Er rummet tilfældigt? Et sæt af tilfældige hændelser er forudsigelige, selvom individuelle hændelser ikke er det.

hjem / Utro kone

Fordelen ved en online terninggenerator frem for almindelige terninger er indlysende – den vil aldrig gå tabt! Den virtuelle terning vil klare sine funktioner meget bedre end den rigtige - manipulation af resultaterne er fuldstændig udelukket, og du kan kun håbe på, at Hans Majestæt sagen. Onlineterninger er blandt andet god underholdning i din fritid. Genereringen af resultatet tager tre sekunder, hvilket varmer spillernes spænding og interesse op. For at simulere terningekast skal du blot trykke på "1"-knappen på tastaturet, hvilket gør, at du ikke bliver distraheret af for eksempel et spændende brætspil.

Antal terninger:

Hjælp venligst tjenesten med et enkelt klik: Fortæl dine venner om generatoren!

Når vi hører sådan en sætning som "Dice", så kommer casinoforeningen med det samme, hvor de simpelthen ikke kan undvære dem. Til at begynde med, lad os lige huske lidt, hvad dette emne er.

Terninger er terninger, på hver side af hvilke tal fra 1 til 6 er repræsenteret med prikker.Når vi kaster dem, er vi altid i håbet om, at præcis det tal, vi har valgt og ønsket, falder ud. Men der er tidspunkter, hvor terningen, der falder på kanten, ikke viser tallet. Det betyder, at den, der smed den sådan, kan vælge hvilken som helst.

Det sker også, at kuben kan rulle under sengen eller skabet, og når den fjernes derfra, ændres antallet tilsvarende. I dette tilfælde kastes knoglen om igen, så alle tydeligt kan se tallet.

Terningkast online med 1 klik

I et spil, der involverer almindelige terninger, er det meget nemt at snyde. For at få det rigtige tal skal du lægge denne side af terningen ovenpå og dreje den, så den forbliver den samme (kun sidedelen snurrer). Dette er ikke en fuldstændig garanti, men vinderprocenten vil være femoghalvfjerds procent.

Hvis du bruger to terninger, så er chancerne reduceret til tredive, men det er en betragtelig procentdel. På grund af snyd kan mange spillerkampagner ikke lide at bruge terninger.

På samme måde fungerer vores vidunderlige service netop for at undgå sådanne situationer. Det vil være umuligt at snyde med os, da det online terningkast ikke kan forfalskes. Et tal fra 1 til 6 vil dukke op på siden på en helt tilfældig og ukontrolleret måde.

Praktisk kubegenerator

En meget stor fordel er, at online terninggeneratoren ikke kan fare vild (især da den kan bogmærkes), og en almindelig lille terning kan nemt forsvinde et sted. Et stort plus vil også være, at manipulation af resultaterne er fuldstændig udelukket. Generatoren har en funktion, der giver dig mulighed for at vælge mellem en til tre terninger, der skal kastes på samme tid.

Online terninggeneratoren er en meget interessant underholdning, en af måderne at udvikle intuition på. Brug vores service og få øjeblikkelige og pålidelige resultater.

4,8 ud af 5 (bedømmelser: 116)

Den mest almindelige form er i form af en terning, på hver side af hvilken tallene fra et til seks er afbildet. Spilleren, der kaster den på en flad overflade, ser resultatet på den øverste flade. Knogler er et rigtigt talerør for tilfældigheder, held eller uheld.

Ulykke.
Terninger (knogler) har eksisteret i lang tid, men den sekssidede form, der er blevet traditionel, blev erhvervet omkring 2600 f.Kr. e. De gamle grækere elskede at spille terninger, og i deres legender nævnes helten Palamedes, uretmæssigt anklaget for forræderi af Odysseus, som deres opfinder. Ifølge legenden opfandt han dette spil for at underholde soldaterne, der belejrede Troy, taget til fange takket være en enorm træhest. Romerne på Julius Cæsars tid underholdt også sig selv med en række terningespil. På latin blev kuben kaldt datum, som betyder "givet".

Forbud.
I middelalderen, omkring det 12. århundrede, blev terninger meget populære i Europa: Terninger, som du kan tage med dig overalt, er populære hos både krigere og bønder. Det siges, at der var over seks hundrede forskellige spil! Fremstillingen af terninger bliver et særskilt erhverv. Kong Ludvig IX (1214-1270), som vendte tilbage fra korstoget, godkendte ikke hasardspil og beordrede et forbud mod produktion af terninger i hele riget. Mere end selve spillet var myndighederne utilfredse med urolighederne i forbindelse med det – så spillede de hovedsageligt på værtshuse og fester endte ofte i slagsmål og knivstik. Men ingen forbud forhindrede terningerne i at overleve tiden og overleve den dag i dag.

Knogler med en "ladning"!
Udfaldet af et terningkast bestemmes altid ved en tilfældighed, men nogle snydere forsøger at ændre på det. Ved at bore et hul i matricen og hælde bly eller kviksølv i, er det muligt at sikre, at rullen giver det samme resultat hver gang. Sådan en terning kaldes "ladet". Fremstillet af forskellige materialer, hvad enten det er guld, sten, krystal, ben, kan terninger have forskellige former. Små terninger i form af en pyramide (tetraeder) blev fundet i gravene til de egyptiske faraoer, der byggede de store pyramider! På forskellige tidspunkter blev der lavet knogler med 8, 10, 12, 20 og endda 100 sider. Normalt anvendes tal på dem, men bogstaver eller billeder kan også dukke op i deres sted, hvilket giver plads til fantasi.

Sådan kaster du terningerne.
Terninger kommer ikke kun i forskellige former, men også forskellige måder at spille på. Reglerne for nogle spil kræver, at kast skal kastes på en bestemt måde, normalt for at undgå et beregnet kast eller for at forhindre terningen i at komme til at hvile i en vippet position. Nogle gange er et specielt glas fastgjort til dem for at undgå snyd eller falde fra spillebordet. I det engelske spil crepe skal alle tre terninger nødvendigvis ramme spillebordet eller væggen, for ikke at tillade snydere at forfalske et kast ved blot at flytte terningen, men ikke dreje den.

Tilfældighed og sandsynlighed.
Terningerne giver altid et tilfældigt resultat, som ikke kan forudsiges. Med én terning har spilleren lige så mange chancer for at kaste en 1'er, som de har en 6'er - alt bestemmes ved tilfældigheder. På den anden side, med to terninger, falder niveauet af tilfældighed, da spilleren har flere oplysninger om resultatet: for eksempel med to terninger kan tallet 7 opnås på flere måder - ved at rulle 1 og 6, 5 og 2, eller 4 og 3 ... Men muligheden for at få tallet 2 er kun én: at kaste en 1'er to gange. Dermed er sandsynligheden for at få en 7'er højere end at få en 2'er! Det kaldes sandsynlighedsteori. Mange spil er forbundet med dette princip, især pengespil.

Om brugen af terninger.
Terninger kan være et selvstændigt spil uden andre elementer. Det eneste, der praktisk talt ikke eksisterer, er spil til en enkelt terning. Reglerne kræver mindst to (f.eks. crepe). For at spille terningpoker skal du bruge fem terninger, en pen og papir. Målet er at udfylde kombinationer, der ligner kombinationerne af kortspillet af samme navn, og registrere point for dem i en speciel tabel. Derudover er kuben en meget populær del til brætspil, som giver dig mulighed for at flytte jetoner eller bestemme udfaldet af spilkampe.

Die er støbt.
I 49 f.Kr. e. unge Julius Cæsar erobrede Gallien og vendte tilbage til Pompeji. Men hans magt var frygtet af senatorerne, som besluttede at opløse hans hær, før han vendte tilbage. Den fremtidige kejser, der er ankommet til republikkens grænser, beslutter sig for at overtræde ordren ved at krydse den med hæren. Før han krydsede Rubicon (floden, der var grænsen), sagde han til sine legionærer "Alea jacta est" ("terningen er kastet"). Dette ordsprog er blevet et slagord, hvis betydning er, at det, ligesom i spillet, efter nogle beslutninger er truffet, er det ikke længere muligt at trække sig tilbage.

Skrevet af designeren Tyler Sigman, på "Gamasutra". Jeg omtaler den kærligt som "hår i næseborene på en ork", men den dækker ret godt det grundlæggende om sandsynligheder i spil.

Denne uges tema

Indtil i dag har næsten alt, hvad vi har talt om, været deterministisk, og i sidste uge kiggede vi nærmere på transitiv mekanik og nedbrød det så detaljeret, som jeg kan forklare det. Men indtil nu har vi ikke været opmærksomme på et kæmpe aspekt af mange spil, nemlig de ikke-deterministiske aspekter, med andre ord - tilfældighed. At forstå karakteren af tilfældighed er meget vigtigt for spildesignere, fordi vi skaber systemer, der påvirker spillerens oplevelse i et givet spil, så vi skal vide, hvordan disse systemer fungerer. Hvis der er tilfældighed i systemet, skal du forstå natur denne tilfældighed og hvordan man ændrer den for at få de resultater, vi ønsker.

Terninger

Lad os starte med noget simpelt: terningkast. Når de fleste mennesker tænker på terninger, tænker de på en sekssidet terning kendt som en d6. Men de fleste spillere har set mange andre terninger: 4-sidet (d4), otte-sidet (d8), dodecahedral (d12), tyve-sidet (d20) ... og hvis du ægte nørd, du har måske nogle 30-sidede eller 100-sidede terninger et eller andet sted. Hvis du ikke er bekendt med denne terminologi, betyder "d" en terning, og tallet efter det er, hvor mange ansigter det har. Hvis foran"d" står for et tal, det står for nummer terninger, når de kastes. For eksempel, i Monopol kaster du 2d6.

Så i dette tilfælde er udtrykket "terninger" en konventionel betegnelse. Der er et stort antal andre tilfældige tal generatorer, der ikke har form som en plastikblok, men udfører den samme funktion at generere et tilfældigt tal fra 1 til n. En almindelig mønt kan også opfattes som en dihedral d2 terning. Jeg så to designs af en syv-sidet terning: den ene lignede en terning, og den anden lignede mere en syv-sidet træblyant. En tetraedrisk dreidel (også kendt som en titotum) er en analog af en tetraedrisk knogle. Spillefeltet med drejepil i spillet "Chutes & Ladders", hvor resultatet kan være fra 1 til 6, svarer til en sekssidet terning. Den tilfældige talgenerator i computeren kan skabe et hvilket som helst tal fra 1 til 19, hvis designeren giver en sådan kommando, selvom computeren ikke har en 19-sidet terning (generelt vil jeg tale mere om sandsynligheden for, at tal falder på computer kl Næste uge). Selvom alle disse elementer ser forskellige ud, er de faktisk ækvivalente: du har lige stor chance for at få et af flere resultater.

Terninger har nogle interessante egenskaber, som vi skal kende til. For det første er sandsynligheden for, at nogen af ansigterne kommer op, den samme (jeg går ud fra, at du kaster de rigtige terninger, ikke den forkerte geometri). Så hvis du vil vide det betyde rul (også kendt blandt probabilisterne som den "matematiske forventning"), summer værdierne af alle kanterne og divider denne sum med nummer ansigter. Gennemsnitsværdien af et kast for en standard sekssidet terning er 1+2+3+4+5+6 = 21, divideret med antallet af sider (6), og vi får den gennemsnitlige værdi på 21/6 = 3,5. Dette er et særligt tilfælde, fordi vi antager, at alle udfald er lige sandsynlige.

Hvad hvis du har specielle terninger? For eksempel så jeg et sekssidet terningspil med specielle klistermærker på ansigterne: 1, 1, 1, 2, 2, 3, så det opfører sig som en mærkelig tresidet terning, som er mere tilbøjelig til at kaste tallet 1 end 2 og 2 end 3. Hvad er den gennemsnitlige kastværdi for denne terning? Så 1+1+1+2+2+3 = 10 divideret med 6 er lig med 5/3 eller omkring 1,66. Så hvis du har netop denne terning, og spillerne kaster tre terninger og derefter lægger resultaterne sammen, ved du, at den omtrentlige sum af deres kast vil være omkring 5, og du kan afbalancere spillet baseret på den antagelse.

Terninger og uafhængighed

Som jeg allerede har sagt, går vi ud fra den antagelse, at frafaldet af hvert ansigt er lige sandsynligt. Det afhænger ikke af, hvor mange terninger du kaster. Hvert terningkast uanset, hvilket betyder, at tidligere ruller ikke påvirker resultaterne af efterfølgende ruller. Med et tilstrækkeligt antal test, vil du helt sikkert varsel"serie" af tal, såsom at rulle for det meste højere eller lavere værdier, eller andre funktioner, og det vil vi tale om senere, men det betyder ikke, at terningerne er "varme" eller "kolde". Hvis du kaster en standard seks-sidet terning, og tallet 6 kommer op to gange i træk, er sandsynligheden for, at det næste kast vil resultere i en 6, også 1/6. Sandsynligheden øges ikke af, at kuben er "varmet op". Sandsynligheden falder ikke, for tallet 6 er allerede faldet ud to gange i træk, hvilket betyder, at nu falder endnu et ansigt ud. (Selvfølgelig, hvis du kaster en terning tyve gange, og tallet 6 kommer op hver gang, er chancen for, at tallet 6 kommer op den enogtyvende gang, ret stor ... fordi det kan betyde, at du har den forkerte terning !) Men hvis du har den rigtige terning, er sandsynligheden for at falde ud af hver af siderne den samme, uanset resultaterne af andre kast. Du kan også forestille dig, at hver gang vi skifter terningen, så hvis tallet 6 kom op to gange i træk, fjern den "varme" terning fra spillet og erstatte den med en ny sekssidet terning. Jeg beklager, hvis nogen af jer allerede vidste om dette, men jeg var nødt til at afklare dette, før jeg gik videre.

Hvordan man laver terningkast mere eller mindre tilfældigt

Lad os tale om, hvordan man får forskellige resultater på forskellige terninger. Hvis du kun kaster terningen én eller flere gange, vil spillet føles mere tilfældigt, hvis terningen har flere kanter. Jo flere gange du kaster en terning, eller jo flere terninger du kaster, jo mere nærmer resultaterne sig gennemsnittet. Hvis du f.eks. slår 1d6+4 (dvs. en standard sekssidet terning én gang og lægger 4 til resultatet), vil gennemsnittet være et tal mellem 5 og 10. Slår du 5d2, vil gennemsnittet også være et tal mellem 5 og 10. Men når man kaster en sekssidet terning, er sandsynligheden for at få tallene 5, 8 eller 10 den samme. Resultatet af et 5d2 kast vil for det meste være tallene 7 og 8, sjældnere andre tal. Den samme serie, endda det samme gennemsnit (7,5 i begge tilfælde), men karakteren af tilfældighederne er forskellig.

Vent et øjeblik. Sagde jeg ikke lige, at terninger hverken varmer eller afkøles? Og nu siger jeg, at hvis du kaster mange terninger, er resultaterne af kast tættere på gennemsnittet? Hvorfor?

Lad mig forklare. Hvis du kaster en terninger, er sandsynligheden for at falde ud af hver af siderne den samme. Det betyder, at hvis du kaster mange terninger, vil hvert ansigt med tiden komme op omkring det samme antal gange. Jo flere terninger du kaster, jo mere vil det samlede resultat nærme sig gennemsnittet. Det er ikke fordi det rullede tal "får" et andet tal til at rulle, som endnu ikke er kommet op. For en lille streak på 6'ere (eller 20'ere, eller hvad som helst) ender ikke med at blive en big deal, hvis du kaster terningerne ti tusinde gange mere, og det er for det meste gennemsnittet, der kommer op... måske kaster du et par stykker tal med høj værdi, men måske senere et par tal med lav værdi og over tid vil de nærme sig gennemsnitsværdien. Ikke fordi tidligere kast påvirker terningerne (seriøst, terningerne er lavet af plast, hun har ikke hjernen til at tænke "åh, det er længe siden, der kom en 2'er"), men fordi det er det, der normalt sker med mange terningekast. En lille række af gentagne tal vil være næsten usynlige i et stort antal resultater.

Det er således ret nemt at beregne et tilfældigt kast med en terning, i det mindste for så vidt angår beregning af gennemsnitsværdien af kastet. Der er også måder at beregne "hvor tilfældigt" noget er, en måde at sige, at resultaterne af et 1d6+4 kast vil være "mere tilfældigt" end en 5d2, for en 5d2 vil fordelingen af de rullede resultater være mere ensartet, normalt beregner man standardafvigelsen for dette, og jo mere værdi, jo mere tilfældigt vil resultaterne være, men dette kræver flere beregninger, end jeg gerne vil give i dag (jeg vil forklare dette emne senere). Det eneste, jeg beder dig vide, er, at som en generel regel, jo færre terninger der kastes, jo mere tilfældigt. Og endnu en tilføjelse til dette emne: Jo flere sider terningen har, jo mere tilfældig, da du har flere muligheder.

Sådan beregnes sandsynlighed ved hjælp af tælling

Du har måske et spørgsmål: Hvordan kan vi beregne den nøjagtige sandsynlighed for, at et bestemt resultat kommer? Dette er faktisk ret vigtigt for mange spil, for hvis du kaster en terning, er der sandsynligvis et optimalt resultat i starten. Svaret er: vi skal beregne to værdier. Beregn først det maksimale antal udfald, når du kaster en terning (uanset hvad udfaldet bliver). Tæl derefter antallet af gunstige resultater. Ved at dividere den anden værdi med den første får du den ønskede sandsynlighed. For at få en procentdel skal du gange resultatet med 100.

Eksempler:

Her er et meget simpelt eksempel. Du vil slå en 4 eller højere og kaste en seks-sidet terning én gang. Det maksimale antal udfald er 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Af disse er 3 resultater (4, 5, 6) gunstige. Så for at beregne sandsynligheden dividerer vi 3 med 6 og får 0,5 eller 50%.

Her er et eksempel, der er lidt mere kompliceret. Du vil have et lige tal på et 2d6 kast. Det maksimale antal udfald er 36 (6 for hver terning, og da den ene terning ikke påvirker den anden, ganger vi 6 resultater med 6 og får 36). Vanskeligheden ved denne type spørgsmål er, at det er nemt at tælle to gange. For eksempel er der faktisk to mulige udfald af en 3'er på et 2d6 kast: 1+2 og 2+1. De ser ens ud, men forskellen er, hvilket tal der vises på den første terning, og hvad der er på den anden. Du kan også forestille dig, at terningerne har forskellige farver, så for eksempel i dette tilfælde er den ene terning rød og den anden er blå. Tæl derefter antallet af muligheder for at få et lige tal: 2 (1+1), 4 (1+3), 4 (2+2), 4 (3+1), 6 (1+5), 6 (2 +4), 6 (3+3), 6 (4+2), 6 (5+1), 8 (2+6), 8 (3+5), 8 (4+4), 8 (5+ 3), 8 (6+2), 10 (4+6), 10 (5+5), 10 (6+4), 12 (6+6). Det viser sig, at der er 18 muligheder for et gunstigt resultat ud af 36, ligesom i det foregående tilfælde vil sandsynligheden være 0,5 eller 50%. Måske uventet, men ret præcist.

Monte Carlo simulering

Hvad hvis du har for mange terninger til denne beregning? For eksempel vil du vide, hvad er sandsynligheden for at rulle i alt 15 eller mere på et kast med 8d6. Der er MANGE forskellige individuelle scores for otte terninger, og det ville tage meget lang tid at beregne dem i hånden. Selvom vi finder en god løsning til at gruppere forskellige serier af terningkast, vil det stadig tage meget lang tid at tælle. I dette tilfælde er den nemmeste måde at beregne sandsynligheden på ikke at beregne manuelt, men at bruge en computer. Der er to måder at beregne sandsynlighed på på en computer.

Den første måde kan få det nøjagtige svar, men det involverer lidt programmering eller scripting. I det væsentlige vil computeren gennemgå hver mulighed, evaluere og tælle det samlede antal iterationer og antallet af iterationer, der svarer til det ønskede resultat, og derefter give svar. Din kode kan se sådan ud:

int wincount=0, totalcount=0;

for (int i=1; i<=6; i++) {

for (int j=1; j<=6; j++) {

for (int k=1; k<=6; k++) {

… // indsæt flere løkker her

hvis (i+j+k+… >= 15) (

float sandsynlighed = vindantal/totaltal;

Hvis du ikke ved så meget om programmering og blot ønsker et unøjagtigt, men omtrentligt svar, kan du simulere denne situation i Excel, hvor du ruller 8d6 et par tusinde gange og får svaret. For at rulle 1d6 i Excel skal du bruge følgende formel:

GULV(RAND()*6)+1

Der er et navn for situationen, når du ikke kender svaret og bare prøver mange gange - Monte Carlo simulering, og det er en god løsning at falde tilbage på, når du forsøger at beregne en sandsynlighed, og det er for kompliceret. Det fantastiske er, at vi i dette tilfælde ikke behøver at forstå, hvordan matematikken fungerer, og vi ved, at svaret vil være "temmelig godt", fordi, som vi allerede ved, jo flere kast, jo mere nærmer resultatet sig gennemsnits værdi.

Hvordan man kombinerer uafhængige forsøg

Hvis du spørger om flere gentagne, men uafhængige forsøg, så påvirker resultatet af et kast ikke resultatet af andre kast. Der er en anden enklere forklaring på denne situation.

Hvordan skelner man mellem noget afhængigt og uafhængigt? I princippet, hvis du kan isolere hvert kast med en terning (eller serie af kast) som en separat begivenhed, så er den uafhængig. For eksempel, hvis vi vil kaste i alt 15 ved at kaste 8d6, kan dette tilfælde ikke opdeles i flere uafhængige terningkast. Da du beregner summen af værdierne af alle terningerne for resultatet, påvirker resultatet, der kastes på en terning, de resultater, der skal kastes på andre terninger, for kun ved at summere alle værdierne får du det ønskede resultat.

Her er et eksempel på uafhængige kast: du spiller et terningspil, og du kaster sekssidede terninger flere gange. For at blive i spillet, skal du slå en 2 eller højere på dit første kast. For det andet kast, 3 eller højere. Tredje kræver 4 eller mere, fjerde kræver 5 eller mere, femte kræver 6. Hvis alle fem kast er succesfulde, vinder du. I dette tilfælde er alle kast uafhængige. Ja, hvis et kast mislykkes, vil det påvirke resultatet af hele spillet, men et kast påvirker ikke et andet kast. For eksempel, hvis dit andet terningkast er meget vellykket, påvirker det ikke sandsynligheden for, at de næste kast vil være lige så succesfulde. Derfor kan vi overveje sandsynligheden for hvert terningkast separat.

Hvis du har separate, uafhængige sandsynligheder og vil vide, hvad er sandsynligheden for, at alle begivenheder vil komme, du bestemmer hver enkelt sandsynlighed og multiplicerer dem. En anden måde: hvis du bruger konjunktionen "og" til at beskrive flere forhold (f.eks. hvad er sandsynligheden for, at en tilfældig hændelse finder sted og en anden uafhængig tilfældig hændelse?), beregne de individuelle sandsynligheder og gange dem.

Det er lige meget, hvad du synes aldrig ikke summere de uafhængige sandsynligheder. Dette er en almindelig fejl. For at forstå, hvorfor dette er forkert, skal du forestille dig en situation, hvor du slår en mønt 50/50, og du vil vide, hvad der er sandsynligheden for at få hoveder to gange i træk. Hver side har 50 % chance for at komme op, så hvis du tilføjer de to sandsynligheder, får du 100 % chance for at komme op, men vi ved, at det ikke er sandt, fordi to på hinanden følgende haler kan komme op. Hvis du i stedet gange disse to sandsynligheder, får du 50% * 50% = 25%, hvilket er det rigtige svar til at beregne sandsynligheden for at få hoveder to gange i træk.

Eksempel

Lad os gå tilbage til det sekssidede terningspil, hvor du først skal kaste et tal højere end 2, derefter højere end 3, og så videre. op til 6. Hvad er chancerne for, at alle udfald i en given serie på 5 kast vil være gunstige?

Som nævnt ovenfor er disse uafhængige forsøg, så vi beregner sandsynligheden for hvert enkelt kast og gange dem derefter. Sandsynligheden for, at resultatet af det første kast bliver gunstigt er 5/6. Den anden - 4/6. Tredje - 3/6. Den fjerde - 2/6, den femte - 1/6. Multiplicerer vi alle disse resultater, får vi omkring 1,5 %... Så det er ret sjældent at vinde dette spil, så hvis du tilføjer dette element til dit spil, har du brug for en ret stor jackpot.

Negation

Her er et andet nyttigt tip: nogle gange er det svært at beregne sandsynligheden for, at en begivenhed vil indtræffe, men det er lettere at afgøre, hvad chancerne er for, at en begivenhed vil indtræffe. vil ikke komme.

Antag for eksempel, at vi har et andet spil, og du kaster 6d6, og hvis mindst en gang kaster 6, du vinder. Hvad er sandsynligheden for at vinde?

I dette tilfælde er der mange muligheder at overveje. Måske falder ét nummer 6 ud, dvs. en af terningerne kaster en 6'er, og de andre kaster 1 til 5, og der er 6 muligheder for, hvilken af terningerne der kaster 6'er. Så kan du kaste en 6'er på to terninger, eller tre, eller endnu flere, og hver gang skal vi lave en separat beregning, så det er nemt at blive forvirret.

Men der er en anden måde at løse dette problem på, lad os se på det fra den anden side. Du tabe hvis ingen tallet 6 falder ikke ud af terningen. I dette tilfælde har vi seks uafhængige forsøg, sandsynligheden for hver af dem er 5/6 (ethvert andet tal end 6 kan falde på terningen). Gang dem, og du får omkring 33%. Således er sandsynligheden for at tabe 1 til 3.

Derfor er sandsynligheden for at vinde 67% (eller 2 til 3).

Fra dette eksempel er det indlysende hvis du beregner sandsynligheden for, at en hændelse ikke indtræffer, skal du trække resultatet fra 100 %. Hvis sandsynligheden for at vinde er 67%, så er sandsynligheden tabe — 100% minus 67 % eller 33 %. Og omvendt. Hvis det er svært at beregne én sandsynlighed, men let at beregne det modsatte, så beregn det modsatte, og træk derefter fra 100%.

Tilslutningsbetingelser for én uafhængig test

Jeg sagde lidt tidligere, at man aldrig skulle summere sandsynligheder i uafhængige forsøg. Er der nogle tilfælde hvor kan summere sandsynligheder? Ja, i en bestemt situation.

Hvis du ønsker at beregne sandsynligheden for flere, ikke-relaterede, gunstige udfald i samme forsøg, skal du summere sandsynligheden for hvert gunstigt udfald. For eksempel er sandsynligheden for at kaste en 4, 5 eller 6 på 1d6 sum sandsynligheden for at slå en 4'er, sandsynligheden for at slå en 5'er og sandsynligheden for at slå en 6'er. Du kan også tænke på denne situation som følger: hvis du bruger konjunktionen "eller" i et spørgsmål om sandsynlighed (f.eks. hvad er sandsynligheden for eller forskelligt udfald af en tilfældig hændelse?), udregn de individuelle sandsynligheder og opsummer dem.

Bemærk, at når du summerer alle mulige resultater spil, skal summen af alle sandsynligheder være lig med 100%. Hvis summen ikke er lig med 100 %, er din udregning lavet forkert. Dette er en god måde at dobbelttjekke dine beregninger på. For eksempel analyserede du sandsynligheden for at få alle kombinationer i poker, hvis du lægger alle resultaterne sammen, skulle du få præcis 100% (eller i det mindste en værdi ret tæt på 100%, hvis du bruger en lommeregner, kan du have en lille afrundingsfejl , men hvis du lægger de nøjagtige tal sammen i hånden, skal alt lægges sammen). Hvis summen ikke konvergerer, har du højst sandsynligt ikke taget højde for nogle kombinationer, eller du har beregnet sandsynligheden for nogle kombinationer forkert, og så skal du dobbelttjekke dine beregninger.

Ulige sandsynligheder

Indtil nu har vi antaget, at hver side af terningerne falder ud med samme frekvens, fordi det er sådan, terningerne fungerer. Men nogle gange står du over for en situation, hvor forskellige udfald er mulige, og de forskellige falde chancer. For eksempel, i en af udvidelserne af kortspillet "Nuclear War" er der et spillefelt med en pil, der bestemmer resultatet af en missilaffyring: det giver grundlæggende normal skade, mere eller mindre skade, men nogle gange er skaden fordoblet eller tredoblet, eller raketten eksploderer på affyringsrampen og skader dig, eller der opstår en anden begivenhed. I modsætning til piletavlen i "Chutes & Ladders" eller "A Game of Life", er resultaterne af tavlen i "Nuclear War" ulige. Nogle sektioner af spillefeltet er større, og pilen stopper meget oftere på dem, mens andre sektioner er meget små, og pilen stopper sjældent på dem.

Så ved første øjekast ser knoglen sådan ud: 1, 1, 1, 2, 2, 3; vi har allerede talt om det, det er noget i retning af en vægtet 1d3, derfor skal vi opdele alle disse sektioner i lige store dele, finde den mindste måleenhed, som er et multiplum af den, og derefter repræsentere situationen i form af d522 (eller en anden ), hvor sættet af terningansigter vil vise den samme situation, men med et større antal udfald. Og dette er en måde at løse problemet på, og det er teknisk muligt, men der er en nemmere måde.

Lad os gå tilbage til vores standard sekssidede terninger. Vi sagde, at for at beregne gennemsnitsværdien af et kast for en normal terning, skal du summere værdierne på alle flader og dividere dem med antallet af flader, men hvordan Nemlig er udregningen i gang? Du kan udtrykke det anderledes. For en sekssidet terning er sandsynligheden for, at hvert ansigt kommer op præcis 1/6. Nu formerer vi os Exodus hver kant på sandsynlighed dette resultat (i dette tilfælde 1/6 for hver side), opsummer derefter de resulterende værdier. Så summering (1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6), vi får samme resultat (3,5) som i beregningen ovenfor. Faktisk beregner vi dette hver gang: vi multiplicerer hvert udfald med sandsynligheden for det resultat.

Kan vi lave den samme beregning for pilen på spillefeltet i spillet "Nuclear War"? Selvfølgelig kan vi det. Og hvis vi opsummerer alle de fundne resultater, får vi gennemsnitsværdien. Alt vi skal gøre er at beregne sandsynligheden for hvert udfald for pilen på spillefeltet og gange med resultatet.

Et andet eksempel

Denne metode til at beregne gennemsnittet, ved at gange hvert udfald med dets individuelle sandsynlighed, er også passende, hvis udfaldene er lige sandsynlige, men har forskellige fordele, såsom hvis du kaster en terning og vinder mere på nogle sider end andre. Lad os for eksempel tage et spil, der foregår i et kasino: du satser og kaster 2d6. Hvis tre tal med lav værdi (2, 3, 4) eller fire tal med høj værdi (9, 10, 11, 12) kommer op, vil du vinde et beløb svarende til din indsats. Tallene med den laveste og højeste værdi er specielle: hvis 2 eller 12 kast, vinder du dobbelt så meget end dit bud. Hvis et andet tal dukker op (5, 6, 7, 8), mister du din indsats. Dette er et ret simpelt spil. Men hvad er sandsynligheden for at vinde?

Lad os starte med at tælle, hvor mange gange du kan vinde:

Det maksimale antal udfald på et 2d6 kast er 36. Hvad er antallet af gunstige udfald?
Der er 1 mulighed, hvor to falder ud, og 1 mulighed, hvor tolv falder ud.
Der er 2 muligheder for at rulle tre og elleve.
Der er 3 muligheder for at rulle fire og 3 muligheder for at rulle ti.
Der er 4 muligheder for ni.
Når vi opsummerer alle mulighederne, får vi antallet af gunstige resultater 16 ud af 36.

Under normale forhold vil du således vinde 16 gange ud af 36 mulige...sandsynligheden for at vinde er lidt mindre end 50%.

Men i to tilfælde ud af de 16, vil du vinde dobbelt så meget, dvs. det er som at vinde to gange! Hvis du spiller dette spil 36 gange, satser $1 hver gang, og hvert af alle mulige udfald kommer op én gang, vil du vinde i alt $18 (du vinder faktisk 16 gange, men to af disse gange tæller som to sejre). Hvis du spiller 36 gange og vinder $18, betyder det så ikke, at det er en lige chance?

Du skal ikke skynde dig. Hvis du tæller antallet af gange, du kan tabe, får du 20, ikke 18. Hvis du spiller 36 gange og satser $1 hver gang, vinder du i alt $18 med alle odds rullet... men du vil tabe det samlede beløb på $20 for alle 20 dårlige resultater! Som et resultat vil du være lidt bagud: du taber i gennemsnit $2 netto for hver 36 spil (du kan også sige, at du i gennemsnit taber $1/18 om dagen). Nu ser du, hvor nemt det er at lave en fejl i dette tilfælde og beregne sandsynligheden forkert!

permutation

Hidtil har vi antaget, at rækkefølgen, som tallene kastes i, ikke har nogen betydning, når man kaster terningerne. Et 2+4 rulle er det samme som et 4+2 rulle. I de fleste tilfælde beregner vi manuelt antallet af gunstige resultater, men nogle gange er denne metode upraktisk, og det er bedre at bruge en matematisk formel.

Et eksempel på denne situation er fra terningespillet "Farkle". For hver ny runde kaster du 6d6. Hvis du er heldig, og alle mulige udfald af 1-2-3-4-5-6 (Straight) kommer op, får du en stor bonus. Hvad er sandsynligheden for, at dette vil ske? I dette tilfælde er der mange muligheder for tabet af denne kombination!

Løsningen er som følger: en af terningerne (og kun en) skal kaste tallet 1! Hvor mange måder kan man få tallet 1 på én terning? Seks, fordi der er 6 terninger, og enhver af dem kan lande tallet 1. Tag derfor en terning og læg den til side. Nu skulle tallet 2 falde på en af de resterende terninger. Der er fem muligheder for dette. Tag endnu en terning og sæt den til side. Så følger det, at fire af de resterende terninger kan kaste en 3'er, tre af de resterende terninger kan kaste en 4'er, to af de resterende terninger kan kaste en 5'er, og du ender med en terning, der skal kaste en 6'er (i sidstnævnte tilfældet er der kun én terning, og der er intet valg). For at tælle antallet af gunstige udfald for en lige kombination at komme op, multiplicerer vi alle de forskellige, uafhængige muligheder: 6x5x4x3x2x1 = 720 - det ser ud til, at der er ret mange muligheder for denne kombination.

For at beregne sandsynligheden for at få en straight, skal vi dividere 720 med antallet af alle mulige udfald for at kaste 6d6. Hvad er antallet af alle mulige udfald? Hver terning kan lande 6 flader, så vi ganger 6x6x6x6x6x6 = 46656 (meget højere tal!). Vi deler 720/46656 og vi får en sandsynlighed svarende til cirka 1,5%. Hvis du designede dette spil, ville det være nyttigt for dig at vide dette, så du kan oprette et passende scoringssystem. Nu forstår vi, hvorfor du i spillet "Farkle" får så stor en bonus, hvis du får en kombination af "straight", for denne situation er ret sjælden!

Resultatet er også interessant af en anden grund. Eksemplet viser, hvor sjældent et resultat svarende til sandsynligheden faktisk falder ud i løbet af en kort periode. Selvfølgelig, hvis vi kastede flere tusinde terninger, ville forskellige sider af terningerne komme op ret ofte. Men når vi kun kaster seks terninger, næsten aldrig det sker ikke, at hvert af ansigterne falder ud! Ud fra dette bliver det klart, at det er tåbeligt at forvente, at endnu et ansigt falder ud nu, som endnu ikke er faldet ud “fordi vi ikke har droppet tallet 6 i lang tid, hvilket betyder, at det falder ud nu. ”

Se, din tilfældige talgenerator er ødelagt...

Dette bringer os til en almindelig misforståelse om sandsynlighed: antagelsen om, at alle udfald kommer med samme frekvens. over en kort periode, hvilket faktisk ikke er tilfældet. Hvis vi kaster terningerne flere gange, vil frekvensen af hver af siderne ikke være den samme.

Hvis du nogensinde har arbejdet på et online spil med en form for tilfældig talgenerator før, er du højst sandsynligt stødt på en situation, hvor en spiller skriver til teknisk support for at sige, at din tilfældige talgenerator er ødelagt og ikke viser tilfældige tal, og han kom til denne konklusion, fordi han lige dræbte 4 monstre i træk og fik 4 nøjagtig de samme belønninger, og disse belønninger skulle kun falde 10% af tiden, så dette Næsten aldrig burde ikke finde sted, hvilket betyder det naturligvis at din tilfældige talgenerator er ødelagt.

Du laver matematik. 1/10*1/10*1/10*1/10 er lig med 1 ud af 10.000, hvilket betyder, at det er ret sjældent. Og det er, hvad spilleren forsøger at fortælle dig. Er der et problem i dette tilfælde?

Alt afhænger af omstændighederne. Hvor mange spillere er der på din server nu? Antag, at du har et ret populært spil, og 100.000 mennesker spiller det hver dag. Hvor mange spillere vil dræbe fire monstre i træk? Måske alt, flere gange om dagen, men lad os antage, at halvdelen af dem bare handler med forskellige genstande på auktioner eller chatter på RP-servere eller laver andre spilaktiviteter, så kun halvdelen af dem er faktisk på jagt efter monstre. Hvad er sandsynligheden for det nogen vil den samme belønning falde ud? I denne situation kan du forvente, at den samme belønning i hvert fald kan falde flere gange om dagen!

Det er i øvrigt derfor, det ser ud som om hvert par uger nogen vinder i lotteriet, selvom at nogen aldrig du eller dine venner kommer ikke. Hvis der spiller nok folk hver uge, er chancerne der i det mindste en heldig... men hvis du Hvis du spiller i lotto, er der mindre sandsynlighed for, at du vinder et job på Infinity Ward.

Kort og afhængighed

Vi har diskuteret uafhængige begivenheder, såsom at kaste en terning, og nu kender vi mange kraftfulde værktøjer til at analysere tilfældighed i mange spil. Sandsynlighedsberegningen er lidt mere kompliceret, når det kommer til at trække kort fra bunken, fordi hvert kort vi trækker påvirker de resterende kort i bunken. Hvis du har et standardspil med 52 kort, og du for eksempel trækker 10 hjerter, og du vil vide sandsynligheden for, at det næste kort er af samme farve, er sandsynligheden ændret, fordi du allerede har fjernet et hjertekort fra dækket. Hvert kort, du fjerner, ændrer sandsynligheden for det næste kort i bunken. Da den forrige hændelse i dette tilfælde påvirker den næste, kalder vi denne sandsynlighed afhængig.

Bemærk venligst, at når jeg siger "kort", mener jeg nogen spilmekanik, hvor der er et sæt genstande, og du fjerner en af genstandene uden at erstatte den, et "kortspil" i dette tilfælde er analogt med en pose chips, hvorfra du tager en chip ud og ikke erstatter den, eller en urne, hvorfra man tager farvede kugler ud (faktisk har jeg aldrig set et spil, hvor der var en urne med farvede kugler ud af den, men det lader til, at sandsynlighedslærere foretrækker dette eksempel af en eller anden grund).

Afhængighedsegenskaber

Jeg vil gerne præcisere, at når det kommer til kort, så går jeg ud fra, at man trækker kort, ser på dem og fjerner dem fra bunken. Hver af disse handlinger er en vigtig egenskab.

Hvis jeg havde et sæt med f.eks. seks kort nummereret 1 til 6, og jeg blandede dem og trak et kort og derefter blandede alle seks kort igen, ville det være det samme som at kaste en sekssidet terning; et resultat påvirker ikke det næste. Kun hvis jeg trækker kort og ikke erstatter dem, vil resultatet af at trække et kort med tallet 1 øge sandsynligheden for, at næste gang jeg trækker et kort med tallet 6 (sandsynligheden vil stige, indtil jeg til sidst trækker dette kort eller indtil Jeg blander kortene).

Det faktum, at vi vi ser på kort er også vigtigt. Hvis jeg tager et kort ud af bunken og ikke ser på det, har jeg ingen yderligere information, og sandsynligheden ændres faktisk ikke. Det lyder måske ulogisk. Hvordan kan blot vende et kort på magisk vis ændre oddsene? Men det er muligt, fordi du kun kan beregne sandsynligheden for ukendte genstande ud fra, at du du ved. For eksempel, hvis du blander et standardspil kort, afslører 51 kort, og ingen af dem er kløverdronning, vil du vide med 100 % sikkerhed, at det resterende kort er en kløverdronning. Hvis du blander et standard sæt kort og trækker 51 kort, på trods af på dem, så vil sandsynligheden for, at det resterende kort er dronningen af køller stadig være 1/52. Når du åbner hvert kort, får du flere oplysninger.

At beregne sandsynligheden for afhængige hændelser følger de samme principper som for uafhængige hændelser, bortset fra at det er lidt mere kompliceret, da sandsynligheden ændres, når du afslører kortene. Du skal altså gange mange forskellige værdier, i stedet for at gange den samme værdi. Faktisk betyder det, at vi er nødt til at kombinere alle de beregninger, vi lavede, i én kombination.

Eksempel

Du blander et standardspil med 52 kort og trækker to kort. Hvad er sandsynligheden for, at du tager et par ud? Der er flere måder at beregne denne sandsynlighed på, men den enkleste er måske: hvad er sandsynligheden for, at hvis du trækker et kort, vil du ikke være i stand til at trække et par? Denne sandsynlighed er nul, så det er lige meget, hvilket første kort du trækker, så længe det matcher det andet. Uanset hvilket kort vi trækker først, har vi stadig en chance for at trække et par, så sandsynligheden for at vi kan trække et par efter at have trukket det første kort er 100%.

Hvad er sandsynligheden for, at det andet kort passer til det første? Der er 51 kort tilbage i bunken, og 3 af dem matcher det første kort (faktisk ville det have været 4 ud af 52, men du fjernede allerede et af de matchende kort, da du trak det første kort!), så sandsynligheden er 1 /17. (Så næste gang fyren på tværs af bordet, der spiller Texas Hold'em, siger: "Fedt, endnu et par? Jeg er heldig i dag," vil du vide, at der er en ret stor chance for, at han bluffer.)

Hvad hvis vi tilføjer to jokere, og nu har vi 54 kort i bunken, og vi vil vide, hvad er sandsynligheden for at trække et par? Det første kort kan være Jokeren, og så vil bunken kun indeholde en kort, ikke tre, som vil matche. Hvordan finder man sandsynligheden i dette tilfælde? Vi dividerer sandsynligheden og multiplicerer hver mulighed.

Vores første kort kunne være en joker eller et andet kort. Sandsynligheden for at trække en joker er 2/54, sandsynligheden for at trække et andet kort er 52/54.

Hvis det første kort er en joker (2/54), så er sandsynligheden for, at det andet kort matcher det første, 1/53. At multiplicere værdierne (vi kan gange dem, fordi de er separate begivenheder, og det vil vi gerne begge hændelser skete), og vi får 1/1431 - mindre end en tiendedel af en procent.

Hvis du trækker et andet kort først (52/54), er sandsynligheden for at matche det andet kort 3/53. Vi multiplicerer værdierne og får 78/1431 (lidt mere end 5,5%).

Hvad gør vi med disse to resultater? De krydser hinanden ikke, og vi vil gerne vide sandsynligheden alle sammen af dem, så vi opsummerer værdierne! Vi får det endelige resultat 79/1431 (stadig ca. 5,5%).

Hvis vi ville være sikre på nøjagtigheden af svaret, kunne vi beregne sandsynligheden for alle andre mulige udfald: at trække en joker og ikke matche det andet kort, eller trække et andet kort og ikke matche det andet kort, og summere dem alle med sandsynlighed for at vinde, ville vi modtage præcis 100%. Jeg vil ikke give matematikken her, men du kan prøve matematikken for at dobbelttjekke.

Monty Hall-paradokset

Dette bringer os til et ret berømt paradoks, som ofte forvirrer mange, Monty Hall-paradokset. Paradokset er opkaldt efter Monty Hall, værten for tv-showet Let's Make a Deal. Hvis du aldrig har set dette program, var det det modsatte af tv-programmet "The Price Is Right". På "The Price Is Right" er værten (tidligere Bob Barker, nu er det ... Drew Carey? Anyway...) din ven. Han har lyst for at du kan vinde penge eller fede præmier. Den forsøger at give dig alle muligheder for at vinde, så længe du kan gætte, hvor meget de sponsorerede varer faktisk er værd.

Monty Hall opførte sig anderledes. Han var som Bob Barkers onde tvilling. Hans mål var at få dig til at ligne en idiot på nationalt tv. Hvis du var med i showet, var han din modstander, du spillede mod ham, og oddsene var i hans favør. Måske er jeg hård, men når chancen for at blive valgt som modstander ser ud til at være direkte proportional med, om du har et latterligt kostume på eller ej, kommer jeg til lignende konklusioner.

Men et af showets mest berømte memes var dette: Der var tre døre foran dig, og de hed dør nummer 1, dør nummer 2 og dør nummer 3. Du kunne vælge en hvilken som helst dør... gratis! Bag en af disse døre var der en storslået præmie, for eksempel en ny bil. Der var ingen præmier bag de andre døre, disse to døre var uden værdi. Deres mål var at ydmyge dig, så det er ikke sådan, at der overhovedet ikke var noget bag dem, der var noget bag dem, der så dumt ud, som en ged bag dem eller en kæmpe tube tandpasta, eller noget... noget, hvad var ikke ny bil.

Du valgte en af dørene, og Monty var ved at åbne den for at fortælle dig, om du vandt eller ej... men vent, før vi ved det lad os se på en af dem de der døren dig ikke valgt. Da Monty ved hvilken dør præmien er bagved, og der kun er én præmie og to døre, som du ikke har valgt, uanset hvad, kan han altid åbne en dør, der ikke har en præmie bag sig. “Vælger du dør nummer 3? Så lad os åbne dør 1 for at vise, at der ikke var nogen præmie bag den." Og nu, af generøsitet, tilbyder han dig chancen for at bytte din valgte dør #3 med det, der ligger bag dør #2. Det er her spørgsmålet om sandsynlighed kommer ind i billedet: øger eller mindsker du din chance for at kunne vælge en anden dør at vinde, eller forbliver det det samme? Hvad synes du?

Korrekt svar: muligheden for at vælge en anden dør stiger sandsynlighed for at vinde fra 1/3 til 2/3. Dette er ulogisk. Hvis du ikke har stødt på dette paradoks før, er der stor sandsynlighed for, at du tænker: vent, åbne en dør, vi ændrede på magisk vis sandsynligheden? Men som vi så i korteksemplet ovenfor, er dette Nemlig hvad sker der, når vi får mere information. Det er indlysende, at sandsynligheden for at vinde første gang, du vælger, er 1/3, og det er alle nok enige om. Når én dør åbner, ændrer det slet ikke på sandsynligheden for at vinde til førstevalget, sandsynligheden er stadig 1/3, men det betyder, at sandsynligheden for at en anden døren korrekt er nu 2/3.

Lad os se på dette eksempel fra den anden side. Du vælger en dør. Sandsynligheden for at vinde er 1/3. Jeg foreslår, at du skifter to andre døre, hvilket er, hvad Monty Hall faktisk foreslår at gøre. Selvfølgelig åbner han en af dørene for at vise, at der ikke ligger nogen præmie bag, men han altid kan gøre det, så det ændrer ikke rigtig noget. Selvfølgelig vil du gerne vælge en anden dør!

Hvis du ikke helt forstår dette problem og har brug for en mere overbevisende forklaring, så klik på dette link for at gå til en fantastisk lille Flash-applikation, der giver dig mulighed for at udforske dette paradoks mere detaljeret. Du kan starte med omkring 10 døre og derefter gradvist rykke op til et spil med tre døre; der er også en simulator, hvor du kan vælge et hvilket som helst antal døre fra 3 til 50 og spille eller køre flere tusinde simuleringer og se, hvor mange gange du ville vinde, hvis du spillede.

En bemærkning fra en lærer i højere matematik og en specialist i spilbalance Maxim Soldatov, som Schreiber selvfølgelig ikke havde, men uden hvilken det er ret svært at forstå denne magiske transformation:

Vælg en dør, en af tre, sandsynligheden for at "vinde" 1/3. Nu har du 2 strategier: skift valget efter at have åbnet den forkerte dør eller ej. Hvis du ikke ændrer dit valg, så forbliver sandsynligheden 1/3, da valget kun er i første fase, og du skal straks gætte, men hvis du ændrer, så kan du vinde, hvis du vælger den forkerte dør først ( så åbner de en anden forkert, vil forblive sand, du ændrer beslutningen bare tag den)
Sandsynligheden for at vælge den forkerte dør i starten er 2/3, så det viser sig, at ved at ændre din beslutning gør du sandsynligheden for at vinde 2 gange mere

Gensyn med Monty Hall Paradox

Med hensyn til selve showet vidste Monty Hall dette, for selvom hans modstandere ikke var gode til matematik, han forstår hende godt. Her er hvad han gjorde for at ændre spillet lidt. Hvis du vælger den dør, som præmien var bagved, hvis sandsynlighed er 1/3, er den altid tilbød dig muligheden for at vælge en anden dør. Fordi du valgte en bil, og så ændrer du den til en ged, og du ser ret dum ud, hvilket er præcis, hvad han har brug for, for han er en slags ond fyr. Men hvis du vælger døren bag hvilken der vil ikke være nogen præmie, kun halvt i sådanne tilfælde vil han bede dig om at vælge en anden dør, og i andre tilfælde vil han blot vise dig din nye ged, og du vil forlade stedet. Lad os analysere dette nye spil, hvor Monty Hall kan Vælg tilbyde dig en chance for at vælge en anden dør eller ej.

Antag, at han følger denne algoritme: Hvis du vælger en dør med en præmie, giver han dig altid muligheden for at vælge en anden dør, ellers er sandsynligheden for, at han vil tilbyde dig en anden dør eller give dig en ged, 50/50. Hvad er sandsynligheden for at du vinder?

I en af de tre muligheder vælger du med det samme den låge, som præmien er placeret bag, og værten inviterer dig til at vælge en anden dør.

Af de resterende to muligheder ud af tre (du vælger i første omgang en dør uden præmie), vil værten halvdelen af tiden bede dig om at vælge en anden dør, og den anden halvdel af tiden vil den ikke. Halvdelen af 2/3 er 1/3, dvs. i et tilfælde ud af tre vil du få en ged, i et tilfælde ud af tre vil du vælge den forkerte dør, og værten vil bede dig om at vælge en anden, og i et tilfælde ud af tre vil du vælge den rigtige dør og han vil bede dig om at vælge en anden dør.

Hvis værten foreslår at vælge en anden dør, ved vi allerede, at et af de tre tilfælde, hvor han giver os en ged, og vi går, ikke skete. Dette er nyttig information, fordi det betyder, at vores chancer for at vinde har ændret sig. To ud af tre gange har vi et valg, i det ene tilfælde betyder det, at vi gættede rigtigt, og i det andet tilfælde betyder det, at vi gættede forkert, så hvis vi overhovedet blev tilbudt et valg, betyder det, at sandsynligheden for at vi vinder er 50 /50, og der er ingen matematisk fordele, bliv ved dit valg eller vælg en anden dør.

Ligesom poker er det nu et psykologisk spil, ikke et matematisk spil. Monty tilbød dig et valg, fordi han tror, du er en simpel mand, der ikke ved, at det at vælge en anden dør er den "rigtige" beslutning, og at du stædigt vil holde fast i dit valg, fordi psykologisk set er situationen, når du vælger en bil, og så mistede den, sværere? Eller tror han, at du er klog og vælger en anden dør, og han giver dig den chance, fordi han ved, at du gættede rigtigt første gang, og at du bliver fanget og fanget? Eller måske er han ukarakteristisk venlig mod sig selv og presser dig til at gøre noget i din personlige interesse, fordi han ikke har doneret en bil i lang tid, og hans producere fortæller ham, at publikum er ved at kede sig, og det ville være bedre, hvis han gav en stor præmie snart, så vurderingerne ikke falder?

Således formår Monty at tilbyde et valg (nogle gange), og den samlede sandsynlighed for at vinde forbliver 1/3. Husk at sandsynligheden for at du taber med det samme er 1/3. Der er en 1/3 chance for, at du vil gætte med det samme, og 50% af disse gange vinder du (1/3 x 1/2 = 1/6). Sandsynligheden for, at du først gætter forkert, men derefter har en chance for at vælge en anden dør, er 1/3, og i 50 % af disse tilfælde vinder du (også 1/6). Læg to uafhængige vindermuligheder sammen, og du får en sandsynlighed på 1/3, så uanset om du bliver ved dit valg eller vælger en anden dør, er den samlede sandsynlighed for din gevinst gennem hele spillet 1/3... sandsynligheden bliver ikke større end i en situation, hvor du ville have gættet døren, og værten ville have vist dig, hvad der er bag denne dør, uden mulighed for at vælge en anden dør! Så pointen med at tilbyde muligheden for at vælge en anden dør er ikke at ændre sandsynligheden, men at gøre beslutningsprocessen sjovere at se på tv.

Det er i øvrigt en af grundene til, at poker kan være så interessant: I de fleste formater mellem runder, når der foretages væddemål (f.eks. floppet, turn og river i Texas Hold'em), afsløres kortene gradvist , og hvis du i begyndelsen af spillet har en sandsynlighed for at vinde, så ændres denne sandsynlighed efter hver indsatsrunde, når flere kort er åbne.

Dreng og pige paradoks

Dette bringer os til et andet velkendt paradoks, der har en tendens til at undre alle, drenge-pige-paradokset. Det eneste, jeg skriver om i dag, som ikke er direkte relateret til spil (selvom jeg gætter på, at det bare betyder, at jeg skal presse dig til at skabe den passende spilmekanik). Dette er mere et puslespil, men interessant, og for at løse det skal du forstå den betingede sandsynlighed, som vi talte om ovenfor.

Opgave: Jeg har en ven med to børn, mindst en barnet er en pige. Hvad er sandsynligheden for, at det andet barn også pige? Lad os antage, at i enhver familie er chancen for at få en pige eller en dreng 50/50, og det gælder for hvert barn (faktisk har nogle mænd mere sæd i sæden med et X-kromosom eller et Y-kromosom, så sandsynligheden er ændres lidt, hvis du ved, at et barn er en pige, er sandsynligheden for at få en pige lidt højere, derudover er der andre forhold, for eksempel hermafroditisme, men for at løse dette problem vil vi ikke tage højde for dette og antage, at fødslen af et barn er en uafhængig begivenhed, og sandsynligheden for at få en dreng eller piger er den samme).

Da vi taler om en 1/2 chance, forventer vi intuitivt, at svaret sandsynligvis er 1/2 eller 1/4, eller et andet rundt tal, der er et multiplum af 2. Men svaret er: 1/3 . Vent hvorfor?

Vanskeligheden i dette tilfælde er, at de oplysninger, vi har, reducerer antallet af muligheder. Antag, at forældre er Sesame Street-fans og, uanset om barnet er født som en dreng eller en pige, navngivet deres børn A og B. Under normale omstændigheder er der fire lige sandsynlige muligheder: A og B er to drenge, A og B er to piger, A er en dreng, og B er en pige, A er en pige, og B er en dreng. Siden vi ved det mindst en barnet er en pige, kan vi udelukke muligheden for, at A og B er to drenge, hvilket efterlader os med tre (stadig lige sandsynlige) muligheder. Hvis alle muligheder er lige sandsynlige, og der er tre af dem, ved vi, at sandsynligheden for hver af dem er 1/3. Kun i en af disse tre muligheder er begge børn to piger, så svaret er 1/3.

Og igen om paradokset med en dreng og en pige

Løsningen på problemet bliver endnu mere ulogisk. Forestil dig, at jeg fortæller dig, at min ven har to børn og et barn - pige født i tirsdags. Antag, at under normale forhold er sandsynligheden for at få et barn på en af ugens syv dage den samme. Hvad er sandsynligheden for, at det andet barn også er en pige? Du tror måske, at svaret stadig ville være 1/3; Hvad er betydningen af tirsdag? Men i dette tilfælde svigter intuitionen os. Svar: 13/27 hvilket ikke bare ikke er intuitivt, det er meget mærkeligt. Hvad er der galt I dette tilfælde?

Faktisk ændrer tirsdag sandsynligheden, fordi vi ikke ved det hvilken baby blev født tirsdag eller evt to børn blev født på en tirsdag. I dette tilfælde bruger vi samme logik som ovenfor, vi tæller alle mulige kombinationer, når mindst et barn er en pige, der blev født i tirsdags. Som i det foregående eksempel, antag, at børnene hedder A og B, er kombinationerne som følger:

A er en pige, der blev født om tirsdagen, B er en dreng (i denne situation er der 7 muligheder, en for hver dag i ugen, hvor en dreng kunne blive født).
B er en pige, der blev født i tirsdags, A er en dreng (også 7 muligheder).
A er en pige, der er født tirsdag, B er en pige, der er født den en anden ugedag (6 muligheder).
B er en pige, der er født tirsdag, A er en pige, der ikke er født tirsdag (også 6 sandsynligheder).
A og B er to piger, der blev født i tirsdags (1 mulighed, du skal være opmærksom på dette for ikke at tælle to gange).

Vi opsummerer og får 27 forskellige lige mulige kombinationer af fødslen af børn og dage med mindst én mulighed for, at en pige bliver født på tirsdag. Heraf er 13 muligheder, når to piger bliver født. Det ser også fuldstændig ulogisk ud, og det ser ud til, at denne opgave kun blev skabt for at forårsage hovedpine. Hvis du stadig undrer dig over dette eksempel, har spilteoretiker Jesper Juhl en god forklaring på sagen på sin hjemmeside.

Hvis du i øjeblikket arbejder på et spil...

Hvis der er tilfældighed i det spil, du designer, er dette en fantastisk mulighed for at analysere det. Vælg ethvert element, du vil analysere. Spørg først dig selv, hvad er sandsynligheden for dette element i henhold til dine forventninger, hvad det efter din mening bør være i forbindelse med spillet. For eksempel, hvis du laver et RPG, og du tænker på, hvor sandsynligt det burde være for en spiller at være i stand til at besejre et monster i kamp, så spørg dig selv, hvor stor en procentdel af sejrene, der føles rigtigt for dig. Normalt når spillere spiller konsol-RPG'er, bliver spillere meget frustrerede, når de taber, så det er bedre, at de ikke taber ofte... måske 10% af tiden eller mindre? Hvis du er en RPG-designer, ved du sikkert bedre end jeg gør, men du skal have en grundlæggende idé om, hvad sandsynligheden bør være.

Spørg så dig selv, om det er noget afhængig(som kort) eller uafhængig(som terninger). Diskuter alle mulige udfald og deres sandsynligheder. Sørg for, at summen af alle sandsynligheder er 100%. Til sidst skal du selvfølgelig sammenligne dine resultater med dine forventninger. Om terningerne kastes eller kortene trækkes som du havde tænkt dig, eller du ser at du skal justere værdierne. Og selvfølgelig hvis du finde hvad der skal justeres, kan du bruge de samme beregninger til at bestemme, hvor meget du skal justere noget!

Lektier

Dine "hjemmeopgaver" i denne uge vil hjælpe dig med at finpudse dine sandsynlighedsfærdigheder. Her er to terningespil og et kortspil, som du vil analysere ved hjælp af sandsynlighed, samt en mærkelig spilmekaniker, som jeg engang har udviklet, som du vil teste Monte Carlo-metoden på.

Spil #1 - Dragon Bones

Dette er et terningespil, som mine kolleger og jeg engang fandt på (takket være Jeb Havens og Jesse King!), og som bevidst blæser folk i sindet med dets sandsynligheder. Dette er et simpelt casinospil kaldet "Dragon Bones", og det er en gambling terningkonkurrence mellem spilleren og etablissementet. Du får en almindelig 1d6 terning. Målet med spillet er at rulle et tal højere end husets. Tom får en ikke-standard 1d6 - den samme som din, men i stedet for en på den ene side - billedet af en Dragon (casinoet har således en Dragon-2-3-4-5-6 terning). Hvis institutionen får en Drage, vinder den automatisk, og du taber. Hvis I begge får det samme nummer, er det uafgjort, og du kaster terningerne igen. Den, der kaster det højeste tal, vinder.

Alt går selvfølgelig ikke helt ud til spillerens fordel, for casinoet har en fordel i form af Dragon-ansigtet. Men er det virkelig sådan? Du skal regne det ud. Men før det, tjek din intuition. Lad os sige, at gevinsten er 2 til 1. Så hvis du vinder, beholder du din indsats og får det dobbelte beløb. For eksempel, hvis du satser $1 og vinder, beholder du den dollar og får $2 mere oveni, for i alt $3. Hvis du taber, taber du kun din indsats. Ville du spille? Så føler du intuitivt, at sandsynligheden er større end 2 til 1, eller tror du stadig, at den er mindre? Med andre ord, i gennemsnit over 3 spil, forventer du at vinde mere end én gang, mindre eller én gang?

Når du har håndteret din intuition, skal du anvende matematikken. Der er kun 36 mulige positioner for begge terninger, så du nemt kan tælle dem alle. Hvis du er usikker på dette 2-til-1 tilbud, så overvej dette: Lad os sige, at du spillede spillet 36 gange (ved at satse $1 hver gang). For hver sejr får du $2, for hvert tab taber du $1, og uafgjort ændrer ikke noget. Tæl alle dine sandsynlige sejre og tab og afgør, om du vil tabe nogle dollars eller vinde. Spørg så dig selv, hvor rigtig din intuition viste sig at være. Og så - indse, hvilken skurk jeg er.

Og ja, hvis du allerede har tænkt over dette spørgsmål - jeg forvirrer dig bevidst ved at forvrænge terningespils virkelige mekanik, men jeg er sikker på, at du kan overvinde denne forhindring med blot en god tanke. Prøv selv at løse dette problem. Jeg vil poste alle svar her i næste uge.

Spil #2 - Roll of Luck

Dette er et terningspil kaldet Lucky Roll (også Birdcage, fordi nogle gange bliver terningerne ikke kastet, men placeret i et stort trådbur, der minder om bingoburet). Det er et simpelt spil, der lyder sådan her: Sats f.eks. $1 på et tal mellem 1 og 6. Så kaster du 3d6. For hver terning, der rammer dit nummer, får du $1 (og beholder din oprindelige indsats). Hvis dit nummer ikke lander på nogen af terningerne, får kasinoet din dollar, og du får intet. Så hvis du satser på 1, og du får 1 på ansigtet tre gange, får du $3.

Intuitivt ser det ud til, at chancerne i dette spil er lige. Hver terning er en individuel, 1 til 6 chance for at vinde, så summen af alle tre er 3 til 6. Husk dog selvfølgelig, at du tilføjer tre separate terninger, og du må kun tilføje, hvis vi vi er taler om separate vinderkombinationer af de samme terninger. Noget du bliver nødt til at formere.

Når du først har beregnet alle de mulige udfald (det er nok nemmere at gøre dette i Excel end i hånden, da der er 216 af dem), ser spillet stadig ulige ud ved første øjekast. Men i virkeligheden er der stadig større sandsynlighed for, at casinoet vinder – hvor meget mere? Især, hvor mange penge forventer du at tabe i gennemsnit per spillerunde? Alt du skal gøre er at lægge gevinster og tab for alle 216 resultater sammen og derefter dividere med 216, hvilket burde være ret nemt... Men som du kan se, er der et par fælder, du kan falde i, og det er derfor, jeg fortæller dig : Hvis du mener, at dette spil har en lige chance for at vinde, har du misforstået det hele.

Spil #3 - 5 Card Stud

Hvis du allerede har varmet op på tidligere spil, så lad os tjekke, hvad vi ved om betinget sandsynlighed ved at bruge dette kortspil som eksempel. Lad os især forestille os poker med et spil med 52 kort. Lad os også forestille os 5 card stud, hvor hver spiller kun får 5 kort. Du kan ikke kassere et kort, du kan ikke trække et nyt, intet fælles kortspil - du får kun 5 kort.

En royal flush er 10-J-Q-K-A i én kombination, i alt fire, så der er fire mulige måder at få en royal flush på. Beregn sandsynligheden for, at du får en af disse kombinationer.

Jeg har én ting at advare dig om: husk, at du kan trække disse fem kort i vilkårlig rækkefølge. Det vil sige, at du først kan trække et es eller en ti, det er lige meget. Så når du beregner dette, skal du huske på, at der faktisk er mere end fire måder at få en royal flush på, forudsat at kortene blev givet i rækkefølge!

Spil #4 - IMF-lotteri

Den fjerde opgave vil ikke være så let at løse ved hjælp af de metoder, vi talte om i dag, men du kan nemt simulere situationen ved hjælp af programmering eller Excel. Det er på eksemplet med dette problem, at du kan udarbejde Monte Carlo-metoden.

Jeg nævnte tidligere spillet "Chron X", som jeg engang arbejdede på, og der var et meget interessant kort - IMF-lotteriet. Sådan fungerede det: du brugte det i et spil. Efter runden sluttede, blev kortene omfordelt, og der var en 10% chance for, at kortet ville være ude af spil, og at en tilfældig spiller ville modtage 5 af hver type ressource, der havde et token på det kort. Et kort blev sat i spil uden et eneste token, men hver gang det forblev i spil i begyndelsen af næste runde, modtog det et token. Så der var 10 % chance for, at du ville sætte det i spil, runden ville slutte, kortet ville forlade spillet, og ingen ville få noget. Hvis det ikke gør det (med 90 % chance), er der 10 % chance (faktisk 9 %, da det er 10 % af 90 %) for, at hun forlader spillet i næste runde, og nogen vil få 5 ressourcer. Hvis kortet forlader spillet efter en runde (10 % af de 81 %, der er til rådighed, altså 8,1 % chance), vil nogen få 10 enheder, en anden runde - 15, en anden 20, og så videre. Spørgsmål: hvad er den forventede værdi af antallet af ressourcer, som du vil modtage fra dette kort, når det endelig forlader spillet?

Normalt ville vi forsøge at løse dette problem ved at finde muligheden for hvert udfald og gange med antallet af alle udfald. Så der er 10 % chance for, at du får 0 (0,1*0 = 0). 9%, at du får 5 ressourcer (9%*5 = 0,45 ressourcer). 8,1 % af det, du får, er 10 (8,1 %*10 = 0,81 samlede ressourcer, forventet værdi). Etc. Og så ville vi opsummere det hele.

Og nu er problemet åbenlyst for dig: Der er altid en chance for, at kortet ikke forlader spillet, så hun kan blive i spillet for evigt, for et uendeligt antal runder, således at mulighederne for at regne enhver mulighed eksisterer ikke. De metoder, vi har lært i dag, tillader os ikke at beregne den uendelige rekursion, så vi bliver nødt til at skabe den kunstigt.

Hvis du er god nok til at programmere, så skriv et program, der vil simulere dette kort. Du bør have en tidsløkke, der bringer variablen til den oprindelige position på nul, viser et tilfældigt tal, og med 10 % chance for at variablen forlader løkken. Ellers tilføjer den 5 til variablen, og løkken gentages. Når den endelig forlader sløjfen, øges det samlede antal testkørsler med 1 og det samlede antal ressourcer (med hvor meget afhænger af, hvor variablen stoppede). Nulstil derefter variablen og start forfra. Kør programmet flere tusinde gange. Til sidst skal du dividere de samlede ressourcer med det samlede antal kørsler, og dette er din forventede Monte Carlo-værdi. Kør programmet et par gange for at sikre dig, at de tal, du får, er nogenlunde de samme; hvis spredningen stadig er stor, skal du øge antallet af gentagelser i den ydre løkke, indtil du begynder at få matcher. Du kan være sikker på, at de tal, du ender med, vil være nogenlunde korrekte.

Hvis du er ny til programmering (eller endda hvis du er det), er her en lille øvelse til at opvarme dine Excel-færdigheder. Hvis du er spildesigner, er Excel-færdigheder aldrig overflødige.

Nu vil IF- og RAND-funktionerne være meget nyttige for dig. RAND kræver ikke værdier, det producerer bare et tilfældigt decimaltal mellem 0 og 1. Vi kombinerer det normalt med FLOOR og plusser og minusser for at simulere et terningkast, som jeg nævnte tidligere. Men i dette tilfælde efterlader vi kun en 10% chance for, at kortet forlader spillet, så vi kan bare tjekke om RAND-værdien er mindre end 0,1 og ikke bekymre os om det længere.

HVIS har tre betydninger. I rækkefølge, den betingelse, der enten er sand eller ej, derefter den værdi, der returneres, hvis betingelsen er sand, og den værdi, der returneres, hvis betingelsen er falsk. Så følgende funktion vil returnere 5% af tiden, og 0 de andre 90% af tiden:
=HVIS(RAND()<0.1,5,0)

Der er mange måder at indstille denne kommando på, men jeg ville bruge denne formel til cellen, der repræsenterer den første runde, lad os sige, at det er celle A1:

HVIS(RAND()<0.1,0,-1)

Her bruger jeg en negativ variabel, der betyder "dette kort har ikke forladt spillet og har ikke givet nogen ressourcer endnu". Så hvis første runde er slut, og kortet er ude af spil, er A1 0; ellers er det -1.

For den næste celle, der repræsenterer anden runde:

HVIS(A1>-1, A1, HVIS(RAND()<0.1,5,-1))

Så hvis den første runde sluttede, og kortet forlod spillet med det samme, er A1 0 (antal ressourcer), og denne celle kopierer simpelthen denne værdi. Ellers er A1 -1 (kortet har ikke forladt spillet endnu), og denne celle fortsætter tilfældig bevægelse: 10% af tiden vil den returnere 5 enheder ressourcer, resten af tiden vil dens værdi stadig være -1 . Hvis vi anvender denne formel på yderligere celler, får vi yderligere runder, og uanset hvilken celle du ender med, får du det endelige resultat (eller -1, hvis kortet ikke har forladt spillet efter alle de runder, du har spillet).

Tag denne række af celler, som er den eneste runde med dette kort, og kopier og indsæt et par hundrede (eller tusinder) rækker. Det kan vi måske ikke endeløs test for Excel (der er et begrænset antal celler i tabellen), men vi kan i det mindste dække de fleste tilfælde. Vælg derefter en celle, hvor du vil sætte gennemsnittet af resultaterne af alle runder (Excel giver venligst AVERAGE()-funktionen til dette).

På Windows kan du i det mindste trykke på F9 for at genberegne alle tilfældige tal. Som før, gør dette et par gange og se, om de værdier, du får, er de samme. Hvis spredningen er for stor, fordoble antallet af kørsler og prøv igen.

Uløste problemer

Hvis du tilfældigvis har en grad i sandsynlighed, og ovenstående problemer virker for nemme for dig, er her to problemer, som jeg har kløet mig i hovedet over i årevis, men desværre er jeg ikke god til matematik til at løse dem. Hvis du pludselig kender løsningen, så skriv den gerne her i kommentarerne, jeg vil læse den med fornøjelse.

Uløst problem #1: LotteriIMF

Det første uløste problem er den tidligere hjemmeopgave. Jeg kan nemt bruge Monte Carlo-metoden (ved at bruge C++ eller Excel) og være sikker på svaret på spørgsmålet "hvor mange ressourcer spilleren vil modtage", men jeg ved ikke præcis, hvordan jeg skal give et nøjagtigt bevisbart svar matematisk (dette er en uendelig række). Hvis du kender svaret, så post det her... når du Monte Carlo har tjekket det, selvfølgelig.

Uløst problem #2: Shape Sequences

Denne opgave (og igen går den langt ud over opgaverne løst i denne blog) blev kastet til mig af en kendt gamer for mere end 10 år siden. Han lagde mærke til en interessant egenskab, mens han spillede blackjack i Vegas: Da han tog kort fra en 8-dæks sko, så han ti figurer i træk (en figur eller figurkort - 10, Joker, Konge eller Dronning, så der er 16 af dem i et standardspil med 52 kort, så der er 128 af dem i en sko med 416 kort). Hvad er sandsynligheden for, at i denne sko i det mindste en sekvens af ti eller mere tal? Lad os antage, at de blev blandet ærligt, i tilfældig rækkefølge. (Eller, hvis du foretrækker det, hvad er sandsynligheden for, at ikke fundet nogen steder en sekvens på ti eller flere figurer?)

Vi kan forenkle opgaven. Her er en sekvens på 416 dele. Hver del er 0 eller 1. Der er 128 enere og 288 nuller tilfældigt spredt ud over sekvensen. Hvor mange måder er der til tilfældigt at sammenflette 128 1'ere med 288 0'ere, og hvor mange gange vil der være mindst én gruppe på ti eller flere 1'ere på disse måder?

Hver gang jeg påtog mig denne opgave, virkede det let og indlysende for mig, men så snart jeg dykkede ned i detaljerne, faldt det pludselig fra hinanden og virkede simpelthen umuligt for mig. Så skynd dig ikke at uddybe svaret: sæt dig ned, tænk dig grundigt om, undersøg betingelserne for problemet, prøv at tilslutte reelle tal, for alle de mennesker, jeg talte med om dette problem (inklusive flere kandidatstuderende, der arbejder inden for dette felt) reagerede stort set på samme måde: "Det er ret indlysende... åh nej, vent, slet ikke indlysende." Det er netop dette tilfælde, hvor jeg ikke har en metode til at beregne alle mulighederne. Jeg kunne helt sikkert brute force problemet gennem en computeralgoritme, men det ville være meget mere interessant at kende den matematiske måde at løse dette problem på.

Oversættelse - Y. Tkachenko, I. Mikheeva

Terninger er blevet brugt af mennesker i tusinder af år.

I det 21. århundrede giver nye teknologier dig mulighed for at slå terningen på et hvilket som helst passende tidspunkt, og hvis du har internetadgang, på et bekvemt sted. Terningerne er altid med dig derhjemme eller på farten.

Terninggeneratoren giver dig mulighed for at kaste online fra 1 til 4 terninger.

Slå terningen online ærligt

Ved brug af rigtige terninger kan man bruge håndled eller specialfremstillede terninger med fordel til en af siderne. For eksempel kan du dreje terningen langs en af akserne, og så ændres sandsynlighedsfordelingen. Et træk ved vores virtuelle terninger er brugen af en software-generator for pseudo-tilfældige tal. Dette giver dig mulighed for at give en virkelig tilfældig variant af dette eller hint resultat.

Og hvis du bogmærker denne side, så vil dine online-terninger ikke gå tabt nogen steder og vil altid være ved hånden på det rigtige tidspunkt!

Nogle mennesker har tilpasset sig til at bruge online-terninger til at spå eller lave prognoser og horoskoper.

Glad stemning, god dag og held og lykke!