Kahulugan ng mga equation na Logarithmic. Paglutas ng mga equation na logarithmic - ang pangwakas na aralin

Pamilyar tayong lahat sa mga equation mula sa mga grade sa elementarya. Nalaman din namin upang malutas ang pinakasimpleng mga halimbawa, at dapat nating aminin na nakita nila ang kanilang aplikasyon kahit sa mas mataas na matematika. Ito ay simple sa mga equation, kabilang ang mga square. Kung mayroon kang mga problema sa temang ito, masidhi naming inirerekumenda na ulitin mo ito.

Marahil ay naipasa mo na ang mga logarithm. Gayunpaman, isinasaalang-alang naming mahalagang sabihin kung ano ito para sa mga hindi pa nakakaalam. Ang logarithm ay pinapantayan sa degree kung saan ang base ay dapat na itaas upang makuha ang numero sa kanan ng sign ng logarithm. Magbigay tayo ng isang halimbawa, batay sa kung saan, magiging malinaw sa iyo ang lahat.

Kung taasan mo ang 3 sa ika-apat na kapangyarihan, makakakuha ka ng 81. Ngayon ay palitan ang mga numero sa pamamagitan ng pagkakatulad, at sa wakas ay mauunawaan mo kung paano malulutas ang mga logarithm. Ngayon ay nananatili lamang ito upang pagsamahin ang dalawang itinuturing na mga konsepto. Sa una, ang sitwasyon ay tila napakahirap, ngunit sa masusing pagsusuri, ang timbang ay nahuhulog sa lugar. Sigurado kami na pagkatapos ng maikling artikulong ito ay wala kang mga problema sa bahaging ito ng pagsusulit.

Ngayon, maraming paraan upang malutas ang mga nasabing istraktura. Sasabihin namin sa iyo ang tungkol sa pinakasimpleng, pinaka-epektibo at pinaka-naaangkop na mga takdang-aralin sa Paggamit. Ang paglutas ng mga equation na logarithmic ay dapat magsimula sa pinakasimpleng halimbawa. Ang pinakasimpleng mga equation na logarithmic ay binubuo ng isang pagpapaandar at isang variable dito.

Mahalagang tandaan na ang x ay nasa loob ng pagtatalo. Ang A at b ay dapat na mga numero. Sa kasong ito, maaari mo lamang ipahayag ang pagpapaandar sa mga tuntunin ng isang numero sa isang lakas. Parang ganito.

Siyempre, ang paglutas ng equation ng logarithmic sa ganitong paraan ay magdadala sa iyo sa tamang sagot. Ang problema ng karamihan sa mga mag-aaral sa kasong ito ay hindi nila nauunawaan kung ano at saan ito nagmumula. Bilang isang resulta, kailangan mong tiisin ang mga pagkakamali at hindi makuha ang nais na mga puntos. Ang pinaka nakakainis na pagkakamali ay kung ihalo mo ang mga titik. Upang malutas ang equation sa ganitong paraan, kailangan mong kabisaduhin ang karaniwang pormula sa paaralan, sapagkat mahirap maunawaan.

Upang gawing mas madali, maaari kang gumamit ng ibang pamamaraan - ang form na canonical. Napaka-simple ng ideya. Bigyang pansin muli ang problema. Tandaan na ang letrang a ay isang numero, hindi isang pagpapaandar o variable. Ang A ay hindi katumbas ng isa o mas malaki sa zero. Walang mga paghihigpit sa b. Ngayon naaalala namin ang isa sa lahat ng mga formula. Maaaring ipahayag ang B tulad ng sumusunod.

Sinusundan mula rito na ang lahat ng mga orihinal na equation na may logarithms ay maaaring kinatawan bilang:

Maaari na nating i-drop ang logarithms. Ang resulta ay isang simpleng konstruksyon na nakita namin kanina.

Ang kaginhawaan ng pormulang ito ay nakasalalay sa katotohanan na maaari itong magamit sa iba't ibang mga kaso, at hindi lamang para sa pinakasimpleng mga disenyo.

Huwag magalala tungkol sa OOF!

Maraming nakaranasang matematiko ang mapapansin na hindi namin binigyan ng pansin ang domain ng kahulugan. Ang panuntunan ay nabawasan sa katotohanang ang F (x) ay kinakailangang mas malaki sa 0. Hindi, hindi namin pinalampas ang sandaling ito. Ngayon ay pinag-uusapan natin ang tungkol sa isa pang pangunahing bentahe ng canonical form.

Ang mga sobrang ugat ay hindi babangon dito. Kung ang variable ay lilitaw lamang sa isang lugar, kung gayon ang saklaw ay hindi kinakailangan. Awtomatiko itong tumatakbo. Upang mapatunayan ang pahayag na ito, isaalang-alang ang paglutas ng ilang simpleng mga halimbawa.

Paano malulutas ang mga equation ng logarithmic na may iba't ibang mga base

Ang mga ito ay kumplikadong mga equation na logarithmic, at ang diskarte sa kanilang solusyon ay dapat na espesyal. Bihira itong nagiging limitado sa kilalang kanonikal na form. Simulan na natin ang detalyadong kwento natin. Mayroon kaming sumusunod na disenyo.

Bigyang pansin ang maliit na bahagi. Naglalaman ito ng logarithm. Kung nakikita mo ito sa takdang-aralin, sulit na alalahanin ang isang kagiliw-giliw na trick.

Ano ang ibig sabihin nito Ang bawat logarithm ay maaaring kinatawan bilang isang sumukat ng dalawang logarithms na may isang maginhawang base. At ang formula na ito ay may isang espesyal na kaso na nalalapat sa halimbawang ito (ibig sabihin, kung c \u003d b).

Ito mismo ang nakikita nating maliit na bahagi sa aming halimbawa. Ganito

Sa katunayan, binaliktad nila ang maliit na bahagi at nakuha ang isang mas maginhawang ekspresyon. Alalahanin ang algorithm na ito!

Ngayon ay kinakailangan na ang equation ng logarithmic ay hindi naglalaman ng iba't ibang mga base. Isipin natin ang base bilang isang maliit na bahagi.

Sa matematika, mayroong isang patakaran batay sa kung saan maaari kang makakuha ng isang degree mula sa base. Lumalabas ang sumusunod na konstruksyon.

Tila, ano ang pumipigil ngayon sa pag-on ng aming ekspresyon sa isang form na kanonikal at lutasin ito sa isang elementarya na paraan? Hindi gaanong simple. Dapat ay walang mga praksyon bago ang logarithm. Inaayos namin ang sitwasyong ito! Pinapayagan na isagawa ang maliit na bahagi bilang isang degree.

Magalang.

Kung ang mga base ay pareho, maaari naming alisin ang logarithms at ipantay ang mga expression mismo. Kaya't ang sitwasyon ay magiging mas madali kaysa noon. Mananatili ang isang equation sa elementarya, na alam ng bawat isa sa atin kung paano lutasin sa ika-8 o kahit na ika-7 baitang. Maaari mong gawin ang mga kalkulasyon sa iyong sarili.

Nakuha namin ang tanging totoong ugat ng logarithmic equation na ito. Ang mga halimbawa ng paglutas ng isang equation na logarithmic ay medyo simple, hindi ba? Ngayon ay magagawa mong malaya ang pag-alam kahit na ang pinakamahirap na gawain para sa paghahanda at pagpasa sa pagsusulit.

Ano ang ilalim na linya?

Sa kaso ng anumang mga katumbas na logarithmic, nagpapatuloy kami mula sa isang napakahalagang panuntunan. Kinakailangan na kumilos sa isang paraan upang dalhin ang ekspresyon sa pinakasimpleng posibleng form. Sa kasong ito, magkakaroon ka ng mas maraming mga pagkakataon hindi lamang upang malutas ang gawain nang tama, ngunit din upang gawin itong kasing simple at lohikal hangga't maaari. Ganito palaging ginagawa ng mga matematiko.

Masidhi naming hinihikayat ka na maghanap ng mga mahihirap na landas, lalo na sa kasong ito. Tandaan ang ilang simpleng mga patakaran na magbibigay-daan sa iyo upang ibahin ang anumang ekspresyon. Halimbawa, magdala ng dalawa o tatlong mga logarithm sa isang base, o kumuha ng isang degree mula sa base at manalo doon.

Ito rin ay nagkakahalaga ng pag-alala na dapat mong patuloy na sanayin sa paglutas ng mga equation na logaritmiko. Unti-unti, lilipat ka sa higit pa at mas kumplikadong mga disenyo, at hahantong ka sa kumpiyansa nitong malutas ang lahat ng mga iba't ibang problema sa pagsusulit. Maghanda nang mabuti para sa iyong pagsusulit nang maaga, at good luck!

Ngayon ay matututunan natin kung paano malutas ang pinakasimpleng mga equation ng logarithmic, kung saan hindi kinakailangan ang paunang mga pagbabago at pagpili ng ugat. Ngunit kung matutunan mo kung paano lutasin ang mga naturang equation, mas madali ito.

Ang pinakasimpleng equation na logarithmic ay isang equation ng form log a f (x) \u003d b, kung saan ang a, b ay mga numero (a\u003e 0, a ≠ 1), f (x) ay ilang pagpapaandar.

Ang isang natatanging tampok ng lahat ng mga equation ng logarithmic ay ang pagkakaroon ng variable x sa ilalim ng pag-sign ng logarithm. Kung ang naturang equation ay paunang ibinigay sa problema, ito ay tinatawag na pinakasimpleng isa. Anumang iba pang mga equation na logarithmic ay nabawasan sa pinakasimpleng paraan ng mga espesyal na pagbabago (tingnan ang "Pangunahing mga katangian ng logarithms"). Gayunpaman, kinakailangang isaalang-alang ang maraming mga subtleties: maaaring hindi lumitaw ang mga hindi kinakailangang ugat, samakatuwid ang mga kumplikadong equation ng logarithmic ay isasaalang-alang nang magkahiwalay.

Paano malulutas ang mga naturang equation? Sapat na upang palitan ang numero sa kanan ng pantay na pag-sign sa logarithm sa parehong base tulad ng sa kaliwa. Pagkatapos ay maaari mong mapupuksa ang pag-sign ng logarithm. Nakukuha namin:

mag-log a f (x) \u003d b ⇒ mag-log a f (x) \u003d mag-log a a b ⇒ f (x) \u003d a b

Nakuha namin ang karaniwang equation. Ang mga ugat nito ay ang mga ugat ng orihinal na equation.

Paggawa ng mga degree

Kadalasan, ang mga katumbas na logarithmic, na sa panlabas ay mukhang kumplikado at nagbabanta, ay malulutas sa isang linya lamang nang hindi nagsasangkot ng mga kumplikadong pormula. Ngayon ay isasaalang-alang namin ang mga nasabing problema, kung saan ang kailangan mo lang ay maingat na bawasan ang pormula sa canonical form at huwag malito kapag naghahanap ng domain ng kahulugan ng mga logarithm.

Ngayon, tulad ng malamang na nahulaan mo mula sa pamagat, malulutas namin ang mga equation na logarithmic gamit ang mga formula sa paglipat sa canonical form. Ang pangunahing "trick" ng araling ito sa video ay gagana sa mga degree, o sa halip, pagkuha ng degree mula sa base at sa argument. Isaalang-alang natin ang panuntunan:

Katulad nito, maaari kang kumuha ng degree mula sa base:

Tulad ng nakikita mo, kung, kapag inaalis ang degree mula sa argument ng logarithm, mayroon lamang kaming karagdagang kadahilanan sa harap, pagkatapos kapag inaalis ang degree mula sa base, hindi lamang ito isang kadahilanan, ngunit isang baligtad na kadahilanan. Dapat itong alalahanin.

Sa wakas, ang kasiya-siyang bahagi. Ang mga formula na ito ay maaaring pagsamahin, pagkatapos makuha namin:

Siyempre, kapag ginaganap ang mga paglipat na ito, may ilang mga pitfalls na nauugnay sa isang posibleng pagpapalawak ng lugar ng kahulugan o, sa kabaligtaran, isang paghihigpit ng lugar ng kahulugan. Hukom para sa iyong sarili:

mag-log 3 x 2 \u003d 2 ∙ mag-log 3 x

Kung sa unang kaso, ang x ay maaaring maging anumang bilang maliban sa 0, iyon ay, ang kinakailangan x ≠ 0, pagkatapos ay sa pangalawang kaso nasiyahan lamang kami sa x, na kung saan ay hindi lamang hindi pantay, ngunit mahigpit na mas malaki sa 0, sapagkat ang domain ng kahulugan ng logarithm ay ang argumento ay mahigpit na mas malaki sa 0. Samakatuwid, hayaan mo akong ipaalala sa iyo ng isang kahanga-hangang pormula mula sa kurso ng 8-9 grade algebra:

Iyon ay, dapat nating isulat ang aming pormula tulad ng sumusunod:

mag-log 3 x 2 \u003d 2 ∙ mag-log 3 | x |

Pagkatapos ay walang pagpapaliit ng lugar ng kahulugan ay magaganap.

Gayunpaman, walang magiging mga parisukat sa tutorial sa video ngayon. Kung titingnan mo ang aming mga gawain, makikita mo lamang ang mga ugat. Samakatuwid, hindi namin ilalapat ang panuntunang ito, ngunit kailangan pa ring tandaan upang sa tamang oras, kapag nakita mo ang isang quadratic function sa argumento o base ng logarithm, tatandaan mo ang panuntunang ito at isagawa ang lahat ng mga pagbabago tama

Kaya ang unang equation:

Upang malutas ang problemang ito, iminumungkahi kong maingat na tingnan ang bawat term na naroroon sa pormula.

Isulat ulit natin ang unang termino bilang isang kapangyarihan na may isang makatuwiran na exponent:

Tinitingnan namin ang pangalawang term: mag-log 3 (1 - x). Walang magawa dito, ang lahat ay isang pagbabago na.

Panghuli, 0, 5. Tulad ng sinabi ko sa mga nakaraang aralin, kapag nalulutas ang mga equation at pormula ng logarithmic, lubos kong inirerekumenda ang paglipat mula sa decimal na praksyon sa mga ordinaryong. Gawin natin ito:

0,5 = 5/10 = 1/2

Isulat muli ang aming orihinal na pormula na isinasaalang-alang ang mga nagresultang termino:

mag-log 3 (1 - x) \u003d 1

Ngayon magpatuloy tayo sa form na canonical:

mag-log 3 (1 - x) \u003d mag-log 3 3

Tinatanggal namin ang pag-sign ng logarithm sa pamamagitan ng pagpapantay ng mga argumento:

1 - x \u003d 3

−x \u003d 2

x \u003d −2

Iyon lang, nalutas na namin ang equation. Gayunpaman, ligtas pa rin nating i-play ito at hanapin ang saklaw. Upang magawa ito, bumalik sa orihinal na pormula at tingnan ang:

1 - x\u003e 0

−x\u003e −1

x< 1

Ang aming ugat x \u003d −2 ay nasisiyahan ang kinakailangang ito; samakatuwid, ang x \u003d −2 ay isang solusyon sa orihinal na equation. Nakatanggap kami ng isang mahigpit na malinaw na pagbibigay-katwiran. Iyon lang, nalutas ang problema.

Lumipat tayo sa pangalawang gawain:

Hayaan nating harapin ang bawat term na magkahiwalay.

Isusulat namin ang una:

Binago namin ang unang term. Nagtatrabaho kami sa pangalawang termino:

Panghuli, ang huling termino sa kanan ng pantay na pag-sign:

Pinalitan namin ang mga nakuhang expression sa halip na ang mga termino sa nagresultang pormula:

mag-log 3 x \u003d 1

Lumipat tayo sa form na canonical:

mag-log 3 x \u003d mag-log 3 3

Tinatanggal namin ang pag-sign ng logarithm, na pinapantay ang mga argumento, at nakakakuha kami ng:

x \u003d 3

Muli, i-play natin ito nang ligtas, kung sakali, bumalik sa orihinal na equation at makita. Sa orihinal na pormula, ang variable x ay naroroon lamang sa argument, samakatuwid,

x\u003e 0

Sa pangalawang logarithm, ang x ay nasa ilalim ng ugat, ngunit muli sa argumento, samakatuwid, ang ugat ay dapat na mas malaki sa 0, ibig sabihin, ang radikal na ekspresyon ay dapat na mas malaki sa 0. Tingnan ang ating ugat x \u003d 3. Malinaw na, ito natutugunan ang kinakailangang ito. Samakatuwid, ang x \u003d 3 ay isang solusyon sa orihinal na equation ng logarithmic. Iyon lang, nalutas ang problema.

Mayroong dalawang pangunahing punto sa tutorial sa video ngayon:

1) huwag matakot na ibahin ang anyo ang mga logarithms at, sa partikular, huwag matakot na alisin ang mga kapangyarihan mula sa tanda ng logarithm, habang naaalala ang aming pangunahing pormula: kapag kumukuha ng isang degree mula sa isang pagtatalo, simpleng inilabas ito hindi nabago bilang isang kadahilanan, at kapag ang isang degree ay nakuha sa base, ang degree na ito ay baligtad.

2) ang pangalawang punto ay naiugnay sa form na kanonikal mismo. Ginawa namin ang paglipat sa form na canonical sa pinakadulo ng pagbabago ng formula ng logarithmic equation. Hayaan akong ipaalala sa iyo ang sumusunod na pormula:

a \u003d log b b a

Siyempre, sa pamamagitan ng ekspresyong "anumang numero b", ang ibig kong sabihin ay ang mga nasabing bilang na nagbibigay-kasiyahan sa mga kinakailangang ipinataw sa base ng logarithm, ibig sabihin

1 ≠ b\u003e 0

Sa naturang b, at dahil alam na natin ang base, ang kinakailangang ito ay awtomatikong matutugunan. Ngunit para sa naturang b - anumang nagbibigay-kasiyahan sa ibinigay na kinakailangan - maisasagawa ang paglipat na ito, at nakakakuha kami ng isang form na canonical kung saan maaari naming mapupuksa ang pag-sign ng logarithm.

Pagpapalawak ng saklaw at hindi kinakailangang mga ugat

Sa proseso ng pagbabago ng mga equation ng logarithmic, maaaring mangyari ang isang implicit na pagpapalawak ng domain ng kahulugan. Kadalasan, hindi ito napapansin ng mga mag-aaral, na humahantong sa mga pagkakamali at hindi tamang sagot.

Magsimula tayo sa pinakasimpleng mga disenyo. Ang pinakasimpleng equation na logarithmic ay ang sumusunod:

mag-log a f (x) \u003d b

Tandaan na ang x ay naroroon lamang sa isang argumento ng isang logarithm. Paano natin malulutas ang mga naturang equation? Gumagamit kami ng canonical form. Upang magawa ito, kinakatawan namin ang bilang b \u003d mag-log a a b, at ang aming equation ay muling susulat tulad ng sumusunod:

mag-log a f (x) \u003d mag-log a a b

Ang entry na ito ay tinatawag na canonical form. Nasa kanya na ang anumang equation na logarithmic na iyong mahahanap hindi lamang sa aralin ngayon, kundi pati na rin sa anumang independyente at kontrol na gawain ay dapat mabawasan.

Paano makarating sa canonical form, kung anong mga diskarteng gagamitin ay isang bagay na ng pagsasanay. Ang pangunahing bagay na dapat maunawaan ay sa lalong madaling makatanggap ka ng gayong talaan, maaari mong ipalagay na malulutas ang problema. Sapagkat ang susunod na hakbang ay ang pagsulat:

f (x) \u003d a b

Sa madaling salita, tinatanggal natin ang pag-sign ng logarithm at pinapantay lamang ang mga argumento.

Bakit lahat ng usapang ito? Ang katotohanan ay ang form na canonical ay nalalapat hindi lamang sa pinakasimpleng mga problema, ngunit din sa anumang iba pa. Sa partikular, sa mga tatalakayin natin ngayon. Tingnan natin.

Unang gawain:

Ano ang problema sa equation na ito? Ang katotohanan na ang pagpapaandar ay nasa dalawang logarithm nang sabay-sabay. Ang problema ay maaaring mabawasan sa pinakasimpleng, sa pamamagitan lamang ng pagbawas ng isang logarithm mula sa isa pa. Ngunit may mga problema sa saklaw: maaaring lumitaw ang labis na mga ugat. Kaya ilipat lamang natin ang isa sa mga logarithm sa kanan:

Ang nasabing rekord ay mas katulad na ng form na canonical. Ngunit may isa pang pananarinari: sa form na canonical, ang mga argumento ay dapat na pareho. At mayroon kaming base 3 logarithm sa kaliwa, at base sa 1/3 sa kanan. Alam, kailangan mong dalhin ang mga kadahilanang ito sa parehong numero. Halimbawa, tandaan natin kung ano ang mga negatibong kapangyarihan:

At pagkatapos ay gagamitin namin ang paglipat ng exponent na "-1" sa labas ng log bilang isang kadahilanan:

Mangyaring tandaan: ang degree na nakatayo sa base ay lumiliko at nagiging isang maliit na bahagi. Nakuha namin ang isang halos kanonikal na notasyon, tinatanggal ang iba't ibang mga base, ngunit bilang kapalit nakuha namin ang kadahilanan na "-1" sa kanan. Idagdag natin ang kadahilanang ito sa argumento, ginagawa itong isang kapangyarihan:

Siyempre, natanggap ang form na canonical, buong-tapang naming tinatawid ang palatandaan ng logarithm at ipinapantay ang mga argumento. Sa parehong oras, hayaan mo akong ipaalala sa iyo na kapag itinaas sa lakas na "−1", ang maliit na bahagi ay lumiliko lamang - nakuha ang proporsyon.

Gamitin natin ang pangunahing pag-aari ng proporsyon at i-multiply ito:

(x - 4) (2x - 1) \u003d (x - 5) (3x - 4)

2x 2 - x - 8x + 4 \u003d 3x 2 - 4x - 15x + 20

2x 2 - 9x + 4 \u003d 3x 2 - 19x + 20

x 2 - 10x + 16 \u003d 0

Bago sa amin ang ibinigay na quadratic equation, kaya nilulutas namin ito gamit ang mga pormula ni Vieta:

(x - 8) (x - 2) \u003d 0

x 1 \u003d 8; x 2 \u003d 2

Yun lang Sa palagay mo nalulutas ang equation? Hindi! Para sa naturang solusyon, nakakakuha kami ng 0 puntos, dahil ang orihinal na equation ay naglalaman ng dalawang logarithms na may variable x nang sabay-sabay. Samakatuwid, kinakailangan upang isaalang-alang ang saklaw.

At dito nagsisimula ang kasiyahan. Karamihan sa mga mag-aaral ay nalilito: ano ang domain ng logarithm? Siyempre, lahat ng mga argumento (mayroon kaming dalawa) ay dapat na mas malaki sa zero:

(x - 4) / (3x - 4)\u003e 0

(x - 5) / (2x - 1)\u003e 0

Ang bawat isa sa mga hindi pagkakapantay-pantay na ito ay kailangang malutas, markahan sa isang tuwid na linya, tumawid - at pagkatapos lamang makita kung aling mga ugat ang namamalagi sa intersection.

Upang maging matapat: ang diskarteng ito ay may karapatang mag-iral, maaasahan ito, at makakakuha ka ng tamang sagot, ngunit maraming mga hindi kinakailangang pagkilos dito. Kaya't dumaan ulit tayo sa aming solusyon at tingnan: saan eksaktong nais mong ilapat ang saklaw? Sa madaling salita, kailangan mong malinaw na maunawaan kung kailan eksaktong lumabas ang labis na mga ugat.

1. Sa una, mayroon kaming dalawang logarithms. Pagkatapos ay inilipat namin ang isa sa kanila sa kanan, ngunit hindi ito nakakaapekto sa lugar ng kahulugan.
2. Pagkatapos ay aalisin namin ang degree mula sa base, ngunit mayroon pa ring dalawang logarithms, at ang bawat isa sa kanila ay naglalaman ng variable x.
3. Sa wakas, tinatawid namin ang mga palatandaan para sa pag-log at makuha ang klasikal na praksyonal na praksyonal na equation.

Nasa huling hakbang na ang domain ng kahulugan ay lumalawak! Sa sandaling lumipat kami sa praksyonal na equation na praksyonal, inaalis ang mga palatandaan ng pag-log, ang mga kinakailangan para sa variable x ay nagbago nang malaki!

Samakatuwid, ang domain ng kahulugan ay maaaring isaalang-alang hindi sa simula pa ng solusyon, ngunit sa nabanggit na hakbang lamang - bago direktang pagpapantay ng mga argumento.

Dito nakasalalay ang pagkakataon para sa pag-optimize. Sa isang banda, hinihiling sa amin na ang parehong mga argumento ay mas malaki sa zero. Sa kabilang banda, pinapantay pa namin ang mga argumentong ito. Samakatuwid, kung hindi bababa sa isa sa kanila ay positibo, kung gayon ang pangalawa ay magiging positibo din!

Kaya't lumalabas na upang mangailangan ng katuparan ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay nang sabay-sabay ay isang labis na labis. Ito ay sapat na upang isaalang-alang lamang ang isa sa mga praksiyon. Alin? Ang isa na mas madali. Halimbawa, harapin natin ang tamang praksyon:

(x - 5) / (2x - 1)\u003e 0

Ito ay isang tipikal na hindi pagkakapantay-pantay ng praksyonal-rasional, malulutas namin ito sa pamamagitan ng pamamaraan ng mga agwat:

Paano mag-ayos ng mga karatula? Kumuha tayo ng isang numero na halatang mas malaki kaysa sa lahat ng ating mga ugat. Halimbawa ng 1 bilyon. At pinapalitan namin ang bahagi nito. Nakakakuha kami ng positibong numero, ibig sabihin sa kanan ng root x \u003d 5 magkakaroon ng plus sign.

Pagkatapos ang mga palatandaan ay kahalili, dahil walang mga ugat ng kahit na multiplikity kahit saan. Interesado kami sa mga agwat kung saan positibo ang pagpapaandar. Samakatuwid, x ∈ (−∞; −1/2) ∪ (5; + ∞).

Tandaan natin ngayon ang mga sagot: x \u003d 8 at x \u003d 2. Mahigpit na pagsasalita, hindi pa ito ang mga sagot, ngunit ang mga kandidato lamang para sa isang sagot. Alin ang kabilang sa tinukoy na hanay? Siyempre, x \u003d 8. Ngunit ang x \u003d 2 ay hindi umaangkop sa amin sa domain ng kahulugan.

Ang kabuuang sagot sa unang equation ng logarithmic ay magiging x \u003d 8. Ngayon ay nakatanggap kami ng isang may kakayahan, mahusay na saligan na solusyon, isinasaalang-alang ang domain ng kahulugan.

Lumipat tayo sa pangalawang equation:

mag-log 5 (x - 9) \u003d mag-log 0.5 4 - mag-log 5 (x - 5) + 3

Hayaan akong ipaalala sa iyo na kung may isang decimal na maliit na bahagi sa equation, pagkatapos ay dapat mong alisin ito. Sa madaling salita, muling isulat natin ang 0.5 bilang isang regular na bahagi. Napansin agad namin na ang logarithm na naglalaman ng base na ito ay madaling makalkula:

Napakahalagang sandali na ito! Kapag mayroon kaming mga degree sa base at sa pagtatalo, maaari naming mailabas ang mga tagapagpahiwatig ng mga degree na ito sa pamamagitan ng pormula:

Bumalik sa aming orihinal na equation ng logarithmic at muling isulat ito:

mag-log 5 (x - 9) \u003d 1 - log 5 (x - 5)

Nakakuha kami ng isang konstruksyon na malapit sa canonical form. Gayunpaman, nalilito kami sa mga tuntunin at minus sign sa kanan ng pantay na pag-sign. Isipin natin ang isa bilang isang batayang 5 logarithm:

mag-log 5 (x - 9) \u003d mag-log 5 5 1 - mag-log 5 (x - 5)

Ibawas ang mga logarithm mula sa kanan (habang ang kanilang mga argumento ay nahahati):

mag-log 5 (x - 9) \u003d mag-log 5 5 / (x - 5)

Perpekto Nakuha namin ang form ng canon! Iwaksi ang mga palatandaan ng pag-log at ipantay ang mga argumento:

(x - 9) / 1 \u003d 5 / (x - 5)

Ito ay isang proporsyon na madaling malulutas sa pamamagitan ng pag-multiply ng crosswise:

(x - 9) (x - 5) \u003d 5 1

x 2 - 9x - 5x + 45 \u003d 5

x 2 - 14x + 40 \u003d 0

Malinaw na, mayroon kaming ibinigay na quadratic equation. Madali itong malulutas gamit ang mga pormula ng Vieta:

(x - 10) (x - 4) \u003d 0

x 1 \u003d 10

x 2 \u003d 4

Nakakuha kami ng dalawang mga ugat. Ngunit ang mga ito ay hindi tumutukoy sa mga sagot, ngunit ang mga kandidato lamang, dahil ang logarithmic equation ay nangangailangan din ng pag-verify ng domain ng kahulugan.

Pinapaalala ko sa iyo: hindi na kailangang tumingin kung kailan bawat isa ng mga argumento ay magiging mas malaki sa zero. Sapat na upang kailanganin ang isang argumento - alinman sa x - 9 o 5 / (x - 5) - mas malaki kaysa sa zero. Isaalang-alang ang unang argumento:

x - 9\u003e 0

x\u003e 9

Malinaw na, x \u003d 10 lamang ang nagbibigay-kasiyahan sa kinakailangang ito. Ito ang pangwakas na sagot. Nalutas ang buong problema.

Muli, ang mga pangunahing punto ng aralin ngayon ay:

1. Sa sandaling lumitaw ang variable x sa maraming mga logaritma, ang equation ay tumitigil sa pagiging elementarya, at para dito kailangan mong kalkulahin ang domain. Kung hindi man, madali mong maisusulat ang labis na mga ugat bilang tugon.
2. Ang pagtatrabaho sa mismong domain ay maaaring mapadali kung isusulat namin ang hindi pagkakapantay-pantay na hindi kaagad, ngunit eksaktong sa sandaling ito kapag natanggal namin ang mga palatandaan ng log. Pagkatapos ng lahat, kapag ang mga argumento ay pinapantay sa bawat isa, sapat na upang kailanganin na ang isa lamang sa kanila ay mas malaki sa zero.

Siyempre, tayo mismo ang pumili mula sa aling argument upang bumuo ng hindi pagkakapantay-pantay, kaya lohikal na piliin ang pinakasimpleng isa. Halimbawa, sa pangalawang equation, pinili namin ang argument (x - 9) - isang linear na function, taliwas sa praksyonal na pangangatuwiran na pangalawang argumento. Sumang-ayon, ang paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay x - 9\u003e 0 ay mas madali kaysa sa 5 / (x - 5)\u003e 0. Bagaman ang resulta ay pareho.

Lubhang pinasimple ng pangungusap na ito ang paghahanap para sa DLT, ngunit mag-ingat: maaari kang gumamit ng isang hindi pagkakapantay-pantay sa halip na dalawa lamang kapag ang mga argumento ay eksaktong pantay sa bawat isa!

Siyempre, may magtatanong ngayon: ano ang iba na nangyayari? Oo minsan. Halimbawa, sa mismong hakbang, kapag pinarami namin ang dalawang mga argument na naglalaman ng isang variable, mayroong panganib na hindi kinakailangang mga ugat.

Hukom para sa iyong sarili: sa una, ang bawat isa sa mga argumento ay kinakailangan na mas malaki sa zero, ngunit pagkatapos ng pagpaparami, sapat na ang kanilang produkto ay mas malaki sa zero. Bilang isang resulta, napalampas ang kaso kung ang bawat isa sa mga praksiyon na ito ay negatibo.

Samakatuwid, kung nagsisimula ka lamang makitungo sa mga kumplikadong equation ng logarithmic, sa anumang kaso huwag i-multiply ang logarithms na naglalaman ng variable x - masyadong madalas na hahantong ito sa hindi kinakailangang mga ugat. Mas mahusay na gumawa ng isang labis na hakbang, ilipat ang isang termino sa kabilang panig, bumuo ng form na canonical.

Sa gayon, at kung ano ang gagawin kung hindi mo magagawa nang hindi pinarami ang mga naturang logarithms, tatalakayin namin sa susunod na video tutorial. :)

Muli tungkol sa mga degree sa equation

Ngayon ay susuriin namin ang isang madulas na paksang nauugnay sa mga logarithmic equation, o sa halip, ang pag-aalis ng mga kapangyarihan mula sa mga argumento at mga base ng logarithms.

Sasabihin ko pa rin na pag-uusapan natin ang tungkol sa paggawa ng kahit na mga degree, sapagkat kasama ang kahit na mga degree na karamihan sa mga paghihirap ay lumitaw kapag nalulutas ang mga tunay na equation ng logarithmic.

Magsimula tayo sa form na canonical. Sabihin nating mayroon tayong equation ng form log a f (x) \u003d b. Sa kasong ito, muling isinusulat namin ang bilang b sa pamamagitan ng pormula b \u003d mag-log a a b. Lumalabas ang sumusunod:

mag-log a f (x) \u003d mag-log a a b

Pagkatapos ay pinapantay namin ang mga argumento:

f (x) \u003d a b

Ang penultimate formula ay tinatawag na canonical form. Ito ay sa kanya na sinusubukan nilang bawasan ang anumang pagkakatulad ng logarithmic, gaano man ka kumplikado at kakila-kilabot ito sa unang tingin.

Subukan Natin. Magsimula tayo sa unang gawain:

Paunang tala: tulad ng sinabi ko, ang lahat ng mga praksyon ng decimal sa logarithmic equation ay pinakamahusay na na-convert sa mga ordinaryong:

0,5 = 5/10 = 1/2

Isulat muli ang ating equation sa katotohanang ito sa isip. Tandaan na ang parehong 1/1000 at 100 ay kapangyarihan ng sampu, at pagkatapos ay inilalabas namin ang mga kapangyarihan mula saanman sila naroroon: mula sa mga argumento at kahit mula sa base ng mga logarithm:

At dito maraming mga mag-aaral ang may isang katanungan: "Saan nagmula ang module sa kanan?" Sa katunayan, bakit hindi nalang magsulat (x - 1)? Siyempre, ngayon magsusulat kami ng (x - 1), ngunit ang karapatan sa gayong tala ay nagbibigay sa amin ng account ng domain ng kahulugan. Sa katunayan, sa isa pang logarithm mayroon na (x - 1), at ang ekspresyong ito ay dapat na mas malaki sa zero.

Ngunit kapag inilabas namin ang parisukat mula sa base ng logarithm, dapat nating iwanan ang module sa base. Hayaan mong ipaliwanag ko kung bakit.

Ang katotohanan ay mula sa pananaw ng matematika, ang pagkuha ng degree ay katumbas ng pagkuha ng isang ugat. Sa partikular, kapag ang parisukat ay tinanggal mula sa ekspresyon (x - 1) 2, mahalagang nilalabas namin ang ugat ng pangalawang degree. Ngunit ang isang parisukat na ugat ay hindi hihigit sa isang module. Sakto modyul, sapagkat kahit na ang expression na x - 1 ay negatibo, kung ang parisukat, "minus" ay masusunog pa rin. Ang karagdagang pagkuha ng ugat ay magbibigay sa amin ng isang positibong numero - na wala nang anumang mga sagabal.

Sa pangkalahatan, upang maiwasan ang mga nakakasakit na pagkakamali, tandaan minsan at para sa lahat:

Ang isang pantay na ugat ng anumang pagpapaandar na itinaas sa parehong lakas ay hindi katumbas ng pagpapaandar mismo, ngunit sa modulus nito:

Bumalik sa aming logarithmic equation. Nagsasalita tungkol sa modyul, pinatunayan ko na maaari naming itong alisin nang walang sakit. Totoo iyon. Hayaan mong ipaliwanag ko kung bakit. Mahigpit na pagsasalita, kailangan naming isaalang-alang ang dalawang pagpipilian:

1. x - 1\u003e 0 ⇒ | x - 1 | \u003d x - 1
2. x - 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

Ang bawat isa sa mga opsyong ito ay kailangang tugunan. Ngunit mayroong isang catch: ang orihinal na pormula ay naglalaman ng isang function (x - 1) nang walang anumang module. At pagsunod sa domain ng kahulugan ng logarithms, kami ay may karapatang sumulat kaagad sa x - 1\u003e 0 na iyon.

Ang kinakailangang ito ay dapat matugunan nang nakapag-iisa sa anumang mga module at iba pang mga pagbabagong ginawa namin sa proseso ng solusyon. Dahil dito, walang katuturan na isaalang-alang ang pangalawang pagpipilian - hindi na ito babangon. Kahit na, kapag nalulutas ang sangay na ito ng hindi pagkakapantay-pantay, nakakakuha kami ng ilang mga numero, hindi pa rin sila isasama sa panghuling sagot.

Ngayon ay literal kaming isang hakbang ang layo mula sa canonical form ng logarithmic equation. Kinakatawan natin ang yunit tulad ng sumusunod:

1 \u003d log x - 1 (x - 1) 1

Bilang karagdagan, idinagdag namin ang kadahilanan −4 sa kanan sa argument:

mag-log x - 1 10 −4 \u003d mag-log x - 1 (x - 1)

Bago sa amin ang canonical form ng logarithmic equation. Tanggalin ang tanda ng logarithm:

10 −4 \u003d x - 1

Ngunit dahil ang batayan ay isang pagpapaandar (at hindi isang pangunahing numero), karagdagan namin hinihiling na ang pagpapaandar na ito ay mas malaki sa zero at hindi katumbas ng isa. Ang system ay magpapasara:

Dahil ang kinakailangang x - 1\u003e 0 ay awtomatikong natutupad (pagkatapos ng lahat, x - 1 \u003d 10 −4), ang isa sa mga hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring matanggal mula sa aming system. Ang pangalawang kondisyon ay maaari ring i-cross out, dahil x - 1 \u003d 0,0001< 1. Итого получаем:

x \u003d 1 + 0,0001 \u003d 1.0001

Ito ang nag-iisang ugat na awtomatikong natutugunan ang lahat ng mga kinakailangan ng domain ng kahulugan ng logarithm (gayunpaman, ang lahat ng mga kinakailangan ay tinanggal bilang alam na natupad sa mga kondisyon ng aming problema).

Kaya ang pangalawang equation ay:

3 log 3 x x \u003d 2 log 9 x x 2

Paano naiiba ang equation na ito sa panimula sa isa? Na hindi bababa sa pamamagitan ng ang katunayan na ang mga base ng logarithms - 3x at 9x - ay hindi natural na degree ng bawat isa. Samakatuwid, ang paglipat na ginamit namin sa nakaraang solusyon ay hindi posible.

Tanggalin natin kahit papaano ang mga degree. Sa aming kaso, ang tanging degree ay nasa pangalawang argumento:

3 log 3 x x \u003d 2 ∙ 2 log 9 x | x |

Gayunpaman, maaaring alisin ang tanda ng modulus, dahil ang variable x ay nasa base din, ibig sabihin x\u003e 0 ⇒ | x | \u003d x. Isulat ulit natin ang aming pagkakatulad na logarithmic:

3 log 3 x x \u003d 4 log 9 x x

Nakuha namin ang mga logarithm na may parehong mga argumento, ngunit magkakaibang mga base. Ano ang susunod kong gagawin? Maraming mga pagpipilian dito, ngunit isasaalang-alang lamang namin ang dalawa sa mga ito, na kung saan ay ang pinaka-lohikal, at pinaka-mahalaga, ang mga ito ay mabilis at naiintindihan na mga diskarte para sa karamihan ng mga mag-aaral.

Naisaalang-alang na namin ang unang pagpipilian: sa anumang hindi maunawaan na sitwasyon, isalin ang mga logarithm na may variable na base sa ilang pare-pareho na base. Halimbawa, sa isang paghihikayat. Ang formula ng paglipat ay simple:

Siyempre, isang normal na numero ang dapat gampanan ang isang variable c: 1 ≠ c\u003e 0. Hayaan sa ating kaso c \u003d 2. Ngayon mayroon kaming isang ordinaryong praksyonal na equation na may talakay. Kinokolekta namin ang lahat ng mga elemento sa kaliwa:

Malinaw na, ang factor log 2 x ay mas mahusay na ilabas, dahil mayroon ito sa parehong una at pangalawang mga praksiyon.

mag-log 2 x \u003d 0;

3 log 2 9x \u003d 4 log 2 3x

Hinahati namin ang bawat pag-log sa dalawang term:

mag-log 2 9x \u003d mag-log 2 9 + mag-log 2 x \u003d 2 mag-log 2 3 + mag-log 2 x;

mag-log 2 3x \u003d mag-log 2 3 + mag-log 2 x

Isulat muli ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay na isinasaalang-alang ang mga katotohanang ito:

3 (2 log 2 3 + log 2 x) \u003d 4 (log 2 3 + log 2 x)

6 log 2 3 + 3 log 2 x \u003d 4 log 2 3 + 4 log 2 x

2 log 2 3 \u003d log 2 x

Ngayon ay nananatili itong magdagdag ng dalawa sa ilalim ng logarithm sign (magiging isang kapangyarihan ito: 3 2 \u003d 9):

mag-log 2 9 \u003d mag-log 2 x

Bago sa atin ang klasikal na form na canonical, tinatanggal namin ang pag-sign ng logarithm at makuha ang:

Tulad ng inaasahan, ang ugat na ito ay naging mas malaki sa zero. Nananatili ito upang suriin ang domain. Tingnan natin ang mga dahilan:

Ngunit ang ugat x \u003d 9 ay nagbibigay-kasiyahan sa mga kinakailangang ito. Samakatuwid, ito ang pangwakas na desisyon.

Ang konklusyon mula sa pasyang ito ay simple: huwag matakot ng mahabang kalkulasyon! Iyon lamang sa simula pa lamang ay pumili kami ng isang bagong pundasyon nang sapalaran - at ito ay makabuluhang kumplikado sa proseso.

Ngunit pagkatapos ay ang tanong ay arises: kung anong uri ng pundasyon ay pinakamainam? Pag-uusapan ko ito sa pangalawang pamamaraan.

Balikan natin ang ating orihinal na equation:

3 log 3x x \u003d 2 log 9x x 2

3 log 3x x \u003d 2 ∙ 2 log 9x | x |

x\u003e 0 ⇒ | x | \u003d x

3 log 3 x x \u003d 4 log 9 x x

Ngayon mag-isip tayo ng kaunti: anong bilang o pag-andar ang magiging pinakamainam na radix? Malinaw na, ang pinakamahusay na pagpipilian ay c \u003d x - kung ano ang mayroon na sa mga argumento. Sa kasong ito, ang form na mag-log a b \u003d log c b / log c a ay kukuha ng form:

Sa madaling salita, ang ekspresyon ay simpleng baligtad. Sa kasong ito, ang argumento at ang batayan ay nababaligtad.

Ang formula na ito ay lubhang kapaki-pakinabang at madalas na ginagamit kapag nilulutas ang mga kumplikadong equation ng logarithmic. Gayunpaman, mayroong isang napaka-seryosong pitfall kapag ginagamit ang formula na ito. Kung sa halip na ang batayan ay pinapalitan namin ang variable x, kung gayon ang mga paghihigpit ay ipinataw dito, na kung saan ay hindi dati naobserbahan:

Walang ganoong limitasyon sa orihinal na equation. Samakatuwid, dapat naming hiwalay na suriin ang kaso kung x \u003d 1. Palitan ang halagang ito sa aming equation:

3 log 3 1 \u003d 4 log 9 1

Nakukuha namin ang tamang pagkakapantay-pantay sa bilang. Samakatuwid, ang x \u003d 1 ay isang ugat. Natagpuan namin ang eksaktong parehong ugat sa nakaraang pamamaraan sa simula pa ng solusyon.

Ngunit ngayon, nang hiwalay naming isinasaalang-alang ang partikular na kasong ito, ligtas naming ipinapalagay na x ≠ 1. Kung gayon ang aming magkatulad na logarithmic ay muling susulat tulad ng sumusunod:

3 log x 9x \u003d 4 log x 3x

Palawakin ang parehong mga logarithm gamit ang parehong formula tulad ng dati. Tandaan na ang log x x \u003d 1:

3 (log x 9 + log x x) \u003d 4 (log x 3 + log x x)

3 log x 9 + 3 \u003d 4 log x 3 + 4

3 log x 3 2 - 4 log x 3 \u003d 4 - 3

2 log x 3 \u003d 1

Kaya nakarating kami sa form na canonical:

mag-log x 9 \u003d mag-log x x 1

x \u003d 9

Nakuha namin ang pangalawang ugat. Natutugunan nito ang kinakailangang x ≠ 1. Samakatuwid, x \u003d 9 pati na rin ang x \u003d 1 ang pangwakas na sagot.

Tulad ng nakikita mo, ang dami ng mga kalkulasyon ay nabawasan nang bahagya. Ngunit kapag nilulutas ang isang tunay na equation ng logarithmic, ang bilang ng mga aksyon ay magiging mas mababa din dahil hindi ka kinakailangan na ilarawan ang bawat hakbang sa naturang detalye.

Ang pangunahing panuntunan sa aralin ngayon ay ang mga sumusunod: kung mayroong pantay na degree sa problema, mula sa kung saan ang isang ugat ng parehong degree ay nakuha, pagkatapos ay sa output makakakuha kami ng isang module. Gayunpaman, maaaring alisin ang modyul na ito kung bibigyan natin ng pansin ang domain ng kahulugan ng logarithms.

Ngunit mag-ingat: karamihan sa mga mag-aaral pagkatapos ng araling ito ay iniisip na naiintindihan nila ang lahat. Ngunit kapag nalulutas ang tunay na mga problema, hindi nila maaaring kopyahin ang buong lohikal na kadena. Bilang isang resulta, ang equation ay napuno ng hindi kinakailangang mga ugat, at ang sagot ay naging mali.

Panuto

Isulat ang tinukoy na ekspresyong logarithmic. Kung ang expression ay gumagamit ng logarithm ng 10, kung gayon ang notasyon nito ay pinutol at ganito ang hitsura: lg b ay ang decimal logarithm. Kung ang logarithm ay may bilang e bilang isang batayan, pagkatapos ay isulat ang expression: ln b - natural logarithm. Naiintindihan na ang resulta ng anumang ay ang kapangyarihan kung saan dapat itataas ang batayang numero upang makuha ang bilang b.

Kapag naghahanap mula sa kabuuan ng dalawang pag-andar, kailangan mo lamang iiba ang mga ito sa pagliko, at idagdag ang mga resulta: (u + v) "\u003d u" + v ";

Kapag nahahanap ang hinalaw ng produkto ng dalawang mga pag-andar, kinakailangan upang i-multiply ang hinalaw ng unang pag-andar ng pangalawa at idagdag ang hinalaw ng pangalawang pag-andar, pinarami ng unang pagpapaandar: (u * v) "\u003d u" * v + v "* u;

Upang makahanap ng hinalaw ng kabuuan ng dalawang mga pag-andar, kinakailangan, mula sa produkto ng hinalang ng dividend, na pinarami ng pagpapaandar ng pamamahagi, upang ibawas ang produkto ng hinalaw ng divisor na pinarami ng pagpapaandar ng dividend , at hatiin ang lahat ng ito sa pagpapaandar ng tagahataw na parisukat. (u / v) "\u003d (u" * v-v "* u) / v ^ 2;

Kung ang isang komplikadong pag-andar ay ibinigay, kinakailangan upang i-multiply ang hinalaw ng panloob na pagpapaandar at ang hinalaw ng panlabas. Hayaan ang y \u003d u (v (x)), pagkatapos ay y "(x) \u003d y" (u) * v "(x).

Gamit ang mga nakuha sa itaas, maaari mong makilala ang halos anumang pagpapaandar. Tingnan natin ang ilang mga halimbawa:

y \u003d x ^ 4, y "\u003d 4 * x ^ (4-1) \u003d 4 * x ^ 3;

y \u003d 2 * x ^ 3 * (e ^ xx ^ 2 + 6), y "\u003d 2 * (3 * x ^ 2 * (e ^ xx ^ 2 + 6) + x ^ 3 * (e ^ x-2 * x));
Mayroon ding mga problema para sa pagkalkula ng derivative sa isang punto. Hayaang maibigay ang pagpapaandar y \u003d e ^ (x ^ 2 + 6x + 5), kailangan mong hanapin ang halaga ng pagpapaandar sa puntong x \u003d 1.
1) Hanapin ang hinalaw ng pagpapaandar: y "\u003d e ^ (x ^ 2-6x + 5) * (2 * x +6).

2) Kalkulahin ang halaga ng pagpapaandar sa ibinigay na puntong y "(1) \u003d 8 * e ^ 0 \u003d 8

Mga Kaugnay na Video

Nakatutulong na payo

Alamin ang talahanayan ng mga derivative sa elementarya. Ito ay makabuluhang makatipid ng oras.

Pinagmulan:

• hango ng isang pare-pareho

Kaya, ano ang pagkakaiba sa pagitan ng isang hindi makatuwiran na equation at isang makatuwiran? Kung ang hindi kilalang variable ay nasa ilalim ng square root sign, kung gayon ang equation ay itinuturing na hindi makatuwiran.

Panuto

Ang pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga naturang equation ay ang paraan ng pagbuo ng parehong bahagi mga equation sa isang parisukat. Gayunpaman natural ito, ang unang hakbang ay upang mapupuksa ang pag-sign. Ang pamamaraang ito ay hindi mahirap sa teknikal, ngunit kung minsan maaari itong magkaroon ng problema. Halimbawa, ang equation v (2x-5) \u003d v (4x-7). Sa pamamagitan ng pag-square sa magkabilang panig nito, makakakuha ka ng 2x-5 \u003d 4x-7. Ang equation na ito ay hindi mahirap malutas; x \u003d 1. Ngunit ang bilang 1 ay hindi bibigyan mga equation... Bakit? Palitan ang 1 sa equation para sa x, at kapwa ang kanan at kaliwang panig ay maglalaman ng mga expression na walang katuturan, iyon ay. Ang halaga na ito ay hindi wasto para sa isang square root. Samakatuwid, ang 1 ay isang extraneous root, at samakatuwid ang ibinigay na equation ay walang mga ugat.

Kaya, ang isang hindi makatuwiran na equation ay nalulutas gamit ang pamamaraan ng pag-square ng magkabilang panig nito. At na nalutas ang equation, kinakailangan na putulin ang mga extraneous root. Upang magawa ito, palitan ang mga nahanap na ugat sa orihinal na equation.

Isaalang-alang ang isa pa.
2x + vx-3 \u003d 0
Siyempre, malulutas ang equation na ito sa parehong paraan tulad ng naunang isa. Ilipat ang pinaghalong mga equationna walang square square sa kanang bahagi at pagkatapos ay gamitin ang squaring method. malutas ang nagresultang makatuwiran na equation at mga ugat. Ngunit mayroon ding isa pa, mas matikas. Magpasok ng isang bagong variable; vx \u003d y Alinsunod dito, nakakakuha ka ng isang equation ng form 2y2 + y-3 \u003d 0. Iyon ay, ang karaniwang quadratic equation. Hanapin ang mga ugat nito; y1 \u003d 1 at y2 \u003d -3 / 2. Susunod, magpasya ng dalawa mga equation vx \u003d 1; vx \u003d -3 / 2. Ang pangalawang equation ay walang mga ugat, mula sa unang nakita namin na x \u003d 1. Huwag kalimutan na suriin ang mga ugat.

Ang paglutas ng mga pagkakakilanlan ay sapat na madali. Kinakailangan nito ang paggawa ng magkatulad na mga pagbabago hanggang sa makamit ang layunin. Kaya, sa tulong ng pinakasimpleng pagpapatakbo ng arithmetic, malulutas ang gawain.

Kakailanganin mong

• - papel;
• - ang panulat.

Panuto

Ang pinakasimpleng tulad ng mga pagbabago ay algebraic pinaikling pagdaragdag (tulad ng parisukat ng kabuuan (pagkakaiba), ang pagkakaiba ng mga parisukat, ang kabuuan (pagkakaiba), ang kubo ng kabuuan (pagkakaiba)). Bilang karagdagan, maraming at mga trigonometric na formula, na kung saan ay mahalagang magkatulad na pagkakakilanlan.

Sa katunayan, ang parisukat ng kabuuan ng dalawang mga termino ay katumbas ng parisukat ng una plus dalawang beses ang produkto ng una ng pangalawa at dagdag ang parisukat ng pangalawa, iyon ay, (a + b) ^ 2 \u003d (a + b) (a + b) \u003d a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 \u003d a ^ 2 + 2ab + b ^ 2.

Pasimplehin ang pareho

Pangkalahatang mga prinsipyo ng solusyon

Paraan ng kapalit na variable

Solusyon ng mga integral ng pangalawang uri

Pagpapalit ng mga limitasyon ng pagsasama

Ang paghahanda para sa pangwakas na pagsubok sa matematika ay may kasamang isang mahalagang seksyon - "Logarithms". Ang mga gawaing mula sa paksang ito ay kinakailangang nilalaman sa pagsusulit. Ang karanasan sa mga nakaraang taon ay ipinapakita na ang mga equation na logarithmic ay sanhi ng mga paghihirap para sa maraming mga mag-aaral. Samakatuwid, ang mga mag-aaral na may iba't ibang antas ng pagsasanay ay dapat na maunawaan kung paano makahanap ng tamang sagot, at mabilis na makaya ang mga ito.

Matagumpay na nakapasa sa pagsubok sa sertipikasyon gamit ang pang-edukasyon na portal na "Shkolkovo"!

Kapag naghahanda para sa pinag-isang pagsusulit sa estado, ang mga nagtapos sa high school ay nangangailangan ng isang maaasahang mapagkukunan na nagbibigay ng pinaka kumpleto at tumpak na impormasyon para sa matagumpay na solusyon sa mga problema sa pagsubok. Gayunpaman, ang aklat-aralin ay hindi palaging nasa kamay, at ang paghahanap ng kinakailangang mga patakaran at pormula sa Internet ay madalas na tumatagal ng oras.

Pinapayagan ka ng portal ng pang-edukasyon na "Shkolkovo" na maghanda para sa Pinag-isang Exam ng Estado kahit saan sa anumang oras. Nag-aalok ang aming site ng pinaka-maginhawang diskarte sa pag-uulit at paglagom ng isang malaking halaga ng impormasyon sa mga logarithms, pati na rin sa isa at maraming hindi alam. Magsimula sa madaling mga equation. Kung madali mo ang pagharap sa kanila, magpatuloy sa mas kumplikadong mga ito. Kung mayroon kang mga problema sa paglutas ng isang tiyak na hindi pagkakapantay-pantay, maaari mo itong idagdag sa iyong Mga Paborito upang maaari kang bumalik dito sa ibang pagkakataon.

Maaari mong hanapin ang mga kinakailangang pormula upang makumpleto ang gawain, ulitin ang mga espesyal na kaso at pamamaraan para sa pagkalkula ng ugat ng karaniwang logarithmic equation sa pamamagitan ng pagtingin sa seksyong "Teoretikal na Sanggunian". Ang mga guro ng Shkolkovo ay nakolekta, pinasadema at ipinakita ang lahat ng mga materyal na kinakailangan para sa matagumpay na paghahatid sa pinaka-simple at nauunawaan na form.

Upang madaling makayanan ang mga gawain ng anumang pagiging kumplikado, sa aming portal maaari mong pamilyarin ang iyong sarili sa solusyon ng ilang mga tipikal na equation ng logarithmic. Upang magawa ito, pumunta sa seksyong "Mga Direktoryo". Nagpakita kami ng isang malaking bilang ng mga halimbawa, kasama ang mga equation ng antas ng profile ng pagsusulit sa matematika.

Ang mga mag-aaral mula sa mga paaralan sa buong Russia ay maaaring gumamit ng aming portal. Upang makapagsimula, magparehistro lamang sa system at simulang lutasin ang mga equation. Upang pagsamahin ang mga resulta, pinapayuhan ka naming bumalik sa website ng Shkolkovo araw-araw.

Paglutas ng mga equation na logarithmic. Bahagi 1.

Equation ng Logarithmic ay isang equation kung saan ang hindi kilalang nilalaman sa ilalim ng pag-sign ng logarithm (sa partikular, sa base ng logarithm).

Ang pinakasimpleng equation ng logarithmic parang:

Solusyon sa anumang equation na logarithmic nagsasangkot ng paglipat mula sa logarithms patungo sa mga expression sa ilalim ng pag-sign ng logarithms. Gayunpaman, pinalalawak ng aksyon na ito ang saklaw ng mga tinatanggap na halaga ng equation at maaaring humantong sa paglitaw ng mga extraneous na ugat. Upang maiwasan ang hitsura ng mga extraneous Roots, maaari mong gawin ang isa sa tatlong mga paraan:

1. Gumawa ng isang katumbas na paglipat mula sa orihinal na equation hanggang sa system kasama

nakasalalay sa aling hindi pagkakapantay-pantay o mas simple.

Kung ang equation ay naglalaman ng isang hindi kilalang sa base ng logarithm:

pagkatapos ay pumunta kami sa system:

2. Hiwalay na hanapin ang saklaw ng mga tinatanggap na halaga ng equation, pagkatapos ay lutasin ang equation at suriin kung ang mga nahanap na solusyon ay nasiyahan ang equation.

3. Malutas ang equation, at pagkatapos suriin:palitan ang mga nahanap na solusyon sa orihinal na equation, at suriin kung nakakuha kami ng tamang pagkakapantay-pantay.

Ang equation ng logarithmic ng anumang antas ng pagiging kumplikado sa huli ay laging binabawasan sa pinakasimpleng equation na logarithmic.

Ang lahat ng mga equation na logarithmic ay maaaring nahahati sa apat na uri:

1 ... Mga equation na naglalaman lamang ng mga logarithm sa unang degree. Sa tulong ng mga pagbabago at paggamit ay nabawasan ang mga ito sa form

Halimbawa... Solusyunan natin ang equation:

Pantayin natin ang mga expression sa ilalim ng logarithm sign:

Suriin natin kung nasisiyahan ng aming ugat ang equation:

Oo, ginagawa.

Sagot: x \u003d 5

2 ... Ang mga equation na naglalaman ng logarithms sa isang degree na iba sa 1 (sa partikular, sa denominator ng isang maliit na bahagi). Ang mga nasabing equation ay nalulutas gamit ang nagpapakilala ng variable na pagbabago.

Halimbawa. Solusyunan natin ang equation:

Hanapin natin ang ODZ ng equation:

Naglalaman ang equation ng mga logarithm na parisukat, kaya nalulutas ito sa pamamagitan ng pagbabago ng variable.

Mahalaga! Bago ipakilala ang isang kahalili, kinakailangan na "hilahin" ang mga logarithm na kasama sa equation sa "brick" gamit ang mga katangian ng logarithms.

Kapag "hinihila" ang mga logarithm, mahalaga na maingat na mailapat ang mga katangian ng logarithms:

Bilang karagdagan, mayroong isa pang banayad na punto dito, at upang maiwasan ang isang karaniwang pagkakamali, gagamit kami ng isang pantay na pagkakapantay-pantay: sinusulat namin ang antas ng logarithm sa form na ito:

Katulad din

Palitan ang mga nagresultang expression sa orihinal na equation. Nakukuha namin:

Ngayon nakikita natin na ang hindi alam ay nakapaloob sa equation sa komposisyon. Ipakilala natin ang kapalit:. Dahil maaari itong tumagal ng anumang totoong halaga, hindi kami nagpapataw ng anumang mga paghihigpit sa variable.