الزاوية بين خطين مستقيمين. الزاوية بين الخطوط المستقيمة المتقاطعة: التعريف ، أمثلة البحث

أ. دعونا نعطي خطين مستقيمين ، هذه الخطوط المستقيمة ، كما هو مبين في الفصل 1 ، تشكل زوايا موجبة وسالبة مختلفة ، والتي في هذه الحالة يمكن أن تكون حادة ومنفرجة. بمعرفة إحدى هذه الزوايا ، يمكننا بسهولة العثور على أي زوايا أخرى.

بالمناسبة ، بالنسبة لجميع هذه الزوايا ، فإن القيمة العددية للماس هي نفسها ، ويمكن أن يكون الاختلاف فقط في العلامة

معادلات الخطوط. الأرقام هي إسقاطات متجهات الاتجاه للخطين المستقيمين الأول والثاني ، والزاوية بين هذين المتجهين تساوي إحدى الزوايا المكونة من خطوط مستقيمة. لذلك ، يتم تقليل المهمة إلى تحديد الزاوية بين المتجهات ، نحصل عليها

للتبسيط ، يمكننا الاتفاق على الزاوية بين خطين مستقيمين لتعني زاوية موجبة حادة (على سبيل المثال ، في الشكل 53).

عندئذٍ يكون ظل هذه الزاوية موجبًا دائمًا. وبالتالي ، إذا تم الحصول على علامة الطرح على الجانب الأيمن من الصيغة (1) ، فيجب علينا التخلص منها ، أي الاحتفاظ بالقيمة المطلقة فقط.

مثال. حدد الزاوية بين الخطوط المستقيمة

بالصيغة (1) لدينا

مع. إذا تمت الإشارة إلى أي جانب من جوانب الزاوية هو بدايتها وأيها هو النهاية ، فعند حساب اتجاه الزاوية عكس اتجاه عقارب الساعة دائمًا ، يمكننا استخراج شيء أكثر من الصيغة (1). كما يسهل رؤيته من الشكل. تشير العلامة 53 التي تم الحصول عليها على الجانب الأيمن من الصيغة (1) إلى الزاوية - الحادة أو المنفرجة - التي تشكل الخط المستقيم الثاني مع الأول.

(في الواقع ، من الشكل 53 ، نرى أن الزاوية بين متجهي الاتجاه الأول والثاني إما تساوي الزاوية المرغوبة بين الخطوط المستقيمة ، أو تختلف عنها بمقدار ± 180 درجة.)

د. إذا كانت الخطوط المستقيمة متوازية ، فإن متجهات اتجاهها تكون أيضًا متوازية. وبتطبيق شرط التوازي بين متجهين ، نحصل على!

هذا شرط ضروري وكافي لتوازي خطين مستقيمين.

مثال. مباشر

موازية لأن

ه. إذا كانت الخطوط المستقيمة عمودية ، فإن متجهات اتجاهها تكون أيضًا متعامدة. بتطبيق شرط العمودية لمتجهين ، نحصل على حالة عمودي لخطين مستقيمين ، وهما

مثال. مباشر

عمودي بسبب حقيقة أن

فيما يتعلق بشرط التوازي والعمودي ، سنحل المشكلتين التاليتين.

F. ارسم خطًا مستقيمًا يمر بنقطة موازية لهذا الخط المستقيم

يتم تنفيذ الحل على النحو التالي. نظرًا لأن الخط المطلوب موازٍ للخط المعطى ، فيمكن عندئذٍ أخذ متجه الاتجاه الخاص به كما هو الحال في الخط المحدد ، أي ، متجه مع الإسقاطين A و B. وبعد ذلك سيتم كتابة معادلة الخط المطلوب في النموذج (§ 1)

مثال. معادلة خط مستقيم يمر بنقطة (1 ؛ 3) موازية لخط مستقيم

سيكون التالي!

ز. ارسم خطًا مستقيمًا يمر بنقطة متعامدة على هذا الخط المستقيم

هنا ، لم يعد من المناسب أخذ متجه مع الإسقاطات A وكمتجه اتجاه ، ولكن يجب نفخ المتجه المتعامد عليه. يجب اختيار إسقاطات هذا المتجه ، لذلك ، وفقًا لحالة العمودية لكلا المتجهين ، أي وفقًا للحالة

يمكن تحقيق هذا الشرط بطرق لا حصر لها ، حيث توجد معادلة واحدة ذات مجهولين ولكن أسهل طريقة هي أن تأخذ go ثم معادلة الخط المستقيم المطلوب ستكتب في النموذج

مثال. معادلة خط مستقيم يمر بالنقطة (-7 ؛ 2) في خط عمودي

سيكون كالآتي (حسب الصيغة الثانية)!

ح. في حالة إعطاء الخطوط المستقيمة بواسطة معادلات النموذج

تعليمات

ملاحظة

فترة الدالة المثلثية للماس هي 180 درجة ، مما يعني أن منحدرات الخطوط المستقيمة لا يمكنها ، بالقيمة المطلقة ، تجاوز هذه القيمة.

نصيحة مفيدة

إذا كانت المنحدرات متساوية مع بعضها البعض ، فإن الزاوية بين هذه الخطوط هي 0 ، لأن هذه الخطوط إما تتطابق أو تكون متوازية.

لتحديد قيمة الزاوية بين عبور الخطوط المستقيمة ، من الضروري تحريك كلا الخطين المستقيمين (أو أحدهما) إلى موضع جديد باستخدام طريقة النقل المتوازي قبل العبور. بعد ذلك ، يجب أن تجد قيمة الزاوية بين الخطوط المستقيمة المتقاطعة الناتجة.

سوف تحتاج

• مسطرة ، مثلث قائم الزاوية ، قلم رصاص ، منقلة.

تعليمات

إذن ، دع المتجه V = (أ ، ب ، ج) ، والمستوى A س + ب ص + ج ع = 0 ، حيث أ ، ب ، ج هي إحداثيات العمودي N. ثم جيب التمام للزاوية α بين المتجهين V و N تساوي: сos α = (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

لحساب قيمة الزاوية بالدرجات أو الراديان ، تحتاج إلى حساب الدالة العكسية لجيب التمام من التعبير الناتج ، أي جيب التمام المعكوس: α = arssos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

مثال: البحث عن حقنةما بين المتجه(5 ، -3 ، 8) و طائرةمعطى بالمعادلة العامة 2 x - 5 y + 3 z = 0 الحل: اكتب إحداثيات المتجه الطبيعي للمستوى N = (2، -5، 3). استبدل جميع القيم المعروفة في الصيغة أعلاه: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0.8 → α = 36.87 °.

فيديوهات ذات علاقة

الخط المستقيم الذي تشترك فيه نقطة واحدة مع الدائرة هو مماس للدائرة. ميزة أخرى للماس هي أنه دائمًا ما يكون عموديًا على نصف القطر المرسوم على نقطة المماس ، أي أن الظل ونصف القطر يشكلان خطًا مستقيمًا حقنة... إذا تم رسم مماسين للدائرة AB و AC من نقطة واحدة ، فهما دائمًا متساويان. تحديد الزاوية بين الظل ( حقنة ABC) باستخدام نظرية فيثاغورس.

تعليمات

لتحديد الزاوية ، تحتاج إلى معرفة نصف قطر الدائرة OB و OS ومسافة نقطة أصل المماس من مركز الدائرة - O. إذن ، زاويتا ABO و ASO متساويتان ، نصف القطر من OB ، على سبيل المثال ، 10 سم ، والمسافة إلى مركز الدائرة AO تساوي 15 سم. حدد طول الظل على طول الصيغة وفقًا لنظرية فيثاغورس: AB = الجذر التربيعي لـ AO2 - OB2 أو 152 - 102 = 225-100 = 125 ؛

دع الخطين المستقيمين l و m على المستوى في نظام الإحداثيات الديكارتية تُعطى بواسطة المعادلات العامة: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0، m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

نواقل الأسطر للخطوط المعينة: = (أ 1 ، ب 1) - إلى السطر ل ،

= (أ 2 ، ب 2) - على الخط م.

لنفترض أن j هي الزاوية بين الخطين l و m.

بما أن الزوايا ذات الأضلاع المتعامدة بشكل متبادل إما متساوية أو مجموعها p ، إذن ، وهذا هو ، cos j =.

لذلك ، لقد أثبتنا النظرية التالية.

نظرية.دع j هي الزاوية بين خطين مستقيمين على المستوى ، ودع هذه الخطوط المستقيمة تُعطى في نظام الإحداثيات الديكارتية بواسطة المعادلات العامة A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 و A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. ثم cos j = .

تمارين.

1) أخرج صيغة لحساب الزاوية بين الخطوط المستقيمة إذا:

(1) تم تعريف كلا الخطين بشكل حدودي ؛ (2) يتم إعطاء كلا الخطين بواسطة المعادلات الكنسية ؛ (3) يتم إعطاء خط مستقيم واحد حدوديًا ، ويتم إعطاء خط مستقيم آخر - بواسطة المعادلة العامة ؛ (4) يتم إعطاء كلا الخطين المستقيمين بواسطة معادلة ذات ميل.

2) لنفترض أن j هي الزاوية بين خطين مستقيمين على المستوى ، ودع هذه الخطوط المستقيمة تُعطى بواسطة نظام الإحداثيات الديكارتية بواسطة المعادلات y = k 1 x + b 1 و y = k 2 x + b 2.

ثم tg j =.

3) استكشف الموضع النسبي لخطين مستقيمين ، معطى بواسطة المعادلات العامة في نظام الإحداثيات الديكارتية ، واملأ الجدول:

المسافة من نقطة إلى خط مستقيم على مستوى.

دع الخط l على المستوى في نظام الإحداثيات الديكارتية يُعطى بالمعادلة العامة Ax + By + C = 0. دعونا نجد المسافة من النقطة M (x 0 ، y 0) إلى الخط l.

المسافة من النقطة M إلى الخط l هي طول HM العمودي (H l ، HM ^ l).

المتجه والمتجه العادي للخط l متصلان ، بحيث يكون | | = | | | | و | | =.

دع إحداثيات النقطة H (x ، y).

نظرًا لأن النقطة H تنتمي إلى السطر l ، فإن Ax + By + C = 0 (*).

إحداثيات المتجهات و: = (س 0 - س ، ص 0 - ص) ، = (أ ، ب).

| | = = =

(C = -Ax - By ، انظر (*))

نظرية.دع الخط l يُعطى في نظام الإحداثيات الديكارتية بواسطة المعادلة العامة Ax + By + C = 0. ثم تُحسب المسافة من النقطة M (x 0 ، y 0) إلى هذا الخط بالصيغة: r (M ؛ ل) = .

تمارين.

1) أخرج صيغة لحساب المسافة من نقطة إلى خط مستقيم ، إذا: (1) تم تحديد الخط المستقيم بشكل حدودي ؛ (2) يتم إعطاء الخط المستقيم بواسطة المعادلات الكنسية. (3) يتم الحصول على خط مستقيم بواسطة معادلة ذات ميل.

2) اكتب معادلة مماس الدائرة للخط 3x - y = 0 المتمركز عند Q (-2.4).

3) اكتب معادلات الخطوط المستقيمة التي تقسم الزوايا المكونة من تقاطع الخطين المستقيمين 2x + y - 1 = 0 و x + y + 1 = 0 في النصف.

§ 27. تعريف تحليلي لمستوى في الفضاء

تعريف. المتجه الطبيعي للطائرةسوف نسمي متجهًا غير صفري ، أي ممثل يكون عموديًا على المستوى المحدد.

تعليق.من الواضح أنه إذا كان هناك ممثل واحد على الأقل للمتجه عموديًا على المستوى ، فإن جميع الممثلين الآخرين للناقل يكونون عموديين على هذا المستوى.

دع نظام الإحداثيات الديكارتية يُعطى في الفضاء.

دع المستوى a يُعطى ، = (A ، B ، C) هو المتجه الطبيعي لهذا المستوى ، النقطة M (x 0 ، y 0 ، z 0) تنتمي إلى المستوى a.

لأي نقطة N (x ، y ، z) من المستوي a ، متجهات ومتعامدة ، أي أن حاصل ضربها القياسي هو صفر: = 0. نكتب المساواة الأخيرة في الإحداثيات: A (x - x 0) + B (ص - ص 0) + ج (ض - ض 0) = 0.

دعونا -Ax 0 - بمقدار 0 - Cz 0 = D ، ثم Ax + By + Cz + D = 0.

خذ النقطة K (x، y) بحيث يكون Ax + By + Cz + D = 0. بما أن D = -Ax 0 - By 0 - Cz 0 ، إذن أ (س - س 0) + ب (ص - ص 0) + ج (ض - ع 0) = 0.نظرًا لأن إحداثيات المقطع الموجه = (x - x 0، y - y 0، z - z 0) ، فإن المساواة الأخيرة تعني أن ^ ، وبالتالي K Î a.

لذلك ، أثبتنا النظرية التالية:

نظرية.يمكن تحديد أي مستوى في الفضاء في نظام الإحداثيات الديكارتية من خلال معادلة من الشكل Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) ، حيث (A ، B ، C) هي إحداثيات المتجه العادي لهذا المستوى.

والعكس صحيح أيضا.

نظرية.أي معادلة بالصيغة Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 0) في نظام الإحداثيات الديكارتية تحدد مستوى معينًا ، بينما (A ، B ، C) هي إحداثيات عادية ناقلات لهذه الطائرة.

دليل.

خذ النقطة M (x 0 ، y 0 ، z 0) بحيث يكون Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 والمتجه = (A ، B ، C) (≠ q).

يمر المستوى (علاوة على ذلك ، واحد فقط) عبر النقطة M عموديًا على المتجه. وفقًا للنظرية السابقة ، يتم إعطاء هذا المستوى من خلال المعادلة Ax + By + Cz + D = 0.

تعريف.معادلة بالصيغة Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) تسمى المعادلة العامة للطائرة.

مثال.

لنكتب معادلة المستوى الذي يمر عبر النقاط M (0،2،4) و N (1 ، -1،0) و K (-1،0،5).

1. أوجد إحداثيات المتجه العادي للمستوى (MNK). نظرًا لأن المنتج المتجه ´ متعامد مع المتجهات غير الخطية ، والمتجه متعامد ´.

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

´ = (-11، 3، -5).

لذلك ، بصفتنا المتجه الطبيعي ، نأخذ المتجه = (-11 ، 3 ، -5).

2. نستخدم الآن نتائج النظرية الأولى:

معادلة المستوى المحدد A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) = 0 ، حيث (A ، B ، C) هي إحداثيات المتجه العادي ، (x 0 ، y 0، z 0) - إحداثيات نقطة تقع في مستوى (على سبيل المثال ، النقطة M).

11 (س - 0) + 3 (ص - 2) - 5 (ض - 4) = 0

11 س + 3 ص - 5 ع + 14 = 0

الجواب: -11 س + 3 ص - 5 ع + 14 = 0.

تمارين.

1) اكتب معادلة المستوى إذا

(1) أن الطائرة تمر عبر النقطة M (-2،3،0) الموازية للمستوى 3x + y + z = 0 ؛

(2) يحتوي المستوى على المحور (Ox) وهو عمودي على المستوى x + 2y - 5z + 7 = 0.

2) اكتب معادلة المستوى الذي يمر عبر هذه النقاط الثلاث.

§ 28. تعريف تحليلي لنصف الفضاء *

تعليق*... دع بعض الطائرات تكون ثابتة. تحت نصف المساحةنعني مجموعة من النقاط تقع على جانب واحد من مستوى معين ، أي أن نقطتين تقعان في نصف مساحة واحدة ، إذا كان الجزء الذي يربط بينهما لا يتقاطع مع هذا المستوى. هذه الطائرة تسمى حدود هذا النصف مساحة... سيتم استدعاء اتحاد هذا المستوى ونصف الفضاء نصف مساحة مغلقة.

دع نظام الإحداثيات الديكارتية يكون ثابتًا في الفضاء.

نظرية.لنفترض أن المستوى a يُعطى بالمعادلة العامة Ax + By + Cz + D = 0. ثم أحد نصفي مسافتين حيث يقسم المستوى a المساحة يتم إعطاؤه بواسطة المتباينة Ax + By + Cz + D> 0 ، ونصف المساحة الثانية تعطى من خلال المتباينة Ax + By + Cz + D< 0.

دليل.

دعونا نضع جانبًا المتجه الطبيعي = (A ، B ، C) للمستوى a من النقطة M (x 0 ، y 0 ، z 0) الموجودة على هذا المستوى: = ، M Î a ، MN ^ a. قسّم الطائرة إلى نصفين: ب 1 وب 2. من الواضح أن النقطة N تنتمي إلى أحد هذه المسافات النصفية. بدون فقدان العمومية ، سنفترض أن N Î b 1.

دعنا نثبت أن نصف المسافة b 1 تُعطى من خلال المتباينة Ax + By + Cz + D> 0.

1) خذ النقطة K (x ، y ، z) في نصف المسافة ب 1. الزاوية л NMK هي الزاوية بين المتجهات وهي حادة ، وبالتالي يكون الناتج القياسي لهذه المتجهات موجبًا:> 0. نكتب هذه المتباينة في الإحداثيات: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0)> 0 ، أي ، Ax + By + Cy - Ax 0 - بمقدار 0 - C z 0> 0.

بما أن M Î b 1 ، إذن Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0 ، بالتالي -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. لذلك ، يمكن كتابة آخر متباينة على النحو التالي: Ax + By + Cz + D> 0.

2) خذ النقطة L (x، y) بحيث أن Ax + By + Cz + D> 0.

نعيد كتابة المتباينة ، مع استبدال D بـ (-Ax 0 - By 0 - C z 0) (منذ M Î b 1 ، ثم Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0)> 0.

المتجه ذو الإحداثيات (x - x 0 ، y - y 0 ، z - z 0) هو متجه ، وبالتالي فإن التعبير A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) يمكن فهمه ، باعتباره المنتج النقطي للناقلات و. بما أن الناتج القياسي للمتجهات موجب ، فإن الزاوية بينهما حادة والنقطة L Î b 1.

وبالمثل ، يمكن للمرء أن يثبت أن نصف المسافة b 2 معطاة من خلال المتباينة Ax + By + Cz + D< 0.

ملاحظات.

1) من الواضح أن الدليل أعلاه لا يعتمد على اختيار النقطة M في المستوى أ.

2) من الواضح أنه يمكن تحديد نصف مساحة واحدة من خلال متباينات مختلفة.

والعكس صحيح أيضا.

نظرية.أي متباينة خطية بالصيغة Ax + By + Cz + D> 0 (أو Ax + By + Cz + D< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

دليل.

تحدد المعادلة Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) في الفضاء مستوى معينًا أ (انظر § ...). كما تم إثباته في النظرية السابقة ، أحد نصفي الفراغ اللذين يقسم عليهما المستوى المساحة يتم الحصول عليه من خلال المتباينة Ax + By + Cz + D> 0.

ملاحظات.

1) من الواضح أنه يمكن تحديد نصف مساحة مغلقة من خلال عدم مساواة خطية غير صارمة ، وأي متباينة خطية غير صارمة في نظام الإحداثيات الديكارتية تحدد نصف مساحة مغلقة.

2) يمكن تعريف أي متعدد السطوح محدب على أنه تقاطع مسافات نصف مغلقة (حدودها عبارة عن مستويات تحتوي على وجوه متعدد السطوح) ، أي بشكل تحليلي - من خلال نظام من عدم المساواة الخطية غير الصارمة.

تمارين.

1) إثبات النظريتين المقدمتين لنظام إحداثيات أفيني تعسفي.

2) هل العكس صحيح أن أي نظام من عدم المساواة الخطية غير الصارمة يحدد مضلعًا محدبًا؟

1) تحقق من الموضع النسبي للمستويين ، المعطى بواسطة المعادلات العامة في نظام الإحداثيات الديكارتية ، واملأ الجدول.

سأكون مختصرا. الزاوية بين خطين تساوي الزاوية بين متجهي الاتجاه. وبالتالي ، إذا كان بإمكانك إيجاد إحداثيات متجهات الاتجاه a = (x 1 ؛ y 1 ؛ z 1) و b = (x 2 ؛ y 2 ؛ z 2) ، يمكنك إيجاد الزاوية. بتعبير أدق ، جيب تمام الزاوية بالصيغة:

دعونا نرى كيف تعمل هذه الصيغة مع أمثلة محددة:

مهمة. يتم تمييز النقطتين E و F في المكعب ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - نقطتا المنتصف للحواف A 1 B 1 و B 1 C 1 ، على التوالي. أوجد الزاوية بين الخطين AE و BF.

نظرًا لعدم الإشارة إلى حافة المكعب ، قمنا بتعيين AB = 1. أدخل نظام الإحداثيات القياسي: الأصل عند النقطة A ، والمحاور x و y و z موجهة على طول AB و AD و AA 1 على التوالي. قطعة الوحدة تساوي AB = 1. الآن نجد إحداثيات متجهات الاتجاه لخطوطنا.

لنجد إحداثيات المتجه AE. للقيام بذلك ، نحتاج إلى النقاط A = (0 ؛ 0 ؛ 0) و E = (0.5 ؛ 0 ؛ 1). نظرًا لأن النقطة E هي نقطة منتصف المقطع A 1 B 1 ، فإن إحداثياتها تساوي المتوسط ​​الحسابي لإحداثيات النهايات. لاحظ أن أصل المتجه AE يتطابق مع الأصل ، لذا AE = (0.5 ؛ 0 ؛ 1).

الآن دعونا نتعامل مع المتجه BF. وبالمثل ، نقوم بتحليل النقاط B = (1 ؛ 0 ؛ 0) و F = (1 ؛ 0.5 ؛ 1) ، لأن F - نقطة منتصف الجزء B 1 C 1. لدينا:
BF = (1 - 1 ؛ 0.5 - 0 ؛ 1 - 0) = (0 ؛ 0.5 ؛ 1).

لذا فإن نواقل الاتجاه جاهزة. جيب تمام الزاوية بين الخطوط المستقيمة هو جيب تمام الزاوية بين متجهات الاتجاه ، لذلك لدينا:

مهمة. في منشور ثلاثي السطوح منتظم ABCA 1 B 1 C 1 ، كل حوافه تساوي 1 ، يتم تمييز النقطتين D و E - نقطتا المنتصف للحواف A 1 B 1 و B 1 C 1 ، على التوالي. أوجد الزاوية بين الخطين AD و BE.

لنقدم نظام إحداثيات قياسيًا: الأصل عند النقطة A ، والمحور x موجه على طول AB ، z - على طول AA 1. نوجه المحور y بحيث يتطابق مستوى OXY مع المستوى ABC. مقطع الوحدة يساوي AB = 1. أوجد إحداثيات متجهات الاتجاه للخطوط المرغوبة.

أولًا ، لنجد إحداثيات متجه AD. ضع في اعتبارك النقاط: A = (0 ؛ 0 ؛ 0) و D = (0.5 ؛ 0 ؛ 1) ، لأن D - نقطة منتصف الجزء أ 1 ب 1. نظرًا لأن أصل المتجه AD يتزامن مع الأصل ، نحصل على AD = (0.5 ؛ 0 ؛ 1).

لنجد الآن إحداثيات المتجه BE. من السهل حساب النقطة B = (1 ؛ 0 ؛ 0). بالنقطة E - منتصف المقطع C 1 B 1 - يكون الأمر أكثر صعوبة بقليل. لدينا:

يبقى إيجاد جيب تمام الزاوية:

مهمة. في منشور سداسي منتظم ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 ، كل حوافها تساوي 1 ، يتم تمييز النقطتين K و L - نقطتا المنتصف للحواف A 1 B 1 و B 1 C 1 ، على التوالي. أوجد الزاوية بين الخطين AK و BL.

دعونا نقدم نظام إحداثيات قياسي للمنشور: ضع أصل الإحداثيات في مركز القاعدة السفلية ، وقم بتوجيه المحور السيني على طول FC ، والمحور y عبر نقاط المنتصف للمقطعين AB و DE ، و z- المحور عموديًا لأعلى. مقطع الوحدة مرة أخرى يساوي AB = 1. دعونا نكتب إحداثيات النقاط التي تهمنا:

النقطتان K و L هما نقطتا المنتصف للقطعتين A 1 B 1 و B 1 C 1 ، على التوالي ، لذلك تم العثور على إحداثياتهما من خلال الوسط الحسابي. بمعرفة النقاط ، نجد إحداثيات متجهي الاتجاه AK و BL:

لنجد الآن جيب تمام الزاوية:

مهمة. في الهرم الرباعي الزوايا المنتظم SABCD ، جميع حوافه تساوي 1 ، تم وضع علامة على النقطتين E و F - نقاط المنتصف للجانبين SB و SC ، على التوالي. أوجد الزاوية بين الخطين AE و BF.

لنقدم نظام إحداثيات قياسيًا: الأصل عند النقطة A ، ومحور x و y موجهان على طول AB و AD ، على التوالي ، ومحور z موجه عموديًا لأعلى. قطعة الوحدة تساوي AB = 1.

النقطتان E و F هما نقطتا المنتصف للقطعتين SB و SC ، على التوالي ، لذلك تم العثور على إحداثياتهما كمتوسط ​​حسابي للنهايات. لنكتب إحداثيات النقاط التي تهمنا:
أ = (0 ؛ 0 ؛ 0) ؛ ب = (1 ، 0 ، 0)

بمعرفة النقاط ، نجد إحداثيات متجهي الاتجاه AE و BF:

تتطابق إحداثيات المتجه AE مع إحداثيات النقطة E ، لأن النقطة A هي الأصل. يبقى إيجاد جيب تمام الزاوية:

زاوية بين الطائرات

ضع في اعتبارك طائرتين α 1 و α 2 ، على التوالي ، من خلال المعادلات:

تحت زاويةبين طائرتين نعني إحدى الزوايا ثنائية الأضلاع التي شكلتها هذه الطائرات. من الواضح أن الزاوية بين المتجهات العادية والمستويات α 1 و α 2 تساوي إحدى الزوايا ثنائية الأضلاع المجاورة المشار إليها أو ... لذا ... لأن و ، ومن بعد

.

مثال.حدد الزاوية بين المستويات x+2ذ-3ض+ 4 = 0 و 2 x+3ذ+ض+8=0.

حالة التوازي بين طائرتين.

طائرتان α 1 و α 2 متوازيتان إذا وفقط إذا كانت متجهاتهما العادية ومتوازية ، مما يعني .

لذلك ، هناك طائرتان متوازيتان مع بعضهما البعض إذا وفقط إذا كانت المعاملات في الإحداثيات المقابلة متناسبة:

أو

حالة عمودية الطائرات.

من الواضح أن مستويين متعامدين إذا وفقط إذا كانت نواقلها العادية متعامدة ، وبالتالي ، أو.

في هذا الطريق، .

أمثلة.

مستقيم في الفضاء.

معادلة خط المتجه.

المعادلات البارامترية للخط

يتم تحديد موضع الخط المستقيم في الفضاء تمامًا عن طريق تحديد أي من نقاطه الثابتة م 1 ومتجه مواز لهذا الخط.

يسمى المتجه الموازي لخط مستقيم إرشادناقلات من هذا الخط.

لذا فليكن مستقيما ليمر بالنقطة م 1 (x 1 , ذ 1 , ض 1) مستلقية على خط مستقيم موازٍ للناقل.

ضع في اعتبارك نقطة تعسفية م (س ، ص ، ض)على خط مستقيم. يوضح الشكل ذلك .

المتجهات والخطية الخطية ، لذلك يوجد مثل هذا الرقم ر، ماذا ، أين هو العامل ريمكن أن تأخذ أي قيمة عددية حسب موضع النقطة معلى خط مستقيم. عامل ريسمى المعلمة. دلالة على متجهات نصف قطر النقاط م 1 و معلى التوالي من خلال و نحصل عليه. هذه المعادلة تسمى المتجهمعادلة الخط المستقيم. يظهر ذلك لكل قيمة من المعلمة ريتوافق مع متجه نصف قطر نقطة ما ممستلقية على خط مستقيم.

لنكتب هذه المعادلة بصيغة إحداثيات. لاحظ أن ، ومن هنا

تسمى المعادلات الناتجة حدوديمعادلات الخط المستقيم.

عند تغيير المعلمة رإحداثيات التغيير x, ذو ضو نقطة ميتحرك في خط مستقيم.

المعادلات المستقيمة المتعارف عليها

يترك م 1 (x 1 , ذ 1 , ض 1) هي نقطة تقع على خط مستقيم ل، و هو متجه اتجاهه. مرة أخرى ، خذ نقطة اعتباطية على خط مستقيم م (س ، ص ، ض)والنظر في المتجه.

من الواضح أن المتجهات والخطية الخطية ، لذا يجب أن تكون إحداثياتها المقابلة متناسبة ، وبالتالي

– العنوان الأساسيمعادلات الخط المستقيم.

ملاحظة 1.لاحظ أنه يمكن الحصول على المعادلات الأساسية للخط المستقيم من المعادلات البارامترية باستبعاد المعلمة ر... في الواقع ، من المعادلات البارامترية نحصل عليها أو .

مثال.اكتب معادلة الخط المستقيم في شكل حدودي.

نشير ، من هنا x = 2 + 3ر, ذ = –1 + 2ر, ض = 1 –ر.

ملاحظة 2.اجعل الخط المستقيم عموديًا على أحد محاور الإحداثيات ، على سبيل المثال ، المحور ثور... ثم يكون متجه التوجيه عموديًا ثور، بالتالي، م= 0. وبالتالي ، تأخذ المعادلات البارامترية للخط المستقيم الشكل

حذف المعلمة من المعادلات ر، نحصل على معادلات الخط المستقيم في الصورة

ومع ذلك ، في هذه الحالة أيضًا ، نتفق على كتابة المعادلات الأساسية للخط المستقيم بشكل رسمي ... وبالتالي ، إذا كان مقام أحد الكسور صفرًا ، فهذا يعني أن الخط عمودي على محور الإحداثيات المقابل.

وبالمثل ، فإن المعادلات المتعارف عليها يتوافق مع خط مستقيم عمودي على المحاور ثورو أويأو موازية للمحور أوز.

أمثلة.

معادلات عامة لخط كخط تقاطع لطائرتين

يمر عدد لا يحصى من الطائرات عبر كل خط مستقيم في الفضاء. أي اثنان منهم ، يتقاطعان ، حدده في الفضاء. وبالتالي ، فإن معادلات أي مستويين من هذه المستويات ، تم اعتبارها معًا ، تمثل معادلات هذا الخط المستقيم.

بشكل عام ، أي مستويين غير متوازيين تعطيهما المعادلات العامة

تحديد خط تقاطعهم. تسمى هذه المعادلات المعادلات العامةمستقيم.

أمثلة.

أنشئ خطًا مستقيمًا معطى بواسطة المعادلات

لبناء خط مستقيم ، يكفي إيجاد أي نقطتين منه. أسهل طريقة هي تحديد نقاط تقاطع الخط مع مستويات الإحداثيات. على سبيل المثال ، نقطة التقاطع مع المستوى xOyنحصل عليها من معادلات الخط المستقيم ، الإعداد ض= 0:

بعد حل هذا النظام ، وجدنا النقطة م 1 (1;2;0).

وبالمثل ، وضع ذ= 0 ، نحصل على نقطة تقاطع الخط المستقيم مع المستوى xOz:

من المعادلات العامة للخط المستقيم ، يمكنك الانتقال إلى المعادلات الكنسية أو البارامترية. للقيام بذلك ، عليك أن تجد نقطة ما م 1 على الخط ومتجه الاتجاه للخط.

إحداثيات النقطة مسيتم الحصول على 1 من نظام المعادلات هذا عن طريق تخصيص قيمة عشوائية لأحد الإحداثيات. لإيجاد متجه الاتجاه ، لاحظ أن هذا المتجه يجب أن يكون عموديًا على كلا المتجهين العاديين و ... لذلك ، خلف متجه التوجيه للخط المستقيم ليمكننا أخذ حاصل الضرب الاتجاهي للناقلات العادية:

.

مثال.اكتب المعادلات العامة للخط المستقيم إلى الشكل المتعارف عليه.

ابحث عن نقطة على خط مستقيم. للقيام بذلك ، نختار بشكل تعسفي أحد الإحداثيات ، على سبيل المثال ، ذ= 0 وحل نظام المعادلات:

المتجهات العادية للمستويات التي تحدد الخط المستقيم إحداثيات لذلك ، سيكون متجه التوجيه للخط المستقيم

... لذلك، ل: .

زاوية بين مستقيم

ركنبين الخطوط المستقيمة في الفضاء ، سوف نسمي أيًا من الزوايا المتجاورة المكونة من خطين مستقيمين مرسومين من خلال نقطة عشوائية موازية للبيانات.

دع خطين مستقيمين في الفراغ:

من الواضح أن الزاوية بين الخطوط المستقيمة يمكن اعتبارها الزاوية بين متجهات اتجاهها و. منذ ذلك الحين ، وفقًا لصيغة جيب التمام للزاوية بين المتجهات ، نحصل على