Bitişik künclər və onların xüsusiyyətləri nədir. Hansı açılar bitişik adlanır? Bitişik iki bucağın cəmi nədir

Həndəsə çox istiqamətli bir elmdir. Məntiq, təxəyyül və zəkanı inkişaf etdirir. Əlbəttə ki, mürəkkəbliyi və çox sayda teorem və aksioma görə məktəblilər həmişə bunu sevmirlər. Bundan əlavə, ümumiyyətlə qəbul edilmiş standart və qaydalardan istifadə edərək nəticələrinizi daim sübut etməyə ehtiyac var.

Bitişik və şaquli künclər həndəsənin tərkib hissəsidir. Şübhəsiz ki, bir çox məktəbli xassələrinin aydın və sübut edilməsi asan olduğuna görə onlara pərəstiş edir.

Künclərin formalaşdırılması

Hər hansı bir bucaq iki düz xəttin kəsişməsi və ya bir nöqtədən iki şüa çəkərək əmələ gəlir. Küncün tikinti nöqtələrini ardıcıl olaraq təyin edən bir hərf və ya üç ad verilə bilər.

Bucaqlar dərəcə ilə ölçülür və (dəyərlərindən asılı olaraq) fərqli adlandırıla bilər. Beləliklə, kəskin, düz və açılan düz bir açı var. Adların hər biri müəyyən dərəcə ölçüsünə və ya onun aralığına uyğundur.

Ölçüsü 90 dərəcəni keçməzsə, bir açıya kəskin deyilir.

Düz bir bucaq 90 dərəcədən çoxdur.

Bucaq dərəcə ölçüsü 90 olduqda düz bucaq adlanır.

Bir möhkəm xəttlə əmələ gəldikdə və dərəcə ölçüsü 180 olduqda, ona genişlənmiş deyilir.

Digər tərəfi bir-birinə davam edən ortaq tərəfi olan bucaqlara bitişik deyilir. Ya kəskin, ya da küt ola bilərlər. Xəttin kəsişməsi bitişik guşələr təşkil edir. Onların xüsusiyyətləri aşağıdakılardır:

1. Bu açıların cəmi 180 dərəcəyə bərabər olacaq (bunu sübut edən bir teorema var). Buna görə, biri məlum olduğu təqdirdə onlardan biri asanlıqla hesablana bilər.
2. Birinci nöqtədən belə çıxır ki, qonşu künclər iki düz və ya iki iti küncdən əmələ gələ bilməz.

Bu xüsusiyyətlər sayəsində hər zaman başqa bir bucağın dəyərinə və ya ən azı aralarındakı nisbətə sahib bir bucağın dərəcə ölçüsünü hesablaya bilərsiniz.

Şaquli künclər

Tərəfləri bir-birinin davamı olan açılara şaquli deyilir. Onların növlərindən hər hansı biri belə bir cüt kimi çıxış edə bilər. Şaquli bucaqlar həmişə bir-birinə bərabərdir.

Düz xətlər kəsişəndə \u200b\u200bəmələ gəlirlər. Qonşu guşələr həmişə onlarla birlikdə olur. Bucaq eyni vaxtda birinə bitişik, digərinə şaquli ola bilər.

Təsadüfi bir xətti keçərkən daha bir neçə bucaq növü də nəzərə alınır. Belə bir xətt sekant adlanır və uyğun, bir tərəfli və çarpaz açılar meydana gətirir. Onlar bir-birlərinə bərabərdirlər. Bunlara şaquli və bitişik açıların malik olduğu xüsusiyyətlər baxımından baxmaq olar.

Beləliklə, açılar mövzusu olduqca sadə və sadə görünür. Bütün xüsusiyyətlərini xatırlamaq və sübut etmək asandır. Məsələlərin həlli açılar ədədi bir dəyərə uyğun olduğu müddətdə çətin deyil. Onsuz da günah və kos öyrənilməsi başlayanda bir çox mürəkkəb formulu, nəticələrini və nəticələrini əzbərləməlisiniz. O vaxta qədər qonşu küncləri tapmağınız lazım olan asan tapşırıqlardan istifadə edə bilərsiniz.

Bir tərəfi ortaq olduqda iki künc bitişik adlanır və bu künclərin digər tərəfləri əlavə şüalardır. Şəkil 20-də AOB və BOC açıları bitişikdir.

Bitişik açıların cəmi 180 ° -dir

Teorem 1. Bitişik bucaqların cəmi 180 ° -dir.

Dəlil. OB şüası (bax. Şəkil 1) açılan küncün kənarları arasından keçir. buna görə ∠ AOB + ∠ BOS \u003d 180 °.

Teorem 1-dən belə çıxır ki, iki bucaq bərabərdirsə, onlara bitişik bucaqlar bərabərdir.

Şaquli açılar bərabərdir

Bir küncün tərəfləri digərinin tərəflərinin tamamlayıcı şüalarıdırsa, iki köşəyə şaquli deyilir. İki düz xəttin kəsişməsində əmələ gələn AOB və COD, BOD və AOC açıları şaquli olur (şəkil 2).

Teorem 2. Şaquli bucaqlar bərabərdir.

Dəlil. AOB və COD şaquli açılarını nəzərdən keçirin (bax Şəkil 2). BOD küncü AOB və COD künclərinin hər birinə bitişikdir. Teoremi ilə 1 ∠ AOB + ∠ BOD \u003d 180 °, ∠ COD + ∠ BOD \u003d 180 °.

Buna görə ∠ AOB \u003d ∠ COD olduğu qənaətinə gəlirik.

Nəticə 1. Düz bucağa bitişik bucaq düz bucaqdır.

AC və BD kəsişən iki düz xətti nəzərdən keçirin (şəkil 3). Dörd künc meydana gətirirlər. Onlardan biri düzdürsə (Şəkil 3-dəki bucaq 1), digər bucaqlar da düzdür (1 və 2, 1 və 4 bucaqları bitişik, 1 və 3 bucaqları şaquli). Bu vəziyyətdə, bu xətlərin düz açılarla kəsişdiyini və dik (və ya qarşılıqlı olaraq dik) adlandırıldıqlarını söyləyirlər. AC və BD düz xətlərinin dikliyi aşağıdakı kimi təyin olunur: AC ⊥ BD.

Seqmentə dik olan orta nöqtə, bu hissəyə dik olan və orta nöqtəsindən keçən bir xəttdir.

AH - düz bir xəttə dik

Bir düz xətt a və üzərində yatmayan A nöqtəsini nəzərdən keçirin (şəkil 4). A nöqtəsini a düz xətt üzərində H nöqtəsi olan bir hissə ilə birləşdirək. AH seqmenti AH və a xətləri dik olarsa A nöqtəsindən a xəttinə çəkilmiş dik deyilir. H nöqtəsinə perpendikulyar baza deyilir.

Kvadrat rəsm

Aşağıdakı teorema doğrudur.

Teorem 3. Bir xətt üzərində uzanmayan hər hansı bir nöqtədən bu xəttə dik, üstəlik yalnız bir xətt çəkmək olar.

Rəsmdə bir nöqtədən düz bir xəttə dik çəkmək üçün bir rəsm kvadratından istifadə edin (şəkil 5).

Şərh. Teoremin ifadəsi ümumiyyətlə iki hissədən ibarətdir. Bir hissəsi verilmiş şeylərdən bəhs edir. Bu hissəyə teoremin şərti deyilir. Digər hissədə nəyin sübut edilməsi lazım olduğu barədə danışılır. Bu hissəyə teoremin yekunu deyilir. Məsələn, Teorem 2-nin şərti bucaqların şaquli olmasıdır; nəticə - bu açılar bərabərdir.

Hər hansı bir teorema sözlərlə ətraflı şəkildə ifadə edilə bilər ki, vəziyyəti "əgər" sözü ilə, nəticə isə "o zaman" sözü ilə başlayacaq. Məsələn, Teorem 2-ni təfərrüatlı şəkildə belə ifadə etmək olar: "İki bucaq şaquli olarsa, bərabərdir."

Nümunə 1. Bitişik açılardan biri 44 ° -dir. Digər nə bərabərdir?

Qərar. Digər bucağın dərəcə ölçüsünü x ilə göstərək, sonra Teorem 1-ə görə.
44 ° + x \u003d 180 °.
Nəticədə yaranan tənliyi həll edərək x \u003d 136 ° olduğunu tapırıq. Buna görə digər bucaq 136 ° -dir.

Nümunə 2. Şəkil 21-də COD açısının 45 ° olmasına icazə verin. AOB və AOC açıları hansılardır?

Qərar. COD və AOB açıları şaquli olur, buna görə 1.2 teoreminə görə bərabərdirlər, yəni ∠ AOB \u003d 45 °. AOC bucağı COD bucağına bitişikdir, buna görə Teorem 1-ə görə.
∠ AOC \u003d 180 ° - ∠ COD \u003d 180 ° - 45 ° \u003d 135 °.

Nümunə 3. Biri digərindən 3 dəfə çox olarsa, qonşu küncləri tapın.

Qərar. Kiçik bucağın dərəcə ölçüsünü x ilə işarə edək. O zaman daha böyük açıdan dərəcə ölçüsü Zx olacaqdır. Bitişik açıların cəmi 180 ° (Teorem 1) olduğundan x + 3x \u003d 180 °, buradan x \u003d 45 °.
Bu, bitişik açıların 45 ° və 135 ° olduğunu göstərir.

Nümunə 4. İki şaquli bucağın cəmi 100 ° -dir. Dörd açıdan hər birinin böyüklüyünü tapın.

Qərar. Şəkil 2 məsələnin şərtinə uyğun gəlsin.COD-un AOB-ya olan şaquli açıları bərabərdir (Teorema 2), bu səbəbdən onların dərəcə ölçüləri də bərabərdir. Buna görə ∠ COD \u003d ∠ AOB \u003d 50 ° (şərtlərinə görə cəmi 100 ° -dir). BOD bucağı (AOC bucağı da) COD bucağına bitişikdir və buna görə də Teorem 1-ə görə
∠ BOD \u003d ∠ AOC \u003d 180 ° - 50 ° \u003d 130 °.

Açılarla işə başlamaq

İki ixtiyari şüa verək. Onları bir-birinin üstünə qoyaq. Sonra

Tərif 1

Bucaq eyni mənşəli iki şüa adlanacaq.

Tərif 2

3 tərifindəki şüaların mənşəyi olan nöqtəyə bu bucağın zirvəsi deyilir.

Bucaq aşağıdakı üç nöqtə ilə işarələnəcəkdir: bir təpə, şüaların birində bir nöqtə və digər şüada bir nöqtə və bucağın zirvəsi təyinatın ortasında yazılmışdır (şəkil 1).

İndi bucağın dəyərinin nə olduğunu təyin edək.

Bunu etmək üçün vahid olaraq götürəcəyimiz bir növ "istinad" bucağını seçmək lazımdır. Çox vaxt bu bucaq düzəldilmiş bucağın $ \\ frac (1) (180) $ hissəsinə bərabər olan bir açıdır. Bu dəyərə dərəcə deyilir. Belə bir açı seçdikdən sonra dəyərini tapmaq lazım olan açıları onunla müqayisə edirik.

4 növ açı var:

Tərif 3

$ 90 ^ 0 $ -dan az olduqda bir bucağa kəskin deyilir.

Tərif 4

$ 90 ^ 0 $ -dan çox olduqda bir bucağa düz deyilir.

Tərif 5

$ 180 ^ 0 $ -a bərabərdirsə, bir açı açılan deyilir.

Tərif 6

$ 90 ^ 0 $ -a bərabərdirsə, bucağa düz bucaq deyilir.

Yuxarıda təsvir olunan bucaq növlərinə əlavə olaraq, bir-birinə münasibətdə bucaq növlərini, yəni şaquli və bitişik küncləri seçə bilərsiniz.

Bitişik künclər

Açılan $ COB $ küncünü nəzərdən keçirin. $ OA $ şüasını ucundan çəkin. Bu şüa orijinalı iki açıya ayıracaqdır. Sonra

Tərif 7

İki tərəfi bir tərəfi inkişaf etmiş bir açıdırsa, digər cütü üst-üstə düşərsə, qonşu adlanacaqdır (şəkil 2).

Bu vəziyyətdə $ COA $ və $ BOA $ küncləri bitişikdir.

Teorem 1

Bitişik açıların cəmi $ 180 ^ 0 $ təşkil edir.

Dəlil.

Şəkil 2-ni nəzərdən keçirin.

Tərifə 7 görə, içindəki $ COB $ bucağı $ 180 ^ 0 $ olacaqdır. Bitişik künclərin ikinci cüt tərəfi üst-üstə düşdüyündən, $ OA $ şüası genişlənmiş bucağı 2-yə bölər.

$ ∠COA + ∠BOA \u003d 180 ^ 0 $

Teorem sübut edilmişdir.

Bu konsepsiyadan istifadə edərək bir problemi həll etməyi düşünün.

Nümunə 1

Aşağıdakı şəkildən $ C $ bucağını tapın

Tərif 7 ilə $ BDA $ və $ ADC $ açılarının bitişik olduğunu görürük. Buna görə 1-ci teoremlə əldə edirik

$ ∠BDA + ∠ADC \u003d 180 ^ 0 $

$ ∠ADC \u003d 180 ^ 0-∠BDA \u003d 180〗 0-59 ^ 0 \u003d 121 ^ 0 $

Üçbucaqdakı bucaqların cəminə dair teorema ilə bizdə var

$ ∠A + ∠ADC + ∠C \u003d 180 ^ 0 $

$ ∠C \u003d 180 ^ 0-∠A-∠ADC \u003d 180 ^ 0-19 ^ 0-121 ^ 0 \u003d 40 ^ 0 $

Cavab: $ 40 ^ 0 $.

Şaquli künclər

Açılan $ AOB $ və $ MOC $ künclərini nəzərdən keçirin. Onların köşələrini bir-biri ilə düzəldək (yəni $ O "$ nöqtəsini $ O $ nöqtəsinə qoyduq) ki, bu künclərin heç bir tərəfi üst-üstə düşməsin. Sonra

Tərif 8

Yan tərəflərinin cütləri açılan açılardırsa və dəyərləri üst-üstə düşərsə, iki açıya şaquli deyiləcəkdir (şəkil 3).

Bu vəziyyətdə $ MOA $ və $ BOC $ küncləri şaquli, $ MOB $ və $ AOC $ küncləri də şaquli olur.

Teorem 2

Şaquli açılar bir-birinə bərabərdir.

Dəlil.

Şəkil 3-ə baxaq. Məsələn $ MOA $ -ın $ BOC $ -ə bərabər olduğunu sübut edək.

Bir düz xətt üzərində yerləşən və bir təpəyə sahib olan iki küncə bitişik deyilir.

Əks təqdirdə, bir düz xəttdəki iki bucağın cəmi 180 dərəcədirsə və bir tərəfi ortaqdırsa, bunlar bitişik bucaqlardır.

1 qonşu bucaq + 1 qonşu bucaq \u003d 180 dərəcə.

Bitişik künclər, bir tərəfinin ümumi olduğu, digər iki tərəfin isə ümumiyyətlə düz bir xətt meydana gətirdiyi iki küncdür.

Bitişik iki bucağın cəmi həmişə 180 dərəcədir. Məsələn, bir açı 60 dərəcədirsə, ikincisi mütləq 120 dərəcəyə bərabər olacaqdır (180-60).

AOC və BOC açıları bitişik bucaqlardır, çünki qonşu bucaqların xüsusiyyətləri üçün bütün şərtlər yerinə yetirilir:

1.OS iki köşenin ortaq tərəfidir

2.AO AOC bucağının tərəfidir, OV BOC bucağının tərəfidir. Bu tərəflər birlikdə AOB düz bir xətt meydana gətirir.

3. Bucaq iki, cəmi 180 dərəcədir.

Məktəb həndəsə kursunu xatırladaraq bitişik açılar haqqında bunları deyə bilərik:

bitişik künclərin bir tərəfi ortaqdır, digər iki tərəfi eyni düz xəttə aiddir, yəni eyni düz xətt üzərindədirlər. Şəkilə görə, COB və BOA açıları, bitməmiş bucaqları bölüşdükləri üçün cəmi həmişə 180 olan bitişik açılardır və açılan bucaq həmişə 180-dir.



Bitişik açılar həndəsədə asan bir anlayışdır. Bitişik açılar, bucaq və bucaq 180 dərəcəyə qədər əlavə olunur.

İki qonşu künc - bu açılmış bir künc olacaq.

Daha bir neçə xüsusiyyət var. Bitişik küncləri olan problemləri və teoremləri həll etmək asandır.

Bitişik bucaqlar düz xəttin ixtiyari nöqtəsindən şüa çəkildikdə əmələ gəlir. Sonra bu ixtiyari nöqtə bucağın zirvəsi olur, şüa bitişik bucaqların ortaq tərəfidir və şüanın çəkildiyi düz xətt qonşu bucaqların qalan iki tərəfidir. Bitişik açılar ya dik vəziyyətdə eyni ola bilər, ya da meylli bir şüa vəziyyətində fərqli ola bilər. Bitişik açıların cəminin 180 dərəcə və ya sadəcə düz bir xətt olduğunu anlamaq asandır. Başqa bir şəkildə, bu bucağı sadə bir nümunə ilə izah etmək olar - əvvəlcə düz bir xətt üzrə bir istiqamətdə gəzdiniz, sonra fikrinizi dəyişdirdiniz, geri qayıtmağa qərar verdiniz və 180 dərəcə dönərək eyni düz xətt boyunca yola çıxdınız. əks istiqamət.



Bəs qonşu künc nədir? Tərif:

Bitişik bir ortaq və bir ortaq tərəfi olan iki küncdür və bu künclərin digər iki tərəfi eyni düz xətt üzərində uzanır.



Bitişik bucaqlar, şaquli bucaqlar, üstəlik bitişik və şaquli bucaqlar üçün xüsusi bir vəziyyət olan dik düz xətlər haqqında həssaslıqla göstərildiyi kiçik bir video dərsi

Bitişik künclər, bir tərəfinin ümumi olduğu, digərinin isə tək bir xətt olduğu künclərdir.

Bitişik bucaqlar bir-birindən asılı olan bucaqlardır. Yəni ortaq tərəf bir az dönərsə, bir bucaq bir dərəcə azalacaq və avtomatik olaraq ikinci bucaq eyni dərəcədə artacaqdır. Bitişik bucaqların bu xüsusiyyəti Həndəsədə müxtəlif problemlərin həllinə və müxtəlif teoremlərin sübut edilməsinə imkan verir.

Bitişik açıların ümumi cəmi həmişə 180 dərəcədir.



Həndəsə kursundan (6-cı sinifdə xatırladığım qədər) bir tərəfi ortaq, digər tərəfləri isə əlavə şüalar olan iki bucaq bitişik adlanır, bitişik bucaqların cəmi 180-dir. Hər iki bitişik açılar digərini inkişaf etmiş bir açı ilə tamamlayır. Bitişik künclərin nümunəsi:



Bitişik bucaqlar, tərəflərindən biri ümumi olan, qalan tərəfləri bir düz xətt üzərində uzanan (üst-üstə düşməyən) ortaq bir təpəyə sahib iki küncdür. Bitişik açıların cəmi yüz səksən dərəcədir. Ümumiyyətlə, bütün bunları Google-da və ya bir həndəsə dərsliyində tapmaq çox asandır.

1. Bitişik künclər.

Hər hansı bir küncün kənarını zirvəsindən kənara uzatsaq, iki bucaq əldə edirik (şəkil 72): oneABS və ∠СВD, bir tərəfi BC-nin, digər ikisi AB və BD isə düz bir xətt təşkil edir.

Bir tərəfinin ümumi olduğu, digər ikisinin isə düz bir xətt meydana gətirdiyi iki küncə bitişik künclər deyilir.

Bitişik bucaqlar bu şəkildə əldə edilə bilər: düz bir xəttin bir nöqtəsindən bir şüa çəkiriksə (bu düz xətt üzərində yatmırıq), onda bitişik bucaqlar əldə edirik.

Məsələn, ∠ADF və ∠FDB bitişik açılardır (Şəkil 73).

Bitişik künclər müxtəlif mövqelərə malik ola bilər (şəkil 74).

Bitişik açılar düz bir açıya əlavə olunur, buna görə bitişik iki bucağın cəmi 180 ° -dir

Buradan, düz bir bucaq onun qonşu bucağına bərabər bir bucaq kimi təyin edilə bilər.

Bitişik bucaqlardan birinin qiymətini bilməklə digər qonşu bucağın qiymətini tapa bilərik.

Məsələn, qonşu açılardan biri 54 ° olarsa, ikinci bucaq belə olacaqdır:

180 ° - 54 ° \u003d l26 °.

2. Şaquli açılar.

Küncün kənarlarını təpəsindən kənara uzatsaq, şaquli künclər əldə edirik. Şəkil 75-də EOF və AOC açıları şaquli; AOE və COF açıları da dikdir.

Bir küncün kənarları digər küncün tərəflərinin uzantılarıdırsa, iki küncə şaquli deyilir.

1 \u003d \\ (\\ frac (7) (8) \\) ⋅ 90 ° edək (Şəkil 76). Bitişik ∠2 180 ° - \\ (\\ frac (7) (8) \\) ⋅ 90 °, yəni 1 \\ (\\ frac (1) (8) \\) ⋅ 90 ° olacaqdır.

Eyni şəkildə, ∠3 və ∠4-ün nəyə bərabər olduğunu hesablaya bilərsiniz.

∠3 \u003d 180 ° - 1 \\ (\\ frac (1) (8) \\) ⋅ 90 ° \u003d \\ (\\ frac (7) (8) \\) ⋅ 90 °;

∠4 \u003d 180 ° - \\ (\\ frac (7) (8) \\) ⋅ 90 ° \u003d 1 \\ (\\ frac (1) (8) \\) ⋅ 90 ° (şəkil 77).

See1 \u003d ∠3 və ∠2 \u003d ∠4 olduğunu görürük.

Eyni problemlərdən daha bir neçəsini həll edə bilərsiniz və hər dəfə eyni nəticə əldə edə bilərsiniz: şaquli açılar bir-birinə bərabərdir.

Bununla birlikdə, şaquli açıların həmişə bərabər olduğuna əmin olmaq üçün fərdi ədədi nümunələri nəzərdən keçirmək kifayət deyil, çünki müəyyən nümunələrdən çıxarılan nəticələr bəzən səhv ola bilər.

Şaquli bucaqların mülkiyyətinin etibarlılığını sübut yolu ilə yoxlamaq lazımdır.

Dəlil aşağıdakı şəkildə həyata keçirilə bilər (şəkil 78):

∠a +∠c \u003d 180 °;

∠b +∠c \u003d 180 °;

(bitişik açıların cəmi 180 ° olduğu üçün).

∠a +∠c = ∠b +∠c

(çünki bu bərabərliyin sol tərəfi 180 ° -ə bərabərdir və sağ tərəfi də 180 ° -ə bərabərdir).

Bu bərabərlik eyni bucağı da əhatə edir dan.

Bərabər dəyərlərdən bərabər şəkildə çıxsaq, bərabər qalacaq. Nəticə belə olacaq: ∠a = ∠b, yəni şaquli açılar bir-birinə bərabərdir.

3. Ortaq bir zirvəyə sahib olan açıların cəmi.

Çizimdə 79 ∠1, ∠2, ∠3 və ∠4 düz bir xəttin bir tərəfində yerləşir və bu düz xəttdə ortaq bir təpəyə malikdir. Birlikdə, bu açılar yerləşdirilmiş bucağı təşkil edir, yəni.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 \u003d 180 °.

Rəsmdə 80 1, ∠2, ∠3, ∠4 və ∠5 ortaq bir zirvə var. Bu açılar tam açıya qədər, yəni i.e.1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 \u003d 360 °.