Foredrag: Vektorkoordinater; prikprodukt af vektorer; vinkel mellem vektorer

Vektorkoordinater

Så, som tidligere nævnt, er en vektor et rettet segment, der har sin egen begyndelse og slutning. Hvis begyndelsen og slutningen er repræsenteret af nogle punkter, så har de deres egne koordinater på planet eller i rummet.

Hvis hvert punkt har sine egne koordinater, så kan vi få koordinaterne for hele vektoren.

Antag, at vi har en vektor, hvis begyndelse og slutning af vektoren har følgende betegnelser og koordinater: A(A x ; Ay) og B(B x ; By)

For at få koordinaterne til denne vektor er det nødvendigt at trække de tilsvarende startkoordinater fra koordinaterne for enden af ​​vektoren:

For at bestemme koordinaten for en vektor i rummet skal du bruge følgende formel:

Punktprodukt af vektorer

Der er to måder at definere begrebet prikprodukt på:

• Geometrisk måde. Ifølge ham er det skalære produkt lig med produktet af værdierne af disse moduler og cosinus af vinklen mellem dem.

• algebraisk betydning. Fra et algebras synspunkt er skalarproduktet af to vektorer en vis værdi, der stammer fra summen af ​​produkterne af de tilsvarende vektorer.

Hvis vektorerne er givet i rummet, skal du bruge en lignende formel:

Ejendomme:

• Hvis du multiplicerer to identiske vektorer skalarisk, vil deres skalarprodukt være ikke-negativt:

• Hvis skalarproduktet af to identiske vektorer viste sig at være lig nul, betragtes disse vektorer som nul:

• Hvis en bestemt vektor ganges med sig selv, vil skalarproduktet være lig med kvadratet af dets modul:

• Det skalære produkt har en kommunikativ egenskab, det vil sige, det skalære produkt vil ikke ændre sig fra en permutation af vektorer:

• Det skalære produkt af vektorer uden for nul kan kun være nul, hvis vektorerne er vinkelrette på hinanden:

• For skalarproduktet af vektorer er den kommutative lov gyldig i tilfælde af at gange en af ​​vektorerne med et tal:

• Med et prikprodukt kan du også bruge den fordelende egenskab ved multiplikation:

Vinkel mellem vektorer

Definition 1

Det skalære produkt af vektorer kaldes et tal, der er lig med produktet af disse vektorers dyner og cosinus af vinklen mellem dem.

Notationen for produktet af vektorerne a → og b → har formen a → , b → . Lad os konvertere til formlen:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ . a → og b → angiver længderne af vektorerne, a → , b → ^ angiver vinklen mellem de givne vektorer. Hvis mindst én vektor er nul, dvs. den har en værdi på 0, vil resultatet være nul, a → , b → = 0

Når vi multiplicerer en vektor med sig selv, får vi kvadratet af dens dyn:

a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

Definition 2

Den skalære multiplikation af en vektor i sig selv kaldes et skalært kvadrat.

Beregnet efter formlen:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ .

At skrive a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a → npa → b → = b → npb → a → viser, at npb → a → er en numerisk projektion af a → på b → , npa → a → - projektion af b → på henholdsvis a →.

Vi formulerer definitionen af ​​produktet for to vektorer:

Skalarproduktet af to vektorer a → ved b → kaldes produktet af længden af ​​vektoren a → ved projektionen af ​​b → i retningen a → eller produktet af længden af ​​b → ved projektionen af ​​a →, henholdsvis.

Punktér produktet i koordinater

Beregningen af ​​skalarproduktet kan foretages gennem vektorernes koordinater i et givet plan eller i rummet.

Skalarproduktet af to vektorer på et plan, i tredimensionelt rum, kaldes summen af ​​koordinaterne for de givne vektorer a → og b → .

Når du beregner på planet af prikproduktet af givne vektorer a → = (a x, a y), b → = (b x, b y) i det kartesiske system, skal du bruge:

a → , b → = a x b x + a y b y ,

for tredimensionelt rum gælder udtrykket:

a →, b → = a x b x + a y b y + a z b z.

Faktisk er dette den tredje definition af prikproduktet.

Lad os bevise det.

Bevis 1

For at bevise det bruger vi a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = ax bx + ay by for vektorer a → = (ax , ay) , b → = (bx , by) på kartesisk system.

Vektorer bør udskydes

OA → = a → = a x , a y og O B → = b → = b x , b y .

Så vil længden af ​​vektoren A B → være lig med A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) .

Betragt en trekant O A B .

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) er sand, baseret på cosinussætningen.

Ved betingelse kan det ses, at O ​​A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , så vi skriver formlen for at finde vinklen mellem vektorer forskelligt

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a → , b → ^) .

Så følger det af den første definition, at b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a → , b →) , så (a → , b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .

Ved at anvende formlen til beregning af længden af ​​vektorer får vi:
a → , b → = 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + med 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (ved - ay) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (ved - ay) 2) = = ax bx + ay by

Lad os bevise lighederne:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

– henholdsvis for vektorer af tredimensionelt rum.

Det skalære produkt af vektorer med koordinater siger, at en vektors skalarkvadrat er lig med summen af ​​kvadraterne af dens koordinater i henholdsvis rummet og på planet. a → = (a x, a y, a z), b → = (b x, b y, b z) og (a →, a →) = a x 2 + a y 2 .

Dot produkt og dets egenskaber

Der er punktproduktegenskaber, der gælder for a → , b → og c → :

1. kommutativitet (a → , b →) = (b → , a →) ;
2. distributivitet (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → c →);
3. associativ egenskab (λ a → , b →) = λ (a → , b →) , (a → , λ b →) = λ (a → , b →), λ - et hvilket som helst tal;
4. skalarkvadraten er altid større end nul (a → , a →) ≥ 0 , hvor (a → , a →) = 0 når a → nul.

Egenskaberne forklares ved definitionen af ​​prikproduktet i planet og af egenskaberne ved addition og multiplikation af reelle tal.

Bevis kommutativitetsegenskaben (a → , b →) = (b → , a →) . Fra definitionen har vi, at (a → , b →) = a y b y + a y b y og (b → , a →) = b x a x + b y a y .

Ved egenskaben kommutativitet er lighederne a x · b x = b x · a x og a y · b y = b y · a y sande, så a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .

Det følger, at (a → , b →) = (b → , a →) . Q.E.D.

Fordeling er gyldig for alle numre:

(a (1) → + a (2) → + . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) +. . . + (a (n) → , b →)

og (a → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)) ,

derfor har vi

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . . . + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) +. . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) +. . . + (a (2) →, b (m) →) +. . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)

Prik produkt med eksempler og løsninger

Ethvert problem med en sådan plan løses ved hjælp af egenskaberne og formlerne vedrørende det skalære produkt:

1. (a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) ;
2. (a → , b →) = a → · n pa → b → = b → · n p b → a → ;
3. (a →, b →) = a x b x + a y b y eller (a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z;
4. (a → , a →) = a → 2 .

Lad os se på nogle eksempler på løsninger.

Eksempel 2

Længden af ​​a → er 3, længden af ​​b → er 7. Find prikproduktet, hvis vinklen har 60 grader.

Opløsning

Efter betingelse har vi alle data, så vi beregner med formlen:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Svar: (a → , b →) = 21 2 .

Eksempel 3

Givet vektorer a → = (1 , - 1 , 2 - 3), b → = (0 , 2 , 2 + 3) . Hvad er det skalære produkt.

Opløsning

I dette eksempel overvejes formlen til beregning af koordinaterne, da de er specificeret i problemformuleringen:

(a → , b →) = ax bx + ay by + az bz = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Svar: (a → , b →) = - 9

Eksempel 4

Find det indre produkt af A B → og A C → . Punkterne A (1 , - 3), B (5 , 4) , C (1 , 1) er givet på koordinatplanet.

Opløsning

Til at begynde med beregnes vektorernes koordinater, da punkternes koordinater er givet af betingelsen:

A B → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) A C → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)

Ved at indsætte i formlen ved hjælp af koordinater får vi:

(A B →, A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28 .

Svar: (A B → , A C →) = 28 .

Eksempel 5

Givet vektorer a → = 7 m → + 3 n → og b → = 5 m → + 8 n → , find deres produkt. m → er lig med 3 og n → er lig med 2 enheder, de er vinkelrette.

Opløsning

(a →, b →) = (7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →). Ved at anvende fordelingsegenskaben får vi:

(7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) = = (7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →)

Vi tager koefficienten uden for produktets fortegn og får:

(7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →) = = 7 5 (m → , m →) + 7 8 (m → , n →) + 3 5 (n → , m →) + 3 8 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →)

Ved egenskaben kommutativitet transformerer vi:

35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n → ) + 24 (n → , n →)

Som et resultat får vi:

(a →, b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n →, n →).

Nu anvender vi formlen for skalarproduktet med den vinkel, der er angivet af betingelsen:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411.

Svar: (a → , b →) = 411

Hvis der er en numerisk fremskrivning.

Eksempel 6

Find det indre produkt af a → og b → . Vektoren a → har koordinater a → = (9 , 3 , - 3), projektionen b → har koordinater (- 3 , - 1 , 1) .

Opløsning

Ved betingelse er vektorerne a → og projektionen b → modsat rettede, fordi a → = - 1 3 npa → b → → , så projektionen b → svarer til længden npa → b → → , og med "-" skilt:

n pa → b → → = - n pa → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

Ved at indsætte i formlen får vi udtrykket:

(a → , b →) = a → n pa → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33 .

Svar: (a → , b →) = - 33 .

Problemer med et kendt skalarprodukt, hvor det er nødvendigt at finde længden af ​​en vektor eller en numerisk projektion.

Eksempel 7

Hvilken værdi skal λ tage for et givet skalarprodukt a → \u003d (1, 0, λ + 1) og b → \u003d (λ, 1, λ) vil være lig med -1.

Opløsning

Fra formlen kan det ses, at det er nødvendigt at finde summen af ​​produkterne af koordinater:

(a →, b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ.

I givet har vi (a → , b →) = - 1 .

For at finde λ beregner vi ligningen:

λ2 + 2 · λ = -1, derfor λ = -1.

Svar: λ = - 1 .

Den fysiske betydning af det skalære produkt

Mekanik overvejer anvendelsen af ​​prikproduktet.

Når man arbejder med A med en konstant kraft F → et legeme i bevægelse fra punkt M til N, kan man finde produktet af længderne af vektorerne F → og MN → med cosinus af vinklen mellem dem, hvilket betyder, at arbejdet er ens. til produktet af kraft- og forskydningsvektorerne:

A = (F →, M N →).

Eksempel 8

Forskydningen af ​​et materialepunkt med 3 meter under påvirkning af en kraft lig med 5 Nton er rettet i en vinkel på 45 grader i forhold til aksen. Find en .

Opløsning

Da arbejde er produktet af kraftvektoren og forskydningen, så får vi baseret på betingelsen F → = 5 , S → = 3 , (F → , S → ^) = 45 ° , A = (F → , S → ) = F → S → cos (F → , S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2 .

Svar: A = 15 2 2 .

Eksempel 9

Materialepunktet, der bevægede sig fra M (2, - 1, - 3) til N (5, 3 λ - 2, 4) under kraften F → = (3, 1, 2), virkede lig med 13 J. Beregn bevægelsens længde.

Opløsning

For givne koordinater for vektoren M N → har vi M N → = (5 - 2 , 3 λ - 2 - (- 1), 4 - (- 3)) = (3 , 3 λ - 1 , 7) .

Ved formlen for at finde arbejde med vektorerne F → = (3 , 1 , 2) og MN → = (3 , 3 λ - 1 , 7) får vi A = (F ⇒ , MN →) = 3 3 + 1 (3 λ - 1) + 27 = 22 + 3λ.

Ved betingelse er det givet, at A \u003d 13 J, hvilket betyder 22 + 3 λ \u003d 13. Dette indebærer λ = - 3 , derfor M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) = (3 , - 10 , 7) .

For at finde rejselængden M N → anvender vi formlen og erstatter værdierne:

MN → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158 .

Svar: 158 .

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

Der vil også være opgaver til en selvstændig løsning, som du kan se svarene på.

Hvis i problemet både længderne af vektorerne og vinklen mellem dem præsenteres "på et sølvfad", så ser problemets tilstand og dets løsning sådan ud:

Eksempel 1 Vektorer er givet. Find skalarproduktet af vektorer, hvis deres længder og vinklen mellem dem er repræsenteret af følgende værdier:

En anden definition er også gyldig, som fuldstændig svarer til definition 1.

Definition 2. Det skalære produkt af vektorer er et tal (skalar) lig med produktet af længden af ​​en af ​​disse vektorer og projektionen af ​​en anden vektor på aksen bestemt af den første af disse vektorer. Formel ifølge definition 2:

Vi vil løse problemet ved hjælp af denne formel efter det næste vigtige teoretiske punkt.

Definition af skalarproduktet af vektorer i form af koordinater

Det samme antal kan opnås, hvis de multiplicerede vektorer er givet ved deres koordinater.

Definition 3. Punktproduktet af vektorer er tallet lig med summen af ​​de parvise produkter af deres respektive koordinater.

På overfladen

Hvis to vektorer og i planet er defineret af deres to Cartesiske koordinater

så er prikproduktet af disse vektorer lig med summen af ​​de parvise produkter af deres respektive koordinater:

.

Eksempel 2 Find den numeriske værdi af projektionen af ​​vektoren på aksen parallelt med vektoren.

Opløsning. Vi finder skalarproduktet af vektorer ved at tilføje de parvise produkter af deres koordinater:

Nu skal vi sidestille det resulterende skalarprodukt til produktet af vektorens længde og projektionen af ​​vektoren på en akse parallel med vektoren (i overensstemmelse med formlen).

Vi finder længden af ​​vektoren som kvadratroden af ​​summen af ​​kvadraterne af dens koordinater:

.

Skriv en ligning og løs den:

Svar. Den ønskede numeriske værdi er minus 8.

I rummet

Hvis to vektorer og i rummet er defineret af deres tre kartesiske rektangulære koordinater

,

så er skalarproduktet af disse vektorer også lig med summen af ​​de parvise produkter af deres respektive koordinater, kun der allerede er tre koordinater:

.

Opgaven med at finde skalarproduktet på den velovervejede måde er efter at have analyseret skalarproduktets egenskaber. For i opgaven vil det være nødvendigt at bestemme, hvilken vinkel de multiplicerede vektorer danner.

Egenskaber for prikproduktet af vektorer

Algebraiske egenskaber

1. (kommutativ egenskab: værdien af ​​deres skalarprodukt ændrer sig ikke fra at ændre stederne for multiplicerede vektorer).

2. (associativ egenskab med hensyn til en numerisk faktor: skalarproduktet af en vektor ganget med en eller anden faktor, og en anden vektor er lig med skalarproduktet af disse vektorer ganget med den samme faktor).

3. (fordelingsegenskab med hensyn til summen af ​​vektorer: skalarproduktet af summen af ​​to vektorer med den tredje vektor er lig med summen af ​​skalarprodukterne af den første vektor med den tredje vektor og den anden vektor med den tredje vektor).

4. (skalar kvadrat af en vektor større end nul) if er en vektor, der ikke er nul, og , hvis er en nulvektor.

Geometriske egenskaber

I definitionerne af den undersøgte operation har vi allerede berørt begrebet en vinkel mellem to vektorer. Det er på tide at præcisere dette koncept.

I figuren ovenfor er to vektorer synlige, som bringes til en fælles begyndelse. Og den første ting du skal være opmærksom på: der er to vinkler mellem disse vektorer - φ 1 Og φ 2 . Hvilken af ​​disse vinkler optræder i definitionerne og egenskaberne for skalarproduktet af vektorer? Summen af ​​de betragtede vinkler er 2 π og derfor er disse vinklers cosinus ens. Definitionen af ​​prikproduktet inkluderer kun cosinus af vinklen, ikke værdien af ​​dets udtryk. Men kun ét hjørne tages i betragtning i ejendommene. Og det er den af ​​de to vinkler, der ikke overstiger π altså 180 grader. Denne vinkel er vist på figuren som φ 1 .

1. To vektorer kaldes ortogonal Og vinklen mellem disse vektorer er ret (90 grader eller π /2 ) hvis skalarproduktet af disse vektorer er nul :

.

Ortogonalitet i vektoralgebra er vinkelretheden af ​​to vektorer.

2. To ikke-nul vektorer udgør skarpt hjørne (fra 0 til 90 grader, eller hvad der er det samme, mindre π prik produkt er positivt .

3. To ikke-nul vektorer udgør Stump vinkel (fra 90 til 180 grader, eller hvad er det samme - mere π /2 ) hvis og kun hvis prikproduktet er negativt .

Eksempel 3 Vektorer er angivet i koordinater:

.

Beregn prikprodukterne af alle par af givne vektorer. Hvilken vinkel (spids, ret, stump) danner disse vektorpar?

Opløsning. Vi vil beregne ved at tilføje produkterne af de tilsvarende koordinater.

Vi fik et negativt tal, så vektorerne danner en stump vinkel.

Vi fik et positivt tal, så vektorerne danner en spids vinkel.

Vi fik nul, så vektorerne danner en ret vinkel.

Vi fik et positivt tal, så vektorerne danner en spids vinkel.

.

Vi fik et positivt tal, så vektorerne danner en spids vinkel.

Til selvtest kan du bruge online lommeregner Punktprodukt af vektorer og cosinus af vinklen mellem dem .

Eksempel 4 Givet længden af ​​to vektorer og vinklen mellem dem:

.

Bestem ved hvilken værdi af tallet vektorerne og er ortogonale (vinkelrette).

Opløsning. Vi multiplicerer vektorerne i henhold til reglen for multiplikation af polynomier:

Lad os nu beregne hvert led:

.

Lad os sammensætte en ligning (produktets lighed med nul), give lignende udtryk og løse ligningen:

Svar: vi fik værdien λ = 1,8 , hvor vektorerne er ortogonale.

Eksempel 5 Bevis, at vektoren ortogonal (vinkelret) på vektor

Opløsning. For at kontrollere ortogonalitet multiplicerer vi vektorerne og som polynomier, og erstatter udtrykket givet i problembetingelsen i stedet for det:

.

For at gøre dette skal du gange hvert led (led) i det første polynomium med hvert led i det andet og tilføje de resulterende produkter:

.

Som følge heraf reduceres den skyldige fraktion. Følgende resultat opnås:

Konklusion: som et resultat af multiplikation fik vi nul, derfor er ortogonaliteten (vinkelret) af vektorerne bevist.

Løs problemet selv og se derefter løsningen

Eksempel 6 Givet længderne af vektorer og , Og vinklen mellem disse vektorer er π /4. Bestem til hvilken værdi μ vektorer og er indbyrdes vinkelrette.

Til selvtest kan du bruge online lommeregner Punktprodukt af vektorer og cosinus af vinklen mellem dem .

Matrixrepræsentation af skalarproduktet af vektorer og produktet af n-dimensionelle vektorer

Nogle gange er det for klarhedens skyld fordelagtigt at repræsentere to multiplicerede vektorer i form af matricer. Så er den første vektor repræsenteret som en rækkematrix, og den anden - som en kolonnematrix:

Så vil skalarproduktet af vektorer være produktet af disse matricer :

Resultatet er det samme som det opnåede ved den metode, vi allerede har overvejet. Vi fik et enkelt tal, og produktet af matrixrækken ved matrixkolonnen er også et enkelt tal.

I matrixform er det praktisk at repræsentere produktet af abstrakte n-dimensionelle vektorer. Således vil produktet af to firedimensionelle vektorer være produktet af en rækkematrix med fire elementer ved en søjlematrix også med fire elementer, produktet af to femdimensionelle vektorer vil være produktet af en rækkematrix med fem elementer ved en kolonnematrix også med fem elementer, og så videre.

Eksempel 7 Find prikprodukter af par af vektorer

,

ved hjælp af matrixrepræsentation.

Opløsning. Det første par af vektorer. Vi repræsenterer den første vektor som en rækkematrix, og den anden som en kolonnematrix. Vi finder skalarproduktet af disse vektorer som produktet af rækkematricen ved kolonnematrixen:

På samme måde repræsenterer vi det andet par og finder:

Som du kan se, er resultaterne de samme som for de samme par fra eksempel 2.

Vinkel mellem to vektorer

Udledningen af ​​formlen for cosinus af vinklen mellem to vektorer er meget smuk og kortfattet.

At udtrykke prikproduktet af vektorer

(1)

i koordinatform finder vi først skalarproduktet af orterne. Det skalære produkt af en vektor med sig selv er per definition:

Hvad der er skrevet i formlen ovenfor betyder: skalarproduktet af en vektor med sig selv er lig med kvadratet af dens længde. Cosinus af nul er lig med én, så kvadratet af hver ort er lig med én:

Siden vektorerne

er parvis vinkelrette, så vil de parvise produkter af orterne være lig med nul:

Lad os nu udføre multiplikationen af ​​vektorpolynomier:

Vi erstatter i højre side af ligheden værdierne af de tilsvarende skalarprodukter fra orterne:

Vi får formlen for cosinus af vinklen mellem to vektorer:

Eksempel 8 Givet tre point EN(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Find en vinkel.

Opløsning. Vi finder vektorernes koordinater:

,

.

Ved at bruge formlen for cosinus af en vinkel får vi:

Følgelig, .

Til selvtest kan du bruge online lommeregner Punktprodukt af vektorer og cosinus af vinklen mellem dem .

Eksempel 9 Givet to vektorer

Find summen, forskellen, længden, prikproduktet og vinklen mellem dem.

2. Forskel

Vektor og prikprodukt gør det nemt at beregne vinklen mellem vektorer. Lad to vektorer $\overline(a)$ og $\overline(b)$ være givet, den orienterede vinkel mellem dem er lig med $\varphi$. Lad os beregne værdierne $x = (\overline(a),\overline(b))$ og $y = [\overline(a),\overline(b)]$. Derefter $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$, hvor $r=|\overline(a)|\cdot|\overline(b)|$ og $\varphi$ er det ønskede vinkel, det vil sige, at punktet $(x, y)$ har en polær vinkel lig med $\varphi$, og derfor kan $\varphi$ findes som atan2(y, x).

Areal af en trekant

Da vektorproduktet indeholder produktet af to vektorlængder og cosinus af vinklen mellem dem, kan vektorproduktet bruges til at beregne arealet af trekanten ABC:

$ S_(ABC) = \frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AC)]| $.

Punkt, der hører til en linje

Lad et punkt $P$ og en linje $AB$ (givet af to punkter $A$ og $B$) blive givet. Det er nødvendigt at kontrollere, om et punkt hører til linjen $AB$.

Et punkt hører til linjen $AB$, hvis og kun hvis vektorerne $AP$ og $AB$ er kollineære, dvs. hvis $ [ \overline(AP), \overline(AB)]=0 $.

Et punkts tilhørsforhold til en stråle

Lad et punkt $P$ og en stråle $AB$ (givet ved to punkter - begyndelsen af ​​strålen $A$ og et punkt på strålen $B$) blive givet. Det er nødvendigt at kontrollere, om punktet hører til strålen $AB$.

Der skal tilføjes en yderligere betingelse til betingelsen om, at punktet $P$ hører til linjen $AB$ - vektorerne $AP$ og $AB$ er codirectional, det vil sige, at de er kollineære og deres skalære produkt er ikke-negativ, det vil sige $(\overline(AB), \overline(AP ))\ge $0.

Punkt, der hører til et segment

Lad et punkt $P$ og et segment $AB$ gives. Det er nødvendigt at kontrollere, om punktet hører til segmentet $AB$.

I dette tilfælde skal punktet tilhøre både ray $AB$ og ray $BA$, så følgende betingelser skal kontrolleres:

$[\overline(AP), \overline(AB)]=0$,

$(\overline(AB), \overline(AP))\ge 0$,

$(\overline(BA), \overline(BP))\ge 0$.

Afstand fra punkt til linje

Lad et punkt $P$ og en linje $AB$ (givet af to punkter $A$ og $B$) blive givet. Det er nødvendigt at finde afstanden fra punktet på den lige linje $AB$.

Overvej trekant ABP. På den ene side er området $S_(ABP)=\frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AP) ]|$.

På den anden side er dens areal $S_(ABP)= \frac(1)(2)h |AB|$, hvor $h$ er højden fra $P$, dvs. afstanden fra $P$ til $ AB $. Hvorfra $h=|[\overline(AB),\overline(AP)]|/|AB|$.

Afstand fra punkt til stråle

Lad et punkt $P$ og en stråle $AB$ (givet ved to punkter - begyndelsen af ​​strålen $A$ og et punkt på strålen $B$) blive givet. Det er nødvendigt at finde afstanden fra punktet til strålen, det vil sige længden af ​​det korteste segment fra punktet $P$ til ethvert punkt i strålen.

Denne afstand er lig med enten længden $AP$ eller afstanden fra punktet $P$ til linjen $AB$. Hvilket af tilfældene, der finder sted, kan let bestemmes af den relative position af strålen og punktet. Hvis vinklen PAB er spids, dvs. $(\overline(AB),\overline(AP)) > 0$, så er svaret afstanden fra punktet $P$ til linjen $AB$, ellers er svaret længden af segmentet $AB$.

Afstand fra punkt til linje

Lad et punkt $P$ og et segment $AB$ gives. Det er nødvendigt at finde afstanden fra $P$ til segmentet $AB$.

Hvis bunden af ​​vinkelret faldt fra $P$ til linjen $AB$ falder på segmentet $AB$, hvilket kan kontrolleres af betingelserne

$(\overline(AP), \overline(AB))\ge 0$,

$(\overline(BP), \overline(BA))\ge 0$,

så er svaret afstanden fra punktet $P$ til linjen $AB$. Ellers vil afstanden være lig med $\min(AP, BP)$.

Punktprodukt af vektorer

Vi fortsætter med at beskæftige os med vektorer. Ved første lektion Vektorer til dummies vi har overvejet begrebet vektor, handlinger med vektorer, vektorkoordinater og de simpleste problemer med vektorer. Hvis du kom til denne side for første gang fra en søgemaskine, kan jeg varmt anbefale at læse ovenstående introduktionsartikel, da du for at assimilere materialet skal vejledes i de termer og notation jeg bruger, have grundlæggende viden om vektorer og kunne løse elementære problemer. Denne lektion er en logisk fortsættelse af emnet, og i den vil jeg analysere i detaljer typiske opgaver, der bruger det skalære produkt af vektorer. Dette er et MEGET VIGTIGT job.. Prøv ikke at springe eksemplerne over, de er ledsaget af en nyttig bonus - praksis vil hjælpe dig med at konsolidere det dækkede materiale og "få din hånd" på at løse almindelige problemer med analytisk geometri.

Tilføjelse af vektorer, gange en vektor med et tal... Det ville være naivt at tro, at matematikere ikke har fundet på noget andet. Ud over de allerede overvejede handlinger er der en række andre operationer med vektorer, nemlig: prikprodukt af vektorer, krydsprodukt af vektorer Og blandet produkt af vektorer. Det skalære produkt af vektorer er kendt for os fra skolen, de to andre produkter er traditionelt relateret til forløbet af højere matematik. Emnerne er enkle, algoritmen til at løse mange problemer er stereotyp og forståelig. Den eneste ting. Der er en anstændig mængde information, så det er uønsket at forsøge at mestre og løse ALT OG PÅ EN GANG. Dette gælder især for dummies, tro mig, forfatteren ønsker absolut ikke at føle sig som Chikatilo fra matematik. Nå, selvfølgelig heller ikke fra matematik =) Mere forberedte elever kan bruge materialerne selektivt, i en vis forstand "tilegne sig" den manglende viden, for dig vil jeg være en harmløs grev Dracula =)

Lad os endelig åbne døren lidt og se på, hvad der sker, når to vektorer møder hinanden...

Definition af skalarproduktet af vektorer.
Egenskaber ved det skalære produkt. Typiske opgaver

Begrebet prikprodukt

Først om vinkel mellem vektorer. Jeg tror, ​​at alle intuitivt forstår, hvad vinklen mellem vektorer er, men for en sikkerheds skyld, lidt mere. Overvej frie vektorer uden nul og . Hvis vi udskyder disse vektorer fra et vilkårligt punkt, får vi et billede, som mange allerede har præsenteret mentalt:

Jeg indrømmer, her beskrev jeg kun situationen på forståelsesniveau. Hvis du har brug for en stram definition af vinklen mellem vektorer, henvises til lærebogen, men til praktiske opgaver har vi i princippet ikke brug for det. Også HER OG VIDERE vil jeg nogle gange ignorere nulvektorer på grund af deres lave praktiske betydning. Jeg lavede en reservation specifikt for avancerede besøgende på webstedet, som kan bebrejde mig den teoretiske ufuldstændighed af nogle af følgende udsagn.

I litteraturen er vinkelikonet ofte udeladt og blot skrevet.

Definition: Skalarproduktet af to vektorer er et TAL lig med produktet af længderne af disse vektorer og cosinus af vinklen mellem dem:

Det er nu en ret streng definition.

Vi fokuserer på væsentlig information:

Betegnelse: det skalære produkt er betegnet med eller blot .

Resultatet af operationen er et TAL: Gang en vektor med en vektor for at få et tal. Faktisk, hvis længderne af vektorer er tal, er cosinus af vinklen et tal, så deres produkt vil også være et nummer.

Bare et par opvarmningseksempler:

Eksempel 1

Opløsning: Vi bruger formlen . I dette tilfælde:

Svar:

Cosinusværdier kan findes i trigonometrisk tabel. Jeg anbefaler at udskrive det - det vil være påkrævet i næsten alle sektioner af tårnet og vil være påkrævet mange gange.

Rent matematisk set er det skalære produkt dimensionsløst, det vil sige, at resultatet i dette tilfælde kun er et tal, og det er det. Ud fra fysikkens problemer har det skalære produkt altid en vis fysisk betydning, det vil sige, at efter resultatet skal en eller anden fysisk enhed angives. Det kanoniske eksempel på beregning af en krafts arbejde kan findes i enhver lærebog (formlen er præcis et prikprodukt). En krafts arbejde måles i Joule, derfor vil svaret blive skrevet helt specifikt, f.eks.

Eksempel 2

Find evt , og vinklen mellem vektorerne er .

Dette er et eksempel på selvbeslutning, svaret er i slutningen af ​​lektionen.

Vinkel mellem vektorer og punktproduktværdi

I eksempel 1 viste det skalære produkt sig at være positivt, og i eksempel 2 viste det sig at være negativt. Lad os finde ud af, hvad tegnet på det skalære produkt afhænger af. Lad os se på vores formel: . Længderne af vektorer, der ikke er nul, er altid positive: , så tegnet kan kun afhænge af værdien af ​​cosinus.

Bemærk: For en bedre forståelse af oplysningerne nedenfor er det bedre at studere cosinusgrafen i manualen Grafer og funktionsegenskaber. Se hvordan cosinus opfører sig på segmentet.

Som allerede nævnt kan vinklen mellem vektorerne variere indenfor , og følgende tilfælde er mulige:

1) Hvis indsprøjtning mellem vektorer krydret: (fra 0 til 90 grader), derefter , Og prikprodukt vil være positivt co-instrueret, så anses vinklen mellem dem for at være nul, og det skalære produkt vil også være positivt. Siden er formlen forenklet: .

2) Hvis indsprøjtning mellem vektorer Dum: (fra 90 til 180 grader), derefter , og tilsvarende, prikproduktet er negativt: . Særligt tilfælde: hvis vektorerne rettet modsat, så overvejes vinklen mellem dem indsat: (180 grader). Det skalære produkt er også negativt, da

De omvendte udsagn er også sande:

1) Hvis , så er vinklen mellem disse vektorer spids. Alternativt er vektorerne kodirektionelle.

2) Hvis , så er vinklen mellem disse vektorer stump. Alternativt er vektorerne rettet modsat.

Men det tredje tilfælde er af særlig interesse:

3) Hvis indsprøjtning mellem vektorer lige: (90 grader) derefter og prikprodukt er nul: . Det modsatte er også sandt: hvis , så . Den kompakte redegørelse er formuleret som følger: Det skalære produkt af to vektorer er nul, hvis og kun hvis de givne vektorer er ortogonale. Kort matematisk notation:

! Bemærk : gentag grundlaget for matematisk logik: dobbeltsidet logisk konsekvensikon læses normalt "hvis og kun da", "hvis og kun hvis". Som du kan se, er pilene rettet i begge retninger - "heraf følger dette, og omvendt - heraf følger dette." Hvad er forskellen fra en-vejs-følge-ikonet? Ikon hævder kun det at "af dette følger dette", og ikke det forhold, at det omvendte er sandt. For eksempel: , men ikke alle dyr er pantere, så ikonet kan ikke bruges i dette tilfælde. På samme tid, i stedet for ikonet kan brug ensidet ikon. For eksempel, mens vi løste problemet, fandt vi ud af, at vi konkluderede, at vektorerne er ortogonale: - sådan en registrering vil være korrekt, og endnu mere passende end .

Det tredje tilfælde er af stor praktisk betydning., da det giver dig mulighed for at kontrollere, om vektorerne er ortogonale eller ej. Vi løser dette problem i anden del af lektionen.

Prik produktegenskaber

Lad os vende tilbage til situationen, når to vektorer co-instrueret. I dette tilfælde er vinklen mellem dem nul, , og den skalære produktformel har formen: .

Hvad sker der, hvis en vektor ganges med sig selv? Det er klart, at vektoren er co-dirigeret med sig selv, så vi bruger ovenstående forenklede formel:

Nummeret ringes op skalar kvadrat vektor , og er betegnet som .

På denne måde det skalære kvadrat af en vektor er lig med kvadratet af længden af ​​den givne vektor:

Fra denne lighed kan du få en formel til at beregne længden af ​​en vektor:

Selvom det virker uklart, men lektionens opgaver vil sætte alt på sin plads. For at løse problemer har vi også brug for prik produktegenskaber.

For vilkårlige vektorer og ethvert tal er følgende egenskaber sande:

1) - forskydelig eller kommutativ skalær produktlov.

2) - distribution el distributive skalær produktlov. Kort sagt kan du åbne parenteser.

3) - kombination eller associativ skalær produktlov. Konstanten kan tages ud af skalarproduktet.

Ofte opfattes alle slags egenskaber (som også skal bevises!) af eleverne som unødvendigt skrald, som først skal huskes og sikkert glemmes umiddelbart efter eksamen. Det ser ud til, at hvad der er vigtigt her, ved alle allerede fra første klasse, at produktet ikke ændrer sig fra en permutation af faktorerne:. Jeg må advare dig, i højere matematik med sådan en tilgang er det let at rode i tingene. Så for eksempel er den kommutative egenskab ikke gyldig for algebraiske matricer. Det er ikke sandt for krydsprodukt af vektorer. Derfor er det i det mindste bedre at dykke ned i de egenskaber, du vil møde i løbet af højere matematik for at forstå, hvad der kan og ikke kan lade sig gøre.

Eksempel 3

.

Opløsning: Lad os først afklare situationen med vektoren. Hvad handler det om? Summen af ​​vektorerne og er en veldefineret vektor, som er betegnet med . Geometrisk fortolkning af handlinger med vektorer kan findes i artiklen Vektorer til dummies. Den samme persille med en vektor er summen af ​​vektorerne og .

Så ifølge betingelsen er det påkrævet at finde det skalære produkt. I teorien skal du anvende arbejdsformlen , men problemet er, at vi ikke kender længderne af vektorerne og vinklen mellem dem. Men i tilstanden er lignende parametre givet for vektorer, så vi vil gå den anden vej:

(1) Vi erstatter udtryk for vektorer.

(2) Vi åbner parenteserne i henhold til reglen om multiplikation af polynomier, en vulgær tongue twister kan findes i artiklen Komplekse tal eller Integration af en brøk-rationel funktion. Jeg vil ikke gentage mig selv =) Forresten giver den fordelende egenskab ved det skalære produkt os mulighed for at åbne parenteserne. Vi har ret.

(3) I de første og sidste led skriver vi kompakt skalære kvadrater af vektorerne: . I den anden term bruger vi skalarproduktets commuterbarhed: .

(4) Her er lignende udtryk: .

(5) I det første led bruger vi skalarkvadratformlen, som blev nævnt for ikke så længe siden. I henholdsvis sidste termin virker det samme: . Det andet led udvides efter standardformlen .

(6) Erstat disse betingelser , og udfør omhyggeligt de endelige beregninger.

Svar:

Den negative værdi af prikproduktet angiver, at vinklen mellem vektorerne er stump.

Opgaven er typisk, her er et eksempel på en selvstændig løsning:

Eksempel 4

Find skalarproduktet af vektorerne og , hvis det vides, at .

Nu en anden almindelig opgave, kun for den nye vektorlængdeformel. Betegnelserne her vil overlappe lidt, så for klarhedens skyld vil jeg omskrive det med et andet bogstav:

Eksempel 5

Find længden af ​​vektoren if .

Opløsning bliver som følger:

(1) Vi leverer vektorekspressionen.

(2) Vi bruger længdeformlen: , mens vi har et heltalsudtryk som vektoren "ve".

(3) Vi bruger skoleformlen til kvadratet af summen. Vær opmærksom på, hvordan det mærkværdigvis fungerer her: - faktisk er dette kvadratet af forskellen, og det er det faktisk også. De, der ønsker det, kan omarrangere vektorerne steder: - det blev det samme op til en omarrangering af vilkårene.

(4) Det følgende er allerede kendt fra de to tidligere problemer.

Svar:

Da vi taler om længde, glem ikke at angive dimensionen - "enheder".

Eksempel 6

Find længden af ​​vektoren if .

Dette er et gør-det-selv eksempel. Fuld løsning og svar i slutningen af ​​lektionen.

Vi fortsætter med at presse nyttige ting ud af det skalære produkt. Lad os se på vores formel igen . Ved proportionsreglen nulstiller vi vektorernes længder til nævneren på venstre side:

Lad os bytte delene:

Hvad er meningen med denne formel? Hvis længden af ​​to vektorer og deres skalarprodukt er kendt, kan cosinus af vinklen mellem disse vektorer beregnes, og dermed selve vinklen.

Er det skalære produkt et tal? Nummer. Er vektorlængder tal? Tal. Så en brøk er også et tal. Og hvis cosinus af vinklen er kendt: , så ved at bruge den omvendte funktion er det nemt at finde selve vinklen: .

Eksempel 7

Find vinklen mellem vektorerne og , hvis det vides at .

Opløsning: Vi bruger formlen:

På den sidste fase af beregningerne blev der brugt en teknik - eliminering af irrationalitet i nævneren. For at eliminere irrationalitet multiplicerede jeg tælleren og nævneren med .

Så hvis , derefter:

Værdierne af inverse trigonometriske funktioner kan findes ved trigonometrisk tabel. Selvom dette sjældent sker. I problemer med analytisk geometri optræder nogle klodsede bjørne-lignende meget oftere, og værdien af ​​vinklen skal findes omtrentligt ved hjælp af en lommeregner. Faktisk vil vi se dette billede igen og igen.

Svar:

Igen, glem ikke at angive dimensionen - radianer og grader. Personligt, for bevidst at "fjerne alle spørgsmål", foretrækker jeg at angive begge (medmindre det naturligvis af betingelsen er påkrævet at præsentere svaret kun i radianer eller kun i grader).

Nu vil du være i stand til at klare en sværere opgave på egen hånd:

Eksempel 7*

Givet er længderne af vektorerne og vinklen mellem dem. Find vinklen mellem vektorerne , .

Opgaven er ikke så meget svær som multi-way.
Lad os analysere løsningsalgoritmen:

1) I henhold til betingelsen er det nødvendigt at finde vinklen mellem vektorerne og , så du skal bruge formlen .

2) Vi finder det skalære produkt (se eksempel nr. 3, 4).

3) Find længden af ​​vektoren og længden af ​​vektoren (se eksempel nr. 5, 6).

4) Slutningen af ​​løsningen falder sammen med eksempel nr. 7 - vi kender tallet , hvilket betyder, at det er nemt at finde selve vinklen:

Kort løsning og svar i slutningen af ​​lektionen.

Anden del af lektionen er afsat til det samme prikprodukt. Koordinater. Det bliver endnu nemmere end i første del.

Punktprodukt af vektorer,
givet af koordinater på ortonormal basis

Svar:

Det er overflødigt at sige, at det er meget mere behageligt at håndtere koordinater.

Eksempel 14

Find skalarproduktet af vektorer og hvis

Dette er et gør-det-selv eksempel. Her kan du bruge associativiteten af ​​operationen, det vil sige ikke tælle, men straks tage det tredobbelte ud af skalarproduktet og gange med det sidst. Løsning og svar i slutningen af ​​lektionen.

I slutningen af ​​afsnittet, et provokerende eksempel på beregning af længden af ​​en vektor:

Eksempel 15

Find længder af vektorer , hvis

Opløsning: metoden i det foregående afsnit foreslår sig selv igen: , men der er en anden måde:

Lad os finde vektoren:

Og dens længde ifølge den trivielle formel :

Det skalære produkt er slet ikke relevant her!

Hvor ude af drift er det, når man beregner længden af ​​en vektor:
Hold op. Hvorfor ikke drage fordel af en vektors åbenlyse længdeegenskab? Hvad kan man sige om længden af ​​en vektor? Denne vektor er 5 gange længere end vektoren. Retningen er modsat, men det gør ikke noget, for vi taler om længde. Det er klart, at vektorens længde er lig med produktet modul tal pr. vektorlængde:
- modulets fortegn "spiser" tallets mulige minus.

På denne måde:

Svar:

Formlen for cosinus for vinklen mellem vektorer, der er givet ved koordinater

Nu har vi fuldstændig information for at udtrykke den tidligere afledte formel for cosinus af vinklen mellem vektorer i form af vektorernes koordinater:

Cosinus af vinklen mellem planvektorer og givet i det ortonormale grundlag, er udtrykt ved formlen:
.

Cosinus af vinklen mellem rumvektorer, givet i det ortonormale grundlag , er udtrykt ved formlen:

Eksempel 16

Der er givet tre spidser i en trekant. Find (topvinkel ).

Opløsning: Efter betingelse er tegningen ikke påkrævet, men stadig:

Den nødvendige vinkel er markeret med en grøn bue. Vi husker straks skolens betegnelse for vinklen: - særlig opmærksomhed på midten bogstav - dette er toppunktet for den vinkel, vi har brug for. For kortheds skyld kunne det også skrives enkelt.

Fra tegningen er det ganske tydeligt, at trekantens vinkel falder sammen med vinklen mellem vektorerne og , med andre ord: .

Det er ønskeligt at lære, hvordan man udfører analysen udført mentalt.

Lad os finde vektorerne:

Lad os beregne skalarproduktet:

Og længderne af vektorerne:

Cosinus af en vinkel:

Det er denne rækkefølge af opgaven, jeg anbefaler til dummies. Mere avancerede læsere kan skrive beregningerne "på én linje":

Her er et eksempel på en "dårlig" cosinusværdi. Den resulterende værdi er ikke endelig, så der er ikke meget mening i at slippe af med irrationaliteten i nævneren.

Lad os finde vinklen:

Hvis man ser på tegningen, er resultatet ret plausibelt. For at kontrollere vinklen kan også måles med en vinkelmåler. Beskadig ikke skærmens belægning =)

Svar:

I svaret, glem ikke det spurgt om trekantens vinkel(og ikke om vinklen mellem vektorerne), glem ikke at angive det nøjagtige svar: og den omtrentlige værdi af vinklen: fundet med en lommeregner.

De, der har nydt processen, kan beregne vinklerne og sikre sig, at den kanoniske lighed er sand

Eksempel 17

En trekant er givet i rummet ved koordinaterne af dens hjørner. Find vinklen mellem siderne og

Dette er et gør-det-selv eksempel. Fuld løsning og svar i slutningen af ​​lektionen

Et lille sidste afsnit vil blive afsat til projektioner, hvori det skalære produkt også er "involveret":

Projektion af en vektor på en vektor. Vektorprojektion på koordinatakser.
Vector retning cosinus

Overvej vektorer og:

Vi projicerer vektoren på vektoren, for dette udelader vi fra begyndelsen og slutningen af ​​vektoren vinkelrette vektor (grønne stiplede linjer). Forestil dig, at lysstråler falder vinkelret på en vektor. Så vil segmentet (rød linje) være "skyggen" af vektoren. I dette tilfælde er projektionen af ​​en vektor på en vektor LÆNGDEN af segmentet. Det vil sige, PROJEKTION ER ET TAL.

Dette ANTAL er angivet som følger: , "stor vektor" betegner en vektor HVILKEN projekt, "lille sænket vektor" betegner vektoren PÅ DEN som er projekteret.

Selve indgangen lyder således: "projektionen af ​​vektoren "a" på vektoren "være"".

Hvad sker der, hvis vektoren "be" er "for kort"? Vi tegner en lige linje, der indeholder vektoren "være". Og vektoren "a" vil allerede blive projiceret i retningen af ​​vektoren "være", simpelthen - på en lige linje indeholdende vektoren "være". Det samme vil ske, hvis vektoren "a" sættes til side i det tredivte rige - den vil stadig nemt blive projiceret på linjen, der indeholder vektoren "be".

Hvis vinklen mellem vektorer krydret(som på billedet), så

Hvis vektorerne ortogonal, så (projektionen er et punkt, hvis dimensioner antages at være nul).

Hvis vinklen mellem vektorer Dum(i figuren, omarranger vektorens pil mentalt), derefter (samme længde, men taget med et minustegn).

Sæt disse vektorer til side fra ét punkt:

Det er klart, når en vektor flyttes, ændres dens projektion ikke