Triqonometrik düsturlar xüsusi hallardır. Triqonometrik tənliklərin həlli

Mövzu üzrə dərs və təqdimat: "Sadə triqonometrik tənliklərin həlli"

Əlavə materiallar
Hörmətli istifadəçilər, şərhlərinizi, rəylərinizi, arzularınızı bildirməyi unutmayın! Bütün materiallar antivirus proqramı ilə yoxlanılıb.

1C-dən 10-cu sinif üçün Integral onlayn mağazasında dərsliklər və simulyatorlar
Həndəsə məsələləri həll edirik. Kosmosda tikinti üçün interaktiv tapşırıqlar
Proqram mühiti "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Nə öyrənəcəyik:
1. Triqonometrik tənliklər hansılardır?

3. Triqonometrik tənliklərin həlli üçün iki əsas üsul.
4. Bircins triqonometrik tənliklər.
5. Nümunələr.

Triqonometrik tənliklər nədir?

Uşaqlar, biz artıq arksinüs, arkkosinus, arktangens və arkkotangenti öyrənmişik. İndi isə ümumi olaraq triqonometrik tənliklərə nəzər salaq.

Triqonometrik tənliklər triqonometrik funksiyanın işarəsi altında dəyişənin olduğu tənliklərdir.

Ən sadə triqonometrik tənliklərin həlli formasını təkrarlayaq:

1) |a|≤ 1 olarsa, cos(x) = a tənliyinin həlli var:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) |a|≤ 1 olarsa, sin(x) = a tənliyinin həlli var:

3) Əgər |a| > 1, onda sin(x) = a və cos(x) = a tənliyinin həlli yoxdur 4) tg(x)=a tənliyinin həlli var: x=arctg(a)+ πk

5) ctg(x)=a tənliyinin həlli var: x=arcctg(a)+ πk

Bütün düsturlar üçün k tam ədəddir

Ən sadə triqonometrik tənliklər aşağıdakı formada olur: T(kx+m)=a, T bəzi triqonometrik funksiyadır.

Tənlikləri həll edin: a) sin(3x)= √3/2

Həll:

A) 3x=t işarəsi verək, onda tənliyimizi yenidən aşağıdakı formada yazacağıq:

Bu tənliyin həlli belə olacaq: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Dəyərlər cədvəlindən alırıq: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Dəyişənimizə qayıdaq: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Onda x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Cavab: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, burada n tam ədəddir. (-1)^n – n-in gücünə mənfi bir.

Triqonometrik tənliklərin daha çox nümunələri.

Həll:

A) Bu dəfə birbaşa tənliyin köklərini hesablamağa keçək:

X/5= ± arkkos(1) + 2πk. Onda x/5= πk => x=5πk

Cavab: x=5πk, burada k tam ədəddir.

B) Bunu aşağıdakı formada yazırıq: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Biz bilirik ki: arktan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Cavab: x=2π/9 + πk/3, burada k tam ədəddir.

Tənlikləri həll edin: cos(4x)= √2/2. Və seqmentdəki bütün kökləri tapın.

Həll:

Tənliyimizi ümumi formada həll edək: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

İndi seqmentimizə hansı köklərin düşdüyünü görək. k-da k=0, x= π/16-da biz verilmiş seqmentdəyik.
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 ilə yenidən vururuq.
k=2 üçün x= π/16+ π=17π/16, lakin burada biz vurmadıq, bu o deməkdir ki, böyük k üçün biz də açıq şəkildə vurmayacağıq.

Cavab: x= π/16, x= 9π/16

İki əsas həll yolu.

Tənliyi həll edək:

Həll:
Tənliyimizi həll etmək üçün yeni dəyişəni təqdim etmək üsulundan istifadə edəcəyik: t=tg(x).

Əvəzetmə nəticəsində əldə edirik: t 2 + 2t -1 = 0

Kvadrat tənliyin köklərini tapaq: t=-1 və t=1/3

Onda tg(x)=-1 və tg(x)=1/3 olarsa, ən sadə triqonometrik tənliyi alırıq, onun köklərini tapaq.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Cavab: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Tənliyin həlli nümunəsi

Tənlikləri həll edin: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Həll:

Gəlin eynilikdən istifadə edək: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Tənliyimiz aşağıdakı formanı alacaq: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

t=cos(x) əvəzini təqdim edək: 2t 2 -3t - 2 = 0

Kvadrat tənliyimizin həlli köklərdir: t=2 və t=-1/2

Onda cos(x)=2 və cos(x)=-1/2.

Çünki kosinus birdən böyük dəyərlər qəbul edə bilməz, onda cos(x)=2-nin kökü yoxdur.

cos(x)=-1/2 üçün: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Cavab: x= ±2π/3 + 2πk

Homojen triqonometrik tənliklər.

Formanın tənlikləri

ikinci dərəcəli homogen triqonometrik tənliklər.

Birinci dərəcəli homojen triqonometrik tənliyi həll etmək üçün onu cos(x)-ə bölün: Əgər kosinusu sıfıra bərabərdirsə, ona bölmək olmaz, gəlin əmin edək ki, belə deyil:
Qoy cos(x)=0, onda asin(x)+0=0 => sin(x)=0, lakin sinus və kosinus eyni vaxtda sıfıra bərabər deyil, bir ziddiyyət alırıq, beləliklə təhlükəsiz şəkildə bölmək olar. sıfırla.

Tənliyi həll edin:
Misal: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Həll:

Ümumi amili çıxaraq: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Sonra iki tənliyi həll etməliyik:

Cos(x)=0 və cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 at x= π/2 + πk;

cos(x)+sin(x)=0 tənliyini nəzərdən keçirək tənliyimizi cos(x)-a bölün:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Cavab: x= π/2 + πk və x= -π/4+πk

İkinci dərəcəli homogen triqonometrik tənlikləri necə həll etmək olar?
Uşaqlar, həmişə bu qaydalara əməl edin!

1. Baxın a əmsalı nəyə bərabərdir, əgər a=0 olarsa, onda tənliyimiz cos(x)(bsin(x)+ccos(x)) formasını alacaq, bunun həlli nümunəsi əvvəlki slayddadır.

2. Əgər a≠0 olarsa, onda tənliyin hər iki tərəfini kosinusun kvadratına bölmək lazımdır, alırıq:

t=tg(x) dəyişənini dəyişib tənliyi alırıq:

Nümunəni həll edin: 3

Tənliyin hər iki tərəfini kosinus kvadratına bölək:

t=tg(x) dəyişənini dəyişirik: t 2 + 2 t - 3 = 0

Kvadrat tənliyin köklərini tapaq: t=-3 və t=1

Onda: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Cavab: x=-arctg(3) + πk və x= π/4+ πk

Nümunə №: 4-ü həll edin

Həll:
İfadəmizi çevirək:

Belə tənlikləri həll edə bilərik: x= - π/4 + 2πk və x=5π/4 + 2πk

Cavab: x= - π/4 + 2πk və x=5π/4 + 2πk

Nümunəni həll edin: 5

Həll:
İfadəmizi çevirək:

tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 əvəzini təqdim edək

Kvadrat tənliyimizin həlli köklər olacaq: t=-2 və t=1/2

Onda alırıq: tg(2x)=-2 və tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Cavab: x=-arctg(2)/2 + πk/2 və x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Müstəqil həll üçün problemlər.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Tənlikləri həll edin: sin(3x)= √3/2. Və [π/2 seqmentindəki bütün kökləri tapın; π].

3) Tənliyi həll edin: çarpayı 2 (x) + 2 çarpayı (x) + 1 =0

4) Tənliyi həll edin: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Tənliyi həll edin: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Tənliyi həll edin: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Probleminizin ətraflı həllini sifariş edə bilərsiniz!!!

Triqonometrik funksiyanın işarəsi altında naməlum olan bərabərliyə (`sin x, cos x, tan x` və ya `ctg x`) triqonometrik tənlik deyilir və daha sonra nəzərdən keçirəcəyimiz onların düsturlarıdır.

Ən sadə tənliklər `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`dır, burada `x` tapılacaq bucaq, `a` istənilən ədəddir. Onların hər biri üçün kök düsturlarını yazaq.

1. `sin x=a` tənliyi.

`|a|>1` üçün onun həlli yoxdur.

Nə zaman `|a| \leq 1` sonsuz sayda həllə malikdir.

Kök düsturu: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. `cos x=a` tənliyi

`|a|>1` üçün - sinus vəziyyətində olduğu kimi, onun həqiqi ədədlər arasında həlli yoxdur.

Nə zaman `|a| \leq 1` sonsuz sayda həllə malikdir.

Kök düsturu: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Qrafiklərdə sinus və kosinus üçün xüsusi hallar.

3. `tg x=a` tənliyi

İstənilən `a` dəyəri üçün sonsuz sayda həll yolu var.

Kök düsturu: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. `ctg x=a` tənliyi

Həmçinin hər hansı `a` dəyəri üçün sonsuz sayda həll yolu var.

Kök düsturu: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Cədvəldəki triqonometrik tənliklərin kökləri üçün düsturlar

Sinus üçün:
Kosinus üçün:
Tangens və kotangens üçün:
Tərkibində tərs triqonometrik funksiyalar olan tənliklərin həlli üçün düsturlar:

Triqonometrik tənliklərin həlli üsulları

İstənilən triqonometrik tənliyin həlli iki mərhələdən ibarətdir:

• onu ən sadəyə çevirmək köməyi ilə;
• kök düsturları və yuxarıda yazılmış cədvəllərdən istifadə edərək əldə edilən ən sadə tənliyi həll edin.

Nümunələrdən istifadə edərək əsas həll üsullarına baxaq.

Cəbri üsul.

Bu üsul dəyişəni əvəz etməyi və onu bərabərliklə əvəz etməyi əhatə edir.

Misal. Tənliyi həll edin: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

əvəz edin: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, sonra `2y^2-3y+1=0`,

kökləri tapırıq: `y_1=1, y_2=1/2`, ondan iki hal gəlir:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Cavab: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizasiya.

Misal. Tənliyi həll edin: `sin x+cos x=1`.

Həll. Bərabərliyin bütün şərtlərini sola keçirək: `sin x+cos x-1=0`. istifadə edərək, sol tərəfi çevirib faktorlara ayırırıq:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Cavab: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Homojen tənliyə endirmə

Əvvəlcə bu triqonometrik tənliyi iki formadan birinə endirməlisiniz:

`a sin x+b cos x=0` (birinci dərəcəli homogen tənlik) və ya `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ikinci dərəcəli bircins tənlik).

Sonra hər iki hissəni birinci hal üçün `cos x \ne 0`, ikinci üçün isə `cos^2 x \ne 0` ilə bölün. Biz `tg x` üçün tənlikləri əldə edirik: `a tg x+b=0` və `a tg^2 x + b tg x +c =0`, məlum üsullarla həll edilməlidir.

Misal. Tənliyi həll edin: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Həll. Sağ tərəfi `1=sin^2 x+cos^2 x` kimi yazaq:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Bu, ikinci dərəcəli homogen triqonometrik tənlikdir, onun sol və sağ tərəflərini `cos^2 x \ne 0`-ə bölürük, alırıq:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. `t^2 + t - 2=0` ilə nəticələnən `tg x=t` əvəzini təqdim edək. Bu tənliyin kökləri `t_1=-2` və `t_2=1`-dir. Sonra:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \Z`-də.

Cavab verin. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \Z-də`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \Z-də`.

Yarım bucağa keçid

Misal. Tənliyi həll edin: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Həll. Gəlin ikiqat bucaq düsturlarını tətbiq edək, nəticədə: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tq^2 x/2 — 11 tq x/2 +6=0`

Yuxarıda təsvir olunan cəbri metodu tətbiq edərək, əldə edirik:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Cavab verin. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Köməkçi bucağın tətbiqi

`a sin x + b cos x =c` triqonometrik tənliyində, burada a,b,c əmsallar və x dəyişəndir, hər iki tərəfi `sqrt (a^2+b^2)`-ə bölün:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Sol tərəfdəki əmsallar sinus və kosinus xüsusiyyətlərinə malikdir, yəni onların kvadratlarının cəmi 1-ə bərabərdir və modulları 1-dən böyük deyil. Onları aşağıdakı kimi işarə edək: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, onda:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Aşağıdakı nümunəyə daha yaxından nəzər salaq:

Misal. Tənliyi həll edin: `3 sin x+4 cos x=2`.

Həll. Bərabərliyin hər iki tərəfini `sqrt (3^2+4^2)` ​​ilə bölsək, alırıq:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt) (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

`3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` işarə edək. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` olduğundan, köməkçi bucaq kimi `\varphi=arcsin 4/5` götürürük. Sonra bərabərliyimizi formada yazırıq:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Sinus üçün bucaqların cəmi düsturunu tətbiq edərək bərabərliyimizi aşağıdakı formada yazırıq:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Cavab verin. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Fraksiyalı rasional triqonometrik tənliklər

Bunlar say və məxrəclərində triqonometrik funksiyalar olan kəsrlərlə bərabərliklərdir.

Misal. Tənliyi həll edin. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Həll. Bərabərliyin sağ tərəfini `(1+cos x)`-ə vurun və bölün. Nəticədə əldə edirik:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Məxrəcin sıfıra bərabər ola bilməyəcəyini nəzərə alsaq, Z`-də `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \ alırıq.

Kəsirin payını sıfıra bərabər tutaq: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Sonra `sin x=0` və ya `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Nəzərə alsaq ki, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, həllər `x=2\pi n, n \in Z` və `x=\pi /2+2\pi n`-dir. , `n \in Z`.

Cavab verin. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Triqonometriya və xüsusən də triqonometrik tənliklər həndəsə, fizika və mühəndisliyin demək olar ki, bütün sahələrində istifadə olunur. Təhsil 10-cu sinifdə başlayır, Vahid Dövlət İmtahanı üçün həmişə tapşırıqlar var, buna görə də triqonometrik tənliklərin bütün düsturlarını yadda saxlamağa çalışın - onlar mütləq sizin üçün faydalı olacaqlar!

Ancaq onları əzbərləməyə belə ehtiyac yoxdur, əsas odur ki, mahiyyəti başa düşəsən və onu çıxara biləsən. Göründüyü qədər çətin deyil. Videoya baxaraq özünüz baxın.

Triqonometriyanın əsas düsturlarını - sinus və kosinusun kvadratlarının cəmini, sinus və kosinus vasitəsilə tangensin ifadəsini və s. bilikləri tələb edir. Onları unutmuş və ya bilməyənlər üçün "" məqaləsini oxumağı məsləhət görürük.
Beləliklə, biz əsas triqonometrik düsturları bilirik, onlardan praktikada istifadə etməyin vaxtı gəldi. Triqonometrik tənliklərin həlli düzgün yanaşma ilə, məsələn, Rubik kubunu həll etmək kimi olduqca maraqlı bir fəaliyyətdir.

Adın özünə əsaslanaraq aydın olur ki, triqonometrik tənlik naməlumun triqonometrik funksiyanın işarəsi altında olduğu tənlikdir.
Ən sadə triqonometrik tənliklər var. Onlar belə görünür: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Gəlin nəzərdən keçirək belə triqonometrik tənlikləri necə həll etmək olar, aydınlıq üçün artıq tanış olan triqonometrik dairədən istifadə edəcəyik.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

çarpayı x = a

İstənilən triqonometrik tənlik iki mərhələdə həll olunur: biz tənliyi ən sadə formaya salırıq və sonra onu sadə triqonometrik tənlik kimi həll edirik.
Triqonometrik tənliklərin həlli üçün 7 əsas üsul var.

1. Dəyişən əvəzetmə və əvəzetmə üsulu

2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0 tənliyini həll edin

Azaltma düsturlarından istifadə edərək əldə edirik:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Sadələşdirmək və adi kvadrat tənliyi əldə etmək üçün cos(x + /6) y ilə əvəz edin:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Kökləri y 1 = 1, y 2 = 1/2 olan

İndi tərs qaydada gedək

Tapılmış y dəyərlərini əvəz edirik və iki cavab variantı alırıq:

2. Triqonometrik tənliklərin faktorlara ayırma yolu ilə həlli

sin x + cos x = 1 tənliyini necə həll etmək olar?

Gəlin hər şeyi sola aparaq ki, 0 sağda qalsın:

sin x + cos x – 1 = 0

Tənliyi sadələşdirmək üçün yuxarıda müzakirə edilən eyniliklərdən istifadə edək:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Faktorlara ayıraq:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

İki tənlik alırıq

3. Homojen tənliyə endirmə

Bir tənlik sinus və kosinus baxımından homojendir, əgər onun bütün şərtləri eyni bucağın eyni qüvvəsinin sinus və kosinusuna nisbidirsə. Homojen bir tənliyi həll etmək üçün aşağıdakıları yerinə yetirin:

a) bütün üzvlərini sol tərəfə köçürmək;

b) bütün ümumi amilləri mötərizədən çıxarın;

c) bütün amilləri və mötərizələri 0-a bərabərləşdirmək;

d) mötərizədə daha aşağı dərəcəli bircinsli tənlik alınır ki, bu da öz növbəsində daha yüksək dərəcəli sinus və ya kosinusa bölünür;

e) tg üçün yaranan tənliyi həll edin.

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 tənliyini həll edin

sin 2 x + cos 2 x = 1 düsturundan istifadə edək və sağdakı açıq ikidən xilas olaq:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

cos x-ə bölün:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

tan x-i y ilə əvəz edin və kvadrat tənlik alın:

y 2 + 4y +3 = 0, kökləri y 1 =1, y 2 = 3

Buradan orijinal tənliyin iki həllini tapırıq:

x 2 = arktan 3 + k

4. Yarım bucağa keçid yolu ilə tənliklərin həlli

3sin x – 5cos x = 7 tənliyini həll edin

Gəlin x/2-yə keçək:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Hər şeyi sola köçürək:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

cos(x/2) ilə bölün:

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Köməkçi bucağın tətbiqi

Nəzərə almaq üçün formanın tənliyini götürək: a sin x + b cos x = c,

burada a, b, c bəzi ixtiyari əmsallardır, x isə naməlumdur.

Tənliyin hər iki tərəfini aşağıdakılara bölək:



İndi tənliyin əmsalları, triqonometrik düsturlara görə, sin və cos xassələrinə malikdir, yəni: onların modulu 1-dən çox deyil və kvadratların cəmi = 1. Onları müvafiq olaraq cos və sin kimi işarə edək, burada - bu köməkçi bucaq deyilən. Sonra tənlik aşağıdakı formanı alacaq:

cos * sin x + sin * cos x = C

və ya sin(x + ) = C

Bu ən sadə triqonometrik tənliyin həlli belədir

x = (-1) k * arcsin C - + k, burada



Qeyd etmək lazımdır ki, cos və sin qeydləri bir-birini əvəz edir.

sin 3x – cos 3x = 1 tənliyini həll edin

Bu tənlikdəki əmsallar:

a =, b = -1, buna görə də hər iki tərəfi = 2-yə bölün

Çoxlarını həll edərkən riyazi problemlər, xüsusilə 10-cu sinifdən əvvəl baş verənlər, məqsədə aparacaq həyata keçirilən hərəkətlərin sırası aydın şəkildə müəyyən edilir. Belə məsələlərə, məsələn, xətti və kvadrat tənliklər, xətti və kvadrat bərabərsizliklər, kəsr tənlikləri və kvadratlara endirilən tənliklər daxildir. Qeyd olunan problemlərin hər birinin uğurla həlli prinsipi belədir: hansı növ problemi həll etdiyinizi müəyyənləşdirməlisiniz, istədiyiniz nəticəyə gətirib çıxaracaq zəruri hərəkət ardıcıllığını xatırlamalısınız, yəni. cavab verin və bu addımları izləyin.

Aydındır ki, müəyyən bir problemin həllində uğur və ya uğursuzluq, əsasən, həll olunan tənliyin növünün nə dərəcədə düzgün müəyyən edilməsindən, onun həllinin bütün mərhələlərinin ardıcıllığının nə qədər düzgün əks etdirilməsindən asılıdır. Əlbəttə ki, bu halda eyni çevrilmələri və hesablamaları yerinə yetirmək üçün bacarıqlara sahib olmaq lazımdır.

ilə vəziyyət fərqlidir triqonometrik tənliklər. Tənliyin triqonometrik olduğunu müəyyən etmək heç də çətin deyil. Düzgün cavaba səbəb olacaq hərəkətlərin ardıcıllığını təyin edərkən çətinliklər yaranır.

Tənliyin görünüşünə əsasən onun növünü müəyyən etmək bəzən çətin olur. Tənliyin növünü bilmədən bir neçə onlarla triqonometrik düsturdan düzgün birini seçmək demək olar ki, mümkün deyil.

Triqonometrik tənliyi həll etmək üçün cəhd etməlisiniz:

1. tənliyə daxil olan bütün funksiyaları “eyni bucaqlara” gətirin;
2. tənliyi “eyni funksiyalara” gətirin;
3. tənliyin sol tərəfini faktorla çıxarın və s.

Gəlin nəzərdən keçirək triqonometrik tənliklərin həlli üçün əsas üsulları.

I. Ən sadə triqonometrik tənliklərə endirmə

Həll diaqramı

Addım 1. Triqonometrik funksiyanı məlum komponentlərlə ifadə edin.

Addım 2. Düsturlardan istifadə edərək funksiya arqumentini tapın:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arktan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Addım 3. Naməlum dəyişəni tapın.

Misal.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Həll.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Cavab: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Dəyişən dəyişdirmə

Həll diaqramı

Addım 1. Triqonometrik funksiyalardan birinə münasibətdə tənliyi cəbri formaya endirin.

Addım 2. Yaranan funksiyanı t dəyişəni ilə işarələyin (lazım olduqda t-yə məhdudiyyətlər tətbiq edin).

Addım 3. Yaranan cəbr tənliyini yazın və həll edin.

Addım 4.Əks dəyişdirmə edin.

Addım 5.Ən sadə triqonometrik tənliyi həll edin.

Misal.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Həll.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Qoy sin (x/2) = t, burada |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 və ya e = -3/2, |t| şərtini ödəmir ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Cavab: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Tənlik sırasının azaldılması üsulu

Həll diaqramı

Addım 1. Dərəcəni azaltmaq üçün düsturdan istifadə edərək bu tənliyi xətti ilə əvəz edin:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Addım 2. I və II üsullardan istifadə edərək yaranan tənliyi həll edin.

Misal.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Həll.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Cavab: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homojen tənliklər

Həll diaqramı

Addım 1. Bu tənliyi formaya endirin

a) sin x + b cos x = 0 (birinci dərəcəli homojen tənlik)

və ya mənzərəyə

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ikinci dərəcəli bircins tənlik).

Addım 2. Tənliyin hər iki tərəfini bölün

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

və tan x üçün tənliyi alın:

a) tan x + b = 0;

b) tan 2 x + b arktan x + c = 0.

Addım 3. Məlum üsullardan istifadə edərək tənliyi həll edin.

Misal.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Həll.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) O zaman tg x = t olsun

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 və ya t = -4, yəni

tg x = 1 və ya tg x = -4.

Birinci tənlikdən x = π/4 + πn, n Є Z; ikinci tənlikdən x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Cavab: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Triqonometrik düsturlardan istifadə edərək tənliyin çevrilməsi üsulu

Həll diaqramı

Addım 1. Bütün mümkün triqonometrik düsturlardan istifadə edərək, bu tənliyi I, II, III, IV üsullarla həll olunan tənliyə endirin.

Addım 2. Alınan tənliyi məlum üsullardan istifadə edərək həll edin.

Misal.

günah x + günah 2x + günah 3x = 0.

Həll.

1) (günah x + günah 3x) + günah 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 və ya 2cos x + 1 = 0;

Birinci tənlikdən 2x = π/2 + πn, n Є Z; ikinci tənlikdən cos x = -1/2.

Bizdə x = π/4 + πn/2, n Є Z; ikinci tənlikdən x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Nəticədə x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Cavab: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Triqonometrik tənlikləri həll etmək bacarığı və bacarığı çox yüksəkdir vacibdir, onların inkişafı həm şagird, həm də müəllim tərəfindən əhəmiyyətli səy tələb edir.

Stereometriyanın, fizikanın və s.-nin bir çox məsələləri triqonometrik tənliklərin həlli ilə əlaqədardır.

Riyaziyyatın öyrənilməsi və ümumilikdə şəxsi inkişaf prosesində triqonometrik tənliklər mühüm yer tutur.

Hələ suallarınız var? Triqonometrik tənlikləri necə həll edəcəyinizi bilmirsiniz?
Repetitordan kömək almaq üçün qeydiyyatdan keçin.
İlk dərs ödənişsizdir!

vebsayt, materialı tam və ya qismən köçürərkən mənbəyə keçid tələb olunur.

"A alın" video kursu 60-65 balla riyaziyyat üzrə Vahid Dövlət İmtahanını uğurla vermək üçün lazım olan bütün mövzuları əhatə edir. Riyaziyyatdan Profil Vahid Dövlət İmtahanının 1-13-cü tapşırıqlarını tamamlayın. Riyaziyyatdan Əsas Vahid Dövlət İmtahanından keçmək üçün də uyğundur. Vahid Dövlət İmtahanından 90-100 balla keçmək istəyirsinizsə, 1-ci hissəni 30 dəqiqə ərzində və səhvsiz həll etməlisiniz!

10-11-ci siniflər, eləcə də müəllimlər üçün Vahid Dövlət İmtahanına hazırlıq kursu. Riyaziyyatdan Vahid Dövlət İmtahanının 1-ci hissəsini (ilk 12 məsələ) və 13-cü məsələni (triqonometriya) həll etmək üçün lazım olan hər şey. Və bu, Vahid Dövlət İmtahanında 70 baldan çoxdur və nə 100 ballıq tələbə, nə də humanitar fənlər tələbəsi onlarsız edə bilməz.

Bütün lazımi nəzəriyyə. Vahid Dövlət İmtahanının sürətli həlləri, tələləri və sirləri. FIPI Tapşırıq Bankından 1-ci hissənin bütün cari tapşırıqları təhlil edilmişdir. Kurs 2018-ci il Vahid Dövlət İmtahanının tələblərinə tam cavab verir.

Kurs hər biri 2,5 saat olmaqla 5 böyük mövzudan ibarətdir. Hər bir mövzu sıfırdan, sadə və aydın şəkildə verilir.

Yüzlərlə Vahid Dövlət İmtahan tapşırığı. Söz problemləri və ehtimal nəzəriyyəsi. Problemlərin həlli üçün sadə və yaddaqalan alqoritmlər. Həndəsə. Nəzəriyyə, istinad materialı, bütün növ Vahid Dövlət İmtahanı tapşırıqlarının təhlili. Stereometriya. Çətin həllər, faydalı fırıldaq vərəqləri, məkan təxəyyülünün inkişafı. Sıfırdan problemə triqonometriya 13. Sıxmaq əvəzinə başa düşmək. Mürəkkəb anlayışların aydın izahları. Cəbr. Köklər, səlahiyyətlər və loqarifmlər, funksiya və törəmə. Vahid Dövlət İmtahanının 2-ci hissəsinin mürəkkəb problemlərinin həlli üçün əsas.