Ang isang minus sign ay nagbibigay ng isang minus sign. Minus na mga aksyon

"Ang kaaway ng kaaway ko ay kaibigan ko."

Ang minus at plus ay mga palatandaan ng mga negatibo at positibong numero sa matematika. Nakikipag-ugnay sila sa kanilang sarili sa iba't ibang paraan, kaya kapag nagsasagawa ng anumang mga pagkilos na may mga numero, halimbawa, paghahati, pagpaparami, pagbabawas, karagdagan, atbp, dapat mong isaalang-alang mga patakaran ng palatandaan... Kung wala ang mga patakarang ito, hindi mo malulutas kahit ang pinakasimpleng problema sa algebraic o geometric. Nang hindi nalalaman ang mga patakarang ito, hindi ka makakapag-aral hindi lamang sa matematika, kundi pati na rin ng pisika, kimika, biolohiya, at maging ang heograpiya.

Tingnan natin nang mas malapit ang mga pangunahing alituntunin ng mga palatandaan.

Dibisyon.

Kung hinati natin ang "plus" ng "minus", lagi tayong nakakakuha ng "minus". Kung hinati natin ang "minus" ng "plus", lagi din tayong nakakakuha ng "minus" din. Kung hinati natin ang plus ng plus, makakakuha tayo ng plus. Kung hinati natin ang "minus" ng "minus", nakukuha natin, nang kakatwa, pati na rin ang "plus".

Pagpaparami.

Kung pinarami namin ang "minus" ng "plus", lagi tayong nakakakuha ng "minus". Kung pinarami namin ang "plus" ng "minus", lagi din tayong nakakakuha ng "minus" din. Kung pinarami namin ang "plus" ng "plus", nakakakuha kami ng positibong numero, iyon ay, "plus". Ang parehong napupunta para sa dalawang negatibong numero. Kung magpaparami ng minus ng minus, makakakuha tayo ng plus.

Pagbawas at pagdaragdag.

Nakabatay na ang mga ito sa iba pang mga prinsipyo. Kung ang negatibong numero ay mas malaki sa ganap na halaga kaysa sa aming positibo, kung gayon ang resulta, syempre, ay magiging negatibo. Tiyak, nagtataka ka kung ano ang isang module at bakit nandito talaga. Napakadali ng lahat. Ang modulus ay ang halaga ng isang numero, ngunit hindi naka-sign Halimbawa -7 at 3. Ang Modulo -7 ay magiging 7 lamang, at 3 ay mananatili 3. Bilang isang resulta, nakikita natin na ang 7 ay mas malaki, iyon ay, lumalabas na ang aming negatibong numero ay mas malaki. Kaya lalabas ito -7 + 3 \u003d -4. Maaari itong gawing mas madali. Maglagay lamang ng positibong numero sa unang lugar, at lalabas ito ng 3-7 \u003d -4, marahil ay mas nauunawaan ito para sa isang tao. Ganap na gumagana ang pagbabawas sa parehong prinsipyo.

Dalawang negatibo ang nagpapatibay- ito ay isang patakaran na natutunan namin sa paaralan at na-apply ang aming buong buhay. At alin sa atin ang nagtaka kung bakit? Siyempre, mas madaling tandaan ang pahayag na ito nang walang mga hindi kinakailangang katanungan at hindi malalim na tuklasin ang kakanyahan ng isyu. Ngayon ay mayroon nang sapat na impormasyon na kailangang "natutunaw". Ngunit para sa mga interesado pa rin sa katanungang ito, susubukan naming magbigay ng isang paliwanag sa kababalaghang ito sa matematika.

Mula pa noong sinaunang panahon, ang mga tao ay gumagamit ng positibong natural na mga numero: 1, 2, 3, 4, 5, ... Ang mga bilang ay ginamit upang bilangin ang mga baka, pananim, kaaway, atbp. Kapag nagdaragdag at nagpaparami ng dalawang positibong numero, palagi silang nakakuha ng positibong numero, kapag naghahati ng ilang mga halaga sa iba, hindi sila palaging nakakakuha ng mga natural na numero - ganito lumitaw ang mga praksyonal na numero. Kumusta naman ang pagbabawas? Mula sa pagkabata, alam natin na mas mahusay na magdagdag ng mas kaunti sa mas malaki at ibawas ang mas maliit mula sa mas malaki, habang muli ay hindi kami gumagamit ng mga negatibong numero. Lumalabas na kung mayroon akong 10 mansanas, mabibigyan ko lamang ang isang tao ng mas mababa sa 10 o 10. Hindi ako makapagbigay ng 13 mansanas dahil wala ako sa kanila. Hindi na kailangan ng mga negatibong numero sa mahabang panahon.

Mula pa lamang noong ika-7 siglo A.D. negatibong mga numero ang ginamit sa ilang mga sistema ng pagbibilang bilang mga pantulong na halaga na nagpapahintulot sa iyo na makakuha ng isang positibong numero sa sagot.

Isaalang-alang ang isang halimbawa, 6x - 30 \u003d 3x - 9. Upang mahanap ang sagot, kinakailangan na iwanan ang mga term na hindi alam sa kaliwang bahagi, at ang natitira - sa kanan: 6x - 3x \u003d 30 - 9, 3x \u003d 21, x \u003d 7. Kapag nilulutas ang equation na ito, wala kaming nakuhang mga negatibong numero. Maaari naming ilipat ang mga term na may hindi alam sa kanang bahagi, at walang hindi alam - sa kaliwa: 9 - 30 \u003d 3x - 6x, (-21) \u003d (-3x). Kapag naghahati ng isang negatibong numero sa pamamagitan ng negatibo, nakakakuha kami ng positibong sagot: x \u003d 7.

Ano ang nakikita natin?

Ang mga pagkilos na gumagamit ng mga negatibong numero ay dapat na humantong sa amin sa parehong sagot tulad ng mga pagkilos na gumagamit lamang ng mga positibong numero. Hindi na namin maiisip ang praktikal na kawalang-saysay at pagiging kabuluhan ng mga pagkilos - tinutulungan nila kaming malutas ang problema nang mas mabilis, nang hindi binabawasan ang equation sa isang form na may mga positibong numero lamang. Sa aming halimbawa, hindi kami gumamit ng mga kumplikadong kalkulasyon, ngunit sa maraming bilang ng mga term, ang mga kalkulasyon na may negatibong mga numero ay maaaring gawing mas madali ang aming trabaho.

Sa paglipas ng panahon, pagkatapos ng pangmatagalang mga eksperimento at kalkulasyon, posible na makilala ang mga patakaran na sumusunod sa lahat ng mga numero at pagkilos sa kanila (sa matematika, tinawag silang mga axiom). Mula dito nagmula isang axiom na nagsasaad na kapag ang dalawang negatibong numero ay pinarami, positibo kami.

www.site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ng isang link sa mapagkukunan.

Kapag nakikinig sa isang guro sa matematika, karamihan sa mga mag-aaral ay kumukuha ng materyal bilang isang axiom. Sa parehong oras, ilang mga tao ang sumusubok na makarating sa ilalim nito at alamin kung bakit ang "minus" ng "plus" ay nagbibigay ng isang "minus" na sign, at kapag ang dalawang negatibong numero ay pinarami, isang positibong lumalabas.

Batas ng Matematika

Karamihan sa mga may sapat na gulang ay hindi maipaliwanag sa kanilang sarili o sa kanilang mga anak kung bakit ganito. Mahigpit nilang natutunan ang materyal na ito sa paaralan, ngunit hindi man lang sinubukan upang alamin kung saan nagmula ang mga naturang alituntunin. Ngunit walang kabuluhan. Kadalasan, ang mga modernong bata ay hindi gaanong nagtitiwala, kailangan nilang makuha ang ilalim ng bagay at maunawaan, sabihin, kung bakit ang "plus" para sa "minus" ay nagbibigay ng "minus". At kung minsan ang mga tomboy ay partikular na nagtatanong ng mga nakakalito na katanungan upang masiyahan sa sandali na ang mga matatanda ay hindi maaaring magbigay ng isang naiintindihan na sagot. At talagang isang sakuna kung ang isang batang guro ay nagkaproblema ...

Sa pamamagitan ng paraan, dapat pansinin na ang panuntunan sa itaas ay wasto para sa parehong pagpaparami at paghahati. Ang produkto ng isang negatibo at positibong numero ay magbibigay lamang ng “minus”. Kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa dalawang digit na may isang "-" sign, kung gayon ang resulta ay magiging isang positibong numero. Ganun din sa paghati. Kung ang isa sa mga numero ay negatibo, magkakaroon din ang quient ng isang tanda na "-".

Upang maipaliwanag ang kawastuhan ng batas na ito ng matematika, kinakailangan na bumalangkas ng mga axioms ng singsing. Ngunit kailangan mo munang maunawaan kung ano ito. Sa matematika, ang isang singsing ay karaniwang tinatawag na isang hanay kung saan kasangkot ang dalawang operasyon na may dalawang elemento. Ngunit mas mahusay na harapin ito sa isang halimbawa.

Ring axiom

Mayroong maraming mga batas sa matematika.

• Ang una sa kanila ay maaaring mawala, ayon sa kanya, C + V \u003d V + C.
• Ang pangalawa ay tinawag na kombinasyon (V + C) + D \u003d V + (C + D).

Ang pagpaparami (V x C) x D \u003d V x (C x D) ay napapailalim din sa kanila.

Walang sinuman ang nakansela ang mga patakaran alinsunod sa kung saan binubuksan ang mga braket (V + C) x D \u003d V x D + C x D, totoo din na C x (V + D) \u003d C x V + C x D.

Bilang karagdagan, itinaguyod na ang isang espesyal, elemento na walang pagsasama-walang kinikilingan ay maaaring ipakilala sa singsing, gamit kung saan ang mga sumusunod ay magiging totoo: C + 0 \u003d C. Bilang karagdagan, para sa bawat C mayroong isang kabaligtaran na elemento, na maaaring tinukoy bilang (-C). Sa kasong ito, C + (-C) \u003d 0.

Pag-derivate ng mga axioms para sa mga negatibong numero

Tinanggap ang mga pahayag sa itaas, maaaring sagutin ng isang tao ang tanong: "Ano ang tanda ng" plus "para sa" minus "? Alam ang axiom tungkol sa pagpaparami ng mga negatibong numero, kinakailangan upang kumpirmahin na talaga (-C) x V \u003d - (C x V). At gayun din na ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo: (- (- C)) \u003d C.

Upang magawa ito, kakailanganin mo munang patunayan na ang bawat isa sa mga elemento ay mayroon lamang isang kabaligtaran na "kapatid". Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa ng patunay. Subukan nating isipin na para sa C ang dalawang numero ay kabaligtaran - V at D. Sinusundan nito ang C + V \u003d 0 at C + D \u003d 0, iyon ay, C + V \u003d 0 \u003d C + D. Pag-alala sa mga batas sa pag-aalis at tungkol sa ang mga pag-aari ng bilang 0, maaari nating isaalang-alang ang kabuuan ng lahat ng tatlong mga numero: C, V at D. Subukan nating malaman ang halaga ng V. Ito ay lohikal na V \u003d V + 0 \u003d V + (C + D) \u003d V + C + D, dahil ang halaga ng C + D, tulad ng tinanggap sa itaas, ay katumbas ng 0. Samakatuwid, V \u003d V + C + D.

Sa parehong paraan, ipinakita ang halaga para sa D: D \u003d V + C + D \u003d (V + C) + D \u003d 0 + D \u003d D. Batay dito, nagiging malinaw na V \u003d D.

Upang maunawaan kung bakit, gayunpaman, ang "plus" para sa "minus" ay nagbibigay ng "minus", kinakailangang maunawaan ang mga sumusunod. Kaya, para sa elemento (-C), C at (- (- C)) ay kabaligtaran, iyon ay, magkapantay sila sa bawat isa.

Pagkatapos ay malinaw na 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V. Ipinapahiwatig nito na ang C x V ay kabaligtaran sa (-) C x V, kaya (- C) x V \u003d - (C x V).

Para sa kumpletong pagkahigpit sa matematika, kinakailangan ding kumpirmahing 0 x V \u003d 0 para sa anumang elemento. Kung susundin mo ang lohika, pagkatapos ay 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Nangangahulugan ito na ang pagdaragdag ng produktong 0 x V ay hindi binabago ang itinakdang halaga sa anumang paraan. Pagkatapos ng lahat, ang produktong ito ay katumbas ng zero.

Alam ang lahat ng mga axiom na ito, maaari mong mabawasan hindi lamang kung gaano karaming "plus" ang ibinibigay sa "minus", kundi pati na rin kung ano ang nakuha sa pamamagitan ng pag-multiply ng mga negatibong numero.

Pagpaparami at paghahati ng dalawang numero na may "-"

Kung hindi ka lalalim sa mga nuances sa matematika, maaari mong subukan sa isang mas simpleng paraan upang ipaliwanag ang mga patakaran ng pagkilos na may mga negatibong numero.

Ipagpalagay na ang C - (-V) \u003d D, batay dito, C \u003d D + (-V), iyon ay, C \u003d D - V. Inililipat namin ang V at nakukuha natin ang C + V \u003d D. Iyon ay, C + V \u003d C - (-V). Ipinapaliwanag ng halimbawang ito kung bakit sa isang expression kung saan mayroong dalawang "minus" sa isang hilera, ang mga nabanggit na palatandaan ay dapat palitan ng "plus". Ngayon ay harapin natin ang pagpaparami.

(-C) x (-V) \u003d D, maaari mong idagdag at ibawas ang dalawang magkatulad na mga produkto sa expression, na hindi magbabago ng halaga nito: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d D.

Naaalala ang mga panuntunan para sa pagtatrabaho sa mga braket, nakukuha namin ang:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V \u003d D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V \u003d D;

3) (-C) x 0 + C x V \u003d D;

Sinusundan ito mula dito na C x V \u003d (-C) x (-V).

Katulad nito, maaari mong patunayan na ang paghati sa dalawang negatibong numero ay magreresulta sa isang positibo.

Pangkalahatang panuntunan sa matematika

Siyempre, ang naturang paliwanag ay hindi gagana para sa mga mag-aaral sa elementarya na nagsisimula lamang malaman ang mga abstract negatibong numero. Mas mainam na ipaliwanag nila sa mga nakikitang bagay, pagmamanipula ng pamilyar na term sa pamamagitan ng naghahanap ng baso. Halimbawa, naimbento, ngunit wala ang mga laruan ay matatagpuan doon. Maaari silang maipakita gamit ang isang "-" sign. Ang pagdaragdag ng dalawang bagay na tulad ng mirror ay inililipat ang mga ito sa ibang mundo, na kung saan ay pinantay sa kasalukuyan, iyon ay, bilang isang resulta, mayroon kaming mga positibong numero. Ngunit ang pagpaparami ng isang abstract negatibong numero sa pamamagitan ng isang positibo ay nagbibigay lamang ng resulta pamilyar sa lahat. Pagkatapos ng lahat ng "plus" na pinarami ng "minus" ay nagbibigay ng "minus". Totoo, ang mga bata ay hindi masisikap na maunawaan ang lahat ng mga nuances sa matematika.

Bagaman, kung nahaharap ka sa katotohanan, para sa maraming tao, kahit na may mas mataas na edukasyon, maraming mga patakaran ang mananatiling isang misteryo. Kinukuha ng bawat isa kung ano ang itinuturo sa kanila ng mga guro, hindi nag-aalangan na tuklasin ang lahat ng mga paghihirap na pinuno ng matematika. Ang "Minus" para sa "minus" ay nagbibigay ng "plus" - alam ng lahat tungkol dito nang walang pagbubukod. Ito ay totoo para sa parehong buo at praksyonal na numero.

Kapag nakikinig sa isang guro sa matematika, karamihan sa mga mag-aaral ay kumukuha ng materyal bilang isang axiom. Sa parehong oras, ilang mga tao ang sumusubok na makarating sa ilalim nito at alamin kung bakit ang "minus" ng "plus" ay nagbibigay ng isang "minus" na sign, at kapag ang dalawang negatibong numero ay pinarami, isang positibong lumalabas.

Batas ng Matematika

Karamihan sa mga may sapat na gulang ay hindi maipaliwanag sa kanilang sarili o sa kanilang mga anak kung bakit ganito. Mahigpit nilang natutunan ang materyal na ito sa paaralan, ngunit hindi man lang sinubukan upang alamin kung saan nagmula ang mga naturang alituntunin. Ngunit walang kabuluhan. Kadalasan, ang mga modernong bata ay hindi gaanong nagtitiwala, kailangan nilang makuha ang ilalim ng bagay at maunawaan, sabihin, kung bakit ang "plus" para sa "minus" ay nagbibigay ng "minus". At kung minsan ang mga tomboy ay partikular na nagtatanong ng mga nakakalito na katanungan upang masiyahan sa sandali na ang mga matatanda ay hindi maaaring magbigay ng isang naiintindihan na sagot. At talagang isang sakuna kung ang isang batang guro ay nagkaproblema ...

Sa pamamagitan ng paraan, dapat pansinin na ang panuntunan sa itaas ay wasto para sa parehong pagpaparami at paghahati. Ang produkto ng isang negatibo at positibong numero ay magbibigay lamang ng “minus”. Kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa dalawang digit na may isang "-" sign, kung gayon ang resulta ay magiging isang positibong numero. Ganun din sa paghati. Kung ang isa sa mga numero ay negatibo, magkakaroon din ang quient ng isang tanda na "-".

Upang maipaliwanag ang kawastuhan ng batas na ito ng matematika, kinakailangan na bumalangkas ng mga axioms ng singsing. Ngunit kailangan mo munang maunawaan kung ano ito. Sa matematika, ang isang singsing ay karaniwang tinatawag na isang hanay kung saan kasangkot ang dalawang operasyon na may dalawang elemento. Ngunit mas mahusay na harapin ito sa isang halimbawa.

Ring axiom

Mayroong maraming mga batas sa matematika.

• Ang una sa kanila ay maaaring mawala, ayon sa kanya, C + V \u003d V + C.
• Ang pangalawa ay tinawag na kombinasyon (V + C) + D \u003d V + (C + D).

Ang pagpaparami (V x C) x D \u003d V x (C x D) ay napapailalim din sa kanila.

Walang sinuman ang nakansela ang mga patakaran alinsunod sa kung saan binubuksan ang mga braket (V + C) x D \u003d V x D + C x D, totoo din na C x (V + D) \u003d C x V + C x D.

Bilang karagdagan, itinaguyod na ang isang espesyal, elemento na walang pagsasama-walang kinikilingan ay maaaring ipakilala sa singsing, gamit kung saan ang mga sumusunod ay magiging totoo: C + 0 \u003d C. Bilang karagdagan, para sa bawat C mayroong isang kabaligtaran na elemento, na maaaring tinukoy bilang (-C). Sa kasong ito, C + (-C) \u003d 0.

Pag-derivate ng mga axioms para sa mga negatibong numero

Tinanggap ang mga pahayag sa itaas, maaaring sagutin ng isang tao ang tanong: "Ano ang tanda ng" plus "para sa" minus "? Alam ang axiom tungkol sa pagpaparami ng mga negatibong numero, kinakailangan upang kumpirmahin na talaga (-C) x V \u003d - (C x V). At gayun din na ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo: (- (- C)) \u003d C.

Upang magawa ito, kakailanganin mo munang patunayan na ang bawat isa sa mga elemento ay mayroon lamang isang kabaligtaran na "kapatid". Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa ng patunay. Subukan nating isipin na para sa C ang dalawang numero ay kabaligtaran - V at D. Sinusundan nito ang C + V \u003d 0 at C + D \u003d 0, iyon ay, C + V \u003d 0 \u003d C + D. Pag-alala sa mga batas sa pag-aalis at tungkol sa ang mga pag-aari ng bilang 0, maaari nating isaalang-alang ang kabuuan ng lahat ng tatlong mga numero: C, V at D. Subukan nating malaman ang halaga ng V. Ito ay lohikal na V \u003d V + 0 \u003d V + (C + D) \u003d V + C + D, dahil ang halaga ng C + D, tulad ng tinanggap sa itaas, ay katumbas ng 0. Samakatuwid, V \u003d V + C + D.

Sa parehong paraan, ipinakita ang halaga para sa D: D \u003d V + C + D \u003d (V + C) + D \u003d 0 + D \u003d D. Batay dito, nagiging malinaw na V \u003d D.

Upang maunawaan kung bakit, gayunpaman, ang "plus" para sa "minus" ay nagbibigay ng "minus", kinakailangang maunawaan ang mga sumusunod. Kaya, para sa elemento (-C), C at (- (- C)) ay kabaligtaran, iyon ay, magkapantay sila sa bawat isa.

Pagkatapos ay malinaw na 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V. Ipinapahiwatig nito na ang C x V ay kabaligtaran sa (-) C x V, kaya (- C) x V \u003d - (C x V).

Para sa kumpletong pagkahigpit sa matematika, kinakailangan ding kumpirmahing 0 x V \u003d 0 para sa anumang elemento. Kung susundin mo ang lohika, pagkatapos ay 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Nangangahulugan ito na ang pagdaragdag ng produktong 0 x V ay hindi binabago ang itinakdang halaga sa anumang paraan. Pagkatapos ng lahat, ang produktong ito ay katumbas ng zero.

Alam ang lahat ng mga axiom na ito, maaari mong mabawasan hindi lamang kung gaano karaming "plus" ang ibinibigay sa "minus", kundi pati na rin kung ano ang nakuha sa pamamagitan ng pag-multiply ng mga negatibong numero.

Pagpaparami at paghahati ng dalawang numero na may "-"

Kung hindi ka lalalim sa mga nuances sa matematika, maaari mong subukan sa isang mas simpleng paraan upang ipaliwanag ang mga patakaran ng pagkilos na may mga negatibong numero.

Ipagpalagay na ang C - (-V) \u003d D, batay dito, C \u003d D + (-V), iyon ay, C \u003d D - V. Inililipat namin ang V at nakukuha natin ang C + V \u003d D. Iyon ay, C + V \u003d C - (-V). Ipinapaliwanag ng halimbawang ito kung bakit sa isang expression kung saan mayroong dalawang "minus" sa isang hilera, ang mga nabanggit na palatandaan ay dapat palitan ng "plus". Ngayon ay harapin natin ang pagpaparami.

(-C) x (-V) \u003d D, maaari mong idagdag at ibawas ang dalawang magkatulad na mga produkto sa expression, na hindi magbabago ng halaga nito: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d D.

Naaalala ang mga panuntunan para sa pagtatrabaho sa mga braket, nakukuha namin ang:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V \u003d D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V \u003d D;

3) (-C) x 0 + C x V \u003d D;

Sinusundan ito mula dito na C x V \u003d (-C) x (-V).

Katulad nito, maaari mong patunayan na ang paghati sa dalawang negatibong numero ay magreresulta sa isang positibo.

Pangkalahatang panuntunan sa matematika

Siyempre, ang naturang paliwanag ay hindi gagana para sa mga mag-aaral sa elementarya na nagsisimula lamang malaman ang mga abstract negatibong numero. Mas mainam na ipaliwanag nila sa mga nakikitang bagay, pagmamanipula ng pamilyar na term sa pamamagitan ng naghahanap ng baso. Halimbawa, naimbento, ngunit wala ang mga laruan ay matatagpuan doon. Maaari silang maipakita gamit ang isang "-" sign. Ang pagdaragdag ng dalawang bagay na tulad ng mirror ay inililipat ang mga ito sa ibang mundo, na kung saan ay pinantay sa kasalukuyan, iyon ay, bilang isang resulta, mayroon kaming mga positibong numero. Ngunit ang pagpaparami ng isang abstract negatibong numero sa pamamagitan ng isang positibo ay nagbibigay lamang ng resulta pamilyar sa lahat. Pagkatapos ng lahat ng "plus" na pinarami ng "minus" ay nagbibigay ng "minus". Totoo, ang mga bata ay hindi masisikap na maunawaan ang lahat ng mga nuances sa matematika.

Bagaman, kung nahaharap ka sa katotohanan, para sa maraming tao, kahit na may mas mataas na edukasyon, maraming mga patakaran ang mananatiling isang misteryo. Kinukuha ng bawat isa kung ano ang itinuturo sa kanila ng mga guro, hindi nag-aalangan na tuklasin ang lahat ng mga paghihirap na pinuno ng matematika. Ang "Minus" para sa "minus" ay nagbibigay ng "plus" - alam ng lahat tungkol dito nang walang pagbubukod. Ito ay totoo para sa parehong buo at praksyonal na numero.

Nauunawaan ba natin nang tama ang pagpaparami?

"- Umupo si A at B sa tubo. Nahulog si A, nawala si B, ano ang natira sa tubo?"
- Ang sulat mo ay nanatili ako. "

(Mula sa pelikulang "Mga Kabataan sa Uniberso")

Bakit ito zero kapag nagpaparami ng isang numero sa pamamagitan ng zero?

7 * 0 = 0

Bakit ito positibo kapag nagpaparami ng dalawang negatibong numero?

7 * (-3) = + 21

Ano ang hindi naisip ng mga guro upang magbigay ng mga sagot sa dalawang katanungang ito.

Ngunit walang sinuman ang may lakas ng loob na aminin na mayroong tatlong mga kamalian sa semantiko sa pagbubuo ng pagpaparami!

Posible bang mga pagkakamali sa pangunahing aritmetika? Pagkatapos ng lahat, ang matematika ay nakaposisyon mismo bilang isang eksaktong agham ...

Nabigo ang mga aklat sa matematika ng paaralan na sagutin ang mga katanungang ito, na pinapalitan ang mga paliwanag ng isang hanay ng mga patakaran na dapat tandaan. Siguro nahihirapan silang ipaliwanag ang paksang ito sa gitnang paaralan? Subukan nating maunawaan ang mga isyung ito.

7 - maraming beses. 3 ay isang kadahilanan. 21- trabaho.

Ayon sa opisyal na salitang:

• ang pagpaparami ng isang numero sa ibang numero ay nangangahulugang pagdaragdag ng maraming mga multiplier tulad ng inireseta ng multiplier.

Ayon sa tinatanggap na pagbabalangkas, sinasabi sa amin ng kadahilanan 3 na dapat mayroong tatlong pito sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay.

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

Ngunit ang pagbabalangkas ng pagpaparami na ito ay hindi maipaliwanag ang mga katanungan sa itaas.

Iwasto ang mga salita ng pagpaparami

Kadalasan sa matematika ay malaki ang kahulugan nila, ngunit hindi nila ito pinag-uusapan o isulat ito.

Ito ay tumutukoy sa plus sign sa harap ng unang pito sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay. Isulat natin ito plus.

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

Ngunit kung saan idinagdag ang unang pitong. Ito ay nangangahulugan na sa zero, syempre. Isulat natin at zero.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

Paano kung magpaparami tayo ng tatlong minus pito?

7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = - 21

Nagsusulat kami ng karagdagan ng multiplier -7, sa katunayan gumagawa kami ng maraming pagbabawas mula sa zero. Palawakin natin ang mga braket.

7 * 3 = 0 - 7 - 7 - 7 = - 21

Ngayon ay maaari kaming magbigay ng isang mas tumpak na pagbabalangkas ng pagpaparami.

• Ang pagpaparami ay ang maramihang karagdagan sa zero (o pagbabawas mula sa zero) ng multiplier (-7) ng maraming beses na ipinapahiwatig ng multiplier. Ang kadahilanan (3) at ang pag-sign nito (+ o -) ay nagpapahiwatig ng bilang ng mga pagdaragdag sa zero o mga pagbabawas mula sa zero.

Ang pino at medyo nabago na pagbubuo ng pagpaparami ay madaling ipinapaliwanag ang "mga patakaran ng mga palatandaan" sa pagpaparami kapag ang multiplier ay negatibo.

7 * (-3) - dapat mayroong tatlong mga sign na binawas pagkatapos ng zero \u003d 0 - (+7) - (+7) - (+7) \u003d - 21

7 * (-3) - muli dapat mayroong tatlong mga minus na palatandaan pagkatapos ng zero \u003d

0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

Pagpaparami ng zero

7 * 0 \u003d 0 + ... walang idagdag sa zero na pagpapatakbo.

Kung ang pagdaragdag ay nagdaragdag sa zero, at ang multiplier ay nagpapahiwatig ng bilang ng mga pagpapatakbo upang idagdag sa zero, kung gayon ang multiplier zero ay nagpapahiwatig na walang naidagdag sa zero. Samakatuwid, zero ang nananatili.

Kaya, sa umiiral na pagbubuo ng pagpaparami, natagpuan namin ang tatlong mga kamalian sa semantiko na humahadlang sa pag-unawa sa dalawang "mga patakaran ng mga palatandaan" (kapag ang kadahilanan ay negatibo) at ang pagpaparami ng isang numero sa pamamagitan ng zero.

1. Hindi mo kailangang idagdag ang multiplier, ngunit idagdag ito sa zero.
2. Ang pagpaparami ay hindi lamang nagdaragdag sa zero, ngunit nagbabawas mula sa zero.
3. Ang kadahilanan at ang pag-sign nito ay hindi ipinapakita ang bilang ng mga term, ngunit ang bilang ng mga plus o minus na palatandaan sa pagpapalawak ng pagpaparami sa mga term (o binawas).

Ang pagkakaroon ng medyo nilinaw ang pagbabalangkas, naipaliwanag namin ang mga patakaran ng mga palatandaan para sa pagpaparami at pagpaparami ng isang numero sa pamamagitan ng zero nang walang tulong ng batas ng pag-aalis ng pagpaparami, nang walang batas sa pamamahagi, nang walang pagguhit ng mga pagkakatulad sa linya ng numero, nang walang mga equation, nang walang katibayan mula sa kabaligtaran, atbp.

Ang mga patakaran ng mga palatandaan para sa pinong pagbabalangkas ng pagpaparami ay nahinuha nang napakadali.

7 * (+3) = 0 + (+7) + (+7) + (+7) = +21 (++ = +)

7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (- + = -)

7 * (-3) = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (+ - = -)

7 * (-3) = 0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- - = +)

Ang multiplier at ang tanda nito (+3 o -3) ay nagpapahiwatig ng bilang ng mga palatandaan na "+" o "-" sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay.

Ang binagong pagbabalangkas ng pagpaparami ay tumutugma sa pagpapatakbo ng pagtaas ng isang bilang sa isang lakas.

2^3 = 1*2*2*2 = 8

2 ^ 0 \u003d 1 (1 ay hindi pinarami o hindi nahahati sa anumang bagay, kaya't nananatili itong 1)

2^-1 = 1: 2 = 1/2

2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4

2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8

Sumasang-ayon ang mga matematiko na ang pagtaas ng isang numero sa isang positibong tagapagpahiwatig ay maraming pagpaparami ng isa. At ang pagtaas ng isang numero sa isang negatibong kapangyarihan ay isang maramihang paghati ng isa.

Ang pagpapatakbo ng pagpaparami ay dapat na kapareho ng pagpapatakbo ng exponentiation.

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*2 = 0 + 2 + 2 = 4

2 * 0 \u003d 0 (walang naidagdag sa zero at walang naibawas mula sa zero)

2*-1 = 0 - 2 = -2

2*-2 = 0 - 2 - 2 = -4

2*-3 = 0 - 2 - 2 - 2 = -6

Ang binagong pagbabalangkas ng pagpaparami ay hindi nagbabago ng anumang bagay sa matematika, ngunit ibinabalik nito ang orihinal na kahulugan ng pagpapatakbo ng pagpaparami, ipinapaliwanag ang "mga patakaran ng mga palatandaan", na nagpaparami ng isang numero sa pamamagitan ng zero, pinagsasama ang pagpaparami sa pagtaas sa isang lakas.

Suriin natin kung ang aming pagbabalangkas ng pagpaparami ay naaayon sa operasyon ng dibisyon.

15: 5 \u003d 3 (kabaligtaran pagpaparami 5 * 3 \u003d 15)

Ang quient (3) ay tumutugma sa bilang ng mga pagpapatakbo ng karagdagan sa zero (+3) sa pagpaparami.

Ang paghati sa 15 sa 5 ay nangangahulugang paghahanap ng kung gaano karaming beses kailangan mong ibawas ang 5 sa 15. Ginagawa ito ng sunud-sunod na pagbabawas hanggang sa makuha ang isang zero na resulta.

Upang mahanap ang resulta ng paghahati, kailangan mong bilangin ang bilang ng mga minus na palatandaan. Tatlo sila.

15: 5 \u003d 3 pagpapatakbo ng pagbabawas ng lima mula 15 upang makakuha ng zero.

15 - 5 - 5 - 5 \u003d 0 (dibisyon 15: 5)

0 + 5 + 5 + 5 \u003d 15 (pagpaparami 5 * 3)

Dibisyon na may natitira.

17 - 5 - 5 - 5 - 2 = 0

17: 5 \u003d 3 at 2 na natitira

Kung mayroong isang paghahati na may natitirang, bakit walang pagpaparami sa isang appendage?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

Makita ang pagkakaiba sa mga salita sa calculator

Ang umiiral na pagbabalangkas ng pagpaparami (tatlong mga termino).

10 + 10 + 10 = 30

Naitama na mga salita ng pagpaparami (tatlong pagpapatakbo ng pagdaragdag sa zero).

0 + 10 = = = 30

(Pindutin ang "katumbas" ng tatlong beses.)

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Ang isang multiplier ng 3 ay nagpapahiwatig na ang multiplier 10 ay dapat idagdag sa zero ng tatlong beses.

Subukan ang pagpaparami (-10) * (-3) sa pamamagitan ng pagdaragdag ng term na (-10) na minus ng tatlong beses!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 - 10 - 10 = -30 ?

Ano ang kahulugan ng marka ng minus para sa isang tatlo? Baka ganun

(-10) * (-3) = (-10) - (-10) - (-10) = - 10 + 10 + 10 = 10?

Ops ... Hindi ko mabulok ang produkto sa kabuuan (o pagkakaiba) ng mga term (-10).

Sa binagong mga salita, ginagawa ito nang tama.

0 - (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 - (-10) - (-10) - (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Ang multiplier (-3) ay nagpapahiwatig na ang multiplier (-10) ay dapat na ibawas mula sa zero ng tatlong beses.

Mga panuntunan sa pag-sign para sa pagdaragdag at pagbabawas

Sa itaas ay ipinakita ang isang simpleng paraan ng pagkuha ng mga patakaran ng mga palatandaan sa pagpaparami, sa pamamagitan ng pagbabago ng kahulugan ng pagdodoble ng pagpaparami.

Ngunit para sa derivation, ginamit namin ang mga patakaran ng mga karatula para sa pagdaragdag at pagbabawas. Ang mga ito ay halos kapareho ng para sa pagpaparami. Lumikha tayo ng isang visualization ng mga patakaran ng mga palatandaan para sa karagdagan at pagbabawas, upang maunawaan ito ng unang grader.

Ano ang "minus", "negatibo"?

Walang negatibong likas. Walang negatibong temperatura, walang negatibong direksyon, walang negatibong masa, walang negatibong pagsingil ... Kahit na ang isang sine sa likas na katangian nito ay maaari lamang maging positibo.

Ngunit ang mga matematiko ay nakakuha ng mga negatibong numero. Para saan? Ano ang ibig sabihin ng "minus"?

Ang ibig sabihin ng minus ay ang kabaligtaran na direksyon. Kaliwa Kanan. Taas baba. Lumiko sa relo - pakaliwa. Pabalik-balik. Malamig mainit. Magaan ang bigat. Dahan-dahan - mabilis. Kung iniisip mo ito, maraming iba pang mga halimbawa kung saan maginhawa ang mga negatibong halaga.

Sa mundo na alam natin, ang infinity ay nagsisimula mula sa zero at papunta sa plus infinity.

Ang "Minus infinity" ay hindi umiiral sa totoong mundo. Ito ay ang parehong matematikal na kombensiyon bilang konsepto ng "minus".

Kaya, ang "minus" ay nangangahulugang kabaligtaran na direksyon: paggalaw, pag-ikot, proseso, pagpaparami, karagdagan. Pag-aralan natin ang iba't ibang mga direksyon kapag nagdaragdag at nagbabawas ng positibo at negatibong (pagtaas sa iba pang direksyon) na mga numero.

Ang pagiging kumplikado ng pag-unawa sa mga patakaran ng mga palatandaan para sa pagdaragdag at pagbabawas ay dahil sa ang katunayan na karaniwang sinusubukan nilang ipaliwanag ang mga patakarang ito sa linya ng numero. Sa linya ng numero, tatlong magkakaibang mga bahagi ang halo-halong, kung saan nagmula ang mga patakaran. At dahil sa paghahalo, dahil sa lumping iba't ibang mga konsepto sa isang tambak, nilikha ang mga paghihirap ng pag-unawa.

Upang maunawaan ang mga patakaran, kailangan nating paghiwalayin:

• ang unang termino at ang kabuuan (sila ay nasa pahalang na axis);
• ang pangalawang term (ito ay nasa patayong axis);
• direksyon ng mga pagpapatakbo ng pagdaragdag at pagbabawas.

Ang paghati na ito ay malinaw na ipinakita sa pigura. Isipin na ang patayong axis ay maaaring paikutin ang magkakapatong sa pahalang na axis.

Ang pagpapatakbo ng pagdaragdag ay palaging ginagawa sa pamamagitan ng pag-ikot ng patayong axis na pakaliwa (plus sign). Ang pagbabawas ay laging ginaganap sa pamamagitan ng pag-ikot ng patayong axis nang pabaliktad (minus sign).

Halimbawa. Diagram sa ibabang kanang sulok.

Makikita na ang dalawang katabing minus na mga palatandaan (ang tanda ng operasyon ng pagbabawas at ang pag-sign ng bilang 3) ay may magkakaibang kahulugan. Ang unang minus ay nagpapahiwatig ng direksyon ng pagbabawas. Ang pangalawang minus ay ang tanda ng numero sa patayong axis.

Hanapin ang unang kataga (-2) sa pahalang na axis. Hanapin ang pangalawang term (-3) sa patayong axis. Paikutin nang paikot ang patayong axis nang pabaliktad hanggang sa ito ay makahanay (-3) sa numero (+1) sa pahalang na axis. Ang numero (+1) ay ang resulta ng karagdagan.

Pagpapatakbo ng pagbabawas

nagbibigay ng parehong resulta bilang pagpapatakbo ng karagdagan sa diagram sa kanang sulok sa itaas.

Samakatuwid, ang dalawang katabing minus na palatandaan ay maaaring mapalitan ng isang plus sign.

Sanay tayong lahat sa paggamit ng mga handa nang patakaran ng arithmetic nang hindi iniisip ang kahulugan nito. Samakatuwid, madalas na hindi natin napapansin kung paano ang mga patakaran ng mga palatandaan para sa pagdaragdag (pagbabawas) ay naiiba mula sa mga patakaran ng mga palatandaan para sa pagpaparami (paghahati). Parang pareho ba sila? Halos ... Makikita ang kaunting pagkakaiba sa sumusunod na ilustrasyon.

Nasa amin ngayon ang lahat ng kailangan namin upang mabawasan ang mga panuntunan sa pag-sign para sa pagpaparami. Ang pagkakasunud-sunod ng output ay ang mga sumusunod.

1. Malinaw naming ipinapakita kung paano nakukuha ang mga patakaran ng mga palatandaan para sa pagdaragdag at pagbabawas.
2. Gumagawa kami ng mga pagbabago sa semantiko sa mayroon nang pagbabalangkas ng pagpaparami.
3. Batay sa binagong pagbabalangkas ng pagpaparami at mga patakaran ng mga karatula bilang karagdagan, nakukuha namin ang mga patakaran ng mga palatandaan para sa pagpaparami.

Tandaan

Nasa ibaba ang nakasulat n mga panuntunan sa pag-sign para sa pagdaragdag at pagbabawasnakuha mula sa pagpapakita. At sa pula, para sa paghahambing, ang parehong mga patakaran ng mga palatandaan mula sa isang aklat sa matematika. Ang grey plus sa mga braket ay ang hindi nakikitang plus, na hindi nakasulat para sa isang positibong numero.

Palaging may dalawang palatandaan sa pagitan ng mga term: ang pag-sign ng operasyon at ang pag-sign ng numero (hindi kami nagsusulat ng plus, ngunit ang ibig sabihin namin). Inireseta ng mga patakaran sa pag-sign ang kapalit ng isang pares ng mga palatandaan para sa isa pang pares nang hindi binabago ang resulta ng pagdaragdag (pagbabawas). Sa katunayan, mayroon lamang dalawang mga patakaran.

Mga Panuntunan 1 at 3 (para sa pagpapakita) - mga duplicate na patakaran 4 at 2 .. Ang Mga Panuntunan 1 at 3 sa interpretasyon ng paaralan ay hindi kasabay sa visual scheme, samakatuwid, hindi sila nalalapat sa mga patakaran ng mga palatandaan kapag nagdaragdag. Ito ang ilang iba pang mga patakaran ...

1. +(+) = -- ......... + (+) = + ???

2. +- = -(+).......... + - \u003d - (+) ok

3. -(+) = +- ......... - (+) = - ???

4. -- = +(+) ......... - - \u003d + (+) ok

Ang Panuntunan sa Paaralan 1 (pula) ay nagbibigay-daan sa dalawang plus sa isang hilera na mapalitan ng isang plus. Ang panuntunan ay hindi nalalapat sa pagpapalit ng mga palatandaan bilang karagdagan at pagbabawas.

Panuntunan sa Paaralan 3. (pula) ay pinahihintulutan na huwag isulat ang plus sign sa isang positibong numero pagkatapos ng operasyon ng pagbabawas. Ang panuntunan ay hindi nalalapat sa pagpapalit ng mga palatandaan bilang karagdagan at pagbabawas.

Ang kahulugan ng mga patakaran ng mga palatandaan sa panahon ng pagdaragdag ay ang kapalit ng isang PAIR ng mga palatandaan sa isa pang PAIR ng mga palatandaan nang hindi binabago ang resulta ng pagdaragdag.

Ang mga metodologist ng paaralan ay may halong dalawang panuntunan sa isang panuntunan:

Dalawang mga patakaran ng mga palatandaan kapag nagdaragdag at nagbabawas ng positibo at negatibong mga numero (pinapalitan ang isang pares ng mga character sa isa pang pares ng mga character);

Dalawang mga patakaran kung saan hindi mo maaaring isulat ang plus sign para sa isang positibong numero.

Ang dalawang magkakaibang panuntunan na halo sa isa ay tulad ng mga patakaran para sa mga palatandaan sa pagpaparami, kung saan ang dalawang palatandaan ay sinusundan ng isang pangatlo. Katulad ng isa sa isa.

Lubhang nalito! Ang parehong bagay muli, para sa mas mahusay na paglutas. I-highlight natin ang mga palatandaan ng pagpapatakbo sa pula upang makilala ang mga ito mula sa mga palatandaan ng mga numero.

1. Pagdaragdag at pagbabawas. Dalawang alituntunin ng palatandaan, alinsunod sa kung aling mga pares ng palatandaan ang pinagpapalit sa pagitan ng mga term. Operation sign at sign ng numero.

+ + = - - |||||||||| 2 + (+2) = 2 - (-2)

+ - = - + |||||||||| 2 + (-2) = 2 - (+2)

2. Dalawang alituntunin alinsunod sa kung saan ang plus sign para sa isang positibong numero ay pinapayagan na hindi sumulat. Ito ang mga patakaran ng form sa pagpasok. Hindi nalalapat ang pagdaragdag. Para sa isang positibong numero, ang tanda lamang ng operasyon ang naitala.

- + = - |||||||||| - (+2) = - 2

+ + = + |||||||||| + (+2) = + 2

3. Apat na mga patakaran ng mga palatandaan para sa pagpaparami. Kapag ang ikatlong pag-sign ng produkto ay sumusunod mula sa dalawang mga palatandaan ng multiplier. Sa mga patakaran ng mga palatandaan para sa pagpaparami, mga palatandaan lamang ng mga numero.

+ * + = + |||||||||| 2 * 2 = 2

+ * - = - |||||||||| 2 * (-2) = -2

- * + = - |||||||||| -2 * 2 = - 2

- * - = + |||||||||| -2 * -2 = 2

Ngayon na pinaghiwalay namin ang mga patakaran ng notasyon, dapat malinaw na ang mga panuntunan sa pag-sign para sa pagdaragdag at pagbabawas ay hindi talaga tulad ng mga panuntunan sa pag-sign para sa pagpaparami.

V.Kozarenko

Sa katunayan, bakit Ang pinakasimpleng sagot ay: "Dahil ito ang mga patakaran para sa pagharap sa mga negatibong numero." Ang mga patakaran na itinuturo namin sa paaralan at nalalapat sa buong buhay namin. Gayunpaman, hindi ipinapaliwanag ng mga tutorial kung bakit eksaktong ganito ang mga patakaran. Naalala namin na ito ay eksakto kung paano hindi na kami nagtatanong sa ating sarili ng isang katanungan.

Tanungin natin ang ating sarili ...

Noong unang panahon, mga natural na numero lamang ang alam ng mga tao: 1, 2, 3, ... Ginamit sila upang bilangin ang mga kagamitan, biktima, kaaway, atbp. Ngunit ang mga numero sa kanilang sarili ay walang silbi - kailangan mong malaman kung paano hawakan sila. Ang pagdaragdag ay malinaw at naiintindihan, bukod sa kabuuan ng dalawang natural na numero ay isang natural na numero din (sasabihin ng isang dalub-agbilang na ang hanay ng mga natural na numero ay sarado sa ilalim ng pagpapatakbo ng karagdagan). Ang pagpaparami ay mahalagang parehong karagdagan kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa natural na mga numero. Sa buhay, madalas kaming nagsasagawa ng mga aksyon na nauugnay sa dalawang pagpapatakbo na ito (halimbawa, kapag namimili, nagdaragdag at dumami kami), at kakaibang isipin na ang aming mga ninuno ay hindi gaanong madalas na nakatagpo sa kanila - ang pagdaragdag at pagpaparami ay pinagkadalubhasaan ng sangkatauhan ng napakatagal nakaraan Kadalasan kinakailangan na hatiin ang ilan sa iba, ngunit narito ang resulta ay hindi laging ipinahayag bilang isang natural na numero - ganito lumitaw ang mga praksyonal na numero.

Siyempre, hindi mo magagawa nang walang pagbabawas. Ngunit sa pagsasagawa, may posibilidad kaming ibawas ang mas maliit mula sa mas malaking bilang, at hindi na kailangang gumamit ng mga negatibong numero. (Kung mayroon akong 5 mga kendi at bibigyan ko ang aking kapatid na babae ng 3, magkakaroon ako ng 5 - 3 \u003d 2 na mga kendi, ngunit hindi ko siya maibigay sa kanya ng 7 mga kendi kung nais ko.) Maipapaliwanag nito kung bakit hindi nagamit ng mga negatibong numero ang mga tao sa mahabang panahon.


Sa mga dokumento ng India, lumilitaw ang mga negatibong numero mula noong ika-7 siglo AD; ang mga Intsik ay tila nagsimulang gumamit ng mga ito nang kaunti mas maaga. Ginamit ang mga ito para sa pag-account para sa mga utang o sa mga intermediate na kalkulasyon upang gawing simple ang solusyon ng mga equation - ito ay isang tool lamang para sa pagkuha ng isang positibong sagot. Ang katotohanang ang mga negatibong numero, taliwas sa mga positibo, ay hindi ipinahahayag ang pagkakaroon ng anumang nilalang na sanhi ng matinding kawalan ng tiwala. Ang mga tao sa literal na kahulugan ng salita ay umiwas sa mga negatibong numero: kung ang isang problema ay nakatanggap ng isang negatibong sagot, naniniwala sila na wala ring sagot. Ang kawalang tiwala na ito ay nagpatuloy sa isang mahabang panahon, at maging ang Descartes - isa sa mga "tagapagtatag" ng modernong matematika - tinawag silang "maling" (noong ika-17 siglo!).

Halimbawa, isaalang-alang ang equation 7x - 17 \u003d 2x - 2. Maaari itong malutas tulad ng sumusunod: ilipat ang mga term na hindi alam sa kaliwang bahagi, at ang natitira sa kanan, nakakuha ka ng 7x - 2x \u003d 17 - 2, 5x \u003d 15, x \u003d 3. Sa solusyon na ito, hindi namin nakasalamuha ang mga negatibong numero.

Ngunit posible na aksidenteng gawin ito sa ibang paraan: ilipat ang mga term na hindi alam sa kanang bahagi at makakuha ng 2 - 17 \u003d 2x - 7x, (-15) \u003d (-5) x. Upang hanapin ang hindi alam, kailangan mong hatiin ang isang negatibong numero sa isa pa: x \u003d (-15) / (- 5). Ngunit ang tamang sagot ay kilala, at mananatili itong magtapos na (-15) / (- 5) \u003d 3.

Ano ang ipinapakita ng simpleng halimbawa na ito? Una, naging malinaw ang lohika na tumutukoy sa mga patakaran para sa mga aksyon na may negatibong mga numero: ang mga resulta ng mga pagkilos na ito ay dapat na sumabay sa mga sagot na nakuha sa ibang paraan, nang walang mga negatibong numero. Pangalawa, sa pamamagitan ng pagpapahintulot sa paggamit ng mga negatibong numero, natatanggal namin ang nakakapagod (kung ang equation ay naging mas kumplikado, na may maraming bilang ng mga term) na naghahanap ng isang landas ng solusyon kung saan ang lahat ng mga aksyon ay ginaganap lamang sa natural na mga numero. Bukod dito, hindi na natin maiisip tuwing tungkol sa kabuluhan ng mga na-convert na halaga - at ito ay hakbang na patungo sa pagbabago ng matematika sa isang abstract science.

Ang mga patakaran para sa mga aksyon sa mga negatibong numero ay hindi nabuo kaagad, ngunit naging isang paglalahat ng maraming mga halimbawa na lumitaw sa paglutas ng mga inilapat na problema. Sa pangkalahatan, ang pag-unlad ng matematika ay maaaring may kondisyon na nahahati sa mga yugto: ang bawat susunod na yugto ay naiiba mula sa naunang isa sa pamamagitan ng isang bagong antas ng abstraction sa pag-aaral ng mga bagay. Kaya, noong ika-19 na siglo, napagtanto ng mga matematiko na ang mga integer at polynomial, para sa lahat ng kanilang panlabas na hindi pagkakapareho, ay mayroong magkatulad: parehong maaaring idagdag, ibawas at i-multiply. Ang mga pagpapatakbong ito ay sumusunod sa parehong mga batas - kapwa sa kaso ng mga numero at sa kaso ng mga polynomial. Ngunit ang paghahati ng mga integer sa bawat isa upang ang resulta ay muli ang mga integer, marahil ay hindi palaging. Pareho ito sa mga polynomial.

Pagkatapos ang iba pang mga hanay ng mga bagay sa matematika ay natuklasan, kung saan maaaring maisagawa ang mga naturang operasyon: pormal na serye ng kuryente, patuloy na pag-andar ... para sa lahat ng modernong matematika).

Bilang isang resulta, lumitaw ang isang bagong konsepto: isang singsing. Ito ay isang hanay lamang ng mga elemento kasama ang mga pagkilos na maaaring isagawa sa kanila. Ang pangunahing dito ay ang mga patakaran lamang (tinatawag silang mga axioms), na sumusunod sa mga aksyon, at hindi likas na katangian ng mga elemento ng hanay (narito, isang bagong antas ng abstraction!). Nais na bigyang-diin na ito ay ang istrakturang lumitaw pagkatapos ng pagpapakilala ng mga axioms ay mahalaga, sinabi ng mga dalub-agbilang: ang singsing ng integers, ang singsing ng mga polynomial, atbp. Simula mula sa mga axioms, posible na makuha ang iba pang mga katangian ng mga singsing.

Susubukan naming formulate ang mga axioms ng isang singsing (na, syempre, ay katulad ng mga panuntunan para sa pagharap sa mga integer), at pagkatapos ay mapatunayan namin na sa anumang singsing, ang pagpaparami ng isang minus ng isang minus na mga resulta sa isang plus.

Ang singsing ay isang hanay na may dalawang binary na operasyon (ibig sabihin, ang bawat operasyon ay nagsasangkot ng dalawang elemento ng singsing), na ayon sa kaugalian ay tinatawag na karagdagan at pagpaparami, at ang mga sumusunod na axiom:

Ang pagdaragdag ng mga elemento ng singsing ay sumusunod sa pag-aalis (A + B \u003d B + A para sa anumang mga elemento A at B) at ang kombinasyon (A + (B + C) \u003d (A + B) + C) mga batas; ang singsing ay may isang espesyal na elemento 0 (isang walang kinikilingan na elemento para sa pagdaragdag) tulad ng A + 0 \u003d A, at para sa anumang elemento A mayroong isang kabaligtaran na elemento (tinukoy ng (-A)) tulad ng A + (-A) \u003d 0 ;
- Sinusunod ng pagpaparami ang pinagsamang batas: A · (B · C) \u003d (A · B) · C;
ang pagdaragdag at pagpaparami ay nauugnay sa mga sumusunod na panuntunan sa pagpapalawak ng panaklong: (A + B) C \u003d A C + B C at A (B + C) \u003d A B + A C.

Tandaan na ang mga singsing, sa pinaka-pangkalahatang konstruksyon, ay hindi nangangailangan ng pagkamatagusin ng pagpaparami, o ng pagkakabalik nito (ibig sabihin, hindi palaging posible na hatiin), o ang pagkakaroon ng isang yunit - isang walang kinikilingan na elemento sa pagpaparami. Kung ipinakilala natin ang mga axiom na ito, nakakakuha kami ng iba pang mga istruktura ng algebraic, ngunit ang lahat ng mga teorya na napatunayan para sa mga singsing ay magiging totoo sa kanila.

Ngayon ay patunayan natin na para sa anumang mga elemento A at B ng isang di-makatwirang singsing, una, (-A) B \u003d - (A B), at pangalawa, (- (- A)) \u003d A. Madali nitong ipinahihiwatig ang mga pahayag tungkol sa mga yunit: ( -1) 1 \u003d - (1 1) \u003d -1 at (-1) (-1) \u003d - ((- 1) 1) \u003d - (- 1) \u003d 1.

Para sa mga ito kailangan naming magtatag ng ilang mga katotohanan. Una, patunayan natin na ang bawat elemento ay maaaring magkaroon lamang ng isang kabaligtaran. Sa katunayan, hayaan ang elementong A na may dalawang magkasalungat: B at C. Iyon ay, A + B \u003d 0 \u003d A + C. Isaalang-alang ang kabuuan A + B + C. Gamit ang mga batas sa pagsasama at transposisyon at ang zero na pag-aari, nakukuha natin iyon , sa isang banda, ang kabuuan ay B: B \u003d B + 0 \u003d B + (A + C) \u003d A + B + C, at sa kabilang banda, ito ay C: A + B + C \u003d (A + B) + C \u003d 0 + C \u003d C. Kaya't B \u003d C.

Tandaan ngayon na ang parehong A at (- (- A)) ay kabaligtaran sa parehong elemento (-A), kaya dapat silang pantay.

Ang unang katotohanan ay nakuha tulad ng sumusunod: 0 \u003d 0 B \u003d (A + (-A)) B \u003d A B + (-A) B, iyon ay, (-A) B ay katapat ng A B, kaya't katumbas ito ng - (AB).

Upang maging mahigpit sa matematika, ipaliwanag natin kung bakit 0 · B \u003d 0 para sa anumang elemento B. Sa katunayan, 0 · B \u003d (0 + 0) B \u003d 0 · B + 0 · B. Iyon ay, ang pagdaragdag ng 0 · B ay hindi nagbabago ng halaga. Samakatuwid, ang produktong ito ay katumbas ng zero.

At ang katunayan na mayroong eksaktong isang zero sa singsing (pagkatapos ng lahat, sinasabi ng mga axioms na ang gayong elemento ay mayroon, ngunit walang sinabi tungkol sa pagiging natatangi nito!), Iniwan namin ang mambabasa bilang isang simpleng ehersisyo.

Evgeny Epifanov