İki düz xətt arasındakı bucaq. Kesişen düz xətlər arasındakı bucaq: tərif, tapma nümunələri

və. İki düz xətt verilsin.Bu düz xətlər, 1-ci fəsildə göstərildiyi kimi həm kəskin, həm də küt ola bilən müxtəlif müsbət və mənfi bucaqlar əmələ gətirir. Bu açılardan birini bildiyimiz üçün digərini asanlıqla tapa bilərik.

Yeri gəlmişkən, bütün bu açılar üçün toxunuşun ədədi dəyəri eynidir, fərq yalnız işarədə ola bilər

Xətlərin tənlikləri. Ədədlər birinci və ikinci düz xətlərin istiqamət vektorlarının proyeksiyasıdır.Bu vektorlar arasındakı bucaq düz xətlərin əmələ gətirdiyi bucaqlardan birinə bərabərdir. Bu səbəbdən vəzifə, vektorlar arasındakı bucağı təyin etmək üçün azaldıldı

Sadəlik üçün kəskin müsbət bucağı ifadə etmək üçün iki düz xətt arasındakı bucağa razı ola bilərik (məsələn, şəkil 53-də).

O zaman bu bucağın toxunuşu həmişə müsbət olacaqdır. Beləliklə, (1) düsturunun sağ tərəfində mənfi bir işarə alınarsa, onu atmalıyıq, yəni yalnız mütləq dəyəri saxlamalıyıq.

Misal. Düz xətlər arasındakı bucağı təyin edin

Düstur (1) ilə bizdə var

dan. Bucağın tərəflərindən hansının başlanğıcı, hansının sonu olduğu göstərilibsə, bucağın istiqamətini həmişə saat əqrəbinin əksinə hesablayaraq (1) düsturundan daha çox şey çıxara bilərik. Şəkildən görmək asandır. Formulun (1) sağ tərəfində əldə edilən 53-cü işarə hansının kəskin və ya küt - bucağın birinci düz xətti birinci ilə təşkil etdiyini göstərəcəkdir.

(Həqiqətən, Şəkil 53-dən birinci və ikinci istiqamət vektorları arasındakı bucağın ya düz xətlər arasındakı istənilən açıya bərabər olduğunu və ya ± 180 ° ilə fərqləndiyini görürük.)

d. Düz xətlər paraleldirsə, onların istiqamət vektorları da paraleldir.İki vektorun paralellik şərtini tətbiq edərək əldə edirik!

Bu, iki düz xəttin paralelliyi üçün zəruri və kafi bir şərtdir.

Misal. Birbaşa

paraleldir, çünki

e. Düz xətlər dikdirsə, onların istiqamət vektorları da dikdir. İki vektorun diklik şərtini tətbiq edərək, iki düz xəttin dik vəziyyətini əldə edirik, yəni

Misal. Birbaşa

olması səbəbindən dikdirlər

Paralellik və diklik şərtləri ilə əlaqədar olaraq aşağıdakı iki məsələni həll edəcəyik.

f. Bu düz xəttə paralel bir nöqtədən düz bir xətt çəkin

Həll aşağıdakı kimi aparılır. Axtarılan xətt verilmişə paralel olduğundan, istiqamət vektoru da verilmiş düz xəttlə, yəni A və B proyeksiyaları olan bir vektorla eyni götürülə bilər və sonra axtarılan xəttin tənliyi yazılacaqdır şəklində (§ 1)

Misal. Bir düz xəttə paralel bir nöqtədən (1; 3) keçən düz xəttin tənliyi

növbəti olacaq!

g. Bu düz xəttə dik bir nöqtədən düz bir xətt çəkin

Burada proyeksiyaları A və istiqamət vektoru kimi bir vektor götürmək artıq uyğun deyil, ancaq ona dik olan bir vektor partladılmalıdır. Bu vektorun proqnozları, buna görə hər iki vektorun diklik şərtinə görə, yəni şərtə görə seçilməlidir.

Bu şərt saysız-hesabsız yerinə yetirilə bilər, çünki burada iki bilinməyən bir tənlik var, amma ən asan yol getməkdir. Sonra istədiyiniz düz xəttin tənliyi şəklində yazılacaqdır

Misal. Dik bir xəttdə (-7; 2) nöqtəsindən keçən bir düz xəttin tənliyi

aşağıdakılar olacaq (ikinci formula görə)!

h. Düz xətlərin formanın tənlikləri ilə verildiyi halda

Təlimat

Qeyd

Tangensin trigonometrik funksiyasının dövrü 180 dərəcədir, yəni düz xətlərin yamac açıları mütləq dəyərində bu dəyəri aşa bilməz.

Faydalı məsləhət

Yamaclar bir-birinə bərabərdirsə, bu cür xətlər arasındakı bucaq 0-dur, belə xətlər ya üst-üstə düşür, ya da paraleldir.

Keçid düz xətləri arasındakı bucağın dəyərini təyin etmək üçün keçiddən əvvəl hər iki düz xətti (və ya onlardan birini) paralel ötürmə metodundan istifadə edərək yeni bir vəziyyətə gətirmək lazımdır. Bundan sonra ortaya çıxan kəsişən düz xətlər arasındakı bucağın qiymətini tapmalısınız.

Sizə lazım olacaq

• Hökmdar, düzbucaqlı üçbucaq, qələm, ucluq.

Təlimat

Beləliklə, V \u003d (a, b, c) vektoru və A x + B y + C z \u003d 0 müstəvisi verilsin, burada A, B və C normal N-nin koordinatlarıdır. Sonra bucağın kosinusu V və N vektorları arasında α bərabərdir: сos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Bucağın dəyərini dərəcə və ya radianda hesablamaq üçün nəticədə ortaya çıxan ifadədən kosinusa tərs funksiyanı hesablamalısınız, yəni. arkosin: α \u003d arkos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Misal: tap bucaq arasında vektor (5, -3, 8) və təyyarəümumi tənlik ilə verilmişdir 2 x - 5 y + 3 z \u003d 0 Həlli: N \u003d (2, -5, 3) müstəvisinin normal vektorunun koordinatlarını yaz. Yuxarıdakı düsturda bilinən bütün dəyərləri əvəz edin: cos α \u003d (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0.8 → α \u003d 36.87 °.

Oxşar videolar

Dairəsi olan bir ümumi nöqtəsi olan düz xətt dairəyə toxunur. Tangensin başqa bir xüsusiyyəti, toxunma nöqtəsinə çəkilən radiusa həmişə dik olmasıdır, yəni toxunma və radius düz bir xətt meydana gətirir. bucaq... Bir A nöqtəsindən AB və AC dairəsinə iki toxunma çəkilirsə, o zaman həmişə bir-birinə bərabərdirlər. Teğetlər arasındakı bucağın təyin edilməsi ( bucaq ABC) Pifaqor teoremindən istifadə edərək istehsal olunur.

Təlimat

Bucağı təyin etmək üçün OB və OS dairəsinin radiusunu və toxunanın mənşə nöqtəsinin dairənin mərkəzindən məsafəsini - O. bilməlisiniz, belə ki, ABO və ACO açıları bərabərdir, radius məsələn, OB-nin 10 sm və AO dairəsinin mərkəzinə olan məsafə 15 sm-dir.Pisaqor teoreminə uyğun olaraq düstur boyunca toxunuşun uzunluğunu təyin edin: AB \u003d AO2-nin kök kökü - OB2 və ya 152 - 102 \u003d 225 - 100 \u003d 125;

Kartezyen koordinat sistemindəki müstəvidəki iki düz l və m xətti ümumi tənliklərlə verilsin: l: A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0

Normalların vektorları verilmiş xətlərə: \u003d (A 1, B 1) - l xəttinə,

\u003d (A 2, B 2) - m xəttinə.

J l və m xətləri arasındakı bucaq olsun.

Qarşılıqlı dik tərəfli bucaqlar bərabər olduqda və ya p-yə qədər olduqda, o zaman , yəni cos j \u003d.

Beləliklə, aşağıdakı teoremi sübut etdik.

Teorem. J müstəvidəki iki düz xətt arasındakı bucaq olsun və bu düz xətlər Kartezyen koordinat sistemində A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 və A 2 x + B 2 y + ümumi tənliklərlə verilsin. C 2 \u003d 0. Sonra cos j \u003d .

Məşqlər.

1) Düz xətlər arasındakı bucağı hesablamaq üçün formulu çıxarın, əgər:

(1) hər iki sətir parametrik olaraq təyin edilir; (2) hər iki sətir kanonik tənliklərlə verilir; (3) bir düz xətt parametrik olaraq, digər düz xətt ümumi tənliklə verilir; (4) hər iki düz xətt yamaclı bir tənliklə verilir.

2) J müstəvidəki iki düz xətt arasındakı bucaq olsun və bu düz xəttlər Kartezyen koordinat sistemi tərəfindən y \u003d k 1 x + b 1 və y \u003d k 2 x + b 2 tənlikləri ilə verilsin.

Sonra tg j \u003d.

3) Kartezyen koordinat sistemindəki ümumi tənliklər tərəfindən verilmiş iki düz xəttin nisbi vəziyyətini araşdırın və cədvəli doldurun:

Təyyarədəki nöqtədən düz xəttə olan məsafə.

Kartezyen koordinat sistemindəki müstəvidəki l xətti ümumi Ax + By + C \u003d 0 tənliyi ilə verilsin. M (x 0, y 0) nöqtəsindən l xəttinə qədər olan məsafəni tapaq.

M nöqtəsindən l xəttinə olan məsafə HM (H Î l, HM ^ l) uzunluğudur.

L xəttinə vektor və normal vektor kollineardır, belə ki | | \u003d | | | | və | | \u003d.

H (x, y) nöqtəsinin koordinatlarını bildirək.

H nöqtəsi l xəttinə aid olduğundan Ax + By + C \u003d 0 (*).

Vektorların koordinatları və: \u003d (x 0 - x, y 0 - y), \u003d (A, B).

| | = = =

(C \u003d -Ax - By, bax (*))

Teorem. Kartezyen koordinat sistemində l xətti ümumi Ax + By + C \u003d 0 tənliyi ilə verilsin. Sonra M (x 0, y 0) nöqtəsindən bu sətrə qədər olan məsafə düsturla hesablanır: r (M; l) \u003d .

Məşqlər.

1) Bir nöqtədən düz xəttə olan məsafəni hesablamaq üçün bir düstur çıxarın, əgər: (1) düz xətt parametrik olaraq verilmişdirsə; (2) düz xətt kanonik tənliklərlə verilir; (3) düz xətt yamaclı bir tənliklə verilir.

2) Q (-2.4) mərkəzində 3x - y \u003d 0 düz xəttinə toxunan dairənin tənliyini yazın.

3) 2x + y - 1 \u003d 0 və x + y + 1 \u003d 0 düz xətlərinin kəsişməsindən yaranan açıları yarıya bölərək düz xətlərin tənliklərini yazın.

§ 27. Fəzada bir müstəvinin analitik tərifi

Tərif. Təyyarəyə normal vektor istənilən nümayəndəsi verilmiş müstəviyə dik olan sıfırdan kənar bir vektor deyəcəyik.

Şərh. Aydındır ki, vektorun ən azı bir nümayəndəsi müstəviyə dikdirsə, vektorun bütün digər nümayəndələri bu müstəviyə dikdirlər.

Fəzada Kartezyen koordinat sistemi verilsin.

A müstəvisi verilsin, \u003d (A, B, C) bu müstəviyə normal vektordur, M nöqtəsi (x 0, y 0, z 0) a müstəvisinə aiddir.

A müstəvisinin hər hansı bir N (x, y, z) nöqtəsi üçün vektorlar və ortoqonaldır, yəni onların skalar məhsulu sıfıra bərabərdir: \u003d 0. Son bərabərliyi koordinatlarda yazırıq: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) \u003d 0.

-Ax 0 edək - 0 ilə - Cz 0 \u003d D, sonra Ax + By + Cz + D \u003d 0.

K (x, y) nöqtəsini elə götürün ki, Ax + By + Cz + D \u003d 0. D \u003d -Ax 0 olduğundan - 0 - Cz 0, onda A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) \u003d 0. Yönləndirilmiş seqmentin koordinatları \u003d (x - x 0, y - y 0, z - z 0) olduğundan, son bərabərlik ^, və buna görə də K Î a deməkdir.

Beləliklə, aşağıdakı teoremi sübut etdik:

Teorem. Kartezyen koordinat sistemindəki kosmosdakı hər hansı bir müstəviyə Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) formasının bir tənliyi ilə təyin edilə bilər, burada (A, B, C) normal vektorun bu müstəviyə koordinatları.

Bu əks də doğrudur.

Teorem. Kartezyen koordinat sistemindəki Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) formasının hər hansı bir tənliyi müəyyən bir müstəvi təyin edərkən (A, B, C) normalın koordinatlarıdır. bu müstəviyə vektor.

Dəlil.

Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D \u003d 0 və bir vektor \u003d (A, B, C) (≠ q) olan bir M (x 0, y 0, z 0) nöqtəsi götürün.

Vektora dik M nöqtəsindən bir təyyarə keçir (və üstəlik, yalnız bir). Əvvəlki teoremə görə bu müstəviyə Ax + By + Cz + D \u003d 0 tənliyi verilir.

Tərif. Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) şəklində bir tənlik deyilir təyyarənin ümumi tənliyi.

Misal.

M (0,2,4), N (1, -1,0) və K (-1,0,5) nöqtələrindən keçən müstəvinin tənliyini yazaq.

1. Normal vektorun müstəviyə (MNK) koordinatlarını tapın. Vektor məhsulu ´ kollinear olmayan vektorlara ortogonal olduğundan, vektor kollinear ´-dir.

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

´ \u003d (-11, 3, -5).

Beləliklə, normal vektor olaraq \u003d (-11, 3, -5) vektorunu alırıq.

2. İndi ilk teoremin nəticələrindən istifadə edirik:

verilmiş müstəvinin tənliyi A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) \u003d 0, burada (A, B, C) normal vektorun koordinatlarıdır, (x 0 , y 0, z 0) - bir müstəvidə yatan nöqtənin koordinatları (məsələn, M nöqtəsi).

11 (x - 0) + 3 (y - 2) - 5 (z - 4) \u003d 0

11x + 3y - 5z + 14 \u003d 0

Cavab: -11x + 3y - 5z + 14 \u003d 0.

Məşqlər.

1) Əgər müstəvinin tənliyini yazın

(1) təyyarə 3x + y + z \u003d 0 müstəvisinə paralel olaraq M (-2,3,0) nöqtəsindən keçir;

(2) müstəvidə (Ox) oxu var və x + 2y - 5z + 7 \u003d 0 müstəvisinə dikdir.

2) Bu üç nöqtədən keçən müstəvinin tənliyini yazın.

§ 28. Yarım boşluğun analitik tərifi *

Şərh*... Bir təyyarə düzəldilsin. Altında yarım boşluqmüəyyən bir müstəvinin bir tərəfində uzanan bir sıra nöqtələri başa düşəcəyik, yəni onları birləşdirən seqment bu müstəvi ilə kəsişməsə, iki nöqtə bir yarım məkanda yerləşir. Bu təyyarə adlanır bu yarım məkanın hüdudu... Bu təyyarənin və yarım boşluğun birliyi deyiləcəkdir qapalı yarım boşluq.

Kartezyen koordinat sistemi fəzada sabit olsun.

Teorem. A müstəvisi ümumi tənliklə verilsin Ax + By + Cz + D \u003d 0. Sonra təyyarənin fəzanı böldüyü iki yarım boşluqdan biri Ax + By + Cz + D\u003e 0 bərabərsizliyi ilə verilir. , və ikinci yarım boşluq Ax + By + Cz + D bərabərsizliyi ilə verilir< 0.

Dəlil.

Bu müstəvidə uzanan M (x 0, y 0, z 0) nöqtəsindən a müstəvisinə normal vektor \u003d (A, B, C) qoyaq: \u003d, M Î a, MN ^ a. Təyyarəni iki yarım boşluğa bölün: b 1 və b 2. N nöqtəsinin bu yarım boşluqlardan birinə aid olduğu aydındır. Ümumilığı itirmədən N Î b 1 olduğunu qəbul edəcəyik.

Sübut edək ki, yarım boşluq b 1 Ax + By + Cz + D\u003e 0 bərabərsizliyi ilə verilir.

1) b 1 yarımfazada K (x, y, z) nöqtəsi götürün. L NMK bucağı vektorlar arasındakı bucaqdır və kəskindir, bu səbəbdən bu vektorların skalar məhsulu müsbətdir:\u003e 0. Bu bərabərsizliyi koordinatlarda yazırıq: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0)\u003e 0, yəni Ax + By + Cy - Ax 0 - By 0 - C z 0\u003e 0.

M Î b 1 olduğundan, Ax 0 + By 0 + C z 0 + D \u003d 0, buna görə -Ax 0 - By 0 - C z 0 \u003d D. Buna görə son bərabərsizlik aşağıdakı kimi yazıla bilər: Ax + By + Cz + D\u003e 0.

2) L (x, y) nöqtəsini götürün ki, Ax + By + Cz + D\u003e 0.

D-ni (-Ax 0 - By 0 - C z 0) ilə əvəz edərək bərabərsizliyi yenidən yazın (M Î b 1 olduğundan, sonra Ax 0 + By 0 + C z 0 + D \u003d 0): A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0)\u003e 0.

Koordinatları olan bir vektor (x - x 0, y - y 0, z - z 0) bir vektordur, buna görə A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) ifadəsidir və vektorlarının nöqtə məhsulu kimi başa düşmək olar. Vektorların skalar məhsulu və müsbət olduğundan aralarındakı bucaq kəskin və L Î b 1 nöqtəsidir.

Eynilə, yarım boşluğun b 2-nin Ax + By + Cz + D bərabərsizliyi ilə verildiyini sübut etmək olar< 0.

Qeydlər.

1) Yuxarıda göstərilən sübutun a müstəvisindəki M nöqtəsinin seçilməsindən asılı olmadığı aydındır.

2) Aydındır ki, eyni yarım boşluq fərqli bərabərsizliklərlə təyin edilə bilər.

Bu əks də doğrudur.

Teorem. Ax + By + Cz + D\u003e 0 (və ya Ax + By + Cz + D şəklində hər hansı bir xətti bərabərsizlik< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

Dəlil.

Fəzadakı Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) tənliyi müəyyən bir a müstəvisini təyin edir (bax §…). Əvvəlki teoremdə sübut olunduğu kimi, müstəvinin fəzanı böldüyü iki yarım boşluqdan biri Ax Ax + By + Cz + D\u003e 0 bərabərsizliyi ilə verilir.

Qeydlər.

1) Qapalı yarım boşluğun qeyri-sərt bir xətti bərabərsizliklə təyin oluna biləcəyi və Kartezyen koordinat sistemindəki hər hansı bir qeyri-ciddi xətti bərabərsizliyin qapalı bir yarım boşluğu təyin etdiyi aydındır.

2) İstənilən qabarıq çoxyaşlı, qapalı yarım boşluqların kəsişməsi (sərhədləri çoxşaxəli üzləri olan təyyarələrdir), yəni analitik olaraq qeyri-ciddi xətti bərabərsizliklər sistemi ilə müəyyən edilə bilər.

Məşqlər.

1) Təsadüfi afin koordinat sistemi üçün təqdim olunan iki teoremi sübut edin.

2) Hər hansı bir qeyri-ciddi xətti bərabərsizliklər sistemi qabarıq çoxbucağı müəyyənləşdirirmi?

1) Kartezyen koordinat sistemindəki ümumi tənliklər tərəfindən verilən iki müstəvinin nisbi vəziyyətini araşdırın və cədvəli doldurun.

Qisa deyerem. İki xətt arasındakı bucaq onların istiqamət vektorları arasındakı bucağa bərabərdir. Beləliklə, a \u003d (x 1; y 1; z 1) və b \u003d (x 2; y 2; z 2) istiqamət vektorlarının koordinatlarını tapa bilsəniz, bucağı tapa bilərsiniz. Daha doğrusu, düsturla bucağın kosinusu:

Bu formulun xüsusi nümunələrlə necə işlədiyini görək:

Tapşırıq. E və F nöqtələri ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 kubunda qeyd olunur - sırasıyla A 1 B 1 və B 1 C 1 kənarlarının orta nöqtələri. AE və BF xətləri arasındakı bucağı tapın.

Kubun kənarı göstərilmədiyi üçün AB \u003d 1 təyin etdik. Standart koordinat sistemini tətbiq edin: mənşə A nöqtəsində, x, y, z oxları müvafiq olaraq AB, AD və AA 1 boyunca yönəldilmişdir. Vahid seqment AB \u003d 1-ə bərabərdir. İndi xətlərimiz üçün istiqamət vektorlarının koordinatlarını tapırıq.

AE vektorunun koordinatlarını tapın. Bunun üçün A \u003d (0; 0; 0) və E \u003d (0,5; 0; 1) nöqtələrinə ehtiyacımız var. E nöqtəsi A 1 B 1 seqmentinin orta nöqtəsi olduğundan onun koordinatları uçların koordinatlarının orta hesabına bərabərdir. AE vektorunun mənşəyinin mənşəyi ilə üst-üstə düşdüyünü nəzərə alsaq, AE \u003d (0.5; 0; 1).

İndi BF vektoru ilə məşğul olaq. Eynilə, B \u003d (1; 0; 0) və F \u003d (1; 0.5; 1) nöqtələrini təhlil edirik. F - B 1 C 1 seqmentinin orta nöqtəsi. Bizdə:
BF \u003d (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) \u003d (0; 0.5; 1).

Beləliklə istiqamət vektorları hazırdır. Düz xətlər arasındakı bucağın kosinusu istiqamət vektorları arasındakı bucağın kosinusudur, buna görə də bizdə var:

Tapşırıq. Bütün kənarları 1-ə bərabər olan müntəzəm üçbucaqlı ABCA 1 B 1 C 1 prizmasında D və E nöqtələri qeyd olunur - sırasıyla A 1 B 1 və B 1 C 1 kənarlarının orta nöqtələri. AD və BE xətləri arasındakı bucağı tapın.

Standart koordinat sistemini təqdim edək: mənşə A nöqtəsində, x oxu AB, z - AA 1 boyunca yönəldilmişdir. Y oxunu OXY təyyarəsinin ABC təyyarəsi ilə üst-üstə düşməsi üçün yönləndiririk. Vahid seqmenti AB \u003d 1-ə bərabərdir. Axtarılan xətlər üçün istiqamət vektorlarının koordinatlarını tapın.

Əvvəlcə AD vektorunun koordinatlarını tapaq. Nöqtələri nəzərdən keçirin: A \u003d (0; 0; 0) və D \u003d (0.5; 0; 1), çünki D - A 1 B 1 seqmentinin orta nöqtəsi. AD vektorunun mənşəyi mənşə ilə üst-üstə düşdüyü üçün AD \u003d (0.5; 0; 1) əldə edirik.

İndi BE vektorunun koordinatlarını tapaq. B nöqtəsi \u003d (1; 0; 0) asandır. E nöqtəsi ilə - C 1 B 1 seqmentinin ortası - bir az daha çətindir. Bizdə:

Bucağın kosinusunu tapmaq qalır:

Tapşırıq. Adi altıbucaqlı prizmada ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, bütün kənarları 1-ə bərabər olan K və L nöqtələri qeyd olunur - sırasıyla A 1 B 1 və B 1 C 1 kənarlarının orta nöqtələri. AK və BL xətləri arasındakı bucağı tapın.

Bir prizma üçün standart bir koordinat sistemi tətbiq edək: koordinatların başlanğıcını alt bazanın mərkəzinə yerləşdirin, x oxunu FC boyunca, y oxunu AB və DE seqmentlərinin orta nöqtələrindən və z- şaquli yuxarıya doğru ox. Vahid seqmenti yenidən AB \u003d 1-ə bərabərdir. Bizi maraqlandıran nöqtələrin koordinatlarını yazaq:

K və L nöqtələri sırasıyla A 1 B 1 və B 1 C 1 seqmentlərinin orta nöqtələridir, buna görə koordinatları orta hesabla tapılır. Nöqtələri bilməklə AK və BL istiqamət vektorlarının koordinatlarını tapırıq:

İndi bucağın kosinusunu tapaq:

Tapşırıq. Bütün kənarları 1-ə bərabər olan müntəzəm dördbucaqlı SABCD piramidasında, E və F nöqtələri qeyd olunur - müvafiq olaraq SB və SC-nin orta nöqtələri. AE və BF xətləri arasındakı bucağı tapın.

Standart bir koordinat sistemi tətbiq edək: mənşə A nöqtəsində, x və y oxları müvafiq olaraq AB və AD boyunca, z oxu isə şaquli yuxarıya yönəldilmişdir. Vahid seqmenti AB \u003d 1-ə bərabərdir.

E və F nöqtələri sırasıyla SB və SC seqmentlərinin orta nöqtələridir, buna görə koordinatları uçların aritmetik ortalaması kimi tapılır. Bizi maraqlandıran nöqtələrin koordinatlarını yazaq:
A \u003d (0; 0; 0); B \u003d (1; 0; 0)

Nöqtələri bilməklə AE və BF istiqamət vektorlarının koordinatlarını tapırıq:

AE vektorunun koordinatları E nöqtəsinin koordinatları ilə üst-üstə düşür, çünki A nöqtəsi mənşəlidir. Bucağın kosinusunu tapmaq qalır:

Təyyarələrin arasındakı açı

Tənliklərlə müvafiq olaraq verilmiş iki α 1 və α 2 müstəvisini nəzərdən keçirin:

Altında bucaq iki təyyarə arasında bu təyyarələrin yaratdığı dihedral açılardan birini nəzərdə tuturuq. Aydındır ki, normal vektorlarla α 1 və α 2 müstəviləri arasındakı bucaq göstərilən bitişik dihedral açılardan birinə bərabərdir və ya ... buna görə ... Çünki və sonra

.

Misal. Təyyarələr arasındakı bucağı təyin edin x+2y-3z+ 4 \u003d 0 və 2 x+3y+z+8=0.

İki müstəvinin paralelliyinin vəziyyəti.

İki təyyarə α 1 və α 2 paraleldir və normal vektorları paraleldirsə, deməkdir .

Beləliklə, iki müstəvi bir-birinə paraleldir və yalnız müvafiq koordinatlardakı əmsallar mütənasibdirsə:

və ya

Təyyarələrin dikliyinin vəziyyəti.

İki təyyarənin dik olduqları aydındır və normal vektorları dik olduqda və buna görə də ya.

Beləliklə,.

Nümunələr.

Məkanda düz.

VEKTÖR XƏTTİ TƏQDİMATI.

XƏTTİN PARAMETRİK DENGƏRLƏRİ

Bir düz xəttin kosmosdakı mövqeyi, sabit nöqtələrindən hər hansı birini göstərməklə tamamilə müəyyən edilir M 1 və bu xəttə paralel bir vektor.

Düz bir xəttə paralel bir vektor deyilir rəhbər bu xəttin vektoru.

Buna görə düz olsun l nöqtədən keçir M 1 (x 1 , y 1 , z 1) vektora paralel düz bir xətt üzərində uzanmaq.

Təsadüfi bir məqamı düşünün M (x, y, z) düz bir xətt üzərində. Rəqəm onu \u200b\u200bgöstərir .

Vektorlar və kollineardır, buna görə də belə bir rəqəm var t, nədir, amil haradadır t nöqtənin mövqeyindən asılı olaraq istənilən ədədi dəyəri ala bilər M düz bir xətt üzərində. Amil t bir parametr deyilir. Nöqtələrin radius vektorlarını göstərmək M 1 və M sırasıyla və vasitəsilə əldə edirik. Bu tənlik deyilir vektor düz xəttin tənliyi. Parametrin hər bir dəyəri üçün göstərir t bəzi nöqtələrin radius vektoruna uyğundur Mdüz bir xətt üzərində uzanmaq.

Bu tənliyi koordinat şəklində yazaq. Diqqət yetirin, və buradan

Nəticədə yaranan tənliklərə deyilir parametrik düz xəttin tənlikləri.

Bir parametr dəyişdirərkən t koordinatlar dəyişir x, y və z və qeyd M düz bir xətt üzrə hərəkət edir.

Kanonik düz tənliklər

Olsun M 1 (x 1 , y 1 , z 1) düz bir xətt üzərində uzanan bir nöqtədir lvə Onun istiqamət vektorudur. Yenə də düz bir xətt üzərində təsadüfi bir nöqtə götürün M (x, y, z) və bir vektor düşünün.

Vektorların və kollinear olduğu aydındır, buna görə uyğun koordinatları mütənasib olmalıdır, buna görə

– kanonik düz xətt tənlikləri.

Qeyd 1. Diqqət yetirin ki, düz xəttin kanonik tənlikləri parametri xaric etməklə parametrik olanlardan əldə edilə bilər t... Həqiqətən, parametrik tənliklərdən əldə edirik və ya .

Misal. Düz xəttin tənliyini yazın parametrik formada.

Biz bildiririk , buradan x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Qeyd 2. Düz xətt koordinat oxlarından birinə, məsələn oxa dik olsun Öküz... Sonra yönləndirici vektor dikdir Öküz, Nəticədə, m\u003d 0. Nəticə etibarilə düz xəttin parametrik tənlikləri forma alır

Parametrin tənliklərdən çıxarılması t, şəklində düz xətt tənliklərini əldə edirik

Lakin, bu vəziyyətdə də, düz xəttin kanonik tənliklərini şəklində rəsmi olaraq yazmağı qəbul edirik ... Beləliklə, kəsrlərdən birinin məxrəci sıfıra bərabərdirsə, bu, xəttin müvafiq koordinat oxuna dik olduğunu göstərir.

Eynilə, kanonik tənliklər oxlara dik bir düz xəttə uyğundur Öküz və Ay və ya paralel ox Oz.

Nümunələr.

Iki təyyarənin kəsişmə xətti kimi bir xəttin ÜMUMİ TƏQDİMATLARI

Məkanda hər bir düz xəttdən sonsuz sayda təyyarə keçir. Onlardan hər hansı ikisi kəsişərək onu məkanda təyin edir. Nəticədə, hər iki belə müstəvinin bərabərlikləri birlikdə nəzərə alınaraq bu düz xəttin tənliklərini təmsil edir.

Ümumiyyətlə, ümumi tənliklər tərəfindən verilən istənilən iki paralel olmayan müstəvi

onların kəsişmə xəttini təyin edin. Bu tənliklər deyilir ümumi tənliklər düz.

Nümunələr.

Tənliklərlə verilən düz xətt qurun

Düz bir xətt qurmaq üçün onun hər hansı iki nöqtəsini tapmaq kifayətdir. Ən asan yol, xəttin koordinat müstəviləri ilə kəsişmə nöqtələrini seçməkdir. Məsələn, təyyarə ilə kəsişmə nöqtəsi xOy düz xəttin tənliklərindən, düzəlişlərindən əldə edirik z= 0:

Bu sistemi həll etdikdən sonra nöqtəni tapırıq M 1 (1;2;0).

Eynilə qəbulu y\u003d 0, düz xəttin təyyarə ilə kəsişmə nöqtəsini alırıq xOz:

Bir düz xəttin ümumi tənliklərindən, onun kanonik və ya parametrik tənliklərinə keçə bilərsiniz. Bunu etmək üçün bir nöqtə tapmaq lazımdır M Xəttdə 1 və xəttin istiqamət vektoru.

Nöqtə koordinatları M 1 bu tənliklər sistemindən koordinatlardan birinə ixtiyari dəyər verilərək əldə ediləcəkdir. İstiqamət vektorunu tapmaq üçün qeyd edək ki, bu vektor hər iki normal vektora dik olmalıdır və ... Buna görə düz xəttin istiqamət vektorunun arxasında l normal vektorların çarpaz məhsulunu götürə bilərik:

.

Misal. Düz xəttin ümumi tənliklərini verin kanonik formaya.

Düz bir xətt üzərində uzanan bir nöqtə tapın. Bunu etmək üçün özbaşına koordinatlardan birini seçirik, məsələn, y\u003d 0 və tənliklər sistemini həll edin:

Düz xətti təyin edən müstəvilərin normal vektorları koordinatlara malikdir Buna görə rejissor vektor olacaqdır

... Nəticə olaraq l: .

Düz aradakı açı

Künc kosmosdakı düz xətlər arasında verilənlərə paralel olaraq ixtiyari bir nöqtə ilə çəkilmiş iki düz xəttin əmələ gətirdiyi qonşu bucaqlardan hər hansı birini adlandıracağıq.

Fəzada iki düz xətt verilsin:

Aydındır ki, düz xətlər arasındakı bucaq onların istiqamət vektorları arasındakı bucaq kimi qəbul edilə bilər. Beləliklə, vektorlar arasındakı bucağın kosinüsünün düsturuna görə əldə edirik