Ang sine ay katumbas ng ratio. Sine, cosine, tangent, cotangent ng isang matalas na anggulo

Panayam: Sine, cosine, tangent, cotangent ng isang di-makatwirang anggulo

Sine, cosine ng isang di-makatwirang anggulo

Upang maunawaan kung ano ang mga function na trigonometric, lumipat tayo sa bilog na may radius ng unit. Ang bilog na ito ay nakasentro sa pinagmulan ng coordinate na eroplano. Upang matukoy ang mga ibinigay na pag-andar, gagamitin namin ang radius vector O kayana nagsisimula sa gitna ng bilog at point R ay ang punto ng bilog. Ang radius vector na ito ay bumubuo ng isang anggulo alpha gamit ang axis OH... Dahil ang bilog ay may radius na katumbas ng isa, kung gayon OP \u003d R \u003d 1.

Kung mula sa punto R babaan ang patayo sa axis OH, pagkatapos ay nakakakuha kami ng isang tatsulok na may anggulo na may isang hypotenuse na katumbas ng isa.

Kung ang radius vector ay gumagalaw pakanan, pagkatapos ang direksyon na ito ay tinatawag negatibo, kung gagalaw ito pabalik - positibo.

Sine angulo O kaya, ay ang ordinate ng punto R mga vector sa isang bilog.

Iyon ay, upang makuha ang halaga ng sine ng isang naibigay na anggulo alpha, kinakailangan upang matukoy ang coordinate Mayroon sa ibabaw.

Paano nakuha ang halagang ito? Dahil nalalaman natin na ang sine ng isang di-makatwirang anggulo sa isang tatsulok na may tamang anggulo ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse, nakukuha natin iyon

At mula noon R \u003d 1tapos kasalanan (α) \u003d y 0 .

Sa bilog ng yunit, ang halaga ng ordenado ay hindi maaaring mas mababa sa -1 at higit sa 1, na nangangahulugang iyon

Ang sine ay positibo sa una at ikalawang tirahan ng bilog ng yunit, at negatibo sa pangatlo at ikaapat.

Anggulo ng cosine isang ibinigay na bilog na nabuo ng radius vector O kaya, ay ang abscissa ng punto R mga vector sa isang bilog.

Iyon ay, upang makuha ang halaga ng cosine ng isang naibigay na anggulo alpha, kinakailangan upang matukoy ang coordinate X sa ibabaw.

Ang cosine ng isang di-makatwirang anggulo sa isang kanang sulok na tatsulok ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse, nakukuha natin iyon

At mula noon R \u003d 1tapos cos (α) \u003d x 0 .

Sa bilog ng yunit, ang halaga ng abscissa ay hindi maaaring mas mababa sa -1 at higit sa 1, na nangangahulugang iyon

Ang cosine ay positibo sa una at ikaapat na tirahan ng bilog ng yunit, at negatibo sa pangalawa at pangatlo.

Tangent di-makatwirang anggulo ang ratio ng sine sa cosine ay isinasaalang-alang.

Kung isasaalang-alang namin ang isang tatsulok na may anggulo, pagkatapos ito ang ratio ng kabaligtaran ng binti sa katabi. Kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa bilog ng yunit, kung gayon ito ang proporsyon ng ordenate sa abscissa.

Sa paghusga sa mga ratios na ito, mauunawaan na ang tangent ay hindi maaaring umiiral kung ang halaga ng abscissa ay zero, iyon ay, sa isang anggulo ng 90 degree. Ang tangent ay maaaring tumagal ng lahat ng iba pang mga halaga.

Ang tangent ay positibo sa una at pangatlong bahagi ng bilog ng yunit, at negatibo sa pangalawa at ikaapat.

Ang Trigonometry, bilang isang agham, ay nagmula sa Sinaunang Silangan. Ang mga unang ratio ng trigonometric ay nakuha ng mga astronomo upang lumikha ng isang tumpak na kalendaryo at orientation ng bituin. Ang mga kalkulasyong ito na nauugnay sa spherical trigonometry, habang nasa kurso sa paaralan ay pinag-aaralan nila ang aspeto ng ratio at anggulo ng isang patag na tatsulok.

Ang Trigonometry ay isang sangay ng matematika na tumatalakay sa mga pag-aari ng mga trigonometric function at ang ugnayan sa pagitan ng mga panig at anggulo ng mga triangles.

Sa panahon ng kasikatan ng kultura at agham ng ika-1 sanlibong taon AD, ang kaalaman ay kumalat mula sa Sinaunang Silangan hanggang sa Greece. Ngunit ang pangunahing natuklasan ng trigonometry ay ang merito ng mga kalalakihan ng Arab Caliphate. Sa partikular, ipinakilala ng siyentipikong Turkmen na al-Marazvi ang mga pagpapaandar tulad ng tangent at cotangent, na pinagsama ang mga unang talahanayan ng mga halaga para sa mga kasalanan, tangen at cotangent. Ang konsepto ng sine at cosine ay ipinakilala ng mga siyentista sa India. Ang isang pulutong ng pansin ay nakatuon sa trigonometry sa mga gawa ng tulad mahusay na mga numero ng unang panahon tulad ng Euclid, Archimedes at Eratosthenes.

Pangunahing dami ng trigonometry

Ang pangunahing pag-andar ng trigonometric ng isang numerong argument ay sine, cosine, tangent, at cotangent. Ang bawat isa sa kanila ay may kanya-kanyang grap: sine, cosine, tangent at cotangent.

Ang mga formula para sa pagkalkula ng mga halaga ng mga dami na ito ay batay sa teorama ng Pythagorean. Mas alam ng mga mag-aaral sa salitang ito: "Ang pantalon na Pythagorean, pantay sa lahat ng direksyon", dahil ang katibayan ay ibinibigay sa halimbawa ng isang isosceles na may tatsulok na may anggulo.

Ang sine, cosine at iba pang mga dependency ay nagtataguyod ng isang ugnayan sa pagitan ng matalas na mga anggulo at panig ng anumang kanang tatsulok. Bigyan natin ang mga formula para sa pagkalkula ng mga halagang ito para sa anggulo A at subaybayan ang ugnayan ng mga pag-andar na trigonometric:

Tulad ng nakikita mo, ang tg at ctg ay mga kabaligtad na pag-andar. Kung kinakatawan namin ang leg a bilang produkto ng sin A at hypotenuse c, at leg b bilang cos A * c, nakukuha natin ang mga sumusunod na formula para sa tangent at cotangent:

Bilog ng Trigonometric

Sa graphic, ang ratio ng mga dami na ito ay maaaring kinatawan bilang mga sumusunod:

Ang bilog, sa kasong ito, ay kumakatawan sa lahat ng mga posibleng halaga ng anggulo α - mula sa 0 ° hanggang 360 °. Tulad ng nakikita mo mula sa figure, ang bawat pagpapaandar ay tumatagal ng isang negatibo o positibong halaga depende sa anggulo. Halimbawa, ang sin α ay makakasama ng isang "+" sign kung ang α ay kabilang sa I at II quarters ng isang bilog, iyon ay, ay nasa saklaw mula 0 ° hanggang 180 °. Kapag ang α ay mula sa 180 ° hanggang 360 ° (III at IV quarters), ang kasalanan α ay maaari lamang maging negatibo.

Subukan nating bumuo ng mga talahanayan ng trigonometric para sa mga tukoy na anggulo at alamin ang halaga ng mga dami.

Ang mga halaga ng α katumbas ng 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 180 ° at iba pa ay tinatawag na mga espesyal na kaso. Ang mga halaga ng mga function na trigonometric para sa kanila ay kinakalkula at ipinakita sa anyo ng mga espesyal na talahanayan.

Ang mga anggulong ito ay hindi pinili nang hindi sinasadya. Ang pagtatalaga π sa mga talahanayan ay nangangahulugang mga radian. Ang Rad ay ang anggulo kung saan ang haba ng isang pabilog na arko ay tumutugma sa radius nito. Ang halagang ito ay ipinakilala upang maitaguyod ang isang unibersal na pagpapakandili; kapag nagkakalkula sa mga radian, ang tunay na haba ng radius sa cm ay hindi mahalaga.

Ang mga anggulo sa mga talahanayan para sa mga pag-andar ng trigonometric ay tumutugma sa mga halaga ng mga radian:

Kaya, hindi mahirap hulaan na ang 2π ay isang buong bilog o 360 °.

Mga pag-aari ng trigonometric function: sine at cosine

Upang isaalang-alang at ihambing ang mga pangunahing katangian ng sine at cosine, tangent at cotangent, kinakailangan upang iguhit ang kanilang mga pagpapaandar. Maaari itong gawin sa anyo ng isang curve na matatagpuan sa isang dalawang-dimensional na sistema ng coordinate.

Isaalang-alang ang isang mapaghahambing na talahanayan ng mga pag-aari para sa isang sine wave at isang cosine wave:

Ang pagtukoy kung ang isang pagpapaandar ay pantay o hindi ay napaka-simple. Ito ay sapat na upang isipin ang isang trigonometric na bilog na may mga palatandaan ng mga trigonometric na dami at itak na "idagdag" ang grap tungkol sa axis ng OX. Kung magkasabay ang mga palatandaan, pantay ang pagpapaandar, kung hindi man ay kakaiba.

Ang pagpapakilala ng mga radian at ang bilang ng mga pangunahing katangian ng isang sinusoid at cosine ay nagbibigay-daan sa amin upang ibigay ang sumusunod na pattern:

Napakadali upang matiyak na ang formula ay tama. Halimbawa, para sa x \u003d π / 2 ang sine ay 1, tulad ng cosine x \u003d 0. Ang tseke ay maaaring isagawa sa pamamagitan ng pagtukoy sa mga talahanayan o sa pamamagitan ng pagsunod sa mga kurba ng mga pagpapaandar para sa mga naibigay na halaga.

Tangentoid at Cotangentoid Properties

Ang mga plots ng tangent at cotangent function ay naiiba nang naiiba mula sa sine at cosine. Ang mga halagang tg at CTg ay kabaligtaran sa bawat isa.

1. Y \u003d tg x.
2. Ang tangensoid ay may gawi sa mga y-halaga sa x \u003d π / 2 + πk, ngunit hindi naabot ang mga ito.
3. Ang pinakamaliit na positibong panahon ng tangentoid ay π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, iyon ay, ang pagpapaandar ay kakaiba.
5. Tg x \u003d 0, para sa x \u003d πk.
6. Ang pag-andar ay dumarami.
7. Tg x ›0, para sa x ϵ (πk, π / 2 + πk).
8. Tg x ‹0, para sa x ϵ (- π / 2 + πk, πk).
9. Hango (tg x) ’\u003d 1 / cos 2 \u2061x.

Isaalang-alang ang isang grapikong representasyon ng isang cotangentoid sa ibaba sa teksto.

Ang pangunahing mga katangian ng isang cotangensoid:

1. Y \u003d ctg x.
2. Hindi tulad ng mga pagpapaandar ng sine at cosine, sa tangentoid Y ay maaaring tumagal ng mga halaga ng hanay ng lahat ng totoong mga numero.
3. Ang cotangensoid ay may gawi sa mga halaga ng y at x \u003d πk, ngunit hindi naabot ang mga ito.
4. Ang pinakamaliit na positibong panahon ng isang cotangensoid ay π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, iyon ay, ang pagpapaandar ay kakaiba.
6. Ctg x \u003d 0, para sa x \u003d π / 2 + πk
7. Ang pag-andar ay bumababa.
8. Ctg x ›0, para sa x ϵ (πk, π / 2 + πk).
9. Ctg x ‹0, para sa x ϵ (π / 2 + πk, πk).
10. Hango (ctg x) ’\u003d - 1 / sin 2 \u2061x Tama

Paano makahanap ng sine?

Ang pag-aaral ng geometry ay tumutulong sa pagbuo ng pag-iisip. Ang paksang ito ay kinakailangang isama sa pagsasanay sa paaralan. Sa buhay, ang kaalaman sa paksang ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang - halimbawa, kapag nagpaplano ng isang apartment.

Mula sa kasaysayan

Bilang bahagi ng kurso na geometry, pinag-aaralan din ang trigonometry, na sinusuri ang mga pagpapaandar ng trigonometric. Sa trigonometry, pinag-aaralan namin ang mga kasalanan, cosine, tangent at cotangents ng isang anggulo.

Ngunit sa ngayon, magsimula tayo sa pinakasimpleng bagay - sine. Tingnan natin nang mabuti ang unang konsepto - ang sine ng isang anggulo sa geometry. Ano ang sine at paano mo ito mahahanap?

Ang konsepto ng "sine anggulo" at sinusoids

Ang sine ng isang anggulo ay ang ratio ng mga halaga ng kabaligtaran binti at ang hypotenuse ng isang tamang tatsulok. Ito ay isang direktang pagpapaandar ng trigonometric, na nakasulat bilang "kasalanan (x)", kung saan ang (x) ay angulo ng tatsulok.

Sa grap, ang sine ng isang anggulo ay tinukoy ng isang sinusoid na may sariling mga katangian. Ang isang sinusoid ay mukhang isang tuluy-tuloy na wavy line na nakalagay sa loob ng ilang mga limitasyon sa coordinate plane. Ang pagpapaandar ay kakaiba, samakatuwid ito ay simetriko na may paggalang sa 0 sa coordinate na eroplano (iniiwan ang pinagmulan ng mga coordinate).

Ang saklaw ng pagpapaandar na ito ay nasa saklaw mula -1 hanggang +1 sa Cartesian coordinate system. Ang panahon ng pag-andar ng anggulo ng sine ay 2 Pi. Nangangahulugan ito na bawat 2 pi na pattern ay paulit-ulit at ang sinusoid ay dumadaan sa isang buong siklo.

Sinusoid equation

• kasalanan x \u003d a / c
• kung saan ang binti ay nasa tapat ng anggulo ng tatsulok
• c - hypotenuse ng isang tamang tatsulok

Mga Sine Angle Properties

1. kasalanan (x) \u003d - kasalanan (x). Ipinapakita ng tampok na ito na ang pagpapaandar ay simetriko, at kung isasantabi namin ang mga halaga ng x at (-x) sa coordinate system sa magkabilang direksyon, ang mga ordinate ng mga puntong ito ay magiging kabaligtaran. Magiging equidistant sila mula sa bawat isa.
2. Ang isa pang tampok ng pagpapaandar na ito ay ang pagtaas ng grap ng pagpapaandar sa agwat [- P / 2 + 2 Pn]; [/ 2 + 2Пn], kung saan ang n ay anumang integer. Ang isang pagbawas sa grap ng sine ng anggulo ay makikita sa segment: [P / 2 + 2 Pn]; [3P / 2 + 2Pn].
3. kasalanan (x)\u003e 0 kapag ang x ay nakasalalay sa saklaw (2Pn, П + 2Pn)
4. (x)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

Ang mga halaga ng mga kasalanan ng anggulo ay natutukoy ayon sa mga espesyal na talahanayan. Ang mga nasabing talahanayan ay nilikha upang mapabilis ang proseso ng pagkalkula ng mga kumplikadong pormula at equation. Madaling gamitin ito at naglalaman ng mga halaga ng hindi lamang pag-andar ng kasalanan (x), kundi pati na rin ang mga halaga ng iba pang mga pagpapaandar.

Bukod dito, ang talahanayan ng mga karaniwang halaga ng mga pagpapaandar na ito ay kasama sa sapilitan na pag-aaral ng memorya, bilang isang talahanayan ng pagpaparami. Totoo ito lalo na para sa mga klase na may bias sa pisikal at matematika. Sa talahanayan maaari mong makita ang mga halaga ng pangunahing mga anggulo na ginamit sa trigonometry: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 at 360 degree.

Mayroon ding isang talahanayan na tumutukoy sa mga halaga ng mga trigonometric na pag-andar ng mga di-pamantayan na mga anggulo. Gamit ang iba't ibang mga talahanayan, madali mong makalkula ang sine, cosine, tangent at cotangent ng ilang mga anggulo.

Ang mga equation ay binubuo ng mga trigonometric function. Madaling malutas ang mga equation na ito kung alam mo ang mga simpleng pagkakakilanlang trigonometric at mga conversion ng mga pag-andar, halimbawa, tulad ng kasalanan (P / 2 + x) \u003d cos (x) at iba pa. Ang isang hiwalay na mesa ay naipon din para sa mga naturang cast.

Paano makahanap ng sine ng isang anggulo

Kapag ang gawain ay upang hanapin ang sine ng isang anggulo, at sa kundisyon mayroon lamang kaming cosine, tangent, o cotangent ng isang anggulo, madali nating makalkula kung ano ang kailangan natin gamit ang mga trigonometric na pagkakakilanlan.

• kasalanan 2 x + cos 2 x \u003d 1

Batay sa equation na ito, mahahanap natin ang parehong sine at cosine, depende sa kung aling halaga ang hindi alam. Nakakuha kami ng isang trigonometric equation na may isang hindi kilalang:

• kasalanan 2 x \u003d 1 - cos 2 x
• kasalanan x \u003d ± √ 1 - cos 2 x
• cTg 2 x + 1 \u003d 1 / kasalanan 2 x

Mula sa equation na ito, mahahanap mo ang halaga ng sine, alam ang halaga ng cotangent ng anggulo. Para sa pagiging simple, palitan ang kasalanan 2 x \u003d y, at pagkatapos ay mayroon kang isang simpleng equation. Halimbawa, ang halaga ng cotangent ay 1, pagkatapos ay:

• 1 + 1 \u003d 1 / y
• 2 \u003d 1 / y
• 2y \u003d 1
• y \u003d 1/2

Ginagawa namin ang pabalik na kapalit ng laro:

• kasalanan 2 x \u003d ½
• kasalanan x \u003d 1 / √2

Dahil kinuha namin ang cotangent na halaga para sa karaniwang anggulo (45 0), ang mga nakuha na halaga ay maaaring suriin laban sa talahanayan.

Kung bibigyan ka ng halaga ng tangent, ngunit kailangan mong hanapin ang sine, makakatulong ang isa pang pagkakakilanlang trigonometric:

• tg x * ctg x \u003d 1

Sumusunod ito sa:

• cTg x \u003d 1 / tg x

Upang mahanap ang sine ng isang hindi pamantayang anggulo, halimbawa, 240 0, kailangan mong gamitin ang mga formula ng pagbawas ng anggulo. Alam namin na ang π ay tumutugma sa 180 0. Sa gayon, ipahayag namin ang aming pagkakapantay-pantay sa mga tuntunin ng karaniwang mga anggulo sa pamamagitan ng paglawak.

• 240 0 = 180 0 + 60 0

Kailangan nating hanapin ang sumusunod: kasalanan (180 0 + 60 0). Ang Trigonometry ay may mga formula sa pagbawas na madaling gamiting sa kasong ito. Ito ang pormula:

• kasalanan (π + x) \u003d - kasalanan (x)

Kaya, ang sine ng isang anggulo ng 240 degree ay:

• kasalanan (180 0 + 60 0) \u003d - kasalanan (60 0) \u003d - √3 / 2

Sa aming kaso, x \u003d 60, at P, ayon sa pagkakabanggit, 180 degree. Natagpuan namin ang halaga (-√3 / 2) mula sa talahanayan ng mga halaga ng mga pag-andar ng karaniwang mga anggulo.

Sa ganitong paraan, maaaring mapalawak ang mga hindi pamantayang mga anggulo, halimbawa: 210 \u003d 180 + 30.

Sinus talamak na anggulo α ng isang tamang tatsulok ay ang ratio kabaliktaran binti sa hypotenuse.
Ito ay itinalaga bilang: sin α.

Cosine talamak na anggulo α ng isang tamang tatsulok ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse.
Ito ay itinalaga bilang: cos α.

Tangent talamak na anggulo α ay ang ratio ng kabaligtaran binti sa katabing binti.
Ito ay itinalaga tulad ng sumusunod: tg α.

Cotangent talamak na anggulo α ay ang ratio ng katabing binti sa kabaligtaran.
Ito ay itinalaga tulad ng sumusunod: CTg α.

Ang sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo ay nakasalalay lamang sa lakas ng anggulo.

Mga Panuntunan:

Pangunahing mga pagkakakilanlang trigonometric sa isang tamang tatsulok:

(α - isang matinding anggulo sa tapat ng binti b at katabi ng paa a ... Tagiliran mula sa - hypotenuse. β Ay ang pangalawang matinding anggulo).

Na may pagtaas ng talamak na anggulokasalanan α attg α taasan, atbumababa ang cos α.

Para sa anumang matinding anggulo α:

kasalanan (90 ° - α) \u003d cos α

cos (90 ° - α) \u003d kasalanan α

Halimbawa ng paglilinaw:

Hayaan ang isang tatsulok na tatsulok na ABC
AB \u003d 6,
BC \u003d 3,
anggulo A \u003d 30º.

Alamin ang sine ng anggulo A at cosine ng anggulo B.

Desisyon .

1) Una, nakita namin ang halaga ng anggulo B. Lahat ay simple: dahil sa isang tatsulok na may tatsulok na kabuuan ang kabuuan ng mga matalas na anggulo ay 90 °, pagkatapos ang anggulo B \u003d 60 °:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.

2) Kalkulahin ang kasalanan A. Alam natin na ang sine ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse. Para sa anggulo A, ang kabaligtaran ng binti ay bahagi ng BC. Kaya:

BC 3 1
kasalanan A \u003d - \u003d - \u003d -
AB 6 2

3) Ngayon kinakalkula namin ang cos B. Alam namin na ang cosine ay katumbas ng ratio ng katabing binti sa hypotenuse. Para sa anggulo B, ang katabing binti ay ang parehong panig BC. Nangangahulugan ito na kailangan naming muling hatiin ang BC ng AB - iyon ay, gumanap ng parehong mga aksyon tulad ng kapag kinakalkula ang sine ng anggulo A:

BC 3 1
cos B \u003d - \u003d - \u003d -
AB 6 2

Ang resulta ay:
kasalanan A \u003d cos B \u003d 1/2.

kasalanan 30º \u003d cos 60º \u003d 1/2.

Sinusundan ito mula dito na sa isang may kanang anggulo na tatsulok ang sine ng isang matalas na anggulo ay katumbas ng cosine ng isa pang matalas na anggulo - at kabaliktaran. Ito ang ibig sabihin ng aming dalawang formula:
kasalanan (90 ° - α) \u003d cos α
cos (90 ° - α) \u003d kasalanan α

Siguraduhin nating muli ito:

1) Hayaan ang α \u003d 60º. Ang pagpapalit ng halaga ng α sa sine formula, nakukuha namin ang:
kasalanan (90º - 60º) \u003d cos 60º.
kasalanan 30º \u003d cos 60º.

2) Hayaan ang α \u003d 30º. Ang pagpapalit ng halaga ng α sa pormula sa cosine, nakukuha namin ang:
cos (90 ° - 30 °) \u003d kasalanan 30 °.
cos 60 ° \u003d kasalanan 30 °.

(Para sa karagdagang impormasyon sa trigonometry, tingnan ang seksyon ng Algebra)

Sisimulan namin ang pag-aaral ng trigonometry sa isang may tatsulok na tatsulok. Tukuyin natin kung ano ang sine at cosine, pati na rin ang tangent at cotangent ng isang matalas na anggulo. Ito ang mga pangunahing kaalaman sa trigonometry.

Tandaan mo yan kanang anggulo ay isang anggulo ng 90 degree. Sa madaling salita, kalahati ng isang pipi na sulok.

Matalim na sulok - mas mababa sa 90 degree.

Angulo ng paggamit - mas malaki sa 90 degree. Kapag inilapat sa gayong sulok, ang "pipi" ay hindi isang insulto, ngunit isang term na matematika :-)

Gumuhit tayo ng isang tamang tatsulok. Ang isang tamang anggulo ay karaniwang ipinahiwatig. Tandaan na ang gilid sa tapat ng sulok ay tinukoy ng parehong titik, maliit lamang. Kaya, ang panig sa tapat ng sulok A ay tinukoy.

Ang anggulo ay ipinahiwatig ng kaukulang titik na Griyego.

Hypotenuse ang isang tatsulok na may anggulo na kanang ay ang gilid sa tapat ng kanang anggulo.

Mga binti- mga gilid na nakahiga sa tapat ng matalim na mga sulok.

Ang binti sa tapat ng sulok ay tinatawag sumasalungat (na may kaugnayan sa sulok). Ang isa pang binti, na nakasalalay sa isang gilid ng sulok, ay tinawag katabi.

Sinus isang matalas na anggulo sa isang kanang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran binti sa hypotenuse:

Cosine isang matalas na anggulo sa isang tatsulok na may anggulo ang sukat ng katabing binti sa hypotenuse:

Tangent isang matalas na anggulo sa isang tatsulok na may anggulo na kanan ay ang ratio ng kabaligtaran ng binti sa katabing isa:

Isa pang (katumbas) na kahulugan: ang tangent ng isang matalas na anggulo ay ang ratio ng sine ng isang anggulo sa cosine nito:

Cotangent isang matalas na anggulo sa isang tatsulok na may anggulo ang sukat ng katabing binti sa tapat ng isa (o, na pareho, ang ratio ng cosine sa sine):

Tandaan ang pangunahing mga ugnayan para sa sine, cosine, tangent, at cotangent sa ibaba. Ang mga ito ay magiging kapaki-pakinabang sa atin kapag lumulutas ng mga problema.

Patunayan natin ang ilan sa kanila.

Okay, tinukoy at naisulat namin ang mga formula. At para saan ang sine, cosine, tangent at cotangent?

Alam natin yan ang kabuuan ng mga anggulo ng anumang tatsulok ay.

Alam namin ang ugnayan sa pagitan mga pagdiriwang kanang tatsulok. Ito ang teorama ng Pythagorean:.

Ito ay lumabas na ang pag-alam ng dalawang mga anggulo sa isang tatsulok, maaari mong mahanap ang pangatlo. Alam ang dalawang panig sa isang may tatsulok na tatsulok, mahahanap mo ang pangatlo. Nangangahulugan ito na para sa mga sulok - sarili nitong ratio, para sa mga gilid - sarili nito. Ngunit paano kung sa isang may kanang anggulo na tatsulok ay kilala ang isang anggulo (maliban sa tamang isa) at isang gilid, ngunit kailangan mong maghanap ng iba pang mga panig?

Naharap ito ng mga tao sa nakaraan, na gumagawa ng mga mapa ng lugar at ng mabituong kalangitan. Pagkatapos ng lahat, hindi laging posible na direktang masukat ang lahat ng panig ng isang tatsulok.

Sine, cosine at tangent - tinawag din sila mga function na trigonometric ng isang anggulo - ibigay ang ugnayan sa pagitan mga pagdiriwang at sulok tatsulok. Alam ang anggulo, mahahanap mo ang lahat ng mga function na trigonometric gamit ang mga espesyal na talahanayan. At pag-alam sa mga kasalanan, cosine at tangente ng mga anggulo ng isang tatsulok at isa sa mga panig nito, mahahanap mo ang natitira.

Gumaguhit din kami ng isang talahanayan ng sine, cosine, tangent at cotangent na halaga para sa mga "mabubuting" anggulo mula sa.

Tandaan ang dalawang pulang gitling sa talahanayan. Ang tangent at cotangent ay hindi umiiral para sa mga kaukulang anggulo.

Pag-aralan natin ang maraming mga gawain sa trigonometry mula sa FIPI Task Bank.

1. Sa isang tatsulok, ang anggulo ay ,. Hanapin

Ang problema ay nalutas sa apat na segundo.

Sa abot ng , .

2. Sa isang tatsulok, ang anggulo ay ,,. Hanapin

Hanapin sa pamamagitan ng Pythagorean theorem.

Ang problema ay nalutas.

Mga triangles na may sulok at o may mga sulok at madalas na nakatagpo ng mga problema. Kabisaduhin ang pangunahing mga ratios para sa kanila!

Para sa isang tatsulok na may mga sulok at isang binti sa tapat ng anggulo b ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse.

Isang tatsulok na may mga sulok at isosceles. Sa loob nito, ang hypotenuse ay beses na mas malaki kaysa sa binti.

Sinuri namin ang problema sa paglutas ng mga tatsulok na may tamang anggulo - iyon ay, ang paghahanap ng mga hindi kilalang panig o anggulo. Ngunit hindi lang iyon! Sa mga bersyon ng pagsusulit sa matematika, maraming mga problema kung saan lumilitaw ang sine, cosine, tangent o cotangent ng panlabas na sulok ng tatsulok. Dagdag pa tungkol dito sa susunod na artikulo.