Onlayn kalkulyator.
Binomiya kvadratının seçilməsi və kvadrat trinomialın faktorizasiyası.

O. problemlər \\ (p, q \\) və \\ (n, m \\) ədədlərinin tapılmasına qədər azalır

Proqram problemin cavabını verməklə yanaşı həll prosesini də göstərir.

Bu proqram orta məktəblərin yuxarı sinif şagirdləri üçün test və imtahanlara hazırlıq zamanı, imtahandan əvvəl bilikləri yoxlayarkən, valideynlərin riyaziyyat və cəbrdə bir çox məsələlərin həllinə nəzarət etmələri üçün faydalı ola bilər. Və ya bəlkə bir müəllim işə götürmək və ya yeni dərsliklər almaq çox bahadır? Yoxsa riyaziyyat və ya cəbr tapşırıqlarını mümkün qədər tez yerinə yetirmək istəyirsən? Bu vəziyyətdə, proqramlarımızı ətraflı bir həll yolu ilə də istifadə edə bilərsiniz.

Bu şəkildə öz tədrisinizi və / və ya kiçik qardaşlarınızın və ya bacılarınızın tədrisini apara bilərsiniz, eyni zamanda həll olunan problemlər sahəsində təhsil səviyyəsi artır.

Kvadrat trinomiala giriş qaydaları ilə tanış deyilsinizsə, onlarla tanış olmağınızı məsləhət görürük.

Kvadrat polinomun daxil olma qaydaları

Hər hansı bir Latın hərfi dəyişkən olaraq istifadə edilə bilər.
Məsələn: \\ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \\) və s.

Nömrələr bütöv və ya kəsrli rəqəmlər kimi daxil edilə bilər.
Üstəlik, kəsr nömrələri yalnız bir onluq şəklində deyil, həm də adi bir hissə şəklində daxil edilə bilər.

Onluq hissələrin daxil edilməsi qaydaları.
Onluq hissələrdə bütövdən kəsirli hissəni ya nöqtə, ya da vergül ilə ayırmaq olar.
Məsələn, belə ondalık daxil edə bilərsiniz: 2.5x - 3.5x ^ 2

Adi kəsrlərə daxil olma qaydaları.
Yalnız bir ədədi hissənin payı, məxrəci və bütöv hissəsi kimi istifadə etmək olar.

Məxrəc mənfi ola bilməz.

Ədədi bir hissə daxil edərkən paylayıcı məxrəcdən bölmə işarəsi ilə ayrılır: /
Bütün hissə kəsrdən bir işarəylə ayrılır: &
Giriş: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5x + 1 / 7x ^ 2
Nəticə: \\ (3 \\ frac (1) (3) - 5 \\ frac (6) (5) x + \\ frac (1) (7) x ^ 2 \\)

Bir ifadə daxil edərkən mötərizələrdən istifadə edilə bilər... Bu vəziyyətdə, həll edərkən, əvvəlcə daxil edilmiş ifadə sadələşdirilir.
Məsələn: 1/2 (x-1) (x + 1) - (5x-10 & 1/2)

Ətraflı həll nümunəsi

Binomun kvadratının seçilməsi. $$ ax ^ 2 + bx + c \\ rightarrow a (x + p) ^ 2 + q $$ $$ 2x ^ 2 + 2x-4 \u003d $$ $$ 2x ^ 2 + 2 \\ cdot 2 \\ cdot \\ left ( \\ frac (1) (2) \\ right) \\ cdot x + 2 \\ cdot \\ left (\\ frac (1) (2) \\ right) ^ 2- \\ frac (9) (2) \u003d $$ $$ 2 \\ sol (x ^ 2 + 2 \\ cdot \\ sol (\\ frac (1) (2) \\ sağ) \\ cdot x + \\ sol (\\ frac (1) (2) \\ sağ) ^ 2 \\ sağ) - \\ frac ( 9) (2) \u003d $$ $$ 2 \\ sol (x + \\ frac (1) (2) \\ right) ^ 2- \\ frac (9) (2) $$ Cavab: $$ 2x ^ 2 + 2x-4 \u003d 2 \\ sol (x + \\ frac (1) (2) \\ right) ^ 2- \\ frac (9) (2) $$ Faktorizasiya. $$ ax ^ 2 + bx + c \\ rightarrow a (x + n) (x + m) $$ $$ 2x ^ 2 + 2x-4 \u003d $$
$$ 2 \\ sol (x ^ 2 + x-2 \\ sağ) \u003d $$
$$ 2 \\ sol (x ^ 2 + 2x-1x-1 \\ cdot 2 \\ sağ) \u003d $$ $$ 2 \\ sol (x \\ sol (x +2 \\ sağ) -1 \\ sol (x +2 \\ sağ) ) \\ sağ) \u003d $$ $$ 2 \\ sol (x -1 \\ sağ) \\ sol (x +2 \\ sağ) $$ Cavab: $$ 2x ^ 2 + 2x-4 \u003d 2 \\ sol (x -1 \\ sağ) \\ sol (x +2 \\ sağ) $$

Bu problemi həll etmək üçün lazım olan bəzi skriptlərin yüklənmədiyi və proqramın işləməyəcəyi aşkar edildi.
Bəlkə AdBlock'u aktivləşdirmisiniz.
Bu vəziyyətdə onu söndürün və səhifəni yeniləyin.

Çünki Problemi həll etmək istəyənlər çoxdur, sorğunuz növbədir.
Bir neçə saniyədən sonra həll aşağıda görünəcək.
Gözləyin, zəhmət olmasa saniyə ...

Əgər sən qərarda bir səhv olduğunu fərq etdi, bu barədə Əlaqə Formasında yaza bilərsiniz.
Unutma hansı tapşırığı göstərin siz qərar verin və nə sahələrə daxil edin.

Oyunlarımız, bulmacalarımız, emulatorlarımız:

Bir az nəzəriyyə.

Kvadrat trinomialdan kvadrat binomialın çıxarılması

Kvadrat trinomial balta 2 + bx + c, p və q-nın həqiqi ədəd olduğu a (x + p) 2 + q şəklində təmsil olunursa, deməli kvadrat trinomial kvadrat binomial.

Binomialın kvadratını 2x 2 + 12x + 14 trinomialından seçin.

\\ (2x ^ 2 + 12x + 14 \u003d 2 (x ^ 2 + 6x + 7) \\)

Bunu etmək üçün 6x'ı 2 * 3 * x məhsulu olaraq təmsil edirik və sonra 3 2 əlavə edib çıxırıq. Əldə edirik:
$$ 2 (x ^ 2 + 2 \\ cdot 3 \\ cdot x + 3 ^ 2-3 ^ 2 + 7) \u003d 2 ((x + 3) ^ 2-3 ^ 2 + 7) \u003d $$ $$ \u003d 2 ((x + 3) ^ 2-2) \u003d 2 (x + 3) ^ 2-4 $$

Belə ki Biz kvadrat trinomialdan kvadrat binomiyanı seçdivə göstər:
$$ 2x ^ 2 + 12x + 14 \u003d 2 (x + 3) ^ 2-4 $$

Kvadrat trinomialın faktorlaşdırılması

Əgər kvadrat trinomial balta 2 + bx + c, n və m-nin həqiqi ədəd olduğu a (x + n) (x + m) şəklində təmsil olunarsa, əməliyyatın yerinə yetirildiyi deyilir. kvadrat trinomial faktorizasiya.

Bu çevrilmənin necə edildiyini bir nümunə ilə göstərək.

Kvadrat trinomial 2x 2 + 4x-6-ya təsir göstərin.

Mötərizədən a əmsalı çıxarıraq, yəni. 2:
\\ (2x ^ 2 + 4x-6 \u003d 2 (x ^ 2 + 2x-3) \\)

Mötərizədə ifadəni çevirək.
Bunu etmək üçün 2x-i 3x-1x, -3 olaraq -1 * 3 olaraq təmsil edirik. Əldə edirik:
$$ \u003d 2 (x ^ 2 + 3 \\ cdot x -1 \\ cdot x -1 \\ cdot 3) \u003d 2 (x (x + 3) -1 \\ cdot (x + 3)) \u003d $$
$$ \u003d 2 (x-1) (x + 3) $$

Belə ki Biz kvadrat trinomiyasını təsir halına gətirdivə göstər:
$$ 2x ^ 2 + 4x-6 \u003d 2 (x-1) (x + 3) $$

Diqqət yetirin ki, kvadratik trinomialın faktorizasiyası yalnız bu trinomiyaya uyğun olan kvadrat tənliyin kökləri olduqda mümkündür.
O. bizim halda, 2x 2 + 4x-6 \u003d 0 kvadrat tənliyinin kökləri olduğu təqdirdə trinomial 2x 2 + 4x-6-nı faktorlaşdırmaq mümkündür. Faktorinq prosesində 2x 2 + 4x-6 \u003d 0 tənliyinin 1 və -3 iki kökünə sahib olduğunu gördük. bu dəyərlər üçün 2 (x-1) (x + 3) \u003d 0 tənliyi həqiqi bir bərabərliyə çevrilir.

Nə faktorizasiya? Bu, yöndəmsiz və mürəkkəb bir nümunəni sadə və şirin bir nümunəyə çevirməyin bir yoludur.) Çox güclü hiylə! Həm ibtidai riyaziyyatda, həm də yüksək riyaziyyatda hər addımda tapılır.

Riyazi dildə bu cür çevrilmələrə ifadələrin eyni çevrilmələri deyilir. Mövzuda kim yoxdur - keçiddə gəzin. Çox az, sadə və faydalıdır.) Hər hansı bir eyni çevrilmənin mənası bir ifadə yazmaqdır başqa formada mahiyyətini qoruyaraq.

Məna faktorizasiya son dərəcə sadə və sadə. Adın özündən. Bir çarpanın nə olduğunu unuda bilərsən (ya da bilmirsən), ancaq bu sözün "çoxalt" sözündən gəldiyini anlaya bilərsən?) Faktorinq deməkdir: ifadəni bir şeyi bir şeyə vurmaq kimi təmsil etmək Bəli, riyaziyyatı və rus dilini bağışla ...) Və budur.

Məsələn, 12 sayını genişləndirməlisiniz. Təhlükəsiz yaza bilərsiniz:

Beləliklə, 12 rəqəmini 3-ün 4-ü vurma şəklində təqdim etdik. Xahiş edirik unutmayın ki, sağdakı (3 və 4) rəqəmlər soldan (1 və 2) tamamilə fərqlidir. Ancaq 12 və 3 4 olduğunu çox yaxşı başa düşürük eyni. Dönüşümdən 12 rəqəminin mahiyyəti dəyişməyib.

12-ni fərqli şəkildə parçalamaq mümkündürmü? Asanlıqla!

12 \u003d 3 4 \u003d 2 6 \u003d 3 2 2 \u003d 0.5 24 \u003d ........

Ayrışma seçimləri sonsuzdur.

Nömrələrin faktorlaşdırılması faydalı bir şeydir. Məsələn, köklərlə işləyəndə çox kömək edir. Ancaq cəbri ifadələri faktorinq etmək faydalı bir şey deyil, belədir - zəruri! Məsələn,

Sadələşdir:

Bir ifadəni necə faktorlaşdıracağını bilməyənlər kənarda dayanır. Kim bilir necə - sadələşdirir və alır:

Təsiri heyrətamizdir, düzdür?) Yeri gəlmişkən, həll yolu olduqca sadədir. Aşağıda özünüz görəcəksiniz. Və ya, məsələn, belə bir tapşırıq:

Tənliyi həll edin:

x 5 - x 4 \u003d 0

Yeri gəlmişkən, ağılla qərar verildi. Faktorizasiya istifadə. Aşağıda bu nümunəni həll edəcəyik. Cavab: x 1 \u003d 0; x 2 \u003d 1.

Və ya eyni şey, ancaq yaşlılar üçün):

Tənliyi həll edin:

Bu nümunələrlə göstərdim Əsas məqsəd faktorizasiya: kəsrli ifadələri sadələşdirin və bəzi tənlik növlərini həll edin. Bir qayda xatırlamağınızı tövsiyə edirəm:

Qarşımızda dəhşətli bir kəsr ifadəsi varsa, sayını və məxrəcini faktorlara ayırmağa cəhd edə bilərsiniz. Çox vaxt kəsir qısaldılır və sadələşdirilir.

Qarşımızda sağda sıfır, solda bir tənlik varsa - nəyi başa düşmürəmsə, sol tərəfi faktorlara çevirməyə çalışa bilərsiniz. Bəzən kömək edir).

Faktorinqin əsas metodları.

Ən populyar yollar:

4. Kvadrat trinomialın parçalanması.

Bu üsullar xatırlanmalıdır. Bu qaydada. Kompleks nümunələr yoxlanılır mümkün olan bütün parçalanma yollarına. Və qarışıq qalmamaq üçün qaydada yoxlamaq daha yaxşıdır ... Beləliklə qaydada başlayaq.)

1. Ortaq amili mötərizədən çıxarmaq.

Sadə və etibarlı bir yol. Heç vaxt zərər vermir! Ya yaxşı olur, ya da olmaz.) Buna görə də o birincidir. Anlaşma.

Hər kəs bilir (inanıram!)) Qayda:

a (b + c) \u003d ab + ac

Və ya ümumiyyətlə:

a (b + c + d + .....) \u003d ab + ac + ad + ....

Bütün bərabərliklər soldan sağa və əksinə, sağdan sola işləyir. Yaza bilərsiniz:

ab + ac \u003d a (b + c)

ab + ac + elan + .... = a (b + c + d + .....)

Ortaq faktoru mötərizədən çıxartmağın hamısı budur.

Sol tərəfdə və - ümumi amil bütün şərtlər üçün. Hər şeylə vurulur). Sağda ən çox və onsuz da mötərizələrin xaricində.

Metodun praktik tətbiqini nümunələrlə nəzərdən keçirəcəyik. Əvvəlcə seçim sadədir, hətta ibtidai.) Ancaq bu seçimdə hər hansı bir faktorizasiya üçün çox vacib məqamları (yaşıl rəngdə) qeyd edəcəyəm.

Faktorlaşdırın:

ah + 9x

Nə ümumi çarpan hər iki baxımdan oturur? X, əlbəttə! Mötərizədən çıxaracağıq. Biz bunu edirik. Dərhal X-ı mötərizələrin xaricinə yazırıq:

balta + 9x \u003d x (

Mötərizədə bölünmənin nəticəsini yazırıq hər dövr bu çox x. Sifariş üçün:

Hamısı budur. Əlbətdə ki, bu qədər təfərrüatlı təsvir etməyə ehtiyac yoxdur, Bu düşüncədə edilir. Ancaq nə olduğunu başa düşmək arzuolunandır). Yaddaşda düzəldirik:

Ortaq faktoru mötərizədən kənarda yazırıq. Mötərizədə, bütün şərtləri bu çox yayılmış amilə bölməyin nəticələrini yazırıq. Sifarişlə.

Beləliklə ifadəni genişləndirdik ah + 9x amillərə görə. X-ı vurmağa çevirdi (a + 9). Diqqət yetirin ki, orijinal ifadədə vurma, hətta ikisi də var: a x və 9 x. Lakin o faktorlaşdırılmamışdır! Çünki bu ifadədə vurma ilə yanaşı əlavə, "+" işarəsi də var idi! Və ifadəsində x (a + 9) vurmadan başqa bir şey yoxdur!

Necə !? - Mən insanların qəzəbli səsini eşidirəm - Və mötərizədə!?)

Bəli, parantezin içərisində əlavə var. Ancaq hiylə budur ki, mötərizələr açılmasa da, onları nəzərdən keçiririk bir hərf kimi. Və bütün hərəkətləri mötərizələrlə tamamilə edirik, bir hərfdə olduğu kimi. Bu mənada ifadədə x (a + 9) vurma xaricində heç bir şey yoxdur. Faktorinqin əsas məqamı budur.

Yeri gəlmişkən, hər şeyi düzgün etdiyimizi bir şəkildə yoxlamaq mümkündürmü? Asan! Çıxarılanları (x) mötərizələrlə geri qaytarmaq və işlənib bitmədiyini görmək kifayətdir ilkin ifadə? İşləyirsə, hər şey yaxşıdır!)

x (a + 9) \u003d ax + 9x

Baş verdi.)

Bu ibtidai nümunədə heç bir problem yoxdur. Ancaq bir neçə şərt varsa və hətta fərqli işarələrlə ... Bir sözlə, hər üçüncü tələbə mızıldanır). Buna görə:

Lazım gələrsə, faktorizasiyanı tərs vurma ilə yoxlayın.

Faktorlaşdırın:

3ax + 9x

Ortaq bir amil axtarırıq. X ilə hər şey aydındır, dözə bilərsiniz. Daha çox varmı? ümumi amil? Bəli! Bu üçdür. İfadəni belə yaza bilərsiniz:

3x + 3 3x

Burada ortaq faktorun olacağını dərhal görə bilərsiniz 3x... Budur onu çıxarırıq:

3ax + 3 3x \u003d 3x (a + 3)

Onlar qoydular.

Və dözsəniz nə olacaq yalnız x? Xüsusi heçnə:

3ax + 9x \u003d x (3a + 9)

Bu da faktorizasiya olacaqdır. Ancaq bu cəlbedici prosesdə bir fürsət olduğu müddətcə hər şeyi dayana qədər düzəltmək adətlidir. Burada mötərizədə üçlü çıxarmaq imkanı var. Çıxır:

3ax + 9x \u003d x (3a + 9) \u003d 3x (a + 3)

Eyni şey, yalnız bir əlavə hərəkət ilə.) Unutmayın:

Ortaq faktoru mötərizədən çıxararkən çıxartmağa çalışırıq maksimum ümumi amil.

Əyləncəyə davam edirik?)

Faktor ifadəsi:

3ax + 9x-8a-24

Nəyə dözəcəyik? Üç, X? Xeyr ... edə bilməzsən. Xatırladım ki, yalnız dözə bilərsiniz ümumi sürətdir bütünlükləifadə şərtləri. Ona görə ümumi. Burada belə bir çarpan yoxdur ... Nə, genişləndirə bilməzsən!? Bəli, əlbətdə ki, sevindik ... Görüş:

2. Qruplaşdırma.

Əslində qruplaşdırma demək olar ki, müstəqil faktorinq yolu adlandırıla bilməz. Daha doğrusu, mürəkkəb bir nümunədən çıxmağın bir yoludur.) Hər şeyin qaydasında olması üçün şərtləri qruplaşdırmalısınız. Bunu yalnız nümunə ilə göstərmək olar. Beləliklə, qarşımızda bu ifadə var:

3ax + 9x-8a-24

Bəzi ümumi hərflər və rəqəmlər olduğu görülə bilər. Amma... Ümumi bütün şərtlərdə heç bir amil yoxdur. Ürəyimizi itirmirik və ifadəni parçalara ayırmaq. Gəlin qruplaşaq. Beləliklə, hər bir hissədə ortaq bir amil var idi, çıxaracaq bir şey var idi. Necə qırırıq? Yalnız mötərizələri qoyun.

Xatırladım ki, mötərizələr hər yerdə və istənilən şəkildə yerləşdirilə bilər. Yalnız nümunənin mahiyyəti dəyişmədi. Məsələn, bunu edə bilərsiniz:

3ax + 9x-8a-24=(3ax + 9x) - (8a + 24)

İkinci mötərizələrə diqqət yetirin! Onların qarşısında bir mənfi işarəsi var və 8a və 24 pozitiv olun! Doğrulama üçün mötərizəni geri açsanız, işarələr dəyişir və biz əldə edirik ilkin ifadə. O. mötərizədən ifadənin mahiyyəti dəyişməyib.

Ancaq parantez içərisində qalmış olsanız, işarə dəyişikliyinə məhəl qoymadan, məsələn, belə:

3ax + 9x-8a-24=(3ax + 9x) - (8a-24 )

bir səhv olacaq. Doğru - onsuz da digər ifadə. Mötərizəni açın və hər şey görünəcək. Daha çox qərar vermək lazım deyil, bəli ...)

Ancaq faktorinqə qayıdın. İlk mötərizələrə baxırıq (3ax + 9x) və düşünürük ki, bir şeyə dözə bilərikmi? Bu nümunəni yuxarıda həll etdik, çıxara bilərsiniz 3x:

(3ax + 9x) \u003d 3x (a + 3)

İkinci mötərizəni araşdırırıq, səkkizi çıxara bilərsiniz:

(8a + 24) \u003d 8 (a + 3)

Bütün ifadələrimiz ortaya çıxacaq:

(3ax + 9x) - (8a + 24) \u003d 3x (a + 3) -8 (a + 3)

Faktorlaşdırılıb? Yox. Çürümə nəticələnməlidir yalnız vurma, və mənfi işarəmiz hər şeyi korlayır. Ancaq ... Hər iki terminin ortaq bir amili var! o (a + 3)... Əbəs yerə demədim ki, bütün mötərizələr sanki bir hərfdir. Beləliklə, bu mötərizələr mötərizədən çıxarıla bilər. Bəli, tam olaraq belə səslənir.)

Yuxarıda təsvir olunduğu kimi edirik. Ortaq faktoru yazırıq (a + 3), ikinci mötərizədə şərtlərin bölünməsinin nəticələrini yazırıq (a + 3):

3x (a + 3) -8 (a + 3) \u003d (a + 3) (3x-8)

Hamısı! Sağda, vurmadan başqa bir şey yoxdur! Beləliklə faktorizasiya uğurlu oldu!) Budur:

3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)

Qruplaşdırmanın mahiyyətini qısaca təkrarlayaq.

Ifadə içermirsə ümumi üçün sürət hamısından şərtlər, ifadəni mötərizələrlə qırırıq ki, mötərizənin içərisində ortaq amil olsun idi. Çıxarıb görürük nə oldu. Şanslıysanız və mötərizədə tam olaraq eyni ifadələr varsa, bu mötərizələri mötərizələrin xaricinə aparın.

Qruplaşdırma yaradıcı bir prosesdir). Həmişə ilk dəfə işləmir. Pis bir iş yoxdur. Bəzən uğurlu bir yer tapana qədər yerləri dəyişdirməli, qruplaşdırma üçün müxtəlif variantları nəzərdən keçirməlisən. Burada əsas şey ruhdan düşməməkdir!)

Nümunələr.

İndi biliklə zənginləşdirərək çətin nümunələri həll edə bilərsiniz.) Dərsin əvvəlində bunlardan üçü var idi ...

Sadələşdir:

Əslində bu nümunəni artıq həll etmişik. Özüm də bilmədən.) Xatırlatmaq istəyirəm: bizə dəhşətli bir hissə verilsə, sayını və məxrəcini nəzərə almağa çalışırıq. Digər sadələşdirmə variantları sadəcə yox.

Yaxşı, burada məxrəc genişlənmir, ancaq saylayıcı ... Dərs gedişində sayını artıq genişləndirmişik! Bunun kimi:

3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)

Genişlənmənin nəticəsini kəsrin sayına yazırıq:

Fraksiyaların azaldılması qaydasına (bir hissənin əsas xassəsi) görə, bölüşdürəni və məxrəci eyni saya və ya ifadəyə bölə bilərik (eyni zamanda!). Buradan kəsir dəyişmir. Beləliklə, sayını və məxrəcini ifadəyə bölürük (3x-8)... Və burada və orada olanları alırıq. Son sadələşdirmə nəticəsi:

Vurğulamaq istərdim: bir hissənin azaldılması ifadələri çoxaltmaqla yanaşı, yalnız sayda və məxrəcdə olarsa mümkündür. heç nə yoxdur. Bu səbəbdən cəmin (fərqin) çevrilməsi vurma sadələşdirilməsi üçün çox vacibdir. Əlbətdə ifadələr fərqli, onda heç bir şey azalmayacaq. Əlbəttə. Amma faktorinq bir şans verir. Çürümədən bu şans sadəcə yoxdur.

Tənliklə nümunə:

Tənliyi həll edin:

x 5 - x 4 \u003d 0

Ortaq faktoru çıxarırıq x 4 mötərizələrin xaricində. Əldə edirik:

x 4 (x-1) \u003d 0

Faktların məhsulunun sıfıra bərabər olduğunu düşünürük sonra və yalnız sonra, onlardan hər hansı biri sıfır olduqda. Şübhə edirsinizsə, mənə çoxaldıqda sıfır verəcək bir neçə sıfır olmayan rəqəm tapın.) Beləliklə, ilk faktoru yazırıq:

Bu bərabərliklə ikinci amil bizi narahat etmir. Hər kəs ola bilər, hamısı sonda sıfır olacaq. Və sıfırın dördüncü gücündə hansı rəqəm verəcək? Yalnız sıfır! Və başqa heç bir şey ... Beləliklə:

İlk amili ayırd etdik, bir kök tapdıq. İkinci amil ilə məşğul olaq. İndi ilk amil bizi maraqlandırmır.):

Beləliklə bir həll tapdıq: x 1 \u003d 0; x 2 \u003d 1... Bu köklərdən hər hansı biri bizim tənliyimizə uyğundur.

Çox vacib bir qeyd. Nəzərə alın ki, tənliyi həll etdik parça-parça! Hər amil sıfıra bərabər təyin edildi, qalan amillərə məhəl qoymamaq. Yeri gəlmişkən, belə bir tənlikdə bizim kimi iki amil yox, istədiyiniz qədər üç, beş varsa, həll edəcəyik oxşar. Parça-parça. Məsələn:

(x-1) (x + 5) (x-3) (x + 2) \u003d 0

Mötərizəni açan hər şeyi çoxaldır, bu tənlikdə əbədi asılacaqdır.) Düzgün tələbə dərhal solda vurmadan başqa heç bir şey olmadığını, sağda - sıfır olduğunu görəcəkdir. Və (mötərizədə!) Sıralı olaraq bütün mötərizələri sıfıra bərabərləşdirməyə başlayacaq. Və (10 saniyədə!) Doğru həllini alacaq: x 1 \u003d 1; x 2 \u003d -5; x 3 \u003d 3; x 4 \u003d -2.

Mükəmməl deyilmi?) Tənliyin sol tərəfi olduğu təqdirdə belə zərif bir həll mümkündür amillərə ayrılır. İpucu aydındır?)

Yaxşı, son nümunə, yaşlılar üçün):

Tənliyi həll edin:

Əvvəlki ilə bir qədər oxşayır, düşünmürsən?) Əlbəttə. Yeddinci sinif cəbrində hərflərin sinusları, loqarifmləri və başqa hər şeyi gizlədə biləcəyini xatırlamağın vaxtı gəldi! Faktorinq bütün riyaziyyatda işləyir.

Ortaq faktoru çıxarırıq lg 4 x mötərizələrin xaricində. Əldə edirik:

lg 4 x \u003d 0

Bu bir kök. İkinci amil ilə məşğul olaq.

Son cavab budur: x 1 \u003d 1; x 2 \u003d 10.

Ümid edirəm ki, fraksiyaları sadələşdirmək və tənlikləri həll etmək üçün faktorinqin gücünü başa düşdünüz.)

Bu dərsdə ümumi faktorinq və qruplaşdırma haqqında öyrəndik. Qısaldılmış vurma və kvadrat trinomialın formullarını müəyyənləşdirmək qalır.

Bu saytı bəyənirsinizsə ...

Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha maraqlı bir neçə saytım var.)

Nümunələri həll etməyə çalışa və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani doğrulama testi. Öyrənmək - maraqla!)

funksiyaları və törəmələri ilə tanış ola bilərsiniz.

Cəbrdə "polinom" və "polinomun amillərə bölünməsi" anlayışları çox yayılmışdır, çünki böyük çoxrəqəmli rəqəmlərlə hesablamaları asanlıqla yerinə yetirmək üçün bunları bilməlisiniz. Bu məqalədə parçalanmanın bir neçə yolu təsvir ediləcəkdir. Hamısının istifadəsi olduqca sadədir, hər konkret halda düzgün birini seçməlisiniz.

Polinom anlayışı

Çox polinom monomialların cəmi, yəni yalnız vurma əməliyyatını ehtiva edən ifadələrdir.

Məsələn, 2 * x * y monomialdır, lakin 2 * x * y + 25, 2 monomialdan ibarət olan bir polinomdur: 2 * x * y və 25. Belə polinomlara binomlar deyilir.

Bəzən çox dəyərli nümunələrin həllinin rahatlığı üçün ifadə, məsələn, bir çox amilə, yəni vurma hərəkətinin həyata keçirildiyi rəqəmlərə və ifadələrə ayrılmalıdır. Polinomu faktorlaşdırmağın bir neçə yolu var. İbtidai siniflərdə də istifadə olunan ən ibtidai ilə başlayaraq onları nəzərdən keçirməyə dəyər.

Qruplaşdırma (ümumi qeyd)

Ümumiyyətlə qruplaşdıraraq polinomu amillərə ayırmaq üçün düstur belə görünür:

ac + bd + bc + ad \u003d (ac + bc) + (ad + bd)

Monomialları qruplaşdırmaq lazımdır ki, hər qrupda ortaq bir amil görünsün. Birinci mötərizədə c amili, ikincisində d olur. Bunu mötərizənin xaricinə qoymaq və bununla hesablamaları asanlaşdırmaq üçün edilməlidir.

Müəyyən bir nümunə üçün ayrışma alqoritmi

Çox polinomu qruplaşdıraraq faktorlaşdırmanın ən sadə nümunəsi aşağıda göstərilmişdir:

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

Birinci mötərizədə, şərtləri ümumi olacaq a faktoru ilə, ikincisində isə b faktoru ilə götürməlisiniz. Bitmiş ifadədəki + və - işarələrinə diqqət yetirin. İşarəni ilk ifadədə olan monomialın qarşısına qoyduq. Yəni 25a ifadəsi ilə deyil, -25 ifadəsi ilə işləmək lazımdır. Eksi işarəsi arxasındakı ifadəyə "yapışmaq" kimidir və hesablamalarda həmişə nəzərə alın.

Növbəti addımda, braketin xaricində yayılmış faktoru çıxarmalısınız. Qruplaşdırma budur. Mötərizədən çıxarmaq mötərizənin içərisindəki bütün şərtlərdə dəqiqliklə təkrarlanan bütün faktorları mötərizənin önünə yazmaq (vurma işarəsini buraxmaq) deməkdir. Mötərizədə 2 deyil, 3 və ya daha çox termin varsa, ortaq amil hər birində olmalıdır, əks halda mötərizədən çıxarıla bilməz.

Bizdə - mötərizədə yalnız 2 şərt. Ortaq amil dərhal görünür. Birinci mötərizə a, ikincisi b-dir. Burada rəqəmsal əmsallara diqqət yetirmək lazımdır. Birinci mötərizədə, hər iki əmsal (10 və 25) 5-in qatlarıdır. Bu mötərizədən yalnız a deyil, 5a-nı da çıxarmaq deməkdir. Mötərizədən əvvəl 5a yazın və sonra mötərizədəki hər bir termini çıxarılan ortaq faktora bölün və + işarələrini də unutmadan mötərizədəki hissəni yazın və - və ikinci mötərizə ilə eyni şeyi edin, çıxarın 7b, eləcə də 7-nin 14 və 35 çoxu.

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

2 şərt çıxdı: 5a (2c - 5) və 7b (2c - 5). Hər birində ortaq bir amil var (mötərizədəki bütün ifadə burada eynidir, yəni ortaq amildir): 2c - 5. Parantezdən də çıxarmaq lazımdır, yəni 5a və 7b terminləri ikinci mötərizədə qalın:

5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b).

Beləliklə, tam ifadə:

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b).

Beləliklə, 10ac + 14bc - 25a - 35b polinomu 2 amilə ayrılır: (2c - 5) və (5a + 7b). Yazarkən aralarındakı vurma işarəsi buraxıla bilər

Bəzən bu tip ifadələr var: 5a 2 + 50a 3, burada mötərizədən yalnız a və ya 5a deyil, hətta 5a 2 də çıxara bilərsiniz. Həmişə mümkün olan ən böyük ortaq amili müəyyən etməyə çalışmalısınız. Bizim vəziyyətimizdə, hər termini ümumi bir faktora bölsək, aşağıdakıları əldə edirik:

5a 2 / 5a 2 \u003d 1; 50a 3 / 5a 2 \u003d 10a (bərabər əsaslarla bir neçə dərəcə nisbətini hesablayarkən baza qorunur və göstərici çıxılır). Beləliklə, vahid mötərizədə qalır (heç bir halda, mötərizədəki şərtlərdən birini çıxardığınız təqdirdə vahid yazmağı unutmayın) və bölmə hissəsini: 10а. Belə çıxır:

5a 2 + 50a 3 \u003d 5a 2 (1 + 10a)

Kvadrat düsturlar

Hesablamaların rahatlığı üçün bir neçə düstur alınmışdır. Bunlara qısaldılmış vurma düsturları deyilir və olduqca tez-tez istifadə olunur. Bu düsturlar dərəcə ehtiva edən amil polinomlarına kömək edir. Bu, başqa bir güclü faktorizasiya üsuludur. Beləliklə, bunlar:

• a 2 + 2ab + b 2 \u003d (a + b) 2 - "cəmin kvadratı" adlanan düstur, bir kvadrata genişlənmə nəticəsində mötərizədə olan ədədlərin cəmi götürüldüyü üçün, yəni bu cəmin dəyəri özü ilə 2 dəfə vurulur, yəni bir sürətdir.
• a 2 + 2ab - b 2 \u003d (a - b) 2 - fərq kvadratı üçün düstur, əvvəlkisinə bənzəyir. Nəticə, kvadrat gücün içərisində olan mötərizəyə daxil edilmiş fərqdir.
• a 2 - b 2 \u003d (a + b) (a - b) - bu, kvadratlar fərqinin düsturudur, çünki əvvəlcə polinom, çıxma yerinə yetirilən 2 ədəd və ya ifadədən ibarətdir. Bəlkə də adları çəkilən üç nəfərdən ən çox istifadə olunur.

Kvadrat düsturları hesablamaq üçün nümunələr

Onlar üçün hesablamalar olduqca sadədir. Məsələn:

1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 - "cəmin kvadratı" düsturundan istifadə edirik.
2. 25x 2 5x kvadratdır. 20xy, 2 * (5x * 2y) -in ikiqat hasilidir və 4y 2, 2y-in kvadratıdır.
3. Beləliklə, 25x 2 + 20xy + 4y 2 \u003d (5x + 2y) 2 \u003d (5x + 2y) (5x + 2y). Bu polinom 2 amilə ayrılır (amillər eynidir, buna görə kvadrat dərəcə ilə ifadə kimi yazılır).

Fərq kvadratının düsturuna uyğun hərəkətlər eyni şəkildə həyata keçirilir. Düstur kvadratların fərqi olaraq qalır. Bu düstur üçün nümunələri müəyyənləşdirmək və digər ifadələr arasında tapmaq çox asandır. Məsələn:

• 25a 2 - 400 \u003d (5a - 20) (5a + 20). 25a 2 \u003d (5a) 2 və 400 \u003d 20 2 olduğundan
• 36x 2 - 25y 2 \u003d (6x - 5y) (6x + 5y). 36x 2 \u003d (6x) 2 və 25y 2 \u003d (5y 2) olduğundan
• c 2 - 169b 2 \u003d (c - 13b) (c + 13b). 169b olduğundan 2 \u003d (13b) 2

Terminlərin hər birinin ifadə kvadratı olması vacibdir. Sonra bu polinom kvadratların fərqi düsturu ilə faktorizasiyaya məruz qalır. Bunun üçün ikinci dərəcənin rəqəmin üstündə olması vacib deyil. Böyük dərəcələri ehtiva edən, lakin yenə də bu formullara uyğun olan polinomlar var.

a 8 + 10a 4 +25 \u003d (a 4) 2 + 2 * a 4 * 5 + 5 2 \u003d (a 4 +5) 2

Bu nümunədə a 8 (a 4) 2, yəni bəzi ifadələrin kvadratı kimi təmsil edilə bilər. 25 5 2 və 10a 4-dir - bu, 2 * a 4 * 5 şərtlərinin ikiqat məhsuludur. Yəni bu ifadə, böyük göstəricilərə sahib dərəcələrin olmasına baxmayaraq, sonralar onlarla işləmək üçün 2 faktora bölünə bilər.

Küp düsturlar

Eyni formullar kublar olan faktorinq polinomları üçün mövcuddur. Kareli olanlardan biraz daha mürəkkəbdirlər:

• a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2) - bu düstura küplərin cəmi deyilir, çünki başlanğıc şəklində bir çoxbucaq bir kuba daxil olan iki ifadənin və ya ədədin cəmidir.
• a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2) - əvvəlki ilə eyni formul, kublar fərqi kimi təyin olunur.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 \u003d (a + b) 3 - cəmin kubu, hesablamalar nəticəsində ədədlərin və ifadələrin cəmi alınır, mötərizəyə salınır və öz-özünə 3 dəfə vurulur, yəni kub şəklindədir
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 \u003d (a - b) 3 -əvvəlki ilə bənzətmə ilə yalnız riyazi əməliyyatların bəzi əlamətlərini (artı və mənfi) dəyişdirərək tərtib olunan düstura "fərq kubu" deyilir.

Son iki düstur bir polinomu faktorlara bölmək üçün praktik olaraq istifadə edilmir, çünki onlar mürəkkəbdir və bu quruluşa tamamilə uyğun gələn polinomlar bu formullarla parçalana bilməsi üçün olduqca nadirdir. Ancaq yenə də onları bilməlisiniz, çünki əks istiqamətdə işlər görəndə - mötərizəni genişləndirərkən tələb olunacaqlar.

Kub formulları üçün nümunələr

Bir nümunəni nəzərdən keçirək: 64a 3 - 8b 3 \u003d (4a) 3 - (2b) 3 \u003d (4a - 2b) ((4a) 2 + 4a * 2b + (2b) 2) \u003d (4a - 2b) (16a 2 + 8ab + 4b 2) ).

Burada olduqca sadə rəqəmlər götürdük, buna görə dərhal 64a 3 (4a) 3, 8b 3 isə (2b) 3 olduğunu görə bilərsiniz. Beləliklə, bu polinom, kubların fərqi 2 faktorla düsturla ayrılır. Kubların cəmi üçün düstura uyğun hərəkətlər bənzətmə ilə həyata keçirilir.

Bütün polinomların ən azı bir yolla parçalana bilməyəcəyini anlamaq vacibdir. Ancaq bir kvadrat və ya bir kubdan daha çox güc ehtiva edən ifadələr var, lakin bunlar qısaldılmış vurma formalarına da parçalana bilər. Məsələn: x 12 + 125y 3 \u003d (x 4) 3 + (5y) 3 \u003d (x 4 + 5y) * ((x 4) 2 - x 4 * 5y + (5y) 2) \u003d (x 4 + 5y) ) (x 8 - 5x 4 y + 25y 2).

Bu nümunədə 12 dərəcə var. Ancaq kublar cəminin düsturundan istifadə edərək faktorlaşdırmaq da mümkündür. Bunu etmək üçün x 12-ni (x 4) 3, yəni bəzi ifadələrin bir kubu olaraq təmsil etməlisiniz. İndi a əvəzinə onu düsturda əvəz etməlisiniz. Yaxşı, 125y 3 ifadəsi 5y küpüdür. Sonra, düstura görə bir məhsul tərtib edib hesablamalar aparmalısınız.

Əvvəlcə və ya şübhə halında hər zaman arxadan vurma ilə yoxlaya bilərsiniz. Yalnız ortaya çıxan ifadədəki parantezləri genişləndirməlisiniz və bu cür şərtlərlə hərəkətlər etməlisiniz. Bu metod yuxarıda göstərilən azaltma metodlarının hamısına aiddir: həm ümumi faktorla işləmək, həm də qruplaşdırma, həm də kublar və kvadrat dərəcə formullarındakı hərəkətlər.

Polinom monomialların cəmindən ibarət olan bir ifadədir. İkincisi, k-nin gücünə ifadənin sabitinin (sayının) və kökünün (və ya köklərinin) məhsuludur. Bu vəziyyətdə, bir k dərəcə polinomundan danışılır. Çox polinomun genişlənməsi ifadələrin çevrilməsini nəzərdə tutur, burada terminlər amillərlə əvəz olunur. Bu cür transformasiyanın həyata keçirilməsinin əsas yollarını nəzərdən keçirək.

Ümumi amilin çıxarılması ilə polinomun parçalanma metodu

Bu metod paylama qanununun qanunlarına əsaslanır. Beləliklə, mn + mk \u003d m * (n + k).

• Misal:genişləndirmək 7y 2 + 2uy və 2m 3 - 12m 2 + 4lm.

7y 2 + 2uy \u003d y * (7y + 2u),

2m 3 - 12m 2 + 4lm \u003d 2m (m 2 - 6m + 2l).

Lakin hər çox polinomda mütləq mövcud olan faktor həmişə tapıla bilməz, bu səbəbdən bu metod ümumdünya deyil.

Qısaldılmış vurma düsturlarına əsaslanan polinom genişləndirmə metodu

Qısaldılmış vurma düsturları istənilən dərəcədəki bir polinom üçün etibarlıdır. Ümumiyyətlə, bir dönüşüm ifadəsi belə görünür:

uk - lk \u003d (u - l) (u k-1 + u k-2 * l + u k-3 * l 2 +… u * l k-2 + l k-1), burada k nümayəndəsidir. təbii ədədlər ...

İkinci və üçüncü sıra polinomları üçün praktikada ən çox istifadə olunan düsturlar:

u 2 - l 2 \u003d (u - l) (u + l),

u 3 - l 3 \u003d (u - l) (u 2 + ul + l 2),

u 3 + l 3 \u003d (u + l) (u 2 - ul + l 2).

• Misal:25p 2 - 144b 2 və 64m 3 - 8l 3 yayılmışdır.

25p 2 - 144b 2 \u003d (5p - 12b) (5p + 12b),

64m 3 - 8l 3 \u003d (4m) 3 - (2l) 3 \u003d (4m - 2l) ((4m) 2 + 4m * 2l + (2l) 2) \u003d (4m - 2l) (16m 2 + 8ml + 4l 2) ).

Polinom parçalanma metodu - bir ifadə şərtlərini qruplaşdırmaq

Bu metodun müəyyən mənada ümumi amilin çıxarılması texnikası ilə ortaq bir cəhəti var, lakin bəzi fərqləri var. Xüsusilə, ümumi amili seçmədən əvvəl monomialları qruplaşdırmaq lazımdır. Qruplaşdırma birləşmə və transpozisiya qanunlarına əsaslanır.

İfadədə təqdim olunan bütün monomiallar qruplara bölünür, hər birində ümumi dəyər çıxarılaraq ikinci qrup bütün qruplarda eyni olacaqdır. Ümumiyyətlə, belə bir parçalanma metodu bir ifadə kimi təmsil edilə bilər:

pl + ks + kl + ps \u003d (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps \u003d p (l + s) + k (l + s),

pl + ks + kl + ps \u003d (p + k) (l + s).

• Misal:14mn + 16ln - 49m - 56l yayılmışdır.

14mn + 16ln - 49m - 56l \u003d (14mn - 49m) + (16ln - 56l) \u003d 7m * (2n - 7) + 8l * (2n - 7) \u003d (7m + 8l) (2n - 7).

Polinom parçalanma metodu - tam bir kvadrat təşkil edir

Bu metod, çox polinomun parçalanması zamanı ən təsirli metodlardan biridir. İlkin mərhələdə, fərq və ya cəmin kvadratına “qatlana bilən” monomialları təyin etmək lazımdır. Bunun üçün nisbətlərdən biri istifadə olunur:

(p - b) 2 \u003d p 2 - 2pb + b 2,

• Misal: u 4 + 4u 2 - 1 ifadəsini genişləndirin.

Monomiallar arasında tam kvadrat meydana gətirən terminləri ayırd edək: u 4 + 4u 2 - 1 \u003d u 4 + 2 * 2u 2 + 4 - 4 - 1 \u003d

\u003d (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 4 - 1 \u003d (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 5.

Qısaldılmış vurma qaydalarından istifadə edərək transformasiyanı tamamlayın: (u 2 + 2) 2 - 5 \u003d (u 2 + 2 - √5) (u 2 + 2 + √5).

Belə ki u 4 + 4u 2 - 1 \u003d (u 2 + 2 - -5) (u 2 + 2 + -5).

Polinomların vurulmasını nəzərə alaraq bir neçə düstur əzbərlədik, yəni: (a + b) ², (a - b) ², (a + b) (a - b), (a + b) ³ üçün düsturlar və üçün (a - b) ³.

Verilmiş bir polinom bu formullardan biri ilə üst-üstə düşərsə, onu amillərə bölmək mümkün olacaqdır. Məsələn, a² - 2ab + b² polinomu, bilirik ki, (a - b) ² [və ya (a - b) · (a - b) 'yə bərabərdir, yəni a² - 2ab + b² arasında parçalanmağı bacardıq. 2 amil]; həmçinin

Bu nümunələrin ikincisinə baxaq. Burada verilən polinomun iki ədədin (birinci ədədin kvadratı, ikisinin hasilini birinci ədədi, ikincisini çıxartdıqda, ikinci ədədin kvadratını çıxartdıqda) fərqi ilə kvadratlaşdırmaqdan alınan düstura uyğun gəldiyini görürük. birinci ədədin kvadratıdır və bu səbəbdən birinci ədədin özü x 3, ikinci ədədin kvadratı bu polinomun son hissəsidir, yəni 1, ikinci ədədin özü də buna görə də 1; ikisinin və birinci ədədin, ikincisinin məhsulu –2x 3-cü müddətdir, çünki 2x 3 \u003d 2 · x 3 · 1. Buna görə polinomum x 3 və 1 ədədləri arasındakı fərqi kvadratlaşdırmaqla əldə edilmişdir, yəni (x 3 - 12) -ə bərabərdir. Digər bir 4-cü nümunəni nəzərdən keçirək. Bu a 2 b 2 - 25 polinomunun iki ədədin kvadratlarının fərqi kimi qəbul edilə biləcəyini görürük, yəni a 2 b 2 birinci ədədin kvadratı kimi xidmət edir, buna görə də birinci ədədin özü ab, kvadratıdır ikinci ədədi 25-dir, niyə ikinci ədədin özü 5-dir, bu səbəbdən də çoxdövrümüz iki ədədin cəmini fərqlərinə vurmaqla əldə edilmiş hesab edilə bilər, yəni.

(ab + 5) (ab - 5).

Bəzən elə olur ki, müəyyən bir polinomda, məsələn, adət etdiyimiz sırada deyil.

9a 2 + b 2 + 6ab - zehni olaraq ikinci və üçüncü şərtləri yenidən düzəldə bilərik, onda bizim üçün trinomialın \u003d (3a + b) 2 olduğu aydın olacaq.

… (Birinci və ikinci şərtləri zehni olaraq dəyişdirək).

25a 6 + 1 - 10x 3 \u003d (5x 3 - 1) 2, və s.

Polinomu da nəzərdən keçirin

a 2 + 2ab + 4b 2.

Görürük ki, onun birinci üzvü a sayının kvadratıdır və üçüncü hissə 2b sayının kvadratıdır, lakin ikinci hissə ikinin birinci ədədin və ikincinin məhsulu deyil - belə bir məhsul bərabər olacaqdır 2 a 2b \u003d 4ab. Buna görə, iki ədədin cəminin kvadratının düsturu bu polinuma tətbiq edilə bilməz. Biri bir 2 + 2ab + 4b 2 \u003d (a + 2b) 2 yazdısa, bu səhv olardı - düsturlar ilə faktorizasiyanı tətbiq etməzdən əvvəl polinomun bütün şərtlərini diqqətlə nəzərdən keçirməlisiniz.

40. Hər iki texnikanın birləşdirilməsi... Bəzən polinomları faktorlara ayırarkən həm ümumi faktoru mötərizədən çıxarmaq metodunu həm də düsturlar tətbiq etmə metodunu birləşdirməlisiniz. Bəzi nümunələr:

1.2a 3 - 2ab 2. Əvvəlcə mötərizələrin xaricindəki ümumi amili 2a çıxarırıq, 2a (a 2 - b 2) alırıq. Amil a 2 - b 2, öz növbəsində, düsturla (a + b) və (a - b) amillərinə ayrılır.

Bəzən formullarla parçalanma metodunu dəfələrlə tətbiq etmək lazımdır:

1. a 4 - b 4 \u003d (a 2 + b 2) (a 2 - b 2)

İlk amil a 2 + b 2-nin tanış düsturların heç birinə uyğun olmadığını görürük; üstəlik, bölünmənin xüsusi hallarını xatırladaraq (maddə 37), 2 + b 2-nin (iki ədədin kvadratlarının cəmi) ümumiyyətlə faktorlaşdırıla bilməyəcəyini təyin edəcəyik. Alınan amillərin ikincisi a 2 - b 2 (iki ədədin kvadratına görə fərq) amillər (a + b) və (a - b) -ə ayrılır. Belə ki,

41. Xüsusi bölmə hallarının tətbiqi... Maddə 37-yə əsasən dərhal yaza bilərik, məsələn,