nəzəriyyəsi oyun strategiyası qarışıq

Qarışıq Strategiyalar

Matris oyununda xalis strategiyalarda yəhər nöqtəsi yoxdursa, oyunun yuxarı və aşağı qiymətləri tapılır. Onlar göstərirlər ki, 1-ci oyunçu oyunun yuxarı qiymətindən daha çox qazanc əldə etməyəcək və həmin oyunçu 1-ə oyunun aşağı qiymətindən az olmayan bir qazanc təmin edilir.

Oyunçunun qarışıq strategiyası verilmiş ehtimallarla eyni şəraitdə oyun dəfələrlə təkrar edildikdə onun xalis strategiyalarının tam dəstidir. Gəlin deyilənləri ümumiləşdirək və müraciət şərtlərini sadalayaq qarışıq strategiyalar:

• * yəhər nöqtəsi olmayan oyun;
• * oyunçular verilmiş ehtimallarla təmiz strategiyaların təsadüfi qarışığından istifadə edirlər;
• * oyun oxşar şəraitdə dəfələrlə təkrarlanır;
• * hər bir hərəkətdə heç bir oyunçu digər oyunçu tərəfindən strategiya seçimi barədə məlumatlandırılmır;
• * oyun nəticələrinin orta hesablanmasına icazə verilir.

Qarışıq strategiyalar üçün aşağıdakı qeydlərdən istifadə olunur.

Oyunçu 1 üçün A 1 , A 2 , ..., A t müvafiq ehtimalları olan p 1 , p 2, ..., p t təmiz strategiyalarının tətbiqindən ibarət qarışıq strategiya.

Oyunçu 2 üçün

q j xalis B j strategiyasının tətbiqi ehtimalıdır.

p i = 1 olduğu halda, 1-ci oyunçu üçün təmiz strategiyamız var

Oyunçunun saf strategiyaları yeganə mümkün uyğunsuz hadisələrdir. Matris oyununda A matrisini bilməklə (həm oyunçu 1, həm də 2-ci oyunçuya aiddir) biz nə vaxt təyin edə bilərik verilmiş vektorlar və orta qazanc ( gözlənilən dəyər 1-ci oyunçunun təsiri:

vektorları haradadır;

p i və q i vektor komponentləridir.

Qarışıq strategiyalarını tətbiq etməklə, 1-ci oyunçu orta qazancını maksimuma çatdırmağa, 2-ci oyunçu isə bu effekti mümkün olan minimum dəyərə çatdırmağa çalışır. Oyunçu 1 çatmağı hədəfləyir

Oyunçu 2 şərti təmin etməyə çalışır

1 və 2-ci oyunçuların optimal qarışıq strategiyalarına uyğun vektorları da qeyd edək, yəni. belə vektorlar və hansı üçün bərabərlik

Oyunun dəyəri hər iki oyunçu qarışıq strategiyalardan istifadə etdikdə 1-ci oyunçunun orta qazancıdır. Beləliklə, matris oyununun həlli:

• - oyunçu 1-in optimal qarışıq strategiyası;
• - oyunçu 2-nin optimal qarışıq strategiyası;

Oyun qiyməti.

Qarışıq strategiyalar funksiya üçün yəhər nöqtəsi təşkil edərsə optimal (u) olacaqdır, yəni.

Riyazi oyunların əsas teoremi var.

İstənilən A matrisi olan matris oyunu üçün dəyərlər

mövcuddur və bir-birinə bərabərdir: = = .

Qeyd etmək lazımdır ki, optimal strategiyaları seçərkən 1-ci oyunçu həmişə 2-ci oyunçunun hər hansı sabit strategiyası üçün oyunun dəyərindən az olmayan orta gəlir əldə edəcək (və 2-ci oyunçu üçün əksinə). 1 və 2-ci oyunçuların aktiv strategiyaları ehtimalları sıfırdan fərqli olan uyğun oyunçuların optimal qarışıq strategiyalarının bir hissəsi olan strategiyalardır. Bu o deməkdir ki, oyunçuların optimal qarışıq strategiyalarının tərkibinə onların bütün apriori verilmiş strategiyaları daxil olmaya bilər.

Oyunu həll etmək oyunun qiymətini və optimal strategiyaları tapmaq deməkdir. Matris oyunları üçün optimal qarışıq strategiyaları tapmaq üsullarını nəzərdən keçirərək, başlayırıq ən sadə oyun, 22-ci matris ilə təsvir edilmişdir. Yəhər nöqtəsi olan oyunlar xüsusi olaraq nəzərə alınmayacaq. Bir yəhər nöqtəsi əldə edilərsə, bu, tərk edilməli olan mənfəətsiz strategiyaların olduğunu bildirir. Yəhər nöqtəsi olmadıqda, iki optimal qarışıq strategiya əldə edilə bilər. Artıq qeyd edildiyi kimi, bu qarışıq strategiyalar aşağıdakı kimi yazılır:

Beləliklə, bir ödəmə matrisi var

a 11 p 1 + a 21 p 2 =; (1.16)

a 12 p 1 + a 22 p 2 =; (1.17)

p 1 + p 2 = 1. (1.18)

a 11 p 1 + a 21 (1 - p 1) = a 12 p 1 + a 22 (1 - p 1); (1.19)

a 11 p 1 + a 21 - a 21 p 1 = a 12 p 1 + a 22 - a 22 p 1 , (1.20)

optimal dəyərləri haradan əldə edirik:

Bilərək və tapırıq:

Hesablama, biz tapırıq:

a 11 q 1 + a 12 q 2 = ; q 1 + q 2 \u003d 1; (1.24)

a 11 q 1 + a 12 (1 - q 1) = . (1,25)

11 ilə 12 üçün. (1.26)

Oyunun vektorları və qiyməti tapıldığı üçün problem həll olunur. A ödəniş matrisinə malik olmaqla, problemi qrafik şəkildə həll edə bilərik. Bu üsulla həll alqoritmi çox sadədir (şək. 2.1).

• 1. Absis boyunca uzunluq vahidi olan seqment çəkilir.
• 2. Y oxunda, qazanclar A 1 strategiyası ilə təsvir edilmişdir.
• 3. y oxuna paralel xəttdə, 1-ci nöqtədə, a 2 strategiyası üçün gəlirlər qrafası çəkilir.
• 4. Seqmentlərin ucları a 11 -b 11, a 12 -b 21, a 22 -b 22, a 21 -b 12 üçün göstərilib və iki düz xətt b 11 b 12 və b 21 b 22 çəkilib.
• 5. ilə kəsişmə nöqtəsinin ordinatı müəyyən edilir. O, bərabərdir. C nöqtəsinin absisi p 2-ə bərabərdir (p 1 \u003d 1 - p 2).

düyü. 1.1.

Bu üsul kifayət qədər geniş tətbiq sahəsinə malikdir. Buna əsaslanır ümumi mülkiyyət oyunlar tn, bu ondan ibarətdir ki, hər hansı bir oyunda hər bir oyunçu optimal qarışıq strategiyaya malikdir, burada təmiz strategiyaların sayı ən çox min(m, n). Bu xassədən məlum nəticə əldə etmək olar: istənilən 2n və m2 oyunda hər optimal strategiya u ən çox iki aktiv strategiyanı ehtiva edir. Beləliklə, hər hansı bir oyun 2n və m2 22 oyununa endirilə bilər. Buna görə də, 2n və m2 oyunları qrafik olaraq həll edilə bilər. Əgər sonlu oyun matrisinin ölçüsü mn, burada m > 2 və n > 2 olarsa, optimal qarışıq strategiyaları müəyyən etmək üçün xətti proqramlaşdırmadan istifadə edilir.

5. OYUN NƏZƏRİYYƏSİ VƏ STATİSTİK HƏLLLƏR

5.1. Sıfır cəmi matris oyunu

İqtisadi və riyazi modelləşdirmə aşağıdakı şərtlərdə həyata keçirilir:

müəyyənlik;

Qeyri-müəyyənliklər.

Modelləşdirmə əminlik şəraitində bunun üçün zəruri olan bütün ilkin tənzimləyici məlumatların (matris modelləşdirilməsi, şəbəkənin planlaşdırılması və idarə edilməsi) mövcudluğunu nəzərdə tutur.

Modelləşdirmə riskdə bəzi ilkin məlumatların qiymətləri təsadüfi olduqda və bu təsadüfi dəyişənlərin ehtimal paylanması qanunları məlum olduqda (reqressiya təhlili, növbə nəzəriyyəsi) stoxastik qeyri-müəyyənlik şəraitində aparılır.

Modelləşdirmə qeyri-müəyyənlik şəraitində uyğun gəlir tam yoxluğu bunun üçün lazım olan bəzi məlumatlar (oyun nəzəriyyəsi).

Optimal qərarlar qəbul etmək üçün riyazi modellər münaqişə vəziyyətləri qeyri-müəyyənlik şəraitində tikilmişdir.

Oyun nəzəriyyəsində aşağıdakı əsas anlayışlardan istifadə olunur:

Strategiya;

qazanmaq funksiyası.

hərəkət biz oyun qaydaları ilə nəzərdə tutulmuş hərəkətlərdən birinin oyunçu tərəfindən seçilməsini və həyata keçirilməsini adlandıracağıq.

Strategiya - Bu, vəziyyətdən asılı olaraq hər bir hərəkət üçün hərəkət kursunun seçilməsi texnologiyasıdır.

qazanmaq funksiyası uduzan oyunçunun qalibə ödədiyi ödənişin məbləğini müəyyən etməyə xidmət edir.

Matris oyununda ödəmə funksiyası kimi təmsil olunur ödəniş matrisi :

Hərəkəti seçən I oyunçuya, gedişi seçən II oyunçuya ödəniş məbləği haradadır.

Belə bir cüt oyunda, hər bir vəziyyətdə hər iki oyunçunun ödəmə funksiyalarının dəyərləri böyüklükdə bərabərdir və işarə baxımından əksdir, yəni. və bu oyun adlanır sıfır məbləğ .

"Matrix oyunu oynamaq" prosesi aşağıdakı kimi təqdim olunur:

Ödəniş matrisi müəyyən edilir;

Oyunçu I, II oyunçudan asılı olmayaraq, bu matrisin sıralarından birini seçir, məsələn, -ci;

Oyunçu II, I oyunçudan asılı olmayaraq, bu matrisin sütunlarından birini seçir, məsələn, - ci;

Matris elementi II oyunçudan nə qədər oyunçu alacağımı müəyyənləşdirir. Əlbəttə, əgər varsa danışırıq I oyunçunun faktiki itkisi haqqında.

Ödəniş matrisi olan antaqonist cüt oyun oyun adlanacaq.

Misal

Bir oyunu nəzərdən keçirək.

Ödəniş matrisi verilir:

.

Qoy I oyunçu II oyunçudan asılı olmayaraq bu matrisin 3-cü cərgəsini, I oyunçudan asılı olmayaraq II oyunçu isə bu matrisin 2-ci sütununu seçsin:

Sonra I oyunçu II oyunçudan 9 ədəd alacaq.

5.2. Matris oyununda optimal təmiz strategiya

Optimal strategiya I oyunçunun strategiyası elə adlanır ki, o, II oyunçunun hər hansı strategiya seçimi üçün qazancını azaltmasın və II oyunçunun elə strategiyası ki, I oyunçunun hər hansı strategiya seçimi üçün itkisini artırmasın.

Ödəniş matrisinin i-ci cərgəsini hərəkət kimi seçməklə I oyunçu ən pis halda, II oyunçu bu dəyəri minimuma endirməyə çalışdıqda, ən azı dəyərin qazancını təmin edir. Ona görə də oyunçunu onu təmin edəcək -ci sıra seçəcəyəm maksimum qalibiyyət:

.

Oyunçu II oxşar şəkildə mübahisə edir və özünə minimum itkiyə zəmanət verə bilər:

.

Aşağıdakı bərabərsizlik həmişə doğrudur:

Dəyər deyilir aşağı qiymət oyunlar .

Dəyər deyilir yüksək oyun qiyməti .

Optimal strategiyalar adlanır təmiz , əgər onlar üçün bərabərlik təmin edilirsə:

,

.

Dəyər deyilir oyunun xalis qiyməti , əgər.

Optimal təmiz strategiyalar və forma yəhər nöqtəsi ödəniş matrisi.

Yəhər nöqtəsi üçün aşağıdakı şərtlər yerinə yetirilir:

yəni element cərgədə ən kiçik və sütunda ən böyüyüdür.

Beləliklə, əgər ödəmə matrisi varsa yəhər nöqtəsi , onda tapa bilərsiniz optimal təmiz strategiyalar oyunçular.

I oyunçunun xalis strategiyası birinə bərabər olan --ci yerdəki nömrə istisna olmaqla, bütün nömrələrin sıfıra bərabər olduğu sıralı nömrələr dəsti (vektor) ilə təmsil oluna bilər.

Oyunçu II-nin xalis strategiyası birinə bərabər olan --ci yerdəki nömrə istisna olmaqla, bütün nömrələrin sıfıra bərabər olduğu sıralı nömrələr dəsti (vektor) ilə təmsil oluna bilər.

Misal

.

Hərəkət kimi qazanc matrisinin bəzi cərgəsini seçməklə, I oyunçu ən pis halda, işarələnmiş sütundakı dəyərdən az olmayan bir qazanc əldə edir:

Buna görə də, I oyunçu bu dəyəri minimuma endirməyə çalışacaq II oyunçunun hərəkətindən asılı olmayaraq, ona maksimum qazanc təmin edən ödəmə matrisinin 2-ci sırasını seçəcək:

Oyunçu II eyni şəkildə mübahisə edir və hərəkət kimi 1-ci sütunu seçir:

Beləliklə, ödəmə matrisinin yəhər nöqtəsi var:

Oyunçu I və II oyunçu üçün optimal xalis strategiyaya uyğundur ki, I oyunçu II oyunçunun strategiyasında hər hansı dəyişikliyə görə qazancını azaltmasın və II oyunçu I oyunçunun strategiyasında hər hansı dəyişikliyə görə öz itkisini artırmasın.

5.3. Matris oyununda optimal qarışıq strategiya

Ödəniş matrisinin yəhər nöqtəsi yoxdursa, hər hansı bir oyunçunun bir xalis strategiyadan istifadə etməsi rasional deyil. İstifadəsi daha sərfəlidir "ehtimal qarışıqları" təmiz strategiyalar. Sonra artıq qarışıq strategiyalar optimal olanlar kimi müəyyən edilir.

Qarışıq Strategiya oyunçunun hərəkəti bu oyunçunun hərəkət seçimindən ibarət təsadüfi hadisənin ehtimal paylanması ilə xarakterizə olunur.

I oyunçunun qarışıq strategiyası belə sıralanmış nömrələr toplusudur (vektor) iki şərti ödəyir:

1) üçün, yəni ödəmə matrisinin hər bir sırasını seçmək ehtimalı mənfi deyil;

2) , yəni məcmuda ödəniş matrisi sətirlərinin hər birinin seçimi tam qrup hadisələr.

Oyunçu II-nin qarışıq strategiyası sıralanmış nömrələr dəstidir (vektor) şərtləri ödəyir:

Ödəniş məbləği qarışıq strategiya seçən I oyunçuya

qarışıq strategiya seçən II oyunçudan

,

ortadır

.

Optimal qarışıq strategiyalar adlanır

və ,

hər hansı ixtiyari qarışıq strategiyalar üçün aşağıdakı şərt təmin edilirsə:

yəni optimal qarışıq strategiyada I oyunçunun qazancı ən böyük, II oyunçunun itkisi isə ən kiçikdir.

Ödəniş matrisində yəhər nöqtəsi yoxdursa, o zaman

,

yəni müsbət fərq var ( fərq saxlanılır )

- ³ 0,

və oyunçular bu fərqdən öz xeyrinə inamla daha çox pay almaq üçün əlavə imkanlar axtarmalıdırlar.

Misal

Ödəniş matrisi ilə verilən oyunu nəzərdən keçirin:

.

Yəhər nöqtəsinin olub olmadığını müəyyənləşdirin:

, .

Məlum oldu ki, ödəmə matrisində yəhər nöqtəsi yoxdur və paylanmayan fərq:

.

5.4. Optimal qarışıq strategiyaların tapılması

2×2 oyunlar üçün

Ölçüləri olan ödəmə matrisi üçün optimal qarışıq strategiyaların müəyyən edilməsi iki dəyişən funksiyasının optimal nöqtələrinin tapılması üsulu ilə həyata keçirilir.

I oyunçunun qazanc matrisinin birinci cərgəsini seçmə ehtimalı olsun

-ə bərabərdir. Onda ikinci sıranı seçmək ehtimalı .

II oyunçunun birinci sütunu seçmə ehtimalı bərabər olsun. Onda ikinci sütunun seçilmə ehtimalı .

II oyunçu tərəfindən I oyunçuya ödəniş məbləği aşağıdakılara bərabərdir:

I oyunçunun qazancının və II oyunçunun itkisinin həddindən artıq dəyəri şərtlərə uyğundur:

;

.

Beləliklə, I və II oyunçuların optimal qarışıq strategiyaları aşağıdakılardır:

5.5. 2× oyunların həndəsi həllin

Ödəniş matrisinin ölçüsünün --dən artması ilə, optimal qarışıq strategiyaların tərifini iki dəyişənli funksiyanın optimalını tapmaq üçün azaltmaq artıq mümkün deyil. Bununla belə, oyunçulardan birinin yalnız iki strategiyası olduğunu nəzərə alsaq, həndəsi həlldən istifadə etmək olar.

Oyunun həllinin tapılmasının əsas mərhələləri aşağıdakılardır.

Təyyarədə koordinat sistemini təqdim edirik. Oxa bir xətt seqmenti qoyaq. Bu seqmentin sol və sağ uclarından perpendikulyarlar çəkirik.

Bölmə seqmentinin sol və sağ ucları iki strategiyaya uyğundur və I oyunçu üçün əlçatandır. Çəkilmiş perpendikulyarlarda biz bu oyunçunun ödənişlərini təxirə salacağıq. Məsələn, ödəmə matrisi üçün

I oyunçunun belə gəlirləri strategiya seçərkən və olacaq, strategiya seçərkən isə olacaqlar.

II oyunçunun strategiyalarına uyğun gələn I oyunçunun qazanc nöqtələrini düz xətt seqmentləri ilə birləşdirək. Sonra qrafiki aşağıdan bağlayan formalaşmış qırıq xətt I oyunçunun qazancının aşağı sərhədini təyin edir.

Oyunçu I üçün optimal qarışıq strategiyanın tapılması

,

maksimum ordinata malik I oyunçunun qazancının aşağı sərhədindəki nöqtəyə uyğundur.

Diqqət yetirək ki, nəzərdən keçirilən misalda yalnız iki strategiyadan istifadə etməklə və I oyunçunun qazancının aşağı sərhəddində tapılan nöqtədə kəsişən düz xətlərə uyğun gələn II oyunçu I oyunçunun daha böyük məbləğ əldə etməsinə mane ola bilər. ödəmək.

Beləliklə, oyun oyuna endirilir və baxılan nümunədə II oyunçunun optimal qarışıq strategiyası olur

,

burada ehtimal oyundakı kimidir:

5.6. Oyun həllim× n

Əgər matris oyununun təmiz strategiyalarda həlli yoxdursa (yəni, yəhər nöqtəsi yoxdur) və qazanc matrisinin böyük ölçüsünə görə qrafik olaraq həll edilə bilmirsə, həllini əldə etmək üçün istifadə edin. xətti proqramlaşdırma üsulu .

Ölçünün ödəmə matrisi verilsin:

.

Ehtimalları tapmaq lazımdır , II oyunçunun hərəkət seçimindən asılı olmayaraq, bu qarışıq strategiyanın ona ən azı bir qazancı təmin etmək üçün hansı oyunçu ilə hərəkətlərini seçməliyəm.

II oyunçu tərəfindən seçilən hər bir hərəkət üçün I oyunçunun qazancı asılılıqlarla müəyyən edilir:

Bərabərsizliklərin hər iki tərəfini bölürük və yeni qeydlər təqdim edirik:

Bərabərlik

Formanı alacaq:

Oyunçu mən qazancı maksimuma çatdırmaq istədiyindən, qarşılıqlı minimuma endirilməlidi. Sonra oyunçu üçün xətti proqramlaşdırma problemi formanı alacağam:

məhdudiyyətlər altında

Oyunçu II üçün problem oxşar şəkildə ikili problem kimi qurulur:

məhdudiyyətlər altında

Simpleks üsulu ilə məsələləri həll edərək əldə edirik:

,

5.7. Matris oyunlarının həllinin xüsusiyyətləri

Optimal strategiyaların tapılması problemini həll etməzdən əvvəl iki şərt yoxlanılmalıdır:

Ödəniş matrisini sadələşdirmək mümkündürmü;

Ödəniş matrisinin yəhər nöqtəsi varmı?

Ödəniş matrisini sadələşdirmək imkanını nəzərdən keçirin:

O oyunçuya görə mən almağa çalışıram ən böyük qələbə, onda -ci sətir ödəniş matrisindən silinə bilər, çünki o, aşağıdakı əlaqə hər hansı digər -ci sətirlə qane olarsa, bu hərəkətdən heç vaxt istifadə etməyəcək:

Eynilə, ən az itkiyə can atan II oyunçu heç vaxt hərəkət kimi ödəniş matrisində --ci sütunu seçməyəcək və aşağıdakı əlaqə hər hansı digər --ci sütunla uyğundursa, bu sütunun üstündən xətt çəkilə bilər:

Ən çox sadə həll oyun sadələşdirilmiş ödəmə matrisində aşağıdakı şərtə cavab verən yəhər nöqtəsinin olmasıdır (tərifə görə):

Misal

Ödəniş matrisini nəzərə alaraq:

.

Ödəniş matrisinin sadələşdirilməsi:

Yəhər nöqtəsinin olması:

5.8. Təbiətlə oynamaq

Oyun nəzəriyyəsi problemlərindən fərqli olaraq nəzəriyyə statistik qərarlar qeyri-müəyyən vəziyyətin antaqonist konflikt rəngi yoxdur və obyektiv reallıqdan asılıdır ki, bu da adətən adlanır. "təbiət" .

Təbiətlə matris oyunlarında II oyunçu qəbul edilən qərarların səmərəliliyinə təsir edən qeyri-müəyyən amillər toplusudur.

Təbiətlə matris oyunları adi matris oyunlarından yalnız onunla fərqlənir ki, I oyunçu optimal strategiya seçəndə II oyunçunun öz itkisini minimuma endirməyə çalışacağına inanmaq artıq mümkün deyil. Buna görə də, ödəmə matrisi ilə birlikdə təqdim edirik risk matrisi :

şərtlər altında hərəkətdən istifadə edərkən I oyunçunun risk dəyəri fərqə bərabərdir o oyunçunun şərtinin qurulacağını bilsəydi ala biləcəyim mükafat arasında, yəni. , və alacağı ödəniş, bir hərəkət seçərkən şərtin qurulacağını bilmədən.

Beləliklə, ödəmə matrisi unikal şəkildə risk matrisinə çevrilir və əks çevrilmə birmənalı deyil.

Misal

Win Matrix:

.

Risk matrisi:

Mümkün iki problem bəyanatı həll yolunu seçmək haqqında təbiətlə matris oyununda :

Mənfəətin maksimumlaşdırılması;

Riskin minimuma endirilməsi.

Qərar problemi iki şərtdən biri üçün təyin edilə bilər:

- riskdə təbiət strategiyalarının ehtimal paylama funksiyası məlum olduqda, məsələn, təklif olunan konkret iqtisadi vəziyyətlərin hər birinin baş verməsinin təsadüfi dəyişəni;

- qeyri-müəyyənlik şəraitində belə bir ehtimal paylama funksiyası naməlum olduqda.

5.9. Statistik həllər nəzəriyyəsində problemlərin həlli

riskdə

Riskli qərarlar qəbul edərkən mən oyunçu ehtimalları bilirəm təbiət hallarının başlanğıcı.

O zaman I oyunçunun hansı strategiyanı seçməsi məqsədəuyğundur xətt üzrə götürülmüş gəlirin orta dəyəri maksimumdur :

.

Bu problemi bir risk matrisi ilə həll edərkən, uyğun gələn eyni həlli əldə edirik minimum orta risk :

.

5.10. Statistik həllər nəzəriyyəsində problemlərin həlli

qeyri-müəyyənlik şəraitində

Qeyri-müəyyənlik şəraitində qərarlar qəbul edərkən aşağıdakılardan istifadə edə bilərsiniz meyarlar :

Valdın maksimal kriteriyası;

meyar minimal risk vəhşi;

Bədbinlik meyarı - Hurvitsin nikbinliyi;

Laplasın qeyri-kafi səbəb prinsipi.

düşünün maksimal Wald meyarı .

Təbiətlə oyun ağlabatan aqressiv rəqiblə olduğu kimi oynanılır, yəni ödəmə matrisi üçün həddindən artıq bədbinlik mövqeyindən təkrarsığorta yanaşması həyata keçirilir:

.

düşünün Savage minimum risk meyarı .

Risk matrisi üçün həddindən artıq bədbinlik mövqeyindən əvvəlki yanaşmaya bənzər:

.

düşünün pessimizmin meyarı - Hurvitz optimizmi .

Bu, həddindən artıq pessimizmə və ya ifrat optimizmə əsaslanmamaq fürsətini təqdim edir:

bədbinlik dərəcəsi haradadır;

at - həddindən artıq optimizm,

at - həddindən artıq bədbinlik.

düşünün Laplasın qeyri-kafi səbəb prinsipi .

Bütün təbiət hallarının eyni dərəcədə ehtimal olunduğu güman edilir:

,

.

Beşinci bölmə üzrə nəticələr

Matris oyununda iki oyunçu iştirak edir və uduzan oyunçudan qalibə ödəniş məbləğini təyin etməyə xidmət edən ödəmə funksiyası ödəmə matrisi kimi təmsil olunur. Razılaşdırıldı ki, oyunçu I hərəkət kimi qazanc matrisi sıralarından birini, II oyunçu isə onun sütunlarından birini seçsin. Sonra bu matrisin seçilmiş sətir və sütununun kəsişməsində II oyunçudan I oyunçuya ödənişin ədədi dəyəri göstərilir (əgər bu dəyər müsbətdirsə, mən oyunçu həqiqətən qazanmışam, mənfi olarsa, II oyunçu mahiyyətcə qazandı).

Ödəniş matrisində yəhər nöqtəsi varsa, oyunçuların optimal təmiz strategiyaları var, yəni qalib gəlmək üçün onların hər biri bir optimal hərəkətini təkrarlamalıdır. Yəhər nöqtəsi yoxdursa, qalib gəlmək üçün onların hər biri optimal qarışıq strategiyadan istifadə etməlidir, yəni hər biri optimal ehtimalla edilməli olan hərəkətlərin qarışığından istifadə etməlidir.

2×2 oyunları üçün optimal qarışıq strategiyaların tapılması məlum düsturlardan istifadə edərək optimal ehtimalların hesablanması ilə həyata keçirilir. İstifadə etməklə həndəsi həll 2×n oyunları, onlarda optimal qarışıq strategiyaların tərifi 2×2 oyunları üçün optimal qarışıq strategiyaların tapılmasına qədər azaldılır. m×n oyunlarını həll etmək üçün onlarda optimal qarışıq strategiyaları tapmaq üçün xətti proqramlaşdırma metodundan istifadə edilir.

Bəzi ödəniş matrisləri sadələşdirməyə borcludurlar, nəticədə onların ölçüsü perspektivsiz hərəkətlərə uyğun sətir və sütunları silməklə azalır.

Əgər II oyunçu obyektiv reallıqdan asılı olan və antaqonist konflikt rənginə malik olmayan qeyri-müəyyən amillər toplusudursa, belə oyun təbiətlə oyun adlanır və onun həlli üçün statistik qərarlar nəzəriyyəsinin problemlərindən istifadə olunur. Sonra, ödəmə matrisi ilə yanaşı, bir risk matrisi təqdim olunur və təbiətlə bir matris oyununda həll yolu seçmək probleminin iki formulunu mümkündür: qazancı maksimuma çatdırmaq və riski minimuma endirmək.

Risk şəraitində statistik qərarlar nəzəriyyəsinin problemlərinin həlli onu göstərir ki, I oyunçunun qazanc matrisinin xətti boyunca götürülmüş qazancın orta dəyərinin (gözləntisinin) maksimum olduğu strategiyanı seçməsi məqsədəuyğundur və ya ( eyni olan) risk matrisinin xətti ilə götürülmüş riskin orta qiyməti (gözləntisi) minimaldır. Qeyri-müəyyənlik şəraitində qərarlar qəbul edərkən, aşağıdakı meyarlar: Valdın maksimal kriteriyası, Savagenin minimum risk meyarı, Hurvitsin pessimizm-nikbinlik meyarı, Laplasın qeyri-kafi səbəb prinsipi.

Özünü yoxlamaq üçün suallar

Oyun nəzəriyyəsinin əsas anlayışları necə müəyyən edilir: hərəkət, strategiya və qazanc funksiyası?

Matris oyununda qazanc funksiyası necə təmsil olunur?

Niyə matris oyunu sıfır cəmi adlanır?

Matris oyununu oynamaq prosesi necədir?

Hansı oyun m×n oyunu adlanır?

Optimal matris oyun strategiyası nədir?

Saf adlanan matris oyunu üçün optimal strategiya nədir?

Ödəniş matrisinin yəhər nöqtəsi nə deməkdir?

Qarışıq adlanan matris oyunu üçün optimal strategiya hansıdır?

Oyunçunun qarışıq strategiyası nədir?

Qarışıq strategiyaları seçən II oyunçudan I oyunçunun qazancı nədir?

Hansı qarışıq strategiyalar optimal adlanır?

Paylanmayan fərq nə deməkdir?

2×2 oyunlar üçün optimal qarışıq strategiyaları tapmaq üçün hansı üsuldan istifadə olunur?

2×n oyunları üçün optimal qarışıq strategiyalar necə tapılır?

m×n oyunları üçün optimal qarışıq strategiyaları tapmaq üçün hansı üsuldan istifadə olunur?

Matris oyunlarının həllinin xüsusiyyətləri hansılardır?

Ödəniş matrisinin sadələşdirilməsi nə deməkdir və hansı şərtlərdə həyata keçirilə bilər?

Ödəniş matrisinin yəhər nöqtəsi olduqda və ya olmadıqda hansı matris oyununu həll etmək daha asandır?

Oyun nəzəriyyəsinin hansı problemləri statistik qərarlar nəzəriyyəsinin problemlərinə aiddir?

Ödəniş matrisi risk matrisinə necə çevrilir?

Təbiətlə matris oyununda həllərin seçilməsi probleminin hansı iki variantı mümkündür?

Təbiətlə matris oyununda qərar vermə problemləri hansı iki şərt üçün qoyula bilər?

Riskli statistik qərarlar nəzəriyyəsi problemini həll edərkən I oyunçunun hansı strategiyanı seçməsi məqsədəuyğundur?

Qeyri-müəyyənlik şəraitində statistik qərarlar nəzəriyyəsinin problemlərini həll edərkən hansı qərar qəbul etmə meyarlarından istifadə etmək olar?

Problemin həlli nümunələri

1. Ödəniş matrisi müəssisənin satış zamanı əldə etdiyi mənfəətin məbləğini göstərir fərqli növlər müəyyən edilmiş tələbatdan (sətirlərdən) asılı olaraq məhsullar (sütunlar). Müxtəlif növ məhsulların istehsalı üzrə müəssisənin optimal strategiyasını və onların satışından müvafiq maksimum (orta hesabla) gəliri müəyyən etmək lazımdır.

Verilmiş matrisi ilə işarələyin və dəyişənləri təqdim edin. Biz həmçinin matrisdən (vektor) istifadə edəcəyik. Sonra və , yəni.

Tərs matris hesablanır:

Dəyərlər tapılır:

.

Ehtimallar hesablanır:

Satışdan orta gəlir müəyyən edilir:

.

2. "Pharmatsevt" firması - regionda dərman və biotibbi məhsullar istehsalçısı. Məlumdur ki, bəzi dərmanlara tələbat pik həddə çatır yay dövrü(ürək-damar qrupunun dərmanları, analjeziklər), digərləri üçün - payız və yaz dövrləri üçün (anti-infeksion, antitüsiv).

1 konv. üçün xərclər. vahidlər sentyabr-oktyabr ayları üçün məhsullar: birinci qrup üçün (ürək-damar dərmanları və analjeziklər) - 20 rubl; ikinci qrup üçün (anti-infeksion, antitüsiv dərmanlar) - 15 rubl.

Bir neçə üzərində aparılan müşahidələrə görə Son illərdəŞirkətin marketinq xidməti müəyyən edib ki, o, isti hava şəraitində nəzərdən keçirilən iki ay ərzində 3050 şərti ədəd sata bilər. vahidlər birinci qrupun məhsulları və 1100 konv. vahidlər ikinci qrupun məhsulları; soyuq hava şəraitində - 1525 arb. vahidlər birinci qrupun məhsulları və 3690 konv. vahidlər ikinci qrup.

Mümkün hava dəyişiklikləri ilə əlaqədar olaraq, vəzifə 40 rubl satış qiymətində satışdan maksimum gəlir təmin edən məhsulların istehsalında şirkətin strategiyasını müəyyən etməkdir. 1 konv. vahidlər birinci qrupun məhsulları və 30 p. - ikinci qrup.

HƏLL. Şirkətin iki strategiyası var:

Bu il hava isti olacaq;

Hava soyuq olacaq.

Əgər şirkət strategiya qəbul edərsə və hava həqiqətən isti olarsa (təbiət strategiyası), o zaman istehsal olunan məhsullar (birinci qrup dərmanların 3050 şərti vahidi və ikinci qrupun 1100 şərti vahidi) tam reallaşdırılacaq və gəlir əldə ediləcək. olmaq

3050×(40-20)+1100×(30-15)=77500 r.

Sərin hava şəraitində (təbiət strategiyası) ikinci qrup dərmanlar tam həcmdə, birinci qrup isə yalnız 1525 şərti vahid həcmində satılacaq. vahidlər və bəzi dərmanlar satılmadan qalacaq. Gəlir olacaq

1525×(40-20)+1100×(30-15)-20×()=16500 r.

Eynilə, əgər forma strategiyanı qəbul edərsə və hava əslində soyuq olarsa, o zaman gəlir də olacaq

1525×(40-20)+3690×(30-15)=85850 r.

İsti havalarda gəlir olacaq

1525×(40-20)+1100×(30-15)-() ×15=8150 r.

Firmanı və havanı iki oyunçu kimi nəzərə alsaq, qazanc matrisini alırıq

,

Oyunun qiyməti aralığındadır

Ödəniş matrisindən görünə bilər ki, bütün şərtlər altında şirkətin gəliri ən azı 16500 rubl olacaq, lakin hava şəraiti seçilmiş strategiya ilə üst-üstə düşərsə, o zaman şirkətin gəliri 77500 rubl ola bilər.

Gəlin oyunun həllini tapaq.

Strategiyanın firma tərəfindən tətbiqi ehtimalını , strategiya - vasitəsilə və kimi işarə edək. Oyunu qrafik olaraq həll edərək, əldə edirik , oyunun qiyməti isə r.

Dərman istehsalının optimal planı olacaq

Beləliklə, firmanın sentyabr və oktyabr aylarında 2379 şərti ədəd istehsal etməsi məqsədəuyğundur. vahidlər birinci qrup dərman vasitələri və 2239,6 şərti vahid. vahidlər ikinci qrupun dərmanları, sonra istənilən havada ən azı 46.986 rubl gəlir əldə edəcək.

Qeyri-müəyyənlik şəraitində, əgər şirkətin qarışıq strategiyadan istifadə etməsi mümkün deyilsə (digər təşkilatlarla müqavilələr), biz şirkətin optimal strategiyasını müəyyən etmək üçün aşağıdakı meyarlardan istifadə edirik:

Walde meyarı:

Hurwitz meyarı: müəyyənlik üçün, sonra şirkətin strategiyasını qəbul edirik

strategiya üçün

firmanın strategiyadan istifadə etməsi məqsədəuyğundur.

Savage meyarı. Birinci sütunda maksimum element 77500, ikinci sütunda 85850-dir.

Risk matrisinin elementləri ifadədən tapılır

,

harada , ,

Risk matrisinin forması var

,

və ya strategiyasından istifadə etmək məsləhətdir.

Buna görə də firmanın strategiyanı tətbiq etməsi məqsədəuyğundur və ya .

Qeyd edək ki, nəzərdən keçirilən meyarların hər biri üçün tamamilə qənaətbəxş hesab edilə bilməz son seçim qərarlar, lakin onların birgə təhlili müəyyən idarəetmə qərarlarının qəbul edilməsinin nəticələrini daha aydın şəkildə təqdim etməyə imkan verir.

Təbiətin müxtəlif vəziyyətlərinin məlum ehtimal paylanması ilə qərar meyarı qazancın maksimum riyazi gözləntisidir.

Nəzərdən keçirilən problemə görə məlum olsun ki, isti və soyuq hava ehtimalları bərabər və 0,5-ə bərabərdir, onda firmanın optimal strategiyası aşağıdakı kimi müəyyən edilir:

Firmanın strategiyadan istifadə etməsi məqsədəuyğundur və ya.

Müstəqil iş üçün tapşırıqlar

1. Müəssisə üç növ məhsul (A, B və C) istehsal edə bilər, eyni zamanda tələbdən asılı olan mənfəət əldə edə bilər. Tələb də öz növbəsində dörd vəziyyətdən birini (I, II, III və IV) götürə bilər. Aşağıdakı matrisdə elementlər --ci məhsulu və tələbin --ci vəziyyətini buraxdıqda müəssisənin əldə edəcəyi mənfəəti xarakterizə edir:

Ümumiyyətlə, V * ≠ V * - yəhər nöqtəsi yoxdur. Təmiz strategiyalarda da optimal həll yoxdur. Bununla belə, qarışıq strategiya anlayışını təqdim etməklə xalis strategiya anlayışını genişləndirsək, o zaman tam müəyyən edilməmiş oyun probleminin optimal həllini tapmaq üçün alqoritm həyata keçirə bilərik. Belə bir vəziyyətdə antaqonist oyunun optimal həllini tapmaq üçün statistik (ehtimal) yanaşmadan istifadə etmək təklif olunur. Hər bir oyunçu üçün, onun üçün mümkün strategiyaların verilmiş dəsti ilə yanaşı, bu və ya digər strategiyanın tətbiq edilməli olduğu naməlum ehtimal vektoru (nisbi tezliklər) təqdim olunur.

A oyunçusunun verilmiş strategiyalarının seçiminin ehtimallar vektorunu (nisbi tezliklər) aşağıdakı kimi qeyd edək:
P = (p 1 , p 2 ,…, p m),
burada p i ≥ 0, p 1 + p 2 +…+ p m = 1. p i dəyəri A i strategiyasının tətbiqi ehtimalı (nisbi tezlik) adlanır.

Eynilə, B oyunçusu üçün naməlum ehtimal vektoru (nisbi tezliklər) təqdim olunur, onun forması:
Q = (q 1 , q 2 ,…, q n),
burada q j ≥ 0, q 1 + q 2 +…+ q n = 1. q j kəmiyyəti B j strategiyasının tətbiqi ehtimalı (nisbi tezlik) adlanır. A 1 , A 2 , …A m və B 1, B 2, …B n xalis strategiyalarının çoxluğu (birləşməsi) onların hər birinin seçilməsi ehtimal vektorları ilə birlikdə adlanır. qarışıq strategiyalar.

Sonlu antaqonist oyunlar nəzəriyyəsində əsas teoremdir Von Neuman teoremi: hər sonlu matris oyununda var ən azı, bir optimal həll, ola bilsin, qarışıq strategiyalar arasında.
Bu teoremdən belə nəticə çıxır ki, yaxşı müəyyən edilməmiş oyunun qarışıq strategiyalarda ən azı bir optimal həlli var. Belə oyunlarda həll yolu P * və Q * cüt optimal qarışıq strategiyaları olacaq, belə ki, oyunçulardan biri öz optimal strategiyasına əməl edirsə, o zaman digər oyunçunun optimal strategiyasından yayınması sərfəli deyil.
A oyunçusunun orta qazancı riyazi gözlənti ilə müəyyən edilir:

Əgər strategiyanın tətbiqi ehtimalı (nisbi tezliyi) sıfırdan fərqlidirsə, belə strategiya adlanır. aktiv.

P * , Q * strategiyaları adlanır optimal qarışıq M A (P, Q *) ≤ M A (P * , Q *) ≤ M A (P * , Q) (1) olduqda strategiyalar
Bu halda M A (P * , Q *) çağırılır qiymətə oyunlar və V ilə işarələnir (V * ≤ V ≤ V *). (1) bərabərsizliklərinin birincisi bunu bildirir oyunçu A-nın optimal qarışıq strategiyasından yayınması bir şərtlə ki, oyunçu B optimal qarışıq strategiyasına sadiq qalsın, orta qazancın azalmasına gətirib çıxarır oyunçu A. Bərabərsizliklərdən ikincisi o deməkdir ki oyunçu B-nin optimal qarışıq strategiyasından yayınması bir şərtlə ki, oyunçu A optimal qarışıq strategiyasına sadiq qalsın, oyunçu B-nin orta itkisinin artmasına səbəb olur.

Ümumi halda belə problemlər bu kalkulyatorla uğurla həll edilir.

Misal.

1. Ödəniş matrisinin yəhər nöqtəsinin olub olmadığını yoxlayın. Əgər belədirsə, onda oyunun həllini təmiz strategiyalarda yazırıq.

Güman edirik ki, I oyunçu öz strategiyasını öz qazancını maksimuma çatdıracaq şəkildə, II oyunçu isə strategiyasını I oyunçunun qazancını minimuma endirəcək şəkildə seçir.

Biz oyunun aşağı qiyməti ilə müəyyən edilən zəmanətli gəliri tapırıq a = max(a i) = 2, bu, maksimum təmiz strategiya A 1-i göstərir.
Oyunun yuxarı qiyməti b = min(b j) = 7. Bu, yəhər nöqtəsinin olmamasını göstərir, çünki a ≠ b, onda oyunun qiyməti 2 ≤ y ≤ 7 daxilindədir. Oyunun həllini tapırıq. qarışıq strategiyalarda. Bu, oyunçuların öz təmiz strategiyalarını rəqibə açıqlaya bilməmələri ilə izah olunur: hərəkətlərini gizlətməlidirlər. Oyun oyunçulara öz strategiyalarını seçmək imkanı verməklə həll edilə bilər təsadüfi(saf strategiyaları qarışdırın).

2. Dominant sətirlər və dominant sütunlar üçün gəlir matrisini yoxlayın.
Ödəniş matrisində dominant sətirlər və dominant sütunlar yoxdur.

3. Qarışıq strategiyalarda oyunun həllinin tapılması.
Tənliklər sistemini yazaq.
Oyunçu üçün I
4p1 +7p2 +2p3 = y
7p1 +3p2 +p3 = y
2p 1 +2p 2 +8p 3 = y
p1 +p2 +p3 = 1

Oyunçu II üçün
4q1 +7q2 +2q3 = y
7q1 +3q2 +2q3 = y
2q1 +q2 +8q3 = y
q 1 + q 2 + q 3 = 1

Bu sistemləri Gauss üsulu ilə həll edərək tapırıq:

y=4 1/34
p 1 = 29/68 (1-ci strategiyanın tətbiqi ehtimalı).
p 2 = 4/17 (2-ci strategiyanın tətbiqi ehtimalı).
p 3 = 23/68 (3-cü strategiyanın tətbiqi ehtimalı).

I oyunçunun optimal qarışıq strategiyası: P = (29/68; 4/17; 23/68)
q 1 = 6/17 (1-ci strategiyanın tətbiqi ehtimalı).
q 2 = 9/34 (2-ci strategiyanın tətbiqi ehtimalı).
q 3 = 13/34 (3-cü strategiyanın tətbiqi ehtimalı).

Oyunçu II-nin optimal qarışıq strategiyası: Q = (6/17; 9/34; 13/34)
Oyunun qiyməti: y = 4 1 / 34

Əgər oyunun yəhər nöqtəsi yoxdursa, o zaman oyunun qiymətini və oyunçuların optimal strategiyalarını müəyyən etməkdə çətinliklər yaranır. Məsələn, oyunu nəzərdən keçirək:

Bu oyunda və . Buna görə də, birinci oyunçu özünə 4-ə bərabər bir qazanc təmin edə bilər, ikincisi isə itirməsini 5-lə məhdudlaşdıra bilər. Aralarındakı sahə, sanki heç-heçədir və hər bir oyunçu öz nəticəsini yaxşılaşdırmağa çalışa bilər. bu sahə. Bu halda oyunçuların optimal strategiyaları necə olmalıdır?

Əgər oyunçuların hər biri ulduz işarəsi ( və ) ilə işarələnmiş strategiyadan istifadə edərsə, onda birinci oyunçunun qazancı və ikincinin itkisi 5-ə bərabər olacaq. Bu, ikinci oyunçu üçün əlverişsizdir, çünki birinci oyunçu ondan daha çox qalib gəlir. özünə zəmanət verə bilər. Bununla belə, əgər ikinci oyunçu hansısa şəkildə birinci oyunçunun strategiyadan istifadə etmək niyyətini aşkar edərsə, o zaman strategiyanı tətbiq edə və birinci oyunçunun qazancını 4-ə endirə bilər. Bununla belə, əgər birinci oyunçu ikinci oyunçunun strategiyadan istifadə etmək niyyətini aşkar edərsə, o, strategiyanı tətbiq edə bilər. sonra strategiyadan istifadə edərək, qazancını 6-a qədər artıracaq. Beləliklə, hər bir oyunçu istifadə edəcəyi strategiyanı gizli saxlamalı olduğu vəziyyət yaranır. Bununla belə, bunu necə etmək olar? Axı, oyun dəfələrlə oynanılırsa və ikinci oyunçu hər zaman a strategiyasını tətbiq edirsə, birinci oyunçu tezliklə ikincinin niyyətini anlayacaq və strategiyanı tətbiq edərək əlavə qazanc əldə edəcək. Aydındır ki, ikinci oyunçu hər yeni oyunda strategiyanı dəyişməlidir, lakin bunu elə etməlidir ki, birincisi hər bir halda hansı strategiyadan istifadə edəcəyini təxmin etməsin.

Təsadüfi seçim mexanizmi üçün oyunçuların qazancları və itkiləri olacaq təsadüfi dəyişənlər. Bu vəziyyətdə oyunun nəticəsini ikinci oyunçunun orta itkisi ilə qiymətləndirmək olar. Nümunəyə qayıdaq. Beləliklə, əgər ikinci oyunçu strategiyadan istifadə edirsə və ehtimallar 0,5 ilə təsadüfi; 0.5, sonra ilk oyunçunun strategiyası ilə itkisinin orta dəyəri belə olacaq:

və ilk oyunçunun strategiyası ilə

Buna görə də, ikinci oyunçu, birinci oyunçunun istifadə etdiyi strategiyadan asılı olmayaraq, orta itkisini 4,5 ilə məhdudlaşdıra bilər.

Beləliklə, bir sıra hallarda strategiyanı əvvəlcədən müəyyənləşdirmək deyil, bir növ təsadüfi seçim mexanizmindən istifadə edərək bu və ya digər təsadüfi seçim etmək məqsədəuyğun olur. Təsadüfi seçimə əsaslanan strategiya adlanır qarışıq strategiya, deyilən nəzərdə tutulan strategiyalardan fərqli olaraq təmiz strategiyalar.

Gəlin təmiz və qarışıq strategiyaların daha ciddi tərifini verək.

Yəhər nöqtəsi olmayan bir oyun olsun:

Birinci oyunçunun xalis strategiyasından istifadə tezliyini , (i-ci strategiyadan istifadə ehtimalı) ilə işarə edək. Eynilə, biz ikinci oyunçunun xalis strategiyasından istifadə tezliyini , (j-ci strategiyadan istifadə ehtimalı) ilə işarə edirik. Yəhər nöqtəsi oyunu üçün təmiz strategiya həlli var. Yəhər nöqtəsi olmayan bir oyun üçün qarışıq strategiyalarda, yəni strategiya seçimi ehtimallara əsaslandıqda bir həll var. Sonra

Çox sayda xalis 1-ci oyunçu strategiyası;

1-ci oyunçunun bir çox qarışıq strategiyaları;

Çoxlu xalis 2-ci oyunçu strategiyaları;

Çoxlu 2-ci oyunçu qarışıq strategiyaları.

Bir misal nəzərdən keçirək: bir oyun olsun

İkinci oyunçu bir ehtimal seçir . Müvafiq olaraq və strategiyaları tətbiq edərkən ikinci oyunçunun orta itkisini qiymətləndirək.

Təmiz və qarışıq strategiyalar var. Təmiz Strategiya
ilk oyunçu (saf strategiya
ikinci oyunçu) ilk (ikinci) oyunçunun 1-ə bərabər ehtimalla seçdiyi mümkün hərəkətdir.

Əgər birinci oyunçunun m strategiyası, ikinci oyunçunun isə n strategiyası varsa, birinci və ikinci oyunçuların hər hansı cüt strategiyaları üçün xalis strategiyalar vahid vektorlar kimi təqdim edilə bilər. Məsələn, bir cüt strategiya üçün
,
Birinci və ikinci oyunçuların xalis strategiyaları belə yazıla bilər:
,
. Bir neçə strategiya üçün ,təmiz strategiyalar belə yazıla bilər:

,

.

Teorem: Matris oyununda oyunun aşağı xalis dəyəri oyunun yuxarı xalis dəyərini keçmir, yəni.
.

Tərif: Təmiz strategiyalar üçün ,A və B oyunçularında sırasıyla bərabərlik reallaşır
, sonra bir cüt təmiz strategiya ( ,) matris oyununun yəhər nöqtəsi, element adlanır i-ci sıra ilə j-ci sütunun kəsişməsində dayanan matris - ödəmə matrisinin yəhər elementi və nömrə
- oyunun xalis qiyməti.

Misal: Aşağı və yuxarı xalis qiymətləri tapın, matris oyununun yəhər nöqtələrinin mövcudluğunu müəyyənləşdirin

.

Oyunun aşağı və yuxarı xalis qiymətlərini müəyyən edək: , ,
.

Bu halda bizdə bir yəhər nöqtəsi var (A 1 ; B 2), yəhər elementi isə 5-dir. Bu element 1-ci cərgədə ən kiçik, 2-ci sütunda isə ən böyüyüdür. A oyunçusunun maksimal A 1 strategiyasından kənara çıxması onun qazancının azalmasına, B oyunçusunun isə B 2 minimax strategiyasından kənara çıxması onun itkisinin artmasına səbəb olur. Başqa sözlə, əgər matris oyununda yəhər elementi varsa, o zaman oyunçular üçün ən yaxşısı onların minimaks strategiyalarıdır. Və yəhər nöqtəsini təşkil edən və oyun matrisində yəhər elementini a 12 =5 ayıran bu saf strategiyalar optimal təmiz strategiyalardır. və müvafiq olaraq A və B oyunçuları.

Əgər matris oyununda yəhər nöqtəsi yoxdursa, o zaman oyunun həlli çətinləşir. Bu oyunlarda
. Bu cür oyunlarda minimax strategiyalarının istifadəsi oyunçuların hər biri üçün qazancın aşmadığına gətirib çıxarır. , və itki az deyil . Hər bir oyunçu üçün qazancın artırılması (zərərin azaldılması) sualı yaranır. Həll qarışıq strategiyalardan istifadə etməklə tapılır.

Tərif: Birinci (ikinci) oyunçunun qarışıq strategiyası vektordur
, harada
və
(
, harada
və
).

p(q) vektoru birinci oyunçu tərəfindən i-ci təmiz strategiyadan (ikinci oyunçu tərəfindən j-ci təmiz strategiyadan) istifadə etmə ehtimalı deməkdir.

Oyunçular öz saf strategiyalarını təsadüfi və bir-birindən asılı olmayaraq seçdikləri üçün oyun təsadüfi olur və qazanc (zərər) miqdarı təsadüfi olur. Bu zaman qazancın (zərərin) orta qiyməti - riyazi gözlənti p, q qarışıq strategiyalarının funksiyasıdır:

.

Tərif: f(p, q) funksiyası matrislə oyunun qazanc funksiyası adlanır
.

Tərif: Strategiyalar
,
ixtiyari strategiyalar üçün optimal adlanır
,
vəziyyət

Oyunda optimal qarışıq strategiyaların istifadəsi birinci oyunçuya hər hansı digər p strategiyasından istifadə etdiyindən az olmayan bir qazanc verir; ikinci oyunçu hər hansı başqa q strategiyasından istifadə etdikdə daha çox itirir.

Optimal strategiyalar toplusu və oyunun dəyəri oyunun həllini təşkil edir.