Løsning af logaritmiske ligninger for dummies. Løsning af logaritmiske ligninger

Vi kender alle ligninger fra elementære karakterer. Der lærte vi også at løse de enkleste eksempler, og vi må indrømme, at de finder deres anvendelse selv i højere matematik. Det er simpelt med ligninger, inklusive firkantede. Hvis du har problemer med dette tema, anbefaler vi kraftigt, at du gentager det.

Du har sandsynligvis allerede bestået logaritmerne. Ikke desto mindre finder vi det vigtigt at fortælle, hvad det er for dem, der ikke ved det endnu. Logaritmen sidestilles med den grad, i hvilken basen skal hæves for at få tallet til højre for logaritmeskiltet. Lad os give et eksempel, baseret på hvilket, alt bliver klart for dig.

Hvis du hæver 3 til den fjerde styrke, får du 81. Erstat nu tallene analogt, og du vil endelig forstå, hvordan logaritmerne løses. Nu er det kun at kombinere de to overvejede begreber. Oprindeligt synes situationen ekstremt vanskelig, men ved nærmere undersøgelse falder vægten på plads. Vi er sikre på, at efter denne korte artikel ikke har nogen problemer i denne del af eksamen.

I dag er der mange måder at løse sådanne strukturer på. Vi fortæller dig om de enkleste, mest effektive og mest anvendelige USE-opgaver. Løsning af logaritmiske ligninger skal starte med det enkleste eksempel. De enkleste logaritmiske ligninger består af en funktion og en variabel i den.

Det er vigtigt at bemærke, at x er inde i argumentet. A og b skal være tal. I dette tilfælde kan du blot udtrykke funktionen i form af et tal til en magt. Det ser sådan ud.

Hvis du løser den logaritmiske ligning på denne måde, fører du naturligvis til det rigtige svar. Problemet med langt de fleste studerende i dette tilfælde er, at de ikke forstår, hvad og hvor det kommer fra. Som et resultat skal du udholde fejl og ikke få de ønskede point. Den mest stødende fejl er, hvis du blander bogstaverne steder. For at løse ligningen på denne måde skal du huske denne standardskoleformel udenad, fordi det er svært at forstå det.

For at gøre det lettere kan du ty til en anden metode - den kanoniske form. Ideen er meget enkel. Vær opmærksom på problemet igen. Husk at bogstavet a er et tal, ikke en funktion eller variabel. A er ikke lig med en eller større end nul. Der er ingen begrænsninger for b. Nu husker vi en af \u200b\u200balle formlerne. B kan udtrykkes som følger.

Det følger heraf, at alle de originale ligninger med logaritmer kan repræsenteres som:

Vi kan nu droppe logaritmerne. Resultatet er en simpel konstruktion, som vi så tidligere.

Bekvemmeligheden ved denne formel ligger i, at den kan bruges i en lang række tilfælde og ikke kun til de enkleste designs.

Bare rolig med OOF!

Mange erfarne matematikere vil bemærke, at vi ikke har været opmærksomme på definitionens domæne. Reglen er reduceret til det faktum, at F (x) nødvendigvis er større end 0. Nej, vi gik ikke glip af dette øjeblik. Nu taler vi om en anden stor fordel ved den kanoniske form.

Ekstra rødder vil ikke opstå her. Hvis variablen kun vises ét sted, er omfanget ikke nødvendigt. Det kører automatisk. For at bekræfte denne erklæring, overvej at løse et par enkle eksempler.

Sådan løses logaritmiske ligninger med forskellige baser

Disse er allerede komplekse logaritmiske ligninger, og tilgangen til deres løsning skal være speciel. Det viser sig sjældent at være begrænset til den berygtede kanoniske form. Lad os starte vores detaljerede historie. Vi har følgende design.

Vær opmærksom på brøkdelen. Den indeholder logaritmen. Hvis du ser dette i opgaven, er det værd at huske et interessant trick.

Hvad betyder det? Hver logaritme kan repræsenteres som en kvotient af to logaritmer med en bekvem base. Og denne formel har et specielt tilfælde, der kan anvendes i dette eksempel (hvilket betyder, hvis c \u003d b).

Dette er nøjagtigt den brøkdel, vi ser i vores eksempel. Dermed.

Faktisk vendte de fraktionen om og fik et mere praktisk udtryk. Husk denne algoritme!

Nu er det nødvendigt, at den logaritmiske ligning ikke indeholdt forskellige baser. Lad os forestille os basen som en brøkdel.

I matematik er der en regel, som du kan tage en grad fra basen på. Den følgende konstruktion viser sig.

Det ser ud til, hvad forhindrer nu i at gøre vores udtryk til en kanonisk form og løse det på en elementær måde? Ikke så simpelt. Der skal ikke være nogen brøk før logaritmen. Vi løser denne situation! Fraktionen må udføres som en grad.

Henholdsvis.

Hvis baserne er de samme, kan vi fjerne logaritmerne og sidestille udtrykkene selv. Så situationen bliver meget lettere, end den var. Der vil forblive en elementær ligning, som hver af os vidste, hvordan man skulle løse i 8. eller endda 7. klasse. Du kan selv foretage beregningerne.

Vi fik den eneste sande rod til denne logaritmiske ligning. Eksempler på løsning af en logaritmisk ligning er ret enkle, ikke? Nu vil du være i stand til uafhængigt at finde ud af selv de sværeste opgaver til at forberede og bestå eksamen.

Hvad er bundlinjen?

I tilfælde af logaritmiske ligninger går vi ud fra en meget vigtig regel. Det er nødvendigt at handle på en sådan måde, at udtrykket bringes i den enklest mulige form. I dette tilfælde har du flere chancer for ikke kun at løse opgaven korrekt, men også at gøre den så enkel og logisk som muligt. Sådan gør matematikere altid.

Vi fraråder dig kraftigt at kigge efter vanskelige stier, især i dette tilfælde. Husk et par enkle regler, der giver dig mulighed for at transformere ethvert udtryk. Bring for eksempel to eller tre logaritmer til en base, eller afled en grad fra basen, og vind på den.

Det er også værd at huske, at du konstant skal træne i at løse logaritmiske ligninger. Gradvist vil du gå videre til mere og mere komplekse designs, og dette vil føre dig til trygt at løse alle varianter af problemer på eksamen. Forbered dig på dine eksamener i god tid og held og lykke!

Løsning af logaritmiske ligninger. Del 1.

Logaritmisk ligning er en ligning, hvor det ukendte er indeholdt under logaritmens tegn (især ved bunden af \u200b\u200blogaritmen).

Den enkleste logaritmisk ligning ligner:

Løsning til enhver logaritmisk ligning involverer overgangen fra logaritmer til udtryk under logaritmer. Denne handling udvider imidlertid rækkevidden af \u200b\u200btilladte værdier i ligningen og kan føre til fremkomsten af \u200b\u200bfremmede rødder. For at undgå forekomsten af \u200b\u200bfremmede rødder, kan du gøre en af \u200b\u200btre måder:

1. Foretag en tilsvarende overgang fra den oprindelige ligning til systemet inklusive

afhængigt af hvilken ulighed der er eller er enklere.

Hvis ligningen indeholder et ukendt i bunden af \u200b\u200blogaritmen:

så går vi til systemet:

2. Find separat rækkevidden af \u200b\u200btilladte værdier i ligningen, løs derefter ligningen, og kontroller, om de fundne løsninger opfylder ligningen.

3. Løs ligningen, og derefter tjek:erstatte de fundne løsninger i den oprindelige ligning, og kontroller, om vi får den rigtige lighed.

Den logaritmiske ligning af ethvert kompleksitetsniveau reduceres i sidste ende altid til den enkleste logaritmiske ligning.

Alle logaritmiske ligninger kan groft opdeles i fire typer:

1 ... Ligninger, der kun indeholder logaritmer i første grad. Ved hjælp af transformationer og brug reduceres de til formen

Eksempel... Lad os løse ligningen:

Lad os sidestille udtrykkene under logaritmetegnet:

Lad os kontrollere, om vores rod opfylder ligningen:

Ja det gør.

Svar: x \u003d 5

2 ... Ligninger, der indeholder logaritmer i en anden grad end 1 (især i nævneren af \u200b\u200ben brøkdel). Sådanne ligninger løses ved hjælp af indførelse af variabel ændring.

Eksempel. Lad os løse ligningen:

Lad os finde ligningen ODZ:

Ligningen indeholder logaritmer i kvadrat, så den løses ved at ændre variablen.

Vigtig! Inden du introducerer en erstatning, skal du "trække fra hinanden" de logaritmer, der udgør ligningen, i "mursten" ved hjælp af logaritmenes egenskaber.

Når du "trækker" logaritmer, er det vigtigt at anvende logaritmernes egenskaber meget omhyggeligt:

Derudover er der et andet subtilt punkt her, og for at undgå en almindelig fejl, bruger vi en mellemliggende ligestilling: skriv graden af \u200b\u200blogaritmen i denne form:

Tilsvarende

Lad os erstatte de opnåede udtryk i den oprindelige ligning. Vi får:

Nu ser vi, at det ukendte er indeholdt i ligningen i kompositionen. Lad os introducere erstatningen:. Da det kan tage nogen reel værdi, pålægger vi ingen variabler.

I denne lektion vil vi gennemgå de grundlæggende teoretiske fakta om logaritmer og overveje at løse de enkleste logaritmiske ligninger.

Lad os huske den centrale definition - definitionen af \u200b\u200blogaritmen. Det er forbundet med løsningen af \u200b\u200bden eksponentielle ligning. Denne ligning har en enkelt rod, den kaldes logaritmen for b til basen a:

Definition:

Logaritmen for tallet b til basen a er den eksponent, som basen a skal hæves for at få tallet b.

Minde om grundlæggende logaritmisk identitet.

Udtryk (udtryk 1) er roden til ligningen (udtryk 2). Erstat værdien af \u200b\u200bx fra udtryk 1 i stedet for x i udtryk 2, og få den grundlæggende logaritmiske identitet:

Så vi ser, at hver værdi tildeles en værdi. Vi betegner b med x (), c ved y, og således opnår vi en logaritmisk funktion:

For eksempel:

Lad os huske de vigtigste egenskaber ved den logaritmiske funktion.

Lad os være opmærksomme igen her, for under logaritmen kan der være et strengt positivt udtryk som basis for logaritmen.

Figur: 1. Graf over den logaritmiske funktion ved forskellige baser

Funktionsgrafen for vises i sort. Figur: 1. Hvis argumentet stiger fra nul til uendeligt, stiger funktionen fra minus til plus uendelig.

Funktionsgrafen for vises i rødt. Figur: en.

Egenskaber ved denne funktion:

Domæne: ;

Værdiområde :;

Funktionen er monoton i hele sit definitionsdomæne. Når det stiger monotont (strengt), svarer en større værdi af argumentet til en større værdi af funktionen. Når monotont (strengt) falder, svarer argumentets større værdi til funktionens mindre værdi.

Egenskaberne ved den logaritmiske funktion er nøglen til at løse en række forskellige logaritmiske ligninger.

Overvej den enkleste logaritmiske ligning, alle andre logaritmiske ligninger er som regel reduceret til denne form.

Da logaritmernes baser og selve logaritmerne er ens, er funktionerne under logaritmen også ens, men vi må ikke gå glip af definitionsdomænet. Kun et positivt tal kan stå under logaritmen, vi har:

Vi fandt ud af, at funktionerne f og g er ens, derfor er det nok at vælge en hvilken som helst ulighed for at overholde DHS.

Således fik vi et blandet system, hvor der er en ligning og ulighed:

Ulighed er som regel ikke nødvendig at løse, det er nok at løse ligningen og erstatte de fundne rødder i uligheden og derved udføre en kontrol.

Lad os formulere en metode til løsning af de enkleste logaritmiske ligninger:

Udjæv logaritmerne;

Ligestille sublogaritmiske funktioner;

Kontrollere.

Lad os se på specifikke eksempler.

Eksempel 1 - Løs ligningen:

Grundlaget for logaritmerne er oprindeligt ens, vi har ret til at sidestille sublogaritmiske udtryk, glem ikke ODZ, vi vælger den første logaritme til at komponere uligheden:

Eksempel 2 - Løs ligningen:

Denne ligning adskiller sig fra den foregående, idet logaritmenes baser er mindre end en, men dette påvirker ikke løsningen på nogen måde:

Find roden og erstat den med uligheden:

Vi fik den forkerte ulighed, hvilket betyder, at den fundne rod ikke tilfredsstiller ODV.

Eksempel 3 - Løs ligningen:

Grundlaget for logaritmerne er oprindeligt ens, vi har ret til at sidestille sublogaritmiske udtryk, glem ikke ODZ, vi vælger den anden logaritme til at komponere uligheden:

Find roden og erstat den med uligheden:

Det er klart, at kun den første rod tilfredsstiller ODV.

Logaritmiske udtryk, løsning af eksempler. I denne artikel vil vi se på problemerne forbundet med at løse logaritmer. I opgaverne rejses spørgsmålet om at finde betydningen af \u200b\u200budtrykket. Det skal bemærkes, at begrebet logaritme bruges i mange opgaver, og det er ekstremt vigtigt at forstå dets betydning. Hvad angår Unified State Exam, bruges logaritmen til løsning af ligninger, anvendte problemer og også i opgaver relateret til studiet af funktioner.

Her er nogle eksempler for at forstå selve betydningen af \u200b\u200blogaritmen:

Grundlæggende logaritmisk identitet:

Egenskaber for logaritmer, der altid skal huskes:

* Produktets logaritme er summen af \u200b\u200bfaktorernes logaritmer.

* * *

* Kvotientens (fraktion) logaritme er lig med forskellen mellem faktorernes logaritmer.

* * *

* Kraftens logaritme er lig med produktet af eksponenten ved hjælp af logaritmen fra dens base.

* * *

* Overgang til en ny base

* * *

Flere egenskaber:

* * *

Beregningen af \u200b\u200blogaritmer er tæt knyttet til brugen af \u200b\u200beksponenternes egenskaber.

Her er nogle af dem:

Essensen af \u200b\u200bdenne egenskab er, at når tælleren overføres til nævneren og omvendt, ændres eksponentens tegn til det modsatte. For eksempel:

Konsekvens af denne ejendom:

* * *

Når man hæver en magt til en magt, forbliver basen den samme, og indikatorerne ganges.

* * *

Som du kan se, er selve konceptet med en logaritme enkel. Det vigtigste er, at du har brug for god praksis, hvilket giver en vis færdighed. Selvfølgelig kræves kendskab til formlerne. Hvis færdigheden i at konvertere elementære logaritmer ikke dannes, kan du nemt lave en fejl, når du løser enkle opgaver.

Øv dig på at løse de enkleste eksempler fra matematikfaget først, og gå derefter videre til sværere. I fremtiden vil jeg helt sikkert vise dig, hvordan de "grimme" logaritmer løses, der vil ikke være sådanne logaritmer på eksamen, men de er af interesse, gå ikke glip af det!

Det er alt! Succes for dig!

Med venlig hilsen Alexander Krutitskikh

P.S: Jeg ville være taknemmelig, hvis du kunne fortælle os om webstedet på sociale netværk.

Forberedelse til den afsluttende test i matematik inkluderer et vigtigt afsnit - "Logaritmer". Opgaver fra dette emne er nødvendigvis indeholdt i eksamenen. Tidligere erfaring viser, at logaritmiske ligninger har skabt vanskeligheder for mange skolebørn. Derfor skal studerende med forskellige træningsniveauer forstå, hvordan man finder det rigtige svar og hurtigt klare dem.

Bestå certificeringstesten med succes ved hjælp af uddannelsesportalen "Shkolkovo"!

Når de forbereder sig til den samlede statseksamen, har gymnasieeleverne brug for en pålidelig kilde, der giver den mest komplette og nøjagtige information til en vellykket løsning af testproblemer. Lærebogen er dog ikke altid lige ved hånden, og det tager ofte tid at finde de nødvendige regler og formler på Internettet.

Uddannelsesportal "Shkolkovo" giver dig mulighed for at forberede dig til Unified State Exam hvor som helst og når som helst. Vores side tilbyder den mest bekvemme tilgang til gentagelse og assimilering af en stor mængde information om logaritmer såvel som med en og flere ukendte. Start med lette ligninger. Hvis du har håndteret dem let, skal du gå videre til mere komplekse. Hvis du har problemer med at løse en vis ulighed, kan du føje den til dine favoritter for at vende tilbage til den senere.

Du kan finde de nødvendige formler til at fuldføre opgaven, gentage specielle tilfælde og metoder til beregning af roden til den standard logaritmiske ligning ved at se på afsnittet "Teoretisk reference". Shkolkovo-lærerne indsamlede, systematiserede og præsenterede alt det nødvendige materiale til vellykket levering i den mest enkle og forståelige form.

For nemt at klare opgaver af enhver kompleksitet kan du på vores portal gøre dig bekendt med løsningen af \u200b\u200bnogle typiske logaritmiske ligninger. For at gøre dette skal du gå til afsnittet "Kataloger". Vi har præsenteret et stort antal eksempler, herunder ligningerne af eksamensprofilniveauet i matematik.

Studerende fra skoler i hele Rusland kan bruge vores portal. For at komme i gang skal du bare registrere dig i systemet og begynde at løse ligninger. For at konsolidere resultaterne råder vi dig til at vende tilbage til Shkolkovo-webstedet hver dag.