Hvad er tilstødende hjørner og deres egenskaber. Hvilke vinkler kaldes tilstødende? Hvad er summen af \u200b\u200bto tilstødende vinkler

Geometri er en meget mangesidig videnskab. Hun udvikler logik, fantasi og intelligens. På grund af dets kompleksitet og et stort antal sætninger og aksiomer kan skolebørn selvfølgelig ikke altid lide det. Derudover er der behov for konstant at bevise dine konklusioner ved hjælp af almindeligt accepterede standarder og regler.

Tilstødende og lodrette hjørner er integreret i geometrien. Sikkert mange skolebørn elsker dem simpelthen af \u200b\u200bgrunden til, at deres egenskaber er klare og lette at bevise.

Danner hjørner

Enhver vinkel dannes ved skæringen mellem to lige linjer eller ved at tegne to stråler fra et punkt. De kan kaldes enten et bogstav eller tre, som fortløbende betegner hjørnets konstruktionspunkter.

Vinkler måles i grader og kan (afhængigt af deres værdi) kaldes forskelligt. Så der er en ret vinkel, spids, stump og udfoldet. Hvert af navnene svarer til et bestemt gradsmål eller dets interval.

En vinkel kaldes akut, hvis dens mål ikke overstiger 90 grader.

En stump vinkel er mere end 90 grader.

En vinkel kaldes en ret vinkel, når dens gradsmål er 90.

I tilfælde, hvor den er dannet af en hel linje, og dens gradsmål er 180, kaldes den udvidet.

Vinkler, der har en fælles side, hvis anden side fortsætter hinanden, kaldes tilstødende. De kan være enten skarpe eller stumpe. Linjens skæringspunkt danner tilstødende hjørner. Deres egenskaber er som følger:

1. Summen af \u200b\u200bdisse vinkler vil være 180 grader (der er en sætning, der beviser dette). Derfor kan en af \u200b\u200bdem let beregnes, hvis den anden er kendt.
2. Fra det første punkt følger det, at tilstødende hjørner ikke kan dannes af to stumpe eller to skarpe hjørner.

Takket være disse egenskaber kan du altid beregne graden af \u200b\u200ben vinkel med værdien af \u200b\u200ben anden vinkel eller i det mindste forholdet mellem dem.

Lodrette hjørner

Vinkler, hvis sider er en fortsættelse af hinanden, kaldes lodrette. Enhver af deres sorter kan fungere som sådan et par. De lodrette vinkler er altid lig med hinanden.

De dannes, når lige linjer krydser hinanden. Tilstødende hjørner er altid til stede sammen med dem. En vinkel kan være samtidig ved siden af \u200b\u200ben og lodret til en anden.

Når man krydser en vilkårlig linje, overvejes også flere typer vinkler. En sådan linje kaldes en secant, og den danner tilsvarende ensidige og tværgående vinkler. De er lig med hinanden. De kan ses i lyset af de egenskaber, som lodrette og tilstødende vinkler har.

Således synes emnet vinkler at være ret simpelt og ligetil. Alle deres egenskaber er lette at huske og bevise. Det er ikke svært at løse problemer, så længe vinklerne svarer til en numerisk værdi. Allerede længere, når studiet af synd og cos begynder, bliver du nødt til at huske mange komplekse formler, deres konklusioner og konsekvenser. Indtil det tidspunkt kan du bare nyde nemme opgaver, hvor du skal finde tilstødende hjørner.

To hjørner kaldes tilstødende, hvis de har den ene side til fælles, og de andre sider af disse hjørner er ekstra stråler. I figur 20 er vinklerne AOB og BOC tilstødende.

Summen af \u200b\u200btilstødende vinkler er 180 °

Sætning 1. Summen af \u200b\u200btilstødende vinkler er 180 °.

Beviser. OB-bjælken (se fig. 1) passerer mellem siderne af det udfoldede hjørne. derfor ∠ AOB + ∠ BIM \u003d 180 °.

Fra sætning 1 følger det, at hvis to vinkler er ens, så er vinklerne ved siden af \u200b\u200bdem ens.

De lodrette vinkler er ens

To hjørner kaldes lodrette, hvis siderne i det ene hjørne er komplementære stråler på siderne på det andet. Vinklerne AOB og COD, BOD og AOC, dannet i skæringspunktet mellem to lige linjer, er lodrette (fig. 2).

Sætning 2. De lodrette vinkler er ens.

Beviser. Overvej de lodrette vinkler AOB og COD (se fig. 2). BOD hjørnet støder op til hvert af AOB og COD hjørnerne. Ifølge sætning 1,, AOB + ∠ BOD \u003d 180 °, ∠ COD + ∠ BOD \u003d 180 °.

Derfor konkluderer vi, at ∠ AOB \u003d ∠ COD.

Resultat 1. En vinkel ved siden af \u200b\u200ben ret vinkel er en ret vinkel.

Overvej to skærende lige linjer AC og BD (fig. 3). De danner fire hjørner. Hvis en af \u200b\u200bdem er lige (vinkel 1 i fig. 3), så er de andre vinkler også rigtige (vinkler 1 og 2, 1 og 4 er tilstødende, vinkler 1 og 3 er lodrette). I dette tilfælde siger de, at disse linjer krydser hinanden vinkelret og kaldes vinkelret (eller gensidigt vinkelret). Vinkelretningen på lige linjer AC og BD betegnes som følger: AC ⊥ BD.

Midtpunktet vinkelret på et segment er en lige linje vinkelret på dette segment og passerer gennem dets midtpunkt.

AH - vinkelret på en lige linje

Overvej en lige linje a og et punkt A, der ikke ligger på den (fig. 4). Lad os forbinde punkt A med et segment med punkt H på en lige linje a. Et segment AH kaldes en lodret trukket fra punkt A til linje a, hvis linjerne AH og a er vinkelrette. Punkt H kaldes bunden af \u200b\u200bden vinkelrette.

Tegning firkantet

Følgende sætning er sand.

Sætning 3. Fra ethvert punkt, der ikke ligger på en linje, kan man tegne en vinkelret på denne linje og desuden kun en.

For at tegne en vinkelret fra et punkt til en lige linje på tegningen skal du bruge en tegningsfirkant (fig. 5).

Kommentar. Teoremets udsagn består normalt af to dele. Den ene del taler om, hvad der er givet. Denne del kaldes sætningens tilstand. En anden del taler om, hvad der skal bevises. Denne del kaldes sætningens konklusion. For eksempel er sætningen 2, at vinklerne er lodrette; konklusion - disse vinkler er ens.

Enhver sætning kan udtrykkes detaljeret med ord, så dens tilstand begynder med ordet "hvis", og konklusionen med ordet "derefter." For eksempel kan sætning 2 angives detaljeret som følger: "Hvis to vinkler er lodrette, er de ens."

Eksempel 1. En af de tilstødende vinkler er 44 °. Hvad er den anden lig med?

Afgørelse. Lad os angive gradsmålingen af \u200b\u200bden anden vinkel med x, så ifølge sætning 1.
44 ° + x \u003d 180 °.
Løsning af den resulterende ligning finder vi, at x \u003d 136 °. Derfor er den anden vinkel 136 °.

Eksempel 2. Lad COD-vinklen i figur 21 være 45 °. Hvad er vinklerne AOB og AOC?

Afgørelse. Vinklerne COD og AOB er lodrette, derfor er de ved sætning 1.2 ens, dvs. ∠ AOB \u003d 45 °. Vinklen AOC støder op til vinklen COD, derfor ved sætning 1.
∠ AOC \u003d 180 ° - ∠ COD \u003d 180 ° - 45 ° \u003d 135 °.

Eksempel 3. Find tilstødende hjørner, hvis den ene er 3 gange den anden.

Afgørelse. Lad os betegne graden på mindre vinkel gennem x. Derefter vil graden på den større vinkel være Zx. Da summen af \u200b\u200btilstødende vinkler er 180 ° (sætning 1), så x + 3x \u003d 180 °, hvorfra x \u003d 45 °.
Dette betyder, at de tilstødende vinkler er 45 ° og 135 °.

Eksempel 4. Summen af \u200b\u200bde to lodrette vinkler er 100 °. Find størrelsen på hver af de fire vinkler.

Afgørelse. Lad figur 2 svare til problemets tilstand. De lodrette vinkler af COD til AOB er lige (sætning 2), derfor er deres gradmål også ens. Derfor er ∠ COD \u003d ∠ AOB \u003d 50 ° (deres sum efter tilstand er 100 °). BOD-vinklen (også AOC-vinklen) støder op til COD-vinklen og derfor ved sætning 1
∠ BOD \u003d ∠ AOC \u003d 180 ° - 50 ° \u003d 130 °.

Kom godt i gang med vinkler

Lad os få to vilkårlige stråler. Lad os sætte dem oven på hinanden. Derefter

Definition 1

Vinkel kaldes to stråler, der har samme oprindelse.

Definition 2

Det punkt, der er oprindelsen til strålerne i definition 3 kaldes toppen af \u200b\u200bdenne vinkel.

Vinklen betegnes med følgende tre punkter: et toppunkt, et punkt på en af \u200b\u200bstrålerne og et punkt på den anden stråle, og vinkelens spids skrives midt i dens betegnelse (fig. 1).

Lad os nu bestemme, hvad værdien af \u200b\u200bvinklen er.

For at gøre dette skal du vælge en slags "reference" -vinkel, som vi tager som en enhed. Oftest er denne vinkel en vinkel, der er lig med $ \\ frac (1) (180) $ del af den flade vinkel. Denne værdi kaldes en grad. Efter at have valgt en sådan vinkel sammenligner vi vinklerne med den, hvis værdi skal findes.

Der er 4 typer vinkler:

Definition 3

En vinkel kaldes akut, hvis den er mindre end $ 90 ^ 0 $.

Definition 4

En vinkel kaldes stump, hvis den er større end $ 90 ^ 0 $.

Definition 5

En vinkel kaldes udfoldet, hvis den er lig med $ 180 ^ 0 $.

Definition 6

En vinkel kaldes en ret vinkel, hvis den er lig med $ 90 ^ 0 $.

Ud over de typer vinkler, der er beskrevet ovenfor, kan du vælge vinkeltyperne i forhold til hinanden, nemlig lodrette og tilstødende hjørner.

Tilstødende hjørner

Overvej det udfoldede $ COB $ hjørne. Tegn stråle $ OA $ fra dens toppunkt. Denne stråle deler originalen i to vinkler. Derefter

Definition 7

To hjørner kaldes tilstødende, hvis et par af deres sider er en udviklet vinkel, og det andet par falder sammen (fig. 2).

I dette tilfælde er hjørnerne $ COA $ og $ BOA $ tilstødende.

Sætning 1

Summen af \u200b\u200btilstødende vinkler er $ 180 ^ 0 $.

Beviser.

Overvej figur 2.

Ved definition 7 er $ COB $ vinklen i den $ 180 ^ 0 $. Da det andet par af sider af tilstødende hjørner falder sammen, vil $ OA $ -strålen dele den udvidede vinkel med 2, derfor

$ ∠COA + ∠BOA \u003d 180 ^ 0 $

Teoremet er bevist.

Overvej at løse et problem ved hjælp af dette koncept.

Eksempel 1

Find vinklen $ C $ fra nedenstående billede

Ved definition 7 ser vi, at vinklerne $ BDA $ og $ ADC $ er tilstødende. Derfor opnår vi ved sætning 1

$ ∠BDA + ∠ADC \u003d 180 ^ 0 $

$ ∠ADC \u003d 180 ^ 0-∠BDA \u003d 180〗 0-59 ^ 0 \u003d 121 ^ 0 $

Ved sætningen om summen af \u200b\u200bvinkler i en trekant har vi det

$ ∠A + ∠ADC + ∠C \u003d 180 ^ 0 $

$ ∠C \u003d 180 ^ 0-∠A-∠ADC \u003d 180 ^ 0-19 ^ 0-121 ^ 0 \u003d 40 ^ 0 $

Svar: $ 40 ^ 0 $.

Lodrette hjørner

Overvej de udfoldede hjørner $ AOB $ og $ MOC $. Lad os justere deres hjørner med hinanden (dvs. vi sætter punktet $ O "$ på punktet $ O $), så ingen sider af disse hjørner falder sammen. Derefter

Definition 8

To vinkler kaldes lodrette, hvis parene på deres sider er foldede vinkler, og deres værdier falder sammen (fig. 3).

I dette tilfælde er hjørnerne $ MOA $ og $ BOC $ lodrette, og hjørnerne $ MOB $ og $ AOC $ er også lodrette.

Sætning 2

De lodrette vinkler er lig med hinanden.

Beviser.

Overvej figur 3. Lad os f.eks. Bevise, at $ MOA $ er lig med $ BOC $.

To hjørner placeret på en lige linje og med et toppunkt kaldes tilstødende.

Ellers, hvis summen af \u200b\u200bto vinkler på en lige linje er 180 grader, og de har den ene side til fælles, så er disse tilstødende vinkler.

1 tilstødende vinkel + 1 tilstødende vinkel \u003d 180 grader.

Tilstødende hjørner er to hjørner, hvor den ene side er fælles, og de andre to sider generelt danner en lige linje.

Summen af \u200b\u200bto tilstødende vinkler er altid 180 grader. For eksempel, hvis en vinkel er 60 grader, vil den anden nødvendigvis være lig med 120 grader (180-60).

Vinklerne AOC og BOC er tilstødende vinkler, fordi alle betingelser for egenskaberne ved tilstødende vinkler er opfyldt:

1.OS er den fælles side af to hjørner

2.AO er siden af \u200b\u200bvinklen AOC, OV er siden af \u200b\u200bvinklen BOC. Sammen udgør disse sider en lige linje AOB.

3. Vinklen er to, og deres sum er 180 grader.

Når vi minder om skolens geometri-kursus, kan vi sige følgende om tilstødende vinkler:

tilstødende hjørner har den ene side til fælles, og de andre to sider hører til den samme lige linje, dvs. de er på den samme lige linje. Hvis i henhold til figuren, så er vinklerne på COB og BOA tilstødende vinkler, hvis sum altid er 180, da de deler den udvidede vinkel, og den udvidede vinkel altid er 180.



Tilstødende vinkler er et let koncept inden for geometri. Tilstødende vinkler, vinkel plus vinkel tilføje op til 180 grader.

To tilstødende hjørner - dette vil være et udfoldet hjørne.

Der er flere flere egenskaber. Det er let at løse problemer og sætninger med tilstødende hjørner.

Tilstødende vinkler dannes, når en stråle tegnes fra et vilkårligt punkt på en lige linje. Derefter viser dette vilkårlige punkt sig at være toppen af \u200b\u200bvinklen, strålen er den fælles side af tilstødende hjørner, og den lige linje, hvorfra strålen trækkes, er de to resterende sider af tilstødende hjørner. Tilstødende vinkler kan enten være de samme i tilfælde af en vinkelret eller forskellige i tilfælde af en skrå bjælke. Det er let at forstå, at summen af \u200b\u200btilstødende vinkler er 180 grader eller simpelthen en lige linje. På en anden måde kan denne vinkel forklares med et simpelt eksempel - du gik først i en retning i en lige linje, skiftede derefter mening, besluttede at gå tilbage og efter at have drejet 180 grader, satte du af sted langs den samme lige linje i modsatte retning.



Så hvad er et tilstødende hjørne? Definition:

Ved siden af \u200b\u200ber to hjørner med et fælles toppunkt og en fælles side, og de andre to sider af disse hjørner ligger på en lige linje.



Og en lille videolektion, hvor det fornuftigt vises om tilstødende vinkler, lodrette vinkler plus omkring vinkelrette lige linjer, som er et specielt tilfælde af tilstødende og lodrette vinkler

Tilstødende hjørner er hjørner, hvor den ene side er fælles, og den anden er en enkelt linje.

Tilstødende vinkler er vinkler, der afhænger af hinanden. Det vil sige, at hvis den fælles side drejes let, falder den ene vinkel med nogle grader, og automatisk forøges den anden vinkel med samme grad. Denne egenskab ved tilstødende vinkler gør det muligt at løse forskellige problemer og bevise forskellige sætninger i geometri.

Den samlede sum af tilstødende vinkler er altid 180 grader.



Fra geometrisk forløb (så vidt jeg husker i klasse 6) kaldes to vinkler tilstødende, hvor den ene side er fælles, og de andre sider er yderligere stråler, summen af \u200b\u200btilstødende vinkler er 180. Hver af de to tilstødende vinkler supplerer den anden til en udviklet vinkel. Eksempel på tilstødende hjørner:



Tilstødende vinkler er to hjørner med et fælles toppunkt, hvoraf den ene side er fælles, og de resterende sider ligger på en lige linje (ikke sammenfaldende). Summen af \u200b\u200btilstødende vinkler er hundrede og firs grader. Generelt er alt dette meget let at finde i Google eller en geometri-lærebog.

1. Tilstødende hjørner.

Hvis vi udvider siden af \u200b\u200bet hvilket som helst hjørne ud over dets toppunkt, får vi to vinkler (fig. 72): ∠ABS og ∠СВD, hvor den ene side f.Kr. er almindelig, og de to andre, AB og BD, danner en lige linje.

To hjørner, hvor den ene side er fælles, og de andre to danner en lige linje kaldes tilstødende hjørner.

Tilstødende vinkler kan også opnås på denne måde: hvis vi tegner en stråle fra et eller andet tidspunkt på en lige linje (ikke ligger på denne lige linje), så får vi tilstødende vinkler.

For eksempel er ∠ADF og ∠FDB tilstødende vinkler (fig. 73).

Tilstødende hjørner kan have mange forskellige positioner (fig. 74).

Tilstødende vinkler tilføjer en flad vinkel, så summen af \u200b\u200bto tilstødende vinkler er 180 °

Herfra kan en retvinkel defineres som en vinkel svarende til dens tilstødende vinkel.

Når vi kender værdien af \u200b\u200ben af \u200b\u200bde tilstødende vinkler, kan vi finde værdien af \u200b\u200bden anden tilstødende vinkel.

For eksempel, hvis en af \u200b\u200bde tilstødende vinkler er 54 °, vil den anden vinkel være:

180 ° - 54 ° \u003d l26 °.

2. Lodrette vinkler.

Hvis vi strækker hjørnesiden ud over hjørnet, får vi lodrette hjørner. I figur 75 er vinklerne EOF og AOC lodrette; vinklerne AOE og COF er også lodrette.

To hjørner kaldes lodrette, hvis siderne af det ene hjørne er forlængelser af siderne af det andet hjørne.

Lad ∠1 \u003d \\ (\\ frac (7) (8) \\) ⋅ 90 ° (fig. 76). Det tilstødende ∠2 vil være lig med 180 ° - \\ (\\ frac (7) (8) \\) ⋅ 90 °, det vil sige 1 \\ (\\ frac (1) (8) \\) ⋅ 90 °.

På samme måde kan du beregne, hvad ∠3 og ∠4 er lig med.

∠3 \u003d 180 ° - 1 \\ (\\ frac (1) (8) \\) ⋅ 90 ° \u003d \\ (\\ frac (7) (8) \\) ⋅ 90 °;

∠4 \u003d 180 ° - \\ (\\ frac (7) (8) \\) ⋅ 90 ° \u003d 1 \\ (\\ frac (1) (8) \\) ⋅ 90 ° (fig. 77).

Vi ser, at ∠1 \u003d ∠3 og ∠2 \u003d ∠4.

Du kan løse flere flere af de samme problemer, og hver gang får du det samme resultat: de lodrette vinkler er lig med hinanden.

For at sikre, at de lodrette vinkler altid er ens med hinanden, er det ikke nok at overveje individuelle numeriske eksempler, da konklusioner, der drages af bestemte eksempler, undertiden kan være forkerte.

Det er nødvendigt at verificere gyldigheden af \u200b\u200begenskaben ved lodrette vinkler ved bevis.

Beviset kan udføres som følger (fig. 78):

∠a +∠c \u003d 180 °;

∠b +∠c \u003d 180 °;

(da summen af \u200b\u200btilstødende vinkler er 180 °).

∠a +∠c = ∠b +∠c

(da venstre side af denne ligestilling er 180 °, og dens højre side er også 180 °).

Denne lighed inkluderer den samme vinkel fra.

Hvis vi trækker lige fra lige værdier, forbliver det ligeligt. Resultatet bliver: ∠-en = ∠bdvs. de lodrette vinkler er lig med hinanden.

3. Summen af \u200b\u200bde vinkler, der har et fælles toppunkt.

På tegningen 79 ∠1, ∠2, ∠3 og ∠4 er placeret på den ene side af en lige linje og har et fælles toppunkt på denne lige linje. Tilsammen udgør disse vinkler den indsatte vinkel, dvs.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 \u003d 180 °.

På tegningen har 80 1, ∠2, ∠3, ∠4 og ∠5 et fælles toppunkt. Disse vinkler tilføjer op til den fulde vinkel, dvs. т1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 \u003d 360 °.