أمثلة على تحليل كثيرات الحدود. كيفية تحليل ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية: الصيغة

ثلاثي الحدود المربع هو متعدد الحدود على الشكل ax^2 + bx + c، حيث x متغير، وa وb وc بعض الأرقام، وa ≠ 0.

لتحليل ثلاثية الحدود، عليك أن تعرف جذور هذه الثلاثية. (مزيد من المثال على ثلاثية الحدود 5x^2 + 3x- 2)

ملاحظة: قيمة ثلاثية الحدود التربيعية 5x^2 + 3x - 2 تعتمد على قيمة x. على سبيل المثال: إذا كانت x = 0، فإن 5x^2 + 3x - 2 = -2

إذا كانت x = 2، فإن 5x^2 + 3x - 2 = 24

إذا كانت x = -1، فإن 5x^2 + 3x - 2 = 0

عند x = -1، يختفي مربع ثلاثي الحدود 5x^2 + 3x - 2، وفي هذه الحالة يسمى الرقم -1 جذر ثلاثي الحدود.

كيفية الحصول على جذر المعادلة

دعونا نوضح كيف حصلنا على جذر هذه المعادلة. أولاً، عليك أن تعرف بوضوح النظرية والصيغة التي سنعمل بها:

"إذا كان x1 وx2 هما جذور ثلاثية الحدود ax^2 + bx + c، فإن ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)."

X = (-ب±√(ب^2-4أك))/2أ \

هذه الصيغة للعثور على جذور كثير الحدود هي الصيغة الأكثر بدائية، والتي لن تشعر بالارتباك أبدًا عند استخدامها.

التعبير هو 5x^2 + 3x - 2.

1. تساوي الصفر: 5x^2 + 3x – 2 = 0

2. ابحث عن جذور المعادلة التربيعية، للقيام بذلك نستبدل القيم في الصيغة (a هو معامل X^2، b هو معامل X، الحد الحر، أي الشكل بدون X ):

نجد الجذر الأول مع علامة الجمع أمام الجذر التربيعي:

Х1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0.4

الجذر الثاني مع علامة الطرح أمام الجذر التربيعي:

X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1

وبذلك نكون قد أوجدنا جذور ثلاثية الحدود التربيعية. للتأكد من صحتها، يمكنك التحقق: أولا نعوض بالجذر الأول في المعادلة، ثم الثاني:

1) 5س^2 + 3س – 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2) 5س^2 + 3س – 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

إذا أصبحت المعادلة صفرًا بعد التعويض عن جميع الجذور، فسيتم حل المعادلة بشكل صحيح.

3. الآن دعونا نستخدم الصيغة من النظرية: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2)، تذكر أن X1 وX2 هما جذور المعادلة التربيعية. إذن: 5x^2 + 3x – 2 = 5 * (x - 0.4) * (x- (-1))

5س^2 + 3س– 2 = 5(س - 0.4)(س + 1)

4. للتأكد من صحة التحليل، يمكنك ببساطة ضرب الأقواس:

5(x - 0.4)(x + 1) = 5(x^2 + x - 0.4x - 0.4) = 5(x^2 + 0.6x – 0.4) = 5x^2 + 3 – 2. مما يؤكد الصحة من القرار.

الخيار الثاني لإيجاد جذور ثلاثية الحدود المربعة

هناك خيار آخر لإيجاد جذور ثلاثية الحدود المربعة وهو النظرية العكسية لنظرية فييت. هنا تم العثور على جذور المعادلة التربيعية باستخدام الصيغ: ×1 + ×2 = -(ب), س1 * س2 = ج. لكن من المهم أن نفهم أنه لا يمكن استخدام هذه النظرية إلا إذا كان المعامل a = 1، أي الرقم الموجود أمام x^2 = 1.

على سبيل المثال: x^2 – 2x +1 = 0، أ = 1، ب = - 2، ج = 1.

نحل: x1 + x2 = - (-2)، x1 + x2 = 2

الآن من المهم التفكير في ما هي الأرقام الموجودة في المنتج التي تعطيها؟ طبيعي هذا 1 * 1 و -1 * (-1) . من هذه الأرقام نختار تلك التي تتوافق مع التعبير x1 + x2 = 2، بالطبع - هذا هو 1 + 1. لذلك وجدنا جذور المعادلة: x1 = 1، x2 = 1. من السهل التحقق من ذلك إذا كنا استبدل x^2 في التعبير - 2x + 1 = 0.

في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نحلل ثلاثية الحدود التربيعية إلى عوامل خطية. للقيام بذلك، علينا أن نتذكر نظرية فييتا وعكسها. ستساعدنا هذه المهارة على توسيع ثلاثيات الحدود التربيعية بسرعة وسهولة إلى عوامل خطية، وستبسط أيضًا اختزال الكسور التي تتكون من تعبيرات.

لذلك دعونا نعود إلى المعادلة التربيعية، حيث .

ما لدينا على الجانب الأيسر يسمى ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية.

النظرية صحيحة:إذا كانت جذور ثلاثية الحدود التربيعية، فإن الهوية صحيحة

أين المعامل الرئيسي، هي جذور المعادلة.

لذلك، لدينا معادلة تربيعية - ثلاثية الحدود التربيعية، حيث تسمى جذور المعادلة التربيعية أيضًا جذور ثلاثية الحدود التربيعية. لذلك، إذا كان لدينا جذور ثلاثية الحدود المربعة، فإن هذه الثلاثية تتحلل إلى عوامل خطية.

دليل:

دليل هذه الحقيقةيتم إجراؤها باستخدام نظرية فييتا، التي ناقشناها في الدروس السابقة.

دعونا نتذكر ما تخبرنا به نظرية فييتا:

إذا كانت جذور ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية التي , ثم .

يتبع البيان التالي من هذه النظرية:

نرى أنه وفقا لنظرية فيتا، أي باستبدال هذه القيم في الصيغة أعلاه، نحصل على التعبير التالي

Q.E.D.

تذكر أننا أثبتنا النظرية القائلة بأنه إذا كانت جذور ثلاثية الحدود المربعة، فإن المفكوك صحيح.

لنتذكر الآن مثالًا لمعادلة تربيعية اخترنا جذورًا لها باستخدام نظرية فييتا. ومن هذه الحقيقة يمكننا الحصول على المساواة التالية بفضل النظرية المثبتة:

الآن دعونا نتحقق من صحة هذه الحقيقة بمجرد فتح الأقواس:

نرى أننا حللنا بشكل صحيح، وأي ثلاثية حدود، إذا كانت لها جذور، يمكن تحليلها وفقًا لهذه النظرية إلى عوامل خطية وفقًا للصيغة

ومع ذلك، دعونا نتحقق مما إذا كان هذا التحليل ممكنًا لأي معادلة:

خذ على سبيل المثال المعادلة. أولاً، دعونا نتحقق من علامة التمييز

ونتذكر أنه لكي تتحقق النظرية التي تعلمناها، يجب أن يكون D أكبر من 0، لذا في هذه الحالة يكون التحليل وفقًا للنظرية التي تعلمناها مستحيلًا.

لذلك، دعونا صياغة نظرية جديدة: إذا كانت ثلاثية الحدود التربيعية ليس لها جذور، فلا يمكن تحليلها إلى عوامل خطية.

لذلك، نظرنا إلى نظرية فييتا، إمكانية تحليل ثلاثية الحدود التربيعية إلى عوامل خطية، والآن سوف نقوم بحل العديد من المشاكل.

المهمة رقم 1

في هذه المجموعة سوف نقوم بحل المشكلة بشكل عكسي للمشكلة المطروحة. كانت لدينا معادلة، وأوجدنا جذورها عن طريق تحليلها. وهنا سنفعل العكس. لنفترض أن لدينا جذور معادلة تربيعية

المشكلة العكسية هي التالية: اكتب معادلة تربيعية باستخدام جذورها.

هناك طريقتان لحل هذه المشكلة.

بما أن جذور المعادلة إذن هي معادلة تربيعية جذورها أرقام معينة. الآن دعونا نفتح الأقواس ونتحقق:

كانت هذه هي الطريقة الأولى التي أنشأنا بها معادلة تربيعية ذات جذور معينة، وليس لها أي جذور أخرى، حيث أن أي معادلة تربيعية لها جذرين على الأكثر.

تتضمن هذه الطريقة استخدام نظرية فييتا العكسية.

إذا كانت جذور المعادلة، فإنها تحقق الشرط الذي .

للمعادلة التربيعية المخفضة ، أي في هذه الحالة، و.

وبذلك نكون قد أنشأنا معادلة تربيعية لها الجذور المعطاة.

المهمة رقم 2

من الضروري تقليل الكسر.

لدينا ثلاثية الحدود في البسط وثلاثية الحدود في المقام، وقد يتم تحليل ثلاثيات الحدود أو لا يتم تحليلها. إذا تم تحليل كل من البسط والمقام، فقد يكون هناك عوامل متساوية يمكن اختزالها.

أولًا، عليك تحليل البسط.

أولًا، عليك التحقق من إمكانية تحليل هذه المعادلة، فلنوجد المميز. نظرًا لأن العلامة تعتمد على المنتج (يجب أن تكون أقل من 0)، في في هذا المثال، أي أن المعادلة المعطاة لها جذور.

للحل، نستخدم نظرية فييتا:

في هذه الحالة، نظرًا لأننا نتعامل مع الجذور، فسيكون من الصعب جدًا تحديد الجذور ببساطة. لكننا نرى أن المعاملات متوازنة، أي أننا إذا افترضنا ذلك، وعوضنا بهذه القيمة في المعادلة، نحصل على النظام التالي: أي 5-5=0. وبذلك نكون قد اخترنا أحد جذور هذه المعادلة التربيعية.

وسوف نبحث عن الجذر الثاني عن طريق استبدال ما هو معروف بالفعل في نظام المعادلات، على سبيل المثال، ، أي. .

وبذلك نكون قد وجدنا جذري المعادلة التربيعية ويمكننا التعويض بقيمتهما في المعادلة الأصلية لتحليلها:

دعونا نتذكر المشكلة الأصلية، كنا بحاجة إلى تقليل الكسر.

دعونا نحاول حل المشكلة عن طريق استبدال .

من الضروري ألا ننسى أنه في هذه الحالة لا يمكن أن يساوي المقام 0، أي .

إذا تم استيفاء هذه الشروط، نكون قد قمنا بتبسيط الكسر الأصلي إلى الصورة.

المشكلة رقم 3 (مهمة ذات معلمة)

عند أي قيم للمعلمة يكون مجموع جذور المعادلة التربيعية

إذا كانت جذور هذه المعادلة موجودة السؤال: متى.

لذلك دعونا نعود إلى المعادلة التربيعية، حيث .

ما لدينا على الجانب الأيسر يسمى ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية.

النظرية صحيحة:إذا كانت جذور ثلاثية الحدود التربيعية، فإن الهوية صحيحة

أين المعامل الرئيسي، هي جذور المعادلة.

دليل:

ويتم إثبات هذه الحقيقة باستخدام نظرية فييتا التي ناقشناها في الدروس السابقة.

دعونا نتذكر ما تخبرنا به نظرية فييتا:

إذا كانت جذور ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية التي , ثم .

يتبع البيان التالي من هذه النظرية:

نرى أنه وفقا لنظرية فيتا، أي باستبدال هذه القيم في الصيغة أعلاه، نحصل على التعبير التالي

Q.E.D.

تذكر أننا أثبتنا النظرية القائلة بأنه إذا كانت جذور ثلاثية الحدود المربعة، فإن المفكوك صحيح.

الآن دعونا نتحقق من صحة هذه الحقيقة بمجرد فتح الأقواس:

ومع ذلك، دعونا نتحقق مما إذا كان هذا التحليل ممكنًا لأي معادلة:

خذ على سبيل المثال المعادلة. أولاً، دعونا نتحقق من علامة التمييز

لذلك، نقوم بصياغة نظرية جديدة: إذا لم يكن لثلاثية الحدود المربعة جذور، فلا يمكن أن تتحلل إلى عوامل خطية.

المهمة رقم 1

المشكلة العكسية هي التالية: اكتب معادلة تربيعية باستخدام جذورها.

هناك طريقتان لحل هذه المشكلة.

بما أن جذور المعادلة إذن هي معادلة تربيعية جذورها معطاة بالأرقام. الآن دعونا نفتح الأقواس ونتحقق:

تتضمن هذه الطريقة استخدام نظرية فييتا العكسية.

إذا كانت جذور المعادلة، فإنها تحقق الشرط الذي .

للمعادلة التربيعية المخفضة ، أي في هذه الحالة، و.

وبذلك نكون قد أنشأنا معادلة تربيعية لها الجذور المعطاة.

المهمة رقم 2

من الضروري تقليل الكسر.

أولًا، عليك تحليل البسط.

أولًا، عليك التحقق من إمكانية تحليل هذه المعادلة، فلنوجد المميز. بما أن الإشارة تعتمد على حاصل الضرب (يجب أن يكون أقل من 0)، في هذا المثال، أي أن المعادلة المعطاة لها جذور.

للحل، نستخدم نظرية فييتا:

وسوف نبحث عن الجذر الثاني عن طريق استبدال ما هو معروف بالفعل في نظام المعادلات، على سبيل المثال، ، أي. .

وبذلك نكون قد وجدنا جذري المعادلة التربيعية ويمكننا التعويض بقيمتهما في المعادلة الأصلية لتحليلها:

دعونا نتذكر المشكلة الأصلية، كنا بحاجة إلى تقليل الكسر.

دعونا نحاول حل المشكلة عن طريق استبدال .

من الضروري ألا ننسى أنه في هذه الحالة لا يمكن أن يساوي المقام 0، أي .

إذا تم استيفاء هذه الشروط، نكون قد قمنا بتبسيط الكسر الأصلي إلى الصورة.

المشكلة رقم 3 (مهمة ذات معلمة)

عند أي قيم للمعلمة يكون مجموع جذور المعادلة التربيعية

إذا كانت جذور هذه المعادلة موجودة السؤال: متى.

قد يبدو توسيع كثيرات الحدود للحصول على منتج أمرًا مربكًا في بعض الأحيان. لكن الأمر ليس بهذه الصعوبة إذا فهمت العملية خطوة بخطوة. توضح المقالة بالتفصيل كيفية تحليل ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية.

كثير من الناس لا يفهمون كيفية تحليل ثلاثية الحدود المربعة، ولماذا يتم ذلك. في البداية قد يبدو الأمر وكأنه تمرين غير مجدي. ولكن في الرياضيات لا شيء يتم من أجل لا شيء. التحويل ضروري لتبسيط التعبير وسهولة الحساب.

كثيرة الحدود من النموذج – ax²+bx+c, تسمى ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية.يجب أن يكون المصطلح "أ" سالبًا أو موجبًا. عمليا، يسمى هذا التعبير معادلة تربيعية. لذلك، أحيانًا يقولون ذلك بشكل مختلف: كيفية فك المعادلة التربيعية.

مثير للاهتمام!تسمى كثيرة الحدود مربعًا لأن درجتها الأكبر هي المربع. وثلاثية الحدود - بسبب المكونات الثلاثة.

بعض الأنواع الأخرى من كثيرات الحدود:

ذات الحدين الخطية (6x+8)؛
رباعي الحدود (x³+4x²-2x+9).

تحليل ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية

أولا، التعبير يساوي الصفر، ثم تحتاج إلى العثور على قيم الجذور x1 و x2. قد لا يكون هناك جذور، قد يكون هناك جذر واحد أو جذران. يتم تحديد وجود الجذور بواسطة المميز. عليك أن تحفظ صيغته عن ظهر قلب: D=b²-4ac.

إذا كانت النتيجة D سلبية، فلا توجد جذور. إذا كان موجبًا، فهناك جذرين. إذا كانت النتيجة صفرًا، فالجذر واحد. يتم حساب الجذور أيضًا باستخدام الصيغة.

إذا كانت النتيجة صفرًا عند حساب المميز، فيمكنك استخدام أي من الصيغ. في الممارسة العملية، يتم اختصار الصيغة ببساطة: -b / 2a.

الصيغ ل معاني مختلفةيختلف التمييز.

إذا كانت D موجبة:

إذا كان D صفرًا:

الآلات الحاسبة على الانترنت

على شبكة الإنترنت هناك آلة حاسبة على الانترنت. يمكن استخدامه لإجراء التحليل. توفر بعض الموارد الفرصة لعرض الحل خطوة بخطوة. تساعد هذه الخدمات على فهم الموضوع بشكل أفضل، ولكن عليك أن تحاول فهمه جيدًا.

فيديو مفيد: تحليل ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية

أمثلة

نحن ندعوك للمشاهدة أمثلة بسيطةكيفية تحليل المعادلة التربيعية.

مثال 1

وهذا يوضح بوضوح أن النتيجة هي اثنان x لأن D موجبة. يجب استبدالها في الصيغة. إذا تبين أن الجذور سلبية، فإن الإشارة الموجودة في الصيغة تتغير إلى العكس.

نحن نعرف صيغة تحليل ثلاثية الحدود التربيعية: a(x-x1)(x-x2). نضع القيم بين قوسين: (x+3)(x+2/3). لا يوجد رقم قبل المصطلح في السلطة. هذا يعني أن هناك واحدًا هناك، وسوف ينخفض.

مثال 2

يوضح هذا المثال بوضوح كيفية حل معادلة لها جذر واحد.

نستبدل القيمة الناتجة:

مثال 3

المعطى: 5x²+3x+7

أولا، دعونا نحسب المميز، كما في الحالات السابقة.

د=9-4*5*7=9-140= -131.

المميز سالب، مما يعني عدم وجود جذور.

بعد استلام النتيجة يجب عليك فتح الأقواس والتحقق من النتيجة. يجب أن يظهر ثلاثي الحدود الأصلي.

الحل البديل

لم يتمكن بعض الأشخاص أبدًا من تكوين صداقات مع الشخص الذي يمارس التمييز. هناك طريقة أخرى لتحليل ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية. للراحة، يتم عرض الطريقة مع مثال.

المعطى: x²+3x-10

نحن نعلم أنه يجب أن نحصل على قوسين: (_)(_). عندما يبدو التعبير بالشكل التالي: x²+bx+c، في بداية كل قوس نضع x: (x_)(x_). الرقمان المتبقيان هما المنتج الذي يعطي "c"، أي في هذه الحالة -10. الطريقة الوحيدة لمعرفة هذه الأرقام هي عن طريق الاختيار. يجب أن تتوافق الأرقام المستبدلة مع المصطلح المتبقي.

على سبيل المثال، ضرب الأرقام التالية يعطي -10:

-1, 10;
-10, 1;
-5, 2;
-2, 5.

(س-1)(س+10) = س2+10س-س-10 = س2+9س-10. لا.
(س-10)(س+1) = س2+س-10س-10 = س2-9س-10. لا.
(س-5)(س+2) = س2+2س-5س-10 = س2-3س-10. لا.
(س-2)(س+5) = س2+5س-2س-10 = س2+3س-10. يناسب.

هذا يعني أن تحويل التعبير x2+3x-10 يبدو كالتالي: (x-2)(x+5).

مهم!يجب أن تكون حريصًا على عدم الخلط بين العلامات.

التوسع الثلاثي المعقد

إذا كان "أ" أكبر من واحد، تبدأ الصعوبات. ولكن كل شيء ليس صعبا كما يبدو.

للتحليل، عليك أولًا معرفة ما إذا كان من الممكن تحليل أي شيء.

على سبيل المثال، بالنظر إلى التعبير: 3x²+9x-30. هنا يتم إخراج الرقم 3 من بين قوسين:

3(x²+3x-10). والنتيجة هي ثلاثية الحدود المعروفة بالفعل. تبدو الإجابة كما يلي: 3(س-2)(س+5)

كيف تتحلل إذا كان المصطلح الموجود في المربع سالبًا؟ في هذه الحالة، يتم إخراج الرقم -1 من بين قوسين. على سبيل المثال: -x²-10x-8. سيبدو التعبير بعد ذلك كما يلي:

المخطط يختلف قليلا عن السابق. لا يوجد سوى عدد قليل من الأشياء الجديدة. لنفترض أن التعبير معطى: 2x²+7x+3. الإجابة مكتوبة أيضًا بين قوسين يجب ملؤهما (_)(_). في القوس الثاني مكتوب x، وفي الأول ما تبقى. يبدو مثل هذا: (2x_)(x_). خلاف ذلك، يتم تكرار المخطط السابق.

يتم إعطاء الرقم 3 بالأرقام:

-1, -3;
-3, -1;
3, 1;
1, 3.

نحل المعادلات عن طريق استبدال هذه الأرقام. الخيار الأخير مناسب. هذا يعني أن تحويل التعبير 2x²+7x+3 يبدو كالتالي: (2x+1)(x+3).

حالات أخرى

ليس من الممكن دائمًا تحويل التعبير. أما في الطريقة الثانية فلا يشترط حل المعادلة. لكن إمكانية تحويل المصطلحات إلى منتج لا يتم التحقق منها إلا من خلال المميز.

الأمر يستحق التدرب على اتخاذ القرار المعادلات التربيعيةبحيث لا توجد صعوبات عند استخدام الصيغ.

فيديو مفيد: تحليل ثلاثية الحدود

خاتمة

يمكنك استخدامه بأي شكل من الأشكال. لكن من الأفضل التدرب على كليهما حتى يصبحا تلقائيين. كما أن تعلم كيفية حل المعادلات التربيعية بشكل جيد وتحليل كثيرات الحدود أمر ضروري لأولئك الذين يخططون لربط حياتهم بالرياضيات. جميع المواضيع الرياضية التالية مبنية على هذا.

تحليل ثلاثية الحدود من الدرجة الثانيةقد يكون مفيدًا عند حل المتباينات من المشكلة C3 أو مشكلة المعلمة C5. وأيضًا، سيتم حل العديد من المسائل اللفظية B13 بشكل أسرع بكثير إذا كنت تعرف نظرية فييتا.

ويمكن بالطبع النظر إلى هذه النظرية من منظور الصف الثامن الذي يتم تدريسها فيه لأول مرة. لكن مهمتنا هي الاستعداد جيدًا لامتحان الدولة الموحدة وتعلم حل مهام الاختبار بأكبر قدر ممكن من الكفاءة. لذلك، يعتبر هذا الدرس نهجا مختلفا قليلا عن المدرسة.

صيغة لجذور المعادلة باستخدام نظرية فييتايعرف الكثير من الناس (أو على الأقل رأوا):

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

حيث `a وb` و`c` هي معاملات ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية `ax^2+bx+c`.

لمعرفة كيفية استخدام النظرية بسهولة، دعونا نفهم من أين أتت (وهذا سيجعلها أسهل في التذكر).

دعونا نحصل على المعادلة `ax^2+ bx+ c = 0`. لمزيد من الراحة، اقسمه على `a` واحصل على `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`. مثل هذه المعادلة تسمى المعادلة التربيعية المخفضة.

فكرة الدرس المهم: يمكن فك أي كثيرة حدود تربيعية لها جذور داخل قوسين.لنفترض أنه يمكن تمثيلنا بالشكل `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`، حيث `k` و` l` - بعض الثوابت.

دعونا نرى كيف تفتح الأقواس:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

وبالتالي، `k+l = \frac(b)(a)، kl = \frac(c)(a)`.

وهذا يختلف قليلاً عن التفسير الكلاسيكي نظرية فييتا- فيه نبحث عن جذور المعادلة. أقترح البحث عن شروط ل تحلل قوس- بهذه الطريقة لن تحتاج إلى تذكر الطرح من الصيغة (بمعنى `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). يكفي اختيار رقمين من هذا القبيل، مجموعهما يساوي المعامل المتوسط، والمنتج يساوي الحد الحر.

إذا كنا بحاجة إلى حل للمعادلة، فمن الواضح: الجذور `x=-k` أو `x=-l` (لأن أحد القوسين في هذه الحالات سيكون صفرًا، مما يعني أن التعبير بأكمله سيكون صفرًا) ).

سأعرض لك الخوارزمية كمثال: كيفية توسيع كثيرة الحدود من الدرجة الثانية بين قوسين.

مثال واحد. خوارزمية لتحليل ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية

المسار الذي لدينا هو رباعي الحدود `x^2+5x+4`.

تم تقليله (معامل `x^2` يساوي واحدًا). لديه جذور. (للتأكد، يمكنك تقدير المميز والتأكد من أنه أكبر من الصفر).

خطوات أخرى (تحتاج إلى تعلمها من خلال إكمال جميع المهام التدريبية):

أكمل الإدخال التالي: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ بدلاً من النقاط، اترك مساحة خالية، وسنضيف هناك أرقام مناسبةوعلامات.
عرض الكل الخيارات الممكنةكيف يمكنك تحليل الرقم `4` إلى حاصل ضرب رقمين. نحصل على أزواج من "المرشحين" لجذور المعادلة: `2، 2` و`1، 4`.
اكتشف أي زوج يمكنك الحصول على المعامل المتوسط منه. من الواضح أنها "1، 4".
اكتب $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$.
الخطوة التالية هي وضع العلامات أمام الأرقام المدرجة.
كيف تفهم وتتذكر إلى الأبد ما هي العلامات التي يجب أن تظهر قبل الأرقام الموجودة بين قوسين؟ حاول فتحها (بين قوسين). المعامل قبل `x` للقوة الأولى سيكون `(± 4 ± 1)` (لا نعرف العلامات بعد - علينا الاختيار)، ويجب أن يكون مساويًا لـ `5`. من الواضح أنه سيكون هناك مجموعتان إيجابيتان $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.
قم بإجراء هذه العملية عدة مرات (مرحبًا، مهام التدريب!) و المزيد من المشاكلهذا لن يحدث أبدا.

إذا كنت بحاجة إلى حل المعادلة `x^2+5x+4`، فلن يكون حلها صعبًا الآن. جذورها هي `-4، -1`.

المثال الثاني. تحليل ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية بمعاملات علامات مختلفة

دعونا نحتاج إلى حل المعادلة `x^2-x-2=0`. مرتجلاً، المميز إيجابي.

نحن نتبع الخوارزمية.

$$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
لا يوجد سوى تحليل واحد لاثنين إلى عوامل صحيحة: `2 · 1`.
نحن نتخطى هذه النقطة - لا يوجد شيء للاختيار من بينها.
$$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
حاصل ضرب أرقامنا سالب (`-2` هو الحد الحر)، مما يعني أن أحدهما سيكون سالبًا والآخر سيكون موجبًا.
وبما أن مجموعهما يساوي `-1` (معامل `x`)، فإن `2` سيكون سالبًا (التفسير البديهي هو أن اثنين هو الأكبر بين الرقمين، وسوف "يسحب" بقوة أكبر إلى الجانب السلبي). نحصل على $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$

المثال الثالث. تحليل ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية

المعادلة هي `x^2+5x -84 = 0`.

$$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
تحليل 84 إلى عوامل صحيحة: `4 21، 6 14، 12 7، 2 42`.
وبما أننا نريد أن يكون الفرق (أو مجموع) الأرقام هو 5، فإننا سوف يفعل الزوج `7, 12`.
$$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x\quad 7).$$
$$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

يأمل، توسيع هذا الثلاثي التربيعي بين قوسينانها واضحة.

إذا كنت بحاجة إلى حل لمعادلة، فها هو: `12، -7`.

مهام التدريب

أوجه انتباهكم إلى بعض الأمثلة السهلة يتم حلها باستخدام نظرية فييتا.(أمثلة مأخوذة من مجلة "الرياضيات"، 2002.)

`س^2+س-2=0`
`س^2-س-2=0`
`س^2+س-6=0`
`س^2-س-6=0`
`س^2+س-12=0`
`س^2-س-12=0`
`س^2+س-20=0`
`س^2-س-20=0`
`س^2+س-42=0`
`س^2-س-42=0`
`س^2+س-56=0`
`س^2-س-56=0`
`س^2+x-72=0`
`س^2-س-72=0`
`س^2+x-110=0`
`س^2-س-110=0`
`س^2+x-420=0`
`س^2-س-420=0`

بعد عامين من كتابة المقال، ظهرت مجموعة من 150 مهمة لتوسيع كثيرة الحدود من الدرجة الثانية باستخدام نظرية فييتا.

مثل وطرح الأسئلة في التعليقات!