Modul nömrəsi bu rəqəmin özü mənfi deyilsə və ya əks işarəsi ilə eyni rəqəmdirsə, mənfi olarsa deyilir.

Məsələn, 6-nın modulu 6, -6-nın modulu da 6-dır.

Yəni bir ədədin mütləq dəyəri bu rəqəmin işarəsi nəzərə alınmadan mütləq dəyər, mütləq dəyər kimi başa düşülür.

Aşağıdakı kimi təyin olunur: | 6 |, | x|, |və| və s.

(Daha ətraflı məlumat üçün "Sayı modulu" bölməsinə baxın).

Modullu tənliklər.

Nümunə 1 ... Tənliyi həll edin|10 x - 5| = 15.

Qərar.

Qaydaya görə, bir tənlik iki tənliyin birləşməsinə bərabərdir:

10x - 5 = 15
10x - 5 = -15

Qərar veririk:

10x = 15 + 5 = 20
10x = -15 + 5 = -10

x = 20: 10
x = -10: 10

x = 2
x = -1

Cavab verin: x 1 = 2, x 2 = -1.

Nümunə 2 ... Tənliyi həll edin|2 x + 1| = x + 2.

Qərar.

Modul mənfi olmayan bir rəqəm olduğu üçün x + 2 ≥ 0. Müvafiq olaraq:

x ≥ -2.

İki tənlik düzəldirik:

2x + 1 = x + 2
2x + 1 = -(x + 2)

Qərar veririk:

2x + 1 = x + 2
2x + 1 = -x - 2

2x - x = 2 - 1
2x + x = -2 - 1

x = 1
x = -1

Hər iki rəqəm -2-dən böyükdür. Deməli, hər ikisi də tənliyin köküdür.

Cavab verin: x 1 = -1, x 2 = 1.

Nümunə 3 ... Tənliyi həll edin

|x + 3| - 1
————— = 4
x - 1

Qərar.

Tənlik, məxrəc sıfır deyilsə, mənalı olur - deməkdir x ≠ 1. Bu şərti nəzərə alaq. İlk hərəkətimiz sadədir - yalnız kəsrdən qurtulmaq deyil, modulu təmiz formada əldə edəcək şəkildə çevirmək:

|x + 3 | - 1 \u003d 4 ( x - 1),

|x + 3| - 1 = 4x - 4,

|x + 3| = 4x - 4 + 1,

|x + 3| = 4x - 3.

İndi tənliyin sol tərəfində yalnız modulun altındakı ifadə var. Hərəkət edin.
Bir ədədin modulu mənfi olmayan bir rəqəmdir - yəni sıfırdan çox və ya bərabər olmalıdır. Buna görə bərabərsizliyi həll edirik:

4x - 3 ≥ 0

4x ≥ 3

x ≥ 3/4

Beləliklə, ikinci bir şərtimiz var: tənliyin kökü ən azı 3/4 olmalıdır.

Qaydaya uyğun olaraq iki tənlik toplusu düzəldirik və bunları həll edirik:

x + 3 = 4x - 3
x + 3 = -(4x - 3)

x + 3 = 4x - 3
x + 3 = -4x + 3

x - 4x = -3 - 3
x + 4x = 3 - 3

x = 2
x = 0

İki cavab aldıq. Orijinal tənliyin kökləri olub olmadığını yoxlayaq.

İki şərtimiz var idi: tənliyin kökü 1-ə bərabər ola bilməz və ən azı 3/4 olmalıdır. Yəni x ≠ 1, x ≥ 3/4. Alınan iki cavabdan yalnız biri bu şərtlərin hər ikisinə cavab verir - 2 rəqəmi. Bu o deməkdir ki, yalnız orijinal tənliyin köküdür.

Cavab verin: x = 2.

Modulla bərabərsizliklər.

Nümunə 1 ... Bərabərsizliyi həll edin| x - 3| < 4

Qərar.

Modul qaydasında deyilir:

|və| = və, əgər bir və ≥ 0.

|və| = -və, əgər bir və < 0.

Modul həm mənfi, həm də mənfi nömrələrə sahib ola bilər. Beləliklə, hər iki işi də nəzərdən keçirməliyik: x - 3 ≥ 0 və x - 3 < 0.

1) nə vaxt x - 3 ≥ 0, orijinal bərabərsizliyimiz olduğu kimi qalır, yalnız modul işarəsi olmadan:
x - 3 < 4.

2) Nə vaxt x - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(x - 3) < 4.

Mötərizəni genişləndiririk:

-x + 3 < 4.

Beləliklə, bu iki şərtdən iki bərabərsizlik sisteminin birləşməsinə gəldik:

x - 3 ≥ 0
x - 3 < 4

x - 3 < 0
-x + 3 < 4

Onları həll edək:

x ≥ 3
x < 7

x < 3
x > -1

Beləliklə, cavabımızda iki dəstin birliyi var:

3 ≤ x < 7 U -1 < x < 3.

Ən kiçik və ən böyük dəyərləri təyin edin. Bunlar -1 və 7-dir. Eyni zamanda x -1-dən böyük, lakin 7-dən azdır.
Bundan əlavə, x ≥ 3. Beləliklə, bərabərsizliyin həlli, bu həddindən artıq rəqəmlər istisna olmaqla, 1-dən 7-ə qədər olan bütün ədədlərdir.

Cavab verin: -1 < x < 7.

Və ya: x ∈ (-1; 7).

Əlavələr.

1) bərabərsizliyimizi həll etməyin daha sadə və daha qısa bir yolu var - qrafik. Bunu etmək üçün üfüqi bir ox çəkməlisiniz (şəkil 1).

İfadə | x - 3| < 4 означает, что расстояние от точки x 3-cü nöqtəyə dörd vahiddən azdır. Oxda 3 rəqəmini qeyd edirik və ondan sola və sağa 4 bölmə sayırıq. Solda -1 nöqtəsinə, sağda 7 nöqtəsinə gələcəyik. Beləliklə, nöqtələr x bunları hesablamadan gördük.

Üstəlik, bərabərsizlik şərtinə görə, -1 və 7-nin özləri həll dəstinə daxil edilmir. Beləliklə, cavabı alırıq:

1 < x < 7.

2) Ancaq qrafik olaraq da daha sadə bir həll var. Bunun üçün bərabərsizliyimiz aşağıdakı formada təmsil olunmalıdır:

4 < x - 3 < 4.

Axı, modul qaydasına görə belədir. Qeyri-mənfi sayı 4 və bənzər mənfi sayı -4 bərabərsizliyin həll edilməsinin sərhədləridir.

4 + 3 < x < 4 + 3

1 < x < 7.

Nümunə 2 ... Bərabərsizliyi həll edin| x - 2| ≥ 5

Qərar.

Bu nümunə əvvəlkindən xeyli fərqlənir. Sol tərəf 5-dən böyük və ya 5-ə bərabərdir. Həndəsi baxımdan bərabərsizliyin həlli 2 nöqtəsindən 5 vahid və ya daha çox məsafədə olan bütün ədədlərdir (şəkil 2). Qrafik göstərir ki, bunların hamısı -3-dən az və ya 7-dən böyük və ya bərabər olan rəqəmlərdir. Beləliklə, cavabı artıq almışıq.

Cavab verin: -3 ≥ x ≥ 7.

Yolda, sərbəst müddətin əks işarəsi ilə sola və sağa keçərək eyni bərabərsizliyi həll edirik:

5 ≥ x - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ x ≥ 5 + 2

Cavab eynidir: -3 ≥ x ≥ 7.

Və ya: x ∈ [-3; 7]

Nümunə həll edildi.

Nümunə 3 ... Bərabərsizliyi həll edin6 x 2 - | x| - 2 ≤ 0

Qərar.

Sayı x müsbət, mənfi və ya sıfır ola bilər. Buna görə hər üç şərti də nəzərə almalıyıq. Bildiyiniz kimi, onlar iki bərabərsizlikdə nəzərə alınır: x ≥ 0 və x < 0. При x ≥ 0 yalnız orijinal bərabərsizliyimizi olduğu kimi yenidən yazırıq, yalnız modul işarəsi olmadan:

6x 2 - x - 2 ≤ 0.

İndi ikinci hal haqqında: əgər x < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6x 2 - (-x) - 2 ≤ 0.

Mötərizəni genişləndirin:

6x 2 + x - 2 ≤ 0.

Beləliklə, iki tənlik sistemi əldə etdik:

6x 2 - x - 2 ≤ 0
x ≥ 0

6x 2 + x - 2 ≤ 0
x < 0

Sistemlərdəki bərabərsizlikləri həll etmək lazımdır - yəni iki kvadrat tənliyin köklərini tapmaq lazımdır. Bunun üçün bərabərsizliklərin sol tərəflərini sıfıra bərabərləşdiririk.

Birincisindən başlayaq:

6x 2 - x - 2 = 0.

Kvadrat tənlik necə həll olunur - "Kvadrat tənlik" bölməsinə baxın. Dərhal cavabı adlandıracağıq:

x 1 \u003d -1/2, x 2 \u003d 2/3.

İlk bərabərsizliklər sistemindən ilk bərabərsizliyin həllinin -1 / 2-dən 2/3-ə qədər olan bütün ədədlər toplandığını tapırıq. Üçün həllərin birliyini yazırıq x ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

İndi ikinci kvadrat tənliyi həll edək:

6x 2 + x - 2 = 0.

Kökləri:

x 1 = -2/3, x 2 = 1/2.

Nəticə: at x < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

İki cavabı birləşdirək və son cavabı alaq: həll bu həddindən artıq rəqəmlər daxil olmaqla -2/3 ilə 2/3 arasında olan bütün rəqəmlər toplusudur.

Cavab verin: -2/3 ≤ x ≤ 2/3.

Və ya: x ∈ [-2/3; 2/3].

Modullarla bərabərsizliyin açıqlanması üsulları (qaydaları) modulların ardıcıl açıqlanmasından ibarətdir, submodular funksiyaların işarə sabitliyinin fasilələrindən istifadə olunur. Son variantda, problemin şərtini təmin edən aralıq və ya fasilələr tapılan bir neçə bərabərsizlik əldə edilir.

Təcrübədə ümumi nümunələrin həllinə keçək.

Modullarla xətti bərabərsizliklər

Xətti dedikdə dəyişənin tənliyə xətti daxil olduğu tənliklər nəzərdə tutulur.

Nümunə 1. bərabərsizliyin həllini tapın

Qərar:
Məsələnin şərtindən belə çıxır ki, x \u003d -1 və x \u003d -2-də modullar sıfıra çevrilir. Bu nöqtələr ədədi oxu aralıqlara bölür

Bu fasilələrin hər birində verilmiş bərabərsizliyi həll edirik. Bunu etmək üçün, ilk növbədə, submodüler funksiyaların sabitlik sahələrinin qrafik təsvirlərini çəkirik. Funksiyaların hər birinin işarəsi olan sahələr kimi təsvir olunurlar

və ya bütün funksiyaların işarələri olan fasilələr.

İlk aralıqda modulları açın

Hər iki tərəfi də mənfi birə vururuq və bərabərsizlikdəki işarə əksinə dəyişəcəkdir. Bu qaydaya alışmağın çətin olduğunu düşünürsənsə, eksi qurtarmaq üçün hissələrin hər birini işarəsi ilə hərəkət etdirə bilərsiniz. Son versiyada alacaqsınız

X\u003e -3 çoxluğunun tənliklərin həll olunduğu sahə ilə kəsişməsi (-3; -2) aralığı olacaqdır. Çözüm axtarmağı asan tapanlar üçün qrafiki olaraq bu sahələrin kəsişməsini çəkə bilərsiniz

Sahələrin ümumi kəsişməsi həll olacaqdır. Ciddi qeyri-bərabərliklə, kənarlara daxil edilmir. Ciddi deyilsə, əvəzlə yoxlayın.

İkinci aralıqda əldə edirik

Bölmə interval olacaq (-2; -5/3). Qrafik olaraq həll belə görünür

Üçüncü aralıqda əldə edirik

Bu vəziyyət istənilən ərazidə həll vermir.

Tapılan iki həll (-3; -2) və (-2; -5/3) x \u003d -2 nöqtəsi ilə həmsərhəd olduğundan, onu da yoxlayırıq.

Deməli x \u003d -2 nöqtəsi həlldir. Bunu nəzərə alaraq ümumi həll (-3; 5/3) kimi görünəcəkdir.

Nümunə 2. bərabərsizliyin həllini tapın
| x-2 | - | x-3 |\u003e \u003d | x-4 |

Qərar:
X \u003d 2, x \u003d 3, x \u003d 4 nöqtələri submodular funksiyaların sıfırlardır. Bu nöqtələrdən az arqumentlər üçün alt modul funksiyaları mənfi, böyükləri üçün müsbətdir.

Xallar faktiki oxu dörd fasiləyə bölür. Modulları sabitlik aralıqlarına görə açırıq və bərabərsizlikləri həll edirik.

1) Birinci intervalda bütün submodüler funksiyalar mənfidir, buna görə modulları genişləndirərkən işarəni əksinə dəyişdiririk.

X-nin tapılmış dəyərlərinin nəzərdən keçirilmiş interval ilə kəsişməsi nöqtələrin çoxluğu olacaqdır

2) x \u003d 2 və x \u003d 3 nöqtələri arasındakı intervalda birinci submodüler funksiya müsbət, ikinci və üçüncüsü mənfidir. Modulları genişləndiririk, əldə edirik

həll etdiyimiz interval ilə kəsişmədə bir həll verən bir bərabərsizlik - x \u003d 3.

3) x \u003d 3 və x \u003d 4 nöqtələri arasındakı intervalda birinci və ikinci alt modul funksiyaları müsbət, üçüncüsü isə mənfidir. Buna əsasən əldə edirik

Bu şərt bütün intervalın modul bərabərsizliyini təmin edəcəyini göstərir.

4) x\u003e 4 üçün bütün funksiyalar müsbətdir. Modulları genişləndirərkən işarələrini dəyişdirmirik.

İntervalla kəsişmədə tapılan şərt aşağıdakı həll yollarını verir

Bərabərsizlik bütün fasilələrdə həll olunduğundan, tapılmış x dəyərlərinin ortaq nöqtəsini tapmaq qalır. Çözüm iki fasilə olacaq

Bu nümunə həll edildi.

Nümunə 3. bərabərsizliyin həllini tapın
|| x-1 | -5 |\u003e 3-2x

Qərar:
Modul modulu ilə bərabərsizliyimiz var. Bu bərabərsizliklər, daha dərinlikdə olanlardan başlayaraq modullar yuva qurulduqca ortaya çıxır.

X-1 alt modulu funksiyası x \u003d 1 olduqda sıfıra çevrilir. 1 üçün daha kiçik dəyərlər üçün x\u003e 1 üçün mənfi və müsbətdir. Buna əsasən daxili modulu genişləndiririk və fasilələrin hər birindəki bərabərsizliyi nəzərdən keçiririk.

Əvvəlcə mənfi sonsuzluqdan birinə qədər olan aralığı düşünün

Submodular funksiya x \u003d -4 nöqtəsində sıfıra bərabərdir. Aşağı dəyərlərdə müsbət, daha yüksək dəyərlərdə mənfi olur. X üçün modulu genişləndirin<-4:

Nəzərə aldığımız sahə ilə kəsişmədə bir sıra həll yolları əldə edirik

Növbəti addım (-4; 1) aralığında modulu açmaqdır.

Modulun açıqlanması sahəsini nəzərə alaraq həll aralığını əldə edirik

UNUTMAYIN: modullarla bu cür pozuntularda ortaq bir nöqtə ilə həmsərhəd olan iki fasilə alsanız, bir qayda olaraq, bu da bir həlldir.

Bunu etmək üçün sadəcə yoxlamaq lazımdır.

Bu vəziyyətdə x \u003d -4 nöqtəsini əvəz edin.

Yəni x \u003d -4 həlldir.
Daxili modulu x\u003e 1 üçün açaq

Alt modul x üçün mənfi<6.
Modulu genişləndiririk, əldə edirik

(1; 6) intervalı olan hissədəki bu şərt boş bir həll dəsti verir.

X\u003e 6 üçün bərabərsizliyi əldə edirik

Ayrıca, həll boş bir dəstə var.
Yuxarıda deyilənlərin hamısını nəzərə alsaq, modullarla bərabərsizliyin yeganə həlli aşağıdakı intervaldır.

Kvadrat tənlikləri ehtiva edən modullarla bərabərsizliklər

Nümunə 4. bərabərsizliyin həllini tapın
| x ^ 2 + 3x |\u003e \u003d 2-x ^ 2

Qərar:
Alt modul funksiyası x \u003d 0, x \u003d -3 nöqtələrində yox olur. Eksi olanlar üçün sadə əvəzetmə

bunun (-3; 0) intervalında sıfırdan az olduğunu və xaricində müsbət olduğunu təsbit edirik.
Modulu submodüler funksiyanın müsbət olduğu yerlərdə genişləndirin

Kvadrat funksiyasının müsbət olduğu sahələri təyin etmək qalır. Bunun üçün kvadrat tənliyin köklərini təyin edirik

Rahatlıq üçün (-2; 1/2) aralığına aid x \u003d 0 nöqtəsini əvəz edirik. Funksiya bu intervalda mənfi olur, yəni aşağıdakı x çoxluqları deməkdir

Burada mötərizələr sahələrin kənarlarını məhlullarla göstərir, bu qəsdən aşağıdakı qayda nəzərə alınmaqla edildi.

UNUTMAYIN: Modullarla bərabərsizlik və ya sadə bir bərabərsizlik sərtdirsə, tapılan sahələrin kənarları həll deyil, bərabərsizliklər sərt deyilsə (), kənarları həlldir (kvadrat mötərizə ilə işarələnir).

Bu qayda bir çox müəllim tərəfindən istifadə olunur: ciddi bir bərabərsizlik göstərildiyi təqdirdə və hesablamalar zamanı həllində dördbucaqlı mötərizə ([,]) yazarsanız, avtomatik olaraq bunu səhv cavab sayacaqlar. Ayrıca, test edərkən, modullarla qeyri-ciddi bir bərabərsizlik göstərildiyi təqdirdə, həllər arasında kvadrat mötərizəli sahələrə baxın.

(-3; 0) intervalında modulu açarkən funksiyanın işarəsini əksinə dəyişdiririk

Bərabərsizliyin açıqlanması sahəsi nəzərə alınaraq həll yolu olacaqdır

Əvvəlki sahə ilə birlikdə, bu iki yarım fasilə verəcəkdir

Nümunə 5. bərabərsizliyin həllini tapın
9x ^ 2- | x-3 |\u003e \u003d 9x-2

Qərar:
Submodular funksiyası x \u003d 3 nöqtəsində sıfıra bərabər olan boş bir bərabərsizlik verilir. Aşağı dəyərlərdə mənfi, daha yüksək dəyərlərdə müsbətdir. X intervalında modulu genişləndirin<3.

Tənliyin diskriminantını tapın

və köklər

Sıfır nöqtəsini əvəz edərək, kvadrat funksiyanın [-1/9; 1] aralığında mənfi olduğunu, bu səbəbdən intervalın həll olduğunu öyrəndik. Sonra modulu x\u003e 3 üçün genişləndirin

Bu onlayn riyaziyyat kalkulyatoru sizə kömək edəcəkdir modullarla bərabərliyi və ya bərabərsizliyi həll edin... Üçün proqram tənliklərin və bərabərsizliklərin modullarla həlli problemə yalnız cavab vermir, verir izahatlarla ətraflı həllyəni nəticəni əldə etmə prosesini göstərir.

Bu proqram orta məktəblərin yuxarı sinif şagirdləri üçün test və imtahanlara hazırlıq zamanı, imtahandan əvvəl bilikləri yoxlayarkən, valideynlərin riyaziyyat və cəbrdə bir çox məsələlərin həllinə nəzarət etmələri üçün faydalı ola bilər. Və ya bəlkə bir müəllim işə götürmək və ya yeni dərsliklər almaq çox bahadır? Yoxsa riyaziyyat və ya cəbr tapşırıqlarını mümkün qədər tez yerinə yetirmək istəyirsən? Bu vəziyyətdə, proqramlarımızı ətraflı bir həll yolu ilə də istifadə edə bilərsiniz.

Bu şəkildə öz tədrisinizi və / və ya kiçik qardaşlarınızın və ya bacılarınızın tədrisini apara bilərsiniz, eyni zamanda həll olunan problemlər sahəsində təhsil səviyyəsi artır.

Modullarla bərabərlik və ya bərabərsizlik daxil edin

Bu problemi həll etmək üçün lazım olan bəzi skriptlərin yüklənmədiyi və proqramın işləməyəcəyi aşkar edildi.
Bəlkə AdBlock'u aktivləşdirmisiniz.
Bu vəziyyətdə onu söndürün və səhifəni yeniləyin.

Çünki Problemi həll etmək istəyən bir çox insan var, sorğunuz növbədir.
Bir neçə saniyədən sonra həll aşağıda görünəcək.
Gözləyin, zəhmət olmasa saniyə ...

Əgər sən qərarda bir səhv olduğunu fərq etdi, bu barədə Əlaqə Formasında yaza bilərsiniz.
Unutma hansı tapşırığı göstərin siz qərar verin və nə sahələrə daxil edin.

Oyunlarımız, bulmacalarımız, emulatorlarımız:

Bir az nəzəriyyə.

Modullarla bərabərlik və bərabərsizlik

Əsas məktəbin cəbr kursunda modullarla ən sadə tənlik və bərabərsizliklərlə qarşılaşa bilərsiniz. Bunları həll etmək üçün \\ (| xa | \\) x və a nöqtələri arasındakı say xəttindəki məsafə olduğuna əsaslanan həndəsi metod tətbiq edə bilərsiniz: \\ (| xa | \u003d \\ rho (x; \\; a )). Məsələn, \\ (| x-3 | \u003d 2 \\) tənliyini həll etmək üçün say xəttində 3 nöqtəsindən 2 məsafədə olan nöqtələri tapmaq lazımdır. Belə iki nöqtə var: \\ (x_1 \u003d 1 \\) və \\ (x_2 \u003d 5 \\) ...

\\ (| 2x + 7 | bərabərsizliyinin həlli

Ancaq tənlikləri və bərabərsizlikləri modullarla həll etməyin əsas yolu "modulun tərifə görə genişlənməsi" ilə əlaqələndirilir:
əgər \\ (a \\ geq 0 \\), onda \\ (| a | \u003d a \\);
if \\ (a Bir qayda olaraq modullu bir tənlik (bərabərsizlik) modul işarəsini ehtiva etməyən tənliklər (bərabərsizliklər) toplusuna endirilir.

Bu tərifə əlavə olaraq, aşağıdakı ifadələr istifadə olunur:
1) \\ (c\u003e 0 \\) olarsa, \\ (| f (x) | \u003d c \\) tənliyi bir sıra tənliklərə bərabərdir: \\ (\\ left [\\ begin (array) (l) f (x) ) \u003d c \\\\ f (x) \u003d - c \\ end (array) \\ right. \\)
2) \\ (c\u003e 0 \\) olduqda \\ (| f (x) | 3) bərabərsizliyi \\ (c \\ geq 0 \\) olduqda \\ (| f (x) |\u003e c \\) bərabərsizliyi bərabərsizliklər çoxluğuna bərabərdir: \\ (\\ sol [\\ başlanğıc (sıra) (l) f (x) c \\ son (sıra) \\ sağ. \\)
4) bərabərsizliyin hər iki tərəfi \\ (f (x)) Nümunə 1. \\ (x ^ 2 +2 | x-1 | -6 \u003d 0 \\) tənliyini həll edin.

Əgər \\ (x-1 \\ geq 0 \\), onda \\ (| x-1 | \u003d x-1 \\) və verilmiş tənlik formanı alır
\\ (x ^ 2 +2 (x-1) -6 \u003d 0 \\ Rightarrow x ^ 2 + 2x -8 \u003d 0 \\).
Əgər \\ (x-1 \\ (x ^ 2 -2 (x-1) -6 \u003d 0 \\ Rightarrow x ^ 2 -2x -4 \u003d 0 \\).
Beləliklə, verilmiş tənlik göstərilən iki halın hər birində ayrıca nəzərdən keçirilməlidir.
1) \\ (x-1 \\ geq 0 \\) edək, yəni. \\ (x \\ geq 1 \\). \\ (X ^ 2 + 2x -8 \u003d 0 \\) tənliyindən \\ (x_1 \u003d 2, \\; x_2 \u003d -4 \\) tapırıq. \\ (X \\ geq 1 \\) şərti yalnız \\ (x_1 \u003d 2 \\) dəyəri ilə təmin olunur.
2) \\ (x-1 Cavab: \\ (2; \\; \\; 1- \\ sqrt (5) \\)

Nümunə 2. \\ (| x ^ 2-6x + 7 | \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\) tənliyini həll edin.

Birinci yol (tərifə görə modul genişləndirilməsi).
Nümunə 1-də mübahisə edərək iki şərt yerinə yetirildiyi təqdirdə verilmiş tənliyin ayrıca nəzərdən keçirilməli olduğu qənaətinə gəlirik: \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\) or \\ (x ^ 2-6x + 7)

1) Əgər \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\), onda \\ (| x ^ 2-6x + 7 | \u003d x ^ 2-6x + 7 \\) və verilmiş tənlik \\ (x ^ 2 -6x + 7 \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\ Rightarrow 3x ^ 2-23x + 30 \u003d 0 \\). Bu kvadratik tənliyi həll edərək: \\ (x_1 \u003d 6, \\; x_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\) əldə edirik.
\\ (X_1 \u003d 6 \\) dəyərinin \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\) şərtini təmin edib-etmədiyini öyrənək. Bunu etmək üçün kvadrat bərabərsizliyində göstərilən dəyəri əvəz edirik. Alırıq: \\ (6 ^ 2-6 \\ cdot 6 + 7 \\ geq 0 \\), yəni. \\ (7 \\ geq 0 \\) həqiqi bir bərabərsizlikdir. Beləliklə, \\ (x_1 \u003d 6 \\) verilmiş tənliyin köküdür.
\\ (X_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\) dəyərinin \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\) şərtini təmin edib-etmədiyini öyrənək. Bunu etmək üçün kvadrat bərabərsizliyində göstərilən dəyəri əvəz edirik. Alırıq: \\ (\\ sol (\\ frac (5) (3) \\ sağ) ^ 2 - \\ frac (5) (3) \\ cdot 6 + 7 \\ geq 0 \\), yəni. \\ (\\ frac (25) (9) -3 \\ geq 0 \\) - səhv bərabərsizlik. Deməli, \\ (x_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\) verilmiş tənliyin kökü deyil.

2) \\ (x ^ 2-6x + 7 Dəyəri \\ (x_3 \u003d 3 \\) şərtini təmin edirsə \\ (x ^ 2-6x + 7 Dəyəri \\ (x_4 \u003d \\ frac (4) (3) \\) təmin etmir şərt \\ (x ^ 2-6x + 7 Deməli, verilmiş tənliyin iki kökü var: \\ (x \u003d 6, \\; x \u003d 3 \\).

İkinci yol. \\ (| F (x) | \u003d h (x) \\) tənliyi verilmişdirsə, onda \\ (h (x) \\ (\\ left [\\ begin (array)) (l) x ^ 2-6x + 7 \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\\\ x ^ 2-6x + 7 \u003d - \\ frac (5x-9) (3) \\ end (array) \\ right. \\)
Bu tənliklərin hər ikisi yuxarıda həll edilmişdir (verilmiş tənliyi həll etmək üçün ilk şəkildə), kökləri belədir: \\ (6, \\; \\ frac (5) (3), \\; 3, \\; \\ frac (4 ) (3) \\). Bu dörd dəyərin \\ (\\ frac (5x-9) (3) \\ geq 0 \\) şərti yalnız ikisi ilə təmin olunur: 6 və 3. Beləliklə, verilmiş tənliyin iki kökü var: \\ (x \u003d 6, \\; x \u003d 3 \\).

Üçüncü yol (qrafik).
1) \\ (y \u003d | x ^ 2-6x + 7 | \\) funksiyasını təsvir edək. Əvvəlcə bir parabola qurun \\ (y \u003d x ^ 2-6x + 7 \\). Bizdə \\ (x ^ 2-6x + 7 \u003d (x-3) ^ 2-2 \\) var. \\ (Y \u003d (x-3) ^ 2-2 \\) funksiyasının qrafiki \\ (y \u003d x ^ 2 \\) funksiyasının qrafikindən 3 miqyas vahidi sağa (istiqamətində) dəyişdirərək əldə edilə bilər. x ox) və 2 miqyaslı vahid aşağı (y oxunda). X \u003d 3 düz xətti maraqlandığımız parabolanın oxudur. Daha dəqiq cızmaq üçün nəzarət nöqtələri olaraq, parabola oxunu (3; -2) - parabola təpəsini, nöqtə (0; 7) və parabola oxuna nisbətən ona simmetrik olan nöqtəni (6; 7) götürmək rahatdır. .
İndi \\ (y \u003d | x ^ 2-6x + 7 | \\) funksiyasının qrafikini qurmaq üçün, qurulmuş parabolanın x oxunun altında yatmayan hissələrini dəyişməz qoyub hissəsinin hissəsini əks etdirməlisiniz. x oxunun ətrafında x oxunun altında yerləşən parabola.
2) \\ (y \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\) xətti funksiyasının qrafiki quraq. (0; –3) və (3; 2) nöqtələri nəzarət nöqtəsi kimi götürmək rahatdır.

Düz xəttin absis oxu ilə kəsişməsinin x \u003d 1.8 nöqtəsinin parabolanın absis oxu ilə kəsişmə nöqtəsinin sağında yerləşməsi vacibdir - bu nöqtədir \\ (x \u003d 3- \\ sqrt ( 2) \\) (bəri \\ (3- \\ sqrt (2) 3) Çizimə görə qraflar iki nöqtədə kəsişir - A (3; 2) və B (6; 7) Bu nöqtələrin absislərini əvəz edərək x \u003d Verilən tənlikdə 3 və x \u003d 6, hər ikisi üçün başqa bir dəyərin düzgün ədədi bərabərliyi təmin etdiyinə əminik, bu da hipotezimizin təsdiq olunduğunu göstərir - tənliyin iki kökü var: x \u003d 3 və x \u003d 6. Cavab: 3 ; 6.

Şərh... Qrafik metod bütün lütfünə baxmayaraq, çox etibarlı deyil. Baxılan nümunədə, yalnız tənliyin kökləri tam ədəd olduğu üçün işləyirdi.

Nümunə 3. \\ (| 2x-4 | + | x + 3 | \u003d 8 \\) tənliyini həll edin

Birinci yol
2x - 4 ifadəsi x \u003d 2-də 0, x \u003d -3-də x + 3 ifadəsi 0 olur. Bu iki nöqtə say xəttini üç fasiləyə bölür: \\ (x

Birinci dövrü nəzərdən keçirək: \\ ((- \\ infty; \\; -3) \\).
X İkinci aralığı düşünsək: \\ ([- 3; \\; 2) \\).
Əgər \\ (- 3 \\ leq x Üçüncü intervalı nəzərdən keçirək: \\ (U

Nümunə 2.

|| x + 2 | bərabərsizliyini həll edin - 3 | ≤ 2.

Qərar.

Bu bərabərsizlik aşağıdakı sistemə bərabərdir.

(| x + 2 | - 3 ≥ -2
(| x + 2 | - 3 ≤ 2,
(| x + 2 | ≥ 1
(| x + 2 | ≤ 5.

Sistemin ilk bərabərsizliyini ayrıca həll edək. Bu aşağıdakı məcmuəyə bərabərdir:

U [-1; 3].

2) Modul tərifindən istifadə edərək bərabərsizliklərin həlli.

Əvvəlcə xatırlatım modul tərifi.

| a | \u003d a əgər a ≥ 0 və | a | \u003d -a əgər a< 0.

Məsələn, | 34 | \u003d 34, | -21 | \u003d - (- 21) \u003d 21.

Nümunə 1.

3 | x - 1 | bərabərsizliyini həll edin ≤ x + 3.

Qərar.

Bir modul tərifindən istifadə edərək iki sistemi əldə edirik:

(x - 1 ≥ 0
(3 (x - 1) ≤ x + 3

(x - 1< 0
(-3 (x - 1) ≤ x + 3.

İlk ikinci sistemi ayrı-ayrılıqda həll edərək əldə edirik:

(x ≥ 1
(x ≤ 3,

(x< 1
(x ≥ 0.

İlkin bərabərsizliyin həlli birinci sistemin və ikinci sistemin bütün həlləri olacaqdır.

Cavab: x €.

3) bərabərsizlikləri kvadrat şəklində həll etmək.

Nümunə 1.

Bərabərliyi həll edin | x 2 - 1 |< | x 2 – x + 1|.

Qərar.

Gəlin bərabərsizliyin hər iki tərəfini də kvadrat şəklində göstərək. Diqqət yetirin ki, bərabərsizliyin hər iki tərəfini yalnız hər ikisi müsbət olduqda kvadrat şəklinə sala bilərsiniz. Bu vəziyyətdə həm solda, həm də sağda modullarımız var, buna görə də bunu edə bilərik.

(| x 2 - 1 |) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

İndi modulun aşağıdakı xüsusiyyətindən istifadə edəcəyik: (| x |) 2 \u003d x 2.

(x 2 - 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 - 1) 2 - (x 2 - x + 1) 2< 0.

(x 2 - 1 - x 2 + x - 1) (x 2 - 1 + x 2 - x + 1)< 0,

(x - 2) (2x 2 - x)< 0,

x (x - 2) (2x - 1)< 0.

İntervallar metodu ilə həll edirik.

Cavab: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)

4) Dəyişənləri dəyişdirərək bərabərsizliklərin həlli.

Misal.

(2x + 3) 2 - | 2x + 3 | bərabərsizliyini həll edin ≤ 30.

Qərar.

Qeyd edək ki (2x + 3) 2 \u003d (| 2x + 3 |) 2. Sonra bərabərsizliyi əldə edirik

(| 2x + 3 |) 2 - | 2x + 3 | ≤ 30.

Dəyişikliyi y \u003d | 2x + 3 | edək.

Əvəzini nəzərə alaraq bərabərsizliyimizi yenidən yazaq.

y 2 - y ≤ 30,

y 2 - y - 30 ≤ 0.

Soldakı kvadrat trinomialı amil edək.

y1 \u003d (1 + 11) / 2,

y2 \u003d (1 - 11) / 2,

(y - 6) (y + 5) ≤ 0.

Fasilələr üsulu ilə həll edək və əldə edək:

Əvəzinə qayıdaq:

5 ≤ | 2x + 3 | ≤ 6.

Bu ikiqat bərabərsizlik bərabərsizliklər sisteminə bərabərdir:

(| 2x + 3 | ≤ 6
(| 2x + 3 | ≥ -5.

Qeyri-bərabərliklərin hər birini ayrı-ayrılıqda həll edək.

Birincisi sistemə bərabərdir

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.

Gəlin həll edək.

(x ≤ 1.5
(x ≥ -4.5.

İkinci bərabərsizlik açıq şəkildə bütün x-lar üçün işləyir, çünki modul tərifə görə müsbətdir. Sistemin həlli eyni zamanda sistemin həm birinci, həm də ikinci bərabərsizliyini təmin edən bütün x olduğundan, orijinal sistemin həlli onun ilk ikiqat bərabərsizliyinin həlli olacaqdır (axı, ikincisi bütün x üçün doğrudur).

Cavab: x € [-4.5; 1.5].

blog.sayt, materialın tam və ya qismən kopyalanması ilə mənbəyə bir keçid tələb olunur.