Modulnummer selve dette nummer kaldes, hvis det ikke er negativt, eller det samme nummer med det modsatte tegn, hvis det er negativt.

For eksempel er modulet på 6 6, modulet på -6 er også 6.

Det vil sige, den absolutte værdi af et tal forstås som den absolutte værdi, den absolutte værdi af dette tal uden hensyn til dets tegn.

Det betegnes som følger: | 6 |, | x|, |og| etc.

(Se afsnittet "Nummermodul" for flere detaljer).

Ligninger med modul.

Eksempel 1 ... Løs ligningen|10 x - 5| = 15.

Afgørelse.

Ifølge reglen svarer en ligning til en kombination af to ligninger:

10x - 5 = 15
10x - 5 = -15

Vi beslutter:

10x = 15 + 5 = 20
10x = -15 + 5 = -10

x = 20: 10
x = -10: 10

x = 2
x = -1

Svar: x 1 = 2, x 2 = -1.

Eksempel 2 ... Løs ligningen|2 x + 1| = x + 2.

Afgørelse.

Da modulet er et ikke-negativt tal, så x + 2 ≥ 0. Følgelig:

x ≥ -2.

Vi komponerer to ligninger:

2x + 1 = x + 2
2x + 1 = -(x + 2)

Vi beslutter:

2x + 1 = x + 2
2x + 1 = -x - 2

2x - x = 2 - 1
2x + x = -2 - 1

x = 1
x = -1

Begge tal er større end -2. Derfor er begge rødderne til ligningen.

Svar: x 1 = -1, x 2 = 1.

Eksempel 3 ... Løs ligningen

|x + 3| - 1
————— = 4
x - 1

Afgørelse.

Ligningen giver mening, hvis nævneren ikke er nul - det betyder, hvis x ≠ 1. Lad os tage denne betingelse i betragtning. Vores første handling er enkel - ikke bare slippe af med fraktionen, men transformere den på en sådan måde at få modulet i sin rene form:

|x + 3 | - 1 \u003d 4 ( x - 1),

|x + 3| - 1 = 4x - 4,

|x + 3| = 4x - 4 + 1,

|x + 3| = 4x - 3.

Nu har vi kun udtrykket under modulet på venstre side af ligningen. Kom videre.
Modulet for et tal er et ikke-negativt tal - dvs. det skal være større end eller lig med nul. Derfor løser vi uligheden:

4x - 3 ≥ 0

4x ≥ 3

x ≥ 3/4

Således har vi en anden betingelse: Roden til ligningen skal være mindst 3/4.

I overensstemmelse med reglen komponerer vi et sæt med to ligninger og løser dem:

x + 3 = 4x - 3
x + 3 = -(4x - 3)

x + 3 = 4x - 3
x + 3 = -4x + 3

x - 4x = -3 - 3
x + 4x = 3 - 3

x = 2
x = 0

Vi modtog to svar. Lad os kontrollere, om de er rødderne til den oprindelige ligning.

Vi havde to betingelser: Roden af \u200b\u200bligningen kan ikke være lig med 1, og den skal være mindst 3/4. Dvs. x ≠ 1, x ≥ 3/4. Kun et af de to modtagne svar opfylder begge disse betingelser - tallet 2. Det betyder, at kun det er roden til den oprindelige ligning.

Svar: x = 2.

Uligheder med modulet.

Eksempel 1 ... Løs ulighed| x - 3| < 4

Afgørelse.

Modulreglen siger:

|og| = og, hvis en og ≥ 0.

|og| = -og, hvis en og < 0.

Modulet kan have både ikke-negative og negative tal. Derfor skal vi overveje begge tilfælde: x - 3 ≥ 0 og x - 3 < 0.

1) Hvornår x - 3 ≥ 0, vores oprindelige ulighed forbliver som den er, kun uden modulstegnet:
x - 3 < 4.

2) Hvornår x - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(x - 3) < 4.

Ved at udvide parenteserne får vi:

-x + 3 < 4.

Således kom vi fra disse to betingelser til foreningen af \u200b\u200bto ulighedssystemer:

x - 3 ≥ 0
x - 3 < 4

x - 3 < 0
-x + 3 < 4

Lad os løse dem:

x ≥ 3
x < 7

x < 3
x > -1

Så vi har i vores svar foreningen af \u200b\u200bto sæt:

3 ≤ x < 7 U -1 < x < 3.

Bestem de mindste og største værdier. Disse er -1 og 7. Samtidig x større end -1, men mindre end 7.
Udover, x ≥ 3. Derfor er løsningen på uligheden hele antallet af tal fra -1 til 7 eksklusive disse ekstreme tal.

Svar: -1 < x < 7.

Eller: x ∈ (-1; 7).

Kosttilskud.

1) Der er en enklere og kortere måde at løse vores ulighed på - en grafisk. For at gøre dette skal du tegne en vandret akse (fig. 1).

Udtryk | x - 3| < 4 означает, что расстояние от точки x til punkt 3 er mindre end fire enheder. Vi markerer tallet 3 på aksen og tæller 4 divisioner til venstre og højre fra den. Til venstre kommer vi til punkt -1, til højre - til punkt 7. Således er punkterne x vi så lige uden at beregne dem.

Desuden er -1 og 7 ifølge ulighedstilstanden selv ikke inkluderet i sæt af løsninger. Således får vi svaret:

1 < x < 7.

2) Men der er endnu en løsning, der er enklere, selv grafisk. For at gøre dette skal vores ulighed være repræsenteret i følgende form:

4 < x - 3 < 4.

Når alt kommer til alt er det sådan, det er i henhold til modulreglen. Det ikke-negative tal 4 og det tilsvarende negative tal -4 er grænserne for at løse uligheden.

4 + 3 < x < 4 + 3

1 < x < 7.

Eksempel 2 ... Løs ulighed| x - 2| ≥ 5

Afgørelse.

Dette eksempel adskiller sig markant fra det foregående. Venstre side er større end 5 eller lig med 5. Fra et geometrisk synspunkt er løsningen på uligheden alle tal, der ligger i en afstand på 5 enheder eller mere fra punkt 2 (fig. 2). Grafen viser, at dette alle er tal, der er mindre end eller lig med -3 og større end eller lig med 7. Så vi har allerede modtaget svaret.

Svar: -3 ≥ x ≥ 7.

Undervejs løser vi den samme ulighed ved at tillade det frie udtryk til venstre og til højre med det modsatte tegn:

5 ≥ x - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ x ≥ 5 + 2

Svaret er det samme: -3 ≥ x ≥ 7.

Eller: x ∈ [-3; 7]

Eksempel løst.

Eksempel 3 ... Løs ulighed6 x 2 - | x| - 2 ≤ 0

Afgørelse.

Nummer x kan være positiv, negativ eller nul. Derfor er vi nødt til at tage højde for alle tre omstændigheder. Som du ved, tages de i betragtning i to uligheder: x ≥ 0 og x < 0. При x ≥ 0 omskriver vi bare vores oprindelige ulighed, som den er, kun uden modulstegnet:

6x 2 - x - 2 ≤ 0.

Nu om den anden sag: hvis x < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6x 2 - (-x) - 2 ≤ 0.

Udvid parenteserne:

6x 2 + x - 2 ≤ 0.

Således fik vi to ligningssystemer:

6x 2 - x - 2 ≤ 0
x ≥ 0

6x 2 + x - 2 ≤ 0
x < 0

Det er nødvendigt at løse uligheder i systemer - hvilket betyder, at det er nødvendigt at finde rødderne til to kvadratiske ligninger. Til dette sidestiller vi de venstre sider af ulighederne med nul.

Lad os starte med den første:

6x 2 - x - 2 = 0.

Hvordan den kvadratiske ligning løses - se afsnittet "Kvadratligning". Vi navngiver straks svaret:

x 1 \u003d -1/2, x 2 \u003d 2/3.

Fra det første system med uligheder finder vi, at løsningen på den oprindelige ulighed er hele antallet af tal fra -1/2 til 2/3. Vi skriver foreningen af \u200b\u200bløsninger til x ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Lad os nu løse den anden kvadratiske ligning:

6x 2 + x - 2 = 0.

Dens rødder:

x 1 = -2/3, x 2 = 1/2.

Konklusion: kl x < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Lad os kombinere de to svar og få det endelige svar: løsningen er hele antallet af tal fra -2/3 til 2/3 inklusive disse ekstreme tal.

Svar: -2/3 ≤ x ≤ 2/3.

Eller: x ∈ [-2/3; 2/3].

Metoder (regler) til afsløring af uligheder med moduler består i sekventiel afsløring af moduler, mens der bruges intervaller for tegnkonstans for submodulære funktioner. I den endelige version opnås flere uligheder, hvorfra der findes intervaller eller intervaller, der opfylder betingelsen for problemet.

Lad os gå videre til at løse almindelige eksempler i praksis.

Lineære uligheder med moduler

Ved lineær mener vi ligninger, hvor variablen kommer ind i ligningen lineært.

Eksempel 1. Find en løsning på uligheden

Afgørelse:
Det følger af problemstillingen, at modulerne drejer til nul ved x \u003d -1 og x \u003d -2. Disse punkter opdeler nummeraksen i intervaller

I hvert af disse intervaller løser vi den givne ulighed. For at gøre dette tegner vi først og fremmest grafiske tegninger af konstante områder af submodulære funktioner. De er afbildet som områder med tegn på hver af funktionerne

eller intervaller med tegn på alle funktioner.

I det første interval åbner vi modulerne

Vi multiplicerer begge sider med minus en, og tegnet i uligheden vil ændre det modsatte. Hvis du har svært ved at vænne dig til denne regel, kan du flytte hver af delene ved tegnet for at slippe af med minus. I den endelige version modtager du

Skæringspunktet mellem sættet x\u003e -3 og det område, hvor ligningerne blev løst, vil være intervallet (-3; -2). For dem, der har lettere ved at lede efter løsninger, kan du grafisk tegne skæringspunktet mellem disse områder

Det fælles kryds af områder vil være løsningen. Med strenge ujævnheder er kanterne ikke inkluderet. Hvis det ikke er strengt, skal du kontrollere ved erstatning.

I det andet interval får vi

Sektionen er intervallet (-2; -5/3). Grafisk ser løsningen ud

I det tredje interval får vi

Denne tilstand giver ikke løsninger i det ønskede område.

Da de to fundne løsninger (-3; -2) og (-2; -5/3) er omgivet af punktet x \u003d -2, kontrollerer vi det også.

Så punktet x \u003d -2 er løsningen. Under hensyntagen til dette vil den generelle løsning se ud (-3; 5/3).

Eksempel 2. Find en løsning på uligheden
| x-2 | - | x-3 |\u003e \u003d | x-4 |

Afgørelse:
Punktene x \u003d 2, x \u003d 3, x \u003d 4 er nuller til de submodulære funktioner. For argumenter, der er mindre end disse punkter, er submodulets funktioner negative, og for store er de positive.

Punkterne opdeler den aktuelle akse i fire intervaller. Vi åbner modulerne i henhold til konstante intervaller og løser ulighederne.

1) På det første interval er alle submodulære funktioner negative, derfor ændrer vi tegnet til det modsatte, når modulerne udvides.

Skæringspunktet mellem de fundne værdier på x og det betragtede interval vil være sæt af punkter

2) I intervallet mellem punkterne x \u003d 2 og x \u003d 3 er den første submodulære funktion positiv, den anden og tredje er negative. Udvidelse af modulerne får vi

en ulighed, der i krydset med det interval, hvor vi løser, giver en løsning - x \u003d 3.

3) I intervallet mellem punkterne x \u003d 3 og x \u003d 4 er den første og anden submodulfunktion positiv, og den tredje er negativ. Baseret på dette får vi

Denne betingelse viser, at hele intervallet vil tilfredsstille modulets ulighed.

4) For x\u003e 4 er alle funktioner positive. Når vi udvider modulerne, ændrer vi ikke deres tegn.

Den fundne tilstand ved krydset med et interval giver følgende sæt løsninger

Da uligheden løses i alle intervaller, er det fortsat at finde det fælles for alle fundne værdier på x. Løsningen ville være to intervaller

Dette eksempel er løst.

Eksempel 3. Find en løsning på uligheden
|| x-1 | -5 |\u003e 3-2x

Afgørelse:
Vi har en ulighed med modulmodul. Sådanne uligheder afsløres, når modulerne er indlejrede, begyndende med dem, der er placeret dybere.

Undermodulfunktionen x-1 konverterer til nul ved punktet x \u003d 1. For mindre værdier for 1 er den negativ og positiv for x\u003e 1. Baseret på dette udvider vi det indre modul og overvejer uligheden på hver af intervallerne.

Overvej først intervallet fra minus uendeligt til et

Den submodulære funktion er lig med nul ved punktet x \u003d -4. Ved lavere værdier er det positivt, ved højere værdier er det negativt. Udvid modulet til x<-4:

I krydset med det domæne, som vi overvejer, opnår vi sæt løsninger

Det næste trin er at åbne modulet i intervallet (-4; 1)

Under hensyntagen til området for moduloplysning opnår vi løsningsintervallet

HUSK: hvis du får to intervaller, der grænser op til et fælles punkt i sådanne uregelmæssigheder med moduler, er det som regel også en løsning.

For at gøre dette skal du bare kontrollere.

I dette tilfælde skal du erstatte punktet x \u003d -4.

Så x \u003d -4 er løsningen.
Lad os åbne det interne modul til x\u003e 1

Undermodul funktion negativ for x<6.
Udvidelse af modulet får vi

Denne tilstand i sektionen med intervallet (1; 6) giver et tomt sæt løsninger.

For x\u003e 6 opnår vi uligheden

Løsning fik også et tomt sæt.
I betragtning af ovenstående er den eneste løsning på uligheden med moduler det følgende interval.

Uligheder med moduler, der indeholder kvadratiske ligninger

Eksempel 4. Find en løsning på uligheden
| x ^ 2 + 3x |\u003e \u003d 2-x ^ 2

Afgørelse:
Undermodulfunktionen forsvinder ved punkterne x \u003d 0, x \u003d -3. Enkel erstatning for minus

vi fastslår, at det er mindre end nul på intervallet (-3; 0) og positivt uden for det.
Udvid modulet i områder, hvor den submodulære funktion er positiv

Det er stadig at bestemme de områder, hvor kvadratfunktionen er positiv. For at gøre dette bestemmer vi rødderne til den kvadratiske ligning

For nemheds skyld erstatter vi punktet x \u003d 0, der hører til intervallet (-2; 1/2). Funktionen er negativ i dette interval, hvilket betyder, at følgende sætter x

Her angiver parenteser kanterne på områder med løsninger, dette blev gjort bevidst under hensyntagen til følgende regel.

HUSK: Hvis uligheden med moduler eller en simpel ulighed er streng, så er kanterne på de fundne områder ikke løsninger, hvis ulighederne ikke er strenge (), så er kanterne løsninger (betegnet med firkantede parenteser).

Denne regel bruges af mange lærere: Hvis der er angivet en streng ulighed, og under beregninger skriver du en firkantet parentes ([,]) i løsningen, tæller de den automatisk som et forkert svar. Også når der testes, hvis der er angivet en ikke-streng ulighed med moduler, skal du blandt løsningerne se efter områder med firkantede parenteser.

I intervallet (-3; 0), når modulet åbnes, ændrer vi funktionstegnet til det modsatte

Under hensyntagen til området for afsløring af ulighed vil løsningen være

Sammen med det foregående område giver dette to halvintervaller

Eksempel 5. Find en løsning på uligheden
9x ^ 2- | x-3 |\u003e \u003d 9x-2

Afgørelse:
Der gives en ikke-streng ulighed, hvis submodulære funktion er lig med nul ved punktet x \u003d 3. Ved lavere værdier er det negativt, ved højere værdier er det positivt. Udvid modulet med intervallet x<3.

Find diskriminanten af \u200b\u200bligningen

og rødder

Ved at erstatte punktet nul finder vi ud af, at den kvadratiske funktion på intervallet [-1/9; 1] er negativ, hvorfor intervallet er en løsning. Udvid derefter modulet til x\u003e 3

Denne online matematikberegner hjælper dig løse ligning eller ulighed med moduler... Program til løsninger af ligninger og uligheder med moduler giver ikke bare et svar på problemet, det giver detaljeret løsning med forklaringer, dvs. viser processen med at opnå resultatet.

Dette program kan være nyttigt for seniorstuderende fra gymnasier som forberedelse til prøver og eksamener, når forældre kontrollerer viden inden eksamen, for at kontrollere løsningen på mange problemer i matematik og algebra. Eller måske er det for dyrt for dig at ansætte en vejleder eller købe nye lærebøger? Eller vil du bare få dit matematik- eller algebra-hjemmearbejde gjort så hurtigt som muligt? I dette tilfælde kan du også bruge vores programmer med en detaljeret løsning.

På denne måde kan du lede din egen undervisning og / eller undervise dine yngre brødre eller søstre, mens uddannelsesniveauet inden for de problemer, der løses, stiger.

Indtast ligning eller ulighed med moduler

Det blev fundet, at nogle scripts, der var nødvendige for at løse dette problem, ikke blev indlæst, og programmet fungerer muligvis ikke.
Måske har du AdBlock aktiveret.
I dette tilfælde skal du deaktivere den og opdatere siden.

Fordi Der er mange mennesker, der er villige til at løse problemet, din anmodning er i kø.
Efter et par sekunder vises løsningen nedenfor.
Vent venligst sek ...

hvis du bemærket en fejl i beslutningen, så kan du skrive om dette i feedbackformularen.
Glem ikke angiv hvilken opgave du beslutter, og hvad indtast i felterne.

Vores spil, gåder, emulatorer:

Lidt teori.

Ligninger og uligheder med moduler

I grundskolens algebrafag kan du støde på de enkleste ligninger og uligheder med moduler. For at løse dem kan du anvende en geometrisk metode baseret på det faktum, at \\ (| xa | \\) er afstanden på talelinjen mellem punkterne x og a: \\ (| xa | \u003d \\ rho (x; \\; a ) \\). For at løse ligningen \\ (| x-3 | \u003d 2 \\) skal du for eksempel finde punkter på nummerlinjen, der ligger i en afstand af 2 fra punkt 3. Der er to sådanne punkter: \\ (x_1 \u003d 1 \\) og \\ (x_2 \u003d 5 \\) ...

Løsning af uligheden \\ (| 2x + 7 |

Men den vigtigste måde at løse ligninger og uligheder med moduler er forbundet med den såkaldte "udvidelse af modulet pr. Definition":
hvis \\ (a \\ geq 0 \\), så \\ (| a | \u003d a \\);
if \\ (a Som regel reduceres en ligning (ulighed) med moduler til et sæt ligninger (uligheder), der ikke indeholder modulstegnet.

Ud over denne definition anvendes følgende udsagn:
1) Hvis \\ (c\u003e 0 \\), svarer ligningen \\ (| f (x) | \u003d c \\) til et sæt ligninger: \\ (\\ venstre [\\ begynder (array) (l) f (x ) \u003d c \\\\ f (x) \u003d - c \\ end (array) \\ højre. \\)
2) Hvis \\ (c\u003e 0 \\), så er uligheden \\ (| f (x) | 3) Hvis \\ (c \\ geq 0 \\), så er uligheden \\ (| f (x) |\u003e c \\) svarer til sæt af uligheder: \\ (\\ left [\\ begin (array) (l) f (x) c \\ end (array) \\ right. \\)
4) Hvis begge sider af uligheden \\ (f (x) EKSEMPEL 1. Løs ligningen \\ (x ^ 2 +2 | x-1 | -6 \u003d 0 \\).

Hvis \\ (x-1 \\ geq 0 \\), så \\ (| x-1 | \u003d x-1 \\) og den givne ligning har form
\\ (x ^ 2 +2 (x-1) -6 \u003d 0 \\ Rightarrow x ^ 2 + 2x -8 \u003d 0 \\).
Hvis \\ (x-1 \\ (x ^ 2 -2 (x-1) -6 \u003d 0 \\ Højre pil x ^ 2 -2x -4 \u003d 0 \\).
Således skal den givne ligning betragtes separat i hvert af de to angivne tilfælde.
1) Lad \\ (x-1 \\ geq 0 \\), dvs. \\ (x \\ geq 1 \\). Fra ligningen \\ (x ^ 2 + 2x -8 \u003d 0 \\) finder vi \\ (x_1 \u003d 2, \\; x_2 \u003d -4 \\). Betingelsen \\ (x \\ geq 1 \\) opfyldes kun af værdien \\ (x_1 \u003d 2 \\).
2) Lad \\ (x-1 Svar: \\ (2; \\; \\; 1- \\ sqrt (5) \\)

EKSEMPEL 2. Løs ligningen \\ (| x ^ 2-6x + 7 | \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\).

Den første vej (moduludvidelse pr. definition).
Argumenterer som i eksempel 1, kommer vi til den konklusion, at den givne ligning skal betragtes separat, hvis to betingelser er opfyldt: \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\) eller \\ (x ^ 2-6x + 7

1) Hvis \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\), så \\ (| x ^ 2-6x + 7 | \u003d x ^ 2-6x + 7 \\) og den givne ligning har form \\ (x ^ 2 -6x + 7 \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\ Rightarrow 3x ^ 2-23x + 30 \u003d 0 \\). Løsning af denne kvadratiske ligning får vi: \\ (x_1 \u003d 6, \\; x_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\).
Lad os finde ud af, om værdien \\ (x_1 \u003d 6 \\) opfylder betingelsen \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\). For at gøre dette erstatter vi den angivne værdi i kvadratisk ulighed. Vi får: \\ (6 ^ 2-6 \\ cdot 6 + 7 \\ geq 0 \\), dvs. \\ (7 \\ geq 0 \\) er en sand ulighed. Derfor er \\ (x_1 \u003d 6 \\) roden til den givne ligning.
Lad os finde ud af, om værdien \\ (x_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\) opfylder betingelsen \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\). For at gøre dette erstatter vi den angivne værdi i den kvadratiske ulighed. Vi får: \\ (\\ left (\\ frac (5) (3) \\ right) ^ 2 - \\ frac (5) (3) \\ cdot 6 + 7 \\ geq 0 \\), dvs. \\ (\\ frac (25) (9) -3 \\ geq 0 \\) - forkert ulighed. Derfor er \\ (x_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\) ikke en rod i den givne ligning.

2) Hvis \\ (x ^ 2-6x + 7 værdi \\ (x_3 \u003d 3 \\) opfylder betingelsen \\ (x ^ 2-6x + 7 værdi \\ (x_4 \u003d \\ frac (4) (3) \\) ikke opfylder betingelsen \\ (x ^ 2-6x + 7 Så den givne ligning har to rødder: \\ (x \u003d 6, \\; x \u003d 3 \\).

Anden vej. Hvis ligningen \\ (| f (x) | \u003d h (x) \\) er givet, så for \\ (h (x) \\ (\\ venstre [\\ begynde (array) (l) x ^ 2-6x + 7 \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\\\ x ^ 2-6x + 7 \u003d - \\ frac (5x-9) (3) \\ end (array) \\ højre. \\)
Begge disse ligninger blev løst ovenfor (på den første måde at løse den givne ligning), deres rødder er som følger: \\ (6, \\; \\ frac (5) (3), \\; 3, \\; \\ frac (4 ) (3) \\). Betingelsen \\ (\\ frac (5x-9) (3) \\ geq 0 \\) for disse fire værdier opfyldes kun med to: 6 og 3. Derfor har den givne ligning to rødder: \\ (x \u003d 6, \\; x \u003d 3 \\).

Tredje vej (grafik).
1) Lad os plotte funktionen \\ (y \u003d | x ^ 2-6x + 7 | \\). Konstruer først en parabel \\ (y \u003d x ^ 2-6x + 7 \\). Vi har \\ (x ^ 2-6x + 7 \u003d (x-3) ^ 2-2 \\). Grafen for funktionen \\ (y \u003d (x-3) ^ 2-2 \\) kan fås fra grafen for funktionen \\ (y \u003d x ^ 2 \\) ved at flytte den 3 skalaenheder til højre (langs x-akse) og 2 skalaenheder ned (på y-aksen). Den lige linje x \u003d 3 er aksen for den parabel, vi er interesseret i. Som kontrolpunkter for mere nøjagtig tegning er det praktisk at tage punktet (3; -2) - parabollens toppunkt, punkt (0; 7) og punktet (6; 7) symmetrisk i forhold til parabelaksen .
For nu at tegne grafen for funktionen \\ (y \u003d | x ^ 2-6x + 7 | \\), skal du lade de dele af den konstruerede parabel, der ikke ligger under x-aksen, forblive uændrede og spejle den del af parabolen, der ligger under x-aksen omkring x-aksen.
2) Lad os bygge en graf over den lineære funktion \\ (y \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\). Det er praktisk at tage punkter (0; –3) og (3; 2) som kontrolpunkter.

Det er vigtigt, at punktet x \u003d 1,8 skæring af den lige linje med abscissa-aksen er placeret til højre for det venstre skæringspunkt mellem parabolen og abscissa-aksen - dette er punktet \\ (x \u003d 3- \\ sqrt ( 2) \\) (siden \\ (3- \\ sqrt (2) 3) At dømme efter tegningen, skitserer graferne to punkter - A (3; 2) og B (6; 7) Udskiftning af abscissas af disse punkter x \u003d 3 og x \u003d 6 i den givne ligning sørger vi for, at en anden værdi for begge giver den korrekte numeriske lighed, hvilket betyder, at vores hypotese blev bekræftet - ligningen har to rødder: x \u003d 3 og x \u003d 6. Svar: 3; 6.

Kommentar... Den grafiske metode er trods al sin nåde ikke særlig pålidelig. I det betragtede eksempel fungerede det kun fordi ligningens rødder er heltal.

EKSEMPEL 3. Løs ligningen \\ (| 2x-4 | + | x + 3 | \u003d 8 \\)

Den første vej
Udtrykket 2x - 4 bliver 0 ved x \u003d 2, og udtrykket x + 3 ved x \u003d –3. Disse to punkter deler tallinjen i tre intervaller: \\ (x

Overvej det første span: \\ ((- \\ infty; \\; -3) \\).
Hvis x Overvej det andet interval: \\ ([- 3; \\; 2) \\).
Hvis \\ (- 3 \\ leq x Overvej det tredje interval: \\ (U

Eksempel 2.

Løs uligheden || x + 2 | - 3 | ≤ 2.

Afgørelse.

Denne ulighed svarer til det følgende system.

(| x + 2 | - 3 ≥ -2
(| x + 2 | - 3 ≤ 2,
(| x + 2 | ≥ 1
(| x + 2 | ≤ 5.

Lad os løse systemets første ulighed separat. Det svarer til følgende aggregat:

U [-1; 3].

2) Løsning af uligheder ved hjælp af definitionen af \u200b\u200bet modul.

Lad mig minde dig først modul definition.

| a | \u003d a hvis a ≥ 0 og | a | \u003d -a hvis a< 0.

For eksempel | 34 | \u003d 34, | -21 | \u003d - (- 21) \u003d 21.

Eksempel 1.

Løs uligheden 3 | x - 1 | ≤ x + 3.

Afgørelse.

Ved hjælp af definitionen af \u200b\u200bet modul får vi to systemer:

(x - 1 ≥ 0
(3 (x - 1) ≤ x + 3

(x - 1< 0
(-3 (x - 1) ≤ x + 3.

Løsning af det første andet system separat får vi:

(x ≥ 1
(x ≤ 3,

(x< 1
(x ≥ 0.

Løsningen på den oprindelige ulighed vil være alle løsninger i det første system og alle løsninger i det andet system.

Svar: x €.

3) Løsning af uligheder ved kvadrat.

Eksempel 1.

Løs uligheden | x 2 - 1 |< | x 2 – x + 1|.

Afgørelse.

Lad os kvadrere begge sider af uligheden. Bemærk, at du kun kan kvadrere begge sider af uligheden, hvis de begge er positive. I dette tilfælde har vi moduler til både venstre og højre, så vi kan gøre dette.

(| x 2 - 1 |) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

Nu bruger vi følgende egenskab af modulet: (| x |) 2 \u003d x 2.

(x 2 - 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 - 1) 2 - (x 2 - x + 1) 2< 0.

(x 2 - 1 - x 2 + x - 1) (x 2 - 1 + x 2 - x + 1)< 0,

(x - 2) (2x 2 - x)< 0,

x (x - 2) (2x - 1)< 0.

Vi løser ved hjælp af metoden med intervaller.

Svar: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)

4) Løsning af uligheder ved ændring af variabler.

Eksempel.

Løs uligheden (2x + 3) 2 - | 2x + 3 | ≤ 30.

Afgørelse.

Bemærk, at (2x + 3) 2 \u003d (| 2x + 3 |) 2. Så opnår vi uligheden

(| 2x + 3 |) 2 - | 2x + 3 | ≤ 30.

Lad os foretage ændringen y \u003d | 2x + 3 |.

Lad os omskrive vores ulighed under hensyntagen til erstatningen.

y 2 - y ≤ 30,

y 2 - y - 30 ≤ 0.

Lad os faktorere det firkantede trinomial til venstre.

y1 \u003d (1 + 11) / 2,

y2 \u003d (1 - 11) / 2,

(y - 6) (y + 5) ≤ 0.

Lad os løse ved hjælp af metoden med intervaller og få:

Lad os gå tilbage til udskiftningen:

5 ≤ | 2x + 3 | ≤ 6.

Denne dobbelte ulighed svarer til systemet med uligheder:

(| 2x + 3 | ≤ 6
(| 2x + 3 | ≥ -5.

Lad os løse hver af ulighederne separat.

Den første svarer til systemet

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.

Lad os løse det.

(x ≤ 1,5
(x ≥ -4,5.

Den anden ulighed gælder naturligvis for alle x, da modulet per definition er positivt. Da løsningen på systemet alle er x, der samtidig tilfredsstiller både den første og anden ulighed i systemet, vil løsningen på det originale system være løsningen på dets første dobbelte ulighed (når alt kommer til alt er den anden sand for alle x).

Svar: x € [-4,5; 1.5].

blog. site, med fuld eller delvis kopiering af materialet, kræves et link til kilden.