Før vi giver begrebet et vektorprodukt, lad os vende os til spørgsmålet om orienteringen af ​​en ordnet triplet af vektorer a →, b →, c → i tredimensionelt rum.

Lad os til at begynde med lægge vektorerne a →, b →, c → til side fra et punkt. Orienteringen af ​​triplen a →, b →, c → kan være højre eller venstre, afhængigt af retningen af ​​vektoren c → selv. Fra den retning, hvori den korteste drejning foretages fra vektoren a → til b → fra enden af ​​vektoren c →, vil formen af ​​triplen a →, b →, c → blive bestemt.

Hvis den korteste rotation er mod uret, kaldes tripletten af ​​vektorerne a →, b →, c → ret hvis med uret - venstre.

Tag derefter to ikke-kollineære vektorer a → og b →. Lad os så udskyde vektorerne A B → = a → og A C → = b → fra punkt A. Vi konstruerer en vektor A D → = c →, som samtidig er vinkelret på både A B → og A C →. Når vi konstruerer selve vektoren A D → = c → kan vi således gøre to ting, hvilket giver den enten én retning eller den modsatte (se illustration).

Den ordnede tripel af vektorer a →, b →, c → kan, som vi fandt ud af, være højre eller venstre, afhængigt af vektorens retning.

Ud fra ovenstående kan vi introducere definitionen af ​​et krydsprodukt. Denne definition er givet for to vektorer defineret i et rektangulært koordinatsystem af tredimensionelt rum.

Definition 1

Vektorproduktet af to vektorer a → og b → vi vil kalde en sådan vektor givet i et rektangulært koordinatsystem af tredimensionelt rum, således at:

• hvis vektorerne a → og b → er kollineære, vil den være nul;
• den vil være vinkelret på både vektor a → og vektor b → dvs. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2;
• dens længde bestemmes af formlen: c → = a → b → sin ∠ a →, b →;
• tripletten af ​​vektorer a →, b →, c → har samme orientering som det givne koordinatsystem.

Vektorproduktet af vektorerne a → og b → har følgende notation: a → × b →.

Vektor produktkoordinater

Da enhver vektor har bestemte koordinater i koordinatsystemet, kan du indtaste den anden definition af krydsproduktet, som giver dig mulighed for at finde dens koordinater ved de givne koordinater for vektorerne.

Definition 2

I et rektangulært koordinatsystem af tredimensionelt rum vektorprodukt af to vektorer a → = (a x; a y; a z) og b → = (b x; b y; b z) kaldes vektoren c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →, hvor i →, j →, k → er koordinatvektorer.

Vektorproduktet kan repræsenteres som determinanten af ​​en kvadratisk matrix af tredje orden, hvor den første række er vektorerne for enhedsvektorerne i →, j →, k →, den anden række indeholder koordinaterne for vektoren a →, og den tredje er koordinaterne for vektoren b → i et givet rektangulært koordinatsystem, denne determinant af matricen ser således ud: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz

Udvider vi denne determinant over elementerne i den første række, får vi ligheden: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = ayazbybz i → - axazbxbz j → + axaybxby k → = = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →

Vektor produktegenskaber

Det er kendt, at vektorproduktet i koordinater er repræsenteret som determinanten af ​​matrixen c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z, derefter på basis egenskaber for matrixens determinant viser følgende vektor produktegenskaber:

1. antikommutativitet a → × b → = - b → × a →;
2. distributivitet a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → eller a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) →;
3. associativitet λ a → × b → = λ a → × b → eller a → × (λ b →) = λ a → × b →, hvor λ er et vilkårligt reelt tal.

Disse egenskaber er ikke svære at bevise.

Som et eksempel kan vi bevise anti-kommutativitetsegenskaben for et vektorprodukt.

Bevis på antikommutativitet

Per definition, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z og b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. Og hvis to rækker af matricen omarrangeres, skal værdien af ​​matricens determinant ændres til det modsatte, derfor a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = - i → j → k → bxbybzaxayaz = - b → × a →, som og beviser anti-kommutativiteten af ​​vektorproduktet.

Vektorprodukt - eksempler og løsninger

I de fleste tilfælde er der tre typer opgaver.

I problemer af den første type er længden af ​​to vektorer og vinklen mellem dem normalt givet, men du skal finde længden af ​​krydsproduktet. I dette tilfælde skal du bruge følgende formel c → = a → b → sin ∠ a →, b →.

Eksempel 1

Find længden af ​​vektorproduktet af vektorerne a → og b → hvis du kender a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Opløsning

Ved at bestemme længden af ​​vektorproduktet af vektorerne a → og b → løser vi dette problem: a → × b → = a → b → sin ∠ a →, b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2.

Svar: 15 2 2 .

Problemer af den anden type har en forbindelse med vektorernes koordinater, i dem krydsproduktet, dets længde osv. søges gennem de kendte koordinater for de givne vektorer a → = (a x; a y; a z) og b → = (b x; b y; b z) .

Til denne type opgaver kan du løse en masse muligheder for opgaver. For eksempel kan ikke koordinaterne for vektorerne a → og b → angives, men deres udvidelser i koordinatvektorer af formen b → = b x i → + b y j → + b z k → og c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (akse ved - ay bx) k →, eller vektorerne a → og b → kan specificeres ved koordinaterne for deres start- og slutpunkter.

Overvej følgende eksempler.

Eksempel 2

I et rektangulært koordinatsystem er der givet to vektorer a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Find deres krydsprodukt.

Opløsning

Ved den anden definition finder vi vektorproduktet af to vektorer i de givne koordinater: a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (akse for - ay Bx ) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Hvis vi skriver vektorproduktet gennem determinanten af ​​matricen, så ser løsningen i dette eksempel sådan ud: a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Svar: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Eksempel 3

Find længden af ​​vektorproduktet af vektorerne i → - j → og i → + j → + k →, hvor i →, j →, k → er enhedsvektorerne for et rektangulært kartesisk koordinatsystem.

Opløsning

Først finder vi koordinaterne for det givne vektorprodukt i → - j → × i → + j → + k → i det givne rektangulære koordinatsystem.

Det er kendt, at vektorerne i → - j → og i → + j → + k → har henholdsvis koordinater (1; - 1; 0) og (1; 1; 1). Lad os finde længden af ​​vektorproduktet ved hjælp af determinanten af ​​matricen, så har vi i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → ...

Derfor har vektorproduktet i → - j → × i → + j → + k → koordinater (- 1; - 1; 2) i det givne koordinatsystem.

Vi finder længden af ​​vektorproduktet ved formlen (se afsnittet om at finde længden af ​​en vektor): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Svar: i → - j → × i → + j → + k → = 6. ...

Eksempel 4

I et rektangulært kartesisk koordinatsystem er koordinaterne for tre punkter A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) givet. Find en vektor vinkelret på A B → og A C → på samme tid.

Opløsning

Vektorerne A B → og A C → har følgende koordinater (henholdsvis - 1; 2; 2) og (0; 4; 1). Efter at have fundet vektorproduktet af vektorerne A B → og A C → er det indlysende, at det per definition er en vinkelret vektor på både A B → og A C →, det vil sige, at det er en løsning på vores problem. Lad os finde det A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k →.

Svar: - 6 i → + j → - 4 k →. - en af ​​de vinkelrette vektorer.

Problemer af den tredje type er fokuseret på at bruge egenskaberne af vektorproduktets vektorprodukt. Efter at have ansøgt hvilken, får vi en løsning på det givne problem.

Eksempel 5

Vektorerne a → og b → er vinkelrette og deres længder er henholdsvis 3 og 4. Find længden af ​​vektorproduktet 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →.

Opløsning

Ved fordelingsegenskaben for et vektorprodukt kan vi skrive 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Ved egenskaben associativitet flytter vi de numeriske koefficienter uden for tegnet for vektorprodukterne i det sidste udtryk: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Vektorprodukterne a → × a → og b → × b → er 0, fordi a → × a → = a → a → sin 0 = 0 og b → × b → = b → b → sin 0 = 0, derefter 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a →. ...

Vektorproduktets antikommutativitet indebærer - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b →. ...

Ved at bruge egenskaberne for vektorproduktet får vi ligheden 3 a → - b → × a → - 2 b → = = - 5 a → × b →.

Ved hypotese er vektorerne a → og b → vinkelrette, det vil sige, at vinklen mellem dem er π 2. Nu er det kun tilbage at erstatte de fundne værdier i de tilsvarende formler: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a →, b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60.

Svar: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Længden af ​​vektorproduktet af vektorer ved orden er lig med a → × b → = a → b → sin ∠ a →, b →. Da det allerede er kendt (fra skoleforløbet), at arealet af en trekant er lig med halvdelen af ​​produktet af længderne af dens to sider ganget med sinus af vinklen mellem disse sider. Derfor er længden af ​​vektorproduktet lig med arealet af parallelogrammet - den fordoblede trekant, nemlig produktet af siderne i form af vektorerne a → og b →, plottet fra et punkt, ved sinus af vinkel mellem dem sin ∠ a →, b →.

Dette er den geometriske betydning af vektorproduktet.

Den fysiske betydning af et vektorprodukt

I mekanik, en af ​​fysikkens grene, kan du takket være vektorproduktet bestemme kraftmomentet i forhold til et punkt i rummet.

Definition 3

Med kraftmomentet F → påført punkt B, i forhold til punkt A, mener vi følgende vektorprodukt A B → × F →.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du vælge den og trykke på Ctrl + Enter

BLANDET PRODUKT AF TRE VEKTORER OG DETS EGENSKABER

Blandet arbejde tre vektorer kaldes et tal lig med. Betegnes ... Her multipliceres de to første vektorer vektorielt, og derefter multipliceres den resulterende vektor skalært med den tredje vektor. Naturligvis er et sådant produkt et vist antal.

Overvej egenskaberne af det blandede produkt.

1. Geometrisk betydning blandet arbejde. Det blandede produkt af 3 vektorer, op til et fortegn, er lig med volumenet af et parallelepipedum bygget på disse vektorer, som på kanter, dvs. ...

   Således og .

   

   Bevis... Afsæt vektorer fra den fælles oprindelse og byg et parallelepipedum på dem. Lad os markere og bemærke det. Ifølge definitionen af ​​prikproduktet

   Forudsat at og betegner ved h højden af ​​parallelepipedet, finder vi.

   Således for

   Hvis, så og. Derfor,.

   Ved at kombinere begge disse tilfælde får vi eller.

   Især følger det af beviset for denne egenskab, at hvis tripletten af ​​vektorer er rigtig, så er det et blandet produkt, og hvis det er venstre, så.

2. For enhver vektor,, ligheden

   Beviset for denne ejendom følger af ejendom 1. Det er faktisk let at vise, at og. Desuden tages tegnene "+" og "-" samtidigt, da vinklerne mellem vektorer og og og er både spidse eller stumpe.

3. Ved permutation af to faktorer skifter det blandede produkt fortegn.

   Faktisk, hvis vi betragter et blandet værk, så f.eks. eller

4. Blandet produkt, hvis og kun hvis en af ​​faktorerne er nul, eller vektorerne er koplanære.

   Bevis.

   En nødvendig og tilstrækkelig betingelse for coplanariteten af ​​3 vektorer er således ligheden med nul af deres blandede produkt. Derudover følger det, at tre vektorer danner basis i rummet, if.

   Hvis vektorer er givet i koordinatform, kan det vises, at deres blandede produkt findes ved formlen:

   .

   Således er det blandede produkt lig med determinanten af ​​den tredje orden, hvor den første linje indeholder koordinaterne for den første vektor, den anden linje indeholder koordinaterne for den anden vektor, og den tredje linje indeholder den tredje vektor.

   Eksempler.

ANALYTISK GEOMETRI I RUM

Ligningen F (x, y, z)= 0 definerer i rummet Oxyz noget overflade, dvs. locus af punkter, hvis koordinater x, y, z opfylde denne ligning. Denne ligning kaldes overfladens ligning, og x, y, z- aktuelle koordinater.

Ofte er overfladen dog ikke specificeret af en ligning, men som et sæt punkter i rummet, der har en eller anden egenskab. I dette tilfælde er det nødvendigt at finde overfladens ligning baseret på dens geometriske egenskaber.

FLY.

NORMAL PLAN VEKTOR.

LIGNING FOR ET FLY, SOM PASSERER GENNEM ET GIVET PUNKT

Betragt et vilkårligt plan σ i rummet. Dens position bestemmes ved at angive en vektor vinkelret på dette plan og et fast punkt M 0(x 0, y 0, z 0) liggende i planet σ.

En vektor vinkelret på planet σ kaldes normal vektor af dette fly. Lad vektoren have koordinater.

Lad os udlede ligningen for planen σ, der går gennem et givet punkt M 0 og har en normal vektor. For at gøre dette skal du tage et vilkårligt punkt på planet σ M (x, y, z) og overvej en vektor.

For ethvert punkt MÎ σ er en vektor. Derfor er deres skalarprodukt lig med nul. Denne lighed er betingelsen for, at pointen MÎ σ. Den er gyldig for alle punkter i dette fly og overtrædes så snart punktet M vil være uden for planet σ.

Hvis vi betegner med punktets radiusvektor M, Er punktets radiusvektor M 0, så kan ligningen også skrives i formen

Denne ligning kaldes vektor flyets ligning. Lad os skrive det ned i koordinatform. Siden da

Så vi fik ligningen for flyet, der passerer gennem dette punkt. For at danne flyets ligning skal du således kende koordinaterne for normalvektoren og koordinaterne for et punkt, der ligger på planet.

Bemærk at planens ligning er en ligning af 1. grad i forhold til de aktuelle koordinater x, y og z.

Eksempler.

GENEREL LIGNING AF FLYET

Det kan vises, at enhver ligning af første grad med hensyn til kartesiske koordinater x, y, z er en ligning for et bestemt plan. Denne ligning er skrevet som:

Axe + By + Cz + D=0

og ringede generel ligning flyet og koordinaterne A, B, C her er koordinaterne for normalvektoren i planet.

Overvej særlige tilfælde af den generelle ligning. Lad os finde ud af, hvordan planet er placeret i forhold til koordinatsystemet, hvis en eller flere koefficienter i ligningen forsvinder.

A er længden af ​​linjen skåret af planet på aksen Okse... På samme måde kan man vise det b og c- længderne af segmenterne afskåret af det pågældende plan på akserne Åh og Oz.

Det er praktisk at bruge planligningen i linjestykker til at konstruere planer.

7.1. Definition af et krydsprodukt

Tre ikke-koplanære vektorer a, b og c, taget i den angivne rækkefølge, danner en højre triplet, hvis den korteste rotation fra den første vektor a til den anden vektor b ses mod uret fra slutningen af ​​den tredje vektor c. venstre, hvis med uret (se fig. 16).

Vektorproduktet af en vektor a med en vektor b er en vektor c, som:

1. Vinkelret på vektorerne a og b, dvs. c ^ a og c ^ b;

2. Har en længde numerisk lig med arealet af et parallelogram bygget på vektorerne a ogb som på siderne (se fig. 17), dvs.

3. Vektorerne a, b og c danner en højre-triplet.

Krydsproduktet betegnes a x b eller [a, b]. Definitionen af ​​et vektorprodukt indebærer direkte følgende relationer mellem vektorerne i, j og k(se fig. 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Lad os for eksempel bevise det i хj = k.

1) k ^ i, k ^ j;

2) | k | = 1, men | i x j| = | i | | J | sin (90°) = 1;

3) vektorerne i, j og k danner en højre trilling (se fig. 16).

7.2. Vektor produktegenskaber

1. Når faktorerne omarrangeres, skifter vektorproduktet fortegn; a xb = (b xa) (se fig. 19).

Vektorerne a xb og b er kollineære, har samme moduli (parallelografiområdet forbliver uændret), men modsatte retninger (tripler a, b, a xb og a, b, b x a med modsat orientering). Det er en xb = -(b xa).

2. Vektorproduktet besidder den kombinatoriske egenskab med hensyn til skalarfaktoren, det vil sige l (а хb) = (l а) х b = а х (l b).

Lad l> 0. Vektor l (a xb) er vinkelret på vektorerne a og b. Vektor ( l a) x b er også vinkelret på vektorerne a og b(vektorer a, l og ligge i samme plan). Derfor vektorerne l(a xb) og ( l a) x b collineær. Det er klart, at deres retninger falder sammen. Har samme længde:

Så l(a хb) = l en xb. Det kan bevises tilsvarende for l<0.

3. To ikke-nul vektorer a og b kollineær, hvis og kun hvis deres krydsprodukt er lig med nulvektoren, dvs. a || b<=>a xb = 0.

Især i * i = j * j = k * k = 0.

4. Vektorproduktet har fordelingsegenskaben:

(a + b) xc = a xc + b xc.

Vi vil acceptere det uden bevis.

7.3. Udtryk af krydsproduktet i form af koordinater

Vi vil bruge krydsprodukttabellen af ​​vektorer i, j og k:

hvis retningen af ​​den korteste vej fra den første vektor til den anden falder sammen med pilens retning, så er produktet lig med den tredje vektor, hvis ikke, tages den tredje vektor med et minustegn.

Lad to vektorer a = a x i + a y j+ a z k og b = b x jeg+ b y j+ b z k... Lad os finde krydsproduktet af disse vektorer og gange dem som polynomier (i henhold til egenskaberne for krydsproduktet):

Den resulterende formel kan skrives endnu kortere:

da højre side af lighed (7.1) svarer til udvidelsen af ​​determinanten af ​​tredje orden med hensyn til elementerne i første række. Ligestilling (7.2) er let at huske.

7.4. Nogle anvendelser af vektorarbejde

Etablering af kollineære vektorer

Find arealet af et parallelogram og en trekant

Ifølge definitionen af ​​vektorproduktet af vektorer -en og b | a xb | =| a | * | b | sin g, det vil sige S-par = | a x b |. Og derfor er D S = 1/2 | a x b |.

Bestemmelse af kraftmomentet i forhold til et punkt

Lad en kraft påføres ved punkt A F = AB Giv slip O- et eller andet punkt i rummet (se fig. 20).

Det ved man fra fysikken kraftmoment F i forhold til punkt O kaldes en vektor M, som går igennem punktet O og:

1) vinkelret på det plan, der går gennem punkterne O, A, B;

2) numerisk lig med produktet af kraft pr. skulder

3) danner en højre triplet med vektorerne OA og AB.

Derfor er M = OA x F.

Find den lineære rotationshastighed

Fart v punkt M af et stift legeme, der roterer med en vinkelhastighed w omkring en fast akse, bestemmes af Euler-formlen v = w хr, hvor r = ОМ, hvor О er et eller andet fast punkt på aksen (se fig. 21).

I denne lektion vil vi se på yderligere to vektoroperationer: vektorprodukt af vektorer og blandet produkt af vektorer (link med det samme, hvem har brug for det)... Det er okay, det sker nogle gange, at for fuldstændig lykke, foruden prikprodukt af vektorer, det kræver mere og mere. Sådan er vektorafhængigheden. Man kan få det indtryk, at vi er på vej ind i junglen af ​​analytisk geometri. Det er ikke sandt. I dette afsnit af højere matematik er der generelt ikke nok brænde, bortset fra at der er nok til Buratino. Faktisk er materialet meget almindeligt og enkelt – næppe mere kompliceret end det samme skalært produkt, vil der endda være færre typiske opgaver. Det vigtigste i analytisk geometri, som mange vil være overbevist om eller allerede er blevet overbevist om, er IKKE AT FORETAGES I BEREGNINGERNE. Gentag som en besværgelse, og du vil blive glad =)

Hvis vektorer funkler et sted langt væk, som et lyn i horisonten, er det lige meget, start med lektionen Vektorer til dummies at genvinde eller genvinde grundlæggende viden om vektorer. Mere forberedte læsere kan selektivt stifte bekendtskab med informationen, jeg forsøgte at samle den mest komplette samling af eksempler, der ofte findes i praktiske værker

Hvordan behager du dig med det samme? Da jeg var lille, vidste jeg, hvordan man jonglere med to eller endda tre bolde. Behændigt viste det sig. Nu behøver du slet ikke at jonglere, da vi vil overveje kun rumlige vektorer, og planvektorer med to koordinater vil blive udeladt. Hvorfor? Sådan blev disse handlinger født - vektoren og det blandede produkt af vektorer er defineret og fungerer i tredimensionelt rum. Det er allerede nemmere!

Denne operation involverer på samme måde som i prikproduktet to vektorer... Lad disse være uforgængelige breve.

Selve handlingen angivet på følgende måde:. Der er andre muligheder, men jeg er vant til at betegne vektorproduktet af vektorer på den måde i firkantede parenteser med et kryds.

Og straks spørgsmål: hvis i prikprodukt af vektorer to vektorer er involveret, og også her ganges to vektorer altså hvad er forskellen? Den åbenlyse forskel er først og fremmest i RESULTATET:

Resultatet af prikproduktet af vektorer er ANTAL:

Vektorproduktet af vektorer resulterer i en VEKTOR:, det vil sige, at vi multiplicerer vektorerne og får en vektor igen. Lukket klub. Faktisk deraf navnet på operationen. I forskellig undervisningslitteratur kan betegnelserne også variere, jeg vil bruge bogstavet.

Definition af et krydsprodukt

Først vil der være en definition med et billede, derefter kommentarer.

Definition: Efter vektorprodukt ikke-kollineær vektorer, taget i denne rækkefølge kaldet VECTOR, længde hvilket numerisk lig med arealet af parallelogrammet bygget på disse vektorer; vektor ortogonalt på vektorer, og er rettet således, at grundlaget har en rigtig orientering:

Vi analyserer definitionen ved knogler, der er mange interessante ting!

Så følgende væsentlige punkter kan fremhæves:

1) De oprindelige vektorer, angivet med røde pile, per definition ikke collineær... Det vil være passende at overveje tilfældet med kollineære vektorer lidt senere.

2) Vektorerne tages i en nøje defineret rækkefølge: – "A" ganges med "bh", og ikke "bh" til "a". Resultatet af vektormultiplikation er VEKTOREN, som er markeret med blåt. Hvis vektorerne multipliceres i omvendt rækkefølge, får vi en vektor lige lang og modsat i retning (karminrød farve). Det vil sige, at ligestillingen er sand .

3) Lad os nu blive bekendt med den geometriske betydning af vektorproduktet. Dette er en meget vigtig pointe! LÆNGDEN af den blå vektor (og derfor den crimson vektor) er numerisk lig med OMRÅDET af parallelogrammet bygget på vektorerne. På figuren er dette parallelogram skraveret i sort.

Bemærk : tegningen er skematisk, og selvfølgelig er den nominelle længde af krydsproduktet ikke lig med arealet af parallelogrammet.

Vi husker en af ​​de geometriske formler: arealet af parallelogrammet er lig med produktet af de tilstødende sider med sinus af vinklen mellem dem... Derfor, baseret på ovenstående, er formlen til beregning af LÆNGDEN af et vektorprodukt gyldig:

Jeg understreger, at vi i formlen taler om vektorens LÆNGDE, og ikke om vektoren selv. Hvad er den praktiske pointe? Og meningen er, at i problemer med analytisk geometri findes arealet af et parallelogram ofte gennem konceptet om et vektorprodukt:

Lad os få den anden vigtige formel. Parallelogrammets diagonal (rød stiplet linje) deler det i to lige store trekanter. Derfor kan arealet af en trekant bygget på vektorer (rød skygge) findes ved formlen:

4) Et lige så vigtigt faktum er, at vektoren er ortogonal på vektorer, dvs. ... Naturligvis er den modsat rettede vektor (crimson pil) også ortogonal i forhold til de originale vektorer.

5) Vektoren er rettet således, at basis Det har ret orientering. I lektionen vedr overgang til et nyt grundlag Jeg talte tilstrækkeligt detaljeret om plan orientering, og nu vil vi finde ud af, hvad rummets orientering er. Jeg vil forklare på dine fingre højre hånd... Mentalt kombinere pegefinger med vektor og lange finger med vektor. Ringfinger og pinky tryk den ind i din håndflade. Som resultat tommelfinger- krydsproduktet vil slå op. Dette er det højreorienterede grundlag (i figuren er det det). Skift nu vektorerne ( pege- og langfinger) på steder, som et resultat, vil tommelfingeren folde sig ud, og krydsproduktet vil allerede se ned. Dette er også et højreorienteret grundlag. Måske har du et spørgsmål: hvad er grundlaget for venstreorienteringen? "Tildel" til de samme fingre venstre hånd vektorer, og få venstre basis og venstre orientering af rummet (i dette tilfælde vil tommelfingeren være placeret i retning af den nederste vektor)... Billedligt talt "vrider" disse baser eller orienterer rummet i forskellige retninger. Og dette koncept bør ikke betragtes som noget fjernt eller abstrakt - for eksempel ændres rummets orientering af det mest almindelige spejl, og hvis du "trækker det reflekterede objekt ud af skueglasset", så i det generelle tilfælde det vil ikke være muligt at kombinere det med "originalen". Tag i øvrigt tre fingre hen til spejlet og analyser refleksionen ;-)

... hvor er det godt, du nu ved om højre og venstre orienteret baserer, fordi nogle underviseres udtalelser om ændringen i orientering er forfærdelige =)

Krydsprodukt af kollineære vektorer

Definitionen er blevet analyseret i detaljer, det er tilbage at finde ud af, hvad der sker, når vektorerne er kollineære. Hvis vektorerne er kollineære, så kan de være placeret på én lige linje, og vores parallelogram "folder" også til én lige linje. Området for sådanne, som matematikere siger, degenerere parallelogram er nul. Det samme følger af formlen - sinus af nul eller 180 grader er lig med nul, hvilket betyder, at arealet er nul.

Altså, hvis, så og ... Bemærk, at selve krydsproduktet er lig med nulvektoren, men i praksis negligeres dette ofte og skrives, at det også er nul.

Et specialtilfælde er vektorproduktet af en vektor i sig selv:

Ved hjælp af krydsproduktet kan du tjekke kolineariteten af ​​tredimensionelle vektorer, og vi vil også analysere dette problem bl.a.

For at løse praktiske eksempler skal du muligvis trigonometrisk tabel for at finde sinusværdierne ud fra det.

Nå, lad os tænde bål:

Eksempel 1

a) Find længden af ​​vektorproduktet af vektorer if

b) Find arealet af et parallelogram bygget på vektorer if

Opløsning: Nej, dette er ikke en tastefejl, jeg lavede bevidst de indledende data i betingelsens klausuler til de samme. Fordi designet af løsningerne bliver anderledes!

a) Ved betingelse er det påkrævet at finde længden vektor (vektorprodukt). Ifølge den tilsvarende formel:

Svar:

Da spørgsmålet blev stillet om længden, angiver vi i svaret dimensionen - enheder.

b) Ved betingelse er det påkrævet at finde firkant et parallelogram bygget på vektorer. Arealet af dette parallelogram er numerisk lig med længden af ​​vektorproduktet:

Svar:

Bemærk venligst, at svaret om vektorproduktet overhovedet er udelukket, vi blev spurgt om figur areal dimensionen er henholdsvis kvadratiske enheder.

Vi ser altid på HVAD der skal findes af tilstanden, og ud fra dette formulerer vi klar svar. Det kan virke som bogstavelighed, men der er bogstaveligt talt nok blandt lærerne, og opgaven med gode chancer vender tilbage til revision. Selvom der ikke er tale om en særlig anstrengt gnaven – hvis svaret er forkert, så får man det indtryk, at personen ikke forstår simple ting og/eller ikke forstår essensen af ​​opgaven. Dette øjeblik skal altid holdes under kontrol og løse ethvert problem i højere matematik og også i andre fag.

Hvor blev det store bogstav "en" af? I princippet kunne det også stikkes ind i løsningen, men for at forkorte optagelsen gjorde jeg det ikke. Jeg håber, at alle forstår det og er en betegnelse for det samme.

Populært eksempel på en gør-det-selv-løsning:

Eksempel 2

Find arealet af en trekant bygget på vektorer hvis

Formlen til at finde arealet af en trekant gennem krydsproduktet er givet i kommentarerne til definitionen. Løsning og svar i slutningen af ​​lektionen.

I praksis er opgaven virkelig meget almindelig, trekanter kan generelt torturere dig.

For at løse andre problemer har vi brug for:

Vektor produktegenskaber

Vi har allerede overvejet nogle egenskaber ved krydsproduktet, men jeg vil inkludere dem i denne liste.

For vilkårlige vektorer og et vilkårligt tal er følgende egenskaber gyldige:

1) I andre informationskilder er dette punkt normalt ikke fremhævet i egenskaber, men det er meget vigtigt rent praktisk. Så lad det være.

2) - ejendommen er også omtalt ovenfor, nogle gange kaldes det antikommutativitet... Med andre ord har rækkefølgen af ​​vektorerne betydning.

3) - kombination eller associativ lovene for et vektorprodukt. Konstanter fjernes problemfrit uden for vektorproduktet. Ja, hvad skal de gøre der?

4) - distribution el distributive lovene for et vektorprodukt. Der er heller ingen problemer med udvidelse af beslag.

Som en demonstration kan du overveje et kort eksempel:

Eksempel 3

Find evt

Opløsning: Ifølge betingelsen er det igen påkrævet at finde længden af ​​krydsproduktet. Lad os skrive vores thumbnail:

(1) Ifølge de associative love flytter vi konstanterne uden for divisionen af ​​vektorproduktet.

(2) Vi flytter konstanten ud af modulet, mens modulet "spiser" minustegnet. Længden kan ikke være negativ.

(3) Det følgende er klart.

Svar:

Det er tid til at sætte lidt brænde på bålet:

Eksempel 4

Beregn arealet af en trekant bygget på vektorer hvis

Opløsning: Arealet af trekanten findes ved formlen ... Fangsten er, at vektorerne "tse" og "de" selv er repræsenteret som summer af vektorer. Algoritmen her er standard og minder en del om eksempel 3 og 4 i lektionen Punktprodukt af vektorer... For klarhedens skyld, lad os opdele løsningen i tre faser:

1) På det første trin udtrykker vi vektorproduktet i form af vektorproduktet, faktisk, udtrykke vektoren i form af vektoren... Ikke et ord om længder endnu!

(1) Erstatningsvektorudtryk.

(2) Ved hjælp af de distributive love udvider vi parenteserne i henhold til reglen om multiplikation af polynomier.

(3) Ved hjælp af associative love flytter vi alle konstanter uden for vektorprodukterne. Med lidt erfaring kan handling 2 og 3 udføres samtidigt.

(4) De første og sidste led er lig med nul (nul vektor) på grund af en behagelig egenskab. I det andet udtryk bruger vi vektorproduktets antikommutativitetsegenskab:

(5) Vi præsenterer lignende udtryk.

Som et resultat blev vektoren udtrykt i form af vektoren, hvilket var det, der krævedes for at blive opnået:

2) På andet trin finder vi længden af ​​vektorproduktet, vi skal bruge. Denne handling ligner eksempel 3:

3) Find arealet af den nødvendige trekant:

Fase 2-3 beslutninger kunne gennemføres på én linje.

Svar:

Det overvejede problem er ret almindeligt i testpapirer, her er et eksempel på en uafhængig løsning:

Eksempel 5

Find evt

En kort løsning og svar i slutningen af ​​selvstudiet. Lad os se, hvor forsigtig du var, da du studerede de tidligere eksempler ;-)

Vektorprodukt af vektorer i koordinater

Formlen er virkelig enkel: I den øverste linje af determinanten skriver vi koordinatvektorerne, i anden og tredje linje "sætter vi" vektorernes koordinater, og vi sætter i streng rækkefølge- først koordinaterne til vektoren "ve", derefter koordinaterne for vektoren "dobbelt-ve". Hvis vektorerne skal ganges i en anden rækkefølge, så skal linjerne byttes:

Eksempel 10

Tjek, om følgende rumvektorer er kollineære:
en)
b)

Opløsning: Kontrollen er baseret på et af udsagn i denne lektion: hvis vektorer er kollineære, så er deres krydsprodukt lig med nul (nul vektor): .

a) Find krydsproduktet:

Vektorerne er således ikke kollineære.

b) Find krydsproduktet:

Svar: a) ikke collineær, b)

Her er måske al den grundlæggende information om vektorproduktet af vektorer.

Dette afsnit bliver ikke særlig stort, da der ikke er mange opgaver, hvor der bruges et blandet produkt af vektorer. Faktisk vil alt hvile på definitionen, geometrisk betydning og et par arbejdsformler.

Det blandede produkt af vektorer er produktet af tre vektorer:

Så de stillede op med et lille tog og venter, de kan ikke vente med at blive fundet ud af.

Først igen definitionen og billedet:

Definition: Blandet arbejde ikke-coplanar vektorer, taget i denne rækkefølge Hedder volumen af ​​et parallelepipedum, bygget på de givne vektorer, forsynet med et "+"-tegn, hvis basis er højre, og et "-"-tegn, hvis basis er venstre.

Lad os færdiggøre tegningen. Linjer, der er usynlige for os, tegnes med en stiplet linje:

Lad os dykke ned i definitionen:

2) Vektorerne tages i en bestemt rækkefølge, det vil sige, at permutationen af ​​vektorer i produktet, som du måske kan gætte, ikke passerer uden konsekvenser.

3) Før jeg kommenterer den geometriske betydning, vil jeg bemærke en indlysende kendsgerning: blandet produkt af vektorer er et TAL:. I undervisningslitteraturen kan designet være noget anderledes, jeg er vant til at betegne et blandet gennemarbejde, og resultatet af beregninger med bogstavet "pe".

Per definition blandet produkt er volumenet af et parallelepipedum bygget på vektorer (figuren er tegnet med røde vektorer og sorte streger). Det vil sige, at tallet er lig med volumenet af dette parallelepiped.

Bemærk : tegningen er skematisk.

4) Lad os ikke bekymre os om begrebet base- og rumorientering. Betydningen af ​​den sidste del er, at der kan tilføjes et minustegn til volumen. Med enkle ord kan et blandet værk være negativt:.

Formlen til beregning af volumen af ​​et parallelepipedum bygget på vektorer følger direkte af definitionen.

I denne artikel vil vi dvæle ved begrebet krydsproduktet af to vektorer. Vi vil give de nødvendige definitioner, nedskrive en formel til at finde koordinaterne for et vektorprodukt, liste og begrunde dets egenskaber. Derefter vil vi dvæle ved den geometriske betydning af vektorproduktet af to vektorer og overveje løsninger på forskellige typiske eksempler.

Sidenavigation.

Definition af et krydsprodukt.

Før vi definerer et vektorprodukt, lad os finde ud af orienteringen af ​​en ordnet triplet af vektorer i tredimensionelt rum.

Sæt vektorer til side fra et punkt. Afhængigt af vektorens retning kan tripletten være højre eller venstre. Lad os se fra slutningen af ​​vektoren på, hvordan den korteste rotation fra vektoren til sker. Hvis den korteste rotation sker mod uret, kaldes tripletten af ​​vektorer ret, Ellers - venstre.

Nu tager vi to ikke-kollineære vektorer og. Lad os lægge vektorer til side og fra punkt A. Lad os konstruere en vektor vinkelret på både og og. Når vi konstruerer en vektor, kan vi naturligvis gøre to ting, og give den enten én retning eller den modsatte (se illustration).

Afhængigt af vektorens retning kan den ordnede triplet af vektorer være højre eller venstre.

Så vi kommer tæt på definitionen af ​​et vektorprodukt. Det er givet for to vektorer, givet i et rektangulært koordinatsystem af tredimensionelt rum.

Definition.

Vektorprodukt af to vektorer og, givet i et rektangulært koordinatsystem af tredimensionelt rum, kaldes en vektor sådan, at

Vektorproduktet af vektorer og betegnes som.

Vektor produktkoordinater.

Lad os nu give den anden definition af et vektorprodukt, som giver dig mulighed for at finde dets koordinater ved koordinaterne for de givne vektorer og.

Definition.

I et rektangulært koordinatsystem af tredimensionelt rum krydsprodukt af to vektorer og er en vektor, hvor er koordinatvektorer.

Denne definition giver os krydsproduktet i koordinatform.

Det er praktisk at repræsentere vektorproduktet i form af en determinant af en kvadratisk matrix af tredje orden, hvis første række er enhedsvektorerne, den anden række indeholder vektorens koordinater, og den tredje indeholder koordinaterne til vektoren i et givet rektangulært koordinatsystem:

Hvis vi udvider denne determinant med elementerne i den første linje, får vi lighed fra definitionen af ​​et vektorprodukt i koordinater (hvis det er nødvendigt, se artiklen):

Det skal bemærkes, at krydsproduktets koordinatform er fuldt ud i overensstemmelse med definitionen givet i første afsnit af denne artikel. Desuden er disse to definitioner af krydsprodukter ækvivalente. Du kan se beviset for dette faktum i bogen, der er angivet i slutningen af ​​artiklen.

Vektor produktegenskaber.

Da krydsproduktet i koordinater kan repræsenteres i form af en matrixdeterminant, kan følgende let begrundes ud fra vektor produktegenskaber:

Lad os som et eksempel bevise anti-kommutativitetsegenskaben for et vektorprodukt.

Per definition og ... Vi ved, at værdien af ​​matricens determinant er omvendt, hvis to rækker byttes om, derfor, , hvilket beviser egenskaben af ​​anti-kommutativitet af vektorproduktet.

Vektorprodukt - eksempler og løsninger.

Der er grundlæggende tre typer opgaver.

I opgaver af den første type angives længden af ​​to vektorer og vinklen mellem dem, og det er nødvendigt at finde længden af ​​vektorproduktet. I dette tilfælde bruges formlen .

Eksempel.

Find længden af ​​vektorproduktet af vektorer og, hvis kendt .

Opløsning.

Vi ved fra definitionen, at længden af ​​vektorproduktet af vektorer og er lig med produktet af vektorernes længder og sinus af vinklen mellem dem, derfor, .

Svar:

.

Problemer af den anden type er forbundet med vektorers koordinater, hvor krydsproduktet, dets længde eller noget andet søges gennem koordinaterne af givne vektorer og .

Her er mange forskellige muligheder mulige. For eksempel kan ikke koordinaterne af vektorer og specificeres, men deres ekspansion i koordinatvektorer af formen og, eller vektorer og kan specificeres ved koordinaterne for deres start- og slutpunkter.

Lad os overveje typiske eksempler.

Eksempel.

To vektorer er givet i et rektangulært koordinatsystem ... Find deres krydsprodukt.

Opløsning.

Ifølge den anden definition skrives krydsproduktet af to vektorer i koordinater som:

Vi ville nå frem til det samme resultat, hvis krydsproduktet blev skrevet i forhold til determinanten

Svar:

.

Eksempel.

Find længden af ​​vektorproduktet af vektorer, og hvor er enhedsvektorerne for et rektangulært kartesisk koordinatsystem.

Opløsning.

Først finder vi koordinaterne for vektorproduktet i et givet rektangulært koordinatsystem.

Da vektorer og har koordinater og følgelig (om nødvendigt se artiklens koordinater for en vektor i et rektangulært koordinatsystem), så har vi ved den anden definition af et krydsprodukt

Altså krydsproduktet har koordinater i et givet koordinatsystem.

Vi finder længden af ​​vektorproduktet som kvadratroden af ​​summen af ​​kvadraterne af dets koordinater (vi fik denne formel for længden af ​​en vektor i afsnittet om at finde længden af ​​en vektor):

Svar:

.

Eksempel.

Koordinaterne for tre punkter er givet i et rektangulært kartesisk koordinatsystem. Find en vektor, der er vinkelret og på samme tid.

Opløsning.

Vektorer og har henholdsvis koordinater og (se artiklen om at finde koordinaterne for en vektor gennem punkternes koordinater). Hvis vi finder vektorproduktet af vektorer, og så er det per definition en vektor vinkelret på både k og k, det vil sige, at det er løsningen på vores problem. Find det

Svar:

- en af ​​de vinkelrette vektorer.

I opgaver af den tredje type testes evnen til at bruge egenskaberne af vektorproduktets vektorprodukt. Efter anvendelse af egenskaberne anvendes de tilsvarende formler.

Eksempel.

Vektorerne og er vinkelrette og deres længder er henholdsvis 3 og 4. Find længden på krydsproduktet .

Opløsning.

Ved fordelingsegenskaben for et vektorprodukt kan vi skrive

På grund af kombinationsegenskaben udtager vi de numeriske koefficienter uden for tegnet for vektorprodukterne i det sidste udtryk:

Vektoren produkter og er lig med nul, da og , derefter .

Da krydsproduktet er antikommutativt, altså.

Så ved at bruge egenskaberne for vektorproduktet kom vi til ligheden .

Ved betingelse er vektorerne og vinkelrette, det vil sige, at vinklen mellem dem er ens. Det vil sige, at vi har alle data til at finde den nødvendige længde

Svar:

.

Den geometriske betydning af vektorproduktet.

Per definition er længden af ​​vektorproduktet af vektorer ... Og fra et high school-geometrikursus ved vi, at arealet af en trekant er halvdelen af ​​produktet af længderne af trekantens to sider med sinus af vinklen mellem dem. Følgelig er længden af ​​vektorproduktet lig med to gange arealet af en trekant med vektorer og sider, hvis de er afsat fra et punkt. Med andre ord er længden af ​​vektorproduktet af vektorer lig med arealet af et parallelogram med sider og og vinklen mellem dem lig med. Dette er den geometriske betydning af et vektorprodukt.