Sovetov və Yakovlevin dərsliyinə görə: "bir model (lat. Modulus - ölçü) orijinalın bəzi xüsusiyyətlərinin öyrənilməsini təmin edən orijinal obyektin əvəzedici bir obyektidir." (s. 6) "Model obyektindən istifadə edərək orijinal obyektin ən vacib xüsusiyyətləri haqqında məlumat əldə etmək üçün bir obyekti digərinə dəyişdirməyə modelləşdirmə deyilir." (s. 6) “Riyazi modelləşdirmə dedikdə, riyazi model adlanan bəzi riyazi obyektin verilmiş həqiqi obyektinə uyğunlaşma qurma prosesi və həqiqi obyektin xüsusiyyətlərini əldə etməyə imkan verən bu modelin öyrənilməsi nəzərdə tutulur. nəzərdən keçirilir. Riyazi modelin növü həm həqiqi obyektin təbiətindən, həm də cismin öyrənilməsi vəzifələrindən və bu problemin həllinin tələb olunan etibarlılığından və dəqiqliyindən asılıdır. "

Nəhayət, riyazi modelin ən qısa tərifi: "Bir fikri ifadə edən bir tənlik».

Model təsnifatı

Modellərin rəsmi təsnifatı

Modellərin rəsmi təsnifatı istifadə olunan riyazi alətlərin təsnifatına əsaslanır. Çox vaxt ikiliklər şəklində tikilir. Məsələn, məşhur ikiqatlıq dəstlərindən biri:

və s. Hər bir qurulmuş model xətti və ya qeyri-xətti, deterministik və ya stoxastikdir ... Təbii ki, qarışıq tiplər də mümkündür: bir baxımdan konsentrə (parametrlər baxımından), digərində paylanmış modellər və s.

Obyektin təqdim olunduğu şəkildə təsnifat

Rəsmi təsnifatla yanaşı, modellər bir obyektin təmsil olunma tərzində fərqlənir:

• Struktur və ya funksional modellər

Struktur modellər bir obyekti öz cihazı və işləmə mexanizmi olan bir sistem olaraq təmsil edir. Funksional modellər bu cür təqdimatlardan istifadə etməyin və yalnız obyektin xaricdən qəbul edilən davranışını (işini) əks etdirin. Mükəmməl ifadələrində onlara "qara qutu" modelləri də deyilir. Kombinə edilmiş model növləri də mümkündür, bəzən " boz qutu».

Məzmun və rəsmi modellər

Riyazi modelləşdirmə prosesini təsvir edən demək olar ki, bütün müəlliflər əvvəlcə xüsusi bir ideal quruluşun qurulduğunu, mənalı model ... Burada müəyyən bir terminologiya yoxdur və digər müəlliflər bu ideal obyekti adlandırırlar konseptual model , spekulyativ model və ya qabaqcıl model ... Bu vəziyyətdə son riyazi konstruksiya deyilir rəsmi model və ya sadəcə müəyyən bir mənalı modelin (əvvəlcədən modelin) rəsmiləşdirilməsi nəticəsində əldə edilmiş riyazi model. Mənalı bir modelin quruluşu, ideal yaylar, sərt cisimlər, ideal sarkaçlar, elastik mühitlər və s.-nin mənalı modelləşdirmə üçün hazır struktur elementləri təmin etdiyi mexanikada olduğu kimi bir sıra hazır idealizasiyalardan istifadə etməklə həyata keçirilə bilər. Bununla birlikdə, tamamlanmış rəsmiləşdirilmiş nəzəriyyələrin olmadığı bilik sahələrində (fizika, biologiya, iqtisadiyyat, sosiologiya, psixologiya və digər əksər sahələr), mənalı modellərin yaradılması çox çətinləşir.

Modellərin əhəmiyyətli dərəcədə təsnifatı

Elmdə heç bir fərziyyə birdəfəlik sübut olunmur. Richard Feynman bunu çox açıq şəkildə söylədi:

“Hər zaman bir nəzəriyyəni təkzib etmək fürsətimiz var, amma qeyd edək ki, bunun doğru olduğunu heç vaxt sübut edə bilmərik. Fərz edək ki, uğurlu bir fərziyyə irəli sürdünüz, bunun hara aparacağını hesabladıq və bütün nəticələrinin təcrübə yolu ilə təsdiqləndiyini öyrəndiniz. Bu sizin nəzəriyyənizin düzgün olduğu deməkdir? Xeyr, sadəcə onu təkzib edə bilmədiyiniz deməkdir. "

Birinci tip bir model qurulursa, deməli, müvəqqəti olaraq doğru olaraq tanınır və digər problemlərə cəmləşmək mümkündür. Bununla birlikdə, bu araşdırmada bir nöqtə ola bilməz, ancaq müvəqqəti bir fasilə ola bilər: birinci tip bir modelin vəziyyəti yalnız müvəqqəti ola bilər.

Növ 2: Fenomenoloji model (kimi davranmaq…)

Fenomenoloji model fenomeni təsvir etmə mexanizmini özündə cəmləşdirir. Bununla birlikdə, bu mexanizm kifayət qədər inandırıcı deyil, mövcud məlumatlarla kifayət qədər təsdiq edilə bilməz və ya mövcud nəzəriyyələr və obyekt haqqında toplanmış biliklərlə yaxşı uyğun gəlmir. Buna görə fenomenoloji modellər müvəqqəti həll statusuna malikdir. Cavabın hələ bilinmədiyi və "həqiqi mexanizmlər" axtarışını davam etdirməli olduğuna inanılır. Peierls, məsələn, kalori modeli və ikinci hissəyə elementar hissəciklərin kvark modelini əhatə edir.

Modelin tədqiqatdakı rolu zaman keçdikcə dəyişə bilər, yeni məlumatlar və nəzəriyyələrin fenomenoloji modelləri təsdiqləməsi və hipotez statusuna yüksəlməsi baş verə bilər. Eynilə, yeni biliklər tədricən birinci tip fərziyyə modelləri ilə ziddiyyətə girə bilər və bunlar ikincisinə çevrilə bilər. Beləliklə, kvark modeli tədricən fərziyyələr kateqoriyasına keçir; fizikadakı atomizm müvəqqəti bir həll olaraq meydana gəldi, ancaq tarixin gedişi ilə birinci növə keçdi. Ancaq eter modelləri tip 1-dən tip 2-yə keçdi və indi elm xaricindədirlər.

Modelləri qurarkən sadələşdirmə fikri çox populyardır. Ancaq sadələşdirmə fərqlidir. Peierls üç növ modelləşdirmə sadələşdirməsini müəyyənləşdirir.

Növ 3: Təxmini (çox böyük və ya kiçik bir şey hesab edirik)

Tədqiq olunan sistemi təsvir edən tənliklər qurmaq mümkündürsə, bu, hətta kompüter köməyi ilə həll edilə biləcəyi anlamına gəlmir. Bu vəziyyətdə ümumiyyətlə qəbul edilmiş texnika, təxmini istifadədir (tip 3 modelləri). Onların arasında xətti cavab modelləri... Tənliklər xətti olanlarla əvəzlənir. Ohm qanunu standart bir nümunədir.

Budur bioloji sistemlərin riyazi modellərində geniş istifadə olunan tip 8.

Növ 8: Mümkünlüyün nümayişi (əsas şey ehtimalın daxili uyğunluğunu göstərməkdir)

Bunlar da düşüncə təcrübələridir. bunu nümayiş etdirən xəyali varlıqlar ilə iddia edilən fenomen təməl prinsiplərə uyğun və daxili uyğunluq. Gizli ziddiyyətləri ortaya qoyan Tip 7 modellərindən əsas fərq budur.

Ən məşhur bu cür təcrübələrdən biri də Lobaçevskinin həndəsəsidir (Lobaçevski buna “xəyali həndəsə” dedi). Digər bir nümunə, kimyəvi və bioloji salınımların, avtomatik dalğaların və s. Formal - kinetik modellərinin kütləvi istehsalıdır. Eynşteyn - Podolsky - Rosen paradoksu, kvant mexanikasının uyğunsuzluğunu nümayiş etdirmək üçün tip 7 model olaraq düşünülmüşdür. Tamamilə planlaşdırılmamış bir şəkildə, zaman keçdikcə Tip 8 modelinə çevrildi - məlumatların kvant teleportasiyası imkanlarının nümayişi.

Misal

Bir ucuna bərkidilmiş yaydan və yayın sərbəst ucuna bərkidilmiş kütlə ağırlığından ibarət mexaniki sistemi düşünün. Ağırlığın yalnız yay oxu istiqamətində hərəkət edə biləcəyini düşünəcəyik (məsələn, hərəkət çubuq boyunca baş verir). Bu sistemin riyazi modelini quraq. Sistemin vəziyyətini yükün mərkəzindən tarazlıq vəziyyətinə qədər olan məsafədə təsvir edəcəyik. Yayın və istifadə olunan yükün qarşılıqlı təsirini təsvir edək hooke qanunu () o zaman Newtonun ikinci qanunu diferensial tənlik şəklində ifadə etmək üçün istifadə edəcəyik:

burada ikinci dəfə törəmə deməkdir :.

Nəticədə yaranan tənlik nəzərə alınan fiziki sistemin riyazi modelini təsvir edir. Bu naxış "harmonik osilator" adlanır.

Rəsmi təsnifata görə, bu model xətti, deterministik, dinamik, cəmlənmiş, davamlıdır. Onu qurarkən, bir çox fərziyyələr etdik (xarici qüvvələrin olmaması, sürtünmənin olmaması, kiçik sapmalar və s.), Əslində yerinə yetirilməyə bilər.

Reallıqla əlaqəli olaraq, bu, ən çox tip 4 modelidir. sadələşdirmə ("Aydınlıq üçün bəzi detalları buraxırıq"), çünki bəzi vacib universal xüsusiyyətlər (məsələn, dağılma) buraxılmışdır. Bəzi yaxınlaşmalara görə (deyək ki, yükün tarazlıqdan sapması azdır, sürtünmə az olsa da, çox uzun müddət və digər şərtlər daxilində deyil), belə bir model həqiqi mexaniki sistemi yaxşı təsvir edir, çünki atılan amillər davranışına laqeyd təsir ... Lakin bu amillərdən bəziləri nəzərə alınmaqla model dəqiqləşdirilə bilər. Bu, daha geniş (yenə məhdud olsa da) tətbiqetmə dairəsi ilə yeni bir modelə səbəb olacaqdır.

Lakin, model zərif olduqda, riyazi tədqiqatının mürəkkəbliyi əhəmiyyətli dərəcədə artaraq modeli praktik olaraq yararsız hala gətirə bilər. Çox vaxt daha sadə bir model həqiqi sistemin daha mürəkkəb (və rəsmi olaraq "daha düzgün") olduğundan daha yaxşı və daha dərindən araşdırılmasına imkan verir.

Harmonik osilator modelini fizikadan uzaq olan obyektlərə tətbiq etsək, onun mənalı statusu fərqli ola bilər. Məsələn, bu modeli bioloji populyasiyalara tətbiq edərkən, çox güman ki, tip 6 kimi təsnif edilməlidir bənzətmə ("Yalnız bəzi xüsusiyyətləri nəzərə alaq").

Sərt və yumşaq modellər

Harmonik Osilatör, sözdə "sərt" bir modeldir. Həqiqi fiziki sistemin güclü bir idealizasiyası nəticəsində əldə edilir. Tətbiq olunması məsələsini həll etmək üçün laqeyd olduğumuz amillərin nə qədər əhəmiyyətli olduğunu başa düşmək lazımdır. Başqa sözlə, "sərt" in kiçik bir narahatlığı ilə əldə edilən "yumşaq" modeli araşdırmaq lazımdır. Məsələn, aşağıdakı tənliklə verilə bilər:

Budur sürtünmə gücünü və ya yay sərtlik əmsalının uzanma dərəcəsindən asılılığını nəzərə ala bilən müəyyən bir funksiya kiçik bir parametrdir. Hazırda funksiyanın açıq forması bizi maraqlandırmır. Yumşaq modelin davranışının sərt davranışdan əsaslı şəkildə fərqlənmədiyini sübut etsək (narahat edən faktorların açıq formasından asılı olmayaraq, kifayət qədər kiçik olduqda), problem sərtliyin öyrənilməsinə qədər azalacaq model. Əks təqdirdə, sərt modelin öyrənilməsində əldə edilən nəticələrin tətbiqi əlavə araşdırma tələb edəcəkdir. Məsələn, harmonik osilator tənliyinin həlli formanın funksiyalarıdır, yəni sabit amplituda olan salınımlar. Həqiqi bir osilatorun sabit bir amplituda ilə sonsuz uzun müddət rəqs etməsi bundan irəli gəlirmi? Xeyr, çünki özbaşına kiçik sürtünməli bir sistem (hər zaman həqiqi bir sistemdə mövcuddur) nəzərə alındıqda sönümlü rəqslər oluruq. Sistemin davranışı kəskin şəkildə dəyişdi.

Bir sistem kiçik iğtişaşlar altında keyfiyyət davranışını saxlayırsa, struktur baxımından sabit olduğu deyilir. Harmonik osilator struktur cəhətdən qeyri-sabit (qaba olmayan) bir sistem nümunəsidir. Buna baxmayaraq, bu model məhdud zaman aralığında prosesləri öyrənmək üçün tətbiq oluna bilər.

Modellərin çox yönlü olması

Ən vacib riyazi modellər ümumiyyətlə vacib bir xüsusiyyətə sahibdir universallıq: eyni dərəcədə fərqli real hadisələr eyni riyazi model ilə təsvir edilə bilər. Məsələn, harmonik bir osilator yalnız bir yaydakı yükün davranışını deyil, əksər hallarda tamamilə fərqli bir təbiətdəki digər salınım proseslərini də təsvir edir: bir sarkaçın kiçik salınımları, şəkilli bir qabda bir maye səviyyəsinin salınımları, və ya bir salınım dövrəsində cərəyan gücünün dəyişməsi. Beləliklə, bir riyazi modeli öyrənərək bir anda onun təsvir etdiyi fenomenlərin bir sinifini öyrənirik. Lüdviq fon Bertalanffinin "Sistemlərin ümumi nəzəriyyəsi" yaratmağı bacardığı elmi biliklərin müxtəlif seqmentlərində riyazi modellərin ifadə etdiyi qanunların bu izomorfizmi.

Riyazi modelləşdirmənin birbaşa və tərs problemləri

Riyazi modelləşdirmə ilə əlaqəli bir çox problem var. Birincisi, modelləşdirilmiş obyektin əsas sxemini düşünmək, onu bu elmin idealizasiyaları çərçivəsində çoxaltmaq lazımdır. Beləliklə, bir qatar vaqonu, müxtəlif materiallardan hazırlanmış lövhələr və daha mürəkkəb gövdələr sisteminə çevrilir, hər material standart mexaniki idealizasiya kimi müəyyən edilir (sıxlıq, elastik modullar, standart güc xüsusiyyətləri), bundan sonra yol boyunca tənliklər düzəldilir. bəzi detallar əhəmiyyətsiz olaraq atılır, hesablamalar aparılır, ölçmələrlə müqayisə edilir, model dəqiqləşdirilir və s. Bununla birlikdə, riyazi modelləşdirmə texnologiyalarının inkişafı üçün bu prosesi əsas tərkib elementlərinə ayırmaq faydalıdır.

Ənənəvi olaraq riyazi modellərlə əlaqəli iki əsas problem sinfi var: birbaşa və tərs.

Birbaşa tapşırıq: modelin quruluşu və bütün parametrləri məlum sayılır, əsas vəzifə obyekt haqqında faydalı məlumat əldə etmək üçün model üzərində iş aparmaqdır. Körpü hansı statik yükə davam gətirəcək? Dinamik bir yükə necə reaksiya verəcəkdir (məsələn, bir əsgər yürüşündə və ya qatarın müxtəlif sürətlərdə keçməsində), bir təyyarənin səs səddini necə aşacağı, çırpınmadan ayrılıb-düşməyəcəyi - bunlar birbaşa tapşırığın tipik nümunələridir. Doğru birbaşa problemin qoyulması (düzgün sualın verilməsi) xüsusi bacarıq tələb edir. Düzgün suallar verilməzsə, davranışı üçün yaxşı bir model qurulsa da, körpü çökə bilər. Beləliklə, 1879-cu ildə Böyük Britaniyada Tay üzərindəki metal bir körpü çökdü, dizaynerləri körpünün bir modelini qurdular, yük yükünün təsiri üçün 20 qat təhlükəsizlik faktoru üçün hesabladılar, amma içərisində davamlı əsən küləkləri unutdular. o yerlər. Və bir il yarımdan sonra çökdü.

Ən sadə halda (məsələn, bir osilator tənliyi) birbaşa məsələ çox sadədir və bu tənliyin açıq həllinə qədər azalır.

Tərs problem: bir çox mümkün model məlumdur, obyekt haqqında əlavə məlumatlar əsasında müəyyən bir model seçilməlidir. Daha çox modelin quruluşu bilinir və bəzi bilinməyən parametrlərin təyin edilməsi lazımdır. Əlavə məlumat əlavə empirik məlumatlardan və ya obyekt üçün tələblərdən ibarət ola bilər ( dizayn tapşırığı). Əlavə məlumatlar tərs problemin həll prosesindən asılı olmayaraq gələ bilər ( passiv nəzarət) və ya xüsusi planlaşdırılmış bir təcrübənin nəticəsi ola bilər ( aktiv nəzarət).

Mövcud məlumatlardan mümkün qədər çox istifadə etməklə tərs problemin virtuoz həllinin ilk nümunələrindən biri, I. Newton tərəfindən qurulmuş, müşahidə olunan sönmüş salınımlardan sürtünmə qüvvələrinin bərpası üsulu idi.

Digər bir nümunə riyazi statistikadır. Bu elmin vəzifəsi kütləvi təsadüfi hadisələrin ehtimal modellərini qurmaq məqsədi ilə müşahidə və eksperimental məlumatların qeyd edilməsi, təsviri və təhlili üçün metodlar hazırlamaqdır. O. mümkün modellər dəsti ehtimal modelləri ilə məhdudlaşır. Xüsusi tapşırıqlarda modellər dəsti daha məhduddur.

Kompüter simulyasiya sistemləri

Riyazi modelləşdirməni dəstəkləmək üçün Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim və s. Kimi kompüter riyaziyyat sistemləri inkişaf etdirilmişdir. Bunlar həm sadə, həm də mürəkkəb proseslərin və cihazların formal və blok modellərini yaratmağa və model parametrlərini asanlıqla dəyişdirməyə imkan verir. modelləşdirmə. Blok modelləri dəsti və əlaqəsi model diaqramı ilə təyin olunan bloklarla (ən çox qrafik) təmsil olunur.

Əlavə nümunələr

Malthus modeli

Artım tempi cari əhali sayına mütənasibdir. Diferensial tənliklə təsvir olunur

məhsuldarlıq və ölüm arasındakı fərqlə müəyyən edilmiş bir parametr haradadır. Bu tənliyin həlli eksponent funksiyadır. Doğum nisbəti ölüm nisbətini () üstələyirsə, əhali sayı sonsuza qədər və çox sürətlə artır. Aydındır ki, əslində məhdud resurslar səbəbindən bu baş verə bilməz. Əhalinin müəyyən bir kritik həcminə çatdıqda, məhdud mənbələri nəzərə almadığı üçün model adekvat olmayacaq. Verhulst diferensial tənliyi ilə təsvir olunan məntiqi model, Maltus modelinin incəldilməsi rolunu oynaya bilər.

doğum nisbətinin ölüm nisbəti ilə tam olaraq kompensasiya olunduğu "tarazlıq" əhali sayının harada olduğu. Belə bir modeldəki populyasiya ölçüsü tarazlıq dəyərinə meyllidir və bu davranış struktur olaraq sabitdir.

Yırtıcı-yırtıcı sistem

Deyək ki, iki növ heyvan müəyyən bir ərazidə yaşayır: dovşan (bitki ilə qidalanma) və tülkü (dovşanla qidalanma). Dovşan sayı, tülkü sayı olsun. Tülkülərin dovşan yeməsini nəzərə alaraq lazımi düzəlişlərlə Malthus modelindən istifadə edərək adını daşıyan aşağıdakı sistemə gəlirik. lotki - Volterra modelləri:

Bu sistem dovşan və tülkü sayı sabit olduqda tarazlıq vəziyyətinə malikdir. Bu vəziyyətdən kənarlaşma, harmonik osilatordakı dalğalanmalara bənzər dovşan və tülkü sayında dalğalanmalara səbəb olur. Harmonik osilatorda olduğu kimi, bu davranış da struktur baxımından sabit deyil: modeldəki kiçik bir dəyişiklik (məsələn, dovşanların ehtiyac duyduğu məhdud mənbələri nəzərə alaraq) davranışda keyfiyyət dəyişikliyinə səbəb ola bilər. Məsələn, tarazlıq vəziyyəti sabitləşə bilər və rəqəmlərdəki dalğalanmalar azalacaq. Tərəzi vəziyyət, tarazlıq vəziyyətindən hər hansı bir kiçik sapmanın növlərdən birinin tamamilə məhv olmasına qədər fəlakətli nəticələrə səbəb olacağı zaman da mümkündür. Volterra-Lotka modeli bu ssenarilərdən hansının həyata keçirildiyi sualına cavab vermir: burada əlavə araşdırma tələb olunur.

Qeydlər (redaktə edin)

1. "Reallığın riyazi bir təsviri" (Ansiklopediya Britanica)
2. Novik I. B., Kibernetik modelləşdirmənin fəlsəfi məsələləri haqqında. M., Bilik, 1964.
3. B. Ya Sovetlər, S. A. Yakovlev, Sistem Modelləşdirmə: Dərslik. universitetlər üçün - 3-cü ed., rev. və əlavə edin. - M.: Daha yüksək. shk., 2001 .-- 343 s. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarskiy A.A., Mixaylov A.P. Riyazi modelləşdirmə. Fikirlər. Metodlar. Nümunələr. - 2 ed., Rev. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A. D., Riyazi modellər nəzəriyyəsinin elementləri. - 3-cü ed., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
6. Sevostyanov, A.G. Texnoloji proseslərin modelləşdirilməsi: dərslik / A.G. Sevostyanov, P.A. Sevostyanov. - M.: Yüngül və qida sənayesi, 1984. - 344 s.
7. Vikisözlük: riyazi model
8. CliffsNotes.com. Yer Elmi Sözlük. 20 sentyabr 2010
9. Çoxölçülü fenomenlər üçün model azaltma və qaba taxıl yanaşmaları, Springer, Mürəkkəblik seriyası, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII + 562 s. ISBN 3-540-35885-4
10. “Bir nəzəriyyə xətti və ya qeyri-xətti riyazi aparat olub-olmamasından və hansı növ xətti və ya qeyri-xətti riyazi modellərdən istifadə etməsindən asılı olaraq xətti və ya qeyri-xətti hesab olunur. ... İkincisi inkar edilmədən. Müasir bir fizik, qeyri-xətti kimi vacib bir mahiyyətin tərifini yenidən yaratmış olsaydı, çox güman ki, fərqli davranardı və iki ziddiyyətin daha vacib və geniş yayılması kimi qeyri-xətti üstün tutaraq, doğrusallığı 'qeyri-xətti' olaraq təyin edərdi. '. " Danilov Yu.A., Qeyri-xətti dinamiklər haqqında mühazirələr. İbtidai giriş. Sinergetika: keçmişdən gələcək seriallara. Nəşr 2. - M.: URSS, 2006. - 208 s. ISBN 5-484-00183-8
11. “Sonlu sayda adi diferensial tənliklər ilə modelləşdirilən dinamik sistemlərə toplu və ya nöqtəli sistemlər deyilir. Bunlar sonlu ölçülü bir faz sahəsi istifadə edərək təsvir olunur və son dərəcə sərbəstlik dərəcələri ilə xarakterizə olunur. Fərqli şərtlərdə eyni sistem ya konsentrasiya edilmiş, ya da paylanmış kimi qəbul edilə bilər. Paylanmış sistemlərin riyazi modelləri qismən diferensial tənliklər, inteqral tənliklər və ya geridə qalan arqumenti olan adi tənliklərdir. Paylanmış bir sistemin sərbəstlik dərəcələrinin sayı sonsuzdur və vəziyyətini təyin etmək üçün sonsuz bir məlumat lazımdır. " Anischenko V.S., Dinamik sistemlər, Soros təhsil jurnalı, 1997, no. 11, s. 77-84.
12. “S sistemindəki öyrənilən proseslərin təbiətindən asılı olaraq, bütün modelləşdirmə növləri deterministik və stoxastik, statik və dinamik, diskret, davamlı və diskret-davamlı olaraq bölünə bilər. Deterministik modelləşdirmə deterministik prosesləri, yəni təsadüfi təsirlərin olmamasının ehtimal olunduğu prosesləri göstərir; stoxastik modelləşdirmə ehtimal prosesi və hadisələrini göstərir. ... Statik modelləşdirmə zamanın istənilən nöqtəsində bir obyektin davranışını təsvir etmək üçün istifadə olunur, dinamik modelləşdirmə isə zaman içində bir obyektin davranışını əks etdirir. Ayrı-ayrı modelləşdirmə, ayrı-ayrılıqda fərz edildiyi prosesləri təsvir etmək üçün istifadə olunur, davamlı modelləşdirmə sistemlərdəki davamlı prosesləri əks etdirməyə imkan verir və diskret-davamlı modelləşdirmə həm diskret, həm də davamlı proseslərin varlığını vurğulamaq istədiyiniz hallar üçün istifadə olunur. " B. Ya Sovetlər, S. A. Yakovlev ISBN 5-06-003860-2
13. Ümumiyyətlə, riyazi model süni obyektin quruluşunu (cihazını), bu obyektin tədqiqat məqsədləri üçün vacib olan xüsusiyyətlərini və əlaqələrini əks etdirir; belə bir modelə struktur deyilir. Model yalnız bir obyektin necə işlədiyini - məsələn, xarici təsirlərə necə reaksiya verdiyini əks etdirirsə, o zaman funksional və ya məcazi mənada qara qutu adlanır. Kombinə edilmiş modellər də mümkündür. Myshkis A. D. ISBN 978-5-484-00953-4
14. “Riyazi bir model qurmağın və ya seçməyin açıq, lakin ən vacib ilkin mərhələsi, modelləşdirilmiş obyekt haqqında bir fikri mümkün qədər aydınlaşdırmaq və qeyri-rəsmi müzakirələrə əsaslanan mənalı modelini aydınlaşdırmaqdır. Bu mərhələdə vaxt və səyini əsirgəməməli, bütün tədqiqatın müvəffəqiyyəti ondan çox asılıdır. Riyazi problemin həlli üçün sərf olunan əhəmiyyətli işin, məsələnin bu tərəfinə yetərincə diqqət göstərmədiyi üçün nəticəsiz qaldığı və hətta boşa çıxdığı bir dəfədən çox oldu. " Myshkis A. D., Riyazi modellər nəzəriyyəsinin elementləri. - 3-cü ed., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4, s. 35.
15. « Sistemin konseptual modelinin təsviri. Sistem modelinin qurulmasının bu alt mərhələsində: a) konseptual model M mücərrəd terminlər və anlayışlarla təsvir olunur; b) standart riyazi sxemlərdən istifadə edərək modelin təsviri verilir; c) fərziyyələr və fərziyyələr nəhayət qəbul olunur; d) modelin qurulmasında real proseslərin yaxınlaşdırılması prosedurunun seçilməsi əsaslandırılır. " B. Ya Sovetlər, S. A. Yakovlev, Sistem Modelləşdirmə: Dərslik. universitetlər üçün - 3-cü nəşr, rev. və əlavə edin. - M.: Daha yüksək. shk., 2001 .-- 343 s. ISBN 5-06-003860-2, səh. 93.
16. Blekhman I.I., Myshkis A.D., Panovko N.G., Tətbiqi Riyaziyyat: Mövzu, məntiq, yanaşma xüsusiyyətləri. Mexanikadan nümunələrlə: Dərslik. - 3-cü ed., Rev. və əlavə edin. - M.: URSS, 2006. - 376 s. ISBN 5-484-00163-3, Fəsil 2.

Dizayn prosesində bir cismin inkişaf dinamikasını, elementlərinin və müxtəlif vəziyyət nisbətlərinin daxili mahiyyətini yalnız dinamik analogiya prinsipindən istifadə edən modellərin köməyi ilə, yəni köməyi ilə izləmək mümkündür. riyazi modellər.

Riyazi model tədqiq olunan prosesi və ya hadisəni təsvir edən riyazi əlaqələr sistemidir. Riyazi modeli tərtib etmək üçün istənilən riyazi vasitələrdən - çoxluq nəzəriyyəsindən, riyazi məntiqdən, diferensial və ya inteqral tənliklərin dilindən istifadə edə bilərsiniz. Riyazi modelin tərtibi prosesi adlanır riyazi modelləşdirmə... Digər növ modellər kimi, riyazi model də sadələşdirilmiş formada bir problem təqdim edir və yalnız müəyyən bir obyekt və ya proses üçün ən vacib olan xüsusiyyətləri və nümunələri təsvir edir. Riyazi model çoxşaxəli kəmiyyət analizinə imkan verir. İlkin məlumatların, meyarların, məhdudiyyətlərin dəyişdirilməsi, hər dəfə verilmiş şərtlər üçün ən optimal həlli əldə edə və axtarışın daha da istiqamətini müəyyənləşdirə bilərsiniz.

Riyazi modellərin yaradılması, inkişaf etdiricilərindən formal məntiqi metodlar haqqında biliklərdən əlavə, əsas fikir və qaydaları ciddi şəkildə formalaşdırmaq, həmçinin kifayət qədər etibarlı faktiki müəyyənləşdirmək üçün tədqiq olunan obyektin hərtərəfli təhlilini tələb edir. statistik və normativ məlumatlar.

Qeyd etmək lazımdır ki, hazırda istifadə olunan bütün riyazi modellərə istinad edilir göstəriş... Reçeteli modelləri inkişaf etdirməkdə məqsəd inkişaf yolu taparkən həll yolu tapmaq istiqamətini göstərməkdir izah edir modellər - insan düşüncəsinin aktual proseslərinin əksidir.

Baxış olduqca geniş yayılmışdır ki, riyaziyyatın köməyi ilə öyrənilən obyekt və ya proses barədə yalnız bəzi ədədi məlumatlar əldə etmək mümkündür. “Əlbətdə ki, bir çox riyazi fənlər son ədədi nəticəni əldə etməyi hədəfləyir. Ancaq riyazi metodları yalnız bir sıra əldə etmək problemi ilə azaltmaq riyaziyyatı sonsuz dərəcədə yoxsullaşdırmaq, tədqiqatçıların bu gün əllərində saxladığı bu güclü silahın ehtimalını yoxsul etmək deməkdir ...

Müəyyən bir dildə yazılmış riyazi model (məsələn, diferensial tənliklər) həqiqi fiziki proseslərin müəyyən xüsusiyyətlərini əks etdirir. Riyazi modellərin təhlili nəticəsində, ilk növbədə, tədqiq olunan proseslərin xüsusiyyətləri barədə keyfiyyətli fikirlər əldə edirik, ardıcıl vəziyyətlərin dinamik seriyasını təyin edən qanunauyğunluqlar qururuq, gedişatı proqnozlaşdırmaq imkanı əldə edirik. işləyin və kəmiyyət xüsusiyyətlərini təyin edin. "

Riyazi modellər bir çox tanınmış modelləşdirmə texnikasında istifadə olunur. Bunlar arasında obyektin statik və dinamik vəziyyətini təsvir edən modellərin inkişafı, optimallaşdırma modelləri var.

Bir cismin statik və dinamik vəziyyətini təsvir edən riyazi modellərə nümunə olaraq, strukturların ənənəvi hesablanması metodlarını göstərmək olar. Riyazi əməliyyatlar (alqoritm) ardıcıllığı şəklində təqdim olunan hesablama prosesi, müəyyən bir quruluşu hesablamaq üçün riyazi bir model tərtib edildiyini söyləməyə imkan verir.

IN optimallaşdırmamodellər üç elementə malikdir:

Qəbul olunmuş keyfiyyət meyarını əks etdirən obyektiv funksiya;

Tənzimlənən parametrlər;

Tətbiq olunan məhdudiyyətlər.

Bütün bu elementlər riyazi olaraq tənliklər, məntiqi şərtlər və s. Şəklində təsvir olunmalıdır. Optimizasiya probleminin həlli, göstərilən məhdudiyyətlərə tabe olaraq, hədəf funksiyasının minimum (maksimum) dəyərini tapmaq prosesidir. Hədəf funksiyası həddindən artıq dəyərinə çatdıqda həll nəticəsi optimal hesab olunur.

Optimallaşdırma modelinə nümunə sənaye binalarının variant dizayn metodologiyasındakı "bağ uzunluğu" meyarının riyazi təsviridir.

Məqsəd funksiyası minimuma çatmalı olan bütün funksional əlaqələrin ümumi çəkili uzunluğunu əks etdirir:

elementin əlaqəsinin çəki dəyəri haradadır;

- elementlər arasındakı əlaqənin uzunluğu;

- yerləşdiriləcək əşyaların ümumi sayı.

Dizayn həllinin bütün variantlarında binaların yerləşdirilmiş elementlərinin sahələri bərabər olduğundan, variantlar bir-birindən yalnız elementlər arasındakı fərqli məsafələr və bir-birlərinə nisbətən yerləşmələri ilə fərqlənir. Buna görə, bu vəziyyətdə, mərtəbə planlarına qoyulmuş elementlərin koordinatları tənzimlənən parametrlərdir.

Elementlərin düzəldilməsinə (planın əvvəlcədən təyin olunmuş yerində, xarici perimetrdə, birinin üstündən və s.) Və əlaqələrin uzunluğuna (ilə arasındakı əlaqələrin uzunluğunun dəyərlərinə) qoyulmuş məhdudiyyətlər ci elementlər sərt şəkildə qoyulur, minimum və ya maksimum dəyər hədləri təyin olunur, dəyişiklik hüdudları müəyyənləşdirilir) formal olaraq yazılır.

Bir variant, bu variant üçün hesablanan hədəf funksiyasının dəyəri minimal olduqda (bu meyara görə) optimal hesab olunur.

Bir növ riyazi modellər - iqtisadi və riyazi model - sistemin iqtisadi xüsusiyyətləri və parametrləri arasındakı əlaqənin bir modelidir.

İqtisadi və riyazi modellərə nümunə olaraq sənaye binalarının variant dizaynının yuxarıda göstərilən metodunda xərc meyarlarının riyazi təsviridir. Riyazi statistika metodlarından istifadə əsasında əldə edilmiş riyazi modellər birmərtəbəli və çoxmərtəbəli sənaye binalarının çərçivəsinin, təməllərinin, torpaq işlərinin və onların hündürlüyünün, aralığının və dayaq konstruksiyalarının meylinin qiymətindən asılılığını əks etdirir.

Təsadüfi amillərin qərar qəbuletmə təsiri uçotu metoduna görə riyazi modellər deterministik və ehtimalçı bölünür. Qəti model sistemin işləmə prosesində təsadüfi amillərin təsirini nəzərə almır və işləmə qanunauyğunluqlarının analitik təqdimatına əsaslanır Ehtimal (stoxastik)model sistemin işləməsi zamanı təsadüfi amillərin təsirini nəzərə alır və statistik, yəni. kütləvi fenomenlərin kəmiyyət qiymətləndirilməsi, onların qeyri-xətti, dinamikası, müxtəlif paylanma qanunları ilə təsvir olunan təsadüfi pozğunluqları nəzərə almağa imkan verir.

Yuxarıda göstərilən nümunələrdən istifadə edərək deyə bilərik ki, "əlaqələrin uzunluğu" meyarını təsvir edən riyazi model deterministik, "xərclər" meyarları qrupunu izah edən riyazi modellər - ehtimal modellərinə aiddir.

Dil, semantik və məlumat modelləri

Bir problemin aspektlərini təyin etmək məqsədlərin prioritetləri barədə aydın təsəvvür yaratdığına görə riyazi modellərin açıq-aydın xüsusiyyətləri var. Bir mütəxəssisin hər zaman müvafiq ədədi məlumatları təqdim edərək müəyyən bir qərarı qəbul etməsini əsaslandırması vacibdir. Bununla birlikdə, layihə fəaliyyətlərinin tam bir riyazi təsviri mümkün deyil, buna görə memarlıq və tikinti dizaynının başlanğıc mərhələsində həll olunan tapşırıqların əksəriyyəti yarı quruluşlu.

Yarı strukturlu tapşırıqların xüsusiyyətlərindən biri də onlarda istifadə olunan meyarların şifahi təsviridir. Təbii dildə təsvir olunan kriteriyaların tətbiqi (bu kriteriyalar deyilir dilçilik), optimal dizayn həlləri tapmaq üçün daha az mürəkkəb metodlardan istifadə etməyə imkan verir. Bu meyarları nəzərə alaraq, dizayner tanış, mübahisəsiz məqsəd ifadələri əsasında qərar verir.

Problemin bütün aspektlərinin mənalı təsviri bir tərəfdən sistemləşdirməni həll prosesinə gətirir, digər tərəfdən də riyaziyyatın müvafiq hissələrini öyrənmədən özlərini daha rasional həll edə biləcək mütəxəssislərin işini xeyli asanlaşdırır. peşə problemləri. Əncirdə 5.2 verilir dil modeliçörək zavodunun həllərinin planlaşdırılması üçün müxtəlif variantlarda təbii ventilyasiya üçün şərait yaratmaq imkanlarını izah edir.

Mənalı problem təsvirinin digər üstünlükləri aşağıdakılardır:

Dizayn həllinin effektivliyini təyin edən bütün meyarları təsvir etmək bacarığı. Eyni zamanda, təsvirə kompleks anlayışların daxil edilməsi vacibdir və bir mütəxəssisin görmə sahəsinə, kəmiyyət, ölçülə bilən amillərlə yanaşı, ölçülməyən keyfiyyət keyfiyyətləri də daxil ediləcəkdir. Beləliklə, qərar qəbul edərkən bütün subyektiv və obyektiv məlumatlardan istifadə ediləcək;

Şek. 5.2 "Havalandırma" meyarının məzmununun linqvistik model şəklində təsviri

Alınan məlumatların etibarlılığını təmin edən mütəxəssislər tərəfindən qəbul edilmiş ifadələr əsasında müəyyən bir meyar üçün variantlarda məqsədə çatma dərəcəsinin birmənalı qiymətləndirilməsi imkanı;

Qəbul edilmiş qərarların bütün nəticələri, habelə proqnoz xarakterli məlumatların natamam biliyi ilə əlaqəli qeyri-müəyyənliyi nəzərə alma qabiliyyəti.

Semantik modellər tədqiqat obyektini təsvir etmək üçün təbii dildən istifadə olunan modellərə də aiddir.

Semantik model - obyektin müxtəlif tərkib hissələri, aspektləri, xüsusiyyətləri arasında qarşılıqlı əlaqə (yaxınlıq) dərəcəsini əks etdirən obyektin belə bir təsviri var. Qarşılıqlı əlaqə nisbi məkan düzülüşü kimi deyil, mənaya görə bir əlaqə kimi başa düşülür.

Beləliklə, semantik bir mənada, təbii işıqlandırma əmsalı ilə şəffaf mühitlərin işıq sahəsi arasındakı əlaqə, pəncərə açılışları və onlara bitişik olan divarın kor hissələri arasındakı əlaqədən daha yaxın olaraq təqdim ediləcəkdir.

Bağlantı münasibətləri toplusu, hər bir elementin və bütövlükdə bir obyektdə nəyin ayrıldığını göstərir. Eyni zamanda, semantik model, obyektdəki müxtəlif cəhətlərin əlaqə dərəcəsindən əlavə, anlayışların məzmununu da əks etdirir. Təbii dildə ifadə olunan anlayışlar elementar model rolunu oynayır.

Semantik modellərin qurulması, modelin istifadəsi dövründə anlayışların və münasibətlərin dəyişməyəcəyi prinsiplərə əsaslanır; bir konsepsiyanın məzmunu digərinə keçmir; iki anlayış arasındakı əlaqələr onlara münasibətdə bərabər və yönləndirilməmiş bir qarşılıqlı əlaqəyə malikdir.

Modelin hər bir təhlili modelin müəyyən bir ümumi keyfiyyətə malik elementlərinin seçilməsinə yönəldilmişdir. Bu, yalnız birbaşa əlaqələri nəzərə alan bir alqoritm qurmaq üçün əsas verir. Bir modeli yönləndirilməmiş bir qrafaya çevirərkən, hər elementdən yalnız bir dəfə istifadə edərək bir elementdən digərinə hərəkəti izləyən iki element arasında yol axtarılır. Elementlərin sırasına iki elementin ardıcıllığı deyilir. Ardıcıllıqlar müxtəlif uzunluqlarda ola bilər. Bunlardan ən qısasına element münasibətləri deyilir. İki elementin ardıcıllığı, aralarında birbaşa əlaqə varsa da mövcuddur, lakin bu vəziyyətdə heç bir əlaqə yoxdur.

Semantik bir model nümunəsi olaraq, rabitə əlaqələri ilə birlikdə bir mənzilin tərtibinin təsvirini veririk. Konsepsiya bir mənzilin binasıdır. Birbaşa əlaqə, məsələn, bir qapı ilə iki otağın funksional bağlantısı deməkdir (cədvəl 5.1).

Modelin yönləndirilməmiş bir qrafik formasına çevrilməsi elementlərin ardıcıllığını əldə etməyə imkan verir (şəkil 5.3).

Element 2 (vanna otağı) ilə element 6 (kiler) arasında əmələ gələn ardıcıllığın nümunələri cədvəldə göstərilmişdir. 5.2. Cədvəldən də göründüyü kimi, ardıcıllıq 3 bu iki elementin nisbətini təmsil edir.

Cədvəl 5.1

Mənzilin tərtibinin təsviri

Şek. 5.3 Yönləndirilməmiş qrafik şəklində planlaşdırma həllinin təsviri

Riyazi model bir obyektin və ya hadisənin əsas xüsusiyyətlərini əks etdirən riyazi əlaqələr sistemidir - düsturlar, tənliklər, bərabərsizliklər və s.

Təbiətin hər bir fenomeni öz mürəkkəbliyinə görə sonsuzdur... V.N.-nin kitabından götürülmüş bir nümunənin köməyi ilə bunu izah edək. Trostnikov "İnsan və məlumat" ("Science" nəşriyyatı, 1970).

Layman riyaziyyat problemini aşağıdakı kimi formalaşdırır: "Daş 200 metr yüksəklikdən nə vaxta qədər düşəcək?" Riyaziyyatçı problemin öz versiyasını belə yaratmağa başlayacaq: "Daşın boş yerə düşdüyünü və cazibə sürətinin saniyədə saniyədə 9.8 metr olduğunu düşünək. Sonra ..."

- Mənə icazə ver - "müştəri" deyə bilər, - bu sadələşdirmə məni qane etmir. Daşın mövcud şəraitdə nə qədər düşəcəyini bilmək istəyirəm, yoxsa yox.

- Tamam, - riyaziyyatçı razılaşacaq. - Daşın sferik bir forma və diametrə sahib olduğunu düşünək ... Diametri təxminən neçədir?

- Təxminən beş santimetr. Ancaq qətiyyən sferik deyil, uzunsovdur.

- Sonra o olduğunu düşünəcəyikelipsoid şəklinə malikdir Dört, üç və üç santimetr ox oxlarıyla oyarı böyük oxun hər zaman şaquli qalması üçün düşür ... Hava təzyiqinin olduğu düşünülür760 mm civə sütunu , buradan hava sıxlığını tapırıq...

Problemi "insan" dilində qoyan riyaziyyatçı düşüncə tərzinə daha çox müdaxilə etməzsə, sonuncusu bir müddət sonra ədədi cavab verəcəkdir. Ancaq "istehlakçı" əvvəlki kimi etiraz edə bilər: daş əslində heç ellipsoidal deyil, o yerdəki hava təzyiqi və o anda 760 mm civə sütununa bərabər deyildi və s. Riyaziyyatçı ona nə cavab verəcək?

Buna cavab verəcək həqiqi problemin dəqiq həlli ümumiyyətlə qeyri-mümkündür... Təkcə bu yox daş şəklihava müqavimətini təsir edən, heç bir riyazi tənliklə təsvir edilə bilməz; uçuşda fırlanması da riyaziyyatdan kənardadır mürəkkəbliyinə görə. Daha, hava homojen deyil, çünki təsadüfi amillərin təsiri nəticəsində sıxlıq dalğalanmalarının tərəddüdü onda yaranır. Daha da dərinləşsəniz, bunu düşünməlisiniz ümumdünya cazibə qanununa görə, hər cisim bir-birinin üzərində hərəkət edir... Buradan belə çıxır ki, divar saatının sarkaçı da hərəkəti ilə daşın hərəkət trayektoriyasını dəyişdirir.

Bir sözlə, bir cismin davranışını ciddi şəkildə araşdırmaq istəyiriksə, əvvəlcə Kainatdakı bütün digər cisimlərin yerini və sürətini öyrənməliyik. Əlbətdə bu. qeyri-mümkün.

Ən təsirli riyazi model bir kompüterdə alqoritmik model şəklində həyata keçirilə bilər - sözdə "hesablama təcrübəsi" (bax [1], bənd 26).

Əlbəttə ki, model reallığın bəzi vacib cəhətlərini nəzərə almadığı təqdirdə hesablama təcrübəsinin nəticələri həqiqətə uyğun olmaya bilər.

Beləliklə, bir problemi həll etmək üçün riyazi bir model yaratmaq lazımdır:

1. riyazi modelin əsas götürüləcəyi fərziyyələri vurğulamaq;
2. giriş məlumatları və nəticələr kimi nəzərə alınmalı olduğunu müəyyənləşdirmək;
3. nəticələri orijinal məlumatlarla əlaqələndirən riyazi əlaqələri yaz.

Riyazi modellər qurarkən, tələb olunan miqdarları açıq şəkildə ifadə edən düsturlar tapmaq həmişə mümkün deyil. Belə hallarda müxtəlif dərəcə dəqiqliyə cavab vermək üçün riyazi metodlardan istifadə olunur. Hər hansı bir fenomenin yalnız riyazi modelləşdirilməsi deyil, eyni zamanda bu fenomenlərin kompüter qrafiki vasitəsi ilə göstərilməsi ilə təmin olunan vizual-tam miqyaslı modelləşdirmə də mövcuddur. tədqiqatçı qarşısında real vaxtda çəkilən bir növ "kompüter cizgi filmi" göstərilir. Görmə qabiliyyəti burada çox yüksəkdir.

Digər girişlər

10.06.2016. 8.3. Proqramın hazırlanması prosesinin əsas mərhələləri hansılardır? 8.4. Kompüterə getmədən əvvəl proqramın mətnini necə yoxlamaq olar?

8.3. Proqramın hazırlanması prosesinin əsas mərhələləri hansılardır? Bir proqramın hazırlanması prosesi aşağıdakı düsturla ifadə edilə bilər: Yeni hazırlanmış bir proqramda səhvlərin olması normaldır ...

10.06.2016. 8.5. Hata ayıklama və test nə üçündür? 8.6. Ayıklama nədir? 8.7. Viktorina və test nədir? 8.8. Test məlumatları nə olmalıdır? 8.9. Test prosesi hansı mərhələlərdən ibarətdir?

8.5. Hata ayıklama və test nə üçündür? Bir proqramın ayıklanması, bir kompüterdə işləməsinin nəticələrinə əsasən bir proqramdakı səhvlərin tapılması və aradan qaldırılmasıdır. Test edilir ...

10.06.2016. 8.10. Ümumi yayımlanan səhvlər hansılardır? 8.11. Sintaksis səhvlərinin olmaması proqramın düzgün olduğunun göstəricisidir? 8.12. Tərcüməçi tərəfindən hansı səhvlər aşkar olunmur? 8.13. Proqramın istismarı nədir?

8.10. Ümumi yayımlanan səhvlər hansılardır? Problemin həllinin bütün mərhələlərində - formuladan qeydiyyata qədər səhvlər edilə bilər. Səhv növləri və müvafiq nümunələr verilmişdir ...

Birinci səviyyə

OGE və İSTİFADƏ üçün riyazi modellər (2019)

Riyazi model anlayışı

Bir təyyarə təsəvvür edin: qanadlar, gövdə, quyruq bölməsi, bunların hamısı birlikdə - əsl nəhəng, böyük, bütün bir təyyarə. Yoxsa kiçik bir təyyarə modeli edə bilərsiniz, amma hər şey əslində eyni qanadlar və s. Riyazi model də belədir. Mətn problemi var, ağır, ona baxa, oxuya bilərsən, amma tam anlamırsan və daha da çoxu necə həll ediləcəyi bəlli deyil. Bəs böyük bir şifahi problemin kiçik bir modelini, riyazi modelini düzəltsən nə edərsən? Riyaziyyat nə deməkdir? Bu, riyazi qeyd qaydaları və qanunlarından istifadə edərək mətni rəqəmlər və hesab işarələri istifadə edərək məntiqi cəhətdən düzgün bir şəkildə yenidən düzəltmək deməkdir. Belə ki, riyazi model, riyazi dildən istifadə edərək həqiqi vəziyyətin təsviridir.

Sadə bir ilə başlayaq: Sayı sayından çoxdur. Bunu sözlərdən istifadə etmədən, ancaq riyaziyyat dilində yazmalıyıq. Daha çox, onda çıxır ki, çıxsaq, bu rəqəmlərin eyni fərqi bərabər qalır. O. və ya. Mahiyyətini başa düşdün?

İndi daha mürəkkəbdir, indi bir riyazi model şəklində təmsil etməyə çalışmalı olduğunuz bir mətn olacaq, bunu necə edəcəyimi oxuyana qədər özünüz sınayın! Dörd nömrə var: və. İş əsərdən daha böyükdür və iki dəfə.

Nə olub?

Riyazi model şəklində belə görünür:

O. məhsul ikisi ilə əlaqələndirilir, lakin bu yenə də sadələşdirilə bilər:

Tamam, sadə misallarla mənası var, güman edirəm. Bu riyazi modellərin hələ həll edilməli olduğu tam hüquqlu problemlərə keçək! Çətinlik budur.

Praktikada riyazi model

Problem 1

Yağışdan sonra quyuda suyun səviyyəsi arta bilər. Oğlan kiçik daşların quyuya düşmə müddətini ölçür və formuldan istifadə edərək suya qədər olan məsafəni hesablayır, burada məsafələr metrlərlə və saniyələr içində düşmə vaxtıdır. Yağışdan əvvəl daşların düşmə vaxtı s idi. Yağışdan sonra ölçülən vaxtın s ilə dəyişməsi üçün suyun səviyyəsi nə qədər artmalıdır? Cavabınızı metrlərlə ifadə edin.

Allah! Hansı formullar, hansı quyu, nə baş verir, nə etməli? Fikrinizi oxudum? Rahatlayın, bu tip problemlərdə şərtlər daha da pisdir, əsas odur ki, bu problemdə dəyişənlər arasındakı düsturlar və münasibətlər ilə maraqlanasınız və bunun əksər hallarda bunun mənası çox vacib deyil. Burada nəyi faydalı görürsən? Mən şəxsən görürəm. Bu problemlərin həlli prinsipi belədir: bilinən bütün kəmiyyətləri götürün və əvəz edin.AMMA, bəzən düşünmək lazımdır!

İlk tövsiyəmdən sonra və bilinən hər şeyi tənlikdə əvəz edərək əldə edirik:

Bir saniyənin vaxtını əvəzləyən və daşın yağışdan əvvəl uçduğu hündürlüyü tapan mən idim. İndi də yağışdan sonra sayıb fərqi tapmaq lazımdır!

İndi ikinci tövsiyəni dinləyin və düşünün, sual “yağışdan sonra suyun səviyyəsinin nə qədər qalxması lazım olduğunu, ölçülən vaxtın s ilə dəyişməsini” göstərir. Yağışdan sonra suyun səviyyəsinin qalxdığını dərhal qiymətləndirmək lazımdır, yəni daşın su səviyyəsinə düşmə vaxtı azdır və burada "ölçülən vaxt dəyişsin deyə" bəzəkli ifadə müəyyən bir şey alır. mənası: düşmə vaxtı artmır, ancaq müəyyən saniyələrə görə azalır. Bu o deməkdir ki, yağışdan sonra atma halında c-ni ilk c vaxtından çıxarmalıyıq və daşın yağışdan sonra uçacağı hündürlüyün tənliyini alırıq:

Və nəhayət, yağışdan sonra suyun səviyyəsinin nə qədər qalxacağını tapmaq üçün ölçülən vaxtın s ilə dəyişəcəyini tapmaq üçün yalnız ikinci düşmə hündürlüyündən saniyəni çıxarmaq lazımdır!

Cavabı alırıq: sayğacla.

Gördüyünüz kimi, mürəkkəb bir şey yoxdur, əsas odur ki, çox narahat olmayın, şərtlərdə belə anlaşılmaz və bəzən mürəkkəb bir tənlik haradan gəldi və içindəki hər şey nə deməkdir, sözümü götürün, çoxu bu tənliklər fizikadan götürülüb və cəbrdən də pis bir meşə var. Bəzən mənə elə gəlir ki, bu problemlər imtahanda tələbəni çoxsaylı mürəkkəb düsturlar və terminlərlə qorxutmaq üçün icad edilmişdir və əksər hallarda demək olar ki, heç bir bilik tələb etmirlər. Şərti diqqətlə oxuyun və bilinən dəyərləri formula daxil edin!

Budur, artıq fizikada deyil, iqtisadi nəzəriyyə dünyasında başqa bir problem var, baxmayaraq ki, burada riyaziyyat xaricində başqa elmlərə də ehtiyac yoxdur.

Tapşırıq 2

İnhisarçı müəssisənin məhsullarına tələb həcminin (aylıq vahid) qiymətdən asılılığı (min rubl) düsturla verilir

Şirkətin aylıq gəliri (min rubla) düsturdan istifadə edərək hesablanır. Aylıq gəlirin ən azı min rubl olacağı ən yüksək qiyməti təyin edin. Cavabınızı min rublla verin.

İndi nə edəcəyimi təxmin et? Bəli, bildiklərimizi əvəz etməyə başlayacağam, amma yenə də bir az düşünməliyəm. Sondan gedək, hansıda tapmaq lazımdır. Beləliklə, kiməsə bərabərdir, başqa nəyə bərabər olduğunu tapırıq və buna bərabərdir və yazacağıq. Gördüyünüz kimi, bütün bu dəyərlərin mənası barədə çox narahat deyiləm, yalnız şərtlərə baxıram ki, bərabərdir, buna görə də bunu etməlisiniz. Problemə qayıdaq, onsuz da var, amma iki dəyişənli bir tənlikdən xatırladığınız kimi, heç biri tapılmır, nə etməli? Bəli, vəziyyətimizdə hələ istifadə olunmamış bir parça var. Artıq iki tənlik və iki dəyişən var, yəni hər iki dəyişən tapıla bilər - əla!

- belə bir sistemi həll edə bilərsən?

Əvəzetmə yolu ilə həll edirik, artıq ifadə etmişik, yəni birinci tənlikdə əvəz edib sadələşdiririk.

Buradan belə bir kvadrat tənlik çıxdı :, həll edirik, köklər belədir. Tapşırıqda, sistem tərtib edildiyi zaman nəzərə aldığımız bütün şərtlərin yerinə yetiriləcəyi ən yüksək qiyməti tapmaq lazımdır. Oh, bu qiymət idi. Sərin, buna görə qiymətləri tapdıq: və. Ən yüksək qiymət, deyirsən? Tamam, bunlardan ən böyüyü, şübhəsiz ki, cavabdır və yazırıq. Yaxşı, çətindir? Düşünürəm ki, yoxdu və buna həddindən artıq baxmağa ehtiyac yoxdur!

Budur zəhmli fizika, daha doğrusu, başqa bir çətinlik:

Problem 3

Ulduzların təsirli temperaturunu təyin etmək üçün, ulduzun radiasiya gücü olduğu sabit, ulduzun səth sahəsi və temperatur olduğu Stefan - Boltzmann qanunu istifadə olunur. Məlumdur ki, bəzi ulduzların səth sahəsi bərabərdir və şüalanmanın gücü W-yə bərabərdir. Bu ulduzun temperaturunu Kelvin dərəcəsində tapın.

Haradan gəlir? Bəli, şərt nəyin bərabər olduğunu söyləyir. Əvvəllər bütün bilinməyənləri bir anda əvəz etməyi tövsiyə etdim, amma burada əvvəlcə axtarılan bilinməyənləri ifadə etmək daha yaxşıdır. Hər şeyin nə qədər sadə olduğuna baxın: bir düstur var və içində bilinir və (bu Yunanca "sigma" hərfidir. Ümumiyyətlə, fiziklər yunan hərflərini sevirlər, öyrəşin). Və istilik məlum deyil. Bir düstur kimi ifadə edək. Ümid edirəm bunu necə edəcəyinizi bilirsinizmi? 9-cu sinifdə GIA üçün bu cür tapşırıqlar ümumiyyətlə verir:

İndi sağ tərəfdəki hərflər əvəzinə rəqəmləri əvəz etmək və sadələşdirmək qalır:

Cavab budur: Kelvin dərəcəsi! Və bu nə qədər dəhşətli bir iş idi, eh!

Fizika bulmacalarına əzab verməyə davam edirik.

Problem 4

Yuxarıya atılan topun yerindən hündürlüyü qanuna görə dəyişir, burada hündürlüyü metrdir, atıldıqdan sonra keçən saniyələr içərisində vaxt. Top ən az üç metr hündürlükdə neçə saniyə qalacaq?

Bunlar bütün tənliklər idi, amma burada topun ən azı üç metr hündürlükdə nə qədər olduğunu müəyyən etmək lazımdır, bu da hündürlükdə deməkdir. Nə bəstələyəcəyik? Bərabərsizlik, tam olaraq! Topun necə uçduğunu təsvir edən bir funksiyamız var, hündürlüyü metrlə eyni hündürlüyə ehtiyacımız var. Vasitə

Və indi yalnız bərabərsizliyi həll edirsən, əsas odur ki, bərabərsizliyin hər iki tərəfinə çarpdığınız zaman əvvəlcədən çıxmaq üçün bərabərsizlik işarəsini az və ya bərabərdən çox və ya bərabərə dəyişdirməyi unutmayın. .

Bunlar köklərdir, bərabərsizlik üçün fasilələr qururuq:

Eksi işarəsinin olduğu interval bizi maraqlandırır, çünki bərabərsizlik orada mənfi dəyərlər alır, bu hər ikisini daxil edir. İndi də beyni işə salırıq və diqqətlə düşünürük: bərabərsizlik üçün topun uçuşunu təsvir edən tənlikdən istifadə etdik, bir şəkildə bir parabolada uçur, yəni. qalxır, zirvəyə çatır və düşür, ən azı metr yüksəklikdə olacağını necə başa düşmək olar? 2 uç nöqtəsi tapdıq, yəni. metrdən yuxarı qalxdığı an və düşərək eyni işarəyə çatdığı an, bu iki nöqtəni zaman şəklində tərəfimizdən ifadə edilir, yəni. uçuşun hansı saniyəsində bizim üçün maraqlı zonaya girdiyini (metrdən yuxarı) və hansına buraxdığını bilirik (metr işarəsinin altına düşdü). Bu zonada neçə saniyə idi? Bölgədən çıxma vaxtını aldığımız və bu zonaya girmə vaxtını çıxardığımız məntiqlidir. Müvafiq olaraq: - metrdən yuxarı zonada o qədər çox idi, cavab budur.

O qədər şanslısınız ki, bu mövzuda nümunələrin əksəriyyəti fizikadakı problemlər kateqoriyasından götürülə bilər, buna görə bir dənə daha çox tutun, sonuncudur, buna görə özünüzü gərginləşdirin, çox az qalıb!

Problem 5

Müəyyən bir cihazın istilik elementi üçün istismar müddətindən istilik asılılığı təcrübə yolu ilə əldə edilmişdir:

Vaxt dəqiqələr haradadır,. Cihazın üstündəki istilik elementinin bir temperaturunda pisləşə biləcəyi bilinir, buna görə də söndürülməlidir. Cihazı söndürmək üçün işə başladıqdan sonra ən uzun müddət tapın. Cavabınızı bir neçə dəqiqə ərzində bildirin.

Ayıklanmış bir sxemə görə hərəkət edirik, verilən hər şey, əvvəlcə yazırıq:

İndi formulu götürürük və cihazı yanana qədər mümkün qədər qızdırıla biləcəyi istilik dəyərinə bərabərləşdiririk, yəni:

İndi məlum olduğu hərflər əvəzinə rəqəmləri əvəz edirik:

Gördüyünüz kimi, cihazın istismarı zamanı temperatur kvadrat tənliklə təsvir olunur, yəni bir parabola boyunca paylandığı deməkdir, yəni. cihaz müəyyən bir temperatura qədər qızır və sonra soyuyur. Cavablar aldıq və buna görə istilik dəqiqələri ilə və istiliklə kritik olana bərabərdir, ancaq dəqiqələr arasında - məhdudlaşdırıcıdan daha yüksəkdir!

Bu o deməkdir ki, cihazı dəqiqələr ərzində söndürməlisiniz.

Riyazi modellər. ƏSAS HAQQINDA QISA

Çox vaxt riyazi modellər fizikada istifadə olunur: axı, yəqin ki, onlarla fiziki düstur əzbərləməlisiniz. Və düstur vəziyyətin riyazi təsviridir.

OGE və Vahid Dövlət İmtahanında yalnız bu mövzuda tapşırıqlar var. İmtahanda (profildə) bu, 11 nömrəli problemdir (əvvəlki adı B12). OGE-də - 20 nömrəli tapşırıq.

Həll sxemi aydındır:

1) Faydalı məlumatları şərt mətnindən "təcrid etmək" lazımdır - fizika problemlərində "Verilmiş" sözü altında yazdıqlarımız. Bu faydalı məlumat:

• Düstur
• Məlum fiziki kəmiyyətlər.

Yəni düsturdan gələn hər bir məktub müəyyən bir rəqəmlə əlaqələndirilməlidir.

2) Bütün bilinən kəmiyyətləri götürürsünüz və onları formulun yerinə qoyursunuz. Naməlum dəyər bir məktub şəklində qalır. İndi yalnız tənliyi həll etməlisiniz (ümumiyyətlə olduqca sadə) və cavab hazırdır.

Yaxşı mövzu bitdi. Bu sətirləri oxuyursunuzsa, deməli çox sərinsiniz.

Çünki insanların yalnız 5% -i bir şeyləri təkbaşına mənimsəyə bilirlər. Və sona qədər oxusan, o% 5-də sənsən!

İndi ən vacib şey gəlir.

Bu mövzuda nəzəriyyəni müəyyənləşdirdiniz. Yenə də bu ... sadəcə super! Onsuz da yaşıdlarınızın böyük əksəriyyətindən daha yaxşısınız.

Məsələ burasındadır ki, bu yetərli olmaya bilər ...

Nə üçün?

İmtahandan müvəffəqiyyətlə keçmək, instituta büdcəyə qəbul olmaq və ƏN ƏMƏLİ, ömür boyu.

Mən sizi heç nəyə inandırmayacağam, sadəcə bir şey deyəcəyəm ...

Yaxşı bir təhsil almış insanlar, təhsil almamışlardan daha çox qazanırlar. Bunlar statistika.

Ancaq bu da əsas deyil.

Əsas odur ki, daha çox xoşbəxtdirlər (belə işlər var). Bəlkə onlar üçün daha çox fürsət olduğuna və həyat daha parlaq olduğuna görə? Mən bilmirəm...

Ancaq özünüz düşünün ...

İmtahanda başqalarından daha yaxşı olmaq və nəticədə ... daha xoşbəxt olmaq üçün nə lazımdır?

BU MÖVZU ÜÇÜN ƏL HƏLL EDƏN SORUNLAR.

İmtahanda sizdən nəzəriyyə istənilməyəcək.

Sizə lazım olacaq vəzifələri bir müddət həll edin.

Və onları həll etməmisinizsə (çox!), Axmaq bir şəkildə səhvən bir yerə getdiyinizə əmin olursunuz və ya sadəcə vaxtınız olmayacaqdır.

İdmanda olduğu kimi - mütləq qazanmaq üçün bunu dəfələrlə təkrarlamalısan.

İstədiyiniz yerdə kolleksiya tapın, mütləq həll yolları ilə, ətraflı təhlil və qərar ver, qərar ver!

Tapşırıqlarımızı istifadə edə bilərsiniz (isteğe bağlı) və biz əlbəttə ki, onları tövsiyə edirik.

Əllərinizi tapşırıqlarımızla doldurmaq üçün oxuduğunuz YouClever dərsliyinin ömrünü uzatmağa kömək etməlisiniz.

Necə? İki seçim var:

1. Bu məqalədə bütün gizli tapşırıqları paylaşın - 299 r
2. Dərsin 99 məqaləsindəki bütün gizli tapşırıqlara giriş kilidini açın - 999 RUB

Bəli, dərsliyimizdə 99 belə məqalə var və bütün tapşırıqlara və içindəki bütün gizli mətnlərə giriş bir anda açılır.

İkinci halda sənə verəcəyik simulator "Hər mövzu üçün, bütün mürəkkəblik səviyyələri üçün həll və cavablarla 6000 problem." Hər hansı bir mövzuda problemlərin həlli ilə məşğul olmaq üçün mütləq kifayət edəcəkdir.

Əslində, bu sadəcə bir simulyatordan - bütöv bir təlim proqramından daha çox şeydir. Lazım gələrsə, PULSUZ da istifadə edə bilərsiniz.

Bütün mətnlərə və proqramlara giriş saytın bütün ömrü boyu təmin edilir.

Nəticədə ...

Tapşırıqlarımızı bəyənmirsinizsə, başqalarını tapın. Yalnız nəzəriyyə üzərində dayanmayın.

"Anladım" və "həll edə bilirəm" tamamilə fərqli bacarıqlardır. İkisinə də ehtiyacınız var.

Problemləri tapın və həll edin!

Sovetov və Yakovlevin dərsliyinə görə: "bir model (lat. Modulus - ölçü) orijinalın bəzi xüsusiyyətlərinin öyrənilməsini təmin edən orijinal obyektin əvəzedici bir obyektidir." (s. 6) "Model obyektindən istifadə edərək orijinal obyektin ən vacib xüsusiyyətləri haqqında məlumat əldə etmək üçün bir obyektin digərini dəyişdirməsinə modelləşdirmə deyilir." (s. 6) “Riyazi modelləşdirmə dedikdə, riyazi model adlanan bəzi riyazi obyektin verilmiş həqiqi obyektinə uyğunlaşma qurma prosesi və həqiqi obyektin xüsusiyyətlərini əldə etməyə imkan verən bu modelin öyrənilməsi nəzərdə tutulur. nəzərdən keçirilir. Riyazi modelin növü həm həqiqi obyektin təbiətindən, həm də cismin öyrənilməsi vəzifələrindən və bu problemin həllinin tələb olunan etibarlılığından və dəqiqliyindən asılıdır. "

Nəhayət, riyazi modelin ən qısa tərifi: "Fikir ifadə edən bir tənlik."

Model təsnifatı

Modellərin rəsmi təsnifatı

Modellərin rəsmi təsnifatı istifadə olunan riyazi alətlərin təsnifatına əsaslanır. Çox vaxt ikiliklər şəklində tikilir. Məsələn, populyar ikiliklərdən biri:

və s. Hər bir qurulmuş model xətti və ya qeyri-xətti, deterministik və ya stoxastikdir ... Təbii ki, qarışıq tiplər də mümkündür: bir baxımdan konsentrə (parametrlər baxımından), digərində paylanmış modellər və s.

Obyektin təqdim olunduğu şəkildə təsnifat

Rəsmi təsnifatla yanaşı, modellər bir obyektin təmsil olunma tərzində fərqlənir:

• Struktur və ya funksional modellər

Struktur modellər bir obyekti öz quruluşuna və işləmə mexanizminə sahib bir sistem olaraq təmsil edir. Funksional modellər bu cür təqdimatlardan istifadə etmir və yalnız bir obyektin xaricdən qəbul edilən davranışını (fəaliyyətini) əks etdirir. Həddindən artıq ifadələrində bunlara “qara qutu” modelləri də deyilir, bəzən “boz qutu” modelləri də deyilən birləşmiş model növləri də mümkündür.

Məzmun və rəsmi modellər

Riyazi modelləşdirmə prosesini təsvir edən demək olar ki, bütün müəlliflər əvvəlcə xüsusi bir ideal quruluşun qurulduğunu, mənalı model ... Burada müəyyən bir terminologiya yoxdur və digər müəlliflər bu ideal obyekti adlandırırlar konseptual model , spekulyativ model və ya qabaqcıl model ... Bu vəziyyətdə son riyazi konstruksiya deyilir rəsmi model və ya sadəcə müəyyən bir mənalı modelin (əvvəlcədən modelin) rəsmiləşdirilməsi nəticəsində əldə edilmiş riyazi model. Mənalı bir modelin quruluşu, ideal yaylar, sərt cisimlər, ideal sarkaçlar, elastik mühitlər və s.-nin mənalı modelləşdirmə üçün hazır struktur elementləri təmin etdiyi mexanikada olduğu kimi bir sıra hazır idealizasiyalardan istifadə etməklə həyata keçirilə bilər. Bununla birlikdə, tamamlanmış rəsmiləşdirilmiş nəzəriyyələrin olmadığı bilik sahələrində (fizika, biologiya, iqtisadiyyat, sosiologiya, psixologiya və digər əksər sahələr) mənalı modellərin yaradılması çox çətinləşir.

Modellərin əhəmiyyətli dərəcədə təsnifatı

Elmdə heç bir fərziyyə birdəfəlik sübut olunmur. Richard Feynman bunu çox açıq şəkildə söylədi:

“Hər zaman bir nəzəriyyəni təkzib etmək fürsətimiz var, lakin diqqət yetirin, heç vaxt bunun doğru olduğunu sübut edə bilmərik. Fərz edək ki, uğurlu bir fərziyyə irəli sürdünüz, bunun hara aparacağını hesabladıq və bütün nəticələrinin təcrübə yolu ilə təsdiqləndiyini öyrəndiniz. Bu sizin nəzəriyyənizin düzgün olduğu deməkdir? Xeyr, sadəcə onu təkzib edə bilmədiyiniz deməkdir. "

Birinci tip bir model qurulursa, deməli, müvəqqəti olaraq doğru olaraq tanınır və digər problemlərə cəmləşmək mümkündür. Bununla birlikdə, bu araşdırmada bir nöqtə ola bilməz, ancaq müvəqqəti bir fasilə ola bilər: birinci tip bir modelin vəziyyəti yalnız müvəqqəti ola bilər.

Növ 2: Fenomenoloji model (kimi davranmaq…)

Fenomenoloji model fenomeni təsvir etmə mexanizmini özündə cəmləşdirir. Bununla birlikdə, bu mexanizm kifayət qədər inandırıcı deyil, mövcud məlumatlarla kifayət qədər təsdiq edilə bilməz və ya mövcud nəzəriyyələr və obyekt haqqında toplanmış biliklərlə yaxşı uyğun gəlmir. Buna görə fenomenoloji modellər müvəqqəti həll statusuna malikdir. Cavabın hələ bilinmədiyi və "həqiqi mexanizmlər" axtarışını davam etdirməli olduğuna inanılır. Peierls, məsələn, kalori modeli və ikinci hissəyə elementar hissəciklərin kvark modelini əhatə edir.

Modelin tədqiqatdakı rolu zaman keçdikcə dəyişə bilər, yeni məlumatlar və nəzəriyyələrin fenomenoloji modelləri təsdiqləməsi və hipotez statusuna yüksəlməsi baş verə bilər. Eynilə, yeni biliklər tədricən birinci tip fərziyyə modelləri ilə ziddiyyətə girə bilər və bunlar ikincisinə çevrilə bilər. Beləliklə, kvark modeli tədricən fərziyyələr kateqoriyasına keçir; fizikadakı atomizm müvəqqəti bir həll olaraq meydana gəldi, ancaq tarixin gedişi ilə birinci növə keçdi. Ancaq eter modelləri tip 1-dən tip 2-yə keçdi və indi elm xaricindədirlər.

Modelləri qurarkən sadələşdirmə fikri çox populyardır. Ancaq sadələşdirmə fərqlidir. Peierls üç növ modelləşdirmə sadələşdirməsini müəyyənləşdirir.

Növ 3: Təxmini (çox böyük və ya kiçik bir şey hesab edirik)

Tədqiq olunan sistemi təsvir edən tənliklər qurmaq mümkündürsə, bu, hətta kompüter köməyi ilə həll edilə biləcəyi anlamına gəlmir. Bu vəziyyətdə ümumiyyətlə qəbul edilmiş texnika, təxmini istifadədir (tip 3 modelləri). Onların arasında xətti cavab modelləri... Tənliklər xətti olanlarla əvəzlənir. Ohm qanunu standart bir nümunədir.

Budur bioloji sistemlərin riyazi modellərində geniş istifadə olunan tip 8.

Növ 8: Mümkünlüyün nümayişi (əsas şey ehtimalın daxili uyğunluğunu göstərməkdir)

Bunlar bunu xəyali varlıqlar ilə düşünülmüş təcrübələrdir iddia edilən fenomen təməl prinsiplərə uyğun və daxili uyğunluq. Gizli ziddiyyətləri ortaya qoyan Tip 7 modellərindən əsas fərq budur.

Ən məşhur bu cür təcrübələrdən biri də Lobaçevskinin həndəsəsidir (Lobaçevski buna “xəyali həndəsə” dedi). Digər bir nümunə, kimyəvi və bioloji salınımların, avtomatik dalğaların və s. Formal - kinetik modellərinin kütləvi istehsalıdır. Eynşteyn - Podolsky - Rosen paradoksu, kvant mexanikasının uyğunsuzluğunu nümayiş etdirmək üçün tip 7 model olaraq düşünülmüşdür. Tamamilə planlaşdırılmamış bir şəkildə, zaman keçdikcə Tip 8 modelinə çevrildi - məlumatların kvant teleportasiyası imkanlarının nümayişi.

Misal

Bir ucunda sabitlənmiş bir yaydan və ağırlıqdan ibarət mexaniki bir sistemi düşünün m yayın sərbəst ucuna əlavə olunur. Ağırlığın yalnız yay oxu istiqamətində hərəkət edə biləcəyini düşünəcəyik (məsələn, hərəkət çubuq boyunca baş verir). Bu sistemin riyazi modelini quraq. Sistemin vəziyyətini məsafəyə görə təsvir edəcəyik x yükün mərkəzindən tarazlıq vəziyyətinə qədər. Yayın və istifadə olunan yükün qarşılıqlı təsirini təsvir edək hooke qanunu (F = − kx ) və sonra onu diferensial tənlik şəklində ifadə etmək üçün Newtonun ikinci qanunu istifadə edin:

burada ikinci törəməsi deməkdir x vaxta görə :.

Nəticədə yaranan tənlik nəzərə alınan fiziki sistemin riyazi modelini təsvir edir. Bu naxış "harmonik osilator" adlanır.

Rəsmi təsnifata görə, bu model xətti, deterministik, dinamik, cəmlənmiş, davamlıdır. Onu qurarkən, bir çox fərziyyələr etdik (xarici qüvvələrin olmaması, sürtünmənin olmaması, kiçik sapmalar və s.), Əslində yerinə yetirilməyə bilər.

Reallıqla əlaqəli olaraq, bu, ən çox tip 4 modelidir. sadələşdirmə ("Aydınlıq üçün bəzi detalları buraxırıq"), çünki bəzi vacib universal xüsusiyyətlər (məsələn, dağılma) buraxılmışdır. Bəzi yaxınlaşmalara görə (deyək ki, yükün tarazlıqdan sapması azdır, sürtünmə az olsa da, çox uzun müddət və digər şərtlər daxilində deyil), belə bir model həqiqi mexaniki sistemi yaxşı təsvir edir, çünki atılan amillər davranışına laqeyd təsir ... Lakin bu amillərdən bəziləri nəzərə alınmaqla model dəqiqləşdirilə bilər. Bu, daha geniş (yenə məhdud olsa da) tətbiqetmə dairəsi ilə yeni bir modelə səbəb olacaqdır.

Lakin, model zərif olduqda, riyazi tədqiqatının mürəkkəbliyi əhəmiyyətli dərəcədə artaraq modeli praktik olaraq yararsız hala gətirə bilər. Çox vaxt daha sadə bir model həqiqi sistemin daha mürəkkəb (və rəsmi olaraq "daha düzgün") olduğundan daha yaxşı və daha dərindən araşdırılmasına imkan verir.

Harmonik osilator modelini fizikadan uzaq olan obyektlərə tətbiq etsək, onun mənalı statusu fərqli ola bilər. Məsələn, bu modeli bioloji populyasiyalara tətbiq edərkən, çox güman ki, tip 6 kimi təsnif edilməlidir bənzətmə ("Yalnız bəzi xüsusiyyətləri nəzərə alaq").

Sərt və yumşaq modellər

Harmonik Osilatör, sözdə "sərt" bir modeldir. Həqiqi fiziki sistemin güclü bir idealizasiyası nəticəsində əldə edilir. Tətbiq olunması məsələsini həll etmək üçün laqeyd olduğumuz amillərin nə qədər əhəmiyyətli olduğunu başa düşmək lazımdır. Başqa sözlə, "sərt" in kiçik bir narahatlığı ilə əldə edilən "yumşaq" modeli araşdırmaq lazımdır. Məsələn, aşağıdakı tənliklə verilə bilər:

Budur sürtünmə gücünü və ya yay sərtlik əmsalının uzanma dərəcəsindən asılılığını nəzərə ala bilən müəyyən bir funksiya, kiçik bir parametrdir. Açıq funksiya f hal hazırda bizi maraqlandırmır. Yumşaq modelin davranışının sərt modelin davranışından əsaslı şəkildə fərqlənmədiyini sübut etsək (narahat edən faktorların açıq formasından asılı olmayaraq, kifayət qədər kiçik olduqları təqdirdə), problem sərt tədqiqata qədər azalacaq model. Əks təqdirdə, sərt modelin öyrənilməsində əldə edilən nəticələrin tətbiqi əlavə araşdırma tələb edəcəkdir. Məsələn, harmonik osilator tənliyinin həlli formanın funksiyalarıdır, yəni sabit amplituda olan salınımlar. Həqiqi bir osilatorun sabit bir amplituda ilə sonsuz uzun müddət rəqs etməsi bundan irəli gəlirmi? Xeyr, çünki özbaşına kiçik sürtünməli bir sistem (hər zaman həqiqi bir sistemdə mövcuddur) nəzərə alındıqda sönümlü rəqslər oluruq. Sistemin davranışı kəskin şəkildə dəyişdi.

Bir sistem kiçik iğtişaşlar altında keyfiyyət davranışını saxlayırsa, struktur baxımından sabit olduğu deyilir. Harmonik osilator struktur cəhətdən qeyri-sabit (qaba olmayan) bir sistem nümunəsidir. Buna baxmayaraq, bu model məhdud zaman aralığında prosesləri öyrənmək üçün tətbiq oluna bilər.

Modellərin çox yönlü olması

Ən vacib riyazi modellər ümumiyyətlə vacib bir xüsusiyyətə sahibdir universallıq: eyni dərəcədə fərqli real hadisələr eyni riyazi model ilə təsvir edilə bilər. Məsələn, harmonik bir osilator yalnız bir yaydakı yükün davranışını deyil, əksər hallarda tamamilə fərqli bir təbiətdəki digər salınım proseslərini də təsvir edir: bir sarkaçın kiçik salınımları, içindəki maye səviyyəsinin salınımları U - şəkilli damar və ya salınım dövrəsindəki cərəyan gücündə dəyişiklik. Beləliklə, bir riyazi modeli öyrənərək bir anda onun təsvir etdiyi fenomenlərin bütün sinfini öyrənirik. Lüdviq fon Bertalanffinin "Sistemlərin ümumi nəzəriyyəsi" yaratmağı bacardığı elmi biliklərin müxtəlif seqmentlərində riyazi modellərin ifadə etdiyi qanunların bu izomorfizmi.

Riyazi modelləşdirmənin birbaşa və tərs problemləri

Riyazi modelləşdirmə ilə əlaqəli bir çox problem var. Birincisi, modelləşdirilmiş obyektin əsas sxemini düşünmək, onu bu elmin idealizasiyaları çərçivəsində çoxaltmaq lazımdır. Beləliklə, bir qatar vaqonu, müxtəlif materiallardan hazırlanmış lövhələr və daha mürəkkəb gövdələr sisteminə çevrilir, hər material standart mexaniki idealizasiya kimi müəyyən edilir (sıxlıq, elastik modullar, standart güc xüsusiyyətləri), bundan sonra yol boyunca tənliklər düzəldilir. bəzi detallar əhəmiyyətsiz olaraq atılır, hesablamalar aparılır, ölçmələrlə müqayisə edilir, model dəqiqləşdirilir və s. Bununla birlikdə, riyazi modelləşdirmə texnologiyalarının inkişafı üçün bu prosesi əsas tərkib elementlərinə ayırmaq faydalıdır.

Ənənəvi olaraq riyazi modellərlə əlaqəli iki əsas problem sinfi var: birbaşa və tərs.

Birbaşa tapşırıq: modelin quruluşu və bütün parametrləri məlum sayılır, əsas vəzifə obyekt haqqında faydalı məlumat əldə etmək üçün model üzərində iş aparmaqdır. Körpü hansı statik yükə davam gətirəcək? Dinamik bir yükə necə reaksiya verəcəkdir (məsələn, bir əsgərin yürüşünə və ya fərqli sürətdə olmayan bir qatarın keçməsinə), təyyarənin səs baryerini necə aşacağı, çırpınmadan ayrılacağı - bunlar birbaşa tapşırığın tipik nümunələridir. Doğru birbaşa problemin qoyulması (düzgün sualın verilməsi) xüsusi bacarıq tələb edir. Düzgün suallar verilməzsə, davranışı üçün yaxşı bir model qurulsa da, körpü çökə bilər. Beləliklə, 1879-cu ildə İngiltərədə, Tay üzərində bir metal körpü çökdü, dizaynerləri körpünün bir modelini qurdular, yükü üçün 20 qat təhlükəsizlik faktoru olaraq hesabladılar, ancaq bu yerlərdə davamlı əsən küləkləri unutdular. Və bir il yarımdan sonra çökdü.

Ən sadə halda (məsələn, bir osilator tənliyi) birbaşa məsələ çox sadədir və bu tənliyin açıq həllinə qədər azalır.

Tərs problem: bir çox mümkün model məlumdur, obyekt haqqında əlavə məlumatlar əsasında müəyyən bir model seçilməlidir. Daha çox modelin quruluşu bilinir və bəzi bilinməyən parametrlərin təyin edilməsi lazımdır. Əlavə məlumat əlavə empirik məlumatlardan və ya obyekt üçün tələblərdən ibarət ola bilər ( dizayn tapşırığı). Əlavə məlumatlar tərs problemin həll prosesindən asılı olmayaraq gələ bilər ( passiv nəzarət) və ya xüsusi planlaşdırılmış bir təcrübənin nəticəsi ola bilər ( aktiv nəzarət).

Mövcud məlumatlardan mümkün qədər çox istifadə etməklə tərs problemin virtuoz həllinin ilk nümunələrindən biri, I. Newton tərəfindən qurulmuş, müşahidə olunan sönmüş salınımlardan sürtünmə qüvvələrinin bərpası üsulu idi.

Əlavə nümunələr

harada x s - doğum nisbətinin ölüm nisbəti ilə tam şəkildə kompensasiya olunduğu "tarazlıq" əhali ölçüsü. Belə bir modeldəki populyasiya ölçüsü tarazlıq dəyərinə meyllidir x s və bu davranış struktur baxımından sabitdir.

Bu sistem dovşan və tülkü sayı sabit olduqda tarazlıq vəziyyətinə malikdir. Bu vəziyyətdən kənarlaşma, harmonik osilatordakı dalğalanmalara bənzər dovşan və tülkü sayında dalğalanmalara səbəb olur. Harmonik osilatorda olduğu kimi, bu davranış da struktur baxımından sabit deyil: modeldəki kiçik bir dəyişiklik (məsələn, dovşanların ehtiyac duyduğu məhdud mənbələri nəzərə alaraq) davranışda keyfiyyət dəyişikliyinə səbəb ola bilər. Məsələn, tarazlıq vəziyyəti sabitləşə bilər və rəqəmlərdəki dalğalanmalar azalacaq. Tərəzi vəziyyət, tarazlıq vəziyyətindən hər hansı bir kiçik sapmanın növlərdən birinin tamamilə məhv olmasına qədər fəlakətli nəticələrə səbəb olacağı zaman da mümkündür. Volterra-Lotka modeli bu ssenarilərdən hansının həyata keçirildiyi sualına cavab vermir: burada əlavə araşdırma tələb olunur.

Qeydlər (redaktə edin)

1. "Reallığın riyazi bir təsviri" (Ansiklopediya Britanica)
2. Novik I. B., Kibernetik modelləşdirmənin fəlsəfi məsələləri haqqında. M., Bilik, 1964.
3. B. Ya Sovetlər, S. A. Yakovlev, Sistem Modelləşdirmə: Dərslik. universitetlər üçün - 3-cü ed., rev. və əlavə edin. - M.: Daha yüksək. shk., 2001 .-- 343 s. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarskiy A.A., Mixaylov A.P. Riyazi modelləşdirmə. Fikirlər. Metodlar. Nümunələr. ... - 2-ci nəşr, Rev .. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A. D., Riyazi modellər nəzəriyyəsinin elementləri. - 3-cü ed., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
6. Vikisözlük: riyazi model
7. Uçurum Qeydləri
8. Çoxölçülü fenomenlər üçün model azaltma və qaba taxıl yanaşmaları, Springer, Mürəkkəblik seriyası, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII + 562 s. ISBN 3-540-35885-4
9. “Nəzəriyyə xətti və ya qeyri-xətti riyazi aparat olub-olmamasına, hansı növ xətti və ya qeyri-xətti riyazi modellərdən istifadə etməsinə görə xətti və ya qeyri-xətti hesab olunur. ... İkincisi inkar edilmədən. Müasir bir fizik, qeyri-xətti kimi vacib bir mahiyyətin tərifini yenidən yaratmış olsaydı, çox güman ki, fərqli davranardı və iki ziddiyyətin daha vacib və geniş yayılması kimi qeyri-xətti üstün tutaraq, doğrusallığı 'qeyri-doğrusal' deyil '. " Danilov Yu.A., Qeyri-xətti dinamiklər haqqında mühazirələr. İbtidai giriş. Sinergetika: keçmişdən gələcək seriallara. Nəşr 2. - M.: URSS, 2006. - 208 s. ISBN 5-484-00183-8
10. “Sonlu sayda adi diferensial tənliklər ilə modelləşdirilən dinamik sistemlərə toplu və ya nöqtəli sistemlər deyilir. Bunlar sonlu ölçülü bir faz sahəsi istifadə edərək təsvir olunur və son dərəcə sərbəstlik dərəcələri ilə xarakterizə olunur. Fərqli şərtlərdə eyni sistem ya konsentrasiya edilmiş, ya da paylanmış kimi qəbul edilə bilər. Paylanmış sistemlərin riyazi modelləri qismən diferensial tənliklər, inteqral tənliklər və ya geridə qalan arqumenti olan adi tənliklərdir. Paylanmış bir sistemin sərbəstlik dərəcələrinin sayı sonsuzdur və vəziyyətini təyin etmək üçün sonsuz bir məlumat lazımdır. " Anischenko V.S., Dinamik sistemlər, Soros təhsil jurnalı, 1997, no. 11, s. 77-84.
11. “S sistemindəki öyrənilən proseslərin təbiətindən asılı olaraq, bütün modelləşdirmə növləri deterministik və stoxastik, statik və dinamik, diskret, davamlı və diskret-davamlı olaraq bölünə bilər. Deterministik modelləşdirmə deterministik prosesləri, yəni təsadüfi təsirlərin olmamasının ehtimal olunduğu prosesləri göstərir; stoxastik modelləşdirmə ehtimal prosesi və hadisələrini göstərir. ... Statik modelləşdirmə zamanın istənilən nöqtəsində bir obyektin davranışını təsvir etmək üçün istifadə olunur, dinamik modelləşdirmə isə zaman içində bir obyektin davranışını əks etdirir. Ayrı-ayrı modelləşdirmə, ayrı-ayrılıqda fərz edildiyi prosesləri təsvir etmək üçün istifadə olunur, davamlı modelləşdirmə sistemlərdəki davamlı prosesləri əks etdirməyə imkan verir və diskret-davamlı modelləşdirmə həm diskret, həm də davamlı proseslərin varlığını vurğulamaq istədiyiniz hallar üçün istifadə olunur. " B. Ya Sovetlər, S. A. Yakovlev, Sistem Modelləşdirmə: Dərslik. universitetlər üçün - 3-cü ed., rev. və əlavə edin. - M.: Daha yüksək. shk., 2001 .-- 343 s. ISBN 5-06-003860-2
12. Ümumiyyətlə, riyazi model süni obyektin quruluşunu (cihazını), bu obyektin tədqiqat məqsədləri üçün vacib olan xüsusiyyətlərini və əlaqələrini əks etdirir; belə bir modelə struktur deyilir. Model yalnız bir obyektin necə işlədiyini - məsələn, xarici təsirlərə necə reaksiya verdiyini əks etdirirsə, o zaman funksional və ya məcazi mənada qara qutu adlanır. Kombinə edilmiş modellər də mümkündür. Myshkis A. D., Riyazi modellər nəzəriyyəsinin elementləri. - 3-cü ed., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
13. “Riyazi model qurmağın və ya seçməyin aşkar, lakin ən vacib ilkin mərhələsi, modelləşdirilmiş obyekt haqqında bir fikri mümkün qədər aydınlaşdırmaq və qeyri-rəsmi müzakirələrə əsaslanan mənalı modelini aydınlaşdırmaqdır. Bu mərhələdə vaxt və səyini əsirgəməmək lazım deyil, bütün tədqiqatın uğuru böyük dərəcədə ondan asılıdır. Riyazi problemin həlli üçün sərf olunan əhəmiyyətli işin məsələnin bu tərəfinə yetərincə diqqət göstərmədiyi üçün nəticəsiz qaldığı və hətta boşa çıxdığı bir dəfədən çox oldu. " Myshkis A. D., Riyazi modellər nəzəriyyəsinin elementləri. - 3-cü ed., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4, s. 35.
14. « Sistemin konseptual modelinin təsviri. Sistem modelinin qurulmasının bu alt mərhələsində: a) konseptual model M mücərrəd terminlər və anlayışlarla təsvir olunur; b) standart riyazi sxemlərdən istifadə edərək modelin təsviri verilir; c) fərziyyələr və fərziyyələr nəhayət qəbul olunur; d) modelin qurulmasında real proseslərin yaxınlaşdırılması prosedurunun seçilməsi əsaslandırılır. " B. Ya Sovetlər, S. A. Yakovlev, Sistem Modelləşdirmə: Dərslik. universitetlər üçün - 3-cü ed., rev. və əlavə edin. - M.: Daha yüksək. shk., 2001 .-- 343 s. ISBN 5-06-003860-2, səh. 93.