Paano malutas ang mga natural na logarithm equation. Ilang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga logarithmic equation

Logarithmic equation tinatawag ang isang equation kung saan ang hindi kilalang (x) at mga expression na kasama nito ay nasa ilalim ng sign ng isang logarithmic function. Ang paglutas ng mga logarithmic equation ay ipinapalagay na pamilyar ka na sa at .
Paano malutas ang mga logarithmic equation?

Ang pinakasimpleng equation ay log a x = b, kung saan ang a at b ay ilang mga numero, ang x ay isang hindi kilala.
Paglutas ng logarithmic equation ang x = a b ay ibinigay: a > 0, a 1.

Dapat pansinin na kung ang x ay nasa isang lugar sa labas ng logarithm, halimbawa log 2 x \u003d x-2, kung gayon ang naturang equation ay tinatawag na halo-halong at isang espesyal na diskarte ay kinakailangan upang malutas ito.

Ang perpektong kaso ay kapag nakatagpo ka ng isang equation kung saan ang mga numero lamang ang nasa ilalim ng tanda ng logarithm, halimbawa x + 2 \u003d log 2 2. Dito sapat na malaman ang mga katangian ng logarithms upang malutas ito. Ngunit ang ganitong uri ng swerte ay hindi madalas mangyari, kaya maghanda para sa mas mahirap na bagay.

Ngunit una, pagkatapos ng lahat, magsimula tayo sa mga simpleng equation. Upang malutas ang mga ito, ito ay kanais-nais na magkaroon ng pinaka-pangkalahatang ideya ng logarithm.

Paglutas ng mga simpleng logarithmic equation

Kabilang dito ang mga equation tulad ng log 2 x \u003d log 2 16. Makikita sa mata na sa pamamagitan ng pag-alis ng sign ng logarithm ay makakakuha tayo ng x \u003d 16.

Upang malutas ang isang mas kumplikadong logarithmic equation, ito ay karaniwang humahantong sa solusyon ng isang ordinaryong algebraic equation o sa solusyon ng pinakasimpleng logarithmic equation log a x = b. Sa pinakasimpleng equation, nangyayari ito sa isang kilusan, kaya naman tinawag silang pinakasimple.

Ang pamamaraan sa itaas ng pagbaba ng logarithms ay isa sa mga pangunahing paraan upang malutas ang mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay. Sa matematika, ang operasyong ito ay tinatawag na potentiation. Mayroong ilang mga patakaran o paghihigpit para sa ganitong uri ng mga operasyon:

• Ang logarithms ay may parehong mga numerical na base
• Ang logarithms sa parehong bahagi ng equation ay libre, i.e. nang walang anumang coefficient at iba pang iba't ibang uri ng pagpapahayag.

Sabihin natin sa equation log 2 x \u003d 2log 2 (1- x), hindi naaangkop ang potentiation - hindi pinapayagan ng coefficient 2 sa kanan. Sa sumusunod na halimbawa, log 2 x + log 2 (1 - x) = log 2 (1 + x) isa sa mga paghihigpit ay hindi rin nasiyahan - mayroong dalawang logarithms sa kaliwa. Iyon ay magiging isa - isang ganap na naiibang bagay!

Sa pangkalahatan, maaari mo lamang alisin ang logarithms kung ang equation ay may anyo:

log a(...) = log a(...)

Ganap na anumang mga expression ay maaaring nasa mga bracket, ito ay ganap na hindi nakakaapekto sa pagpapatakbo ng potentiation. At pagkatapos ng pag-aalis ng mga logarithms, ang isang mas simpleng equation ay mananatili - linear, quadratic, exponential, atbp., na kung saan, umaasa ako, alam mo kung paano lutasin.

Kumuha tayo ng isa pang halimbawa:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Ang paglalapat ng potentiation, nakukuha namin:

log 3 (2x-1) = 2

Batay sa kahulugan ng logarithm, ibig sabihin, na ang logarithm ay ang numero kung saan ang base ay dapat na itaas upang makakuha ng isang expression na nasa ilalim ng tanda ng logarithm, i.e. (4x-1), nakukuha natin:

Muli, nakakuha kami ng magandang sagot. Dito ginawa namin nang walang pag-aalis ng logarithms, ngunit ang potentiation ay nalalapat din dito, dahil ang logarithm ay maaaring gawin mula sa anumang numero, at eksakto ang isa na kailangan namin. Ang pamamaraang ito ay lubhang nakakatulong sa paglutas ng mga logarithmic equation at lalo na sa mga hindi pagkakapantay-pantay.

Lutasin natin ang logarithmic equation log 3 (2x-1) = 2 gamit ang potentiation:

Katawanin natin ang numero 2 bilang isang logarithm, halimbawa, tulad ng log 3 9, dahil 3 2 =9.

Pagkatapos mag-log 3 (2x-1) = log 3 9 at muli makuha namin ang parehong equation 2x-1 = 9. Sana ay malinaw ang lahat.

Kaya tiningnan namin kung paano lutasin ang pinakasimpleng logarithmic equation, na talagang napakahalaga, dahil solusyon ng logarithmic equation, kahit na ang pinaka-kahila-hilakbot at baluktot na mga, sa huli ay palaging bumababa sa paglutas ng pinakasimpleng mga equation.

Sa lahat ng ginawa natin sa itaas, nakalimutan natin ang isang napakahalagang punto, na gaganap ng isang mapagpasyang papel sa hinaharap. Ang katotohanan ay ang solusyon ng anumang logarithmic equation, kahit na ang pinaka elementarya, ay binubuo ng dalawang katumbas na bahagi. Ang una ay ang solusyon ng equation mismo, ang pangalawa ay gumagana sa lugar ng mga ​admissible values ​​(ODV). Iyan pa lang ang unang bahagi na aming pinagkadalubhasaan. Sa mga halimbawa sa itaas, ang ODD ay hindi nakakaapekto sa sagot sa anumang paraan, kaya hindi namin ito isinasaalang-alang.

Kumuha tayo ng isa pang halimbawa:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Sa panlabas, ang equation na ito ay hindi naiiba sa elementarya, na matagumpay na nalutas. Ngunit hindi ganoon. Hindi, siyempre malulutas natin ito, ngunit malamang na mali ito, dahil mayroong isang maliit na pananambang sa loob nito, kung saan ang parehong mga mag-aaral ng C at mga honors na estudyante ay agad na nahuhulog. Tingnan natin ito nang mas malapitan.

Ipagpalagay na kailangan mong hanapin ang ugat ng equation o ang kabuuan ng mga ugat, kung mayroong ilan:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Inilapat namin ang potentiation, dito ito ay pinahihintulutan. Bilang resulta, nakukuha namin ang karaniwang quadratic equation.

Natagpuan namin ang mga ugat ng equation:

May dalawang ugat.

Sagot: 3 at -1

Sa unang tingin, tama ang lahat. Ngunit suriin natin ang resulta at palitan ito sa orihinal na equation.

Magsimula tayo sa x 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Ang tseke ay matagumpay, ngayon ang queue x 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Oo, tumigil ka! Sa panlabas, lahat ay perpekto. Isang sandali - walang logarithms mula sa mga negatibong numero! At nangangahulugan ito na ang ugat x \u003d -1 ay hindi angkop para sa paglutas ng aming equation. At samakatuwid ang tamang sagot ay magiging 3, hindi 2, tulad ng isinulat namin.

Dito ginampanan ng ODZ ang nakamamatay na papel nito, na nakalimutan natin.

Hayaan akong ipaalala sa iyo na sa ilalim ng lugar ng mga tinatanggap na halaga, ang mga naturang halaga ng x ay tinatanggap na pinapayagan o may katuturan para sa orihinal na halimbawa.

Kung walang ODZ, anumang solusyon, kahit na isang ganap na tama, ng anumang equation ay nagiging lottery - 50/50.

Paano tayo mahuhuli habang nilulutas ang isang tila elementarya na halimbawa? At narito ito sa sandali ng potentiation. Ang logarithms ay nawala, at kasama nila ang lahat ng mga limitasyon.

Ano ang gagawin sa ganitong kaso? Tumangging alisin ang logarithms? At ganap na iwanan ang solusyon ng equation na ito?

Hindi, kami lang, tulad ng mga tunay na bayani mula sa isang sikat na kanta, ay maglilibot!

Bago magpatuloy sa solusyon ng anumang logarithmic equation, isusulat natin ang ODZ. Ngunit pagkatapos nito, maaari mong gawin ang anumang nais ng iyong puso sa aming equation. Nang matanggap ang sagot, itinatapon na lang namin ang mga ugat na hindi kasama sa aming ODZ, at isulat ang huling bersyon.

Ngayon, magpasya tayo kung paano isulat ang ODZ. Upang gawin ito, maingat naming sinusuri ang orihinal na equation at naghahanap ng mga kahina-hinalang lugar dito, tulad ng paghahati sa x, ang ugat ng pantay na antas, atbp. Hanggang sa malutas natin ang equation, hindi natin alam kung ano ang katumbas ng x, ngunit alam nating tiyak na ang naturang x, na, kapag pinapalitan, ay magbibigay ng dibisyon ng 0 o ang pagkuha ng square root ng negatibong numero, ay halatang hindi angkop para sa sagot. Samakatuwid, ang mga naturang x ay hindi katanggap-tanggap, habang ang iba ay bubuo ng ODZ.

Gamitin natin muli ang parehong equation:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Tulad ng makikita mo, walang dibisyon sa pamamagitan ng 0, wala ring mga square root, ngunit may mga expression na may x sa katawan ng logarithm. Agad naming naaalala na ang expression sa loob ng logarithm ay dapat palaging > 0. Ang kundisyong ito ay nakasulat sa anyo ng ODZ:

Yung. wala pa kaming nalutas na anuman, ngunit naisulat na namin ang isang mandatoryong kondisyon para sa buong sublogarithmic expression. Ang curly brace ay nangangahulugan na ang mga kundisyong ito ay dapat matugunan sa parehong oras.

Ang ODZ ay isinulat, ngunit ito rin ay kinakailangan upang malutas ang nagreresultang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay, na aming gagawin. Nakukuha namin ang sagot x > v3. Ngayon alam na natin kung aling x ang hindi babagay sa atin. At pagkatapos ay sinimulan namin ang paglutas ng logarithmic equation mismo, na ginawa namin sa itaas.

Ang pagkakaroon ng natanggap na mga sagot x 1 \u003d 3 at x 2 \u003d -1, madaling makita na ang x1 \u003d 3 lamang ang angkop para sa amin, at isinulat namin ito bilang pangwakas na sagot.

Para sa hinaharap, napakahalagang tandaan ang mga sumusunod: nalulutas namin ang anumang logarithmic equation sa 2 yugto. Ang una - malulutas namin ang equation mismo, ang pangalawa - malulutas namin ang kondisyon ng ODZ. Ang parehong mga yugto ay isinasagawa nang nakapag-iisa sa isa't isa at inihahambing lamang kapag isinusulat ang sagot, i.e. itinatapon namin ang lahat ng hindi kailangan at isulat ang tamang sagot.

Upang pagsama-samahin ang materyal, masidhi naming inirerekumenda na panoorin ang video:

Sa video, iba pang mga halimbawa ng paglutas ng log. mga equation at paggawa ng paraan ng mga pagitan sa pagsasanay.

Dito sa paksa, paano lutasin ang mga logarithmic equation hanggang sa lahat. Kung ang isang bagay ayon sa desisyon ng log. Ang mga equation ay nanatiling hindi malinaw o hindi maintindihan, isulat ang iyong mga tanong sa mga komento.

Tandaan: Ang Academy of Social Education (KSUE) ay handang tumanggap ng mga bagong mag-aaral.

Ang paghahanda para sa huling pagsusulit sa matematika ay may kasamang mahalagang seksyon - "Logarithms". Ang mga gawain mula sa paksang ito ay kinakailangang nakapaloob sa pagsusulit. Ang karanasan ng mga nakaraang taon ay nagpapakita na ang logarithmic equation ay nagdulot ng mga paghihirap para sa maraming mga mag-aaral. Samakatuwid, ang mga mag-aaral na may iba't ibang antas ng pagsasanay ay dapat na maunawaan kung paano mahanap ang tamang sagot at mabilis na makayanan ang mga ito.

Matagumpay na ipasa ang pagsusulit sa sertipikasyon sa tulong ng portal na pang-edukasyon na "Shkolkovo"!

Kapag naghahanda para sa pinag-isang pagsusulit ng estado, ang mga nagtapos sa mataas na paaralan ay nangangailangan ng maaasahang mapagkukunan na nagbibigay ng pinakakumpleto at tumpak na impormasyon para sa matagumpay na solusyon ng mga problema sa pagsusulit. Gayunpaman, ang aklat-aralin ay hindi palaging nasa kamay, at ang paghahanap para sa mga kinakailangang tuntunin at mga formula sa Internet ay madalas na nangangailangan ng oras.

Ang portal na pang-edukasyon na "Shkolkovo" ay nagpapahintulot sa iyo na maghanda para sa pagsusulit kahit saan anumang oras. Ang aming site ay nag-aalok ng pinaka-maginhawang diskarte sa pag-uulit at pag-master ng isang malaking halaga ng impormasyon sa logarithms, pati na rin sa isa at ilang mga hindi alam. Magsimula sa madaling equation. Kung nakayanan mo ang mga ito nang walang kahirapan, magpatuloy sa mas mahirap. Kung nagkakaproblema ka sa paglutas ng isang partikular na hindi pagkakapantay-pantay, maaari mo itong idagdag sa iyong Mga Paborito upang makabalik ka dito sa ibang pagkakataon.

Mahahanap mo ang mga kinakailangang formula upang makumpleto ang gawain, ulitin ang mga espesyal na kaso at pamamaraan para sa pagkalkula ng ugat ng isang karaniwang logarithmic equation sa pamamagitan ng pagtingin sa seksyong "Theoretical Reference". Ang mga guro ng "Shkolkovo" ay nakolekta, na-systematize at ipinakita ang lahat ng mga materyales na kinakailangan para sa matagumpay na paghahatid sa pinakasimple at naiintindihan na anyo.

Upang madaling makayanan ang mga gawain ng anumang kumplikado, sa aming portal maaari mong gawing pamilyar ang iyong sarili sa solusyon ng ilang tipikal na logarithmic equation. Upang gawin ito, pumunta sa seksyong "Mga Catalog". Nagpakita kami ng malaking bilang ng mga halimbawa, kabilang ang mga may equation ng antas ng profile ng Unified State Examination sa matematika.

Maaaring gamitin ng mga mag-aaral mula sa mga paaralan sa buong Russia ang aming portal. Upang makapagsimula, magrehistro lamang sa system at simulan ang paglutas ng mga equation. Upang pagsama-samahin ang mga resulta, ipinapayo namin sa iyo na bumalik sa website ng Shkolkovo araw-araw.

Sa video na ito, magsisimula ako ng mahabang serye ng mga aralin tungkol sa mga logarithmic equation. Ngayon ay mayroon kang tatlong mga halimbawa nang sabay-sabay, batay sa kung saan matututunan nating lutasin ang pinakasimpleng mga gawain, na tinatawag na - protozoa.

log 0.5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Ipaalala ko sa iyo na ang pinakasimpleng logarithmic equation ay ang sumusunod:

mag-log a f(x) = b

Mahalaga na ang variable na x ay naroroon lamang sa loob ng argumento, ibig sabihin, lamang sa function na f(x). At ang mga numerong a at b ay mga numero lamang, at sa anumang kaso ay mga function na naglalaman ng variable na x.

Mga pangunahing paraan ng solusyon

Mayroong maraming mga paraan upang malutas ang mga naturang istruktura. Halimbawa, karamihan sa mga guro sa paaralan ay nagmumungkahi ng ganitong paraan: Ipahayag kaagad ang function f ( x ) gamit ang formula f( x ) = a b . Iyon ay, kapag natugunan mo ang pinakasimpleng konstruksyon, maaari kang magpatuloy kaagad sa solusyon nang walang karagdagang mga aksyon at konstruksyon.

Oo, siyempre, magiging tama ang desisyon. Gayunpaman, ang problema sa formula na ito ay ang karamihan sa mga mag-aaral hindi maintindihan, saan ito nanggaling at bakit eksaktong itinataas natin ang letrang a sa letrang b.

Bilang resulta, madalas kong napapansin ang mga nakakasakit na pagkakamali, kapag, halimbawa, ang mga liham na ito ay ipinagpapalit. Ang pormula na ito ay dapat na maunawaan o isaulo, at ang pangalawang paraan ay humahantong sa mga pagkakamali sa pinaka hindi angkop at pinakamahalagang sandali: sa mga pagsusulit, pagsusulit, atbp.

Iyon ang dahilan kung bakit iminumungkahi ko sa lahat ng aking mga mag-aaral na talikuran ang karaniwang formula ng paaralan at gamitin ang pangalawang diskarte upang malutas ang mga logarithmic equation, na, bilang malamang na nahulaan mo mula sa pangalan, ay tinatawag kanonikal na anyo.

Ang ideya ng canonical form ay simple. Tingnan natin muli ang aming gawain: sa kaliwa mayroon kaming log a , habang ang letrang a ay nangangahulugang eksaktong numero, at sa anumang kaso ang function na naglalaman ng variable na x. Samakatuwid, ang liham na ito ay napapailalim sa lahat ng mga paghihigpit na ipinataw sa base ng logarithm. ibig sabihin:

1 ≠ a > 0

Sa kabilang banda, mula sa parehong equation, makikita natin na ang logarithm ay dapat na katumbas ng numero b, at walang mga paghihigpit na ipinapataw sa liham na ito, dahil maaari itong tumagal ng anumang halaga - parehong positibo at negatibo. Ang lahat ay nakasalalay sa kung anong mga halaga ang kinukuha ng function na f(x).

At dito naaalala natin ang ating kahanga-hangang tuntunin na ang anumang numero b ay maaaring katawanin bilang isang logarithm sa base a mula sa a hanggang sa kapangyarihan ng b:

b = log a a b

Paano matandaan ang formula na ito? Oo, napakasimple. Isulat natin ang sumusunod na konstruksyon:

b = b 1 = b log a a

Siyempre, sa kasong ito, lumitaw ang lahat ng mga paghihigpit na isinulat namin sa simula. At ngayon gamitin natin ang pangunahing katangian ng logarithm, at ipasok ang factor b bilang kapangyarihan ng a. Nakukuha namin:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Bilang resulta, ang orihinal na equation ay muling isusulat sa sumusunod na anyo:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Iyon lang. Ang bagong function ay hindi na naglalaman ng logarithm at nalutas sa pamamagitan ng mga karaniwang pamamaraan ng algebraic.

Siyempre, may tututol ngayon: bakit kinailangan pang makabuo ng ilang uri ng canonical formula, bakit magsagawa ng dalawang karagdagang hindi kinakailangang hakbang, kung posible na agad na pumunta mula sa orihinal na konstruksyon hanggang sa panghuling formula? Oo, kung dahil lang sa karamihan sa mga mag-aaral ay hindi nauunawaan kung saan nagmula ang formula na ito at, bilang resulta, regular na nagkakamali kapag inilalapat ito.

Ngunit ang gayong pagkakasunud-sunod ng mga aksyon, na binubuo ng tatlong hakbang, ay nagbibigay-daan sa iyo upang malutas ang orihinal na logarithmic equation, kahit na hindi mo naiintindihan kung saan nagmula ang panghuling formula na iyon. Sa pamamagitan ng paraan, ang entry na ito ay tinatawag na canonical formula:

log a f(x) = log a a b

Ang kaginhawahan ng canonical form ay nakasalalay din sa katotohanan na maaari itong magamit upang malutas ang isang napakalawak na klase ng mga logarithmic equation, at hindi lamang ang pinakasimpleng mga isasaalang-alang natin ngayon.

Mga halimbawa ng solusyon

Ngayon tingnan natin ang mga tunay na halimbawa. Kaya't magpasya tayo:

log 0.5 (3x - 1) = -3

Isulat muli natin ito tulad nito:

log 0.5 (3x − 1) = log 0.5 0.5 −3

Maraming mga mag-aaral ang nagmamadali at sinusubukan na agad na itaas ang bilang na 0.5 sa kapangyarihan na dumating sa amin mula sa orihinal na problema. At sa katunayan, kapag ikaw ay mahusay na sinanay sa paglutas ng mga naturang problema, maaari mong agad na gawin ang hakbang na ito.

Gayunpaman, kung ngayon ka pa lamang nagsisimulang pag-aralan ang paksang ito, mas mabuting huwag magmadali kahit saan upang hindi makagawa ng mga nakakasakit na pagkakamali. Kaya mayroon tayong canonical form. Meron kami:

3x - 1 = 0.5 -3

Ito ay hindi na isang logarithmic equation, ngunit isang linear na may paggalang sa variable na x. Upang malutas ito, harapin muna natin ang bilang na 0.5 hanggang sa kapangyarihan ng −3. Tandaan na ang 0.5 ay 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

I-convert ang lahat ng decimal sa mga fraction kapag nalutas mo ang isang logarithmic equation.

Muli kaming nagsusulat at nakakuha ng:

3x − 1 = 8
3x=9
x=3

Lahat nakuha namin ang sagot. Ang unang gawain ay nalutas.

Pangalawang gawain

Lumipat tayo sa pangalawang gawain:

Tulad ng nakikita mo, ang equation na ito ay hindi na ang pinakasimpleng isa. Kung lamang dahil ang pagkakaiba ay nasa kaliwa, at hindi isang solong logarithm sa isang base.

Samakatuwid, kailangan mong kahit papaano ay mapupuksa ang pagkakaibang ito. Sa kasong ito, ang lahat ay napaka-simple. Tingnan natin ang mga base: sa kaliwa ay ang numero sa ilalim ng ugat:

Pangkalahatang rekomendasyon: sa lahat ng logarithmic equation, subukang alisin ang mga radical, ibig sabihin, mula sa mga entry na may mga ugat at lumipat sa mga function ng kapangyarihan, dahil lamang ang mga exponent ng mga kapangyarihang ito ay madaling alisin sa tanda ng logarithm at, sa huli, tulad ang isang notasyon ay lubos na nagpapadali at nagpapabilis ng mga kalkulasyon. Isulat natin ito ng ganito:

Ngayon naaalala namin ang kahanga-hangang pag-aari ng logarithm: mula sa argumento, pati na rin mula sa base, maaari kang kumuha ng mga degree. Sa kaso ng mga base, ang mga sumusunod ay nangyayari:

log a k b = 1/k loga b

Sa madaling salita, ang numero na nakatayo sa antas ng base ay dinala at sa parehong oras ay ibinalik, iyon ay, ito ay nagiging kapalit ng numero. Sa aming kaso, mayroong isang antas ng base na may isang tagapagpahiwatig ng 1/2. Samakatuwid, maaari nating alisin ito bilang 2/1. Nakukuha namin:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Pakitandaan: sa anumang kaso hindi mo dapat alisin ang logarithms sa hakbang na ito. Pag-isipang muli ang grade 4-5 math at ang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon: ginagawa muna ang multiplikasyon, at pagkatapos lamang isagawa ang pagdaragdag at pagbabawas. Sa kasong ito, ibawas namin ang isa sa parehong mga elemento mula sa 10 elemento:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Ngayon ang aming equation ay mukhang dapat. Ito ang pinakasimpleng konstruksyon, at nilulutas namin ito gamit ang canonical form:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25

Iyon lang. Ang pangalawang problema ay nalutas.

Pangatlong halimbawa

Lumipat tayo sa ikatlong gawain:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Alalahanin ang sumusunod na formula:

log b = log 10 b

Kung sa ilang kadahilanan ay nalilito ka sa pagsulat ng lg b , kung gayon kapag ginagawa ang lahat ng mga kalkulasyon, maaari mo lamang isulat ang log 10 b . Maaari kang gumawa ng mga decimal logarithms sa parehong paraan tulad ng sa iba: mag-alis ng mga kapangyarihan, magdagdag, at kumatawan sa anumang numero bilang lg 10.

Tiyak na ang mga katangiang ito ang gagamitin natin ngayon upang malutas ang problema, dahil hindi ito ang pinakasimpleng isinulat natin sa simula ng ating aralin.

Upang magsimula, tandaan na ang kadahilanan 2 bago ang lg 5 ay maaaring ipasok at maging isang kapangyarihan ng base 5. Bilang karagdagan, ang libreng termino 3 ay maaari ding katawanin bilang isang logarithm - ito ay napakadaling obserbahan mula sa aming notasyon.

Hukom para sa iyong sarili: anumang numero ay maaaring katawanin bilang log sa base 10:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Isulat muli natin ang orihinal na problema na isinasaalang-alang ang mga natanggap na pagbabago:

lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = lg 25 000

Sa harap natin ay muli ang kanonikal na anyo, at nakuha natin ito sa paglampas sa yugto ng mga pagbabago, ibig sabihin, ang pinakasimpleng logarithmic equation ay hindi dumating kahit saan sa amin.

Iyan ang sinasabi ko sa simula pa lamang ng aralin. Ang canonical form ay nagbibigay-daan sa paglutas ng mas malawak na klase ng mga problema kaysa sa karaniwang formula ng paaralan, na ibinibigay ng karamihan sa mga guro ng paaralan.

Iyon lang, inaalis namin ang tanda ng decimal logarithm, at nakakakuha kami ng isang simpleng linear na konstruksyon:

x + 3 = 25,000
x = 24997

Lahat! Nalutas ang problema.

Isang tala tungkol sa saklaw

Dito nais kong gumawa ng isang mahalagang puna tungkol sa domain ng kahulugan. Tiyak na ngayon ay may mga mag-aaral at guro na magsasabi: "Kapag nilutas natin ang mga expression na may logarithms, kailangang tandaan na ang argumento na f (x) ay dapat na mas malaki kaysa sa zero!" Sa pagsasaalang-alang na ito, isang lohikal na tanong ang lumitaw: bakit sa wala sa mga isinasaalang-alang na mga problema ay hinihiling namin na ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay nasiyahan?

Wag kang mag-alala. Walang lalabas na karagdagang ugat sa mga kasong ito. At ito ay isa pang mahusay na trick na nagbibigay-daan sa iyo upang mapabilis ang solusyon. Alamin lamang na kung sa problema ang variable x ay nangyayari lamang sa isang lugar (o sa halip, sa isa at tanging argumento ng isa at tanging logarithm), at wala saanman sa aming kaso ang variable x, pagkatapos ay isulat ang domain hindi na kailangan dahil awtomatiko itong tatakbo.

Hukom para sa iyong sarili: sa unang equation, nakuha namin na 3x - 1, ibig sabihin, ang argument ay dapat na katumbas ng 8. Ito ay awtomatikong nangangahulugan na ang 3x - 1 ay magiging mas malaki kaysa sa zero.

Sa parehong tagumpay, maaari nating isulat na sa pangalawang kaso, ang x ay dapat na katumbas ng 5 2, ibig sabihin, ito ay tiyak na mas malaki sa zero. At sa ikatlong kaso, kung saan ang x + 3 = 25,000, ibig sabihin, muli, malinaw na mas malaki sa zero. Sa madaling salita, ang saklaw ay awtomatiko, ngunit kung ang x ay nangyayari lamang sa argumento ng isang logarithm lamang.

Iyon lang ang kailangan mong malaman para malutas ang mga simpleng problema. Ang panuntunang ito lamang, kasama ang mga panuntunan sa pagbabago, ay magbibigay-daan sa iyo upang malutas ang isang napakalawak na klase ng mga problema.

Ngunit maging tapat tayo: upang sa wakas ay maunawaan ang pamamaraang ito, upang matutunan kung paano ilapat ang kanonikal na anyo ng logarithmic equation, hindi sapat na manood lamang ng isang aralin sa video. Samakatuwid, sa ngayon, i-download ang mga opsyon para sa isang independiyenteng solusyon na naka-attach sa video tutorial na ito at simulan ang paglutas ng kahit isa sa dalawang independiyenteng gawa na ito.

Aabutin ka lang ng ilang minuto. Ngunit ang epekto ng naturang pagsasanay ay mas mataas kumpara sa kung napanood mo lang ang video tutorial na ito.

Sana ay matulungan ka ng araling ito na maunawaan ang mga logarithmic equation. Ilapat ang canonical form, pasimplehin ang mga expression gamit ang mga patakaran para sa pagtatrabaho sa logarithms - at hindi ka matatakot sa anumang mga gawain. At iyon lang ang mayroon ako para sa araw na ito.

Pagsasaalang-alang sa saklaw

Ngayon pag-usapan natin ang domain ng logarithmic function, pati na rin kung paano ito nakakaapekto sa solusyon ng logarithmic equation. Isaalang-alang ang pagbuo ng form

mag-log a f(x) = b

Ang ganitong expression ay tinatawag na pinakasimpleng - mayroon lamang itong isang function, at ang mga numero a at b ay mga numero lamang, at sa anumang kaso ay isang function na nakasalalay sa variable na x. Ito ay malulutas nang napakasimple. Kailangan mo lamang gamitin ang formula:

b = log a a b

Ang formula na ito ay isa sa mga pangunahing katangian ng logarithm, at kapag pinapalitan sa aming orihinal na expression, nakukuha namin ang sumusunod:

log a f(x) = log a a b

f(x) = a b

Isa na itong pamilyar na pormula mula sa mga aklat-aralin sa paaralan. Maraming estudyante ang malamang na may tanong: dahil ang function na f ( x ) sa orihinal na expression ay nasa ilalim ng log sign, ang mga sumusunod na paghihigpit ay ipinapataw dito:

f(x) > 0

Ang paghihigpit na ito ay wasto dahil ang logarithm ng mga negatibong numero ay hindi umiiral. Kaya, marahil dahil sa limitasyong ito, dapat kang magpakilala ng tseke para sa mga sagot? Marahil ay kailangan nilang palitan sa pinagmulan?

Hindi, sa pinakasimpleng logarithmic equation, hindi kailangan ang karagdagang check. At dahil jan. Tingnan ang aming huling formula:

f(x) = a b

Ang katotohanan ay ang numero a sa anumang kaso ay mas malaki kaysa sa 0 - ang kinakailangang ito ay ipinapataw din ng logarithm. Ang bilang a ay ang batayan. Sa kasong ito, walang mga paghihigpit na ipinapataw sa numero b. Ngunit hindi ito mahalaga, dahil kahit anong antas ang pagtaas natin ng positibong numero, makakakuha pa rin tayo ng positibong numero sa output. Kaya, ang kinakailangan f (x) > 0 ay awtomatikong natutupad.

Ang talagang sulit na suriin ay ang saklaw ng function sa ilalim ng log sign. Maaaring magkaroon ng medyo kumplikadong mga istraktura, at sa proseso ng paglutas ng mga ito, dapat mong tiyak na sundin ang mga ito. Tingnan natin.

Unang gawain:

Unang hakbang: i-convert ang fraction sa kanan. Nakukuha namin:

Inaalis namin ang tanda ng logarithm at makuha ang karaniwang hindi makatwiran na equation:

Sa mga nakuhang ugat, ang una lang ang nababagay sa atin, dahil ang pangalawang ugat ay mas mababa sa zero. Number 9 lang ang isasagot. Ayan, solve na ang problema. Walang karagdagang mga pagsusuri na ang expression sa ilalim ng logarithm sign ay mas malaki kaysa sa 0 ay kinakailangan, dahil ito ay hindi lamang mas malaki kaysa sa 0, ngunit sa pamamagitan ng kondisyon ng equation ito ay katumbas ng 2. Samakatuwid, ang kinakailangan na "mas malaki kaysa sa zero" ay awtomatikong nasiyahan.

Lumipat tayo sa pangalawang gawain:

Lahat ay pareho dito. Isinulat namin muli ang konstruksiyon, pinapalitan ang triple:

Tinatanggal namin ang mga palatandaan ng logarithm at nakakakuha ng hindi makatwiran na equation:

Namin parisukat ang parehong bahagi, isinasaalang-alang ang mga paghihigpit, at nakukuha namin:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 −4 + ​​​​6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

Niresolba namin ang nagresultang equation sa pamamagitan ng discriminant:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 = −1

x 2 \u003d -6

Ngunit ang x = −6 ay hindi nababagay sa atin, dahil kung papalitan natin ang numerong ito sa ating hindi pagkakapantay-pantay, makakakuha tayo ng:

−6 + 4 = −2 < 0

Sa aming kaso, kinakailangan na ito ay mas malaki sa 0 o, sa matinding mga kaso, katumbas. Ngunit ang x = −1 ay nababagay sa amin:

−1 + 4 = 3 > 0

Ang tanging sagot sa aming kaso ay x = −1. Yan lang ang solusyon. Bumalik tayo sa pinakasimula ng ating mga kalkulasyon.

Ang pangunahing konklusyon mula sa araling ito ay hindi kinakailangang suriin ang mga limitasyon para sa isang function sa pinakasimpleng logarithmic equation. Dahil sa proseso ng paglutas ng lahat ng mga hadlang ay awtomatikong naisakatuparan.

Gayunpaman, hindi ito nangangahulugan na maaari mong ganap na kalimutan ang tungkol sa pag-verify. Sa proseso ng pagtatrabaho sa isang logarithmic equation, maaari itong maging isang hindi makatwiran, na magkakaroon ng sarili nitong mga limitasyon at mga kinakailangan para sa kanang bahagi, na nakita natin ngayon sa dalawang magkaibang mga halimbawa.

Huwag mag-atubiling lutasin ang gayong mga problema at maging maingat lalo na kung may ugat sa argumento.

Logarithmic equation na may iba't ibang base

Patuloy naming pinag-aaralan ang mga logarithmic equation at sinusuri ang dalawa pang mas kawili-wiling mga trick kung saan ito ay sunod sa moda upang malutas ang mas kumplikadong mga istraktura. Ngunit una, tandaan natin kung paano nalutas ang pinakasimpleng mga gawain:

mag-log a f(x) = b

Sa notasyong ito, ang a at b ay mga numero lamang, at sa function na f (x) ang variable na x ay dapat naroroon, at doon lamang, iyon ay, x ay dapat na nasa argumento lamang. Ibahin natin ang mga logarithmic equation gamit ang canonical form. Para dito, tandaan namin iyon

b = log a a b

At ang a b ay isang argumento lamang. Isulat muli natin ang expression na ito tulad ng sumusunod:

log a f(x) = log a a b

Ito mismo ang sinusubukan nating makamit, upang kapwa sa kaliwa at sa kanan ay mayroong logarithm sa base a. Sa kasong ito, maaari nating, sa makasagisag na pagsasalita, i-cross out ang mga palatandaan ng log, at mula sa punto ng view ng matematika, maaari nating sabihin na itumbas lang natin ang mga argumento:

f(x) = a b

Bilang resulta, nakakakuha kami ng bagong expression na mas madaling malulutas. Ilapat natin ang panuntunang ito sa ating mga gawain ngayon.

Kaya ang unang disenyo:

Una sa lahat, tandaan ko na mayroong isang fraction sa kanan, ang denominator nito ay log. Kapag nakakita ka ng expression na tulad nito, sulit na alalahanin ang kahanga-hangang pag-aari ng logarithms:

Isinalin sa Russian, nangangahulugan ito na ang anumang logarithm ay maaaring katawanin bilang isang quotient ng dalawang logarithms na may anumang base c. Siyempre, 0< с ≠ 1.

Kaya: ang formula na ito ay may isang kahanga-hangang espesyal na kaso kapag ang variable c ay katumbas ng variable b. Sa kasong ito, nakakakuha kami ng isang pagbuo ng form:

Ang konstruksiyon na ito ay naobserbahan natin mula sa karatula sa kanan sa ating equation. Palitan natin ang construction na ito ng log a b , nakukuha natin:

Sa madaling salita, kung ihahambing sa orihinal na gawain, pinalitan natin ang argumento at ang base ng logarithm. Sa halip, kailangan naming i-flip ang fraction.

Naaalala namin na ang anumang antas ay maaaring alisin sa base ayon sa sumusunod na panuntunan:

Sa madaling salita, ang coefficient k, na kung saan ay ang antas ng base, ay kinuha bilang isang baligtad na fraction. Kunin natin ito bilang isang baligtad na fraction:

Ang fractional factor ay hindi maaaring iwan sa harap, dahil sa kasong ito ay hindi natin magagawang katawanin ang entry na ito bilang canonical form (pagkatapos ng lahat, sa canonical form, walang karagdagang factor sa harap ng pangalawang logarithm). Samakatuwid, ilagay natin ang fraction 1/4 sa argumento bilang isang kapangyarihan:

Ngayon ay tinutumbasan natin ang mga argumento na ang mga batayan ay pareho (at talagang mayroon tayong parehong mga batayan), at isulat:

x + 5 = 1

x = −4

Iyon lang. Nakuha namin ang sagot sa unang logarithmic equation. Bigyang-pansin: sa orihinal na problema, ang variable na x ay nangyayari lamang sa isang log, at ito ay nasa argumento nito. Samakatuwid, hindi na kailangang suriin ang domain, at ang aming numerong x = −4 ay talagang ang sagot.

Ngayon lumipat tayo sa pangalawang expression:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)

Dito, bilang karagdagan sa karaniwang logarithms, kailangan nating magtrabaho kasama ang lg f (x). Paano malutas ang gayong equation? Maaaring tila sa isang hindi handa na mag-aaral na ito ay isang uri ng lata, ngunit sa katunayan ang lahat ay nalutas sa elementarya.

Tingnang mabuti ang terminong lg 2 log 2 7. Ano ang masasabi natin tungkol dito? Ang mga base at argumento ng log at lg ay pareho, at dapat itong magbigay ng ilang mga pahiwatig. Alalahanin nating muli kung paano kinuha ang mga degree mula sa ilalim ng tanda ng logarithm:

log a b n = n log a b

Sa madaling salita, kung ano ang kapangyarihan ng numero b sa argumento ay nagiging isang kadahilanan sa harap ng log mismo. Ilapat natin ang formula na ito sa expression na lg 2 log 2 7. Huwag matakot sa lg 2 - ito ang pinakakaraniwang expression. Maaari mong muling isulat ito tulad nito:

Para sa kanya, ang lahat ng mga patakaran na nalalapat sa anumang iba pang logarithm ay may bisa. Sa partikular, ang kadahilanan sa harap ay maaaring ipakilala sa kapangyarihan ng argumento. Sumulat tayo:

Kadalasan, hindi nakikita ng mga estudyanteng blangko ang aksyon na ito, dahil hindi magandang magpasok ng isang log sa ilalim ng tanda ng isa pa. Sa katunayan, walang kriminal dito. Bukod dito, nakakakuha kami ng formula na madaling kalkulahin kung naaalala mo ang isang mahalagang panuntunan:

Ang formula na ito ay maaaring ituring bilang isang kahulugan at bilang isa sa mga katangian nito. Sa anumang kaso, kung babaguhin mo ang isang logarithmic equation, dapat mong malaman ang formula na ito sa parehong paraan tulad ng representasyon ng anumang numero sa anyo ng log.

Bumalik kami sa aming gawain. Isinulat namin itong muli na isinasaalang-alang ang katotohanan na ang unang termino sa kanan ng equal sign ay magiging katumbas lang ng lg 7. Mayroon kaming:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

Ilipat natin ang lg 7 sa kaliwa, makuha natin:

lg 56 - lg 7 = -3lg (x + 4)

Ibinabawas namin ang mga expression sa kaliwa dahil mayroon silang parehong base:

lg (56/7) = -3lg (x + 4)

Ngayon tingnan natin ang equation na mayroon tayo. Ito ay halos kanonikal na anyo, ngunit may salik −3 sa kanan. Ilagay natin ito sa tamang argumento ng lg:

lg 8 = lg (x + 4) −3

Sa harap natin ay ang kanonikal na anyo ng logarithmic equation, kaya tinatawid natin ang mga palatandaan ng lg at tinutumbasan ang mga argumento:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0.5

Iyon lang! Nalutas namin ang pangalawang logarithmic equation. Sa kasong ito, walang karagdagang pagsusuri ang kinakailangan, dahil sa orihinal na problema x ay naroroon lamang sa isang argumento.

Hayaan akong muling banggitin ang mga pangunahing punto ng araling ito.

Ang pangunahing pormula na pinag-aaralan sa lahat ng mga aralin sa pahinang ito na nakatuon sa paglutas ng mga logarithmic equation ay ang canonical form. At huwag ipagpaliban ang katotohanan na karamihan sa mga aklat-aralin sa paaralan ay nagtuturo sa iyo kung paano lutasin ang mga ganitong uri ng mga problema sa ibang paraan. Ang tool na ito ay gumagana nang napakahusay at nagbibigay-daan sa iyo upang malutas ang isang mas malawak na klase ng mga problema kaysa sa pinakasimpleng mga problema na aming pinag-aralan sa pinakadulo simula ng aming aralin.

Bilang karagdagan, upang malutas ang mga logarithmic equation, magiging kapaki-pakinabang na malaman ang mga pangunahing katangian. Namely:

1. Ang formula para sa paglipat sa isang base at isang espesyal na kaso kapag nag-flip kami ng log (ito ay lubhang kapaki-pakinabang sa amin sa unang gawain);
2. Ang formula para sa pagdadala at pag-alis ng mga kapangyarihan mula sa ilalim ng tanda ng logarithm. Dito, maraming estudyante ang natigil at hindi nakikita ang point-blank na ang kapangyarihan na kinuha at dinala ay maaaring maglaman ng log f (x). Walang masama diyan. Maaari naming ipakilala ang isang log ayon sa tanda ng isa pa at sa parehong oras ay makabuluhang pasimplehin ang solusyon ng problema, na kung saan ay kung ano ang naobserbahan namin sa pangalawang kaso.

Sa konklusyon, nais kong idagdag na hindi kinakailangang suriin ang saklaw sa bawat isa sa mga kasong ito, dahil saanman ang variable na x ay naroroon lamang sa isang tanda ng log, at sa parehong oras ay nasa argumento nito. Bilang resulta, ang lahat ng mga kinakailangan sa domain ay awtomatikong natutugunan.

Mga problema sa variable na base

Ngayon ay isasaalang-alang natin ang mga logarithmic equation, na para sa maraming mga mag-aaral ay tila hindi pamantayan, kung hindi ganap na hindi malulutas. Pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga expression na nakabatay hindi sa mga numero, ngunit sa mga variable at kahit na mga function. Malulutas namin ang mga naturang constructions gamit ang aming karaniwang pamamaraan, ibig sabihin, sa pamamagitan ng canonical form.

Upang magsimula, alalahanin natin kung paano nalutas ang pinakasimpleng mga problema, na batay sa mga ordinaryong numero. Kaya, ang pinakasimpleng konstruksiyon ay tinatawag

mag-log a f(x) = b

Upang malutas ang mga naturang problema, maaari naming gamitin ang sumusunod na formula:

b = log a a b

Muli naming isinulat ang aming orihinal na expression at makakuha ng:

log a f(x) = log a a b

Pagkatapos ay tinutumbasan namin ang mga argumento, ibig sabihin, isinulat namin:

f(x) = a b

Kaya, inaalis namin ang log sign at lutasin ang karaniwang problema. Sa kasong ito, ang mga ugat na nakuha sa solusyon ay magiging mga ugat ng orihinal na logarithmic equation. Bilang karagdagan, ang tala, kapag ang kaliwa at kanan ay nasa parehong logarithm na may parehong base, ay tinatawag na canonical form. Sa rekord na ito susubukan naming bawasan ang mga constructions ngayon. Kaya tara na.

Unang gawain:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Palitan ang 1 ng log x − 2 (x − 2) 1 . Ang antas na aming naobserbahan sa argumento ay, sa katunayan, ang numero b , na nasa kanan ng katumbas na tanda. Kaya't muli nating isulat ang ating ekspresyon. Nakukuha namin:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

Ano ang nakikita natin? Nasa harap natin ang canonical form ng logarithmic equation, kaya ligtas nating maipantay ang mga argumento. Nakukuha namin:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

Ngunit ang solusyon ay hindi nagtatapos doon, dahil ang equation na ito ay hindi katumbas ng orihinal. Pagkatapos ng lahat, ang resultang pagbuo ay binubuo ng mga function na tinukoy sa buong linya ng numero, at ang aming orihinal na logarithms ay hindi tinukoy sa lahat ng dako at hindi palaging.

Samakatuwid, dapat nating isulat nang hiwalay ang domain ng kahulugan. Huwag tayong maging mas matalino at isulat muna ang lahat ng mga kinakailangan:

Una, ang argumento ng bawat logarithms ay dapat na mas malaki sa 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Pangalawa, ang base ay hindi lamang dapat mas malaki sa 0, ngunit iba rin sa 1:

x − 2 ≠ 1

Bilang resulta, nakukuha namin ang system:

Ngunit huwag maalarma: kapag nagpoproseso ng mga logarithmic equation, ang ganitong sistema ay maaaring lubos na pasimplehin.

Hukom para sa iyong sarili: sa isang banda, hinihiling sa amin na ang quadratic function ay mas malaki kaysa sa zero, at sa kabilang banda, ang quadratic function na ito ay itinutumbas sa isang tiyak na linear expression, na kinakailangan din na ito ay mas malaki kaysa sa zero.

Sa kasong ito, kung kinakailangan natin na ang x − 2 > 0, kung gayon ang kinakailangan na 2x 2 − 13x + 18 > 0 ay awtomatiko ding matutugunan. Samakatuwid, ligtas nating maitawid ang hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng isang quadratic function. Kaya, ang bilang ng mga expression na nakapaloob sa aming system ay mababawasan sa tatlo.

Siyempre, maaari rin nating i-cross out ang linear inequality, ibig sabihin, i-cross out ang x - 2 > 0 at kailanganin iyon ng 2x 2 - 13x + 18 > 0. Ngunit dapat mong aminin na ang paglutas ng pinakasimpleng linear inequality ay mas mabilis at mas madali, kaysa quadratic, kahit na bilang resulta ng paglutas sa buong sistemang ito ay nakuha natin ang parehong mga ugat.

Sa pangkalahatan, subukang i-optimize ang mga kalkulasyon hangga't maaari. At sa kaso ng mga logarithmic equation, i-cross out ang pinakamahirap na hindi pagkakapantay-pantay.

Isulat muli natin ang ating sistema:

Narito ang isang sistema ng tatlong expression, dalawa sa kung saan, sa katunayan, ay naisip na natin. Magkahiwalay nating isulat ang quadratic equation at lutasin ito:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 − 7x + 10 = 0

Bago sa amin ay isang pinababang square trinomial at, samakatuwid, maaari naming gamitin ang mga formula ng Vieta. Nakukuha namin:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x2 = 2

Ngayon, bumalik sa aming system, nakita namin na ang x = 2 ay hindi nababagay sa amin, dahil kailangan naming magkaroon ng x na mas malaki kaysa sa 2.

Ngunit ang x \u003d 5 ay angkop sa amin: ang numero 5 ay mas malaki kaysa sa 2, at sa parehong oras ang 5 ay hindi katumbas ng 3. Samakatuwid, ang tanging solusyon sa sistemang ito ay x \u003d 5.

Lahat, ang gawain ay nalutas, kabilang ang pagsasaalang-alang sa ODZ. Lumipat tayo sa pangalawang equation. Narito kami ay naghihintay para sa mas kawili-wili at makabuluhang mga kalkulasyon:

Ang unang hakbang: pati na rin ang huling pagkakataon, dinadala namin ang lahat ng negosyong ito sa isang kanonikal na anyo. Upang gawin ito, maaari naming isulat ang numero 9 tulad ng sumusunod:

Ang base na may ugat ay hindi maaaring hawakan, ngunit ito ay mas mahusay na baguhin ang argumento. Lumipat tayo mula sa ugat patungo sa kapangyarihan na may makatwirang exponent. Sumulat tayo:

Hayaan akong hindi muling isulat ang aming buong malaking logarithmic equation, ngunit agad na ipantay ang mga argumento:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Bago natin ay ang muling pinababang square trinomial, gagamitin natin ang mga formula ng Vieta at isusulat:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Kaya, nakuha namin ang mga ugat, ngunit walang garantiya sa amin na sila ay magkasya sa orihinal na logarithmic equation. Pagkatapos ng lahat, ang mga palatandaan ng log ay nagpapataw ng mga karagdagang paghihigpit (dito kailangan nating isulat ang system, ngunit dahil sa pagiging kumplikado ng buong konstruksiyon, nagpasya akong kalkulahin ang domain ng kahulugan nang hiwalay).

Una sa lahat, tandaan na ang mga argumento ay dapat na mas malaki kaysa sa 0, ibig sabihin:

Ito ang mga kinakailangan na ipinataw ng domain ng kahulugan.

Napansin namin kaagad na dahil itinutumbas namin ang unang dalawang expression ng system sa isa't isa, maaari naming i-cross out ang alinman sa mga ito. I-cross out natin ang una dahil mukhang mas menacing ito kaysa sa pangalawa.

Bilang karagdagan, tandaan na ang mga solusyon ng pangalawa at pangatlong hindi pagkakapantay-pantay ay magiging parehong mga hanay (ang kubo ng ilang numero ay mas malaki kaysa sa zero, kung ang numerong ito mismo ay mas malaki kaysa sa zero; katulad din sa ugat ng ikatlong antas - ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ito ay ganap na katulad, kaya isa sa kanila ay maaari nating i-cross out).

Ngunit sa ikatlong hindi pagkakapantay-pantay, hindi ito gagana. Alisin natin ang tanda ng radikal sa kaliwa, kung saan itinataas natin ang parehong bahagi sa isang kubo. Nakukuha namin:

Kaya nakuha namin ang mga sumusunod na kinakailangan:

−2 ≠ x > −3

Alin sa ating mga ugat: x 1 = -3 o x 2 = -1 ang nakakatugon sa mga kinakailangang ito? Malinaw, ang x = −1 lamang, dahil ang x = −3 ay hindi nakakatugon sa unang hindi pagkakapantay-pantay (dahil ang ating hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit). Sa kabuuan, pagbalik sa ating problema, makakakuha tayo ng isang ugat: x = −1. Iyon lang, nalutas ang problema.

Muli, ang mga pangunahing punto ng gawaing ito:

1. Huwag mag-atubiling ilapat at lutasin ang mga logarithmic equation gamit ang canonical form. Ang mga mag-aaral na gumagawa ng ganoong rekord, at hindi direktang pumunta mula sa orihinal na problema patungo sa isang konstruksyon tulad ng log a f ( x ) = b , ay gumagawa ng mas kaunting mga pagkakamali kaysa sa mga nagmamadali sa isang lugar, na nilalaktawan ang mga intermediate na hakbang ng mga kalkulasyon;
2. Sa sandaling lumitaw ang isang variable na base sa logarithm, ang problema ay tumigil na maging ang pinakasimpleng. Samakatuwid, kapag nilutas ito, kinakailangang isaalang-alang ang domain ng kahulugan: ang mga argumento ay dapat na mas malaki kaysa sa zero, at ang mga batayan ay hindi lamang dapat mas malaki kaysa sa 0, ngunit hindi rin sila dapat katumbas ng 1.

Maaari mong ipataw ang mga huling kinakailangan sa mga huling sagot sa iba't ibang paraan. Halimbawa, posibleng malutas ang isang buong sistema na naglalaman ng lahat ng mga kinakailangan sa domain. Sa kabilang banda, maaari mo munang lutasin ang problema mismo, at pagkatapos ay tandaan ang tungkol sa domain ng kahulugan, gawin ito nang hiwalay sa anyo ng isang sistema at ilapat ito sa nakuha na mga ugat.

Aling paraan ang pipiliin kapag nagresolba ng partikular na logarithmic equation ang nasa iyo. Sa anumang kaso, ang sagot ay magiging pareho.

Isaalang-alang natin ang ilang uri ng logarithmic equation na hindi madalas na isinasaalang-alang sa mga aralin sa matematika sa paaralan, ngunit malawakang ginagamit sa paghahanda ng mga mapagkumpitensyang gawain, kabilang ang para sa PAGGAMIT.

1. Nalutas ang mga equation sa pamamagitan ng logarithm method

Kapag nilulutas ang mga equation na naglalaman ng variable sa base at sa exponent, ginagamit ang logarithm method. Kung, bilang karagdagan, ang exponent ay naglalaman ng logarithm, ang magkabilang panig ng equation ay dapat na logarithmize sa base ng logarithm na ito.

Halimbawa 1

Lutasin ang equation: x log 2 x + 2 = 8.

Solusyon.

Kinukuha namin ang logarithm ng kaliwa at kanang bahagi ng equation sa base 2. Nakukuha namin

log 2 (x log 2 x + 2) = log 2 8,

(log 2 x + 2) log 2 x = 3.

Hayaan ang log 2 x = t.

Pagkatapos (t + 2)t = 3.

t 2 + 2t - 3 = 0.

D \u003d 16. t 1 \u003d 1; t 2 \u003d -3.

Kaya mag-log 2 x \u003d 1 at x 1 \u003d 2 o mag-log 2 x \u003d -3 at x 2 \u003d 1/8

Sagot: 1/8; 2.

2. Homogeneous logarithmic equation.

Halimbawa 2

Lutasin ang equation log 2 3 (x 2 - 3x + 4) - 3log 3 (x + 5) log 3 (x 2 - 3x + 4) - 2log 2 3 (x + 5) = 0

Solusyon.

Equation domain

(x 2 - 3x + 4 > 0,
(x + 5 > 0. → x > -5.

log 3 (x + 5) = 0 para sa x = -4. Sa pamamagitan ng pagsuri, natutukoy namin na ang ibinigay na halaga ng x ay hindi ay ang ugat ng orihinal na equation. Samakatuwid, maaari nating hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng log 2 3 (x + 5).

Nakukuha namin ang log 2 3 (x 2 - 3x + 4) / log 2 3 (x + 5) - 3 log 3 (x 2 - 3x + 4) / log 3 (x + 5) + 2 = 0.

Hayaan ang log 3 (x 2 - 3x + 4) / log 3 (x + 5) = t. Pagkatapos t 2 - 3 t + 2 = 0. Ang mga ugat ng equation na ito ay 1; 2. Pagbabalik sa orihinal na variable, kumuha tayo ng set ng dalawang equation

Ngunit isinasaalang-alang ang pagkakaroon ng logarithm, ang mga halaga lamang ng (0; 9] ang dapat isaalang-alang. Nangangahulugan ito na ang expression sa kaliwang bahagi ay tumatagal ng pinakamalaking halaga 2 sa x \u003d 1. Ngayon isaalang-alang ang function na y \u003d 2 x-1 + 2 1-x. Kung kukuha tayo ng t \u003d 2 x -1, pagkatapos ay kukuha ito ng form na y \u003d t + 1 / t, kung saan t > 0. Sa ilalim ng gayong mga kondisyon, mayroon itong isang kritikal na punto t \u003d 1. Ito ang pinakamababang punto. Y vin \u003d 2. At naabot ito sa x \u003d 1.

Ngayon ay malinaw na ang mga graph ng mga isinasaalang-alang na function ay maaaring mag-intersect nang isang beses lamang sa punto (1; 2). Lumalabas na ang x \u003d 1 ang tanging ugat ng equation na niresolba.

Sagot: x = 1.

Halimbawa 5. Lutasin ang equation log 2 2 x + (x - 1) log 2 x \u003d 6 - 2x

Solusyon.

Lutasin natin ang equation na ito para sa log 2 x. Hayaan ang log 2 x = t. Pagkatapos t 2 + (x - 1) t - 6 + 2x \u003d 0.

D \u003d (x - 1) 2 - 4 (2x - 6) \u003d (x - 5) 2. t 1 \u003d -2; t 2 \u003d 3 - x.

Nakukuha namin ang equation log 2 x \u003d -2 o log 2 x \u003d 3 - x.

Ang ugat ng unang equation ay x 1 = 1/4.

Ang ugat ng equation log 2 x \u003d 3 - x ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagpili. Ang numerong ito ay 2. Ang ugat na ito ay natatangi, dahil ang function na y \u003d log 2 x ay tumataas sa buong domain ng kahulugan, at ang function na y \u003d 3 - x ay bumababa.

Sa pamamagitan ng pagsuri ay madaling matiyak na ang parehong mga numero ay ang mga ugat ng equation

Sagot: 1/4; 2.

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Tulad ng alam mo, kapag nagpaparami ng mga expression na may mga kapangyarihan, ang kanilang mga exponents ay palaging nagdaragdag (a b * a c = a b + c). Ang batas sa matematika na ito ay hinango ni Archimedes, at nang maglaon, noong ika-8 siglo, ang mathematician na si Virasen ay lumikha ng isang talahanayan ng mga integer indicator. Sila ang nagsilbi para sa karagdagang pagtuklas ng logarithms. Ang mga halimbawa ng paggamit ng function na ito ay matatagpuan halos kahit saan kung saan kinakailangan na gawing simple ang masalimuot na multiplikasyon sa simpleng karagdagan. Kung gumugugol ka ng 10 minuto sa pagbabasa ng artikulong ito, ipapaliwanag namin sa iyo kung ano ang logarithms at kung paano gamitin ang mga ito. Simple at naa-access na wika.

Kahulugan sa matematika

Ang logarithm ay isang expression ng sumusunod na anyo: log ab=c, iyon ay, ang logarithm ng anumang hindi negatibong numero (iyon ay, anumang positibo) "b" sa pamamagitan ng base nito na "a" ay itinuturing na kapangyarihan ng "c" , kung saan dapat itaas ang base na "a", upang sa huli ay makuha ang halagang "b". Suriin natin ang logarithm gamit ang mga halimbawa, sabihin nating mayroong expression log 2 8. Paano mahahanap ang sagot? Ito ay napaka-simple, kailangan mong makahanap ng ganoong antas na mula 2 hanggang sa kinakailangang antas ay makakakuha ka ng 8. Matapos magawa ang ilang mga kalkulasyon sa iyong isip, nakuha namin ang numero 3! At tama, dahil ang 2 sa kapangyarihan ng 3 ay nagbibigay ng numero 8 sa sagot.

Mga uri ng logarithms

Para sa maraming mga mag-aaral at mag-aaral, ang paksang ito ay tila kumplikado at hindi maintindihan, ngunit sa katunayan, ang mga logarithms ay hindi nakakatakot, ang pangunahing bagay ay upang maunawaan ang kanilang pangkalahatang kahulugan at tandaan ang kanilang mga katangian at ilang mga patakaran. May tatlong natatanging uri ng logarithmic expression:

1. Natural logarithm ln a, kung saan ang base ay ang Euler number (e = 2.7).
2. Decimal a, kung saan ang base ay 10.
3. Ang logarithm ng anumang numero b sa base a>1.

Ang bawat isa sa kanila ay nalutas sa isang karaniwang paraan, kabilang ang pagpapagaan, pagbabawas at kasunod na pagbabawas sa isang logarithm gamit ang logarithmic theorems. Upang makuha ang tamang mga halaga ng logarithms, dapat isa tandaan ang kanilang mga katangian at ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon sa kanilang mga desisyon.

Mga panuntunan at ilang mga paghihigpit

Sa matematika, mayroong ilang mga tuntunin-limitasyon na tinatanggap bilang isang axiom, iyon ay, hindi sila napapailalim sa talakayan at totoo. Halimbawa, imposibleng hatiin ang mga numero sa zero, at imposible ring kunin ang ugat ng pantay na antas mula sa mga negatibong numero. Ang logarithms ay mayroon ding sariling mga panuntunan, na sumusunod kung saan madali mong matutunan kung paano magtrabaho kahit na may mahaba at malawak na logarithmic na expression:

• ang base na "a" ay dapat palaging mas malaki kaysa sa zero, at sa parehong oras ay hindi katumbas ng 1, kung hindi man mawawala ang kahulugan ng expression, dahil ang "1" at "0" sa anumang antas ay palaging katumbas ng kanilang mga halaga;
• kung a > 0, pagkatapos ay a b > 0, lumalabas na ang "c" ay dapat na mas malaki sa zero.

Paano malutas ang mga logarithms?

Halimbawa, ibinigay ang gawain upang mahanap ang sagot sa equation na 10 x \u003d 100. Napakadali, kailangan mong pumili ng gayong kapangyarihan sa pamamagitan ng pagtaas ng numero ng sampu kung saan nakakakuha tayo ng 100. Ito, siyempre, ay 10 2 \u003d 100.

Ngayon, katawanin natin ang expression na ito bilang isang logarithmic. Nakukuha namin ang log 10 100 = 2. Kapag nag-solve ng logarithms, halos lahat ng aksyon ay nagsasama-sama sa paghahanap ng antas kung saan dapat ilagay ang base ng logarithm upang makakuha ng isang naibigay na numero.

Upang tumpak na matukoy ang halaga ng isang hindi kilalang degree, dapat mong matutunan kung paano magtrabaho sa isang talahanayan ng mga degree. Mukhang ganito:

Tulad ng nakikita mo, ang ilang mga exponent ay maaaring mahulaan nang intuitive kung mayroon kang teknikal na mindset at kaalaman sa talahanayan ng multiplikasyon. Gayunpaman, ang mas malalaking halaga ay mangangailangan ng power table. Maaari itong magamit kahit na sa mga hindi nakakaintindi ng kahit ano sa kumplikadong mga paksa sa matematika. Ang kaliwang column ay naglalaman ng mga numero (base a), ang pinakamataas na hilera ng mga numero ay ang halaga ng power c, kung saan itinataas ang numero a. Sa intersection sa mga cell, ang mga halaga ng mga numero ay tinutukoy, na kung saan ay ang sagot (a c = b). Kunin natin, halimbawa, ang pinakaunang cell na may numerong 10 at parisukat ito, nakukuha natin ang halaga na 100, na ipinahiwatig sa intersection ng ating dalawang cell. Ang lahat ay napakasimple at madali na kahit ang pinakatunay na humanist ay mauunawaan!

Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay

Ito ay lumalabas na sa ilalim ng ilang mga kundisyon, ang exponent ay ang logarithm. Samakatuwid, ang anumang mathematical numerical expression ay maaaring isulat bilang isang logarithmic equation. Halimbawa, ang 3 4 =81 ay maaaring isulat bilang logarithm ng 81 hanggang base 3, na apat (log 3 81 = 4). Para sa mga negatibong kapangyarihan, ang mga patakaran ay pareho: 2 -5 = 1/32 isinulat namin bilang isang logarithm, nakukuha namin ang log 2 (1/32) = -5. Ang isa sa mga pinakakaakit-akit na seksyon ng matematika ay ang paksa ng "logarithms". Isasaalang-alang namin ang mga halimbawa at solusyon ng mga equation na medyo mas mababa, kaagad pagkatapos pag-aralan ang kanilang mga katangian. Ngayon tingnan natin kung ano ang hitsura ng mga hindi pagkakapantay-pantay at kung paano makilala ang mga ito mula sa mga equation.

Ang isang expression ng sumusunod na form ay ibinigay: log 2 (x-1) > 3 - ito ay isang logarithmic inequality, dahil ang hindi kilalang halaga na "x" ay nasa ilalim ng sign ng logarithm. At din sa pagpapahayag ng dalawang dami ay inihambing: ang logarithm ng nais na numero sa base ng dalawa ay mas malaki kaysa sa bilang tatlo.

Ang pinakamahalagang pagkakaiba sa pagitan ng mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay ay ang mga equation na may logarithms (halimbawa, ang logarithm ng 2 x = √9) ay nagpapahiwatig ng isa o higit pang tiyak na mga numerical value sa sagot, habang kapag nilulutas ang hindi pagkakapantay-pantay, parehong saklaw ng mga katanggap-tanggap na halaga at ang mga puntos na lumalabag sa pagpapaandar na ito. Bilang resulta, ang sagot ay hindi isang simpleng hanay ng mga indibidwal na numero, tulad ng sa sagot ng equation, ngunit isang tuluy-tuloy na serye o hanay ng mga numero.

Mga pangunahing teorema tungkol sa logarithms

Kapag nilulutas ang mga primitive na gawain sa paghahanap ng mga halaga ng logarithm, maaaring hindi alam ang mga katangian nito. Gayunpaman, pagdating sa logarithmic equation o inequalities, una sa lahat, kinakailangan na malinaw na maunawaan at mailapat sa pagsasanay ang lahat ng mga pangunahing katangian ng logarithms. Makikilala natin ang mga halimbawa ng mga equation mamaya, suriin muna natin ang bawat pag-aari nang mas detalyado.

1. Ang pangunahing pagkakakilanlan ay ganito ang hitsura: a logaB =B. Nalalapat lamang ito kung ang a ay mas malaki sa 0, hindi katumbas ng isa, at ang B ay mas malaki sa zero.
2. Ang logarithm ng produkto ay maaaring katawanin sa sumusunod na formula: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Sa kasong ito, ang paunang kinakailangan ay: d, s 1 at s 2 > 0; a≠1. Maaari kang magbigay ng patunay para sa formula na ito ng logarithms, na may mga halimbawa at solusyon. Hayaang mag-log bilang 1 = f 1 at mag-log bilang 2 = f 2 , pagkatapos ay a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Nakukuha namin na s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (degree properties ), at higit pa sa kahulugan: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log bilang 2, na dapat patunayan.
3. Ang logarithm ng quotient ay ganito ang hitsura: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Ang theorem sa anyo ng isang formula ay tumatagal ng sumusunod na anyo: log a q b n = n/q log a b.

Ang formula na ito ay tinatawag na "property of the degree of the logarithm". Ito ay kahawig ng mga katangian ng mga ordinaryong degree, at ito ay hindi nakakagulat, dahil ang lahat ng matematika ay nakasalalay sa mga regular na postulates. Tingnan natin ang patunay.

Hayaang mag-log a b \u003d t, ito ay lumabas na t \u003d b. Kung itataas mo ang parehong bahagi sa kapangyarihan m: a tn = b n ;

ngunit dahil a tn = (a q) nt/q = b n , kaya mag-log a q b n = (n*t)/t, pagkatapos ay mag-log a q b n = n/q log a b. Napatunayan na ang theorem.

Mga halimbawa ng mga problema at hindi pagkakapantay-pantay

Ang pinakakaraniwang uri ng mga problema sa logarithm ay mga halimbawa ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay. Ang mga ito ay matatagpuan sa halos lahat ng mga libro ng problema, at kasama rin sa ipinag-uutos na bahagi ng mga pagsusulit sa matematika. Upang makapasok sa isang unibersidad o makapasa sa mga pagsusulit sa pasukan sa matematika, kailangan mong malaman kung paano lutasin nang tama ang mga naturang gawain.

Sa kasamaang palad, walang iisang plano o pamamaraan para sa paglutas at pagtukoy ng hindi kilalang halaga ng logarithm, gayunpaman, ang ilang mga patakaran ay maaaring ilapat sa bawat hindi pagkakapantay-pantay ng matematika o logarithmic equation. Una sa lahat, dapat mong malaman kung ang expression ay maaaring gawing simple o bawasan sa isang pangkalahatang anyo. Maaari mong pasimplehin ang mahabang logarithmic expression kung gagamitin mo nang tama ang mga katangian ng mga ito. Kilalanin natin sila sa lalong madaling panahon.

Kapag nilulutas ang mga logarithmic equation, kinakailangan upang matukoy kung anong uri ng logarithm ang mayroon tayo sa harap natin: ang isang halimbawa ng isang expression ay maaaring maglaman ng natural na logarithm o isang decimal.

Narito ang mga halimbawa ln100, ln1026. Ang kanilang solusyon ay bumababa sa katotohanan na kailangan mong matukoy ang antas kung saan ang base 10 ay magiging katumbas ng 100 at 1026, ayon sa pagkakabanggit. Para sa mga solusyon ng natural na logarithms, dapat ilapat ang mga logarithmic na pagkakakilanlan o ang kanilang mga katangian. Tingnan natin ang mga halimbawa ng paglutas ng mga problemang logarithmic ng iba't ibang uri.

Paano Gumamit ng Mga Logarithm Formula: May Mga Halimbawa at Solusyon

Kaya, tingnan natin ang mga halimbawa ng paggamit ng mga pangunahing theorems sa logarithms.

1. Ang pag-aari ng logarithm ng produkto ay maaaring gamitin sa mga gawain kung saan kinakailangan upang mabulok ang isang malaking halaga ng bilang b sa mas simpleng mga kadahilanan. Halimbawa, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Ang sagot ay 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - tulad ng nakikita mo, sa pamamagitan ng paglalapat ng ikaapat na katangian ng antas ng logarithm, nalutas namin sa unang tingin ang isang kumplikado at hindi malulutas na expression. Kinakailangan lamang na i-factor ang base at pagkatapos ay alisin ang mga halaga ng exponent mula sa tanda ng logarithm.

Mga gawain mula sa pagsusulit

Ang mga logarithm ay madalas na matatagpuan sa mga pagsusulit sa pasukan, lalo na ang maraming problema sa logarithmic sa Unified State Exam (pagsusulit ng estado para sa lahat ng nagtapos sa paaralan). Karaniwan ang mga gawaing ito ay naroroon hindi lamang sa bahagi A (ang pinakamadaling bahagi ng pagsusulit ng pagsusulit), kundi pati na rin sa bahagi C (ang pinakamahirap at napakaraming gawain). Ang pagsusulit ay nagpapahiwatig ng tumpak at perpektong kaalaman sa paksang "Natural logarithms".

Ang mga halimbawa at paglutas ng problema ay kinuha mula sa mga opisyal na bersyon ng pagsusulit. Tingnan natin kung paano nalutas ang mga naturang gawain.

Ibinigay na log 2 (2x-1) = 4. Solusyon:
isulat muli natin ang expression, pinasimple ito ng kaunting log 2 (2x-1) = 2 2 , sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm nakukuha natin na 2x-1 = 2 4 , samakatuwid 2x = 17; x = 8.5.

• Ang lahat ng logarithms ay pinakamahusay na bawasan sa parehong base upang ang solusyon ay hindi masalimuot at nakakalito.
• Ang lahat ng mga expression sa ilalim ng sign ng logarithm ay ipinahiwatig bilang positibo, samakatuwid, kapag kinuha ang exponent ng exponent ng expression, na nasa ilalim ng sign ng logarithm at bilang base nito, ang expression na natitira sa ilalim ng logarithm ay dapat na positibo.