Triqonometrik kotangent tənliklərin həlli. Triqonometrik tənliklərin həlli üçün əsas üsullar

Triqonometriyanın əsas düsturlarını - sinus və kosinusun kvadratlarının cəmini, sinus və kosinus vasitəsilə tangensin ifadəsini və s. bilikləri tələb edir. Onları unutmuş və ya bilməyənlər üçün "" məqaləsini oxumağı məsləhət görürük.
Beləliklə, biz əsas triqonometrik düsturları bilirik, onlardan praktikada istifadə etməyin vaxtı gəldi. Triqonometrik tənliklərin həlli düzgün yanaşma ilə, məsələn, Rubik kubunu həll etmək kimi olduqca maraqlı bir fəaliyyətdir.

Adın özünə əsaslanaraq aydın olur ki, triqonometrik tənlik naməlumun triqonometrik funksiyanın işarəsi altında olduğu tənlikdir.
Ən sadə triqonometrik tənliklər var. Onlar belə görünür: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Gəlin nəzərdən keçirək belə triqonometrik tənlikləri necə həll etmək olar, aydınlıq üçün artıq tanış olan triqonometrik dairədən istifadə edəcəyik.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

çarpayı x = a

İstənilən triqonometrik tənlik iki mərhələdə həll olunur: biz tənliyi ən sadə formaya salırıq və sonra onu sadə triqonometrik tənlik kimi həll edirik.
Triqonometrik tənliklərin həlli üçün 7 əsas üsul var.

1. Dəyişən əvəzetmə və əvəzetmə üsulu

2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0 tənliyini həll edin

Azaltma düsturlarından istifadə edərək əldə edirik:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Sadələşdirmək və adi kvadrat tənliyi əldə etmək üçün cos(x + /6) y ilə əvəz edin:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Kökləri y 1 = 1, y 2 = 1/2 olan

İndi tərs qaydada gedək

Tapılmış y dəyərlərini əvəz edirik və iki cavab variantı alırıq:

2. Faktorlara ayırma yolu ilə triqonometrik tənliklərin həlli

sin x + cos x = 1 tənliyini necə həll etmək olar?

Gəlin hər şeyi sola aparaq ki, 0 sağda qalsın:

sin x + cos x – 1 = 0

Tənliyi sadələşdirmək üçün yuxarıda müzakirə edilən eyniliklərdən istifadə edək:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Faktorlara ayıraq:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

İki tənlik alırıq

3. Homojen tənliyə endirmə

Bir tənlik sinus və kosinus baxımından homojendir, əgər onun bütün şərtləri eyni bucağın eyni qüvvəsinin sinus və kosinusuna nisbidirsə. Homojen bir tənliyi həll etmək üçün aşağıdakıları yerinə yetirin:

a) bütün üzvlərini sol tərəfə köçürmək;

b) mötərizədə bütün ümumi amilləri çıxarmaq;

c) bütün amilləri və mötərizələri 0-a bərabərləşdirmək;

d) mötərizədə daha aşağı dərəcəli bircinsli tənlik alınır ki, bu da öz növbəsində daha yüksək dərəcəli sinus və ya kosinusa bölünür;

e) tg üçün yaranan tənliyi həll edin.

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 tənliyini həll edin

sin 2 x + cos 2 x = 1 düsturundan istifadə edək və sağdakı açıq ikidən xilas olaq:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

cos x-ə bölün:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

tan x-i y ilə əvəz edin və kvadrat tənlik alın:

y 2 + 4y +3 = 0, kökləri y 1 =1, y 2 = 3

Buradan orijinal tənliyin iki həllini tapırıq:

x 2 = arktan 3 + k

4. Yarım bucağa keçid yolu ilə tənliklərin həlli

3sin x – 5cos x = 7 tənliyini həll edin

Gəlin x/2-yə keçək:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Hər şeyi sola köçürək:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

cos(x/2) ilə bölün:

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Köməkçi bucağın tətbiqi

Nəzərə almaq üçün formanın tənliyini götürək: a sin x + b cos x = c,

burada a, b, c bəzi ixtiyari əmsallardır, x isə naməlumdur.

Tənliyin hər iki tərəfini aşağıdakılara bölək:



İndi tənliyin əmsalları, triqonometrik düsturlara görə, sin və cos xassələrinə malikdir, yəni: onların modulu 1-dən çox deyil və kvadratların cəmi = 1. Onları müvafiq olaraq cos və sin kimi işarə edək, burada - bu köməkçi bucaq deyilən. Sonra tənlik aşağıdakı formanı alacaq:

cos * sin x + sin * cos x = C

və ya sin(x + ) = C

Bu ən sadə triqonometrik tənliyin həlli belədir

x = (-1) k * arcsin C - + k, burada



Qeyd etmək lazımdır ki, cos və sin qeydləri bir-birini əvəz edir.

sin 3x – cos 3x = 1 tənliyini həll edin

Bu tənlikdəki əmsallar:

a =, b = -1, buna görə də hər iki tərəfi = 2-yə bölün

Triqonometrik tənliklərin həlli üçün əsas üsullar bunlardır: tənlikləri ən sadəə endirmək (triqonometrik düsturlardan istifadə etməklə), yeni dəyişənlərin tətbiqi və faktorinq. Onların istifadəsinə nümunələrlə baxaq. Triqonometrik tənliklərin həllərinin yazılması formatına diqqət yetirin.

Triqonometrik tənlikləri uğurla həll etmək üçün zəruri şərt triqonometrik düsturları bilməkdir (6-cı işin 13-cü mövzusu).

Nümunələr.

1. Ən sadəə endirilən tənliklər.

1) Tənliyi həll edin

Həll:

Cavab:

2) Tənliyin köklərini tapın

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, seqmentə aiddir.

Həll:

Cavab:

2. Kvadrata endirən tənliklər.

1) 2 sin 2 x – cosx –1 = 0 tənliyini həll edin.

Həll: sin 2 x = 1 – cos 2 x düsturundan istifadə edərək əldə edirik

Cavab:

2) cos 2x = 1 + 4 cosx tənliyini həll edin.

Həll: cos 2x = 2 cos 2 x – 1 düsturundan istifadə edərək, alırıq

Cavab:

3) tgx – 2ctgx + 1 = 0 tənliyini həll edin

Həll:

Cavab:

3. Homojen tənliklər

1) 2sinx – 3cosx = 0 tənliyini həll edin

Həlli: Qoy cosx = 0, sonra 2sinx = 0 və sinx = 0 – sin 2 x + cos 2 x = 1 olması ilə ziddiyyət. Bu cosx ≠ 0 deməkdir və biz tənliyi cosx-a bölmək olar. alırıq

Cavab:

2) 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x tənliyini həll edin

Həll:

1 = sin 2 x + cos 2 x və sin 2x = 2 sinxcosx düsturlarından istifadə edirik, alırıq

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Qoy cosx = 0, sonra sin 2 x = 0 və sinx = 0 – sin 2 x + cos 2 x = 1 olması ilə ziddiyyət təşkil edir.
Bu cosx ≠ 0 deməkdir və biz tənliyi cos 2 x-ə bölmək olar . alırıq

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
tgx = y işarəsi verək
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arktan2 + 2 k, k .

Cavab: arctg4 + 2 k, arktan2 + 2 k, k

4. Formanın tənlikləri a sinx + b cosx = s, s≠ 0.

1) Tənliyi həll edin.

Həll:

Cavab:

5. Faktorlara ayırma yolu ilə həll olunan tənliklər.

1) sin2x – sinx = 0 tənliyini həll edin.

Tənliyin kökü f (X) = φ ( X) yalnız 0 rəqəmi kimi xidmət edə bilər. Bunu yoxlayaq:

cos 0 = 0 + 1 – bərabərlik doğrudur.

0 rəqəmi bu tənliyin yeganə köküdür.

Cavab: 0.

Məxfiliyinizi qorumaq bizim üçün vacibdir. Bu səbəbdən biz sizin məlumatlarınızı necə istifadə etdiyimizi və saxladığımızı təsvir edən Məxfilik Siyasəti hazırlamışıq. Zəhmət olmasa məxfilik təcrübələrimizi nəzərdən keçirin və hər hansı sualınız olarsa, bizə bildirin.

Şəxsi məlumatların toplanması və istifadəsi

Şəxsi məlumat müəyyən bir şəxsi müəyyən etmək və ya əlaqə saxlamaq üçün istifadə edilə bilən məlumatlara aiddir.

İstənilən vaxt bizimlə əlaqə saxladığınız zaman sizdən şəxsi məlumatlarınızı təqdim etməyiniz tələb oluna bilər.

Aşağıda toplaya biləcəyimiz şəxsi məlumat növlərinə və bu cür məlumatlardan necə istifadə edə biləcəyimizə dair bəzi nümunələr verilmişdir.

Hansı şəxsi məlumatları toplayırıq:

• Saytda ərizə təqdim etdiyiniz zaman biz müxtəlif məlumatlar, o cümlədən adınız, telefon nömrəniz, e-poçt ünvanınız və s.

Şəxsi məlumatlarınızı necə istifadə edirik:

• Topladığımız şəxsi məlumatlar bizə unikal təkliflər, promosyonlar və digər tədbirlər və qarşıdan gələn tədbirlərlə bağlı sizinlə əlaqə saxlamağa imkan verir.
• Zaman-zaman biz sizin şəxsi məlumatlarınızdan vacib bildirişlər və kommunikasiyalar göndərmək üçün istifadə edə bilərik.
• Təqdim etdiyimiz xidmətləri təkmilləşdirmək və sizə xidmətlərimizlə bağlı tövsiyələr vermək üçün auditlərin aparılması, məlumatların təhlili və müxtəlif tədqiqatların aparılması kimi şəxsi məlumatlardan daxili məqsədlər üçün də istifadə edə bilərik.
• Əgər siz uduş tirajında, müsabiqədə və ya oxşar təşviqatda iştirak edirsinizsə, biz bu cür proqramları idarə etmək üçün təqdim etdiyiniz məlumatdan istifadə edə bilərik.

Üçüncü tərəflərə məlumatların açıqlanması

Sizdən alınan məlumatları üçüncü tərəflərə açıqlamırıq.

İstisnalar:

• Zəruri hallarda - qanuna uyğun olaraq, məhkəmə qaydasında, məhkəmə prosesində və/və ya ictimai sorğular və ya Rusiya Federasiyasının ərazisində dövlət orqanlarının sorğuları əsasında - şəxsi məlumatlarınızı açıqlamaq. Bu cür açıqlamanın təhlükəsizlik, hüquq-mühafizə və ya digər ictimai əhəmiyyətli məqsədlər üçün zəruri və ya uyğun olduğunu müəyyən etsək, sizinlə bağlı məlumatları da açıqlaya bilərik.
• Yenidən təşkil etmə, birləşmə və ya satış halında, biz topladığımız şəxsi məlumatları müvafiq varis üçüncü tərəfə ötürə bilərik.

Şəxsi məlumatların qorunması

Biz şəxsi məlumatlarınızı itkidən, oğurluqdan və sui-istifadədən, habelə icazəsiz daxil olmaqdan, açıqlamadan, dəyişdirilməkdən və məhv olmaqdan qorumaq üçün inzibati, texniki və fiziki tədbirləri görürük.

Şirkət səviyyəsində məxfiliyinizə hörmət etmək

Şəxsi məlumatlarınızın təhlükəsiz olmasını təmin etmək üçün biz əməkdaşlarımıza məxfilik və təhlükəsizlik standartlarını çatdırırıq və məxfilik təcrübələrini ciddi şəkildə tətbiq edirik.

Probleminizin ətraflı həllini sifariş edə bilərsiniz!!!

Triqonometrik funksiyanın işarəsi altında naməlum olan bərabərliyə (`sin x, cos x, tan x` və ya `ctg x`) triqonometrik tənlik deyilir və daha sonra nəzərdən keçirəcəyimiz onların düsturlarıdır.

Ən sadə tənliklər `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`dır, burada `x` tapılacaq bucaq, `a` istənilən ədəddir. Onların hər biri üçün kök düsturlarını yazaq.

1. `sin x=a` tənliyi.

`|a|>1` üçün onun həlli yoxdur.

Nə zaman `|a| \leq 1` sonsuz sayda həllə malikdir.

Kök düsturu: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. `cos x=a` tənliyi

`|a|>1` üçün - sinus vəziyyətində olduğu kimi, onun həqiqi ədədlər arasında həlli yoxdur.

Nə zaman `|a| \leq 1` sonsuz sayda həllə malikdir.

Kök düsturu: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Qrafiklərdə sinus və kosinus üçün xüsusi hallar.

3. `tg x=a` tənliyi

İstənilən `a` dəyəri üçün sonsuz sayda həll yolu var.

Kök düsturu: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. `ctg x=a` tənliyi

Həmçinin hər hansı `a` dəyəri üçün sonsuz sayda həll yolu var.

Kök düsturu: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Cədvəldəki triqonometrik tənliklərin kökləri üçün düsturlar

Sinus üçün:
Kosinus üçün:
Tangens və kotangens üçün:
Tərkibində tərs triqonometrik funksiyalar olan tənliklərin həlli üçün düsturlar:

Triqonometrik tənliklərin həlli üsulları

İstənilən triqonometrik tənliyin həlli iki mərhələdən ibarətdir:

• onu ən sadəyə çevirmək köməyi ilə;
• kök düsturları və yuxarıda yazılmış cədvəllərdən istifadə edərək əldə edilən ən sadə tənliyi həll edin.

Nümunələrdən istifadə edərək əsas həll üsullarına baxaq.

Cəbri üsul.

Bu üsul dəyişəni əvəz etməyi və onu bərabərliklə əvəz etməyi əhatə edir.

Misal. Tənliyi həll edin: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

əvəz edin: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, sonra `2y^2-3y+1=0`,

kökləri tapırıq: `y_1=1, y_2=1/2`, ondan iki hal gəlir:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Cavab: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizasiya.

Misal. Tənliyi həll edin: `sin x+cos x=1`.

Həll. Bərabərliyin bütün şərtlərini sola keçirək: `sin x+cos x-1=0`. istifadə edərək, sol tərəfi çevirib faktorlara ayırırıq:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Cavab: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Homojen tənliyə endirmə

Əvvəlcə bu triqonometrik tənliyi iki formadan birinə endirməlisiniz:

`a sin x+b cos x=0` (birinci dərəcəli homogen tənlik) və ya `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ikinci dərəcəli bircins tənlik).

Sonra hər iki hissəni birinci hal üçün `cos x \ne 0`, ikinci üçün isə `cos^2 x \ne 0` ilə bölün. Biz `tg x` üçün tənlikləri əldə edirik: `a tg x+b=0` və `a tg^2 x + b tg x +c =0`, məlum üsullarla həll edilməlidir.

Misal. Tənliyi həll edin: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Həll. Sağ tərəfi `1=sin^2 x+cos^2 x` kimi yazaq:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Bu, ikinci dərəcəli homogen triqonometrik tənlikdir, onun sol və sağ tərəflərini `cos^2 x \ne 0`-ə bölürük, alırıq:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. `t^2 + t - 2=0` ilə nəticələnən `tg x=t` əvəzini təqdim edək. Bu tənliyin kökləri `t_1=-2` və `t_2=1`-dir. Sonra:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \Z`-də.

Cavab verin. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \Z-də`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \Z-də`.

Yarım bucağa keçid

Misal. Tənliyi həll edin: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Həll. Gəlin ikiqat bucaq düsturlarını tətbiq edək, nəticədə: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tq^2 x/2 — 11 tq x/2 +6=0`

Yuxarıda təsvir olunan cəbri metodu tətbiq edərək, əldə edirik:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Cavab verin. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Köməkçi bucağın tətbiqi

`a sin x + b cos x =c` triqonometrik tənliyində, burada a,b,c əmsallar və x dəyişəndir, hər iki tərəfi `sqrt (a^2+b^2)`-ə bölün:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Sol tərəfdəki əmsallar sinus və kosinus xüsusiyyətlərinə malikdir, yəni onların kvadratlarının cəmi 1-ə bərabərdir və modulları 1-dən böyük deyil. Onları aşağıdakı kimi işarə edək: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, onda:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Aşağıdakı nümunəyə daha yaxından nəzər salaq:

Misal. Tənliyi həll edin: `3 sin x+4 cos x=2`.

Həll. Bərabərliyin hər iki tərəfini `sqrt (3^2+4^2)` ​​ilə bölsək, alırıq:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt) (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

`3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` işarə edək. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` olduğundan, köməkçi bucaq kimi `\varphi=arcsin 4/5` götürürük. Sonra bərabərliyimizi formada yazırıq:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Sinus üçün bucaqların cəmi düsturunu tətbiq edərək bərabərliyimizi aşağıdakı formada yazırıq:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Cavab verin. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Fraksiyalı rasional triqonometrik tənliklər

Bunlar say və məxrəclərində triqonometrik funksiyalar olan kəsrlərlə bərabərliklərdir.

Misal. Tənliyi həll edin. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Həll. Bərabərliyin sağ tərəfini `(1+cos x)`-ə vurun və bölün. Nəticədə əldə edirik:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Məxrəcin sıfıra bərabər ola bilməyəcəyini nəzərə alsaq, Z`-də `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \ alırıq.

Kəsirin payını sıfıra bərabər tutaq: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Sonra `sin x=0` və ya `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Nəzərə alsaq ki, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, həllər `x=2\pi n, n \in Z` və `x=\pi /2+2\pi n`-dir. , `n \in Z`.

Cavab verin. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Triqonometriya və xüsusən də triqonometrik tənliklər həndəsə, fizika və mühəndisliyin demək olar ki, bütün sahələrində istifadə olunur. Təhsil 10-cu sinifdə başlayır, Vahid Dövlət İmtahanı üçün həmişə tapşırıqlar var, buna görə də triqonometrik tənliklərin bütün düsturlarını yadda saxlamağa çalışın - onlar mütləq sizin üçün faydalı olacaqlar!

Ancaq onları əzbərləməyə belə ehtiyac yoxdur, əsas odur ki, mahiyyəti başa düşəsən və onu çıxara biləsən. Göründüyü qədər çətin deyil. Videoya baxaraq özünüz baxın.

Əsas triqonometrik funksiyalar - sinus, kosinus, tangens və kotangens arasındakı əlaqələr verilmişdir. triqonometrik düsturlar. Və triqonometrik funksiyalar arasında kifayət qədər çox əlaqə olduğundan, bu triqonometrik düsturların bolluğunu izah edir. Bəzi düsturlar eyni bucağın triqonometrik funksiyalarını əlaqələndirir, digərləri - çoxlu bucaq funksiyaları, digərləri - dərəcəni azaltmağa imkan verir, dördüncü - bütün funksiyaları yarım bucağın tangensi ilə ifadə edir və s.

Bu yazıda biz triqonometriya məsələlərinin böyük əksəriyyətini həll etmək üçün kifayət olan bütün əsas triqonometrik düsturları ardıcıllıqla sadalayacağıq. Yadda saxlamaq və istifadə etmək asanlığı üçün onları məqsədlərinə görə qruplaşdırıb cədvəllərə daxil edəcəyik.

Səhifə naviqasiyası.

Əsas triqonometrik eyniliklər

Əsas triqonometrik eyniliklər bir bucağın sinus, kosinus, tangens və kotangens arasındakı əlaqəni təyin edin. Onlar sinus, kosinus, tangens və kotangensin tərifindən, həmçinin vahid dairə anlayışından irəli gəlir. Onlar bir triqonometrik funksiyanı hər hansı digəri ilə ifadə etməyə imkan verir.

Bu triqonometriya düsturlarının ətraflı təsviri, onların əldə edilməsi və tətbiqi nümunələri üçün məqaləyə baxın.

Azaltma düsturları

Azaltma düsturları sinus, kosinus, tangens və kotangensin xassələrindən irəli gəlir, yəni triqonometrik funksiyaların dövrilik xassəsini, simmetriya xassəsini, habelə verilmiş bucaqla yerdəyişmə xassəsini əks etdirir. Bu triqonometrik düsturlar sizə ixtiyari bucaqlarla işləməkdən sıfırdan 90 dərəcəyə qədər olan bucaqlarla işləməyə keçməyə imkan verir.

Bu düsturların əsaslandırılması, onları yadda saxlamaq üçün mnemonik qayda və onların tətbiqi nümunələri məqalədə öyrənilə bilər.

Əlavə düsturlar

Triqonometrik əlavə düsturları iki bucağın cəminin və ya fərqinin triqonometrik funksiyalarının həmin bucaqların triqonometrik funksiyaları ilə necə ifadə olunduğunu göstərin. Bu düsturlar aşağıdakı triqonometrik düsturların alınması üçün əsas kimi xidmət edir.

Düsturlar ikiqat, üçlü və s. bucaq

Düsturlar ikiqat, üçlü və s. bucaq (bunlara çoxlu bucaq düsturları da deyilir) ikiqat, üçlü və s. triqonometrik funksiyaların necə yerinə yetirildiyini göstərir. bucaqlar () tək bucağın triqonometrik funksiyaları ilə ifadə edilir. Onların əldə edilməsi əlavə düsturlara əsaslanır.

Daha ətraflı məlumat ikiqat, üçlü və s. üçün məqalə düsturlarında toplanır. bucaq

Yarım bucaq düsturları

Yarım bucaq düsturları yarım bucağın triqonometrik funksiyalarının tam bucağın kosinusu ilə necə ifadə olunduğunu göstərin. Bu triqonometrik düsturlar ikiqat bucaq düsturlarından əmələ gəlir.

Onların nəticəsi və tətbiqi nümunələri məqalədə tapıla bilər.

Dərəcə azaldılması düsturları

Dərəcələri azaltmaq üçün triqonometrik düsturlar triqonometrik funksiyaların təbii güclərindən birinci dərəcəli sinuslara və kosinuslara keçidi asanlaşdırmaq üçün nəzərdə tutulmuşdur, lakin çoxlu açılar. Başqa sözlə, onlar triqonometrik funksiyaların səlahiyyətlərini birinciyə endirməyə imkan verir.

Triqonometrik funksiyaların cəmi və fərqi üçün düsturlar

Əsas məqsəd triqonometrik funksiyaların cəmi və fərqi üçün düsturlar triqonometrik ifadələri sadələşdirərkən çox faydalı olan funksiyaların hasilinə keçməkdir. Bu düsturlardan triqonometrik tənliklərin həllində də geniş istifadə olunur, çünki onlar sinusların və kosinusların cəmini və fərqini faktorlara ayırmağa imkan verir.

Sinusların, kosinusların və kosinusların hasilinin düsturları

Triqonometrik funksiyaların hasilindən cəmi və ya fərqə keçid sinusların, kosinusların və sinusların kosinuslarla hasilinin düsturlarından istifadə etməklə həyata keçirilir.

Universal triqonometrik əvəzetmə

Triqonometriyanın əsas düsturlarını nəzərdən keçirməyimizi triqonometrik funksiyaları yarım bucağın tangensi ilə ifadə edən düsturlarla tamamlayırıq. Bu əvəz çağırıldı universal triqonometrik əvəzetmə. Onun rahatlığı ondadır ki, bütün triqonometrik funksiyalar kökləri olmayan rasional olaraq yarım bucağın tangensi ilə ifadə olunur.

Biblioqrafiya.

• Cəbr: Dərs kitabı 9-cu sinif üçün. orta. məktəb/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovski - M.: Təhsil, 1990. - 272 s.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
• Başmaqov M.I. Cəbr və təhlilin başlanğıcları: Dərslik. 10-11 siniflər üçün. orta. məktəb - 3-cü nəşr. - M.: Təhsil, 1993. - 351 s.: xəstə. - ISBN 5-09-004617-4.
• Cəbr və təhlilin başlanğıcı: Proc. 10-11 siniflər üçün. ümumi təhsil qurumlar / A. N. Kolmoqorov, A. M. Abramov, Yu. Dudnitsyn və başqaları; Ed. A. N. Kolmoqorov - 14-cü nəşr - M.: Təhsil, 2004. - 384 s.: ISBN 5-09-013651-3.
• Qusev V. A., Mordkoviç A. G. Riyaziyyat (texniki məktəblərə abituriyentlər üçün dərslik): Proc. müavinət.- M.; Daha yüksək məktəb, 1984.-351 s., xəstə.

cleverstudent tərəfindən müəllif hüquqları

Bütün hüquqlar qorunur.
Müəllif hüquqları qanunu ilə qorunur. Saytın heç bir hissəsi, o cümlədən daxili materiallar və görünüş, müəllif hüquqları sahibinin əvvəlcədən yazılı icazəsi olmadan hər hansı formada təkrar istehsal edilə və ya istifadə edilə bilməz.