Mga pag-aari ng maikling pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba-iba ng 9. Aritmetika na pag-unlad

Ang mga problema sa pag-unlad ng aritmetika ay mayroon nang mga sinaunang panahon. Lumitaw sila at hiniling ang isang solusyon sapagkat mayroon silang praktikal na pangangailangan.

Kaya, sa isa sa papyri ng Sinaunang Egypt, na mayroong nilalaman sa matematika - ang Rind papyrus (XIX siglo BC) - naglalaman ng sumusunod na problema: hatiin ang sampung sukat ng tinapay sa sampung katao, sa kondisyon na ang pagkakaiba sa pagitan ng bawat isa sa kanila ay iisa. -ikawalo ng isang panukala.

At sa mga gawaing matematika ng mga sinaunang Greeks, mayroong mga matikas na teorama na nauugnay sa pag-unlad ng aritmetika. Kaya, ang Hypsicles of Alexandria (II siglo, na bumubuo ng maraming mga kagiliw-giliw na problema at idinagdag ang ikalabing-apat na libro sa "Mga Prinsipyo" ni Euclid, ay bumuo ng ideya: "Sa isang pagsulong sa aritmetika na mayroong pantay na bilang ng mga kasapi, ang kabuuan ng mga kasapi ng pangalawang kalahati ay mas malaki kaysa sa kabuuan ng mga kasapi ng unang kalahati bawat parisukat na 1/2 bilang ng mga kasapi ".

Ang pagkakasunud-sunod ay tinukoy ng isang. Ang mga numero ng pagkakasunud-sunod ay tinatawag na mga kasapi nito at karaniwang ipinahiwatig ng mga titik na may mga indeks na nagpapahiwatig ng bilang ng bilang ng kasapi na ito (a1, a2, a3 ... basahin: "isang ika-1", "isang ika-2", "isang ika-3" at iba pa).

Ang pagkakasunud-sunod ay maaaring maging walang katapusan o may wakas.

Ano ang isang pag-unlad na aritmetika? Ito ay naiintindihan bilang isang nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng nakaraang term (n) na may parehong bilang d, na kung saan ay ang pagkakaiba-iba ng pag-unlad.

Kung d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, kung gayon ang pag-unlad na ito ay itinuturing na umaakyat.

Ang isang pag-unlad na aritmetika ay tinatawag na may hangganan kung ilan lamang sa mga unang kasapi nito ang isinasaalang-alang. Sa napakalaking bilang ng mga miyembro, ito ay isang walang katapusang pag-unlad.

Ang anumang pag-unlad ng arithmetic ay tinukoy ng sumusunod na pormula:

an \u003d kn + b, habang ang b at k ay ilang mga numero.

Ang kabaligtaran na pahayag ay ganap na totoo: kung ang isang pagkakasunud-sunod ay ibinigay ng isang katulad na pormula, kung gayon ito ay eksaktong isang pag-unlad na aritmetika na may mga sumusunod na katangian:

1. Ang bawat miyembro ng pag-unlad ay ang ibig sabihin ng arithmetic ng nakaraang miyembro at ang susunod.
2. Ang kabaligtaran: kung, simula sa ika-2, ang bawat term ay ang ibig sabihin ng arithmetic ng nakaraang term at ang susunod, i.e. kung ang kalagayan ay natutugunan, kung gayon ang pagkakasunud-sunod na ito ay isang pag-unlad na aritmetika. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay tanda din ng pag-unlad, samakatuwid ito ay karaniwang tinatawag na katangian ng pag-unlad.
   Sa parehong paraan, ang teorama na sumasalamin sa pag-aari na ito ay totoo: ang isang pagkakasunud-sunod ay isang pag-unlad na aritmetika lamang kung ang pagkakapantay-pantay na ito ay totoo para sa alinman sa mga kasapi ng pagkakasunud-sunod, simula sa ika-2.

Ang katangian ng pag-aari para sa anumang apat na bilang ng isang pag-unlad na aritmetika ay maaaring ipahayag ng pormula na an + am \u003d ak + al, kung n + m \u003d k + l (m, n, k ang mga bilang ng pag-unlad).

Sa isang pag-unlad na arithmetic, ang anumang kinakailangang (Nth) term ay maaaring matagpuan gamit ang sumusunod na pormula:

Halimbawa: ang unang term (a1) sa arithmetic na pag-unlad ay ibinibigay at katumbas ng tatlo, at ang pagkakaiba (d) ay katumbas ng apat. Kailangan mong hanapin ang ika-apatnapu't limang term ng pagsulong na ito. a45 \u003d 1 + 4 (45-1) \u003d 177

Pinapayagan ka ng formula na an \u003d ak + d (n - k) na matukoy ang ika-n na kataga ng pag-unlad ng aritmetika sa pamamagitan ng alinman sa kth term na ito, sa kondisyon na nalalaman ito.

Ang kabuuan ng mga kasapi ng pag-unlad na aritmetika (nangangahulugang ang ika-1 na kasapi ng pangwakas na pag-unlad) ay kinakalkula tulad ng sumusunod:

Sn \u003d (a1 + an) n / 2.

Kung ang 1st term ay kilala rin, kung gayon ang isa pang pormula ay maginhawa para sa pagkalkula:

Sn \u003d ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

Ang kabuuan ng isang pag-unlad na aritmetika, na naglalaman ng mga kasapi, ay kinakalkula bilang mga sumusunod:

Ang pagpili ng mga formula para sa mga kalkulasyon ay nakasalalay sa mga kondisyon ng mga problema at ang paunang data.

Ang natural na serye ng anumang mga numero tulad ng 1,2,3, ..., n, ... ay ang pinakasimpleng halimbawa ng isang pag-unlad na arithmetic.

Bilang karagdagan sa pag-unlad ng arithmetic, mayroon ding isang geometriko, na may sariling mga katangian at katangian.

Kung ang bawat natural na numero n tumugma sa isang tunay na numero isang n , pagkatapos ay sinabi nila na ito ay ibinigay pagkakasunud-sunod ng bilang :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , isang n , . . . .

Kaya, ang isang pagkakasunud-sunod ng bilang ay isang pag-andar ng isang natural na argument.

Bilang a 1 ay tinawag ang unang kasapi ng pagkakasunud-sunod , numero a 2 — ang pangalawang termino sa pagkakasunud-sunod , numero a 3 — pangatlo atbp. Bilang isang n ay tinawag ang ika-n na termino ng pagkakasunud-sunod , at ang natural na numero n — ang number niya .

Ng dalawang katabi na myembro isang n at isang n +1 kasunod na kasapi isang n +1 ay tinawag kasunod (patungo sa isang n ), at isang n — dati (patungo sa isang n +1 ).

Upang tukuyin ang isang pagkakasunud-sunod, kailangan mong tukuyin ang isang pamamaraan na nagbibigay-daan sa iyo upang makahanap ng isang miyembro ng pagkakasunud-sunod na may anumang numero.

Kadalasan ang pagkakasunud-sunod ay ibinibigay sa nth term na mga formula , iyon ay, isang pormula na nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang isang kasapi ng isang pagkakasunud-sunod ayon sa bilang nito.

Halimbawa,

isang pagkakasunud-sunod ng positibong kakaibang mga numero ay maaaring tukuyin ng formula

isang n= 2n -1,

at ang pagkakasunud-sunod ng alternating 1 at -1 - sa pamamagitan ng formula

b n = (-1) n +1 . ◄

Maaaring matukoy ang pagkakasunud-sunod recursive formula, iyon ay, isang pormula na nagpapahayag ng sinumang kasapi ng pagkakasunud-sunod, nagsisimula sa ilan, sa pamamagitan ng nakaraang (isa o higit pang) mga kasapi.

Halimbawa,

kung ang a 1 = 1 , at isang n +1 = isang n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Kung ang isang 1= 1, isang 2 = 1, isang n +2 = isang n + isang n +1 , pagkatapos ang unang pitong mga kasapi ng pagkakasunud-sunod ng bilang ay itinakda tulad ng sumusunod:

isang 1 = 1,

isang 2 = 1,

isang 3 = isang 1 + isang 2 = 1 + 1 = 2,

isang 4 = isang 2 + isang 3 = 1 + 2 = 3,

isang 5 = isang 3 + isang 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Ang mga pagkakasunud-sunod ay maaaring panghuli at walang katapusang .

Tinawag ang pagkakasunud-sunod ang panghuli kung mayroon itong may hangganan na bilang ng mga kasapi. Tinawag ang pagkakasunud-sunod walang katapusang kung mayroon itong maraming mga miyembro.

Halimbawa,

pagkakasunud-sunod ng dalawang-digit na natural na numero:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

panghuli

Isang pagkakasunud-sunod ng mga prima:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

walang katapusang ◄

Tinawag ang pagkakasunud-sunod dumarami kung ang bawat miyembro nito, simula sa pangalawa, ay mas malaki kaysa sa nauna.

Tinawag ang pagkakasunud-sunod nababawasan kung ang bawat miyembro nito, simula sa pangalawa, ay mas mababa kaysa sa nauna.

Halimbawa,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - pagtaas ng pagkakasunud-sunod;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 / n, . . . - isang pagbawas ng pagkakasunud-sunod. ◄

Ang isang pagkakasunud-sunod na ang mga elemento ay hindi bumababa sa pagtaas ng bilang, o, sa kabaligtaran, hindi tumaas, ay tinawag monotonous na pagkakasunud-sunod .

Ang mga monotonic na pagkakasunud-sunod, lalo na, ay pataas na mga pagkakasunud-sunod at pababang mga pagkakasunud-sunod

Pag-unlad ng Arithmetic

Pag-unlad ng Arithmetic ang isang pagkakasunud-sunod ay tinawag, ang bawat miyembro na kung saan, simula sa pangalawa, ay katumbas ng naunang isa, kung saan idinagdag ang parehong numero.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , isang n, . . .

ay isang pag-unlad na aritmetika kung para sa anumang natural na numero n ang kondisyon ay natutugunan:

isang n +1 = isang n + d,

kung saan d - ilang numero.

Kaya, ang pagkakaiba sa pagitan ng susunod at ng nakaraang mga kasapi ng isang naibigay na pag-unlad na aritmetika ay laging pare-pareho:

isang 2 - a 1 = isang 3 - a 2 = . . . = isang n +1 - isang n = d.

Bilang d ay tinawag pagkakaiba-iba ng pag-unlad ng arithmetic.

Upang magtakda ng isang pag-unlad na aritmetika, sapat na upang ipahiwatig ang unang termino at ang pagkakaiba.

Halimbawa,

kung ang a 1 = 3, d = 4 , pagkatapos ang unang limang miyembro ng pagkakasunud-sunod ay matatagpuan tulad ng sumusunod:

isang 1 =3,

isang 2 = isang 1 + d = 3 + 4 = 7,

isang 3 = isang 2 + d= 7 + 4 = 11,

isang 4 = isang 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Para sa pag-unlad ng arithmetic sa unang term a 1 at ang pagkakaiba d siya n

isang n = isang 1 + (n- 1)d.

Halimbawa,

hanapin ang tatlumpung termino ng pagsulong ng arithmetic

1, 4, 7, 10, . . .

isang 1 =1, d = 3,

isang 30 = isang 1 + (30 - 1)d \u003d1 + 29· 3 = 88. ◄

isang n-1 = isang 1 + (n- 2)d,

isang n= isang 1 + (n- 1)d,

isang n +1 = a 1 + nd,

pagkatapos ay malinaw naman

ang bawat miyembro ng pag-unlad ng arithmetic, na nagsisimula mula sa pangalawa, ay katumbas ng ibig sabihin ng arithmetic ng naunang at kasunod na mga miyembro.

ang mga numero a, b at c ay magkakasunod na mga miyembro ng ilang arithmetic na pag-unlad kung at kung ang isa lamang sa kanila ay katumbas ng arithmetic na kahulugan ng dalawa pa.

Halimbawa,

isang n = 2n- 7 , ay isang pag-unlad na aritmetika.

Gamitin natin ang pahayag sa itaas. Meron kami:

isang n = 2n- 7,

isang n-1 = 2(n -1) - 7 = 2n- 9,

isang n + 1 = 2(n +1) - 7 = 2n- 5.

Dahil dito,

◄

Tandaan na n -th term ng pag-unlad ng arithmetic ay matatagpuan hindi lamang sa pamamagitan ng a 1 , ngunit din ang anumang nauna a k

isang n = a k + (n- k)d.

Halimbawa,

para sa a 5 maaaring maisulat

isang 5 = isang 1 + 4d,

isang 5 = isang 2 + 3d,

isang 5 = isang 3 + 2d,

isang 5 = isang 4 + d. ◄

isang n = isang n-k + kd,

isang n = a n + k - kd,

pagkatapos ay malinaw naman

ang sinumang miyembro ng isang pag-unlad na aritmetika, na nagsisimula mula sa pangalawa, ay katumbas ng kalahating kabuuan ng mga kasapi ng pag-unlad na ito ng aritmetika na pantay na spaced mula dito.

Bilang karagdagan, para sa anumang pag-unlad ng arithmetic, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

isang m + a n \u003d a k + a l,

m + n \u003d k + l.

Halimbawa,

sa pagsulong ng aritmetika

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = isang 10 = isang 3 + 7d\u003d 7 + 7 3 \u003d 7 + 21 \u003d 28;

3) isang 10= 28 = (19 + 37)/2 = (isang 7 + a 13)/2;

4) isang 2 + a 12 \u003d isang 5 + a 9, kasi

isang 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

isang 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= isang 1 + a 2 + a 3 +. ... ...+ isang n,

ang una n ang mga miyembro ng pag-unlad ng arithmetic ay katumbas ng produkto ng kalahating kabuuan ng matinding mga termino ayon sa bilang ng mga termino:

Samakatuwid, sa partikular, sumusunod ito kung kinakailangan na ibilang ang mga term

a k, a k +1 , . . . , isang n,

pagkatapos ay ang dating formula ay nagpapanatili ng istraktura nito:

Halimbawa,

sa pagsulong ng aritmetika 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Kung ang isang pag-unlad na aritmetika ay ibinigay, pagkatapos ang mga halaga a 1 , isang n, d, n atS n naka-link sa pamamagitan ng dalawang formula:

Samakatuwid, kung ang mga halaga ng tatlo sa mga dami na ito ay ibinigay, kung gayon ang mga katumbas na halaga ng iba pang dalawang dami ay natutukoy mula sa mga formula na ito, na pinagsama sa isang sistema ng dalawang mga equation na may dalawang hindi alam.

Ang isang pag-unlad na aritmetika ay isang monotonic na pagkakasunud-sunod. Kung saan:

• kung ang d > 0 , kung gayon ito ay dumarami;
• kung ang d < 0 , kung gayon ito ay bumababa;
• kung ang d = 0 , pagkatapos ay ang pagkakasunud-sunod ay nakatigil.

Pag-unlad ng geometriko

Pag-unlad ng geometriko ang isang pagkakasunud-sunod ay tinawag, ang bawat miyembro na kung saan, simula sa pangalawa, ay katumbas ng naunang isa, pinarami ng parehong numero.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

ay isang pag-unlad na geometriko kung para sa anumang natural na numero n ang kondisyon ay natutugunan:

b n +1 = b n · q,

kung saan q ≠ 0 - ilang numero.

Kaya, ang ratio ng susunod na miyembro ng isang naibigay na pag-unlad na geometriko sa nakaraang isa ay isang pare-pareho na numero:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Bilang q ay tinawag denominator ng pag-unlad na geometriko.

Upang magtakda ng isang pag-unlad na geometriko, sapat na upang ipahiwatig ang unang term at denominator nito.

Halimbawa,

kung ang b 1 = 1, q = -3 , pagkatapos ang unang limang miyembro ng pagkakasunud-sunod ay matatagpuan tulad ng sumusunod:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 at ang denominator q siya n Ang term na ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng pormula:

b n = b 1 · q n -1 .

Halimbawa,

hanapin ang ikapitong term ng pag-unlad na geometriko 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 \u003d 64. ◄

b n-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

pagkatapos ay malinaw naman

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

ang bawat miyembro ng isang pag-unlad na geometriko, simula sa pangalawa, ay katumbas ng kahulugan ng geometriko (proporsyonal) ng nauna at kasunod na mga miyembro.

Dahil ang pahayag na pinag-uusapan ay totoo rin, ang sumusunod na pahayag ay humahawak:

ang mga numero a, b at c ay magkakasunod na mga miyembro ng ilang pag-unlad na geometriko kung at kung ang parisukat ng isa sa mga ito ay katumbas ng produkto ng iba pang dalawa, iyon ay, ang isa sa mga numero ay ang geometric na kahulugan ng iba pang dalawa.

Halimbawa,

patunayan natin na ang pagkakasunud-sunod na ibinigay ng formula b n \u003d -3 2 n , ay isang exponential na pag-unlad. Gamitin natin ang pahayag sa itaas. Meron kami:

b n \u003d -3 2 n,

b n -1 \u003d -3 2 n -1 ,

b n +1 \u003d -3 2 n +1 .

Dahil dito,

b n 2 \u003d (-3 2 n) 2 \u003d (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

na nagpapatunay ng kinakailangang pahayag. ◄

Tandaan na n -th term ng pag-unlad na geometriko ay maaaring matagpuan hindi lamang sa pamamagitan ng b 1 , ngunit din ang anumang nakaraang term b k , kung saan sapat na ito upang magamit ang formula

b n = b k · q n - k.

Halimbawa,

para sa b 5 maaaring maisulat

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

pagkatapos ay malinaw naman

b n 2 = b n - k· b n + k

ang parisukat ng sinumang miyembro ng isang pag-unlad na geometriko, simula sa pangalawa, ay katumbas ng produkto ng mga kasapi ng paglalakbay na ito na equidistant mula rito.

Bilang karagdagan, para sa anumang pag-unlad na geometriko, totoo ang pagkakapantay-pantay:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Halimbawa,

exponentially

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , kasi

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

ang una n mga kasapi ng isang pag-unlad na geometriko sa denominator q ≠ 0 kinakalkula ng formula:

At kailan q = 1 - ayon sa pormula

S n= nb 1

Tandaan na kung kailangan mong kabuuan ang mga term

b k, b k +1 , . . . , b n,

pagkatapos ang formula ay ginagamit:

Halimbawa,

exponentially 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Kung ang isang pag-unlad na geometriko ay ibinigay, pagkatapos ang mga halaga b 1 , b n, q, n at S n naka-link sa pamamagitan ng dalawang formula:

Samakatuwid, kung ang mga halaga ng anumang tatlo sa mga dami na ito ay ibinigay, kung gayon ang mga katumbas na halaga ng iba pang dalawang dami ay natutukoy mula sa mga formula na ito, na pinagsama sa isang sistema ng dalawang mga equation na may dalawang hindi alam.

Para sa isang pag-unlad na geometriko sa unang term b 1 at ang denominator q ang mga sumusunod mga katangian ng monotonicity :

• ang pag-unlad ay pataas kung ang isa sa mga sumusunod na kundisyon ay natutugunan:

b 1 > 0 at q> 1;

b 1 < 0 at 0 < q< 1;

• ang pag-unlad ay bumababa kung ang isa sa mga sumusunod na kundisyon ay natutugunan:

b 1 > 0 at 0 < q< 1;

b 1 < 0 at q> 1.

Kung ang q< 0 , pagkatapos ay ang pag-unlad na geometriko ay pumapalit-palitan: ang mga kakaibang bilang ng mga kasapi nito ay may parehong palatandaan bilang unang termino nito, at ang pantay na may bilang na mga termino ay may kabaligtaran na palatandaan. Ito ay malinaw na ang isang alternating geometric na pag-unlad ay hindi monotonic.

Ang gawa ng nauna n ang mga miyembro ng isang pag-unlad na geometriko ay maaaring kalkulahin ng pormula:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Halimbawa,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Walang katapusang pagbawas ng pag-unlad na geometriko

Isang walang katapusang pagbawas ng pag-unlad na geometriko ay tinatawag na isang walang katapusang pag-unlad na geometriko, ang modulus ng denominator kung saan mas mababa 1 , ibig sabihin

|q| < 1 .

Tandaan na ang isang walang katapusang pagbawas ng pag-unlad na geometriko ay maaaring hindi isang pagbawas ng pagkakasunud-sunod. Tama ito sa kaso

1 < q< 0 .

Sa tulad ng isang denominator, ang pagkakasunud-sunod ay alternating. Halimbawa,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbawas ng pag-unlad na geometriko ay ang bilang kung saan ang kabuuan ng una n mga kasapi ng pag-unlad na may isang walang limitasyong pagtaas sa bilang n ... Ang numerong ito ay palaging may hangganan at ipinapahayag ng pormula

Halimbawa,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Pakikipag-ugnay sa pagitan ng pag-unlad ng arithmetic at geometric

Ang pag-unlad ng arithmetic at geometric ay malapit na nauugnay. Tingnan natin ang dalawang halimbawa lamang.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d tapos

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Halimbawa,

1, 3, 5, . . . - pag-unlad ng arithmetic na may pagkakaiba 2 at

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometric na pag-unlad na may denominator 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometric na pag-unlad na may denominator q tapos

mag-log a b 1, mag-log a b 2, mag-log a b 3, . . . - pag-unlad ng arithmetic na may pagkakaiba mag-log aq .

Halimbawa,

2, 12, 72, . . . - geometric na pag-unlad na may denominator 6 at

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - pag-unlad ng arithmetic na may pagkakaiba lg 6 . ◄

Uri ng aralin: pag-aaral ng bagong materyal.

Mga layunin sa aralin:

• pagpapalawak at pagpapalalim ng mga ideya ng mga mag-aaral tungkol sa mga problemang nalulutas gamit ang arithmetic progression; organisasyon ng aktibidad ng paghahanap ng mga mag-aaral kapag nagmula sa isang pormula para sa kabuuan ng mga unang miyembro ng isang aritmetika na pag-unlad;
• pag-unlad ng mga kasanayan upang malaya makakuha ng bagong kaalaman, gamitin ang nakuha na kaalaman upang makamit ang itinakdang gawain;
• ang pag-unlad ng pagnanasa at pangangailangan na gawing pangkalahatan ang mga katotohanang nakuha, ang pagbuo ng kalayaan.

Mga Gawain:

• upang gawing pangkalahatan at sistematahin ang umiiral na kaalaman sa paksang "Arithmetic progression";
• kumuha ng mga formula para sa pagkalkula ng kabuuan ng mga unang n na tuntunin ng isang pagsulong sa arithmetic;
• upang turuan kung paano ilapat ang nakuha na mga formula sa paglutas ng iba`t ibang mga problema;
• upang iguhit ang pansin ng mga mag-aaral sa pagkakasunud-sunod ng mga aksyon kapag hanapin ang halaga ng isang pagpapahayag na bilang.

Kagamitan:

• mga kard na may takdang-aralin para sa pagtatrabaho sa mga pangkat at pares;
• pagsusuri ng papel;
• pagtatanghal "Pagsulong sa Aritmetika".

I. Pag-update ng pangunahing kaalaman.

1. Malayang gawain sa mga pares.

Ika-1 na pagpipilian:

Magbigay ng kahulugan ng isang pag-unlad na arithmetic. Isulat ang umuulit na pormula na tumutukoy sa pag-unlad ng arithmetic. Kamusta halimbawa ng pag-unlad ng aritmetika at ipahiwatig ang pagkakaiba nito.

Pangalawang pagpipilian:

Isulat ang pormula para sa ika-n na kataga ng pag-unlad ng arithmetic. Hanapin ang ika-100 na term ng pag-unlad ng arithmetic ( isang n}: 2, 5, 8 …
Sa oras na ito, ang dalawang mag-aaral sa likuran ng pisara ay naghahanda ng mga sagot sa parehong mga katanungan.
Sinusuri ng mga mag-aaral ang gawain ng kapareha laban sa pisara. (Iniabot ang mga sheet ng sagot).

2. Sandali ng laro.

Ehersisyo 1.

Guro. Naglihi ako ng kaunting pag-unlad ng arithmetic. Magtanong lamang sa akin ng dalawang mga katanungan upang matapos ang mga sagot maaari mong mabilis na pangalanan ang ika-7 na term ng pagsulong na ito. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ...)

Mga katanungan ng mag-aaral.

1. Ano ang pang-anim na termino sa pag-unlad at ano ang pagkakaiba?
2. Ano ang ikawalong termino sa pag-unlad at ano ang pagkakaiba?

Kung wala nang mga katanungan, maaari silang pasiglahin ng guro - "pagbawal" sa d (pagkakaiba), iyon ay, hindi pinapayagan na magtanong kung ano ang pagkakaiba. Maaari kang magtanong ng mga katanungan: ano ang ika-6 na kataga ng pag-unlad at ano ang ika-8 kataga ng pag-unlad?

Gawain 2.

Mayroong 20 mga numero na nakasulat sa pisara: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Nakatayo ang guro sa likod sa pisara. Tinatawagan ng mga mag-aaral ang bilang ng bilang, at agad na tinawag ng guro ang numero mismo. Ipaliwanag kung paano ko ito ginagawa?

Naaalala ng guro ang pormula para sa ika-n na term a n \u003d 3n - 2at, kapalit ng ibinigay na mga halaga ng n, hahanapin ang mga katumbas na halaga isang n.

II. Pahayag ng problemang pang-edukasyon.

Ipinapanukala kong malutas ang isang sinaunang problema mula pa noong ika-2 sanlibong taon BC, na natagpuan sa Egypt papyri.

Isang gawain: "Hayaan mong sabihin sa iyo: hatiin ang 10 sukat ng barley sa pagitan ng 10 katao, ang pagkakaiba sa pagitan ng bawat tao at kanyang kapwa ay katumbas ng 1/8 ng sukat".

• Paano nauugnay ang gawaing ito sa paksang pag-unlad ng arithmetic? (Ang bawat susunod ay tumatanggap ng 1/8 pang sukat, na nangangahulugang ang pagkakaiba d \u003d 1/8, 10 katao, na nangangahulugang n \u003d 10.)
• Ano sa palagay mo ang ibig sabihin ng bilang 10? (Ang kabuuan ng lahat ng mga kasapi ng pag-unlad.)
• Ano pa ang kailangan mong malaman upang gawing madali at simple upang hatiin ang barley ayon sa gawain? (Ang unang termino sa pag-unlad.)

Layunin ng aralin - pagkuha ng pagpapakandili ng kabuuan ng mga kasapi ng pag-unlad sa kanilang bilang, ang unang termino at ang pagkakaiba, at suriin kung ang problema ay nalutas nang tama sa mga sinaunang panahon.

Bago iguhit ang pagtatapos ng pormula, tingnan natin kung paano nalutas ng mga sinaunang taga-Egypt ang problema.

At nalutas nila ito tulad ng sumusunod:

1) 10 mga hakbang: 10 \u003d 1 sukat - average na pagbabahagi;
2) 1 sukat ∙ \u003d 2 mga panukala - dinoble average magbahagi
Dinoble average ang bahagi ay ang kabuuan ng pagbabahagi ng ika-5 at ika-6 na tao.
3) 2 mga panukala - 1/8 mga panukala \u003d 1 7/8 na mga hakbang - dalawang beses ang bahagi ng ikalimang tao.
4) 1 7/8: 2 \u003d 5/16 - ang bahagi ng ikalimang; at iba pa, mahahanap mo ang bahagi ng bawat nauna at kasunod na tao.

Nakukuha namin ang pagkakasunud-sunod:

III. Ang solusyon sa problema.

1. Nagtatrabaho sa mga pangkat

Pangkat I: Hanapin ang kabuuan ng 20 magkakasunod na natural na mga numero: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Sa pangkalahatan

II pangkat: Hanapin ang kabuuan ng mga natural na numero mula 1 hanggang 100 (Ang Alamat ng Maliit na Gauss).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Output:

III pangkat: Hanapin ang kabuuan ng mga natural na numero mula 1 hanggang 21.

Solusyon: 1 + 21 \u003d 2 + 20 \u003d 3 + 19 \u003d 4 + 18 ...

Output:

Pangkat IV:Hanapin ang kabuuan ng mga natural na numero mula 1 hanggang 101.

Output:

Ang pamamaraang ito para sa paglutas ng mga isinasaalang-alang na problema ay tinatawag na "Gauss Method".

2. Ang bawat pangkat ay nagpapakita ng isang solusyon sa problema sa pisara.

3. Paglalahat ng mga iminungkahing solusyon para sa isang di-makatwirang pag-unlad ng arithmetic:

isang 1, a 2, isang 3, ..., isang n-2, isang n-1, isang n.
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +… + isang n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Hanapin natin ang halagang ito sa pamamagitan ng pangangatuwiran sa katulad na paraan:

4. Nalutas ba natin ang gawain? (Oo.)

IV. Pangunahing pag-unawa at aplikasyon ng mga nakuha na formula sa paglutas ng mga problema.

1. Sinusuri ang solusyon sa isang dating problema gamit ang formula.

2. Paglalapat ng pormula sa paglutas ng iba`t ibang mga problema.

3. Mga ehersisyo upang mabuo ang kakayahang mailapat ang pormula sa paglutas ng mga problema.

A) Blg. 613

Ibinigay: ( a n) -pag-unlad ng aritmetika;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Hanapin: S 1500

Desisyon: , isang 1 \u003d 1, isang 1500 \u003d 1500,

B) Ibinigay: ( a n) -pag-unlad ng aritmetika;
(a n): 1, 2, 3, ...
S n \u003d 210

Hanapin: n
Desisyon:

V. Malayang gawain sa pagsisiyasat sa isa't isa.

Si Denis ay nagtatrabaho bilang isang courier. Sa unang buwan, ang kanyang suweldo ay 200 rubles, sa bawat kasunod na buwan ay tumaas ito ng 30 rubles. Magkano ang kinita niya sa isang taon?

Ibinigay: ( a n) -pag-unlad ng aritmetika;
isang 1 \u003d 200, d \u003d 30, n \u003d 12
Hanapin: S 12
Desisyon:

Sagot: 4,380 rubles ang natanggap ni Denis sa isang taon.

Vi. Takdang Aralin.

1. p. 4.3 - alamin ang pinagmulan ng pormula.
2. №№ 585, 623 .
3. Lumikha ng isang problema na malulutas gamit ang formula para sa kabuuan ng mga unang n na tuntunin ng isang pag-unlad na aritmetika.

Vii. Pagbubuod ng aralin.

1. sheet ng pagsusuri

2. Ipagpatuloy ang mga pangungusap

• Ngayon sa natutunan kong aralin ...
• Mga natutunang pormula ...
• Sa tingin ko …

3. Mahahanap mo ba ang kabuuan ng mga numero mula 1 hanggang 500? Anong pamamaraan ang gagamitin mo upang malutas ang problemang ito?

Listahan ng mga sanggunian.

1. Algebra, ika-9 na baitang. Teksbuk para sa mga institusyong pang-edukasyon. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: "Edukasyon", 2009.

I. V. Yakovlev | Mga Kagamitan sa Matematika | MathUs.ru

Pag-unlad ng Arithmetic

Ang isang pag-unlad ng aritmetika ay isang espesyal na uri ng pagkakasunud-sunod. Samakatuwid, bago tukuyin ang isang arithmetic (at pagkatapos ay geometric) na pag-unlad, kailangan nating talakayin nang maikling ang mahalagang konsepto ng isang pagkakasunud-sunod ng bilang.

Pagkakasunud-sunod

Mag-isip ng isang aparato sa screen kung saan ang ilang mga numero ay ipinapakita nang sunud-sunod. Sabihin nating 2; 7; labintatlo; isa; 6; 0; 3; ::: Ang hanay ng mga bilang na ito ay isang halimbawa lamang ng isang pagkakasunud-sunod.

Kahulugan Ang isang pagkakasunud-sunod ng bilang ay isang hanay ng mga numero kung saan ang bawat numero ay maaaring italaga ng isang natatanging numero (iyon ay, upang maiugnay ang isang solong natural na numero) 1. Ang bilang n ay tinawag na ika-n na kasapi ng pagkakasunud-sunod.

Kaya, sa halimbawa sa itaas, ang unang numero ay may bilang 2, ito ang unang kasapi ng pagkakasunud-sunod, na maaaring maitukoy a1; ang numero limang ay ang bilang 6 ito ang ikalimang termino sa pagkakasunud-sunod, na maaaring maitukoy bilang a5. Sa pangkalahatan, ang term na ika-n sa pagkakasunud-sunod ay tinukoy ng isang (o bn, cn, atbp.).

Ang sitwasyon ay napaka-maginhawa kapag ang n-th na term ng pagkakasunud-sunod ay maaaring tinukoy ng ilang pormula. Halimbawa, ang formula na an \u003d 2n 3 ay tumutukoy sa pagkakasunud-sunod: 1; isa; 3; lima; 7; ::: Tinutukoy ng formula an \u003d (1) n ang pagkakasunud-sunod: 1; isa; isa; isa; :::

Hindi bawat hanay ng mga numero ay isang pagkakasunud-sunod. Kaya, ang isang segment ay hindi isang pagkakasunud-sunod; naglalaman ito ng "napakaraming" mga numero upang maibilang muli. Ang itinakdang R ng lahat ng totoong mga numero ay hindi rin isang pagkakasunud-sunod. Ang mga katotohanang ito ay napatunayan sa kurso ng pagsusuri sa matematika.

Pag-unlad ng Arithmetic: pangunahing mga kahulugan

Handa na kami ngayon upang tukuyin ang isang pag-unlad na aritmetika.

Kahulugan Ang isang pag-unlad na aritmetika ay isang pagkakasunud-sunod, ang bawat term na kung saan (simula sa pangalawa) ay katumbas ng kabuuan ng nakaraang term at ilang nakapirming numero (tinatawag na pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika).

Halimbawa, pagkakasunud-sunod 2; lima; 8; labing-isang; ::: ay isang pag-unlad ng arithmetic na may unang termino 2 at pagkakaiba 3. Sequence 7; 2; 3; 8; ::: ay isang pag-unlad ng arithmetic na may unang term na 7 at pagkakaiba 5. Sequence 3; 3; 3; ::: ay isang pag-unlad ng aritmetika na may zero na pagkakaiba.

Katumbas na kahulugan: ang isang pagkakasunud-sunod ng a ay tinatawag na isang arithmetic na pag-unlad kung ang pagkakaiba ng isang + 1 an ay isang pare-pareho na halaga (malaya sa n)

Ang isang pag-unlad na aritmetika ay tinatawag na pagtaas kung ang pagkakaiba nito ay positibo, at bumababa kung ang pagkakaiba nito ay negatibo.

1 At narito ang isang higit na kahulugan ng laconic: ang isang pagkakasunud-sunod ay isang pagpapaandar na tinukoy sa hanay ng mga natural na numero. Halimbawa, ang isang pagkakasunud-sunod ng mga totoong numero ay isang pagpapaandar f: N! R.

Bilang default, ang mga pagkakasunud-sunod ay itinuturing na walang hanggan, iyon ay, naglalaman ng isang walang katapusang bilang ng mga numero. Ngunit walang nakakaabala upang isaalang-alang din ang may wakas na mga pagkakasunud-sunod din; sa katunayan, ang anumang may wakas na hanay ng mga numero ay maaaring tawaging isang may hangganang pagkakasunud-sunod. Halimbawa, ang pangwakas na pagkakasunud-sunod ay 1; 2; 3; apat; Ang 5 ay binubuo ng limang mga numero.

Formula ng ika-n na termino ng isang pag-unlad na aritmetika

Madaling maunawaan na ang pag-unlad ng arithmetic ay ganap na natutukoy ng dalawang numero: ang unang termino at ang pagkakaiba. Samakatuwid, ang tanong ay arises: paano, alam ang unang term at ang pagkakaiba, upang makahanap ng isang di-makatwirang miyembro ng pag-unlad ng arithmetic?

Hindi mahirap makuha ang kinakailangang pormula para sa ika-n na kataga ng isang pag-unlad na aritmetika. Hayaan ang isang

Suliranin 1. Sa pag-unlad ng arithmetic 2; lima; 8; labing-isang; ::: hanapin ang formula para sa ika-n na termino at kalkulahin ang pang-isang daan na term.

Desisyon. Ayon sa pormula (1), mayroon kaming:

an \u003d 2 + 3 (n 1) \u003d 3n 1:

a100 \u003d 3 100 1 \u003d 299:

Pag-aari at pag-sign ng pag-unlad ng arithmetic

Pag-aari ng pag-unlad ng aritmetika. Sa pag-unlad ng arithmetic isang para sa anumang

Sa madaling salita, ang bawat kasapi ng pag-unlad ng arithmetic (simula sa pangalawa) ay ang ibig sabihin ng arithmetic ng mga kalapit na miyembro.

tulad ng kinakailangan.

Higit sa pangkalahatan, ang pag-unlad ng aritmetika ay nasiyahan ang pagkakapantay-pantay

a n \u003d a n k + a n + k

para sa anumang n\u003e 2 at anumang natural na k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Ito ay lumalabas na ang pormula (2) ay hindi lamang isang kinakailangan, kundi pati na rin ang isang sapat na kundisyon para sa isang pagkakasunud-sunod upang maging isang pag-unlad na aritmetika.

Isang tanda ng isang pag-unlad na aritmetika. Kung ang pagkakapantay-pantay (2) ay nagtataglay para sa lahat ng n\u003e 2, kung gayon ang pagkakasunud-sunod ng an ay isang pag-unlad na aritmetika.

Katibayan. Isulat muli ang formula (2) tulad ng sumusunod:

a na n 1 \u003d a n + 1a n:

Ipinapakita nito na ang pagkakaiba ng isang + 1 an ay hindi nakasalalay sa n, at nangangahulugan lamang ito na ang pagkakasunud-sunod ng an ay isang pag-unlad na aritmetika.

Ang pag-aari at tampok ng isang pag-unlad ng arithmetic ay maaaring formulate bilang isang solong pahayag; Para sa kaginhawaan, gagawin namin ito sa tatlong mga numero (ito ang sitwasyon na madalas na nangyayari sa mga problema).

Paglalarawan ng pag-unlad ng arithmetic. Tatlong numero a, b, c bumubuo ng isang progresibong aritmetika kung at kung 2b \u003d a + c lamang.

Suliranin 2. (Moscow State University, Economics Faculty, 2007) Tatlong numero 8x, 3 x2 at 4 sa ipinahiwatig na pagkakasunud-sunod ay bumubuo ng isang pagbawas ng pag-unlad na arithmetic. Hanapin x at ipahiwatig ang pagkakaiba ng pag-unlad na ito.

Desisyon. Sa pag-aari ng pag-unlad ng arithmetic, mayroon kaming:

2 (3 x2) \u003d 8x 4, 2x2 + 8x 10 \u003d 0, x2 + 4x 5 \u003d 0, x \u003d 1; x \u003d 5:

Kung x \u003d 1, makakakuha tayo ng isang bumababang pag-unlad 8, 2, 4 na may pagkakaiba 6. Kung x \u003d 5, makakakuha tayo ng isang pagtaas ng pag-unlad 40, 22, 4; kaso hindi maganda.

Sagot: x \u003d 1, ang pagkakaiba ay 6.

Kabuuan ng mga unang n na tuntunin ng isang pag-unlad na aritmetika

Sinabi ng alamat na sa sandaling sinabi ng guro sa mga bata na hanapin ang kabuuan ng mga numero mula 1 hanggang 100 at umupo upang basahin ang pahayagan nang mahinahon. Gayunpaman, wala pang ilang minuto ang lumipas, sinabi ng isang batang lalaki na nalutas na niya ang problema. Ito ay 9-taong-gulang na Karl Friedrich Gauss, na kalaunan ay isa sa pinakadakilang matematiko sa kasaysayan.

Ang ideya ni Little Gauss ay ito. Hayaan

S \u003d 1 + 2 + 3 + ::: + 98 + 99 + 100:

Isulat natin ang halagang ito sa reverse order:

S \u003d 100 + 99 + 98 + ::: + 3 + 2 + 1;

at idagdag ang dalawang formula na ito:

2S \u003d (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ::: + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Ang bawat term sa panaklong ay katumbas ng 101, at mayroong 100 tulad ng mga term sa kabuuan. Samakatuwid,

2S \u003d 101 100 \u003d 10100;

Ginagamit namin ang ideyang ito upang makuha ang formula sa kabuuan

S \u003d a1 + a2 + ::: + an + a n n: (3)

Ang isang kapaki-pakinabang na pagbabago ng formula (3) ay nakuha sa pamamagitan ng pagpapalit ng formula para sa ika-n term na an \u003d a1 + (n 1) d dito:

Suliranin 3. Hanapin ang kabuuan ng lahat ng positibong tatlong-digit na bilang na nahahati sa 13.

Desisyon. Ang mga numero ng tatlong digit, mga multiply ng 13, ay bumubuo ng isang progresibong arithmetic na may unang term na 104 at ang pagkakaiba sa 13; Ang ika-n na termino ng pagsulong na ito ay:

an \u003d 104 + 13 (n 1) \u003d 91 + 13n:

Alamin natin kung gaano karaming mga miyembro ang naglalaman ng ating pag-unlad. Upang magawa ito, malulutas namin ang hindi pagkakapantay-pantay:

isang 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 \u003d 6911 13; n 6 69:

Kaya, mayroong 69 mga miyembro sa aming pag-unlad. Gamit ang formula (4), nakita namin ang kinakailangang kabuuan:

S \u003d 2 104 + 68 13 69 \u003d 37674: 2

Pansin
May karagdagang
mga materyal sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga "hindi masyadong ..."
At para sa mga "napaka pantay ...")

Ang isang pag-unlad na aritmetika ay isang serye ng mga numero kung saan ang bawat bilang ay mas malaki (o mas mababa) kaysa sa nakaraang isa sa pamamagitan ng parehong halaga.

Ang paksang ito ay madalas mahirap at hindi maunawaan. Mga indeks para sa mga titik, ang pang-n na term ng pag-unlad, ang pagkakaiba sa pag-unlad - lahat ng ito ay kahit papaano nakalilito, oo ... Alamin natin ang kahulugan ng pag-unlad ng aritmetika at ang lahat ay gagana agad.)

Konsepto ng pag-unlad ng aritmetika.

Ang pag-unlad ng Arithmetic ay isang napaka-simple at malinaw na konsepto. Pagdududa? Walang kabuluhan.) Tingnan mo ang iyong sarili.

Susulat ako ng isang hindi natapos na serye ng mga numero:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Maaari mo bang pahabain ang hilera na ito? Anong mga numero ang susunod, pagkatapos ng lima? Lahat ... uh-uh ..., sa madaling sabi, mapagtanto ng lahat na ang mga bilang na 6, 7, 8, 9, atbp. Ay lalayo pa.

Paikutin natin ang gawain. Nagbibigay ako ng isang hindi natapos na serye ng mga numero:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Maaari mong mahuli ang pattern, palawakin ang serye, at pangalan ikapito row number?

Kung nalaman mo na ang bilang na ito ay 20 - binabati kita! Hindi lang iyong naramdaman pangunahing mga punto ng pag-unlad ng aritmetika, ngunit matagumpay din na ginamit ang mga ito sa negosyo! Kung hindi mo pa nalalaman, basahin ang.

Ngayon isalin natin ang mga pangunahing puntos mula sa sensasyon hanggang matematika.)

Unang pangunahing punto.

Ang pag-unlad ng aritmetika ay nakikipag-usap sa serye ng mga numero. Nakakalito ito sa una. Nasanay kami sa paglutas ng mga equation, paglalagay ng mga grap at lahat ng iyon ... At pagkatapos ay pahabain ang serye, hanapin ang bilang ng serye ...

Walang mali. Ang mga pag-unlad lamang ang unang kakilala sa isang bagong sangay ng matematika. Ang seksyon ay tinatawag na "Mga Hilera" at gumagana kasama ang mga serye ng mga numero at expression. Masanay ka na.)

Pangalawang pangunahing punto.

Sa isang pag-unlad na arithmetic, ang anumang numero ay naiiba mula sa naunang isa sa parehong halaga.

Sa unang halimbawa, ang pagkakaiba na ito ay iisa. Anumang numero ang kukunin mo, mas malaki ito kaysa sa dating isa-isa. Sa pangalawa - tatlo. Anumang bilang na mas malaki kaysa sa nakaraang isa sa pamamagitan ng tatlo. Sa totoo lang, ang sandaling ito ang nagbibigay sa amin ng pagkakataon na mahuli ang pattern at kalkulahin ang mga kasunod na numero.

Ang pangatlong pangunahing punto.

Ang sandaling ito ay hindi kapansin-pansin, oo ... Ngunit napakahalaga nito. Heto na: bawat numero sa pag-unlad ay nakatayo sa lugar nito. Mayroong unang numero, mayroong ikapito, mayroong ang apatnapu't lima, atbp. Kung nalilito sila nang sapalaran, mawawala ang pattern. Ang pag-unlad ng aritmetika ay mawawala din. Magkakaroon lamang ng isang hilera ng mga numero.

Iyon ang buong punto.

Siyempre, lilitaw ang mga bagong tuntunin at pagtatalaga sa bagong paksa. Kailangan mong makilala sila. Kung hindi man, hindi mo mauunawaan ang gawain. Halimbawa, kailangan mong magpasya ng isang bagay tulad ng:

Isulat ang unang anim na termino ng pag-unlad ng arithmetic (a n), kung isang 2 \u003d 5, d \u003d -2.5.

Nagbibigay inspirasyon ba ito?) Ang mga titik, ilang index ... At ang gawain, sa pamamagitan ng paraan - ay hindi mas madali. Kailangan mo lamang na maunawaan ang kahulugan ng mga termino at pagtatalaga. Ngayon ay makikilala natin ang negosyong ito at babalik sa gawain.

Mga tuntunin at pagtatalaga.

Pag-unlad ng Arithmetic ay isang serye ng mga numero kung saan ang bawat numero ay naiiba mula sa naunang isa sa parehong halaga.

Ang dami na ito ay tinawag ... Harapin natin ang konseptong ito nang mas detalyado.

Pagkakaiba ng pag-unlad ng arithmetic.

Pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika ay ang halaga kung saan ang anumang bilang ng pag-unlad higit pa ang nauna.

Isang mahalagang punto. Mangyaring bigyang-pansin ang salita "madami". Sa matematika, nangangahulugan ito na ang bawat bilang sa pag-unlad ay nakuha pagdaragdag ang pagkakaiba ng pag-unlad ng arithmetic sa nakaraang numero.

Para sa pagkalkula, sabihin natin pangalawa bilang ng mga serye, kinakailangan upang ang una ang numero idagdag ang parehong pagkakaiba ng pag-unlad na ito ng aritmetika. Para sa pagkalkula pang-lima - kinakailangan ang pagkakaiba idagdag sa pang-apat, well, etc.

Pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika maaaring maging positibo, pagkatapos ang bawat bilang ng hilera ay talagang magiging higit pa sa nauna. Ang pag-unlad na ito ay tinawag dumarami Halimbawa:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Narito ang bawat numero ay nakuha pagdaragdag positibong numero, +5 sa nakaraang isa.

Ang pagkakaiba ay maaaring negatibo, pagkatapos ang bawat numero sa hilera ay lalabas mas mababa kaysa sa nauna. Ang ganitong pag-unlad ay tinatawag na (hindi mo ito paniniwalaan!) bumababa

Halimbawa:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Narito ang bawat numero ay nakuha rin pagdaragdag sa nauna, ngunit negatibong numero na, -5.

Sa pamamagitan ng paraan, kapag nagtatrabaho kasama ang isang pag-unlad, napaka-kapaki-pakinabang upang agad na matukoy ang kalikasan nito - kung ito ay dumarami o bumababa. Malaki ang maitutulong nito upang mag-navigate sa solusyon, upang makita ang iyong mga pagkakamali at ayusin ang mga ito bago huli na.

Pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika tinukoy, bilang isang panuntunan, sa pamamagitan ng sulat d.

Paano hanapin d ? Napakasimple. Kinakailangan na bawasan mula sa anumang bilang ng serye dati numero Ibawas Sa pamamagitan ng paraan, ang resulta ng pagbabawas ay tinatawag na "pagkakaiba".)

Tukuyin natin, halimbawa, d para sa pagtaas ng pag-unlad ng arithmetic:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Kinukuha namin ang anumang bilang ng hilera na gusto namin, halimbawa, 11. Ibawas mula rito nakaraang numero, mga yan 8:

Ito ang tamang sagot. Para sa pag-unlad na ito ng aritmetika, ang pagkakaiba ay tatlo.

Maaari kang kumuha nang eksakto anumang bilang ng pag-unlad, mula noon para sa isang tiyak na pag-unlad d -palaging pareho. Hindi bababa sa kung saan sa simula ng hilera, hindi bababa sa gitna, kahit saan. Hindi mo maaaring kunin ang pinakaunang numero lamang. Dahil lamang sa pinakaunang numero walang nauna.)

Nga pala, alam na d \u003d 3, napakadaling hanapin ang ikapitong bilang ng pag-unlad na ito. Idagdag ang 3 sa ikalimang numero - nakukuha namin ang pang-anim, ito ay magiging 17. Magdagdag ng tatlo sa ikaanim na numero, nakukuha namin ang ikapitong numero - dalawampu.

Tinutukoy namin d para sa isang bumababang pag-unlad ng arithmetic:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Ipinaaalala ko sa iyo na, anuman ang mga palatandaan, upang matukoy d kinakailangan ito mula sa anumang numero tanggalin ang nauna. Pumili kami ng anumang bilang ng pag-unlad, halimbawa -7. Ang nauna ay -2. Pagkatapos:

d \u003d -7 - (-2) \u003d -7 + 2 \u003d -5

Ang pagkakaiba-iba ng pag-unlad ng arithmetic ay maaaring maging anumang numero: buo, praksyonal, hindi makatuwiran, ano pa man.

Iba pang mga termino at pagtatalaga.

Ang bawat numero sa serye ay tinatawag isang miyembro ng isang pag-unlad na arithmetic.

Ang bawat miyembro ng pag-unlad may sariling numero. Mahigpit na nakaayos ang mga numero, nang walang anumang mga trick. Una, pangalawa, pangatlo, pang-apat, atbp. Halimbawa, sa pag-unlad 2, 5, 8, 11, 14, ... dalawa ang unang termino, lima ang pangalawa, labing-isa ang pang-apat, mabuti, naiintindihan mo ...) Mangyaring maunawaan nang malinaw - ang mga numero mismo maaaring maging ganap na anuman, buo, praksyonal, negatibo, anupaman, ngunit pagnunumero ng mga numero - Mahigpit na pagkakasunud-sunod!

Paano magtala ng isang pangkalahatang pag-unlad? Walang problema! Ang bawat numero sa hilera ay nakasulat bilang isang liham. Bilang isang patakaran, ang liham ay ginagamit upang magpahiwatig ng isang pag-unlad na aritmetika a... Ang numero ng miyembro ay ipinahiwatig ng isang index sa kanang ibaba. Nagsusulat kami ng mga kasapi na pinaghihiwalay ng mga kuwit (o mga semicolon), tulad nito:

isang 1, a 2, isang 3, isang 4, isang 5, .....

isang 1ay ang unang numero, isang 3 - pangatlo, atbp. Walang nakakalito. Maaari mong isulat nang madaling panahon ang seryeng ito tulad nito: (isang n).

Ang mga pag-unlad ay may hangganan at walang katapusan.

Ang panghuli ang pag-unlad ay may isang limitadong bilang ng mga miyembro. Lima, tatlumpu't walo, kung ano pa man. Ngunit - isang may hangganan na numero.

Walang katapusang pag-unlad - ay may isang walang katapusang bilang ng mga miyembro, tulad ng maaari mong hulaan.)

Maaari mong isulat ang pangwakas na pag-unlad sa pamamagitan ng isang seryeng tulad nito, lahat ng mga miyembro at isang tuldok sa dulo:

isang 1, isang 2, isang 3, isang 4, isang 5.

O kaya, kung maraming mga miyembro:

isang 1, isang 2, ... isang 14, isang 15.

Sa isang maikling entry, magkakaroon ka ng karagdagan na ipahiwatig ang bilang ng mga miyembro. Halimbawa (para sa dalawampung miyembro), tulad nito:

(a n), n \u003d 20

Ang isang walang katapusang pag-unlad ay maaaring makilala ng ellipsis sa dulo ng hilera, tulad ng mga halimbawa sa araling ito.

Ngayon ay maaari mong malutas ang mga gawain. Ang mga gawain ay simple, pulos para sa pag-unawa sa kahulugan ng pag-unlad ng arithmetic.

Mga halimbawa ng mga gawain sa pag-unlad ng arithmetic.

Pag-aralan natin nang detalyado ang gawain, na ibinigay sa itaas:

1. Isulat ang unang anim na termino ng pag-unlad ng arithmetic (a n), kung isang 2 \u003d 5, d \u003d -2.5.

Isinalin namin ang gawain sa isang naiintindihan na wika. Ang isang walang katapusang pag-unlad ng arithmetic ay ibinigay. Ang pangalawang bilang ng pag-unlad na ito ay kilala: isang 2 \u003d 5. Ang pagkakaiba sa pag-unlad ay kilala: d \u003d -2.5. Kinakailangan na hanapin ang una, pangatlo, pang-apat, pang-lima at ikaanim na miyembro ng pagsulong na ito.

Para sa kalinawan, magsusulat ako ng isang serye ayon sa kondisyon ng problema. Ang unang anim na termino, kung saan ang pangalawang term ay limang:

isang 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6, ....

isang 3 = isang 2 + d

Kapalit sa pagpapahayag isang 2 \u003d 5 at d \u003d -2.5... Huwag kalimutan ang tungkol sa minus!

isang 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Ang pangatlong termino ay mas maliit kaysa sa pangalawa. Ang lahat ay lohikal. Kung ang bilang ay mas malaki kaysa sa naunang isa sa pamamagitan ng negatibo halaga, pagkatapos ang numero mismo ay magiging mas mababa kaysa sa nakaraang isa. Ang pag-unlad ay bumababa. Okay, isaalang-alang natin ito.) Isinasaalang-alang namin ang ika-apat na miyembro ng aming serye:

isang 4 = isang 3 + d

isang 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

isang 5 = isang 4 + d

isang 5=0+(-2,5)= - 2,5

isang 6 = isang 5 + d

isang 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Kaya, ang mga termino mula sa pangatlo hanggang sa ikaanim ay kinakalkula. Ang resulta ay tulad ng isang serye:

isang 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

Nananatili ito upang mahanap ang unang term isang 1 ayon sa kilalang pangalawa. Ito ay isang hakbang sa ibang direksyon, sa kaliwa.) Samakatuwid, ang pagkakaiba ng pag-unlad ng arithmetic d hindi na kailangang idagdag sa isang 2, at alisin mo:

isang 1 = isang 2 - d

isang 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Iyon lang ang mayroon dito. Sagot sa gawain:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Sa daan, mapapansin ko na nalutas namin ang gawaing ito paulit-ulit paraan Ang nakakatakot na salitang ito ay nangangahulugan lamang ng paghahanap para sa isang kasapi ng pag-unlad. ng nakaraang (katabi) na numero. Isasaalang-alang namin ang iba pang mga paraan ng pagtatrabaho sa pag-unlad sa paglaon.

Ang isang mahalagang konklusyon ay maaaring makuha mula sa simpleng gawaing ito.

Tandaan:

Kung alam natin hindi bababa sa isang term at ang pagkakaiba ng isang arithmetic na pag-unlad, mahahanap natin ang sinumang miyembro ng pag-unlad na ito.

Tandaan? Pinapayagan ka ng simpleng konklusyon na ito na malutas ang karamihan sa mga gawain ng kurso sa paaralan sa paksang ito. Ang lahat ng mga gawain ay umiikot sa tatlong pangunahing mga parameter: kasapi ng pag-unlad ng aritmetika, pagkakaiba-iba ng pag-unlad, bilang ng kasapi ng pag-unlad. Lahat

Siyempre, ang lahat ng nakaraang algebra ay hindi nakansela.) Ang mga hindi pantay, equation, at iba pang mga bagay ay nakakabit sa pag-unlad. Pero sa pamamagitan ng napaka-unlad - lahat ng bagay ay umiikot sa tatlong mga parameter.

Bilang isang halimbawa, isaalang-alang ang ilang mga tanyag na takdang-aralin sa paksang ito.

2. Isulat ang pangwakas na pag-unlad ng arithmetic bilang isang serye, kung n \u003d 5, d \u003d 0.4, at isang 1 \u003d 3.6.

Ang lahat ay simple dito. Nabigay na ang lahat. Kailangan mong tandaan kung paano binibilang, binibilang, at isusulat ang mga kasapi ng isang pag-unlad na aritmetika. Maipapayo na huwag palampasin ang mga salita sa kondisyon ng gawain: "pangwakas" at " n \u003d 5". Hindi bibilangin hanggang sa ganap na bughaw sa mukha.) 5 (limang) miyembro lamang sa pagsulong na ito:

isang 2 \u003d a 1 + d \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4

isang 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4

isang 4 = isang 3 + d \u003d 4.4 + 0.4 \u003d 4.8

isang 5 = isang 4 + d \u003d 4.8 + 0.4 \u003d 5.2

Nananatili ito upang isulat ang sagot:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Isa pang gawain:

3. Tukuyin kung ang bilang 7 ay kasapi ng pag-unlad na aritmetika (isang n), kung isang 1 \u003d 4.1; d \u003d 1.2.

Hmm ... Sino ang nakakaalam Paano matukoy ang isang bagay?

Paano-paano ... Oo, isulat ang pag-unlad sa anyo ng isang serye at tingnan kung magkakaroon ng pito doon o hindi! Isinasaalang-alang namin:

isang 2 \u003d a 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3

isang 3 \u003d a 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5

isang 4 = isang 3 + d \u003d 6.5 + 1.2 \u003d 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Ngayon ay malinaw na nakikita na tayo ay pito lamang nadulas sa pagitan ng 6.5 at 7.7! Ang pito ay hindi nakapasok sa aming serye ng mga numero, at, samakatuwid, ang pito ay hindi magiging kasapi ng ibinigay na pag-unlad.

Ang sagot ay hindi.

At narito ang isang gawain batay sa isang tunay na bersyon ng GIA:

4. Maraming magkakasunod na kasapi ng pag-unlad ng aritmetika ang nakasulat:

...; 15; x; 9; 6; ...

Ang isang hilera ay nakasulat dito nang walang katapusan at simula. Walang mga numero ng miyembro, walang pagkakaiba d... Walang mali. Upang malutas ang problema, sapat na upang maunawaan ang kahulugan ng pag-unlad ng arithmetic. Tinitingnan at iniisip namin kung ano ang posible matuklasan mula sa seryeng ito? Ano ang tatlong pangunahing mga parameter?

Mga numero ng miyembro? Walang isang numero dito.

Ngunit mayroong tatlong mga numero at - pansin! - salita "sunud-sunod" sa kondisyon. Nangangahulugan ito na ang mga numero ay mahigpit na ayos, nang walang mga puwang. Mayroon bang dalawa sa hilera na ito? kapitbahay kilalang mga numero? Oo meron! Ito ang 9 at 6. Kaya maaari nating kalkulahin ang pagkakaiba ng pag-unlad ng arithmetic! Nagbawas kami mula sa anim dati numero, ibig sabihin siyam:

May mga maliit na maliit na natitira lamang. Ano ang nakaraang numero para sa X? Labinlimang Nangangahulugan ito na ang x ay madaling matagpuan sa pamamagitan ng simpleng pagdaragdag. Idagdag ang pagkakaiba-iba ng pag-unlad ng arithmetic sa 15:

Yun lang Sagot: x \u003d 12

Kami mismo ang naglulutas ng mga sumusunod na problema. Tandaan: ang mga problemang ito ay hindi tungkol sa mga formula. Puro para sa pag-unawa sa kahulugan ng isang pag-unlad na aritmetika.) Isusulat lamang namin ang isang serye na may mga numero-letra, tumingin at mag-isip.

5. Hanapin ang unang positibong term ng pag-unlad ng aritmetika kung ang isang 5 \u003d -3; d \u003d 1.1.

6. Alam na ang bilang 5.5 ay isang miyembro ng arithmetic na pag-unlad (isang n), kung saan ang isang 1 \u003d 1.6; d \u003d 1.3. Tukuyin ang numero n ng kasapi na ito.

7. Alam na sa pag-unlad ng arithmetic a 2 \u003d 4; isang 5 \u003d 15.1. Humanap ng isang 3.

8. Sumulat ng maraming magkakasunod na kasapi ng pag-unlad ng arithmetic:

...; 15.6; x; 3.4; ...

Hanapin ang termino sa pag-unlad na ipinahiwatig ng titik x.

9. Ang tren ay nagsimulang gumalaw mula sa istasyon, patuloy na nadaragdagan ang bilis nito ng 30 metro bawat minuto. Ano ang bilis ng tren sa loob ng limang minuto? Ibigay ang iyong sagot sa km / h.

10. Nalalaman na sa pag-unlad ng arithmetic a 2 \u003d 5; isang 6 \u003d -5. Maghanap ng isang 1.

Mga Sagot (nasa pagkakagulo): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; apat

Umandar ang lahat? Malaki! Maaari mong master ang pag-unlad ng arithmetic sa isang mas mataas na antas sa mga sumusunod na aralin.

Hindi lahat ay umandar? Walang problema. Sa Espesyal na Seksyon 555, ang lahat ng mga gawaing ito ay pinagsunod-sunod sa mga piraso.) At, syempre, isang simpleng praktikal na pamamaraan ay inilarawan na agad na naka-highlight ang solusyon ng mga naturang gawain nang malinaw, malinaw, na parang nasa iyong palad!

Sa pamamagitan ng paraan, sa palaisipan tungkol sa tren mayroong dalawang mga problema na madalas na madapa ang mga tao. Ang isa ay panay sa pag-unlad, at ang pangalawa ay karaniwan para sa anumang mga problema sa matematika, at pisika din. Ito ay isang pagsasalin ng mga sukat mula sa isa hanggang sa isa pa. Ipinapakita dito kung paano dapat malutas ang mga problemang ito.

Sa araling ito, sinuri namin ang pang-elementong kahulugan ng pag-unlad ng arithmetic at ang mga pangunahing parameter. Sapat na ito upang malutas ang halos lahat ng mga problema sa paksang ito. Idagdag pa d sa mga numero, sumulat ng isang serye, lahat ay magpapasya.

Ang solusyon sa daliri ay gumagana nang maayos para sa mga napakaikling piraso ng isang hilera, tulad ng mga halimbawa sa araling ito. Kung mas mahaba ang hilera, magiging mas kumplikado ang mga kalkulasyon. Halimbawa, kung sa problema 9 sa tanong, palitan "limang minuto" sa "tatlumpu't limang minuto" ang problema ay magiging higit na magalit.)

At mayroon ding mga gawain na simpleng kakanyahan, ngunit hindi kapani-paniwala sa mga tuntunin ng pagkalkula, halimbawa:

Binibigyan ka ng isang progresibong aritmetika (isang n). Humanap ng 121 kung isang 1 \u003d 3 at d \u003d 1/6.

At ano, magdagdag kami ng maraming, maraming beses sa pamamagitan ng 1/6 ?! Maaari mo itong patayin!?

Maaari mo.) Kung hindi mo alam ang isang simpleng pormula, alinsunod sa kung aling mga naturang gawain ang malulutas sa isang minuto. Ang formula na ito ay nasa susunod na aralin. At ang problemang ito ay nalulutas doon. Sa isang minuto.)

Kung gusto mo ang site na ito ...

Sa pamamagitan ng paraan, mayroon akong ilang higit pang mga kagiliw-giliw na mga site para sa iyo.)

Maaari mong pagsasanay ang paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok sa instant na pagpapatunay. Pag-aaral - may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga pag-andar at derivatives.