Bir ədədin mütləq dəyəri a Mənşəyindən nöqtəyə qədər olan məsafə Və(a).

Bu tərifi anlamaq üçün dəyişəni əvəz edin a hər hansı bir rəqəm, məsələn 3 və yenidən oxumağa çalışın:

Bir ədədin mütləq dəyəri 3 Mənşəyindən nöqtəyə qədər olan məsafə Və(3 ).

Modulun normal bir məsafədən başqa bir şey olmadığı aydın olur. Mənşəyindən A nöqtəsinə qədər məsafəni görməyə çalışaq ( 3 )

Mənşəyindən A nöqtəsinə qədər məsafə ( 3 ) 3-ə bərabərdir (üç vahid və ya üç addım).

Bir ədədin modulu iki şaquli xətt ilə göstərilir, məsələn:

3 rəqəminin modulu aşağıdakı kimi qeyd olunur: | 3 |

4 rəqəminin modulu belə göstərilir: | 4 |

5 sayının modulu aşağıdakı kimi göstərilir: | 5 |

3 rəqəminin modulunu axtardıq və 3 olduğunu gördük. Buna görə yazırıq:

Belə oxuyur: "Üç rəqəmin modulu üçdür"

İndi -3 sayının modulunu tapmağa çalışaq. Yenə də tərifə qayıdın və içərisindəki -3 rəqəmini əvəz edin. Yalnız bir nöqtə əvəzinə A yeni bir nöqtədən istifadə edin B... Nöqtə A ilk nümunədə onsuz da istifadə etdik.

Modulo nömrələri - 3 mənşəyindən nöqtəyə qədər olan məsafəsidir B(—3 ).

Bir nöqtədən digərinə olan məsafə mənfi ola bilməz. Buna görə də hər hansı bir mənfi ədədin məsafəsi olduğu modul da mənfi olmayacaqdır. -3 sayının modulu 3 nömrə olacaqdır. Başlanğıcdan B (-3) nöqtəsinə qədər olan məsafə də üç vahiddir:

Belə oxuyur: "Mənfi üç sayının modulu üçdür"

0 sayının mütləq dəyəri 0-dır, çünki koordinat 0 olan nöqtə mənşəyə uyğun gəlir, yəni. mənşədən nöqtəyə qədər məsafə O (0) sıfıra bərabərdir:

"Sıfır modul sıfırdır"

Nəticələr çıxarırıq:

• Bir ədədin modulu mənfi ola bilməz;
• Müsbət və sıfır üçün modul sayın özünə bərabərdir və mənfi say üçün əks rəqəm;
• Qarşı ədədlərin bərabər modulları var.

Əks nömrələr

Yalnız işarələrlə fərqlənən nömrələrə deyilir əksinə... Məsələn, −2 və 2 ədədləri əksdir. Yalnız əlamətləri ilə fərqlənirlər. −2 rəqəminin mənfi işarəsi var, 2-nin artı işarəsi var, amma biz bunu görmürük, çünki artı, əvvəl dediyimiz kimi, ənənəvi olaraq yazılmır.

Əks nömrələrə daha çox nümunə:

Qarşı ədədlərin bərabər modulları var. Məsələn, −2 və 2 üçün modulları tapaq

Şəkil mənşədən nöqtələrə qədər məsafəni göstərir A (−2) və B (2) eyni şəkildə iki pilləyə bərabərdir.

Dərsi bəyəndinmi?
Yeni Vkontakte qrupumuza qoşulun və yeni dərslər barədə bildiriş almağa başlayın

Riyaziyyat seçmirikpeşəsini və bizi seçir.

Rus riyaziyyatçısı Yu.I. Manin

Modullu tənliklər

Məktəb riyaziyyatının həll edilməsi ən çətin olanı modul işarəsi altında dəyişənləri ehtiva edən tənliklərdir. Bu cür tənlikləri uğurla həll etmək üçün modulun tərifini və əsas xüsusiyyətlərini bilməlisiniz. Təbii ki, şagirdlər bu tip tənlikləri həll etmək bacarıqlarına sahib olmalıdırlar.

Əsas anlayışlar və xüsusiyyətlər

Real ədədin modulu (mütləq dəyər) işarələnmişdir və aşağıdakı kimi müəyyən edilir:

Bir modulun sadə xüsusiyyətləri aşağıdakı nisbətləri əhatə edir:

Qeyd, son iki xassənin istənilən dərəcə üçün etibarlı olması.

Əlavə olaraq, əgər varsa, onda

Daha mürəkkəb modul xüsusiyyətləri, modulları olan tənlikləri həll etmək üçün səmərəli istifadə edilə bilən, aşağıdakı teoremlər vasitəsilə formalaşdırılmışdır:

Teorem 1. Hər hansı bir analitik funksiya üçün və bərabərsizlik doğrudur

Teorem 2. Bərabərlik bərabərsizliyə bərabərdir.

Teorem 3. Bərabərlik bərabərsizliyə bərabərdir.

Problemləri həll etmək üçün tipik nümunələri "Tənliklər, modul işarəsi altında dəyişənləri ehtiva edir ".

Tənliklərin modulla həll edilməsi

Məktəb riyaziyyatında tənlikləri modulla həll etmək üçün ən geniş yayılmış metod metoddur, modulların genişləndirilməsinə əsaslanır. Bu metod çox yönlüdür, lakin ümumiyyətlə, tətbiqi çox çətin hesablamalara səbəb ola bilər. Bu baxımdan şagirdlər digərlərindən xəbərdar olmalıdır, bu cür tənliklərin həlli üçün daha təsirli metod və üsullar. Xüsusilə, teoremləri tətbiq etmək bacarıqlarına sahib olmalısan, bu məqalədə verilmişdir.

Nümunə 1.Tənliyi həll edin. (bir)

Qərar. Tənlik (1) "klassik" metod - modulların genişləndirilməsi üsulu ilə həll ediləcəkdir. Bunu etmək üçün rəqəm oxunu bölürük bal və fasilələrlə və üç işi nəzərdən keçirin.

1. Əgər, onda ,,, və (1) tənliyi formanı alır. Buna görə də belədir. Lakin burada, buna görə tapılan dəyər (1) tənliyinin kökü deyil.

2. Əgər, onda (1) tənlikdən əldə edirik və ya.

O vaxtdan bəri tənliyin kökü (1).

3. əgər, onda (1) tənliyi formanı alır və ya. Qeyd edək ki.

Cavab:,.

Sonrakı tənlikləri bir modulla həll edərkən bu cür tənliklərin həllinin səmərəliliyini artırmaq üçün modulların xüsusiyyətlərindən aktiv şəkildə istifadə edəcəyik.

Nümunə 2. Tənliyi həll edin.

Qərar. Bəri və onda tənlik nəzərdə tutulur... Bu mövzuda,,, və tənlik formanı alır... Beləliklə əldə edirik... Amma , bu səbəbdən orijinal tənliyin kökü yoxdur.

Cavab: kök yoxdur.

Nümunə 3. Tənliyi həll edin.

Qərar. O vaxtdan bəri. Əgər, onda, və tənlik formanı alır.

Buradan alırıq.

Nümunə 4. Tənliyi həll edin.

Qərar.Tənliyi ekvivalent formada yenidən yazırıq. (2)

Nəticədə yaranan tənlik növün tənliklərinə aiddir.

Teoremi 2 nəzərə alaraq (2) tənliyinin bir bərabərsizliyə bərabər olduğu iddia edilə bilər. Buradan alırıq.

Cavab:.

Nümunə 5. Tənliyi həll edin.

Qərar. Bu tənliyin forması var... Buna görə də Teorem 3-ə görə, burada bərabərsizlik var və ya.

Nümunə 6. Tənliyi həll edin.

Qərar. Tutaq ki. Çünki, onda verilmiş tənlik kvadratik tənlik formasını alır, (3)

harada ... (3) tənliyinin vahid müsbət kökü olduğundan daha sonra ... Beləliklə, orijinal tənliyin iki kökünü əldə edirik: və.

Nümunə 7. Tənliyi həll edin. (4)

Qərar. Tənlikdən bəri iki tənliyin birləşməsinə bərabərdir: və, onda (4) tənliyi həll edərkən iki hala nəzər yetirmək lazımdır.

1. Əgər, onda və ya.

Buradan alırıq və.

2. Əgər, onda və ya.

O vaxtdan bəri.

Cavab: ,,,.

Nümunə 8. Tənliyi həll edin . (5)

Qərar. Bəri və sonra. Buradan və (5) -dəkidən belə çıxır və, yəni. burada tənliklər sistemi var

Lakin bu tənliklər sistemi ziddiyyətlidir.

Cavab: kök yoxdur.

Nümunə 9. Tənliyi həll edin. (6)

Qərar.Əgər işarə etsək, deməli və (6) tənlikdən əldə edirik

Və ya. (7)

(7) tənliyi forması olduğundan bu tənlik bərabərsizliyə bərabərdir. Buradan alırıq. Bəri, sonra ya.

Cavab:.

Nümunə 10. Tənliyi həll edin. (8)

Qərar. Teorem 1-ə görə yaza bilərik

(9)

(8) tənliyini nəzərə alaraq, hər iki bərabərsizliyin (9) bərabərliklərə çevrildiyi, yəni. tənliklər sistemi mövcuddur

Lakin Teorem 3-ə görə yuxarıdakı tənliklər sistemi bərabərsizliklər sisteminə bərabərdir

(10)

Bərabərsizliklər sistemini (10) həll edərək əldə edirik. Bərabərsizliklər sistemi (10) tənliyə (8) bərabər olduğundan, ilk tənliyin tək kökü var.

Cavab:.

Nümunə 11. Tənliyi həll edin. (11)

Qərar. Qoyun və sonra bərabərlik (11) tənliyindən irəli gəlir.

Buna görə və. Beləliklə, burada bərabərsizliklər sistemi mövcuddur

Bu bərabərsizliklər sisteminin həlli budur və.

Cavab:,.

Nümunə 12. Tənliyi həll edin. (12)

Qərar. Tənlik (12) modulların ardıcıl genişləndirilməsi metodu ilə həll ediləcəkdir. Bunu etmək üçün bir neçə işi nəzərdən keçirin.

1. Əgər, onda.

1.1. Əgər, onda və.

1.2. Əgər, onda. Amma , bu səbəbdən bu vəziyyətdə (12) tənliyinin kökü yoxdur.

2. Əgər, onda.

2.1. Əgər, onda və.

2.2. Əgər, onda və.

Cavab: ,,,,.

Nümunə 13. Tənliyi həll edin. (13)

Qərar. (13) tənliyinin sol tərəfi mənfi olmadığından, və. Bu baxımdan və tənlik (13)

formasını alır və ya.

Məlumdur ki, tənlik iki tənliyin birləşməsinə bərabərdir və, hansını almağımıza qərar veririk,. Çünki, onda (13) tənliyinin bir kökü var.

Cavab:.

Nümunə 14. Tənliklər sistemini həll edin (14)

Qərar. Bəri və sonra, sonra. Buna görə də (14) tənliklər sistemindən dörd tənlik sistemi əldə edirik:

Yuxarıdakı tənliklər sistemlərinin kökləri tənliklər sisteminin kökləridir (14).

Cavab: ,,,,,,,.

Nümunə 15. Tənliklər sistemini həll edin (15)

Qərar. O vaxtdan bəri. Bu baxımdan (15) tənliklər sistemindən iki tənlik sistemi əldə edirik

İlk tənliklər sisteminin kökləri və, ikinci tənliklər sistemindən isə əldə edirik.

Cavab: ,,,.

Nümunə 16. Tənliklər sistemini həll edin (16)

Qərar. Sistemin (16) ilk tənliyindən belə çıxır.

O vaxtdan bəri ... Sistemin ikinci tənliyini nəzərdən keçirin. Kimisonra, və tənlik formanı alır, və ya.

Dəyəri əvəz edirsinizsə sistemin ilk tənliyinə (16), sonra və ya.

Cavab:,.

Problem həll üsullarının daha dərindən öyrənilməsi üçün, tənliklərin həlli ilə əlaqədardır, modul işarəsi altında dəyişənləri ehtiva edir, tövsiyə olunan oxu siyahısından dərsliklər tövsiyə edə bilərsiniz.

1. Texniki kolleclərə müraciət edənlər üçün riyaziyyat problemləri toplusu / Red. M.İ. Skanavi. - M. Barış və Təhsil, 2013 .-- 608 s.

2. Suprun V.P. Orta məktəb şagirdləri üçün riyaziyyat: artan mürəkkəblik problemləri. - M.: CD "Librokom" / URSS, 2017. - 200 s.

3. Suprun V.P. Orta məktəb şagirdləri üçün riyaziyyat: standart olmayan problem həll etmə metodları. - M.: CD "Librokom" / URSS, 2017. - 296 s.

Hələ suallarınız var?

Bir müəllimdən kömək almaq üçün qeydiyyatdan keçin.

sayt, materialın tam və ya qismən kopyalanması ilə mənbəyə bir keçid tələb olunur.

Tələbələr üçün ən çətin mövzulardan biri, modul işarəsi altında dəyişən olan tənliklərin həlli. Bir başlanğıc üçün anlayaq, bu nə ilə bağlıdır? Niyə, məsələn, kvadrat tənliklər əksər uşaqlar qoz-fındıq kimi tıklayırlar və bir modul qədər mürəkkəb anlayışla bu qədər problemi var?

Mənim fikrimcə, bütün bu çətinliklər, tənliklərin modulla həll edilməsi üçün aydın şəkildə tərtib olunmuş qaydaların olmaması ilə əlaqələndirilir. Beləliklə, kvadratik bir tənliyi həll edərkən, tələbə əvvəlcə ayrı-seçkilik düsturunu, sonra isə kvadrat tənliyin kökləri üçün düstur tətbiq etməsi lazım olduğunu dəqiq bilir. Bəs tənlikdə bir modul varsa nə olacaq? Tənlikdə modul işarəsi altında bilinməyən bir şey olduğu zaman iş üçün lazımi fəaliyyət planını aydın şəkildə təsvir etməyə çalışacağıq. Hər vəziyyət üçün bəzi nümunələr.

Ancaq əvvəlcə xatırlayaq modul tərifi... Beləliklə, rəqəmin modulu a bu rəqəmin özünə əgər deyilir a mənfi olmayan və -nömrə a sıfırdan az. Bunu belə yaza bilərsiniz:

| a | \u003d a əgər a ≥ 0 və | a | \u003d -a əgər a< 0

Modulun həndəsi mənasından danışarkən, hər bir həqiqi ədədin ədədi oxdakı müəyyən bir nöqtəyə - k ilə uyğun olduğunu unutmamalıyıq. koordinat. Beləliklə, bir ədədin modulu və ya mütləq dəyəri bu nöqtədən ədədi oxun başlanğıcına qədər olan məsafəsidir. Məsafə həmişə müsbət rəqəm olaraq göstərilir. Beləliklə, hər hansı bir mənfi ədədin mütləq dəyəri müsbət rəqəmdir. Yeri gəlmişkən, bu mərhələdə də bir çox tələbə qarışıqlaşmağa başlayır. Hər hansı bir rəqəm modulda ola bilər, lakin modulu tətbiqetmə nəticəsi həmişə müsbət bir rəqəmdir.

İndi birbaşa tənliklərin həllinə gedək.

1. | X | formasının bir tənliyini nəzərdən keçirin \u003d c, burada c həqiqi ədədi. Bu tənlik modul tərifindən istifadə etməklə həll edilə bilər.

Bütün həqiqi rəqəmləri üç qrupa ayırırıq: sıfırdan böyük olanlar, sıfırdan az olanlar və üçüncü qrup 0 rəqəmidir. Çözümünü diaqram şəklində yazaq:

(C\u003e 0 olduqda ± c

Əgər | x | \u003d c, onda x \u003d (0, c \u003d 0 olarsa

(əgər varsa kök yoxdur< 0

1) | x | \u003d 5, çünki 5\u003e 0, onda x \u003d ± 5;

2) | x | \u003d -5, çünki - beş< 0, то уравнение не имеет корней;

3) | x | \u003d 0, sonra x \u003d 0.

2. | f (x) | şəklində bir tənlik \u003d b, burada b\u003e 0. Bu tənliyi həll etmək üçün moduldan qurtulmaq lazımdır. Bunu belə edirik: f (x) \u003d b və ya f (x) \u003d -b. İndi əldə edilmiş tənliklərin hər birini ayrı-ayrılıqda həll etmək lazımdır. Orijinal tənlikdə b< 0, решений не будет.

1) | x + 2 | \u003d 4, çünki 4\u003e 0, sonra

x + 2 \u003d 4 və ya x + 2 \u003d -4

2) | x 2 - 5 | \u003d 11, çünki 11\u003e 0, sonra

x 2 - 5 \u003d 11 və ya x 2 - 5 \u003d -11

x 2 \u003d 16 x 2 \u003d -6

x \u003d ± 4 kök yoxdur

3) | x 2 - 5x | \u003d -8, çünki -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. | F (x) | formasının tənliyi \u003d g (x). Modulun mənası daxilində, belə bir tənlik, sağ tərəfi sıfırdan çox və ya bərabər olduqda həll yollarına sahib olacaq, yəni. g (x) ≥ 0. Sonra əldə edəcəyik:

f (x) \u003d g (x)və ya f (x) \u003d -g (x).

1) | 2x - 1 | \u003d 5x - 10. Bu tənliyin 5x - 10 if olduğu təqdirdə kökləri olacaqdır. Belə tənliklərin həlli məhz bundan başlayır.

1. OD.Z. 5x - 10 ≥ 0

2. Həll:

2x - 1 \u003d 5x - 10 və ya 2x - 1 \u003d - (5x - 10)

3. ODZ-ni birləşdiririk. və həll yolu:

X \u003d 11/7 kökü O.D.Z.-ə uyğun gəlmir, 2-dən azdır və x \u003d 3 bu şərti təmin edir.

Cavab: x \u003d 3

2) | x - 1 | \u003d 1 - x 2.

1. O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. Bu bərabərsizliyi fasilələr metodu ilə həll edirik:

(1 - x) (1 + x) ≥ 0

2. Həll:

x - 1 \u003d 1 - x 2 və ya x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 \u003d 0 x 2 - x \u003d 0

x \u003d -2 və ya x \u003d 1 x \u003d 0 və ya x \u003d 1

3. Həll və ODZ-ni birləşdiririk:

Yalnız x \u003d 1 və x \u003d 0 kökləri uyğundur.

Cavab: x \u003d 0, x \u003d 1.

4. | f (x) | şəklində bir tənlik \u003d | g (x) |. Belə bir tənlik aşağıdakı iki tənliyə bərabərdir f (x) \u003d g (x) və ya f (x) \u003d -g (x).

1) | x 2 - 5x + 7 | \u003d | 2x - 5 |. Bu tənlik aşağıdakı ikiyə bərabərdir:

x 2 - 5x + 7 \u003d 2x - 5 və ya x 2 - 5x +7 \u003d -2x + 5

x 2 - 7x + 12 \u003d 0 x 2 - 3x + 2 \u003d 0

x \u003d 3 və ya x \u003d 4 x \u003d 2 və ya x \u003d 1

Cavab: x \u003d 1, x \u003d 2, x \u003d 3, x \u003d 4.

5. Əvəzetmə metodu ilə həll olunan tənliklər (dəyişən dəyişiklik). Bu həll üsulunu müəyyən bir nümunə ilə izah etmək asandır. Beləliklə, modulu olan bir kvadrat tənlik verilsin:

x 2-6 | x | + 5 \u003d 0. Modul xassəsinə görə x 2 \u003d | x | 2, beləliklə tənlik aşağıdakı kimi yenidən yazıla bilər:

| x | 2 - 6 | x | + 5 \u003d 0. Gəlin | x | \u003d t ≥ 0, onda bizdə olacaq:

t 2 - 6t + 5 \u003d 0. Bu tənliyi həll edərkən t \u003d 1 və ya t \u003d 5 əldə edirik. Əvəzinə qayıdaq:

| x | \u003d 1 və ya | x | \u003d 5

x \u003d ± 1 x \u003d ± 5

Cavab: x \u003d -5, x \u003d -1, x \u003d 1, x \u003d 5.

Başqa bir nümunə götürək:

x 2 + | x | - 2 \u003d 0. Modul xassəsinə görə x 2 \u003d | x | 2, buna görə

| x | 2 + | x | - 2 \u003d 0. Gəlin | x | \u003d t ≥ 0, sonra:

t 2 + t - 2 \u003d 0. Bu tənliyi həll edərək t \u003d -2 və ya t \u003d 1 əldə edirik. Əvəzinə qayıdaq:

| x | \u003d -2 və ya | x | \u003d 1

Kök yoxdur x \u003d ± 1

Cavab: x \u003d -1, x \u003d 1.

6. Digər bir tənlik növü "mürəkkəb" modullu tənliklərdir. Bu tənliklərə “modulda modul” olan tənliklər daxildir. Bu tip tənliklər modulun xüsusiyyətlərindən istifadə etməklə həll edilə bilər.

1) | 3 - | x || \u003d 4. İkinci tip tənliklərdə olduğu kimi davam edəcəyik. Çünki 4\u003e 0, onda iki tənlik əldə edirik:

3 - | x | \u003d 4 və ya 3 - | x | \u003d -4.

İndi hər tənlikdə x modulunu ifadə edirik, sonra | x | \u003d -1 və ya | x | \u003d 7.

Əldə edilmiş tənliklərin hər birini həll edirik. Birinci tənlikdə kök yoxdur, çünki -bir< 0, а во втором x = ±7.

Cavab x \u003d -7, x \u003d 7.

2) | 3 + | x + 1 || \u003d 5. Bu tənliyi eyni şəkildə həll edirik:

3 + | x + 1 | \u003d 5 və ya 3 + | x + 1 | \u003d -5

| x + 1 | \u003d 2 | x + 1 | \u003d -8

x + 1 \u003d 2 və ya x + 1 \u003d -2. Kök yoxdur.

Cavab: x \u003d -3, x \u003d 1.

Həm də tənlikləri modulla həll etmək üçün universal bir metod mövcuddur. Bu boşluq metodudur. Ancaq sonradan nəzərdən keçirəcəyik.

blog.sayt, materialın tam və ya qismən kopyalanması ilə mənbəyə bir keçid tələb olunur.

Bu onlayn riyaziyyat kalkulyatoru sizə kömək edəcəkdir modullarla bərabərliyi və ya bərabərsizliyi həll edin... Üçün proqram tənliklərin və bərabərsizliklərin modullarla həlli problemə yalnız cavab vermir, verir izahatlarla ətraflı həllyəni nəticəni əldə etmə prosesini göstərir.

Bu proqram orta məktəblərin yuxarı sinif şagirdləri üçün test və imtahanlara hazırlıq zamanı, imtahandan əvvəl bilikləri yoxlayarkən, valideynlərin riyaziyyat və cəbrdə bir çox məsələlərin həllinə nəzarət etmələri üçün faydalı ola bilər. Və ya bəlkə bir müəllim işə götürmək və ya yeni dərsliklər almaq çox bahadır? Yoxsa riyaziyyat və ya cəbr tapşırıqlarını mümkün qədər tez yerinə yetirmək istəyirsən? Bu vəziyyətdə, proqramlarımızı ətraflı bir həll yolu ilə də istifadə edə bilərsiniz.

Bu şəkildə öz tədrisinizi və / və ya kiçik qardaşlarınızın və ya bacılarınızın tədrisini apara bilərsiniz, eyni zamanda həll olunan problemlər sahəsində təhsil səviyyəsi artır.

Modullarla bərabərlik və ya bərabərsizlik daxil edin

Bu problemi həll etmək üçün lazım olan bəzi skriptlərin yüklənmədiyi və proqramın işləməyəcəyi aşkar edildi.
Bəlkə AdBlock'u aktivləşdirmisiniz.
Bu vəziyyətdə onu söndürün və səhifəni yeniləyin.

Çünki Problemi həll etmək istəyənlər çoxdur, sorğunuz növbədir.
Bir neçə saniyədən sonra həll aşağıda görünəcək.
Gözləyin, zəhmət olmasa saniyə ...

Əgər sən qərarda bir səhv olduğunu fərq etdi, bu barədə Əlaqə Formasında yaza bilərsiniz.
Unutma hansı tapşırığı göstərin siz qərar verin və nə sahələrə daxil edin.

Oyunlarımız, bulmacalarımız, emulatorlarımız:

Bir az nəzəriyyə.

Modullarla bərabərlik və bərabərsizliklər

Əsas məktəbdə cəbr dərsində modullarla ən sadə tənlik və bərabərsizliklərlə qarşılaşa bilərsiniz. Bunları həll etmək üçün \\ (| xa | \\) x və a nöqtələri arasındakı say xəttindəki məsafə olduğuna əsaslanan həndəsi metod tətbiq edə bilərsiniz: \\ (| xa | \u003d \\ rho (x; \\; a )). Məsələn, \\ (| x-3 | \u003d 2 \\) tənliyini həll etmək üçün say xəttində 3 nöqtəsindən 2 məsafədə olan nöqtələri tapmaq lazımdır. Belə iki nöqtə var: \\ (x_1 \u003d 1 \\) və \\ (x_2 \u003d 5 \\) ...

\\ (| 2x + 7 | bərabərsizliyinin həlli

Ancaq tənlikləri və bərabərsizlikləri modullarla həll etməyin əsas yolu "modulun tərifə görə genişlənməsi" ilə əlaqələndirilir:
əgər \\ (a \\ geq 0 \\), onda \\ (| a | \u003d a \\);
əgər \\ (a Bir qayda olaraq modullu bir tənlik (bərabərsizlik) modul işarəsini ehtiva etməyən tənliklər (bərabərsizliklər) toplusuna endirilir.

Bu tərifə əlavə olaraq, aşağıdakı ifadələr istifadə olunur:
1) \\ (c\u003e 0 \\) olarsa, \\ (| f (x) | \u003d c \\) tənliyi bir sıra tənliklərə bərabərdir: \\ (\\ left [\\ begin (array) (l) f (x) ) \u003d c \\\\ f (x) \u003d - c \\ end (array) \\ right. \\)
2) \\ (c\u003e 0 \\) olduqda \\ (| f (x) | 3) bərabərsizliyi \\ (c \\ geq 0 \\) olduqda \\ (| f (x) |\u003e c \\) bərabərsizliyi bərabərsizliklər çoxluğuna bərabərdir: \\ (\\ sol [\\ başlanğıc (sıra) (l) f (x) c \\ son (sıra) \\ sağ. \\)
4) bərabərsizliyin hər iki tərəfi \\ (f (x)) Nümunə 1. \\ (x ^ 2 +2 | x-1 | -6 \u003d 0 \\) tənliyini həll edin.

Əgər \\ (x-1 \\ geq 0 \\), onda \\ (| x-1 | \u003d x-1 \\) və verilmiş tənlik formanı alır
\\ (x ^ 2 +2 (x-1) -6 \u003d 0 \\ Rightarrow x ^ 2 + 2x -8 \u003d 0 \\).
Əgər \\ (x-1 \\ (x ^ 2 -2 (x-1) -6 \u003d 0 \\ Rightarrow x ^ 2 -2x -4 \u003d 0 \\).
Beləliklə, verilmiş tənlik göstərilən iki halın hər birində ayrıca nəzərdən keçirilməlidir.
1) \\ (x-1 \\ geq 0 \\) edək, yəni. \\ (x \\ geq 1 \\). \\ (X ^ 2 + 2x -8 \u003d 0 \\) tənliyindən \\ (x_1 \u003d 2, \\; x_2 \u003d -4 \\) tapırıq. \\ (X \\ geq 1 \\) şərti yalnız \\ (x_1 \u003d 2 \\) dəyəri ilə təmin olunur.
2) \\ (x-1 Cavab: \\ (2; \\; \\; 1- \\ sqrt (5) \\)

NÜMUNƏ 2. \\ (| x ^ 2-6x + 7 | \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\) tənliyini həll edin.

Birinci yol (tərifə görə modul genişləndirilməsi).
Nümunə 1-də mübahisə edərək iki şərt yerinə yetirildiyi təqdirdə verilmiş tənliyin ayrıca nəzərdən keçirilməli olduğu qənaətinə gəlirik: \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\) or \\ (x ^ 2-6x + 7)

1) Əgər \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\), onda \\ (| x ^ 2-6x + 7 | \u003d x ^ 2-6x + 7 \\) və verilmiş tənlik \\ (x ^ 2 -6x + 7 \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\ Rightarrow 3x ^ 2-23x + 30 \u003d 0 \\). Bu kvadratik tənliyi həll edərək: \\ (x_1 \u003d 6, \\; x_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\) əldə edirik.
\\ (X_1 \u003d 6 \\) dəyərinin \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\) şərtini təmin edib-etmədiyini öyrənək. Bunu etmək üçün, göstərilən dəyəri kvadrat bərabərsizliyinə əvəz edirik. Alırıq: \\ (6 ^ 2-6 \\ cdot 6 + 7 \\ geq 0 \\), yəni. \\ (7 \\ geq 0 \\) həqiqi bir bərabərsizlikdir. Deməli, \\ (x_1 \u003d 6 \\) verilmiş tənliyin köküdür.
\\ (X_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\) dəyərinin \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\) şərtini təmin edib-etmədiyini öyrənək. Bunu etmək üçün, göstərilən dəyəri kvadrat bərabərsizliyinə əvəz edirik. Alırıq: \\ (\\ sol (\\ frac (5) (3) \\ sağ) ^ 2 - \\ frac (5) (3) \\ cdot 6 + 7 \\ geq 0 \\), yəni. \\ (\\ frac (25) (9) -3 \\ geq 0 \\) - səhv bərabərsizlik. Deməli, \\ (x_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\) verilmiş tənliyin kökü deyil.

2) \\ (x ^ 2-6x + 7 Dəyəri \\ (x_3 \u003d 3 \\) şərtini təmin edirsə \\ (x ^ 2-6x + 7 Dəyəri \\ (x_4 \u003d \\ frac (4) (3) \\) təmin etmir şərt \\ (x ^ 2-6x + 7 Deməli, verilmiş tənliyin iki kökü var: \\ (x \u003d 6, \\; x \u003d 3 \\).

İkinci yol. \\ (| F (x) | \u003d h (x) \\) tənliyi verilmişdirsə, onda \\ (h (x) \\ (\\ left [\\ begin (array)) (l) x ^ 2-6x + 7 \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\\\ x ^ 2-6x + 7 \u003d - \\ frac (5x-9) (3) \\ end (array) \\ right. \\)
Bu tənliklərin hər ikisi yuxarıda həll edilmişdir (verilmiş tənliyi həll etmək üçün ilk yolda), kökləri belədir: \\ (6, \\; \\ frac (5) (3), \\; 3, \\; \\ frac (4 ) (3) \\). Bu dörd dəyərin \\ (\\ frac (5x-9) (3) \\ geq 0 \\) şərti yalnız ikisi ilə təmin olunur: 6 və 3. Beləliklə, verilmiş tənliyin iki kökü var: \\ (x \u003d 6, \\; x \u003d 3 \\).

Üçüncü yol (qrafik).
1) \\ (y \u003d | x ^ 2-6x + 7 | \\) funksiyasını təsvir edək. Əvvəlcə bir parabola qurun \\ (y \u003d x ^ 2-6x + 7 \\). Bizdə \\ (x ^ 2-6x + 7 \u003d (x-3) ^ 2-2 \\) var. \\ (Y \u003d (x-3) ^ 2-2 \\) funksiyasının qrafiki \\ (y \u003d x ^ 2 \\) funksiyasının qrafasından sağa 3 miqyas vahidi ilə dəyişdirilərək əldə edilə bilər. x oxu) və 2 miqyaslı vahid aşağı (y oxunda). X \u003d 3 düz xətti maraqlandığımız parabolanın oxudur. Parabola oxunu (3; -2) - parabolanın təpəsini, nöqtəsini (0; 7) və parabola oxuna nisbətən ona simmetrik olan nöqtəni (6; 7) götürmək daha dəqiq bir şəkildə tərtib etmək üçün nəzarət nöqtələri kimi götürmək rahatdır. qrafik.
İndi \\ (y \u003d | x ^ 2-6x + 7 | \\) funksiyasının qrafikini qurmaq üçün, düzəldilmiş parabolanın x oxunun altında yatmayan hissələrini dəyişməz qoymalı və hissəsini əks etdirməlisiniz. x oxunun ətrafında x oxunun altında yerləşən parabola.
2) \\ (y \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\) xətti funksiyasının qrafiki quraq. (0; –3) və (3; 2) nöqtələrini nəzarət nöqtəsi kimi götürmək rahatdır.

Düz xəttin absis oxu ilə kəsişməsinin x \u003d 1,8 nöqtəsinin parabolanın absis oxu ilə kəsişməsinin sol nöqtəsinin sağında yerləşməsi vacibdir - bu nöqtədir \\ (x \u003d 3 - \\ sqrt (2) \\) (bəri \\ (3- \\ sqrt (2) 3) Çizimə görə, qraflar iki nöqtədə kəsişir - A (3; 2) və B (6; 7) verilmiş tənlikdəki x \u003d 3 və x \u003d 6 nöqtələri, hər ikisi üçün başqa bir dəyərin düzgün ədədi bərabərliyini verdiyinə əminik, bu da hipotezimizin təsdiq olunduğunu göstərir - tənliyin iki kökü var: x \u003d 3 və x \u003d 6. Cavab: 3; 6.

Şərh... Qrafik metod bütün lütfünə baxmayaraq çox etibarlı deyil. Baxılan nümunədə, yalnız tənliyin kökləri tam ədəd olduğu üçün işləyirdi.

Nümunə 3. \\ (| 2x-4 | + | x + 3 | \u003d 8 \\) tənliyini həll edin

Birinci yol
2x - 4 ifadəsi x \u003d 2 nöqtəsində 0, x \u003d –3 nöqtəsində x + 3 ifadəsi 0 olur. Bu iki nöqtə say xəttini üç fasiləyə bölür: \\ (x

Birinci dövrü nəzərdən keçirək: \\ ((- \\ infty; \\; -3) \\).
X İkinci aralığı düşünsək: \\ ([- 3; \\; 2) \\).
Əgər \\ (- 3 \\ leq x Üçüncü intervalı nəzərdən keçirək: \\ ()