استبدال عالمي مثلثي ، اشتقاق الصيغ ، أمثلة.

يتم إعطاء النسب بين الدوال المثلثية الرئيسية - الجيب وجيب التمام والظل والظل - الصيغ المثلثية. ونظرًا لوجود عدد كبير جدًا من الروابط بين الدوال المثلثية ، فإن هذا يفسر أيضًا وفرة الصيغ المثلثية. بعض الصيغ تربط الدوال المثلثية لنفس الزاوية ، والبعض الآخر - وظائف الزاوية المتعددة ، والبعض الآخر - يسمح لك بخفض الدرجة ، والرابع - للتعبير عن جميع الوظائف من خلال ظل نصف الزاوية ، إلخ.

في هذه المقالة ، نسرد بالترتيب جميع الصيغ المثلثية الأساسية ، والتي تكفي لحل الغالبية العظمى من مسائل علم المثلثات. لسهولة الحفظ والاستخدام ، سنقوم بتجميعها حسب الغرض منها ، وندخلها في جداول.

التنقل في الصفحة.

الهويات المثلثية الأساسية

الهويات المثلثية الأساسيةضبط العلاقة بين الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية واحدة. وهي تتبع من تعريف الجيب وجيب التمام والظل والظل ، بالإضافة إلى مفهوم دائرة الوحدة. إنها تسمح لك بالتعبير عن دالة مثلثية واحدة من خلال أي دالة أخرى.

للحصول على وصف تفصيلي لهذه الصيغ في علم المثلثات ، وأمثلة على اشتقاقها وتطبيقها ، راجع المقالة.

صيغ الصب

صيغ الصبتتبع من خصائص الجيب وجيب التمام والظل والظل ، أي أنها تعكس خاصية دورية الدوال المثلثية ، وخاصية التناظر ، وكذلك خاصية الانزياح بزاوية معينة. تسمح لك هذه الصيغ المثلثية بالانتقال من العمل بزوايا عشوائية إلى العمل بزوايا تتراوح من صفر إلى 90 درجة.

يمكن دراسة الأساس المنطقي لهذه الصيغ ، وقاعدة ذاكري لحفظها ، وأمثلة على تطبيقها في المقالة.

صيغ الجمع

صيغ الجمع المثلثيةأظهر كيف يتم التعبير عن الدوال المثلثية لمجموع أو فرق الزاويتين من حيث الدوال المثلثية لهذه الزوايا. تعمل هذه الصيغ كأساس لاشتقاق الصيغ المثلثية التالية.

صيغ مزدوجة وثلاثية وما إلى ذلك. ركن

صيغ مزدوجة وثلاثية وما إلى ذلك. زاوية (يطلق عليها أيضًا معادلات متعددة الزوايا) توضح كيف الدوال المثلثية لمضاعفة وثلاثية وما إلى ذلك. يتم التعبير عن الزوايا () من حيث الدوال المثلثية لزاوية واحدة. اشتقاقهم يعتمد على صيغ الجمع.

يتم جمع معلومات أكثر تفصيلاً في معادلات المقالات للثنائي أو الثلاثي ، إلخ. زاوية .

صيغ نصف زاوية

صيغ نصف زاويةاظهر كيف يتم التعبير عن الدوال المثلثية لنصف زاوية بدلالة جيب التمام لزاوية عدد صحيح. تتبع هذه الصيغ المثلثية من صيغ الزاوية المزدوجة.

يمكن العثور على استنتاجهم وأمثلة التطبيق في المقالة.

صيغ التخفيض

الصيغ المثلثية للدرجات المتناقصةصُممت لتسهيل الانتقال من القوى الطبيعية للوظائف المثلثية إلى الجيب وجيب التمام من الدرجة الأولى ، ولكن الزوايا المتعددة. بعبارة أخرى ، تسمح للفرد بتقليل قوى الدوال المثلثية إلى الأولى.

صيغ مجموع واختلاف الدوال المثلثية

الوجهة الرئيسية معادلات الجمع والفرق للوظائف المثلثيةيتكون من الانتقال إلى منتج الوظائف ، وهو أمر مفيد للغاية عند تبسيط التعبيرات المثلثية. تُستخدم هذه الصيغ أيضًا على نطاق واسع في حل المعادلات المثلثية ، لأنها تسمح بحساب مجموع واختلاف الجيب وجيب التمام.

الصيغ لمنتج الجيب وجيب التمام والجيب بجيب التمام

يتم الانتقال من ناتج الدوال المثلثية إلى المجموع أو الاختلاف من خلال الصيغ الخاصة بمنتج الجيب وجيب التمام والجيب بواسطة جيب التمام.

حقوق التأليف والنشر من قبل الطلاب الأذكياء

كل الحقوق محفوظة.
محمي بقانون حقوق التأليف والنشر. لا يجوز إعادة إنتاج أي جزء من موقع www.site ، بما في ذلك المواد الداخلية والتصميم الخارجي ، بأي شكل أو استخدامه دون إذن كتابي مسبق من صاحب حقوق الطبع والنشر.

الأسئلة الأكثر شيوعًا

هل يمكن عمل ختم على وثيقة حسب العينة المقدمة؟ إجابه انه من الممكن. أرسل نسخة ممسوحة ضوئيًا أو صورة عالية الجودة إلى عنوان بريدنا الإلكتروني ، وسنقوم بعمل النسخة المكررة اللازمة.

ما هي أنواع الدفع التي تقبلونها؟ إجابه يمكنك دفع ثمن المستند في وقت الاستلام عن طريق البريد السريع ، بعد التحقق من صحة التعبئة وجودة الدبلوم. يمكن القيام بذلك أيضًا في مكاتب شركات البريد التي تقدم خدمات الدفع النقدي عند التسليم.
يتم وصف جميع شروط تسليم ودفع المستندات في قسم "الدفع والتسليم". نحن مستعدون أيضًا للاستماع إلى اقتراحاتكم حول شروط التسليم والدفع للمستند.

هل يمكنني التأكد من أنك لن تختفي مع أموالي بعد تقديم الطلب؟ إجابه لدينا خبرة طويلة في مجال إنتاج الدبلومات. لدينا العديد من المواقع التي يتم تحديثها باستمرار. يعمل المتخصصون لدينا في أجزاء مختلفة من البلاد ، وينتجون أكثر من 10 وثائق في اليوم. على مر السنين ، ساعدت مستنداتنا العديد من الأشخاص في حل مشاكل التوظيف أو الانتقال إلى وظائف ذات رواتب أعلى. لقد اكتسبنا الثقة والاعتراف بين العملاء ، لذلك لا يوجد سبب على الإطلاق لنا للقيام بذلك. علاوة على ذلك ، من المستحيل القيام بذلك ماديًا: فأنت تدفع مقابل طلبك في وقت استلامه بين يديك ، ولا يوجد دفع مسبق.

هل يمكنني طلب دبلوم من أي جامعة؟ إجابه بشكل عام ، نعم. نحن نعمل في هذا المجال منذ ما يقرب من 12 عامًا. خلال هذا الوقت ، تم تشكيل قاعدة بيانات كاملة تقريبًا للوثائق الصادرة عن جميع الجامعات في الدولة تقريبًا ولسنوات مختلفة من الإصدار. كل ما تحتاجه هو اختيار جامعة ، وتخصص ، ووثيقة ، وملء استمارة طلب.

ماذا أفعل إذا وجدت أخطاء إملائية في أحد المستندات؟ إجابه عند استلام مستند من شركة البريد السريع أو شركة البريد ، نوصيك بالتحقق بعناية من جميع التفاصيل. إذا تم العثور على خطأ إملائي أو خطأ أو عدم دقة ، فيحق لك عدم الحصول على الدبلومة ، ويجب عليك الإشارة إلى أوجه القصور التي تم العثور عليها شخصيًا إلى البريد السريع أو كتابيًا عن طريق إرسال بريد إلكتروني.
في أقرب وقت ممكن ، سنقوم بتصحيح المستند وإعادة إرساله إلى العنوان المحدد. بالطبع ، سوف تدفع شركتنا تكاليف الشحن.
لتجنب سوء الفهم هذا ، قبل ملء النموذج الأصلي ، نرسل مخططًا للمستند المستقبلي إلى بريد العميل للتحقق والموافقة على النسخة النهائية. قبل إرسال المستند عن طريق البريد أو البريد ، نلتقط أيضًا صورة وفيديو إضافيين (بما في ذلك الأشعة فوق البنفسجية) حتى يكون لديك فكرة مرئية عما ستحصل عليه في النهاية.

ماذا عليك أن تفعل لطلب دبلوم من شركتك؟ إجابه لطلب مستند (شهادة ، دبلوم ، شهادة أكاديمية ، وما إلى ذلك) ، يجب عليك ملء نموذج طلب عبر الإنترنت على موقعنا على الويب أو تقديم بريدك الإلكتروني حتى نرسل لك نموذج استبيان ، تحتاج إلى تعبئته وإرساله العودة إلينا.
إذا كنت لا تعرف ما يجب الإشارة إليه في أي حقل من حقول نموذج الطلب / الاستبيان ، فاتركهما فارغين. لذلك ، سنقوم بتوضيح جميع المعلومات المفقودة عبر الهاتف.

آخر مراجعات

أليكسي:

كنت بحاجة للحصول على دبلوم للحصول على وظيفة كمدير. والأهم من ذلك ، أنني أمتلك الخبرة والمهارات ، ولكن بدون مستند ، لا يمكنني الحصول على وظيفة في أي مكان. بمجرد الوصول إلى موقعك ، ما زلت أقرر شراء دبلوم. اكتملت الدبلومة في يومين! الآن لدي عمل لم أحلم به من قبل !! شكرا!

نبدأ دراستنا لعلم المثلثات بمثلث قائم الزاوية. دعنا نحدد ما هو الجيب وجيب التمام ، بالإضافة إلى الظل والظل للزاوية الحادة. هذه هي أساسيات علم المثلثات.

أذكر ذلك زاوية مستقيمةهي زاوية تساوي 90 درجة. بمعنى آخر ، نصف الزاوية المكشوفة.

زاوية حادة- أقل من 90 درجة.

زاوية منفرجة- أكبر من 90 درجة. فيما يتعلق بهذه الزاوية ، فإن كلمة "blunt" ليست إهانة ، ولكنها مصطلح رياضي :-)

لنرسم مثلث قائم الزاوية. عادة ما يتم الإشارة إلى الزاوية اليمنى. لاحظ أن الجانب المقابل للزاوية يُشار إليه بنفس الحرف ، صغير فقط. إذن ، يُشار إلى الضلع المقابل للزاوية أ.

الزاوية يرمز لها بالحرف اليوناني المقابل.

الوترالمثلث القائم هو الضلع المقابل للزاوية القائمة.

أرجل- جوانب متقابلة مع زوايا حادة.

تسمى الساق المقابلة للزاوية عكس(نسبة إلى الزاوية). تسمى الساق الأخرى ، التي تقع على جانب واحد من الزاوية متاخم.

التجويفالزاوية الحادة في المثلث القائم هي نسبة الضلع المقابلة إلى الوتر:

جيب التمامالزاوية الحادة في مثلث قائم الزاوية - نسبة الساق المجاورة إلى الوتر:

الظلالزاوية الحادة في مثلث قائم الزاوية - نسبة الساق المعاكسة إلى المجاورة:

تعريف آخر (مكافئ): ظل الزاوية الحادة هو نسبة جيب الزاوية إلى جيب التمام:

ظل التمامالزاوية الحادة في مثلث قائم الزاوية - نسبة الضلع المجاورة إلى الضلع المقابل (أو ، بشكل مكافئ ، نسبة جيب التمام إلى الجيب):

انتبه إلى النسب الأساسية للجيب وجيب التمام والظل والظل ، الموضحة أدناه. ستكون مفيدة لنا في حل المشاكل.

دعنا نثبت بعض منهم.

حسنًا ، لقد قدمنا ​​تعريفات وصيغ مكتوبة. ولكن لماذا نحتاج إلى الجيب وجيب التمام والظل والظل؟

نحن نعلم ذلك مجموع زوايا أي مثلث هو.

نحن نعرف العلاقة بين حفلاتمثلث قائم. هذه هي نظرية فيثاغورس:.

اتضح أنه بمعرفة زاويتين في مثلث ، يمكنك إيجاد الزاويتين الثالثة. بمعرفة ضلعين في مثلث قائم الزاوية ، يمكنك إيجاد الضلع الثالث. لذلك ، بالنسبة للزوايا - نسبتها ، للجوانب - الخاصة بها. ولكن ماذا تفعل إذا كانت هناك زاوية واحدة في المثلث القائم الزاوية (باستثناء الزاوية اليمنى) وضلع واحد معروفة ، لكنك بحاجة إلى إيجاد أضلاع أخرى؟

هذا ما واجهه الناس في الماضي ، وهم يرسمون خرائط للمنطقة والسماء المرصعة بالنجوم. بعد كل شيء ، ليس من الممكن دائمًا قياس جميع جوانب المثلث بشكل مباشر.

الجيب وجيب التمام والظل - يطلق عليهم أيضًا الدوال المثلثية للزاوية- أعط النسبة بين حفلاتو زوايامثلث. بمعرفة الزاوية ، يمكنك إيجاد جميع وظائفها المثلثية باستخدام جداول خاصة. ومعرفة الجيب وجيب التمام والظل في زوايا المثلث وأحد أضلاعه ، يمكنك إيجاد الباقي.

سنقوم أيضًا برسم جدول بقيم الجيب وجيب التمام والظل والظل للزوايا "الجيدة" من إلى.

لاحظ الشرطتين الأحمرتين في الجدول. بالنسبة للقيم المقابلة للزوايا ، لا يوجد ظل التمام وظل التمام.

دعنا نحلل عدة مشاكل في علم المثلثات من مهام بنك FIPI.

1. في المثلث ، تكون الزاوية ،. يجد .

تم حل المشكلة في أربع ثوان.

بقدر ما.

2. في المثلث ، الزاوية هي ،. يجد .

لنجد من خلال نظرية فيثاغورس.

تم حل المشكلة.

غالبًا ما توجد في المشكلات مثلثات ذات زوايا و / أو ذات زوايا و. احفظ النسب الأساسية لهم عن ظهر قلب!

لمثلث به زوايا والساق المقابلة للزاوية عند تساوي نصف الوتر.

مثلث له زوايا ومتساوي الساقين. في ذلك ، يكون الوتر أكبر من الساق.

درسنا مسائل حل المثلثات القائمة - أي إيجاد أضلاع أو زوايا غير معروفة. لكن هذا ليس كل شيء! في متغيرات الامتحان في الرياضيات ، هناك العديد من المهام حيث يظهر الجيب أو جيب التمام أو الظل أو ظل التمام للزاوية الخارجية للمثلث. المزيد عن هذا في المقال التالي.

في هذه المقالة ، سوف نلقي نظرة شاملة على. المتطابقات المثلثية الأساسية هي التكافؤات التي تنشئ علاقة بين الجيب وجيب التمام والظل والظل لزاوية واحدة ، وتسمح لك بالعثور على أي من هذه الدوال المثلثية من خلال أخرى معروفة.

نقوم على الفور بإدراج الهويات المثلثية الرئيسية ، والتي سنقوم بتحليلها في هذه المقالة. نكتبها في جدول ، ونقدم أدناه اشتقاق هذه الصيغ ونقدم التفسيرات اللازمة.

التنقل في الصفحة.

العلاقة بين الجيب وجيب التمام من زاوية واحدة

في بعض الأحيان لا يتحدثون عن الهويات المثلثية الرئيسية المدرجة في الجدول أعلاه ، ولكن يتحدثون عن واحدة واحدة الهوية المثلثية الأساسيةعطوف . تفسير هذه الحقيقة بسيط للغاية: يتم الحصول على المساواة من الهوية المثلثية الأساسية بعد قسمة كل من أجزائها على التوالي ، والمساواة و اتبع من تعريفات الجيب وجيب التمام والظل والظل. سنناقش هذا بمزيد من التفصيل في الفقرات التالية.

وهذا يعني أن المساواة هي التي تحظى باهتمام خاص ، والتي أعطيت اسم الهوية المثلثية الرئيسية.

قبل إثبات المتطابقة المثلثية الأساسية ، نقدم صيغتها: مجموع مربعي الجيب وجيب التمام لزاوية واحدة يساوي واحدًا. الآن دعنا نثبت ذلك.

غالبًا ما يتم استخدام الهوية المثلثية الأساسية في تحويل التعبيرات المثلثية. يسمح باستبدال مجموع مربعات الجيب وجيب التمام لزاوية واحدة بواحد. في كثير من الأحيان ، يتم استخدام الهوية المثلثية الأساسية بترتيب عكسي: يتم استبدال الوحدة بمجموع مربعات الجيب وجيب التمام لأي زاوية.

الظل وظل التمام من خلال الجيب وجيب التمام

المتطابقات التي تربط الظل والظل مع الجيب وجيب التمام لزاوية واحدة من النموذج و اتبع مباشرة من تعريفات الجيب وجيب التمام والظل والظل. في الواقع ، بحكم التعريف ، الجيب هو إحداثي y ، وجيب التمام هو حد x ، الظل هو نسبة الإحداثي إلى الإحداثي ، أي ، ، وظل التمام هو نسبة الإحداثي إلى الإحداثي ، أي ، .

بسبب هذا الوضوح للهويات و غالبًا ما يتم إعطاء تعريفات الظل والظل ليس من خلال نسبة الإحداثي والإحداثيات ، ولكن من خلال نسبة الجيب وجيب التمام. إذن ظل الزاوية هو نسبة الجيب إلى جيب التمام لهذه الزاوية ، وظل التمام هو نسبة جيب التمام إلى الجيب.

لاختتام هذا القسم ، تجدر الإشارة إلى أن الهويات و تمسك بكل هذه الزوايا التي تكون فيها الدوال المثلثية منطقية. إذن ، الصيغة صالحة لأي غير (وإلا فسيكون المقام صفرًا ، ولم نحدد القسمة على صفر) ، والصيغة - للجميع ، مختلف عن ، أين z هو أي.

العلاقة بين الظل والظل

إن الهوية المثلثية الأكثر وضوحًا من السابقة هي الهوية التي تربط المماس وظل التمام لزاوية واحدة من النموذج . من الواضح أنه يحدث لأي زوايا بخلاف ، وإلا لم يتم تعريف الظل أو التمام.

دليل على الصيغة بسيط جدا. بحكم التعريف ومن أين . كان من الممكن إجراء الإثبات بطريقة مختلفة قليلاً. منذ و ، ومن بعد .

إذن ، ظل التمام وظل التمام لزاوية واحدة ، حيث يكون لهما معنى ، هو.

جيب التمام لمجموع وفرق الزاويتين

في هذا القسم ، سيتم إثبات الصيغتين التاليتين:

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β ، (1)

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)

يساوي جيب التمام لمجموع (الفرق) بين زاويتين حاصل ضرب جيب التمام لهاتين الزاويتين ناقص (زائد) حاصل ضرب جيوب هاتين الزاويتين.

سيكون أكثر ملاءمة لنا أن نبدأ بإثبات الصيغة (2). للتبسيط ، دعنا نفترض أولاً أن الزوايا α و β استيفاء الشروط التالية:

1) كل من هذه الزوايا غير سالبة وأقل من 2π:

0 < α <2π ، 0< β < 2π;

2) α > β .

اجعل الجزء الموجب من المحور 0x هو الجانب الأولي المشترك للزوايا α و β .

دعونا نشير إلى طرفي هذه الزوايا على أنهما 0A و 0B ، على التوالي. من الواضح أن الزاوية α - β يمكن اعتبارها الزاوية التي من الضروري بها تدوير الحزمة 0B حول النقطة 0 عكس اتجاه عقارب الساعة بحيث يتزامن اتجاهها مع اتجاه الحزمة 0A.

على الأشعة 0A و 0 B ، نحدد النقطتين M و N ، اللتين تقعان على مسافة 1 من أصل الإحداثيات 0 ، بحيث يكون 0M = 0N = 1.

في نظام الإحداثيات x0y ، يكون للنقطة M إحداثيات ( cosα ، sinα) ، والنقطة N - الإحداثيات ( كوس β ، خطيئة β). إذن مربع المسافة بينهما هو:

d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +

+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .

في الحسابات ، استخدمنا الهوية

الخطيئة 2 φ + كوس 2 φ = 1.

الآن ضع في اعتبارك نظام إحداثيات آخر B0C ، والذي يتم الحصول عليه عن طريق تدوير المحاور 0x و 0y حول النقطة 0 عكس اتجاه عقارب الساعة بزاوية β .

في نظام الإحداثيات هذا ، يكون للنقطة M إحداثيات (جيب التمام ( α - β ) ، الخطيئة ( α - β )) ، والنقطة هي إحداثيات N (1،0). إذن مربع المسافة بينهما هو:

د 2 2 \ u003d 2 + 2 \ u003d cos 2 (α - β) - 2 كوس (α - β) + 1 +

+ الخطيئة 2 (α - β) \ u003d 2.

لكن المسافة بين النقطتين M و N لا تعتمد على نظام الإحداثيات الذي نعتبره هذه النقاط. لهذا السبب

د 1 2 = د 2 2

2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 .

هذا هو المكان الذي تتبعه الصيغة (2).

الآن يجب أن نتذكر هذين التقييديين اللذين فرضناهما من أجل بساطة العرض في الزوايا α و β .

شرط أن يكون كل ركن من أركانه α و β كان غير سلبي ، ولم يكن مهمًا حقًا. بعد كل شيء ، يمكن إضافة الزاوية التي هي من مضاعفات 2n إلى أي من هذه الزوايا ، والتي لن تؤثر على صحة الصيغة (2) بأي شكل من الأشكال. وبالمثل ، من كل زاوية من الزوايا المعطاة ، يمكنك طرح زاوية من مضاعفاتها 2π. لذلك ، يمكن اعتبار ذلك 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.

الحالة α > β . في الواقع ، إذا α < β ، ومن بعد β >α ؛ لذلك ، مع مراعاة تكافؤ الوظيفة كوس X ، نحن نحصل:

cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α ،

والتي تتطابق أساسًا مع الصيغة (2). هكذا الصيغة

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

صحيح لجميع الزوايا α و β . على وجه الخصوص ، عن طريق استبدال β على ال - β وبالنظر إلى أن الوظيفة كوسX هو زوجي ، والوظيفة الخطيئةX غريب ، نحصل على:

cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-) =

\ u003d cos α cos β - sin α sin β ،

الذي يثبت الصيغة (1).

وهكذا ، تم إثبات الصيغتين (1) و (2).

أمثلة.

1) cos 75 ° = cos (30 ° + 45 °) = cos 30 ° cos 45 ° -sin 30 ° -sin 45 ° =

2) cos 15 ° = cos (45 ° - 30 °) = cos 45 ° cos 30 ° + sin 45 ° sin 30 ° =

تمارين

1 . احسب بدون استخدام الجداول المثلثية:

أ) cos 17 ° cos 43 ° - sin 17 ° sin 43 ° ؛

ب) sin 3 ° sin 42 ° - cos 39 ° cos 42 ° ؛

ج) cos 29 ° cos 74 ° + sin 29 ° sin 74 ° ؛

د) sin 97 ° sin 37 ° + cos 37 ° cos 97 ° ؛

هـ) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8 ؛

هـ) الخطيئة 3π / 5 sin 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5.

2تبسيط التعبيرات:

أ). كوس ( α + π / 3 ) + كوس (/ 3 - α ) .

ب). كوس (36 درجة + α ) كوس (24 درجة - α ) + الخطيئة (36 درجة + α ) خطيئة ( α - 24 درجة).

في). الخطيئة (π / 4 - α ) الخطيئة (π / 4 + α ) - كوس (π / 4 + α ) كوس (π / 4 - α )

د) كوس 2 α + tg α الخطيئة 2 α .

3 . احسب :

أ) كوس (α - β)، إذا

كوسلفا = - 2 / 5 , sinβ = - 5 / 13 ;

90 درجة< α < 180°, 180° < β < 270°;

ب) كوس ( α + π / 6) إذا كان التمام α = 0,6;

3π / 2< α < 2π.

4 . لايجاد كوس (α + β)وجيب التمام (α - β) ، إذا علم تلك المعصية α = 7/25 كوس β = - 5/13 وكلا الزاويتين ( α و β ) تنتهي في نفس الربع.

5 .احسب:

لكن). كوس [arcsin 1/3 + arccos 2/3]

ب). كوس [arcsin 1/3 - arccos (- 2/3)].

في). كوس [arctg 1/2 + arccos (- 2)]