Mga halimbawa:

\\ (4 ^ x \u003d 32 \\)
\\ (5 ^ (2x-1) -5 ^ (2x-3) \u003d 4.8 \\)
\\ ((\\ sqrt (7)) ^ (2x + 2) -50 \\ cdot (\\ sqrt (7)) ^ (x) + 7 \u003d 0 \\)

Paano malutas ang mga exponential equation

Kapag nalulutas ang anumang exponential equation, nagsusumikap kaming bawasan ang form \\ (a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \\), at pagkatapos ay gawin ang paglipat sa pagkakapantay-pantay ng mga tagapagpahiwatig, iyon ay:

\\ (a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \\) \\ (⇔ \\) \\ (f (x) \u003d g (x) \\)

Halimbawa: \\ (2 ^ (x + 1) \u003d 2 ^ 2 \\) \\ (⇔ \\) \\ (x + 1 \u003d 2 \\)

Mahalaga! Mula sa parehong lohika, mayroong dalawang mga kinakailangan para sa isang paglipat:
- bilang sa kaliwa at kanan ay dapat na pareho;
- ang mga degree na kaliwa at kanan ay dapat na "malinis", iyon ay, dapat walang mga pagpaparami, paghati, atbp.

Halimbawa:

Upang mabawasan ang equation sa form \\ (a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \\), gamitin at.

Halimbawa ... Lutasin ang exponential equation \\ (\\ sqrt (27) 3 ^ (x-1) \u003d ((\\ frac (1) (3))) ^ (2x) \\)
Desisyon:

Unang antas

Exponential equation. Komprehensibong Gabay (2019)

Hoy! Ngayon tatalakayin namin sa iyo kung paano malutas ang mga equation, na maaaring parehong elementarya (at inaasahan kong pagkatapos basahin ang artikulong ito, halos lahat sa kanila ay para sa iyo), at ang mga karaniwang ibinibigay "para sa pagpuno." Tulog na tuluyan na. Ngunit susubukan kong gawin ang aking makakaya upang ngayon ay hindi ka masiraan ng loob kapag nahaharap sa ganitong uri ng mga equation. Hindi na ako papatalo sa paligid ng bush, ngunit ihahayag ko kaagad ang isang maliit na lihim: ngayon mag-aaral kami mga equation na exponential.

Bago magpatuloy sa pagtatasa ng mga paraan upang malutas ang mga ito, agad kong ibabalangkas sa harap mo ang isang bilog ng mga katanungan (sa halip maliit), na dapat mong ulitin bago ka magmadali upang sakupin ang paksang ito. Kaya, para sa pinakamahusay na resulta, mangyaring ulitin:

1. Mga Katangian at
2. Solusyon at mga equation

Naulit? Malaki! Kung gayon hindi magiging mahirap para sa iyo na mapansin na ang ugat ng equation ay isang numero. Nauunawaan mo ba nang eksakto kung paano ko ito nagawa? Totoo Pagkatapos ay ipagpatuloy natin. Ngayon sagutin mo ako ng tanong, ano ang pangatlong degree? Tamang tama ka: . At walong ano ang kapangyarihan ng dalawa? Tama yan - ang pangatlo! Kasi. Kaya, subukang subukan nating malutas ang sumusunod na problema: Ipagpalagay na pinarami ko ang numero nang mag-isa at makuha ang resulta. Ang tanong, ilang beses na ba akong nagparami nang mag-isa? Maaari mong siyempre suriin ito nang direkta:

\\ start (align) & 2 \u003d 2 \\\\ & 2 \\ cdot 2 \u003d 4 \\\\ & 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \u003d 8 \\\\ & 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \u003d 16 \\\\ \\ end ( ihanay)

Pagkatapos ay maaari mong tapusin na pinarami ko ang aking sarili sa aking sarili. Ano pa ang maaari mong suriin? At narito kung paano: direkta sa pamamagitan ng kahulugan ng degree: Ngunit, dapat mong tanggapin, kung tinanong ko kung gaano karaming beses dapat na i-multiply ng dalawa ang sarili nito upang makakuha, sabihin, sasabihin mo sa akin: Hindi ko lokohin ang aking sarili at magpaparami sa aking sarili hanggang sa asul ang mukha. At siya ay magiging ganap na tama. Kasi paano ka naman isulat ang lahat ng mga aksyon nang maikli (at ang pagiging maikli ay kapatid na babae ng talento)

kung saan - ito ang napaka "Oras"kapag nagparami ka sa sarili mo.

Sa palagay ko alam mo (at kung hindi mo alam, agaran, napaka agarang ulitin ang mga degree!) Iyon ang aking problema ay isusulat sa form:

Saan ka makakagawa ng isang ganap na makatarungang konklusyon na:

Kaya, hindi nahahalata, isinulat ko ang pinakasimpleng exponential equation:

At natagpuan pa siya ugat ... Hindi mo ba naisip na ang lahat ay ganap na walang halaga? Kaya't sa tingin ko eksaktong pareho. Narito ang isa pang halimbawa para sa iyo:

Ngunit ano ang dapat gawin? Hindi mo ito maaaring isulat bilang isang lakas ng isang (makatwirang) numero. Huwag tayong mawalan ng pag-asa at tandaan na ang pareho ng mga numerong ito ay perpektong ipinahayag sa mga tuntunin ng lakas ng parehong numero. Alin? Kanan:. Pagkatapos ang orihinal na equation ay binago sa form:

Kung saan, tulad ng naintindihan mo na ,. Huwag na nating hilahin pa at magsulat kahulugan:

Sa aming kaso sa iyo:

Ang mga equation na ito ay nalulutas sa pamamagitan ng pagbawas sa mga ito sa form:

kasama ang kasunod na solusyon ng equation

Sa katunayan, ginawa namin ito sa nakaraang halimbawa: nakuha namin iyon. At nalutas namin ang pinakasimpleng equation sa iyo.

Wala namang kumplikado, di ba? Sanayin muna natin ang pinakasimpleng mga. mga halimbawa:

Muli naming nakita na ang kanan at kaliwang panig ng equation ay kailangang mawakol bilang isang lakas ng isang numero. Totoo, nagawa na ito sa kaliwa, ngunit sa kanan ay may isang numero. Ngunit, okay lang, dahil ang aking equation ay himalang magbabago sa ito:

Ano ang kailangan kong gamitin dito? Ano ang patakaran? Degree to Degree Rulena mabasa:

Paano kung:

Bago sagutin ang katanungang ito, punan muna natin ang sumusunod na plato:

Hindi mahirap para sa atin na mapansin na mas kaunti, mas mababa ang halaga, ngunit gayunpaman, ang lahat ng mga halagang ito ay mas malaki kaysa sa zero. AT ITO PALAGI MAGIGING !!! Ang parehong pag-aari ay totoo PARA SA ANUMANG BASE SA ANUMANG INDICATOR !! (para sa anuman at). Kung gayon ano ang maaari nating tapusin tungkol sa equation? Ngunit ano: ito walang ugat! Tulad ng walang mga ugat, at anumang equation. Ngayon ay magsanay tayo at malutas natin ang mga simpleng halimbawa:

Suriin natin:

1. Walang hinihiling sa iyo dito maliban sa kaalaman sa mga katangian ng mga degree (na, sa pamamagitan ng paraan, hiniling ko sa iyo na ulitin!) Bilang isang patakaran, ang lahat ay humahantong sa pinakamaliit na dahilan:,. Pagkatapos ang orihinal na equation ay katumbas ng mga sumusunod: Ang kailangan ko lang ay ang paggamit ng mga katangian ng mga degree: kapag nagpaparami ng mga numero na may parehong mga base, ang mga kapangyarihan ay idinagdag, at kapag naghahati, sila ay binabawas. Pagkatapos ay nakukuha ko: Buweno, ngayon, na may isang malinis na budhi, lilipat ako mula sa isang exponential equation patungo sa isang linear: \\ start (align)
& 2x + 1 + 2 (x + 2) -3x \u003d 5 \\\\
& 2x + 1 + 2x + 4-3x \u003d 5 \\\\
& x \u003d 0. \\\\
\\ end (align)

2. Sa pangalawang halimbawa, kailangan mong maging mas maingat: ang problema ay sa kaliwang bahagi hindi namin ito maipapakita bilang isang lakas ng parehong numero. Sa kasong ito, kapaki-pakinabang ito minsan kumakatawan sa mga bilang bilang isang produkto ng mga degree na may iba't ibang mga base, ngunit ang parehong mga tagapagpahiwatig:

Ang kaliwang bahagi ng equation ay magiging hitsura: Ano ang ibinigay sa amin? Narito kung ano: Mga numero na may iba't ibang mga base, ngunit ang parehong mga tagapagpahiwatig ay maaaring maparami.Sa kasong ito, ang mga base ay dumami, at ang tagapagpahiwatig ay hindi nagbabago:

Nalalapat sa aking sitwasyon, magbibigay ito:

\\ simulan (ihanay)
& 4 \\ cdot ((64) ^ (x)) ((25) ^ (x)) \u003d 6400, \\\\
& 4 \\ cdot (((64 \\ cdot 25)) ^ (x)) \u003d 6400, \\\\
& ((1600) ^ (x)) \u003d \\ frac (6400) (4), \\\\
& ((1600) ^ (x)) \u003d 1600, \\\\
& x \u003d 1. \\\\
\\ end (align)

Hindi masama, di ba

3. Hindi ko gusto ito kapag, hindi kinakailangan, sa isang gilid ng equation mayroong dalawang mga termino, at sa kabilang banda - wala (minsan, syempre, ito ay nabibigyang katwiran, ngunit hindi ito ang kaso ngayon). Ilipat ang minus term sa kanan:

Ngayon, tulad ng dati, isusulat ko ang lahat sa mga tuntunin ng kapangyarihan ng tatlo:

Idagdag ko ang mga kapangyarihan sa kaliwa at makuha ang katumbas na equation

Madali mong mahahanap ang ugat nito:

4. Tulad ng halimbawa ng tatlo, ang term na may minus ay isang lugar sa kanang bahagi!

Sa kaliwa, halos lahat ako ayos, maliban sa ano? Oo, ang "maling degree" sa deuce ay nakakaabala sa akin. Ngunit madali ko itong maaayos sa pamamagitan ng pagsulat:. Eureka - sa kaliwa, lahat ng mga base ay magkakaiba, ngunit ang lahat ng mga degree ay pareho! Paramihin nang madalian!

Dito muli, ang lahat ay malinaw: (kung hindi mo naintindihan kung paano ko nakuha ang huling pagkakapantay-pantay, magpahinga ng isang minuto, magpahinga at basahin muli nang mabuti ang mga katangian ng degree. Sino ang nagsabi na maaari mong laktawan ang isang degree na may isang negatibong tagapagtaguyod? Buweno, narito ako halos pareho na walang sinuman). Ngayon makukuha ko:

\\ simulan (ihanay)
& ((2) ^ (4 \\ kaliwa ((x) -9 \\ kanan))) \u003d ((2) ^ (- 1)) \\\\
& 4 ((x) -9) \u003d - 1 \\\\
& x \u003d \\ frac (35) (4). \\\\
\\ end (align)

Narito ang mga gawain para sa pagsasanay, kung saan bibigyan ko lamang ang mga sagot (ngunit sa isang "halo-halong" form). Gupitin ang mga ito, suriin ang mga ito, at ikaw at ako ay magpapatuloy sa aming pagsasaliksik!

Handa ka na ba? Mga sagot tulad ng mga ito:

1. kahit anong numero

Okay, okay, nagbibiro ako! Narito ang isang balangkas ng mga solusyon (ang ilan ay masyadong maikli!)

Hindi mo ba naiisip na hindi nagkataon na ang isang maliit na bahagi sa kaliwa ay isang "baligtad" na iba pa? Ito ay isang kasalanan na hindi ito samantalahin:

Ang panuntunang ito ay madalas na ginagamit kapag nilulutas ang mga exponential equation, alalahanin itong mabuti!

Pagkatapos ang orihinal na equation ay magiging ganito:

Sa pamamagitan ng paglutas ng quadratic equation na ito, nakukuha mo ang mga sumusunod na ugat:

2. Isa pang solusyon: paghati sa magkabilang panig ng equation ng ekspresyon sa kaliwa (o kanan). Hinahati ko ang nasa kanan, pagkatapos ay nakukuha ko:

Saan (bakit?!)

3. Ayoko namang ulitin ang aking sarili, lahat ay "chewed up" na ng sobra.

4. pantay sa isang quadratic equation, mga ugat

5. Kailangan mong gamitin ang pormula na ibinigay sa unang problema, pagkatapos makukuha mo iyon:

Ang equation ay naging isang maliit na pagkakakilanlan, na totoo para sa anumang. Pagkatapos ang sagot ay anumang tunay na numero.

Kaya, kaya nagsanay ka sa paglutas ang pinakasimpleng exponential equation. Ngayon nais kong bigyan ka ng ilang mga halimbawa ng buhay na makakatulong sa iyo na maunawaan kung bakit sila kinakailangan sa prinsipyo. Narito ang dalawang halimbawa. Ang isa sa mga ito ay araw-araw, ngunit ang isa ay mas malamang na maging pang-agham kaysa sa praktikal na interes.

Halimbawa 1 (mercantile) Ipagpalagay na mayroon kang mga rubles, at nais mong gawing rubles ito. Inaalok ka ng bangko na kunin ang perang ito mula sa iyo sa isang taunang rate ng interes na may buwanang malaking titik ng interes (buwanang akrual). Ang tanong ay, ilang buwan mo kailangan magbukas ng deposito upang makolekta ang kinakailangang panghuling halaga? Napakaliit na gawain, hindi ba? Gayunpaman, ang solusyon nito ay naiugnay sa pagbuo ng kaukulang equation na exponential: Hayaan - ang paunang halaga, - ang pangwakas na halaga, - ang rate ng interes para sa panahon, - ang bilang ng mga panahon. Pagkatapos:

Sa aming kaso (kung ang rate ay bawat taon, pagkatapos ay sisingilin ito bawat buwan). Bakit ito nahahati sa? Kung hindi mo alam ang sagot sa katanungang ito, tandaan ang paksang ""! Pagkatapos makuha namin ang sumusunod na equation:

Ang exponential equation na ito ay malulutas lamang sa tulong ng isang calculator (ang hitsura nito ay nagpapahiwatig dito, at nangangailangan ito ng kaalaman sa mga logarithm, na makikilala natin nang kaunti mamaya), na gagawin ko: ... Kaya, upang makakuha ng isang milyon, kailangan nating gumawa ng isang kontribusyon sa loob ng isang buwan (hindi masyadong mabilis, hindi ba?).

Halimbawa 2 (sa pang-agham). Sa kabila ng kanyang, ilang "paghihiwalay", inirerekumenda kong bigyang-pansin mo siya: regular siyang "nadulas sa pagsusulit !! (ang problema ay kinuha mula sa "totoong" bersyon) Sa panahon ng pagkabulok ng isang radioactive isotope, ang masa nito ay bumababa ayon sa batas, kung saan ang (mg) ay ang paunang masa ng isotope, (min.) ang oras na lumipas mula paunang sandali, (min.) ay ang kalahating buhay. Sa paunang sandali ng oras, ang dami ng isotope ay mg. Ang kalahating buhay nito ay min. Sa ilang minuto ay magiging katumbas ng mg ang masa ng isotope? Okay lang: kukuha lang kami at palitan ang lahat ng data sa pormula na iminungkahi sa amin:

Hatiin ang parehong bahagi sa, "sa pag-asa" na sa kaliwa nakakakuha tayo ng isang bagay na natutunaw:

Kaya, napakaswerte natin! Nakatayo ito sa kaliwa, pagkatapos ay bumaling kami sa katumbas na equation:

Nasaan ang min.

Tulad ng nakikita mo, ang mga exponential equation ay may tunay na aplikasyon sa pagsasanay. Ngayon nais kong pag-usapan sa iyo ang isa pang (simpleng) paraan ng paglutas ng mga exponential equation, na batay sa pagkuha ng karaniwang kadahilanan mula sa panaklong, na sinusundan ng pagpapangkat ng mga term. Huwag matakot sa aking mga salita, napag-alaman mo ang pamamaraang ito sa ika-7 baitang, nang pinag-aralan mo ang mga polynomial. Halimbawa, kung kailangan mong i-factor ang expression:

Pangkatin natin ito: ang una at pangatlong termino, pati na rin ang pangalawa at pang-apat. Malinaw na ang una at pangatlo ay ang pagkakaiba ng mga parisukat:

at ang pangalawa at pang-apat ay may isang karaniwang kadahilanan ng tatlo:

Pagkatapos ang orihinal na ekspresyon ay katumbas nito:

Kung saan alisin ang karaniwang kadahilanan ay hindi na mahirap:

Dahil dito,

Ito ay humigit-kumulang kung paano tayo kikilos kapag nalulutas ang mga equation na exponential: hanapin ang "pagkakapareho" sa mga termino at ilagay ito sa labas ng mga braket, kung gayon - ano ang mangyari, naniniwala ako na tayo ay mapalad \u003d)) Halimbawa

Sa kanan ay malayo mula sa lakas na pitong (sinuri ko!) At sa kaliwa - medyo mas mahusay, maaari mong, syempre, "putulin" ang salik mula sa pangalawa, at pagkatapos ay harapin ang resulta, ngunit gawin itong mas matino sa iyo. Ayokong makitungo sa mga praksiyon, na hindi maiwasang magmula sa "pagpili," kaya't hindi ba mas makabubuting magtiis ako? Pagkatapos hindi ako magkakaroon ng mga praksyon: tulad ng sinasabi nila, ang mga lobo ay pinakain at ang mga tupa ay ligtas:

Bilangin ang expression sa panaklong. Sa isang mahiwagang, mahiwagang paraan, lumalabas na (nakakagulat, kahit na ano pa ang maaari nating asahan?).

Pagkatapos ay kinansela namin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng salik na ito. Nakukuha namin :, mula saan.

Narito ang isang mas kumplikadong halimbawa (medyo, talaga):

Ang gulo! Wala kaming isang karaniwang batayan dito! Hindi lubos na malinaw kung ano ang gagawin ngayon. Gawin natin ang kaya natin: una, ilipat natin ang "apat" sa isang gilid, at ang "limang" sa kabilang panig:

Ngayon ilipat natin ang "karaniwang" sa kaliwa at kanan:

Kaya ano ngayon? Ano ang pakinabang ng isang bobo na grupo? Sa unang tingin, hindi ito nakikita, ngunit tingnan natin nang mas malalim:

Kaya, ngayon gawin natin ito upang sa kaliwa mayroon lamang tayong ekspresyon na kasama, at sa kanan - lahat ng iba pa. Paano natin ito magagawa? At narito kung paano: Hatiin muna ang magkabilang panig ng equation ng (sa ganitong paraan natatanggal natin ang degree sa kanan), at pagkatapos ay hatiin ang magkabilang panig (sa ganitong paraan ay natatanggal namin ang numerong kadahilanan sa kaliwa). Nakuha namin sa wakas:

Hindi kapani-paniwala! Sa kaliwa mayroon kaming isang expression, at sa kanan ay mayroon kaming isang simple. Pagkatapos agad naming tapusin iyon

Narito ang isa pang halimbawa para sa iyo upang pagsamahin:

Ibibigay ko ang kanyang maikling solusyon (hindi masyadong nakakaabala sa mga paliwanag), subukang alamin ang lahat ng mga "subtleties" ng solusyon mismo.

Ngayon ang pangwakas na pagsasama-sama ng naipasa na materyal. Subukan mong malutas ang mga sumusunod na problema sa iyong sarili. Magbibigay lamang ako ng mga maikling rekomendasyon at tip para malutas ang mga ito:

1. Alisin natin ang karaniwang kadahilanan sa labas ng mga braket:
2. Kinakatawan namin ang unang expression sa form :, hatiin ang parehong bahagi sa at makuha iyon
3. , pagkatapos ang orihinal na equation ay binago sa form: Sa ngayon, isang pahiwatig - tingnan kung saan mo at ako ay nalutas na ang equation na ito!
4. Isipin kung paano, paano, at, well, pagkatapos hatiin ang parehong mga bahagi sa pamamagitan ng, upang makuha mo ang pinakasimpleng equonential equation.
5. Ilabas ang mga braket.
6. Ilabas ang mga braket.

MGA KAHULUGAN NG PAGLALAHAD. AVERAGE LEVEL

Ipinapalagay ko na pagkatapos basahin ang unang artikulo, na nagsabi ano ang mga exponential equation at kung paano ito malulutas, pinagkadalubhasaan mo ang kinakailangang minimum na kaalaman na kinakailangan upang malutas ang pinakasimpleng mga halimbawa.

Ngayon ay susuriin ko ang isa pang pamamaraan para sa paglutas ng mga exponential equation, ito ay

"Paraan ng pagpapakilala ng isang bagong variable" (o kapalit). Nalulutas niya ang karamihan sa mga "mahirap" na problema sa paksang exponential equation (at hindi lamang mga equation). Ang pamamaraang ito ay isa sa pinakamadalas na ginagamit sa pagsasanay. Una inirerekumenda ko na pamilyar ka sa paksa.

Tulad ng naintindihan mo na mula sa pangalan, ang kakanyahan ng pamamaraang ito ay upang ipakilala ang tulad ng isang pagbabago ng variable na ang iyong exponential equation ay himalang magbabago sa isa na madali mong malulutas. Ang natitira lamang sa iyo pagkatapos malutas ang napaka-pinasimple na equation na ito ay upang gumawa ng isang "reverse replacement": iyon ay, upang bumalik mula sa pinalitan sa pinalitan. Ilarawan natin kung ano ang sinabi natin sa isang napaka-simpleng halimbawa:

Halimbawa 1:

Ang equation na ito ay nalulutas gamit ang "simpleng pagpapalit," tulad ng masusungit na tawag dito sa mga matematiko. Sa katunayan, ang kapalit ay ang pinaka halata dito. Kailangan lamang makita iyon

Pagkatapos ang orihinal na equation ay magiging ito:

Kung karagdagang ipinakita namin kung paano, kung gayon malinaw na malinaw kung ano ang kailangang mapalitan: syempre ,. Ano kaya ang magiging orihinal na equation? At narito kung ano:

Madali mong mahahanap ang mga ugat nito sa iyong sarili:. Ano ang dapat nating gawin ngayon? Panahon na upang bumalik sa orihinal na variable. Ano ang nakalimutan kong ipahiwatig? Pangalan: kapag pinapalitan ang isang tiyak na degree sa isang bagong variable (iyon ay, kapag binabago ang isang view), magiging interesado ako positibo lamang ang mga ugat! Ikaw mismo ang madaling sumagot kung bakit. Sa gayon, ikaw at ako ay hindi interesado, ngunit ang pangalawang ugat ay angkop para sa amin:

Tapos saan.

Sagot:

Tulad ng nakikita mo, sa nakaraang halimbawa, ang kapalit ay humihiling para sa aming mga kamay. Sa kasamaang palad, hindi ito palaging ang kaso. Gayunpaman, huwag tayong dumiretso sa malungkot, ngunit magsanay sa isa pang halimbawa na may isang simpleng kapalit

Halimbawa 2.

Ito ay malinaw na malamang na kinakailangan na palitan (ito ang pinakamaliit sa mga degree na kasama sa aming equation), gayunpaman, bago ipakilala ang kapalit, ang aming equation ay dapat na "handa" para dito, lalo na:,. Pagkatapos ay maaari mong palitan, bilang isang resulta nakuha ko ang sumusunod na expression:

Oh horror: isang cubic equation na may ganap na katakut-takot na mga formula para sa solusyon nito (mabuti, pagsasalita sa pangkalahatang mga termino). Ngunit huwag agad tayo mawalan ng pag-asa, ngunit isipin kung ano ang gagawin. Ipapanukala kong mandaraya: alam natin na upang makakuha ng isang "magandang" sagot, kailangan nating makuha ito sa anyo ng ilang kapangyarihan ng isang triple (bakit ganun, eh?). Subukan nating hulaan ang hindi bababa sa isang ugat ng aming equation (sisimulan ko ang paghula sa mga kapangyarihan ng tatlo).

Unang palagay. Hindi ito ugat. Naku at ah ...

.
Ang kaliwang bahagi ay pantay.
Tamang bahagi:!
Meron! Nahulaan mo ang unang ugat. Ngayon ang mga bagay ay magiging mas madali!

Alam mo ba ang tungkol sa scheme ng "sulok" na dibisyon? Siyempre alam mong ginagamit mo ito kapag hinati mo ang isang numero sa isa pa. Ngunit ilang tao ang nakakaalam na ang parehong maaaring magawa sa mga polynomial. Mayroong isang mahusay na teorya:

Naaangkop sa aking sitwasyon, sinasabi nito sa akin kung ano ang mahahati sa. Paano isinasagawa ang paghahati? Ganun:

Tinitingnan ko kung aling monomial ang kailangan kong i-multiply upang malinaw na makuha ito, pagkatapos:

Ibawas ang nagresultang ekspresyon mula sa, kumuha ng:

Ngayon ano ang kailangan kong magparami upang makuha? Ito ay malinaw na sa, pagkatapos ay makakakuha ako ng:

at muling ibawas ang nagresultang ekspresyon mula sa natitirang isa:

Sa gayon, ang huling hakbang, magpaparami ako, at magbawas mula sa natitirang expression:

Hurray, tapos na ang paghati! Ano ang naiipon natin nang pribado? Sa pamamagitan ng sarili:.

Pagkatapos nakuha namin ang sumusunod na agnas ng orihinal na polynomial:

Solusyunan natin ang pangalawang equation:

Ito ay may mga ugat:

Pagkatapos ang orihinal na equation:

ay may tatlong mga ugat:

Siyempre, itatapon namin ang huling ugat, dahil mas mababa ito sa zero. At ang unang dalawa pagkatapos ng reverse replacement ay magbibigay sa amin ng dalawang mga ugat:

Sagot: ..

Hindi ko nais na takutin ka sa halimbawang ito, ngunit sa halip ang aking hangarin ay ipakita na bagaman mayroon kaming isang simpleng simpleng kapalit, gayunpaman humantong sa isang medyo kumplikadong equation, ang solusyon kung saan nangangailangan ng ilang mga espesyal na kasanayan mula sa amin. Sa gayon, walang immune mula dito. Ngunit ang kapalit sa kasong ito ay medyo halata.

Narito ang isang halimbawa na may isang bahagyang hindi gaanong halata na kapalit:

Hindi malinaw sa kung ano ang dapat nating gawin: ang problema ay sa aming equation mayroong dalawang magkakaibang mga base at isang base ay hindi maaaring makuha mula sa iba pa sa pamamagitan ng pagtaas sa anumang (makatwirang, natural) na degree. Gayunpaman, ano ang nakikita natin? Ang parehong mga base ay naiiba lamang sa pag-sign, at ang kanilang produkto ay ang pagkakaiba ng mga parisukat na katumbas ng isa:

Kahulugan:

Kaya, ang mga bilang na mga base sa aming halimbawa ay conjugate.

Sa kasong ito, magiging isang matalinong paglipat i-multiply ang magkabilang panig ng equation ng conjugate number.

Halimbawa, sa, pagkatapos ang kaliwang bahagi ng equation ay magiging pantay, at ang kanang bahagi. Kung gumawa kami ng isang kahalili, kung gayon ang aming orihinal na equation ay magiging ganito:

ang mga ugat nito, kung gayon, at naaalala iyon, nakukuha natin iyon.

Sagot:,.

Bilang isang patakaran, ang kapalit na pamamaraan ay sapat upang malutas ang karamihan ng "eskuwelahan" na exponential equation. Ang mga sumusunod na gawain ay kinuha mula sa pagsusulit C1 (advanced na antas ng kahirapan). May sapat na kakayahan ka upang malayang malutas ang mga halimbawang ito. Ibibigay ko lang ang kinakailangang kapalit.

1. Lutasin ang equation:
2. Hanapin ang mga ugat ng equation:
3. Malutas ang equation: Hanapin ang lahat ng mga ugat ng equation na ito na kabilang sa segment:

At ngayon isang maikling paliwanag at sagot:

1. Narito sapat na upang tandaan natin iyon at. Pagkatapos ang orihinal na equation ay katumbas ng isang ito: Ang equation na ito ay nalulutas sa pamamagitan ng pagpapalit ng Karagdagang mga kalkulasyon gawin ito sa iyong sarili. Sa huli, ang iyong gawain ay mababawasan sa paglutas ng pinakasimpleng trigonometric (depende sa sine o cosine). Susuriin namin ang solusyon ng mga nasabing halimbawa sa iba pang mga seksyon.
2. Dito maaari mo ring gawin nang walang kapalit: ilipat lamang ang ibawas sa kanan at kumatawan sa parehong mga base sa pamamagitan ng kapangyarihan ng dalawa :, at pagkatapos ay direktang pumunta sa quadratic equation.
3. Ang pangatlong equation ay nalulutas din sa isang medyo pamantayan na paraan: isipin natin kung paano. Pagkatapos ay pinapalitan nakakakuha kami ng isang quadratic equation: pagkatapos,

   Alam mo na ba kung ano ang isang logarithm? Hindi naman Pagkatapos basahin ang paksa nang mapilit!

   Ang unang ugat ay malinaw na hindi kabilang sa segment at ang pangalawa ay hindi maintindihan! Ngunit malalaman natin ito sa lalong madaling panahon! Mula noon, (ito ay pag-aari ng logarithm!) Ihambing:

   Ibawas mula sa parehong bahagi, pagkatapos ay makakakuha kami ng:

   Ang kaliwang bahagi ay maaaring kinatawan bilang:

   pinarami namin ang parehong bahagi sa pamamagitan ng:

   maaaring maparami ng, kung gayon

   Pagkatapos ihambing natin:

   simula noon:

   Pagkatapos ang pangalawang ugat ay kabilang sa kinakailangang agwat

   Sagot:

Tulad ng nakikita mo, ang pagpili ng mga ugat ng exponential equation ay nangangailangan ng isang sapat na malalim na kaalaman sa mga katangian ng logarithmskaya pinapayuhan ko kayong maging maingat hangga't maaari kapag nilulutas ang mga exponential equation. Tulad ng naiisip mo, sa matematika, lahat ay magkakaugnay! Tulad ng sinabi ng aking guro sa matematika dati: "ang matematika, tulad ng kasaysayan, hindi ka makakabasa ng magdamag."

Bilang panuntunan, lahat ang kahirapan sa paglutas ng mga problema C1 ay tiyak ang pagpili ng mga ugat ng equation. Magsanay tayo sa isa pang halimbawa:

Ito ay malinaw na ang equation mismo ay medyo simple upang malutas. Sa pamamagitan ng paggawa ng pagpapalit, babawasan namin ang aming orihinal na equation sa mga sumusunod:

Una, tingnan natin ang unang ugat. Paghambingin at: mula nang, pagkatapos. (pag-aari ng pag-andar ng logarithmic, sa). Pagkatapos ito ay malinaw na ang unang ugat ay hindi kabilang sa aming agwat alinman. Ngayon ang pangalawang ugat: Ito ay malinaw na (dahil ang pag-andar sa ay tumataas). Ito ay nananatiling ihambing at.

dahil, pagkatapos, sa parehong oras. Sa ganitong paraan ay maaari kong "magmaneho ng isang peg" sa pagitan ng at. Ang peg na ito ay isang numero. Ang unang ekspresyon ay mas maliit at ang pangalawa ay mas malaki. Pagkatapos ang pangalawang ekspresyon ay mas malaki kaysa sa una at ang ugat ay kabilang sa agwat.

Sagot:

Upang balutin, tingnan natin ang isa pang halimbawa ng isang equation kung saan ang pamalit ay medyo hindi pamantayan:

Magsimula tayo kaagad sa kung ano ang maaari mong gawin, at kung ano - sa prinsipyo, maaari mo, ngunit mas mabuti na huwag itong gawin. Maaari mong - kumatawan sa lahat sa pamamagitan ng kapangyarihan ng tatlo, dalawa at anim. Saan ito hahantong? Oo, hindi ito hahantong sa anumang: isang hodgepodge ng mga degree, at ang ilan ay medyo mahirap na mapupuksa. At pagkatapos ano ang kailangan? Pansinin natin iyan At ano ang ibibigay nito sa atin? At ang katotohanan na maaari nating bawasan ang solusyon ng halimbawang ito sa solusyon ng isang simpleng simpleng equonential equation! Una, muling isulat natin ang aming equation bilang:

Hinahati namin ngayon ang magkabilang panig ng nagresultang equation sa pamamagitan ng:

Eureka! Ngayon ay maaari nating palitan, makakakuha tayo ng:

Kaya, ngayon ay iyong panahon na upang malutas ang mga problema sa pagpapakita, at bibigyan ko lamang ng mga maikling puna sa kanila upang hindi ka maligaw! Good luck!

1. Ang pinakamahirap! Hindi madaling makahanap ng kapalit dito! Ngunit gayunpaman, ang halimbawang ito ay maaaring ganap na malulutas gamit ang pagpili ng isang buong parisukat... Upang malutas ito, sapat na tandaan na:

Pagkatapos narito ang isang kapalit para sa iyo:

(Mangyaring tandaan na dito, sa panahon ng aming kapalit, hindi namin mahuhulog ang negatibong ugat !!! At bakit sa palagay mo?)

Ngayon, upang malutas ang halimbawa, kailangan mong malutas ang dalawang mga equation:

Pareho sa kanila ay nalulutas ng "karaniwang pamalit" (ngunit ang pangalawa sa isang halimbawa!)

2. Tandaan na at gumawa ng kapalit.

3. Nabulok ang numero sa mga kadahilanan ng coprime at gawing simple ang nagresultang pagpapahayag.

4. Hatiin ang numerator at denominator ng maliit na bahagi ng (o, kung nais mo) at palitan o.

5. Tandaan na ang mga numero at ay conjugate.

EKSPORATIBONG EQUATIONS. ADVANCED LEVEL

Bilang karagdagan, isaalang-alang natin ang isa pang paraan - solusyon ng mga exponential equation ng pamamaraan ng logarithm... Hindi ko masasabi na ang solusyon ng mga exponential equation ng pamamaraang ito ay napakapopular, ngunit sa ilang mga kaso lamang ito ay magagawang humantong sa amin sa tamang solusyon ng aming equation. Lalo na ito ay madalas na ginagamit upang malutas ang tinaguriang " magkahalong mga equation": Iyon ay, ang mga kung saan nagtagpo ang mga pagpapaandar ng iba't ibang uri.

Halimbawa, isang equation ng form:

sa pangkalahatang kaso, malulutas lamang ito sa pamamagitan ng pagkuha ng logarithm ng magkabilang panig (halimbawa, sa pamamagitan ng base), kung saan ang orihinal na equation ay nagiging mga sumusunod:

Isaalang-alang natin ang sumusunod na halimbawa:

Malinaw na ayon sa ODZ ng logarithmic function, interesado lamang kami. Gayunpaman, sumusunod ito hindi lamang mula sa ODZ ng logarithm, ngunit para sa isa pang kadahilanan. Sa palagay ko hindi ito magiging mahirap para sa iyo na hulaan kung alin.

I-log natin ang magkabilang panig ng aming equation sa base:

Tulad ng nakikita mo, ang pagkuha ng logarithm ng aming orihinal na equation mabilis na humantong sa amin sa tamang (at maganda!) Sagot. Magsanay tayo sa isa pang halimbawa:

Dito rin, walang mali: i-logarithm natin ang magkabilang panig ng equation ng base, pagkatapos makuha natin:

Gumawa tayo ng kapalit:

Gayunpaman, may nawawala kami! Napansin mo ba kung saan ako nagkamali? Pagkatapos ng lahat, pagkatapos:

na hindi nasiyahan ang kinakailangan (isipin kung saan ito nanggaling!)

Sagot:

Subukan ang iyong sarili na isulat ang solusyon ng mga exponential equation sa ibaba:

Suriin ngayon ang iyong desisyon laban dito:

1. Logarithm magkabilang panig sa base, isinasaalang-alang na:

(ang pangalawang ugat ay hindi angkop sa amin dahil sa kapalit)

2. Nag-logarithm kami sa base:

Baguhin natin ang nagresultang ekspresyon sa sumusunod na form:

MAHALANGANG KAGAMITAN. Maikling Paglalarawan AT BATAYANG FORMULAS

Exponential equation

Equation ng form:

tinawag ang pinakasimpleng equonential equation.

Mga katangian ng kuryente

Lumalapit ang solusyon

• Pagpipilit sa parehong base
• Ang pag-convert sa parehong exponent
• Kapalit na variable
• Pagpapasimple ng pagpapahayag at aplikasyon ng isa sa nabanggit.

Ano ang isang exponential equation? Mga halimbawa.

Kaya, isang exponential equation ... Isang bagong natatanging eksibit sa aming karaniwang eksibisyon ng iba't ibang mga equation!) Tulad ng halos palaging nangyayari, ang pangunahing salita ng anumang bagong term na matematika ay ang kaukulang adjective na naglalarawan dito. Kaya't narito na. Ang pangunahing salita sa term na "exponential equation" ay ang salita "Nagpapahiwatig"... Ano ang ibig sabihin nito Ang salitang ito ay nangangahulugang ang hindi kilalang (x) ay sa mga tuntunin ng anumang degree. At doon lang! Napakahalaga nito.

Halimbawa, tulad ng simpleng mga equation:

3 x +1 \u003d 81

5 x + 5 x +2 \u003d 130

4 2 2 x -17 2 x +4 \u003d 0

O kahit na mga halimaw na tulad nito:

2 kasalanan x \u003d 0.5

Hinihiling ko sa iyo na agad na magbayad ng pansin sa isang mahalagang bagay: sa bakuran degree (ilalim) - numero lang... Ngunit sa tagapagpahiwatig degree (itaas) - isang iba't ibang mga expression na may x. Ganap na anumang.) Ang lahat ay nakasalalay sa tiyak na equation. Kung, biglang, x lilitaw sa equation sa ibang lugar, bilang karagdagan sa tagapagpahiwatig (sabihin, 3 x \u003d 18 + x 2), kung gayon ang naturang equation ay magiging isang equation halo-halong uri... Ang mga nasabing equation ay walang malinaw na mga patakaran para sa paglutas. Samakatuwid, hindi namin ito isasaalang-alang sa araling ito. Sa tuwa ng mga mag-aaral.) Dito isasaalang-alang lamang namin ang mga exponential equation sa isang "puro" form.

Sa pangkalahatan, kahit na ang mga purong exponential equation ay malayo sa malulutas nang malinaw at hindi palagi. Ngunit sa lahat ng mayamang pagkakaiba-iba ng mga exponential equation, mayroong ilang mga uri na maaari at dapat lutasin. Ito ang mga uri ng mga equation na isasaalang-alang namin. At tiyak na malulutas natin ang mga halimbawa.) Kaya't komportable kami at - off kami! Tulad ng sa mga shooters ng computer, ang aming paglalakbay ay magaganap sa pamamagitan ng mga antas.) Mula sa elementarya hanggang simple, mula sa simple hanggang sa gitna at mula sa gitna hanggang sa mahirap. Sa paraan, makakakita ka rin ng isang lihim na antas - mga diskarte at pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pamantayang halimbawa. Iyon na hindi mo mababasa tungkol sa karamihan sa mga aklat-aralin sa paaralan ... Buweno, sa huli, syempre, mayroong isang pangwakas na boss sa anyo ng takdang-aralin.)

Antas 0. Ano ang pinakasimpleng equonential equation? Solusyon ng pinakasimpleng mga equation na exponential.

Upang magsimula, isaalang-alang ang ilang mga lantad na bagay sa elementarya. Kailangan mong magsimula sa kung saan, di ba? Halimbawa, isang equation na tulad nito:

2 x \u003d 2 2

Kahit na walang anumang mga teorya, malinaw sa pamamagitan ng simpleng lohika at sentido komun na x \u003d 2. Walang ibang paraan, tama ba? Walang ibang kahulugan ng x ang magagawa ... Ngayon ay ibaling natin ang ating pansin talaan ng desisyon ang cool na exponential equation na ito:

2 x \u003d 2 2

X \u003d 2

Anong nangyari samin? At nangyari ang sumusunod. Kami, sa katunayan, kumuha at ... nagtapon lamang ng parehong mga base (deuces)! Tinapon ng tuluyan. At, kung ano ang nakalulugod, pindutin ang mata ng toro!

Oo, sa katunayan, kung naglalaman ang exponential equation sa kaliwa at kanan parehomga numero sa anumang kapangyarihan, kung gayon ang mga numerong ito ay maaaring itapon at pahambing lamang ang mga exponents. Nalulutas ng Matematika.) At pagkatapos ay maaari kang gumana nang hiwalay sa mga tagapagpahiwatig at malutas ang isang mas simpleng equation. Mahusay, hindi ba?

Ito ang pangunahing ideya ng paglutas ng anumang (oo, alinman!) Exponential equation: gamit ang magkaparehong mga pagbabago, kinakailangan upang matiyak na ang kaliwa at kanan sa equation ay pareho mga base number sa iba't ibang degree. At pagkatapos ay maaari mong ligtas na alisin ang parehong mga base at ihambing ang mga tagapagpahiwatig ng degree. At magtrabaho kasama ang isang mas simpleng equation.

At ngayon naaalala namin ang panuntunang bakal: posible na alisin ang magkaparehong mga base kung at kung lamang sa equation sa kaliwa at kanan ng mga base number ay sa mayabang na kalungkutan.

Ano ang ibig sabihin nito, sa magagandang paghihiwalay? Nangangahulugan ito, nang walang anumang mga kapit-bahay at mga koepisyent. Hayaan mo akong magpaliwanag.

Halimbawa, sa equation

3 3 x-5 \u003d 3 2 x +1

Hindi mo matatanggal ang triplets! Bakit? Sapagkat sa kaliwa wala lamang kaming nag-iisa na tatlong degree, ngunit komposisyon 3 3 x-5. Ang sobrang tatlo ay nakakagambala: ang koepisyent, alam mo.)

Maaaring sabihin ang pareho tungkol sa equation

5 3 x \u003d 5 2 x +5 x

Dito rin, lahat ng mga base ay pareho - lima. Ngunit sa kanan wala kaming nag-iisang degree na lima: mayroong ang kabuuan ng mga degree!

Sa madaling salita, may karapatan kaming alisin ang parehong mga base lamang kapag ang aming exponential equation ay ganito at sa ganitong paraan lamang:

a f ( x) = isang g ( x)

Ang ganitong uri ng exponential equation ay tinatawag ang pinakasimpleng... O, siyentipiko, canonical ... At kung anuman ang baluktot na equation na nasa harap namin, kami, isang paraan o iba pa, ay babawasan ito sa napaka-simpleng (canonical) form na ito. O, sa ilang mga kaso, upang ang pinagsama mga equation ng ganitong uri. Kung gayon ang aming pinakasimpleng equation ay maaaring muling isulat sa pangkalahatang form na tulad nito:

F (x) \u003d g (x)

At yun lang. Ito ang magiging katumbas na conversion. Sa kasong ito, maaaring gamitin ang ganap na anumang mga expression na may x bilang f (x) at g (x). Anumang bagay.

Marahil ay magtanong ang isang partikular na matanong na mag-aaral: bakit sa lupa ay madali at simpleng tinatapon natin ang parehong mga base sa kaliwa at kanan at pinapantay ang mga tagapagpahiwatig ng degree? Intuwisyon sa pamamagitan ng intuwisyon, ngunit biglang, sa ilang mga equation at para sa ilang kadahilanan, ang diskarte na ito ay naging mali? Palaging ligal na magtapon ng parehong mga batayan? Sa kasamaang palad, para sa isang mahigpit na sagot sa matematika sa kagiliw-giliw na tanong na ito, kailangang sumobso nang malalim at seryoso sa pangkalahatang teorya ng istraktura at pag-uugali ng mga pagpapaandar. At medyo mas tiyak - sa isang kababalaghan mahigpit na monotony. Sa partikular, ang mahigpit na monotonicity exponential functiony= isang x... Dahil ito ang exponential function at mga katangian nito na pinagbabatayan ng solusyon ng exponential equation, oo.) Ang isang detalyadong sagot sa katanungang ito ay ibibigay sa isang hiwalay na espesyal na aralin na nakatuon sa paglutas ng mga kumplikadong di-pamantayan na mga equation gamit ang monotonicity ng iba't ibang mga pag-andar.)

Ang paliwanag sa sandaling ito nang detalyado ngayon ay upang ilabas lamang ang utak ng average na schoolboy at takutin siya ng maaga sa isang tuyo at mabibigat na teorya. Hindi ko ito gagawin.) Para sa aming pangunahing gawain sa ngayon ay malaman upang malutas ang mga exponential equation! Ang pinaka, ang pinakasimpleng! Samakatuwid - hanggang sa kumuha kami ng isang steam bath at matapang na itapon ang parehong mga base. ito maaari, dalhin ang aking salita para dito!) At pagkatapos ay malulutas namin ang katumbas na equation f (x) \u003d g (x). Karaniwan mas simple kaysa sa orihinal na nagpapakilala.

Ipinapalagay, siyempre, na hindi bababa sa mga tao ay maaaring malutas ang mga equation, na wala nang x sa mga tagapagpahiwatig, sa ngayon.) Sino ang hindi pa alam kung paano - huwag mag-atubiling isara ang pahinang ito, sundin ang mga kaukulang link at punan ang lumang mga puwang. Kung hindi man, mahihirapan ka, oo ...

Nanahimik na ako tungkol sa hindi makatuwiran, trigonometric at iba pang mga brutal na equation, na maaari ring lumitaw sa proseso ng pag-aalis ng mga bakuran. Ngunit huwag mag-alala, hindi namin isasaalang-alang ang isang tuwirang lata sa mga tuntunin ng degree: masyadong maaga. Magsasanay lamang kami sa pinakasimpleng mga equation.)

Ngayon tingnan natin ang mga equation na nangangailangan ng ilang labis na pagsisikap upang mabawasan ang mga ito sa pinakasimpleng mga. Upang makilala ang mga ito, tawagan natin sila simpleng mga equation na exponential... Kaya't lumipat tayo sa susunod na antas!

Antas 1. Mga simpleng equation na exponential. Kinikilala namin ang mga degree! Mga natural na tagapagpahiwatig.

Ang mga pangunahing alituntunin sa paglutas ng anumang mga equation na exponential ay panuntunan sa kapangyarihan... Kung wala ang kaalamang ito at kasanayan, walang gagana. Naku. Kaya, kung sa mga antas ng problema, una kang malugod. Bilang karagdagan, kakailanganin namin ng higit pa. Ang mga pagbabagong ito (kasing dami ng dalawa!) Ay ang batayan para sa paglutas ng lahat ng mga equation ng matematika sa pangkalahatan. At hindi lamang nagpapahiwatig. Kaya, na nakalimutan, maglakad din sa link: Hindi ko lang sila inilagay.

Ngunit ang mga aksyon na may degree at magkaparehong mga pagbabago lamang ay hindi sapat. Kailangan mo rin ng personal na pagmamasid at talino ng talino. Kailangan natin ang parehong dahilan, hindi ba? Kaya't sinusuri namin ang halimbawa at hahanapin ang mga ito sa isang malinaw o nakakubli na form!

Halimbawa, isang equation na tulad nito:

3 2 x - 27 x +2 \u003d 0

Una tingnan mga pundasyon... Sila ay magkaiba! Tatlo at dalawampu't pito. Ngunit maaga pa upang magpanic at mawalan ng pag-asa. Oras na upang alalahanin iyon

27 = 3 3

Ang Mga Numero 3 at 27 ay mga kamag-anak sa degree! At mga malapit.) Samakatuwid, mayroon kaming karapatang magsulat:

27 x +2 \u003d (3 3) x + 2

At ngayon ikinonekta namin ang aming kaalaman tungkol sa mga aksyon na may degree (at binalaan ko!). Mayroong isang napaka kapaki-pakinabang na formula doon:

(a m) n \u003d a mn

Kung sinimulan mo ito ngayon, pagkatapos sa pangkalahatan ito ay magiging mahusay:

27 x +2 \u003d (3 3) x + 2 \u003d 3 3 (x +2)

Ang orihinal na halimbawa ngayon ay ganito:

3 2 x - 3 3 (x +2) \u003d 0

Mahusay, ang mga ilalim ng mga degree ay na-level out. Alin ang gusto namin. Natapos ang kalahati ng labanan.) At ngayon inilulunsad namin ang pangunahing pagbabago ng pagkakakilanlan - ilipat ang 3 3 (x +2) sa kanan. Walang nakansela ang mga pagkilos sa elementarya ng matematika, oo.) Nakukuha namin:

3 2 x \u003d 3 3 (x +2)

Ano ang ibinibigay sa atin ng ganitong uri ng equation? At ang katotohanan na ngayon ang aming equation ay nabawasan sa canonical form: sa kaliwa at kanan ay ang parehong numero (triplets) sa mga kapangyarihan. Bukod dito, ang parehong mga triplet ay nasa magagandang paghihiwalay. Huwag mag-atubiling alisin ang triplets at makakuha ng:

2x \u003d 3 (x + 2)

Nalulutas namin ito at nakukuha:

X \u003d -6

Iyon lang ang mayroon dito. Ito ang tamang sagot.)

At ngayon naiintindihan namin ang kurso ng desisyon. Ano ang nagligtas sa atin sa halimbawang ito? Kami ay nai-save ng kaalaman ng mga degree ng tatlo. Paano eksakto kami naman nakilala kabilang sa 27 naka-encrypt na tatlo! Ang trick na ito (pag-encrypt ng parehong base sa ilalim ng iba't ibang mga numero) ay isa sa pinakatanyag sa mga exponential equation! Kung hindi ang pinakatanyag. At sa parehong paraan, sa pamamagitan ng paraan. Iyon ang dahilan kung bakit ang pagmamasid at ang kakayahang makilala ang mga kapangyarihan ng iba pang mga numero sa mga exponential equation ay napakahalaga sa mga exponential equation!

Praktikal na payo:

Kailangan mong malaman ang mga degree ng mga tanyag na numero. Sa mukha!

Siyempre, lahat ay maaaring itaas ang dalawa hanggang ikapitong o tatlo hanggang ikalima. Wala sa isip ko, kaya kahit papaano sa isang draft. Ngunit sa mga exponential equation, mas madalas na kinakailangan na huwag itaas sa isang kapangyarihan, ngunit sa kabaligtaran - upang malaman kung aling numero at kung hanggang saan nakatago sa likod ng isang numero, sabihin nating 128 o 243. At ito ay mas kumplikado kaysa sa isang simpleng konstruksyon, dapat kang sumang-ayon. Pakiramdam ang pagkakaiba, tulad ng sinasabi nila!

Dahil ang kakayahang makilala ang mga degree sa mukha ay madaling magamit hindi lamang sa antas na ito, kundi pati na rin sa sumusunod, narito ang isang maliit na gawain para sa iyo:

Tukuyin kung anong mga kapangyarihan at kung anong mga numero ang mga numero:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Mga Sagot (sapalaran, natural):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Oo Oo! Huwag magulat na maraming mga sagot kaysa sa mga gawain. Halimbawa, ang 2 8, 4 4 at 16 2 ay pawang 256.

Antas 2. Mga simpleng equation na exponential. Kinikilala namin ang mga degree! Negatibong at praksyonal na tagapagpahiwatig.

Sa antas na ito, ginagamit na namin ang aming kaalaman sa mga degree sa buo. Namely, nagsasangkot kami ng mga negatibong at praksyonal na tagapagpahiwatig sa kamangha-manghang proseso na ito! Oo Oo! Kailangan nating buuin ang lakas, tama ba?

Halimbawa, ang nakakatakot na equation na ito:

Muli, ang unang tingin - sa mga pundasyon. Ang mga bakuran ay naiiba! At sa oras na ito, kahit na malayo magkakaiba sa bawat isa! 5 at 0.04 ... At upang matanggal ang mga batayan, kailangan mo ng pareho ... Ano ang dapat gawin?

Walang mali! Sa katunayan, ang lahat ay pareho, ang koneksyon lamang sa pagitan ng lima at 0.04 ay hindi gaanong nakikita. Paano tayo makakalabas? At magpatuloy tayo sa bilang na 0.04 sa karaniwang praksyon! At doon, kita mo, lahat ay mabubuo.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Wow! Ito ay lumabas na 0.04 ay 1/25! Kaya, sino ang mag-iisip!)

Kamusta naman Mas madaling makita ang ugnayan sa pagitan ng 5 at 1/25 ngayon? Ayan yun ...

At ngayon, ayon sa mga patakaran ng aksyon na may mga kapangyarihan na may negatibong tagapagpahiwatigmaaari kang sumulat gamit ang isang matibay na kamay:

Magaling yan Kaya nakarating kami sa parehong base - limang. Ngayon pinalitan namin ang hindi maginhawang numero na 0.04 sa equation na may 5 -2 at nakukuha namin:

Muli, alinsunod sa mga patakaran para sa pagharap sa mga kapangyarihan, maaari ka na ngayong sumulat:

(5 -2) x -1 \u003d 5 -2 (x -1)

Kung sakali, ipaalala ko sa iyo (biglang, sino ang hindi nakakaalam) na ang pangunahing mga patakaran ng mga aksyon na may degree ay wasto para sa kahit ano tagapagpahiwatig! Kasama para sa mga negatibong.) Kaya't maaari nating ligtas na kunin at i-multiply ang mga tagapagpahiwatig (-2) at (x-1) alinsunod sa naaangkop na patakaran. Ang aming equation ay patuloy na nagiging mas mahusay at mas mahusay:

Lahat! Bukod sa malungkot na limang sa degree sa kaliwa at kanan, wala nang iba. Ang equation ay nabawasan sa canonical form. At pagkatapos - kasama ang knurled track. Inaalis namin ang lima at ipinapantay ang mga tagapagpahiwatig:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Halos malulutas ang halimbawa. Ang elementarya sa elementarya na elementarya ng mga panggitnang klase ay nananatili - binubuksan namin (kanan!) Ang mga braket at kinokolekta ang lahat sa kaliwa:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Malulutas namin ito at makakuha ng dalawang mga ugat:

x 1 = 1; x 2 = 3

Yun lang.)

Ngayon isipin natin ulit. Sa halimbawang ito, kinailangan naming kilalanin ang parehong numero sa iba't ibang degree! Namely - upang makita ang naka-encrypt na lima sa bilang na 0.04. At sa oras na ito - sa negatibong degree!Paano natin ito nagawa? Sa paglipat - wala. Ngunit pagkatapos ng paglipat mula sa isang decimal maliit na bahagi ng 0.04 sa isang ordinaryong maliit na 1/25, ang lahat ay nai-highlight! At pagkatapos ang buong desisyon ay naging tulad ng relos ng orasan.)

Samakatuwid, isa pang berdeng praktikal na payo.

Kung ang mga decimal fractions ay naroroon sa exponential equation, pagkatapos ay pupunta kami mula sa decimal fractions hanggang sa mga ordinaryong. Mas madaling makilala ang mga kapangyarihan ng maraming tanyag na mga numero sa mga praksyon! Pagkatapos ng pagkilala, ipinapasa namin mula sa mga praksyon sa mga kapangyarihan na may mga negatibong exponent.

Tandaan na ang naturang trick sa exponential equation ay nangyayari nang napakadalas! At ang tao ay wala sa paksa. Tumingin siya, halimbawa, sa mga numero 32 at 0.125 at nababagabag. Hindi niya nalalaman, ito ay isa at parehong deuce, sa iba't ibang degree lamang ... Ngunit nasa paksa ka na!)

Lutasin ang equation:

Sa! Mukha itong isang tahimik na katatakutan ... Gayunpaman, ang mga hitsura ay mapanlinlang. Ito ang pinakasimpleng exponential equation, sa kabila ng pananakot nito sa hitsura. At ngayon ipapakita ko sa iyo ito.)

Una, makitungo kami sa lahat ng mga bilang na nakaupo sa mga base at sa mga coefficients. Ang mga ito, syempre, magkakaiba, oo. Ngunit kinukuha pa rin namin ang panganib at subukang gawin ang mga ito pareho! Subukan nating makarating ang parehong numero sa iba't ibang mga degree... At, mas mabuti, ang bilang ng pinakamaliit na posible. Kaya, magsimula tayong mag-decrypting!

Sa gayon, sa isang apat, ang lahat ay malinaw nang sabay-sabay - ito ay 2 2. Kaya, mayroon na.)

Sa isang maliit na bahagi ng 0.25 - hindi pa ito malinaw. Kinakailangan upang suriin. Gumagamit kami ng isang praktikal na payo - ipinapasa namin mula sa decimal fraction hanggang sa isang ordinaryong:

0,25 = 25/100 = 1/4

Mas mabuti. Sa ngayon malinaw na nakikita na ang 1/4 ay 2 -2. Mahusay, at ang bilang na 0.25 ay katulad din sa dalawa.)

Sa ngayon napakahusay. Ngunit ang pinakamasamang bilang ng lahat ay nananatili - square root ng dalawa! At ano ang gagawin sa paminta na ito? Maaari ba rin itong kumatawan bilang isang kapangyarihan ng dalawa? At sino ang nakakaalam ...

Sa gayon, sa sandaling muli ay umakyat kami sa aming tipiganan ng kaalaman tungkol sa mga degree! Sa pagkakataong ito ay idinagdag naming ikonekta ang aming kaalaman tungkol sa mga ugat... Mula sa kurso sa ika-9 na baitang, ikaw at ako ay dapat may natutunan na ang anumang ugat, kung ninanais, ay laging maaaring gawing isang degree na may isang tagapagpahiwatig na praksyonal.

Ganito:

Sa kaso natin:

Paano! Ito ay lumabas na ang parisukat na ugat ng dalawa ay 2 1/2. Ayan yun!

Ayos lang yan! Ang lahat ng aming mga hindi maginhawang numero ay naging isang naka-encrypt na dalawa.) Hindi ako nagtatalo, sa isang lugar na napaka-sopistikadong naka-encrypt. Ngunit kami din, ay nagpapabuti ng aming propesyonalismo sa paglutas ng mga naturang cipher! At pagkatapos ay halata na ang lahat. Pinalitan namin sa aming equation ang mga numero 4, 0.25 at ang ugat ng dalawa ng mga kapangyarihan ng dalawa:

Lahat! Ang mga base ng lahat ng degree sa halimbawa ay naging pareho - dalawa. At ngayon ang mga karaniwang pagkilos na may kapangyarihan ay ginagamit:

isang misang n = isang m + n

isang m: a n \u003d isang m-n

(a m) n \u003d a mn

Para sa kaliwang bahagi, makakakuha ka ng:

2 -2 (2 2) 5 x -16 \u003d 2 -2 + 2 (5 x -16)

Para sa kanang bahagi ay magiging:

At ngayon ang aming masamang equation ay ganito:

Sino ang hindi maunawaan nang eksakto kung paano nagmula ang equation na ito, kung gayon ang tanong ay hindi tungkol sa mga exponential equation. Ang tanong ay tungkol sa mga aksyon na may degree. Hiniling ko sa iyo na agaran itong ulitin sa mga may problema!

Narito ang pag-abot sa bahay! Ang canonical form ng exponential equation ay nakuha! Kamusta naman Nakumbinsi ba kita na ang lahat ay hindi gaanong nakakatakot? ;) Inaalis namin ang mga deuces at pinantay ang mga tagapagpahiwatig:

Ang natira lamang ay upang malutas ang linear equation na ito. Paano? Sa tulong ng magkaparehong mga pagbabago, malinaw naman.) Gawin ito, ano ang mayroon na! I-multiply ang parehong bahagi ng dalawa (upang alisin ang maliit na bahagi 3/2), ilipat ang mga term na may x sa kaliwa, nang walang x sa kanan, magdala ng mga katulad, bilangin - at magiging masaya ka!

Ang lahat ay dapat na maging maganda:

X \u003d 4

At ngayon muli naming naiintindihan ang kurso ng desisyon. Sa halimbawang ito, tinulungan kami ng paglipat mula sa square root sa degree na may exponent 1/2... Bukod dito, tulad lamang ng isang tuso na pagbabago ang tumulong sa amin kahit saan upang maabot ang parehong base (dalawa), na naka-save ang sitwasyon! At, kung hindi dahil dito, magkakaroon tayo ng bawat pagkakataon na mag-freeze magpakailanman at hindi makaya ang halimbawang ito, oo ...

Samakatuwid, hindi namin pinapabayaan ang isa pang praktikal na payo:

Kung ang exponential equation ay naglalaman ng mga ugat, pagkatapos ay pumasa kami mula sa mga ugat patungo sa mga kapangyarihan na may mga exponent na praksyonal. Kadalasan, ang nasabing pagbabago lamang ang naglilinaw sa karagdagang sitwasyon.

Siyempre, ang mga negatibo at praksyonal na degree ay mas kumplikado kaysa sa natural na degree. Hindi bababa sa mula sa pananaw ng visual na pang-unawa at, lalo na, pagkilala mula kanan hanggang kaliwa!

Malinaw na ang direktang pagtaas, halimbawa, dalawa sa -3 na kapangyarihan o apat sa -3/2 na lakas ay hindi ganoong kalaking problema. Para sa mga nakakaalam.)

Ngunit pumunta, halimbawa, alamin kaagad iyan

0,125 = 2 -3

O kaya naman

Narito lamang ang pagsasanay at mayamang panuntunan sa karanasan, oo. At, syempre, isang malinaw na ideya, ano ang negatibo at praksyonal na degree. At praktikal ding payo! Oo, oo, ang mga iyon berde .) Inaasahan ko na makakatulong pa rin sila sa iyo na mas mahusay na mag-navigate sa lahat ng mga iba't ibang mga antas ng motley at makabuluhang taasan ang iyong mga pagkakataon ng tagumpay! Kaya't huwag silang pabayaan. Hindi para sa wala na sinusulat ko sa berde kung minsan.)

Ngunit kung pamilyar ka kahit sa mga kakaibang degree bilang negatibo at praksyonal, kung gayon ang iyong mga posibilidad sa paglutas ng mga exponential equation ay lalawak nang labis, at makakaya mo na ang halos anumang uri ng mga exponential equation. Kaya, kung wala, pagkatapos ay 80 porsyento ng lahat ng mga exponential equation - sigurado! Oo, hindi ako nagbibiro!

Kaya, ang aming unang bahagi ng pag-alam ng exponential equation ay dumating sa lohikal na konklusyon nito. At, bilang isang intermediate na pag-eehersisyo, ayon sa kaugalian ay iminumungkahi kong gumawa ng kaunti sa iyong sarili.)

Ehersisyo 1.

Upang ang aking mga salita tungkol sa pagtukoy ng mga negatibo at praksyonal na degree ay hindi walang kabuluhan, iminumungkahi kong maglaro ng isang maliit na laro!

Isipin ang mga bilang bilang isang lakas ng dalawa:

Mga Sagot (sa pagkakagulo):

Nangyari? Ayos! Pagkatapos ay gumawa kami ng isang misyon sa pagpapamuok - nilulutas namin ang pinakasimpleng at pinakasimpleng mga equation na exponential!

Gawain 2.

Malutas ang mga equation (lahat ng mga sagot ay nagkagulo!):

5 2x-8 \u003d 25

2 5x-4 - 16 x + 3 \u003d 0

Mga sagot:

x \u003d 16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

Nangyari? Sa katunayan, mas madali ito!

Pagkatapos ay malulutas namin ang sumusunod na laro:

(2 x +4) x -3 \u003d 0.5 x 4 x -4

35 1-x \u003d 0.2 - x 7 x

Mga sagot:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

At ang mga halimbawang ito ay isang natitira? Ayos! Lumalaki ka! Pagkatapos narito ang ilan pang mga halimbawa para sa isang meryenda:

Mga sagot:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

At napagpasyahan na? Kaya, respeto! Hats off.) Nangangahulugan ito na ang leksyon ay hindi walang kabuluhan, at ang paunang antas ng paglutas ng mga exponential equation ay maaaring maituring na matagumpay na pinagkadalubhasaan. Higit pang mga antas at mas mapaghamong mga equation ang nasa unahan! At mga bagong diskarte at diskarte. At hindi karaniwang mga halimbawa. At mga bagong sorpresa.) Ang lahat ng ito ay nasa susunod na aralin!

May nagkamali ba? Nangangahulugan ito, malamang, mga problema sa. O sa. O pareho nang sabay. Narito ako ay walang lakas. Maaari akong muling mag-alok ng isang bagay lamang - hindi maging tamad at maglakad sa mga link.)

Itutuloy.)

Solusyon ng mga equation na exponential. Mga halimbawa.

Pansin
May karagdagang
mga materyal sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga napaka "hindi masyadong ..."
At para sa mga "napaka-pantay ...")

Ano exponential equation? Ito ay isang equation kung saan naroon ang mga hindi alam (x) at mga expression na kasama nila tagapagpahiwatig ilang degree. At doon lang! Ito ay mahalaga.

Nandyan ka lang pala mga halimbawa ng exponential equation:

3 x 2 x \u003d 8 x + 3

Tandaan! Sa mga base ng degree (sa ibaba) - numero lang... SA tagapagpahiwatig degree (sa itaas) - isang iba't ibang mga expression na may x. Kung, biglang, x lilitaw sa equation sa ibang lugar maliban sa isang tagapagpahiwatig, halimbawa:

ito ay magiging isang halo-halong uri ng equation. Ang mga nasabing equation ay walang malinaw na mga patakaran para sa paglutas. Hindi pa namin isasaalang-alang ang mga ito. Dito natin haharapin sa pamamagitan ng paglutas ng mga exponential equation sa pinakadalisay na anyo nito.

Sa katunayan, kahit na ang mga purong exponential equation ay hindi laging malinaw na malulutas. Ngunit may ilang mga uri ng mga exponential equation na maaari at dapat lutasin. Isasaalang-alang namin ang mga ganitong uri.

Solusyon ng pinakasimpleng mga equation na exponential.

Magsimula tayo sa isang bagay na napaka-basic. Halimbawa:

Kahit na walang anumang mga teorya, malinaw mula sa isang simpleng pagpipilian na x \u003d 2. Wala na, di ba!? Walang iba pang mga x value roll. Tingnan natin ang solusyon sa tuso na equonential exponential na ito:

Ano'ng nagawa natin? Kami, sa katunayan, ay nagtapon lamang ng parehong mga base (tatlo). Tinapon ng tuluyan. At, kung ano ang nakalulugod, pindutin ang marka!

Sa katunayan, kung naglalaman ang exponential equation sa kaliwa at kanan pareho mga numero sa anumang mga kapangyarihan, ang mga numerong ito ay maaaring alisin at ang mga exponents ay napantay. Pinapayagan ng Matematika. Nananatili ito upang malutas ang isang mas simpleng equation. Mahusay, hindi ba?)

Gayunpaman, tandaan natin itong ironically: maaari mong alisin ang mga base lamang kapag ang mga base na numero sa kaliwa at kanan ay nasa magagandang paghihiwalay! Nang walang anumang mga kapit-bahay at coefficients. Sabihin natin sa mga equation:

2 x +2 x + 1 \u003d 2 3, o

hindi maalis ang mga deuces!

Sa gayon, pinagkadalubhasaan namin ang pinakamahalagang bagay. Paano pumunta mula sa masasamang exponential expression hanggang sa mas simpleng mga equation.

"Ito ang mga oras!" - sabi mo. "Sino ang magbibigay ng ganoong primitive sa mga pagsubok at pagsusulit!?"

Kailangan kong pumayag. Walang magbibigay. Ngunit alam mo na kung saan magtutuon kapag naglulutas ng nakalilito na mga halimbawa. Kinakailangan na dalhin ito sa form kapag ang parehong base number ay nasa kaliwa - sa kanan. Kung gayon ang lahat ay magiging mas madali. Sa totoo lang, ito ang mga classics ng matematika. Kinukuha namin ang orihinal na halimbawa at binago ito sa nais. tayo isip. Sa pamamagitan ng mga patakaran ng matematika, syempre.

Tingnan natin ang mga halimbawa na nangangailangan ng labis na pagsisikap upang maibaba ang mga ito sa pinakasimpleng. Tawagin natin sila simpleng mga equation na exponential.

Paglutas ng mga simpleng equation na exponential. Mga halimbawa.

Kapag nalulutas ang mga exponential equation, ang pangunahing mga patakaran ay - mga aksyon na may degree. Nang walang kaalaman sa mga pagkilos na ito, walang gagana.

Ang personal na pagmamasid at talino ng talino ay dapat idagdag sa mga aksyon na may degree. Kailangan ba namin ang parehong mga base number? Kaya hinahanap namin ang mga ito sa halimbawa sa malinaw o naka-encrypt na form.

Tingnan natin kung paano ito ginagawa sa pagsasanay?

Bigyan tayo ng isang halimbawa:

2 2x - 8x + 1 \u003d 0

Ang unang masiglang sulyap ay sa bakuran Sila ... Magkakaiba sila! Dalawa at walo. Ngunit masyadong maaga upang makapanghina ng loob. Oras na upang alalahanin iyon

Dalawa at walong mga kamag-anak sa degree.) Posibleng magsulat:

8 x + 1 \u003d (2 3) x + 1

Kung naalala mo ang formula mula sa mga aksyon na may kapangyarihan:

(a n) m \u003d isang nm,

sa pangkalahatan ito ay naging mahusay:

8 x + 1 \u003d (2 3) x + 1 \u003d 2 3 (x + 1)

Ang orihinal na halimbawa ngayon ay ganito:

2 2x - 2 3 (x + 1) \u003d 0

Naglilipat kami 2 3 (x + 1) sa kanan (walang nakansela ang mga pagkilos sa elementarya ng matematika!), nakukuha namin ang:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Halos lahat iyon. Inaalis namin ang mga base:

Malulutas namin ang halimaw na ito at makuha

Ito ang tamang sagot.

Sa halimbawang ito, nakatulong sa amin ang pag-alam sa kapangyarihan ng dalawa. kami naman nakilala sa walong ay isang naka-encrypt na dalawa. Ang diskarteng ito (pag-encrypt ng mga karaniwang base sa ilalim ng iba't ibang mga numero) ay isang napaka-tanyag na pamamaraan sa mga exponential equation! At sa logarithms din. Dapat kilalanin ng isa sa mga numero ang mga kapangyarihan ng iba pang mga numero. Napakahalaga nito para sa paglutas ng mga equation na exponential.

Ang katotohanan ay ang pagtaas ng anumang bilang sa anumang kapangyarihan ay hindi isang problema. I-multiply, kahit na sa isang piraso ng papel, at iyon lang. Halimbawa, ang bawat isa ay maaaring itaas ang 3 sa ikalimang kapangyarihan. Gagana ang 243 kung alam mo ang talahanayan ng pagpaparami.) Ngunit sa mga exponential equation mas madalas na kinakailangan na hindi itaas ang isang kapangyarihan, ngunit sa kabaligtaran ... anong numero sa anong degree ay nakatago sa likod ng bilang 243, o, sabihin, 343 ... Walang calculator ang makakatulong sa iyo dito.

Kailangan mong malaman ang mga kapangyarihan ng ilang mga numero sa pamamagitan ng paningin, oo ... Magsanay tayo?

Tukuyin kung anong mga kapangyarihan at kung anong mga numero ang mga numero:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Mga Sagot (sa pagkakagulo, natural!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Kung titingnan mo nang mabuti, maaari mong makita ang isang kakaibang katotohanan. Mayroong makabuluhang mas maraming mga sagot kaysa sa mga gawain! Kaya, nangyayari ito ... Halimbawa, 2 6, 4 3, 8 2 lahat ay 64.

Ipagpalagay na nakuha mo ang tala ng impormasyon tungkol sa pamilyar sa mga numero.) Hayaan mo akong ipaalala sa iyo na upang malutas ang mga equation na exponential, ginagamit namin ang kabuuan stock ng kaalaman sa matematika. Kabilang ang mga mula sa junior-middle na klase. Hindi ka nag-high school kaagad di ba?)

Halimbawa, kapag nilulutas ang mga exponential equation, madalas na nakakatulong na mailagay ang karaniwang kadahilanan sa labas ng mga braket (hello, ika-7 baitang!). Tingnan natin ang isang halimbawa:

3 2x + 4 -11 9 x \u003d 210

At muli, sa unang tingin - sa mga pundasyon! Ang mga base ng degree ay magkakaiba ... Tatlo at siyam. At nais naming maging pareho sila. Kaya, sa kasong ito, ang pagnanasa ay magagawa!) Sapagkat:

9 x \u003d (3 2) x \u003d 3 2x

Sumusunod sa parehong mga patakaran para sa pagharap sa mga degree:

3 2x + 4 \u003d 3 2x 3 4

Mabuti iyon, maaari kang sumulat:

3 2x 3 4 - 11 3 2x \u003d 210

Pinangunahan namin ang halimbawa sa parehong mga batayan. Kaya, ano ang susunod !? Tatlo ay hindi dapat itapon ... Dead end?

Hindi talaga. Naaalala ang pinaka maraming nalalaman at malakas na panuntunan sa desisyon sa lahat mga gawain sa matematika:

Kung hindi mo alam kung ano ang kailangan, gawin ang makakaya mo!

Tingin mo, mabubuo ang lahat).

Ano ang nasa exponential equation na ito maaari gagawin? Oo, sa kaliwang bahagi direkta itong humihingi ng panaklong! Ang karaniwang kadahilanan ng 3 2x ay malinaw na nagpapahiwatig dito. Subukan natin, at pagkatapos ay makikita natin:

3 2x (3 4 - 11) \u003d 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Ang halimbawa ay patuloy na nagiging mas mahusay at mas mahusay!

Tandaan na upang matanggal ang mga batayan, kailangan namin ng isang purong degree, nang walang anumang mga coefficients. Humahadlang sa atin ang numerong 70. Kaya't hinati namin ang magkabilang panig ng equation ng 70, nakukuha namin ang:

Naku! Umayos ang lahat!

Ito ang pangwakas na sagot.

Gayunpaman, nangyayari na ang pag-taxi sa parehong lugar ay nakuha, ngunit hindi posible ang kanilang pag-aalis. Nangyayari ito sa mga exponential equation ng ibang uri. Master natin ang ganitong uri.

Pagbabago ng variable sa paglutas ng mga equation na exponential. Mga halimbawa.

Solusyunan natin ang equation:

4 x - 3 2 x +2 \u003d 0

Una, tulad ng dati. Ang paglipat sa isang base. Sa dyoso.

4 x \u003d (2 2) x \u003d 2 2x

Nakukuha namin ang equation:

2 2x - 3 2 x +2 \u003d 0

At dito tayo mag-freeze. Ang mga nakaraang trick ay hindi gagana, gaano man cool. Kailangan nating makalabas sa arsenal ng isa pang malakas at maraming nalalaman na paraan. Ito ay tinatawag na variable na kapalit.

Ang kakanyahan ng pamamaraan ay nakakagulat na simple. Sa halip na isang kumplikadong icon (sa aming kaso, 2 x), nagsusulat kami ng isa pa, mas simple (halimbawa, t). Ang nasabing isang tila walang katuturang kapalit ay humahantong sa kamangha-manghang mga resulta!) Ito lamang ay naging malinaw at naiintindihan ang lahat!

Kaya't hayaan mo

Pagkatapos 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Palitan ang lahat ng mga kapangyarihan ng x sa aming equation na may t:

Well, ito ay sumisikat?) Nakalimutan mo na ba ang mga quadratic equation? Malulutas namin sa pamamagitan ng diskriminasyon, nakukuha namin ang:

Dito, ang pangunahing bagay ay hindi hihinto, dahil nangyayari ... Hindi pa ito ang sagot, kailangan natin ng x, hindi t. Bumabalik kami sa Xs, ibig sabihin gumagawa kami ng kapalit na pagbabalik. Una para sa t 1:

Yan ay,

Natagpuan ang isang ugat. Hinahanap namin ang pangalawa, mula sa t 2:

Um ... Kaliwa 2 x, tamang 1 ... Isang problema? Hindi talaga! Ito ay sapat na upang matandaan (mula sa mga aksyon na may kapangyarihan, oo ...) na ang isa ay kahit ano numero sa zero degree. Sinuman. Ihahatid namin ang kailangan. Kailangan natin ng isang deuce. Ibig sabihin:

Ngayon na lang yun. Nakakuha kami ng 2 mga ugat:

Ito ang sagot

Kailan paglutas ng mga exponential equation minsan nauuwi tayo sa isang mahirap na ekspresyon. Uri:

Mula sa pito, dalawa sa pamamagitan ng pangunahing kapangyarihan ay hindi gagana. Hindi sila kamag-anak ... Paano maging dito? Maaaring malito ang isang tao ... Ngunit ang taong nagbasa sa site na ito ng paksang "Ano ang isang logarithm?" , tipid lamang ang mga ngiti at isusulat gamit ang isang matibay na kamay ang ganap na wastong sagot:

Maaaring walang ganitong sagot sa mga gawaing "B" sa pagsusulit. Doon, kinakailangan ng isang tukoy na numero. Ngunit sa mga gawaing "C" - madali.

Ang araling ito ay nagbibigay ng mga halimbawa ng paglutas ng pinakakaraniwang mga equation na exponential. I-highlight natin ang pangunahing bagay.

Praktikal na payo:

1. Una sa lahat, tinitingnan namin mga pundasyon degrees. Isinasaalang-alang namin kung posible na gawin ang mga ito pareho. Sinusubukan naming gawin ito sa pamamagitan ng aktibong paggamit mga aksyon na may degree. Huwag kalimutan na ang mga numero nang walang x ay maaari ding mai-convert sa mga kapangyarihan!

2. Sinusubukan naming bawasan ang exponential equation sa form kapag ang kaliwa at kanan ay pareho mga numero sa anumang degree. Gumagamit kami mga aksyon na may degree at pagbibigay-factor.Ano ang mabibilang sa mga numero - binibilang namin.

3. Kung hindi gumana ang pangalawang tip, susubukan naming mag-apply ng variable na kahalili. Ang resulta ay isang equation na madaling malulutas. Kadalasan ito ay parisukat. O praksyonal, na binabawasan din hanggang parisukat.

4. Upang matagumpay na malutas ang mga exponential equation, kailangan mong malaman ang mga kapangyarihan ng ilang mga numero na "sa pamamagitan ng paningin".

Tulad ng dati, sa pagtatapos ng aralin hinilingan ka na magpasya nang kaunti.) Mag-isa. Mula simple hanggang kumplikado.

Malutas ang mga exponential equation:

Mas mahirap:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x \u003d 9

2 x - 2 0.5x + 1 - 8 \u003d 0

Hanapin ang produkto ng mga ugat:

2 3-x + 2 x \u003d 9

Nangyari?

Kaya, pagkatapos ay ang pinaka-kumplikadong halimbawa (nalutas, gayunpaman, sa isip ...):

7 0.13x + 13 0.7x + 1 + 2 0.5x + 1 \u003d -3

Ano pa ang nakakainteres? Pagkatapos narito ang isang hindi magandang halimbawa para sa iyo. Medyo iginuhit sa nadagdagan na kahirapan. Ipapahiwatig ko na sa halimbawang ito, ang talino sa paglikha at ang pinaka unibersal na panuntunan para sa paglutas ng lahat ng mga problema sa matematika na i-save.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 \u003d 720 x

Ang isang halimbawa ay mas simple, para sa pahinga):

9 2 x - 4 3 x \u003d 0

At para sa panghimagas. Hanapin ang kabuuan ng mga ugat ng equation:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 \u003d 0

Oo Oo! Ito ay isang halo-halong equation! Na hindi namin isinaalang-alang sa araling ito. At na dapat silang isaalang-alang, dapat silang malutas!) Ang araling ito ay sapat na para sa paglutas ng equation. Sa gayon, kailangan ng matalino ... At nawa'y tulungan ka ng ikapitong baitang (ito ay isang pahiwatig!).

Mga Sagot (sa pagkakagulo, hiwalay na semicolon):

isa; 2; 3; apat; walang solusyon; 2; -2; -lima; apat; 0

Ayos lang ba ang lahat? Ayos lang

May problema? Walang problema! Sa Espesyal na Seksyon 555, lahat ng mga exponential equation na ito ay nalulutas ng detalyadong mga paliwanag. Ano, bakit, at bakit. At, syempre, mayroong karagdagang mahalagang impormasyon sa pagtatrabaho sa lahat ng mga uri ng exponential equation. Hindi lamang ang mga ito.)

Isang huling nakakatawang tanong na isasaalang-alang. Sa tutorial na ito, nagtrabaho kami kasama ang mga equation na exponential. Bakit hindi ako nag salita tungkol sa ODZ dito? Sa mga equation, ito ay isang napakahalagang bagay, by the way ...

Kung gusto mo ang site na ito ...

Sa pamamagitan ng paraan, mayroon akong ilang higit pang mga kagiliw-giliw na mga site para sa iyo.)

Maaari mong sanayin ang paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok sa instant na pagpapatunay. Pag-aaral - may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga pag-andar at derivatives.