Denne artikel fortsætter emnet for ligningen af \u200b\u200ben lige linje på et plan: overvej en sådan form for ligning som den generelle ligning af en lige linje. Lad os definere et sætning og bevise det; lad os finde ud af, hvad en ufuldstændig generel ligning af en lige linje er, og hvordan man foretager overgange fra en generel ligning til andre typer ligninger af en lige linje. Vi konsoliderer hele teorien med illustrationer og løsning af praktiske problemer.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Lad et rektangulært koordinatsystem O x y gives på planet.

Sætning 1

Enhver ligning af den første grad med formen A x + B y + C \u003d 0, hvor A, B, C er nogle reelle tal (A og B er ikke lig med nul på samme tid) definerer en lige linje i en rektangulært koordinatsystem på et plan. Til gengæld bestemmes enhver lige linje i et rektangulært koordinatsystem på et plan af en ligning, der har formen A x + B y + C \u003d 0 for et bestemt sæt værdier A, B, C.

Beviser

denne sætning består af to punkter, vi vil bevise hver af dem.

1. Lad os bevise, at ligningen A x + B y + C \u003d 0 definerer en lige linje på planet.

Lad der eksistere et punkt М 0 (x 0, y 0), hvis koordinater svarer til ligningen A x + B y + C \u003d 0. Således: A x 0 + B y 0 + C \u003d 0. Træk fra venstre og højre side af ligningerne A x + B y + C \u003d 0 venstre og højre side af ligningen A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, vi får en ny ligning af formen A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0. Det svarer til A x + B y + C \u003d 0.

Den resulterende ligning A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 er en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for vektorerne n → \u003d (A, B) og M 0 M → \u003d (x - x 0, y - y 0). Sæt af punkterne M (x, y) definerer således en lige linje i et rektangulært koordinatsystem vinkelret på retningen af \u200b\u200bvektoren n → \u003d (A, B). Vi kan antage, at dette ikke er tilfældet, men så ville vektorerne n → \u003d (A, B) og M 0 M → \u003d (x - x 0, y - y 0) ikke være vinkelret, og ligestillingen A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 ville ikke være sandt.

Derfor definerer ligningen A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 en lige linje i et rektangulært koordinatsystem på planet, og derfor definerer den ækvivalente ligning A x + B y + C \u003d 0 samme lige linje. Sådan beviste vi den første del af sætningen.

1. Lad os give et bevis på, at enhver lige linje i et rektangulært koordinatsystem på et plan kan defineres ved en ligning af første grad A x + B y + C \u003d 0.

Lad os indstille den lige linje a i et rektangulært koordinatsystem på planet; punkt M 0 (x 0, y 0), gennem hvilken denne linje passerer, såvel som den normale vektor for denne linje n → \u003d (A, B).

Lad der også være et punkt M (x, y) - et flydende punkt på en lige linje. I dette tilfælde er vektorerne n → \u003d (A, B) og M 0 M → \u003d (x - x 0, y - y 0) vinkelret på hinanden, og deres skalære produkt er nul:

n →, M 0 M → \u003d A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0

Omskriv ligningen A x + B y - A x 0 - B y 0 \u003d 0, definer C: C \u003d - A x 0 - B y 0 og i slutresultatet får vi ligningen A x + B y + C \u003d 0 .

Således har vi bevist den anden del af sætningen, og vi har bevist hele sætningen som en helhed.

Definition 1

En ligning af formen A x + B y + C \u003d 0 - dette er generel ligning af linjen på et plan i et rektangulært koordinatsystem O x y.

Baseret på den bevist sætning kan vi konkludere, at en lige linje og dens generelle ligning, givet på et plan i et fast rektangulært koordinatsystem, er uløseligt forbundet. Med andre ord svarer den oprindelige lige linje til dens generelle ligning; den generelle ligning af en lige linje svarer til en given lige linje.

Det følger også af beviset for sætningen, at koefficienterne A og B for variablerne x og y er koordinaterne for den normale vektor for den lige linje, som er givet ved den generelle ligning af den lige linje A x + B y + C \u003d 0.

Overvej et specifikt eksempel på en generel ligning af en lige linje.

Lad ligningen 2 x + 3 y - 2 \u003d 0 angives, hvilket svarer til en lige linje i et givet rektangulært koordinatsystem. Den normale vektor på denne linje er vektoren n → \u003d (2, 3). Tegn en given lige linje på tegningen.

Det er også muligt at hævde følgende: Den lige linje, som vi ser på tegningen, bestemmes af den generelle ligning 2 x + 3 y - 2 \u003d 0, da koordinaterne for alle punkter i en given lige linje svarer til denne ligning.

Vi kan få ligningen λ · A x + λ · B y + λ · C \u003d 0 ved at multiplicere begge sider af linjens generelle ligning med et ikke-nulstal λ. Den resulterende ligning svarer til den oprindelige generelle ligning, derfor vil den beskrive den samme lige linje på planet.

Komplet generel ligning af linjen - en sådan generel ligning af den lige linje A x + B y + C \u003d 0, hvor tallene A, B, C ikke er nul. Ellers er ligningen ufuldstændig.

Lad os undersøge alle variationerne af linjens ufuldstændige generelle ligning.

1. Når A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, bliver den generelle ligning B y + C \u003d 0. En sådan ufuldstændig generel ligning definerer i et rektangulært koordinatsystem O x y en lige linje, der er parallel med O x-aksen, da variablen y for enhver reel værdi på x vil tage værdien - C B. Med andre ord definerer den generelle ligning af den lige linje A x + B y + C \u003d 0, når A \u003d 0, B ≠ 0, definerer stedet for punkter (x, y), hvis koordinater er lig med det samme antal - C B.
2. Hvis A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, har den generelle ligning formen y \u003d 0. Denne ufuldstændige ligning definerer abscisseaksen O x.
3. Når A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, får vi en ufuldstændig generel ligning A x + C \u003d 0, der definerer en lige linje parallelt med ordinataksen.
4. Lad A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, så får den ufuldstændige generelle ligning form x \u003d 0, og dette er ligningen af \u200b\u200bkoordinatlinien O y.
5. Endelig, for A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, har den ufuldstændige generelle ligning form A x + B y \u003d 0. Og denne ligning beskriver en lige linje, der passerer gennem oprindelsen. Faktisk svarer antallet af tal (0, 0) til ligningen A x + B y \u003d 0, da A · 0 + B · 0 \u003d 0.

Lad os grafisk illustrere alle ovennævnte typer af den ufuldstændige generelle ligning af en lige linje.

Eksempel 1

Det er kendt, at en given lige linje er parallel med ordinataksen og passerer gennem punktet 2 7, - 11. Det er nødvendigt at nedskrive den generelle ligning af en given lige linje.

Afgørelse

En lige linje parallel med ordinataksen er givet ved en ligning med formen A x + C \u003d 0, hvor A ≠ 0. Tilstanden specificerer også koordinaterne for det punkt, gennem hvilket linjen passerer, og koordinaterne for dette punkt opfylder betingelserne for den ufuldstændige generelle ligning A x + C \u003d 0, dvs. ligestillingen er sand:

A · 2 7 + C \u003d 0

Det er muligt at bestemme C ud fra det ved at give A en værdi, der ikke er nul, for eksempel A \u003d 7. I dette tilfælde får vi: 7 · 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Vi kender begge koefficienterne A og C, vi erstatter dem i ligningen A x + C \u003d 0, og vi får den krævede ligning af den lige linje: 7 x - 2 \u003d 0

Svar: 7 x - 2 \u003d 0

Eksempel 2

Tegningen viser en lige linje, det er nødvendigt at nedskrive ligningen.

Afgørelse

Den givne tegning giver os mulighed for let at tage de indledende data til løsning af problemet. Vi ser på tegningen, at den givne linje er parallel med O x-aksen og passerer gennem punktet (0, 3).

Den lige linje, der er parallel med abscissas øjne, bestemmes af den ufuldstændige generelle ligning B y + C \u003d 0. Lad os finde værdierne for B og C. Koordinaterne for punktet (0, 3), da en given lige linje passerer gennem det, vil tilfredsstille ligningen af \u200b\u200bden lige linje B y + C \u003d 0, så er ligestillingen gyldig: B · 3 + C \u003d 0. Lad os indstille for B en anden værdi end nul. Antag, at B \u003d 1, i dette tilfælde fra ligningen B 3 + C \u003d 0 kan vi finde C: C \u003d - 3. Vi bruger de kendte værdier af B og C, vi opnår den krævede ligning af den lige linje: y - 3 \u003d 0.

Svar: y - 3 \u003d 0.

Generel ligning af en lige linje, der passerer gennem et givet punkt på flyet

Lad den givne lige linje passere gennem punktet M0 (x 0, y 0), så svarer dens koordinater til den generelle ligning for den lige linje, dvs. ligestillingen er sand: A x 0 + B y 0 + C \u003d 0. Vi trækker venstre og højre side af denne ligning fra venstre og højre side af linjens generelle komplette ligning. Vi får: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, denne ligning svarer til den oprindelige generelle, passerer gennem punktet М 0 (x 0, y 0) og har en normal vektor n → \u003d (A, B).

Det opnåede resultat gør det muligt at nedskrive den generelle ligning af en lige linje med de kendte koordinater for den normale vektor for den lige linje og koordinaterne for et bestemt punkt i denne lige linje.

Eksempel 3

Givet et punkt М 0 (- 3, 4), hvorigennem en lige linje passerer, og en normal vektor af denne lige linje n → \u003d (1, - 2). Det er nødvendigt at nedskrive ligningen af \u200b\u200ben given lige linje.

Afgørelse

De indledende betingelser giver os mulighed for at opnå de nødvendige data til at tegne ligningen: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Derefter:

A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) \u003d 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 \u003d 0

Problemet kunne have været løst anderledes. Linjens generelle ligning har formen A x + B y + C \u003d 0. Den givne normale vektor giver dig mulighed for at få værdierne for koefficienterne A og B og derefter:

A x + B y + C \u003d 0 ⇔ 1 x - 2 y + C \u003d 0 ⇔ x - 2 y + C \u003d 0

Nu finder vi værdien af \u200b\u200bC ved hjælp af det punkt M 0 (- 3, 4), der er specificeret af problemets tilstand, gennem hvilken den lige linje passerer. Koordinaterne for dette punkt svarer til ligningen x - 2 y + C \u003d 0, dvs. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Derfor er C \u003d 11. Den krævede ligning af den lige linje har form: x - 2 y + 11 \u003d 0.

Svar: x - 2 y + 11 \u003d 0.

Eksempel 4

En lige linje 2 3 x - y - 1 2 \u003d 0 og et punkt М 0, der ligger på denne lige linje, gives. Kun abscissen af \u200b\u200bdette punkt er kendt, og det er lig med - 3. Det er nødvendigt at bestemme ordinaten for det givne punkt.

Afgørelse

Lad os indstille betegnelsen på koordinaterne for punktet М 0 som x 0 og y 0. De indledende data indikerer, at x 0 \u003d - 3. Da et punkt hører til en given lige linje, svarer dets koordinater til den generelle ligning af denne lige linje. Så vil lighed være sand:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 \u003d 0

Bestem y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 \u003d 0 ⇔ - 5 2 - y 0 \u003d 0 ⇔ y 0 \u003d - 5 2

Svar: - 5 2

Overgangen fra den generelle ligning af en lige linje til andre typer ligninger af en lige linje og omvendt

Som vi ved, er der flere typer ligninger for den samme lige linje på planet. Valget af ligningstypen afhænger af problemets forhold; det er muligt at vælge den, der er mere praktisk at løse den. Det er her, at dygtigheden til at konvertere en ligning af en slags til en ligning af en anden slags kommer til nytte.

Til at begynde med skal du overveje overgangen fra den generelle ligning af formen A x + B y + C \u003d 0 til den kanoniske ligning x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y.

Hvis А ≠ 0, overfører vi udtrykket B y til højre side af den generelle ligning. På venstre side skal du placere A uden for parentesen. Som et resultat får vi: A x + C A \u003d - B y.

Denne ligestilling kan skrives som et forhold: x + C A - B \u003d y A.

Hvis В ≠ 0, efterlader vi kun udtrykket A x på venstre side af den generelle ligning, overfører de andre til højre side, vi får: A x \u003d - B y - C. Vi tager ud - B uden for parenteserne, så: A x \u003d - B y + C B.

Lad os omskrive ligestilling som en andel: x - B \u003d y + C B A.

Der er naturligvis ikke behov for at huske de resulterende formler udenad. Det er nok at kende algoritmen for handlinger i overgangen fra den generelle ligning til den kanoniske.

Eksempel 5

Den generelle ligning for den lige linje er givet: 3 y - 4 \u003d 0. Det er nødvendigt at omdanne det til en kanonisk ligning.

Afgørelse

Omskriv den originale ligning som 3 y - 4 \u003d 0. Dernæst handler vi i henhold til algoritmen: udtrykket 0 x forbliver på venstre side; og på højre side tager vi ud - 3 uden for parenteserne; vi får: 0 x \u003d - 3 y - 4 3.

Lad os skrive den resulterende lighed som et forhold: x - 3 \u003d y - 4 3 0. Så vi har en ligning af den kanoniske form.

Svar: x - 3 \u003d y - 4 3 0.

For at omdanne den generelle ligning af den lige linje til parametriske, foretager man først overgangen til den kanoniske form og derefter overgangen fra den kanoniske ligning af den lige linje til de parametriske ligninger.

Eksempel 6

Den lige linje er givet ved ligningen 2 x - 5 y - 1 \u003d 0. Skriv de parametriske ligninger af denne lige linje.

Afgørelse

Lad os lave overgangen fra den generelle ligning til den kanoniske:

2 x - 5 y - 1 \u003d 0 ⇔ 2 x \u003d 5 y + 1 ⇔ 2 x \u003d 5 y + 1 5 ⇔ x 5 \u003d y + 1 5 2

Nu tager vi begge sider af den resulterende kanoniske ligning lig med λ, så:

x 5 \u003d λ y + 1 5 2 \u003d λ ⇔ x \u003d 5 λ y \u003d - 1 5 + 2 λ, λ ∈ R

Svar: x \u003d 5 λ y \u003d - 1 5 + 2 λ, λ ∈ R

Den generelle ligning kan omdannes til en ligning med en lige linje med hældningen y \u003d k x + b, men kun hvis B ≠ 0. For overgangen til venstre forlader vi udtrykket B y, resten overføres til højre. Vi får: B y \u003d - A x - C. Del begge sider af den resulterende lighed med B, forskellig fra nul: y \u003d - A B x - C B.

Eksempel 7

Den generelle ligning for den lige linje er givet: 2 x + 7 y \u003d 0. Du skal konvertere denne ligning til en hældningsligning.

Afgørelse

Lad os udføre de nødvendige handlinger i henhold til algoritmen:

2 x + 7 y \u003d 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y \u003d - 2 7 x

Svar: y \u003d - 2 7 x.

Fra den generelle ligning af en lige linje er det tilstrækkeligt blot at få en ligning i segmenter af formen x a + y b \u003d 1. For at foretage en sådan overgang overfører vi tallet C til lighedens højre side, dividerer begge sider af den resulterende lighed med - С og til sidst overfører koefficienterne for variablerne x og y til nævnerne:

A x + B y + C \u003d 0 ⇔ A x + B y \u003d - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y \u003d 1 ⇔ x - C A + y - C B \u003d 1

Eksempel 8

Det er nødvendigt at omdanne den generelle ligning af den lige linje x - 7 y + 1 2 \u003d 0 til ligningen af \u200b\u200bden lige linje i segmenter.

Afgørelse

Flyt 1 2 til højre: x - 7 y + 1 2 \u003d 0 ⇔ x - 7 y \u003d - 1 2.

Del begge sider af ligestillingen med -1/2: x - 7 y \u003d - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y \u003d 1.

Svar: x - 1 2 + y 1 14 \u003d 1.

Generelt er den omvendte overgang også let: fra andre typer ligninger til den generelle.

Ligningen af \u200b\u200ben lige linje i segmenter og en ligning med en hældningskoefficient kan let omdannes til en generel simpelthen ved at samle alle termer på venstre side af ligestillingen:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 \u003d 0 ⇔ A x + B y + C \u003d 0 y \u003d k x + b ⇔ y - k x - b \u003d 0 ⇔ A x + B y + C \u003d 0

Den kanoniske ligning omdannes til den generelle i henhold til følgende skema:

x - x 1 ax \u003d y - y 1 ay ⇔ ay (x - x 1) \u003d ax (y - y 1) ⇔ ⇔ ayx - axy - ayx 1 + axy 1 \u003d 0 ⇔ A x + B y + C \u003d 0

For at skifte fra parametrisk udføres først overgangen til det kanoniske og derefter til det generelle:

x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C \u003d 0

Eksempel 9

Parametriske ligninger af den lige linje x \u003d - 1 + 2 · λ y \u003d 4 er givet. Det er nødvendigt at nedskrive den generelle ligning af denne lige linje.

Afgørelse

Lad os lave overgangen fra parametriske ligninger til den kanoniske:

x \u003d - 1 + 2 λ y \u003d 4 ⇔ x \u003d - 1 + 2 λ y \u003d 4 + 0 λ ⇔ λ \u003d x + 1 2 λ \u003d y - 4 0 ⇔ x + 1 2 \u003d y - 4 0

Lad os gå fra det kanoniske til det generelle:

x + 1 2 \u003d y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) \u003d 2 (y - 4) ⇔ y - 4 \u003d 0

Svar: y - 4 \u003d 0

Eksempel 10

Ligningen af \u200b\u200ben lige linje i segmenter x 3 + y 1 2 \u003d 1 er givet. Det er nødvendigt at foretage en overgang til ligningens generelle form.

Afgørelse:

Lad os bare omskrive ligningen i den krævede form:

x 3 + y 1 2 \u003d 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 \u003d 0

Svar: 1 3 x + 2 y - 1 \u003d 0.

Tegner den generelle ligning af en lige linje

Ovenfor sagde vi, at den generelle ligning kan skrives med de kendte koordinater for den normale vektor og koordinaterne for det punkt, gennem hvilken den lige linje passerer. En sådan lige linje bestemmes af ligningen A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0. Vi analyserede også det tilsvarende eksempel der.

Lad os nu se på mere komplekse eksempler, hvor det først er nødvendigt at bestemme koordinaterne for den normale vektor.

Eksempel 11

En lige linje parallel med den lige linje 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0 gives. Også kendt er punktet M0 (4, 1), gennem hvilket den givne linje passerer. Det er nødvendigt at nedskrive ligningen af \u200b\u200ben given lige linje.

Afgørelse

De indledende betingelser fortæller os, at de lige linjer er parallelle, så som den normale vektor for den lige linje, hvis ligning skal skrives, tager vi retningsvektoren for den lige linje n → \u003d (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Nu kender vi alle de nødvendige data til at komponere den generelle ligning af den lige linje:

A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) \u003d 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 \u003d 0

Svar: 2 x - 3 y - 5 \u003d 0.

Eksempel 12

Den angivne linje passerer gennem oprindelsen vinkelret på linjen x - 2 3 \u003d y + 4 5. Det er nødvendigt at udarbejde en generel ligning for en given lige linje.

Afgørelse

Den normale vektor for den givne linje vil være retningsvektoren for linjen x - 2 3 \u003d y + 4 5.

Derefter n → \u003d (3, 5). Den lige linje passerer gennem oprindelsen, dvs. gennem punktet O (0, 0). Lad os komponere den generelle ligning af en given lige linje:

A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) \u003d 0 ⇔ 3 x + 5 y \u003d 0

Svar: 3 x + 5 y \u003d 0.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du vælge den og trykke på Ctrl + Enter

Den lige linje, der passerer gennem punktet K (x 0; y 0) og parallelt med den lige linje y \u003d kx + a, findes ved formlen:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Hvor k er hældningen på den lige linje.

Alternativ formel:
Den lige linje, der passerer gennem punktet M 1 (x 1; y 1) og parallelt med den lige linje Ax + By + C \u003d 0 er repræsenteret af ligningen

A (x-x 1) + B (y-y 1) \u003d 0. (2)

Eksempel 2. Skriv ligningen af \u200b\u200ben lige linje parallelt med den lige linje 2x + 5y \u003d 0 og dann en trekant sammen med koordinatakserne, hvis areal er 5.
Afgørelse ... Da de lige linjer er parallelle, er ligningen af \u200b\u200bden ønskede lige linje 2x + 5y + C \u003d 0. Arealet af en retvinklet trekant, hvor a og b er dens ben. Find skæringspunkterne for den ønskede lige linje med koordinatakserne:
;
.
Så A (-C / 2.0), B (0, -C / 5). Erstat i formlen for området: ... Vi får to løsninger: 2x + 5y + 10 \u003d 0 og 2x + 5y - 10 \u003d 0.

Eksempel nr. 3. Lav ligningen for den lige linje, der passerer gennem punktet (-2; 5) og parallelt med den lige linje 5x-7y-4 \u003d 0.
Afgørelse. Denne lige linje kan repræsenteres af ligningen y \u003d 5/7 x - 4/7 (her a \u003d 5/7). Ligningen for den krævede lige linje er y - 5 \u003d 5/7 (x - (-2)), dvs. 7 (y-5) \u003d 5 (x + 2) eller 5x-7y + 45 \u003d 0.

Eksempel 4. Løsning af eksempel 3 (A \u003d 5, B \u003d -7) ved hjælp af formel (2) finder vi 5 (x + 2) -7 (y-5) \u003d 0.

Eksempel nr. 5. Lav ligningen for den lige linje, der passerer gennem punktet (-2; 5) og parallelt med den lige linje 7x + 10 \u003d 0.
Afgørelse. Her er A \u003d 7, B \u003d 0. Formel (2) giver 7 (x + 2) \u003d 0, dvs. x + 2 \u003d 0. Formel (1) kan ikke anvendes, da denne ligning ikke kan løses i forhold til y (denne linje er parallel med ordinataksen).

Lektion fra serien "Geometriske algoritmer"

Hej kære læser!

I dag begynder vi at udforske geometri-relaterede algoritmer. Faktum er, at der er mange Olympiad-problemer inden for datalogi relateret til beregningsgeometri, og løsningen af \u200b\u200bsådanne problemer medfører ofte vanskeligheder.

I et par lektioner vil vi se på et antal elementære delproblemer, som løsningen på de fleste beregningsgeometriske problemer er baseret på.

I denne lektion opretter vi et program til finde ligningen af \u200b\u200bden lige linjepasserer gennem det givne to punkter... For at løse geometriske problemer har vi brug for en vis viden om beregningsgeometri. Vi vil afsætte en del af lektionen til at lære dem at kende.

Computational Geometry Insights

Computational geometry er en gren af \u200b\u200bdatalogi, der studerer algoritmer til løsning af geometriske problemer.

De indledende data for sådanne opgaver kan være et sæt punkter på et plan, et sæt segmenter, en polygon (specificeret for eksempel ved en liste over dens hjørner i urets rækkefølge) osv.

Resultatet kan enten være et svar på et spørgsmål (såsom om et punkt tilhører et segment, om to segment krydser hinanden, ...) eller et eller andet geometrisk objekt (for eksempel den mindste konvekse polygon, der forbinder givne punkter, området for En polygon osv.) ...

Vi vil kun overveje beregningsgeometri problemer på et plan og kun i et kartesisk koordinatsystem.

Vektorer og koordinater

For at anvende metoderne til beregningsgeometri er det nødvendigt at oversætte geometriske billeder til talets sprog. Vi antager, at der er et kartesisk koordinatsystem på planet, hvor rotationsretningen mod uret kaldes positiv.

Geometriske objekter udtrykkes nu analytisk. Så for at indstille et punkt er det nok at indikere dets koordinater: et par tal (x; y). Et segment kan specificeres ved at specificere koordinaterne for dets ender, en lige linje kan specificeres ved at specificere koordinaterne for et par af dets punkter.

Men det vigtigste værktøj til løsning af problemer vil være vektorer. Derfor vil jeg minde dig om nogle oplysninger om dem.

Afsnit AB, på hvilket tidspunkt OG betragtes som begyndelsen (anvendelsesstedet) og pointen I - slutningen kaldes en vektor AB og betegner f.eks. en eller en fed, lille bogstav og .

For at betegne længden af \u200b\u200ben vektor (det vil sige længden af \u200b\u200bdet tilsvarende segment) bruger vi modulssymbolet (for eksempel).

En vilkårlig vektor vil have koordinater svarende til forskellen mellem de tilsvarende koordinater i slutningen og begyndelsen:

,

her er punkterne EN og B har koordinater henholdsvis.

Til beregninger bruger vi konceptet orienteret vinkeldet vil sige den vinkel, der tager hensyn til vektorernes relative position.

Orienteret vinkel mellem vektorer -en og b positiv, hvis rotation væk fra vektor -en til vektor b udføres i den positive retning (mod uret) og ellers negativt. Se fig. 1a, fig. 1b. De siger også, at et par vektorer -en og b positivt (negativt) orienteret.

Værdien af \u200b\u200bden orienterede vinkel afhænger således af rækkefølgen, hvor vektorerne er anført, og kan tage værdier i området.

Mange problemer med beregningsgeometri bruger begrebet vektorprodukter (skæv eller pseudoskalar) af vektorer.

Vektorproduktet af vektorerne a og b er produktet af længderne af disse vektorer ved sinus af vinklen mellem dem:

.

Vektorprodukt af vektorer i koordinater:

Udtrykket til højre er en andenordens determinant:

I modsætning til definitionen i analytisk geometri er det en skalar.

Tværprodukttegnet bestemmer vektorernes position i forhold til hinanden:

-en og b positivt orienteret.

Hvis en værdi, så et par vektorer -en og b negativt orienteret.

Vektorproduktet af ikke-nulvektorer er nul, hvis og kun hvis de er kollinære ( ). Dette betyder, at de ligger på en lige linje eller på parallelle linjer.

Lad os overveje et par af de enkleste opgaver, der kræves, når vi løser mere komplekse.

Lad os definere ligningen af \u200b\u200ben lige linje ved hjælp af koordinaterne for to punkter.

Ligning af en lige linje, der passerer gennem to forskellige punkter, givet af deres koordinater.

Lad to ikke-sammenfaldende punkter gives på en lige linje: med koordinater (x1; y1) og med koordinater (x2; y2). Følgelig har en vektor med en begyndelse ved et punkt og en ende ved et punkt koordinater (x2-x1, y2-y1). Hvis P (x, y) er et vilkårligt punkt på vores linje, er vektorkoordinaterne (x-x1, y - y1).

Ved hjælp af vektorproduktet kan kollinearitetsbetingelsen for vektorer skrives som følger:

De der. (x-x1) (y2-y1) - (y-y1) (x2-x1) \u003d 0

(y2-y1) x + (x1-x2) y + x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1) \u003d 0

Vi omskriver den sidste ligning som følger:

ax + ved + c \u003d 0, (1)

c \u003d x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1)

Så en lige linje kan indstilles ved hjælp af en ligning af formularen (1).

Opgave 1. Koordinaterne for to punkter gives. Find dets repræsentation som ax + ved + c \u003d 0.

I denne lektion blev vi bekendt med nogle oplysninger fra beregningsgeometri. Vi løste problemet med at finde ligningen af \u200b\u200ben linje ved hjælp af koordinaterne for to punkter.

I den næste lektion skriver vi et program for at finde skæringspunktet mellem to linjer givet af vores egne ligninger.

Givet to point M(x1 ,Har1) og N(x2, y2). Lad os finde ligningen af \u200b\u200bden lige linje, der passerer gennem disse punkter.

Da denne linje passerer gennem punktet Mså har ligningen ifølge formel (1.13) formen

Har – Y1 = K(X - x1),

Hvor K - ukendt hældning.

Værdien af \u200b\u200bdenne koefficient bestemmes ud fra den betingelse, at den ønskede lige linje passerer gennem punktet Nog dermed tilfredsstiller dens koordinater ligningen (1.13)

Y2 – Y1 = K(x2 – x1),

Herfra kan du finde hældningen på denne lige linje:

,

Eller efter konvertering

(1.14)

Formel (1.14) bestemmer Ligning af en lige linje, der passerer gennem to punkter M(x1, Y1) og N(x2, Y2).

I det særlige tilfælde når punkterne M(EN, 0), N(0, B), OG ¹ 0, B ¹ 0, lig på koordinatakserne, ligning (1.14) har en enklere form

Ligning (1,15) hedder Ved ligningen af \u200b\u200ben lige linje i segmenter, her OG og B betegne segmenterne afskåret med en lige linje på akserne (figur 1.6).

Figur 1.6

Eksempel 1.10. Lig en lige linje gennem punkter M(1, 2) og B(3, –1).

. Ifølge (1.14) har ligningen af \u200b\u200bden søgte linje formen

2(Y – 2) = -3(x – 1).

Når vi overfører alle termer til venstre, opnår vi endelig den ønskede ligning

3x + 2Y – 7 = 0.

Eksempel 1.11. Lig en lige linje gennem et punkt M(2, 1) og linjernes skæringspunkt x+ Y -1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. Vi finder koordinaterne for skæringspunktet for de lige linjer ved at løse de givne ligninger sammen

Hvis vi tilføjer disse ligninger hver for sig, får vi 2 x + 1 \u003d 0, hvorfra Ved at erstatte den fundne værdi i en ligning finder vi ordinatens værdi Har:

Nu skriver vi ligningen for den lige linje, der passerer gennem punkterne (2, 1) og:

eller.

Derfor eller –5 ( Y – 1) = x – 2.

Endelig får vi ligningen af \u200b\u200bden ønskede lige linje i formularen x + 5Y – 7 = 0.

Eksempel 1.12. Find ligningen for den lige linje, der passerer gennem punkterne M(2,1) og N(2,3).

Ved hjælp af formel (1.14) får vi ligningen

Det giver ikke mening, da den anden nævneren er nul. Det kan ses af problemstillingen, at abscissas af begge punkter har samme værdi. Derfor er den søgte linje parallel med aksen OY og ligningen er: x = 2.

Kommentar . Hvis en af \u200b\u200bnævnerne, når man skriver ligningen af \u200b\u200ben lige linje i henhold til formel (1.14), viser sig at være lig med nul, kan den ønskede ligning opnås ved at ligne den tilsvarende tæller med nul.

Overvej andre måder at definere en lige linje på et plan.

1. Lad en ikke-nul-vektor være vinkelret på den givne linje Log peg M0(x0, Y0) ligger på denne lige linje (figur 1.7).

Figur 1.7

Vi betegner M(x, Y) et vilkårligt punkt på linjen L... Vektorer og Ortogonal. Ved hjælp af ortogonalitetsbetingelserne for disse vektorer opnår vi en af \u200b\u200bdem OG(x – x0) + B(Y – Y0) = 0.

Vi fik ligningen af \u200b\u200ben lige linje, der passerer gennem et punkt M0 vinkelret på vektoren. Denne vektor kaldes Den normale vektor til lige L... Den resulterende ligning kan omskrives som

Åh + Woo + FRA \u003d 0, hvor FRA = –(OGx0 + Ved0), (1.16),

Hvor OG og I- koordinater for den normale vektor.

Vi får den generelle ligning af den lige linje i parametrisk form.

2. En lige linje på et plan kan specificeres som følger: lad en ikke-nul-vektor være parallel med en given lige linje L og peg M0(x0, Y0) ligger på denne lige linje. Lad os tage et vilkårligt punkt igen M(x, y) på en lige linje (figur 1.8).

Figur 1.8

Vektorer og collinear.

Lad os nedskrive kollinearitetsbetingelsen for disse vektorer :, hvor T - et vilkårligt nummer kaldet en parameter. Lad os skrive denne lighed i koordinater:

Disse ligninger kaldes Parametriske ligninger Lige... Vi udelukker parameteren fra disse ligninger T:

Disse ligninger kan ellers skrives i form

. (1.18)

Den resulterende ligning kaldes Den kanoniske ligning af den lige linje... Vektoren kaldes Retningsvektoren for den lige linje .

Kommentar . Det er let at se, at hvis er den normale vektor til linjen L, kan dens retningsvektor være en vektor, da, dvs.

Eksempel 1.13. Skriv ligningen for den lige linje, der passerer gennem punktet M0 (1, 1) parallel med lige linje 3 x + 2Har– 8 = 0.

Afgørelse . Vektoren er den normale vektor til de givne og ønskede lige linjer. Vi bruger ligningen af \u200b\u200bden lige linje, der passerer gennem punktet M0 med en given normal vektor 3 ( x –1) + 2(Har - 1) \u003d 0 eller 3 x + 2y - 5 \u003d 0. Modtaget ligningen for den ønskede lige linje.

Ligning af en lige linje, der passerer gennem et givet punkt i en given retning. Ligning af en lige linje, der passerer gennem to givne punkter. Vinklen mellem to lige linjer. Betingelsen for parallelitet og vinkelrethed på to linjer. Bestemmelse af skæringspunktet for to linjer

1. Ligning af en lige linje, der passerer gennem et givet punkt EN(x 1 , y 1) i en given retning bestemt af hældningen k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Denne ligning definerer et bundt af lige linjer, der passerer gennem punktet EN(x 1 , y 1), som kaldes bjælkens centrum.

2. Ligning af en lige linje, der passerer gennem to punkter: EN(x 1 , y 1) og B(x 2 , y 2) er skrevet som følger:

Hældningen af \u200b\u200ben lige linje, der passerer gennem to givne punkter, bestemmes af formlen

3. Vinkel mellem lige linjer EN og B kaldes den vinkel, hvormed du skal dreje den første lige linje EN omkring skæringspunktet mellem disse linjer mod uret, indtil det falder sammen med den anden linje B... Hvis to lige linjer er givet ved ligninger med en hældning

y = k 1 x + B 1 ,