Nisbi ölçmə xətasının hesablanması. Ölçmə xətalarının hesablanması

1. Giriş

Kimyaçıların, fiziklərin və digər təbiətşünaslıq peşələrinin nümayəndələrinin işi tez-tez müxtəlif kəmiyyətlərin kəmiyyət ölçmələrini həyata keçirir. Bu vəziyyətdə, əldə edilmiş dəyərlərin etibarlılığının təhlili, birbaşa ölçmələrin nəticələrinin işlənməsi və birbaşa ölçülmüş xüsusiyyətlərin dəyərlərindən istifadə edən hesablamaların səhvlərinin qiymətləndirilməsi sualı yaranır (sonuncu proses nəticələrin işlənməsi də adlanır). dolayıölçmələr). Bir sıra obyektiv səbəblərə görə, Moskva Dövlət Universitetinin Kimya fakültəsinin məzunlarının səhvlərin hesablanması ilə bağlı bilikləri alınan məlumatların düzgün işlənməsi üçün həmişə kifayət deyil. Bu səbəblərdən biri fakültənin tədris planında ölçmə nəticələrinin statistik emalı üzrə kursun olmamasıdır.

Bu məqamda səhvlərin hesablanması məsələsi, təbii ki, hərtərəfli öyrənilib. Səhvlərin hesablanması haqqında məlumat tapa biləcəyiniz çoxlu sayda metodik inkişaflar, dərsliklər və s. Təəssüf ki, bu işlərin əksəriyyəti əlavə və həmişə lazım olmayan məlumatlarla yüklənir. Xüsusilə, tələbə seminarlarının işlərinin əksəriyyəti nümunələrin müqayisəsi, yaxınlaşmanın qiymətləndirilməsi və s. kimi hərəkətləri tələb etmir. Buna görə də, ən çox istifadə olunan hesablamalar üçün alqoritmləri əks etdirən qısa bir inkişaf yaratmaq məqsədəuyğun görünür, bu inkişafın nə olduğu həsr olunur.

2. Bu işdə qəbul edilmiş qeydlər

Ölçülmüş qiymət, - ölçülmüş dəyərin orta qiyməti, - ölçülmüş dəyərin orta qiymətinin mütləq xətası, - ölçülmüş dəyərin orta qiymətinin nisbi xətası.

3. Birbaşa ölçmələrin xətalarının hesablanması

Beləliklə, tutaq ki, onlar həyata keçirilib n eyni şərtlərdə eyni kəmiyyətin ölçülməsi. Bu halda, alınan ölçmələrdə bu dəyərin orta dəyərini hesablaya bilərsiniz:

(1)

Səhvləri necə hesablamaq olar? Aşağıdakı düstura görə:

(2)

Bu düstur Tələbə əmsalından istifadə edir. Müxtəlif güvən ehtimallarında və dəyərlərdə onun dəyərləri verilir.

3.1. Birbaşa ölçmələrin səhvlərinin hesablanmasına bir nümunə:

Tapşırıq.

Metal çubuğun uzunluğu ölçüldü. 10 ölçmə aparıldı və aşağıdakı dəyərlər əldə edildi: 10 mm, 11 mm, 12 mm, 13 mm, 10 mm, 10 mm, 11 mm, 10 mm, 10 mm, 11 mm. Ölçülmüş kəmiyyətin (barın uzunluğunun) orta qiymətini və onun xətasını tapmaq tələb olunur.

Həll.

Formula (1) istifadə edərək tapırıq:

mm

İndi (2) düsturundan istifadə edərək, əminlik ehtimalı və sərbəstlik dərəcələrinin sayı ilə orta dəyərin mütləq səhvini tapırıq (qiymətdən istifadə edirik = 2.262, götürülmüşdür):

Nəticəni yazaq:

10,8±0,7 0,95 mm

4. Dolayı ölçmələrin xətalarının hesablanması

Fərz edək ki, təcrübə zamanı kəmiyyətlər ölçülür , daha sonra c Alınan dəyərlərdən istifadə edərək, düsturdan istifadə edərək dəyər hesablanır . Bu halda, birbaşa ölçülən kəmiyyətlərin xətaları 3-cü bənddə göstərildiyi kimi hesablanır.

Bir kəmiyyətin orta dəyərinin hesablanması arqumentlərin orta qiymətlərindən istifadə edərək asılılığa uyğun olaraq həyata keçirilir.

Səhv dəyəri aşağıdakı düsturla hesablanır:

,(3)

burada arqumentlərin sayı, arqumentlərə münasibətdə funksiyanın qismən törəməsidir, arqumentin orta qiymətinin mütləq xətasıdır.

Mütləq səhv, birbaşa ölçmələrdə olduğu kimi, düsturdan istifadə edərək hesablanır.

4.1. Birbaşa ölçmələrin səhvlərinin hesablanmasına bir nümunə:

Tapşırıq.

və 5 birbaşa ölçmə aparılmışdır. Dəyər üçün aşağıdakı dəyərlər əldə edilmişdir: 50, 51, 52, 50, 47; kəmiyyət üçün aşağıdakı qiymətlər alınmışdır: 500, 510, 476, 354, 520. Düsturla müəyyən edilmiş kəmiyyətin qiymətini hesablamaq və alınan dəyərin xətasını tapmaq tələb olunur.

Fizika eksperimental bir elmdir, yəni fiziki qanunlar təcrübi məlumatların toplanması və müqayisəsi ilə müəyyən edilir və təsdiqlənir. Fizika seminarının məqsədi tələbələrin təcrübə yolu ilə əsas fiziki hadisələri öyrənmək, fiziki kəmiyyətlərin ədədi qiymətlərini düzgün ölçmək və onları nəzəri düsturlarla müqayisə etməyi öyrənməkdir.

Bütün ölçmələri iki növə bölmək olar - düz Və dolayı.

At birbaşaÖlçmələrdə, istədiyiniz kəmiyyətin dəyəri birbaşa ölçmə cihazının oxunuşlarından əldə edilir. Belə ki, məsələn, uzunluq xətkeşlə, vaxt saatla ölçülür və s.

İstədiyiniz fiziki kəmiyyət birbaşa cihaz tərəfindən ölçülə bilmirsə, lakin düsturdan istifadə edərək ölçülmüş kəmiyyətlər vasitəsilə ifadə edilirsə, belə ölçmələr adlanır. dolayı.

Hər hansı kəmiyyətin ölçülməsi həmin kəmiyyət üçün tamamilə dəqiq qiymət vermir. Hər bir ölçmə həmişə bəzi xəta (səhv) ehtiva edir. Səhv ölçülmüş və həqiqi dəyər arasındakı fərqdir.

Səhvlər adətən bölünür sistematik Və təsadüfi.

Sistemli bütün ölçmə silsiləsi boyu sabit qalan xəta adlanır. Bu cür səhvlər ölçmə vasitəsinin (məsələn, cihazın sıfır ofseti) və ya ölçmə metodunun qeyri-kamilliyindən qaynaqlanır və prinsipcə, müvafiq düzəliş tətbiq etməklə yekun nəticədən kənarlaşdırıla bilər.

Sistematik səhvlərə ölçmə vasitələrinin səhvləri də daxildir. Hər hansı bir cihazın dəqiqliyi məhduddur və adətən ölçmə şkalasında göstərilən dəqiqlik sinfi ilə xarakterizə olunur.

Təsadüfi müxtəlif təcrübələrdə dəyişən və həm müsbət, həm də mənfi ola bilən xəta adlanır. Təsadüfi xətalar həm ölçü cihazından (sürtünmə, boşluqlar və s.), həm də xarici şəraitdən (vibrasiya, şəbəkədə gərginliyin dəyişməsi və s.) asılı olan səbəblərdən yaranır.

Təsadüfi səhvləri empirik olaraq istisna etmək olmaz, lakin onların nəticəyə təsirini təkrar ölçmələrlə azaltmaq olar.

Birbaşa ölçmələrdə xətanın hesablanması - orta qiymət və orta mütləq xəta.

Fərz edək ki, biz X dəyərinin bir sıra ölçmələrini aparırıq. Təsadüfi səhvlərin olması səbəbindən biz əldə edirik. n müxtəlif mənalar:

X 1, X 2, X 3… X n

Orta qiymət adətən ölçmə nəticəsi kimi qəbul edilir

Orta və nəticə arasındakı fərq mən – ci ölçüdən biz bu ölçmənin mütləq xətası adlandıracağıq

Orta dəyərin xətasının ölçüsü kimi fərdi ölçmənin mütləq xətasının orta qiymətini götürə bilərik

(2)

Böyüklük
arifmetik orta (və ya orta mütləq) xəta adlanır.

Sonra ölçmə nəticəsi forma yazılmalıdır

(3)

Ölçmələrin düzgünlüyünü xarakterizə etmək üçün adətən faizlə ifadə olunan nisbi xətadan istifadə olunur

(4)

Ölçmələrdə sistematik səhvlər əhəmiyyətsiz olsun. Ölçmənin çoxlu sayda (n→∞) aparıldığı halı nəzərdən keçirək.

Təcrübə göstərir ki, ölçmə nəticələrinin onların orta dəyərindən yuxarı və ya aşağı sapması eynidır. Orta dəyərdən kiçik sapmalar olan ölçmə nəticələri böyük sapmalara nisbətən daha tez-tez müşahidə olunur.

Ölçmə nəticələrinin bütün ədədi dəyərlərini artan ardıcıllıqla sıralayaq və bu seriyanı bərabər intervallara bölək.
. Qoy – intervala düşən nəticələrlə ölçmələrin sayı [
]. Böyüklük
[ intervalında dəyəri olan nəticənin əldə edilməsinin ΔP i (x) ehtimalı var.
].

Qrafik olaraq təqdim edək
, hər intervala uyğun [
] (Şəkil 1). Şəkil 1-də göstərilən pilləli əyriyə histoqram deyilir. Fərz edək ki, ölçmə cihazı son dərəcə yüksək həssaslığa malikdir. Sonra intervalın eni sonsuz kiçik dx edilə bilər. Bu halda pilləli əyri φ(x) funksiyası ilə təmsil olunan əyri ilə əvəz olunur (şək. 2). φ(x) funksiyası adətən paylanma sıxlığı funksiyası adlanır. Onun mənası odur ki, φ(x)dx hasilinin x-dən x+dx-ə qədər olan diapazonda olan nəticələrin alınması ehtimalı dP(x) olmasıdır. Qrafik olaraq, ehtimal dəyəri kölgəli düzbucaqlının sahəsi kimi təqdim olunur. Analitik olaraq paylanma sıxlığı funksiyası aşağıdakı kimi yazılır:

. (5)

(5) şəklində təqdim edilən φ(x) funksiyası Qauss funksiyası adlanır və ölçmə nəticələrinin müvafiq paylanması Qauss və ya normaldır.

Seçimlər
və σ aşağıdakı mənaya malikdir (şək. 2).

– ölçmə nəticələrinin orta qiyməti. At
=
Qauss funksiyası maksimum dəyərinə çatır. Ölçülərin sayı sonsuz böyükdürsə, onda
ölçülmüş kəmiyyətin həqiqi dəyərinə bərabərdir.

σ – ölçmə nəticələrinin onların orta qiymətindən səpilmə dərəcəsini xarakterizə edir. σ parametri düsturla hesablanır:

. (6)

Bu parametr kök orta kvadrat səhvini təmsil edir. Ehtimal nəzəriyyəsində σ 2 kəmiyyətinə φ(x) funksiyasının dispersiyası deyilir.

Ölçmə dəqiqliyi nə qədər yüksəkdirsə, ölçmə nəticələri ölçülmüş kəmiyyətin həqiqi dəyərinə bir o qədər yaxındır və buna görə də, daha kiçik σ.

φ(x) funksiyasının forması açıq-aydın ölçülərin sayından asılı deyil.

Ehtimal nəzəriyyəsi göstərir ki, bütün ölçmələrin 68%-i intervalda, 95%-i intervalda və 99,7%-i intervalda olan nəticə verəcəkdir.

Beləliklə, 68% ehtimalı (etibarlılığı) ilə ölçmə nəticəsinin orta dəyərdən sapması [ intervalındadır.
], 95% ehtimalı (etibarlılığı) ilə – [ intervalında
] və 99,7% ehtimalı (etibarlılığı) ilə – [ intervalında
].

Orta qiymətdən müəyyən bir sapma ehtimalına uyğun gələn interval etibarlılıq adlanır.

Həqiqi təcrübələrdə ölçülərin sayı açıq şəkildə sonsuz böyük ola bilməz, ona görə də çətin ki,
ölçülmüş dəyərin həqiqi dəyəri ilə üst-üstə düşür
. Bu baxımdan, ehtimal nəzəriyyəsinə əsaslanaraq, mümkün sapmanın miqyasını qiymətləndirmək vacibdir.
-dan
.

Hesablamalar göstərir ki, ölçmələrin sayı 20-dən çox olduqda, ehtimalı 68%
etimad intervalına düşür [
], 95% ehtimalı ilə – intervalda[
], 99,7% ehtimalı ilə – [ intervalında
].

Böyüklük , etimad intervalının sərhədlərini müəyyən edən standart kənarlaşma və ya sadəcə olaraq standart adlanır.

Standart düsturla hesablanır:

. (7)

(6) düsturu nəzərə alınmaqla (7) ifadəsi aşağıdakı formanı alır:

. (8)

n ölçülərinin sayı nə qədər çox olarsa, X bir o qədər yaxındır
. Ölçmələrin sayı çox deyilsə, 15-dən azdırsa, Gauss paylanması əvəzinə Tələbə paylanması istifadə olunur ki, bu da X-in mümkün sapmasının inam intervalının genişliyinin artmasına səbəb olur.
int n, p dəfə.

t n, p faktoru Tələbə əmsalı adlanır. P və n indeksləri Tələbə əmsalının hansı etibarlılıqla və hansı ölçmə sayına uyğun olduğunu göstərir. Verilmiş sayda ölçmə və verilən etibarlılıq üçün Tələbə əmsalının qiyməti Cədvəl 1-ə uyğun olaraq müəyyən edilir.

Cədvəl 1

Tələbə əmsalı.

Məsələn, verilmiş etibarlılıq 95% və ölçmələrin sayı n = 20 olduqda, Student əmsalı t 20.95 = 2.1 (etibar intervalı)
) ölçmələrin sayı ilən=4, t 4,95 =3,2 (etibar intervalı)
). Yəni, ölçmələrin sayının 4-dən 20-yə qədər artması ilə mümkün bir sapma
fromX 1,524 dəfə azalır.

Aşağıda mütləq təsadüfi xətanın hesablanması nümunəsi verilmişdir

Formula (2) istifadə edərək, ölçülmüş dəyərin orta qiymətini tapırıq
(fiziki kəmiyyətin ölçüsünü göstərmədən)

.

(8) düsturundan istifadə edərək standart kənarlaşmanı hesablayırıq

.

Tələbə əmsalı n=6 və P=95%, t 6.95 =2.6 yekun nəticə üçün müəyyən edilmişdir:

X=20,1±2,6·0,121=20,1±0,315 (P=95%).

Nisbi səhvi hesablayırıq:

.

Son ölçmə nəticəsini qeyd edərkən nəzərə almaq lazımdır ki, səhv yalnız bir əhəmiyyətli rəqəmi (sıfırdan başqa) ehtiva etməlidir. Səhvdə iki əhəmiyyətli rəqəm yalnız sondan əvvəlki rəqəm 1 olduqda qeydə alınır. Daha çox sayda əhəmiyyətli rəqəmləri qeyd etmək faydasızdır, çünki onlar etibarlı olmayacaqdır. Ölçülmüş dəyərin orta qiymətinin qeydində sonuncu rəqəm səhvin qeydindəki sonuncu rəqəmlə eyni rəqəmə aid olmalıdır.

X=(243±5)·10 2;

X=232,567±0,003.

Bir neçə ölçmə aparmaq eyni nəticəni verə bilər. Bu, ölçmə cihazının həssaslığı aşağı olduqda mümkündür. Ölçmə aşağı həssaslığa malik bir cihazla aparıldıqda, bir ölçmə kifayətdir. Məsələn, masanın uzunluğunu santimetr bölmələri olan bir lent ölçüsü ilə dəfələrlə ölçmək mənasızdır. Bu vəziyyətdə ölçmə nəticəsi eyni olacaq. Tək ölçmə zamanı səhv cihazın ən kiçik bölməsinin dəyəri ilə müəyyən edilir. Buna alət xətası deyilir. Onun mənası
aşağıdakı düsturla hesablanır:

, (10)

burada γ cihazın bölmə qiymətidir;

t ∞, p – Sonsuz sayda ölçmələrə uyğun gələn tələbə əmsalı.

Alət xətasını nəzərə alaraq, verilmiş etibarlılığa malik mütləq xəta düsturla müəyyən edilir:

, (11)

Harada
.

(8) və (10), (11) düsturları nəzərə alınmaqla aşağıdakı kimi yazılır:

. (12)

Ədəbiyyatda rekordu qısaltmaq üçün bəzən xətanın böyüklüyü göstərilmir. Xətanın miqyası son əhəmiyyətli rəqəmin yarısı kimi qəbul edilir. Beləliklə, məsələn, Yerin radiusunun dəyəri formada yazılır
m. Bu o deməkdir ki, səhv ±-a bərabər bir dəyər kimi qəbul edilməlidir
m.