Logaritmen af ​​et brøkudtryk. Naturlig logaritme, ln x-funktion

Vi fortsætter med at studere logaritmer. I denne artikel vil vi tale om beregning af logaritmer, kaldes denne proces logaritme. Først vil vi beskæftige os med beregningen af ​​logaritmer pr. definition. Overvej derefter, hvordan værdierne af logaritmer findes ved hjælp af deres egenskaber. Derefter vil vi dvæle ved beregningen af ​​logaritmer gennem de oprindeligt givne værdier af andre logaritmer. Lad os endelig lære at bruge logaritmetabeller. Hele teorien er forsynet med eksempler med detaljerede løsninger.

Sidenavigation.

Beregning af logaritmer pr. definition

I de enkleste tilfælde er det muligt at udføre hurtigt og nemt at finde logaritmen per definition. Lad os se nærmere på, hvordan denne proces foregår.

Dens essens er at repræsentere tallet b i formen a c , hvoraf tallet c ifølge logaritmens definition er værdien af ​​logaritmen. Det vil sige, per definition, at finde logaritmen svarer til følgende kæde af ligheder: log a b=log a a c =c .

Så beregningen af ​​logaritmen kommer per definition til at finde et sådant tal c, at a c \u003d b, og selve tallet c er den ønskede værdi af logaritmen.

I betragtning af oplysningerne i de foregående afsnit, når tallet under logaritmens fortegn er givet af en vis grad af logaritmens basis, kan du straks angive, hvad logaritmen er lig med - den er lig med eksponenten. Lad os vise eksempler.

Eksempel.

Find log 2 2 −3, og beregn også den naturlige logaritme af e 5.3.

Opløsning.

Definitionen af ​​logaritmen giver os mulighed for med det samme at sige, at log 2 2 −3 = −3 . Faktisk er tallet under fortegnet for logaritmen lig med grundtallet 2 til −3 potensen.

På samme måde finder vi den anden logaritme: lne 5.3 =5.3.

Svar:

log 2 2 −3 = −3 og lne 5,3 = 5,3 .

Hvis tallet b under logaritmens fortegn ikke er angivet som potensen af ​​logaritmens basis, så skal du nøje overveje, om det er muligt at komme med en repræsentation af tallet b i formen a c . Ofte er denne repræsentation ret indlysende, især når tallet under logaritmens tegn er lig med basen i potensen 1, eller 2, eller 3, ...

Eksempel.

Beregn logaritmerne log 5 25 og .

Opløsning.

Det er let at se, at 25=5 2, dette giver dig mulighed for at beregne den første logaritme: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Vi fortsætter til beregningen af ​​den anden logaritme. Et tal kan repræsenteres som en potens af 7: (se evt.). Følgelig, .

Lad os omskrive den tredje logaritme i følgende form. Nu kan du se det , hvorfra vi konkluderer det . Derfor ifølge definitionen af ​​logaritmen .

Kort fortalt kunne løsningen skrives som følger:

Svar:

log 5 25=2 , Og .

Når et tilstrækkeligt stort naturligt tal er under logaritmens tegn, så skader det ikke at nedbryde det i primfaktorer. Det hjælper ofte at repræsentere et sådant tal som en potens af logaritmens basis, og derfor at beregne denne logaritme per definition.

Eksempel.

Find værdien af ​​logaritmen.

Opløsning.

Nogle egenskaber ved logaritmer giver dig mulighed for straks at angive værdien af ​​logaritmer. Disse egenskaber omfatter egenskaben af ​​logaritmen af ​​en og egenskaben af ​​logaritmen af ​​et tal lig med grundtallet: log 1 1=log a a 0 =0 og log a a=log a a 1 =1 . Det vil sige, at når tallet 1 eller tallet a står under logaritmens fortegn, lig med logaritmen, så er logaritmerne i disse tilfælde henholdsvis 0 og 1.

Eksempel.

Hvad er logaritmerne og lg10?

Opløsning.

Siden følger det af definitionen af ​​logaritmen .

I det andet eksempel falder tallet 10 under logaritmens fortegn sammen med dets grundtal, så decimallogaritmen på ti er lig med én, det vil sige lg10=lg10 1 =1 .

Svar:

OG lg10=1.

Bemærk, at beregning af logaritmer per definition (som vi diskuterede i det foregående afsnit) indebærer brugen af ​​lighedslogaritmen a a p =p , som er en af ​​logaritmers egenskaber.

I praksis, når tallet under logaritmens fortegn og logaritmens basis let repræsenteres som en potens af et tal, er det meget praktisk at bruge formlen , som svarer til en af ​​logaritmers egenskaber. Overvej et eksempel på at finde logaritmen, der illustrerer brugen af ​​denne formel.

Eksempel.

Beregn logaritmen af ​​.

Opløsning.

Svar:

.

Egenskaberne for logaritmer, der ikke er nævnt ovenfor, bruges også i beregningen, men vi vil tale om dette i de følgende afsnit.

Finde logaritmer i form af andre kendte logaritmer

Oplysningerne i dette afsnit fortsætter emnet om at bruge logaritmers egenskaber i deres beregning. Men her er den største forskel, at logaritmers egenskaber bruges til at udtrykke den oprindelige logaritme i form af en anden logaritme, hvis værdi er kendt. Lad os tage et eksempel til afklaring. Lad os sige, at vi ved, at log 2 3≈1.584963 , så kan vi f.eks. finde log 2 6 ved at lave en lille transformation ved at bruge logaritmens egenskaber: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

I ovenstående eksempel var det nok for os at bruge egenskaben for produktets logaritme. Men meget oftere skal du bruge et bredere arsenal af egenskaber ved logaritmer for at beregne den oprindelige logaritme i form af de givne.

Eksempel.

Beregn logaritmen af ​​27 til grundtal 60, hvis det er kendt, at log 60 2=a og log 60 5=b .

Opløsning.

Så vi skal finde log 60 27 . Det er let at se, at 27=3 3, og den oprindelige logaritme, på grund af egenskaben for gradens logaritme, kan omskrives til 3·log 60 3 .

Lad os nu se, hvordan log 60 3 kan udtrykkes i form af kendte logaritmer. Egenskaben for logaritmen af ​​et tal lig med grundtallet giver dig mulighed for at skrive lighedsloggen 60 60=1 . På den anden side, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . På denne måde 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Følgelig, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Til sidst beregner vi den oprindelige logaritme: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Svar:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Separat er det værd at nævne betydningen af ​​formlen for overgangen til en ny base af formens logaritme . Det giver dig mulighed for at flytte fra logaritmer med en hvilken som helst base til logaritmer med en specifik base, hvis værdier er kendt, eller det er muligt at finde dem. Normalt, fra den oprindelige logaritme, ifølge overgangsformlen, skifter de til logaritmer i en af ​​baserne 2, e eller 10, da der for disse baser er tabeller over logaritmer, der gør det muligt at beregne deres værdier med en vis grad af nøjagtighed. I næste afsnit vil vi vise, hvordan dette gøres.

Tabeller over logaritmer, deres anvendelse

Til en omtrentlig beregning af værdierne af logaritmerne kan man bruge logaritmetabeller. De mest almindeligt anvendte er basis 2-logaritmetabel, den naturlige logaritmetabel og decimallogaritmetabel. Når du arbejder i decimaltalsystemet, er det praktisk at bruge en tabel med logaritmer til at basere ti. Med dens hjælp vil vi lære at finde værdierne af logaritmer.

Den præsenterede tabel gør det muligt, med en nøjagtighed på en ti-tusindedel, at finde værdierne af decimallogaritmerne for tal fra 1.000 til 9.999 (med tre decimaler). Vi vil analysere princippet om at finde værdien af ​​logaritmen ved hjælp af en tabel med decimallogaritmer ved hjælp af et specifikt eksempel - det er klarere. Lad os finde lg1.256 .

I venstre kolonne i tabellen med decimallogaritmer finder vi de to første cifre i tallet 1,256, det vil sige, vi finder 1,2 (dette tal er cirklet med blåt for tydelighedens skyld). Det tredje ciffer i tallet 1.256 (nummer 5) findes i den første eller sidste linje til venstre for den dobbelte linje (dette tal er cirklet med rødt). Det fjerde ciffer i det oprindelige nummer 1.256 (nummer 6) findes i den første eller sidste linje til højre for den dobbelte linje (dette tal er cirklet med grønt). Nu finder vi tallene i cellerne i logaritmetabellen i skæringspunktet mellem den markerede række og de markerede kolonner (disse tal er fremhævet med orange). Summen af ​​de markerede tal giver den ønskede værdi af decimallogaritmen op til den fjerde decimal, dvs. log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Er det muligt ved hjælp af ovenstående tabel at finde værdierne af decimallogaritmerne for tal, der har mere end tre cifre efter decimalkommaet, og som også går ud over grænserne fra 1 til 9,999? Ja du kan. Lad os vise, hvordan dette gøres med et eksempel.

Lad os beregne lg102.76332 . Først skal du skrive nummer i standardform: 102,76332=1,0276332 10 2 . Derefter skal mantissen rundes op til den tredje decimal, vi har 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, mens den oprindelige decimallogaritme er omtrent lig med logaritmen af ​​det resulterende tal, det vil sige, vi tager lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Anvend nu egenskaberne for logaritmen: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Til sidst finder vi værdien af ​​logaritmen lg1.028 ifølge tabellen med decimallogaritmer lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Som et resultat ser hele processen med at beregne logaritmen sådan ud: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2≈0,012+2=2,012.

Afslutningsvis er det værd at bemærke, at ved hjælp af tabellen med decimallogaritmer kan du beregne den omtrentlige værdi af enhver logaritme. For at gøre dette er det nok at bruge overgangsformlen til at gå til decimallogaritmer, finde deres værdier i tabellen og udføre de resterende beregninger.

Lad os f.eks. beregne log 2 3 . Ifølge formlen for overgangen til en ny basis af logaritmen har vi . Fra tabellen med decimallogaritmer finder vi lg3≈0,4771 og lg2≈0,3010. På denne måde .

Bibliografi.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra og begyndelsen af ​​analysen: En lærebog for 10.-11. klassetrin i almindelige uddannelsesinstitutioner.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (en manual for ansøgere til tekniske skoler).

Logaritmiske udtryk, løsning af eksempler. I denne artikel vil vi overveje problemer relateret til løsning af logaritmer. Opgaverne rejser spørgsmålet om at finde værdien af ​​udtrykket. Det skal bemærkes, at begrebet logaritme bruges i mange opgaver, og det er ekstremt vigtigt at forstå dets betydning. Hvad angår USE, bruges logaritmen til at løse ligninger, i anvendte problemer og også i opgaver relateret til undersøgelse af funktioner.

Her er eksempler til at forstå selve betydningen af ​​logaritmen:

Grundlæggende logaritmisk identitet:

Egenskaber for logaritmer, som du altid skal huske:

*Produktets logaritme er lig med summen af ​​faktorernes logaritmer.

* * *

* Logaritmen af ​​kvotienten (brøken) er lig med forskellen mellem faktorernes logaritmer.

* * *

* Gradens logaritme er lig med produktet af eksponenten og logaritmen af ​​dens grundtal.

* * *

*Overgang til ny base

* * *

Flere egenskaber:

* * *

Beregning af logaritmer er tæt forbundet med at bruge eksponenternes egenskaber.

Vi lister nogle af dem:

Essensen af ​​denne egenskab er, at når man overfører tælleren til nævneren og omvendt, ændres eksponentens fortegn til det modsatte. For eksempel:

Konsekvens af denne egenskab:

* * *

Når man hæver en potens til en potens, forbliver basen den samme, men eksponenterne ganges.

* * *

Som du kan se, er selve konceptet med logaritmen enkel. Det vigtigste er, at der er brug for god øvelse, som giver en vis færdighed. Kendskab til formler er bestemt obligatorisk. Hvis færdigheden i at konvertere elementære logaritmer ikke dannes, kan man nemt lave en fejl, når man løser simple opgaver.

Øv dig, løs først de enkleste eksempler fra matematikkurset, og gå derefter videre til mere komplekse eksempler. I fremtiden vil jeg helt sikkert vise, hvordan de "grimme" logaritmer løses, sådanne vil der ikke være til eksamen, men de er af interesse, gå ikke glip af det!

Det er alt! Held og lykke!

Med venlig hilsen Alexander Krutitskikh

P.S: Jeg ville være taknemmelig, hvis du fortæller om siden i sociale netværk.

Dit privatliv er vigtigt for os. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Læs venligst vores privatlivspolitik og lad os vide, hvis du har spørgsmål.

Indsamling og brug af personlige oplysninger

Personoplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere eller kontakte en bestemt person.

Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.

Det følgende er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.

Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:

• Når du indsender en ansøgning på siden, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, e-mailadresse mv.

Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:

• De personlige oplysninger, vi indsamler, giver os mulighed for at kontakte dig og informere dig om unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
• Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende dig vigtige meddelelser og meddelelser.
• Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
• Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende incitament, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.

Videregivelse til tredjeparter

Vi videregiver ikke oplysninger modtaget fra dig til tredjeparter.

Undtagelser:

• I tilfælde af at det er nødvendigt - i overensstemmelse med loven, retsordenen, i retssager og / eller baseret på offentlige anmodninger eller anmodninger fra statslige organer på Den Russiske Føderations område - videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi vurderer, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige interesser.
• I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante tredjepartsefterfølger.

Beskyttelse af personlige oplysninger

Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug samt mod uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.

Opretholdelse af dit privatliv på virksomhedsniveau

For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatliv og sikkerhedspraksis til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.

Så vi har to beføjelser. Hvis du tager tallet fra bundlinjen, så kan du nemt finde den magt, som du skal hæve en toer til for at få dette tal. For eksempel, for at få 16, skal du hæve to til den fjerde potens. Og for at få 64 skal du hæve to til den sjette potens. Dette kan ses af tabellen.

Og nu - faktisk definitionen af ​​logaritmen:

Logaritmen til grundtallet a i argumentet x er den potens, som tallet a skal hæves til for at få tallet x.

Notation: log a x \u003d b, hvor a er basen, x er argumentet, b er faktisk hvad logaritmen er lig med.

For eksempel, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (grundtallet 2-logaritmen af ​​8 er tre, fordi 2 3 = 8). Kunne lige så godt logge 2 64 = 6 fordi 2 6 = 64 .

Operationen med at finde logaritmen af ​​et tal til en given base kaldes logaritmen. Så lad os tilføje en ny række til vores tabel:

Desværre er det ikke alle logaritmer, der overvejes så let. Prøv for eksempel at finde log 2 5 . Tallet 5 er ikke i tabellen, men logikken tilsiger, at logaritmen vil ligge et sted på segmentet. Fordi 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Sådanne tal kaldes irrationelle: tallene efter decimaltegnet kan skrives i det uendelige, og de gentages aldrig. Hvis logaritmen viser sig at være irrationel, er det bedre at lade det være sådan her: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

Det er vigtigt at forstå, at logaritmen er et udtryk med to variable (grundlag og argument). I starten forvirrer mange mennesker, hvor grundlaget er, og hvor argumentet er. For at undgå irriterende misforståelser skal du blot tage et kig på billedet:

Foran os er intet andet end definitionen af ​​logaritmen. Husk: logaritmen er potensen, hvortil du skal hæve grundlaget for at få argumentet. Det er basen, der er hævet til en potens – på billedet er den fremhævet med rødt. Det viser sig, at basen altid er i bunden! Jeg fortæller denne vidunderlige regel til mine elever i den allerførste lektion - og der er ingen forvirring.

Vi fandt ud af definitionen - det er tilbage at lære at tælle logaritmer, dvs. slippe af med "log"-tegnet. Til at begynde med bemærker vi, at to vigtige fakta følger af definitionen:

1. Argumentet og grundlaget skal altid være større end nul. Dette følger af definitionen af ​​graden ved en rationel eksponent, hvortil definitionen af ​​logaritmen reduceres.
2. Basen skal være forskellig fra enhed, da en enhed til enhver magt stadig er en enhed. På grund af dette er spørgsmålet "til hvilken magt skal man hæves for at få to" meningsløst. Der er ingen sådan grad!

Sådanne begrænsninger kaldes gyldigt område(ODZ). Det viser sig, at ODZ for logaritmen ser sådan ud: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Bemærk, at der ikke er nogen begrænsninger på tallet b (værdien af ​​logaritmen) er ikke pålagt. For eksempel kan logaritmen godt være negativ: log 2 0,5 \u003d -1, fordi 0,5 = 2 −1 .

Men nu overvejer vi kun numeriske udtryk, hvor det ikke er nødvendigt at kende ODZ for logaritmen. Alle begrænsninger er allerede taget i betragtning af kompilatorerne af problemerne. Men når logaritmiske ligninger og uligheder kommer i spil, bliver DHS-kravene obligatoriske. I grundlaget og argumentationen kan der nemlig være meget stærke konstruktioner, som ikke nødvendigvis svarer til ovenstående begrænsninger.

Overvej nu det generelle skema til beregning af logaritmer. Den består af tre trin:

1. Udtryk grundtallet a og argumentet x som en potens med den mindst mulige grundtal større end én. Undervejs er det bedre at slippe af med decimalbrøker;
2. Løs ligningen for variablen b: x = a b ;
3. Det resulterende tal b vil være svaret.

Det er alt! Hvis logaritmen viser sig at være irrationel, vil dette kunne ses allerede ved første trin. Kravet om, at grundlaget skal være større end én, er meget relevant: Dette reducerer sandsynligheden for fejl og forenkler beregningerne i høj grad. På samme måde med decimalbrøker: hvis du straks konverterer dem til almindelige, vil der være mange gange færre fejl.

Lad os se, hvordan denne ordning fungerer med specifikke eksempler:

En opgave. Beregn logaritmen: log 5 25

1. Lad os repræsentere basen og argumentet som en potens af fem: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Lad os lave og løse ligningen:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Modtaget svar: 2.

En opgave. Beregn logaritmen:

En opgave. Beregn logaritmen: log 4 64

1. Lad os repræsentere basen og argumentet som en potens af to: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Lad os lave og løse ligningen:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Modtaget svar: 3.

En opgave. Beregn logaritmen: log 16 1

1. Lad os repræsentere basen og argumentet som en potens af to: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Lad os lave og løse ligningen:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Modtog et svar: 0.

En opgave. Beregn logaritmen: log 7 14

1. Lad os repræsentere basen og argumentet som en potens af syv: 7 = 7 1 ; 14 er ikke repræsenteret som en syvpotens, fordi 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Det følger af det foregående afsnit, at logaritmen ikke tages i betragtning;
3. Svaret er ingen ændring: log 7 14.

En lille bemærkning til det sidste eksempel. Hvordan sikrer man sig, at et tal ikke er en nøjagtig potens af et andet tal? Meget simpelt - bare nedbryde det i prime faktorer. Hvis der er mindst to forskellige faktorer i udvidelsen, er tallet ikke en nøjagtig potens.

En opgave. Find ud af, om tallets nøjagtige potenser er: 8; 48; 81; 35; fjorten .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - den nøjagtige grad, fordi der er kun én multiplikator;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 er ikke en nøjagtig potens, fordi der er to faktorer: 3 og 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - nøjagtig grad;
35 = 7 5 - igen ikke en nøjagtig grad;
14 \u003d 7 2 - igen ikke en nøjagtig grad;

Bemærk også, at selve primtallene altid er nøjagtige potenser af sig selv.

Decimal logaritme

Nogle logaritmer er så almindelige, at de har et særligt navn og betegnelse.

Decimallogaritmen af ​​x-argumentet er grundtallet 10-logaritmen, dvs. den potens, som du skal hæve tallet 10 til for at få tallet x. Betegnelse: lg x .

For eksempel log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - osv.

Fra nu af, når en sætning som "Find lg 0.01" vises i lærebogen, skal du vide, at dette ikke er en tastefejl. Dette er decimallogaritmen. Men hvis du ikke er vant til en sådan betegnelse, kan du altid omskrive den:
log x = log 10 x

Alt, hvad der er sandt for almindelige logaritmer, gælder også for decimaler.

naturlig logaritme

Der er en anden logaritme, der har sin egen notation. I en vis forstand er det endnu vigtigere end decimal. Dette er den naturlige logaritme.

Den naturlige logaritme af x er grundtallet e logaritmen, dvs. den potens, hvortil tallet e skal hæves for at opnå tallet x. Betegnelse: ln x .

Mange vil spørge: hvad er tallet ellers e? Dette er et irrationelt tal, dets nøjagtige værdi kan ikke findes og nedskrives. Her er blot de første tal:
e = 2,718281828459...

Vi vil ikke dykke ned i, hvad dette tal er, og hvorfor det er nødvendigt. Bare husk, at e er basis for den naturlige logaritme:
ln x = log e x

Således ln e = 1; log e2 = 2; ln e 16 = 16 - osv. På den anden side er ln 2 et irrationelt tal. Generelt er den naturlige logaritme af ethvert rationelt tal irrationel. Undtagen naturligvis enhed: ln 1 = 0.

For naturlige logaritmer er alle de regler, der er sande for almindelige logaritmer, gyldige.

grundlæggende egenskaber.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

samme grunde

log6 4 + log6 9.

Lad os nu komplicere opgaven lidt.

Eksempler på løsning af logaritmer

Hvad hvis der er en grad i basen eller argumentet for logaritmen? Så kan eksponenten for denne grad tages ud af logaritmens fortegn efter følgende regler:

Selvfølgelig giver alle disse regler mening, hvis ODZ-logaritmen overholdes: a > 0, a ≠ 1, x >

En opgave. Find værdien af ​​udtrykket:

Overgang til en ny fond

Lad logaritmen logaks være givet. Så for ethvert tal c, således at c > 0 og c ≠ 1, er ligheden sand:

En opgave. Find værdien af ​​udtrykket:

Se også:

Grundlæggende egenskaber for logaritmen

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponenten er 2,718281828…. For at huske eksponenten kan du studere reglen: eksponenten er 2,7 og to gange Leo Tolstojs fødselsår.

Grundlæggende egenskaber ved logaritmer

Når du kender denne regel, kender du både den nøjagtige værdi af eksponenten og fødselsdatoen for Leo Tolstoy.

Eksempler på logaritmer

Tag logaritmen af ​​udtryk

Eksempel 1
men). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Ved egenskaber 3,5 beregner vi

2.

3.

4. hvor .

Eksempel 2 Find x if

Eksempel 3. Lad værdien af ​​logaritmer angives

Beregn log(x) if

Grundlæggende egenskaber ved logaritmer

Logaritmer, som ethvert tal, kan tilføjes, trækkes fra og konverteres på alle mulige måder. Men da logaritmer ikke er helt almindelige tal, er der regler her, som kaldes grundlæggende egenskaber.

Disse regler skal kendes - intet seriøst logaritmisk problem kan løses uden dem. Derudover er der meget få af dem – alt kan læres på én dag. Så lad os komme i gang.

Addition og subtraktion af logaritmer

Overvej to logaritmer med samme grundtal: logax og logay. Derefter kan de lægges til og trækkes fra, og:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Så summen af ​​logaritmerne er lig med logaritmen af ​​produktet, og forskellen er logaritmen af ​​kvotienten. Bemærk venligst: nøglepunktet her er - samme grunde. Hvis grundlaget er anderledes, virker disse regler ikke!

Disse formler hjælper med at beregne det logaritmiske udtryk, selv når dets individuelle dele ikke tages i betragtning (se lektionen "Hvad er en logaritme"). Tag et kig på eksemplerne og se:

Da logaritmernes basis er ens, bruger vi sumformlen:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

En opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log2 48 − log2 3.

Baserne er de samme, vi bruger forskelsformlen:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

En opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log3 135 − log3 5.

Igen er baserne de samme, så vi har:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Som du kan se, er de oprindelige udtryk opbygget af "dårlige" logaritmer, som ikke betragtes separat. Men efter transformationer viser sig ganske normale tal. Mange test er baseret på dette faktum. Ja, kontrol - lignende udtryk i fuld alvor (nogle gange - stort set uden ændringer) tilbydes ved eksamen.

Fjernelse af eksponenten fra logaritmen

Det er let at se, at den sidste regel følger deres to første. Men det er bedre at huske det alligevel - i nogle tilfælde vil det reducere mængden af ​​beregninger betydeligt.

Selvfølgelig giver alle disse regler mening, hvis ODZ-logaritmen overholdes: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Og en ting mere: lær at anvende alle formler ikke kun fra venstre mod højre, men også omvendt, dvs. du kan indtaste tallene før fortegnet for logaritmen i selve logaritmen. Det er det, der oftest kræves.

En opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log7 496.

Lad os slippe af med graden i argumentet i henhold til den første formel:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

En opgave. Find værdien af ​​udtrykket:

Bemærk, at nævneren er en logaritme, hvis grundtal og argument er nøjagtige potenser: 16 = 24; 49 = 72. Vi har:

Jeg synes, det sidste eksempel trænger til afklaring. Hvor er logaritmerne blevet af? Indtil sidste øjeblik arbejder vi kun med nævneren.

Formler for logaritmer. Logaritmer er eksempler på løsninger.

De præsenterede basen og argumentet for logaritmen, der stod der i form af grader og tog indikatorerne ud - de fik en "tre-etagers" brøk.

Lad os nu se på hovedbrøken. Tælleren og nævneren har samme tal: log2 7. Da log2 7 ≠ 0, kan vi reducere brøken - 2/4 bliver i nævneren. Ifølge regnereglerne kan de fire overføres til tælleren, hvilket blev gjort. Resultatet er svaret: 2.

Overgang til en ny fond

Når jeg taler om reglerne for at addere og subtrahere logaritmer, understregede jeg specifikt, at de kun fungerer med de samme baser. Hvad hvis baserne er forskellige? Hvad hvis de ikke er nøjagtige potenser af samme tal?

Formler for overgang til en ny base kommer til undsætning. Vi formulerer dem i form af en sætning:

Lad logaritmen logaks være givet. Så for ethvert tal c, således at c > 0 og c ≠ 1, er ligheden sand:

Især hvis vi sætter c = x, får vi:

Det følger af den anden formel, at grunden og argumentet for logaritmen kan ombyttes, men hele udtrykket "vendes om", dvs. logaritmen er i nævneren.

Disse formler findes sjældent i almindelige numeriske udtryk. Det er kun muligt at vurdere, hvor praktiske de er, når man løser logaritmiske ligninger og uligheder.

Der er dog opgaver, som slet ikke kan løses, undtagen ved at flytte til en ny fond. Lad os overveje et par af disse:

En opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log5 16 log2 25.

Bemærk, at argumenterne for begge logaritmer er nøjagtige eksponenter. Lad os tage indikatorerne ud: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Lad os nu vende den anden logaritme:

Da produktet ikke ændrer sig fra permutation af faktorer, gangede vi roligt fire og to og fandt derefter logaritmerne ud.

En opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log9 100 lg 3.

Grundlaget og argumentet for den første logaritme er nøjagtige potenser. Lad os skrive det ned og slippe af med indikatorerne:

Lad os nu slippe af med decimallogaritmen ved at flytte til en ny base:

Grundlæggende logaritmisk identitet

Ofte i processen med at løse er det nødvendigt at repræsentere et tal som en logaritme til en given base. I dette tilfælde vil formlerne hjælpe os:

I det første tilfælde bliver tallet n eksponenten i argumentet. Tallet n kan være absolut hvad som helst, fordi det kun er værdien af ​​logaritmen.

Den anden formel er faktisk en omskrevet definition. Det hedder sådan her:

Ja, hvad vil der ske, hvis tallet b hæves til en sådan potens, at tallet b i denne potens giver tallet a? Det er rigtigt: dette er det samme nummer a. Læs dette afsnit omhyggeligt igen - mange mennesker "hænger" på det.

Ligesom de nye basiskonverteringsformler er den grundlæggende logaritmiske identitet nogle gange den eneste mulige løsning.

En opgave. Find værdien af ​​udtrykket:

Bemærk at log25 64 = log5 8 - tog bare kvadratet ud af grundfladen og logaritmens argument. Givet reglerne for multiplikation af potenser med samme grundtal får vi:

Hvis nogen ikke ved det, var dette en rigtig opgave fra Unified State Examination 🙂

Logaritmisk enhed og logaritmisk nul

Afslutningsvis vil jeg give to identiteter, som er svære at kalde egenskaber – det er derimod konsekvenser fra definitionen af ​​logaritmen. De findes konstant i problemer og skaber overraskende problemer selv for "avancerede" elever.

1. logaa = 1 er. Husk én gang for alle: logaritmen til en hvilken som helst base a fra den base er lig med én.
2. loga 1 = 0 er. Grundlaget a kan være hvad som helst, men hvis argumentet er et, er logaritmen nul! Fordi a0 = 1 er en direkte konsekvens af definitionen.

Det er alle egenskaberne. Sørg for at øve dig i at omsætte dem i praksis! Download snydearket i begyndelsen af ​​lektionen, print det ud og løs problemerne.

Se også:

Logaritmen af ​​tallet b til grundtallet a betegner udtrykket. At beregne logaritmen betyder at finde en sådan potens x (), hvor ligheden er sand

Grundlæggende egenskaber for logaritmen

Ovenstående egenskaber skal kendes, da næsten alle problemer og eksempler på deres grundlag løses baseret på logaritmer. De resterende eksotiske egenskaber kan udledes af matematiske manipulationer med disse formler

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Når man beregner formlerne for summen og forskellen af ​​logaritmer (3.4), støder man ret ofte på. Resten er lidt komplekse, men i en række opgaver er de uundværlige for at forenkle komplekse udtryk og beregne deres værdier.

Almindelige tilfælde af logaritmer

Nogle af de almindelige logaritmer er dem, hvor basen er endda ti, eksponentiel eller toer.
Ti-tal-logaritmen kaldes normalt ti-tal-logaritmen og betegnes blot lg(x).

Det kan ses af journalen, at det grundlæggende ikke er skrevet i journalen. For eksempel

Den naturlige logaritme er den logaritme, hvis basis er eksponenten (betegnet ln(x)).

Eksponenten er 2,718281828…. For at huske eksponenten kan du studere reglen: eksponenten er 2,7 og to gange Leo Tolstojs fødselsår. Når du kender denne regel, kender du både den nøjagtige værdi af eksponenten og fødselsdatoen for Leo Tolstoy.

Og en anden vigtig base to-logaritme er

Den afledte af funktionens logaritme er lig med én divideret med variablen

Den integrale eller antiafledte logaritme bestemmes af afhængigheden

Ovenstående materiale er nok for dig til at løse en bred klasse af problemer relateret til logaritmer og logaritmer. For at assimilere materialet vil jeg kun give nogle få almindelige eksempler fra skolepensum og universiteter.

Eksempler på logaritmer

Tag logaritmen af ​​udtryk

Eksempel 1
men). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Ved egenskaber 3,5 beregner vi

2.
Ved differensegenskaben for logaritmer har vi

3.
Ved hjælp af egenskaber 3.5 finder vi

4. hvor .

Et tilsyneladende komplekst udtryk ved hjælp af en række regler forenkles til formen

Finde logaritmeværdier

Eksempel 2 Find x if

Opløsning. Til beregningen anvender vi egenskab 5 og 13 frem til sidste termin

Afløser i protokollen og sørge

Da baserne er ens, sidestiller vi udtrykkene

Logaritmer. Første niveau.

Lad værdien af ​​logaritmerne være givet

Beregn log(x) if

Løsning: Tag logaritmen af ​​variablen for at skrive logaritmen gennem summen af ​​led

Dette er kun begyndelsen på bekendtskab med logaritmer og deres egenskaber. Øv beregninger, berig dine praktiske færdigheder - du får snart brug for den erhvervede viden til at løse logaritmiske ligninger. Efter at have studeret de grundlæggende metoder til at løse sådanne ligninger, vil vi udvide din viden til et andet lige så vigtigt emne - logaritmiske uligheder ...

Grundlæggende egenskaber ved logaritmer

Logaritmer, som ethvert tal, kan tilføjes, trækkes fra og konverteres på alle mulige måder. Men da logaritmer ikke er helt almindelige tal, er der regler her, som kaldes grundlæggende egenskaber.

Disse regler skal kendes - intet seriøst logaritmisk problem kan løses uden dem. Derudover er der meget få af dem – alt kan læres på én dag. Så lad os komme i gang.

Addition og subtraktion af logaritmer

Overvej to logaritmer med samme grundtal: logax og logay. Derefter kan de lægges til og trækkes fra, og:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Så summen af ​​logaritmerne er lig med logaritmen af ​​produktet, og forskellen er logaritmen af ​​kvotienten. Bemærk venligst: nøglepunktet her er - samme grunde. Hvis grundlaget er anderledes, virker disse regler ikke!

Disse formler hjælper med at beregne det logaritmiske udtryk, selv når dets individuelle dele ikke tages i betragtning (se lektionen "Hvad er en logaritme"). Tag et kig på eksemplerne og se:

En opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log6 4 + log6 9.

Da logaritmernes basis er ens, bruger vi sumformlen:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

En opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log2 48 − log2 3.

Baserne er de samme, vi bruger forskelsformlen:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

En opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log3 135 − log3 5.

Igen er baserne de samme, så vi har:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Som du kan se, er de oprindelige udtryk opbygget af "dårlige" logaritmer, som ikke betragtes separat. Men efter transformationer viser sig ganske normale tal. Mange test er baseret på dette faktum. Ja, kontrol - lignende udtryk i fuld alvor (nogle gange - stort set uden ændringer) tilbydes ved eksamen.

Fjernelse af eksponenten fra logaritmen

Lad os nu komplicere opgaven lidt. Hvad hvis der er en grad i basen eller argumentet for logaritmen? Så kan eksponenten for denne grad tages ud af logaritmens fortegn efter følgende regler:

Det er let at se, at den sidste regel følger deres to første. Men det er bedre at huske det alligevel - i nogle tilfælde vil det reducere mængden af ​​beregninger betydeligt.

Selvfølgelig giver alle disse regler mening, hvis ODZ-logaritmen overholdes: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Og en ting mere: lær at anvende alle formler ikke kun fra venstre mod højre, men også omvendt, dvs. du kan indtaste tallene før fortegnet for logaritmen i selve logaritmen.

Sådan løses logaritmer

Det er det, der oftest kræves.

En opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log7 496.

Lad os slippe af med graden i argumentet i henhold til den første formel:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

En opgave. Find værdien af ​​udtrykket:

Bemærk, at nævneren er en logaritme, hvis grundtal og argument er nøjagtige potenser: 16 = 24; 49 = 72. Vi har:

Jeg synes, det sidste eksempel trænger til afklaring. Hvor er logaritmerne blevet af? Indtil sidste øjeblik arbejder vi kun med nævneren. De præsenterede basen og argumentet for logaritmen, der stod der i form af grader og tog indikatorerne ud - de fik en "tre-etagers" brøk.

Lad os nu se på hovedbrøken. Tælleren og nævneren har samme tal: log2 7. Da log2 7 ≠ 0, kan vi reducere brøken - 2/4 bliver i nævneren. Ifølge regnereglerne kan de fire overføres til tælleren, hvilket blev gjort. Resultatet er svaret: 2.

Overgang til en ny fond

Når jeg taler om reglerne for at addere og subtrahere logaritmer, understregede jeg specifikt, at de kun fungerer med de samme baser. Hvad hvis baserne er forskellige? Hvad hvis de ikke er nøjagtige potenser af samme tal?

Formler for overgang til en ny base kommer til undsætning. Vi formulerer dem i form af en sætning:

Lad logaritmen logaks være givet. Så for ethvert tal c, således at c > 0 og c ≠ 1, er ligheden sand:

Især hvis vi sætter c = x, får vi:

Det følger af den anden formel, at grunden og argumentet for logaritmen kan ombyttes, men hele udtrykket "vendes om", dvs. logaritmen er i nævneren.

Disse formler findes sjældent i almindelige numeriske udtryk. Det er kun muligt at vurdere, hvor praktiske de er, når man løser logaritmiske ligninger og uligheder.

Der er dog opgaver, som slet ikke kan løses, undtagen ved at flytte til en ny fond. Lad os overveje et par af disse:

En opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log5 16 log2 25.

Bemærk, at argumenterne for begge logaritmer er nøjagtige eksponenter. Lad os tage indikatorerne ud: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Lad os nu vende den anden logaritme:

Da produktet ikke ændrer sig fra permutation af faktorer, gangede vi roligt fire og to og fandt derefter logaritmerne ud.

En opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log9 100 lg 3.

Grundlaget og argumentet for den første logaritme er nøjagtige potenser. Lad os skrive det ned og slippe af med indikatorerne:

Lad os nu slippe af med decimallogaritmen ved at flytte til en ny base:

Grundlæggende logaritmisk identitet

Ofte i processen med at løse er det nødvendigt at repræsentere et tal som en logaritme til en given base. I dette tilfælde vil formlerne hjælpe os:

I det første tilfælde bliver tallet n eksponenten i argumentet. Tallet n kan være absolut hvad som helst, fordi det kun er værdien af ​​logaritmen.

Den anden formel er faktisk en omskrevet definition. Det hedder sådan her:

Ja, hvad vil der ske, hvis tallet b hæves til en sådan potens, at tallet b i denne potens giver tallet a? Det er rigtigt: dette er det samme nummer a. Læs dette afsnit omhyggeligt igen - mange mennesker "hænger" på det.

Ligesom de nye basiskonverteringsformler er den grundlæggende logaritmiske identitet nogle gange den eneste mulige løsning.

En opgave. Find værdien af ​​udtrykket:

Bemærk at log25 64 = log5 8 - tog bare kvadratet ud af grundfladen og logaritmens argument. Givet reglerne for multiplikation af potenser med samme grundtal får vi:

Hvis nogen ikke ved det, var dette en rigtig opgave fra Unified State Examination 🙂

Logaritmisk enhed og logaritmisk nul

Afslutningsvis vil jeg give to identiteter, som er svære at kalde egenskaber – det er derimod konsekvenser fra definitionen af ​​logaritmen. De findes konstant i problemer og skaber overraskende problemer selv for "avancerede" elever.

1. logaa = 1 er. Husk én gang for alle: logaritmen til en hvilken som helst base a fra den base er lig med én.
2. loga 1 = 0 er. Grundlaget a kan være hvad som helst, men hvis argumentet er et, er logaritmen nul! Fordi a0 = 1 er en direkte konsekvens af definitionen.

Det er alle egenskaberne. Sørg for at øve dig i at omsætte dem i praksis! Download snydearket i begyndelsen af ​​lektionen, print det ud og løs problemerne.