Online na calculator.
Pagpili ng isang parisukat ng isang binomial at pag-factor ng isang square trinomial.

Yung. ang mga problema ay nabawasan sa paghahanap ng mga numero \\ (p, q \\) at \\ (n, m \\)

Ang programa ay hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ngunit nagpapakita rin ng proseso ng solusyon.

Ang program na ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang para sa mga nakatatandang mag-aaral ng mga paaralang sekondarya bilang paghahanda para sa mga pagsubok at pagsusulit, kapag nagsuri ng kaalaman bago ang pagsusulit, para makontrol ng mga magulang ang solusyon ng maraming mga problema sa matematika at algebra. O baka napakamahal para sa iyo upang kumuha ng isang tutor o bumili ng mga bagong aklat? O nais mo lamang matapos ang iyong homework sa matematika o algebra nang mabilis hangga't maaari? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa sa isang detalyadong solusyon.

Sa ganitong paraan, maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagtuturo at / o pagtuturo ng iyong mga nakababatang kapatid, habang ang antas ng edukasyon sa larangan ng mga problemang nalulutas ay tumataas.

Kung hindi ka pamilyar sa mga patakaran para sa pagpasok ng isang square trinomial, inirerekumenda namin na pamilyar ka sa kanila.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng isang square polynomial

Ang anumang liham na Latin ay maaaring magamit bilang isang variable.
Halimbawa: \\ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \\) atbp.

Ang mga numero ay maaaring mailagay bilang buo o praksyonal na numero.
Bukod dito, ang mga numero ng praksyonal ay maaaring ipasok hindi lamang sa anyo ng isang decimal, kundi pati na rin sa anyo ng isang ordinaryong maliit na bahagi.

Mga panuntunan sa pagpasok ng mga praksyon ng decimal.
Sa decimal fractions, ang praksyonal na bahagi mula sa kabuuan ay maaaring paghiwalayin ng alinman sa isang punto o isang kuwit.
Halimbawa, maaari kang magpasok ng mga decimal na katulad nito: 2.5x - 3.5x ^ 2

Mga panuntunan sa pagpasok ng mga ordinaryong praksiyon.
Ang isang buong numero lamang ang maaaring magamit bilang numerator, denominator at buong bahagi ng isang maliit na bahagi.

Ang denominator ay hindi maaaring maging negatibo.

Kapag pumapasok sa isang maliit na praksyon ng numero, ang numerator ay pinaghiwalay mula sa denominator ng isang sign ng dibisyon: /
Ang buong bahagi ay pinaghiwalay mula sa maliit na bahagi ng isang ampersand: &
Input: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5x + 1 / 7x ^ 2
Resulta: \\ (3 \\ frac (1) (3) - 5 \\ frac (6) (5) x + \\ frac (1) (7) x ^ 2 \\)

Kapag pumapasok sa isang expression maaaring gamitin ang mga braket... Sa kasong ito, kapag nalulutas, ang ipinasok na ekspresyon ay unang pinasimple.
Halimbawa: 1/2 (x-1) (x + 1) - (5x-10 & 1/2)

Detalyadong halimbawa ng solusyon

Pagpili ng isang parisukat ng isang binomial. $$ ax ^ 2 + bx + c \\ rightarrow a (x + p) ^ 2 + q $$ $$ 2x ^ 2 + 2x-4 \u003d $$ $$ 2x ^ 2 + 2 \\ cdot 2 \\ cdot \\ left ( \\ frac (1) (2) \\ kanan) \\ cdot x + 2 \\ cdot \\ left (\\ frac (1) (2) \\ kanan) ^ 2- \\ frac (9) (2) \u003d $$ $$ 2 \\ kaliwa (x ^ 2 + 2 \\ cdot \\ left (\\ frac (1) (2) \\ kanan) \\ cdot x + \\ left (\\ frac (1) (2) \\ kanan) ^ 2 \\ kanan) - \\ frac ( 9) (2) \u003d $$ $$ 2 \\ kaliwa (x + \\ frac (1) (2) \\ kanan) ^ 2- \\ frac (9) (2) $$ Sagot: $$ 2x ^ 2 + 2x-4 \u003d 2 \\ kaliwa (x + \\ frac (1) (2) \\ kanan) ^ 2- \\ frac (9) (2) $$ Pagpapakatao. $$ ax ^ 2 + bx + c \\ rightarrow a (x + n) (x + m) $$ $$ 2x ^ 2 + 2x-4 \u003d $$
$$ 2 \\ pakaliwa (x ^ 2 + x-2 \\ kanan) \u003d $$
$$ 2 \\ kaliwa (x ^ 2 + 2x-1x-1 \\ cdot 2 \\ kanan) \u003d $$ $$ 2 \\ kaliwa (x \\ left (x +2 \\ kanan) -1 \\ left (x +2 \\ kanan ) \\ kanan) \u003d $$ $$ 2 \\ kaliwa (x -1 \\ kanan) \\ kaliwa (x +2 \\ kanan) $$ Sagot: $$ 2x ^ 2 + 2x-4 \u003d 2 \\ kaliwa (x -1 \\ kanan) \\ kaliwa (x +2 \\ kanan) $$

Napag-alaman na ang ilang mga script na kinakailangan upang malutas ang problemang ito ay hindi na-load, at maaaring hindi gumana ang programa.
Marahil ay pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.

Kasi Mayroong maraming mga tao na nais na malutas ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Pagkatapos ng ilang segundo, lilitaw ang solusyon sa ibaba.
Teka lang po sec ...

kung ikaw napansin ang isang error sa desisyon, pagkatapos ay maaari kang magsulat tungkol dito sa Form ng Feedback.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka at ano pumasok sa bukid.

Ang aming mga laro, puzzle, emulator:

Kaunting teorya.

Pagkuha ng isang square binomial mula sa isang square trinomial

Kung ang parisukat na trinomial ax 2 + bx + c ay kinakatawan sa form a (x + p) 2 + q, kung saan ang p at q ay totoong mga numero, sinabi nila na mula sa square trinomial ang square binomial.

Piliin mula sa trinomial 2x 2 + 12x + 14 ang parisukat ng binomial.

\\ (2x ^ 2 + 12x + 14 \u003d 2 (x ^ 2 + 6x + 7) \\)

Upang magawa ito, kinakatawan namin ang 6x bilang isang produkto ng 2 * 3 * x, at pagkatapos ay idagdag at ibawas ang 3 2. Nakukuha namin:
$$ 2 (x ^ 2 + 2 \\ cdot 3 \\ cdot x + 3 ^ 2-3 ^ 2 + 7) \u003d 2 ((x + 3) ^ 2-3 ^ 2 + 7) \u003d $$ $$ \u003d 2 ((x + 3) ^ 2-2) \u003d 2 (x + 3) ^ 2-4 $$

Kaya kami naman itinalaga ang parisukat na binomial mula sa parisukat na trinomial, at ipakita na:
$$ 2x ^ 2 + 12x + 14 \u003d 2 (x + 3) ^ 2-4 $$

Pag-factor ng isang square trinomial

Kung ang square trinomial ax 2 + bx + c ay kinakatawan sa form a (x + n) (x + m), kung saan ang n at m ay totoong mga numero, sinasabing ang operasyon ay isinagawa parisukat na trinomial factorization.

Ipakita natin sa isang halimbawa kung paano nagawa ang pagbabagong ito.

Isaalang-alang ang parisukat na trinomial 2x 2 + 4x-6.

Ilabas natin ang coefficient a mula sa mga braket, ibig sabihin 2:
\\ (2x ^ 2 + 4x-6 \u003d 2 (x ^ 2 + 2x-3) \\)

Ibahin natin ang ekspresyon sa mga braket.
Upang magawa ito, kinakatawan namin ang 2x bilang pagkakaiba 3x-1x, at -3 bilang -1 * 3. Nakukuha namin:
$$ \u003d 2 (x ^ 2 + 3 \\ cdot x -1 \\ cdot x -1 \\ cdot 3) \u003d 2 (x (x + 3) -1 \\ cdot (x + 3)) \u003d $$
$$ \u003d 2 (x-1) (x + 3) $$

Kaya kami naman itinuro ang parisukat na trinomial, at ipakita na:
$$ 2x ^ 2 + 4x-6 \u003d 2 (x-1) (x + 3) $$

Tandaan na posible lamang ang pag-factor ng isang quadratic trinomial kung ang quadratic equation na naaayon sa trinomial na ito ay may mga ugat.
Yung. sa aming kaso, ang pagbibigay ng katotohanan sa trinomial 2x 2 + 4x-6 ay posible kung ang quadratic equation 2x 2 + 4x-6 \u003d 0 ay may mga ugat. Sa proseso ng pag-iingat, nalaman namin na ang equation na 2x 2 + 4x-6 \u003d 0 ay may dalawang ugat na 1 at -3, dahil para sa mga halagang ito, ang equation 2 (x-1) (x + 3) \u003d 0 ay nagiging isang tunay na pagkakapantay-pantay.

Ano pag-iisahin Ito ay isang paraan upang gawing isang simple at maganda ang isang mahirap at kumplikadong halimbawa.) Napakalakas na trick! Ito ay matatagpuan sa bawat hakbang, kapwa sa elementarya sa elementarya at sa mas mataas na matematika.

Ang mga nasabing pagbabago sa wikang matematika ay tinatawag na magkaparehong pagbabago ng mga expression. Sino ang wala sa paksa - mamasyal sa link. Napakaliit, simple at kapaki-pakinabang.) Ang kahulugan ng anumang magkaparehong pagbabago ay upang sumulat ng isang expression sa ibang form habang pinapanatili ang kakanyahan nito.

Kahulugan pagbibigay-factor sobrang simple at prangka. Direkta mula sa mismong pangalan. Maaari mong kalimutan (o hindi alam) kung ano ang multiplier, ngunit ang katotohanang ang salitang ito ay nagmula sa salitang "multiply" maaari mo bang malaman?) Ang ibig sabihin ng pag-factor ay: kumakatawan sa isang expression bilang multiply ng isang bagay sa pamamagitan ng isang bagay. Patawarin mo ako sa matematika at sa wikang Ruso ...) At iyon lang.

Halimbawa, kailangan mong palawakin ang bilang 12. Maaari mong ligtas na isulat ang:

Kaya ipinakita namin ang bilang 12 bilang isang pagpaparami ng 3 ng 4. Mangyaring tandaan na ang mga numero sa kanan (3 at 4) ay ganap na naiiba kaysa sa kaliwa (1 at 2). Ngunit naiintindihan nating mabuti na ang 12 at 3 4 pareho Ang kakanyahan ng bilang 12 mula sa conversion hindi nagbago.

Posible bang mabulok nang magkakaiba ang 12? Madali!

12 \u003d 3 4 \u003d 2 6 \u003d 3 2 2 \u003d 0.5 24 \u003d ........

Ang mga pagpipilian sa pagpapalawak ay walang katapusan.

Ang mga bilang ng pag-factor ay isang kapaki-pakinabang na bagay. Malaki ang naitutulong nito, halimbawa, sa pagharap sa mga ugat. Ngunit ang pag-factor ng mga algebraic expression ay hindi isang bagay na kapaki-pakinabang, ito ay - kailangan! Halimbawa lamang:

Pasimplehin:

Ang mga hindi alam kung paano i-factor ang isang expression ay nakasalalay sa gilid. Sinuman ang nakakaalam kung paano - nagpapadali at nakakakuha ng:

Kamangha-mangha ang epekto, tama ba?) Sa pamamagitan ng paraan, ang solusyon ay medyo simple. Tingnan ang iyong sarili sa ibaba. O, halimbawa, isang gawain na tulad nito:

Lutasin ang equation:

x 5 - x 4 \u003d 0

Nagpasya sa isip, sa pamamagitan ng paraan. Paggamit ng factorization. Sa ibaba ay malulutas namin ang halimbawang ito. Sagot: x 1 \u003d 0; x 2 \u003d 1.

O, ang parehong bagay, ngunit para sa mga mas matanda):

Lutasin ang equation:

Sa mga halimbawang ito na ipinakita ko pangunahing layunin factorization: gawing simple ang mga praksyonal na praksyon at malutas ang ilang mga uri ng mga equation. Inirerekumenda kong alalahanin ang isang panuntunan sa hinlalaki:

Kung nahaharap tayo sa isang kahila-hilakbot na ekspresyon ng praksyonal, maaari mong subukang iisa ang numerator at denominator sa mga kadahilanan. Kadalasan ang maliit na bahagi ay pinaikling at pinadali.

Kung mayroon kaming isang equation sa harap namin, kung saan sa kanan ay zero, at sa kaliwa - huwag maunawaan kung ano, maaari mong subukang i-factor ang kaliwang bahagi sa mga kadahilanan. Minsan nakakatulong ito).

Pangunahing pamamaraan ng pag-factor.

Narito ang pinakatanyag na paraan:

4. agnas ng isang parisukat na trinomial.

Ang mga pamamaraang ito ay dapat tandaan. Sa ayos na yan. Ang mga kumplikadong halimbawa ay nasuri sa lahat ng posibleng paraan ng agnas. At mas mahusay na suriin nang maayos, upang hindi malito ... Kaya't magsimula tayo sa pagkakasunud-sunod.)

1. Pagkuha ng karaniwang kadahilanan sa labas ng mga braket.

Isang simple at maaasahang paraan. Hindi ito masakit! Mangyayari ito alinman sa mabuti o hindi.) Samakatuwid, siya ang nauna. Pag-unawa

Alam ng lahat (naniniwala ako!)) Ang panuntunan:

a (b + c) \u003d ab + ac

O, sa pangkalahatan:

a (b + c + d + .....) \u003d ab + ac + ad + ....

Ang lahat ng mga pagkakapantay-pantay ay gumagana mula kaliwa hanggang kanan, at kabaligtaran, mula kanan hanggang kaliwa. Maaari kang sumulat:

ab + ac \u003d a (b + c)

ab + ac + ad + .... = a (b + c + d + .....)

Iyon ang buong punto ng pagkuha ng karaniwang kadahilanan sa labas ng panaklong.

Sa kaliwang bahagi at - karaniwang kadahilanan para sa lahat ng mga term. Na-multiply sa lahat ng bagay na). Sa kanan ang pinaka at ay na sa labas ng mga braket.

Isasaalang-alang namin ang praktikal na aplikasyon ng pamamaraan sa pamamagitan ng mga halimbawa. Sa una ang pagpipilian ay simple, kahit na primitive.) Ngunit sa pagpipiliang ito ay markahan ko (sa berde) ang napakahalagang mga puntos para sa anumang pagpapakonsulta.

Factorize:

ah + 9x

Ano pangkalahatan ang multiplier ay nakaupo sa parehong mga term? X, syempre! Aalisin namin ito sa labas ng mga braket. Ginagawa natin ito. Sinusulat namin kaagad ang X sa labas ng mga braket:

palakol + 9x \u003d x (

At sa mga bracket isinusulat namin ang resulta ng paghahati bawat term sa mismong ito x. Sa pagkakasunud-sunod:

Yun lang Siyempre, hindi na kailangang ilarawan sa ganoong detalye, Ginagawa ito sa isip. Ngunit upang maunawaan kung ano ano, kanais-nais). Inaayos namin sa memorya:

Isusulat namin ang karaniwang kadahilanan sa labas ng mga braket. Sa panaklong, isusulat namin ang mga resulta ng paghati sa lahat ng mga term sa pamamagitan ng napaka-karaniwang kadahilanan na ito. Sa ayos.

Kaya pinalawak namin ang expression ah + 9x sa pamamagitan ng mga kadahilanan. Ginawang multiply x ng (a + 9). Tandaan na ang orihinal na expression ay naglalaman din ng pagpaparami, kahit na dalawa: isang x at 9 x. Ngunit ito ay hindi naging factorized! Dahil bukod sa pagpaparami, mayroon ding karagdagan sa ekspresyong ito, ang tanda na "+"! At sa ekspresyon x (a + 9) walang anuman maliban sa pagpaparami!

Paano kaya!? - Naririnig ko ang galit na galit na boses ng mga tao - At sa mga braket!?)

Oo, may karagdagan sa loob ng panaklong. Ngunit ang lansihin ay habang hindi binubuksan ang mga braket, isinasaalang-alang namin ang mga ito bilang isang liham. At ginagawa namin ang lahat ng mga aksyon nang may mga braket, tulad ng sa isang liham. Sa puntong ito, sa ekspresyon x (a + 9) walang iba kundi ang pagpaparami. Ito ang buong punto ng pag-iingat.

Sa pamamagitan ng paraan, posible bang kahit papaano suriin kung ginawa natin ang lahat ng tama? Madali! Sapat na itong i-multiply kung ano ang kinuha sa labas (x) ng mga bracket at tingnan kung gumana ito pauna ekspresyon? Kung ito ay gumagana, lahat ay tip-top!)

x (a + 9) \u003d palakol + 9x

Nangyari.)

Walang problema sa panimulang halimbawa na ito. Ngunit kung maraming mga termino, at kahit na may iba't ibang mga palatandaan ... Sa madaling sabi, ang bawat ikatlong mag-aaral ay nagbubulungan). Samakatuwid:

Kung kinakailangan, suriin ang pagpapalagay sa pamamagitan ng kabaligtaran ng pagpaparami.

Factorize:

3ax + 9x

Naghahanap kami para sa isang karaniwang kadahilanan. Kaya, ang lahat ay malinaw sa X, matatagalan mo ito. Meron pa ba pangkalahatan factor? Oo! Tatlo ito Maaari mong isulat ang expression na tulad nito:

3ax + 3 3x

Dito mo agad makikita na ang karaniwang kadahilanan ay 3x... Narito inilabas namin ito:

3ax + 3 3x \u003d 3x (a + 3)

Inilatag nila ito.

At ano ang mangyayari kung magtiis ka x lang? Normal lang, walang espesyal:

3ax + 9x \u003d x (3a + 9)

Ito rin ay magiging isang factorization. Ngunit sa kamangha-manghang proseso na ito, kaugalian na ilatag ang lahat hanggang sa huminto ito, habang mayroong isang pagkakataon. Dito, sa mga braket, mayroong isang pagkakataon na kumuha ng isang triple. Iyon pala:

3ax + 9x \u003d x (3a + 9) \u003d 3x (a + 3)

Ang parehong bagay, na may isang labis na pagkilos lamang.) Tandaan:

Kapag kinukuha ang karaniwang kadahilanan sa labas ng mga braket, sinusubukan naming kumuha maximum karaniwang kadahilanan.

Ipagpatuloy ba natin ang kasiyahan?)

Factor expression:

3ax + 9x-8a-24

Ano ang titiisin natin? Tatlo, X? Nope ... Hindi mo kaya. Pinapaalala ko sayo na kaya mo lang magtiis pangkalahatan factor na iyon sa lahatmga tuntunin ng pagpapahayag. Kaya pala siya pangkalahatan. Walang ganoong multiplier dito ... Ano, hindi mo maaaring mapalawak!? Sa gayon, oo, natuwa kami, syempre ... Kilalanin:

2. Pagpapangkat.

Sa totoo lang, ang pagpapangkat ay halos hindi matawag na isang independiyenteng paraan ng pag-factore. Sa halip, ito ay isang paraan upang makawala sa isang kumplikadong halimbawa.) Kailangan mong i-grupo ang mga termino upang ang lahat ay umandar. Maipapakita lamang ito sa pamamagitan ng halimbawa. Kaya, bago sa atin ang expression:

3ax + 9x-8a-24

Makikita na mayroong ilang mga karaniwang titik at numero. Ngunit ... Pangkalahatan walang kadahilanan sa lahat ng mga term. Hindi kami nawawalan ng loob at putulin ang ekspresyon sa mga piraso. Pangkatin natin. Kaya't sa bawat piraso ay may isang karaniwang kadahilanan, mayroong isang bagay na ilalabas. Paano tayo masisira? Ilagay lamang ang mga braket.

Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na ang panaklong ay maaaring mailagay saanman at sa anumang paraan. Kung ang kakanyahan lamang ng halimbawa hindi nagbago. Halimbawa, magagawa mo ito:

3ax + 9x-8a-24=(3ax + 9x) - (8a + 24)

Bigyang-pansin ang pangalawang mga braket! Mayroong isang minus sign sa harap nila, at 8a at 24 maging positibo! Kung, para sa pagpapatunay, buksan muli ang mga braket, magbabago ang mga palatandaan, at tatanggapin namin pauna ekspresyon Yung. ang diwa ng pagpapahayag mula sa panaklong ay hindi nagbago.

Ngunit kung natigil ka lamang sa panaklong, hindi pinapansin ang pagbabago ng pag-sign, halimbawa, tulad nito:

3ax + 9x-8a-24=(3ax + 9x) - (8a-24 )

ito ay magiging isang pagkakamali. Tama - na iba pa ekspresyon Buksan ang mga braket at lahat ay makikita. Hindi mo na kailangang magpasya pa, oo ...)

Ngunit bumalik sa pag-iingat. Tinitingnan namin ang mga unang braket (3ax + 9x) at iniisip natin, may kaya ba tayong magtiis? Kaya, nalutas namin ang halimbawang ito sa itaas, maaari mong gawin 3x:

(3ax + 9x) \u003d 3x (a + 3)

Pinag-aaralan namin ang pangalawang mga braket, doon maaari mong mailabas ang walo:

(8a + 24) \u003d 8 (a + 3)

Ang aming buong expression ay mag-iikot:

(3ax + 9x) - (8a + 24) \u003d 3x (a + 3) -8 (a + 3)

Nabuo ang kadahilanan? Hindi. Ang agnas ay dapat magresulta sa pagpaparami lamang, at ang aming minus sign ay sumisira sa lahat. Ngunit ... Ang parehong mga termino ay may isang karaniwang kadahilanan! ito (a + 3)... Hindi para sa wala na sinabi ko na ang buong mga braket ay, parang, isang liham. Samakatuwid, ang mga braket na ito ay maaaring makuha mula sa mga braket. Oo, iyon talaga ang tunog nito.)

Ginagawa namin tulad ng inilarawan sa itaas. Isusulat namin ang karaniwang kadahilanan (a + 3), sa pangalawang panaklong nagsusulat kami ng mga resulta ng paghahati ng mga term sa pamamagitan ng (a + 3):

3x (a + 3) -8 (a + 3) \u003d (a + 3) (3x-8)

Lahat! Sa kanan, walang anuman kundi ang pagpaparami! Kaya't matagumpay ang pag-factor!) Narito:

3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)

Muli nating ulitin ulit ang kakanyahan ng pagpapangkat.

Kung ang expression ay hindi naglalaman ng pangkaraniwan multiplier para sa sa lahat mga term, pinaghiwalay namin ang expression ng mga panaklong upang sa loob ng panaklong ang karaniwang kadahilanan ay. Ilabas namin ito at tingnan kung ano ang nangyari. Kung ikaw ay mapalad, at may eksaktong eksaktong mga expression sa mga braket, ilipat ang mga braket na ito sa labas ng mga braket.

Idaragdag ko na ang pagpapangkat ay isang malikhaing proseso). Hindi ito laging gumagana sa unang pagkakataon. Walang mali. Minsan kailangan mong baguhin ang mga lugar ng mga termino, isaalang-alang ang iba't ibang mga pagpipilian para sa pagpapangkat hanggang sa makahanap ka ng isang matagumpay. Ang pangunahing bagay dito ay huwag mawalan ng puso!)

Mga halimbawa.

Ngayon, na napayaman ng kaalaman, malulutas mo ang mga nakakalito na halimbawa.) Tatlo sa mga ito sa simula ng aralin ...

Pasimplehin:

Sa katunayan, nalutas na namin ang halimbawang ito. Hindi alam ng aking sarili.) Hayaan mong ipaalala ko sa iyo: kung bibigyan kami ng isang kahila-hilakbot na maliit na bahagi, sinisikap naming itali ang numerator at denominator. Iba pang mga pagpipilian sa pagpapagaan simpleng hindi.

Kaya, ang denominator dito ay hindi nagpapalawak, ngunit ang numerator ... Naipalawak na namin ang numerator sa panahon ng aralin! Ganito:

3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)

Isusulat namin ang resulta ng paglawak sa numerator ng maliit na bahagi:

Ayon sa panuntunan ng pagbawas ng mga praksyon (ang pangunahing pag-aari ng isang maliit na bahagi), maaari nating hatiin (sabay-sabay!) Ang numerator at denominator ng parehong numero, o ekspresyon. Fraction mula rito hindi nagbabago. Kaya't hinahati namin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng pagpapahayag (3x-8)... At dito at doon kami nakakakuha ng mga iyan. Huling resulta ng pagpapagaan:

Nais kong bigyang-diin: ang pagbabawas ng isang maliit na bahagi ay posible kung at lamang kung sa numerator at denominator, bilang karagdagan sa pagpaparami ng mga expression walang kahit ano. Iyon ang dahilan kung bakit ang pagbabago ng kabuuan (pagkakaiba) sa pagpaparami napakahalaga para sa pagpapagaan. Syempre, kung ang mga expression iba, tapos walang mababawas. Syempre. Ngunit pag-iingat nagbibigay ng pagkakataon. Ang pagkakataong ito nang walang pagkabulok ay wala doon.

Halimbawa na may equation:

Lutasin ang equation:

x 5 - x 4 \u003d 0

Inilalabas namin ang karaniwang kadahilanan x 4 sa labas ng mga braket. Nakukuha namin:

x 4 (x-1) \u003d 0

Nalalaman namin na ang produkto ng mga kadahilanan ay zero noon at pagkatapos lamang, kapag ang alinman sa kanila ay zero. Kung may pag-aalinlangan, hanapin ako ng isang pares ng mga di-zero na numero na, kapag pinarami, ay magbibigay ng zero.) Kaya nagsusulat kami, una ang unang kadahilanan:

Sa pagkakapantay-pantay na ito, ang pangalawang kadahilanan ay hindi nakakaabala sa amin. Kahit sino ay maaaring maging, ang lahat ng pareho sa huli ito ay magiging zero. At anong numero sa ika-apat na lakas ng zero ang ibibigay? Zero lang! At wala nang iba pa ... Kaya:

Inayos namin ang unang kadahilanan, nakakita ng isang ugat. Harapin natin ang pangalawang kadahilanan. Ngayon wala kaming pakialam sa unang kadahilanan.):

Nakakita kami ng isang solusyon: x 1 \u003d 0; x 2 \u003d 1... Ang alinman sa mga ugat na ito ay umaangkop sa aming equation.

Isang napakahalagang tala. Mangyaring tandaan na nalutas namin ang equation piraso ng piraso! Ang bawat kadahilanan ay itinakda katumbas ng zero, hindi pinapansin ang natitirang mga kadahilanan. Sa pamamagitan ng paraan, kung sa tulad ng isang equation walang dalawang mga kadahilanan, tulad ng mayroon kami, ngunit tatlo, lima, hangga't gusto mo, malulutas namin katulad. Piraso ng piraso Halimbawa:

(x-1) (x + 5) (x-3) (x + 2) \u003d 0

Ang isa na magbubukas ng mga braket, pinararami ang lahat, siya ay tuluyang mag-hang sa equation na ito.) Ang isang tamang mag-aaral ay agad na makikita na walang kaliwa maliban sa pagpaparami, sa kanan - zero. At magsisimula ito (sa isip!) Upang mapantay sa zero ang lahat ng mga panaklong nang maayos. At makakatanggap siya (sa 10 segundo!) Ang tamang solusyon: x 1 \u003d 1; x 2 \u003d -5; x 3 \u003d 3; x 4 \u003d -2.

Mahusay, hindi ba?) Ang gayong matikas na solusyon ay posible kung ang kaliwang bahagi ng equation nabulok sa mga kadahilanan. Malinaw ba ang pahiwatig?)

Sa gayon, ang huling halimbawa, para sa mga mas matanda):

Lutasin ang equation:

Ito ay medyo katulad sa naunang isa, sa palagay mo?) Siyempre. Panahon na upang alalahanin na sa ikapitong baitang algebra, ang mga titik ay maaaring itago ang mga kasalanan, logarithm, at kung ano ang gusto mo! Gumagawa ang factoring sa lahat ng matematika.

Inilalabas namin ang karaniwang kadahilanan lg 4 x sa labas ng mga braket. Nakukuha namin:

lg 4 x \u003d 0

Ito ay isang ugat. Harapin natin ang pangalawang kadahilanan.

Narito ang huling sagot: x 1 \u003d 1; x 2 \u003d 10.

Inaasahan kong napagtanto mo ang kapangyarihan ng pag-iingat sa pagpapasimple ng mga praksyon at paglutas ng mga equation.)

Sa araling ito, natutunan namin ang tungkol sa karaniwang pag-iingat ng mga bagay at pagpapangkat. Nananatili itong makitungo sa mga pormula para sa dinaglat na pagdaragdag at parisukat na trinomial.

Kung gusto mo ang site na ito ...

Sa pamamagitan ng paraan, mayroon akong ilang higit pang mga kagiliw-giliw na mga site para sa iyo.)

Maaari mong sanayin ang paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga pag-andar at derivatives.

Ang mga konsepto ng "polynomial" at "factorization ng isang polynomial sa mga salik" sa algebra ay napaka-karaniwan, dahil kailangan mong malaman ang mga ito upang madaling maisagawa ang mga kalkulasyon na may malalaking numero ng multi-digit. Ilalarawan ng artikulong ito ang maraming paraan ng agnas. Ang lahat sa kanila ay medyo simple upang magamit, kailangan mo lamang pumili ng tama sa bawat tukoy na kaso.

Konseptong Polynomial

Ang isang polynomial ay isang kabuuan ng mga monomial, iyon ay, mga expression na naglalaman lamang ng pagpapatakbo ng pagpaparami.

Halimbawa, ang 2 * x * y ay isang monomial, ngunit ang 2 * x * y + 25 ay isang polynomial na binubuo ng 2 monomial: 2 * x * y at 25. Ang mga nasabing polynomial ay tinatawag na binomial.

Minsan, para sa kaginhawaan ng paglutas ng mga halimbawa na may maraming halaga na halaga, ang ekspresyon ay dapat na mabago, halimbawa, mabulok sa isang bilang ng mga kadahilanan, iyon ay, mga numero o ekspresyon sa pagitan ng kung saan ang pagkilos ng pagpaparami ay ginaganap. Mayroong isang bilang ng mga paraan upang i-factor ang isang polynomial. Ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang sa kanila na nagsisimula sa pinaka-primitive, na ginagamit kahit na sa mga elementarya.

Pagpapangkat (pangkalahatang pagrekord)

Ang pormula para sa pag-factor ng isang polynomial sa mga salik sa pamamagitan ng pagpapangkat sa pangkalahatan ay ganito:

ac + bd + bc + ad \u003d (ac + bc) + (ad + bd)

Kinakailangan na i-grupo ang mga monomial upang lumitaw ang isang karaniwang kadahilanan sa bawat pangkat. Sa unang bracket ito ang factor c, at sa pangalawa ito ay d. Dapat itong gawin upang mailagay ito sa labas ng bracket, sa gayon pasimplehin ang mga kalkulasyon.

Ang agnas ng algorithm para sa isang tiyak na halimbawa

Ang pinakasimpleng halimbawa ng pag-factor ng isang polynomial sa pamamagitan ng pagpapangkat ay ipinapakita sa ibaba:

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

Sa unang bracket, kailangan mong kunin ang mga term na may salik na a, na magiging karaniwan, at sa pangalawa - kasama ang salik na b. Pansinin ang mga + at - mga palatandaan sa natapos na pagpapahayag. Inilagay namin ang pag-sign sa harap ng monomial na nasa paunang pagpapahayag. Iyon ay, kailangan mong gumana hindi sa ekspresyong 25a, ngunit sa ekspresyong -25. Ang minus sign ay tulad ng "dumidikit" sa ekspresyon sa likod nito at palaging isinasaalang-alang ito sa mga kalkulasyon.

Sa susunod na hakbang, kailangan mong alisin ang kadahilanan, na kung saan ay karaniwan, sa labas ng bracket. Ito ang para sa pagpapangkat. Upang mailabas ang panaklong ay nangangahulugang isulat sa harap ng panaklong (pag-alis sa tanda ng pagpaparami) lahat ng mga salik na paulit-ulit na may katumpakan sa lahat ng mga term sa panaklong. Kung walang 2, ngunit 3 o higit pang mga term sa panaklong, ang karaniwang kadahilanan ay dapat na nilalaman sa bawat isa sa kanila, kung hindi man ay hindi ito maalis mula sa panaklong.

Sa aming kaso - 2 term lamang sa panaklong. Ang karaniwang kadahilanan ay agad na nakikita. Ang unang panaklong ay a, ang pangalawa ay b. Dito kailangan mong magbayad ng pansin sa mga digital coefficients. Sa unang bracket, ang parehong mga coefficients (10 at 25) ay mga multiply ng 5. Nangangahulugan ito na hindi lamang isang, ngunit 5a din ang maaaring makuha mula sa bracket. Sumulat ng 5a bago ang panaklong, at pagkatapos ay hatiin ang bawat isa sa mga term sa panaklong sa karaniwang kadahilanan na nakuha, at isulat din ang kabuuan sa panaklong, na hindi nakakalimutan ang mga palatandaan + at - Gawin ang pareho sa pangalawang panaklong, ilabas 7b, pati na rin 14 at 35 maramihang 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

Ito ay naging 2 mga termino: 5a (2c - 5) at 7b (2c - 5). Ang bawat isa sa kanila ay naglalaman ng isang karaniwang kadahilanan (lahat ng mga expression sa panaklong ay pareho dito, na nangangahulugang ito ay isang pangkaraniwang kadahilanan): 2c - 5. Kailangan din itong makuha sa labas ng panaklong, iyon ay, ang mga term na 5a at 7b manatili sa pangalawang panaklong:

5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b).

Kaya ang kumpletong ekspresyon ay:

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b).

Kaya, ang polynomial 10ac + 14bc - 25a - 35b ay nabulok sa 2 mga kadahilanan: (2c - 5) at (5a + 7b). Ang pag-sign ng pagpaparami sa pagitan ng mga ito ay maaaring alisin mula sa pagsusulat

Minsan may mga expression ng ganitong uri: 5a 2 + 50a 3, dito maaari mong ilabas ang bracket hindi lamang isang o 5a, ngunit kahit na 5a 2. Dapat mong palaging subukang i-factor ang pinakamalaking karaniwang kadahilanan na posible. Sa aming kaso, kung hinati namin ang bawat term sa isang karaniwang kadahilanan, nakukuha natin ang:

5a 2 / 5a 2 \u003d 1; 50a 3 / 5a 2 \u003d 10a (kapag kinakalkula ang kabuuan ng maraming mga degree na may pantay na mga base, ang base ay napanatili, at ang exponent ay binawas). Sa gayon, ang yunit ay nananatili sa panaklong (sa anumang kaso, huwag kalimutang isulat ang yunit, kung ilalabas mo ang isa sa mga termino sa panaklong) at ang kabuuan ng paghahati: 10а. Ito ay:

5a 2 + 50a 3 \u003d 5a 2 (1 + 10a)

Mga parisukat na formula

Para sa kaginhawaan ng mga kalkulasyon, maraming mga formula ang nakuha. Ang mga ito ay tinatawag na dinaglat na mga pormula ng pagpaparami at ginagamit nang madalas. Ang mga formula na ito ay makakatulong sa mga factor ng polynomial na naglalaman ng mga degree. Ito ay isa pang makapangyarihang pamamaraan ng pag-factorize. Kaya, narito ang mga ito:

• isang 2 + 2ab + b 2 \u003d (a + b) 2 - ang pormula, na tinawag na "parisukat ng kabuuan", dahil bilang isang resulta ng paglawak sa isang parisukat, ang kabuuan ng mga bilang na nakapaloob sa mga braket ay kinuha, iyon ay, ang halaga ng kabuuan na ito ay pinarami ng 2 beses, na nangangahulugang ito ay isang kadahilanan.
• isang 2 + 2ab - b 2 \u003d (a - b) 2 - ang formula para sa parisukat ng pagkakaiba, ito ay katulad ng naunang isa. Ang resulta ay ang pagkakaiba, nakapaloob sa panaklong, na nilalaman ng parisukat na lakas.
• isang 2 - b 2 \u003d (a + b) (a - b) - ito ang pormula para sa pagkakaiba ng mga parisukat, dahil sa una ang polynomial ay binubuo ng 2 mga parisukat ng mga numero o ekspresyon, sa pagitan ng kung aling pagbabawas ang ginaganap. Marahil, sa tatlong pinangalanan, madalas itong ginagamit.

Mga halimbawa para sa mga kalkulasyon gamit ang mga parisukat na formula

Ang mga kalkulasyon para sa kanila ay medyo simple. Halimbawa:

1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 - ginagamit namin ang formula na "parisukat ng kabuuan".
2. Ang 25x 2 ay parisukat ng 5x. Ang 20xy ay ang doble na produkto ng 2 * (5x * 2y), at ang 4y 2 ay parisukat ng 2y.
3. Kaya, 25x 2 + 20xy + 4y 2 \u003d (5x + 2y) 2 \u003d (5x + 2y) (5x + 2y). Ang polynomial na ito ay nabulok sa 2 mga kadahilanan (ang mga kadahilanan ay pareho, samakatuwid, ito ay nakasulat bilang isang expression na may isang parisukat na degree).

Ang mga pagkilos ayon sa pormula ng parisukat ng pagkakaiba ay ginaganap sa parehong paraan. Ang formula ay nananatiling pagkakaiba ng mga parisukat. Ang mga halimbawa para sa pormulang ito ay napakadaling tukuyin at hanapin kasama ng iba pang mga expression. Halimbawa:

• 25a 2 - 400 \u003d (5a - 20) (5a + 20). Dahil 25a 2 \u003d (5a) 2, at 400 \u003d 20 2
• 36x 2 - 25y 2 \u003d (6x - 5y) (6x + 5y). Dahil 36x 2 \u003d (6x) 2, at 25y 2 \u003d (5y 2)
• c 2 - 169b 2 \u003d (c - 13b) (c + 13b). Dahil 169b 2 \u003d (13b) 2

Mahalaga na ang bawat isa sa mga termino ay parisukat ng ilang pagpapahayag. Pagkatapos ang polynomial na ito ay napapailalim sa factorization ng formula ng pagkakaiba ng mga parisukat. Para sa mga ito, hindi kinakailangan na ang pangalawang degree ay dapat na mas mataas sa bilang. Mayroong mga polynomial na naglalaman ng malalaking degree, ngunit umaangkop pa rin sa mga pormulang ito.

isang 8 + 10a 4 +25 \u003d (a 4) 2 + 2 * a 4 * 5 + 5 2 \u003d (a 4 +5) 2

Sa halimbawang ito, ang isang 8 ay maaaring kinatawan bilang (a 4) 2, iyon ay, ang parisukat ng ilang ekspresyon. Ang 25 ay 5 2, at 10a 4 - ito ang doble na produkto ng mga katagang 2 * a 4 * 5. Iyon ay, ang expression na ito, sa kabila ng pagkakaroon ng mga degree na may malaking exponents, ay maaaring mabulok sa 2 mga kadahilanan upang gumana sa kanila sa paglaon.

Mga formula ng Cube

Ang parehong mga formula ay umiiral para sa pag-iingat ng mga polynomial na naglalaman ng mga cube. Ang mga ito ay medyo mas kumplikado kaysa sa mga may mga parisukat:

• isang 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2) - ang formula na ito ay tinatawag na kabuuan ng mga cube, dahil sa paunang porma nito ang isang polynomial ay ang kabuuan ng dalawang expression o bilang na nakapaloob sa isang kubo.
• isang 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2) - ang pormula na magkapareho sa naunang isa ay itinalaga bilang pagkakaiba ng mga cube.
• isang 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 \u003d (a + b) 3 - isang kubo ng kabuuan, bilang isang resulta ng mga kalkulasyon, ang kabuuan ng mga numero o ekspresyon ay nakuha, na nakapaloob sa mga braket at pinarami ng 3 beses, iyon ay, matatagpuan sa isang kubo
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 \u003d (a - b) 3 -ang pormula, na iginuhit sa pamamagitan ng pagkakatulad sa naunang may pagbabago lamang ng ilang mga palatandaan ng pagpapatakbo ng matematika (plus at minus), ay tinatawag na "pagkakaiba ng kubo".

Ang huling dalawang pormula ay praktikal na hindi ginagamit para sa layunin ng pag-iingat ng isang polynomial sa mga kadahilanan, dahil kumplikado ito, at ang mga polynomial na ganap na tumutugma sa gayong istraktura ay napakabihirang, upang maaari silang mabulok ng mga pormulang ito. Ngunit kailangan mo pa ring malaman ang mga ito, dahil kakailanganin sila kapag gumagawa ng mga bagay sa kabaligtaran - kapag lumalawak ang panaklong.

Mga halimbawa para sa mga formula ng cube

Isaalang-alang natin ang isang halimbawa: 64a 3 - 8b 3 \u003d (4a) 3 - (2b) 3 \u003d (4a - 2b) ((4a) 2 + 4a * 2b + (2b) 2) \u003d (4a - 2b) (16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Narito na namin ang medyo simpleng mga numero, upang makita mo kaagad na ang 64a 3 ay (4a) 3, at ang 8b 3 ay (2b) 3. Kaya, ang polynomial na ito ay nabubulok ng formula na pagkakaiba ng mga cube ng 2 mga kadahilanan. Ang mga pagkilos ayon sa pormula para sa kabuuan ng mga cube ay ginaganap sa pamamagitan ng pagkakatulad.

Mahalagang maunawaan na hindi lahat ng mga polynomial ay maaaring mabulok kahit isa sa mga paraan. Ngunit may mga expression na naglalaman ng higit na degree kaysa sa isang parisukat o isang kubo, ngunit maaari rin itong mabulok sa mga pinaikling form ng pagpaparami. Halimbawa: x 12 + 125y 3 \u003d (x 4) 3 + (5y) 3 \u003d (x 4 + 5y) * ((x 4) 2 - x 4 * 5y + (5y) 2) \u003d (x 4 + 5y ) (x 8 - 5x 4 y + 25y 2).

Ang halimbawang ito ay naglalaman ng hanggang 12 degree. Ngunit kahit na ito ay maaaring maging factorized gamit ang formula para sa kabuuan ng mga cube. Upang gawin ito, kailangan mong kumatawan sa x 12 bilang (x 4) 3, iyon ay, bilang isang kubo ng ilang ekspresyon. Ngayon, sa halip na a, kailangan mong palitan ito sa formula. Kaya, ang expression na 125y 3 ay ang cube 5y. Susunod, dapat kang bumuo ng isang produkto alinsunod sa formula at gumawa ng mga kalkulasyon.

Sa una, o sa kaso ng pagdududa, maaari mong laging suriin sa pamamagitan ng pabalik na pagpaparami. Kailangan mo lamang palawakin ang panaklong sa nagresultang pagpapahayag at magsagawa ng mga pagkilos na may ganitong mga term. Nalalapat ang pamamaraang ito sa lahat ng mga nabanggit na pamamaraan ng pagbawas: kapwa upang gumana sa isang karaniwang kadahilanan at pagpapangkat, at sa mga pagkilos sa mga formula ng mga cube at square degree.

Ang isang polynomial ay isang expression na binubuo ng isang kabuuan ng mga monomial. Ang huli ay ang produkto ng isang pare-pareho (bilang) at ang ugat (o mga ugat) ng pagpapahayag sa lakas ng k. Sa kasong ito, nagsasalita ang isa tungkol sa isang polynomial ng degree k. Ang pagpapalawak ng isang polynomial ay ipinapalagay ang isang pagbabago ng ekspresyon, kung saan ang mga termino ay pinalitan ng mga kadahilanan. Isaalang-alang natin ang mga pangunahing paraan upang maisagawa ang ganitong uri ng pagbabago.

Paraan ng pagkabulok ng polynomial sa pamamagitan ng pagkuha ng isang karaniwang kadahilanan

Ang pamamaraang ito ay batay sa mga batas ng batas sa pamamahagi. Kaya, mn + mk \u003d m * (n + k).

• Halimbawa:kumalat 7y 2 + 2uy at 2m 3 - 12m 2 + 4lm.

7y 2 + 2uy \u003d y * (7y + 2u),

2m 3 - 12m 2 + 4lm \u003d 2m (m 2 - 6m + 2l).

Gayunpaman, ang kadahilanan na kinakailangang naroroon sa bawat polynomial ay maaaring hindi laging matagpuan, samakatuwid ang pamamaraang ito ay hindi pangkalahatan.

Paraan ng pagpapalawak ng polynomial batay sa mga pagdadaglat na mga formula sa pagpaparami

Ang dinaglat na mga pormula ng pagpaparami ay wasto para sa isang polynomial ng anumang degree. Sa mga pangkalahatang termino, ganito ang isang expression ng conversion:

uk - lk \u003d (u - l) (u k-1 + u k-2 * l + u k-3 * l 2 + ... u * l k-2 + l k-1), kung saan ang k ay isang kinatawan ng natural na mga numero ...

Ang pinaka-karaniwang ginagamit na mga formula sa kasanayan ay para sa mga polynomial ng pangalawa at pangatlong order:

u 2 - l 2 \u003d (u - l) (u + l),

u 3 - l 3 \u003d (u - l) (u 2 + ul + l 2),

u 3 + l 3 \u003d (u + l) (u 2 - ul + l 2).

• Halimbawa:kumalat 25p 2 - 144b 2 at 64m 3 - 8l 3.

25p 2 - 144b 2 \u003d (5p - 12b) (5p + 12b),

64m 3 - 8l 3 \u003d (4m) 3 - (2l) 3 \u003d (4m - 2l) ((4m) 2 + 4m * 2l + (2l) 2) \u003d (4m - 2l) (16m 2 + 8ml + 4l 2 ).

Paraan ng pagkabulok ng polynomial - pagpapangkat ng mga tuntunin ng isang expression

Ang pamamaraang ito sa ilang paraan ay may pagkakapareho sa diskarteng pagkuha ng karaniwang kadahilanan, ngunit may ilang mga pagkakaiba. Sa partikular, bago piliin ang karaniwang kadahilanan, dapat isa-grupo ang mga monomial. Ang pagpapangkat ay batay sa mga patakaran ng kombinasyon at mga batas na transposisyonal.

Ang lahat ng mga monomial na ipinakita sa ekspresyon ay nahahati sa mga pangkat, sa bawat isa ay nakuha ang kabuuang halaga na ang pangalawang kadahilanan ay magiging pareho sa lahat ng mga pangkat. Sa pangkalahatang mga termino, ang nasabing isang paraan ng agnas ay maaaring kinatawan bilang isang expression:

pl + ks + kl + ps \u003d (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps \u003d p (l + s) + k (l + s),

pl + ks + kl + ps \u003d (p + k) (l + s).

• Halimbawa:kumalat 14mn + 16ln - 49m - 56l.

14mn + 16ln - 49m - 56l \u003d (14mn - 49m) + (16ln - 56l) \u003d 7m * (2n - 7) + 8l * (2n - 7) \u003d (7m + 8l) (2n - 7).

Paraan ng pagkabulok ng polynomial - bumubuo ng isang kumpletong parisukat

Ang pamamaraang ito ay isa sa pinaka mahusay sa kurso ng agnas ng isang polynomial. Sa paunang yugto, kinakailangan upang matukoy ang mga monomial na maaaring "nakatiklop" sa parisukat ng pagkakaiba o kabuuan. Para sa mga ito, ginagamit ang isa sa mga ratio:

(p - b) 2 \u003d p 2 - 2pb + b 2,

• Halimbawa: palawakin ang expression u 4 + 4u 2 - 1.

Ipaalam natin sa mga monomial nito ang mga term na bumubuo ng isang kumpletong parisukat: u 4 + 4u 2 - 1 \u003d u 4 + 2 * 2u 2 + 4 - 4 - 1 \u003d

\u003d (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 4 - 1 \u003d (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 5.

Kumpletuhin ang pagbabago gamit ang pinaikling mga panuntunan sa pagpaparami: (u 2 + 2) 2 - 5 \u003d (u 2 + 2 - √5) (u 2 + 2 + √5).

Kaya u 4 + 4u 2 - 1 \u003d (u 2 + 2 - √5) (u 2 + 2 + √5).

Isinasaalang-alang ang pagpaparami ng mga polynomial, naalala namin ang ilang mga formula, lalo: mga formula para sa (a + b) ², para sa (a - b) ², para sa (a + b) (a - b), para sa (a + b) ³ at para sa (a - b) ³.

Kung ang isang naibigay na polynomial ay naging magkasabay sa isa sa mga formula na ito, posible na i-factor ito sa mga kadahilanan. Halimbawa, ang polynomial a² - 2ab + b², alam namin, ay katumbas ng (a - b) ² [o (a - b) · (a - b), iyon ay, pinamamahalaang namin mabulok ang a2 - 2ab + b² sa 2 kadahilanan]; din

Tingnan natin ang pangalawa ng mga halimbawang ito. Nakita namin na ang polynomial na ibinigay dito ay umaangkop sa formula na nakuha mula sa pag-square ng pagkakaiba ng dalawang numero (ang parisukat ng unang numero, na ibinawas ang produkto ng dalawa at ang unang numero at ang pangalawa, kasama ang parisukat ng ikalawang numero): x 6 ang parisukat ng unang numero, at samakatuwid, ang unang numero mismo ay x 3, ang parisukat ng pangalawang numero ay ang huling term ng polynomial na ito, iyon ay, 1, ang pangalawang numero mismo ay, samakatuwid, din 1; ang produkto ng dalawa at unang numero at ang pangalawa ay ang term –2x 3, sapagkat 2x 3 \u003d 2 · x 3 · 1. Samakatuwid, ang aming polynomial ay nakuha sa pamamagitan ng pag-square ng pagkakaiba sa pagitan ng mga bilang x 3 at 1, iyon ay, katumbas ito ng (x 3 - 12. Isaalang-alang natin ang isa pang ika-4 na halimbawa. Nakita namin na ang polynomial na ito ng 2 b 2 - 25 ay maaaring isaalang-alang bilang pagkakaiba ng mga parisukat ng dalawang numero, katulad ng isang 2 b 2 ay nagsisilbing parisukat ng unang numero, samakatuwid, ang unang numero mismo ay ab, ang parisukat ng ang pangalawang numero ay 25, kung bakit ang pangalawang numero mismo ay 5. Samakatuwid, ang aming polynomial ay maaaring isaalang-alang na nakuha mula sa pag-multiply ng kabuuan ng dalawang numero sa kanilang pagkakaiba, ibig sabihin

(ab + 5) (ab - 5).

Minsan nangyayari na sa isang naibigay na polynomial, ang mga termino ay wala sa pagkakasunud-sunod na nakasanayan natin, halimbawa.

9a 2 + b 2 + 6ab - sa pag-iisip maaari nating ayusin muli ang pangalawa at pangatlong termino, at pagkatapos ay magiging malinaw sa amin na ang aming trinomial \u003d (3a + b) 2.

… (Palitan natin ng itak ang una at pangalawang mga termino).

25a 6 + 1 - 10x 3 \u003d (5x 3 - 1) 2, atbp.

Isaalang-alang din ang polynomial

isang 2 + 2ab + 4b 2.

Nakita namin na ang unang termino nito ay ang parisukat ng numero a at ang pangatlong term ay parisukat ng numero 2b, ngunit ang pangalawang term ay hindi produkto ng dalawa sa pamamagitan ng unang numero at ang pangalawa - ang naturang produkto ay katumbas ng 2 a 2b \u003d 4ab. Samakatuwid, ang formula para sa parisukat ng kabuuan ng dalawang mga numero ay hindi maaaring mailapat sa polynomial na ito. Kung may nagsulat na isang 2 + 2ab + 4b 2 \u003d (a + 2b) 2, mali ito - dapat mong maingat na isaalang-alang ang lahat ng mga tuntunin ng polynomial bago ilapat ang factorization dito ng mga pormula.

40. Pinagsasama ang parehong mga diskarte... Minsan, kapag binibigyan ng factor ang mga polynomial sa mga kadahilanan, kailangan mong pagsamahin ang parehong pamamaraan ng pagkuha ng karaniwang kadahilanan sa labas ng mga braket at ang pamamaraan ng paglalapat ng mga formula. Narito ang ilang mga halimbawa:

1.2a 3 - 2ab 2. Una, inilalabas namin ang karaniwang kadahilanan 2a sa labas ng mga braket, - nakakakuha kami ng 2a (a 2 - b 2). Ang kadahilanan ng 2 - b 2, sa turn, ay nabubulok ng pormula sa mga kadahilanan (a + b) at (a - b).

Minsan kinakailangan na ilapat ang pamamaraan ng agnas ng mga formula nang maraming beses:

1.a 4 - b 4 \u003d (a 2 + b 2) (a 2 - b 2)

Nakita namin na ang unang kadahilanan na ang 2 + b 2 ay hindi umaangkop sa anuman sa pamilyar na mga pormula; bukod dito, na pinapaalala ang mga espesyal na kaso ng paghahati (item 37), itataguyod namin na ang isang 2 + b 2 (ang kabuuan ng mga parisukat ng dalawang numero) ay hindi maaaring maitukoy sa lahat. Ang pangalawa ng mga nakuha na kadahilanan a 2 - b 2 (ang pagkakaiba sa pamamagitan ng parisukat ng dalawang numero) ay nabubulok sa mga kadahilanan (a + b) at (a - b). Kaya,

41. Paglalapat ng mga espesyal na kaso ng paghahati... Batay sa sugnay 37, maaari agad nating maisulat iyon, halimbawa,