Çox sayda kökü necə seçmək olar. Kvadrat kökü necə tapmaq olar? Xüsusiyyətləri, kök çıxarılması nümunələri

Çox sayda kökün çıxarılması. Əziz dostlar!Bu yazıda biz kalkulyator olmadan çox sayda kökün necə çıxarılacağını anlayacağıq. Bu, yalnız bəzi USE problemlərinin həlli üçün deyil (hərəkət üçün bəziləri var), həm də ümumi riyazi inkişaf üçün lazımdır, bu analitik texnikanı bilmək arzuolunandır.

Görünür ki, hər şey sadədir: faktoru çıxarın və çıxarın. Heç bir problem yoxdur. Məsələn, genişləndirildikdə 291600 nömrəsi məhsulu verəcəkdir:

Hesablayırıq:

Biri var AMMA! 2, 3, 4 və s. bölənlər asanlıqla təyin olunarsa, üsul yaxşıdır. Bəs kök çıxardığımız ədəd sadə ədədlərin hasilidirsə necə? Məsələn, 152881 17, 17, 23, 23 rəqəmlərinin hasilidir. Dərhal bu bölənləri tapmağa çalışın.

Baxdığımız metodun mahiyyəti- bu təmiz analizdir. Qazanılmış bacarıqla kök tez tapılır. Bacarıq işlənməyibsə, ancaq yanaşma sadəcə başa düşülürsə, o, bir az yavaş, lakin hələ də qərarlıdır.

190969-dan kökü çıxaraq.

Əvvəlcə müəyyən edək - nəticəmiz hansı ədədlər arasında (yüz qatları) yerləşir.

Aydındır ki, verilmiş ədədin kökünün nəticəsi 400 ilə 500 arasındadır,çünki

400 2 = 160 000 və 500 2 = 250 000

Həqiqətən:

ortada, 160.000-ə yaxın, yoxsa 250.000?

190969 rəqəmi təxminən ortadadır, lakin buna baxmayaraq, 160000-ə yaxındır. Kökümüzün nəticəsinin 450-dən az olacağı qənaətinə gələ bilərik. Yoxlayaq:

Həqiqətən, 190 969-dan bəri 450-dən azdır< 202 500.

İndi 440 nömrəsini yoxlayaq:

Beləliklə, nəticəmiz 440-dan azdır 190 969 < 193 600.

430 nömrəsinin yoxlanılması:

Bu kökün nəticəsinin 430-dan 440-a qədər olduğunu müəyyən etdik.

Sonunda 1 və ya 9 olan ədədlərin hasili sonunda 1 olan bir ədəd verir. Məsələn, 21x21 441-dir.

Sonunda 2 və ya 8 olan ədədlərin hasili sonunda 4 olan bir ədəd verir. Məsələn, 18 x 18 324-dür.

Sonunda 5 olan ədədlərin hasili sonunda 5 olan ədədi verir. Məsələn, 25x25 625-ə bərabərdir.

Sonunda 4 və ya 6 olan ədədlərin hasili sonunda 6 olan bir ədəd verir. Məsələn, 26x26 676-ya bərabərdir.

Sonunda 3 və ya 7 olan ədədlərin hasili sonunda 9 olan bir ədəd verir. Məsələn, 17x17 289-dur.

190969 rəqəmi 9 rəqəmi ilə bitdiyi üçün bu, ya 433, ya da 437-nin məhsuludur.

* Yalnız onlar, kvadratına çevrildikdə, sonunda 9 verə bilər.

Yoxlayırıq:

Beləliklə, kök nəticə 437 olacaq.

Yəni düzgün cavab üçün bir növ “əllədik”.

Gördüyünüz kimi, tələb olunan maksimum bir sütunda 5 hərəkəti yerinə yetirməkdir. Ola bilsin ki, siz dərhal mətləbə keçəcəksiniz və ya sadəcə üç hərəkət edəcəksiniz. Hamısı rəqəmin ilkin təxminini necə dəqiq etdiyinizdən asılıdır.

148996-nın kökünü özünüz çıxarın

Problemdə belə bir diskriminant alınır:

Motor gəmisi çay boyu 336 km təyinat yerinə gedir və dayandıqdan sonra yola qayıdır. Motorlu gəminin durğun suda sürətini tapın, əgər cari sürət 5 km/saatdırsa, qalma 10 saat davam edir və gəmi oradan ayrıldıqdan 48 saat sonra yola qayıdır. Cavabınızı km/saat ilə bildirin.

Həllinə baxın

Kök nəticə 300 ilə 400 arasındadır:

300 2 =90000 400 2 =160000

Düzdür, 90.000<148996<160000.

Sonrakı mülahizələrin mahiyyəti 148996 nömrəsinin bu nömrələrə nisbətən necə yerləşdiyini (uzaqda) müəyyənləşdirməkdən ibarətdir.

Gəlin fərqləri hesablayaq 148996 - 90000 = 58996 və 160000 - 148996 = 11004.

Belə çıxır ki, 148996 160000-ə yaxındır (çox yaxındır).Ona görə də kökün nəticəsi mütləq 350-dən və hətta 360-dan çox olacaqdır.

Nəticəmizin 370-dən çox olduğu qənaətinə gələ bilərik. Bundan əlavə, aydındır: 148996 6 rəqəmi ilə bitdiyi üçün bu o deməkdir ki, ya 4 və ya 6 ilə bitən rəqəm kvadratlaşdırılmalıdır. son 6.

Hörmətlə, Aleksandr Krutitskix.

P.S: Sosial şəbəkələrdə sayt haqqında məlumat versəniz minnətdar olaram.

Çox vaxt olimpiadalarda və imtahanlarda (məsələn, riyaziyyatdan imtahanda) kalkulyatordan istifadə edə bilməzsiniz. Gündəlik həyatda bəzən bir kalkulyator olmadan tam ədədin kvadrat kökünün dəyərini qiymətləndirmək lazımdır. Necə davam etmək olar?

1. Əvvəlcə ədədin son rəqəminə baxın, əgər o 2, 3, 7, 8-dirsə, bu ədədin bütün kökü yoxdur. Əgər nömrə 1, 4, 6, 9 rəqəmləri ilə bitirsə, istədiyiniz kökün son rəqəmi müvafiq olaraq 1 və ya 9, 2 və ya 8, 4 və ya 6, 3 və ya 7 ola bilər.
Əgər rəqəm 5 rəqəmi ilə bitirsə, onda sondan əvvəlki rəqəmə diqqət yetirmək lazımdır. Bütöv bir kökün olması üçün o, 2 olmalıdır, yəni. yalnız 25 ilə bitən ədədlərin kökləri 5 ilə bitən ola bilər.
Bu sistemdə xüsusi yeri 0 tutur.Əgər ədəd bir və ya tək sayda sıfırla bitirsə, o zaman tam kök yoxdur, əgər iki və ya cütdürsə, yəni 10-a çoxlu kök yoxdur.

Bu cədvəldə bəzi simmetriyaya diqqət yetirdinizmi? Bunun nədən qaynaqlandığını düşünün. Əgər təxmin etməmisinizsə, onda bu bölmənin sonuna nəzər salın.

2. Nömrəni sağdan sola 2 rəqəmdən ibarət qruplara (kənarda) bölün. Son rəqəmdən başlayın. Üstəlik, əgər verilmiş nömrə tək rəqəmlərdən ibarətdirsə, onda ən sol qrupda bir rəqəm olacaq, əgər cüt nömrədənsə, onda iki.

Nömrəniz yalnız iki üzdən ibarətdirsə, bununla dayanıb sütunda vurmaqla mümkün nəticələri yoxlaya bilərsiniz. Məsələn, 1225 rəqəminin kökü 3 ilə başlamalıdır (bunu 3-cü bənddə müəyyən etdik) və yalnız 5 ilə bitə bilər (1-ci bəndə baxın), yəni. bu ədədin təbii kökü varsa, o, yalnız 35 ola bilər. 841 ədədinin kökü 2 ilə başlamalı, 1 və ya 9 ilə bitməlidir, yəni. ya 21, ya da 29-dur. Amma 21 ≈ 20 və 20 2 = 400, 29 ≈ 30 və 30 2 = 900. Verilmiş 841 rəqəmi 400-dən 900-ə yaxındır, ona görə də cavabın 29 olduğu ehtimal edilir.

yoxlayaq.

29
× 29
____
261
58
____
841

35
× 35
_____
175
105
_____
1225

Deməli, cavablar mövcuddur, onlar tapılır və düzgün tapılır.
İkirəqəmli cavablar üçün və imtahanda daha uzun nömrələr nadirdir, hər şey çox sadədir. elə deyilmi?

4. Əgər nömrəniz ikidən çox üzdən ibarətdirsə və ya birbaşa yoxlamaya getmək istəmirsinizsə, kök tapmaq alqoritmi növbəti addımla davam edir:
- cavabın tapılan birinci rəqəminin kvadratını çəkin və birinci qütbdən çıxın, fərqə ikinci tərəfi əlavə edin, üç və ya dörd rəqəmli rəqəm alırsınız. Onu A simvolu ilə işarə edək.

5. Növbəti rəqəm ən böyük olmalıdır, belə seçilmişdir:
- cavabın mövcud hissəsini 2-yə vururuq, ona ehtimal olunan rəqəmi əlavə edirik və nəticədə çıxan rəqəmi eyni rəqəmə vururuq. Nəticəni A sayından çıxarırıq. Qalan mümkün olan ən kiçik müsbət ədəd olmalıdır.

Məsələn, 142884 (14 "28" 84) nömrəsi üçün cavabın bir hissəsi tapılır - birinci rəqəm 3-dür və ikinci üz çıxarılır, yəni. müəyyən edilmiş A = 528. Cavabın hissəsini 2-yə vurun, biz 3 × 2 = 6 alırıq. İndi sağdakı 6-ke-yə "təxmin edilən rəqəm" əlavə etməlisiniz. Onun təxmini dəyərini təyin edirik:
A = 528 ≈ 500.500: 60 ≈ 8. Buna görə də 8-dən seçməyə başlayırıq.
528 - 68 × 8 = 528 - 544 528 - 67 × 7 = 528 - 469> 0. Kökün növbəti rəqəmi 7-dir.

Beləliklə, nümunələrimizdə:

Əgər üzlərin sayı qədər rəqəm yaratmısınızsa və bu addımda qalan 0-dırsa, cavab qəbul edilir. Hər halda, onu vurma yolu ilə yoxlamağın mənası var.
Əgər üzlərin sayı qədər rəqəm varsa, qalanı isə 0 deyilsə, ya yuxarıdakı hesablamalarda xəta olub, ya da bu ədədin təbii kökü yoxdur. Sonuncu halda, əgər hələ də onun dəyərini verilmiş dəqiqliklə tapmaq lazımdırsa, ondalıq nöqtədən sonra lazımi sayda sıfır kənarları (00) əlavə edib davam edə bilərsiniz.
Qəbul edilən nömrələrdən daha çox üz varsa, davam edin. İki yuxarı nümunədə yalnız son rəqəmi müəyyən etmək qalır, bu, 1-ci bəndə uyğun olaraq seçimlə edilə bilər: 142884 nömrəsi üçün 372 və 378-i, 20449 nömrəsi üçün 143-ü vuraraq yoxlamaq lazımdır. və 147. Amma biz ümumi alqoritmə uyğun olaraq davam edəcəyik.

6. Əvvəlki addımda əldə edilən qalığa növbəti üzü əlavə etməklə yeni A rəqəmi əmələ gətiririk. Cavabın növbəti rəqəmini almaq üçün 5-ci addımın hərəkətlərini təkrar edirik. Bütün cavab alınana qədər bu addımı təkrar edirik.
Nümunələrimizdə:

x + y= 10 və y = 10 − x.

İki ədədin fərqinin kvadratının düsturunu xatırlayaq

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 ;

Və kvadrat tapmaq üçün istifadə edin y.

y 2 = (10 − x) 2 = 10 2 - 2 10 x + x 2 ;

Bu cəmdə birinci hədd iki sıfırla, ikincisi sıfırla bitir, bu o deməkdir ki, əlavədən sonra bütün ifadə eyni rəqəmlə bitəcək. x 2. Bunlar. x 2 və y 2 eyni şəkildə bitir.

Kökün hesablanması nümunələri.

Qiymətləndirin √6335289 _______ .

Aralıq nəticələri bölmə ilə bənzətmə ilə bir sütunda yazacağıq. Sütunun sağında qaralama.

6"33"52"89 | 2517.
−4
____
233
−225 | 45 × 5
______
852
−501 | 501 × 1
________
35189
−35189 | 5027 × 7
__________
0

1) Kənardakı rəqəmi bölürük: 6 "33" 52 "89. 4 ədəd çıxdı, buna görə də cavab 4 rəqəmdən ibarət olacaq. İlk rəqəm 2-dir, çünki 2 2 = 4 6.

2) Bundan sonra cavabın mövcud hissəsini ikiqat artırırıq, qalanını müəyyənləşdiririk, növbəti sətri yıxırıq və cavabın növbəti rəqəmini seçirik. Bu addımı son kənarına qədər təkrar edirik:
233: 40 ≈ 5; 45 x 5 = 225 233; buna görə də 2-ci rəqəm 5-dir;
852: 500 ≈ 1; 501 × 1 = 501,852; buna görə də 3-cü rəqəm 1-dir.

3) Tam ədədin kökü varsa, onun son rəqəmi 3 və ya 7 ola bilər. Biz sütunda vurmaqla 2513 və 2517-ni yoxlaya bilərik. Ancaq çoxrəqəmli ədədlər üçün ümumi alqoritmə uyğun olaraq davam etmək daha sürətlidir:
35189: 5000 ≈ 7; 5027 × 7 = 35189 (!) Son rəqəm 7-dir.

Cavab: 2517.

Qiymətləndirin √2304 ____ .

48
× 48
______
384
192
______
2304

Biz onu uçuruma qədər qırırıq. 23 "04. Buna görə də cavab 2 rəqəmdəndir, birinci rəqəm 4-dür, çünki 4 2 = 16 23. Sonuncu rəqəm ya 2, ya da 8-dir, çünki vurmanın nəticəsi 4 ilə bitməlidir.
Deməli, 42 yoxsa 48? 42 ≈ 40; 40 2 = 1600,48 ≈ 50; 50 2 = 2500.2500 verilmiş ədədə daha yaxındır, ona görə də testə 48-də uzun vurma ilə başlayırıq.

Cavab: 48.

Bu, riyaziyyatda imtahanda ən çox rast gəlinən haldır və mən sizə bunu bir çeklə bitirməyi şiddətlə tövsiyə edirəm.

Qiymətləndirin √503 ___ .

Rəqəm üçdə bitir. Bütün kök dəyərinin işləməyəcəyi dərhal aydın olur. Gəlin özümüzə sual verək ki, kökü hansı dəqiqliklə müəyyən etmək lazımdır. Deyək ki, şərt cavabı ən yaxın yüzliyə yuvarlaqlaşdırmağı deyir. Bu o deməkdir ki, onu mində bir qədər almaq lazımdır, yəni. 3-cü onluq yerlərinə qədər. Buna görə də, verilən nömrəyə daha 3 sıfır üz əlavə edilməlidir. Və vergülün özünü unutma!

5"03,00"00"00 | 22,427.
−4
____
103
- 84 | 42 × 2
______
1900
−1776 | 444 × 4
________
12400
- 8964 | 4482 × 2
__________
343600
−313929 | 44847 × 7
____________
29671

1) Beləliklə, üzlərə bölünmə belə olacaq 5 "03 , 00 "00" 00. Cavab beş rəqəm olacaq - onluq nöqtədən əvvəl 2 və sonra 3. Birinci rəqəm 2-dir (2 2 = 4 5), bu halda sonuncu rəqəmi müəyyən edə bilmərik.

2) Sonra, həmişəki kimi ümumi alqoritmin 4,5,6 addımlarını yerinə yetiririk:
103: 40 ≈ 2; 42 x 2 = 84 103; deməli, 2-ci rəqəm 2-dir.
1900: 440 ≈ 4; 444 x 4 = 1776 1900; deməli, 3-cü rəqəm 4-dür.
12400: 4480 ≈ 3; 4483 x 3 = 13449> 12400; 4482 × 2 = 8964 343600: 44840 ≈ 8; 44848 × 8 = 358784> 343600; 44847 × 7 = 313929 Biz hələ sıfır qalıq almamışıq və tələb olunan kök irrasional ədəddirsə, bəlkə də heç vaxt əldə edə bilməyəcəyik. Amma buna ehtiyacımız yoxdur, çünki nəticə artıq yuvarlaqlaşdırma üçün lazım olan dəqiqliklə əldə edilmişdir.

Onluq nöqtəsindən sonra üçüncü rəqəmi atmaqla, əvvəlkini bir vahid artıraraq (7> 5-dən) 22.427 ≈ 22.43.

Cavab: 22,43.

Qiymətləndirin √1.5 ____ .

Onluq kəsrin kökünü hesablamaq üçün 10 2 = 100 və 0,1 2 = 0,01 olduğunu xatırlamaq lazımdır. Bunlar. kvadrat olduqda, rəqəmlər ikiqat artır. Müvafiq olaraq, onluq kəsrin kvadrat kökünü çıxarmaq üçün ondalıq kəsirdən sonra cüt rəqəmlərə sahib olmaq lazımdır. Bu halda, sağdan sola (axırdan) böldükdə ondalık nöqtədən sonra üzlərin tam sayını və deməli, cavabın kəsr hissəsində rəqəmlərin tam sayını alırıq.
Onu da xatırladaq ki, ədədin tam hissəsinə istədiyiniz qədər baş sıfır, kəsr hissəsinə isə sonuna istədiyiniz qədər sıfır əlavə edə bilərsiniz. Sayı bundan dəyişmir.

1 = 001; 23 = 000023; 1080 = 01080; lakin (!) 1080 ≠ 10800
0,1 = 0,10; 2,3 = 2,3000; 10,80 = 0010,8000; lakin (!) 10,80 ≠ 100,80 və 10,80 ≠ 10,080

I üsul.

1,5 = 1,50 √1,5___ = √1,50____

Deyək ki, onluğa qədər dəqiq cavab vermək lazımdır, onda bu kökün qiymətini ikinci onluq yerinə qədər hesablamaq lazımdır. İndi ondalık nöqtədən sonra 2 rəqəmimiz var, yəni. bir üz, ona görə də başqa bir sıfır üz əlavə edin.

1,50"00 | 1,22
−1
____
50
−44 | 22 × 2
______
600
−484 | 242 × 2
_______
116

1) Kənarda işləmək: 1.50 "00. Nəticə 3 rəqəm olacaq - biri ondalık nöqtədən əvvəl və ikisi sonra. İlk rəqəm açıq şəkildə 1-dir.

3) 1,22 ≈ 1,2-ni yuvarlaqlaşdırın.

Cavab: 1,2.

II üsul.

Biz çoxalırıq və eyni zamanda rəqəmimizi bərabər gücdə 10-a bölürük (mütləq bərabər gücdə, sonra məxrəcdən kökü asanlıqla və dəqiq çıxara bilək). 1,5 = 1,5 × 100/100 = 150/100. Buna görə də, 150-nin kökünü hesablamaq və onu 100-ün kökünə bölmək lazımdır, yəni. 10-da.

Kiçik üçrəqəmli tam ədədlər üçün kök dəyərlərini yadda saxlamaq asandır, çünki onlar çox yaygındır (bax, məsələn, "1-dən 25-ə qədər ədədlərin kvadratları" və "Kvadrat köklər" cədvəllərində). 144-dən 150-yə qədər tam ədədin kvadratının ən yaxın qiyməti, buna görə də √150 ____ ≈ 12 və müvafiq olaraq √1,5 ____ ≈ 12:10 = 1,2.

Cavab: 1,2.

Diqqət: 1.5-in kökünün təxmini qiymətini təyin etmək üçün 15-in kökü götürüldükdə çox yayılmış səhvdir.Unutmayın - cüt sayda sıfırlar.

√10__ ≈ 3,16 √100___ = 10 √1000____ ≈ 31,62 √10000_____ = 100 √100000______ ≈ 316,23 √1000000_______ = 1000

E.İ.İqnatyev özünün “İxtiraçılıq səltənətində” (1908) ilk nəşrinə yazdığı müqəddimədə yazır: “... əqli təşəbbüs, ixtiraçılıq və“ ixtiraçılıq” nə heç kimin başına“ qazıla ”, nə də“ ixtiraçılıq ”qoymaz. Nəticələr o zaman etibarlı olur ki, riyazi bilik sahəsinə giriş asan və xoş bir şəkildə, mövzular və gündəlik və məişət situasiyalarından nümunələr üzrə, uyğun zəka və əyləncə ilə seçilsin”.

“Riyaziyyatda yaddaşın rolu” kitabının 1911-ci il nəşrinə yazdığı ön sözdə E.İ. İqnatyev yazır: “...riyaziyyatda düsturları deyil, düşüncə prosesini xatırlamaq lazımdır”.

Kvadrat kökü çıxarmaq üçün ikirəqəmli ədədlər üçün kvadratlar cədvəlləri var, siz ədədi əsas amillərə parçalaya və məhsulun kvadrat kökünü çıxara bilərsiniz. Kvadratların cədvəli çox vaxt kifayət deyil, faktorizasiya ilə kökün çıxarılması çox vaxt aparan bir işdir, bu da həmişə istədiyiniz nəticəyə səbəb olmur. 209764-ün kvadrat kökünü sınayın? Baş faktorizasiya məhsula 2 * 2 * 52441 verir. Sınaq və səhv, seçim yolu ilə - bu, əlbəttə ki, bunun tam olduğuna əminsinizsə edilə bilər. Təklif etmək istədiyim yol onsuz da kvadrat kök əldə etməkdir.

Bir dəfə institutda (Perm Dövlət Pedaqoji İnstitutu) biz indi danışmaq istədiyim bu üsulla tanış olduq. Heç vaxt bu metodun sübutu olub-olmadığını düşünməmişəm, ona görə də indi bəzi sübutları özüm çıxarmalı oldum.

Bu metodun əsasını = ədədinin tərkibi təşkil edir.

= &, yəni. & 2 = 596334.

1. Biz rəqəmi (5963364) sağdan sola cütlərə bölürük (5`96`33`64)

2. Soldan birinci qrupun kvadrat kökünü çıxarın (- 2 nömrə). Bu bizə &-nin ilk rəqəmini verir.

3. Birinci rəqəmin kvadratını tapın (2 2 = 4).

4. Birinci qrupla birinci rəqəmin kvadratı arasındakı fərqi tapın (5-4 = 1).

5. Növbəti iki rəqəmi yıxırıq (196 nömrəsini aldıq).

6. Tapdığımız ilk rəqəmi ikiqat artıraraq, onu xəttin arxasına sola yazın (2 * 2 = 4).

7. İndi & rəqəminin ikinci rəqəmini tapmaq lazımdır: tapdığımız ikiqat birinci rəqəm ədədin onluq rəqəminə çevrilir, birlərin sayına vurulduqda 196-dan kiçik rəqəm almaq lazımdır (bu rəqəm 4, 44 * 4 = 176). 4 &-in ikinci rəqəmidir.

8. Fərqi tapın (196-176 = 20).

9. Növbəti qrupu yıxırıq (2033 nömrəsini alırıq).

10. 24 rəqəmini iki dəfə artırsaq, 48-i alırıq.

Bir ədəddə 11.48 onluq, birlərin sayına vurulduqda 2033-dən kiçik bir ədəd almalıyıq (484 * 4 = 1936). Tapdığımız (4) vahidlərinin rəqəmi & ədədinin üçüncü rəqəmidir.

Hallar üçün mənim tərəfimdən sübut təqdim olunur:

1. Üçrəqəmli ədədin kvadrat kökünün çıxarılması;

2. Dördrəqəmli ədədin kvadrat kökünü çıxarın.

Təxmini kvadrat kök üsulları (kalkulyatordan istifadə etmədən).

1. Qədim babillilər x ədədinin kvadrat kökünün təxmini qiymətini tapmaq üçün aşağıdakı üsuldan istifadə edirdilər. Onlar x ədədini a 2 + b cəmi kimi təqdim etdilər, burada a 2, x ədədinə ən yaxın olan a natural ədədinin (a 2? X) dəqiq kvadratıdır və düsturdan istifadə edirdilər. . (1)

Məsələn, 28 rəqəmindən (1) düsturundan istifadə edərək kvadrat kök çıxaraq:

MK 5.2915026 istifadə edərək 28-dən kök çıxarmağın nəticəsi.

Gördüyünüz kimi, Babil üsulu kökün dəqiq dəyərinə yaxşı bir yaxınlaşma verir.

2. İsaak Nyuton, İsgəndəriyyə Heronuna (təxminən eramızın 100-cü ili) aid olan kvadrat kökü çıxarmaq üçün bir üsul hazırladı. Bu üsul (Nyuton metodu kimi tanınır) aşağıdakı kimidir.

Qoy a 1- ədədin ilk yaxınlaşması (1 kimi, natural ədədin kvadrat kökünün dəyərlərini götürə bilərsiniz - çox olmayan dəqiq kvadrat X) .

Növbəti, daha dəqiq yaxınlaşma a 2 rəqəmlər düsturla tapmaq olar .

Fakt 1.
\ (\ güllə \) Bəzi mənfi olmayan ədədləri götürün \ (a \) (yəni, \ (a \ geqslant 0 \)). Sonra (arifmetik) kvadrat kök\ (a \) sayından belə bir mənfi olmayan ədəd \ (b \) adlanır, kvadratlaşdırarkən \ (a \) nömrəsini alırıq: \ [\ sqrt a = b \ quad \ text (eyni) \ quad a = b ^ 2 \] Tərifdən belə çıxır ki \ (a \ geqslant 0, b \ geqslant 0 \). Bu məhdudiyyətlər kvadrat kökün mövcudluğu üçün vacibdir və yadda saxlamaq lazımdır!
Yada salaq ki, istənilən ədədin kvadratı alındıqda mənfi olmayan nəticə verir. Yəni, \ (100 ^ 2 = 10000 \ geqslant 0 \) və \ ((- 100) ^ 2 = 10000 \ geqslant 0 \).
\ (\ güllə \) \ (\ sqrt (25) \) nədir? Biz bilirik ki, \ (5 ^ 2 = 25 \) və \ ((- 5) ^ 2 = 25 \). Tərifinə görə, mənfi olmayan bir ədəd tapmalıyıq, onda \ (- 5 \) uyğun gəlmir, buna görə \ (\ sqrt (25) = 5 \) (çünki \ (25 = 5 ^ 2 \)) .
\ (\ sqrt a \) dəyərinin tapılması \ (a \) ədədinin kvadrat kökünün alınması, \ (a \) ədədinin isə radikal ifadə adlanır.
\ (\ güllə \) Tərifə əsasən, \ (\ sqrt (-25) \), \ (\ sqrt (-4) \) ifadəsi və s. məna kəsb etmə.

Fakt 2.
Sürətli hesablamalar üçün \ (1 \) ilə \ (20 \) arasında olan natural ədədlərin kvadratlarının cədvəlini öyrənmək faydalı olacaq: \ [\ start (massiv) (| ll |) \ hline 1 ^ 2 = 1 & \ quad11 ^ 2 = 121 \\ 2 ^ 2 = 4 & \ quad12 ^ 2 = 144 \\ 3 ^ 2 = 9 & \ quad13 ^ 2 = 169 \\ 4 ^ 2 = 16 & \ quad14 ^ 2 = 196 \\ 5 ^ 2 = 25 & \ quad15 ^ 2 = 225 \\ 6 ^ 2 = 36 & \ quad16 ^ 2 = 256 \\ 7 ^ 2 = 49 & \ quad17 ^ 2 = 289 \\ 8 ^ 2 = 64 & \ quad18 ^ 2 = 324 \\ 9 ^ 2 = 81 & \ quad19 ^ 2 = 361 \\ 10 ^ 2 = 100 & \ quad20 ^ 2 = 400 \\ \ hline \ end (massiv) \]

Fakt 3.
Kvadrat köklərlə nə etmək olar?
\ (\ güllə \) Kvadrat köklərin cəmi və ya fərqi cəminin və ya fərqin kvadrat kökünə BƏRAB DEYİL, yəni. \ [\ sqrt a \ pm \ sqrt b \ ne \ sqrt (a \ pm b) \] Beləliklə, məsələn, \ (\ sqrt (25) + \ sqrt (49) \) hesablamaq lazımdırsa, əvvəlcə \ (\ sqrt (25) \) və \ (\ sqrt) dəyərlərini tapmalısınız. (49) \ ) və sonra onları qatlayın. Beləliklə, \ [\ sqrt (25) + \ sqrt (49) = 5 + 7 = 12 \] \ (\ sqrt a \) və ya \ (\ sqrt b \) dəyərlərini \ (\ sqrt a + \ sqrt b \) əlavə edərkən tapmaq mümkün deyilsə, belə bir ifadə daha da çevrilmir və eyni qalır. Məsələn, \ (\ sqrt 2+ \ sqrt (49) \) cəmində \ (\ sqrt (49) \) tapa bilərik - bu \ (7 \), lakin \ (\ sqrt 2 \) ola bilməz. hər hansı bir şəkildə çevrilir, Ona görə də \ (\ sqrt 2+ \ sqrt (49) = \ sqrt 2 + 7 \)... Təəssüf ki, bu ifadəni daha da sadələşdirmək mümkün deyil.\ (\ güllə \) Kvadrat köklərin hasili / əmsalı məhsulun / əmsalın kvadrat kökünə bərabərdir, yəni \ [\ sqrt a \ cdot \ sqrt b = \ sqrt (ab) \ quad \ text (və) \ quad \ sqrt a: \ sqrt b = \ sqrt (a: b) \] (bir şərtlə ki, bərabərliyin hər iki tərəfi məna kəsb etsin)
Misal: \ (\ sqrt (32) \ cdot \ sqrt 2 = \ sqrt (32 \ cdot 2) = \ sqrt (64) = 8 \); \ (\ sqrt (768): \ sqrt3 = \ sqrt (768: 3) = \ sqrt (256) = 16 \); \ (\ sqrt ((- 25) \ cdot (-64)) = \ sqrt (25 \ cdot 64) = \ sqrt (25) \ cdot \ sqrt (64) = 5 \ cdot 8 = 40 \)... \ (\ bullet \) Bu xassələrdən istifadə edərək, böyük ədədlərin kvadrat köklərini faktorlara ayırmaqla tapmaq rahatdır.
Bir nümunəyə baxaq. \ (\ sqrt (44100) \) tapın. \ (44100: 100 = 441 \), sonra \ (44100 = 100 \ cdot 441 \) olduğundan. Bölünmə əsasında \ (441 \) ədədi \ (9 \)-a bölünür (çünki onun rəqəmlərinin cəmi 9-dur və 9-a bölünür), buna görə də \ (441: 9 = 49 \) olur. \ (441 = 9 \ cdot 49 \) olur.
Beləliklə, əldə etdik: \ [\ sqrt (44100) = \ sqrt (9 \ cdot 49 \ cdot 100) = \ sqrt9 \ cdot \ sqrt (49) \ cdot \ sqrt (100) = 3 \ cdot 7 \ cdot 10 = 210 \] Başqa bir misal götürək: \ [\ sqrt (\ dfrac (32 \ cdot 294) (27)) = \ sqrt (\ dfrac (16 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 49 \ cdot 2) (9 \ cdot 3)) = \ sqrt (\ dfrac (16 \ cdot4 \ cdot49) (9)) = \ dfrac (\ sqrt (16) \ cdot \ sqrt4 \ cdot \ sqrt (49)) (\ sqrt9) = \ dfrac (4 \ cdot 2 \ cdot 7) 3 = \ dfrac (56) 3 \]
\ (\ güllə \) \ (5 \ sqrt2 \) ifadəsinin (\ (5 \ cdot \ sqrt2 \) ifadəsinin qısaldılması) nümunəsindən istifadə edərək, kvadrat kök işarəsi altında rəqəmlərin necə daxil ediləcəyini göstərək. \ (5 = \ sqrt (25) \) olduğundan, onda \ Onu da qeyd edək ki, məsələn,
1) \ (\ sqrt2 + 3 \ sqrt2 = 4 \ sqrt2 \),
2) \ (5 \ sqrt3- \ sqrt3 = 4 \ sqrt3 \)
3) \ (\ sqrt a + \ sqrt a = 2 \ sqrt a \).

Niyə belədir? Nümunə 1) istifadə edərək izah edək. Artıq başa düşdüyünüz kimi, \ (\ sqrt2 \) rəqəmini birtəhər çevirə bilmərik. Təsəvvür edək ki, \ (\ sqrt2 \) hansısa ədəddir \ (a \). Müvafiq olaraq, \ (\ sqrt2 + 3 \ sqrt2 \) ifadəsi \ (a + 3a \) (bir ədəd \ (a \) və eyni sayda daha üç \ (a \)) ifadəsindən başqa bir şey deyil. Və bilirik ki, bu, dörd belə ədədə bərabərdir \ (a \), yəni \ (4 \ sqrt2 \).

Fakt 4.
\ (\ güllə \) Hansısa ədədin qiymətini taparkən kökün (radikal) \ (\ sqrt () \ \) işarəsindən qurtula bilməyəndə “kökü çıxara bilməzsən” deyirlər. Məsələn, \ (16 \) ədədinin kökünü çıxara bilərsiniz, çünki \ (16 = 4 ^ 2 \), buna görə də \ (\ sqrt (16) = 4 \). Lakin \ (3 \) rəqəmindən kök çıxarmaq, yəni \ (\ sqrt3 \) tapmaq mümkün deyil, çünki kvadratda \ (3 \) verəcək belə bir rəqəm yoxdur.
Belə ədədlər (yaxud belə rəqəmlərlə ifadələr) irrasionaldır. Məsələn, rəqəmlər \ (\ sqrt3, \ 1+ \ sqrt2, \ \ sqrt (15) \) və s. irrasionaldır.
\ (\ pi \) ədədləri də irrasionaldır ("pi", təxminən \ (3,14 \)-ə bərabərdir), \ (e \) (bu ədəd Eyler nömrəsi adlanır, təxminən \ (2,7 \) ) və s.
\ (\ bullet \) Nəzərə alın ki, istənilən ədəd rasional və ya irrasional olacaqdır. Və birlikdə bütün rasional və bütün irrasional ədədlər adlanan çoxluğu əmələ gətirir həqiqi (real) ədədlər toplusu. Bu çoxluq \ (\ mathbb (R) \) hərfi ilə işarələnir.
Bu o deməkdir ki, hazırda bildiyimiz bütün ədədlər həqiqi ədədlər adlanır.

Fakt 5.
\ (\ güllə \) Həqiqi ədədin modulu \ (a \) qeyri-mənfi ədəddir \ (| a | \) üzərindəki \ (a \) nöqtəsindən \ (0 \) arasındakı məsafəyə bərabərdir. real xətt. Məsələn, \ (| 3 | \) və \ (| -3 | \) 3-ə bərabərdir, çünki \ (3 \) və \ (- 3 \) ilə \ (0 \) nöqtələrindən məsafələr eynidir. və \ (3 \) -ə bərabərdir.
\ (\ güllə \) Əgər \ (a \) mənfi olmayan ədəddirsə, \ (| a | = a \).
Misal: \ (| 5 | = 5 \); \ (\ qquad | \ sqrt2 | = \ sqrt2 \). \ (\ güllə \) Əgər \ (a \) mənfi ədəddirsə, onda \ (| a | = -a \).
Nümunə: \ (| -5 | = - (- 5) = 5 \); \ (\ qquad | - \ sqrt3 | = - (- \ sqrt3) = \ sqrt3 \).
Deyirlər ki, mənfi ədədlərin modulu mənfi və müsbət ədədləri, eləcə də \ (0 \) nömrəsini "yeyir", modul dəyişməz qalır.
AMMA bu qayda yalnız rəqəmlər üçün işləyir. Əgər modulun işarəsi altında naməlum \ (x \) varsa (və ya başqa bir naməlum), məsələn, \ (| x | \), haqqında bilmədiyimiz müsbət, sıfır və ya mənfi, onda modulundan xilas ola bilmirik. Bu halda, bu ifadə belə qalır: \ (| x | \). \ (\ güllə \) Aşağıdakı düsturlar var: \ [(\ böyük (\ sqrt (a ^ 2) = | a |)) \] \ [(\ böyük ((\ sqrt (a)) ^ 2 = a)), \ mətn (şərtlə) a \ geqslant 0 \]Çox yayılmış bir səhvə yol verilir: \ (\ sqrt (a ^ 2) \) və \ ((\ sqrt a) ^ 2 \) bir və eyni olduğunu söyləyirlər. Bu, yalnız \ (a \) müsbət ədəd və ya sıfır olduqda doğrudur. Ancaq \ (a \) mənfi ədəddirsə, bu doğru deyil. Belə bir nümunə üzərində düşünmək kifayətdir. \ (a \) əvəzinə \ (- 1 \) rəqəmini götürək. Sonra \ (\ sqrt ((- 1) ^ 2) = \ sqrt (1) = 1 \), lakin \ ((\ sqrt (-1)) ^ 2 \) ifadəsi ümumiyyətlə mövcud deyil (hər şeydən sonra, kök işarəsi altında mənfi ədədlər qoymaq mümkün deyil!).
Buna görə də diqqətinizi \ (\ sqrt (a ^ 2) \) \ ((\ sqrt a) ^ 2 \) ilə bərabər olmadığına cəlb edirik! Misal: 1) \ (\ sqrt (\ sol (- \ sqrt2 \ sağ) ^ 2) = | - \ sqrt2 | = \ sqrt2 \) ildən \ (- \ sqrt2<0\) ;

\ (\ fantom (00000) \) 2) \ ((\ sqrt (2)) ^ 2 = 2 \). \ (\ güllə \) \ (\ sqrt (a ^ 2) = | a | \) olduğundan, \ [\ sqrt (a ^ (2n)) = | a ^ n | \] (ifadə \ (2n \) cüt ədədi bildirir)
Yəni müəyyən dərəcədə olan ədəddən kök çıxararkən bu dərəcə iki dəfə azalır.
Misal:
1) \ (\ sqrt (4 ^ 6) = | 4 ^ 3 | = 4 ^ 3 = 64 \)
2) \ (\ sqrt ((- 25) ^ 2) = | -25 | = 25 \) (qeyd edək ki, modul quraşdırılmayıbsa, rəqəmin kökünün \ (- 25 \) olduğu ortaya çıxır; amma xatırlayırıq ki, kökün tərifinə görə bu ola bilməz: kök çıxararkən həmişə müsbət ədəd və ya sıfır olur)
3) \ (\ sqrt (x ^ (16)) = | x ^ 8 | = x ^ 8 \) (çünki cüt güclü hər hansı bir ədəd mənfi deyil)

Fakt 6.
İki kvadrat kökü necə müqayisə edirsiniz?
\ (\ güllə \) Kvadrat köklər üçün doğrudur: əgər \ (\ sqrt a<\sqrt b\) , то \(aMisal:
1) \ (\ sqrt (50) \) və \ (6 \ sqrt2 \) müqayisə edin. Əvvəlcə ikinci ifadəni çevirək \ (\ sqrt (36) \ cdot \ sqrt2 = \ sqrt (36 \ cdot 2) = \ sqrt (72) \)... Beləliklə, \ (50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) \ (\ sqrt (50) \) hansı tam ədədlər arasındadır?
\ (\ sqrt (49) = 7 \), \ (\ sqrt (64) = 8 \) və \ (49) olduğundan<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) \ (\ sqrt 2-1 \) və \ (0,5 \) müqayisə edin. Tutaq ki, \ (\ sqrt2-1> 0,5 \): \ [\ başlanğıc (düzləşdirilmiş) & \ sqrt 2-1> 0,5 \ \ böyük | +1 \ quad \ text ((hər iki tərəfə birini əlavə edin)) \\ & \ sqrt2> 0,5 + 1 \ \ böyük | \ ^ 2 \ quad \ mətn ((hər iki tərəfi kvadrat)) \\ & 2> 1,5 ^ 2 \\ & 2> 2,25 \ son (düzləşdirilmiş) \] Yanlış bərabərsizlik əldə etdiyimizi görürük. Buna görə də fərziyyəmiz səhv idi və \ (\ sqrt 2-1<0,5\) .
Qeyd edək ki, bərabərsizliyin hər iki tərəfinə ədəd əlavə etmək onun işarəsinə təsir etmir. Bərabərsizliyin hər iki tərəfini müsbət ədədə vurmaq/bölmək də onun işarəsinə təsir etmir, mənfi ədədə vurmaq/bölmək isə bərabərsizliyin işarəsini tərsinə çevirir!
Siz tənliyin/bərabərsizliyin hər iki tərəfinin kvadratını YALNIZ hər iki tərəf mənfi olmadıqda kvadrat edə bilərsiniz. Məsələn, əvvəlki misaldakı bərabərsizlikdə hər iki tərəf kvadrat ola bilər, bərabərsizlikdə \ (- 3)<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \ (\ güllə \) Bunu unutmayın \ [\ başlanğıc (düzləşdirilmiş) & \ sqrt 2 \ təqribən 1,4 \\ & \ sqrt 3 \ təqribən 1,7 \ son (düzləşdirilmiş) \] Bu rəqəmlərin təxmini dəyərini bilmək rəqəmləri müqayisə edərkən sizə kömək edəcək! \ (\ güllə \) Kvadratlar cədvəlində olmayan çoxlu sayda kökü (əgər çıxarılıbsa) çıxarmaq üçün əvvəlcə onun hansı “yüzlərlə” arasında yerləşdiyini, sonra isə hansı “ arasında yerləşdiyini müəyyənləşdirməlisiniz. onlarla” yazın və sonra bu rəqəmin son rəqəmini təyin edin. Bunun necə işlədiyini bir nümunə ilə göstərək.
\ (\ sqrt (28224) \) götürün. Biz bilirik ki, \ (100 ^ 2 = 10 \, 000 \), \ (200 ^ 2 = 40 \, 000 \) və s. Qeyd edək ki, \ (28224 \) \ (10 ​​\, 000 \) və \ (40 \, 000 \) arasındadır. Buna görə \ (\ sqrt (28224) \) \ (100 \) və \ (200 \) arasındadır.
İndi nömrəmizin hansı “onluqlar” arasında yerləşdiyini müəyyən edək (yəni, məsələn, \ (120 \) və \ (130 \) arasında). Həmçinin kvadratlar cədvəlindən bilirik ki, \ (11 ^ 2 = 121 \), \ (12 ^ 2 = 144 \) və s., sonra \ (110 ^ 2 = 12100 \), \ (120 ^ 2 = 14400) \), \ (130 ^ 2 = 16900 \), \ (140 ^ 2 = 19600 \), \ (150 ^ 2 = 22500 \), \ (160 ^ 2 = 25600 \), \ (170 ^ 2 = 28900) \). Beləliklə, \ (28224 \) \ (160 ^ 2 \) və \ (170 ^ 2 \) arasında olduğunu görürük. Buna görə \ (\ sqrt (28224) \) sayı \ (160 \) və \ (170 \) arasındadır.
Son rəqəmi müəyyən etməyə çalışaq. Kvadrat olduqda \ (4 \) sonunda hansı təkrəqəmli ədədləri xatırlayaq? Bunlar \ (2 ^ 2 \) və \ (8 ^ 2 \) dir. Buna görə \ (\ sqrt (28224) \) 2 və ya 8 ilə bitəcək. Gəlin bunu yoxlayaq. \ (162 ^ 2 \) və \ (168 ^ 2 \) tapın:
\ (162 ^ 2 = 162 \ cdot 162 = 26224 \)
\ (168 ^ 2 = 168 \ cdot 168 = 28224 \).
Beləliklə, \ (\ sqrt (28224) = 168 \). Voila!

Riyaziyyatdan imtahanı adekvat həll etmək üçün ilk növbədə çoxsaylı teoremləri, düsturları, alqoritmləri və s. təqdim edən nəzəri materialı öyrənmək lazımdır.İlk baxışda onun kifayət qədər sadə olduğu görünə bilər. Bununla belə, riyaziyyatdan imtahan nəzəriyyəsinin istənilən səviyyəli tələbələr üçün asan və başa düşülən şəkildə təqdim olunduğu mənbə tapmaq əslində kifayət qədər çətin məsələdir. Məktəb kitablarını həmişə əlində saxlamaq olmaz. Riyaziyyatdan imtahan üçün əsas düsturları tapmaq hətta İnternetdə də çətin ola bilər.

Nə üçün təkcə imtahan verənlər üçün deyil, riyaziyyatda nəzəriyyə öyrənmək bu qədər vacibdir?

1. Çünki bu sizin dünyagörüşünüzü genişləndirir.... Riyaziyyatda nəzəri materialın öyrənilməsi ətraf aləmi bilməklə bağlı geniş spektrli suallara cavab almaq istəyən hər kəs üçün faydalıdır. Təbiətdə hər şey nizamlıdır və aydın məntiqə malikdir. Məhz bu elmdə öz əksini tapır, onun vasitəsilə dünyanı dərk etmək olar.
2. Çünki zəka inkişaf etdirir... Riyaziyyatdan imtahan üçün arayış materiallarını öyrənmək, həmçinin müxtəlif problemləri həll etməklə, insan məntiqli düşünməyi və düşünməyi, düşüncələrini bacarıqlı və aydın şəkildə ifadə etməyi öyrənir. O, təhlil etmək, ümumiləşdirmək, nəticə çıxarmaq bacarığını inkişaf etdirir.

Sizi tədris materiallarının sistemləşdirilməsi və təqdimatına yanaşmamızın bütün üstünlüklərini şəxsən qiymətləndirməyə dəvət edirik.

Təlimatlar

Radikal ədəd üçün çarpan seçin, onun altından çıxarılır kök etibarlı ifadə - əks halda əməliyyat itirəcək. Məsələn, işarənin altındadırsa kök göstəricisi üçə bərabərdir (kub kökü). nömrə 128, sonra işarənin altından çıxara bilərsiniz, məsələn, nömrə 5. Eyni zamanda, nömrə 128-i 5 kuba bölmək lazımdır: ³√128 = 5 ∗ ³√ (128 / 5³) = 5 ∗ ³√ (128/125) = 5 ∗ ³√1,024. İşarənin altında kəsr ədədinin olması halında kök problemin şərtlərinə zidd deyil, onda bu formada mümkündür. Daha sadə versiyaya ehtiyacınız varsa, əvvəlcə radikal ifadəni tam ədədlərə bölün, onlardan birinin kub kökü tam ədəd olacaq nömrə m Məsələn: ³√128 = ³√ (64 ∗ 2) = ³√ (4³ ∗ 2) = 4 ∗ ³√2.

Başınızdakı bir ədədin gücünü hesablamaq mümkün deyilsə, amilləri seçmək üçün radikal nömrədən istifadə edin. Bu xüsusilə üçün doğrudur kök eksponenti ikidən böyük olan m. İnternetə çıxışınız varsa, o zaman Google və Nigma axtarış sistemlərində quraşdırılmış kalkulyatorlarla hesablamalar apara bilərsiniz. Məsələn, kub işarəsindən çıxarıla bilən ən böyük tam ədədi tapmaq lazımdırsa kök 250 nömrəsi üçün, sonra Google saytına gedərək işarədən silməyin mümkün olub olmadığını yoxlamaq üçün "6 ^ 3" sorğusunu daxil edin. kök altı. Axtarış motoru nəticəni 216-ya bərabər göstərəcək. Təəssüf ki, 250-ni bununla tamamilə bölmək olmaz. nömrə... Sonra 5 ^ 3 sorğusunu daxil edin. Nəticə 125 olacaq və bu, 250-ni 125 və 2 faktorlarına bölməyə imkan verir və buna görə də işarənin altından çıxarın. kök nömrə 5 ordan gedir nömrə 2.

Mənbələr:

• kök altından necə çıxmaq olar
• Məhsulun kvadrat kökü

Altından çıxarın kök amillərdən biri riyazi ifadəni sadələşdirməli olduğunuz hallarda zəruridir. Kalkulyatordan istifadə edərək lazımi hesablamaları aparmaq mümkün olmadığı vaxtlar olur. Məsələn, rəqəmlərin yerinə dəyişən hərflərdən istifadə olunarsa.

Təlimatlar

Radikal ifadəni sadə amillərə genişləndirin. Göstəricilərdə göstərilən amillərdən hansının eyni sayda təkrarlandığına baxın kök, və ya daha çox. Məsələn, tutaq ki, siz a-nın dördüncü kökünü götürmək istəyirsiniz. Bu halda, ədəd * a * a * a = a * (a * a * a) = a * a3 kimi göstərilə bilər. Göstərici kök bu halda uyğun olacaq amil a3. İşarə üçün də həyata keçirilməlidir.

Mümkünsə, meydana gələn köklərin kökünü ayrıca çıxarın. Alınır kök eksponentasiyanın əks cəbri hərəkətidir. Alınır kök bir ədəddən ixtiyari dərəcəyə qədər, bu ixtiyari gücə qaldırıldıqda verilmiş ədədlə nəticələnəcək bir ədəd tapın. Əgər çıxarılması kök istehsal edilə bilməz, işarənin altında radikal ifadəni buraxın kök necədirsə. Sadalanan hərəkətləri yerinə yetirmək nəticəsində siz aşağıdan bir çıxarış edəcəksiniz işarəsi kök.

Oxşar Videolar

Qeyd

Radikal ifadəni amillər şəklində yazarkən diqqətli olun - bu mərhələdə səhv yanlış nəticələrə səbəb olacaq.

Faydalı məsləhət

Kökləri çıxararkən, xüsusi cədvəllərdən və ya loqarifmik köklərin cədvəllərindən istifadə etmək rahatdır - bu, düzgün həlli tapmaq üçün vaxtı əhəmiyyətli dərəcədə azaldacaqdır.

Mənbələr:

• 2019-cu ildə kök çıxarma işarəsi

Cəbri ifadələrin sadələşdirilməsi riyaziyyatın bir çox sahələrində, o cümlədən yüksək dərəcəli tənliklərin həlli, diferensiallaşma və inteqrasiya tələb olunur. Faktorizasiya daxil olmaqla bir neçə üsuldan istifadə edir. Bu üsulu tətbiq etmək üçün bir ümumi tapmaq və etmək lazımdır amil başına mötərizələr.

Təlimatlar

Üçün ümumi faktorun həyata keçirilməsi mötərizələrƏn çox yayılmış parçalanma yollarından biridir. Bu texnika uzun cəbri ifadələrin strukturunu sadələşdirmək üçün istifadə olunur, yəni. polinomlar. Ümumi ədəd, monom və ya binom ola bilər və onu tapmaq üçün vurmanın paylama xassəsindən istifadə olunur.

Nömrə: Hər bir çoxhədlidəki əmsallara diqqətlə baxın ki, onları eyni ədədə bölmək mümkün olsun. Məsələn, 12 z³ + 16 z² - 4 ifadəsində aydındır amil 4. Transformasiyadan sonra 4 (3 z³ + 4 z² - 1) alırsınız. Başqa sözlə, bu ədəd bütün əmsalların ən kiçik ortaq tam bölənidir.

Monomial - Çoxhədlinin hər birində eyni dəyişənin olub olmadığını müəyyənləşdirin. Belə olduğunu fərz etsək, indi əvvəlki halda olduğu kimi əmsallara baxın. Misal: 9 z ^ 4 - 6 z³ + 15 z² - 3 z.

Bu polinomun hər bir elementi z dəyişənini ehtiva edir. Üstəlik, bütün əmsallar 3-ə çoxluq təşkil edir. Buna görə də ümumi amil monomial 3 z: 3 z (3 z³ - 2 z² + 5 z - 1) olur.

Binom. Üçün mötərizələr general amil iki, dəyişən və ümumi çoxhədli olan ədəd. Buna görə də, əgər amil-səs aydın deyil, onda heç olmasa bir kök tapmaq lazımdır. Polinomun sərbəst müddətini seçin, bu dəyişənsiz əmsaldır. İndi əvəzetmə üsulunu kəsişmənin bütün tam bölənlərinin ümumi ifadəsinə tətbiq edin.

Nəzərə alın: z ^ 4 - 2 z³ + z² - 4 z + 4. 4 z ^ 4 - 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0-ın tam bölənlərindən hər hansı birinin olub olmadığını yoxlayın. z1 = 1 və z2 = 2-ni tapın, deməli, sonra mötərizələr binomialları (z - 1) və (z - 2) çıxara bilərsiniz. Qalan ifadəni tapmaq üçün ardıcıl uzun bölgüdən istifadə edin.