Ehtimalları təyin etmək üçün hansı üsulları bilirsiniz. Təsadüfi dəyişən kimi ömür

Reallıqda və ya təsəvvürümüzdə baş verən hadisələri 3 qrupa bölmək olar. Bunlar baş verəcək müəyyən hadisələr, qeyri-mümkün hadisələr və təsadüfi hadisələrdir. Ehtimal nəzəriyyəsi təsadüfi hadisələri öyrənir, yəni. baş verə bilən və ya olmaya bilən hadisələr. Bu məqalə təqdim olunacaq xülasə riyaziyyatdan imtahanın 4-cü tapşırığında olacaq ehtimal düsturları nəzəriyyəsi və ehtimal nəzəriyyəsindən məsələlərin həlli nümunələri (profil səviyyəsi).

Ehtimal nəzəriyyəsi bizə nə üçün lazımdır?

Tarixən bu problemlərin öyrənilməsi zərurəti 17-ci əsrdə qumar oyunlarının inkişafı və peşəkarlaşması, kazinoların yaranması ilə əlaqədar yaranmışdır. Bu, onun öyrənilməsini və tədqiqini tələb edən əsl hadisə idi.

Kartlar, zarlar, rulet oynamaq sonlu sayda eyni dərəcədə ehtimal olunan hadisələrdən hər hansı birinin baş verə biləcəyi vəziyyətlər yaratdı. Hadisənin baş vermə ehtimalının ədədi təxminlərinin verilməsinə ehtiyac var idi.

20-ci əsrdə məlum oldu ki, bu qeyri-ciddi görünən elmin mikrokosmosda baş verən fundamental proseslərin dərk edilməsində mühüm rolu var. yaradılmışdır müasir nəzəriyyə ehtimallar.

Ehtimal nəzəriyyəsinin əsas anlayışları

Ehtimal nəzəriyyəsinin tədqiqat obyekti hadisələr və onların ehtimallarıdır. Əgər hadisə mürəkkəbdirsə, o zaman ehtimallarını tapmaq asan olan sadə komponentlərə bölmək olar.

A və B hadisələrinin cəminə C hadisəsi deyilir ki, bu da ya A hadisəsinin, ya B hadisəsinin, ya da A və B hadisələrinin eyni vaxtda baş verməsindən ibarətdir.

A və B hadisələrinin məhsulu həm A hadisəsinin, həm də B hadisəsinin baş verməsindən ibarət olan C hadisəsidir.

A və B hadisələri eyni vaxtda baş verə bilmirsə, onlar bir-birinə uyğun gəlmirlər.

A hadisəsinin baş vermədiyi təqdirdə qeyri-mümkün olduğu deyilir. Belə bir hadisə simvolu ilə işarələnir.

A hadisəsi mütləq baş verəcəksə, müəyyən adlanır. Belə bir hadisə simvolu ilə işarələnir.

Hər bir A hadisəsinə P(A) nömrəsi verilsin. Bu P(A) ədədi A hadisəsinin baş vermə ehtimalı adlanır, əgər belə uyğunluqla aşağıdakı şərtlər ödənilirsə.

Mühüm xüsusi hal, eyni dərəcədə ehtimal olunan elementar nəticələrin olduğu və bu nəticələrin ixtiyari A hadisələrini təşkil etdiyi vəziyyətdir. Bu halda ehtimal düsturu ilə təqdim edilə bilər. Bu şəkildə təqdim edilən ehtimala klassik ehtimal deyilir. Bu halda 1-4 xassələrin özünü doğrultması sübut oluna bilər.

Riyaziyyatdan imtahanda rast gəlinən ehtimal nəzəriyyəsində problemlər əsasən klassik ehtimalla bağlıdır. Bu cür tapşırıqlar çox sadə ola bilər. Ehtimal nəzəriyyəsindəki problemlər xüsusilə sadədir demo versiyaları. Əlverişli nəticələrin sayını hesablamaq asandır, bütün nəticələrin sayı birbaşa vəziyyətdə yazılır.

Cavabı düstura görə alırıq.

Ehtimalın müəyyən edilməsi üçün riyaziyyatdan imtahandan bir tapşırıq nümunəsi

Stolda 20 piroq var - 5-i kələm, 7-si alma, 8-i düyü. Marina tort götürmək istəyir. Onun düyü tortunu götürmə ehtimalı nədir?

Həll.

Ümumilikdə 20 bərabər ehtimal olunan elementar nəticə var, yəni Marina 20 piroqdan hər hansı birini götürə bilər. Ancaq Marinanın düyü köftəsini götürmə ehtimalını təxmin etməliyik, yəni burada A düyü patty seçimidir. Bu o deməkdir ki, bizim cəmi 8 əlverişli nəticəmiz var (düyü piroqlarının seçilməsi) Onda ehtimal düsturla müəyyən ediləcək:

Müstəqil, Qarşılıqlı və İxtiyari Hadisələr

Bununla belə, in açıq banka vəzifələr daha mürəkkəb vəzifələrə cavab verməyə başladı. Odur ki, oxucunun diqqətini ehtimal nəzəriyyəsində öyrənilən digər suallara cəlb edək.

Hər birinin ehtimalı digər hadisənin baş verib-verməməsindən asılı deyilsə, A və B hadisələri müstəqil adlanır.

B hadisəsi ondan ibarətdir ki, A hadisəsi baş verməmişdir, yəni. B hadisəsi A hadisəsinin əksidir. Əks hadisənin baş vermə ehtimalı birbaşa hadisənin baş vermə ehtimalı çıxılmaqla birə bərabərdir, yəni. .

Toplama və vurma teoremləri, düsturlar

A və B ixtiyari hadisələri üçün bu hadisələrin cəminin ehtimalı onların birgə hadisə ehtimalı olmadan ehtimallarının cəminə bərabərdir, yəni. .

Müstəqil A və B hadisələri üçün bu hadisələrin hasilinin ehtimalı onların ehtimallarının hasilinə bərabərdir, yəni. bu halda .

Son 2 ifadə ehtimalların toplama və vurma teoremləri adlanır.

Nəticələrin sayını hesablamaq həmişə asan deyil. Bəzi hallarda kombinatorik düsturlardan istifadə etmək lazımdır. Ən əsası, müəyyən şərtlərə cavab verən hadisələrin sayını hesablamaqdır. Bəzən belə hesablamalar müstəqil tapşırıqlara çevrilə bilər.

6 şagirdi 6 boş yerə neçə yolla əyləşdirmək olar? Birinci tələbə 6 yerdən hər hansı birini tutacaq. Bu variantların hər biri ikinci tələbəni yerləşdirməyin 5 üsuluna uyğundur. Üçüncü tələbə üçün 4 pulsuz yer var, dördüncü üçün - 3, beşinci üçün - 2, altıncı qalan yeganə yeri tutacaq. Bütün variantların sayını tapmaq üçün 6 simvolu ilə qeyd olunan məhsulu tapmaq lazımdır! və "altı faktorial" oxuyun.

Ümumi halda bu sualın cavabı n elementin dəyişmələrinin sayı düsturu ilə verilir.Bizim halda .

İndi tələbələrimizlə bağlı başqa bir hadisəyə nəzər salın. 2 şagirdi 6 boş yerə neçə yolla əyləşdirmək olar? Birinci tələbə 6 yerdən hər hansı birini tutacaq. Bu variantların hər biri ikinci tələbəni yerləşdirməyin 5 üsuluna uyğundur. Bütün variantların sayını tapmaq üçün məhsulu tapmaq lazımdır.

Ümumi halda bu sualın cavabı n elementin k elementlə yerləşdirilməsinin sayı düsturu ilə verilir.

Bizim vəziyyətimizdə.

VƏ son hal bu seriyadan. 6 şagirddən 3 şagirdi seçmək üçün neçə üsul var? Birinci şagirdi 6, ikincini 5, üçüncünü isə 4 yolla seçmək olar. Amma bu variantlar arasında eyni üç şagird 6 dəfə baş verir. Bütün variantların sayını tapmaq üçün dəyəri hesablamaq lazımdır: . Ümumi halda, bu sualın cavabı elementlərin elementlər üzrə birləşmələrinin sayı üçün düsturla verilir:

Bizim vəziyyətimizdə.

Ehtimalın müəyyən edilməsi üçün riyaziyyatdan imtahandan məsələlərin həlli nümunələri

Tapşırıq 1. Topludan, red. Yaşçenko.

Bir boşqabda 30 piroq var: 3-ü ətli, 18-i kələmli, 9-u albalı. Saşa təsadüfi olaraq bir pasta seçir. Onun albalı ilə bitmə ehtimalını tapın.

.

Cavab: 0.3.

Problem 2. Topludan, red. Yaşçenko.

Hər partiyada 1000 ampul, orta hesabla 20 qüsurlu. Partiyadan təsadüfi seçilmiş lampanın yaxşı olması ehtimalını tapın.

Həlli: İstismar olunan lampaların sayı 1000-20=980-dir. Partiyadan təsadüfi götürülmüş lampanın işlək olma ehtimalı:

Cavab: 0,98.

Tələbə U.-nun riyaziyyat testində 9-dan çox məsələni düzgün həll etməsi ehtimalı 0,67-dir. U. 8-dən çox məsələni düzgün həll etmə ehtimalı 0,73-dür. U.-nun düz 9 məsələni düzgün həll etməsi ehtimalını tapın.

Əgər biz ədəd xəttini təsəvvür etsək və onun üzərində 8 və 9 nöqtələrini qeyd etsək, onda görərik ki, “U. düz 9 məsələni düzgün həll et” şərti “U. 8-dən çox məsələni düzgün həll edir”, lakin “W. 9-dan çox məsələni düzgün həll edir.

Bununla belə, şərti “Ü. 9-dan çox məsələni düzgün həll et” şərti “U. 8-dən çox məsələni düzgün həll edir. Beləliklə, hadisələri təyin etsək: “V. düz 9 məsələni düzgün həll et" - A vasitəsilə "U. 8-dən çox məsələni düzgün həll edin" - B vasitəsilə, "U. C vasitəsilə 9-dan çox problemi düzgün həll edin. Sonra həll belə görünəcək:

Cavab: 0,06.

Həndəsə imtahanında tələbə imtahan sualları siyahısından bir suala cavab verir. Bunun triqonometriya sualı olma ehtimalı 0,2-dir. Bunun Xarici Künc sualı olma ehtimalı 0,15-dir. Eyni zamanda bu iki mövzu ilə bağlı heç bir sual yoxdur. Tələbənin imtahanda bu iki mövzudan biri ilə bağlı sual alması ehtimalını tapın.

Gəlin fikirləşək ki, başımıza hansı hadisələr gəlir. Bizə iki uyğun olmayan hadisə verilir. Yəni ya sual “Triqonometriya” mövzusuna, ya da “Xarici açılar” mövzusuna aid olacaq. Ehtimal teoreminə görə, uyğun olmayan hadisələrin ehtimalı hər bir hadisənin ehtimallarının cəminə bərabərdir, biz bu hadisələrin ehtimallarının cəmini tapmalıyıq, yəni:

Cavab: 0,35.

Otaq üç lampalı fənərlə işıqlandırılır. İldə bir lampanın yanma ehtimalı 0,29-dur. Ən azı bir lampanın bir il ərzində yanmaması ehtimalını tapın.

Gəlin mümkün hadisələri nəzərdən keçirək. Bizdə üç ampul var, onların hər biri hər hansı digər lampadan asılı olmayaraq yanmağa da bilər. Bunlar müstəqil hadisələrdir.

Sonra bu cür hadisələrin variantlarını göstərəcəyik. Biz qeydi qəbul edirik: - lampa yanır, - lampa yandı. Və dərhal sonra bir hadisənin ehtimalını hesablayırıq. Məsələn, “ampul yandı”, “ampul yandı”, “ampul yandı” üç müstəqil hadisənin baş verməsi ehtimalı: burada “ampulun yanması” hadisəsinin ehtimalı aşağıdakıların ehtimalı kimi hesablanır. “ampul sönən” hadisəsinə qarşı bir hadisə, yəni .

Qeyd edək ki, bizim üçün əlverişli olan cəmi 7 uyğunsuz hadisə var.Belə hadisələrin baş vermə ehtimalı hadisələrin hər birinin ehtimallarının cəminə bərabərdir: .

Cavab: 0.975608.

Şəkildə başqa problemi görə bilərsiniz:

Beləliklə, siz və mən ehtimal nəzəriyyəsinin nə olduğunu başa düşdük, imtahan versiyasında qarşılaşa biləcəyiniz problemin həlli düsturları və nümunələri.

Çox güman ki, bir çox insanlar az və ya çox təsadüfi olan hadisələri hesablamaq mümkün olub-olmadığını düşünsünlər. Danışan sadə dillə desək, növbəti dəfə zərfin hansı tərəfinin düşəcəyini bilmək realdırmı. Hadisənin baş vermə ehtimalının kifayət qədər geniş şəkildə öyrənildiyi ehtimal nəzəriyyəsi kimi elmin əsasını qoyan iki böyük alim məhz bu sualı vermişdi.

Mənşə

Ehtimal nəzəriyyəsi kimi bir anlayışı müəyyən etməyə çalışsanız, aşağıdakıları alırsınız: bu, təsadüfi hadisələrin sabitliyini öyrənən riyaziyyat qollarından biridir. Aydındır bu konsepsiyaəslində bütün mahiyyəti açmır, ona görə də onu daha ətraflı nəzərdən keçirmək lazımdır.

Mən nəzəriyyənin yaradıcılarından başlamaq istərdim. Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, onlardan ikisi var idi və düsturlardan və riyazi hesablamalardan istifadə edərək hadisənin nəticəsini hesablamağa çalışan ilklər arasında onlar idi. Bütövlükdə bu elmin başlanğıcı orta əsrlərdə yaranmışdır. O dövrdə müxtəlif mütəfəkkirlər, alimlər təhlil etməyə çalışırdılar qumar, məsələn, rulet, zar və s., bununla da müəyyən bir nömrənin itirilməsinin nümunəsini və faizini təyin edir. Əsası XVII əsrdə yuxarıda adıçəkilən alimlər tərəfindən qoyulmuşdur.

Əvvəlcə onların işlərini bu sahədəki böyük nailiyyətlərə aid etmək olmazdı, çünki onların gördükləri hər şey sadəcə empirik faktlar idi və təcrübələr düsturlardan istifadə etmədən əyani şəkildə qurulurdu. Zaman keçdikcə zarların atılmasını müşahidə etmək nəticəsində ortaya çıxan böyük nəticələr əldə edildi. Məhz bu vasitə ilk anlaşılan düsturları əldə etməyə kömək etdi.

Həmfikir insanlar

“Ehtimal nəzəriyyəsi” adlı bir mövzunun (hadisə ehtimalı bu elmdə dəqiq işıqlandırılır) tədqiqi prosesində Kristian Hüygens kimi bir şəxsiyyəti qeyd etməmək mümkün deyil. Bu insan çox maraqlıdır. O, yuxarıda təqdim olunan alimlər kimi təsadüfi hadisələrin qanunauyğunluğunu riyazi düsturlar şəklində çıxarmağa çalışırdı. Maraqlıdır ki, o, bunu Paskal və Fermatla birlikdə etməyib, yəni onun bütün əsərləri heç bir şəkildə bu ağıllarla kəsişməyib. Huygens çıxardı

Maraqlı fakt ondan ibarətdir ki, onun işi kəşf edənlərin işinin nəticələrindən çox əvvəl, daha doğrusu, iyirmi il əvvəl ortaya çıxıb. Təyin olunmuş anlayışlar arasında ən məşhurları bunlardır:

• şansın böyüklüyü kimi ehtimal anlayışı;
• diskret hallar üçün riyazi gözlənti;
• ehtimalların vurma və toplama teoremləri.

Problemin öyrənilməsində kimin də mühüm töhfə verdiyini xatırlamamaq da mümkün deyil. Heç kimdən asılı olmayaraq, öz testlərini apararaq, qanunun sübutunu təqdim etməyi bacardı böyük rəqəmlər. Öz növbəsində, XIX əsrin əvvəllərində çalışmış alimlər Puasson və Laplas ilkin teoremləri sübut edə bildilər. Məhz bu andan etibarən ehtimal nəzəriyyəsi müşahidələr zamanı səhvləri təhlil etmək üçün istifadə olunmağa başladı. Rus alimləri, daha doğrusu Markov, Çebışev və Dyapunov da bu elmdən yan keçə bilmədilər. Böyük dahilərin gördüyü işlərə əsaslanaraq bu fənni riyaziyyatın bir qolu kimi təsbit etdilər. Bu rəqəmlər artıq on doqquzuncu əsrin sonlarında işləmişdir və onların töhfələri sayəsində aşağıdakı kimi hadisələr baş vermişdir:

• böyük ədədlər qanunu;
• Markov zəncirləri nəzəriyyəsi;
• mərkəzi limit teoremi.

Beləliklə, elmin yaranma tarixi və ona təsir edən əsas insanlarla hər şey az-çox aydındır. İndi bütün faktları konkretləşdirməyin vaxtıdır.

Əsas anlayışlar

Qanunlara və teoremlərə toxunmazdan əvvəl ehtimal nəzəriyyəsinin əsas anlayışlarını öyrənməyə dəyər. Tədbirdə aparıcı rol oynayır. Bu mövzu olduqca həcmlidir, lakin onsuz başqa hər şeyi anlamaq mümkün olmayacaq.

Ehtimal nəzəriyyəsində bir hadisə təcrübənin hər hansı bir nəticəsidir. Bu fenomenlə bağlı o qədər də çox anlayış yoxdur. Belə ki, bu sahədə çalışan alim Lotman bu halda danışırıq nə haqqında "baş vermişdi, baxmayaraq ki, olmaya bilərdi."

Təsadüfi hadisələr (ehtimal nəzəriyyəsi onları verir Xüsusi diqqət) baş vermə qabiliyyətinə malik olan tamamilə hər hansı bir hadisəni nəzərdə tutan anlayışdır. Və ya əksinə, bir çox şərtlər yerinə yetirildikdə bu ssenari baş verməyə bilər. Baş vermiş hadisələrin bütün həcmini tutan təsadüfi hadisələr olduğunu da bilməyə dəyər. Ehtimal nəzəriyyəsi göstərir ki, bütün şərtlər daim təkrarlana bilər. Məhz onların davranışı “təcrübə” və ya “sınaq” adlanırdı.

Müəyyən bir hadisə, müəyyən bir testdə 100% baş verəcək hadisədir. Buna görə mümkün olmayan hadisə baş verməyəcək bir hadisədir.

Bir cüt hərəkətin birləşməsi (şərti olaraq A halı və B halı) eyni vaxtda baş verən bir hadisədir. Onlar AB kimi təyin olunur.

A və B hadisələrinin cütlərinin cəmi C-dir, başqa sözlə, onlardan ən azı biri baş verərsə (A və ya B), onda C alınacaq.Təsvir olunan hadisənin düsturu aşağıdakı kimi yazılır: C \u003d A + B.

Ehtimal nəzəriyyəsində ayrı-ayrı hadisələr iki halın bir-birini istisna etdiyini nəzərdə tutur. Onlar heç vaxt eyni anda baş verə bilməzlər. Ehtimal nəzəriyyəsində birgə hadisələr onların antipodudur. Bu o deməkdir ki, əgər A baş veribsə, o, heç bir şəkildə B-nin qarşısını almır.

Qarşılıqlı hadisələri (ehtimal nəzəriyyəsi onlarla çox təfərrüatı ilə izah edir) başa düşmək asandır. Müqayisə edərək onlarla məşğul olmaq daha yaxşıdır. Onlar ehtimal nəzəriyyəsindəki uyğunsuz hadisələrlə demək olar ki, eynidir. Lakin onların fərqi ondadır ki, istənilən halda çoxlu hadisələrdən biri baş verməlidir.

Bərabər ehtimal olunan hadisələr, təkrarlanma ehtimalı bərabər olan hərəkətlərdir. Daha aydın olmaq üçün biz bir sikkənin atılmasını təsəvvür edə bilərik: onun tərəflərindən birinin itməsi digər tərəfdən düşmə ehtimalı ilə bərabərdir.

Əlverişli bir hadisəni bir nümunə ilə görmək daha asandır. Tutaq ki, B epizodu və A epizodu var. Birincisi, tək ədədin görünüşü ilə zərfin yuvarlanması, ikincisi isə zarda beş rəqəminin görünməsidir. Sonra məlum olur ki, A B-yə üstünlük verir.

Ehtimal nəzəriyyəsində müstəqil hadisələr yalnız iki və ya daha çox hal üzrə proqnozlaşdırılır və hər hansı bir hərəkətin digərindən müstəqilliyini nəzərdə tutur. Məsələn, A - sikkə atarkən quyruqların düşməsi və B - göyərtədən bir jak almaq. Onlar ehtimal nəzəriyyəsində müstəqil hadisələrdir. Bu məqamda daha aydın oldu.

Ehtimal nəzəriyyəsində asılı hadisələr də yalnız onların çoxluğu üçün qəbul edilir. Onlar birinin digərindən asılılığını nəzərdə tutur, yəni B hadisəsi yalnız o halda baş verə bilər ki, A artıq baş verib və ya əksinə, bu B üçün əsas şərt olduqda baş verməyib.

Bir komponentdən ibarət təsadüfi təcrübənin nəticəsi elementar hadisələrdir. Ehtimal nəzəriyyəsi bunun yalnız bir dəfə baş verən bir fenomen olduğunu izah edir.

Əsas düsturlar

Belə ki, yuxarıda “hadisə”, “ehtimal nəzəriyyəsi” anlayışlarına nəzər salınmış, bu elmin əsas terminlərinin tərifi də verilmişdir. İndi vacib düsturlarla birbaşa tanış olmaq vaxtıdır. Bu ifadələr ehtimal nəzəriyyəsi kimi çətin bir mövzuda bütün əsas anlayışları riyazi olaraq təsdiqləyir. Burada da hadisənin baş vermə ehtimalı böyük rol oynayır.

Əsas olanlardan başlamaq daha yaxşıdır.Və onlara keçməzdən əvvəl bunun nə olduğunu düşünməyə dəyər.

Kombinatorika ilk növbədə riyaziyyatın bir sahəsidir, çoxlu sayda tam ədədlərin, eləcə də bir sıra birləşmələrin meydana gəlməsinə səbəb olan həm ədədlərin özlərinin, həm də elementlərinin, müxtəlif məlumatların və s. Ehtimal nəzəriyyəsi ilə yanaşı, bu sahə statistika, kompüter elmləri və kriptoqrafiya üçün vacibdir.

Beləliklə, indi düsturların özlərinin təqdimatına və onların tərifinə keçə bilərsiniz.

Bunlardan birincisi permütasyonların sayı üçün ifadə olacaq, belə görünür:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Tənlik yalnız elementlər yalnız öz sıralarında fərqləndikdə tətbiq edilir.

İndi yerləşdirmə formuluna baxılacaq, belə görünür:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Bu ifadə təkcə elementin sırasına deyil, həm də tərkibinə aiddir.

Kombinatorikadan üçüncü və eyni zamanda sonuncu tənlik birləşmələrin sayı üçün düstur adlanır:

C_n^m = n! : ((n - m))! :m!

Kombinasiya müvafiq olaraq sıralanmayan seçim adlanır və bu qayda onlara aiddir.

Kombinatorikanın düsturlarını tapmaq asan oldu, indi ehtimalların klassik tərifinə keçə bilərik. Bu ifadə belə görünür:

Bu düsturda m A hadisəsi üçün əlverişli şərtlərin sayı, n isə tamamilə bütün bərabər mümkün və elementar nəticələrin sayıdır.

Mövcuddur çoxlu saydaİfadələr, məqalə onların hamısını nəzərdən keçirməyəcək, lakin onlardan ən vacibi təsirlənəcək, məsələn, hadisələrin cəminin ehtimalı:

P(A + B) = P(A) + P(B) - bu teorem yalnız uyğun gəlməyən hadisələri əlavə etmək üçündür;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - və bu yalnız uyğun olanları əlavə etmək üçündür.

Hadisələrin baş vermə ehtimalı:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - bu teorem müstəqil hadisələr üçündür;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - və bu, asılı şəxslər üçündür.

Tədbir düsturu siyahını bitirəcək. Ehtimal nəzəriyyəsi bizə Bayes teoremi haqqında məlumat verir, bu belə görünür:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

Bu düsturda H 1 , H 2 , …, H n olur tam qrup hipotezlər.

Nümunələr

Riyaziyyatın hər hansı bir sahəsini diqqətlə öyrənsəniz, məşqlər və nümunə həllər olmadan tamamlanmaz. Ehtimal nəzəriyyəsi də belədir: buradakı hadisələr, nümunələr elmi hesablamaları təsdiqləyən ayrılmaz tərkib hissəsidir.

Permütasyonların sayı üçün düstur

Deyək ki, kart göyərtəsində nominal birindən başlayaraq otuz kart var. Növbəti sual. Bir və iki nominal dəyəri olan kartların bir-birinin yanında olmaması üçün göyərtəni yığmağın neçə yolu var?

Tapşırıq qoyuldu, indi onun həllinə keçək. Əvvəlcə otuz elementin dəyişdirilməsinin sayını təyin etməlisiniz, bunun üçün yuxarıda göstərilən düsturu alırıq, P_30 = 30 çıxır!.

Bu qaydaya əsaslanaraq, göyərtəni müxtəlif yollarla qatlamaq üçün neçə variantın olduğunu öyrənəcəyik, lakin onlardan birinci və ikinci kartların yanında olanları çıxarmalıyıq. Bunu etmək üçün birinci ikincinin üstündə olan variantdan başlayaq. Belə çıxır ki, birinci kart iyirmi doqquz yer tuta bilər - birincidən iyirmi doqquzuncuya, ikinci kart ikincidən otuzuncuya qədər, bir cüt kart üçün yalnız iyirmi doqquz yer çıxır. Öz növbəsində, qalanları iyirmi səkkiz yer tuta bilər və istənilən qaydada. Yəni, iyirmi səkkiz kartın dəyişdirilməsi üçün iyirmi səkkiz variant var P_28 = 28!

Nəticə etibarı ilə belə çıxır ki, birinci kart ikincidən yuxarı olanda həlli nəzərdən keçirsək, 29 ⋅ 28 əlavə imkan var! = 29!

Eyni üsuldan istifadə edərək, birinci kartın ikincinin altında olduğu vəziyyət üçün lazımsız variantların sayını hesablamalısınız. Bu da 29 ⋅ 28 olur! = 29!

Buradan belə çıxır ki, 2 ⋅ 29! əlavə variant var, göyərtə qurmaq üçün isə 30 zəruri üsul var! - 2 ⋅ 29!. Yalnız saymaq qalır.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

İndi birdən iyirmi doqquza qədər bütün rəqəmləri öz aralarında çoxaltmalı və sonunda hər şeyi 28-ə vurmalısınız. Cavab 2,4757335 ⋅〖10〗^32-dir.

Nümunə həlli. Yerləşdirmə nömrəsi üçün düstur

Bu məsələdə on beş cildi bir rəfə qoymağın neçə yolu olduğunu tapmaq lazımdır, ancaq cəmi otuz cild olmaq şərti ilə.

Bu problemdə həll əvvəlkindən bir qədər sadədir. Artıq məlum olan düsturdan istifadə edərək, on beşdən otuz cilddən tənzimləmələrin ümumi sayını hesablamaq lazımdır.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 720703

Cavab müvafiq olaraq 202.843.204.931.727.360.000-a bərabər olacaq.

İndi tapşırığı bir az daha çətinləşdirək. Bir rəfdə yalnız on beş cild ola bilərsə, iki kitab rəfində otuz kitabı yerləşdirməyin neçə yolu olduğunu öyrənməlisiniz.

Həll yoluna başlamazdan əvvəl aydınlaşdırmaq istərdim ki, bəzi problemlər bir neçə yolla həll olunur, buna görə də bu yolda iki yol var, lakin hər ikisində eyni düstur istifadə olunur.

Bu problemdə cavabı əvvəlkindən götürə bilərsiniz, çünki orada müxtəlif üsullarla on beş kitabla rəfə neçə dəfə doldura biləcəyinizi hesabladıq. A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16 oldu.

İkinci rəfi permutasiya düsturuna görə hesablayırıq, çünki orada on beş kitab yerləşdirilib, cəmi on beş qalır. P_15 = 15 düsturundan istifadə edirik!.

Belə çıxır ki, ümumilikdə A_30^15 ⋅ P_15 yolları olacaq, lakin əlavə olaraq, otuzdan on altıya qədər olan bütün ədədlərin hasilini birdən on beşə qədər olan ədədlərin hasilinə vurmaq lazımdır, nəticədə birdən otuza qədər bütün ədədlərin hasili alınacaq, yəni cavab 30-a bərabərdir!

Ancaq bu problem başqa bir şəkildə həll edilə bilər - daha asan. Bunu etmək üçün otuz kitab üçün bir rəf olduğunu təsəvvür edə bilərsiniz. Hamısı bu müstəvidə yerləşdirilir, lakin şərt iki rəf olmasını tələb etdiyi üçün bir uzununu yarıya bölürük, hər biri iki on beş çıxır. Buradan belə çıxır ki, yerləşdirmə variantları P_30 = 30 ola bilər!.

Nümunə həlli. Kombinasiya nömrəsi üçün düstur

İndi biz kombinatorikadan üçüncü məsələnin variantını nəzərdən keçirəcəyik. Otuz tamamilə eyni kitabdan seçmək lazımdırsa, on beş kitabı tənzimləmək üçün neçə yol olduğunu öyrənməlisiniz.

Həll üçün, əlbəttə ki, birləşmələrin sayı üçün formula tətbiq olunacaq. Şərtdən məlum olur ki, eyni on beş kitabın sırası vacib deyil. Buna görə, əvvəlcə on beşdən ibarət otuz kitabın birləşmələrinin ümumi sayını tapmaq lazımdır.

C_30^15 = 30! : ((30-15)) ! : 15 ! = 155 117 520

Hamısı budur. Bu düsturdan istifadə edərək, ən qısa vaxt belə bir problemi həll etməyi bacardı, cavab müvafiq olaraq 155 117 520-dir.

Nümunə həlli. Ehtimalın klassik tərifi

Yuxarıdakı düsturdan istifadə edərək, sadə məsələnin cavabını tapa bilərsiniz. Ancaq bu, hərəkətlərin gedişatını vizual olaraq görməyə və izləməyə kömək edəcəkdir.

Problem belədir ki, qabda on tamamilə eyni top var. Bunlardan dördü sarı, altısı isə mavidir. Bir top qabdan götürülür. Mavi olma ehtimalını tapmaq lazımdır.

Problemi həll etmək üçün çatdırılmanı təyin etmək lazımdır mavi şar hadisə A. Bu təcrübənin on nəticəsi ola bilər ki, bu da öz növbəsində elementar və eyni dərəcədə ehtimal olunur. Eyni zamanda, on nəfərdən altısı A hadisəsi üçün əlverişlidir. Düsturdan istifadə edərək həll edirik:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Bu düsturu tətbiq etməklə biz bildik ki, mavi top əldə etmək ehtimalı 0,6-dır.

Nümunə həlli. Hadisələrin cəminin ehtimalı

İndi hadisələrin cəminin ehtimalı düsturu ilə həll olunan variant təqdim olunacaq. Beləliklə, iki qutunun olması şərti ilə birincidə bir boz və beş ağ top, ikincisində isə səkkiz boz və dörd ağ top var. Nəticədə onlardan biri birinci və ikinci qutudan götürülüb. Çıxarılan topların boz və ağ olması şansının nə olduğunu tapmaq lazımdır.

Bu problemi həll etmək üçün hadisələri təyin etmək lazımdır.

• Beləliklə, A - birinci qutudan boz bir top götürün: P (A) = 1/6.
• A '- ilk qutudan da ağ top götürdülər: P (A ") \u003d 5/6.
• B - ikinci qutudan artıq boz bir top çıxarıldı: P (B) = 2/3.
• B' - ikinci qutudan boz top götürdülər: P(B") = 1/3.

Problemin şərtinə görə, hadisələrdən birinin baş verməsi zəruridir: AB 'və ya A'B. Düsturdan istifadə edərək əldə edirik: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

İndi ehtimalı vurmaq üçün düstur istifadə edilmişdir. Sonra, cavabı tapmaq üçün onların əlavə edilməsi üçün tənliyi tətbiq etməlisiniz:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Beləliklə, düsturdan istifadə edərək, oxşar problemləri həll edə bilərsiniz.

Nəticə

Məqalədə hadisənin ehtimalının oynadığı “Ehtimal nəzəriyyəsi” mövzusunda məlumat verilmişdir mühüm rol. Əlbəttə ki, hər şey nəzərə alınmadı, lakin təqdim olunan mətnə ​​əsasən nəzəri cəhətdən riyaziyyatın bu bölməsi ilə tanış olmaq olar. Sözügedən elm təkcə peşəkar işdə deyil, həm də işdə faydalı ola bilər Gündəlik həyat. Onun köməyi ilə istənilən hadisənin istənilən ehtimalını hesablaya bilərsiniz.

Mətndə də toxunulub əlamətdar tarixlər ehtimal nəzəriyyəsinin bir elm kimi formalaşma tarixində və ona əsərləri yatırılmış insanların adları. Beləliklə, insan marağı insanların təsadüfi hadisələri belə hesablamağı öyrənməsinə səbəb oldu. Bir vaxtlar sadəcə maraqlanırdılar, amma bu gün artıq hamı bu barədə bilir. Və heç kim bizi gələcəkdə nələrin gözlədiyini, nəzərdən keçirilən nəzəriyyə ilə bağlı daha hansı parlaq kəşflərin ediləcəyini deməyəcək. Ancaq bir şey dəqiqdir - tədqiqat hələ də dayanmır!

“Ehtimal nəzəriyyəsi” anlayışı ilə qarşılaşan bir çoxları bunun hədsiz, çox mürəkkəb bir şey olduğunu düşünərək qorxurlar. Amma əslində hər şey o qədər də faciəli deyil. Bu gün biz əsas konsepsiyanı nəzərdən keçirəcəyik və konkret nümunələrdən istifadə edərək problemləri necə həll edəcəyimizi öyrənəcəyik.

Elm

Riyaziyyatın “ehtimal nəzəriyyəsi” kimi bir sahəsi nəyi öyrənir? O, nümunələri və böyüklükləri qeyd edir. Elm adamları ilk dəfə bu məsələ ilə hələ on səkkizinci əsrdə, qumar oyunlarını öyrənərkən maraqlandılar. Ehtimal nəzəriyyəsinin əsas anlayışı hadisədir. Bu, təcrübə və ya müşahidə ilə müəyyən edilən hər hansı bir faktdır. Bəs təcrübə nədir? Ehtimal nəzəriyyəsinin başqa bir əsas anlayışı. Bu o deməkdir ki, şəraitin bu tərkibi təsadüfi deyil, müəyyən bir məqsəd üçün yaradılmışdır. Müşahidəyə gəlincə, burada tədqiqatçı özü eksperimentdə iştirak etmir, sadəcə olaraq bu hadisələrin şahididir, baş verənlərə heç bir şəkildə təsir göstərmir.

İnkişaflar

Ehtimal nəzəriyyəsinin əsas anlayışının hadisə olduğunu öyrəndik, lakin təsnifatı nəzərə almadıq. Onların hamısı aşağıdakı kateqoriyalara aiddir:

• Etibarlı.
• Mümkün deyil.
• Təsadüfi.

Təcrübə zamanı nə cür hadisələr müşahidə olunarsa və ya yaransa da, hamısı bu təsnifata tabedir. Növlərin hər biri ilə ayrıca tanış olmağı təklif edirik.

Etibarlı Hadisə

Bu, lazımi tədbirlər toplusunun görüldüyü bir vəziyyətdir. Mahiyyəti daha yaxşı başa düşmək üçün bir neçə misal vermək daha yaxşıdır. Fizika, kimya, iqtisadiyyat və ali riyaziyyat bu qanuna tabedir. Ehtimal nəzəriyyəsi belələri ehtiva edir mühüm konsepsiya müəyyən bir hadisə kimi. Budur bəzi nümunələr:

• Biz işləyirik və əmək haqqı şəklində mükafat alırıq.
• İmtahanları yaxşı keçdik, müsabiqədən keçdik, bunun üçün qəbul şəklində mükafat alırıq. Təhsil müəssisəsi.
• Biz banka pul qoymuşuq, lazım gəlsə, geri alacağıq.

Bu cür hadisələr etibarlıdır. Əgər biz bütün lazımi şərtləri yerinə yetirmişiksə, o zaman gözlənilən nəticəni mütləq alacağıq.

Mümkün olmayan hadisələr

İndi ehtimal nəzəriyyəsinin elementlərini nəzərdən keçiririk. Növbəti növ hadisənin, yəni qeyri-mümkün olanın izahına keçməyi təklif edirik. Başlamaq üçün ən çox qeyd edək mühüm qayda- mümkün olmayan hadisənin baş vermə ehtimalı sıfırdır.

Problemləri həll edərkən bu formuladan kənara çıxmaq mümkün deyil. Aydınlaşdırmaq üçün belə hadisələrə nümunələr:

• Su artı on temperaturda dondu (bu mümkün deyil).
• Elektrik enerjisinin olmaması istehsala heç bir təsir göstərmir (əvvəlki nümunədə olduğu kimi qeyri-mümkündür).

Daha çox nümunələr verilməməlidir, çünki yuxarıda təsvir edilənlər bu kateqoriyanın mahiyyətini çox aydın şəkildə əks etdirir. Mümkün olmayan hadisə heç bir şəraitdə təcrübə zamanı heç vaxt baş verməyəcək.

təsadüfi hadisələr

Ehtimal nəzəriyyəsinin elementlərini öyrənərkən bu xüsusi hadisə növünə xüsusi diqqət yetirilməlidir. Onlar oxuyurlar elm verilmişdir. Təcrübə nəticəsində nəsə baş verə bilər, olmaya da bilər. Bundan əlavə, test qeyri-məhdud sayda təkrarlana bilər. Canlı nümunələr xidmət edə bilər:

• Sikkə atmaq bir təcrübə və ya sınaqdır, başlıq bir hadisədir.
• Kor-koranə topun torbadan çıxarılması sınaqdır, qırmızı topun tutulması hadisədir və s.

Belə misalların sayı qeyri-məhdud ola bilər, lakin, ümumiyyətlə, mahiyyət aydın olmalıdır. Hadisələr haqqında əldə edilən bilikləri ümumiləşdirmək və sistemləşdirmək üçün cədvəl verilir. Ehtimal nəzəriyyəsi təqdim olunanların yalnız sonuncu növünü öyrənir.

Qanunlar

Ehtimal nəzəriyyəsi bir hadisənin baş vermə ehtimalını öyrənən bir elmdir. Digərləri kimi, onun da bəzi qaydaları var. Mövcuddur qanunlara əməl edir ehtimal nəzəriyyəsi:

• Təsadüfi dəyişənlərin ardıcıllığının yaxınlaşması.
• Böyük ədədlər qanunu.

Kompleksin mümkünlüyünü hesablayarkən, nəticəni daha asan və daha sürətli şəkildə əldə etmək üçün sadə hadisələr kompleksindən istifadə edilə bilər. Qeyd edək ki, ehtimal nəzəriyyəsinin qanunları bəzi teoremlərin köməyi ilə asanlıqla isbat olunur. Birinci qanundan başlayaq.

Təsadüfi dəyişənlərin ardıcıllığının yaxınlaşması

Qeyd edək ki, konvergensiyanın bir neçə növü var:

• Təsadüfi dəyişənlərin ardıcıllığı ehtimalla yaxınlaşır.
• Demək olar ki, mümkün deyil.
• RMS yaxınlaşması.
• Paylanma Konvergensiyası.

Beləliklə, tez bir zamanda bunun dibinə varmaq çox çətindir. Bu mövzunu başa düşməyinizə kömək edəcək bəzi təriflər var. İlk baxışdan başlayaq. Ardıcıllıq deyilir ehtimalla konvergent, aşağıdakı şərt yerinə yetirilərsə: n sonsuzluğa meyllidir, ardıcıllığın meyl etdiyi ədəd sıfırdan böyük və birinə yaxındır.

davam edək növbəti növ,demək olar ki, mütləq. Ardıcıllığın birləşdiyi deyilir demək olar ki, mütləq n sonsuzluğa, P isə birliyə yaxın dəyərə meylli təsadüfi dəyişənə.

Növbəti növdür RMS yaxınlaşması. SC konvergensiyasından istifadə edərkən vektor təsadüfi proseslərin tədqiqi onların koordinat təsadüfi proseslərinin öyrənilməsinə qədər azaldılır.

Sonuncu növ qalır, problemlərin həllinə birbaşa keçmək üçün onu qısaca təhlil edək. Dağıtım konvergensiyasının başqa adı var - "zəif", bunun səbəbini aşağıda izah edəcəyik. Zəif konvergensiya məhdudlaşdırıcı paylama funksiyasının davamlılığının bütün nöqtələrində paylama funksiyalarının yaxınlaşmasıdır.

Biz vədi mütləq yerinə yetirəcəyik: zəif yaxınlaşma yuxarıda göstərilənlərin hamısından təsadüfi dəyişənin ehtimal fəzasında müəyyən edilməməsi ilə fərqlənir. Bu mümkündür, çünki şərt yalnız paylama funksiyalarından istifadə etməklə formalaşır.

Böyük ədədlər qanunu

Bu qanunu sübut etməkdə əla köməkçilər ehtimal nəzəriyyəsinin teoremləri olacaq, məsələn:

• Çebışev bərabərsizliyi.
• Çebışev teoremi.
• Ümumiləşdirilmiş Çebışev teoremi.
• Markovun teoremi.

Bütün bu teoremləri nəzərə alsaq, bu sual bir neçə onlarla vərəq üçün uzana bilər. Bizim əsas vəzifəmiz ehtimal nəzəriyyəsini praktikada tətbiq etməkdir. Sizi indi bunu etməyə dəvət edirik. Amma bundan əvvəl ehtimal nəzəriyyəsinin aksiomlarını nəzərdən keçirək, onlar məsələlərin həllində əsas köməkçilər olacaqlar.

Aksiomalar

Mümkün olmayan hadisədən danışanda birincisi ilə artıq qarşılaşdıq. Xatırlayaq: mümkün olmayan bir hadisənin baş vermə ehtimalı sıfırdır. Çox parlaq və yaddaqalan bir nümunə verdik: qar otuz dərəcə Selsi temperaturunda yağdı.

İkincisi belədir: müəyyən bir hadisənin ehtimalı 1-ə bərabərdir. İndi riyazi dildən istifadə edərək onu necə yazmağı göstərək: P(B)=1.

Üçüncüsü: Təsadüfi hadisə baş verə bilər və ya olmaya da bilər, lakin ehtimal həmişə sıfırdan birə qədər dəyişir. Necə daha yaxın məna birinə, daha çox şans; dəyər sıfıra yaxınlaşarsa, ehtimal çox aşağıdır. Riyazi dildə yazaq: 0<Р(С)<1.

Bu kimi səslənən sonuncu, dördüncü aksioma nəzər salaq: iki hadisənin cəminin ehtimalı onların ehtimallarının cəminə bərabərdir. Riyazi dildə yazırıq: P (A + B) \u003d P (A) + P (B).

Ehtimal nəzəriyyəsinin aksiomları yadda saxlamaq asan olan ən sadə qaydalardır. Artıq əldə edilmiş biliklərə əsaslanaraq bəzi problemləri həll etməyə çalışaq.

Lotereya bileti

Başlamaq üçün ən sadə nümunəni - lotereyanı nəzərdən keçirək. Təsəvvür edin ki, uğurlar üçün bir lotereya bileti almısınız. Ən azı iyirmi rubl qazanmağınız ehtimalı nədir? Ümumilikdə tirajda min bilet iştirak edir ki, onlardan biri beş yüz rubl, on manat yüz rubl, əlli iyirmi rubl və yüz beş rubl mükafata malikdir. Ehtimal nəzəriyyəsindəki problemlər şansın mümkünlüyünü tapmağa əsaslanır. Yuxarıdakı problemin həllinə birlikdə nəzər salaq.

Əgər A hərfi ilə beş yüz rubl uduşu qeyd etsək, onda A alma ehtimalı 0,001 olacaqdır. Necə əldə etdik? Sadəcə "xoşbəxt" biletlərin sayını onların ümumi sayına bölmək lazımdır (bu halda: 1/1000).

B yüz rubl uduşdur, ehtimal 0,01-ə bərabər olacaqdır. İndi əvvəlki hərəkətdə olduğu kimi eyni prinsiplə hərəkət etdik (10/1000)

C - uduşlar iyirmi rubla bərabərdir. Ehtimal tapırıq, 0,05-ə bərabərdir.

Qalan biletlər bizim üçün maraqlı deyil, çünki onların mükafat fondu şərtdə göstəriləndən azdır. Dördüncü aksioma tətbiq edək: Ən azı iyirmi rubl udmaq ehtimalı P(A)+P(B)+P(C). P hərfi bu hadisənin baş vermə ehtimalını bildirir, biz onları əvvəlki addımlarda artıq tapmışıq. Yalnız lazımi məlumatları əlavə etmək qalır, cavabda 0,061 alırıq. Bu nömrə tapşırığın sualına cavab olacaq.

kart göyərtəsi

Ehtimal nəzəriyyəsindəki problemlər də daha mürəkkəbdir, məsələn, aşağıdakı tapşırığı götürün. Sizdən əvvəl otuz altı kartdan ibarət bir göyərtə var. Tapşırıq yığını qarışdırmadan ard-arda iki kartı çəkməkdir, birinci və ikinci kartlar as olmalıdır, kostyumun əhəmiyyəti yoxdur.

Başlamaq üçün ilk kartın ace olma ehtimalını tapırıq, bunun üçün dördü otuz altıya bölürük. Bir kənara qoydular. İkinci kartı çıxarırıq, bu, üç otuz beşdə bir ehtimalı olan bir ace olacaq. İkinci hadisənin baş vermə ehtimalı ilk olaraq hansı kartı çəkdiyimizdən asılıdır, bizi bunun as olub-olmaması maraqlandırır. Buradan belə çıxır ki, B hadisəsi A hadisəsindən asılıdır.

Növbəti addım eyni vaxtda həyata keçirilmə ehtimalını tapmaqdır, yəni biz A və B-ni çoxaldırıq. Onların məhsulu aşağıdakı kimi tapılır: bir hadisənin ehtimalını digərinin şərti ehtimalına vururuq, hesablayırıq ki, birinci hadisə baş verdi, yəni birinci kartla ace çəkdik.

Hər şeyi aydınlaşdırmaq üçün hadisələr kimi bir elementə bir təyinat verək. A hadisəsinin baş verdiyini fərz etməklə hesablanır. Aşağıdakı kimi hesablanır: P(B/A).

Problemimizin həllinə davam edək: P (A * B) \u003d P (A) * P (B / A) və ya P (A * B) \u003d P (B) * P (A / B). Ehtimal (4/36) * ((3/35)/(4/36). Yüzdə bir qədər yuvarlaqlaşdırmaqla hesablayın. Bizdə: 0,11 * (0,09/0,11)=0,11 * 0, 82 = 0,09 Ehtimal ki, biz ard-arda iki as çəkəcək doqquz yüzdəbir. Dəyər çox kiçikdir, ondan belə nəticə çıxır ki, hadisənin baş vermə ehtimalı çox kiçikdir.

Unudulmuş nömrə

Ehtimal nəzəriyyəsi ilə öyrənilən tapşırıqlar üçün daha bir neçə variantı təhlil etməyi təklif edirik. Bu məqalədə onlardan bəzilərinin həlli nümunələrini artıq görmüsünüz, gəlin aşağıdakı problemi həll etməyə çalışaq: oğlan dostunun telefon nömrəsinin son rəqəmini unutdu, lakin zəng çox vacib olduğundan hər şeyi növbə ilə yığmağa başladı. Onun üç dəfədən çox olmayan zəng etmə ehtimalını hesablamalıyıq. Ehtimal nəzəriyyəsinin qaydaları, qanunları və aksiomları məlum olduqda məsələnin həlli ən sadədir.

Həll yoluna baxmazdan əvvəl, özünüz həll etməyə çalışın. Son rəqəmin sıfırdan doqquza qədər ola biləcəyini bilirik, yəni cəmi on dəyər var. Doğru olanı əldə etmək ehtimalı 1/10-dur.

Sonra, hadisənin mənşəyi ilə bağlı variantları nəzərdən keçirməliyik, düşünək ki, oğlan düzgün təxmin etdi və dərhal düzgün vurdu, belə bir hadisənin ehtimalı 1/10-dur. İkinci seçim: birinci zəng buraxılmış, ikincisi isə hədəfdədir. Belə bir hadisənin baş vermə ehtimalını hesablayırıq: 9/10-u 1/9-a vurun, nəticədə biz də 1/10 alırıq. Üçüncü seçim: birinci və ikinci zənglər səhv ünvanda oldu, yalnız üçüncüdən oğlan istədiyi yerə çatdı. Belə bir hadisənin ehtimalını hesablayırıq: 9/10-u 8/9-a və 1/8-ə vururuq, nəticədə 1/10 alırıq. Problemin vəziyyətinə görə, başqa variantlar bizi maraqlandırmır, ona görə də nəticələri toplamaq bizə qalır, nəticədə 3/10-a sahibik. Cavab: Oğlanın üç dəfədən artıq zəng etməməsi ehtimalı 0,3-dür.

Rəqəmləri olan kartlar

Qarşınızda doqquz kart var, hər birində birdən doqquza qədər rəqəmlər var, nömrələr təkrarlanmır. Onlar bir qutuya qoyuldu və hərtərəfli qarışdırıldı. Bunun ehtimalını hesablamaq lazımdır

• cüt rəqəm çıxacaq;
• ikirəqəmli.

Həll yoluna keçməzdən əvvəl şərt edək ki, m uğurlu halların sayı, n isə variantların ümumi sayıdır. Ədədin cüt olma ehtimalını tapın. Dörd cüt ədədin olduğunu hesablamaq çətin olmayacaq, bu bizim m olacaq, cəmi doqquz variant var, yəni m = 9. Onda ehtimal 0.44 və ya 4/9-dur.

İkinci halı nəzərdən keçiririk: variantların sayı doqquzdur və heç bir uğurlu nəticə ümumiyyətlə ola bilməz, yəni m sıfıra bərabərdir. Çəkilmiş kartın ikirəqəmli nömrənin olması ehtimalı da sıfırdır.

Əvvəlcə zar oyununun yalnız məlumat və empirik müşahidələrinin toplusu olan ehtimal nəzəriyyəsi möhkəm bir elmə çevrildi. Fermat və Paskal ilk olaraq ona riyazi çərçivə verdilər.

Əbədi haqqında düşüncələrdən tutmuş ehtimal nəzəriyyəsinə qədər

Ehtimal nəzəriyyəsinin bir çox fundamental düsturlara borclu olduğu iki şəxsiyyət, Blez Paskal və Tomas Bayes, dərin dindar insanlar kimi tanınır, ikincisi Presviterian nazir idi. Göründüyü kimi, bu iki alimin müəyyən bir Fortune haqqındakı fikrin yanlışlığını sübut etmək, onun sevimlilərinə uğurlar bəxş etmək istəyi bu sahədə araşdırmalara təkan verdi. Axı əslində istənilən şans oyunu öz uduşu və məğlubiyyəti ilə sadəcə riyazi prinsiplərin simfoniyasıdır.

Həm qumarbaz, həm də elmə biganə olmayan şövalye de Merin həyəcanı sayəsində Paskal ehtimalı hesablamaq üçün bir yol tapmağa məcbur oldu. De Meri bu sual maraqlandırırdı: "İki zərini cüt-cüt atmaq üçün neçə dəfə atmaq lazımdır ki, 12 xal əldə etmək ehtimalı 50%-i keçsin?". Centlmeni son dərəcə maraqlandıran ikinci sual: "Yarımçıq oyunda iştirakçılar arasında mərcləri necə bölmək olar?" Təbii ki, Paskal ehtimal nəzəriyyəsinin inkişafının təşəbbüskarına çevrilmiş de Merin hər iki sualını uğurla cavablandırdı. Maraqlıdır ki, de Merin şəxsiyyəti ədəbiyyatda deyil, bu sahədə tanınıb.

Əvvəllər heç bir riyaziyyatçı hadisələrin ehtimallarını hesablamağa cəhd etməmişdi, çünki bunun yalnız bir ehtimal həlli olduğuna inanılırdı. Blez Paskal hadisənin baş vermə ehtimalının ilk tərifini verdi və göstərdi ki, bu, riyazi olaraq əsaslandırıla bilən konkret rəqəmdir. Ehtimal nəzəriyyəsi statistikanın əsasına çevrilmiş və müasir elmdə geniş istifadə olunur.

Təsadüfilik nədir

Sonsuz sayda təkrarlana bilən testi nəzərə alsaq, onda təsadüfi bir hadisəni təyin edə bilərik. Bu, təcrübənin mümkün nəticələrindən biridir.

Təcrübə daimi şəraitdə konkret hərəkətlərin həyata keçirilməsidir.

Təcrübənin nəticələri ilə işləyə bilmək üçün hadisələr adətən A, B, C, D, E hərfləri ilə işarələnir ...

Təsadüfi hadisənin baş vermə ehtimalı

Ehtimalın riyazi hissəsinə keçə bilmək üçün onun bütün komponentlərini müəyyən etmək lazımdır.

Hadisənin baş vermə ehtimalı təcrübə nəticəsində hansısa hadisənin (A və ya B) baş vermə ehtimalının ədədi ölçüsüdür. Ehtimal P(A) və ya P(B) kimi işarələnir.

Ehtimal nəzəriyyəsi belədir:

• etibarlı hadisənin təcrübə nəticəsində baş verməsi təmin edilir Р(Ω) = 1;
• qeyri-mümkün hadisə heç vaxt baş verə bilməz Р(Ø) = 0;
• təsadüfi hadisə müəyyən və qeyri-mümkün arasındadır, yəni onun baş vermə ehtimalı mümkündür, lakin təmin edilmir (təsadüfi hadisənin baş vermə ehtimalı həmişə 0≤P(A)≤1 daxilindədir).

Hadisələr arasındakı əlaqələr

Hadisə A və ya B komponentlərindən ən azı birinin və ya hər ikisinin - A və B-nin həyata keçirilməsində nəzərə alındıqda həm bir, həm də A + B hadisələrinin cəmi nəzərə alınır.

Bir-birinə münasibətdə hadisələr ola bilər:

• Eyni dərəcədə mümkündür.
• uyğun.
• Uyğun deyil.
• Qarşılıqlı (bir-birini istisna edən).
• Asılı.

Əgər iki hadisə eyni ehtimalla baş verə bilərsə, deməli onlar eyni dərəcədə mümkündür.

Əgər A hadisəsinin baş verməsi B hadisəsinin baş vermə ehtimalını ləğv etmirsə, onda onlar uyğun.

Əgər eyni təcrübədə heç vaxt A və B hadisələri eyni vaxtda baş vermirsə, onlar çağırılır uyğunsuz. Sikkə atmaq yaxşı bir nümunədir: quyruqların yuxarı qalxması avtomatik olaraq başların üstünə gəlmir.

Bu cür uyğun olmayan hadisələrin cəminin ehtimalı hadisələrin hər birinin ehtimallarının cəmindən ibarətdir:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Əgər bir hadisənin baş verməsi digər hadisənin baş verməsini qeyri-mümkün edirsə, o zaman onlara əks deyilir. Sonra onlardan biri A, digəri isə Ā kimi təyin olunur ("A deyil" kimi oxunur). A hadisəsinin baş verməsi Ā hadisəsinin baş vermədiyini bildirir. Bu iki hadisə ehtimalların cəmi 1-ə bərabər olan tam qrup təşkil edir.

Asılı hadisələr qarşılıqlı təsirə malikdir, bir-birinin ehtimalını azaldır və ya artırır.

Hadisələr arasındakı əlaqələr. Nümunələr

Nümunələrdən istifadə etməklə ehtimal nəzəriyyəsinin prinsiplərini və hadisələrin birləşməsini başa düşmək çox asandır.

Həyata keçiriləcək təcrübə topları qutudan çıxarmaqdır və hər bir təcrübənin nəticəsi elementar nəticədir.

Hadisə təcrübənin mümkün nəticələrindən biridir - qırmızı top, mavi top, altı nömrəli top və s.

Test nömrəsi 1. 6 top var, onlardan üçü tək nömrələri olan mavi, digər üçü isə cüt nömrələri olan qırmızıdır.

Test nömrəsi 2. Birdən altıya qədər rəqəmləri olan 6 mavi top var.

Bu nümunəyə əsaslanaraq birləşmələri adlandıra bilərik:

• Etibarlı hadisə.İspan dilində № 2, "mavi topu al" hadisəsi etibarlıdır, çünki onun baş vermə ehtimalı 1-dir, çünki bütün toplar mavidir və heç bir qaçırma ola bilməz. Halbuki "1 nömrəli topu al" hadisəsi təsadüfi olur.
• Mümkün olmayan hadisə.İspan dilində Mavi və qırmızı toplarla 1 nömrəli, "bənövşəyi topu al" hadisəsi mümkün deyil, çünki onun baş vermə ehtimalı 0-dır.
• Ekvivalent hadisələr.İspan dilində 1 nömrəli, “2 nömrəli topu al” və “3 nömrəli topu al” hadisələrinin ehtimalı eynidir və “cüt nömrəli topu al” və “2 nömrəli topu al” hadisələri ” fərqli ehtimalları var.
• Uyğun hadisələr. Ardıcıl iki dəfə zar atma prosesində altılıq əldə etmək uyğun hadisələrdir.
• Uyğun olmayan hadisələr. Eyni ispan dilində 1 nömrəli hadisələr "qırmızı topu almaq" və "tək nömrə ilə topu almaq" eyni təcrübədə birləşdirilə bilməz.
• əks hadisələr. Bunun ən parlaq nümunəsi sikkə atmadır, burada çəkilən başlıqlar quyruq çəkməməklə eynidir və onların ehtimallarının cəmi həmişə 1-dir (tam qrup).
• Asılı hadisələr. Beləliklə, ispan dilində №1, siz özünüzə iki dəfə ardıcıl olaraq qırmızı topu çıxarmaq məqsədi qoya bilərsiniz. Onu birinci dəfə çıxarmaq və ya çıxarmamaq ikinci dəfə çıxarılma ehtimalına təsir edir.

İlk hadisənin ikincinin (40% və 60%) ehtimalına əhəmiyyətli dərəcədə təsir etdiyini görmək olar.

Hadisə Ehtimal Formulu

Faldan dəqiq məlumatlara keçid mövzunun riyazi müstəviyə köçürülməsi ilə baş verir. Yəni "yüksək ehtimal" və ya "minimum ehtimal" kimi təsadüfi hadisə ilə bağlı mülahizələri xüsusi ədədi məlumatlara çevirmək olar. Artıq belə materialı qiymətləndirmək, müqayisə etmək və daha mürəkkəb hesablamalara daxil etmək icazəlidir.

Hesablama nöqteyi-nəzərindən hadisənin baş vermə ehtimalının tərifi elementar müsbət nəticələrin sayının müəyyən bir hadisə ilə bağlı təcrübənin bütün mümkün nəticələrinin sayına nisbətidir. Ehtimal P (A) ilə işarələnir, burada P fransız dilindən “ehtimal” kimi tərcümə olunan “ehtimal” sözü deməkdir.

Beləliklə, bir hadisənin ehtimalının düsturu belədir:

Burada m A hadisəsi üçün əlverişli nəticələrin sayıdır, n bu təcrübə üçün bütün mümkün nəticələrin cəmidir. Hadisənin baş vermə ehtimalı həmişə 0 ilə 1 arasındadır:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Hadisənin baş vermə ehtimalının hesablanması. Misal

İspan dilini götürək. Daha əvvəl təsvir edilən toplarla №1: 1/3/5 rəqəmləri olan 3 mavi top və 2/4/6 rəqəmləri olan 3 qırmızı top.

Bu test əsasında bir neçə fərqli tapşırıq nəzərdən keçirilə bilər:

• A - qırmızı topun düşməsi. 3 qırmızı top var və cəmi 6 variant var.Bu ən sadə misaldır, hansı hadisənin baş vermə ehtimalı P(A)=3/6=0,5-dir.
• B - cüt ədədin atılması. Cəmi 3 (2,4,6) cüt ədəd var və mümkün ədədi variantların ümumi sayı 6-dır. Bu hadisənin baş vermə ehtimalı P(B)=3/6=0,5-dir.
• C - 2-dən böyük ədədin itirilməsi. Mümkün nəticələrin ümumi sayından 4 belə variant var (3,4,5,6) 6. C hadisəsinin baş vermə ehtimalı P(C)=4/6= 0,67.

Hesablamalardan göründüyü kimi, mümkün müsbət nəticələrin sayı A və B ilə müqayisədə daha çox olduğundan C hadisəsinin ehtimalı daha yüksəkdir.

Uyğun olmayan hadisələr

Bu cür hadisələr eyni təcrübədə eyni vaxtda görünə bilməz. İspan dilində olduğu kimi No 1, eyni anda mavi və qırmızı top almaq mümkün deyil. Yəni ya mavi, ya da qırmızı top ala bilərsiniz. Eyni şəkildə, zərbdə cüt və tək ədəd eyni anda görünə bilməz.

İki hadisənin baş vermə ehtimalı onların cəminin və ya hasilinin ehtimalı kimi qəbul edilir. Belə hadisələrin A + B cəmi A və ya B hadisəsinin görünüşündən, onların AB-nin hasilindən isə hər ikisinin görünüşündən ibarət olan hadisə hesab olunur. Məsələn, bir atışda iki zarın üzündə bir anda iki altılığın görünməsi.

Bir neçə hadisənin cəmi onlardan ən azı birinin baş verməsini nəzərdə tutan hadisədir. Bir neçə hadisənin məhsulu onların hamısının birgə baş verməsidir.

Ehtimal nəzəriyyəsində, bir qayda olaraq, "və" birləşməsindən istifadə cəmi, "və ya" birliyi - vurma deməkdir. Nümunələri olan düsturlar ehtimal nəzəriyyəsində toplama və vurmanın məntiqini başa düşməyə kömək edəcək.

Uyğun olmayan hadisələrin cəminin ehtimalı

Uyğun olmayan hadisələrin baş vermə ehtimalı nəzərə alınarsa, hadisələrin cəminin ehtimalı onların ehtimallarının cəminə bərabərdir:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Məsələn: ispan dilində olması ehtimalını hesablayırıq. Mavi və qırmızı topları olan 1 nömrəli 1 ilə 4 arasında bir rəqəm atacaq. Biz bir hərəkətdə deyil, elementar komponentlərin ehtimallarının cəmi ilə hesablayacağıq. Beləliklə, belə bir təcrübədə yalnız 6 top və ya bütün mümkün nəticələrdən 6-sı var. Şərti ödəyən ədədlər 2 və 3-dür. 2 rəqəminin alınma ehtimalı 1/6, 3 rəqəminin ehtimalı da 1/6-dır. 1-dən 4-ə qədər bir rəqəm əldə etmə ehtimalı:

Tam qrupun uyğun olmayan hadisələrinin cəminin ehtimalı 1-dir.

Beləliklə, bir kub ilə təcrübədə bütün rəqəmlərin alınma ehtimallarını toplasaq, nəticədə birini alırıq.

Bu, əks hadisələrə də aiddir, məsələn, sikkə ilə aparılan təcrübədə onun tərəflərindən biri A hadisəsi, digəri isə əks hadisə Ā olduğu məlumdur.

Р(А) + Р(Ā) = 1

Uyğun olmayan hadisələrin yaranması ehtimalı

Ehtimalların çoxaldılması bir müşahidədə iki və ya daha çox uyğun olmayan hadisənin baş verməsi nəzərə alınarkən istifadə olunur. A və B hadisələrinin orada eyni vaxtda meydana çıxma ehtimalı onların ehtimallarının hasilinə bərabərdir və ya:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Məsələn, ehtimalı İki cəhd nəticəsində 1 nömrəli mavi top iki dəfə görünəcək, bərabərdir

Yəni, topların çıxarılması ilə iki cəhd nəticəsində yalnız mavi topların çıxarılacağı bir hadisənin baş vermə ehtimalı 25% -dir. Bu problemlə bağlı praktiki təcrübələr etmək və bunun həqiqətən belə olub olmadığını görmək çox asandır.

Birgə Tədbirlər

Hadisələrdən birinin görünüşü digərinin görünüşü ilə üst-üstə düşə bildikdə hadisələr birgə sayılır. Birgə olmalarına baxmayaraq, müstəqil hadisələrin baş vermə ehtimalı nəzərə alınır. Məsələn, iki zər atmaq 6 rəqəmi onların hər ikisinin üzərinə düşəndə ​​nəticə verə bilər.Hadisələr üst-üstə düşsə və eyni vaxtda meydana çıxsa da, onlar bir-birindən müstəqildirlər - yalnız bir altı düşə bilərdi, ikinci zarın buna heç bir təsiri yoxdur. .

Birgə hadisələrin baş vermə ehtimalı onların cəminin ehtimalı kimi qəbul edilir.

Birgə hadisələrin cəminin ehtimalı. Misal

Bir-birinə münasibətdə müştərək olan A və B hadisələrinin cəminin ehtimalı hadisənin ehtimallarının cəmindən onların məhsulunun (yəni onların birgə həyata keçirilməsi) ehtimalının cəminə bərabərdir:

R birgə. (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

Fərz edək ki, bir atışla hədəfi vurma ehtimalı 0,4-dür. Sonra hadisə A - ilk cəhddə hədəfi vurmaq, B - ikincidə. Bu hadisələr birgə xarakter daşıyır, çünki həm birinci, həm də ikinci atışdan hədəfi vurmaq mümkündür. Amma hadisələr asılı deyil. Hədəfi iki atəşlə (ən azı bir) vurma hadisəsinin ehtimalı nədir? Formula görə:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Sualın cavabı belədir: “Hədəfi iki atəşlə vurma ehtimalı 64% təşkil edir”.

Hadisənin baş vermə ehtimalının bu düsturunu uyğun olmayan hadisələrə də tətbiq etmək olar, burada hadisənin birgə baş vermə ehtimalı P(AB) = 0. Bu o deməkdir ki, uyğun gəlməyən hadisələrin cəminin ehtimalını xüsusi hal hesab etmək olar. təklif olunan düsturdan.

Aydınlıq üçün ehtimal həndəsəsi

Maraqlıdır ki, birgə hadisələrin cəminin ehtimalı bir-biri ilə kəsişən iki A və B sahəsi kimi təqdim edilə bilər. Şəkildən göründüyü kimi, onların birləşməsinin sahəsi onların kəsişmə sahəsini çıxarmaqla ümumi sahəyə bərabərdir. Bu həndəsi izahat məntiqsiz görünən düsturu daha başa düşülən edir. Nəzərə alın ki, həndəsi həllər ehtimal nəzəriyyəsində qeyri-adi deyil.

Birgə hadisələr toplusunun (ikidən çox) cəminin ehtimalının tərifi olduqca çətin olur. Bunu hesablamaq üçün bu hallar üçün verilmiş düsturlardan istifadə etməlisiniz.

Asılı hadisələr

Onlardan birinin (A) baş verməsi digərinin (B) baş vermə ehtimalına təsir edərsə, asılı hadisələr deyilir. Bundan əlavə, həm A hadisəsinin baş verməsinin, həm də baş verməməsinin təsiri nəzərə alınır. Hadisələr tərifinə görə asılı adlandırılsa da, onlardan yalnız biri asılıdır (B). Adi ehtimal P(B) və ya müstəqil hadisələrin baş vermə ehtimalı kimi qeyd edilmişdir. Asılılıq vəziyyətində yeni bir anlayış tətbiq olunur - şərti ehtimal P A (B), bu, asılı olduğu A hadisəsinin (fərziyyə) baş verməsi şərti ilə B asılı hadisənin baş verməsi ehtimalıdır.

Lakin A hadisəsi də təsadüfidir, ona görə də hesablamalarda nəzərə alınmalı və nəzərə alına bilən bir ehtimala malikdir. Aşağıdakı nümunə asılı hadisələr və fərziyyə ilə necə işləməyi göstərəcək.

Asılı hadisələrin ehtimalının hesablanması nümunəsi

Asılı hadisələrin hesablanması üçün yaxşı bir nümunə standart kart göyərtəsidir.

36 kartdan ibarət göyərtə nümunəsində asılı hadisələri nəzərdən keçirin. Göyərtədən çəkilmiş ikinci kartın almaz kostyumu olma ehtimalını müəyyən etmək lazımdır, əgər birinci çəkilmiş kart:

1. qaval.
2. Başqa bir kostyum.

Aydındır ki, ikinci B hadisəsinin baş vermə ehtimalı birinci A-dan asılıdır. Beləliklə, göyərtədə 1 kart (35) və 1 almaz (8) az olan birinci variant doğrudursa, B hadisəsinin ehtimalı:

P A (B) \u003d 8/35 \u003d 0,23

İkinci variant doğrudursa, göyərtədə 35 kart var və qavalların ümumi sayı (9) hələ də qorunub saxlanılırsa, aşağıdakı hadisənin ehtimalı B-dir:

P A (B) \u003d 9/35 \u003d 0,26.

Görünür ki, əgər A hadisəsi birinci kartın almaz olması ilə şərtlənirsə, B hadisəsinin baş vermə ehtimalı azalır və əksinə.

Asılı hadisələrin çoxaldılması

Əvvəlki fəsilə əsaslanaraq, biz birinci hadisəni (A) fakt kimi qəbul edirik, lakin mahiyyət etibarilə təsadüfi xarakter daşıyır. Bu hadisənin, yəni kart göyərtəsindən qavalın çıxarılmasının ehtimalı bərabərdir:

P(A) = 9/36=1/4

Nəzəriyyə öz-özünə mövcud olmadığından, lakin praktiki məqsədlərə xidmət etməyə çağırıldığı üçün qeyd etmək lazımdır ki, çox vaxt asılı hadisələrin yaranması ehtimalı tələb olunur.

Asılı hadisələrin ehtimallarının hasilinə dair teoremə görə, A və B birgə asılı hadisələrin baş vermə ehtimalı bir A hadisəsinin baş vermə ehtimalının B hadisəsinin şərti ehtimalına (A-dan asılı olaraq) vurulmasına bərabərdir:

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

Sonra göyərtə ilə nümunədə, almaz kostyumu ilə iki kartın çəkilmə ehtimalı belədir:

9/36*8/35=0,0571 və ya 5,7%

Əvvəlcə almazların, sonra isə almazların çıxarılması ehtimalı bərabərdir:

27/36*9/35=0,19 və ya 19%

Görünür ki, B hadisəsinin baş vermə ehtimalı daha böyükdür, bir şərtlə ki, almazdan başqa kostyumun kartı əvvəlcə çəkilsin. Bu nəticə olduqca məntiqli və başa düşüləndir.

Hadisənin ümumi ehtimalı

Şərti ehtimallarla bağlı problem çoxşaxəli olduqda, onu ənənəvi üsullarla hesablamaq mümkün deyil. İkidən çox fərziyyə olduqda, yəni A1, A2, ..., A n, .. şərtlə tam hadisələr qrupu təşkil edir:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Beləliklə, A1, A2, ..., A n təsadüfi hadisələrin tam qrupu ilə B hadisəsinin ümumi ehtimalının düsturu belədir:

Gələcəyə baxış

Təsadüfi hadisənin baş vermə ehtimalı elmin bir çox sahələrində mühüm əhəmiyyət kəsb edir: ekonometrika, statistika, fizika və s. Bəzi prosesləri deterministik təsvir etmək mümkün olmadığından, onların özləri ehtimal xarakterli olduğundan, xüsusi iş üsullarına ehtiyac var. Hadisə nəzəriyyəsinin ehtimalı hər hansı texnoloji sahədə xəta və ya nasazlıq ehtimalını müəyyən etmək üçün istifadə edilə bilər.

Demək olar ki, ehtimalı dərk etməklə biz bir növ gələcəyə nəzəri addım atırıq, ona düsturlar prizmasından baxırıq.

• Ehtimal - hansısa hadisənin baş vermə ehtimalının dərəcəsi (nisbi ölçü, kəmiyyət qiymətləndirməsi). Hər hansı bir mümkün hadisənin baş verməsinin səbəbləri əks səbəblərdən daha çox olduqda, bu hadisə ehtimal, əks halda - mümkün olmayan və ya qeyri-mümkün adlanır. Müsbət əsasların mənfi əsaslardan üstünlüyü və əksinə, müxtəlif dərəcələrdə ola bilər ki, bunun nəticəsində ehtimal (və ehtimalsızlıq) daha çox və ya az olur. Buna görə də, ehtimal çox vaxt keyfiyyət səviyyəsində qiymətləndirilir, xüsusən də az və ya çox dəqiq kəmiyyət qiymətləndirməsinin mümkün olmadığı və ya olduqca çətin olduğu hallarda. Ehtimalın "səviyyələrinin" müxtəlif dərəcələri mümkündür.

  Ehtimalın riyazi nöqteyi-nəzərdən öyrənilməsi xüsusi bir elm sahəsidir - ehtimal nəzəriyyəsidir. Ehtimal nəzəriyyəsində və riyazi statistikada ehtimal anlayışı hadisənin ədədi xarakteristikası kimi rəsmiləşdirilir - ehtimal ölçüsü (və ya onun dəyəri) - hadisələr toplusuna (elementar hadisələr toplusunun alt çoxluqlarına) dair ölçü, qiymətlər alaraq. -dan

  (\displaystyle 0)

  (\displaystyle 1)

  Məna

  (\displaystyle 1)

  Etibarlı hadisəyə uyğundur. Qeyri-mümkün hadisənin 0 ehtimalı var (əksi ümumiyyətlə həmişə doğru deyil). Bir hadisənin baş vermə ehtimalı olarsa

  (\displaystyle p)

  Onda onun baş verməməsi ehtimalı bərabərdir

  (\displaystyle 1-p)

  Xüsusilə, ehtimal

  (\displaystyle 1/2)

  Hadisənin baş verməsi və baş verməməsinin bərabər ehtimalı deməkdir.

  Ehtimalın klassik tərifi nəticələrin bərabər ehtimalı konsepsiyasına əsaslanır. Ehtimal müəyyən bir hadisəyə üstünlük verən nəticələrin sayının eyni dərəcədə ehtimal olunan nəticələrin ümumi sayına nisbətidir. Məsələn, təsadüfi sikkə atma zamanı "başlar" və ya "quyruqlar" əldə etmə ehtimalı 1/2-dir, əgər yalnız bu iki ehtimalın baş verdiyi və onların eyni dərəcədə ehtimal edildiyi fərz edilərsə. Ehtimalın bu klassik "tərifi" sonsuz sayda mümkün dəyərlərə ümumiləşdirilə bilər - məsələn, əgər bir hadisə müəyyən bir məhdud sahənin hər hansı bir nöqtəsində (nöqtələrin sayı sonsuzdur) bərabər ehtimalla baş verə bilərsə. boşluq (təyyarə), onda onun bu icazə verilən ərazinin bəzi hissəsində baş vermə ehtimalı bu hissənin həcminin (sahəsinin) bütün mümkün nöqtələrin sahəsinin həcminə (sahəsinə) nisbətinə bərabərdir. .

  Ehtimalın empirik "tərifi" hadisənin baş vermə tezliyi ilə əlaqədardır, buna əsaslanaraq, kifayət qədər çox sayda sınaqla tezlik bu hadisənin mümkünlüyünün obyektiv dərəcəsinə meyl etməlidir. Ehtimal nəzəriyyəsinin müasir təqdimatında ehtimal çoxluğun ölçüsünün mücərrəd nəzəriyyəsinin konkret halı kimi aksiomatik olaraq müəyyən edilir. Buna baxmayaraq, hadisənin mümkünlüyünün dərəcəsini ifadə edən mücərrəd ölçü ilə ehtimal arasındakı əlaqə məhz onun müşahidəsinin tezliyidir.

  Müəyyən hadisələrin ehtimal təsviri müasir elmdə, xüsusən ekonometriyada, makroskopik (termodinamik) sistemlərin statistik fizikasında geniş yayılmışdır, burada hətta hissəciklərin hərəkətinin klassik deterministik təsviri halında, bütün sistemin deterministik təsviri hissəciklərin sayı praktiki olaraq mümkün və uyğun deyil. Kvant fizikasında təsvir olunan proseslərin özü ehtimal xarakteri daşıyır.