Formler til logaritmiske funktioner. Logaritmiske udtryk

hovedejendomme.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

identiske grunde

Log6 4 + log6 9.

Lad os nu komplicere opgaven lidt.

Eksempler på løsning af logaritmer

Hvad hvis basen eller argumentet for en logaritme er en potens? Så kan eksponenten for denne grad tages ud af logaritmens fortegn efter følgende regler:

Selvfølgelig giver alle disse regler mening, hvis ODZ for logaritmen overholdes: a > 0, a ≠ 1, x >

Opgave. Find betydningen af ​​udtrykket:

Overgang til en ny fond

Lad logaritmen logaks være givet. Så for ethvert tal c, således at c > 0 og c ≠ 1, er ligheden sand:

Opgave. Find betydningen af ​​udtrykket:

Se også:

Grundlæggende egenskaber for logaritmen

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponenten er 2,718281828…. For at huske eksponenten kan du studere reglen: eksponenten er lig med 2,7 og to gange fødselsåret for Leo Nikolaevich Tolstoy.

Grundlæggende egenskaber ved logaritmer

Når du kender denne regel, vil du kende både den nøjagtige værdi af eksponenten og fødselsdatoen for Leo Tolstoy.

Eksempler på logaritmer

Logaritme udtryk

Eksempel 1.
EN). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Ved hjælp af egenskaber 3.5 beregner vi

2.

3.

4. Hvor .

Eksempel 2. Find x if

Eksempel 3. Lad værdien af ​​logaritmer angives

Beregn log(x) if

Grundlæggende egenskaber ved logaritmer

Logaritmer, som alle tal, kan tilføjes, trækkes fra og transformeres på alle måder. Men da logaritmer ikke er helt almindelige tal, er der regler her, som kaldes hovedejendomme.

Du skal helt sikkert kende disse regler - uden dem kan ikke et eneste alvorligt logaritmisk problem løses. Derudover er der meget få af dem – du kan lære alt på én dag. Så lad os komme i gang.

Tilføjelse og subtrahering af logaritmer

Overvej to logaritmer med de samme baser: logax og logay. Derefter kan de lægges til og trækkes fra, og:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Så summen af ​​logaritmer er lig med logaritmen af ​​produktet, og forskellen er lig med logaritmen af ​​kvotienten. Bemærk venligst: det vigtigste her er identiske grunde. Hvis årsagerne er forskellige, virker disse regler ikke!

Disse formler hjælper dig med at beregne et logaritmisk udtryk, selv når dets individuelle dele ikke tages i betragtning (se lektionen "Hvad er en logaritme"). Tag et kig på eksemplerne og se:

Da logaritmer har de samme baser, bruger vi sumformlen:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log2 48 − log2 3.

Baserne er de samme, vi bruger forskelsformlen:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log3 135 − log3 5.

Igen er baserne de samme, så vi har:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Som du kan se, er de oprindelige udtryk opbygget af "dårlige" logaritmer, som ikke beregnes separat. Men efter transformationerne opnås helt normale tal. Mange test er baseret på dette faktum. Ja, testlignende udtryk tilbydes i fuld alvor (nogle gange med stort set ingen ændringer) på Unified State Examination.

Udtræk af eksponenten fra logaritmen

Det er let at se, at den sidste regel følger de to første. Men det er bedre at huske det alligevel - i nogle tilfælde vil det reducere mængden af ​​beregninger betydeligt.

Selvfølgelig giver alle disse regler mening, hvis ODZ af logaritmen overholdes: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Og en ting mere: lær at anvende alle formler ikke kun fra venstre mod højre, men også omvendt , dvs. Du kan indtaste tallene før logaritmetegnet i selve logaritmen. Det er det, der oftest kræves.

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log7 496.

Lad os slippe af med graden i argumentet ved at bruge den første formel:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Opgave. Find betydningen af ​​udtrykket:

Bemærk, at nævneren indeholder en logaritme, hvis basis og argument er nøjagtige potenser: 16 = 24; 49 = 72. Vi har:

Jeg synes, det sidste eksempel kræver en vis afklaring. Hvor er logaritmerne blevet af? Indtil sidste øjeblik arbejder vi kun med nævneren.

Logaritme formler. Logaritmer eksempler på løsninger.

Vi præsenterede basen og argumentet for logaritmen, der stod der i form af potenser og tog eksponenterne ud - vi fik en "tre-etagers" brøk.

Lad os nu se på hovedbrøken. Tælleren og nævneren indeholder det samme tal: log2 7. Da log2 7 ≠ 0, kan vi reducere brøken - 2/4 bliver i nævneren. Ifølge regnereglerne kan de fire overføres til tælleren, hvilket er hvad der blev gjort. Resultatet blev svaret: 2.

Overgang til en ny fond

Når jeg taler om reglerne for at addere og subtrahere logaritmer, understregede jeg specifikt, at de kun fungerer med de samme baser. Hvad hvis årsagerne er forskellige? Hvad hvis de ikke er nøjagtige potenser af samme tal?

Formler for overgang til et nyt fundament kommer til undsætning. Lad os formulere dem i form af en sætning:

Lad logaritmen logaks være givet. Så for ethvert tal c, således at c > 0 og c ≠ 1, er ligheden sand:

Især hvis vi sætter c = x, får vi:

Af den anden formel følger det, at logaritmens basis og argument kan byttes, men i dette tilfælde "vendes hele udtrykket", dvs. logaritmen vises i nævneren.

Disse formler findes sjældent i almindelige numeriske udtryk. Det er kun muligt at vurdere, hvor praktiske de er, når man løser logaritmiske ligninger og uligheder.

Der er dog problemer, som slet ikke kan løses, undtagen ved at flytte til en ny fond. Lad os se på et par af disse:

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log5 16 log2 25.

Bemærk, at argumenterne for begge logaritmer indeholder nøjagtige potenser. Lad os tage indikatorerne ud: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Lad os nu "vende" den anden logaritme:

Da produktet ikke ændrer sig ved omarrangering af faktorer, gangede vi roligt fire og to og behandlede derefter logaritmer.

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log9 100 lg 3.

Grundlaget og argumentet for den første logaritme er nøjagtige potenser. Lad os skrive dette ned og slippe af med indikatorerne:

Lad os nu slippe af med decimallogaritmen ved at flytte til en ny base:

Grundlæggende logaritmisk identitet

Ofte er det i løsningsprocessen nødvendigt at repræsentere et tal som en logaritme til en given base. I dette tilfælde vil følgende formler hjælpe os:

I det første tilfælde bliver tallet n eksponenten i argumentet. Tallet n kan være absolut hvad som helst, fordi det kun er en logaritmeværdi.

Den anden formel er faktisk en omskrevet definition. Det hedder det: .

Faktisk, hvad sker der, hvis tallet b hæves til en sådan potens, at tallet b i denne potens giver tallet a? Det er rigtigt: resultatet er det samme tal a. Læs dette afsnit omhyggeligt igen - mange mennesker bliver hængende i det.

Ligesom formler for at flytte til en ny base, er den grundlæggende logaritmiske identitet nogle gange den eneste mulige løsning.

Opgave. Find betydningen af ​​udtrykket:

Bemærk at log25 64 = log5 8 - tog blot kvadratet fra logaritmens grundtal og argument. Under hensyntagen til reglerne for multiplikation af potenser med den samme base, får vi:

Hvis nogen ikke ved det, var dette en rigtig opgave fra Unified State Exam :)

Logaritmisk enhed og logaritmisk nul

Afslutningsvis vil jeg give to identiteter, der næppe kan kaldes egenskaber - derimod er de konsekvenser af definitionen af ​​logaritmen. De optræder konstant i problemer og skaber overraskende problemer selv for "avancerede" elever.

1. logaa = 1 er. Husk én gang for alle: logaritmen til en hvilken som helst grundtal a af selve basen er lig med én.
2. loga 1 = 0 er. Grundlaget a kan være hvad som helst, men hvis argumentet indeholder en, er logaritmen lig nul! Fordi a0 = 1 er en direkte konsekvens af definitionen.

Det er alle egenskaberne. Sørg for at øve dig i at omsætte dem i praksis! Download snydearket i begyndelsen af ​​lektionen, print det ud og løs problemerne.

Se også:

Logaritmen af ​​b til at basere a angiver udtrykket. At beregne logaritmen betyder at finde en potens x (), hvor ligheden er opfyldt

Grundlæggende egenskaber for logaritmen

Det er nødvendigt at kende ovenstående egenskaber, da næsten alle problemer og eksempler relateret til logaritmer er løst på deres grundlag. Resten af ​​de eksotiske egenskaber kan udledes gennem matematiske manipulationer med disse formler

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Når man beregner formlen for sum og forskel af logaritmer (3.4) støder man ret ofte på. Resten er noget komplekse, men i en række opgaver er de uundværlige for at forenkle komplekse udtryk og beregne deres værdier.

Almindelige tilfælde af logaritmer

Nogle af de almindelige logaritmer er dem, hvor basen er lige ti, eksponentiel eller to.
Logaritmen til basis ti kaldes normalt decimallogaritmen og betegnes blot med lg(x).

Det fremgår tydeligt af optagelsen, at det grundlæggende ikke er skrevet i optagelsen. For eksempel

En naturlig logaritme er en logaritme, hvis basis er en eksponent (angivet med ln(x)).

Eksponenten er 2,718281828…. For at huske eksponenten kan du studere reglen: eksponenten er lig med 2,7 og to gange fødselsåret for Leo Nikolaevich Tolstoy. Når du kender denne regel, vil du kende både den nøjagtige værdi af eksponenten og fødselsdatoen for Leo Tolstoy.

Og en anden vigtig logaritme til base to er angivet med

Den afledte af logaritmen af ​​en funktion er lig med én divideret med variablen

Integral- eller antiderivatlogaritmen bestemmes af forholdet

Det givne materiale er nok til, at du kan løse en bred klasse af problemer relateret til logaritmer og logaritmer. For at hjælpe dig med at forstå materialet vil jeg kun give nogle få almindelige eksempler fra skolepensum og universiteter.

Eksempler på logaritmer

Logaritme udtryk

Eksempel 1.
EN). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Ved hjælp af egenskaber 3.5 beregner vi

2.
Ved egenskaben af ​​forskel af logaritmer har vi

3.
Ved hjælp af egenskaber 3.5 finder vi

4. Hvor .

Et tilsyneladende komplekst udtryk forenkles til at danne ved hjælp af en række regler

Finde logaritmeværdier

Eksempel 2. Find x if

Løsning. Til beregning anvender vi på sidste termin 5 og 13 ejendomme

Vi registrerer det og sørger

Da baserne er ens, sidestiller vi udtrykkene

Logaritmer. Første niveau.

Lad værdien af ​​logaritmer angives

Beregn log(x) if

Løsning: Lad os tage en logaritme af variablen for at skrive logaritmen gennem summen af ​​dens led

Dette er kun begyndelsen på vores bekendtskab med logaritmer og deres egenskaber. Øv dig i beregninger, berig dine praktiske færdigheder - du får snart brug for den viden, du får til at løse logaritmiske ligninger. Efter at have studeret de grundlæggende metoder til at løse sådanne ligninger, vil vi udvide din viden til et andet lige så vigtigt emne - logaritmiske uligheder...

Grundlæggende egenskaber ved logaritmer

Logaritmer, som alle tal, kan tilføjes, trækkes fra og transformeres på alle måder. Men da logaritmer ikke er helt almindelige tal, er der regler her, som kaldes hovedejendomme.

Du skal helt sikkert kende disse regler - uden dem kan ikke et eneste alvorligt logaritmisk problem løses. Derudover er der meget få af dem – du kan lære alt på én dag. Så lad os komme i gang.

Tilføjelse og subtrahering af logaritmer

Overvej to logaritmer med de samme baser: logax og logay. Derefter kan de lægges til og trækkes fra, og:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Så summen af ​​logaritmer er lig med logaritmen af ​​produktet, og forskellen er lig med logaritmen af ​​kvotienten. Bemærk venligst: det vigtigste her er identiske grunde. Hvis årsagerne er forskellige, virker disse regler ikke!

Disse formler hjælper dig med at beregne et logaritmisk udtryk, selv når dets individuelle dele ikke tages i betragtning (se lektionen "Hvad er en logaritme"). Tag et kig på eksemplerne og se:

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log6 4 + log6 9.

Da logaritmer har de samme baser, bruger vi sumformlen:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log2 48 − log2 3.

Baserne er de samme, vi bruger forskelsformlen:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log3 135 − log3 5.

Igen er baserne de samme, så vi har:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Som du kan se, er de oprindelige udtryk opbygget af "dårlige" logaritmer, som ikke beregnes separat. Men efter transformationerne opnås helt normale tal. Mange test er baseret på dette faktum. Ja, testlignende udtryk tilbydes i fuld alvor (nogle gange med stort set ingen ændringer) på Unified State Examination.

Udtræk af eksponenten fra logaritmen

Lad os nu komplicere opgaven lidt. Hvad hvis basen eller argumentet for en logaritme er en potens? Så kan eksponenten for denne grad tages ud af logaritmens fortegn efter følgende regler:

Det er let at se, at den sidste regel følger de to første. Men det er bedre at huske det alligevel - i nogle tilfælde vil det reducere mængden af ​​beregninger betydeligt.

Selvfølgelig giver alle disse regler mening, hvis ODZ af logaritmen overholdes: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Og en ting mere: lær at anvende alle formler ikke kun fra venstre mod højre, men også omvendt , dvs. Du kan indtaste tallene før logaritmetegnet i selve logaritmen.

Sådan løses logaritmer

Det er det, der oftest kræves.

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log7 496.

Lad os slippe af med graden i argumentet ved at bruge den første formel:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Opgave. Find betydningen af ​​udtrykket:

Bemærk, at nævneren indeholder en logaritme, hvis basis og argument er nøjagtige potenser: 16 = 24; 49 = 72. Vi har:

Jeg synes, det sidste eksempel kræver en vis afklaring. Hvor er logaritmerne blevet af? Indtil sidste øjeblik arbejder vi kun med nævneren. Vi præsenterede basen og argumentet for logaritmen, der stod der i form af potenser og tog eksponenterne ud - vi fik en "tre-etagers" brøk.

Lad os nu se på hovedbrøken. Tælleren og nævneren indeholder det samme tal: log2 7. Da log2 7 ≠ 0, kan vi reducere brøken - 2/4 bliver i nævneren. Ifølge regnereglerne kan de fire overføres til tælleren, hvilket er hvad der blev gjort. Resultatet blev svaret: 2.

Overgang til en ny fond

Når jeg taler om reglerne for at addere og subtrahere logaritmer, understregede jeg specifikt, at de kun fungerer med de samme baser. Hvad hvis årsagerne er forskellige? Hvad hvis de ikke er nøjagtige potenser af samme tal?

Formler for overgang til et nyt fundament kommer til undsætning. Lad os formulere dem i form af en sætning:

Lad logaritmen logaks være givet. Så for ethvert tal c, således at c > 0 og c ≠ 1, er ligheden sand:

Især hvis vi sætter c = x, får vi:

Af den anden formel følger det, at logaritmens basis og argument kan byttes, men i dette tilfælde "vendes hele udtrykket", dvs. logaritmen vises i nævneren.

Disse formler findes sjældent i almindelige numeriske udtryk. Det er kun muligt at vurdere, hvor praktiske de er, når man løser logaritmiske ligninger og uligheder.

Der er dog problemer, som slet ikke kan løses, undtagen ved at flytte til en ny fond. Lad os se på et par af disse:

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log5 16 log2 25.

Bemærk, at argumenterne for begge logaritmer indeholder nøjagtige potenser. Lad os tage indikatorerne ud: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Lad os nu "vende" den anden logaritme:

Da produktet ikke ændrer sig ved omarrangering af faktorer, gangede vi roligt fire og to og behandlede derefter logaritmer.

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log9 100 lg 3.

Grundlaget og argumentet for den første logaritme er nøjagtige potenser. Lad os skrive dette ned og slippe af med indikatorerne:

Lad os nu slippe af med decimallogaritmen ved at flytte til en ny base:

Grundlæggende logaritmisk identitet

Ofte er det i løsningsprocessen nødvendigt at repræsentere et tal som en logaritme til en given base. I dette tilfælde vil følgende formler hjælpe os:

I det første tilfælde bliver tallet n eksponenten i argumentet. Tallet n kan være absolut hvad som helst, fordi det kun er en logaritmeværdi.

Den anden formel er faktisk en omskrevet definition. Det hedder det: .

Faktisk, hvad sker der, hvis tallet b hæves til en sådan potens, at tallet b i denne potens giver tallet a? Det er rigtigt: resultatet er det samme tal a. Læs dette afsnit omhyggeligt igen - mange mennesker bliver hængende i det.

Ligesom formler for at flytte til en ny base, er den grundlæggende logaritmiske identitet nogle gange den eneste mulige løsning.

Opgave. Find betydningen af ​​udtrykket:

Bemærk at log25 64 = log5 8 - tog blot kvadratet fra logaritmens grundtal og argument. Under hensyntagen til reglerne for multiplikation af potenser med den samme base, får vi:

Hvis nogen ikke ved det, var dette en rigtig opgave fra Unified State Exam :)

Logaritmisk enhed og logaritmisk nul

Afslutningsvis vil jeg give to identiteter, der næppe kan kaldes egenskaber - derimod er de konsekvenser af definitionen af ​​logaritmen. De optræder konstant i problemer og skaber overraskende problemer selv for "avancerede" elever.

1. logaa = 1 er. Husk én gang for alle: logaritmen til en hvilken som helst grundtal a af selve basen er lig med én.
2. loga 1 = 0 er. Grundlaget a kan være hvad som helst, men hvis argumentet indeholder en, er logaritmen lig nul! Fordi a0 = 1 er en direkte konsekvens af definitionen.

Det er alle egenskaberne. Sørg for at øve dig i at omsætte dem i praksis! Download snydearket i begyndelsen af ​​lektionen, print det ud og løs problemerne.

Lad os starte med egenskaber af logaritmen af ​​en. Dens formulering er som følger: logaritmen af ​​enhed er lig med nul, dvs. log a 1=0 for enhver a>0, a≠1. Beviset er ikke svært: da a 0 =1 for enhver a, der opfylder ovenstående betingelser a>0 og a≠1, så følger lighedslog a 1=0, der skal bevises, umiddelbart af definitionen af ​​logaritmen.

Lad os give eksempler på anvendelsen af ​​den betragtede egenskab: log 3 1=0, log1=0 og .

Lad os gå videre til næste ejendom: logaritmen af ​​et tal lig med grundtallet er lig med en, det er, log a a=1 for a>0, a≠1. Faktisk, da a 1 =a for ethvert a, så logaritmen logaritmen log a a = 1.

Eksempler på brug af denne egenskab ved logaritmer er lighederne log 5 5=1, log 5,6 5,6 og lne=1.

For eksempel log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 og .

Logaritme af produktet af to positive tal x og y er lig med produktet af logaritmerne af disse tal: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Lad os bevise egenskaben for logaritmen af ​​et produkt. På grund af gradens egenskaber a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, og da ved den logaritmiske hovedidentitet a log a x =x og en log a y =y, så a log a x ·a log a y =x·y. Altså en log a x+log a y =x·y, hvorfra, ved definitionen af ​​en logaritme, følger den lighed, der bevises.

Lad os vise eksempler på brug af egenskaben for logaritmen af ​​et produkt: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 og .

Egenskaben ved et produkts logaritme kan generaliseres til produktet af et endeligt tal n af positive tal x 1 , x 2 , …, x n som log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n . Denne ligestilling kan bevises uden problemer.

For eksempel kan produktets naturlige logaritme erstattes af summen af ​​tre naturlige logaritmer af tallene 4, e og.

Logaritme af kvotienten af ​​to positive tal x og y er lig med forskellen mellem logaritmerne af disse tal. Egenskaben for logaritmen af ​​en kvotient svarer til en formel på formen , hvor a>0, a≠1, x og y er nogle positive tal. Gyldigheden af ​​denne formel er bevist såvel som formlen for logaritmen af ​​et produkt: siden , så per definition af en logaritme.

Her er et eksempel på brug af denne egenskab for logaritmen: .

Lad os gå videre til egenskaben for potensens logaritme. Logaritmen af ​​en grad er lig med produktet af eksponenten og logaritmen af ​​modulet for basis af denne grad. Lad os skrive denne egenskab af logaritmen af ​​en potens som en formel: log a b p =p·log a |b|, hvor a>0, a≠1, b og p er tal, således at graden b p giver mening og b p >0.

Først beviser vi denne egenskab for positiv b. Den grundlæggende logaritmiske identitet giver os mulighed for at repræsentere tallet b som en log a b , så er b p =(a log a b) p , og det resulterende udtryk, på grund af magtegenskaben, er lig med en p·log a b . Så vi kommer til ligheden b p =a p·log a b, hvorfra vi ved definitionen af ​​en logaritme konkluderer, at log a b p =p·log a b.

Det er tilbage at bevise denne egenskab for negativ b. Her bemærker vi, at udtrykket log a b p for negativ b kun giver mening for lige eksponenter p (da værdien af ​​graden b p skal være større end nul, ellers vil logaritmen ikke give mening), og i dette tilfælde b p =|b| s. Derefter b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, hvorfra log a b p =p·log a |b| .

For eksempel, og ln(-3)4=4·ln|-3|=4·ln3.

Det følger af den tidligere ejendom egenskaben for logaritmen fra roden: logaritmen af ​​den n-te rod er lig med produktet af brøken 1/n ved logaritmen af ​​det radikale udtryk, dvs. , hvor a>0, a≠1, n er et naturligt tal større end én, b>0.

Beviset er baseret på ligheden (se), som er gyldig for enhver positiv b, og egenskaben for potensens logaritme: .

Her er et eksempel på brug af denne egenskab: .

Lad os nu bevise formel for at flytte til en ny logaritmebase venlig . For at gøre dette er det nok at bevise gyldigheden af ​​lighedsloggen c b=log a b·log c a. Den grundlæggende logaritmiske identitet giver os mulighed for at repræsentere tallet b som en log a b , derefter log c b=log c a log a b . Det er tilbage at bruge egenskaben til gradens logaritme: log c a log a b =log a b log c a. Dette beviser lighedslog c b=log a b·log c a, hvilket betyder, at formlen for overgang til en ny logaritmebase også er blevet bevist.

Lad os vise et par eksempler på brug af denne egenskab ved logaritmer: og .

Formlen for at flytte til en ny base giver dig mulighed for at gå videre til at arbejde med logaritmer, der har en "praktisk" base. For eksempel kan den bruges til at gå til naturlige eller decimale logaritmer, så du kan beregne værdien af ​​en logaritme ud fra en tabel med logaritmer. Formlen for at flytte til en ny logaritmebase giver også i nogle tilfælde mulighed for at finde værdien af ​​en given logaritme, når værdierne af nogle logaritmer med andre baser er kendt.

Et særligt tilfælde af formlen for overgang til en ny logaritmebase for formens c=b bruges ofte . Dette viser, at log a b og log b a – . F.eks, .

Formlen bruges også ofte , hvilket er praktisk til at finde logaritmeværdier. For at bekræfte vores ord, vil vi vise, hvordan det kan bruges til at beregne værdien af ​​en logaritme af formen. Vi har . For at bevise formlen det er nok at bruge formlen til overgang til en ny base af logaritmen a: .

Det er tilbage at bevise egenskaberne ved sammenligning af logaritmer.

Lad os bevise, at for alle positive tal b 1 og b 2, b 1 log a b 2 , og for a>1 – uligheden log a b 1

Til sidst er det tilbage at bevise den sidste af de anførte egenskaber ved logaritmer. Lad os begrænse os til beviset for dens første del, det vil sige, vi vil bevise, at hvis en 1 >1, en 2 >1 og en 1 1 er sand log a 1 b>log a 2 b . De resterende udsagn af denne egenskab af logaritmer er bevist efter et lignende princip.

Lad os bruge den modsatte metode. Antag, at for en 1 >1, en 2 >1 og en 1 1 er sand log a 1 b≤log a 2 b . Baseret på logaritmers egenskaber kan disse uligheder omskrives som Og hhv., og af dem følger, at henholdsvis log b a 1 ≤log b a 2 og log b a 1 ≥log b a 2. Derefter skal lighederne b log b a 1 ≥b log b a 2 og b log b a 1 ≥b log b a 2 ifølge egenskaberne for potenser med samme basis holde, det vil sige a 1 ≥a 2 . Så vi kom til en modsigelse af betingelsen en 1

Bibliografi.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra og begyndelsen af ​​analyse: Lærebog for klasse 10 - 11 af almene uddannelsesinstitutioner.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (en manual for dem, der går ind på tekniske skoler).

Logaritmer, som alle tal, kan tilføjes, trækkes fra og transformeres på alle måder. Men da logaritmer ikke er helt almindelige tal, er der regler her, som kaldes hovedejendomme.

Du skal helt sikkert kende disse regler - uden dem kan ikke et eneste alvorligt logaritmisk problem løses. Derudover er der meget få af dem – du kan lære alt på én dag. Så lad os komme i gang.

Tilføjelse og subtrahering af logaritmer

Overvej to logaritmer med de samme baser: log -en x og log -en y. Derefter kan de lægges til og trækkes fra, og:

1. log -en x+ log -en y=log -en (x · y);
2. log -en x− log -en y=log -en (x : y).

Så summen af ​​logaritmer er lig med logaritmen af ​​produktet, og forskellen er lig med logaritmen af ​​kvotienten. Bemærk venligst: det vigtigste her er identiske grunde. Hvis årsagerne er forskellige, virker disse regler ikke!

Disse formler hjælper dig med at beregne et logaritmisk udtryk, selv når dets individuelle dele ikke tages i betragtning (se lektionen "Hvad er en logaritme"). Tag et kig på eksemplerne og se:

Log 6 4 + log 6 9.

Da logaritmer har de samme baser, bruger vi sumformlen:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log 2 48 − log 2 3.

Baserne er de samme, vi bruger forskelsformlen:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log 3 135 − log 3 5.

Igen er baserne de samme, så vi har:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Som du kan se, er de oprindelige udtryk opbygget af "dårlige" logaritmer, som ikke beregnes separat. Men efter transformationerne opnås helt normale tal. Mange test er baseret på dette faktum. Ja, testlignende udtryk tilbydes i fuld alvor (nogle gange med stort set ingen ændringer) på Unified State Examination.

Udtræk af eksponenten fra logaritmen

Lad os nu komplicere opgaven lidt. Hvad hvis basen eller argumentet for en logaritme er en potens? Så kan eksponenten for denne grad tages ud af logaritmens fortegn efter følgende regler:

Det er let at se, at den sidste regel følger de to første. Men det er bedre at huske det alligevel - i nogle tilfælde vil det reducere mængden af ​​beregninger betydeligt.

Selvfølgelig giver alle disse regler mening, hvis ODZ for logaritmen overholdes: -en > 0, -en ≠ 1, x> 0. Og en ting mere: lær at anvende alle formler ikke kun fra venstre mod højre, men også omvendt, dvs. Du kan indtaste tallene før logaritmetegnet i selve logaritmen. Det er det, der oftest kræves.

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log 7 49 6 .

Lad os slippe af med graden i argumentet ved at bruge den første formel:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Opgave. Find betydningen af ​​udtrykket:

[Billedtekst til billedet]

Bemærk, at nævneren indeholder en logaritme, hvis basis og argument er nøjagtige potenser: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Vi har:

[Billedtekst til billedet]

Jeg synes, det sidste eksempel kræver en vis afklaring. Hvor er logaritmerne blevet af? Indtil sidste øjeblik arbejder vi kun med nævneren. Vi præsenterede basen og argumentet for logaritmen, der stod der i form af potenser og tog eksponenterne ud - vi fik en "tre-etagers" brøk.

Lad os nu se på hovedbrøken. Tælleren og nævneren indeholder det samme tal: log 2 7. Da log 2 7 ≠ 0, kan vi reducere brøken - 2/4 forbliver i nævneren. Ifølge regnereglerne kan de fire overføres til tælleren, hvilket er hvad der blev gjort. Resultatet blev svaret: 2.

Overgang til en ny fond

Når jeg taler om reglerne for at addere og subtrahere logaritmer, understregede jeg specifikt, at de kun fungerer med de samme baser. Hvad hvis årsagerne er forskellige? Hvad hvis de ikke er nøjagtige potenser af samme tal?

Formler for overgang til et nyt fundament kommer til undsætning. Lad os formulere dem i form af en sætning:

Lad logaritmeloggen blive givet -en x. Så for et hvilket som helst nummer c sådan at c> 0 og c≠ 1, ligheden er sand:

[Billedtekst til billedet]

Især hvis vi sætter c = x, vi får:

[Billedtekst til billedet]

Af den anden formel følger det, at logaritmens basis og argument kan byttes, men i dette tilfælde "vendes hele udtrykket", dvs. logaritmen vises i nævneren.

Disse formler findes sjældent i almindelige numeriske udtryk. Det er kun muligt at vurdere, hvor praktiske de er, når man løser logaritmiske ligninger og uligheder.

Der er dog problemer, som slet ikke kan løses, undtagen ved at flytte til en ny fond. Lad os se på et par af disse:

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log 5 16 log 2 25.

Bemærk, at argumenterne for begge logaritmer indeholder nøjagtige potenser. Lad os tage indikatorerne ud: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Lad os nu "vende" den anden logaritme:

[Billedtekst til billedet]

Da produktet ikke ændrer sig ved omarrangering af faktorer, gangede vi roligt fire og to og behandlede derefter logaritmer.

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log 9 100 lg 3.

Grundlaget og argumentet for den første logaritme er nøjagtige potenser. Lad os skrive dette ned og slippe af med indikatorerne:

[Billedtekst til billedet]

Lad os nu slippe af med decimallogaritmen ved at flytte til en ny base:

[Billedtekst til billedet]

Grundlæggende logaritmisk identitet

Ofte er det i løsningsprocessen nødvendigt at repræsentere et tal som en logaritme til en given base. I dette tilfælde vil følgende formler hjælpe os:

I det første tilfælde nummeret n bliver en indikator for graden stående i argumentationen. Nummer n kan være absolut hvad som helst, fordi det kun er en logaritmeværdi.

Den anden formel er faktisk en omskrevet definition. Det er det, det hedder: den grundlæggende logaritmiske identitet.

Faktisk, hvad vil der ske, hvis antallet b hæve til en sådan styrke, at tallet b til denne potens giver tallet -en? Det er rigtigt: du får det samme nummer -en. Læs dette afsnit omhyggeligt igen - mange mennesker bliver hængende i det.

Ligesom formler for at flytte til en ny base, er den grundlæggende logaritmiske identitet nogle gange den eneste mulige løsning.

Opgave. Find betydningen af ​​udtrykket:

[Billedtekst til billedet]

Bemærk at log 25 64 = log 5 8 - tog blot kvadratet fra logaritmens grundtal og argument. Under hensyntagen til reglerne for multiplikation af potenser med den samme base, får vi:

[Billedtekst til billedet]

Hvis nogen ikke ved det, var dette en rigtig opgave fra Unified State Exam :)

Logaritmisk enhed og logaritmisk nul

Afslutningsvis vil jeg give to identiteter, der næppe kan kaldes egenskaber - derimod er de konsekvenser af definitionen af ​​logaritmen. De optræder konstant i problemer og skaber overraskende problemer selv for "avancerede" elever.

1. log -en -en= 1 er en logaritmisk enhed. Husk én gang for alle: logaritme til enhver base -en fra netop denne base er lig med en.
2. log -en 1 = 0 er logaritmisk nul. Grundlag -en kan være hvad som helst, men hvis argumentet indeholder en, er logaritmen lig nul! Fordi -en 0 = 1 er en direkte konsekvens af definitionen.

Det er alle egenskaberne. Sørg for at øve dig i at omsætte dem i praksis! Download snydearket i begyndelsen af ​​lektionen, print det ud og løs problemerne.

Det er vigtigt for os at bevare dit privatliv. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Gennemgå venligst vores privatlivspraksis og fortæl os, hvis du har spørgsmål.

Indsamling og brug af personlige oplysninger

Personoplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere eller kontakte en bestemt person.

Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.

Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.

Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:

• Når du indsender en ansøgning på siden, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, e-mailadresse mv.

Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:

• De personlige oplysninger, vi indsamler, giver os mulighed for at kontakte dig med unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
• Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og kommunikationer.
• Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
• Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende kampagne, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.

Videregivelse af oplysninger til tredjemand

Vi videregiver ikke oplysningerne modtaget fra dig til tredjeparter.

Undtagelser:

• Om nødvendigt - i overensstemmelse med loven, retsproceduren, i retssager og/eller på grundlag af offentlige anmodninger eller anmodninger fra regeringsorganer i Den Russiske Føderation - om at videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige formål.
• I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante efterfølgende tredjepart.

Beskyttelse af personlige oplysninger

Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug, samt uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.

Respekter dit privatliv på virksomhedsniveau

For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivs- og sikkerhedsstandarder til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.

Logaritmer og reglerne for at arbejde med dem er ret omfattende og enkle. Derfor vil det ikke være svært for dig at forstå dette emne. Når du har lært alle reglerne for naturlige logaritmer, kan ethvert problem løses uafhængigt. Det første bekendtskab med dette emne kan virke kedeligt og meningsløst, men det var ved hjælp af logaritmer, at mange problemer fra 1500-tallets matematikere blev løst. "Hvad handler det om?" - du troede. Læs artiklen til slutningen og find ud af, at denne sektion af "videnskabernes dronning" kan være interessant ikke kun for matematikere og videnskabsmænd inden for de eksakte videnskaber, men også for almindelige gymnasieelever.

Definition af logaritme

Lad os starte med definitionen af ​​logaritme. Som mange lærebøger siger: logaritmen af ​​et tal b til at basere a (logab) er et bestemt tal c, for hvilket følgende lighed gælder: b=ac. Det vil sige, med enkle ord, en logaritme er en bestemt potens, som vi hæver grundtallet til for at opnå et givet tal. Men det er vigtigt at huske, at en logaritme af formen logab kun giver mening, når: a>0; a - et andet tal end 1; b>0, derfor konkluderer vi, at logaritmen kun kan findes for positive tal.

Klassificering af logaritmer efter grundtal

Logaritmer kan have et hvilket som helst positivt tal ved basen. Men der er også to typer: naturlige og decimale logaritmer.

• Naturlig logaritme - logaritme med grundtallet e (e er Eulers tal, numerisk omtrent lig med 2,7, det irrationelle tal, der blev indført for eksponentialfunktionen y = ex), betegnet som ln a = logea;
• En decimallogaritme er en logaritme med basis på 10, det vil sige log10a = log a.

Grundlæggende regler for logaritmer

Først skal du stifte bekendtskab med den grundlæggende logaritmiske identitet: alogab=b, efterfulgt af to grundlæggende regler:

• loga1 = 0 - da ethvert tal i nulpotensen er lig med 1;
• loga = 1.

Takket være opdagelsen af ​​logaritmen vil det ikke være svært for os at løse absolut enhver eksponentiel ligning, hvis svar ikke kan udtrykkes med et naturligt tal, men kun med et irrationelt tal. For eksempel: 5x = 9, x = log59 (da der ikke er noget naturligt x for denne ligning).

Operationer med logaritmer

• loga(x · y) = logax+ logay - for at finde produktets logaritme skal du tilføje faktorernes logaritmer. Bemærk venligst, at logaritmernes basis er den samme. Hvis vi skriver dette i omvendt rækkefølge, får vi reglen for at tilføje logaritmer.
• loga xy = logax - logay - for at finde logaritmen af ​​en kvotient, skal du finde forskellen mellem logaritmerne af dividenden og divisoren. Bemærk venligst: logaritmer har samme base. Når det skrives i omvendt rækkefølge, får vi reglen for at trække logaritmer fra.

• logakxp = (p/k)*logax - altså, hvis logaritmens argument og basis indeholder potenser, så kan de tages ud af logaritmens fortegn.
• logax = logac xc - et specialtilfælde af den foregående regel, når eksponenterne er ens, kan de reduceres.
• logax = (logbx)(logba) - det såkaldte overgangsmodul, proceduren for at reducere logaritmen til en anden base.
• logax = 1/logxa - et særligt tilfælde af overgang, ændring af basens steder og det givne tal. Hele udtrykket er billedligt talt omvendt, og logaritmen med et nyt grundlag optræder i nævneren.

Logaritmers historie

I det 16. århundrede opstod behovet for at udføre mange omtrentlige beregninger for at løse praktiske problemer, hovedsageligt inden for astronomi (for eksempel bestemmelse af et skibs position fra Solen eller stjerner).

Dette behov voksede hurtigt, og multiplikation og division af flercifrede tal skabte betydelige vanskeligheder. Og matematikeren Napier besluttede, da han lavede trigonometriske beregninger, at erstatte arbejdskrævende multiplikation med almindelig addition, idet han sammenlignede nogle progressioner for dette. Så erstattes division på samme måde af en enklere og mere pålidelig procedure - subtraktion, og for at udtrække den n'te rod skal du dividere logaritmen af ​​det radikale udtryk med n. At løse et så vanskeligt problem i matematik afspejlede klart Napiers mål inden for naturvidenskab. Sådan skrev han om det i begyndelsen af ​​sin bog "Rhabdology":

Jeg har altid forsøgt, så vidt mine kræfter og evner tillod det, at befri folk fra besværligheden og kedsomheden ved beregninger, hvis kedsommelighed normalt afholder mange fra at studere matematik.

Navnet på logaritmen blev foreslået af Napier selv; det blev opnået ved at kombinere græske ord, der, når de kombineres, betød "antal forhold".

Grundlaget for logaritmen blev introduceret af Speidel. Euler lånte det fra teorien om magter og overførte det til teorien om logaritme. Begrebet logaritmer blev berømt takket være Coppe i det 19. århundrede. Og brugen af ​​naturlige og decimale logaritmer, såvel som deres notation, dukkede op takket være Cauchy.

I 1614 udgav John Napier et essay på latin, "Beskrivelse af den fantastiske tabel over logaritmer." Der var en kort beskrivelse af logaritmer, regler og deres egenskaber. Sådan blev begrebet "logaritme" etableret i de eksakte videnskaber.

Logaritmeoperationen og den første omtale af den dukkede op takket være Wallis og Johann Bernoulli, og den blev endelig etableret af Euler i det 18. århundrede.

Det er Eulers fortjeneste at udvide den logaritmiske funktion af formen y = logax til det komplekse domæne. I første halvdel af det 18. århundrede udkom hans bog "Introduction to the Analysis of Infinites", som indeholdt moderne definitioner af eksponentielle og logaritmiske funktioner.

Logaritmisk funktion

En funktion af formen y = logax (giver kun mening hvis: a > 0, a ≠ 1).

• Den logaritmiske funktion er defineret af sættet af alle positive tal, da indgangen logax kun eksisterer under betingelsen - x > 0;.
• Denne funktion kan tage absolut alle værdier fra sættet R (reelle tal). Da hvert reelt tal b har et positivt x, således at ligheden logax = b er opfyldt, dvs. denne ligning har en rod - x = ab (følger af, at logaab = b).
• Funktionen stiger i intervallet a>0, og falder i intervallet 0. Hvis a>0, så tager funktionen positive værdier for x>1.

Det skal huskes, at enhver graf for den logaritmiske funktion y = logax har et stationært punkt (1; 0), da loga 1 = 0. Dette er tydeligt synligt i illustrationen af ​​grafen nedenfor.

Som vi ser på billederne, har funktionen ingen paritet eller mærkværdighed, har ikke maksimum- eller minimumværdier og er ikke begrænset over eller under.

Den logaritmiske funktion y = logаx og den eksponentielle funktion y = aх, hvor (а>0, а≠1), er gensidigt inverse. Dette kan ses på billedet af deres grafer.

Løsning af problemer med logaritmer

Typisk er løsningen på et problem indeholdende logaritmer baseret på at konvertere dem til en standardform eller er rettet mod at forenkle udtryk under logaritmetegnet. Eller er det værd at konvertere almindelige naturlige tal til logaritmer med den nødvendige base og udføre yderligere operationer for at forenkle udtrykket.

Der er nogle finesser, som ikke bør glemmes:

• Når du løser uligheder, når begge sider er under logaritmer i henhold til reglen med samme base, skal du ikke skynde dig med at "smide" logaritmens fortegn. Vær opmærksom på den logaritmiske funktions monotoniske intervaller. Da hvis grundtallet er større end 1 (tilfældet hvor funktionen er stigende), vil ulighedstegnet forblive uændret, men når grundtallet er større end 0 og mindre end 1 (tilfældet hvor funktionen er faldende), vil uligheden tegn vil ændre sig til det modsatte;
• Glem ikke definitionerne af logaritmen: logax = b, a>0, a≠1 og x>0, for ikke at miste rødder på grund af det uovervejede område af acceptable værdier. Det tilladte værdiområde (VA) findes for næsten alle komplekse funktioner.

Det er trivielle, men storstilede fejl, som mange er stødt på på vejen til at finde det rigtige svar på en opgave. Der er ikke så mange regler for løsning af logaritmer, så dette emne er enklere end andre og efterfølgende, men det er værd at forstå godt.

Konklusion

Dette emne kan virke kompliceret og besværligt ved første øjekast, men efterhånden som du studerer det dybere og dybere, begynder du at forstå, at emnet simpelthen slutter, og intet har voldt nogen vanskeligheder. Vi har dækket alle egenskaber, regler og endda fejl relateret til emnet logaritmer. Held og lykke med dine studier!