Sonsuz formalar. Paradoksal imkansız obyektlərin dünyası

Əsas / Aldadıcı ər

Yaratma bacarığı və məkan şəkilləri ilə işləmək bir insanın ümumi intellektual inkişaf səviyyəsini xarakterizə edir. IN psixoloji tədqiqatlar təcrübə ilə bir insanın meyli arasında olduğunu təsdiqlədi müvafiq peşələr və məkan nümayəndəliklərinin inkişaf səviyyəsi, statistik etibarlı bir əlaqə var. Mümkün olmayan rəqəmlərin geniş yayılması memarlıq, rəsm, psixologiya, həndəsə və praktik həyatın bir çox digər sahələrində daha çox məlumat əldə etmək imkanı verir müxtəlif peşələr və qərar verin gələcək peşə seçimi.

Açar sözlər: tribar, sonsuz pilləkən, boşluq fişi, qeyri-mümkün qutular, üçbucaq və penrose nərdivanı, Escher kubu, Reuterswaerd üçbucağı.

Tədqiqatın məqsədi:3 ölçülü modellərdən istifadə edərək qeyri-mümkün rəqəmlərin xüsusiyyətlərinin öyrənilməsi.

Tədqiqat məqsədləri:

Növləri öyrənmək və mümkün olmayan rəqəmlərin təsnifatını aparmaq.
Mümkün olmayan rəqəmləri qurmağın yollarını nəzərdən keçirin.
Bir kompüter proqramı və 3D modelləşdirmə istifadə edərək qeyri-mümkün rəqəmlər yaradın.

Mümkün olmayan rəqəmlər anlayışı

"Mümkün olmayan rəqəmlər" haqqında obyektiv bir anlayış yoxdur. Bir mənbədən qeyri-mümkün rəqəm - bir növ optik illüziya, adi bir üç ölçülü cismin proyeksiyası kimi görünən bir fiqur, yaxından araşdırıldıqda fiqur elementlərinin ziddiyyətli əlaqələri görünür. Və başqa bir mənbədən qeyri-mümkün rəqəmlər həqiqi üç ölçülü məkanda olmayan cisimlərin həndəsi cəhətdən ziddiyyətli şəkilləridir. İmkansızlıq təsvir olunan məkanın şüuraltı olaraq qəbul edilən həndəsi ilə formal riyazi həndəsə arasındakı ziddiyyətdən yaranır.

Fərqli tərifləri təhlil edərək nəticəyə gəlirik:

qeyri-mümkün rəqəm üçölçülü bir cisim təəssüratını elə qurur ki, məkan qavrayışımızın təklif etdiyi cisim mövcud ola bilməz, ona görə də onu yaratmaq cəhdləri müşahidəçiyə aydın görünən (həndəsi) ziddiyyətlərə səbəb olur.

Məkan obyekti təəssüratı yaradan bir görüntüyə baxdığımızda, məkan qavrayış sistemimiz, ayrı-ayrı fraqmentlər və dərinlik göstərişlərinin təhlilindən başlayaraq məkan forması, oriyentasiya və quruluş tapmağa çalışır. Bundan əlavə, bu ayrı hissələr birləşdirilir və bir şəkildə bütün obyektin məkan quruluşu haqqında ümumi bir fərziyyə yaratmaq üçün koordinasiya olunur. Ümumiyyətlə düz bir görüntünün sonsuz sayda məkan təfsirinə sahib olmasına baxmayaraq, şərh mexanizmimiz yalnız birini seçir - bizim üçün ən təbii. Təsvirin özü deyil, ehtimal və ya mümkünsüzlüyə görə daha da yoxlanılan görüntünün bu təfsiri. Mümkün olmayan bir təfsir quruluşunda ziddiyyətli çıxır - fərqli qismən təfsirlər ümumi tutarlı bütövlüyə sığmır.

Rəqəmlər, təbii şərhləri mümkün deyilsə, mümkün deyil. Ancaq bu, eyni rəqəmin mövcud ola biləcək başqa bir şərhinin olmadığı anlamına gəlmir. Beləliklə, fiqurların məkan şərhlərini dəqiq təsvir etmək üçün bir metod tapmaq qeyri-mümkün fiqurlar və onların təfsir mexanizmləri ilə daha da işləmək üçün əsas yollardan biridir. Fərqli təfsirləri təsvir edə bilsəniz, onları müqayisə edə, rəqəmi və onun müxtəlif təfsirlərini əlaqələndirə (təfsirlərin yaradılması mexanizmlərini başa düşə), yazışmalarını yoxlaya və ya uyğunsuzluqların növlərini təyin edə bilərsiniz və s.

Mümkün olmayan rəqəmlərin növləri

Mümkün olmayan formalar iki böyük sinfə bölünür: bəzilərinin həqiqi üç ölçülü modelləri var, bəziləri isə yaradıla bilməz.

Mövzu üzərində iş zamanı 4 növ imkansız fiqur öyrənildi: bir tayfa, sonsuz pilləkən, qeyri-mümkün qutular və boşluq çəngəl. Hamısı özlərinə görə bənzərsizdir.

Tribar (Penrose üçbucağı)

Elementləri birləşdirilə bilməyən həndəsi cəhətdən qeyri-mümkün bir rəqəmdir. Axı mümkün olmayan üçbucaq mümkün oldu. İsveçli rəssam Oskar Reyteswerd 1934-cü ildə dünyaya ilk dəfə imkansız kublar üçbucağını təqdim etdi. Bu hadisənin şərəfinə İsveçdə bir poçt markası buraxıldı. Tribar kağızdan hazırlana bilər. Origami həvəskarları əvvəllər bir alimin çirkin fantaziyası kimi görünən bir şey yaratmaq və əllərində tutmağın bir yolunu tapdılar. Ancaq üç dik xəttin üç ölçülü bir cisminin proyeksiyasına baxdığımızda öz gözlərimiz tərəfindən aldanırıq. Müşahidəçiyə elə gəlir ki, üçbucaq görür, əslində belə deyil.

Sonsuz pilləkən.

Sonu və kənarı olmayan dizayn bioloq Leionel Penrose və riyaziyyatçı oğlu Roger Penrose tərəfindən icad edilmişdir. Model ilk dəfə 1958-ci ildə nəşr olundu, bundan sonra böyük populyarlıq qazandı, klassik qeyri-mümkün bir rəqəmə çevrildi və əsas konsepsiya rəsm, memarlıq və psixologiyada tətbiq tapdı. Penrose pilləkən modeli kompüter oyunları, bulmacalar, optik illüziyalar sahəsindəki digər qeyri-real rəqəmlərlə müqayisədə ən çox populyarlıq qazandı. "Aşağı gedən pilləkənlər yuxarıda" - Penrose pilləkənlərini belə təsvir edə bilərsiniz. Bu dizaynın fikri ondan ibarətdir ki, saat istiqamətində hərəkət edərkən addımlar hər zaman yuxarıya, əks istiqamətdə isə aşağıya doğru aparır. Üstəlik, "əbədi nərdivan" yalnız dörd uçuşdan ibarətdir. Bu o deməkdir ki, cəmi dörd pilləkəndən sonra səyyah hərəkət etməyə başladığı yerdən eyni yerdə tapır.

Mümkün olmayan qutular.

Başqa bir qeyri-mümkün obyekt 1966-cı ildə fotoqraf Dr. Charles F. Cochranın orijinal təcrübələri nəticəsində Çikaqoda ortaya çıxdı. Mümkün olmayan fiqurların bir çox pərəstişkarı Crazy Box ilə sınaqdan keçirdi. Müəllif əvvəlcə onu "sərbəst qutu" adlandırdı və "çox sayda qeyri-mümkün obyekt göndərmək üçün nəzərdə tutulduğunu" bildirdi. "Crazy Box" içəri çevrilmiş bir kub çərçivəsidir. "Dəli Qutu" nun dərhal sələfi Escherin "İmkansız Qutusu", sələfi də öz növbəsində Necker Küpü idi. Bu qeyri-mümkün bir obyekt deyil, ancaq dərinlik parametrinin birmənalı qəbul edilə biləcəyi bir rəqəmdir. Necker kubuna baxdığımızda, nöqtəsi olan üzün ya ön planda, ya da arxa planda olduğunu, bir mövqedən digərinə atlandığını görürük.

Yer fişi.

Bütün qeyri-mümkün rəqəmlər arasında qeyri-mümkün trident ("kosmik çəngəl") xüsusi yer tutur. Tridentin sağ tərəfini əlimizlə bağlasaq, onda çox real bir mənzərə görərik - üç dəyirmi diş. Tridentin alt hissəsini bağlasaq, həqiqi mənzərəni də görərik - iki düzbucaqlı diş. Ancaq bütün rəqəmi bütöv hesab etsək, üç yuvarlaq dişin tədricən iki düzbucaqlı dişə çevrildiyi ortaya çıxdı.

Beləliklə, bu rəsmin ön və arxa planlarının ziddiyyət təşkil etdiyini görə bilərsiniz. Yəni əvvəlcə ön planda olan geri qayıdır və arxa plan (orta diş) irəli sürünür. Ön rəqəmi və arxa planı dəyişdirməklə yanaşı, bu rəqəm başqa bir təsirə malikdir - tridentin sağ tərəfinin düz kənarları solda yuvarlaqlaşır. İmkansızlıq effekti beynimizin rəqəmin konturunu analiz etdiyi və dişlərin sayını saymağa çalışdığı üçün əldə edilir. Beyin, şəklin sol və sağ tərəfindəki şəkildəki dişlərin sayını müqayisə edir və bu rəqəmin mümkünsüz olduğunu hiss edir. Şəkildəki dişlərin sayı əhəmiyyətli dərəcədə çox olsaydı (məsələn, 7 və ya 8), bu paradoks daha az ifadə ediləcəkdi.

Çizimlərə görə qeyri-mümkün rəqəmlərin modellərinin hazırlanması

Üç ölçülü bir model fiziki cəhətdən təmsil olunan bir obyektdir, kosmosda baxıldıqda, bütün çat və əyilmələr kosmosda görünər, bu da imkansızlıq xəyalını məhv edir və bu model "sehrini" itirir. Bu model iki ölçülü bir müstəviyə proqnozlaşdırıldıqda qeyri-mümkün bir rəqəm əldə edilir. Bu qeyri-mümkün rəqəm (üç ölçülü modeldən fərqli olaraq) kosmosda yox, ancaq insan təxəyyülündə mövcud ola biləcək qeyri-mümkün bir cisim təəssüratı yaradır.

Tribar

Kağız modeli:

İmkansız çubuq

Kağız modeli:

İçindəki imkansız rəqəmlərin inşasıproqramMümkün deyilİnşaatçı

İmkansız Konstruktor proqramı, kublardan mümkün olmayan fiqurların şəkillərini qurmaq üçün hazırlanmışdır. Bu proqramın əsas çatışmazlıqları tələb olunan kubun seçilməsinin mürəkkəbliyi idi (proqramda mövcud olan 32 kubdan birini tapmaq olduqca çətindir), həmçinin bütün kub seçimlərinin təmin edilməməsi. Təklif olunan proqram (64 kub) arasından seçim etmək üçün tam bir kublar dəsti təqdim edir və eyni zamanda kublar konstruktorundan istifadə edərək lazımi kubu tapmaq üçün daha rahat bir yol təqdim edir.

Mümkün olmayan rəqəmlərin modelləşdirilməsi.

Çap 3D. qeyri-mümkün rəqəmlərin modelləri printerdə

İşin gedişində dörd imkansız fiqurdan ibarət modellər 3B printerdə çap olundu.

Penrose üçbucağı

Qəbilə yaradılması prosesi:

Budur nə ilə bitdim:

Escher kub

Bir kub yaratmaq prosesi: Nəhayət, bir model əldə edilir:

Penrose nərdivanı(cəmi dörd pilləkəndən sonra səyyah özünü hərəkət etməyə başladığı yerdə tapır):

Reutersward üçbucağı(doqquz kubdan ibarət ilk qeyri-mümkün üçbucaq):

Çapa hazırlıq prosesi praktikada bir müstəvidə stereometrik fiqurların necə qurulacağını, fiqur elementlərinin verilmiş təyyarədə proyeksiyalarının yerinə yetirilməsini və fiqurlar qurma alqoritmləri üzərində düşünülməsini təmin etdi. Yaradılan modellər qeyri-mümkün rəqəmlərin xüsusiyyətlərini əyani şəkildə görməyə və təhlil etməyə, onları tanınmış stereometrik rəqəmlərlə müqayisə etməyə kömək etdi.

"Vəziyyəti dəyişdirə bilmirsinizsə, başqa bir bucaqdan baxın."

Bu sitat birbaşa bu işlə bağlıdır. Həqiqətən qeyri-mümkün rəqəmlər müəyyən bir bucaqdan baxsanız mövcuddur. Mümkün olmayan rəqəmlər dünyası son dərəcə maraqlı və müxtəlifdir. Bunlar qədim dövrlərdən bu günə qədər mövcuddur. Onlara demək olar ki, hər yerdə rast gəlmək olar: sənətdə, memarlıqda, kütləvi mədəniyyətdə, rəssamlıqda, ikona boyamaqda, filatelistlikdə. İmkansız rəqəmlər psixoloqlar, bilişsel elm adamları və təkamülçü bioloqlar tərəfindən böyük maraq doğurur və görmə və məkan düşüncəmiz haqqında daha çox məlumat əldə etməyə kömək edir. Bu gün kompüter texnologiyası, virtual reallıq və proyeksiya gücləndirir ki, ziddiyyətli obyektlərə yeni maraqla baxılsın. Mümkün olmayan rəqəmlərlə bir şəkildə əlaqəli bir çox peşə var. Hamısı müasir dünyada tələb olunur və buna görə qeyri-mümkün rəqəmlərin öyrənilməsi aktual və zəruridir.

Ədəbiyyat:

Reutersvard O. İmkansız rəqəmlər. - M.: Stroyizdat, 1990, 206 s.
Penrose L., Penrose R. İmkansız obyektlər, Quantum, no. 5,1971, s. 26
Tkacheva M.V. Dönən kublar. - M.: Bustard, 2002. - 168 s.
http://www.im-possible.info/russian/articles/reut_imp/
http://www.impworld.narod.ru/.
Levitin Karl Həndəsi Rapsodiya. - M.: Bilik, 1984, -176 s.
http://www.geocities.jp/ikemath/3Drireki.htm
http://im-possible.info/russian/programs/
https://www.liveinternet.ru/users/irzeis/post181085615
https://newtonew.com/science/impossible-objects
http://www.psy.msu.ru/illusion/impossible.html
http://referatwork.ru/category/iskusstvo/view/73068_nevozmozhnye_figury
http://geometry-and-art.ru/unn.html

Açar sözlər: tribar, sonsuz pilləkən, boşluq çəngəl, imkansız qutular, üçbucaq və Penrose pilləkənləri, Escher kub, Reuterswärd üçbucağı.

Şərh: Məkan şəkilləri yaratmaq və işləmək bacarığı bir insanın ümumi intellektual inkişaf səviyyəsini xarakterizə edir. Psixoloji tədqiqatlarda, bir insanın müvafiq peşələrə meyli ilə məkan nümayəndəliklərinin inkişaf səviyyəsi arasında statistik baxımdan əhəmiyyətli bir əlaqə olduğu təsdiqlənmişdir. Memarlıq, rəsm, psixologiya, həndəsə və praktik həyatın bir çox sahələrində qeyri-mümkün rəqəmlərin geniş tətbiqi müxtəlif peşələr haqqında daha çox məlumat əldə etməyə və gələcək peşə seçimi barədə qərar verməyə imkan verir.

Bir çoxları qeyri-mümkün rəqəmlərin həqiqətən qeyri-mümkün olduğuna və real dünyada yaradıla bilmədiklərinə inanırlar. Bununla birlikdə, məktəb həndəsə kursundan bilirik ki, bir vərəqdə təsvir olunan rəsm üç ölçülü fiqurun bir təyyarəyə proyeksiyasıdır. Bu səbəbdən bir kağız üzərində çəkilən hər hansı bir forma üç ölçülü bir məkanda mövcud olmalıdır. Üstəlik, üç ölçülü cisimlər, bir müstəviyə proqnozlaşdırıldıqda, müəyyən bir düz fiqurun sonsuz bir dəstini meydana gətirirlər. Eyni şey qeyri-mümkün rəqəmlərə də aiddir.

Əlbətdə ki, mümkün olmayan fiqurların heç biri düz xətt üzrə hərəkət etməklə yaradıla bilməz. Məsələn, üç eyni taxta parçasını götürsəniz, mümkün olmayan üçbucaq yaratmaq üçün onları bir-birinə sığdıra bilməyəcəksiniz. Bununla birlikdə, üç ölçülü bir rəqəmi bir təyyarəyə proyeksiya edərkən bəzi xətlər görünməz ola bilər, üst-üstə düşə bilər, bir-birinə qoşula bilər və s. Buna əsasən üç fərqli çubuq götürə və aşağıdakı fotoda göstərilən üçbucağı düzəldə bilərik (şəkil 1). Bu fotoşəkil M.K. əsərlərinin məşhur populyarlaşdırıcısı tərəfindən hazırlanmışdır. Escher, Bruno Ernst-in çox sayda kitabının müəllifidir. Fotonun ön planda, mümkün olmayan üçbucağın şəklini görürük. Arxa fonda eyni rəqəmi fərqli bir baxımdan əks etdirən bir güzgü quraşdırılmışdır. Və görürük ki, əslində qeyri-mümkün üçbucağın fiquru qapalı deyil, açıq fiqurdur. Və yalnız rəqəmi müşahidə etdiyimiz nöqtədən belə görünür ki, rəqəmin şaquli zolağı üfüqi zolağın arxasına keçir, nəticədə rəqəm qeyri-mümkün görünür. Görmə bucağını bir az dəyişsəydik, dərhal rəqəmdəki boşluğu görərdiniz və imkansızlığın təsirini itirərdiniz. Mümkün olmayan bir rəqəmin yalnız bir nöqtədən qeyri-mümkün görünməsi bütün qeyri-mümkün rəqəmlər üçün xarakterikdir.

Şəkil: bir. Mümkün olmayan üçbucaq şəkli Bruno Ernst tərəfindən çəkilmişdir.

Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, müəyyən bir proyeksiyaya uyğun rəqəmlərin sayı sonsuzdur, buna görə də yuxarıdakı nümunə reallıqda qeyri-mümkün bir üçbucaq qurmağın yeganə yolu deyil. Belçikalı rəssam Mathieu Hamaekers, Şek. 2. Sol tərəfdəki fotoşəkildə qeyri-mümkün bir üçbucaq kimi göründüyü fiqurun ön görünüşü, orta fotoşəkildə eyni fiqurun 45 ° döndüyü, sağdakı şəkildəki şəklin isə 90 ° döndüyü göstərilir.

Şəkil: 2. Mathieu Hemakers tərəfindən mümkün olmayan üçbucağın fiqurunun şəkli.

Gördüyünüz kimi, bu rəqəmdə ümumiyyətlə düz xətt yoxdur, rəqəmin bütün elementləri müəyyən bir şəkildə əyilir. Lakin, əvvəlki vəziyyətdə olduğu kimi, imkansızlıq effekti yalnız bir baxış bucağında nəzərə çarpır, bütün əyri xətlər düz xətlərə proqnozlaşdırıldıqda və bəzi kölgələri görməməzliyə vurursanız, rəqəm qeyri-mümkün görünür.

İmkansız bir üçbucaq yaratmağın başqa bir yolu rusiyalı rəssam və dizayner Vyaçeslav Koleichuk tərəfindən təklif edilmiş və 9 saylı "Texniki Estetika" jurnalında dərc edilmişdir (1974). Bu dizaynın bütün kənarları düz xəttlərdir və kənarları əyri olur, baxmayaraq ki, bu əyrilik rəqəmin ön hissəsində görünmür. Bu üçbucaq modelini ağacdan yaratmışdır.

Şəkil: 3. Vyaçeslav Koleichuk tərəfindən mümkün olmayan üçbucağın modeli.

Bu model daha sonra İsrailin Technion İnstitutunun Kompüter Elmləri Bölməsinin üzvü Gershon Elber tərəfindən yenidən yaradıldı. Versiyası (bax Şəkil 4) əvvəlcə bir kompüterdə hazırlanmış və daha sonra üç ölçülü bir printerdən istifadə edərək yenidən yaradılmışdır. Mümkün olmayan üçbucağın baxış bucağını bir az dəyişsək, Şəkildəki ikinci fotoya bənzər bir rəqəm görərik. dörd.

Şəkil: dörd. Elber Gershon tərəfindən qeyri-mümkün üçbucağın qurulmasının bir variantı.

Qeyd etmək lazımdır ki, əgər indi şəkillərinə deyil, özlərinə baxsaydıq, dərhal təqdim olunan fiqurların heç birinin imkansız olmadığını və hər birinin sirrinin nə olduğunu dərhal görərdik. Sadəcə olaraq bu rəqəmləri qeyri-mümkün görə bilməyəcəyik, çünki stereoskopik görmə qabiliyyətimiz var. Yəni bir-birimizdən müəyyən bir məsafədə yerləşən gözlərimiz eyni obyekti iki yaxın, lakin yenə də fərqli baxımdan görür və beynimiz gözlərimizdən iki görüntü alaraq onları tək bir şəkil şəklində birləşdirir. Əvvəllər deyilirdi ki, mümkün olmayan bir obyekt yalnız bir nöqtədən qeyri-mümkün görünür və bir obyekti iki nöqteyi-nəzərdən müşahidə etdiyimiz üçün dərhal bu və ya digər obyektin yaradıldığı hiylələri görürük.

Bu o deməkdir ki, əslində mümkün olmayan bir obyekti görmək hələ də mümkün deyil? Xeyr, edə bilərsiniz. Bir gözünü yumub bir fiqura baxsan, qeyri-mümkün görünür. Buna görə muzeylərdə imkansız fiqurları nümayiş etdirərkən ziyarətçilər onlara bir gözlə divarın kiçik bir çuxurundan baxmaq məcburiyyətində qalırlar.

Mümkün olmayan bir rəqəmi və eyni anda iki gözlə görə biləcəyiniz başqa bir yol var. Aşağıdakılardan ibarətdir: çoxmərtəbəli bir bina qədər hündür bir fiqur yaratmaq, geniş bir açıq yerə yerləşdirmək və çox uzun bir məsafədən baxmaq lazımdır. Bu vəziyyətdə, rəqəmə iki gözlə baxsanız da, hər iki gözünüzün bir-birindən praktik olaraq fərqlənməyən şəkillər alması səbəbindən bunu qeyri-mümkün kimi qəbul edəcəksiniz. Belə bir imkansız rəqəm Avstraliyanın Perth şəhərində yaradıldı.

Həqiqi dünyada qeyri-mümkün üçbucağı qurmaq nisbətən asandırsa, üç ölçülü məkanda qeyri-mümkün bir trident yaratmaq o qədər də asan deyil. Bu rəqəmin bir xüsusiyyəti, rəqəmin ayrı-ayrı elementləri rəqəmin yerləşdiyi arxa plana keçdikdə, rəqəmin ön və arxa planı arasında bir ziddiyyətin olmasıdır.

Şəkil: beş. Tikinti qeyri-mümkün bir tridentə bənzəyir.

Aachen'dəki Göz Optikləri İnstitutu (Almaniya) bu problemi xüsusi bir qurğu yaradaraq həll edə bildi. Dizayn iki hissədən ibarətdir. Ön tərəfdə üç dairəvi sütun və bir inşaatçı var. Bu hissə yalnız aşağıda yanır. Sütunların arxasında, qabağında yansıtıcı bir təbəqə olan yarımkeçirən bir güzgü var, yəni izləyici güzgünün arxasında nə olduğunu görmür, yalnız içindəki sütunların əksini görür.

Şəkil: 6.Mümkün olmayan bir tridenti əks etdirən quraşdırma diaqramı.

D. RAKOV, texnika elmləri namizədi (A. A. Blagonravov Maşınqayırma İnstitutu, RAS).

Biri haqqında söyləyə biləcəyi böyük bir sinif sinifi var: "Nə görürük? Qəribə bir şey." Bunlar təhrif olunmuş bir perspektivə sahib olan rəsmlər və üç ölçülü dünyamızda mümkün olmayan obyektlər və tamamilə real obyektlərin ağlasığmaz birləşmələridir. XI əsrin əvvəllərində ortaya çıxan bu cür "qəribə" rəsmlər və fotoşəkillər bu gün imp-art adlanan bir sənət sahəsinə çevrildi.

William Hogard. Perspektivdə qəsdən edilən ən azı on dörd səhvin olduğu "İmkansız perspektiv".

Madonna və Uşaq. 1025 il.

Pieter Bruegel. "Darağacda Magpie". 1568 il

Oscar Rutesward. Opus 1 (# 293aa). 1934 il

Oscar Rutesward. "Opus 2B". 1940 il

Maurits Cornelius Escher. "Yüksəliş və enmə".

Roger Penrose. "İmkansız üçbucaq". 1954 il

"Mümkün olmayan üçbucağın" inşası.

Heykəl "İmkansız Üçbucaq", müxtəlif tərəflərdən görünüş. Döngə elementlərindən tikilib və yalnız bir nöqtədən qeyri-mümkün görünür.

Şek. 1. Mümkün olmayan cisimlərin təsnifatının morfoloji cədvəli.

Bir şəxs şəkli sol alt küncdən yoxlamağa başlayır (1), sonra əvvəl ortaya baxır (2), sonra isə 3-cü nöqtəyə.

Baxdığımız istiqamətə görə fərqli obyektlər görürük.

Mümkün olmayan əlifba, mümkün və mümkün olmayan formaların birləşməsidir, bunların arasında bir çərçivə elementi də var. Müəllif tərəfindən rəsm.

Elm və Həyat // İllüstrasiyalar

"Moskva" (metro xətləri sxemi) və "Taleyin iki xətti". Müəllifin rəsmləri; kompüter emalı. 2003 il. Rəqəmlər diaqram və qrafik qurmaq üçün yeni imkanlar göstərir.

Elm və Həyat // İllüstrasiyalar

Bir kub şəklində kub ("Üç ilbiz"). Döndürülmüş şəklin orijinaldan daha çox "imkansızlığı" var.

"Lənət çəngəl." Bu rəqəmə əsasən bir çox imkansız obrazlar yaradıldı.

Nəyi görürük - piramida, yoxsa açılış?

Bir az tarix

Təhrif olunmuş perspektivli rəsm əsərlərinə birinci minilliyin əvvəllərində rast gəlinir. 1025-ci ildən əvvəl yaradılan və Münihdəki Bavariya Dövlət Kitabxanasında saxlanılan II Henry kitabından miniatür Madonna və Uşağı təsvir edir. Rəsmdə üç sütundan ibarət bir tonoz təsvir olunur və perspektiv qanunlarına görə orta sütun Madonnanın qarşısında yerləşməlidir, lakin arxasında, bu da sürrealizm effektini verir. Təəssüf ki, bu texnikanın sənətkarın şüurlu bir hərəkəti olduğunu ya da səhvini heç vaxt bilməyəcəyik.

Rəsmdə şüurlu bir istiqamət kimi deyil, obrazın qavranılmasının təsirini artıran texnika kimi imkansız fiqurların şəkillərinə orta əsrlərin bir sıra rəssamları arasında rast gəlinir. Pieter Breughel-in 1568-ci ildə yaratdığı "Darağacdakı Magpie" nin kətanında qeyri-mümkün bir dizaynın darağası görünür və bu, bütövlükdə bütün mənzərəyə təsir göstərir. XVIII əsr İngilis rəssamı Uilyam Hoqartın "Saxta Perspektiv" adlı məşhur qravürası bir sənətkarın perspektiv qanunlarını bilməməsinin nə qədər absurd bir şeyə səbəb olduğunu göstərir.

20-ci əsrin əvvəllərində rəssam Marcel Duchamp, Philadelphia İncəsənət Muzeyində yer alan "Apolinere emaye edilmiş" (1916-1917) reklam əsəri çəkdi. Yatağın dizaynında, kətan üzərində mümkün olmayan üçbucaq və dördbucaqlar görülə bilər.

İsveçli sənətkar Oscar Reutersvard haqlı olaraq qeyri-mümkün sənət - imp-art, qeyri-mümkün sənət istiqamətinin qurucusu adlandırılır. İlk qeyri-mümkün rəqəm "Opus 1" (N 293aa) 1934-cü ildə usta tərəfindən çəkilmişdir. Üçbucaq doqquz kubdan ibarətdir. Sənətçi qeyri-adi əşyalarla təcrübələrini davam etdirdi və 1940-cı ildə azaldılmış qeyri-mümkün üçbucaq olan, yalnız üç kubdan ibarət olan "Opus 2B" fiqurunu yaratdı. Bütün kublar realdır, lakin üçölçülü bir məkanda yerləşməsi mümkün deyil.

Eyni sənətçi "imkansız pilləkən" in prototipini yaratdı (1950). Ən məşhur klassik fiqur "İmkansız Üçbucaq" 1954-cü ildə ingilis riyaziyyatçısı Roger Penrose tərəfindən yaradılmışdır. Rutesward kimi paralel deyil, xətti bir perspektivdən istifadə etdi, bu da boyama dərinliyini və ifadəliyini və bu səbəbdən daha çox imkansızlığı verdi.

Imp-sənətin ən məşhur sənətçisi M. C. Escher idi. Ən məşhur əsərləri arasında "Şəlalə" (1961) və "Artan ve Azalan" tabloları var. Sənətçi Rutesward tərəfindən kəşf edilən və Penrose tərəfindən daha da gücləndirilən "sonsuz pilləkən" effektindən istifadə etdi. Kətan iki sıra kişini təsvir edir: saat yönündə hərəkət edərkən, kişilər davamlı olaraq qalxır və saatın tersi istiqamətində hərəkət edərkən enirlər.

Bir az həndəsə

Optik illüziyalar yaratmağın bir çox yolu var (Latınca "iliusio" sözündən - səhv, aldanma - bir obyektin və onun xüsusiyyətlərinin qeyri-adekvat qavranılması). Ən təsirli olanlardan biri qeyri-mümkün rəqəmlərin şəkillərinə əsaslanan imp-art istiqamətidir. Mümkün olmayan obyektlər təyyarədəki rəsmlərdir (iki ölçülü şəkillər), izləyicinin real üç ölçülü dünyamızda belə bir quruluşun mövcud ola bilməyəcəyi təəssüratını alacağı şəkildə icra olunur. Artıq qeyd olunduğu kimi klassik və ən sadə bu rəqəmlərdən biri qeyri-mümkün üçbucaqdır. Rəqəmin hər bir hissəsi (üçbucağın açıları) dünyamızda ayrı-ayrılıqda mövcuddur, lakin üç ölçülü məkanda birləşməsi mümkün deyil. Bütün fiqurun həqiqi hissələri arasındakı düzensiz əlaqələrin tərkibi kimi qəbul edilməsi qeyri-mümkün quruluşun aldadıcı təsirinə səbəb olur. Baxış qeyri-mümkün bir fiqurun kənarları boyunca sürüşür və onu məntiqi bir bütün olaraq qəbul edə bilmir. Əslində, baxış həqiqi üç ölçülü quruluşu yenidən qurmağa çalışır (bax şəklə), ancaq bir uyğunsuzluqla qarşılaşır.

Həndəsi baxımdan üçbucağın mümkünsüzlüyü ondan ibarətdir ki, üç şüa bir-birinə cüt-cüt bağlanmış, lakin Kartezyen koordinat sisteminin üç fərqli oxu boyunca qapalı bir fiqur əmələ gətirməkdir!

Mümkün olmayan cisimlərin qavranılması prosesi iki mərhələyə bölünür: fiqurun üç ölçülü bir cisim kimi tanınması və cismin "yalnışlığının" reallaşması və üç ölçülü dünyada mövcudluğunun mümkünsüzlüyü.

Mümkün olmayan rəqəmlərin mövcudluğu

Bir çox insan qeyri-mümkün rəqəmlərin həqiqətən qeyri-mümkün olduğuna və real dünyada yaradıla bilməyəcəyinə inanır. Ancaq unutmamalıyıq ki, bir kağız üzərində çəkilən hər hansı bir şəkil üç ölçülü bir rəqəmin proyeksiyasıdır. Buna görə bir kağız üzərində çəkilən hər hansı bir forma 3B məkanda mövcud olmalıdır. Rəsmlərdə mümkün olmayan obyektlər üç ölçülü cisimlərin proyeksiyasıdır, yəni cisimlərin heykəltəraşlıq kompozisiyaları (üç ölçülü cisimlər) şəklində reallaşması deməkdir. Onları yaratmağın bir çox yolu var. Bunlardan biri qeyri-mümkün üçbucağın tərəfləri kimi əyri xətlərdən istifadə edir. Yaradılan heykəl yalnız bir nöqtədən qeyri-mümkün görünür. Bu nöqtədən, əyri tərəflər düz görünür və hədəfə çatacaq - əsl "mümkünsüz" bir obyekt yaradılır.

Imp-artın faydaları haqqında

Oscar Rutesward, "Omojliga figurer" (Rusca tərcüməsi mövcuddur) kitabında psixoterapiya üçün bədii olmayan rəsmlərin istifadəsindən bəhs edir. Paradoksları ilə birlikdə şəkillərin sürprizə səbəb olduğunu, diqqəti kəskinləşdirdiyini və deşifr etmək istəyini yazdı. İsveçdə bunlar diş praktikasında istifadə olunur: gözləmə salonundakı şəkillərə baxarkən xəstələr diş həkimi ofisinin qarşısında xoşagəlməz düşüncələrdən yayındırılır. Rusiyanın müxtəlif bürokratik və digər qurumlarında qəbul üçün nə qədər vaxt gözlədiyini xatırladaraq qəbul otaqlarının divarlarındakı qeyri-mümkün rəsmlərin gözləmə müddətini işıqlandırdığını, ziyarətçiləri sakitləşdirdiyini və bununla da sosial təcavüzün azaldığını düşünə bilərik. Başqa bir seçim də slot maşınlarının və ya, məsələn, qəbuledici maşınlarda dart üçün hədəf olaraq uyğun üzlü manekenlərin quraşdırılmasıdır, lakin təəssüf ki, bu cür yeniliklər Rusiyada heç vaxt təşviq edilməmişdir.

İdrak fenomenindən istifadə etmək

İmkansızlığın təsirini artırmağın bir yolu varmı? Bəzi obyektlər digərlərindən "daha qeyri-mümkündür"? Və burada insanın qavrayış xüsusiyyətləri köməyə gəlir. Psixoloqlar gözün cismi (şəkil) sol alt küncdən araşdırmağa başladığını, sonra baxışların sağa mərkəzə doğru sürüşdüyünü və şəklin sağ alt küncünə endiyini təsbit etdilər. Belə bir trayektoriya, əcdadlarımızın bir düşmənlə qarşılaşdıqları zaman əvvəl ən təhlükəli sağ ələ baxdıqları və sonra baxışlarının sola, üzə və rəqəmə doğru irəliləməsi ilə əlaqəli ola bilər. Beləliklə, bədii qavrayış, şəkil kompozisiyasının necə qurulduğundan əhəmiyyətli dərəcədə asılı olacaqdır. Orta əsrlərdə bu xüsusiyyət goblen istehsalında aydın şəkildə özünü büruzə verirdi: rəsmləri orijinalın güzgü şəkli idi və goblen və orijinalların yaratdığı təəssürat fərqlidir.

Bu xüsusiyyət, qeyri-mümkün obyektlərlə yaradıcılıq yaratarkən, "imkansızlıq dərəcəsini" artıran və ya azaldan uğurla istifadə edilə bilər. Kompüter texnologiyasından istifadə edərək və ya bir-birinə nisbətən fırlanan (bəlkə də müxtəlif simmetriya növlərindən istifadə edərək) bir neçə şəkildən maraqlı kompozisiyalar əldə etmək, obyekt haqqında fərqli təəssürat yaratmaq və konsepsiya mahiyyətini daha dərindən anlamaq perspektivini açır. tamaşaçı və ya bəzi açılarda sadə bir mexanizm istifadə edərək fırlanan birindən (davamlı və ya qarmaqarışıq).

Bu istiqaməti çoxbucaqlı (çoxbucaqlı) adlandırmaq olar. Təsvirlərdə şəkillər bir-birinə nisbətən döndərilmişdir. Kompozisiya aşağıdakı kimi yaradıldı: mürəkkəb və qələmlə hazırlanmış kağız üzərində bir şəkil skan edildi, rəqəmləşdirildi və bir qrafik redaktorda işləndi. Bir qanunauyğunluğu qeyd etmək mümkündür - döndürülmüş şəkil orijinaldan daha çox "imkansızlıq dərəcəsinə" malikdir. Bu asanlıqla izah olunur: sənətçi iş müddətində şüuraltı olaraq "düzgün" bir şəkil yaratmağa çalışır.

Kombinasiyalar, birləşmələr

Heykəllə həyata keçirilməsi qeyri-mümkün olan bir qrup qeyri-mümkün obyekt var. Bəlkə də bunlardan ən məşhuru "mümkün olmayan üçlük" və ya "şeytanın çəngəlidir" (S3-1). Obyektə yaxından baxsanız, üç dişin ümumi bir əsasda tədricən ikiyə çevrildiyini və qavrayış qarşıdurmasına gətirib çıxardığını görərsiniz. Yuxarıda və aşağıda olan dişlərin sayını müqayisə edirik və obyektin mümkün olmadığı qənaətinə gəlirik. "Çəngəl" əsasında bir sıra silindrik hissənin digər ucunda kvadrat halına gətirildiyi obyektlər də daxil olmaqla çoxsaylı qeyri-mümkün obyektlər yaradıldı.

Bu illüziyaya əlavə olaraq görmə qabiliyyətinin bir çox başqa növü də mövcuddur (ölçü, hərəkət, rəng illüziyaları və s.). Dərinlik qavrayış illüziyası ən qədim və ən məşhur optik illüziyalardan biridir. Bu qrup Necker kubunu (1832) əhatə edir və 1895-ci ildə Armand Thiery, qeyri-mümkün rəqəmlərin xüsusi bir növü haqqında bir məqalə nəşr etdirdi. Bu məqalə sonradan Thierry adını alan və op-art sənətçiləri tərəfindən saysız-hesabsız istifadə olunan bir obyekt çəkən ilk məqalədir. Obyekt, tərəfləri 60 və 120 dərəcə olan beş eyni rombdan ibarətdir. Şəkildə bir səth boyunca birləşdirilmiş iki kub görə bilərsiniz. Aşağıdan yuxarıya baxsanız, yuxarıdakı iki divarı olan alt kubu, yuxarıdan aşağıya baxsanız - altındakı divarları olan yuxarı kubu aydın şəkildə görə bilərsiniz.

Thierry-ə bənzər ən sadə rəqəm, görünür, ortada bir xətti olan müntəzəm bir romb olan "piramida-apertura" illüziyasıdır. Gördüklərimizi dəqiq söyləmək mümkün deyil - səthin üstündə qalxan bir piramida və ya üzərində bir açılış (çökəklik). Bu effekt 2003-cü il "Labirint (Piramida Planı)" qrafikində istifadə edilmişdir. Rəsm 2003-cü ildə Budapeştdə keçirilən "Ars (Dis) Symmetrica" \u200b\u200b03 beynəlxalq riyazi konfransında və sərgisində bir diplom aldı. Əsərdə dərinlik qavrayışı illüziyası və imkansız fiqurlar birləşdirildi.

Nəticə olaraq deyə bilərik ki, optik sənətin ayrılmaz hissəsi kimi imp-art istiqaməti fəal şəkildə inkişaf edir və yaxın gələcəkdə bu sahədə şübhəsiz ki, yeni kəşflər gözləyəcəyik.

ƏDƏBİYYAT

Rutesward O. İmkansız rəqəmlər. - M.: Stroyizdat, 1990.

İllüstrasiya başlıqları

Şek. 1. Məqalə müəllifi tərəfindən qurulmuş cədvəl tam və sərt kimi görünmür, əksinə imkansız rəqəmlərin müxtəlifliyini qiymətləndirməyə imkan verir. Cədvəldə 300 mindən çox müxtəlif elementlərin birləşməsi var. Məqalə müəllifinin qrafika və saytdan materiallar Vlad Alekseev illüstrasiya olaraq istifadə edilmişdir.

Giriş ………………………………………………………………………… ..2

Əsas hissə. Mümkün olmayan rəqəmlər ………………………………………………… 4

2.1. Kiçik bir tarix ………………………………………………… .4

2.2. Mümkün olmayan rəqəmlərin növləri …………………………………………… .6

2.3. Oscar Ruthersward - imkansız bir şəxsiyyətin atası ……………………… ..11

2.4. Mümkün olmayan rəqəmlər mümkündür! ………………………………… ..13

2.5. Mümkün olmayan rəqəmlərin tətbiqi ……………………………………… 14

Nəticə …………………………………………………………………… ..15

İstinadların siyahısı………………………………………………………………16

Giriş

Bir müddətdir elə rəqəmlərlə maraqlandım ki, ilk baxışdan adi görünür və diqqətlə baxsanız içlərində bir şeyin olmadığını görürsünüz. Mənim üçün əsas maraq qeyri-mümkün rəqəmlər adlanırdı, göründüyü kimi, real dünyada mövcud ola bilməzlər. Onlar haqqında daha çox bilmək istəyirdim.

"İmkansız Rəqəmlər Dünyası" yalnız iyirminci əsrin əvvəllərində sürətli inkişafını almış ən maraqlı mövzulardan biridir. Ancaq daha əvvəl, bir çox elm adamı və filosof bu mövzu ilə məşğul oldu. Bir kub, piramida, paralelepiped kimi sadə üç ölçülü formalar belə müşahidəçinin gözündən fərqli məsafələrdə yerləşən bir neçə fiqurun birləşməsi kimi təmsil oluna bilər. Eyni zamanda, ayrı-ayrı hissələrin təsvirinin bütöv bir şəklə birləşdiyi bir xətt həmişə olmalıdır.

"Mümkün olmayan bir rəqəm, kağız üzərində düzəldilmiş, reallıqda mövcud ola bilməyən, lakin iki ölçülü bir görüntü olaraq görünən üç ölçülü bir cisimdir." Bu növlərdən biridir optik illüziyalar , ilk baxışdan adi üç ölçülü bir cismin proyeksiyası kimi görünən bir rəqəm, yaxından araşdırıldıqda rəqəm elementlərinin ziddiyyətli əlaqələri görünəcəkdir. Üç ölçülü məkanda belə bir rəqəmin mövcudluğunun mümkünsüzlüyünün illüziyası yaradılmışdır.

Qarşımda sual ortaya çıxdı: "Həqiqi dünyada imkansız rəqəmlər varmı?"

Layihənin məqsədləri:

1. Tapınnecə yaradıldıqeyri-real rəqəmlər görünür.

2. Tətbiqləri tapın qeyri-mümkün rəqəmlər.

Layihənin məqsədləri:

1. "Mümkün olmayan rəqəmlər" mövzusunda ədəbiyyatı öyrənmək.

2 .Təsnifat yaradın qeyri-mümkün rəqəmlər.

3. Pmümkün olmayan rəqəmləri qurmağın yollarını nəzərdən keçirin.

4 yaratmaq mümkün deyilrəqəm.

Paradoksları anlamaq ən yaxşı riyaziyyatçıların, elm adamlarının və sənətkarların sahib olduqları yaradıcı potensialın əlamətlərindən biri olduğu üçün işimin mövzusu aktualdır. Real olmayan obyektlərlə işləyən bir çox əsər "intellektual riyazi oyunlar" a aid edilə bilər. Belə bir dünya yalnız riyazi düsturların köməyi ilə modelləşdirilə bilər, insan sadəcə onu xəyal edə bilməz. Və qeyri-mümkün rəqəmlər məkan təsəvvürünün inkişafı üçün faydalıdır. İnsan yorulmadan öz ətrafında sadə və başa düşülən bir şeyi zehni olaraq yaradır. Ətrafındakı bəzi cisimlərin "qeyri-mümkün" ola biləcəyini xəyal belə edə bilmir. Əslində dünya birdir, ancaq fərqli tərəflərdən baxıla bilər.

Mümkün deyilrəqəmlər

Bir az tarix

Mümkün olmayan rəqəmlərə tez-tez qədim qravürlərdə, rəsmlərdə və ikonalarda rast gəlinir - bəzi hallarda perspektivi çatdırmaqda aşkar səhvlərimiz var, bəzilərində isə bədii niyyət üzündən qəsdən təhriflərlə.

Orta əsr Yapon və Fars rəssamlığında qeyri-mümkün əşyalar şərq bədii üslubunun ayrılmaz bir hissəsidir ki, bu da yalnız şəklin ümumi bir xülasəsini verir, detallarını izləyicinin üstünlüklərinə uyğun olaraq özləri “düşünməli” olur. . Budur qarşımızda bir məktəb. Diqqətimiz arxa plandakı həndəsi uyğunsuzluğu açıq-aşkar görünən memarlıq quruluşuna yönəldilmişdir. Həm otağın daxili divarı, həm də binanın xarici divarı kimi təfsir edilə bilər, amma bu təfsirlərin hər ikisi səhvdir, çünki həm xarici, həm də xarici divar olan bir təyyarə ilə, yəni şəkil tipik bir qeyri-mümkün obyekti təsvir edir.

Təhrif olunmuş perspektivli rəsm əsərlərinə birinci minilliyin əvvəllərində rast gəlinir. 1025-ci ildən əvvəl yaradılan və Münihdəki Bavariya Dövlət Kitabxanasında saxlanılan II Henri kitabından bir miniatürdə Madonna və Uşaq təsvir edilmişdir. Rəsmdə üç sütundan ibarət bir tonoz təsvir olunur və perspektiv qanunlarına görə orta sütun Madonnanın qarşısında yerləşməlidir, lakin arxasında, bu rəsmə reallıq təsiri verir.

Baxışlar qeyri-mümkün rəqəmlər.

"İmkansız rəqəmlər" 4 qrupa bölünür. Birincisi:

İnanılmaz üçbucaq üçbucaqdır.

Bu rəqəm bəlkə də çap şəklində yayımlanan ilk mümkün olmayan obyektdir. 1958-ci ildə meydana çıxdı. Müəllifləri, sırasıyla genetikçi və riyaziyyatçı ata və oğlu Lionell və Roger Penrose, bu obyekti "üç ölçülü düzbucaqlı bir quruluş" olaraq təyin etdilər. Həm də "qəbilə" adını aldı. İlk baxışdan qəbilə sadəcə bərabər tərəfli üçbucaq kimi görünür. Ancaq fiqurun yuxarı hissəsində birləşən tərəflər dik görünür. Eyni zamanda altındakı sol və sağ kənarlar da dik görünür. Hər bir təfərrüata ayrı-ayrılıqda baxsanız, real görünür, amma ümumiyyətlə bu rəqəm mövcud ola bilməz. Deformasiya olunmur, ancaq rəsm zamanı düzgün elementlər düzgün birləşdirilməyib.

Budur qeyri-mümkün qəbilə əsaslı formaların daha bir neçə nümunəsi.

Üçqat deformasiya olunmuş qəbilə

12 kubdan ibarət üçbucaq

Qanadlı qəbilə

Üçqat domino

Sonsuz pilləkən

Bu rəqəmə ən çox "Sonsuz pilləkən", "Əbədi nərdivan" və ya "Penrose nərdivanı" - yaradıcısının adından sonra deyilir. Buna “davamlı artan və enən yol” da deyilir.

Bu rəqəm ilk dəfə 1958-ci ildə dərc edilmişdir. Qarşımıza bir pilləkən çıxır, yuxarıya, aşağıya bənzəyir, eyni zamanda, üzərində gedən insan qalxmır və düşmür. Vizual marşrutu tamamladıqdan sonra yolun əvvəlində olacaq.

“Sonsuz nərdivan” ı rəssam Maurits K. Escher bu dəfə 1960-cı ildə yaratdığı “Yüksəliş və enmə” litoqrafiyasında uğurla istifadə etdi.

Dörd və ya yeddi pilləli nərdivan. Bu rəqəmi bir çox addımla yaratmaq üçün müəllif bir sıra adi dəmir yolu şpallarından ilham almış ola bilər. Bu nərdivandan qalxmaq istəyəndə bir seçimlə qarşılaşacaqsınız: dörd və ya yeddi pilləyə qalxmaq.

Bu nərdivanın yaradıcıları paralel xətlərdən istifadə edərək blokların son hissələrini eyni məsafədə dizayn etdilər; bəzi bloklar illüziyaya uyğun olaraq bükülmüş görünür.

Yer fişi.

"Space Fork" ümumi adı altında növbəti rəqəmlər qrupu. Bu rəqəmlə qeyri-mümkün olanın özəyinə və mahiyyətinə daxil oluruq. Bəlkə də bu, qeyri-mümkün obyektlərin ən çoxsaylı sinifidir.

Üç (və ya iki?) Dişli bu məşhur qeyri-mümkün obyekt 1964-cü ildə mühəndislər və tapmaca həvəskarları arasında populyar oldu. Qeyri-adi fiqura həsr olunmuş ilk nəşr 1964-cü ilin dekabrında ortaya çıxdı. Müəllif bunu “Üç elementdən ibarət dayaq” adlandırdı.

Praktik baxımdan mötərizə şəklində bu qəribə trident və ya mexanizm tamamilə tətbiq oluna bilməz. Bəziləri buna sadəcə “bezdirici səhv” deyirlər. Aerokosmik sənayenin nümayəndələrindən biri, xüsusiyyətlərindən ölçülü bir kosmik tənzimləmə çəngəlinin dizaynında istifadə etməyi təklif etdi.

Mümkün olmayan qutular

"Crazy Box" içəri çevrilmiş bir kub çərçivəsidir. "Dəli Qutu" nun dərhal sələfi "İmkansız Kassa" (Escher tərəfindən) və sələfi də öz növbəsində Necker Küpü idi.

Bu qeyri-mümkün bir obyekt deyil, ancaq dərinlik parametrinin birmənalı qəbul edilə biləcəyi bir rəqəmdir.

Necker kubuna baxdığımızda bir nöqtəsi olan üzün ya ön planda, ya da arxa planda olduğunu, bir mövqedən digərinə sıçradığını görürük.

Oscar Rutersward - qeyri-mümkün bir rəqəmin atası.

Mümkün olmayan fiqurların "atası" İsveçli sənətkar Oskar Ruthersward hesab olunur. Mümkün olmayan fiqurların obrazlarını yaratmaq üzrə mütəxəssis olan İsveçli sənətkar Oskar Ruthersward, riyaziyyatı zəif bildiyini iddia etdi, lakin buna baxmayaraq sənətini elm səviyyəsinə qaldırdı, bəlli bir saya görə mümkün olmayan fiqurların yaradılması nəzəriyyəsini yaratdı. şablonlar.

Rəqəmləri iki əsas qrupa böldü. Onlardan birini "həqiqi mümkün olmayan rəqəmlər" adlandırdı. Bunlar kağıza çəkilə və kölgə sala bilən, lakin monolit və sabit bir dərinliyə sahib olmayan üç ölçülü cisimlərin iki ölçülü görüntüləridir.

Digər bir növ şübhəli imkansız rəqəmlərdir. Bu rəqəmlər tək bir möhkəm bədəni təmsil etmir. Bunlar iki və ya daha çox şəklin əlaqəsidir. Onlara nə rənglənə bilər, nə də işıq və kölgə tətbiq olunur.

Həqiqi bir imkansız rəqəm sabit sayda mümkün elementdən ibarətdir və şübhəli bir element, onları gözlərinizlə təqib etsəniz, müəyyən sayda elementi "itirir".

Bu qeyri-mümkün rəqəmlərin bir versiyasını etmək çox asandır və mexaniki olaraq həndəsi çəkənlərin çoxu

rəqəmlər, telefonla danışarkən, bu artıq bir dəfədən çox görülmüşdür. Beş, altı və ya yeddi paralel xətt çəkməlisiniz, bu xətləri fərqli uclarda müxtəlif yollarla bitirməlisiniz - və mümkün olmayan rəqəm hazırdır. Məsələn, beş paralel xətt çəkirsinizsə, onda bir tərəfdən iki, digər tərəfdən üç şüa kimi tamamlana bilərsiniz.

Şəkildə şübhəli imkansız rəqəmlərin üç variantını görürük. Solda, üç kirişin yeddiyə çevrildiyi yeddi xəttdən tikilmiş üç yeddi bar. Ortada bir şüanın iki yuvarlaq şüaya çevrildiyi üç xəttdən tikilmiş bir fiqur. İki yuvarlaq şüanın iki şüaya çevrildiyi dörd xəttdən qurulmuş sağdakı rəqəm

Həyatı boyunca Ruthersward təxminən 2500 fiqur çəkdi. Rutherswardın kitabları rus dili də daxil olmaqla bir çox dildə nəşr edilmişdir.

Mümkün olmayan rəqəmlər mümkündür!

Bir çox insan qeyri-mümkün rəqəmlərin həqiqətən qeyri-mümkün olduğuna və real dünyada yaradıla bilməyəcəyinə inanır. Ancaq unutmamalıyıq ki, bir kağız üzərində çəkilən hər hansı bir şəkil üç ölçülü bir rəqəmin proyeksiyasıdır. Buna görə bir kağız üzərində çəkilən hər hansı bir forma 3B məkanda mövcud olmalıdır. Rəsm əsərlərindəki imkansız əşyalar üç ölçülü cisimlərin proyeksiyasıdır, yəni əşyaların heykəltəraşlıq kompozisiyaları şəklində reallaşması deməkdir. Onları yaratmağın bir çox yolu var. Bunlardan biri qeyri-mümkün bir üçbucağın tərəfləri kimi əyri xətlərdən istifadə edir. Yaradılan heykəl yalnız bir nöqtədən qeyri-mümkün görünür. Bu nöqtədən bükülmüş tərəflər düz görünür və hədəfə çatacaq - həqiqi bir "qeyri-mümkün" obyekt yaradılır.

Çağdaşımız olan Rus rəssam Anatoly Konenko, mümkün olmayan rəqəmləri 2 sinifə böldü: bəziləri reallıqda modelləşdirilə bilər, bəziləri isə edə bilməz. Mümkün olmayan rəqəmlərin modellərinə Ames modelləri deyilir.

Mümkün olmayan qutumdan Ames modelini hazırladım. Qırx iki kub götürdüm və bir-birinə yapışdıraraq qabırğanın bir hissəsinin itkin olduğu bir kub meydana gətirdim. Diqqət yetirin ki, tam bir illüziya yaratmaq üçün düzgün baxış bucağı və düzgün işıqlandırma lazımdır.

Eyler teoremindən istifadə edərək qeyri-mümkün rəqəmləri araşdırdım və belə bir nəticəyə gəldim: Eyler teoremi, hər hansı bir qabarıq çoxfedralı üçün doğrudur, qeyri-mümkün rəqəmlər üçün deyil, Ames modelləri üçün doğrudur.

O. Ruthersvardın tövsiyələrindən istifadə edərək imkansız rəqəmlərimi yaradıram. Kağız üzərində yeddi paralel xətt çəkdim. Onları altından qırıq bir xəttlə birləşdirdim, üst hissəsində isə paralelpipedlər şəkli verdim. Əvvəlcə yuxarıdan, sonra aşağıdan baxın. Sonsuz sayda bu cür rəqəmləri düşünə bilərsiniz. Əlavəyə baxın.

Mümkün olmayan rəqəmlərin tətbiqi

Mümkün olmayan rəqəmlər bəzən gözlənilməz istifadə tapır. Oscar Ruthersward “Omojliga figurer” kitabında bədii olmayan rəsmlərin psixoterapiya üçün istifadəsindən bəhs edir. Paradoksları ilə birlikdə şəkillərin sürprizə səbəb olduğunu, diqqəti kəskinləşdirdiyini və deşifr etmək istəyini yazdı. Psixoloq Roger Shepard, qeyri-mümkün fili çəkməsi üçün bir trident fikirindən istifadə etdi.

İsveçdə bunlar diş praktikasında istifadə olunur: gözləmə salonundakı şəkillərə baxarkən, diş həkimi ofisinin qarşısında xəstələr xoşagəlməz düşüncələrdən yayınırlar.

İmkansız fiqurlar sənətkarları rəssamlıqda imkansızlıq adlanan yeni bir istiqamət yaratmağa ilhamlandırdı. Hollandiyalı sənətçi Escher, impossibilistlər olaraq adlandırılır. Məşhur "Şəlalə", "Yüksəliş və Eniş" və "Belvedere" litoqrafları ona məxsusdur. Sənətçi Rutesward tərəfindən kəşf edilən “sonsuz pilləkən” effektindən istifadə etdi.

Xaricdə, şəhərlərin küçələrində, mümkün olmayan fiqurların memarlıq təcəssümünü görə bilərik.

Populyar mədəniyyətdə mümkün olmayan rəqəmlərin ən məşhur istifadəsi Renault avtomobil istehsalçısı loqosu

Riyaziyyatçılar, yuxarı pilləkənlərdən enə biləcəyiniz sarayların mövcud ola biləcəyini iddia edirlər. Bunu etmək üçün belə bir quruluşu üç ölçülü deyil, deyək ki, dörd ölçülü bir məkanda qurmalısınız. Müasir kompüter texnologiyalarının bizə açdığı virtual dünyada belə bunu etmək olmaz. Əsrin başlanğıcında mümkün olmayan aləmlərin varlığına inanan bir insanın fikirləri bu gün bu şəkildə həyata keçir.

Nəticə.

İmkansız rəqəmlər zehnimizi əvvəlcə nəyin olmamalı olduğunu görməyə məcbur edir, sonra cavab axtarın - nəyin səhv edildiyi, paradoksun ləzzəti nədir. Bəzən cavab tapmaq o qədər də asan olmur - rəsmlərin optik, psixoloji, məntiqi qavramasında gizlənir.

Elmin inkişafı, yeni bir şəkildə düşünmək ehtiyacı, gözəlləri axtarmaq - müasir həyatın bütün bu tələbləri bizi məkan düşüncəsini və təxəyyülünü dəyişdirə biləcək yeni metodlar axtarmağa vadar edir.

Mövzu ilə bağlı ədəbiyyatı öyrəndikdən sonra "Həqiqi dünyada imkansız rəqəmlər varmı?" Sualına cavab verə bildim. Mümkün olmayan şeyin mümkün olmadığını və qeyri-real rəqəmlərin əllə hazırlandığını anladım. Ames Impossible Cube modelini yaratdım və üzərində Euler teoremini sınadım. Mümkün olmayan şekilləri qurmağın yollarına baxdıqdan sonra imkansız şəkillərimi çəkə bildim. Bunu göstərə bildim

Nəticə 1: Bütün imkansız rəqəmlər real dünyada mövcud ola bilər.

Nəticə2: Euler teoremi, hər hansı bir qabarıq çoxyaşlı üçün doğrudur, qeyri-mümkün rəqəmlər üçün səhvdir, lakin Ames modelləri üçün doğrudur.

Nəticə3: İmkansız formaların istifadə ediləcəyi bir çox sahə olacaqdır.

Beləliklə, qeyri-mümkün rəqəmlər dünyasının son dərəcə maraqlı və müxtəlif olduğunu deyə bilərik. Mümkün olmayan rəqəmlərin öyrənilməsi həndəsə baxımından olduqca vacibdir. Əsər riyaziyyat dərslərində şagirdlərin məkan düşüncəsini inkişaf etdirmək üçün istifadə edilə bilər. İxtiraya meylli yaradıcı insanlar üçün qeyri-mümkün rəqəmlər yeni, qeyri-adi bir şey yaratmaq üçün bir növ rıçaqdır.

İstinadların siyahısı

Levitin Karl Həndəsi Rapsodiya. - M.: Bilik, 1984, -176 s.

Penrose L., Penrose R. İmkansız obyektlər, Quantum, no. 5,1971, s. 26

Reutersvard O. İmkansız rəqəmlər. - M.: Stroyizdat, 1990, 206 s.

Tkacheva M.V. Dönən kublar. - M.: Bustard, 2002. - 168 s.

Mümkün olmayan bir rəqəm optik illüziya növlərindən biridir, ilk baxışdan adi üç ölçülü bir cismin proyeksiyası kimi görünən bir rəqəm,

yaxından araşdırıldıqda, rəqəmin elementlərinin ziddiyyətli əlaqələri görünür. Üç ölçülü məkanda belə bir rəqəmin mövcudluğunun mümkünsüzlüyünün illüziyası yaradılmışdır.

Mümkün olmayan rəqəmlər

Ən məşhur qeyri-mümkün rəqəmlər imkansız üçbucaq, sonsuz pilləkən və imkansız tridentdir.

İmkansız Perrose üçbucağı

Reutersvard Illusion (1934)

Diqqət yetirin ki, fiqur əsaslı təşkilatın dəyişdirilməsi mərkəzdə yerləşən “ulduzu” qəbul etməyə imkan verdi.
_________

Escherin imkansız kubu

Əslində, bütün imkansız rəqəmlər real dünyada mövcud ola bilər. Beləliklə, kağız üzərində çəkilən bütün cisimlər üç ölçülü cisimlərin proqnozlarıdır, buna görə bir müstəviyə proyeksiyalandıqda qeyri-mümkün görünəcək qədər üç ölçülü bir cisim yarada bilərsiniz. Belə bir obyektə müəyyən bir nöqtədən baxarkən, qeyri-mümkün görünəcək, ancaq başqa bir nöqtədən baxıldığında, imkansızlığın təsiri itiriləcəkdir.

İmkansız üçbucağın 13 metrlik alüminium heykəli 1999-cu ildə Perth şəhərində (Avstraliya) qoyulmuşdur. Burada mümkün olmayan üçbucaq ən ümumi şəkildə - bir-birinə düz açılarla birləşdirilmiş üç şüa şəklində təsvir edilmişdir.

Lənət olsun çəngəl
Bütün mümkün olmayan rəqəmlər arasında qeyri-mümkün trident ("şeytanın çəngəli") xüsusi yer tutur.

Tridentin sağ tərəfini əlimizlə bağlasaq, onda çox həqiqi bir mənzərə görərik - üç dəyirmi diş. Tridentin alt hissəsini bağlasaq, həqiqi mənzərəni də görərik - iki düzbucaqlı diş. Ancaq bütün rəqəmi bütöv hesab etsək, üç yuvarlaq dişin tədricən iki düzbucaqlı dişə çevrildiyi ortaya çıxdı.

İmkansızlıq effekti beynimizin rəqəmin konturunu analiz etdiyi və dişlərin sayını saymağa çalışdığı üçün əldə edilir. Beyin, şəklin sol və sağ tərəfindəki şəkildəki dişlərin sayını müqayisə edir və bu rəqəmin mümkünsüz olduğunu hiss edir. Şəkildəki dişlərin sayı əhəmiyyətli dərəcədə çox olsaydı (məsələn, 7 və ya 8), bu paradoks daha az ifadə ediləcəkdi.

Bəzi kitablar, qeyri-mümkün tridentin real dünyada yenidən yaradılmayan qeyri-mümkün rəqəmlər sinfinə aid olduğunu iddia edir. Əslində bu belə deyil. BÜTÜN imkansız rəqəmlər real dünyada görünə bilər, ancaq tək bir nöqtədən qeyri-mümkün görünəcəklər.

______________

İmkansız fil

Filin neçə ayağı var?

Stanford psixoloqu Roger Shepard, qeyri-mümkün bir fil şəkli çəkmək üçün bir trident fikrindən istifadə etdi.

______________

Penrose nərdivanı (sonsuz pilləkən, imkansız pilləkən)

Sonsuz Nərdivan "ən məşhur klassik imkansızlardan biridir.

Bir nərdivanın elə bir konstruksiyasıdır ki, bir istiqamətdə hərəkət edərkən (məqalədəki şəkildə saat yönünün əksinə) bir insan sonsuzca dırmaşacaq və əks istiqamətdə hərəkət edərkən daim enəcəkdir.

Başqa sözlə, qabağımızda bir pilləkən görünür, yuxarıya və ya aşağıya bənzəyir, eyni zamanda üzərində gedən insan qalxmır və düşmür. Vizual marşrutu tamamladıqdan sonra yolun əvvəlində olacaq. Əgər həqiqətən bu pilləkəndən yuxarı qalxmaq məcburiyyətində olsaydınız, məqsədsiz bir yerə dırmaşıb enəcəksiniz. Buna sonsuz Sizif əməyi deyə bilərsiniz!

Penrose bu rəqəmi dərc etdikdən bəri, digər qeyri-mümkün obyektlərdən daha tez-tez çap olunur. Sonsuz nərdivana oyunlar, bulmacalar, illüziyalar, psixologiya dərsliklərində və digər mövzularda kitablarda rast gəlmək olar.

"Yüksəliş və enmə"

"Sonsuz nərdivan" "sənətçi Maurits K. Escher tərəfindən bu dəfə 1960-cı ildə yaratdığı sehrli" Yüksəliş və Eniş "litoqrafiyasında uğurla istifadə edildi.
Penrose fiqurunun bütün imkanlarını əks etdirən bu rəsmdə olduqca tanınan Sonsuz Nərdivan monastırın damına səliqəli bir şəkildə yazılmışdır. Kapşonlu rahiblər davamlı olaraq pilləkənləri saat istiqamətində və əks istiqamətdə hərəkət etdirirlər. Mümkün olmayan bir yolla bir-birlərinə tərəf gedirlər. Heç vaxt yuxarı qalxmağı və ya enməyi bacarmırlar.

Buna görə "Sonsuz nərdivan" onu icad edən Penrose ilə müqayisədə daha çox onu yenidən çəkən Escher ilə əlaqələndirildi.

Neçə rəf var?

Qapı haradadır?

Xarici və ya daxili?

Mümkün olmayan fiqurlar bəzən keçmiş sənətkarların tuvallərində peyda olurdu, məsələn, Pieter Bruegelin (Yaşlı) rəsmindəki dirəklər belədir
"Darağacdakı Magpie" (1568)

__________

Mümkün olmayan tağ

Jos de Mey Gent (Belçika) Kral Gözəl Sənətlər Akademiyasında oxuyan və sonra 39 il ərzində şagirdlərə daxili dizayn və rəng öyrədən Flaman sənətkarıdır. 1968-ci ildən bəri rəsm onun diqqət mərkəzində olmuşdur. Mümkün olmayan strukturları titiz və real göstərməsi ilə ən çox tanınıb.

Ən məşhurları sənətkar Maurice Escherin əsərlərindəki qeyri-mümkün rəqəmlərdir. Bu cür rəsmləri araşdırarkən, hər bir detal olduqca məqsədəuyğun görünür, lakin xətti izləməyə çalışarkən, bu xəttin, məsələn, divarın xarici küncündə deyil, içində olduğu ortaya çıxır.

"Nisbilik"

Hollandiyalı rəssam Escherin bu litoqrafiyası ilk dəfə 1953-cü ildə çap edilmişdir.

Litoqraf reallıq qanunlarının tətbiq olunmadığı paradoksal bir dünyanı təsvir edir. Üç həqiqət bir dünyada birləşir, üç cazibə qüvvəsi bir-birinə dik olaraq yönəldilir.

Bir memarlıq quruluşu yaradıldı, həqiqətlər pilləkənlərlə birləşdirildi. Bu dünyada yaşayan, lakin fərqli gerçəkliklərdə yaşayan insanlar üçün eyni pilləkən ya yuxarı ya da aşağı yönəldiləcəkdir.

"Şəlalə"

Hollandiyalı rəssam Escherin bu litoqrafiyası ilk dəfə 1961-ci ilin oktyabrında çap olunmuşdur.

Escherin bu əsərində bir paradoks təsvir edilmişdir - şəlalənin düşən suyu suyu şəlalənin üstünə yönəldən bir çarxı idarə edir. Şəlalə "mümkünsüz" Penrose üçbucağının quruluşuna malikdir: litoqraf, British Journal of Psychology jurnalındakı bir məqaləyə əsasən yaradılmışdır.

Quruluş düz açılarla bir-birinin üstünə qoyulmuş üç çarpazdan ibarətdir. Litoqrafiyadakı şəlalə qalıcı bir hərəkət maşını kimi işləyir. Hər iki qüllənin eynidir; əslində sağdakı sol qüllənin bir qatının altındadır.

Yaxşı və daha müasir əsərlər: o)
Sonsuz fotoqrafiya