaw, sa iba pa - na sinasadya na pagbaluktot dahil sa masining na hangarin.

Sa medyebal na pagpipinta ng Hapon at Persia, ang mga imposibleng bagay ay isang mahalagang bahagi ng istilong oriental art, na nagbibigay lamang ng isang pangkalahatang balangkas ng larawan, ang mga detalye kung saan ang manonood ay "dapat mag-isip" sa kanilang sarili, alinsunod sa kanilang mga kagustuhan . Narito ang isang paaralan sa harap namin. Ang aming pansin ay iginuhit sa istraktura ng arkitektura sa background, ang hindi pagkakapareho ng geometriko na halata. Maaari itong bigyang kahulugan bilang panloob na dingding ng isang silid at bilang panlabas na pader ng isang gusali, ngunit pareho ang mga interpretasyong ito ay mali, dahil nakikipag-usap kami sa isang eroplano na parehong panlabas at panlabas na pader, iyon ay, ang naglalarawan ang larawan ng isang tipikal na imposibleng bagay.

Mga Panonood imposibleng mga numero.

Ang "imposibleng mga numero" ay nahahati sa 4 na pangkat. Kaya ang una:

Ang kamangha-manghang tatsulok ay isang tri-bar.

Ang pigura na ito ay marahil ang unang imposibleng bagay na mai-publish sa print. Nagpakita siya noong 1958. Ang mga may-akda, ama at anak na sina Lionell at Roger Penrose, geneticist at matematiko, ayon sa pagkakabanggit, ay tumutukoy sa bagay na ito bilang isang "three-dimensional na hugis-parihaba na istraktura." Nakatanggap din siya ng pangalang "tribar". Sa unang tingin, ang tribar ay lilitaw na isang equilateral triangle lamang. Ngunit ang mga panig na nagtatagpo sa tuktok ng pigura ay lilitaw patayo. Sa parehong oras, ang kaliwa at kanang mga gilid sa ilalim ay lilitaw din patayo. Kung titingnan mo nang hiwalay ang bawat detalye, tila totoo ito, ngunit, sa pangkalahatan, ang figure na ito ay hindi maaaring mayroon. Hindi ito deformed, ngunit ang mga tamang elemento ay hindi konektado nang tama kapag gumuhit.

Narito ang ilan pang mga halimbawa ng mga imposibleng hugis na batay sa tribo.

Triple deformed tribar

Tatsulok na 12 cubes

May pakpak na tribo

Triple domino

Walang katapusang hagdanan

Ang pigura na ito ay madalas na tinatawag na "Endless Staircase", "Eternal Staircase" o "Penrose Staircase" - pagkatapos ng pangalan ng lumikha nito. Tinatawag din itong "tuluy-tuloy na pataas at pababang daanan".

Ang pigura na ito ay unang nai-publish noong 1958. Ang isang hagdanan ay lilitaw sa harap namin, na humahantong, tila, pataas o pababa, ngunit sa parehong oras, ang taong naglalakad dito ay hindi tumaas o mahuhulog. Ang pagkumpleto ng kanyang visual na ruta, siya ay nasa simula ng landas.

Ang "Endless Staircase" ay matagumpay na ginamit ng artist na si Maurits K. Escher, sa oras na ito sa kanyang lithograph na "Ascent and Descent", na nilikha noong 1960.

Hagdan na may apat o pitong hakbang. Upang likhain ang figure na ito sa maraming mga hakbang, maaaring ang inspirasyon ng may-akda ng isang grupo ng mga ordinaryong natutulog sa riles. Kapag malapit ka nang umakyat sa hagdan na ito, haharapin ka sa isang pagpipilian: kung umakyat ng apat o pitong hakbang.

Sinamantala ng mga tagalikha ng hagdan na ito ang mga parallel na linya upang idisenyo ang mga dulo ng mga bloke sa parehong distansya; ang ilang mga bloke ay tila pinilipit upang magkasya sa ilusyon.

Space plug.

Ang susunod na pangkat ng mga numero sa ilalim ng pangkalahatang pangalan na "Space Fork". Sa figure na ito, ipinasok namin ang pinakadulo at kakanyahan ng imposible. Marahil ito ang pinakamaraming klase ng mga imposibleng bagay.

Ang kilalang imposibleng bagay na ito na may tatlo (o dalawa?) Prongs ay naging tanyag sa mga inhinyero at mahilig sa puzzle noong 1964. Ang unang publication na nakatuon sa hindi pangkaraniwang pigura ay lumitaw noong Disyembre 1964. Tinawag ito ng may-akda na "The Brace Consisting of Three Elemen".

Mula sa isang praktikal na pananaw, ang kakaibang trident o mekanismo na ito sa anyo ng isang bracket ay ganap na hindi mailalapat. Ang ilan ay tinatawag itong isang "nakakainis na pagkakamali" lamang. Ang isa sa mga kinatawan ng industriya ng aerospace ay nagmungkahi ng paggamit ng mga katangian nito sa disenyo ng isang interdimensional space tuning fork.

Mga imposibleng kahon

Ang "Crazy Box" ay isang frame ng kubo na nakabukas sa loob. Ang agarang hinalinhan ng "Crazy Box" ay ang "The Impossible Box" (ni Escher), at ang hinalinhan nito, ay ang Necker Cube.

Ito ay hindi isang imposibleng bagay, ngunit ito ay isang pigura kung saan ang lalim na parameter ay maaaring mapaghangad na hindi malinaw.

Kapag tiningnan namin ang Necker cube, napansin namin na ang mukha na may isang punto ay nasa harapan o sa likuran, tumatalon ito mula sa isang posisyon patungo sa isa pa.

Oscar Rutersward - ang ama ng isang imposibleng pigura.

Ang "ama" ng imposibleng mga numero ay itinuturing na Suweko artist Oskar Ruthersward. Ang artist ng Sweden na si Oskar Ruthersward, isang dalubhasa sa paglikha ng mga imahe ng imposibleng mga numero, ay inangkin na hindi siya bihasa sa matematika, ngunit, gayunpaman, itinaas ang kanyang sining sa ranggo ng agham, lumilikha ng isang buong teorya ng paglikha ng mga imposibleng numero ayon sa isang tiyak na bilang ng mga template.

Hinati niya ang mga numero sa dalawang pangunahing grupo. Ang isa sa mga ito ay tinawag niyang "totoong imposibleng mga pigura." Ang mga ito ay dalawang-dimensional na imahe ng mga three-dimensional na katawan na maaaring lagyan ng kulay at malilim sa papel, ngunit wala silang isang monolitik at matatag na lalim.

Ang isa pang uri ay kaduda-dudang imposibleng mga numero. Ang mga figure na ito ay hindi kumakatawan sa isang solong solidong katawan. Ang mga ito ay ang koneksyon ng dalawa o higit pang mga hugis. Hindi sila maaaring maging kulay o ilaw at anino ang inilapat sa kanila.

Ang isang tunay na imposibleng tayahin ay binubuo ng isang nakapirming bilang ng mga posibleng elemento, at ang isang kaduda-dudang "natalo" ng isang tiyak na bilang ng mga elemento kung susundin mo ang mga ito sa iyong mga mata.

Ang isang bersyon ng mga imposibleng figure na ito ay napakadaling gawin, at marami sa mga na mekanikal na gumuhit ng geometric

mga numero, kapag nakikipag-usap sa telepono, nagawa na ito nang higit sa isang beses. Kailangan mong gumuhit ng lima, anim o pitong parallel na linya, tapusin ang mga linya na ito sa iba't ibang mga dulo sa iba't ibang paraan - at handa na ang imposibleng tayahin. Kung, halimbawa, gumuhit ka ng limang magkatulad na linya, pagkatapos ay maaari silang matapos bilang dalawang beams sa isang gilid at tatlo sa kabilang panig.

Sa pigura, nakikita natin ang tatlong mga magkakaibang kaduda-dudang imposibleng mga numero. Sa kaliwa ay isang three-seven-bar, na binuo ng pitong linya, kung saan ang tatlong mga beam ay naging pito. Ang isang pigura sa gitna, naitayo mula sa tatlong mga linya, kung saan ang isang sinag ay nagiging dalawang bilog na poste. Ang pigura sa kanan, naitayo mula sa apat na linya, kung saan ang dalawang bilog na beam ay nagiging dalawang poste

Sa panahon ng kanyang buhay, nagpinta si Ruthersward ng halos 2,500 na mga numero. Ang mga libro ni Ruthersward ay nai-publish sa maraming mga wika, kabilang ang Russian.

Imposibleng mga numero ay posible!

Maraming mga tao ang naniniwala na ang mga imposibleng numero ay tunay na imposible at hindi malilikha sa totoong mundo. Ngunit dapat nating tandaan na ang anumang pagguhit sa isang piraso ng papel ay isang projection ng isang three-dimensional na pigura. Samakatuwid, ang anumang hugis na iginuhit sa isang piraso ng papel ay dapat na mayroon sa 3D space. Ang mga imposibleng bagay sa mga kuwadro ay mga pagpapakita ng mga three-dimensional na bagay, na nangangahulugang ang mga bagay ay maaaring maisakatuparan sa anyo ng mga komposisyon ng eskultura. Maraming paraan upang likhain ang mga ito. Ang isa sa kanila ay gumagamit ng mga hubog na linya bilang mga gilid ng isang imposibleng tatsulok. Ang nilikha na iskultura ay mukhang imposible lamang mula sa isang solong punto. Mula sa puntong ito, ang mga hubog na panig ay tumingin tuwid, at ang layunin ay makakamit - isang tunay na "imposible" na bagay ang nilikha.

Ang artist ng Russia na si Anatoly Konenko, ang aming kapanahon, hinati ang mga imposibleng numero sa 2 klase: ang ilan ay maaaring ma-modelo sa katotohanan, habang ang iba ay hindi. Ang mga modelo ng mga imposibleng numero ay tinatawag na mga modelo ng Ames.

Gumawa ako ng isang modelo ng Ames ng aking imposibleng kahon. Kumuha ako ng apatnapu't dalawang cubes at idinikit ang mga ito, kumuha ako ng isang kubo kung saang bahagi ng tadyang ang nawawala. Tandaan na upang lumikha ng isang kumpletong ilusyon, kailangan mo ng tamang anggulo ng pagtingin at tamang pag-iilaw.

Pinag-aralan ko ang mga imposibleng numero na gumagamit ng teorama ng Euler at napunta sa sumusunod na konklusyon: Ang teorama ni Euler, na totoo para sa anumang matambok na polyhedron, ay hindi totoo para sa mga imposibleng numero, ngunit totoo para sa kanilang mga modelo ng Ames.

Lumilikha ako ng aking mga imposibleng numero gamit ang payo ng O. Ruthersvard. Gumuhit ako ng pitong magkatulad na linya sa papel. Ikinonekta ko ang mga ito sa ilalim na may sirang linya, at sa tuktok binigyan sila ng hugis ng parallelepipeds. Tingnan muna ito mula sa itaas at pagkatapos ay mula sa ibaba. Maaari kang mag-isip ng isang walang katapusang bilang ng mga naturang mga numero. Tingnan ang Attachment.

Paglalapat ng mga imposibleng numero

Ang mga imposibleng numero kung minsan ay nakakahanap ng hindi inaasahang paggamit. Pinag-uusapan ni Oskar Ruthersward sa librong "Omojliga figurer" tungkol sa paggamit ng mga guhit na imp-art para sa psychotherapy. Isinulat niya na ang mga larawan, kasama ang kanilang mga kabalintunaan, ay nagdudulot ng sorpresa, pinapatalas ang pansin at ang pagnanais na maintindihan. Ginamit ng psychologist na si Roger Shepard ang ideya ng isang trident para sa kanyang pagpipinta ng imposibleng elepante.

Sa Sweden, ginagamit ang mga ito sa kasanayan sa ngipin: pagtingin sa mga larawan sa silid ng paghihintay, ang mga pasyente ay nagagambala mula sa hindi kasiya-siyang mga saloobin sa harap ng tanggapan ng dentista.

Ang mga imposibleng numero ay nagbigay inspirasyon sa mga artista na lumikha ng isang bagong bagong direksyon sa pagpipinta, na tinatawag na impossibilism. Ang Dutch artist na si Escher ay tinukoy bilang impossibilists. Ang sikat na lithographs na "Waterfall", "Ascent and Descent" at "Belvedere" ay pagmamay-ari niya. Ginamit ng pintor ang "walang katapusang hagdanan" na epekto na natuklasan ni Rutesward.

Sa ibang bansa, sa mga lansangan ng mga lungsod, nakikita natin ang arkitekturang sagisag ng mga imposibleng pigura.

Ang pinakatanyag na paggamit ng imposibleng mga numero sa tanyag na kultura ay Logo ng carmaker ng Renault

Nagtalo ang mga matematiko na ang mga palasyo kung saan maaari kang bumaba sa hagdan na humahantong ay maaaring umiiral. Upang magawa ito, kakailanganin mo lamang na magtayo ng ganoong istraktura na hindi sa three-dimensional, ngunit, sabihin, sa apat na dimensional na puwang. At kahit sa virtual na mundo, kung aling modernong teknolohiya ng computer ang magbubukas sa amin, hindi ito magagawa. Ito ay kung paano ang mga ideya ng isang tao na, sa pagsisimula ng siglo, ay naniniwala sa pagkakaroon ng mga imposibleng mundo, ay natanto ngayon.

Konklusyon.

Ang mga imposibleng numero ay pinipilit ang ating isip na makita muna kung ano ang hindi dapat, pagkatapos ay maghanap ng isang sagot - kung ano ang nagawang mali, kung saan nakatago ang kasiyahan ng kabalintunaan. At kung minsan ito ay hindi napakadaling hanapin ang sagot - nakatago ito sa optiko, sikolohikal, lohikal na pang-unawa ng mga guhit.

Ang pag-unlad ng agham, ang pangangailangang mag-isip sa isang bagong paraan, ang paghahanap para sa maganda - lahat ng mga kinakailangang ito sa modernong buhay ay naghahanap sa amin ng mga bagong pamamaraan na maaaring magbago ng spatial na pag-iisip at imahinasyon.

Matapos pag-aralan ang panitikan sa paksa, nasagot ko ang katanungang "Mayroon bang mga imposibleng numero sa totoong mundo?" Napagtanto kong ang imposible ay posible at ang mga hindi tunay na pigura ay maaaring gawin ng kamay. Nilikha ko ang modelo ng Ames Impossible Cube at sinubukan dito ang teorama ni Euler. Matapos maghanap ng mga paraan upang makabuo ng mga imposibleng hugis, nakaguhit ako ng aking mga imposibleng hugis. Naipakita ko iyon

Konklusyon 1: Ang lahat ng mga imposibleng numero ay maaaring umiiral sa totoong mundo.

Konklusyon2: Ang teorama ni Euler, totoo para sa anumang matambok na polyhedron, ay hindi totoo para sa mga imposibleng numero, ngunit totoo para sa kanilang mga modelo ng Ames.

Konklusyon3: Maraming iba pang mga lugar kung saan gagamitin ang mga imposibleng numero.

Kaya, maaari nating sabihin na ang mundo ng mga imposibleng numero ay labis na kawili-wili at magkakaiba. Ang pag-aaral ng mga imposibleng numero ay lubos na mahalaga sa mga tuntunin ng geometry. Ang gawain ay maaaring magamit sa mga klase sa matematika upang paunlarin ang spatial na pag-iisip ng mga mag-aaral. Para sa mga taong malikhain na hilig sa pag-imbento, ang mga imposibleng numero ay isang uri ng pingga para sa paglikha ng bago, hindi pangkaraniwang.

Listahan ng mga sanggunian

Levitin Karl Geometric Rhapsody. - M.: Kaalaman, 1984, -176 p.

Penrose L., Penrose R. Mga imposibleng bagay, Quantum, no. 5,1971, p. 26

Reutersvard O. Imposibleng mga numero. - M.: Stroyizdat, 1990, 206 p.

Tkacheva M.V. Umiikot na mga cube. - M.: Bustard, 2002 .-- 168 p.

Ang isang imposibleng tayahin ay isa sa mga uri ng mga ilusyon ng optikal, isang pigura na sa unang tingin ay tila isang pagbuga ng isang ordinaryong tatlong-dimensional na bagay,

sa malapit na pagsusuri, ang magkasalungat na mga koneksyon ng mga elemento ng pigura ay nakikita. Ang ilusyon ng imposibilidad ng pagkakaroon ng tulad ng isang figure sa three-dimensional space ay nilikha.

Imposibleng mga numero

Ang pinakatanyag na imposibleng numero ay ang imposibleng tatsulok, ang walang katapusang hagdanan at imposibleng trident.

Imposibleng Perrose triangle

The Reutersvard Illusion (Reutersvard, 1934)

Pansinin din na ang pagbabago ng samahang nasa lupa ay naging posible upang makita ang gitnang kinalalagyan na "bituin".
_________

Imposibleng cube ni Escher

Sa katunayan, ang lahat ng imposibleng mga numero ay maaaring umiiral sa totoong mundo. Kaya, ang lahat ng mga bagay na iginuhit sa papel ay mga pagpapakita ng mga three-dimensional na mga bagay, samakatuwid, maaari kang lumikha ng tulad ng isang tatlong-dimensional na bagay na, kapag inaasahang papunta sa isang eroplano, ay magiging imposible. Kapag tinitingnan ang gayong bagay mula sa isang tiyak na punto, magiging hitsura din ito ng imposible, ngunit kapag tiningnan mula sa anumang iba pang punto, mawawala ang epekto ng imposibilidad.

Ang 13-metro na aluminyo na iskultura ng isang imposibleng tatsulok ay itinayo noong 1999 sa lungsod ng Perth (Australia). Narito ang imposibleng tatsulok ay inilalarawan sa pinaka-pangkalahatang anyo nito - sa anyo ng tatlong mga sinag na nakakonekta sa bawat isa sa tamang mga anggulo.

Goddamn fork
Kabilang sa lahat ng mga imposibleng numero, ang imposibleng trident ("fork ng diyablo") ay sumasakop sa isang espesyal na lugar.

Kung isara namin ang kanang bahagi ng trident gamit ang aming kamay, makakakita kami ng isang tunay na larawan - tatlong bilog na ngipin. Kung isara natin ang ibabang bahagi ng trident, makikita rin namin ang isang totoong larawan - dalawang mga parihabang ngipin. Ngunit, kung isasaalang-alang natin ang buong pigura bilang isang buo, lumalabas na ang tatlong bilog na ngipin ay unti-unting nagiging dalawang hugis-parihaba.

Sa gayon, makikita mo na ang harapan at background ng pagguhit na ito ay nagkasalungatan. Iyon ay, kung ano ang orihinal sa harapan ay bumalik, at ang background (gitnang ngipin) ay gumagapang pasulong. Bilang karagdagan sa pagbabago ng harapan at background, ang figure na ito ay may isa pang epekto - ang mga patag na gilid ng kanang bahagi ng trident ay naging bilog sa kaliwa.

Ang imposibleng epekto ay nakamit dahil sa ang katunayan na ang aming utak ay pinag-aaralan ang tabas ng pigura at sinusubukan na bilangin ang bilang ng mga ngipin. Inihambing ng utak ang bilang ng mga ngipin sa pigura sa kaliwa at kanang bahagi ng pagguhit, na nagpapadama sa pigura na imposible. Kung ang bilang ng mga ngipin sa pigura ay higit na malaki (halimbawa, 7 o 8), kung gayon ang kabalintunaan na ito ay hindi gaanong mabibigkas.

Ang ilang mga libro ay inaangkin na ang imposibleng trident ay kabilang sa klase ng imposibleng mga numero na hindi maaaring likhain muli sa totoong mundo. Sa katunayan, hindi ito ang kaso. LAHAT ng imposibleng mga numero ay maaaring makita sa totoong mundo, ngunit ang hitsura nila ay imposible mula sa isang solong pananaw lamang.

______________

Imposibleng elepante

Ilan ang mga binti ng isang elepante?

Ang psychologist ng Stanford na si Roger Shepard ay gumamit ng ideya ng isang trident para sa kanyang pagpipinta ng isang imposibleng elepante.

______________

Penrose Ladder (walang katapusang hagdanan, imposibleng hagdanan)

Ang Walang Katapusang Hagdan "ay isa sa pinakatanyag na klasikong imposible.

Ito ay tulad ng isang pagtatayo ng isang hagdan, kung saan sa kaso ng paggalaw kasama nito sa isang direksyon (sa pigura sa artikulong pakaliwa), ang isang tao ay walang katapusang akyatin, at kapag lumipat sa kabaligtaran na direksyon, patuloy siyang bumababa.

Sa madaling salita, isang hagdanan ang lilitaw sa harap namin, humahantong, tila, pataas o pababa, ngunit sa parehong oras ang taong naglalakad dito ay hindi tumaas o mahuhulog. Ang pagkumpleto ng kanyang visual na ruta, siya ay nasa simula ng landas. Kung talagang kailangan mong maglakad sa hagdanan na ito, hindi mo tulungang akyatin at babaan ito ng isang walang katapusang bilang ng beses. Maaari mo itong tawaging walang katapusang paggawa ng Sisyphean!

Mula nang mai-publish ng Penrose ang figure na ito, madalas itong lumitaw sa pag-print kaysa sa anumang ibang imposibleng object. Ang Endless Ladder ay matatagpuan sa mga libro tungkol sa mga laro, puzzle, ilusyon, aklat sa sikolohiya, at iba pang mga paksa.

"Pag-akyat at Pagbaba"

Ang "Walang Katapusang Hagdan" "ay matagumpay na ginamit ng artist na si Maurits K. Escher, sa oras na ito sa kanyang kaakit-akit na lithograph na" Ascent and Descent ", na nilikha noong 1960.
Sa pagguhit na ito, na sumasalamin sa lahat ng mga posibilidad ng pigura ng Penrose, ang lubos na makikilala na Endless Staircase ay maayos na nakasulat sa bubong ng monasteryo. Ang mga naka-hood na monghe ay patuloy na umaakyat sa mga hagdan sa isang direksyon pakanan at pabalik na direksyon. Pumunta sila sa isa't isa sa isang imposibleng landas. Hindi nila kailanman namamahala na umakyat o bumaba.

Alinsunod dito, ang "Walang Katapusang Hagdan" ay naging mas madalas na naiugnay kay Escher, na muling binago ito, kaysa sa Penrose, na nag-imbento nito.

Ilan ang mga istante?

Saan bukas ang pinto?

Panlabas o papasok?

Ang mga imposibleng numero ay paminsan-minsang lumilitaw sa mga canvases ng mga master ng nakaraan, halimbawa, tulad ng bitayan sa pagpipinta ni Pieter Bruegel (the Elder)
"Magpie on the Gallows" (1568)

__________

Imposibleng arko

Si Jos de Mey ay isang Flemish artist na nag-aral sa Royal Academy of Fine Arts sa Ghent (Belgium) at pagkatapos ay nagturo ng panloob na disenyo at kulay sa mga mag-aaral sa loob ng 39 na taon. Mula noong 1968, ang pagguhit ay naging pokus ng kanyang pansin. Kilala siya sa kanyang maselan at makatotohanang pagbibigay ng mga imposibleng istraktura.

Ang pinakatanyag ay ang mga imposibleng pigura sa mga gawa ng artist na si Maurice Escher. Kapag isinasaalang-alang ang gayong mga guhit, ang bawat indibidwal na detalye ay tila lubos na mapaniniwalaan, ngunit kapag sinusubukang subaybayan ang linya, lumalabas na ang linyang ito, halimbawa, hindi ang panlabas na sulok ng dingding, ngunit ang panloob.

"Kapamanggitan"

Ang lithograph na ito ng Dutch artist na si Escher ay unang nai-print noong 1953.

Ang lithograph ay naglalarawan ng isang magkasalungat na mundo kung saan ang mga batas ng katotohanan ay hindi inilalapat. Tatlong katotohanan ang nagkakaisa sa isang mundo, tatlong puwersa ng grabidad ang nakadirekta patayo sa bawat isa.

Ang isang istrakturang arkitektura ay nilikha, ang mga katotohanan ay pinag-isa ng mga hagdanan. Para sa mga taong naninirahan sa mundong ito, ngunit sa iba't ibang mga eroplano ng katotohanan, ang parehong hagdanan ay ididirekta pataas o pababa.

"Talon"

Ang lithograph na ito ng Dutch artist na si Escher ay unang nai-print noong Oktubre 1961.

Sa gawaing ito ni Escher, isang kabalintunaan ang inilalarawan - ang pagbagsak ng tubig ng isang talon ay nagdadala ng isang gulong na nagdidirekta ng tubig sa tuktok ng talon. Ang talon ay may istraktura ng "imposible" na tatsulok na Penrose: ang lithograph ay nilikha batay sa isang artikulo sa British Journal of Psychology.

Ang istraktura ay binubuo ng tatlong mga sinag, inilalagay sa tuktok ng bawat isa sa tamang mga anggulo. Ang talon sa litograpya ay gumagana tulad ng isang panghabang-buhay na makina ng paggalaw. Tila ang parehong mga tower ay pareho; sa katunayan, ang nasa kanan ay isang palapag sa ibaba ng kaliwang tower.

Sa gayon, at higit pang mga makabagong akda: o)
Walang katapusang pagkuha ng litrato