كيفية العثور على أصفار دالة في الكسر. كيفية العثور على أصفار دالة

وظيفة الأصفارهي قيم الوسيطة التي تكون فيها الدالة صفرًا.

للعثور على أصفار الدالة المعطاة بالصيغة y=f(x)، عليك حل المعادلة f(x)=0.

إذا لم يكن للمعادلة جذور، فإن الدالة ليس لها أصفار.

أمثلة.

1) أوجد أصفار الدالة الخطية y=3x+15.

لإيجاد أصفار الدالة، حل المعادلة 3x+15=0.

وبالتالي، فإن صفر الدالة y=3x+15 هو x= -5.

الجواب: س = -5.

2) أوجد أصفار الدالة التربيعية f(x)=x²-7x+12.

للعثور على أصفار الدالة، قم بحل المعادلة التربيعية

جذورها x1=3 وx2=4 هي أصفار لهذه الدالة.

الجواب: س = 3؛ س = 4.

تعليمات

1. صفر الدالة هو قيمة الوسيطة x حيث تكون قيمة الدالة تساوي الصفر. ومع ذلك، فقط تلك الوسائط التي تقع ضمن نطاق تعريف الوظيفة قيد الدراسة يمكن أن تكون أصفارًا. أي أن هناك الكثير من القيم التي تكون الدالة f(x) مفيدة لها. 2. اكتب الدالة المعطاة وساويها بالصفر، مثلًا f(x) = 2x?+5x+2 = 0. قم بحل المعادلة الناتجة وأوجد جذورها الحقيقية. يتم حساب جذور المعادلة التربيعية مع دعم إيجاد المميز. 2x?+5x+2 = 0;D = ب?-4ac = 5?-4*2*2 = 9;x1 = (-b+?D)/2*a = (-5+3)/2*2 = -0.5;x2 = (-b-?D)/2*a = (-5-3)/2*2 = -2. وهكذا، في هذه الحالة، يتم الحصول على جذرين للمعادلة التربيعية، الموافقين لـ وسيطات الدالة الأولية f(x). 3. تحقق من جميع قيم x المكتشفة للانتماء إلى مجال تعريف الوظيفة المحددة. اكتشف OOF، للقيام بذلك، تحقق من التعبير الأولي لوجود جذور زوجية للنموذج؟f (x)، لوجود الكسور في الدالة مع وسيطة في المقام، لوجود لوغاريتمي أو مثلثي التعبيرات. 4. عند النظر في دالة ذات تعبير تحت جذر درجة زوجية، خذ جميع الوسائط x كمجال تعريف، والتي لا تحول قيمها التعبير الجذري إلى رقم سالب (على العكس من ذلك، فإن الدالة لا لا معنى له). تحقق مما إذا كانت الأصفار المكتشفة للدالة تقع ضمن نطاق معين من قيم x المقبولة. 5. لا يمكن أن يصل مقام الكسر إلى الصفر؛ لذلك، استبعد تلك الوسائط x التي تؤدي إلى مثل هذه النتيجة. بالنسبة للكميات اللوغاريتمية، ينبغي النظر فقط في قيم الوسيطة التي يكون التعبير نفسه فيها أكبر من الصفر. يجب التخلص من أصفار الدالة التي تحول التعبير اللوغاريتمي إلى صفر أو رقم سالب من النتيجة النهائية. ملحوظة!عند إيجاد جذور المعادلة، قد تظهر جذور إضافية. من السهل التحقق من ذلك: ما عليك سوى استبدال القيمة الناتجة للوسيطة في الدالة والتأكد من تحول الدالة إلى الصفر. نصائح مفيدةفي بعض الأحيان لا يتم التعبير عن الدالة بطريقة واضحة من خلال الوسيط الخاص بها، فمن السهل معرفة ما هي هذه الدالة. مثال على ذلك معادلة الدائرة.

وظيفة الأصفارتسمى قيمة الإحداثي السيني التي تكون عندها قيمة الدالة صفراً.

إذا تم إعطاء دالة من معادلتها، فإن أصفار الدالة ستكون حلول المعادلة. إذا تم إعطاء رسم بياني للدالة، فإن أصفار الدالة هي القيم التي يتقاطع عندها الرسم البياني مع المحور السيني.

وظيفةهي واحدة من أهم المفاهيم الرياضية. وظيفة - التبعية المتغيرة فيمن متغير س، إذا كانت كل قيمة Xيطابق قيمة واحدة في. عامل Xيسمى المتغير المستقل أو الوسيطة. عامل فييسمى المتغير التابع . جميع قيم المتغير المستقل (variable س) تشكل مجال تعريف الوظيفة. جميع القيم التي يأخذها المتغير التابع (variable ذ) ، قم بتشكيل نطاق قيم الوظيفة.

الرسم البياني الوظيفياستدعاء مجموعة جميع نقاط المستوى الإحداثي، التي تساوي حروفها قيم الوسيطة، والإحداثيات تساوي القيم المقابلة للدالة، أي قيم الدالة يتم رسم المتغير على طول محور الإحداثي س، ويتم رسم قيم المتغير على طول المحور الإحداثي ذ. لرسم دالة بيانيا، عليك أن تعرف خصائص الدالة. سيتم مناقشة الخصائص الرئيسية للوظيفة أدناه!

لإنشاء رسم بياني لدالة، نوصي باستخدام برنامجنا - وظائف الرسم البياني عبر الإنترنت. إذا كانت لديك أي أسئلة أثناء دراسة المواد الموجودة على هذه الصفحة، فيمكنك دائمًا طرحها على منتدانا. سيساعدونك في المنتدى أيضًا في حل المشكلات في الرياضيات والكيمياء والهندسة ونظرية الاحتمالات والعديد من الموضوعات الأخرى!

الخصائص الأساسية للوظائف.

1) مجال الوظيفة ونطاق الوظيفة.

مجال الدالة هو مجموعة كافة قيم الوسيطات الصالحة س(عامل س)، والتي الوظيفة ص = و(س)عازم.
مدى الدالة هو مجموعة القيم الحقيقية ذ، والتي تقبلها الدالة.

في الرياضيات الابتدائية، تتم دراسة الوظائف فقط على مجموعة الأعداد الحقيقية.

2) الأصفار الوظيفية.

الدالة صفر هي قيمة الوسيطة التي تكون عندها قيمة الدالة تساوي صفرًا.

3) فترات الإشارة الثابتة للدالة.

فترات الإشارة الثابتة للدالة هي مجموعات من قيم الوسيطات التي تكون فيها قيم الدالة موجبة فقط أو سالبة فقط.

4) رتابة الوظيفة.

الدالة المتزايدة (في فترة زمنية معينة) هي دالة تكون فيها القيمة الأكبر للوسيطة من هذا الفاصل الزمني تتوافق مع قيمة أكبر للدالة.

الدالة المتناقصة (في فترة زمنية معينة) هي دالة تكون فيها القيمة الأكبر للوسيطة من هذا الفاصل الزمني تتوافق مع قيمة أصغر للدالة.

5) الدالة الزوجية (الفردية)..

الدالة الزوجية هي دالة يكون مجال تعريفها متماثلًا بالنسبة إلى الأصل ولأي Xمن مجال تعريف المساواة و(-س) = و(خ). الرسم البياني للدالة الزوجية متماثل حول الإحداثي.

الدالة الفردية هي دالة يكون مجال تعريفها متماثلًا بالنسبة إلى الأصل ولأي Xمن مجال التعريف المساواة صحيحة و(-س) = - و(س). الرسم البياني للدالة الفردية متماثل بالنسبة إلى الأصل.

6) وظائف محدودة وغير محدودة.

تسمى الدالة مقيدة إذا كان هناك رقم موجب M مثل |f(x)| ≥ M لجميع قيم x. إذا لم يكن هذا الرقم موجودا، فإن الدالة غير محدودة.

7) دورية الوظيفة.

تكون الدالة f(x) دورية إذا كان هناك رقم غير صفري T بحيث يكون لأي x f(x+T) = f(x). ويسمى هذا الرقم الأصغر فترة الدالة. جميع الدوال المثلثية دورية. (الصيغ المثلثية).

بعد دراسة خصائص الدالة هذه، يمكنك بسهولة استكشاف الدالة، وباستخدام خصائص الدالة، يمكنك إنشاء رسم بياني للدالة. انظر أيضًا إلى المواد المتعلقة بجدول الحقيقة وجدول الضرب والجدول الدوري وجدول المشتقات وجدول التكاملات.

وظيفة الأصفار

ما هي الأصفار الوظيفية؟ كيفية تحديد أصفار دالة تحليليا ورسوميا؟

وظيفة الأصفار- هذه هي قيم الوسيطات التي تكون فيها الدالة صفرًا.

للعثور على أصفار الدالة المعطاة بالصيغة y=f(x)، عليك حل المعادلة f(x)=0.

إذا لم يكن للمعادلة جذور، فإن الدالة ليس لها أصفار.

1) أوجد أصفار الدالة الخطية y=3x+15.

لإيجاد أصفار الدالة، قم بحل المعادلة 3x+15 =0.

وبالتالي، فإن صفر الدالة هو y=3x+15 - x= -5.

2) أوجد أصفار الدالة التربيعية f(x)=x²-7x+12.

للعثور على أصفار الدالة، قم بحل المعادلة التربيعية

جذورها x1=3 وx2=4 هي أصفار لهذه الدالة.

3) أوجد أصفار الدالة

يكون الكسر منطقيًا إذا كان المقام غير صفر. لذلك، x²-1≠0، x² ≠ 1، x ≠±1. أي مجال تعريف دالة معينة (DO)

من جذور المعادلة x²+5x+4=0 x1=-1 x2=-4، يتم تضمين x=-4 فقط في مجال التعريف.

للعثور على أصفار دالة معطاة بيانيًا، عليك العثور على نقاط تقاطع الرسم البياني للدالة مع محور الإحداثي السيني.

إذا كان الرسم البياني لا يتقاطع مع المحور الثور، فإن الدالة لا تحتوي على أصفار.

الدالة التي يظهر رسمها البياني في الشكل بها أربعة أصفار -

في الجبر، تحدث مشكلة العثور على أصفار دالة كمهمة مستقلة وعند حل مشكلات أخرى، على سبيل المثال، عند دراسة دالة، أو حل عدم المساواة، وما إلى ذلك.

www.algebraclass.ru

قاعدة الأصفار الوظيفية

المفاهيم الأساسية وخصائص الوظائف

قاعدة (قانون) المراسلات. وظيفة رتيبة .

وظائف محدودة وغير محدودة. مستمر و

وظائف متقطعة . وظائف زوجية وغريبة.

وظيفة دورية. فترة الوظيفة.

وظيفة الأصفار . الخط المقارب .

مجال التعريف ونطاق قيم الوظيفة. في الرياضيات الابتدائية، تتم دراسة الوظائف فقط على مجموعة الأعداد الحقيقية ر . هذا يعني أن وسيطة الوظيفة يمكنها فقط أن تأخذ القيم الحقيقية التي تم تعريف الوظيفة من أجلها، أي. كما أنه يقبل القيم الحقيقية فقط. مجموعة من X كافة قيم الوسيطة الصالحة س، والتي الوظيفة ذ = F (س) يتم تعريفه، ودعا مجال الوظيفة. مجموعة من ي كل القيم الحقيقية ذ، الذي تقبله الدالة، يتم استدعاؤه نطاق الوظيفة. الآن يمكننا إعطاء تعريف أكثر دقة للوظيفة: قاعدة (قانون) المراسلات بين المجموعات Xو ي , وفقا لذلك لكل عنصر من المجموعة Xيمكنك العثور على عنصر واحد فقط من المجموعة ي، تسمى دالة .

ويترتب على هذا التعريف أن الدالة تعتبر محددة إذا:

— تم تحديد مجال تعريف الوظيفة X ;

— تم تحديد نطاق الوظيفة ي ;

— قاعدة (قانون) المراسلات معروفة، وذلك لكل منها

قيمة الوسيطة، يمكن العثور على قيمة دالة واحدة فقط.

هذا الشرط لتفرد الوظيفة إلزامي.

وظيفة رتيبة. إذا كان لأي قيمتين للحجة س 1 و س 2 من الشرط س 2 > س 1 يتبع F (س 2) > F (س 1) ثم الدالة F (س) يسمى في ازدياد; إذا لأي س 1 و س 2 من الشرط س 2 > س 1 يتبع F (س 2)

الوظيفة الموضحة في الشكل 3 محدودة، ولكنها ليست رتيبة. الوظيفة في الشكل 4 هي العكس تمامًا، رتيبة، ولكنها غير محدودة. (اشرح هذا من فضلك!).

وظائف مستمرة ومتقطعة. وظيفة ذ = F (س) يسمى مستمر عند هذه النقطة س = أ، لو:

1) يتم تعريف الوظيفة متى س = أ، أي. F (أ) موجود؛

2) موجود محدودالحد ليم F (س) ;

إذا لم يتم استيفاء واحد على الأقل من هذه الشروط، يتم استدعاء الدالة مادة متفجرةعند هذه النقطة س = أ .

إذا كانت الوظيفة مستمرة أثناء الجميع نقاط مجال تعريفها، ثم يطلق عليه وظيفة مستمرة.

وظائف زوجية وغريبة. إذا ل أي سمن مجال تعريف الدالة يحمل ما يلي: F (— س) = F (س)، ثم يتم استدعاء الدالة حتى; اذا حدث ذلك: F (— س) = — F (س)، ثم يتم استدعاء الدالة غريب. رسم بياني لوظيفة زوجية متناظرة حول المحور Y(الشكل 5)، رسم بياني لدالة فردية سيم متري بالنسبة إلى الأصل(الشكل 6).

وظيفة دورية. وظيفة F (س) — دورية، إذا كان هناك شيء من هذا القبيل غير صفريةرقم تلأي غرض أي سمن مجال تعريف الدالة يحمل ما يلي: F (س + ت) = F (س). هذا الأقليتم استدعاء الرقم فترة الوظيفة. جميع الدوال المثلثية دورية.

مثال 1. اثبات تلك الخطيئة سلديه فترة 2.

الحل: نحن نعلم أن الخطيئة ( س+ 2 ن) = خطيئة س، أين ن= 0، ± 1، ± 2، ...

ولذلك إضافة 2 نليس إلى حجة الجيب

يغير قيمته ه. هل هناك رقم آخر مع هذا

دعونا نتظاهر بذلك ص- مثل هذا العدد، أي. المساواة:

صالحة لأي قيمة س. ولكن بعد ذلك حدث ذلك

مكان وفي س= / 2، أي

الخطيئة(/2 + ص) = الخطيئة / 2 = 1.

ولكن وفقا لصيغة الاختزال الخطيئة (/ 2 + ص) = كوس ص. ثم

من المساويتين الأخيرتين يتبع ذلك cos ص= 1، ولكننا

ونحن نعلم أن هذا صحيح فقط عندما ص = 2 ن. منذ الأصغر

رقم غير الصفر من 2 نهو 2، ثم هذا الرقم

وهناك فترة الخطيئة س. ويمكن إثباته بطريقة مماثلة 2

هي أيضًا فترة لـ cos س .

اثبات أن وظائف تان سوسرير أطفال سلديها فترة.

مثال 2. ما هو رقم فترة الدالة sin 2 س ?

الحل: النظر في الخطيئة 2 س= الخطيئة (2 س+ 2 ن) = الخطيئة [ 2 ( س + ن) ] .

ونحن نرى أن إضافة نإلى الحجة س، لم يتغير

قيمة الوظيفة. أصغر رقم غير الصفر

من نإذن هذه هي الفترة sin 2 س .

وظيفة الأصفار. يتم استدعاء قيمة الوسيطة التي تكون فيها الدالة 0 صفر ( الجذر) وظيفة. قد تحتوي الدالة على أصفار متعددة. على سبيل المثال، الدالة ذ = س (س + 1) (س- 3) له ثلاثة أصفار: س = 0, س = — 1, س= 3. هندسيا وظيفة فارغة – هذه هي نقطة تقاطع الرسم البياني للدالة مع المحور X .

يوضح الشكل 7 رسمًا بيانيًا لدالة ذات أصفار: س = أ , س = بو س = ج .

الخط المقارب. إذا كان الرسم البياني للدالة يقترب إلى أجل غير مسمى من خط معين أثناء تحركه بعيدًا عن نقطة الأصل، فإن هذا الخط يسمى الخط المقارب.

الموضوع 6. "طريقة الفاصل الزمني".

إذا كانت f (x) f (x 0) لـ x x 0، فسيتم استدعاء الدالة f (x). مستمر عند النقطة × 0.

إذا كانت الدالة متصلة عند كل نقطة في الفترة I، فإنها تسمى مستمر على الفاصل الزمنيأنا (الفاصل الزمني الذي يسمى فترة الاستمرارية للوظيفة). الرسم البياني للدالة في هذه الفترة هو خط متصل، يقولون إنه يمكن "رسمه دون رفع قلم الرصاص عن الورقة".

خاصية الدوال المستمرة.

إذا كانت الدالة f على الفترة (a ; b) متصلة ولا تختفي، فإنها تحتفظ بإشارة ثابتة على هذه الفترة.

تعتمد إحدى طرق حل المتباينات ذات متغير واحد، وهي الطريقة الفاصلة، على هذه الخاصية. دع الدالة f(x) تكون متصلة على الفترة I وتختفي عند عدد محدود من النقاط في هذه الفترة. بواسطة خاصية الدوال المستمرة، تقسم هذه النقاط I إلى فترات، في كل منها الدالة المستمرة f(x) c تحافظ على إشارة ثابتة. لتحديد هذه الإشارة، يكفي حساب قيمة الدالة f(x) عند أي نقطة من كل فترة زمنية. وبناءً على ذلك، حصلنا على الخوارزمية التالية لحل المتباينات باستخدام طريقة الفترات.

طريقة الفاصل لعدم المساواة في النموذج

طريقة الفاصل. مستوى متوسط.

هل ترغب في اختبار قوتك ومعرفة نتيجة مدى استعدادك لامتحان الدولة الموحدة أو امتحان الدولة الموحدة؟

دالة خطية

دالة النموذج تسمى خطية. لنأخذ دالة كمثال. يكون موجبًا عند 3″> وسالبًا عند. النقطة هي صفر الدالة (). لنعرض إشارات هذه الدالة على محور الأعداد:

نقول أن "علامة تغير الدالة عند المرور بالنقطة".

يمكن ملاحظة أن علامات الدالة تتوافق مع موضع الرسم البياني للدالة: إذا كان الرسم البياني فوق المحور، تكون الإشارة " "، إذا كانت تحتها "".

إذا قمنا بتعميم القاعدة الناتجة على دالة خطية عشوائية، فسنحصل على الخوارزمية التالية:

وظيفة من الدرجة الثانية

أتمنى أن تتذكر كيفية حل عدم المساواة التربيعية؟ إذا لم يكن الأمر كذلك، فاقرأ موضوع "المتباينات التربيعية". اسمحوا لي أن أذكركم بالصورة العامة للدالة التربيعية: .

الآن دعونا نتذكر الإشارات التي تأخذها الدالة التربيعية. الرسم البياني الخاص بها عبارة عن قطع مكافئ، وتأخذ الدالة الإشارة " " لتلك التي يكون فيها القطع المكافئ أعلى المحور، و" " - إذا كان القطع المكافئ أسفل المحور:

إذا كانت الدالة تحتوي على أصفار (قيم عندها)، فإن القطع المكافئ يتقاطع مع المحور عند نقطتين - جذور المعادلة التربيعية المقابلة. وبالتالي، يتم تقسيم المحور إلى ثلاث فترات، وتتغير علامات الدالة بالتناوب عند المرور عبر كل جذر.

هل من الممكن تحديد العلامات بطريقة أو بأخرى دون رسم القطع المكافئ في كل مرة؟

تذكر أنه يمكن تحليل ثلاثية الحدود المربعة إلى عوامل:

لنضع علامة على الجذور على المحور:

نتذكر أن إشارة الدالة لا يمكن أن تتغير إلا عند المرور بالجذر. دعونا نستخدم هذه الحقيقة: لكل فترة من الفترات الثلاث التي ينقسم فيها المحور إلى جذور، يكفي تحديد إشارة الدالة عند نقطة واحدة فقط تم اختيارها بشكل تعسفي: عند النقاط المتبقية من الفترة ستكون الإشارة هي نفسها .

في مثالنا: عند 3″> كلا التعبيرين بين القوسين يكونان موجبين (عوض، على سبيل المثال: 0″>). نضع علامة "" على المحور :

حسنًا، عندما (التعويض، على سبيل المثال)، يكون كلا القوسين سالبًا، مما يعني أن حاصل الضرب موجب:

هذا ما هو عليه طريقة الفاصل: بمعرفة علامات العوامل في كل فترة، نحدد إشارة حاصل الضرب بأكمله.

دعونا نفكر أيضًا في الحالات التي لا تحتوي فيها الدالة على أصفار، أو تحتوي على واحد فقط.

إذا لم يكونوا هناك، فلا توجد جذور. هذا يعني أنه لن يكون هناك "مرور عبر الجذر". وهذا يعني أن الدالة تأخذ إشارة واحدة فقط على خط الأعداد بأكمله. يمكن تحديده بسهولة عن طريق استبداله في دالة.

إذا كان هناك جذر واحد فقط، فإن القطع المكافئ يلامس المحور، وبالتالي لا تتغير إشارة الدالة عند المرور عبر الجذر. ما هي القاعدة التي يمكن أن نتوصل إليها في مثل هذه المواقف؟

إذا قمت بتحليل هذه الوظيفة، فستحصل على عاملين متطابقين:

وأي تعبير تربيعي غير سلبي! لذلك، لا تتغير إشارة الدالة. في مثل هذه الحالات سنسلط الضوء على الجذر، عند المرور من خلاله ولا تتغير الإشارة، وذلك من خلال وضع دائرة حوله بالمربع:

سوف نسمي هذا الجذر مضاعفات.

طريقة الفترات في عدم المساواة

الآن، يمكن حل أي متباينة من الدرجة الثانية دون رسم قطع مكافئ. يكفي فقط وضع إشارات الدالة التربيعية على المحور واختيار الفترات حسب إشارة المتباينة. على سبيل المثال:

دعونا نقيس الجذور على المحور ونضع العلامات:

نحتاج إلى جزء المحور الذي يحمل العلامة ""؛ نظرًا لأن المتراجحة ليست صارمة، فقد تم تضمين الجذور نفسها أيضًا في الحل:

الآن فكر في متباينة عقلانية - متباينة، كلا طرفيها عبارة عن تعبيرات عقلانية (انظر "المعادلات العقلانية").

مثال:

جميع العوامل باستثناء عامل واحد هي "خطية" هنا، أي أنها تحتوي على متغير للقوة الأولى فقط. نحتاج إلى مثل هذه العوامل الخطية لتطبيق طريقة الفاصل الزمني - تتغير العلامة عند المرور عبر جذورها. لكن المضاعف ليس له جذور على الإطلاق. وهذا يعني أنها موجبة دائمًا (تأكد من ذلك بنفسك)، وبالتالي لا تؤثر على إشارة المتراجحة بأكملها. وهذا يعني أنه يمكننا قسمة طرفي المتراجحة الأيمن والأيسر عليها، وبالتالي التخلص منها:

الآن أصبح كل شيء كما كان مع المتباينات التربيعية: نحدد عند أي نقطة يصبح كل عامل صفرًا، ونحدد هذه النقاط على المحور ونرتب العلامات. أود أن ألفت انتباهكم إلى حقيقة مهمة جدًا:

في حالة الرقم الزوجي، نفعل نفس الشيء كما في السابق: نحيط النقطة بمربع ولا نغير الإشارة عند المرور بالجذر. ولكن في حالة وجود رقم فردي، لا تنطبق هذه القاعدة: ستظل الإشارة تتغير عند المرور عبر الجذر. ولذلك، فإننا لا نفعل أي شيء إضافي مع هذا الجذر، كما لو لم يكن مضاعفًا. تنطبق القواعد المذكورة أعلاه على جميع القوى الزوجية والفردية.

ماذا يجب أن نكتب في الجواب؟

إذا تم انتهاك تناوب العلامات، فيجب أن تكون حذرًا للغاية، لأنه إذا لم يكن عدم المساواة صارمًا، فيجب أن تتضمن الإجابة جميع النقاط المظللة. لكن بعضها غالبًا ما يكون منفصلاً، أي أنه غير مدرج في المنطقة المظللة. وفي هذه الحالة نضيفها إلى الإجابة كنقاط معزولة (بين قوسين متعرجين):

أمثلة (قرر بنفسك):

الإجابات:

1. وإذا كان من بين العوامل بسيطا، فهو جذر، لأنه يمكن تمثيله على أنه.
   .

2. أوجد أصفار الدالة.

و (خ) في س .

الإجابة و(خ) في س .

2) × 2>-4س-5؛

× 2 +4x +5>0;

لنفترض أن f(x)=x 2 +4x +5 ثم فلنجد x التي من أجلها f(x)>0،

D=-4 لا يوجد أصفار.

4. أنظمة عدم المساواة. عدم المساواة وأنظمة عدم المساواة مع متغيرين

1) مجموعة الحلول لنظام من المتباينات هي تقاطع مجموعات حلول المتباينات الموجودة فيه.

2) يمكن تصوير مجموعة الحلول للمتباينة f(x;y)>0 بيانياً على المستوى الإحداثي. عادة، الخط المحدد بالمعادلة f(x;y) = 0 يقسم المستوى إلى جزأين، أحدهما هو حل المتراجحة. لتحديد أي جزء، تحتاج إلى استبدال إحداثيات النقطة العشوائية M(x0;y0) التي لا تقع على الخط f(x;y)=0 في المتراجحة. إذا كانت f(x0;y0) > 0، فإن حل المتراجحة هو جزء المستوى الذي يحتوي على النقطة M0. إذا و(x0;y0)<0, то другая часть плоскости.

3) مجموعة الحلول لنظام من المتباينات هي تقاطع مجموعات حلول المتباينات الموجودة فيه. لنفترض، على سبيل المثال، نظام عدم المساواة:

.

بالنسبة للمتباينة الأولى، مجموعة الحلول عبارة عن دائرة نصف قطرها 2 ومركزها نقطة الأصل، وبالنسبة للمتباينة الثانية، فهي عبارة عن نصف مستوى يقع فوق الخط المستقيم 2x+3y=0. ومجموعة حلول هذا النظام هي تقاطع هذه المجموعات أي نصف دائرة.

4) مثال. حل نظام عدم المساواة:

حل المتباينة الأولى هو المجموعة، والثاني هو المجموعة (2؛7) والثالث هو المجموعة.

وتقاطع هذه المجموعات هو المجال (2؛3)، وهو مجموعة حلول نظام المتباينات.

5. حل المتباينات العقلانية باستخدام طريقة الفترات

تعتمد طريقة الفواصل الزمنية على الخاصية التالية ذات الحدين (x-a): النقطة x = α تقسم محور الرقم إلى جزأين - إلى يمين النقطة α ذات الحدين (x-α)>0، وإلى يمين النقطة α ذات الحدين (x-α)>0، وإلى يسار النقطة α (x-α)<0.

فليكن من الضروري حل المتراجحة (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0، حيث α 1، α 2 ...α n-1، α n ثابتة أعداد لا يوجد بينها تساوي، بحيث يكون α 1< α 2 <...< α n-1 < α n . Для решения неравенства (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n)>0 باستخدام طريقة الفاصل الزمني، اتبع ما يلي: يتم رسم الأرقام α 1، α 2 ...α n-1، α n على المحور العددي؛ في الفاصل الذي على يمين أكبرهم، أي. الأرقام α n، ضع علامة زائد، في الفترة التي تليها من اليمين إلى اليسار ضع علامة ناقص، ثم علامة زائد، ثم علامة ناقص، وما إلى ذلك. إذن فإن مجموعة جميع حلول المتراجحة (x-α 1)(x‑α 2)...(x-α n)>0 ستكون اتحاد جميع الفترات التي توضع فيها علامة الجمع، والمجموعة حلول المتراجحة (x-α 1 )(x-α 2)...(x‑α n)<0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».

1) حل المتباينات العقلانية (أي متباينات الشكل P(x) Q(x) حيث تكون كثيرات الحدود) تعتمد على الخاصية التالية للدالة المستمرة: إذا اختفت دالة مستمرة عند النقطتين x1 وx2 (x1; x2) وليس لها جذور أخرى بين هذه النقاط، ثم في الفواصل الزمنية (x1؛ x2) تحتفظ الدالة بعلامتها.

لذلك، للعثور على فترات الإشارة الثابتة للدالة y=f(x) على خط الأعداد، ضع علامة على جميع النقاط التي تختفي عندها الدالة f(x) أو تعاني من انقطاع. تقسم هذه النقاط خط الأعداد إلى عدة فترات، داخل كل منها تكون الدالة f(x) مستمرة ولا تختفي، أي. يحفظ العلامة. لتحديد هذه العلامة، يكفي العثور على إشارة الدالة عند أي نقطة من الفاصل الزمني المدروس لخط الأعداد.

2) لتحديد فترات الإشارة الثابتة لدالة عقلانية، أي. لحل متباينة كسرية، نحدد على خط الأعداد جذور البسط وجذور المقام، وهي أيضًا جذور الدالة الكسرية ونقاط توقفها.

حل المتباينات باستخدام طريقة الفترات

3. < 20.

حل. يتم تحديد نطاق القيم المقبولة من خلال نظام عدم المساواة:

للدالة f(x) = - 20. ابحث عن f(x):

حيث س = 29 و س = 13.

و(30) = - 20 = 0.3 > 0،

و(5) = – 1 – 20 = – 10< 0.

إجابة: . الطرق الأساسية لحل المعادلات العقلانية. 1) الأبسط: يتم حلها بالتبسيط المعتاد - الاختزال إلى قاسم مشترك، واختزال المصطلحات المتشابهة، وما إلى ذلك. يتم حل المعادلات التربيعية ax2 + bx + c = 0 بواسطة...

تتغير X على الفترة (0,1]، وتتناقص على الفترة = ½ [
-(1/3)
]، مع | ض|< 1.

ب) F(ض) = - ½ [
+
] = - (
)، في 1< |ض| < 3.

مع) F(ض) = ½ [
]= - ½ [
] =

= - ½ = -
، مع |2 - ض| < 1

وهي دائرة نصف قطرها 1 ومركزها ض = 2 .

في بعض الحالات يمكن اختزال متسلسلة القوى إلى مجموعة من المتتاليات الهندسية، وبعد ذلك يسهل تحديد منطقة تقاربها.

إلخ. التحقيق في تقارب السلسلة

. . . + + + + 1 + () + () 2 + () 3 + . . .

حل. هذا هو مجموع اثنين من التقدمات الهندسية مع س 1 = , س 2 = () . ويترتب على شروط تقاربهما < 1 , < 1 или |ض| > 1 , |ض| < 2 , т.е. область сходимости ряда кольцо 1 < |ض| < 2 .