Faktorinq polinomlarına nümunələr. Kvadrat üçhəcmli faktorları necə ayırmaq olar: düstur

Kvadrat üçhədli ax^2 + bx + c şəklində çoxhədlidir, burada x dəyişəndir, a, b və c bəzi ədədlərdir və a ≠ 0.

Trinomialı faktorlara çevirmək üçün həmin üçhəmin köklərini bilmək lazımdır. (bundan sonra 5x^2 + 3x- 2 trinomial nümunəsi)

Qeyd: 5x^2 + 3x - 2 kvadrat üçhəcminin qiyməti x-in qiymətindən asılıdır. Məsələn: x = 0 olarsa, 5x^2 + 3x - 2 = -2 olar

Əgər x = 2 olarsa, onda 5x^2 + 3x - 2 = 24

Əgər x = -1 olarsa, 5x^2 + 3x - 2 = 0 olar

x = -1 olduqda, 5x^2 + 3x - 2 kvadrat trinomial yox olur, bu halda -1 rəqəmi adlanır. kvadrat trinomialın kökü.

Tənliyin kökünü necə əldə etmək olar

Bu tənliyin kökünü necə əldə etdiyimizi izah edək. Birincisi, işləyəcəyimiz teoremi və düsturu aydın şəkildə bilməlisiniz:

“Əgər x1 və x2 kvadrat üçhəcmli ax^2 + bx + c kökləridirsə, onda ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2).”

X = (-b±√(b^2-4ac))/2a \

Çoxhədlinin köklərini tapmaq üçün bu düstur ən ibtidai düsturdur, ondan istifadə etməklə heç vaxt çaşqınlıq olmayacaq.

İfadə 5x^2 + 3x – 2-dir.

1. Sıfıra bərabərləşdirin: 5x^2 + 3x – 2 = 0

2. Kvadrat tənliyin köklərini tapın, bunun üçün dəyərləri düsturla əvəz edirik (a - X^2 əmsalı, b - X əmsalı, sərbəst termin, yəni X olmayan rəqəmdir. ):

Kvadrat kökün qarşısında artı işarəsi olan ilk kökü tapırıq:

Х1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)/10 = (-3 +) √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0,4

Kvadrat kökün qarşısında mənfi işarəsi olan ikinci kök:

X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)/10 = (-3 -) √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1

Beləliklə, kvadrat üçbucağın köklərini tapdıq. Onların düzgünlüyünə əmin olmaq üçün yoxlaya bilərsiniz: əvvəlcə tənliyə birinci kökü, sonra ikincisini əvəz edirik:

1) 5x^2 + 3x – 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2) 5x^2 + 3x – 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

Bütün kökləri əvəz etdikdən sonra tənlik sıfır olarsa, tənlik düzgün həll edilmişdir.

3. İndi teoremdən düsturdan istifadə edək: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), unutmayın ki, X1 və X2 kvadrat tənliyin kökləridir. Beləliklə: 5x^2 + 3x – 2 = 5 * (x - 0.4) * (x- (-1))

5x^2 + 3x– 2 = 5(x - 0.4)(x + 1)

4. Parçalanmanın düzgün olduğundan əmin olmaq üçün sadəcə mötərizələri çoxalda bilərsiniz:

5(x - 0,4)(x + 1) = 5(x^2 + x - 0,4x - 0,4) = 5(x^2 + 0,6x – 0,4) = 5x^2 + 3 – 2. Düzgünlüyünü təsdiqləyən qərarından.

Kvadrat trinomialın köklərini tapmaq üçün ikinci variant

Kvadrat trinomialın köklərini tapmaq üçün başqa bir variant Viette teoreminə tərs teoremdir. Burada kvadrat tənliyin kökləri düsturlardan istifadə etməklə tapılır: x1 + x2 = -(b), x1 * x2 = c. Ancaq başa düşmək lazımdır ki, bu teorem yalnız a = 1 əmsalı, yəni x^2 = 1 qarşısındakı ədəd olduqda istifadə edilə bilər.

Məsələn: x^2 – 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.

Həll edirik: x1 + x2 = - (-2), x1 + x2 = 2

İndi düşünmək vacibdir ki, məhsulda hansı nömrələr verir? Təbii ki, bu 1 * 1 Və -1 * (-1) . Bu rəqəmlərdən x1 + x2 = 2 ifadəsinə uyğun gələnləri seçirik, əlbəttə - bu 1 + 1-dir. Beləliklə, tənliyin köklərini tapdıq: x1 = 1, x2 = 1. Bunu yoxlamaq asandır, əgər biz ifadəsinə x^2 əvəz edin - 2x + 1 = 0.

Bu dərsdə kvadrat üçhədliləri xətti amillərə necə ayırmağı öyrənəcəyik. Bunu etmək üçün Vyeta teoremini və onun əksini xatırlamalıyıq. Bu bacarıq bizə kvadrat üçhədliləri xətti amillərə tez və rahat şəkildə genişləndirməyə kömək edəcək, həmçinin ifadələrdən ibarət fraksiyaların azaldılmasını sadələşdirəcək.

Beləliklə, kvadrat tənliyə qayıdaq, burada .

Sol tərəfdə olanımız kvadrat trinomial adlanır.

Teorem doğrudur: Kvadrat üçhəmin kökləridirsə, o zaman eynilik yerinə yetirilir

Aparıcı əmsal haradadır, tənliyin kökləridir.

Deməli, bizdə kvadrat tənlik - kvadrat üçhəcmli var, burada kvadrat tənliyin kökləri kvadrat üçhəmin kökləri də adlanır. Buna görə də, əgər kvadrat üçhəcmli köklərə sahib olsaq, onda bu trinomial xətti amillərə parçalana bilər.

Sübut:

Sübut bu faktəvvəlki dərslərdə bəhs etdiyimiz Vyeta teoremindən istifadə etməklə yerinə yetirilir.

Vyeta teoreminin bizə nə dediyini xatırlayaq:

Hansı kvadrat üçhəmin kökləri olarsa, onda .

Bu teoremdən aşağıdakı ifadə gəlir:

Görürük ki, Vyeta teoreminə görə, yəni bu dəyərləri yuxarıdakı düsturla əvəz etməklə aşağıdakı ifadəni əldə edirik.

Q.E.D.

Yada salaq ki, biz teoremi sübut etdik ki, kvadrat üçhəmin kökləridirsə, genişlənmə etibarlıdır.

İndi Vyeta teoremindən istifadə edərək kökləri seçdiyimiz kvadrat tənlik nümunəsini xatırlayaq. Bu faktdan sübut edilmiş teorem sayəsində aşağıdakı bərabərliyi əldə edə bilərik:

İndi sadəcə mötərizələri açmaqla bu faktın düzgünlüyünü yoxlayaq:

Görürük ki, faktorları düzgün hesablamışıq və hər hansı üçhəcmli, əgər kökləri varsa, bu teoremə görə düstura görə xətti amillərə bölünə bilər.

Bununla belə, hər hansı bir tənlik üçün belə faktorizasiyanın mümkün olub olmadığını yoxlayaq:

Məsələn, tənliyi götürün. Əvvəlcə diskriminant işarəsini yoxlayaq

Və xatırlayırıq ki, öyrəndiyimiz teoremi yerinə yetirmək üçün D 0-dan böyük olmalıdır, ona görə də bu halda öyrəndiyimiz teoremə görə faktorlara ayırmaq mümkün deyil.

Buna görə də formullaşdıraq yeni teorem: Kvadrat üçhəmin kökləri yoxdursa, onu xətti amillərə ayırmaq olmaz.

Beləliklə, biz Vyeta teoreminə, kvadrat üçhəmin xətti amillərə parçalanma ehtimalına baxdıq və indi bir neçə məsələni həll edəcəyik.

Tapşırıq №1

Bu qrupda biz əslində qoyulan problemin tərsinə həll edəcəyik. Bizdə bir tənlik var idi və onun köklərini faktorlara ayıraraq tapdıq. Burada əksini edəcəyik. Tutaq ki, kvadrat tənliyin kökləri var

Tərs məsələ belədir: onun köklərindən istifadə edərək kvadratik tənlik yazın.

Bu problemi həll etməyin 2 yolu var.

Tənliyin kökləri olduğundan kökləri olan kvadrat tənlikdir verilmiş nömrələr. İndi mötərizələri açıb yoxlayaq:

Bu, verilmiş kökləri olan, başqa heç bir kökü olmayan kvadrat tənliyi yaratmağımızın ilk yolu idi, çünki hər hansı kvadrat tənliyin ən çoxu iki kökü var.

Bu üsul tərs Vyeta teoreminin istifadəsini nəzərdə tutur.

Əgər tənliyin kökləridirsə, onda onlar şərti ödəyirlər ki.

Aşağı salınmış kvadrat tənlik üçün , , yəni bu halda və .

Beləliklə, verilmiş kökləri olan kvadrat tənlik yaratdıq.

Tapşırıq № 2

Fraksiyanı azaltmaq lazımdır.

Bizdə sayda üçhəcmli, məxrəcdə isə üçbucaq var və üçhəcmlilər faktorlara bölünə də, olmaya da bilər. Əgər həm pay, həm də məxrəc faktorlara bölünürsə, onda onların arasında azaldıla bilən bərabər amillər ola bilər.

Hər şeydən əvvəl, paylayıcı faktoru ayırmalısınız.

Əvvəlcə bu tənliyin faktorlara bölünə biləcəyini yoxlamaq lazımdır, gəlin diskriminantı tapaq. , işarəsi məhsuldan asılıdır (0-dan kiçik olmalıdır), in bu misalda, yəni verilmiş tənliyin kökləri var.

Həll etmək üçün Vyeta teoremindən istifadə edirik:

Bu vəziyyətdə, köklərlə məşğul olduğumuz üçün, sadəcə kökləri seçmək olduqca çətin olacaq. Amma görürük ki, əmsallar balanslaşdırılmışdır, yəni , bunu qəbul etsək və bu dəyəri tənliyə əvəz etsək, aşağıdakı sistemi alırıq: , yəni 5-5=0. Beləliklə, biz bu kvadrat tənliyin köklərindən birini seçmişik.

Artıq məlum olanı tənliklər sisteminə əvəz etməklə ikinci kök axtaracağıq, məsələn, , yəni. .

Beləliklə, kvadrat tənliyin hər iki kökünü tapdıq və onların dəyərlərini faktorlarla orijinal tənliyə əvəz edə bilərik:

Orijinal problemi xatırlayaq, kəsri azaltmaq lazım idi.

Əvəz etməklə problemi həll etməyə çalışaq.

Unutmamaq lazımdır ki, bu halda məxrəc 0-a bərabər ola bilməz, yəni.

Əgər bu şərtlər yerinə yetirilirsə, onda biz orijinal kəsri formaya endirmişik.

Problem №3 (parametrli tapşırıq)

Parametrin hansı dəyərlərində kvadrat tənliyin köklərinin cəmidir

Bu tənliyin kökləri varsa, onda , sual: nə vaxt.

Beləliklə, kvadrat tənliyə qayıdaq, burada .

Sol tərəfdə olanımız kvadrat trinomial adlanır.

Teorem doğrudur: Kvadrat üçhəmin kökləridirsə, o zaman eynilik yerinə yetirilir

Aparıcı əmsal haradadır, tənliyin kökləridir.

Sübut:

Bu faktın sübutu əvvəlki dərslərdə müzakirə etdiyimiz Vyeta teoremindən istifadə etməklə həyata keçirilir.

Vyeta teoreminin bizə nə dediyini xatırlayaq:

Hansı kvadrat üçhəmin kökləri olarsa, onda .

Bu teoremdən aşağıdakı ifadə gəlir:

Görürük ki, Vyeta teoreminə görə, yəni bu dəyərləri yuxarıdakı düsturla əvəz etməklə aşağıdakı ifadəni əldə edirik.

Q.E.D.

Yada salaq ki, biz teoremi sübut etdik ki, kvadrat üçhəmin kökləridirsə, genişlənmə etibarlıdır.

İndi sadəcə mötərizələri açmaqla bu faktın düzgünlüyünü yoxlayaq:

Görürük ki, faktorları düzgün hesablamışıq və hər hansı üçhəcmli, əgər kökləri varsa, bu teoremə görə düstura görə xətti amillərə bölünə bilər.

Bununla belə, hər hansı bir tənlik üçün belə faktorizasiyanın mümkün olub olmadığını yoxlayaq:

Məsələn, tənliyi götürün. Əvvəlcə diskriminant işarəsini yoxlayaq

Və xatırlayırıq ki, öyrəndiyimiz teoremi yerinə yetirmək üçün D 0-dan böyük olmalıdır, ona görə də bu halda öyrəndiyimiz teoremə görə faktorlara ayırmaq mümkün deyil.

Buna görə də biz yeni bir teorem tərtib edirik: əgər kvadrat üçhəmin kökləri yoxdursa, o zaman xətti amillərə parçalana bilməz.

Beləliklə, biz Vyeta teoreminə, kvadrat üçhəmin xətti amillərə parçalanma ehtimalına baxdıq və indi bir neçə məsələni həll edəcəyik.

Tapşırıq №1

Tərs məsələ belədir: onun köklərindən istifadə edərək kvadratik tənlik yazın.

Bu problemi həll etməyin 2 yolu var.

Tənliyin kökləri olduğundan kökləri ədədlər verilmiş kvadrat tənlikdir. İndi mötərizələri açıb yoxlayaq:

Bu, verilmiş kökləri olan, başqa heç bir kökü olmayan kvadrat tənliyi yaratmağımızın ilk yolu idi, çünki hər hansı kvadrat tənliyin ən çoxu iki kökü var.

Bu üsul tərs Vyeta teoreminin istifadəsini nəzərdə tutur.

Əgər tənliyin kökləridirsə, onda onlar şərti ödəyirlər ki.

Aşağı salınmış kvadrat tənlik üçün , , yəni bu halda və .

Beləliklə, verilmiş kökləri olan kvadrat tənlik yaratdıq.

Tapşırıq № 2

Fraksiyanı azaltmaq lazımdır.

Hər şeydən əvvəl, paylayıcı faktoru ayırmalısınız.

Əvvəlcə bu tənliyin faktorlara bölünə biləcəyini yoxlamaq lazımdır, gəlin diskriminantı tapaq. , işarəsi hasildən asılı olduğundan (0-dan kiçik olmalıdır), bu nümunədə, yəni verilmiş tənliyin kökləri var.

Həll etmək üçün Vyeta teoremindən istifadə edirik:

Artıq məlum olanı tənliklər sisteminə əvəz etməklə ikinci kök axtaracağıq, məsələn, , yəni. .

Beləliklə, kvadrat tənliyin hər iki kökünü tapdıq və onların dəyərlərini faktorlarla orijinal tənliyə əvəz edə bilərik:

Orijinal problemi xatırlayaq, kəsri azaltmaq lazım idi.

Əvəz etməklə problemi həll etməyə çalışaq.

Unutmamaq lazımdır ki, bu halda məxrəc 0-a bərabər ola bilməz, yəni.

Əgər bu şərtlər yerinə yetirilirsə, onda biz orijinal kəsri formaya endirmişik.

Problem №3 (parametrli tapşırıq)

Parametrin hansı dəyərlərində kvadrat tənliyin köklərinin cəmidir

Bu tənliyin kökləri varsa, onda , sual: nə vaxt.

Məhsul əldə etmək üçün polinomların genişləndirilməsi bəzən çaşqın görünə bilər. Ancaq prosesi addım-addım başa düşsəniz, bu o qədər də çətin deyil. Məqalədə kvadrat trinomialın necə faktorlara bölünməsi ətraflı təsvir edilmişdir.

Bir çox insanlar kvadrat trinomialın necə faktorlanacağını və bunun niyə edildiyini başa düşmürlər. Əvvəlcə bu, mənasız bir məşq kimi görünə bilər. Amma riyaziyyatda heç nə boş yerə edilmir. Transformasiya ifadəni sadələşdirmək və hesablama asanlığı üçün lazımdır.

Formada çoxhədli – ax²+bx+c, kvadrat üçbucaq deyilir."A" termini mənfi və ya müsbət olmalıdır. Praktikada bu ifadə kvadrat tənlik adlanır. Buna görə də bəzən bunu başqa cür deyirlər: kvadrat tənliyi necə genişləndirmək olar.

Maraqlıdır!Çoxhədli ən böyük dərəcəsinə görə kvadrat adlanır. Və trinomial - 3 komponentə görə.

Bəzi digər polinom növləri:

xətti binom (6x+8);
kub dördbucaqlı (x³+4x²-2x+9).

Kvadrat üçhəmin faktorinqi

Əvvəlcə ifadə sıfıra bərabərdir, sonra x1 və x2 köklərinin dəyərlərini tapmaq lazımdır. Kök olmaya bilər, bir və ya iki kök ola bilər. Köklərin olması diskriminant tərəfindən müəyyən edilir. Onun düsturunu əzbər bilməlisiniz: D=b²-4ac.

D nəticəsi mənfi olarsa, köklər yoxdur. Əgər müsbətdirsə, iki kök var. Nəticə sıfırdırsa, kök birdir. Köklər də formula ilə hesablanır.

Diskriminantı hesablayarkən nəticə sıfırdırsa, hər hansı bir düsturdan istifadə edə bilərsiniz. Praktikada formula sadəcə qısaldılır: -b / 2a.

Üçün düsturlar müxtəlif mənalar diskriminantlar fərqlənir.

D müsbət olarsa:

D sıfırdırsa:

Onlayn kalkulyatorlar

İnternetdə var onlayn kalkulyator. Faktorizasiyanı həyata keçirmək üçün istifadə edilə bilər. Bəzi resurslar həlli addım-addım nəzərdən keçirmək imkanı verir. Bu cür xidmətlər mövzunu daha yaxşı başa düşməyə kömək edir, ancaq onu yaxşı başa düşməyə çalışmaq lazımdır.

Faydalı video: Kvadrat üçhəmin faktorinqi

Nümunələr

Sizi baxmağa dəvət edirik sadə nümunələr, kvadrat tənliyi faktorlara necə ayırmaq olar.

Misal 1

Bu, D müsbət olduğu üçün nəticənin iki x olduğunu açıq şəkildə göstərir. Onları formulda əvəz etmək lazımdır. Köklər mənfi olarsa, düsturdakı işarə əksinə dəyişir.

Kvadrat üçhəmin faktorlara bölünməsi üçün düstur bizə məlumdur: a(x-x1)(x-x2). Dəyərləri mötərizədə qoyuruq: (x+3)(x+2/3). Gücdə termindən əvvəl heç bir rəqəm yoxdur. Bu o deməkdir ki, orada biri var, aşağı düşür.

Misal 2

Bu nümunə bir kökə malik tənliyin necə həll olunacağını aydın şəkildə göstərir.

Yaranan dəyəri əvəz edirik:

Misal 3

Verilmiş: 5x²+3x+7

Əvvəlcə əvvəlki hallarda olduğu kimi diskriminantı hesablayaq.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Diskriminant mənfidir, yəni heç bir kök yoxdur.

Nəticəni aldıqdan sonra mötərizələri açmalı və nəticəni yoxlamalısınız. Orijinal trinomial görünməlidir.

Alternativ həll

Bəzi insanlar heç vaxt diskriminatorla dostluq edə bilmədilər. Kvadrat üçhəmiyə ayırmağın başqa bir yolu var. Rahatlıq üçün üsul bir nümunə ilə göstərilmişdir.

Verilmiş: x²+3x-10

Biz bilirik ki, 2 mötərizə almalıyıq: (_) (_). İfadə belə göründükdə: x²+bx+c, hər mötərizənin əvvəlinə x: (x_)(x_) qoyuruq. Qalan iki ədəd "c" verən məhsuldur, yəni bu halda -10. Bunların hansı nömrələr olduğunu öyrənməyin yeganə yolu seçimdir. Əvəz edilmiş nömrələr qalan terminə uyğun olmalıdır.

Məsələn, aşağıdakı ədədləri vurmaq -10 verir:

-1, 10;
-10, 1;
-5, 2;
-2, 5.

(x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Yox.
(x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Yox.
(x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Yox.
(x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Uyğundur.

Bu o deməkdir ki, x2+3x-10 ifadəsinin çevrilməsi belə görünür: (x-2)(x+5).

Vacibdir!İşarələri qarışdırmamaq üçün diqqətli olmalısınız.

Kompleks trinomialın genişləndirilməsi

Əgər “a” birdən böyükdürsə, çətinliklər başlayır. Ancaq hər şey göründüyü qədər çətin deyil.

Faktorlara ayırmaq üçün əvvəlcə hər hansı bir şeyi faktorlara ayırmaq olarmı yoxlamalısınız.

Məsələn, ifadə verilmişdir: 3x²+9x-30. Burada 3 rəqəmi mötərizədən çıxarılır:

3(x²+3x-10). Nəticə artıq məlum trinomialdır. Cavab belə görünür: 3(x-2)(x+5)

Kvadratda olan termin mənfi olarsa, necə parçalanmalı? Bu zaman -1 rəqəmi mötərizədən çıxarılır. Məsələn: -x²-10x-8. Sonra ifadə belə görünəcək:

Sxem əvvəlkindən az fərqlənir. Sadəcə bir neçə yeni şey var. Tutaq ki, ifadə verilmişdir: 2x²+7x+3. Cavab da (_)(_) yerinə doldurulmalı olan 2 mötərizədə yazılır. 2-ci mötərizədə x yazılır, 1-də isə nə qalır. Bu belə görünür: (2x_)(x_). Əks halda, əvvəlki sxem təkrarlanır.

3 rəqəmi rəqəmlərlə verilir:

-1, -3;
-3, -1;
3, 1;
1, 3.

Bu ədədləri əvəz etməklə tənlikləri həll edirik. Son seçim uyğun gəlir. Bu o deməkdir ki, 2x²+7x+3 ifadəsinin çevrilməsi belə görünür: (2x+1)(x+3).

Digər hallar

Bir ifadəni çevirmək həmişə mümkün olmur. İkinci üsulla tənliyin həlli tələb olunmur. Lakin terminlərin məhsula çevrilməsi imkanı yalnız diskriminant vasitəsilə yoxlanılır.

Qərar vermək üçün məşq etməyə dəyər kvadrat tənliklər düsturlardan istifadə edərkən heç bir çətinlik olmaması üçün.

Faydalı video: trinomial faktorinq

Nəticə

İstənilən şəkildə istifadə edə bilərsiniz. Ancaq hər ikisi avtomatik hala gələnə qədər məşq etmək daha yaxşıdır. Həmçinin, həyatlarını riyaziyyatla əlaqələndirməyi planlaşdıranlar üçün kvadrat tənlikləri və faktorlu polinomları yaxşı həll etməyi öyrənmək lazımdır. Aşağıdakı bütün riyazi mövzular bunun üzərində qurulub.

Kvadrat üçhəmin faktorinqi C3 problemindən və ya C5 parametri ilə bağlı problemdən bərabərsizlikləri həll edərkən faydalı ola bilər. Həmçinin, Vyeta teoremini bilsəniz, bir çox B13 söz problemi daha sürətli həll olunacaq.

Bu teoremə, təbii ki, ilk dəfə tədris olunduğu 8-ci sinif prizmasından da baxmaq olar. Ancaq bizim vəzifəmiz Vahid Dövlət İmtahanına yaxşı hazırlaşmaq və imtahan tapşırıqlarını mümkün qədər səmərəli şəkildə həll etməyi öyrənməkdir. Buna görə də, bu dərsdə məktəbdən bir qədər fərqli bir yanaşma nəzərdən keçirilir.

Vyeta teoremindən istifadə edərək tənliyin kökləri üçün düstur Bir çox insan bilir (və ya heç olmasa görmüşdür):

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \dörd x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

burada `a, b` və `c` kvadrat üçhəcmli `ax^2+bx+c` əmsallarıdır.

Teoremdən asanlıqla istifadə etməyi öyrənmək üçün onun haradan gəldiyini anlayaq (bu, əslində yadda saxlamağı asanlaşdıracaq).

`ax^2+ bx+ c = 0` tənliyini əldə edək. Əlavə rahatlıq üçün onu `a`-a bölün və `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0` alın. Belə bir tənlik azaldılmış kvadrat tənlik adlanır.

Əhəmiyyətli dərs ideyası: kökləri olan istənilən kvadrat çoxhədli mötərizələrə genişləndirilə bilər. Fərz edək ki, bizimki `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)` şəklində təmsil oluna bilər, burada `k` və ` l` - bəzi sabitlər.

Mötərizənin necə açıldığını görək:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Beləliklə, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.

Bu klassik təfsirdən bir qədər fərqlidir Vyeta teoremi- onda biz tənliyin köklərini axtarırıq. şərtləri axtarmağı təklif edirəm mötərizənin parçalanması- beləliklə, düsturdan mənfi cəhətləri xatırlamağa ehtiyac yoxdur ("x_1+x_2 = -\frac(b)(a)" deməkdir). Cəmi orta əmsala, məhsul isə sərbəst müddətə bərabər olan iki belə ədədi seçmək kifayətdir.

Əgər tənliyin həllinə ehtiyacımız varsa, o zaman aydındır: `x=-k` və ya `x=-l` kökləri (çünki bu hallarda mötərizələrdən biri sıfır olacaq, yəni bütün ifadə sıfır olacaqdır. ).

Nümunə olaraq sizə alqoritmi göstərəcəyəm: Kvadrat polinomu mötərizələrə necə genişləndirmək olar.

Bir misal. Kvadrat üçhəmin faktorinqi üçün alqoritm

Bizdə olan yol `x^2+5x+4` kvadrant trinomialdır.

O, azaldılır (`x^2` əmsalı birinə bərabərdir). Onun kökləri var. (Əmin olmaq üçün diskriminantı təxmin edə və onun sıfırdan böyük olduğuna əmin ola bilərsiniz.)

Əlavə addımlar (bütün təlim tapşırıqlarını yerinə yetirməklə onları öyrənməlisiniz):

Aşağıdakı girişi tamamlayın: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Nöqtələr əvəzinə boş yer buraxın, biz ora əlavə edəcəyik uyğun nömrələr və işarələr.
Hamısına baxın mümkün variantlar'4' rəqəmini iki ədədin hasilinə necə parçalaya bilərsiniz. Tənliyin kökləri üçün “namizəd” cütlərini alırıq: `2, 2` və `1, 4`.
Hansı cütdən orta əmsalı ala biləcəyinizi müəyyənləşdirin. Aydındır ki, '1, 4'dür.
$$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$ yazın.
Növbəti addım daxil edilmiş nömrələrin qarşısında işarələr qoymaqdır.
Mötərizədə olan nömrələrdən əvvəl hansı işarələrin görünməli olduğunu necə başa düşmək və əbədi olaraq xatırlamaq olar? Onları açmağa çalışın (mötərizələr). Birinci gücə `x`-dən əvvəlki əmsal `(± 4 ± 1)` olacaq (hələ işarələri bilmirik - seçmək lazımdır) və `5`-ə bərabər olmalıdır. Aydındır ki, iki müsbət cəhət olacaq $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.
Bu əməliyyatı bir neçə dəfə yerinə yetirin (salam, təlim tapşırıqları!) Və daha çox problemlər bu heç vaxt olmayacaq.

Əgər `x^2+5x+4` tənliyini həll etmək lazımdırsa, indi onu həll etmək çətin olmayacaq. Onun kökləri `-4, -1`-dir.

Misal iki. Fərqli işarəli əmsallı kvadrat üçhəmin çarpayılara bölünməsi

`x^2-x-2=0` tənliyini həll etməliyik. Əlbətdə ki, diskriminant müsbətdir.

Alqoritmə əməl edirik.

$$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
İkinin tam ədədlərə bölünməsi yalnız birdir: `2 · 1`.
Nöqtəni atlayırıq - seçmək üçün heç bir şey yoxdur.
$$x^2-x-2=(x \dörd 2) (x \dörd 1).$$
Rəqəmlərimizin hasili mənfidir (`-2` sərbəst termindir), bu o deməkdir ki, onlardan biri mənfi, digəri isə müsbət olacaq.
Onların cəmi `-1`-ə (`x` əmsalı) bərabər olduğundan, `2` mənfi olacaq (intuitiv izahat budur ki, iki iki ədəddən böyükdür, o, daha güclü şəkildə "çəkəcək" mənfi tərəfi). Biz $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1) alırıq.$$

Üçüncü misal. Kvadrat üçhəmin faktorinqi

Tənlik `x^2+5x -84 = 0`-dır.

$$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
84-ün tam ədədlərə bölünməsi: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
Bizə ədədlərin fərqinin (və ya cəminin) 5 olması lazım olduğundan, biz bir cüt edəcək `7, 12`.
$$x+ 5x-84=(x\dörd 12) (x\dörd 7).$$
$$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

Ümid, bu kvadrat üçhəmin mötərizələrə genişlənməsi Aydındır.

Əgər tənliyin həllinə ehtiyacınız varsa, burada: `12, -7`.

Təlim tapşırıqları

Asanlıqla başa düşülən bir neçə nümunəni diqqətinizə çatdırıram Vyeta teoremindən istifadə etməklə həll edilir.(“Riyaziyyat” jurnalından götürülmüş nümunələr, 2002.)

`x^2+x-2=0`
`x^2-x-2=0`
`x^2+x-6=0`
`x^2-x-6=0`
`x^2+x-12=0`
`x^2-x-12=0`
`x^2+x-20=0`
`x^2-x-20=0`
`x^2+x-42=0`
`x^2-x-42=0`
`x^2+x-56=0`
`x^2-x-56=0`
`x^2+x-72=0`
`x^2-x-72=0`
`x^2+x-110=0`
`x^2-x-110=0`
`x^2+x-420=0`
`x^2-x-420=0`

Məqalə yazıldıqdan bir neçə il sonra Vyeta teoremindən istifadə edərək kvadrat polinomu genişləndirmək üçün 150 tapşırıq toplusu ortaya çıxdı.

Bəyənin və şərhlərdə suallar verin!