Təlimat

10, 30, 90, 270...

Həndəsi irəliləmənin məxrəcini tapmaq tələb olunur.
Qərar:

Seçim 1. Proqresiyanın ixtiyari bir müddətini götürək (məsələn, 90) və əvvəlkisinə bölək (30): 90/30 \u003d 3.

Həndəsi proqressiyanın bir neçə üzvünün və ya azalan həndəsi proqressiyanın bütün üzvlərinin cəmini bilirsinizsə, proqresiyanın məxrəcini tapmaq üçün uyğun düsturlardan istifadə edin:
Sn \u003d b1 * (1-q ^ n) / (1-q), burada Sn həndəsi irəliləmənin ilk n hissəsinin cəmidir və
S \u003d b1 / (1-q), burada S sonsuz azalan həndəsi proqressiyanın cəmidir (məxrəc birdən az olan proqressiyanın bütün üzvlərinin cəmi).
Misal.

Azalan həndəsi irəliləmənin birinci dövrü birə bərabərdir və bütün üzvlərinin cəmi ikiyə bərabərdir.

Bu irəliləmənin məxrəcini təyin etmək tələb olunur.
Qərar:

Problemdəki məlumatları düstura əlavə edin. Çıxır:
2 \u003d 1 / (1-q), haradan - q \u003d 1/2.

Proqressiya rəqəmlərin ardıcıllığıdır. Həndəsi bir irəliləmədə, hər bir sonrakı müddət əvvəlkini proqresiyanın məxrəci adlanan bir q ədədi ilə vurmaqla əldə edilir.

Təlimat

Həndəsi b (n + 1) və b (n) -in iki qonşu termini məlumdursa, məxrəc əldə etmək üçün daha böyüyü olan ədədi özündən əvvəlkiyə bölmək lazımdır: q \u003d b (n +) 1) / b (n). Bu, bir irəliləmənin tərifindən və onun məxrəcindən irəli gəlir. Əhəmiyyətli şərt birinci müddətin bərabərsizliyi və irəliləmənin sıfıra bərabərləşdiricisidir, əks halda bu, təyin olunmamış sayılır.

Deməli, irəliləmənin üzvləri arasında aşağıdakı əlaqələr qurulur: b2 \u003d b1 q, b3 \u003d b2 q,…, b (n) \u003d b (n-1) q. B (n) \u003d b1 q ^ (n-1) düsturu ilə q məxrəcinin və b1 termininin məlum olduğu həndəsi bir irəliləmənin istənilən termini hesablana bilər. Həm də moduldakı irəliləmənin hər biri qonşu üzvlərinin ortalamasına bərabərdir: | b (n) | \u003d √, bu səbəbdən proqressiya özünə məxsus olmuşdur.

Həndəsi proqressiyanın analoqu ən sadə eksponent funksiyadır y \u003d a ^ x, burada x göstəricidə, a isə bəzi ədədədir. Bu vəziyyətdə, irəliləmənin məxrəci birinci hissəyə təsadüf edir və a rəqəminə bərabərdir. Y arqumenti n (sayğac) natural ədədi kimi götürülərsə y funksiyasının dəyəri irəliləmənin n-ci dövrü kimi başa düşülə bilər.

Həndəsi bir irəliləmənin ilk n şərtinin cəmi üçün mövcuddur: S (n) \u003d b1 (1-q ^ n) / (1-q). Bu düstur q ≠ 1 üçün etibarlıdır. Q \u003d 1 olarsa, ilk n müddətinin cəmi S (n) \u003d n b1 düsturu ilə hesablanır. Yeri gəlmişkən, q birdən böyük, b1 müsbət olduqda irəliləməyə artım deyiləcək. Proqresiyanın məxrəci mütləq qiymətdə birdən çox deyilsə, proqressiya azalan adlanır.

Həndəsi proqressiyanın xüsusi bir hüdudu azalan həndəsi proqressiyadır (b.d.p.). Həqiqət budur ki, azalan həndəsi irəliləmənin şərtləri dönə-dönə azalacaq, lakin heç vaxt sıfıra çatmayacaq. Buna baxmayaraq, belə bir irəliləmənin bütün üzvlərinin cəmini tapa bilərsiniz. S \u003d b1 / (1-q) düsturu ilə təyin olunur. Üzvlərin ümumi sayı sonsuzdur.

Sonsuz sayları necə əlavə edə biləcəyinizi və sonsuzluq əldə etməyəcəyinizi təsəvvür etmək üçün bir tort bişirin. Bunun yarısını kəsin. Sonra yarıdan 1/2 hissəsini kəsin və s. Əldə edəcəyiniz parçalar, 1/2 məxrəc ilə sonsuz azalan həndəsi irəliləmənin üzvlərindən başqa bir şey deyildir. Bütün bu parçaları əlavə etsəniz, orijinal tortu əldə edəcəksiniz.

Həndəsə problemləri, məkan düşüncəsi tələb edən xüsusi bir məşq növüdür. Həndəsi həll edə bilmirsinizsə tapşırıqaşağıdakı qaydalara əməl etməyə çalışın.

Təlimat

Problemin ifadəsini çox diqqətlə oxuyun, bir şeyi xatırlamır və ya başa düşmürsənsə, yenidən oxuyun.

Hansı həndəsi problemlərin olduğunu müəyyənləşdirməyə çalışın, məsələn: hesablama, bəzi dəyərləri tapmaq lazım olduqda, bunun üçün məntiqi bir düşüncə zənciri tələb edən problemlər, pusula və cizgi istifadə edərək tikinti problemləri. Daha qarışıq problemlər. Problemin növünü müəyyənləşdirdikdən sonra məntiqi düşünməyə çalışın.

Bu problem üçün lazımi teoremi tətbiq edin, ancaq şübhə varsa və ya heç bir seçim yoxdursa, onda müvafiq mövzuda keçdiyiniz nəzəriyyəni xatırlamağa çalışın.

Problemin həllini bir qaralamada da tərtib edin. Qərarınızın düzgünlüyünü yoxlamaq üçün bilinən metodlardan istifadə etməyə çalışın.

Problemin həllini dəftərinizə səliqəli şəkildə, ləkəsiz və üstündən xəttsiz doldurun və ən əsası - İlk həndəsi məsələlərin həlli üçün vaxt və səy tələb oluna bilər. Lakin, bu prosesi mənimsəyən kimi fındıq kimi tapşırıqları vurmağa, əylənməyə başlayacaqsınız!

Həndəsi proqressiya b1, b2, b3, ..., b (n-1), b (n) ədədlərinin b2 \u003d b1 * q, b3 \u003d b2 * q, ..., b ( n) \u003d b (n-1) * q, b1 ≠ 0, q ≠ 0. Başqa sözlə, proqresiyanın hər dövrü əvvəlki hissədən q irəliləməsinin sıfır məxrəci ilə vurularaq əldə edilir.

Təlimat

Proqressiya problemləri ən çox proqressiyanın birinci hissəsinə b1 və q irəliləməsinin məxrəcinə nisbətən bir sistem qurmaq və izləməklə həll olunur. Tənliklər yazarkən bəzi düsturları xatırlamaq faydalıdır.

Proqressiyanın n-ci müddətini proqresiyanın birinci dövrü və proqresiyanın məxrəci baxımından necə ifadə etmək olar: b (n) \u003d b1 * q ^ (n-1).

Davayı ayrıca nəzərdən keçirin | q |<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

"Sayı ardıcıllığı. Həndəsi inkişaf" mövzusunda dərs və təqdimat.

Əlavə materiallar
Hörmətli istifadəçilər, şərhlərinizi, rəylərinizi, istəklərinizi yazmağı unutmayın! Bütün materiallar bir antivirus proqramı tərəfindən yoxlanılmışdır.

9-cu sinif üçün İntegral onlayn mağazada tədris vəsaitləri və simulyatorlar
Dərəcələr və köklər Funksiyalar və qrafiklər

Uşaqlar, bu gün başqa bir inkişaf növü ilə tanış olacağıq.
Bugünkü dərsin mövzusu həndəsi inkişafdır.

Həndəsi inkişaf

Misal. 1,2,4,8,16 ... Birinci həddinin birinə bərabər olduğu və $ q \u003d 2 $ olduğu həndəsi proqressiya.

Misal. 8,8,8,8 ... İlk müddətin səkkiz olduğu həndəsi irəliləmə,
və $ q \u003d 1 $.

Misal. 3, -3.3, -3.3 ... Birinci hissənin üçə bərabər olduğu həndəsi proqressiya,
və $ q \u003d -1 $.

Həndəsi proqressiya monotonluq xüsusiyyətlərinə malikdir.
$ B_ (1)\u003e 0 $, $ q\u003e 1 $ olduqda,
onda ardıcıllıq artmaqdadır.
$ B_ (1)\u003e 0 $, $ 0 olarsa Ardıcıllıq adətən aşağıdakı kimi göstərilir: $ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n), ... $.

Riyazi proqressiyada olduğu kimi, həndəsi proqresiyada elementlərin sayı sonludursa, o zaman proqressiyaya sonlu həndəsi proqressiya deyilir.

$ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n-2), b_ (n-1), b_ (n) $.
Diqqət yetirin, ardıcıllıq həndəsi bir irəliləyişdirsə, üzvlərin kvadratlarının ardıcıllığı da həndəsi bir proqressiyadır. İkinci ardıcıllıq üçün birinci müddət $ b_ (1) ^ 2 $, məxrəc $ q ^ 2 $ -dır.

Həndəsi irəliləmənin n-ci müddətinin düsturu

Nümunələrimizə qayıdaq.

Misal. 1,2,4,8,16 ... Birinci hissənin birinə bərabər olduğu həndəsi proqressiya,
və $ q \u003d 2 $.
$ b_ (n) \u003d 1 * 2 ^ (n) \u003d 2 ^ (n-1) $.

Misal. 16,8,4,2,1,1 / 2 ... Birinci həddinin on altı və $ q \u003d \\ frac (1) (2) $ olduğu həndəsi proqressiya.
$ b_ (n) \u003d 16 * (\\ frac (1) (2)) ^ (n-1) $.

Misal. 8,8,8,8 ... Birinci həddinin səkkiz olduğu və $ q \u003d 1 $ olduğu həndəsi bir proqressiya.
$ b_ (n) \u003d 8 * 1 ^ (n-1) \u003d 8 $.

Misal. 3, -3.3, -3.3 ... Birinci həddinin üç və $ q \u003d -1 $ olduğu həndəsi bir proqressiya.
$ b_ (n) \u003d 3 * (- 1) ^ (n-1) $.

Misal. Sizə $ b_ (1), b_ (2),…, b_ (n),… $ həndəsi irəliləməsi verilir.
a) $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d 3 $ olduğu məlumdur. $ B_ (5) $ tapın.
b) $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d 2, b_ (n) \u003d 768 $ olduğu məlumdur. N tap.
c) $ q \u003d -2, b_ (6) \u003d 96 $ olduğu məlumdur. $ B_ (1) $ tapın.
d) $ b_ (1) \u003d - 2, b_ (12) \u003d 4096 $ olduğu məlumdur. Q tapın.

Qərar.
a) $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 \u003d 6 * 3 ^ 4 \u003d 486 $.
b) $ b_n \u003d b_1 * q ^ (n-1) \u003d 6 * 2 ^ (n-1) \u003d 768 $.
$ 2 ^ (n-1) \u003d \\ frac (768) (6) \u003d 128 $ $ 2 ^ 7 \u003d 128 \u003d\u003e n-1 \u003d 7 olduğundan; n \u003d 8 $.
c) $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 \u003d b_ (1) * (- 2) ^ 5 \u003d -32 * b_ (1) \u003d 96 \u003d\u003e b_ (1) \u003d - 3 $.
d) $ b_ (12) \u003d b_ (1) * q ^ (11) \u003d - 2 * q ^ (11) \u003d 4096 \u003d\u003e q ^ (11) \u003d - 2048 \u003d\u003e q \u003d -2 $.

Misal. Həndəsi irəliləmənin yeddinci və beşinci hissələri arasındakı fərq 192, proqresiyanın beşinci və altıncı şərtlərinin cəmi 192-dir. Bu irəliləmənin onuncu hissəsini tapın.

Qərar.
Bilirik: $ b_ (7) -b_ (5) \u003d 192 $ və $ b_ (5) + b_ (6) \u003d 192 $.
Biz də bilirik: $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 $; $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 $; $ b_ (7) \u003d b_ (1) * q ^ 6 $.
Sonra:
$ b_ (1) * q ^ 6-b_ (1) * q ^ 4 \u003d 192 $.
$ b_ (1) * q ^ 4 + b_ (1) * q ^ 5 \u003d 192 $.
Bir tənlik sistemi əldə etdik:
$ \\ begin (case) b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d 192 \\\\ b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) \u003d 192 \\ end (case) $.
Bərabərləşdikdə, tənliklərimiz alınır:
$ b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) $.
$ q ^ 2-1 \u003d q + 1 $.
$ q ^ 2-q-2 \u003d 0 $.
İki həll q əldə etdik: $ q_ (1) \u003d 2, q_ (2) \u003d - 1 $.
Ardıcıl olaraq ikinci tənliyə daxil edin:
$ b_ (1) * 2 ^ 4 * 3 \u003d 192 \u003d\u003e b_ (1) \u003d 4 $.
$ b_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 \u003d 192 \u003d\u003e $ həll yoxdur.
Bunu aldıq: $ b_ (1) \u003d 4, q \u003d 2 $.
Onuncu dövrü tapın: $ b_ (10) \u003d b_ (1) * q ^ 9 \u003d 4 * 2 ^ 9 \u003d 2048 $.

Sonlu həndəsi proqressiyanın cəmi

Sınaqlı bir həndəsi proqressiya verilsin: $ b_ (1), b_ (2),…, b_ (n-1), b_ (n) $.
Üzvlərinin cəminin qeydini təqdim edək: $ S_ (n) \u003d b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n) $.
$ Q \u003d 1 $ olduqda. Həndəsi proqressiyanın bütün üzvləri birinci müddətə bərabərdir, onda $ S_ (n) \u003d n * b_ (1) $ olduğu açıq-aşkar görünür.
İndi $ q ≠ 1 $ məsələsini nəzərdən keçirin.
Yuxarıdakı cəmi q ilə vurun.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) * q \u003d b_ (1) * q + b_ (2) * q + ⋯ + b_ (n-1) * q + b_ (n) * q \u003d b_ (2) + b_ (3) + ⋯ + b_ (n) + b_ (n) * q $.
Qeyd:
$ S_ (n) \u003d b_ (1) + (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) $.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q $.

$ S_ (n) * q-S_ (n) \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q-b_ (1) - (b_ (2) ) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) (q-1) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (n) * q-b_ (1)) (q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) * q ^ (n-1) * q-b_ (1)) (q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

Sonlu həndəsi irəliləmənin cəminin düsturunu əldə etdik.

Qərar.
$ S_ (7) \u003d \\ frac (4 * (3 ^ (7) -1)) (3-1) \u003d 2 * (3 ^ (7) -1) \u003d 4372 $.

Misal.
Həndəsi inkişafın məlum olduğu beşinci müddətini tapın: $ b_ (1) \u003d - 3 $; $ b_ (n) \u003d - 3072 $; $ S_ (n) \u003d - 4095 $.

Qərar.
$ b_ (n) \u003d (- 3) * q ^ (n-1) \u003d - 3072 $.
$ q ^ (n-1) \u003d 1024 $.
$ q ^ (n) \u003d 1024q $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (-3 * (q ^ (n) -1)) (q-1) \u003d - 4095 $.
$ -4095 (q-1) \u003d - 3 * (q ^ (n) -1) $.
$ -4095 (q-1) \u003d - 3 * (1024q-1) $.
$ 1365q-1365 \u003d 1024q-1 $.
341q \u003d 1364 $.
$ q \u003d 4 $.
$ b_5 \u003d b_1 * q ^ 4 \u003d -3 * 4 ^ 4 \u003d -3 * 256 \u003d -768 $.

Həndəsi irəliləmənin xarakterik xüsusiyyəti

Ədədi ardıcıllıq, yalnız üzvlərinin hər birinin kvadratı irəliləmənin bitişik iki üzvünün məhsuluna bərabər olduqda həndəsi bir irəliləməsidir. Unutmayın ki, sonlu bir irəliləmə üçün ilk və son üzvlər üçün bu şərt yerinə yetirilmir.

Həndəsi inkişafın istənilən üzvünün modulu ona bitişik iki üzvün həndəsi ortalamasına bərabərdir.

Qərar.
Xüsusi xüsusiyyətdən istifadə edək:
$ (2x + 2) ^ 2 \u003d (x + 2) (3x + 3) $.
$ 4x ^ 2 + 8x + 4 \u003d 3x ^ 2 + 3x + 6x + 6 $.
$ x ^ 2-x-2 \u003d 0 $.
$ x_ (1) \u003d 2 $ və $ x_ (2) \u003d - 1 $.
Ardıcıl olaraq orijinal ifadəyə əvəz edərək həll yollarımız:
$ X \u003d 2 $ ilə ardıcıllığı əldə etdik: 4; 6; 9 - $ q \u003d 1,5 $ olduğu həndəsi bir irəliləyiş.
$ X \u003d -1 $ ilə ardıcıllığı əldə etdik: 1; 0; 0.
Cavab: $ x \u003d 2. $

Müstəqil həll üçün tapşırıqlar

Həndəsi proqressiya, arifmetik proqressiya ilə yanaşı, 9-cu sinifdə məktəb cəbr kursunda öyrənilən vacib bir sıra seriyasıdır. Bu yazıda həndəsi bir irəliləmənin məxrəcini və dəyərinin xüsusiyyətlərinə necə təsir etdiyini nəzərdən keçirəcəyik.

Həndəsi inkişafın tərifi

Əvvəlcə bu rəqəm seriyasının tərifini verək. Həndəsi proqressiya, ilk elementini məxrəc adlanan sabit ədədin ardıcıl çoxaldılması ilə əmələ gələn bir sıra rasional ədədlərdir.

Məsələn, 3, 6, 12, 24, ... sıradakı rəqəmlər həndəsi bir irəliləyişdir, çünki 3-ü (birinci elementi) 2-yə vursanız, 6-nı əldə edəcəksiniz. 12 və s.

Baxılan ardıcıllığın üzvləri ümumiyyətlə ai simvolu ilə qeyd olunur, burada i satırdakı bir elementin sayını göstərən bir tam rəqəmdir.

Proqressiyanın yuxarıdakı tərifi riyaziyyat dilində aşağıdakı kimi yazıla bilər: an \u003d bn-1 * a1, burada b məxrəcdir. Bu formulu yoxlamaq asandır: əgər n \u003d 1, onda b1-1 \u003d 1 və biz a1 \u003d a1 əldə edirik. N \u003d 2 olarsa, an \u003d b * a1 və yenidən nəzərdən keçirilən rəqəmlər tərifinə gəlirik. Bənzər mülahizələr n-nin böyük dəyərləri üçün davam etdirilə bilər.

Həndəsi irəliləmənin məxrəci

B rəqəmi bütün sıra seriyasının hansı xarakterə sahib olacağını tamamilə müəyyənləşdirir. Məxrəc b müsbət, mənfi və ya birdən çox və ya daha kiçik ola bilər. Bütün bu seçimlər fərqli ardıcıllıqlara səbəb olur:

• b\u003e 1. Artan rasional ədədlər seriyası var. Məsələn, 1, 2, 4, 8, ... a1 elementi mənfi olarsa, bütün ardıcıllıq yalnız mütləq dəyərində artacaq, lakin rəqəmlərin işarəsi nəzərə alınmaqla azalacaq.
• b \u003d 1. Belə bir hala eyni rasional ədədlərin adi seriyası olduğu üçün çox vaxt proqressiya deyilmir. Məsələn, -4, -4, -4.

Məbləğ üçün düstur

Nəzərdə tutulan proqresiya növünün məxrəcindən istifadə edərək konkret problemlərin həllinə başlamazdan əvvəl ilk n elementinin cəmi üçün vacib bir düstur verilməlidir. Düstur: Sn \u003d (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Proqressiya üzvlərinin rekursiv bir ardıcıllığını düşünsəniz, bu ifadəni özünüz əldə edə bilərsiniz. Yuxarıda göstərilən düsturda ixtiyari say sayının cəmini tapmaq üçün yalnız ilk elementi və məxrəci bilmək kifayətdir.

Sonsuz azalan ardıcıllıq

Yuxarıda bunun nə olduğu barədə bir izahat verildi. İndi Sn üçün düsturu bilməklə bu rəqəm seriyasına tətbiq edin. Modulu 1-dən çox olmayan hər hansı bir rəqəm böyük ölçüdə qaldırıldıqda sıfıra meylli olduğundan, yəni b∞ \u003d\u003e 0, əgər -1

Fərq (1 - b), məxrəcin dəyərindən asılı olmayaraq həmişə müsbət olacağından, həndəsi S∞-nin azalan sonsuz irəliləməsinin cəminin işarəsi ilk elementi a1 işarəsi ilə misilsiz olaraq təyin olunur.

İndi bir neçə tapşırığı nəzərdən keçirəcəyik, burada əldə etdiyimiz bilikləri konkret rəqəmlər üzərində necə tətbiq edəcəyimizi göstərəcəyik.

Məsələ nömrəsi 1. Proqresiyanın və cəmin bilinməyən elementlərinin hesablanması

Sizə həndəsi bir proqressiya verilir, irəliləmənin məxrəci 2, ilk elementi 3-dür. Onun 7-ci və 10-cu hissələri nə olacaq və yeddi başlanğıc elementinin cəmi nədir?

Problemin şərti olduqca sadədir və yuxarıdakı düsturların birbaşa istifadəsini nəzərdə tutur. Beləliklə, n nömrəli elementi hesablamaq üçün an \u003d bn-1 * a1 ifadəsini istifadə edirik. 7-ci element üçün: a7 \u003d b6 * a1, bilinən məlumatları əvəz edərək əldə edirik: a7 \u003d 26 * 3 \u003d 192. 10-cu dövr üçün də eyni şeyi edirik: a10 \u003d 29 * 3 \u003d 1536.

Cəmi üçün tanınmış düsturdan istifadə edək və seriyanın ilk 7 elementi üçün bu dəyəri təyin edək. Bizdə var: S7 \u003d (27 - 1) * 3 / (2 - 1) \u003d 381.

Məsələ sayı 2. Proqresiyanın ixtiyari elementlərinin cəminin təyini

-2, n-tam ədədi olduğu bn-1 * 4 eksponensial irəliləməsinin məxrəci olsun. Bu seriyanın 5-dən 10-cu elementinə qədər olan məbləği daxil etmək lazımdır.

Yaranan problem, bilinən formullardan istifadə edərək birbaşa həll edilə bilməz. 2 fərqli üsulla həll edilə bilər. Tamlıq naminə hər ikisini təqdim edirik.

Metod 1. İdeyası sadədir: ilk şərtlərin iki uyğun cəmini hesablamaq, sonra birini digərindən çıxarmaq lazımdır. Daha kiçik məbləği hesablayırıq: S10 \u003d ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -1364. İndi böyük cəmi hesablayırıq: S4 \u003d ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -20. Qeyd edək ki, son ifadədə yalnız 4 şərt toplanmışdır, çünki 5-ci problem probleminə görə hesablanması lazım olan məbləğə artıq daxil edilmişdir. Nəhayət, fərqi götürün: S510 \u003d S10 - S4 \u003d -1364 - (-20) \u003d -1344.

Metod 2. Rəqəmləri əvəz etmədən və saymadan əvvəl sözügedən seriyanın m və n üzvləri arasındakı cəmin düsturunu əldə edə bilərsiniz. Metod 1-də olduğu kimi tam olaraq edirik, yalnız əvvəlcə cəmin simvolik təsviri ilə işləyirik. Bizdə: Snm \u003d (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) \u003d a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Nəticədə ifadədə bilinən rəqəmləri əvəz edə və son nəticəni hesablaya bilərsiniz: S105 \u003d 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) \u003d -1344.

Məsələ sayı 3. məxrəc nədir?

A1 \u003d 2 qoyun, həndəsi irəliləmənin məxrəcini tapaq, onun sonsuz cəminin 3 olması və bunun azalan ədədlər seriyası olduğu məlumdur.

Problemin şərtinə görə, həll etmək üçün hansı düsturdan istifadə olunacağını təxmin etmək asandır. Əlbəttə ki, irəliləmənin cəmi sonsuz azalır. Bizdə var: S∞ \u003d a1 / (1 - b). Məxrəci haradan ifadə edirik: b \u003d 1 - a1 / S∞. Bilinən dəyərləri əvəz etmək və lazımi sayını almaq qalır: b \u003d 1 - 2/3 \u003d -1 / 3 və ya -0.333 (3). Bu tip ardıcıllıq üçün b modulunun 1-dən kənara çıxmaması lazım olduğunu xatırlasaq, bu nəticə keyfiyyətcə yoxlanıla bilər.

Problem nömrəsi 4. Bir sıra ədədi bərpa etmək

Ədədi bir seriyanın 2 elementi verilsin, məsələn, 5-i 30-a, 10-u isə 60-a bərabərdir. Həndəsi bir irəliləmənin xüsusiyyətlərini təmin etdiyini bilərək bütün seriyaları bu məlumatlardan yenidən qurmaq lazımdır.

Problemi həll etmək üçün əvvəlcə bilinən hər bir müddət üçün uyğun ifadəni yazmalısınız. Bizdə: a5 \u003d b4 * a1 və a10 \u003d b9 * a1. İndi ikinci ifadəni birinciyə bölürük: a10 / a5 \u003d b9 * a1 / (b4 * a1) \u003d b5. Buradan problem ifadəsindən b \u003d 1.148698-ə qədər bilinən terminlərin nisbətinin beşinci kökündən götürərək məxrəci təyin edirik. Nəticə sayını bilinən elementin ifadələrindən birinə qoyuruq: a1 \u003d a5 / b4 \u003d 30 / (1.148698) 4 \u003d 17.2304966.

Beləliklə, bn irəliləmənin məxrəcinin nə olduğunu və hnometrik irəliləmənin bn-1 * 17.2304966 \u003d an olduğunu tapdıq, burada b \u003d 1.148698.

Həndəsi irəliləmələr harada istifadə olunur?

Bu rəqəmlər seriyasının praktikada tətbiqi olmasaydı, tədqiqatı tamamilə nəzəri maraqlara qədər azalacaqdı. Ancaq belə bir tətbiq mövcuddur.

Aşağıda ən məşhur 3 nümunə var:

• Ağıllı Axillesin yavaş tısbağaya yetişə bilmədiyi Zenonun paradoksu, sonsuz azalan ədədlər ardıcıllığı konsepsiyasından istifadə edərək həll olunur.
• Şahmat taxtasının hər kvadratına buğda dənələrini 1-ci kvadrata 1, 2-si 2-ci, 3-ü 3-cü və s. Qoyulacaq şəkildə qoyursan, onda bütün kvadratları doldurmaq üçün 18446744073709551615 taxıl lazımdır. lövhə!
• Hanoi Tower oyununda diskləri bir çubuqdan digərinə düzəltmək üçün 2n - 1 əməliyyatı yerinə yetirmək lazımdır, yəni istifadə olunan disklərin sayı ilə sayları sürətlə artır.

Birinci səviyyə

Həndəsi inkişaf. Nümunələri olan hərtərəfli bələdçi (2019)

Ədədi ardıcıllıq

Gəlin oturaq və bəzi rəqəmlər yazmağa başlayaq. Məsələn:

Hər hansı bir rəqəm yaza bilərsiniz və istədiyiniz qədər də ola bilər (bizim vəziyyətimizdə belədir). Nə qədər nömrə yazsaq da, hər zaman hansının birinci, hansının ikinci olduğunu və sonuncusuna kimi deyə bilərik, yəni saylaya bilərik. Bu bir sıra ardıcıllığının bir nümunəsidir:

Ədədi ardıcıllıq hər birinə bənzərsiz bir nömrə verilə bilən rəqəmlər toplusudur.

Məsələn, ardıcıllığımız üçün:

Təyin edilmiş nömrə yalnız bir sıra nömrəsinə xasdır. Başqa sözlə, ardıcıllıqla üç ikinci nömrə yoxdur. İkinci rəqəm (-th sayı kimi) həmişə birdir.

Sayı olan ədədə ardıcıllığın üçüncü üzvü deyilir.

Biz ümumiyyətlə bütün ardıcıllığı bəzi hərflər adlandırırıq (məsələn) və bu ardıcıllığın hər bir üzvü bu üzvün sayına bərabər bir göstərici ilə eyni hərfdir:.

Bizim vəziyyətimizdə:

Ən ümumi inkişaf növləri hesab və həndəsidir. Bu mövzuda ikinci növ haqqında danışacağıq - həndəsi inkişaf.

Niyə həndəsi inkişafa və onun yaranma tarixinə ehtiyacımız var.

Hələ qədim dövrlərdə İtalyan riyaziyyatçı Pisa Leonardo (daha çox Fibonacci kimi tanınır) ticarətin praktik ehtiyaclarını həll etməklə məşğul idi. Rahib malların ən az hansı çəkisini çəkə biləcəyini təyin etmək vəzifəsi ilə qarşılaşdı? Fibonacci yazılarında belə bir çəki sisteminin optimal olduğunu sübut edir: Bu insanların həndəsi bir irəliləməylə qarşılaşmalı olduqları ilk vəziyyətlərdən biridir, ehtimal ki, artıq eşitmisiniz və ən azı ümumi bir konsepsiyaya sahibsiniz. Mövzunu tam başa düşdükdən sonra niyə belə bir sistemin optimal olduğunu düşünün?

Hal-hazırda, həyat praktikasında bir həndəsi inkişaf bir banka pul yatırarkən, əvvəlki dövr üçün hesaba yığılmış məbləğdən faiz məbləği çıxıldığı zaman özünü göstərir. Başqa sözlə, əmanət bankına müddətli depozitə pul qoyursan, bir il sonra əmanət ilkin məbləğdən çox artacaq, yəni. yeni məbləğ depozitin vurulmasına bərabər olacaqdır. Başqa bir ildə bu məbləğ artacaq, yəni. o zaman əldə edilən məbləğ təkrar vurulacaq və s. Bənzər bir vəziyyət sözdə hesablama problemlərində təsvir edilmişdir mürəkkəb maraq - faiz hər dəfə əvvəlki faiz nəzərə alınmaqla hesabdakı məbləğdən alınır. Bu vəzifələrdən bir az sonra danışacağıq.

Həndəsi irəliləmənin istifadə olunduğu bir çox sadə hal var. Məsələn, qripin yayılması: bir nəfər bir insana yoluxdu, onlar da öz növbəsində başqa bir insana yoluxdu və beləliklə ikinci infeksiya dalğası bir insandır və onlar da öz növbəsində bir başqasına yoluxdular ... və s. .

Yeri gəlmişkən, maliyyə piramidası, eyni MMM, həndəsi bir irəliləmənin xüsusiyyətlərinə əsaslanan sadə və quru bir hesablamadır. Maraqlıdır? Gəlin anlayaq.

Həndəsi inkişaf.

Deyək ki, ədədi ardıcıllığımız var:

Dərhal cavab verəcəksiniz ki, bu asandır və belə bir ardıcıllığın adı üzvlərinin fərqi ilə bir arifmetik irəliləməsidir. Bu necə:

Əvvəlki birini növbəti rəqəmdən çıxarsanız, hər dəfə yeni bir fərq əldə edildiyini (və s.) Görəcəksiniz, ancaq ardıcıllıqla mütləq mövcuddur və fərq etmək asandır - hər növbəti rəqəm əvvəlkindən qat daha böyükdür bir!

Bu cür rəqəm ardıcıllığı adlanır həndəsi inkişaf və ilə göstərilir.

Həndəsi proqressiya () ədədi ardıcıllıqdır ki, birinci müddəti sıfırdır və ikincidən başlayan hər bir müddət əvvəlki ilə bərabərdir, eyni ədədə vurulur. Bu ədədə həndəsi irəliləmənin məxrəci deyilir.

Birinci müddətin () bərabər və təsadüfi olmadığı məhdudiyyətlər. Tutaq ki, onlar yoxdur və birinci müddət hələ bərabərdir və q bərabərdir, hmm .. qoy, belə çıxır:

Bunun artıq bir inkişaf olmadığını qəbul edin.

Anladığınız kimi, sıfırdan başqa hər hansı bir rəqəmdirsə, eyni nəticələri əldə edəcəyik və. Bu hallarda, sadəcə bir irəliləmə olmayacaq, çünki bütün sıra seriyası ya bütün sıfırlar, ya da bir ədəd və digər sıfırlar olacaqdır.

İndi həndəsi irəliləmənin məxrəcindən, yəni Fr.dən daha ətraflı danışaq.

Təkrar edək: bir rəqəmdir, hər sonrakı dövr neçə dəfə dəyişir həndəsi inkişaf.

Sizcə bu nə ola bilər? Düzgün, müsbət və mənfi, lakin sıfır deyil (bu barədə yuxarıda danışdıq).

Deyək ki, müsbət birimiz var. Bizim işimizdə də olsun. İkinci müddət nədir və nədir? Buna asanlıqla cavab verə bilərsiniz:

Hər şey düzdür. Buna görə, əgər inkişafın bütün sonrakı üzvləri eyni işarəyə sahibdirlərsə - onlar müsbət.

Əgər mənfi olarsa? Məsələn, a. İkinci müddət nədir və nədir?

Bu tamamilə fərqli bir hekayədir.

Bu irəliləmənin müddətini saymağa çalışın. Nə qədər qazandınız? Mənim varımdır. Beləliklə, əgər həndəsi irəliləmənin üzvlərinin əlamətləri növbəlidirsə. Yəni üzvlərində dəyişkən işarələri olan bir irəliləyiş görürsənsə, onun məxrəci mənfi olur. Bu bilik bu mövzuda problemləri həll edərkən özünüzü sınamağınıza kömək edə bilər.

İndi bir az məşq edək: hansının sıra ardıcıllığının həndəsi proqressiya, hansının hesabla olduğunu müəyyənləşdirməyə çalışaq:

Başa düşdünüz? Cavablarımızı müqayisə edək:

• Həndəsi inkişaf - 3, 6.
• Riyazi proqressiya - 2, 4.
• Nə hesab, nə də həndəsi irəliləmələrdir - 1, 5, 7.

Son irəliləməyimizə qayıdaq və müddətini hesabdakı kimi tapmağa çalışaq. Tahmin etdiyiniz kimi, tapmağın iki yolu var.

Hər dövrü ardıcıl olaraq artırırıq.

Beləliklə, təsvir olunan həndəsi inkişafın üçüncü üzvü bərabərdir.

Təxmin etdiyiniz kimi, indi özünüz həndəsi irəliləmənin hər hansı bir üzvünü tapmağa kömək edəcək bir düstur çıxaracaqsınız. Yoxsa əvvəlcə üzvün necə tapılacağını izah edərək özünüz üçün çıxarmısınız? Əgər belədirsə, onda əsaslandırmanın düzgünlüyünü yoxlayın.

Bunu verilmiş bir irəliləmənin üçüncü üzvünü tapmaq nümunəsi ilə izah edək:

Başqa sözlə:

Verilən həndəsi inkişafın bir üzvünün dəyərini özünüzdə tapın.

Oldu? Cavablarımızı müqayisə edək:

Xahiş edirik unutmayın ki, həndəsi irəliləmənin hər əvvəlki dövrü ilə ardıcıl olaraq vurulduğumuzda əvvəlki metodla tam eyni sayda oldunuz.
Bu düsturu "şəxssizləşdirməyə" çalışaq - ümumi formaya gətirəcəyik və əldə edəcəyik:

Alınan düstur bütün müsbət və mənfi dəyərlər üçün düzgündür. Həndəsi inkişafın üzvlərini aşağıdakı şərtlərlə hesablayaraq özünüz yoxlayın: a.

Saydın? Alınan nəticələri müqayisə edək:

Tərəqqi üzvünü üzvlə eyni şəkildə tapmaq mümkün olacağını qəbul et, lakin səhv sayma ehtimalı var. Əgər həndəsi irəliləmənin üçüncü hissəsini artıq tapmışıqsa, düsturun "kəsilmiş" hissəsini istifadə etməkdən daha asan nə ola bilər.

Sonsuz azalan həndəsi irəliləyiş.

Bu yaxınlarda, sıfırdan çox və ya daha az ola biləcəyindən danışdıq, lakin həndəsi bir irəliləmənin adlandığı xüsusi dəyərlər var sonsuz azalan.

Niyə belə bir ad düşünürsən?
Əvvəlcə üzvlərdən ibarət olan bəzi həndəsi inkişafları yazaq.
Tutaq ki, a, sonra:

Hər sonrakı müddətin əvvəlkindən bir amil az olduğunu görürük, amma bir ədəd olacaqmı? Dərhal yox cavabını verəcəksiniz. Bu səbəbdən sonsuz azalan - azalır, azalır və heç vaxt sıfıra çevrilmir.

Vizual olaraq necə göründüyünü aydın şəkildə anlamaq üçün inkişafımızın bir qrafasını çəkməyə çalışaq. Beləliklə, bizim vəziyyətimiz üçün düstur aşağıdakı formanı alır:

Qrafiklərdən asılılıq yaratmaq bizim üçün adətdir, buna görə də:

İfadənin mahiyyəti dəyişməyib: birinci girişdə həndəsi irəliləmə üzvünün dəyərinin nizam sayından asılılığını göstərdik, ikinci girişdə isə həndəsi irəliləmə müddətinin dəyərini sadəcə olaraq götürdük və sıra nömrəsi necə deyil, necə təyin edilmişdir. Görüləsi yalnız bir qrafik qurmaqdır.
Görək nə etdin. Budur qrafik:

Görmək? Funksiya azalır, sıfıra meyl edir, lakin heç vaxt onu keçmir, ona görə də sonsuz azalır. Qrafada nöqtələrimizi və eyni zamanda koordinatın nə demək olduğunu qeyd edək:

Həndəsi irəliləmənin qrafiki, əgər birinci dövrü də bərabərdirsə, onu sxematik şəkildə təsvir etməyə çalışın. Təhlil edin, əvvəlki qrafikimizlə nə fərq var?

Bacardınız? Budur qrafik:

İndi həndəsi bir irəliləyiş mövzusunun əsaslarını tamamilə başa düşdüyünüz üçün: bunun nə olduğunu bilirsiniz, müddətini necə tapacağınızı və sonsuz azalan həndəsi irəliləmənin nə olduğunu da bilirsiniz, əsas xüsusiyyətinə keçək.

Həndəsi irəliləmənin xassəsi.

Bir arifmetik proqressiya üzvlərinin xüsusiyyətlərini xatırlayırsınız? Bəli, bəli, müəyyən bir irəliləmənin üzvlərinin əvvəlki və sonrakı dəyərləri olduqda müəyyən bir irəliləmənin dəyərini necə tapmaq olar. Xatırlayırsınız? Bu:

İndi həndəsi irəliləmənin üzvləri üçün eyni sualla qarşılaşırıq. Bənzər bir düstur çıxarmaq üçün rəsm və düşünməyə başlayaq. Görəcəksən, çox asandır və unutursan, özün çıxara bilərsən.

Bildiyimiz və başqa bir sadə həndəsi irəliləməni götürək. Necə tapmaq olar? Riyazi proqressiya ilə asan və sadədir, bəs burada? Əslində həndəsi olaraq da heç bir mürəkkəb bir şey yoxdur - sadəcə bizə verilən hər bir dəyəri bir düsturdan istifadə edərək yazmaq lazımdır.

Soruşursan, bununla indi nə etməliyik? Çox sadədir. Başlamaq üçün bu düsturları şəkildə təsvir edəcəyik və bir dəyərə çatmaq üçün onlarla müxtəlif manipulyasiya etməyə çalışacağıq.

Verdiyimiz rəqəmlərdən xülasə edirik, yalnız onları düsturla ifadə etməyə yönələcəyik. Bitişik üzvlərini bilməklə narıncı rəngdə vurğulanan dəyəri tapmaq lazımdır. Nəticədə ala biləcəyimiz onlarla müxtəlif hərəkətlər etməyə çalışaq.

Əlavə.
İki ifadə əlavə etməyə çalışaq və əldə edirik:

Bu ifadədən, gördüyünüz kimi, heç bir şəkildə ifadə edə bilmərik, buna görə başqa bir variant - çıxarmağı sınayacağıq.

Çıxarma.

Gördüyünüz kimi, bundan da ifadə edə bilmərik, buna görə də bu ifadələri bir-birimizlə çoxaltmağa çalışacağıq.

Vurma.

İndi tapdığımız həndəsi irəliləmənin üzvlərini tapılması lazım olanlarla müqayisədə artıraraq nəyimizə diqqətlə baxın:

Nə danışdığımı təxmin et? Düzgün tapmaq üçün bir-birinə vurulan istənilən ədədi bitişik həndəsi inkişaf nömrələrinin kvadrat kökünü götürməliyik:

Buyurunuz. Həndəsi bir irəliləmənin xüsusiyyətini özünüz çıxardınız. Bu düsturu ümumi mənada yazmağa çalışın. Oldu?

Şərti unutmusan? Bunun nə üçün vacib olduğunu düşünün, məsələn, bunu özünüz hesablamağa çalışın. Bu vəziyyətdə nə olur? Düzdür, formul belə göründüyü üçün tam cəfəngiyatdır:

Buna görə bu məhdudiyyəti unutma.

İndi nəyə bərabər olduğunu hesablayaq

Düzgün cavab - ! Hesablayarkən, mümkün olan ikinci dəyəri unutmadınızsa, onda siz böyük bir adamsınız və dərhal məşqə davam edə bilərsiniz və unutmusunuzsa, daha sonra sökülənləri oxuyun və hər ikisini də yazmağın lazım olduğuna diqqət yetirin. cavabda köklər.

Hər iki həndəsi irəliləməmizi çəkək - biri mənalı, digəri mənalı, ikisinin də mövcud olma hüququnun olub olmadığını yoxlayaq:

Belə bir həndəsi irəliləmənin mövcud olub olmadığını yoxlamaq üçün, verilən bütün üzvlər arasında eyni olub olmadığını görmək lazımdır? Birinci və ikinci hallar üçün q hesablayın.

Gör iki niyə cavab yazmalıyıq? Çünki tələb olunan müddətin işarəsi müsbət və ya mənfi olmasından asılıdır! Nə olduğunu bilmədiyimiz üçün hər iki cavabı artı və eksi ilə yazmalıyıq.

İndi əsas məqamları mənimsədiyiniz və həndəsi bir irəliləmənin xassəsi üçün düstur çıxardığınız üçün tapın, bilin və

Alınan cavabları düzgün cavablarla müqayisə edin:

Nə düşünürsən, bizə lazım olan saya bitişik həndəsi inkişaf üzvlərinin qiymətləri deyil, ondan eyni məsafədə verilsəydi nə olardı? Məsələn, tapmalıyıq və verilir və verilir. Bu vəziyyətdə əldə etdiyimiz düsturdan istifadə edə bilərikmi? Bu ehtimalı eyni şəkildə təsdiqləməyə və ya inkar etməyə çalışın, hər bir dəyərin nədən ibarət olduğunu, əvvəlcə formanı çıxararkən etdiyiniz kimi yazın.
Sən nə etdin?

İndi yenidən diqqətlə baxın.
və müvafiq olaraq:

Buradan düsturun işlədiyi nəticəsinə gəlmək olar yalnız qonşu ilə deyil həndəsi irəliləmənin tələb olunan şərtləri ilə, həm də ilə bərabər məsafəli axtarılan üzvlərdən.

Beləliklə, ilkin düsturumuz aşağıdakı formanı alır:

Yəni ilk halda bunu dediksə, indi az olan hər hansı bir natural ədədə bərabər ola biləcəyini söyləyirik. Əsas odur ki, verilən hər iki rəqəm üçün eynidir.

Xüsusi nümunələrlə məşq edin, sadəcə son dərəcə diqqətli olun!

1. ,. Tapmaq.
2. ,. Tapmaq.
3. ,. Tapmaq.

Qərar verdim? Ümid edirəm son dərəcə diqqətli oldunuz və kiçik bir ovu gördünüz.

Nəticələri müqayisə edək.

İlk iki vəziyyətdə yuxarıdakı formulu sakitcə tətbiq edirik və aşağıdakı dəyərləri alırıq:

Üçüncü halda, bizə verilən rəqəmlərin sıra nömrələrinə diqqətlə baxıldıqda, aradığımız saydan eyni məsafədə olmadığını başa düşdük: əvvəlki rəqəmdir, lakin mövqedə çıxarılıb, buna görə mümkün deyil düsturu tətbiq etmək.

Bunu necə həll edə bilərik? Əslində səsləndiyi qədər çətin deyil! Hər bir ədədin bizə verdiyi və lazım olan sayın nədən ibarət olduğunu sizinlə birlikdə yazaq.

Beləliklə, bizdə və. Görək onlarla nə edə bilərsən? Bölməyi təklif edirəm. Əldə edirik:

Verilərimizi aşağıdakı formula əvəz edirik:

Növbəti addımı tapa bilərik - bunun üçün ortaya çıxan ədədin kub kökündən keçməliyik.

İndi isə əlimizdə olanlara bir daha baxırıq. Bizdə var, amma tapmaq lazımdır və o da öz növbəsində bərabərdir:

Hesablama üçün lazım olan bütün məlumatları tapdıq. Düsturda əvəz edirik:

Cavabımız: .

Bənzər bir başqa problemi özünüz həll etməyə çalışın:
Verilmişdir:
Tapmaq:

Nə qədər qazandınız? Mənim varımdır - .

Gördüyünüz kimi, əslində ehtiyacınız var yalnız bir formulu xatırlayın -. İstədiyiniz zaman bütün qalanları tək başına heç bir çətinlik çəkmədən geri çəkə bilərsiniz. Bunu etmək üçün sadəcə bir kağıza ən sadə həndəsi irəliləməni yazın və yuxarıdakı düstura görə saylarının hər birinin bərabər olduğunu yazın.

Həndəsi irəliləmənin üzvlərinin cəmi.

İndi həndəsi irəliləmənin üzvlərinin cəmini müəyyən bir intervalda tez hesablamağımızı təmin edən düsturları nəzərdən keçirin:

Sonlu həndəsi proqressiyanın üzvlərinin cəminin düsturunu çıxarmaq üçün yuxarı tənliyin bütün hissələrini ilə vururuq. Əldə edirik:

Diqqətlə baxın: son iki düsturun ortaq nöqtəsi nədir? Düzdü, ümumi üzvlər, məsələn və s. Birinci və son üzv xaricində. 2-ci tənlikdən 1-i çıxartmağa çalışaq. Sən nə etdin?

İndi həndəsi irəliləmənin müddətini düstur vasitəsilə ifadə edin və nəticədə meydana çıxan ifadəni son düsturumuzla əvəz edin:

İfadəni qruplaşdırın. Almalısan:

Qalan yalnız ifadə etməkdir:

Buna görə bu vəziyyətdə.

Birdən? O zaman hansı formula işləyir? Həndəsi bir irəliləməni təsəvvür edin. O necedir? Düzgün olaraq bir sıra eyni rəqəmlər, düstur belə görünür:

Həm hesabda, həm də həndəsi inkişafda bir çox əfsanə var. Bunlardan biri şahmatın yaradıcısı Sethin əfsanəsidir.

Bir çox insan şahmat oyununun Hindistanda icad edildiyini bilir. Hindu kralı onunla görüşəndə \u200b\u200bonun ağlı və yerindəki müxtəlif mövqelərdən məmnun qaldı. Onun tabeliyində olanlardan biri tərəfindən icad edildiyini öyrəndikdən sonra kral onu şəxsən mükafatlandırmağa qərar verdi. İxtiraçını yanına çağırdı və ən bacarıqlı istəyi belə yerinə yetirəcəyini vəd edərək ondan istədiyini istəməsini əmr etdi.

Seta düşünmək üçün vaxt istədi və ertəsi gün Seta padşaha göründükdə, xahişinin misilsiz təvazökarlığı ilə kralı təəccübləndirdi. Şahmat taxtasının birinci meydanı üçün buğda dənəsi, ikinci buğda dənəsi üçün, üçüncüsü, dördüncüsü üçün buğda dənəsi verməsini istədi.

Padşah qəzəbləndi və qulluqçunun tələbinin kralın səxavətinə layiq olmadığını söyləyərək Sethi qovdu, lakin qulluqçunun taxtanın bütün hüceyrələri üçün taxıllarını alacağını vəd etdi.

İndi isə sual: həndəsi bir proqressiya üzvlərinin cəminin düsturundan istifadə edərək Setanın neçə dənə almalı olduğunu hesablayın?

Düşünməyə başlayaq. Şərtə görə, Seta şahmat taxtasının birinci meydanı üçün, ikinci üçüncüsü, üçüncüsü, dördüncüsü üçün buğda dənəsi istədiyi üçün, problemin həndəsi bir irəliləmədən getdiyini görürük. Bu vəziyyətdə nə bərabərdir?
Düzgün.

Şahmat taxtasının ümumi hüceyrələri. Müvafiq olaraq ,. Bütün məlumatlara sahibik, yalnız onu formula əvəz edib hesablamaq qalır.

Verilən sayın ən azı "tərəzisini" təmsil etmək üçün dərəcənin xüsusiyyətlərindən istifadə edərək çeviririk:

Əlbətdə ki, istəsən, bir kalkulyator götürüb sonda hansı rəqəmi alacağını hesablaya bilərsənsə, bunun üçün sözümü götürməlisən: ifadənin son dəyəri olacaq.
Yəni:

kvintilyon kvadrilyon trilyon milyard milyon min.

Fuh) Bu rəqəmin böyüklüyünü təsəvvür etmək istəyirsənsə, anbarın bütün taxıl miqdarının nə qədər olacağını tələb edin.
Anbarın hündürlüyü m və eni m ilə uzunluğu km-ə qədər uzanmalı, yəni. Yerdən Günəşə qədər iki dəfə çoxdur.

Çar riyaziyyatda güclü olsaydı, alimin özünə dənləri saymasını təklif edə bilərdi, çünki bir milyon dənə saymaq üçün ən azı bir gün yorulmaz saymağa ehtiyac olardı və kvintilləri saymağın lazım olduğunu nəzərə alsaq, taxıllar ömrü boyu sayılmalıdır.

İndi həndəsi irəliləmənin üzvlərinin cəmi üçün sadə bir məsələ həll edək.
5 A sinif şagirdi Vasya qrip xəstəsi olsa da, məktəbə getməyə davam edir. Vasya hər gün iki nəfəri, öz növbəsində daha iki nəfəri yoluxdurur və s. Sinifdə insanlar var. Bütün sinif neçə gün qripdən xəstələnəcək?

Beləliklə, həndəsi inkişafın ilk üzvü Vasya, yəni bir insandır. həndəsi inkişafın üçüncü üzvü, gəlişinin ilk günündə yoluxduğu iki adamdır. Proqresdəki ümumi üzvlərin sayı 5A şagird sayına bərabərdir. Buna görə, bir inkişafdan danışırıq:

Verilərimizi həndəsi irəliləmənin üzvlərinin cəminin düsturuna qoyaq:

Bütün sinif günlərlə xəstələnəcək. Düsturlar və rəqəmlərə inanmırsınız? Tələbələrin "infeksiyası" nı özünüz təsvir etməyə çalışın. Oldu? Görün mənim üçün necə görünür:

Özünüz hesablayın ki, hər biri bir nəfərə yoluxubsa və sinifdə bir nəfər varsa, şagirdlərin qripə yoluxması üçün neçə gün vaxt lazımdır.

Hansı dəyəri əldə etdiniz? Hamının bir gündən sonra xəstələnməyə başladığı məlum oldu.

Gördüyünüz kimi, belə bir tapşırıq və ona çəkilmək hər sonrakı birinin yeni insanlar "gətirdiyi" bir piramidaya bənzəyir. Ancaq gec-tez bir an gəlir ki, sonuncusu heç kimi cəlb edə bilməz. Bizim vəziyyətimizdə, sinifin təcrid olunduğunu xəyal etsək, gələn şəxs zənciri bağlayacaqdır (). Beləliklə, bir nəfər başqa iki iştirakçı gətirməyiniz vəziyyətində pul verildiyi bir maliyyə piramidasına qarışsaydı, o zaman şəxs (və ya ümumi vəziyyətdə) heç kim gətirməyəcək, sırasıyla hər şeyi itirəcəklər bu maliyyə fırıldaqçılığına yatırıldı.

Yuxarıda deyilənlərin hamısı azalan və ya artan həndəsi irəliləməyə aiddir, ancaq xatırladığınız kimi, bizim xüsusi bir növümüz var - sonsuz azalan həndəsi irəliləyiş. Üzvlərinin cəmi necə hesablanır? Və niyə bu cür inkişaf müəyyən xüsusiyyətlərə malikdir? Gəlin birlikdə həll edək.

Beləliklə, əvvəlcə nümunəmizdəki sonsuz azalan həndəsi irəliləmənin bu rəqəminə bir daha nəzər salaq:

İndi bir az əvvəl əldə edilmiş həndəsi irəliləmənin cəminin düsturuna baxaq:
və ya

Nə üçün çalışırıq? Düzdü, qrafik sıfıra meylli olduğunu göstərir. Yəni, demək olar ki, bərabər olacaq zaman, ifadəni hesablayarkən, demək olar ki, əldə edirik. Bu baxımdan, sonsuz azalan həndəsi irəliləmənin cəmini hesablayarkən bu mötərizənin laqeyd edilə biləcəyinə inanırıq, çünki bərabər olacaqdır.

- düstur sonsuz azalan həndəsi irəliləmənin şərtlərinin cəmidir.

Vacib! Sonsuz azalan həndəsi irəliləmənin şərtlərinin cəmi üçün düsturu yalnız şərt açıqca cəmini tapmağımızı bildirsə istifadə edirik. sonsuz üzvlərin sayı.

Müəyyən bir n rəqəmi göstərilibsə, ya da olsa, n müddətinin cəmi üçün düsturdan istifadə edirik.

İndi məşq edək.

1. Və ilə həndəsi irəliləmənin ilk şərtlərinin cəmini tapın.
2. Və ilə sonsuz azalan həndəsi irəliləmənin şərtlərinin cəmini tapın.

Ümid edirəm son dərəcə diqqətli idiniz. Cavablarımızı müqayisə edək:

İndi həndəsi inkişaf haqqında hər şeyi bilirsiniz və nəzəriyyədən praktikaya keçməyin vaxtı gəldi. İmtahanda ən çox rast gəlinən həndəsi irəliləmə problemləri qarışıq faiz problemləridir. Söhbət onlardan gedir.

Mürəkkəb faizin hesablanması üçün tapşırıqlar.

Yəqin ki, sözdə mürəkkəb faiz düsturunu eşitmisiniz. Onun nə demək istədiyini başa düşürsən? Əks təqdirdə, anlayaq, çünki prosesin özünü reallaşdırdıqdan sonra dərhal başa düşəcəksiniz və burada həndəsi bir irəliləyiş var.

Hamımız banka gedirik və əmanətlər üçün müxtəlif şərtlərin olduğunu bilirik: bu müddət və əlavə xidmət və faizin iki fərqli üsulu ilə hesablanması - sadə və mürəkkəbdir.

GERİ sadə maraq hər şey az-çox aydındır: faiz depozit müddəti bitdikdən sonra bir dəfə tutulur. Yəni bir il ərzində 100 rubl qoyduğumuzu desək, yalnız ilin sonunda kredit veriləcəkdir. Buna görə, depozitin sonuna qədər rubl alacağıq.

Mürəkkəb maraq - bu seçimdir faizlərin kapitallaşdırılmasıyəni depozit məbləğinə əlavə edilməsi və sonrakı gəlirinin ilkin deyil, əmanətin yığılmış məbləğindən hesablanması. Kapitallaşma davamlı deyil, müəyyən bir tezliklə baş verir. Bir qayda olaraq, bu cür dövrlər bərabərdir və ən çox banklar bir ay, dörddəbir və ya il istifadə edirlər.

Deyək ki, eyni rublları illik nisbətdə qoyduq, lakin depozitin aylıq kapitallaşması ilə. Nə əldə edirik?

Burada hər şeyi başa düşürsən? Əks təqdirdə, bunu mərhələlərlə müəyyənləşdirək.

Banka rubl gətirdik. Ayın sonuna qədər hesabımıza rubllarımızdan və faizlərimizdən ibarət olan bir məbləğ görünməlidir, yəni:

Razıyam?

Mötərizənin xaricinə qoya bilərik və sonra əldə edirik:

Razıyam, bu düstur artıq əvvəlində yazdığımıza bənzəyir. Faizlə məşğul olmaq qalır

Problem açıqlamasında bizə illik məlumat verilir. Bildiyiniz kimi, biz çoxalmırıq - faizləri onluq kəsrlərə çeviririk, yəni:

Hə? İndi soruşursan, nömrə hardan gəldi? Çox sadə!
Təkrar edirəm: problem ifadəsi haqqında deyir İLLİK faizlər hesablanır AYLIQ... Bildiyiniz kimi, bir aydan sonra bank bizdən illik faizlərin bir hissəsini tutacaq:

Reallaşdı? İndi faizlərin gündəlik hesablandığını desəm, düsturun bu hissəsinin necə olacağını yazmağa çalışın.
Bacardınız? Nəticələri müqayisə edək:

Afərin! Tapşırığımıza qayıdaq: depozitin yığılmış məbləğindən faiz tutulduğunu nəzərə alaraq ikinci ay üçün hesabımıza nə qədər pul yazılacağını yazın.
Budur məndə:

Və ya başqa sözlə:

Düşünürəm ki, bütün bunlarda artıq bir naxış görmüsünüz və həndəsi bir irəliləməni gördünüz. Üzvünün nəyə bərabər olacağını və ya başqa sözlə ayın sonunda nə qədər pul alacağımızı yazın.
Hazırlanmışdır? Yoxlama!

Gördüyünüz kimi, bir il ərzində banka sadə faizlə pul qoyursanız, onda rubl alacaqsınız, əgər kompleks faizlə - rubl. Faydası azdır, ancaq bu yalnız üçüncü il ərzində baş verir, lakin daha uzun müddət üçün kapitallaşdırma daha sərfəlidir:

Qarışıq faizlə bağlı başqa bir növ problemi nəzərdən keçirək. Düşündüklərinizdən sonra sizin üçün ibtidai olacaq. Beləliklə vəzifə:

Zvezda şirkəti 2000-ci ildə dollarla kapitala sahib olmaqla bu sahəyə investisiya qoymağa başladı. 2001-ci ildən bəri hər il bir əvvəlki ilin paytaxtından gəlir əldə edir. Mənfəət dövriyyədən çıxarılmadıqda, 2003-cü ilin sonunda Zvezda şirkəti nə qədər mənfəət əldə edəcək?

2000-ci ildə "Zvezda" şirkətinin kapitalı.
- 2001-ci ildə "Zvezda" şirkətinin kapitalı.
- 2002-ci ildə "Zvezda" şirkətinin kapitalı.
- 2003-cü ildə "Zvezda" şirkətinin kapitalı.

Və ya qısaca yaza bilərik:

Bizim işimiz üçün:

2000, 2001, 2002 və 2003.

Müvafiq olaraq:
rubl
Qeyd edək ki, bu problemdə yüzdə İLLİK verildiyindən və İLLİK hesablandığından, ya bölünməmişik. Yəni, mürəkkəb faiz üçün problemi oxuduqda, neçə faiz verildiyinə və hansı dövrdə yükləndiyinə diqqət yetirin və yalnız bundan sonra hesablamalara keçin.
İndi həndəsi inkişaf haqqında hər şeyi bilirsiniz.

Çalışmaq.

1. Və olduğu məlum olduğu təqdirdə eksponent termini tapın
2. Həndəsi irəliləmənin ilk şərtlərinin cəmini tapın, əgər məlumdursa və
3. MDM Capital, 2003-cü ildə bu sektora dollar sərmayəsi ilə sərmayə qoymağa başladı. 2004-cü ildən başlayaraq hər il bir əvvəlki ilin paytaxtından gəlir əldə edir. "MSK Pul vəsaitlərinin hərəkəti" şirkəti 2005-ci ildə bu sektora 10.000 dollar məbləğində investisiya qoymağa, 2006-cı ildə isə mənfəət əldə etməyə başladı. Mənfəət dövriyyədən çıxarılmadıqda, 2007-ci ilin sonunda bir şirkətin kapitalı digərindən neçə dollar çoxdur?

Cavablar:

1. Problem həllində irəliləmənin sonsuz olduğu və üzvlərinin müəyyən sayının cəminin tapılması tələb olunduğu deyildiyi üçün hesablama aşağıdakı düstura əsasən aparılır:
2. 
   MDM Capital:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - 100%, yəni 2 dəfə artır.
   Müvafiq olaraq:
   rubl
   MSK Pul vəsaitlərinin hərəkəti:

   2005, 2006, 2007.
   - yəni dəfə artır.
   Müvafiq olaraq:
   rubl
   rubl

Xülasə edək.

1) Həndəsi proqressiya () ədədi ardıcıllıqdır, onun birinci müddəti sıfırdır və ikincidən başlayan hər bir müddət əvvəlki ilə bərabərdir, eyni ədədə vurulur. Bu ədədə həndəsi irəliləmənin məxrəci deyilir.

2) Həndəsi irəliləmənin üzvlərinin tənliyi -.

3) və xaricində hər hansı bir dəyər götürə bilər.

• əgər inkişafın bütün sonrakı üzvləri eyni işarəyə sahibdirlərsə - onlar müsbət;
• əgər, onda irəliləmənin bütün sonrakı üzvləri alternativ işarələr;
• at - irəliləməyə sonsuz azalan deyilir.

4) üçün, həndəsi irəliləmənin xassəsidir (bitişik şərtlər)

və ya
, (bərabər məsafəli şərtlərdə)

Taparkən bunu unutma iki cavab olmalıdır.

Məsələn,

5) Həndəsi proqressiya üzvlərinin cəmi aşağıdakı düsturla hesablanır:
və ya

Əgər inkişaf sonsuz dərəcədə azalırsa:
və ya

Vacib! Sonsuz azalan həndəsi irəliləmənin şərtlərinin cəmi üçün düsturu yalnız şərt açıq şəkildə sonsuz sayda cəmin cəmini tapmaq lazım olduğunu bildirdikdə istifadə edirik.

6) Mürəkkəb faizlə bağlı problemlər də, vəsait dövriyyədən çıxarılmamaq şərti ilə həndəsi bir irəliləmənin -ci dövrü formuluna əsasən hesablanır:

GEOMETRİK PROGRESSİYA. ƏSAS HAQQINDA QISA

Həndəsi inkişaf () ədədi ardıcıllıqdır, birinci müddəti sıfırdır və ikincidən başlayaraq hər müddət əvvəlki ilə bərabərdir, eyni ədədə vurulur. Bu nömrəyə zəng vurulur həndəsi irəliləmənin məxrəci.

Həndəsi irəliləmənin məxrəci və xaricində hər hansı bir dəyər götürə bilər.

• Əgər irəliləmənin bütün sonrakı üzvləri eyni işarəyə sahibdirlərsə - müsbətdirlər;
• əgər, onda irəliləmənin bütün sonrakı üzvləri alternativ işarələr;
• at - irəliləməyə sonsuz azalan deyilir.

Həndəsi irəliləmənin üzvlərinin tənliyi - .

Həndəsi irəliləmənin üzvlərinin cəmi düsturla hesablanır:
və ya

\u003e\u003e Riyaziyyat: Həndəsi Tərəqqi

Oxucunun rahatlığı üçün bu bölmə əvvəlki hissədə izlədiyimiz kimi eyni planı izləyir.

1. Əsas anlayışlar.

Tərif. Bütün üzvləri 0-dan fərqli olan və hər birinin ikincisindən başlayaraq əvvəlki hissədən eyni saya vurularaq əldə edilən ədədi ardıcıllığa həndəsi irəliləmə deyilir. Bu vəziyyətdə 5 ədədi həndəsi irəliləmənin məxrəci adlanır.

Beləliklə, həndəsi proqressiya münasibətlər tərəfindən rekursiv olaraq təyin olunan ədədi ardıcıllıqdır (b n)

Sayı ardıcıllığına baxaraq həndəsi bir proqressiya olub olmadığını təyin etmək mümkündürmü? Bacarmaq. Ardıcıllığın istənilən üzvünün əvvəlki üzvə nisbətinin sabit olduğuna əminsəniz, həndəsi irəliləməyə sahibsiniz.
Nümunə 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
B 1 \u003d 1, q \u003d 3.

Nümunə 2.

Bu həndəsi bir irəliləyişdir
Nümunə 3.

Bu həndəsi bir irəliləyişdir
Nümunə 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Bu, b 1 - 8, q \u003d 1 olan həndəsi bir irəliləyişdir.

Bu ardıcıllığın da bir arifmetik proqressiya olduğunu unutmayın (§ 15-də Nümunə 3-ə baxın).

Nümunə 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

Bu b 1 \u003d 2, q \u003d -1 olduğu həndəsi bir irəliləyişdir.

Aydındır ki, həndəsi proqressiya b 1\u003e 0, q\u003e 1 olduqda artan bir ardıcıllıqdır (nümunə 1-ə bax) və b 1\u003e 0, 0 olduqda azalma< q < 1 (см. пример 2).

Ardıcıllığın (b n) həndəsi bir proqressiya olduğunu göstərmək üçün aşağıdakı qeyd bəzən əlverişlidir:

İkon "həndəsi inkişaf" ifadəsini əvəz edir.
Həndəsi inkişafın bir maraqlı və eyni zamanda olduqca açıq bir xüsusiyyətini qeyd edək:
Ardıcıllıqla həndəsi bir irəliləyişdir, onda kvadratların ardıcıllığı, yəni. həndəsi bir irəliləyişdir.
İkinci həndəsi irəliləmədə birinci a a bərabərdir q 2-yə bərabərdir.
B n-dən sonrakı bütün şərtləri sərhədsiz olaraq atırıqsa, sonlu həndəsi irəliləyiş əldə edərik
Bu hissənin sonrakı abzaslarında həndəsi irəliləmənin ən vacib xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirəcəyik.

2. Həndəsi irəliləmənin n-ci hissəsinin düsturu.

Həndəsi bir irəliləməni düşünün məxrəc q. Bizdə:

Hər hansı bir n üçün bərabərliyin olduğunu təxmin etmək çətin deyil

Bu, həndəsi irəliləmənin n-ci dövrü üçün düsturdur.

Şərh.

Əvvəlki abzasdan vacib bir qeyd oxudunuz və başa düşdünüzsə, (1) düsturunu riyazi induksiya metodu ilə sübut etməyə çalışın, necə ki, bir arifmetik irəliləmənin n-ci dövrü üçün düstur üçün edildi.

Həndəsi irəliləmənin n-ci dövrü üçün düsturu yenidən yazaq

və qeydini təqdim edin: y \u003d mq 2 alırıq və ya daha ətraflı,
X arqumenti bir göstərici içərisindədir, buna görə üst səviyyəli funksiya adlanır. Beləliklə, həndəsi bir proqressiya, təbii ədədlərin çoxluğunda təyin edilmiş bir eksponent funksiya kimi qəbul edilə bilər. Əncirdə 96a, Şek. Funksiyasının qrafikini göstərir. 966 - funksiya qrafiki Hər iki halda da müəyyən bir döngədə uzanan (x \u003d 1, x \u003d 2, x \u003d 3 və s. Abscissaları ilə) təcrid olunmuş nöqtələrimiz var (hər iki rəqəm eyni əyri göstərir, yalnız fərqli yerləşmiş və fərqli ölçülərdə təsvir edilmişdir). Bu əyri eksponent deyilir. Eksponent funksiya və onun qrafiki haqqında daha çox məlumat 11-ci sinif cəbr kursunda müzakirə olunacaq.

Əvvəlki bənddən 1-5 nümunələrinə qayıdaq.

1) 1, 3, 9, 27, 81, .... Bu b 1 \u003d 1, q \u003d 3. olduğu həndəsi bir irəliləyişdir. N-ci müddət üçün düstur quraq
2) Bu, h-cü hədd üçün düsturu tərtib edək ki, həndəsi irəliləməsidir

Bu həndəsi bir irəliləyişdir N-ci müddət üçün düstur tərtib edək
4) 8, 8, 8, ..., 8, .... Bu b 1 \u003d 8, q \u003d 1. olduğu həndəsi bir irəliləyişdir. N-ci müddət üçün düstur quraq
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2, .... Bu b 1 \u003d 2, q \u003d -1 olduğu həndəsi bir irəliləyişdir. N-ci müddət üçün düstur tərtib edək

Nümunə 6.

Həndəsi bir inkişaf verilir

Bütün hallarda, həll həndəsi irəliləmənin n-ci dövrü üçün düstura əsaslanır

a) həndəsi irəliləmənin n-ci hissəsini n \u003d 6 düsturuna qoyuruq

b) var

512 \u003d 2 9 olduğundan n - 1 \u003d 9, n \u003d 10 əldə edirik.

d) var

Nümunə 7.

Həndəsi irəliləmənin yeddinci və beşinci hissələri arasındakı fərq 48, irəliləmənin beşinci və altıncı hissələrinin cəmi də 48-dir. Bu irəliləmənin on ikinci hissəsini tapın.

İlk addım. Riyazi modelin tərtib edilməsi.

Problem şərtləri qısaca aşağıdakı kimi yazıla bilər:

Həndəsi irəliləmənin n-ci dövrü üçün düsturdan istifadə edərək əldə edirik:
O zaman məsələnin ikinci şərti (b 7 - b 5 \u003d 48) şəklində yazıla bilər

Məsələnin üçüncü şərti (b 5 + b 6 \u003d 48) kimi yazmaq olar

Nəticədə iki dəyişən b 1 və q olan iki tənlik sistemi alırıq:

yuxarıdakı şərtlə birlikdə 1) məsələnin riyazi modeli.

İkinci mərhələ.

Tərtib edilmiş modellə işləmək. Sistemin hər iki tənliyinin sol tərəflərini bərabərləşdirdikdə:

(tənliyin hər iki tərəfini sıfırdan b 1 q 4 ifadəsinə böldük).

Q 2 - q - 2 \u003d 0 tənliyindən q 1 \u003d 2, q 2 \u003d -1 tapırıq. Q \u003d 2 dəyərini sistemin ikinci tənliyinə qoyaraq əldə edirik
Sistemin ikinci tənliyində q \u003d -1 dəyərini qoyaraq b 1 1 0 \u003d 48 əldə edirik; bu tənliyin həlli yoxdur.

Beləliklə, b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - bu cüt tərtib edilmiş tənliklər sisteminin həllidir.

İndi məsələdə bəhs olunan həndəsi irəliləməni yaza bilərik: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

Üçüncü mərhələ.

Problem sualının cavabı. B 12 hesablamaq lazımdır. Bizdə var

Cavab: b 12 \u003d 2048.

3. Sonlu həndəsi irəliləmənin üzvlərinin cəminin düsturu.

Sınaqlı bir həndəsi proqressiya verilsin

S n şərtlərinin cəmini göstərək, yəni.

Bu məbləği tapmaq üçün bir düstur çıxaraq.

Q \u003d 1 olduqda ən sadə haldan başlayaq. Sonra həndəsi irəliləyiş b 1, b 2, b 3, ..., bn b 1-ə bərabər n ədəddən ibarətdir, yəni irəliləmə b 1, b 2, b 3, ..., b 4 şəklindədir. Bu rəqəmlərin cəmi nb 1-dir.

İndi q \u003d 1 edək S n tapmaq üçün süni bir metod tətbiq edirik: S n q ifadəsinin bəzi çevrilmələrini yerinə yetirin. Bizdə:

Dəyişiklikləri həyata keçirərkən, ilk növbədə, həndəsi bir irəliləmənin tərifindən istifadə etdik (buna görə üçüncü düşüncə sətirinə baxın); ikincisi, ifadənin mənasının, əlbətdə niyə dəyişmədiyini əlavə etdilər və çıxartdılar (baxın, dördüncü sətirə bax); üçüncüsü, həndəsi irəliləmənin n-ci dövrü üçün düsturdan istifadə etdik:

Formula (1) -dən tapırıq:

Bu həndəsi irəliləmənin n müddətinin cəminin düsturudur (q \u003d 1 olduqda).

Nümunə 8.

Sonlu bir həndəsi proqressiya verilir

a) inkişaf üzvlərinin cəmi; b) üzvlərinin kvadratlarının cəmi.

b) Yuxarıda (bax. s. 132) qeyd etdik ki, həndəsi irəliləmənin bütün şərtləri kvadrat şəklindədirsə, onda birinci hissə b 2 və məxrəc q 2 olan həndəsi irəliləməni əldə edirik. Sonra yeni inkişafın altı üzvünün cəmi hesablanacaqdır

Nümunə 9.

İlə həndəsi irəliləmənin 8-ci hissəsini tapın

Əslində aşağıdakı teoremi sübut etdik.

Ədədi bir ardıcıllıq, həqiqi üzvlüyün hər birinin kvadratı istisna olmaqla, ilk Teorema xaricində (və sonlu bir sıra halında) əvvəlki və sonrakı şərtlərin məhsuluna bərabər olduqda ( həndəsi irəliləmənin xarakterik xassəsi).