Mühazirə: Vektor koordinatları; vektorların nöqtə hasili; vektorlar arasındakı bucaq

Vektor koordinatları

Beləliklə, əvvəllər qeyd edildiyi kimi, vektorlar öz başlanğıcı və sonu olan istiqamətlənmiş bir seqmentdir. Əgər başlanğıc və son bəzi nöqtələrlə təmsil olunursa, müstəvidə və ya kosmosda onların öz koordinatları olur.

Əgər hər bir nöqtənin öz koordinatları varsa, onda bütün vektorun koordinatlarını ala bilərik.

Tutaq ki, vektorun başlanğıcı və sonu aşağıdakı təyinatlara və koordinatlara malik olan vektorumuz var: A (A x; Ay) və B (B x; By)

Bu vektorun koordinatlarını əldə etmək üçün vektorun sonunun koordinatlarından başlanğıcın müvafiq koordinatlarını çıxmaq lazımdır:

Kosmosda vektorun koordinatlarını təyin etmək üçün aşağıdakı düsturdan istifadə edin:

Vektorların nöqtə hasili

Nöqtə məhsulunu təyin etməyin iki yolu var:

• Həndəsi yol. Onun fikrincə, nöqtə məhsulu bu modulların qiymətlərinin onların arasındakı bucağın kosinusu ilə hasilinə bərabərdir.

• Cəbri məna. Cəbr nöqteyi-nəzərindən iki vektorun nöqtə hasili müvafiq vektorların hasillərinin cəmi nəticəsində alınan müəyyən kəmiyyətdir.

Vektorlar kosmosda verilirsə, onda oxşar düsturdan istifadə etməlisiniz:

Xüsusiyyətlər:

• İki eyni vektoru skalyar şəkildə çoxaltsanız, onların nöqtə məhsulu mənfi olmayacaq:

• İki eyni vektorun skalyar hasili sıfıra bərabər olarsa, bu vektorlar sıfır hesab olunur:

• Əgər vektor özünə vurularsa, skalyar hasil onun modulunun kvadratına bərabər olacaqdır:

• Skayar məhsulun kommunikativ xüsusiyyəti var, yəni skalyar məhsul vektorların dəyişməsindən dəyişməyəcək:

• Sıfırdan fərqli vektorların skalyar hasili yalnız vektorlar bir-birinə perpendikulyar olduqda sıfır ola bilər:

• Vektorların skalyar hasili üçün yerdəyişmə qanunu vektorlardan birinin ədədə vurulması halında etibarlıdır:

• Nöqtə məhsulu ilə vurmanın paylayıcı xassəsindən də istifadə edə bilərsiniz:

Vektorlar arasındakı bucaq

Tərif 1

Vektorların skalyar hasili bu vektorların dininin hasilinə və aralarındakı bucağın kosinusuna bərabər olan ədəddir.

a → və b → vektorlarının hasilinin qeydi a →, b → formasına malikdir. Formula çevirək:

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^. a → və b → vektorların uzunluqlarını, a →, b → ^ verilmiş vektorlar arasındakı bucağı göstərir. Əgər ən azı bir vektor sıfırdırsa, yəni 0 dəyərinə malikdirsə, nəticə də sıfır olacaq, a →, b → = 0

Vektoru özünə vuranda onun uzunluğunun kvadratını alırıq:

a →, b → = a → b → cos a →, a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

Tərif 2

Vektorun özünə skalyar vurulmasına skalyar kvadrat deyilir.

Düsturla hesablanır:

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^.

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^ = a → npa → b → = b → npb → a → qeydi göstərir ki, npb → a → a → b → üzərindəki ədədi proyeksiyasıdır, npa → a → müvafiq olaraq b → a → üzərinə proyeksiyasıdır.

İki vektor üçün məhsulun tərifini tərtib edək:

İki a → b → vektorunun skalyar hasilinə müvafiq olaraq a → proyeksiyası ilə a vektorunun uzunluğunun b → a → istiqamətinə və ya b → uzunluğunun a → proyeksiyasına hasilinə deyilir.

Koordinatlarda nöqtə məhsulu

Nöqtə hasilinin hesablanması verilmiş müstəvidə və ya fəzada vektorların koordinatları vasitəsilə həyata keçirilə bilər.

Müstəvidə, üçölçülü fəzada iki vektorun skalyar hasilinə verilmiş a → və b → vektorlarının koordinatlarının cəmi deyilir.

Kartezyen sistemində verilmiş a → = (a x, a y), b → = (b x, b y) vektorlarının skalyar hasilini hesablayarkən istifadə edin:

a →, b → = a x b x + a y b y,

üçölçülü fəza üçün aşağıdakı ifadə tətbiq olunur:

a →, b → = a x b x + a y b y + a z b z.

Əslində, bu, nöqtə məhsulunun üçüncü tərifidir.

Gəlin bunu sübut edək.

Sübut 1

Sübut üçün Kartezyen üzrə a → = (ax, ay), b → = (bx, by) vektorları üçün a →, b → = a → b → cos a →, b → ^ = ax bx + ay by -dən istifadə edirik. sistemi.

Vektorlar təxirə salınmalıdır

O A → = a → = a x, a y və O B → = b → = b x, b y.

Onda A B → vektorunun uzunluğu A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x, b y - a y) bərabər olacaq.

O A B üçbucağını nəzərdən keçirək.

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) kosinus teoreminə əsasən doğrudur.

Şərtə görə görmək olar ki, O A = a →, O B = b →, A B = b → - a →, ∠ A O B = a →, b → ^, ona görə də vektorlar arasında bucağı tapmaq üçün düsturu fərqli yazırıq.

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a →, b → ^).

Onda birinci tərifdən belə çıxır ki, b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a →, b →), deməli (a →, b →) = 1 2 (a → 2 + b →) 2 - b → - a → 2).

Vektorların uzunluğunu hesablamaq üçün düsturdan istifadə edərək, əldə edirik:
a →, b → = 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + 2 ilə) 2 - ((bx - ax) 2 + (by - ay) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) = = ax bx + ay by

Gəlin bərabərlikləri sübut edək:

(a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

- müvafiq olaraq üçölçülü fəzanın vektorları üçün.

Koordinatlı vektorların skalyar hasili deyir ki, vektorun skalyar kvadratı müvafiq olaraq fəzada və müstəvidə onun koordinatlarının kvadratlarının cəminə bərabərdir. a → = (a x, a y, a z), b → = (b x, b y, b z) və (a →, a →) = a x 2 + a y 2.

Nöqtə məhsulu və onun xassələri

a →, b → və c → üçün tətbiq olunan nöqtə məhsul xüsusiyyətləri var:

1. kommutativlik (a →, b →) = (b →, a →);
2. paylanma (a → + b →, c →) = (a →, c →) + (b →, c →), (a → + b →, c →) = (a →, b →) + (a → , c →);
3. birləşmə xassəsi (λ a →, b →) = λ (a →, b →), (a →, λ b →) = λ (a →, b →), λ istənilən ədəddir;
4. skalyar kvadrat həmişə sıfırdan böyükdür (a →, a →) ≥ 0, burada a → sıfır olduqda (a →, a →) = 0 olur.

Xassələri müstəvidəki nöqtə hasilinin tərifi və həqiqi ədədləri toplama və vurma zamanı xassələri sayəsində izah etmək olar.

Kommutativlik xassəsini (a →, b →) = (b →, a →) sübut edin. Tərifdən (a →, b →) = a y b y + a y b y və (b →, a →) = b x a x + b y a y olduğunu görürük.

Kommutativlik xassəsinə görə a x b x = b x a x və a y b y = b y a y bərabərlikləri doğrudur, ona görə də a x b x + a y b y = b x a x + b y a y olur.

Buradan belə çıxır ki, (a →, b →) = (b →, a →). Q.E.D.

Paylanma istənilən nömrələr üçün etibarlıdır:

(a (1) → + a (2) → +.. + a (n) →, b →) = (a (1) →, b →) + (a (2) →, b →) +. ... ... + (a (n) →, b →)

və (a →, b (1) → + b (2) → +.. + b (n) →) = (a →, b (1) →) + (a →, b (2) →) + . .. ... ... + (a →, b → (n)),

ona görə də bizdə var

(a (1) → + a (2) → +.. + a (n) →, b (1) → + b (2) → +... + b (m) →) = (a ( 1) →, b (1) →) + (a (1) →, b (2) →) +. ... ... + (a (1) →, b (m) →) + + (a (2) →, b (1) →) + (a (2) →, b (2) →) +. ... ... + (a (2) →, b (m) →) +. ... ... + + (a (n) →, b (1) →) + (a (n) →, b (2) →) +. ... ... + (a (n) →, b (m) →)

Nümunələr və həllər ilə nöqtəli məhsul

Belə bir planın hər hansı bir problemi nöqtə məhsuluna aid xüsusiyyətlər və düsturlardan istifadə etməklə həll edilir:

1. (a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^);
2. (a →, b →) = a → n p a → b → = b → n p b → a →;
3. (a →, b →) = a x b x + a y b y və ya (a →, b →) = a x b x + a y b y + a z b z;
4. (a →, a →) = a → 2.

Bəzi həll nümunələrinə baxaq.

Misal 2

a → uzunluğu 3, b → uzunluğu 7. Bucaq 60 dərəcə olduqda nöqtə hasilini tapın.

Həll

Şərtlə, bütün məlumatlarımız var, ona görə də düsturla hesablayırıq:

(a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Cavab: (a →, b →) = 21 2.

Misal 3

Verilmiş vektorlar a → = (1, - 1, 2 - 3), b → = (0, 2, 2 + 3). Nöqtə məhsulu nədir.

Həll

Bu misalda koordinatlar üzrə hesablama düsturu nəzərdən keçirilir, çünki onlar problem bəyanatında göstərilmişdir:

(a →, b →) = ax bx + ay by + az bz = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Cavab: (a →, b →) = - 9

Misal 4

A B → və A C → nöqtə hasilini tapın. Koordinat müstəvisində A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) nöqtələri verilmişdir.

Həll

Başlamaq üçün vektorların koordinatları hesablanır, çünki nöqtələrin koordinatları şərtlə verilir:

A B → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) A C → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)

Koordinatlardan istifadə edərək düsturda əvəz etsək, əldə edirik:

(A B →, A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28.

Cavab: (A B →, A C →) = 28.

Misal 5

a → = 7 m → + 3 n → və b → = 5 m → + 8 n → vektorları verilmiş, onların hasilini tapın. m → 3-ə və n → 2 vahidə bərabərdir, onlar perpendikulyardırlar.

Həll

(a →, b →) = (7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →). Dağıtım xassəsini tətbiq edərək, əldə edirik:

(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) = = (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + ( 3 n →, 8 n →)

Məhsulun işarəsi üçün əmsalı çıxarırıq və alırıq:

(7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →) = = 7 5 (m →, m →) + 7 8 (m →, n →) + 3 5 (n →, m →) + 3 8 (n →, n →) = = 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →)

Kommutativlik xassəsinə görə transformasiya edirik:

35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →) = 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (m →, n →) + 24 (n →, n →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n → ) + 24 (n →, n →)

Nəticədə alırıq:

(a →, b →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →).

İndi əvvəlcədən müəyyən edilmiş bucaqla nöqtə məhsulu üçün düstur tətbiq edək:

(a →, b →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m →) , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411.

Cavab: (a →, b →) = 411

Əgər ədədi proyeksiya varsa.

Misal 6

a → və b → nöqtə hasilini tapın. a → vektorunun a → = (9, 3, - 3) koordinatları, proyeksiyası b → koordinatları (- 3, - 1, 1) var.

Həll

Hipotezaya görə a → vektorları və b → proyeksiyası əks istiqamətlidir, çünki a → = - 1 3 · npa → b → →, buna görə də b → proyeksiyası npa → b → → uzunluğuna uyğun gəlir və " işarəsi ilə. -":

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

Düsturu əvəz edərək, ifadəni alırıq:

(a →, b →) = a → n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33.

Cavab: (a →, b →) = - 33.

Vektorun və ya ədədi proyeksiyanın uzunluğunu tapmaq lazım olan məlum nöqtə məhsulu ilə bağlı problemlər.

Misal 7

Verilmiş skalyar hasil üçün λ hansı qiymət almalıdır a → = (1, 0, λ + 1) və b → = (λ, 1, λ) -1-ə bərabər olacaqdır.

Həll

Formula göstərir ki, koordinatların məhsullarının cəmini tapmaq lazımdır:

(a →, b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ.

Nəzərə alsaq ki, (a →, b →) = - 1 olur.

λ tapmaq üçün tənliyi hesablayırıq:

λ 2 + 2 λ = - 1, deməli, λ = - 1.

Cavab: λ = - 1.

Nöqtə məhsulunun fiziki mənası

Mexanika nöqtə məhsulunun tətbiqi ilə məşğul olur.

M nöqtəsindən N-ə keçən cismi F → sabit qüvvə ilə işləyərkən F → və MN → vektorlarının uzunluqlarının hasilini aralarındakı bucağın kosinusu ilə tapmaq olar, yəni iş bərabərdir. qüvvə və yerdəyişmə vektorlarının hasilinə:

A = (F →, M N →).

Misal 8

5 ntona bərabər olan qüvvənin təsiri altında maddi nöqtənin 3 metr hərəkəti oxa nisbətən 45 dərəcə bucaqla yönəldilir. A tapın.

Həll

İş qüvvə vektorunun və yerdəyişmənin məhsulu olduğundan, bu o deməkdir ki, F → = 5, S → = 3, (F →, S → ^) = 45 ° şərtinə əsasən A = (F →, S →) = F → S → cos (F →, S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2.

Cavab: A = 15 2 2.

Misal 9

F → = (3, 1, 2) qüvvəsi altında M (2, - 1, - 3) nöqtəsindən N (5, 3 λ - 2, 4) nöqtəsinə keçən maddi nöqtə 13 J-ə bərabər iş görüb. Hesablayın hərəkətin uzunluğu.

Həll

M N → vektorunun verilmiş koordinatları üçün M N → = (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1), 4 - (- 3)) = (3, 3 λ - 1, 7) olur.

F → = (3, 1, 2) və MN → = (3, 3 λ - 1, 7) vektorları ilə işi tapmaq üçün düsturdan istifadə edərək A = (F ⇒, MN →) = 3 3 + 1 ( 3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3 λ.

Fərziyyə ilə A = 13 J olduğu, 22 + 3 λ = 13 mənasını verdiyi verilir. Buradan λ = - 3, deməli, M N → = (3, 3 λ - 1, 7) = (3, - 10, 7).

M N → yerdəyişmə uzunluğunu tapmaq üçün düsturu tətbiq edin və qiymətləri əvəz edin:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158.

Cavab: 158.

Mətndə xəta görsəniz, onu seçin və Ctrl + Enter düymələrini basın

Müstəqil həll üçün tapşırıqlar da olacaq, cavablarını görə bilərsiniz.

Əgər məsələdə vektorların həm uzunluqları, həm də onlar arasındakı bucaq “gümüş nimçədə” təqdim olunursa, problemin şərti və onun həlli belə görünür:

Misal 1. Verilmiş vektorlar. Vektorların uzunluqları və aralarındakı bucaq aşağıdakı qiymətlərlə ifadə edildiyi halda onların nöqtə hasilini tapın:

Başqa bir tərif də etibarlıdır, bu tərif 1-ə tamamilə bərabərdir.

Tərif 2... Vektorların skalyar hasili bu vektorlardan birinin uzunluğunun digər vektorun göstərilən vektorlardan birincisi ilə təyin olunan oxa proyeksiyası ilə hasilinə bərabər olan ədəddir (skalar). Tərif 2-ə uyğun düstur:

Növbəti mühüm nəzəri məqamdan sonra bu düsturdan istifadə edərək problemi həll edəcəyik.

Koordinatlar baxımından vektorların nöqtə hasilinin təyini

Əgər vurulan vektorlar onların koordinatları ilə verilərsə, eyni ədədi əldə etmək olar.

Tərif 3. Vektorların nöqtə hasili onların müvafiq koordinatlarının qoşa hasillərinin cəminə bərabər olan ədəddir.

Səthdə

Əgər iki vektor və müstəvidə onların ikisi ilə müəyyən edilirsə Kartezyen düzbucaqlı koordinatları

onda bu vektorların skalyar hasili onların müvafiq koordinatlarının qoşa hasillərinin cəminə bərabərdir:

.

Misal 2. Vektorun vektora paralel oxa proyeksiyasının ədədi qiymətini tapın.

Həll. Vektorların koordinatlarının cüt hasillərini əlavə etməklə onların nöqtə məhsulunu tapırıq:

İndi əldə edilən skalyar hasili vektorun uzunluğunun hasilinə və vektorun vektora paralel oxa proyeksiyasına bərabərləşdirməliyik (düstura uyğun olaraq).

Vektorun uzunluğunu onun koordinatlarının kvadratlarının cəminin kvadrat kökü kimi tapırıq:

.

Bir tənlik qururuq və həll edirik:

Cavab verin. İstədiyiniz ədədi dəyər mənfi 8-dir.

Kosmosda

İki vektor və fəzada onların üç dekart düzbucaqlı koordinatları ilə müəyyən edilirsə

,

onda bu vektorların skalyar hasili də onların müvafiq koordinatlarının qoşa hasillərinin cəminə bərabərdir, yalnız artıq üç koordinat var:

.

Baxılan üsulla nöqtə hasilinin tapılması məsələsi nöqtə hasilinin xassələrini təhlil etdikdən sonra yaranır. Çünki tapşırıqda vurulan vektorların hansı bucağı əmələ gətirdiyini müəyyən etmək lazım gələcək.

Vektor nöqtə məhsulunun xüsusiyyətləri

Cəbri xassələri

1. (yerdəyişmə mülkiyyəti: onların nöqtə hasilinin böyüklüyü vurulan vektorların dəyişdirilməsindən dəyişmir).

2. (çarpan kombinativ xassə: vektorun bəzi əmsala vurulan nöqtə hasili və başqa vektor bu vektorların nöqtə hasilinin eyni əmsala vurulmasına bərabərdir).

3. (vektorların cəminə görə paylanma xassəsi: iki vektorun cəminin üçüncü vektor üzrə nöqtə hasili birinci vektorun üçüncü vektorla, ikinci vektorun üçüncü vektor üzrə nöqtə hasillərinin cəminə bərabərdir).

4. (vektorun skalyar kvadratı sıfırdan böyükdür), əgər sıfırdan fərqli vektordur və əgər sıfır vektordur.

Həndəsi xassələri

Tədqiq olunan əməliyyatın təriflərində biz artıq iki vektor arasındakı bucaq anlayışına toxunmuşuq. Bu konsepsiyaya aydınlıq gətirməyin vaxtı gəldi.

Yuxarıdakı şəkildə, ümumi mənşəyə gətirilən iki vektor görünür. Diqqət etməli olduğunuz ilk şey: bu vektorlar arasında iki bucaq var - φ 1 və φ 2 ... Bu bucaqlardan hansı vektorların nöqtə hasilinin təriflərində və xassələrində görünür? Nəzərə alınan bucaqların cəmi 2-dir π və buna görə də bu bucaqların kosinusları bərabərdir. Nöqtə hasilinin tərifi onun ifadə dəyərini deyil, yalnız bucağın kosinusunu ehtiva edir. Amma əmlaklarda yalnız bir künc nəzərə alınır. Və bu, ötməyən iki bucaqdan biridir π , yəni 180 dərəcə. Şəkildə bu bucaq olaraq təyin edilmişdir φ 1 .

1. İki vektor çağırılır ortoqonal və bu vektorlar arasındakı bucaq düz xəttdir (90 dərəcə və ya π / 2) əgər bu vektorların nöqtə hasili sıfırdır :

.

Vektor cəbrində ortoqonallıq iki vektorun perpendikulyarlığıdır.

2. Sıfırdan fərqli iki vektor təşkil edir kəskin künc (0-dan 90 dərəcəyə qədər və ya eyni olan - daha az π nöqtə məhsulu müsbətdir .

3. İki sıfırdan fərqli vektor təşkil edir küt bucaq (90-dan 180 dərəcəyə qədər və ya eyni olan - daha çox π / 2) əgər və yalnız onların nöqtə məhsulu mənfidir .

Misal 3. Vektorlar koordinatlarda verilmişdir:

.

Verilmiş vektorların bütün cütlərinin nöqtə məhsullarını hesablayın. Bu vektor cütləri hansı bucağı (kəskin, düz, küt) əmələ gətirir?

Həll. Müvafiq koordinatların məhsullarını əlavə etməklə hesablayacağıq.

Mənfi nömrə alındı, buna görə vektorlar küt bucaq əmələ gətirir.

Müsbət ədəd aldıq, buna görə vektorlar kəskin bucaq əmələ gətirir.

Sıfır aldıq, buna görə vektorlar düz bucaq yaradır.

Müsbət ədəd aldıq, buna görə vektorlar kəskin bucaq əmələ gətirir.

.

Müsbət ədəd aldıq, buna görə vektorlar kəskin bucaq əmələ gətirir.

Özünü sınamaq üçün istifadə edə bilərsiniz onlayn kalkulyator Vektorların nöqtə məhsulu və onlar arasındakı bucağın kosinusu .

Misal 4.İki vektorun uzunluqları və aralarındakı bucaq verilmişdir:

.

Vektorların ədədin hansı qiymətində ortoqonal (perpendikulyar) olduğunu müəyyən edin.

Həll. Polinomların vurulması qaydasına uyğun olaraq vektorları çoxaldırıq:

İndi hər bir termini hesablayaq:

.

Gəlin bir tənlik yaradaq (məhsulun sıfıra bərabərliyi), oxşar şərtləri verək və tənliyi həll edək:

Cavab: Mənasını aldıq λ = 1.8, bunun üçün vektorlar ortoqonaldır.

Misal 5. vektor olduğunu sübut edin vektora ortoqonal (perpendikulyar).

Həll. Ortoqonallığı yoxlamaq üçün vektorları və çoxhədliləri çoxaldırıq, əvəzinə problemin ifadəsində verilmiş ifadəni əvəz edirik:

.

Bunu etmək üçün birinci polinomun hər bir üzvünü (termini) ikincinin hər bir üzvünə vurmalı və nəticədə alınan məhsulları əlavə etməlisiniz:

.

Nəticədə, kəsir hesabına azalır. Nəticə belədir:

Nəticə: vurma nəticəsində sıfır aldıq, buna görə vektorların ortoqonallığı (perpendikulyarlığı) sübut edildi.

Problemi özünüz həll edin, sonra həllini görün

Misal 6. ve vektorların uzunluqları nəzərə alınmaqla və bu vektorlar arasındakı bucaqdır π /4. Hansı dəyərdə olduğunu müəyyənləşdirin μ vektordur və qarşılıqlı perpendikulyardır.

Özünü sınamaq üçün istifadə edə bilərsiniz onlayn kalkulyator Vektorların nöqtə məhsulu və onlar arasındakı bucağın kosinusu .

Vektorların nöqtə hasilinin və n ölçülü vektorların hasilinin matris təsviri

Bəzən vurulan iki vektoru matrislər şəklində təmsil etmək aydınlıq üçün əlverişlidir. Sonra birinci vektor sətir matrisi, ikincisi isə sütun matrisi kimi təqdim olunur:

Onda vektorların skalyar hasili olacaqdır bu matrislərin məhsulu :

Nəticə artıq nəzərdən keçirdiyimiz üsulla əldə edilənlə eynidir. Bir ədəd əldə edilir və sətir matrisinin sütun matrisi ilə məhsulu da bir ədəddir.

Abstrakt n-ölçülü vektorların hasilini matris şəklində təqdim etmək rahatdır. Beləliklə, iki dördölçülü vektorun hasili dörd elementli sətir matrisinin və dörd elementli bir sütun matrisinin hasili olacaq, iki beşölçülü vektorun hasili beş elementli sətir matrisinin məhsulu olacaq və beş elementli sütun matrisi və s.

Misal 7. Cüt vektorların nöqtə hasillərini tapın

,

matris təmsilindən istifadə etməklə.

Həll. İlk vektor cütü. Birinci vektoru sıra matrisi, ikincisini isə sütun matrisi kimi təqdim edirik. Bu vektorların nöqtə hasilini sətir matrisinin sütun matrisinin hasili kimi tapırıq:

Eynilə, ikinci cütü təmsil edirik və tapırıq:

Gördüyünüz kimi, nəticələr 2-ci misaldakı eyni cütlərin nəticələri ilə eynidir.

İki vektor arasındakı bucaq

İki vektor arasındakı bucağın kosinusu üçün düsturun çıxarılması çox gözəl və yığcamdır.

Vektorların nöqtə hasilini ifadə etmək

(1)

koordinat formasında biz əvvəlcə vahid vektorların skalyar hasilini tapırıq. Tərifinə görə vektorun öz-özünə nöqtə məhsulu:

Yuxarıdakı düsturda yazılanlar deməkdir: vektorun özlüyündə nöqtə hasili onun uzunluğunun kvadratına bərabərdir... Sıfırın kosinusu birə bərabərdir, buna görə də hər bir ortun kvadratı birə bərabər olacaq:

Vektorlardan bəri

ikili perpendikulyardır, onda vahid vektorların qoşa hasilləri sıfıra bərabər olacaq:

İndi vektor çoxhədlilərinin vurulmasını yerinə yetirək:

Bərabərliyin sağ tərəfində vahid vektorların müvafiq skalyar məhsullarının dəyərlərini əvəz edirik:

İki vektor arasındakı bucağın kosinusu üçün düstur alırıq:

Misal 8.Üç xal verilir A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Künc tapın.

Həll. Vektorların koordinatlarını tapın:

,

.

Bucağın kosinusunun düsturuna görə alırıq:

Beləliklə, .

Özünü sınamaq üçün istifadə edə bilərsiniz onlayn kalkulyator Vektorların nöqtə məhsulu və onlar arasındakı bucağın kosinusu .

Misal 9.İki vektor verilmişdir

Onların arasında cəmi, fərqi, uzunluğu, nöqtə hasilini və bucağı tapın.

2. Fərq

Vektor və nöqtə məhsulu vektorlar arasındakı bucağı hesablamağı asanlaşdırır. $ \ overline (a) $ və $ \ overline (b) $ iki vektoru verilsin, onların arasında istiqamətlənmiş bucaq $ \ varphi $. $ x = (\ üst xətt (a), \ üst xətt (b)) $ və $ y = [\ üst xətt (a), \ üst xətt (b)] $ dəyərlərini hesablayın. Sonra $ x = r \ cos \ varphi $, $ y = r \ sin \ varphi $, burada $ r = | \ overline (a) | \ cdot | \ overline (b) | $ və $ \ varphi $ tələb olunan bucaq, yəni $ (x, y) $ nöqtəsi $ \ varphi $ -a bərabər qütb bucağına malikdir və buna görə də $ \ varphi $ atan2 (y, x) kimi tapıla bilər.

Üçbucağın sahəsi

Çarpaz məhsul iki vektor uzunluğunun aralarındakı bucağın kosinusu ilə hasilini ehtiva etdiyindən, çarpaz məhsul ABC üçbucağının sahəsini hesablamaq üçün istifadə edilə bilər:

$ S_ (ABC) = \ frac (1) (2) | [\ üst xətt (AB), \ üst xətt (AC)] | $.

Düz xəttə aid olan nöqtə

$ P $ nöqtəsi və $ AB $ düz xətti (iki $ A $ və $ B $ nöqtələri ilə verilmişdir) verilsin. Nöqtənin $AB $ xəttinə aid olub-olmadığını yoxlamaq lazımdır.

$ AP $ və $ AB $ vektorları kollinear olduqda, yəni $ [\ üst xətt (AP), \ üst xətt (AB)] = 0 $ olduqda nöqtə $ AB $ düz xəttinə aiddir.

Bir nöqtənin şüaya aid olması

$ P $ nöqtəsi və $ AB $ şüası (iki nöqtə ilə verilir - $ A $ şüasının başlanğıcı və $ B $ şüası üzərində bir nöqtə verilsin. Nöqtənin $AB $ şüasına aid olub-olmadığını yoxlamaq lazımdır.

$ P $ nöqtəsinin $ AB $ xəttinə aid olması şərtinə əlavə bir şərt əlavə etmək lazımdır - $ AP $ və $ AB $ vektorları birgə istiqamətlidir, yəni kollinear və onların skalyar hasilidir. qeyri-mənfidir, yəni $ (\ overline (AB), \ overline (AP )) \ ge 0 $.

Nöqtə bir xətt seqmentinə aiddir

$ P $ nöqtəsi və $ AB $ seqmenti verilsin. Nöqtənin $AB $ seqmentinə aid olub olmadığını yoxlamaq lazımdır.

Bu halda nöqtə həm $AB $ şüasına, həm də $BA $ şüasına aid olmalıdır, ona görə də aşağıdakı şərtlər yoxlanılmalıdır:

$ [\ üst xətt (AP), \ üst xətt (AB)] = 0 $,

$ (\ üst xətt (AB), \ üst xətt (AP)) \ ge 0 $,

$ (\ üst xətt (BA), \ üst xətt (BP)) \ ge 0 $.

Nöqtədən xəttə qədər olan məsafə

$ P $ nöqtəsi və $ AB $ düz xətti (iki $ A $ və $ B $ nöqtələri ilə verilmişdir) verilsin. $AB $ düz xəttinin nöqtəsindən məsafəni tapmaq lazımdır.

ABP üçbucağını nəzərdən keçirək. Bir tərəfdən onun sahəsi $ S_ (ABP) = \ frac (1) (2) | [\ overline (AB), \ overline (AP)] | $.

Digər tərəfdən, onun sahəsi $ S_ (ABP) = \ frac (1) (2) h | AB | $, burada $ h $ $ P $ nöqtəsindən endirilən hündürlükdür, yəni $ ilə məsafədir. P $ - AB $. Harada $ h = | [\ overline (AB), \ overline (AP)] | / | AB | $.

Şüa məsafəsinə işarə edin

$ P $ nöqtəsi və $ AB $ şüası (iki nöqtə ilə verilir - $ A $ şüasının başlanğıcı və $ B $ şüası üzərində bir nöqtə verilsin. Nöqtədən şüaya qədər olan məsafəni, yəni $ P $ nöqtəsindən şüanın istənilən nöqtəsinə qədər ən qısa seqmentin uzunluğunu tapmaq lazımdır.

Bu məsafə ya $AP $ uzunluğuna, ya da $P $ nöqtəsindən $AB $ xəttinə qədər olan məsafəyə bərabərdir. Hallardan hansının baş verdiyini şüanın və nöqtənin nisbi mövqeyi ilə müəyyən etmək asandır. Əgər PAB bucağı kəskindirsə, yəni $ (\ üst xətt (AB), \ üst xətt (AP))> 0 $, onda cavab $ P $ nöqtəsindən $ AB $ düz xəttinə qədər olan məsafə olacaq, əks halda cavab $AB $ seqmentinin uzunluğu olacaq.

Nöqtədən xəttə qədər olan məsafə

$ P $ nöqtəsi və $ AB $ seqmenti verilsin. $P $-dan $AB $ seqmentinə qədər olan məsafəni tapmaq lazımdır.

Əgər perpendikulyarın əsası $P $-dan $AB $ xəttinə düşərsə, $AB $ seqmentinə düşür, bunu şərtlərlə təsdiqləmək olar.

$ (\ üst xətt (AP), \ üst xətt (AB)) \ ge 0 $,

$ (\ üst xətt (BP), \ üst xətt (BA)) \ ge 0 $,

onda cavab $ P $ nöqtəsindən $ AB $ xəttinə qədər olan məsafədir. Əks halda, məsafə $ \ min (AP, BP) $ bərabər olacaq.

Vektorların nöqtə hasili

Vektorlarla məşğul olmağa davam edirik. İlk dərsdə Butaforlar üçün vektorlar vektor anlayışını, vektorlarla hərəkətləri, vektorun koordinatlarını və vektorlarla ən sadə tapşırıqları araşdırdıq. Əgər siz bu səhifəyə ilk dəfə axtarış sistemindən gəlmisinizsə, yuxarıdakı giriş məqaləsini oxumağı çox tövsiyə edirəm, çünki materialı mənimsəmək üçün mənim istifadə etdiyim terminlər və qeydlər üzrə naviqasiya etməli, vektorlar haqqında ilkin biliklərə sahib olmalı və elementar məsələləri həll edə bilir. Bu dərs mövzunun məntiqi davamıdır və mən vektorların nöqtə məhsulunun istifadə olunduğu tipik tapşırıqları ətraflı təhlil edəcəyəm. Bu, ÇOX ƏHƏMİYYƏTLİ bir fəaliyyətdir.... Nümunələri qaçırmamağa çalışın, onlar faydalı bir bonusla müşayiət olunur - təcrübə əhatə etdiyiniz materialı birləşdirməyə və analitik həndəsədə ümumi problemlərin həllinə əl atmağa kömək edəcəkdir.

Vektorların toplanması, vektorun ədədə vurulması.... Riyaziyyatçıların başqa bir şey tapmadığını düşünmək sadəlövhlük olardı. Artıq nəzərdən keçirilən hərəkətlərə əlavə olaraq vektorlarla bir sıra digər əməliyyatlar da var, yəni: vektorların nöqtə hasili, vektorların vektor məhsulu və vektorların qarışıq məhsulu... Vektorların skalyar hasili bizə məktəbdən tanışdır, digər iki məhsul ənənəvi olaraq ali riyaziyyat kursu ilə bağlıdır. Mövzular sadədir, bir çox məsələlərin həlli alqoritmi stereotip və başa düşüləndir. Yeganə şey. Layiqli miqdarda məlumat var, ona görə də mənimsəməyə çalışmaq, HƏR ŞEYİ BİRDƏN həll etmək arzuolunmazdır. Bu, xüsusən də çayniklərə aiddir, inanın ki, müəllif özünü riyaziyyatdan heç Çikatilo kimi hiss etmək istəmir. Yaxşı, həm də riyaziyyatdan deyil, əlbəttə ki, =) Daha hazırlıqlı tələbələr materiallardan seçmə şəkildə istifadə edə bilərlər, müəyyən mənada çatışmayan bilikləri "alırlar", sizin üçün zərərsiz Qraf Drakula olacam =)

Nəhayət, gəlin qapını bir az açaq və iki vektor bir-biri ilə qarşılaşdıqda nə baş verdiyini həvəslə görək....

Vektorların nöqtə hasilinin təyini.
Nöqtə məhsulunun xüsusiyyətləri. Tipik vəzifələr

Nöqtə məhsulu konsepsiyası

Əvvəlcə haqqında vektorlar arasındakı bucaq... Düşünürəm ki, hər kəs vektorlar arasındakı bucağın nə olduğunu intuitiv şəkildə başa düşür, amma hər halda, bir az daha ətraflı. Sərbəst sıfırdan fərqli vektorları nəzərdən keçirək və. Bu vektorları ixtiyari bir nöqtədən təxirə salsanız, bir çoxlarının ağlında təsəvvür etdiyi bir şəkil alırsınız:

Etiraf edirəm ki, mən burada vəziyyəti yalnız anlayış səviyyəsində təsvir etmişəm. Vektorlar arasındakı bucağın ciddi tərifinə ehtiyacınız varsa, dərsliyə müraciət edin, lakin praktiki problemlər üçün bizə, prinsipcə, ehtiyac yoxdur. Həmçinin BURADA VƏ DAHA DAHA Mən yerlərdə sıfır vektorları aşağı praktik əhəmiyyətinə görə nəzərə almayacağam. Aşağıdakı ifadələrdən bəzilərinin nəzəri natamamlığına görə məni qınaya biləcək qabaqcıl sayt ziyarətçiləri üçün xüsusi olaraq rezervasiya etdim.

Ədəbiyyatda bucaq işarəsi çox vaxt diqqətdən kənarda qalır və sadəcə olaraq yazılır.

Tərif:İki vektorun skalyar hasili bu vektorların uzunluqlarının aralarındakı bucağın kosinusuna hasilinə bərabər SƏDƏdir:

Bu, artıq kifayət qədər sərt tərifdir.

Əsas məlumatlara diqqət yetiririk:

Təyinat: nöqtə məhsulu və ya sadəcə olaraq işarələnir.

Əməliyyatın nəticəsi NÖMRƏdir: Vektor vektora vurulur və nəticə ədəddir. Həqiqətən, vektorların uzunluqları ədəddirsə, bucağın kosinusu ədəddirsə, onda onların məhsulu nömrə də olacaq.

Yalnız bir neçə istiləşmə nümunəsi:

Misal 1

Həll: Formuladan istifadə edirik ... Bu halda:

Cavab:

Kosinus dəyərləri burada tapıla bilər triqonometrik cədvəl... Mən onu çap etməyi məsləhət görürəm - qüllənin demək olar ki, bütün bölmələrində tələb olunacaq və dəfələrlə tələb olunacaq.

Sırf riyazi nöqteyi-nəzərdən, nöqtə hasili ölçüsüzdür, yəni nəticə, bu halda, sadəcə bir rəqəmdir və bu qədərdir. Fizika məsələləri baxımından skalyar hasil həmişə müəyyən fiziki məna daşıyır, yəni nəticədən sonra bu və ya digər fiziki vahid göstərilməlidir. Bir qüvvənin işinin hesablanmasının kanonik nümunəsini hər hansı bir dərslikdə tapmaq olar (düstur tam olaraq nöqtə hasilidir). Güc işi Joules ilə ölçülür, buna görə də cavab, məsələn, olduqca xüsusi olaraq yazılacaqdır.

Misal 2

Əgər tapın , və vektorlar arasındakı bucaqdır.

Bu, öz əlinizlə həll üçün bir nümunədir, cavab təlimatın sonundadır.

Vektorlar və nöqtə məhsul dəyəri arasındakı bucaq

Nümunə 1-də nöqtə hasilinin müsbət olduğu, 2-ci nümunədə isə mənfi olduğu ortaya çıxdı. Nöqtə məhsulunun işarəsinin nədən asılı olduğunu öyrənək. Düsturumuza baxırıq: ... Sıfırdan fərqli vektorların uzunluqları həmişə müsbətdir:, ona görə də işarə yalnız kosinusun qiymətindən asılı ola bilər.

Qeyd: Aşağıdakı məlumatları daha yaxşı başa düşmək üçün təlimatda kosinus qrafikini öyrənmək daha yaxşıdır Funksiya qrafikləri və xassələri... Kosinusun seqmentdə necə davrandığına baxın.

Artıq qeyd edildiyi kimi, vektorlar arasındakı bucaq içəridə dəyişə bilər və aşağıdakı hallar mümkündür:

1) Əgər inyeksiya vektorlar arasında ədviyyatlı: (0-dan 90 dərəcəyə qədər), sonra , və nöqtə məhsulu müsbət olacaq birgə rejissorluq etmişdir, onda aralarındakı bucaq sıfır hesab edilir və nöqtə hasili də müsbət olacaqdır. Çünki düstur sadələşdirilmişdir:.

2) Əgər inyeksiya vektorlar arasında küt: (90-dan 180 dərəcəyə qədər), sonra , və müvafiq olaraq, nöqtə məhsulu mənfidir:. Xüsusi hal: vektorlar varsa əks istiqamət, sonra onların arasındakı bucaq nəzərə alınır yerləşdirilmiş: (180 dərəcə). Nöqtə məhsulu da mənfidir, çünki

Qarşılıqlı ifadələr də doğrudur:

1) Əgər, onda bu vektorlar arasındakı bucaq itidir. Alternativ olaraq, vektorlar koordinatlıdır.

2) Əgər, onda verilmiş vektorlar arasındakı bucaq kütdür. Alternativ olaraq vektorlar əks istiqamətdədir.

Lakin üçüncü hal xüsusi maraq doğurur:

3) Əgər inyeksiya vektorlar arasında düz: (90 dərəcə), sonra nöqtə məhsulu sıfırdır:. Əksi də doğrudur: əgər, onda. Bəyanat kompakt şəkildə aşağıdakı kimi tərtib edilmişdir: İki vektorun skalyar hasili yalnız və yalnız bu vektorlar ortoqonal olduqda sıfırdır... Qısa riyaziyyat qeydi:

! Qeyd : təkrarlamaq riyazi məntiqin əsasları: ikitərəfli məntiqi nəticə simvolu adətən "onda və yalnız o zaman", "əgər və yalnız əgər" oxunur. Gördüyünüz kimi, oxlar hər iki istiqamətə yönəldilir - "bundan belə çıxır və əksinə - bundan irəli gələndən". Yeri gəlmişkən, birtərəfli izləmə ikonasından nə fərqi var? Simge iddia edir yalnız ki, "bu, bundan irəli gəlir" və bunun əksinin doğru olduğu bir həqiqət deyil. Məsələn: lakin hər heyvan panter deyil, ona görə də bu halda ikonadan istifadə etmək olmaz. Eyni zamanda, simvol yerinə bacarmaq birtərəfli ikonadan istifadə edin. Məsələn, problemi həll edərkən vektorların ortoqonal olduğu qənaətinə gəldik: - belə bir giriş düzgün və hətta daha uyğun olacaq .

Üçüncü hal böyük praktik əhəmiyyət kəsb edir. vektorların ortoqonal olub olmadığını yoxlamağa imkan verdiyi üçün. Bu problemi dərsin ikinci hissəsində həll edəcəyik.

Nöqtə məhsulunun xüsusiyyətləri

İki vektorun olduğu vəziyyətə qayıdaq birgə rejissorluq etmişdir... Bu halda, onların arasındakı bucaq sıfıra bərabərdir və nöqtə hasil düsturu formasını alır:.

Vektor özünə vurularsa nə olar? Aydındır ki, vektor özü ilə koordinatlıdır, ona görə də yuxarıdakı sadələşdirilmiş düsturdan istifadə edirik:

Nömrə çağırılır skalyar kvadrat vektor və kimi işarələnir.

Bu cür, vektorun skalyar kvadratı verilmiş vektorun uzunluğunun kvadratına bərabərdir:

Bu bərabərlikdən vektorun uzunluğunu hesablamaq üçün düstur ala bilərsiniz:

Qaranlıq görünsə də, dərsin tapşırıqları hər şeyi öz yerinə qoyacaq. Problemləri həll etmək üçün bizə də lazımdır nöqtə məhsul xüsusiyyətləri.

İxtiyari vektorlar və istənilən ədəd üçün aşağıdakı xüsusiyyətlər etibarlıdır:

1) - yerdəyişən və ya kommutativ skalyar məhsul qanunu.

2) - paylama və ya paylayıcı skalyar məhsul qanunu. Sadəcə olaraq, mötərizələri genişləndirə bilərsiniz.

3) - birləşmə və ya assosiativ skalyar məhsul qanunu. Sabit nöqtə məhsulundan çıxarıla bilər.

Çox vaxt hər cür xassələr (bunu da sübut etmək lazımdır!) tələbələr tərəfindən sadəcə yadda saxlanmalı və imtahandan dərhal sonra təhlükəsiz şəkildə unudulmalı olan lazımsız zibil kimi qəbul edilir. Görünür ki, burada vacib olan hər kəs birinci sinifdən məhsulun amillərin yenidən qurulmasından dəyişmədiyini bilir: Sizi xəbərdar etməliyəm ki, bu yanaşma ilə ali riyaziyyatda odun qırmaq asandır. Beləliklə, məsələn, yerdəyişmə xüsusiyyəti üçün etibarlı deyil cəbri matrislər... üçün də doğru deyil vektorların vektor məhsulu... Buna görə də, ən azı, nəyin edilə biləcəyini və nəyin mümkün olmadığını başa düşmək üçün ali riyaziyyat kursunda rastlaşdığınız hər hansı bir xassələri araşdırmaq daha yaxşıdır.

Misal 3

.

Həll:Əvvəlcə vektorla bağlı vəziyyəti aydınlaşdıraq. Hər halda bu nədir? ve vektorlarının cəmi yaxşı müəyyən edilmiş vektordur və bu ilə işarələnir. Vektorlarla hərəkətlərin həndəsi şərhini məqalədə tapa bilərsiniz Butaforlar üçün vektorlar... Vektorlu eyni cəfəri vektorların cəmidir və.

Beləliklə, şərtlə nöqtə məhsulunu tapmaq tələb olunur. Teorik olaraq, iş düsturunu tətbiq etməlisiniz , lakin problem ondadır ki, vektorların uzunluqlarını və onlar arasındakı bucağı bilmirik. Amma şərt vektorlar üçün oxşar parametrlər verir, ona görə də başqa yolla gedəcəyik:

(1) Vektor ifadələrini əvəz edin.

(2) Çoxhədlilərin vurulması qaydasına uyğun olaraq mötərizələri genişləndiririk, məqalədə vulqar bir dil bükülməsi tapıla bilər Kompleks ədədlər və ya Kəsrə rasional funksiyanın inteqrasiyası... Özümü təkrarlamayacağam =) Yeri gəlmişkən, skalyar hasilin paylanma xüsusiyyəti mötərizələri genişləndirməyə imkan verir. Bizim haqqımız var.

(3) Birinci və son şərtlərdə vektorların skalyar kvadratlarını yığcam şəkildə yazırıq: ... İkinci termində skalyar hasilin dəyişkənliyindən istifadə edirik:.

(4) Biz oxşar şərtlər veririk:.

(5) Birinci termində çox yaxınlarda qeyd olunan skalyar kvadrat düsturundan istifadə edirik. Son müddətdə, müvafiq olaraq, eyni şey işləyir:. İkinci termini standart düstura görə genişləndiririk .

(6) Biz bu şərtləri əvəz edirik , və DİQQƏTLƏ son hesablamaları aparın.

Cavab:

Nöqtə hasilinin mənfi dəyəri vektorlar arasındakı bucağın küt olduğunu bildirir.

Tapşırıq tipikdir, burada müstəqil həll üçün bir nümunə var:

Misal 4

Vektorların nöqtə hasilini tapın və əgər məlumdursa .

İndi başqa bir ümumi tapşırıq, vektorun uzunluğu üçün yeni düstur üçün. Buradakı təyinatlar bir az üst-üstə düşəcək, ona görə də aydınlıq üçün onu başqa hərflə yenidən yazacağam:

Misal 5

Əgər vektorun uzunluğunu tapın .

Həll aşağıdakı kimi olacaq:

(1) Vektor ifadəsini təqdim edin.

(2) Biz uzunluq düsturundan istifadə edirik:, halbuki bütün ifadə "ve" vektoru kimi çıxış edir.

(3) Biz cəminin kvadratı üçün məktəb düsturundan istifadə edirik. Burada maraqlı şəkildə necə işlədiyinə diqqət yetirin: - əslində, fərqin kvadratıdır və əslində belədir. Maraqlananlar vektorları yerlərdə yenidən təşkil edə bilərlər: - terminlərin dəyişdirilməsinə qədər eyni oldu.

(4) Qalanları artıq iki əvvəlki problemdən tanışdır.

Cavab:

Uzunluqdan bəhs etdiyimiz üçün ölçüsü - "vahidləri" göstərməyi unutmayın.

Misal 6

Əgər vektorun uzunluğunu tapın .

Bu, öz əlinizlə həll etmək üçün bir nümunədir. Təlimatın sonunda həlli tamamlayın və cavab verin.

Biz nöqtə məhsulundan faydalı şeyləri sıxmağa davam edirik. Düsturumuza yenidən baxaq ... Mütənasiblik qaydasına əsasən vektorların uzunluqlarını sol tərəfin məxrəcinə qaytaraq:

Və hissələri dəyişdirəcəyik:

Bu formulun mənası nədir? Əgər siz iki vektorun uzunluqlarını və onların nöqtə məhsulunu bilirsinizsə, onda bu vektorlar arasındakı bucağın kosinusunu və deməli, bucağın özünü hesablaya bilərsiniz.

Nöqtə məhsulu rəqəmdir? Nömrə. Vektorların uzunluqları ədəddir? Nömrələri. Deməli, kəsr də müəyyən bir ədəddir. Və bucağın kosinusu məlumdursa: , onda tərs funksiyadan istifadə edərək bucağın özünü tapmaq asandır: .

Misal 7

Vektorlar arasındakı bucağı tapın və əgər məlumdursa.

Həll: Formuladan istifadə edirik:

Hesablamaların son mərhələsində bir texnika istifadə edilmişdir - məxrəcdə irrasionallığın aradan qaldırılması. Məntiqsizliyi aradan qaldırmaq üçün say və məxrəci vurdum.

Beləliklə əgər , sonra:

Tərs triqonometrik funksiyaların qiymətləri ilə tapıla bilər triqonometrik cədvəl... Baxmayaraq ki, bu nadir hallarda olur. Analitik həndəsə problemlərində bir növ yöndəmsiz ayı daha tez-tez görünür və bucağın dəyərini təxminən bir kalkulyatordan istifadə edərək tapmaq lazımdır. Əslində, belə bir mənzərəni bir dəfədən çox görəcəyik.

Cavab:

Yenə ölçüləri - radyanları və dərəcələri göstərməyi unutmayın. Şəxsən mən bilə-bilə “bütün suallara aydınlıq gətirmək” üçün həm bunu, həm də onu göstərməyə üstünlük verirəm (əlbəttə ki, şərtlə cavabı yalnız radyanla və ya yalnız dərəcələrlə təqdim etmək tələb olunmursa).

İndi daha çətin bir işin öhdəsindən özünüz gələ biləcəksiniz:

Misal 7 *

Vektorların uzunluqları və aralarındakı bucaq verilmişdir. Vektorlar arasındakı bucağı tapın,.

Tapşırıq çox addımlı qədər çətin deyil.
Həll alqoritmini təhlil edək:

1) Şərtə görə vektorlar arasındakı bucağı tapmaq tələb olunur və buna görə də düsturdan istifadə etmək lazımdır. .

2) Nöqtə hasilini tapın (bax. Nümunələr № 3, 4).

3) Vektorun uzunluğunu və vektorun uzunluğunu tapın (bax. Nümunələr № 5, 6).

4) Həllin sonu 7 nömrəli Nümunə ilə üst-üstə düşür - biz rəqəmi bilirik, bu o deməkdir ki, bucağın özünü tapmaq asandır:

Təlimin sonunda qısa bir həll və cavab.

Dərsin ikinci bölməsi eyni nöqtə məhsuluna diqqət yetirir. Koordinatlar. Birinci hissədən daha asan olacaq.

Vektorların nöqtə hasili,
ortonormal əsasda koordinatlarla verilir

Cavab:

Söz yox ki, koordinatlarla məşğul olmaq çox daha xoşdur.

Misal 14

Vektorların nöqtə hasilini tapın və əgər

Bu, öz əlinizlə həll etmək üçün bir nümunədir. Burada əməliyyatın assosiativliyindən istifadə edə bilərsiniz, yəni saymayın, ancaq üçlüyü dərhal skalyar hasildən çıxarın və sonuncu dəfə ona vurun. Həll və cavab dərsin sonunda.

Paraqrafın sonunda vektorun uzunluğunu hesablamaq üçün təxribatçı bir nümunə:

Misal 15

Vektorların uzunluqlarını tapın , əgər

Həll: yenə əvvəlki bölmənin yolu özünü göstərir:, lakin başqa bir yol var:

Vektoru tapın:

Və mənasız düstura görə uzunluğu :

Nöqtə məhsulu burada ümumiyyətlə söz mövzusu deyil!

İşdən kənar olduğu üçün vektorun uzunluğunu hesablayarkən belədir:
Dayan. Niyə vektor uzunluğunun aşkar xüsusiyyətindən istifadə etməyək? Vektorun uzunluğu haqqında nə demək olar? Bu vektor vektordan 5 dəfə uzundur. İstiqamət tərsdir, amma fərqi yoxdur, çünki söhbət uzunluqdan gedir. Aydındır ki, vektorun uzunluğu məhsula bərabərdir modul vektor uzunluğuna görə ədədlər:
- modulun işarəsi rəqəmin mümkün minusunu "yeyir".

Bu cür:

Cavab:

Koordinatlarla verilən vektorlar arasındakı bucağın kosinusu üçün düstur

İndi vektorların koordinatları baxımından vektorlar arasındakı bucağın kosinusu üçün əvvəllər alınmış düsturu ifadə etmək üçün tam məlumatımız var:

Təyyarənin vektorları arasındakı bucağın kosinusu və ortonormal əsasda verilir, düsturu ilə ifadə edilir:
.

Kosmik vektorlar arasında bucaq kosinusu ortonormal əsasda verilir, düsturu ilə ifadə edilir:

Misal 16

Üçbucağın üç təpəsi verilmişdir. Tapın (təpə bucağı).

Həll:Şərtlərə görə, rəsmin yerinə yetirilməsi tələb olunmur, lakin yenə də:

Tələb olunan bucaq yaşıl qövslə qeyd olunur. Biz dərhal bucağın məktəb təyinatını xatırlayırıq: - xüsusi diqqət orta məktub - bu bizə lazım olan küncün zirvəsidir. Qısalıq üçün onu sadə şəkildə də yazmaq olar.

Rəsmdən aydın olur ki, üçbucağın bucağı vektorlar arasındakı bucaqla üst-üstə düşür və başqa sözlə: .

Zehni olaraq həyata keçirilən analizin necə aparılacağını öyrənmək arzu edilir.

Vektorları tapın:

Nöqtə məhsulunu hesablayaq:

Və vektorların uzunluqları:

Bucağın kosinusu:

Çaydanlara tövsiyə etdiyim tapşırığın yerinə yetirilməsi qaydası budur. Daha qabaqcıl oxucular hesablamaları "bir sətirdə" yaza bilərlər:

Budur "pis" kosinus dəyərinə bir nümunə. Əldə edilən dəyər yekun deyil, ona görə də məxrəcdəki irrasionallıqdan qurtulmağın mənası yoxdur.

Gəlin küncün özünü tapaq:

Rəsmə baxsanız, nəticə olduqca inandırıcıdır. Yoxlama üçün bucağı bir iletki ilə də ölçmək olar. Monitorun qapağını zədələməyin =)

Cavab:

Cavabda bunu unutmayın üçbucağın bucağı haqqında soruşdu(və vektorlar arasındakı bucaq haqqında deyil), dəqiq cavabı göstərməyi unutmayın: və bucağın təxmini dəyəri: kalkulyatorla tapılır.

Prosesdən həzz alanlar bucaqları hesablaya və kanonik bərabərliyin doğru olduğuna əmin ola bilərlər

Misal 17

Üçbucaq fəzada təpələrinin koordinatları ilə müəyyən edilir. və tərəfləri arasındakı bucağı tapın

Bu, öz əlinizlə həll etmək üçün bir nümunədir. Təlimatın sonunda həlli tamamlayın və cavab verin

Qısa yekun bölmə skalyar məhsulun da "qarışıq" olduğu proqnozlara həsr olunacaq:

Vektordan vektora proyeksiya. Vektorun koordinat oxlarına proyeksiyası.
Vektorun istiqamət kosinusları

Vektorları nəzərdən keçirin və:

Biz vektoru vektora proyeksiya edirik, bunun üçün vektorun əvvəlini və sonunu buraxırıq perpendikulyarlar vektor başına (yaşıl nöqtəli xətlər). Vektora perpendikulyar düşən işıq şüalarını təsəvvür edin. Sonra seqment (qırmızı xətt) vektorun "kölgəsi" olacaqdır. Bu halda vektorun vektora proyeksiyası seqmentin UZUNLUĞU olur. Yəni PROKEKSİYA NÖMRƏDİR.

Bu NÖMRƏ aşağıdakı kimi işarələnir: "böyük vektor" vektoru bildirir HANSI layihə, "kiçik alt işarə vektoru" vektoru bildirir ÜSTÜNDƏ hansı proqnozlaşdırılır.

Yazının özü belə oxunur: "vektorun proyeksiyası" a "vektora" bh "".

"bs" vektoru "çox qısa" olarsa nə olar? “Ol” vektorunu ehtiva edən düz xətt çəkirik. Və "a" vektoru artıq proqnozlaşdırılacaq "bh" vektorunun istiqaməti üzrə, sadəcə olaraq - "ol" vektorunu ehtiva edən düz xətt üzərində. Əgər "a" vektoru otuzuncu krallıqda təxirə salınarsa, eyni şey baş verəcək - o, yenə də "bh" vektorunu ehtiva edən düz xəttə asanlıqla proyeksiya ediləcəkdir.

Əgər bucaq vektorlar arasında ədviyyatlı(şəkildəki kimi), sonra

Əgər vektorlar ortoqonal, onda (proyeksiya ölçüləri sıfır olduğu qəbul edilən nöqtədir).

Əgər bucaq vektorlar arasında küt(şəkildə vektorun oxunu zehni olaraq yenidən düzəldin), sonra (eyni uzunluqda, lakin mənfi işarə ilə götürülür).

Bu vektorları bir nöqtədən təxirə salaq:

Aydındır ki, vektor hərəkət etdikdə onun proyeksiyası dəyişmir.