Ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya. Ang anggulo sa pagitan ng intersecting straight lines: kahulugan, mga halimbawa ng paghahanap

at. Hayaang mabigyan ng dalawang tuwid na linya. Ang mga tuwid na linya na ito, tulad ng ipinahiwatig sa Kabanata 1, ay bumubuo ng iba't ibang mga positibo at negatibong mga anggulo, na maaaring parehong talamak at mapagmataas. Alam ang isa sa mga anggulong ito, madali kaming makahanap ng iba pa.

Sa pamamagitan ng paraan, para sa lahat ng mga anggulong ito ang bilang ng bilang ng tangent ay pareho, ang pagkakaiba ay maaari lamang sa pag-sign

Mga equation ng mga linya. Ang mga numero ay mga pagpapahiwatig ng mga direksyon ng mga vector ng una at pangalawang mga tuwid na linya. Ang anggulo sa pagitan ng mga vector na ito ay katumbas ng isa sa mga anggulo na nabuo ng mga tuwid na linya. Samakatuwid, ang gawain ay nabawasan upang matukoy ang anggulo sa pagitan ng mga vector, Nakukuha namin

Para sa pagiging simple, maaari kaming sumang-ayon sa anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya upang mangahulugan ng isang matinding positibong anggulo (tulad ng, halimbawa, sa Larawan 53).

Pagkatapos ang tangent ng anggulong ito ay palaging magiging positibo. Samakatuwid, kung ang isang minus sign ay lilitaw sa kanang bahagi ng pormula (1), pagkatapos ay dapat nating itapon ito, iyon ay, panatilihin lamang ang ganap na halaga.

Halimbawa. Tukuyin ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya

Sa pamamagitan ng pormula (1), mayroon tayo

mula sa Kung ipinahiwatig kung alin sa mga gilid ng anggulo ang simula nito at alin ang wakas, kung gayon, palaging binibilang ang direksyon ng anggulo nang pabaliktad, makakakuha kami ng isang bagay na higit pa sa pormula (1). Tulad ng madaling makita mula sa Fig. Ang ika-53 na palatandaan na nakuha sa kanang bahagi ng pormula (1) ay magpapahiwatig kung aling isa - talamak o mapang-akit - anggulo ang bumubuo sa pangalawang linya sa una.

(Sa katunayan, mula sa Fig, 53, nakikita natin na ang anggulo sa pagitan ng una at pangalawang direksyon na mga vector ay maaaring katumbas ng nais na anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya, o naiiba mula rito ng ± 180 °.)

d. Kung ang mga tuwid na linya ay parallel, kung gayon ang kanilang mga vector direksyon ay parallel din. Ang paglalapat ng kondisyon ng parallelism ng dalawang mga vector, nakukuha natin!

Ito ay isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa parallelism ng dalawang tuwid na linya.

Halimbawa. Direkta

ay magkapareho sapagkat

e. Kung ang mga tuwid na linya ay patayo, kung gayon ang kanilang mga direksyon na vector ay patayo rin. Ang paglalapat ng kundisyon ng perpendicularity ng dalawang mga vector, nakukuha namin ang kondisyon ng perpendicularity ng dalawang linya, katulad

Halimbawa. Direkta

ay patayo dahil sa ang katunayan na

Kaugnay sa mga kundisyon ng parallelism at perpendicularity, malulutas namin ang mga sumusunod na dalawang problema.

f. Gumuhit ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto na parallel sa tuwid na linya na ito

Isinasagawa ang solusyon tulad ng sumusunod. Dahil ang hinahangad na linya ay kahanay sa ibinigay na isa, kung gayon ang direksyon ng vector ay maaaring makuha na kapareho ng naibigay na tuwid na linya, iyon ay, isang vector na may mga pagpapakitang A at B. At pagkatapos ay isusulat ang equation ng hinahangad na linya sa form (§ 1)

Halimbawa. Ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto (1; 3) na parallel sa isang tuwid na linya

susunod na!

g. Gumuhit ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto na patayo sa tuwid na linya na ito

Dito hindi na angkop na kumuha ng isang vector na may mga pagpapakitang A at bilang isang direksyon na vector, ngunit ang isang vector na patayo sa ito ay dapat na hinipan. Ang mga pagpapakitang ito ng vector ay dapat mapili, samakatuwid, ayon sa kondisyon ng perpendicularity ng parehong mga vector, ibig sabihin, ayon sa kundisyon

Ang kundisyong ito ay maaaring matupad sa hindi mabilang na mga paraan, dahil mayroong isang equation na may dalawang hindi kilalang. Ngunit ang pinakamadaling paraan ay upang umalis Pagkatapos ang equation ng nais na tuwid na linya ay isusulat sa form

Halimbawa. Ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa point (-7; 2) sa isang patayo na linya

ay ang sumusunod (ayon sa pangalawang pormula)!

h Sa kaso kapag ang mga tuwid na linya ay ibinibigay ng mga equation ng form

Panuto

tandaan

Ang panahon ng pag-andar ng trigonometric ng tangent ay 180 degree, na nangangahulugang ang mga slope ng mga tuwid na linya ay hindi, sa ganap na halaga, ay lumampas sa halagang ito.

Nakatutulong na payo

Kung ang mga slope ay katumbas ng bawat isa, kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga naturang linya ay 0, dahil ang mga nasabing linya ay magkakasabay o magkapareho.

Upang matukoy ang halaga ng anggulo sa pagitan ng pagtawid ng mga tuwid na linya, kinakailangan upang ilipat ang parehong tuwid na mga linya (o isa sa mga ito) sa isang bagong posisyon gamit ang parallel transfer method bago tumawid. Pagkatapos nito, dapat mong makita ang halaga ng anggulo sa pagitan ng mga nagresultang intersecting straight line.

Kakailanganin mong

• Ruler, kanang tatsulok, lapis, protractor.

Panuto

Kaya, hayaan ang vector V \u003d (a, b, c) at ang eroplanong A x + B y + C z \u003d 0 na ibigay, kung saan ang A, B at C ay ang mga coordinate ng normal na N. Pagkatapos ang cosine ng anggulo α sa pagitan ng mga vector V at N ay katumbas ng: сos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a ² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Upang makalkula ang halaga ng anggulo sa mga degree o radian, kailangan mong kalkulahin ang pagpapaandar na kabaligtaran sa cosine mula sa nagresultang ekspresyon, i.e. arccosine: α \u003d arccos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Halimbawa: hanapin anggulo sa pagitan ng vector (5, -3, 8) at eroplanona ibinigay ng pangkalahatang equation 2 x - 5 y + 3 z \u003d 0 Solusyon: isulat ang mga coordinate ng normal na vector ng eroplano N \u003d (2, -5, 3). Palitan ang lahat ng kilalang halaga sa pormula sa itaas: cos α \u003d (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0.8 → α \u003d 36.87 °.

Mga Kaugnay na Video

Ang isang tuwid na linya na may isang karaniwang point na may isang bilog ay padaplis sa bilog. Ang isa pang tampok ng tangent ay palaging patas sa radius na iginuhit sa tangent point, iyon ay, ang tangent at ang radius ay bumubuo ng isang tuwid na linya anggulo... Kung mula sa isang punto Ang isang dalawang tangent ay iginuhit sa bilog na AB at AC, pagkatapos ay palagi silang pantay sa bawat isa. Natutukoy ang anggulo sa pagitan ng mga tangente ( anggulo Ang ABC) ay ginawa gamit ang Pythagorean theorem.

Panuto

Upang matukoy ang anggulo, kailangan mong malaman ang radius ng bilog na OB at OS at ang distansya ng punto ng pinagmulan ng tangent mula sa gitna ng bilog - O. Kaya, ang mga anggulo ng ABO at ACO ay pantay, ang radius ng OB, halimbawa, 10 cm, at ang distansya sa gitna ng bilog AO ay 15 cm. Tukuyin ang haba ng tangent kasama na pormula alinsunod sa Pythagorean theorem: AB \u003d square root ng AO2 - OB2 o 152 - 102 \u003d 225 - 100 \u003d 125;

Hayaan ang dalawang tuwid na linya l at m sa eroplano sa Cartesian coordinate system na ibigay ng mga pangkalahatang equation: l: A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0

Ang mga vector ng mga normal sa mga naibigay na linya: \u003d (A 1, B 1) - sa linya l,

\u003d (A 2, B 2) - sa linya m.

Hayaan ang j na angulo sa pagitan ng mga linya l at m.

Dahil ang mga anggulo na may magkatapat na panig ay alinman sa pantay o magdagdag ng hanggang sa p, kung gayon , iyon ay, cos j \u003d.

Kaya, napatunayan namin ang sumusunod na teorama.

Teorama Hayaan ang j na angulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya sa eroplano, at hayaang ibigay ang mga tuwid na linya sa Cartesian coordinate system ng mga pangkalahatang equation A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 at A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0. Pagkatapos cos j \u003d .

Ehersisyo.

1) Maglabas ng isang formula para sa pagkalkula ng anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya kung:

(1) ang parehong mga linya ay tinukoy parametrically; (2) ang parehong mga linya ay ibinibigay ng mga canonical equation; (3) isang tuwid na linya ay ibinigay parametrically, ang iba pang tuwid na linya - ng pangkalahatang equation; (4) ang parehong mga tuwid na linya ay ibinibigay ng isang equation na may isang slope.

2) Hayaan ang j na angulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya sa eroplano, at hayaang ang mga tuwid na linya na ito ay ibigay ng Cartesian coordinate system ng mga equation y \u003d k 1 x + b 1 at y \u003d k 2 x + b 2.

Pagkatapos tg j \u003d.

3) Galugarin ang kamag-anak na posisyon ng dalawang tuwid na linya, na ibinigay ng pangkalahatang mga equation sa Cartesian coordinate system, at punan ang talahanayan:

Ang distansya mula sa isang punto sa isang tuwid na linya sa isang eroplano.

Hayaang ang linya l sa eroplano sa Cartesian coordinate system ay ibibigay ng pangkalahatang equation Ax + Ni + C \u003d 0. Hanapin ang distansya mula sa puntong M (x 0, y 0) sa linya l.

Ang distansya mula sa puntong M hanggang linya l ay ang haba ng patayo na HM (H Î l, HM ^ l).

Ang vector at ang normal na vector sa linya l ay collinear, kaya't | | \u003d | | | | at | | \u003d.

Hayaan ang mga coordinate ng point H (x, y).

Dahil ang puntong H ay kabilang sa linya l, pagkatapos ang Ax + Ni + C \u003d 0 (*).

Mga coordinate ng mga vector at: \u003d (x 0 - x, y 0 - y), \u003d (A, B).

| | = = =

(C \u003d -Ax - Ni, tingnan ang (*))

Teorama Hayaan ang linya l na ibigay sa Cartesian coordinate system ng pangkalahatang equation na Ax + Ni + C \u003d 0. Pagkatapos ang distansya mula sa puntong M (x 0, y 0) sa linyang ito ay kinakalkula ng pormula: r (M; l) \u003d .

Ehersisyo.

1) Output isang formula para sa pagkalkula ng distansya mula sa isang punto sa isang tuwid na linya, kung: (1) ang tuwid na linya ay tinukoy parametrically; (2) ang tuwid na linya ay ibinibigay ng mga canonical equation; (3) isang tuwid na linya ay ibinibigay ng isang equation na may isang slope.

2) Isulat ang equation ng bilog na tangent sa tuwid na linya 3x - y \u003d 0 na nakasentro sa Q (-2.4).

3) Isulat ang mga equation ng mga tuwid na linya na hinahati ang mga anggulo na nabuo ng intersection ng mga tuwid na linya 2x + y - 1 \u003d 0 at x + y + 1 \u003d 0, sa kalahati.

§ 27. Makasaysayang kahulugan ng isang eroplano sa kalawakan

Kahulugan. Ang normal na vector sa eroplano tatawag kami ng isang nonzero vector, anumang kinatawan na patayo sa ibinigay na eroplano.

Magkomento. Malinaw na kung hindi bababa sa isang kinatawan ng vector ay patayo sa eroplano, kung gayon ang lahat ng iba pang mga kinatawan ng vector ay patayo sa eroplano na ito.

Hayaan ang isang Cartesian coordinate system na ibigay sa kalawakan.

Hayaang maibigay ang eroplano, \u003d (A, B, C) ang normal na vector sa eroplano na ito, ang puntong M (x 0, y 0, z 0) ay kabilang sa eroplano a.

Para sa anumang puntong N (x, y, z) ng eroplano a, mga vector at orthogonal, iyon ay, ang kanilang produkto ng skalar ay katumbas ng zero: \u003d 0. Isinulat namin ang huling pagkakapantay-pantay sa mga coordinate: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) \u003d 0.

Hayaan -Ax 0 - Ni 0 - Cz 0 \u003d D, pagkatapos Ax + Ni + Cz + D \u003d 0.

Kumuha ng isang point K (x, y) tulad ng Ax + Ni + Cz + D \u003d 0. Dahil sa D \u003d -Ax 0 - Ni 0 - Cz 0, pagkatapos A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) \u003d 0. Dahil ang mga coordinate ng nakadirekta na segment \u003d (x - x 0, y - y 0, z - z 0), ang huling pagkakapantay-pantay ay nangangahulugang ^, at, samakatuwid, K Î a.

Kaya, napatunayan namin ang sumusunod na teorya:

Teorama Ang anumang eroplano sa puwang sa isang Cartesian coordinate system ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng isang equation ng form Axe + Ni + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0), kung saan ang (A, B, C) ay ang mga coordinate ng normal na vector sa eroplano na ito.

Ang usapan ay totoo din.

Teorama Anumang equation ng form Axe + Ni + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) sa Cartesian coordinate system ay tumutukoy sa isang tiyak na eroplano, habang ang (A, B, C) ay ang mga coordinate ng normal vector sa eroplano na ito.

Katibayan.

Kumuha ng isang point M (x 0, y 0, z 0) tulad ng Axe 0 + Ni 0 + Cz 0 + D \u003d 0 at isang vector \u003d (A, B, C) (≠ q).

Ang isang eroplano ay dumadaan sa puntong M patayo sa vector (at, saka, isa lamang). Sa pamamagitan ng nakaraang teorama, ang eroplano na ito ay ibinibigay ng equation Ax + Ni + Cz + D \u003d 0.

Kahulugan Ang isang equation ng form na Ax + Ni + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) ay tinawag pangkalahatang equation ng eroplano.

Halimbawa.

Isulat natin ang equation ng eroplano na dumadaan sa mga puntos na M (0,2,4), N (1, -1,0) at K (-1,0,5).

1. Hanapin ang mga coordinate ng normal na vector sa eroplano (MNK). Dahil ang produktong vector ay ´ ay orthogonal sa mga di-collinear na vector at, ang vector ay collinear ´.

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

´ \u003d (-11, 3, -5).

Kaya, bilang normal na vector ay kinukuha namin ang vector \u003d (-11, 3, -5).

2. Ginagamit namin ngayon ang mga resulta ng unang teorya:

equation ng ibinigay na eroplano A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) \u003d 0, kung saan (A, B, C) ang mga coordinate ng normal na vector, (x 0 , y 0, z 0) - mga coordinate ng isang point na nakahiga sa isang eroplano (halimbawa, point M).

11 (x - 0) + 3 (y - 2) - 5 (z - 4) \u003d 0

11x + 3y - 5z + 14 \u003d 0

Sagot: -11x + 3y - 5z + 14 \u003d 0.

Ehersisyo.

1) Isulat ang equation ng eroplano kung

(1) ang eroplano ay dumadaan sa puntong M (-2,3,0) kahanay sa eroplanong 3x + y + z \u003d 0;

(2) ang eroplano ay naglalaman ng (Ox) axis at patayo sa x + 2y - 5z + 7 \u003d 0 na eroplano.

2) Isulat ang equation para sa eroplano na dumadaan sa tatlong mga puntong ito.

§ 28. Kaalamang pantukoy ng isang kalahating puwang *

Komento *... Hayaan ang ilang eroplano na maayos. Sa ilalim ni kalahating puwangmauunawaan natin ang hanay ng mga puntos na nakahiga sa isang gilid ng isang naibigay na eroplano, iyon ay, dalawang puntos na namamalagi sa isang kalahating puwang, kung ang segment na nag-uugnay sa kanila ay hindi lumusot sa eroplano na ito. Tinawag ang eroplano na ito ang hangganan ng kalahating puwang na ito... Tatawagan ang unyon ng eroplano na ito at kalahating puwang saradong kalahating puwang.

Hayaan ang Cartesian coordinate system na maayos sa kalawakan.

Teorama Hayaang ang eroplano ay ibigay ng pangkalahatang equation na Ax + Ni + Cz + D \u003d 0. Pagkatapos ang isa sa dalawang kalahating-puwang na kung saan ang eroplano a ay hinahati sa puwang ay ibinibigay ng hindi pagkakapantay-pantay Ax + Ni + Cz + D\u003e 0 , at ang pangalawang kalahating puwang ay ibinibigay ng hindi pagkakapantay-pantay Ax + Ni + Cz + D< 0.

Katibayan.

Itabi natin ang normal na vector \u003d (A, B, C) sa eroplano a mula sa puntong M (x 0, y 0, z 0) na nakahiga sa eroplanong ito: \u003d, M Î a, MN ^ a. Hatiin ang eroplano sa dalawang kalahating puwang: b 1 at b 2. Malinaw na ang puntong N ay kabilang sa isa sa mga kalahating puwang na ito. Nang walang pagkawala ng pangkalahatan, ipalagay natin na N Î b 1.

Patunayan natin na ang kalahating puwang b 1 ay ibinibigay ng hindi pagkakapantay-pantay Ax + Ni + Cz + D\u003e 0.

1) Kumuha ng puntong K (x, y, z) sa kalahating puwang b 1. Ang anggulo Л NMK ay angulo sa pagitan ng mga vector at talamak, samakatuwid ang produkto ng scalar ng mga vector na ito ay positibo:\u003e 0. Isinulat namin ang hindi pagkakapantay-pantay na ito sa mga coordinate: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0)\u003e 0, iyon ay, Ax + Ni + Cy - Ax 0 - Ni 0 - C z 0\u003e 0.

Dahil sa M Î b 1, pagkatapos ang Ax 0 + Ni 0 + C z 0 + D \u003d 0, samakatuwid -Ax 0 - Ni 0 - C z 0 \u003d D. Samakatuwid, ang huling hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring isulat bilang: Ax + By + Cz + D\u003e 0.

2) Kumuha ng isang point L (x, y) tulad ng Axe + Ni + Cz + D\u003e 0.

Isulat muli ang hindi pagkakapantay-pantay, pinapalitan ang D ng (-Ax 0 - Ni 0 - C z 0) (dahil sa M Î b 1, pagkatapos ang Ax 0 + Ni 0 + C z 0 + D \u003d 0): A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0)\u003e 0.

Ang isang vector na may mga coordinate (x - x 0, y - y 0, z - z 0) ay isang vector, samakatuwid ang ekspresyong A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) maaaring maintindihan bilang tuldok na produkto ng mga vector at. Dahil ang scalar na produkto ng mga vector at positibo, ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay talamak at ang puntong L Î b 1.

Katulad nito, maaaring mapatunayan ng isang tao na ang kalahating puwang b 2 ay ibinibigay ng hindi pagkakapantay-pantay Ax + Ni + Cz + D< 0.

Pangungusap.

1) Malinaw na ang patunay sa itaas ay hindi nakasalalay sa pagpili ng puntong M sa eroplano a.

2) Ito ay malinaw na ang parehong kalahating puwang ay maaaring tinukoy ng iba't ibang mga hindi pagkakapantay-pantay.

Ang usapan ay totoo din.

Teorama Anumang linear na hindi pagkakapantay-pantay ng form ng Ax + Ni + Cz + D\u003e 0 (o Ax + Ni + Cz + D< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

Katibayan.

Ang equation Ax + Ni + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) sa kalawakan ay tumutukoy sa isang tiyak na eroplano a (tingnan ang §…). Tulad ng napatunayan sa nakaraang teorama, ang isa sa dalawang kalahating puwang kung saan hinati ng eroplano ang puwang ay ibinibigay ng hindi pagkakapareho ng Ax Ax + Ni + Cz + D\u003e 0.

Pangungusap.

1) Malinaw na ang isang saradong kalahating puwang ay maaaring tukuyin ng isang hindi mahigpit na linear na hindi pagkakapantay-pantay, at ang anumang hindi mahigpit na linear na hindi pagkakapantay-pantay sa isang sistema ng coordinate ng Cartesian ay tumutukoy sa isang closed half-space.

2) Ang anumang matambok na polyhedron ay maaaring tukuyin bilang ang intersection ng saradong mga kalahating puwang (ang mga hangganan na kung saan ay mga eroplano na naglalaman ng mga mukha ng polyhedron), iyon ay, analytically - ng isang sistema ng nonstrict linear linear inequalities.

Ehersisyo.

1) Patunayan ang dalawang ipinakita na mga teorya para sa isang di-makatwirang affine coordinate system.

2) Totoo ba ang pag-uusap, na ang anumang sistema ng nonstrict linear inequalities ay tumutukoy sa isang convex polygon?

1) Imbistigahan ang kamag-anak na posisyon ng dalawang eroplano na ibinigay ng mga pangkalahatang equation sa Cartesian coordinate system at punan ang talahanayan.

Magiging maikli ako. Ang anggulo sa pagitan ng dalawang linya ay katumbas ng anggulo sa pagitan ng kanilang mga direksyon na mga vector. Kaya, kung mahahanap mo ang mga koordinasyon ng mga direksyon na vector a \u003d (x 1; y 1; z 1) at b \u003d (x 2; y 2; z 2), mahahanap mo ang anggulo. Mas tiyak, ang cosine ng anggulo sa pamamagitan ng formula:

Tingnan natin kung paano gumagana ang formula na ito sa mga tukoy na halimbawa:

Isang gawain. Ang mga puntos na E at F ay minarkahan sa kubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - ang mga midpoint ng mga gilid A 1 B 1 at B 1 C 1, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linya na AE at BF.

Dahil ang gilid ng kubo ay hindi ipinahiwatig, itinakda namin ang AB \u003d 1. Ipakilala ang karaniwang sistema ng coordinate: ang pinagmulan sa point A, axes x, y, z ay nakadirekta kasama ng AB, AD at AA 1, ayon sa pagkakabanggit. Ang segment ng unit ay katumbas ng AB \u003d 1. Ngayon nakita namin ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon para sa aming mga linya.

Hanapin ang mga coordinate ng vector AE. Upang magawa ito, kailangan namin ng mga puntong A \u003d (0; 0; 0) at E \u003d (0.5; 0; 1). Dahil ang point E ay ang midpoint ng segment na A 1 B 1, ang mga coordinate nito ay katumbas ng arithmetic mean ng mga coordinate ng mga dulo. Tandaan na ang pinagmulan ng vector AE ay kasabay ng pinagmulan, kaya ang AE \u003d (0.5; 0; 1).

Ngayon makitungo tayo sa vector BF. Katulad nito, pinaparehas namin ang mga puntos na B \u003d (1; 0; 0) at F \u003d (1; 0.5; 1), sapagkat F - midpoint ng segment B 1 C 1. Meron kami:
BF \u003d (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) \u003d (0; 0.5; 1).

Kaya handa na ang mga vector vector. Ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya ay ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga direksyon ng mga vector, kaya mayroon kaming:

Isang gawain. Sa isang regular na prisma ng triangle na ABCA 1 B 1 C 1, ang lahat ng mga gilid nito ay katumbas ng 1, mga puntos na D at E ay minarkahan - ang mga midpoint ng mga gilid A 1 B 1 at B 1 C 1, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linya na AD at BE.

Ipakilala natin ang karaniwang sistema ng coordinate: ang pinagmulan ay sa punto A, ang x axis ay nakadirekta kasama ng AB, z - kasama ang AA 1. Ididirekta namin ang y-axis upang ang eroplano ng OXY ay sumabay sa eroplano ng ABC. Ang segment ng unit ay katumbas ng AB \u003d 1. Hanapin ang mga coordinate ng direksyon ng mga vector para sa mga hinahangad na linya.

Una, hanapin natin ang mga coordinate ng AD vector. Isaalang-alang ang mga puntos: A \u003d (0; 0; 0) at D \u003d (0.5; 0; 1), sapagkat D - midpoint ng segment A 1 B 1. Dahil ang pinagmulan ng vector AD ay sumabay sa pinagmulan, nakakakuha kami ng AD \u003d (0.5; 0; 1).

Ngayon hanapin natin ang mga coordinate ng vector na BE. Madali ang Point B \u003d (1; 0; 0). Sa puntong E - ang gitna ng segment na C 1 B 1 - medyo mahirap ito. Meron kami:

Nananatili ito upang mahanap ang cosine ng anggulo:

Isang gawain. Sa isang regular na hexagonal prism na ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, ang lahat ng mga gilid na katumbas ng 1, ang mga puntos na K at L ay minarkahan - ang mga midpoint ng mga gilid A 1 B 1 at B 1 C 1, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linya AK at BL.

Ipaalam sa amin ang isang karaniwang sistema ng coordinate para sa isang prisma: ilagay ang pinagmulan ng mga coordinate sa gitna ng mas mababang base, idirekta ang x-axis sa kahabaan ng FC, ang y-axis sa pamamagitan ng mga midpoint ng mga segment ng AB at DE, at ang z- axis patayo paitaas. Ang segment ng unit ay muling katumbas ng AB \u003d 1. Isulat namin ang mga coordinate ng mga punto ng interes sa amin:

Ang Points K at L ay ang mga midpoint ng mga segment A 1 B 1 at B 1 C 1, ayon sa pagkakabanggit, sa gayon ang kanilang mga coordinate ay matatagpuan sa pamamagitan ng ibig sabihin ng arithmetic. Alam ang mga puntos, nakita namin ang mga koordinasyon ng mga direksyon na vector ng AK at BL:

Ngayon hanapin natin ang cosine ng anggulo:

Isang gawain. Sa regular na quadrangular pyramid SABCD, ang lahat ng mga gilid nito ay katumbas ng 1, mga puntos na E at F ay minarkahan - ang mga midpoints ng panig ng SB at SC, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linya na AE at BF.

Ipakilala natin ang isang karaniwang sistema ng coordinate: ang pinagmulan ay sa punto A, ang x at y axes ay nakadirekta kasama ng AB at AD, ayon sa pagkakabanggit, at ang z axis ay nakadirekta patayo paitaas. Ang segment ng unit ay katumbas ng AB \u003d 1.

Ang mga puntos na E at F ay ang mga midpoint ng mga segment na SB at SC, ayon sa pagkakabanggit, sa gayon ang kanilang mga coordinate ay matatagpuan bilang arithmetic mean ng mga dulo. Isulat natin ang mga coordinate ng mga punto ng interes sa amin:
A \u003d (0; 0; 0); B \u003d (1; 0; 0)

Alam ang mga puntos, nakita namin ang mga coordinate ng mga direksyon na vector ng AE at BF:

Ang mga coordinate ng vector AE ay sumabay sa mga koordinasyon ng puntong E, dahil ang puntong A ang pinagmulan. Nananatili ito upang mahanap ang cosine ng anggulo:

ANGLE SA TULONG NG MGA PLANO

Isaalang-alang ang dalawang eroplano α 1 at α 2, na ibinigay ng mga equation, ayon sa pagkakabanggit:

Sa ilalim ni anggulo sa pagitan ng dalawang eroplano nangangahulugan kami ng isa sa mga anggulo ng dihedral na nabuo ng mga eroplano na ito. Malinaw na, ang anggulo sa pagitan ng mga normal na vector at ang eroplano α 1 at α 2 ay katumbas ng isa sa mga ipinahiwatig na katabing mga anggulo ng dihedral o ... samakatuwid ... Kasi at tapos

.

Halimbawa. Tukuyin ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano x+2y-3z+ 4 \u003d 0 at 2 x+3y+z+8=0.

Kalagayan ng parallelism ng dalawang eroplano.

Ang dalawang eroplano α 1 at α 2 ay magkapareho kung at kung ang kanilang normal na mga vector at magkapareho, na nangangahulugang .

Kaya, ang dalawang eroplano ay kahanay sa bawat isa kung at kung ang mga koepisyent sa kaukulang koordinasyon ay proporsyonal:

o

Kalagayan ng perpendicularity ng mga eroplano.

Malinaw na ang dalawang eroplano ay patayo kung at kung ang kanilang normal na mga vector ay patayo, at samakatuwid, o.

Sa gayon,.

Mga halimbawa.

STRAIGHT SA SPACE.

VECTOR LINE EQUATION.

PARAMETRIC EQUATIONS OF THE LINE

Ang posisyon ng isang tuwid na linya sa kalawakan ay ganap na natutukoy sa pamamagitan ng pagtukoy ng anuman sa mga nakapirming puntos nito M 1 at isang vector kahilera sa linyang ito.

Ang isang vector na kahilera sa isang tuwid na linya ay tinawag paggabay vector ng linyang ito.

Kaya't hayaan mong maging tuwid l dumaan sa punto M 1 (x 1 , y 1 , z 1) nakahiga sa isang tuwid na linya kahilera sa vector.

Isaalang-alang ang isang di-makatwirang punto M (x, y, z) sa isang tuwid na linya. Ipinapakita iyon ng pigura .

Ang mga Vector at collinear, kaya mayroong isang bilang t, ano, nasaan ang salik t maaaring tumagal ng anumang numerong halaga depende sa posisyon ng point M sa isang tuwid na linya. Salik t tinatawag na isang parameter. Tinutukoy ang mga radius vector ng mga puntos M 1 at M ayon sa pagkakabanggit, sa pamamagitan ng at, nakukuha natin. Ang equation na ito ay tinawag vector equation ng isang tuwid na linya. Ipinapakita nito na para sa bawat halaga ng parameter t tumutugma sa radius vector ng ilang mga punto Mnakahiga sa isang tuwid na linya.

Isulat natin ang equation na ito sa form na coordinate. Pansinin, iyon, at mula dito

Ang mga nagresultang equation ay tinatawag parametriko mga equation ng isang tuwid na linya.

Kapag binabago ang isang parameter t nagbago ang mga coordinate x, y at z at point M gumagalaw sa isang tuwid na linya.

CANONical EQUATIONS NG DIRECT

Hayaan M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ay isang punto na nakahiga sa isang tuwid na linya lat Ay ang direksyon ng vector. Kumuha muli ng isang di-makatwirang point sa tuwid na linya M (x, y, z) at isaalang-alang ang isang vector.

Ito ay malinaw na ang mga vector at collinear, kaya't ang kanilang kaukulang koordinasyon ay dapat na proporsyonal, samakatuwid

– canonical mga equation na tuwid na linya.

Pangungusap 1. Tandaan na ang mga canonical equation ng tuwid na linya ay maaaring makuha mula sa mga parametriko sa pamamagitan ng hindi pagsasama ng parameter t... Sa katunayan, mula sa mga parametric equation na nakukuha natin o .

Halimbawa. Isulat ang equation ng isang tuwid na linya sa parametric form.

Tinukoy namin , mula rito x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Pangungusap 2. Hayaan ang tuwid na linya na patayo sa isa sa mga coordinate axes, halimbawa, ang axis Baka... Pagkatapos ang pagdidirekta ng vector ay patayo Baka, Dahil dito, m\u003d 0. Dahil dito, ang mga equation ng parametric ng tuwid na linya ay kukuha ng form

Tinatanggal ang parameter mula sa mga equation t, nakukuha namin ang mga equation ng tuwid na linya sa form

Gayunpaman, sa kasong ito rin, sumasang-ayon kami na pormal na isulat ang mga canonical equation ng tuwid na linya sa form ... Kaya, kung ang denominator ng isa sa mga praksyon ay zero, pagkatapos ito ay nangangahulugan na ang linya ay patayo sa kaukulang coordinate axis.

Katulad nito, ang mga canonical equation tumutugma sa isang tuwid na linya patayo sa mga palakol Baka at Oy o parallel sa axis Oz.

Mga halimbawa.

PANGKALAHATANG KATANUNGAN NG ISANG LINYA BILANG isang Linya ng INTERSECTION NG DALAWANG PLANO

Ang isang walang katapusang bilang ng mga eroplano ay dumaan sa bawat tuwid na linya sa kalawakan. Anumang dalawa sa kanila, intersecting, tukuyin ito sa kalawakan. Dahil dito, ang mga equation ng alinmang dalawang naturang mga eroplano, na isinasaalang-alang nang magkasama, ay kumakatawan sa mga equation ng tuwid na linya na ito.

Sa pangkalahatan, ang anumang dalawang mga di-parallel na eroplano na ibinigay ng mga pangkalahatang equation

tukuyin ang linya ng kanilang intersection. Ang mga equation na ito ay tinawag pangkalahatang mga equation tuwid

Mga halimbawa.

Bumuo ng isang tuwid na linya na ibinigay ng mga equation

Upang bumuo ng isang tuwid na linya, sapat na upang makahanap ng anumang dalawa sa mga puntos nito. Ang pinakamadaling paraan ay piliin ang mga puntos ng intersection ng linya kasama ang mga eroplano ng coordinate. Halimbawa, ang punto ng intersection sa eroplano xOy nakukuha namin mula sa mga equation ng tuwid na linya, setting z= 0:

Nalutas ang sistemang ito, nakita namin ang punto M 1 (1;2;0).

Katulad nito, setting y\u003d 0, nakukuha natin ang punto ng intersection ng tuwid na linya sa eroplano xOz:

Mula sa pangkalahatang mga equation ng isang tuwid na linya, maaari kang pumunta sa mga canonical o parametric equation nito. Upang magawa ito, kailangan mong maghanap ng ilang punto M 1 sa linya at ang direksyon vector ng linya.

Mga coordinate ng point M 1 ay makukuha mula sa sistemang ito ng mga equation sa pamamagitan ng pagtatalaga ng isang di-makatwirang halaga sa isa sa mga coordinate. Upang mahanap ang direksyon na vector, tandaan na ang vector na ito ay dapat na patayo sa parehong normal na mga vector at ... Samakatuwid, sa likod ng direksyon ng vector ng tuwid na linya l maaari naming kunin ang cross product ng mga normal na vector:

.

Halimbawa. Ibigay ang pangkalahatang mga equation ng tuwid na linya sa form na canonical.

Maghanap ng isang puntong nakahiga sa isang tuwid na linya. Upang magawa ito, arbitrary kaming pumili ng isa sa mga coordinate, halimbawa, y\u003d 0 at lutasin ang system ng mga equation:

Ang mga normal na vector ng mga eroplano na tumutukoy sa tuwid na linya ay may mga coordinate Samakatuwid, ang nagdidirektang vector ay

... Dahil dito, l: .

ANGLE SA TUNAY NG GUSTO

Sulok sa pagitan ng mga tuwid na linya sa kalawakan ay tatawagin namin ang anuman sa mga katabing anggulo na nabuo ng dalawang tuwid na linya na iginuhit sa pamamagitan ng isang di-makatwirang point na parallel sa data.

Hayaang ibigay ang dalawang tuwid na linya sa kalawakan:

Malinaw na, ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya ay maaaring makuha bilang angulo sa pagitan ng kanilang mga direksyon na mga vector at. Mula noon, ayon sa pormula para sa cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector, nakukuha natin